UNIVERSIDAD LA GRAN COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN EJERCICIOS DE INFERENCIA LÓGICA PROFESOR: CARLOS ANDRÉS MEDINA
Recordemos la Equivalencias: E1: (A→ → C) ↔ ¬ A ∨ C
Condicional como disyunción
E2: ¬( A→ → C) ↔ A ∧ ¬ C
Negación (de un condicional) como conjunción
E3: ¬( A∨ ∨ C) ↔ ¬A ∧¬C
Negación (de una Disyunción) como conjunción
E4: ¬( A∧ ∧C) ↔ ¬A ∨ ¬C
Negación (de una Conjunción) como Disyunción
E5: ¬( A ↔C) ↔ (A ∧ ¬ C) ∨ ( C ∧ ¬ A)
Negación (de una equivalencia)
como Disyunción E6: (A→ → C) ↔ (¬C→ →¬A)
Condicional como condicional (contra recíproco)
Ejemplo 1 Hallar la siguiente conclusión: Q→ →P, a partir de las premisas: P1: P∨ ∨Q→ →P P2: Q ∨ P Solución: 3. ¬ ( P∨ ∨Q) ∨ P Sustitución (equivalencia 1) del condicional en 1. 4. (¬P ∧¬ Q) ∨ P Sustitución (Equivalencia 3) en 3. 5. ¬ Q ∨ P Ley simplificación en 4. 6. Q→ →P Sustitución del condicional en 5. En este último paso, alcanzamos la conclusión: Q→ →P, luego el argumento es válido.
Ejemplo 2 Demostrar la siguiente conclusión R→ → ¬Q, a partir de las premisas: P1: ¬(R∧ ∧S) P2: Q → S Solución: 3. ¬R ∨ ¬ S Equivalencia 4 aplicada en 1.
4. R→ → ¬ S Sustitución (equivalencia 1) del condicional en 3. 5. ¬ S→ →¬Q Equivalencia 6 de condicional en 2 6. R→ →¬Q Ley de transitividad entre 4 y 5. En este último paso, alcanzamos la conclusión: R→ → ¬Q, luego el Argumento es válido.
Ejemplo 3 Traducir al lenguaje formal y demostrar por el método de validez formal el siguiente razonamiento: P1: Si las leyes no existen, todo estaría permitido. P2: Si las leyes no existen, no habría normas morales. P3: Es así que hay normas morales. Luego, C: las leyes existen. En primer lugar transformamos el lenguaje natural en lenguaje formal: 1. Si las leyes no existen, todo estaría permitido: ¬ P→ →S 2. Si las leyes no existen, no habría normas morales: ¬ P→ →¬R 3. Hay normas morales: R Luego las leyes existen: P 1. ¬ P→ →S 2. ¬ P→ →¬R 3. R C: P Solución: Intentamos demostrar la conclusión: P, a partir de las tres premisas: 4. P: Modus tollendo tollens entre la premisa 2 y 3. Por lo tanto, el argumento es válido y no es necesaria la premisa 1. Ejemplo 4 Demostrar la siguiente conclusión: ¬ P→ →R, a partir de las premisas: 1. P ∨ ¬ S 2. ¬ R→ →S Solución: 3. ¬ P→ →¬S Sustitución (equivalencia 1) en 1. 4. ¬ S→ →R sustitución (Equivalencia 6) en 2. 5. ¬ P→ →R Ley de transitividad en 3 y 4. En este último paso, alcanzamos la conclusión: ¬ P→ →R, luego el argumento es válido.
Ejemplo 5 Traducir al lenguaje formal y probar la validez del siguiente razonamiento: P1: No es verdad que: estudias y trabajas. P2: Si quieres conseguir dinero entonces trabajas. Luego, C: Si estudias entonces no consigues dinero. Solución: Sean: P1: No es verdad que: estudias y trabajas: ¬ (P∧ ∧Q) P2: Si quieres conseguir dinero entonces trabajas: R→ →Q Luego, C: Si estudias entonces no consigues dinero: P→ →¬R P1: ¬ (P∧ ∧Q) P2: R→ →Q C: P→ →¬R P3: ¬P ∨ ¬ Q Equivalencia 4 en 1. P4: P→ →¬Q Sustitución (equivalencia 1) del condicional en 3. P5: ¬Q→ →¬R Equivalencia 6 aplicada en 2. P6: P→ →¬R Ley de la transitividad en 4 y 5. En este último paso, alcanzamos la conclusión: P→ →¬R, luego el razonamiento es válido. Ejemplo 6 Traducir al lenguaje formal y probar la validez del siguiente razonamiento: P1: O me traes a casa, o no voy a la fiesta. P2: Si no llueve entonces voy a la fiesta. Luego, C: Si no me traes a casa llueve. Simbolización P1: O me traes a casa, o no voy a la fiesta: P ∨ ¬Q P2: Si no llueve, entonces voy a la fiesta: ¬R→ →Q Luego, C: Si no me traes a casa, llueve: ¬P→ →R P1: P ∨ ¬Q P2: ¬R→ →Q C: ¬P→ →R Solución: P3: ¬P→ →¬Q Sustitución del condicional en 1 (equivalencia 1). P4: ¬Q→ →R Equivalencia 6 aplicada en 2.
P5: ¬P→ →R Ley transitividad en 3 y 4. En este último paso, alcanzamos la conclusión: ¬P→ →R, luego el Argumento es válido. Ejercicios 1. Utilizar el modo poniendo Ponens o el modo Tollendo Tollens para resolver los siguientes razonamientos y justificar cada paso: a) P1: ¬P∨ ∨¬T → S P2: ¬(P∧ ∧T) C:
c) P1: ¬P∨ ∨¬T → S∨ ∨R P2: ¬S ∧¬R C:
b) P1: ¬P∨ ∨T → S∨ ∨R P2: P→ →T C:
d) P1: T P2: T→ → ¬Q P3:¬Q→ → ¬S C:
e) P1: ¬T P2: P→ →T P3:¬P→ → ¬S
f) Demostrar : ¬S ∧Q P1: ¬S→ →Q P2 : ¬(T∧ ∧R) P3: S→ → T∧ ∧R
C:
C:
2. Verificar por alguno de los métodos de inferencia, si cada uno de los argumentos es válido. Justificar: a) P1: Todos los que no se presenten al examen, tendrán que presentar supletorio P2: Juan no se presenta al examen. Por lo tanto: C: Juan presenta supletorio. b) P1: Ningún ánade baila el vals. P2: Ningún oficial declina nunca una invitación a bailar el vals. P3: Todas mis aves de corral son ánades. Por lo tanto: C: Mis aves de corral no son oficiales. c) P1: Lancelot ama a la Reina Ginebra. P2: Lancelot no ama a ninguno de sus amigos. P3: El Rey Arturo es amigo de Lancelot.
P4: Los amigos de Lancelot odian a aquello a quienes Lancelot ama. Por lo tanto C: El Rey Arturo odia a la Reina Ginebra. d)
P1: Si el reloj está adelantado, entonces Juan llegó antes de las diez y vio partir el carro de Andrés. P2: Si Andrés dice la verdad, entonces Juan no vio partir el carro de Andrés P3: O Andrés dice la verdad, o estaba en el edificio en el momento del crimen. P4: El reloj está adelantado. Por lo tanto, C: Andrés estaba en el edificio en el momento del crimen. e)
P1: Nadie confía en las personas que nunca pagan sus deudas. P2: Todo el mundo cuenta con la confianza de sus familiares. Por lo tanto, C: cualquiera que tenga familia paga alguna de sus deudas.
f) P1: Si Juan es más alto que Pedro, entonces María es más baja que Juana. P2: María no es más baja que Juana. P3: Si Juan y Luís tiene la misma estatura, entonces Juan es más alto que Pedro. Por lo tanto, C: Juan y Luís no tienen la misma estatura. 3. Determinar si cada uno de los siguientes Argumentos son válidos o no. Escribir la corrección en el caso de que el argumento no sea válido. a) Todo el que piensa existe. Yo pienso, luego existo. Todos los latinos son mediterráneos. Ningún Nórdico es mediterráneo Por tanto, Ningún Nórdico es latino. b) Pedro es maestro. Todos los maestros son sabios y generosos. Por lo tanto, Alguien es generoso. c) Todos los maestros son sabios y generosos. Por tanto, Alguien es generoso. d) Si no es cierto que todos son felices, entonces algunos están tristes. No es cierto que algunos estén tristes
Por lo tanto, Algunos son felices. e) Algunos son analíticos. Algunos son, analíticos o detectives. Por tanto, Algunos son detectives. f) Los elefantes son más pesados que los ratones. Ningún ratón es más pesado que un elefante. Por lo tanto, Los elefantes y los ratones no son pesados
