Војислав Андрић
Ђорђе Дугошија Вера}оцковиh Владимир Миhић
Математика
I Војислав Андрић Вера јоцковић
•
•
Ђорђе Дугошија
Владимир мићић
МАТЕМАТИКА З3 седми разред основне Шt(оле
Рецензенти
др Ариф 30ли11 Пера Цветннови t,
МJtлица Гlроши11
Уредник Жарко Јовиl1
ОДЈ'ОUОРЈ I И уредник Слободанк а РУЖ И'lиl1
За и зда на'lа Мlнюљ уб Лл бијаНll li. директор и глаВIIИ уреДlIlIК
Мшш стар просвете Реп ублике Србије својим РСIII СЊСМ број 6 50 ~02 ~OO I 73/2009-06 од
07. 07. 2009.
ГОДИ IIС, одобрио ј е ооај
уџбе ШiК МАТЕМАТИКЕ за изда ва ље и ynотрс6 у У седмом ра зреду ос новн е шк олс.
ISBN 978-86- 17-16047-8 © ЗАВОД ЗА У ЏБЕНИК Е,
Бео,рад,
2009.
Ово дело сс н с сме ум нож авати и на било који на '!ин реп ро дуко» .. т и , у цслини НИТИ У деловима, без пис ме но,' одобрења и здаllа
• . I
. .. ~
Овај Уџ6еник је Н <1мењен ученицима сеДМО1' разреда основне ШКОJlС. СаДРЖ'lј Уџ6еника одговара предвиђеном наставном [Iро[ " рамском садржају предмета,
"
жеља нам је била
да дамо један ОД могућих приступа наставним садржајима и остваривању, наставним програмом, предвиђених циљева и задатака. Уџбеник је намељеп пре свега ученицима и :ыто смо се трудили да сви љегови садржа
ји буду разумљиви просеЧIIQМ ученику. Међутим, Уџбеник је конципиран и као извесна, али нс 11 обаПС3Ј1а оријентација за наставнике и због тога су његови садржај и [Ы одгова рајуliсм нивоу матемаТИ'-lке строгости. Известан број gоказа, који се у
peg08uoj
Jlа
сШавu MOfy заQбuliu, lIаоели смо СUШ1luјuм слоiом . Колико смо успели у I1зстојаll,има да објединнмо ова два важна, али наизглед протиnречпа захтева најбоље ћете просудити ви IlOсле осмишљеног и пажљивог КОРllшћења УJ.lбеllика. Настојали Сi\Ю да ученици добију савремен, кратак и ј<ЮLН текст који ће их мотивисати не само за репродуковање садржаја Уџбеника
Hel"O 11
за системати'[ан рад у савлаl)ИВ<1ЊУ
садржаја који су дати за увежбавање и ПрОllераuање !-Јау'lенО!". Верујемо да ће Уџбеник бити од користи и Н<1стаl:lницима к ао оквир или МOI\ел, али и родитељима који жел е да
помогну својој деци у саl:lJlађивању изложене
MaTepllje.
Да бисмо замишљено и остварили , користили смо речи, слике и боје. Наставне садржај е С1\1О изложили уз седам наставних тема, при чему је свака ОЈЈ, њих раЗJrожена на методске јединице које су сразмерне ј едном !нколском ·[;ку. ИЗЛ31'3ње
rю'!Иње мотивацијом, примера, и
Haj'!elJ.lhe
подссћањсм па оно што је већ познато, нлустровзњем
нас т авља се кратким и ЏО I ИМ теОРИ)СЮiМ изла['ан.има ко)а предстаВЉiljУ ре
зиме законитости уо '! ених или доказаних liзрадом примера. Све нажно, К<10 што су
ззкљу'щи, "равила, а од седмО!' разре/ \а и теореме, истакнуто је посебном бојом I{ЛИ дру
гом врстом писма и нај '! ешће ИЛУСТРОllа l Ю одговарајућом С1l11КОо'..I. Историјски и заба вни коментари налазе се у "Да ЈТи знате", а потом су дата "Контролна rштања" који не дозвољаВ'Lју да се преко ИЗЈlOжене лекције пређе површно. На самом крају су дати
,,3<1 -
даци" за увежбанање реализован их наставних садржаја и за Домаћи задатак, Овај У џбеник чини целину са Збирком задатака која је штампана као посебна КЊИПI. Она садржи већи број, али и разноврсни избор задатака диференцираllИХ по тежинн. За ученике који желе и могу више предвидели смо, као и у претходним разредима,
посебну збирку задатака за самостални рад и додатну наставу, а за наставнике При ручник уз уџбеник за седми разред у коме су детаљно дата упугства за реализацију
редовне и додатне наставе и пратећих ПРlШога. 3ахваљујемо рецензентима др Арифу Золићу, МИЛЈщи Прошић и Гlери ЦвеПlнонићу на помоћи коју су нам пружили. У Београду,
2009.
r "одине Аутори
1. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ
1.1. Квадрат рационалног броја До саЩI с м о упо з нали с купове природних бројева
(N), природни х број е на проширених (No), цели х број е ва (Z ), разломака прошире них бројем О (Q+о) И р а ци о налних (Q ). у C1l3 KQM о д ових с купова бројева учили СМО к ако да љи хо ве ел ем енте упоре
броје м О бројеЩI
ђуј е м о , к а к о да и х 11редстављамо на бројевној правој (или полуправој ) , У IЈели С МО операци је с абираЊ
11
~Iеједначине у
ТИМ С КУПОНИ М <1, ЩI УЧИЛИ како да стечена знања о љима прим е њуј е мо. Подсетимо се да с м о у сваком од скупова бројева прои з nод броја с а собом з вали Koagpm71 тог б роја. Будућl1 да с куп
Q
рационалних броје!]а садржи (к ао С Llој е flодс купове ) сваки од
на веде ни х с купова, б авић е мо се даље рационалним број е вима , ако у те ксту другачиј е н е наглас и м о. Да ЮI С,
к б" 9 р а т Рal~IlOlШЛ"Оlбројll х је број х . х . Зllllllсујемо х . х
ti Пример
I
Изра " у"ај кваара те бројева: а )
б) ~
- 3;
В)
3 а ) (- 3)'
= =
о ) (- 1,2) '
д ) () 2
=r .
(- 3) , (-3)
= = = = 3'3
(-1,2) ' (- 1,2)
б) (~з)' 2з 2з = (_2_' _2) = ~ ;
9;
1,2' 1,2
1 7 - 1,2; r ) 2 - ; д) О ; ђ ) - , 7 4
(3' 3)
1,44;
9
[) С:)' = сnс:)= 1:1:<~ ; ђ) (-Н = (-:ЈН) = Н= ~: '
=0.0 = О;
с обз иром на то да ј е про и з вод два поз итивн а или негат ивна броја 110З ИТИI~ан број , важ и: ква9раm раЦUОllnЛJlОlброја разли'lUто,
Ksogpal11 Дакл е, ак о је аЕ Q, а
* О , о нда је
02
09 О је Uозиmuван Рat(llOlfалаlf број.
броја О јеУllак је О.
>0.
Како број еве кој и су поз итивни И Л'И ј еднаки О називамо н е н е гативни рщ. и о н алнн бројеви ,
можем о рећи да је квадрат рационалног броја ненеrативан рационалан број.
Пример
2
Провсри таЦ1l0ст йоауњене l7i(Јбсле:
3
1
- -
х
7
Пример
--
О
9
4 25
О
11
1
х'
49
2
--
121
2
-
5
9 4
-
81
3
1
-
-
8
4
-
1
9 64
-
16
3
ИЗРII'lунај Kfiagpamc рационалних бројсва 1! gобllјене бројеве fipcgct1lllBU у gСЦllмалном за й JlСУ:
a) ~ ;
6)
10
_ ~; 4
В) _ I ~ ; 5
б) (~)' ~ 100 49 ~ O 49 · б) (-~)' ~~ ~ 2,25' 10 ' , 4 4 '
Пример
4
Y aopcgu Kfiagpa mc бројева: а) 1,4 и - 1,4;
б)
2 __
5
и
2; _
В) 1 7и - 17;
5
.
1)
3 3 -2 - И 2 - · 5 5
а) 1,42:::: 1,4·1,4 :::: 1,96; (- 1,4)2 = (- 1,4) ' (- 1,4):::: 1,96. Видимо да је 1,42:::: (_ 1,4) 2;
6)
(-Н ~ (-щ-~)~ 2~' Ю ~ 2~ Видимо да је НЈ ~ Ю
В) 172 = 289; (_ 17)2 :::: (- 17)(- 17) = 289. ВИДИМО да ј е 172 = (_ 17) 2;
г) (-2Н ~(_ ':)' ~ 1;; С;'Ј ~126;видимо да је (-2~)' +Н м о жемо закључити да за сваки рационалан број а важи : (_а)2 :::: ( -а) . (-а)
= а . а :::: а
2
.
Да кл е .
кваgраtп со""оl раЦUОllаЛЈюlброја jegllaK је "оаgраШу њему суарОШНОf рацuоналноr броја.
У претходним раз редима учили смо:
ако ј е д ужина странице квадрата једнака а изабраних јединица з а дуж~tllу, о нда ј е повр
шина ТО I> квадрата једнака а 2 одговарајућих ј единица за 11 0 n Р ШИН у.
Пример
5 . .
Изра',унај аовр шu ну K6agpaL7ia 'tlI}а Је gужuна Сl1lранице: а
) 8,6 С П1; б) 17
""4
С lll ; В) I d ш 4сш.
, 6) Р В)
ldm 4С l11
= 1 ,4dщ р = ( 1,4 )ldm 1 =
17)'
= ( -4
С l11 2
, =-289 с m = 18, 0625 слг ; 16 2
1,96dm 2.
Задаци
1.
И зра'l унај KB'lДpaTe броје ва: а) ~ ;
б)
В)
2,17;
_.i.,
5 2.
6)
2
У nе р" се да а )- 7 11 7 ;
4.
- 3,54.
И зра 'lу нај к вад рате рационалних бројева и добије н е број е в е I I ;ННlШИ у децим ал н о м
заПIlСУ ( коначном IIЛИ бесконачном ): а) ':' ; 3.
г)
11
_~ ;
4 су квадраТ IIIIЗВСl\СНИХ парова cynpoTHI1X 3 3 3 б) 11 - - , в ) -2 , 1611 2, 16 ; r ) 14 4 7
8)
_~;
г)~ .
7
12
р а ци оналНII Х б рој сва јСД ll а l\И: и
3
- 1- . 7
П ОI I У НlI та белу:
5 3
-2
х
-0,7
--
О
1
0,53
1 1-
2,5
7
4
х' ( -х ) '
5.
И з ра 'I У llaј II О Вршин у квадрата 'lИја је дужина странице : а) В)
6.
2 dl1l 3 ст ;
6 ) ~ dm; 8
[') 39 т, 8
И зрач у на; вредност и зра за:
о) 3; - :, -ю; 7.
[0,6 С l11 ј
6)
4 Щ + ~)' +-~)'; В) H)' 125 0' 5)' -~H)'
Израчуна; вредност IIзраза: а) -62 , 7 + (-6)2 , 7; б) г)
(3-~)' ,~; 100· (0,1 + 0,1' ).
1.2. Решавање једначине х2
а
поновимо: квадрат рационалног броја различитог од О је ПОЗИТИl}ан рацион алан број и квадрат броја о једнак је О. Даље, Кl3адрати супротних рационалних бројева једнаки су. Та знања ћсмо користити ПРШНfКОМ решанања примера који следе и познапање табm Ј]Ј.е МIIQжења.
Пример
I
аЈ ИЗll6еРII mРIl!ЮЦIIOI/(/ЛН(1 броја
oefm оу
б) КоngраiП раЦllонаЛIIот6ројn већеl О!] Ако је ра!llюна,1~11 број
11
I 11
YOCPIl се 9а су IЫ/ХОБИ ква!ЈрmЋll ве/ш 091.
1 је раЦUО/taJlЮI
број oeIiIl 09
нсtш (Јд 1, може.мо гз Н:lШК
!!!.., ВрИ
1. ДокаЖlI,
'IСМУ су т и
11
lJРЩ.ЈОДI!И 6р{)ј~ !ш И
" (/1
Пример
ml = _ >1,
,, '
што је
2
а) Иза6еРII трн ЙОЗ1l11111811(/ Ра/јl/ОIЮЛ1iа броја Ма/ЫЈ
09 1 u увери се !Ја су ЊIIХО8и KoagpmUII
IIOJlI({lIlBU.11 рационални бројеви маЊII 09 ].
б) КО(/УРllm '70:mmIlОНО' раЦllонално Т броја мање' 09 1 је Позиillиван рационалан б/юј ЛlalЫI 09 1, ДокаЖ/I,
Ако је Р:IlIIIOII
<
/1.
(/
IЮ:НПI\IJ~11 и .\Н1II.И од Ј, ,\lОжемо га ЩlllllСЈТlI у обдику т,
T~JU1 СУ 11 ! 1I II I ПрНрО.'\IЩ бројен и. ТЈКI\И Щl је т 2
< ,,2, lыје
о'
"
'Ј ему С)' 1/1
11
/lllрl1рОД
/112
=-
2 ПО:ЩТИЩШ Р~IЈ,11О11;tд;tН
"
број ЩIII.11 ОЈ\ Ј, 1[1111 је трсБЈ,1I) ДОЮIЗЈТII.
Пример
111'11
3
Кваураm рmЏШН(/Лl/оr броја мањеl
09 -1
је рационаЛf1Н број већu
09 1 1/
кваурmп неlаmшmоf
раЦJlО/lf1лноi бројf1 оеl,еј 09 - 1 је йОЈIII7iIIl1ШI рационалан број маЊIl 09 1. ДОIIОЉIIO је IНJ:-II\ЈПI се НЈ IIPL'ГXOIIHJ ДОЈ npllML'pa 1I 'II!ЊС1l!ЩУ да су IшаДРЈТII суrrротни х рационалних број~uа је)lнаки. Може Ilам помоћн )ј JlредстаllJl.~ЊС РШ.\IIО[[аЈ[IIИХ
А
( а)
•
в
•
IН)
6pojcl!J
( Ь)
•
11;1 6ројСlllюј нраl\ој (СЛ,
N(
• •
о (О)
Ь1 )
1).
м (а 2 )
•
1( 1 )
• Слика
••
1
На ОСI!ОВУ датих ] Iриме ра, уз до п у н е да је квад рат б роја О једн ак О, KualI paT броја и квадрат броја
- 1 једнак 1, можемо
1 jeд ]~ aK 1
наведсно пр и ка заНI користећи појам а п солутне вред
ности раЩlОналног броја. На тај 1-I<1'IИН налазимо да је таЧl!О слсдсће тврђење.
KBtlgpam рацuоltалltОf броја
'тја j~ аQсолуШltа вp~9"ocт ве"'а
09 1 oeliu је оу 1.
Коаураm
Р"'4110llаЛ1l0r броја ,,"ја је апсолутна вреуltост МаЈЬ" оу 1 М(НЫ' је 09 1. Коаурm71 рацuонаЛ1l0f броја 'тја је апсолушна
ope9ltocQl јеУllака I јеУl/ак је 1.
у преТХОД IIl!М раз рсдима решавали смо једначине и У'IIIЛИ шта је скуп решсња једначltне.
Сада I\емо рсша IЩТ]! јСДl l а 'lИ НУ х:2 = 1 У скупу раЦИО ll алних бројева,
Приме р
4
J-I(j~1I скуп
S сm.IХ раЦIIОI/(/Ј/l/I/Х
бројева ,щјu је кваураm jeglltlK 1.
ЊЈ. ОСНОIJУ доказаНО l ' тврђеља о Кl'ltlДpaTY рационалног броја 3јКЉУ' l ујемо да:
1о раЦИOllаЈI IIИ бројСII~1 су кваДраТ] 1 всhи од
'[ 11;01 је а[lСОЛУТНО1 вредност већа од
1 не I1Рllпадају CKYII YS (IЫIXOВlI
1 не S ( Њ IIХ О ВИ су квадрати маљи од 1); З О бројеUIl-l н 1 ПРIНlаД;lју скупу S ( то су раЦIIOЩ\Л I НI бројеВII 11 квадрати су им једнаки 1). Доказали смо да ј е S 1-1, 11. 1); 20
раЦИ ЩЕаЛ IIИ бројев и 'шја је а п солут " а вредн ост мања од
припадају ску пу
=
Сагласно раније наученом, ми смо у примеру 4 решаваllU jeglJa'lImy:il налних бројева и 113ШЛ II њен скуп реmења УОЧ3lзамо да јеДН;:Ј'lина х:2
Пример
=
S=
= 1 У скупу рацио
{-1. 1 Ј.
а , где је а рацноналан број:
5
РСIIIII (у скупу рmЏlOllаllllllХ бројева) jeqHa .ft/HY:
а) х'
= 9;
б) х 1
49 1 и)х =16;
]
=- ; 4
г ) х' = О;
д)х 2 =_1;
25
П ОСГУ ll ају l'l Н lI а еЛ И '1 а1 1 lI а'I И II као [IР ИJlИ К ОМ ре ш аван.а I-I р име ра
а)
ску н ре ш ења jeJtHa'IIII[C i2
:::: 9
је А
ђ) x'= - ~; ,)х'= -5 .
=
4
уве равамо се да:
{-з, З};
б) СКУП рсшења једна'lIше х 1 = ~ је В=:{ - ~,~};
в) скуп рСlllсља;СДllа'llIне r)
због
x1
=~: је c={-:.l};
02 = О, број О Ilрllпада скупу решсн.а те јеД l lа'lIIне. Квадрат рационалног броја
p33JIII'[IIТOГ од н уле је позитнв,Ш рационалан број, па IIllј е решење јеДllаЧIШС. Скуп
ре lII с ња јсдна 'l нне х? д)
= О јс D = {О};
квадрат било ко г раЦI10НaJlНО Г броја је неllе гапшан рацион ала н број, СТО I'З не посто
ј и (у ску п у раЦИOll aJI lНlХ бројева ) решење јСЩlа'"НI С х? пра за н , Е
=0;
ђ)
ВИДН ОД['ОIЮР под д);
е)
UIIДИ ОДI'О IЮР под д).
= -1, па јс ЊС I I скуп
решења
< О;
1о 20
нема решења у скупу рационалних бројева ако је а
30
има д ва решења ако је рационалан број а 1103ИТЮЈан и уз ТО је а квадрат неког рацио~
има јединствено решење, број О, ако је а
=
О;
налног броја " а =,-2. Та два решеља су супротни рационални бројеви (једнаких апсо лугних вреДIЮСТI1 )
-'
и
'.
НаПомена. - Који је од ова два броја неIЋТlIван ,.\ који познтиван 3<1811СII од 311ака броја
'.
Остаје отворено питање уа ЛII јеgначиllа х2 = а '.IMU рационална рещ ењ а за сваки Позит иван рm{I/Оналан број а. О томе ће бити ре'IИ касније.
"
Задаци 1.
Њр,чун'ј бројеве (2,1)', (2,2)', (2,3) ', (2,4)', (2,5)', (2,6)', (2,7)' , (2,8)' " (2,9)' и у вери се да је сва КII од њих l'Юлазећи од другог веhи од преТХОЩIОI '
2.
СDl1 су всћи ОД
4.
Израч у на; (0,2)2, (0,7)2, (1,2)1, (1,5)2, ( 1,9)2 И у ве ри се да је свак и од Т IIХ бројева већll од претход но •., ПОЗlIтнван и м ањи од
3.
11
4.
Њр,чунај (_2,7)' , (-2,4) ' , (-2,2)', (-2,1) ' ; (-1,9)' , (_ 1,6)', (- 1,1)', (-0,8)' , (_0,4)' , (--0, 1)' . Увери се да је свак и од бројева MaЊ~1 од прет ходног полазеilи од дру.'ог, г'рва четири већа од
4.
4,
а следећих шест позитивни и маЉII од
НаlјИ скуп свих рационалних бројева чији је квадрат једнак: а)
9 '1 ) - , 25
б) ~;
4;
9
5.
Реши (у скуоу Р~ЩIЮllалних бројева ) ј ед наЧ IfIlУ:
а) х1= 9; 6.
6)
х 2 = 49;
11)
16
х!
= 25.
36
Реши следеће јсдначин е :
а ) 5х2
7.
4,
= 20;
б) 5 (х' - 5)
= 20;
П роиз вод решења јед на' l ине о)
7
49
25
3
7
4
2 = I је: 5
_х 2 _ _
7
7
,
5;
В) -
5
4
в) - х 2 =1 -
б) - ~ ;
;
'1 _ _49
О
25 '
д) о.
Заокружи СЛОВО II С I'IР СД тачног одговора.
1.3. Квадратни корен Нека је а
:х2
=а
> О,
Йрll цему је а KBagpam некоТ рацuоналноr броја. ПОЗIll71U8НО решсlЬС jCgHQ ' fIIHC
називамо коаураШl1и корен броја а. Означавамо Та са -Ј;;. Решења те jCgllQ'lIl//C су
бројевll -.ј'"; u -,,/~.
Пример
1
Изра'IУllај KoagpamHU корен броја: а) 36 ; 6 ) ~; o)~; г) 2,25. 2S а)
број б)
~
6. Зато је -.,/ 36
Како је ~ = 25
xl =
r,)2, кво.дратни корен броја 5
5
5
11 I =
~ 25
1 2S
је ПО;;lИТИВНО
ТО је
решсљ с јеДН
~. 5
Како је ~ =[~)2, кщщратни корен броја .2.. је ПО3IJПl1llЮ решење једнаЧlIIlС 16
6 2,
=6 .
х2 =(~)2, а то је број ~. Зато је В)
16
Како је 36 = 62, КП<1ДР"ТIII1 корен броја 36 је ЛО3ИТlШНО решење ;еДН<1"lIне
4
16
),"1
= _9 , 16
а то је број
[' Ј
Како је
1,52 = 2,25.
квадрат ни корен броја ~
х2 = 1,52, а то је број 1,5. З н а " И ...ј 2,25
Пример
2,25 је lТО3ИТИВНО решењс јСЩlrl'JI1 н е
= 1,5.
2
Нађа ,,,уа решења jeglla'lIJlle: а)
х'
:::: 64;
п) х 2 ::::
49
0,04.
а) Имамо да Је ~ =(~y ЈеДllа<Нlна гласи х 1 =(% У ЊСНО ПОЗИТИllНО решење је број
Ж =~. а скуп решењаје А = {-t·щ} = {-Н} б) Имамо да је 1~1 =( 121)2. Зато једначина гласи х 2 =(12})2 Њено ПОЗИТ1fВНО решење је
број '/, 1421 =121 ,а скуп решењаје B= {_ 11! 1214 ,1121 ( 4 } ={_~.~}. 111 1 п) Им амо да је
, /0.04 = 0.2,
0,04=0,22.
Једн а чин а гласи х:2
= 0,22.
Ј-Ьено позитивн о решење Ј е број
а скуп рсшсња је С = {-\!0,04, \,!0, 04} = {-Q,2; о,2}.
Подсетимо се да је аiiсолуiП на
једнака броју - 11 ако је 11
Пример
< О.
opegHocm рационалног броја а јед нака броју 11 ако ј е
Означавали смо је са 1 а
11
2': О и
1.
3 ~
Ogpegll скуп реll1 еЊII jegHII'IIIHe х 2 ::: (/ 2, 11 број '\,/а 2 ако је : а) 11
б)
= -4 ;
2
а ~
.
г ) 11:::
7'
д)
- 2,75;
]
(/:::: - - .
5
а) Једначина 1'Jl ас и: .~ :::
(-4)1 = 16 ::: 41,
па Је скуп решења А = {- \/42,\/42 } =
{ - 4,4 } .
l3идимодаје \/(- 4)2 =4= 1- 4 1; б)
х'~ Ю, В~ {-Н!, ЈЮ ~ ~ ~
В)
x' ~HJ ~ 2: ~ Ю
с)
х ' ~ (-2,7S)' ~ 7, S625 ~ (2,7S)', D ~ {-2, 75, 2,75), ~(-2, 75)' ~ 2,75 ~ 1 - 2,751;
д)
х' ~ (]J" E ~ {- ~)}, I(~)' ~~~ I ll' 5 55 ~ 5 55
Уочавамо да је у свих Ј1ет СЈrучајеl.lа [О
а > О, онда је
(/2
случ ају је ,iг;;2:::
>0 11
"\/(/2 ::::
а 1. Ово важи у општем случају. Заиста, ако је:
И пози тивно решење једна< r ине х 2 ::: а 2 једна ко ј е а
(=1 (/ 1); у том
1;
20
а ::: О , о нда је 11 2 = О, једначина х 2 :::: а 2 гласи
ЗО
ТОМ случају је )а 2 :::: ,'го ::: О; а < О, онда ј е а 2 > О 11 ПО3НТИIНЮ
il ::::
о и има тачно једно решење, број О; у
решењс једн ачине
il :::
111
једнако је -а (=Ial); у том
Г
случају је "\I ;;; = I11 1. На тај на'ши см о се уверю1И да важи следеће. KQagpamuu кореll кваgраtПа било које, рar~ионалlJОf броја jegllaK је аUСОllутllој opeglloсти тос броја. Дакле, за свако а Е
"
Q
важи
Задаци 1.
З аокруж и квадратни корен чија је вредност иео број: ,~
г--
,- -
10 ',./25, ,\1250, ,i2500;
2
О
Г
г-
,'----
,
'
,\'9 , '\:90, \:900, , 13 60, ,\' 81 .
И з рач унај квад раПIII КОРСН број а: а )
2. 3.
И зрач унај квад р
4.
Нађll скуп рСlllсња јСДIНl 'l ин е: а) х 2 =
5.
Наl)и скуп РСШCII, а јСiЏI
6.
Н;1ђи скуп рСШСЊ;1 јСДllа'lине х2 = а) а =
3 5
;
24
б) а - - '
- 19'
<1) а
= -0,14;
б)
(/ = 3.27;
2,56;
±; б) 9
= 0,36;
(12 11
х2
.Ja
г ) 0 = 3;
>? =
(/1
-..Ј а
В) а
== - 2,25;
И број
4
= 1,69;
1
~
2
Ј')
д) 25 81
5,29.
49
б ) х2
број
В)
= - ; [Ј) х 2 = - ; г ) 36 25
7 11) 0=-16;
J-I аl)и СКУ ЈЈ ре ш еЊ;1 ј еД llачJtllе
7.
36 б ) 3,61 ;
г) 64; 9
_16 ; 49
В)
б)
49;
В) х2
х
2 _ _
_16
о
81
= 5,29;
[.) х 2
= 3,6 1.
је: ]1) (1 = - 5.
;1КО ј е:
(/ = 6,54 .
А ко је (/ == - 2,86 н Ь = 3, И:lр;1ЧУН
8.
4
И :lраЧУ"Јј: ;1 ) \{0. 0225, \/2,25, . /. 22500 ,
9.
.. )
:225 \1169;
г,;
11
~
6) , 36 +\,- - ,; 2,25; '4
' 9 '9 ' 16 ,' 16 I I /1+ - -1, r1 - 11 + 11- +\:"1 - I \ 16 \ 16 ~ 25 125 ·
1.4. Постојање ирационалних бројева l3идел и СМ О да је једно од ОС IЮВlН1 Х с војСТ
II за6 раllој јСДИНИЩ1 мере за ДУЖИIIУ изражаU;l МQ дужине НСЮ1Х ДУЖIf бројС\Ј ll ма
-
ЊI1ХQНИМ мерним бројеnима. Били су ТО позитивни бројСIJI1 из скупова број С Ili1 које смо већ корИСТИЛll (природни бројсви У млађим разрСД ИМ;l ОСIЮlше ШКОЛС, а
ПО3~1 'Г IШНI1 рационални бројеви у петом и шестом рз з реду). Да ли се, [lрИ и эабравој јеДИll ЩЏI мере за дужи ну, свакој дуж и може ПрIЩрУЖИ-
1'11
љe ~1 мерни број? Д
обезбеђују? СлОЖ l1tl емо се да је наш е настојање да ДУЖИНУ сваке ДУЖJl
•
А
а
А8 = асm
И3р
р е'[ С I Ю какв им бројем. Управо то ће БИТI1 предмет Ilашсг даљег
а'
II llТсресовања .
У чил и смо, IIСТО т ако, да фшуре у равпи имају поuршину и да их ("ГС rЮВРШИlIС), па ~ЈСПI начин, при и за браној јеДIIНIЩИ ме ре за повр ШИII У може.\о1 0 и зра 3 11 Т Н б роје вима
-
мер lЩМ бројевима ЈЫ I Х ОВИХ
O IHK<12
•
в
Р =а 2 сm 2
ЛОВрШИlIa. Опет су то били до тада упознати позитивни бројеви. Ако је при томе фигура квадрат 'ЈИји је меРНII број дужине странице, при изабраној јСДl1llИ ЦИ мере за ДУЖЮI У, јед lIак а , онда је мерни број ПОDршин е квадрата, н зраже н е у ОД I'оварајућОј јеДИllИЦИ мере за
ПОВРIIIИНУ, једнак (/2 (сл .
Пример
2).
1
ПРII з(/gаt1l0ј јеВ/lllиЦII м.ере за gУЖllНУ, нацршај шроу;ао 'шјll је MCPII/J број 1l00РIIЩlfе, 11рu
og10oapajyfIoj јеg/ЈНtЩllмере за йовРИIIIIIУ, jeglUlK
1
JcДllaKOKpaK ~j t' l рrшоугли троугао АВС има јlOВРltнtllу једнаку
'[2]
I .
2
Ла 6 11СМО мало tJоједностаВНЛII излаган.е, нећемо у решењима и сти
А
Ц,1Ти IЏI се ради О мерним бројевима при изабраним I'IJlИ ОД I 'овара
jyl'lltM
С
D
2
в
јС!О1111щама мере за дужину ОДНОСНО мере за ПОВрШI1НУ.
Пример
Слика
2
НеК(1 је з(/gаalа jegulI/JI~a мере за gУЖIIНУ. Нацрmај
Kaagpam
•
чuји је меРНll број повРlllllllе, Йрll ogl08apajylioj јеgllНlЩ/lмере за Й0вР"IlIllУ, јеУllllК Квадрат
3
• N
2.
HMNCcc, О 'IНгледно, разлаже д .tј а l·оналама СМ 11 BN
lIа 'Iст t tри ПОДУД'lрн а ј едн а кок ра к а пра воугла троугл а. Сви су о н и l'IOдуда рни с јсднако к ра ки м п раВОУ l'}I ИМ троуглом АВС
( IIО IlРIIIIIНС
1),
па је површи на квадрата BMNC јсднака
C~-----:+-----7 M
S
2
4Ш=2 Стра llИIЏI ВС Кl1аДрат а те дуж ин е
jeAI I
једнак х2, lIа је х2
BMNC
има дуж ину. Ако је мерни број
Х, онда ј е мерни број њеl'Оl3 е ПО ВР НIИI !С Р
= 2.
Дакле. IЈОстоји број чи ји је квадрат једнак
А
в
Слика
2.
4
Пример
3
!10 /{(/ЖII уа не постоји раЦIIОII(1l1ЩI број чији је Кбаgра(i1 јсунак
2.
[[реТIIОС1'авнмо да постоји раЩlОналан број, Т<1кав да је његов квадр ат једнак
број ~, Оlща је 11 квадрат броја
_
11
111
2. Ако је то
једнак 2. Јещltl од та двз броја је 1103 111'IIван. Нека је f
q
1/
раЗЈ/омак који је јед / ,ак том IIOЗIIТИВНОМ броју
11 такав је да су бројеl.lll Р н q узајаМIЮ " рости
природни бројеl.l11. Онда важи
Ю=2' ОД " осно
р2
= 2. ч2 .
Дакле, квадрат 1I1'I11'0ДНОГ броја р је П
2k,
где је
k
IlрИрОД ан број. Онда 113
р2 = 2 ч 2 l,ала311МО да је ОДIЮСНО
q' =
2k'.
q бити пара! ! број. Нека је q = 2/, [ 'д е је / природан 6рој. k и 1 природни бројеВII, следи да је највсћи з аједнички деJlIIII<Щ бро NZ!)(p,lf) ~ 2. НО, то прОТИl.lреЧII преТПОСТ<ШЦII да су р 11 q узај'IМНО
Дикле, [jl је пnраl! број, па МОР;I и И3 Р
= 2k,
q = 2/,
јеви Р и ц 6ар
2,
где су Дакле
' IРОСТИ ПрllрОДНИ бројеви. Тиме смо доказали да не посгоји рационалаll број 'lIIји је квадрат једнак
у ! 'Iримеру
2.
2 СМО видею"! да постоји број чији ј е кщщрат једнак 2. Према примеру З T
није раЦИОН'"lЛан, што 3H3'11I Да lюстоји број који није раЦИOltaлан. Ова саЗllања можемо IIсказати и на други I lа'IИН.
П остоји ПОЗIIТИШIН број који је решсње једна'шне х? = 2, који није рацион алан. 06елсжн мо га са
r
·,./2.
,а Лример4 ДОКОЖII уа не IIOCй7ojll рацuоналан број чuјu је КбаgраtТi јеунак 5. у петом Р'lзреду смо УЧIIЛИ да су кuадрати природних број сва llСЉI1UИХ са 511 caMI1 ДСЉIIВИ (;15, а да Кl3щраТII природних бројева који нису деЉIШИ са 5, и саМ I. IIИ СУ ДСЉИIНI са 5.
ПретпостаВIIМО да пос-гоји рацноналав број 'lИји је квадрат једнак
5
и .' с ка је Е.. такав поq
знтипаll раЩ1Оналан број ( ра3ЈlOма к ), при чему су р 11 (1 узаја м но 11 РОС-I"I 1 ПрИрОД!1I1 броје /Ш. Онда ваЖII
)' (E q
= 5,
односно
р' = 5·
'1'.
Број р2 је дељив (ПРОСТИМ) бројем 5, па мора и број Р бити дељив са 5. До1Кле, постоји природан број
k,
такав да је р
= 5k. Онда мора бити :
ОДНОСНО
1Ј2 Сада,
q
Ila
исти начин, следи да је 11 број
q
= 5k2•
д ељив са
5,
па постоји природан број
= 5[. 3акл,У 'l ујемо да је NZD(p,q) 2: 5, што IlрОТИllре' I И
[,
претпост авци да су р и
така в да је
1/
узајаМllО
прости l1рирОДНfl бројеnи . Д а кл е, не постоји рационала н број чији је квадрат једнак 5.
r.J Да ли 3HaTe~ До с а зн ања да постој е бројев и који нис у ра ционалн и ДО IШIО се да вно . Ст ари Гр ц и су се у то увер ил и и та је 'IИ lhен и ц а и за зв ал а вели ко р аЗО'lарење . То се пеСИ JlО у шестом веку пре Христ а и вез уј е се за п итаго р ејц е, уч е ни ке, вел и ког м и сл и о ц а П итаmре.
м Задаци 1.
Док аЖ 11 д а Щ' постоји рационалан број 'Iи ј н ј е к вад рат ј ед нак
3.
2.
Докажи да не пос тој и рационалан број 'l ији ј е к вадрат ј еднак
7.
3.
Докажи } (а не постоји рационалан број 'l и ј и је квадрат jeJl I-laК
6.
4.
Да)l1 1 једначина х 2 = 5 има решења у СКУ I IУ ра l \ИО I ЫЛНИХ бројева? З ашто ?
5.
Да ли јеДf-la'lИl l а х 2 = 6 има решења у скупу рационалних бројеu а? ЗаIЈЈ ТО?
@
ИЗДilој скуп
{ - 2,
а ) Р<1ционаJIIШХ бројева из скупа
6)
ирационалних бројева из скупа
,
З
, /0,4,
{-i, З-,)4 ,
"4'
4
3
\/0,9, -
'\,/З, \/Iо};
В) природних, целих, р а ЦllОнал l lИХ и б р ојева који нису рационални И3 с купа
{I;, 5, ,/6, 7.
о, ,:'11, 3,14,
-'.:' 25}.
У скупу нрирОДНI1Х бројева маљих од ра l(IЮllалан број .
]0
одреди оне бројеве Чl1ји ј е квадратни корен
1.5. Реални бројеви и бројевна права Научили С М О да поред рационалних бројева постој е 6 роје LlИ који
н ису ра ци о н алн и ;
наэ uаl'lСыо и х uраЦUОIIQЛIIU бројеви. На тај начин н ал а з и мо Д;1 је број 'шј~1 је к е адрат једна к
2 ираЦИОltaJl3Н , број 'Iијll је КI\aдpaT једнак 5 ира Цlюн ал ан , ... ЊlCлу h уј емо да "Р;Щ IIО II :lJl ни х 6роје uз има бескона ч на мно го. У скоро ћемо се у то увер и т и , а зн аТ IЮ к ас н ије, у с ред њој школи , до кnзаh емо да их има Вl l ш е него ра цио нални х б ројева. Нала з и м о се опет у већ поз н атој ситуацији. Скуп б рој ева који м се КОРИ СГИ МQ морали СМО прОШИРИТ I-t И У њсга у вест и нове бројеве, овог пута ираЦII О llзлн е б роје ве. Тако СМО пост игли да , п ри и забр аној ј единици м ере за дуж ину, м ери!! број ДУЖ lIн е сва ке ДУЖ I1 буде
заиста бр ој. ј ед начин а х? = 2 и љој сличне једнаЧl1l1С и м ај у РС[ [Јсња у [[ РОШll ре н ом скуп )' број с ва и ј о ш М IIОI'О т ога. О бј СДIIЊ
1..01311 ,
['lр О Шll ре~ш СКУ II бројева
добијамо скуа реаmшх бројева. Њсгоnи су елементи реални б рој ев и. Оэ н а Ч
елеменпtма ( с абирање, МНQжење, ("бити мањи ",
... ) и успостављали од носе и зме ђ у fl, Ј I ХОIJlt Х слеме н ата .. бити в е lш ", "бити једнак", ... ). Бројеве смо та кођ е пред ст а [lJbаЛ I1 на броје
виој IIравој ( I1)[И ПОJl у правој ) , Ilридружујући их та'lкама т е ['Iра не, а п отом се ~j бројеrшом Тlpa B a M к ори стил и 11РИЛНКQМ извођења нских опера циј а I1Л J.t уо ч ава њ а Itск lt х Од1l0са у ОД ['оварај ућ е м ск у п у. кре н ућемо од приказивања реаЈtЮI Х број еВ
-
Научил и см о к а ко се 11 а задатој броје l! ној пра
вој при к а зуј у р
мере
за
ДУЖ IIII У
( и за бра ној ј едини'тој ду ЖII )
0 1 рацион ал н о м
број у
•
о (О)
А ( а)
1( 1 )
а ( а >О ), ОДl'0 8зра 'га 'l ка А,
Слик а
так в а да ј е а мер "и број ду
5
ЖИ I [ е ДУЖIl ОЛ , Приказаllем о како можемо задату nуж r1ОдеJlИ1'l1 на три однос н о 11 ет једн а к и х дел ова.
Пример
I
З(/g(/ mу gуж i10gеЛ II 1/(1 mpll jegHaKn gела. Нека на м ј е :~ aдaTOI ду ж АВ и н е ка је Лq ПОЛУПр
A q прОИ :i IЮЉ II У дуж АР = d [f '[ е ка су Q и с тачке 1101 A q, TaКl~e ДrI су Р и Q Ji з м с ђу А Н С и
с
'1
AP = PQ = QC= d. Ду ж АС је та' l ка м а Р 11
Q п одељен а на три једнака N та ч ке дуж и А В, такве да су ДУЖII РМ 11 Q N lI аралелн е са ВС ([ нека су R и S тачке дуж и В С, TaKue да су ДУЖ II рn 11 QS паралeJI н е са АВ. Збо г
р
дела. Н е ка су М и
А
м
N
В
А Р = PQ It РМ 11 Q N, РМ ј е средња линиј а тр оугл а NQЛ ~I ва ж и А М
= MN
=Рт. При то м е је Т средиште
Сл н ка
6
..
дужн
NQ н прссечна је тачка дужн NQ н рн., аДНаНа дужи NQ и MS. З60Г PQ := TS 11 QT 11 СН, средња ЛИlш ј а троугла RCP и важи РТ =: TR = MN. Четвороугао NBUT је Ilаралело грам, па су му наспрамне странице једнаке, NB = TR:= MN. Доказали смо да је ЛМ = MN := NB, што значи да је тачкама М и N дуж ЛВ подељена на три ј еднака дела .
QT је
2
Пример
3UУ(Ј[иу gуж йоgелu на Пет јеунаких gслова . Нека је з адата дуж ЛВ . Бирамо IlОJlУ l lраиу
дуж dT
= 5d).
d
Aq
q
с
и
I](;'Т I lута на
Правс, које садрже деане та 'l ке
полуправе Лq, паралелнс су са СВ и одређују на дужи АВ тачке М, N , Р и ЛМ
Q,
такве да је
d
1 = MN = NI' = PQ = QB = - ЛВ .
5
А
в
Слика
Пример
7
3
Оуреуи на ј(/у(/mој 6pojeal/oj йравој шачку која оуЕовара броју а) ~ ; б) 3
2 3
Поделили смо задату јсдиничну дуж тачкама М (~J и N( ~) IЫ три јсДнака дела. Затим смо дуж ОМ Гlренели пет пута у позитивном смеру бројевне осе ЈЩ бисмо добили тачку
А (~) , па два пута у негативном смеру осе, да бисмо добили та'lКУ В( - ~ Ј.
в
•
(- 2/3)
•
•
..
.
А( 5/3)
СЛ Ј1ка
8
Подсет им о се да с мо у п стом разрсду научили и да за свак а дпа разломка (сад бисмо рекли нен е.'ат ивна раЦионална б роја )
тметичка с редин а А =
а+Ь
2
),
{I
<
и Ь, а
Ь, постоји разломак А (на ПРl1мер, ИIllxoBa арн -
за које важ и а
< А < Ь,
Р<1зликује се од љих и налаЗl1 сс "из-
међу" ЊI1Х. Одатле смо эакључ"ли да су тачке lI а бројевној ЛОJlулравој које одговарају ра3ЛОМЦII М <1 " усто Р<1сrюрсђене. Ова смо својства у ш есто м разреду са'l увалll и за рационалне бројеве и бројевну праву. РеалllИ бројеви и бројевна права.
-
Скуп рационалних бројева смо IIрОШИрИЛН ''lа скуп
реалних бројева. Можемо ли реалне бројеве п р иказаТ II на бројевној правој? З l lамо да раЦl1Оналllе бројеве можемо, па преостаје да и ирационалllС б ројеве I1р"кажемо lIа бро ЈеВНОЈ
Ilpa BO).
Пример
4 D
с
"
НаЬн /Ш зауm«vј бројевној йравој тацку М којll IIМII познтШIIIУ
1\
КООРУИllml1у u 9а је К8а9раш мерно, броја gУЖUIIС gУЖII ОМ јеУII{/К 2. Видели смо да дужина д иј,н'онале квадрата, чија ј е дужина стра нице једнака
1
11ма траже но својство . НСКа јс
QfCD
квадрат и
н ека је М т а 'lк а на t'Ю3Н ти ВlIOМ делу бројСВIIС правс која tl риtщца о
кружној линиј и
k(O, ОС). Како су дужинс ДУЮI ОСи ОМ ј еднаке, Mep llI! бројеllИ, при II забравој јеДИ Н И 'lнај дуж 11 0/, јед наЮ1. Стога ј с квад рат ме р"о г броја луж ин е дужи ОМ ј еДН:I К 2, па је та ко olIpct)CII :1 Ta'I Ka М "раже на Ta' IKa. ЊН ХО ВII су
о
м
СJlика
9
КООРДШlата тач ке М је ирационалан број. На тај наЧИII смо јсд н ом ирационалном броју ПРИ ДРУЖИЛl I одреl)ену тачку бројевне праве. Поставља се п и таље да лИ "РОНЗВОЉIIОМ реал ном број у, б и ло да ј е он рационалан или ирационалан, можемо пр и дружи т и одређену тачку бројеВIIС праве. Onl'OBOP је: аосmојu. ПретпостаВ~I МО да н ам је задата бројевна права и збором таЧ:1ка и забр али јеД ИНИ'НIУ дуж, дакле, јединиuу мере за дужину . Н еК:1 ј е
{I
0(0)
11
1(1).
ТI I МС смо
произвољан позитиван
реалан број. Постоји 1101 позитивном делу 6ројевн е пра ве Тi1'IIЮ једна тачка М, таква да је M e pНl1 број ДУЖИliе дужи ОМ једнак 11 . На тај на'llIН I1РОИ ЗВОЉНОМ ПОЗИl'иtJllQМ реал ном броју одговара потпуно одређС llа тачка М бројевн е I· , раве. Број
(I
је ЊСII:1 координата.
На исти начин lIа који смо то У'tННИЈНf у скупу рационалних бројсва можемо увесги и нега тив н с реалнс бројеuс као координа те та чака које припаД:1ју нсгативном делу 6ројеВIIС
п раве. Ако су та чке бројСI1НС ' Iраве Т и нату, реала н број ПlШ.I СМQ t
t, онда
1"' симетричне у односу Ila тачку О, и т 11М;) коорди - t. Ако је при томе t аОЗtlтllван реалан број, супротан, неlаШIIВа1' реала ll број, 1"111шемо -1 < О.
Т' и ма координату
> О; о нда је -t њему
•
т' (-
,)
•
о (О)
I( I )
•
т
..
( ,)
Слика
10
Ако је М произнољна та'lка позитивног дела задате бројевне пра ве, онда дуж ОМ има од ређену дужину, 'ы тиме и ме рни број дуж ин е, а то је одређени позипшан реалан број а, па 1'ачка М има као своју координату ynрано тај број а. Ако М прип ада ие l'а1'ИВlIOМ делу бројевне пране, њој симет рична 1'ачка М' припада позитнвном делу 6ројеnнс правс и има
као своју координату одређсни позитиван реал ан број, рецимо Ь. Онда
1'a'IKa М има као
своју коордииату њему супротан реалан број -Ь. На ОСНОВУ ИЗЛОЖСI!QГ заКЉУ' lујемо да:
10 сваком реаЛ1l0М
броју можемо аРU9РУЖllmu I,Ја"НО је9"У та"КУ бројевllt! араве; тај
реаЛlIll број је КООР9",mmа те Ша"ке;
20 свакој
mаЧКII 6ројеОllе праве можемо аРU9РУЖllmll mа'1II0 jegtll' реалm, број; та
mа 'Iка "ма као Сбоју
KoopgUllamy
тај реаЛfНl број.
,
с
Лример5 НN flОЗUШ/ШIl0м. gелу заgите 6ројевне йраllС lIaJ)lI шачку Чllјll је кваgраiП коорgшшше јеунак 8. ДОIIОЈЫIO је констр у исаТII квадрат ОАНС ч ији је мери и број ду жине странице јеД l l ЗК
2,
па Ilаћи
113
IЮ3ИТIIВНОМ
0(0)
АО)
1(1)
М(. Ј)
деЈI У бројеuне IIр:ше тачку М, такву да је дужииа ДУЖII ОМ јед нака дужиии дијагонале аБ
драт коорд ина те
'1'01' ЮЈ~рата. 8, јер је
Ta'IKC
М јсднак је
РОАНС
=4, РОРОН = 8.
Ква
, Слика
м Задаци 1.
Задату дуж подеш! ' Iа седам једнаких делова.
2.
Задату дуж поде)Н1 (lIа три на ч ина) па ш ест јСДli аких дел ова .
3.
Одреди на задатој бројевној правој тачку која одmвара броју: а )
3 _, 5
4.
Одреди на задатој бројев н ој правој та ч ку која
- - ,
OAI'OBapa
броју: а )
2
7
5.
Одрец и на Јадатој бројСRlюј правој та'IКУ која одговара броју: а) 6 11
6.
6)
I1
4 5
6) ] 1 7 6)
10 11
Одреди на Јадатој бројСВtlој правој та'IКУ М која има негативну КООРДИllату и кnадрат мернш' број а ДУЖИl l е дужи ОМ једнак
2.
Q
1.6. Основна својства реалних бројева и ДО сада смо у бројс в н е ску пове
п ети разред), скуп
Q;J
No природних
бројева проширених н улом ('I етв рти и
I I Сl lсгаl' ИIJНИХ рационалних бројева (пети разред), скуп
б рој С I.I:Ј ( шести разред ) и Скyn
цел их
z
Q рационалних бројева ( шести разред ) уВОДltЛl1 различите
ОДIЮСС и операције. При томе смо се руководил и принципом да у новом, ширем скуп у.
буду С
ску п а
Q;;,
N o>
који је подскyn
као елементе тог пр о ширено г скупа и односе међу њима и операЦllјс с IЫl ма,
lJаже својства која су важил а у скупу
No.
И сто то је морало да важи за елементе С""уI1З
,'I РИРОД НИ Х бројева прошире ни х н улом као елементе с к у па целих број е ва , за елементе скуп а I-Iене l'ативних ра ци онал них бројева као елеме н те скупа раЦИОllалних бројева If СЛ. БI1110 би неодрживо да, lIа прим ер , за сабирање целих број ева у за сабирање истих тих број ева као елемсната с купа Сабирање реални.хбројева.
-
Q
Z
важе нека правила, а да
важе нска друта праВИJlа.
Видели смо како сваком реалном број у мож е мо придружи
ти тачно једну т ачку задатс бројСIНl е праве. Задавањем тачака 0(0) и
1(1),
поред
ш то
Tora
смо тим е изабрали јединицу мере за дужину, та је права оријентисана. Смер од О п рема
f
је 110зит uван а њему супрота н смер је HelaffiuoaH. С ваком поз и т ивном реал liOМ броју р одгова ра дуж ОР
чији
ON
ј е мс р"и број ДУЖЮIС једнак -п и негати в но је ори; еНТI1Сана.
•
•
•
•
Р(р)
I( I )
0(0)
..
CJl II Ka 12 Нека је за9аmа бројеВlfа правll
11 нека су реаЛlIll бројебl~ (, 11 Ь, pegOM, коор(јflllllmе IЬCHIIX Ша'{{Iка А " В. ЗбllР реаЛНIlХ бројева а и Ь је KoopgllHQllla 5 крајlЫ! тачке S gУЖII 05, gобllјсuе НlIgооеЗllfJlI1ьем gyжu ОА 11 9УЖII А5, aogygapHC gужlJ. 08 и с ,,,оме jcg""ко орuјСIIШIlСЙllе.
Н а СЛ ИЦИ СМ О [lрикаЗaJIИ описано падоnезивање у сл у чајевима двс од МО['уће ЧСТИР li ком бllнације з накова пос матраllИХ са6ираl(а.
,.
..
а >О,Ь> О О( О)
л
(. )
I( I )
•
В(Ь)
•
S(, ) СЛl1ка
2·
13
а < О,Ь > О ј А (а)
I S(,)
ј О( О)
..
I I(I )
В
(
Ь)
uшка
14
АаСОllуmllО ореуll.ОСIU реаll110' броја
{
(1,
ОЗIшка
1а 1, 9ефllll.lШlе се "а уобll.шјсll. "(('lIlIl.
а, ако је а UозиffiUОall реалаll6рој
lal = О ,
акојеа=О
-а, ако је а
m:famlloall реа71аll број
Имајући у виду појам al'lсолутне вредности реално r број а можемо рећи да је:
]0
збир два позити[ша реална броја једнак збиру њихових апсолутних вредности;
20
збир два неrаТИI'Нlа реална броја једнак броју супротном з6иру њихових апсолутних
30
збир два реална броја раэли
вредности;
ност добијамо ако од веће апсолутне вредности сабирака адузмемо мању и даделимо
му знак сабирка чија је апсолутна вредност већа.
Скуп рацио н алних бројева ј е ПОДСКУ ' I скупа реалних бројева. Зато захтева мо да за саб и рање реалних бројева важе сва својства која су важила за сабира ње рационалних бројева .
1.
9ва броја сабирци
2.
,,+ Ь
За св(IКб 90а рещша броја" и Ь llостој" ,,,,аоа збир
који је реалан број. Та су
l1loi збира .
За свака три реаЛlIO броја а, Ь, с важи (а
+
Ь)
+
с
= а + (Ь + с),
1lI11l0 з,lU'Щ !Ја је
oaepOl~иja са6ирmьа реаll11l1Х бројева аСОL~ијаТИlIна;
3.
3а свака ува реаЛllа броја а
pOlba реmЩIlХ
1I
Ь важи а
+Ь =
Ь
+ а, mf710 Зltа'lJl У" је оuерOlЏlја
са611-
бројева комyrапmllа;
4.
Број О је ре(lлаll и има својство уа за СБQlЩ реалаu број а ваЖII
s.
30 свtlЮI perultltl број а nостојll реалан број, озuа'IUМО број броја а, такав 9а важи а + (-а) = о.
(1
ra са -а и
+О
=
а.
1I0ЗО(ЈIШО супротан
Наведимо нека својства РС
Зб/lР три реа1ll1O броја можемо ра"УIIlЈсаи mmф уа реgослеу oplUell.>rl oaepm~lIja ар"ла То1јавамо IImЩIМ Ilо;Uребrlма. Често се, такав збllР
]О с+ (а
+ Ь) =
(а
+
Ь)
+с=
UlIllIe
без употребе заfраgа.
(Ь+о) +с = Ь+ (а +С).
0
2 0+0 = а+О = 0
30 Сваки
реалан број jCA~laK је супротном броју љему
cynpOTHor
броја: а
Збир реаЛllоf броја а 11 броја -Ь, суаРОПlllО[ броју Ь је разлика бројева а
= - (- а).
11
Ь; ознака а - Ь.
у млађим разредима смо се уверили да се непознати сабирак, ако нам је познат зб ир и дру,· и сабирак, ра'l уна као разлика збира и П031 1 а"l"ОI' сабир ка. Уве рићемо се сада да ово сле дН И3 прихваћеШIХ "ра нил а за сабирање реалних бројева и сто га важи и у скупу реални х
бројева.
Пример
Ако су
(1
I U Ь iiРОl/JвОЉI/Ј/ реаЛН/l бројевll, уверll се ва важи слеgеће:
10 број Ь - а јс реl ,I,IС ЊС jeAl l a -IIПIс х
20 а ко ј сх + (/ 10
= Ь, о н да ј ех = Ь -а.
Замењу;у l'l l1 уместо х број Ь (Ь
111'1'0 31101 '111 да Ь 20 Ако је х + (/
а)
-
+а~
(Ь
+а
= Ь;
а добијамо да је х
+
( -п ))
+а
~ Ь
+ а ј ед на ко
+ «-п) + a) ~
Ь
+ о ~ Ь,
а јесте ре lll е ње ове једнаЧl!не.
= IЈ, онда је: (х + а) + (-а) = Ь + (-а ) ,о дносно, х + ( а + (-а » = Ь - а, х + О = Ь - а и коначно х = Ь - а,
Овај пример нам показуј е следеће ,
Ако су а
11
+
Ь аРОl4эвОlЫIU рсаЛНlI бројевu, онва јсgна'lIша х
(има јсвиI/сmвсltо) рсщеlЫ у С"Уау реалних бројева; то је број Ь
И сто важи
3<"1
ј еД llа 'IИ II У а
+х
а
-
=Ь
IIма Rlочио јСВllО
а.
= Ь (зашто?) . Напом е llИМ О, исто тако, да смо овде број а
., пре I IСЛИ" с lI e l~e на деС Il У стра ну једначине и при томе му п роме нили з нак . Даље
heMo .. еСI'О К ОРИСТИТII тај l'IOступ ак ( .. пре'lOшења уз мељаље 3 I1 зка") ПРИllЮ.:ом реша ва ња , еД Н3'lнна .
ri
Пример2 Нека је а ирацио налан број Il r f1рОlf3бољан рационалан број. ДокаЖII ва је збир (/
+
r IIра
ЦIIOlIaЛ(/1/ број. З бир диа реална број<"l је реалаli број , Он може БИПI или ра ци о н алан IIЛИ ирационаJl а н, ГlреТ Il ОСТ<ЈIIИМ О да ј е (ј
такви ,Џ1. ј е а
+ r = 111
,
+r
раl(llOналан број. Онда постој и I\ ео број 111 и l 'l риродан број 11,
Како је r рационалан број, постоје цео број р и Ilpl'lpOlIa H број ц,
"
таКЩI даЈе
r = Е, Зато је '1 111
а + - = и
Број ри - цт је цео з број
qll
Р
- ,
q
р
т
/Ј/Ј - ЦIl1
а = - - - =
(f
11
.
(111
је природан , па би под уведен ом IlрСТllОста rltЮМ број а био
ра нJtОНЗJl а н . Н о. то ГlРОТ Иllре -!Н - l иње НИЦ~1 да је а 11 ра ци о наJlан б рој. Дакле. з611 Р а
+ r је
II раЦl !О нал аl l ,
Овим примером н аслу h ујемо уа ирационалних бројева има беСКОllаЧIIО рационалном броју можемо додати ирационалан број ).
""Hofo (сваком
Мllожсње реалних бројева ,
-
ОпсраЩlју множења рационаJJlН1Х бројева смо Y'IIIJНI И ТОМ
ПРIIJJIIКОМ смо ЈЈР ОИ3ВОД два позитивна рационална броја ПРllка зал н и као ЈЮВРШИНУ IIраllОУl'аОllllк а 'Јији су MepH ~1 бројеви дужине суседних страница ј СД llаЮI тим бројев има, I l ослужи l lСМО се TaK BII M ПР~ICТУП О.\1 да бисмо уВeJlИ појам М lюжења ПОЗ lt Т ИВНИХ реалних б рој ева, Треба ЛlI наl'лаС IIТИ да при томе полази мо ОД претпостаВ Ј<е да ЈlраВО У l'аоник има IЮIJРШI IН У 11 да се она мери ОДl'Oварајућом једиющом мере за rЮНр l,ШIН У,
Нека су заgаmи UОЗl,mШJlJи реаЛlfи бројеви а
11 Ь 11 нека је правоуlаОlfllК АВСО l1IaKllD 9а су мер,ш бројеви cyce9ullx сшраШlЦа АВ и АС бројеви а JI Ь. П Р о l' З в о 9 бројева l' " Ь, ознака а . Ь, је flОЗUШllваu реалаll број jeylltlK мериом броју flовРШЩlе apaooyfaOHJlKa АВСО, ари oyfooapajyhoj јеУЩIUЦII мере за БОВР"""'У. TaKOI}e, усвајамо да је: (-а)·Ь = Ь · ( -а) =-(а ·Ь)
11
(-а) ' Ь ::: Ь ' ( - а) ::: -(а ,Ь)
11
ОИQЮНl 11<1"1111 увоl)сња појма производа реалних бројева OMOI'yIlaBa да се сачувају сва OCllOUHa својстна операције множења у скупу рационалних бројева,
6. За СВlII!а ува реална броја а и Ь аосmој" 1fJIIXOB производ а· Ь кој" је реаЛUII број. Та су ува броја Чl1НЈЮЦИ Шоf аРОllзвоуа.
7. За свака Шрll реалllа броја а, Ь, с важи (а· Ь) . с == tJ • (Ь . с), што Јна"" 9а је o.lepUlillја М1Iожеlьа реаЛНIIХ бројева асоцијЗТИВIIЗ.
8. За свака ува реална броја а, Ь ваЖII а· Ь ::: Ь . а, што Зllа'lII 9а је Оберација "'"0Ж(! ља реаЛlIIJХ бројева комутаТИВIIЗ.
9. Број 1 је реалаll 11 "ма својсiПВО уа за сваки реалан број а важ., а . I = а.
10.
З" сваки реаЛfll/ број а, раЈлиЧlliП оу нуле, бостоји реалан број,
OJlfa'lllMO (а са
" а
IIаЈОВ"МО рСЩfllРО'ЩII б р о ј броја а, iПаКI'В YII ваЖII а -( ~ ]== 1. tI • (Ь + с) = а . Ь + а . с, што з/ш'", уа Ја Oaepariuje саБJlрmье и множеше важи уа је множеl"е дистрибyrивно у ОУНОСУ I/{I
/1 . За аmка mр" реаllllа броја а, Ь, с ваЖII сабирmы.
KopllcTehll
се
01.\11,\1
својствим а можемо се уверити да:
10 3а
сваки реалан број а важи а' О
20 За
свак и реалан број а важи а·
::: О . а ::: О.
(- 1) =
Нека је а аРО"ЈвОЛЈан реалан број КОЛИ'l lIItк бројева а
~ а.
11 Ь ароиЗВОЛЈUII реалаll број рuзли'lIIm оу "уле. 11 Ь, ОЗIIQl(Q а : Ь, је реалUII број који UОМllожен са Ь уаје д .
Пр и мер
3
Нека је а
npOIIJBOJbll// реалан број 11 Ь nРОl/звољан реалан број р"злutfffm 09 "уле.
КОЛII'flf//1( бројева а
11
Ь jegНfIK iiРОЮ8Q9У броја а
If
Увери се уа је
броја ~ (реlџ/nроt",оi броју Ь). Ь
ДОВОЉНО је доказаТII да је производ броја Ь и броја (1
'
1 једнак а. KOpltcтetHI се, редом, свој-
/)
ст оом а социјаТlННIOСТII, сrюј ст во м комутаТИВ Н ОCfи , ПО I IOОО сnој сТlЮМ а со циј аТ ИUНОCfI1 О l l ераЩ l је I\-НlQ жења реал них број ева If lIа крају СRој стuим а
IО
па
9
с купа рс аmщх бројева
налазимо да је
ТI1ме је Т lIрђ е l l ,е до каза но.
Ова чиње н~ща на м дај е за п раво да пишемо а:Ь
Пример
Н ска је
=
а·
1
а
ь
ь
- =- .
4
(1
прОIt З IIOЉ'НI реала н број и нека је Ь прои звоља ll реалан 6рој ра ЗЛ IIЧI!Т од н уле.
у вер и се да ва жи следеће:
10 6рој ~ је рСlнење једна'l ин е Ь· х = а;
. х = а,
О l ща је х
а
=Ь '
20
а ко је Ь
10
ДОIЮЉIIO је IlII ltolНl T1t 1 1 !XТ)'l l aK
20
Ако jelllla Kc pC;lJIll e бројеl\С I IOМlЮЖIIМО бројем ~ д06.,ћсмо јсднаке реаmн.' 6POjC IIC. Ј J]J IIMCIIoyjyI1ll 11 ;1 Лi:IIУ
113 nреТХОДlЮI·
Ilри мер.l ,
Ь С1"]Ј31IУ оне ji:JlII;\KOCТII, I)СДО~I. спојст rю КОМ)'1"аТИННОСПI 11;\ ;lС(ЩI ФПИ II I ЮСТ., Оl lсра није МИОЖ('Њ3, а :lаПI М Сlюјсl'lЮ [О, lIа Clюјао,ЈО
9 СК УН :I
РС:lJJlIIIХ
1
6PO;CII
налазимо
1
"
(/,o,l')o _ ""llo _ , 1, ћ
Х = - ,
1,
'III М(' j~' наше тltрl;cњс !IOK33allO.
Овај ПРlIмер на м показује да ико су а и Ь ре(lЛНU бројеви и Ь
#0.
Оll9а jeglla"lma Ь
.х
=а IIма та'то јеуно а
(IlMa jeYlНlcтвeHO) реlUеЈЬе у скупу реал"их бројева; то је број Ь
Снојстава је заиста много, али су сва та С(Јојства uажна и КОРI1Стићемо се IЫlма у даљем раду. А можда ћемо се највише користити својством које ћемо сада доказати . Већ смо се
уверили да је производ било ког реалног броја бројем О једнак О. Одатле следи: ако је а IIЩI Ь
=
О. Оllда је а
Пример
.Ь =
=О
О, где су а и Ь реални бројеви. Да ЩI uажи обрнуто?
5
Ако су а 11 Ь реаЛlI1I бројеви /Ј а . Ь
= о , ollga је (/ = о IIЛIl Ь = о . ДОК(iЖIl.
Ово Tupl)('IbC можемо исказаТI:I 1:1 lIа ДРУГl1 на'IIIН: Ако је "ронзвоД два реаЛ llа броја једнак IIУJIII, ОI I }ЏI је бар јеД3l 1 од '1lIюtлаца тог пр о и звода ј еднак IIУЛlI. Треба нагласити да то
11('
11 с кључујс могућност да су оба ЧИllиоца једнака НУJJlI.
IlреТIЈОС"IЋВII ...ю да је а . Ь = о 11 да је a :F- О. Мl!Ожсњем једнаких бројева са ~
1I
ПРllменам
а
својстава М l южсља рсаЛlIИХ бројеllа налазимо да су тачне следе!'! е јеДllаКОСПI:
ь
= о.
Дакле, ако је производ дв а реална броја јеДllaК IIУЛИ и један од
Ако је проuзвоg
goa реална броја jegHaK "ули, 01l9а је бар jegau og '1UII1нmаца тој
ПрОllзвоgа jegltaK "ули.
Нагласили смо да из свој става асоцијати вности и КОМУI'аТIIВНОСТII операције сабllрања ре:ЏI I IИ Х бројева П РО Н СТ И'l е да се операција може И31ЮД IIТИ I1роlt31ЮЉIIИМ редоследом, који ПРИmJ.гођ,шамо наШIIМ потребама. Исто важи и за orlерацију множења и даје нам слободу да ~Iзо,тављамо заl'раде ПРИJlИКОМ писања прои звода Ul1ШС 'IИННЛi1ца. РаДII једноставности
Пllсања 'IССI' О ћемо изостављати тачку као ознаку за О I'lерацију множења. Писаћемо аЬ уместо а· Ь.
УнеРИJJl1 смо се да за скуп реал них бројева и операције сабирања и Мflожења важе својства која су l.IаЖl1ла и у скуп у рационалних бројена . Н
R пр енети
3601' "1"01'" ћемо, без дет аљнији.х објашњења,
још неке појмове, које смо већ упознали.
КвЩЈраm реШЩОf броја
(l
је број а . а. Пишемо а . а
Кваураm реаЮIОI броја раЗЛU1lUUlОl
=a 1 .
09 О је R03IlUluo,,,, реалаlf број. Коаураm броја О
је9,mкје О.
KBagpam СВ(lкоl реаЛlfОi броја је9иак је Koagpamy IЬему суаротltОЈ реаЛllоt броја. Ако је а ПО31lтllван реалан број, je9Haeluua
xl
= а "ма goa реШ(!Jf;оа у скуоу реал""х
бројева; то су ува супротна реалuа броја.
Ако је а
> О, 00311111110,,0 ре,иење јеgllа'щне х1 =
а је КВ(l9раmиlI коре" броја а. Озна
'Uloaмo Ја са га. Рещеlьа те jegH(l lfUHf? су га 11 - га
.
Из опих ЧIiЊСllица нспосредно следи да пажи:
корен К6"9ра,,-;а реалноl број"
KOllgpaflil1ll
"
јеунак је аПСОllуm/lој вре!Јllостl, број" а.
Дllкле. за свако" ERje Ы =I al. Упоређиваљс реалних бројсва. та ча ка
-
Претпоcrа в и м о да
IlaMје задата
бројевва
1'lpaBa
избором
I ( 1) . Тн ме нам ј е задата јединична дуж као јСДl1llица мере за дуж ин у 11 п ра ва ј е оријентисана ( п озитива н ј е смер од О према 1). Св аком рсал н ом броју (/ одговара потп у но
и
0(0)
oApebel la тачка
А те пр а ве, таква да је а коорди н ата та',кс А.
llека је заgtнilа бројевна 'фао" и не,ш су А и В т"чке те праве које
бројеоима а
Кажемо 9а је број а маљи прво
IIUJlljeMo
09
броја Ь ако, крећућu се 9УЖ те ар"ве У I;ОЗllmllвltОм смеру,
lIа шао/ку А Па затим на шачку В. Пmuемо
Ако се (Л1l'lке А и В Uоклаuају, кажемо 9а је број а
Kpel1lll1bY
ogfooapajy ре"ЛlIIlМ
Ь.
"
,'роо
llallljeMo
!Ја је број а Beh~1
09
11 < Ь.
једнак
броју Ь. Ако при (Лаквом
на та.,ку В Оа затим на lUа'јку А, што зltа'Щ !Ја је Ь
броја Ь
11
UIIШемо а
< а,
кажемо
> Ь.
Односом .,6и ти м ањи " уводи се уреljеlbе у скуп реални х бројева. Ако се peaJII-lИ бројеви
предс таве на бројевиој пра вој , д06ићемо додатну могућност за разумевање тог од носа. Ако су а и Ь КООРДlIнате, редом, та'laка А и В и пр и том е је а од
Ta'IKe
В док, ако је п р и то ме а
о "ејеунакостима а
cyuPOflll/Of сме ра .
<
> Ь. тачка А
Ь, односно а
>
< Ь, о н да се Ta'IKa А
IНUl аЗ~1 ,.лево"
је "ДС<:ВО" од та чке В. Пр и томе го ворим о и
Ь. Те су две н еједн аКОСТl1 раЗЛИ ' НПОI", кажемо и
К ао If у раниј е упознати м скуповим а бројева, рсал l lе бројеве м ање од О
зовемо lI elallluallu реални бројеви а реалне бројепе IЈсћс од О
30 lJeMO
Qозullluв "u реални
бројеви.
НавеД 'Е МО сада ОСltQ lИl а Clюј ст ва уаеуеllОl од tюса "БИ ТIt ма њи ". Преll оз н а ћ емо у љима од гоn арајућа својСТIШ скуп а раЈ~ИОНалних бројева.
12.
Ако су а
11
Ь реалrm бројеви.
09 mpu I1lBpljelba:
а
< Ь,
а
= Ь. а > Ь "сmllllllmо је тa'fНO
јеуно; остала уаа су lIаЖllа.
< Ь 11
Ако 311 реtlЛuе бројеве а, Ь, с в(IЖlt а
14.
Ако су
Ь, С реалrm бројевu
It
важll а
< Ь,
15.
Ако су (ј, Ь, с реаЛl/lt бројевfl
11
важи а
< Ь 1I С > О,
11,
Ь
< с,
13.
01/9а је а
ОН9а је а
< с.
+ с < Ь + с.
О"!Ја је ас
< Ьс.
Видим о да с војство 13, у ствари, т врди да се однос "бltти мањи" п реlЮСII п реко "средње Ј' уче<.: ник а" , броја Ь. С Јюјство 14 тврди да се смер неј едн ак оcrи н е меља ако се обема страна м а н еј ед на кост и дода И СТ If број. Свој ст во
15 т врди
да се смер неједнакости
обе стране Il ејеД llакости llOмноже истим flозuтuанuм. бројем.
lIe меља ако се
Пример
6
Ако су п /ј Ь nозиfЏивни реални бројеви, онgп су њtlХО8 збир и IbllXOO iipOl/3oog ЙОЗIll7i1l8НU реал1/11 бројевu. ДокаЖII . у ОВС истине нс CYMЊ~MO . Ип~к •.10к~ззће.\10 I1Х осщш.;Јјуhи се сз ,\1О
fiудуhи Д~ је /Ј > О,
113
осноnу cnojcТl}3
ОС II ОIlУ сnојст ва 13 ззкљу'lујемо да је 11
j)(:3mJlt
14 з~кљу'!ујемо да је
+ Ь > о.
rI
+
Ь
113
н,щещ:на снојспщ реаmmх бројеl}3.
>О+
Ь ОЩЮСIЮ. /Ј
+ 11 > 11.
1(;1IЮ је
1, > О,
Н3
Доказа!lИ смо да је збир д~a IЮВИПlrmа реалrlа броја rrОЗI!ТI\~аll
број.
КЗКО је'l
> О !!
Ь
> О,
ТО Н;1 ОClю~у c~ojcTlla
15 :blKIbY'LyjMO да
је аЬ
> О·
Ь
=:;
О. Љжазалн СМО да је
IIPOlt3110LI
ДI!
IЮЗlпltlmа РС(LJШ3 број;t I Ю:IИТИII~Н ре;шаtl број.
Пример
7
Ако су а 11 Ь f10Jllml/(mu реалll/1 бројеви lIа Множељем неједнакости а
<Ь
< Ь,
< 1.1. ДокаЖII.
['IРВО rlO3ИТlЈВНИМ бројем а, а затим ПО3И1'ИВНI1М бројем Ь,
2
добијамо н ејед накости а < Ьа, односно аЬ < а 2 < аЬ и аЬ < Ь 2 , И З којих, на основу својства
Пример
ОЩ}{I је (/1
b1 •
Будуhи да је Ьа
= аЬ, имамо н ејеД liакости
13, следи да је а 2 < Ь 2 .
8
ДОКПЖII уа је ЙРОl/3боg йозufЏ U8ноf реалноr броја llllсfаmUбllOТ реаЛIIО; броја lIеfmЋllбml рсаШIII број. Нек а је«
> О 1I Ь < О.
Видели смо да јс
cYI!I'OT311
број П03ИПII!11ОГ РС3Л llO I' броја ItO:I ·~Тlt~;1Н рсаJl3l1 број:l СУllротан
број НСI·аТНI! I ЮГ реаmюr· бројз IЮ:ЩТИn311 рс;шаll број. Будуhи д,1 је Ь
< О,
I'I РОНЗIIОД IЮ311'ГIШltlt:о> бројСЈЈа'l и
- 11 је
број н~'r·~пш;lН,
(/IJ <О, '( имс је II Ш l lе Тllрlјење ДОК3З3I!О.
Пример
113
11 .\1 aMO -( -«Ь)
=:;
њему
П0311ТIIШ1ll ре;шаll број. Д31(ле f/ (-Ь)
CYIIpOT311
= -(/11 > 0.
број
- 11 је
I ЮЗltТlшан.
Оll}ја је њему СУfl РОТ~ Н
9
Ако су а, Ь, с ре/lЛlIII бројевu 11 ваЖII (/
<ь
11 С
< О, oHga је
ас
> Ьс.
броју с је lЈОзитJtван . Дакле, -(; > о. 011,1;1 113 ОС1109У c IJOj cт~~ 15 :ЩКЉУ'lујемо да 113ЖИ < /Ј(-с ). 0 .'.1110(110 -rlС < -Ьс. Ако обеМd странама O~C Hl'jCiIH;JKOCTlt ДОЈ\амо ас добнјамо (Clюјстно 14) па је -<1С + (/с < -/Је + ас. Одатле налазимо lIе - /Је > О, ШТО нам на основу еrюјСТ1Ш 14 1:\
/Је, Од1ЮСIIO Број
cynpOT:!! 1 It ега'ГНIШОМ
(/(-с)
(le > ЬС,
IIIТО је треба.10 l\О1:аз;\т!1.
Овај резултат Il а м l ЈОказуј е да се множељем обеју страиа "им бројем ме,,,а смер
Пример
Ако су (/
uejeg'IaKOcQIu Helall1U8HUM реал
IIejegHaKocillu.
10 1/
Ь
l/(:fm7iI/OIJ/I реаЛ III / бројевll 11 а < Ь, 0 1l9а је (/2 > f.r?
МIIОЖС II.С 1ol IlсјСЈ(I НН(ОСПI 11
ffејеllЩ1КОСТlI l,l OI: IIO IIY Ctюј crll3
<Ь
lIегаП IIIН I1 1о1 реаЈlН ИМ 6рој{',\I 11 3 :i 3 TII M IIсгаП I II IН I ;\1 реаЈШ ИМ 6pujCM Ь добиј а мо
> IНl , OДl I Ol:II O lIЬ > Ul. Liynyli ll да јс а Ь = ОО, IIM a:\lO IICjC.1.II UKOCTII 111 > llЬ 13, ('.JICIIII да jt· 111 > IY-. ( УIЮpt'"Ди 0110 ( II PII ;\\CP OM 7 . )
11 llЬ
> Ul,
113 којll )( , !Ia
ПРИ;Н1 КО М УLlођ е ња реалних бројева у свет бројева којима се кори с тимо при х ва Т НЛI1 с мо као пола з ну 'Нl ње IНЩ, У , у КОЈУ l1е сум љ амо, да свака дуж, самим СВОЈI1М ПОСТОЈањем, има
дужнну и да з а 11 заб раl1У јеД ИI1ИЦУ ме р е з а ДУЖИIlУ свакој дужи ОДЈ'овара ПОТ1"I У I Ю одређени р еалан број, При х ваТ'IМ О и то као ОС1l01ll1O с војство С КУ l1 а р е аЛlIИХ број е ва.
16. CoaKtl
9УЖ "ма 9уЖtmу
d,
за изабрm.у јсgШШIQl мере за 9ужиllУ. Та gУЖlща је је911(/
ка flрОllзвоgу оуређеllОl реаЛllоr броја 11 јеgUllUце мере за gУЖIЩУ. Тај реала" број је мер"и број gужиltе
ille gужи .
ИнтеРВаЈ8 И lIа бројевној правој.
- А ко ј е задата 6 poj e JНla пра ва и збором та'Ја к а 0(0) 11 I( 1), Ta'I K3 А ( а ) те
а TII Me и јеДII Н I I'm е ДУЖII ОЈ , с ваком реално м броју а ОЩ'о вара тачно јсд н а
I l р.ше. А ко су задате две та ч ке 6рој евнс пр а ве А (а) 11 В(Ь), при ч е м у је а
<
одре l)ен з дуж А Б , 'Iи је су к рзјље тз ч ке А 1·1 В. П р и то ме за П рО И З ВОЉ Il У тз ч ку
"(( t )
к оја се н е п окла rl 3 с ЊС Ш IМ
KpajcBIIMa, важи
Ь, љи ма је те ду-ми ,
да се о в а нал аз и и з м е ђу А 11 В , а за љен у коор
дина ту I ва ж и да ј е већа од а Ii маља од Ь, [.I.IТО , с кр а ћ е н о . за lНl суј ем о а
•
•
о (О)
, ( I )
•
А (" )
< I < Ь.
•
т
(f)
в
Слика
Отворени IfIIТСРПaJI
(а, Ь) је скуп COJIX реалнlIX бројева који су веlilЈ og а и мть"
09
15 Ь.
Дакле,
(п, Ь) ~
1х [х Е
R,
п
< х < ы.
Ак о ОДуста н с м о од за хтсва да се обе к рајље та ч к е дуж н И СКЉУ'l уј у, о н да за к оордина ту 1 та ' l ке
T(t)
в а ж и да ј е већа ИЛИ ј ед на к а а и м ан,а и л н једна к а Ь, ш то за mICуј ем о а S;
t s;
Ь.
Затворсни IIIIТСРВаЈ8 {а. Ь} је скуа COIlX реалних бројева којll су oehu UЛJl јеУllUКII а 11 мmьи иЛII јЦl'иЈКIJ Ь. Дакле,
[а, ы ~ Iх [хе
R,
а5х5ы.
(Ь )
.
Комбиновањ е м на веде ни х својстава добијамо полуотворснс Ј1нтервале [а, Ь), ОДНОСНО
(а, Ь]. Први од љих је затворе н слепа а др )'l' Н затворе н здесна . На бројевној правој ћемо крајњу тач к у која припада интервалу означавати " ПУliOМ " Ta~ ' IKOM а ону која му не припада "празном" тачком ( малом кружницом).
Пример
11
Да lЩ број д)
-2
ЙрШlаgа l/н iПервалу: а)
[- 5, 1);
б)
(-3, -2);
В)
,-) [-2,
(-1, 3[;
О);
[-3,-2['
џ) ttр ~tщща ;
Пример
б ) не l'tрИltада;
I~) н е I l р ЮI
[.) ['[ р ив ада;
д) припада.
12
Нацрmај бројевl/У аР(/БУ 1/
1/(/
//Ј ој 03Нn'lи /lнmервtlл :
а ) [ - Ј, .,/2 Ј ; б) [--./2 ,~} В) (О, Ј + '/2); ['ј (- "/2 , '\/2].
")--------~*~ж~ж$~~ж~*ж~ж*~~$~ffl*~*ж~ж*~~ж~~i~жж*ж~~~~~------------~~ О(О)
A ( - I)
1(1)
8(12)
б)--~t~t~~~)Ж*~*Ж%Ж*~~Ж*Ж~ЖЖЖ*ЖЪ~~~~Ж~~~~(-1/~3~)-/~ ( I~)------------------~~
___=- - - -... ~
")----------------~.жж~жж~жж~*ж~ж*~~ж~ж*~*ж~ж*~*ж~ж*~~ж%жж~ж~~
0(0)
,)
Е(
I( 1)
1 +12)
~wwwwiliiliiЖiii' Н-I!)
0(0)
I( 1)
~
с(п)
Сл и ка Ј6
м Задаци +
(п
+ с) = с +
(а
+ Ь) .
Ј.
Докажи да ј е Ь
2.
КОРl1 стећи се својствима реалних бројева на!)1t решење једнаЧИ~lе х
3.
Реши јСДllачинс: а) х +\/ 2 = ,,/з ;
4.
Докажи да ј е : а) супротан б р ој ИРЩИЩ l ал НО I' број а ирационалан број ;
б)х - 2+
,
+ 5 = -\13 .
r::
\ ,' 5 = 8.
б) р е цигтрочан број ирац[юналног броја р азли'н-1ТО[" од нуле иранио налан број .
5.
КОР I1Стеhи се cBojcТlНlMa реал них бројева нађи рСНlсње једна 'lИне х ј5 = 2.
6.
РеlllИ јеДllаЧlН lе: а ) х · Јз + 2 = 7;
7.
HatJlI
8.
ДокаЖII.ца је супротан број з бира ДВЈ ре,VIЩ броја једнак з6иру
г
б ) 3х -.Ј 2
СВ С вр ед н ост и ремн о г броја Х .'lа које ј е :
В) Х / "5 + 4 = 3.
= 6;
,1) х( х - 1)
=О;
6 ) x(x + 2 )~ O.
CY IIPOTHII X бројева п
два броја.
9.
До к аЖII да је реЦИl1рОЧШI број 1103 11ТИ13НОI' реал н ог б роја ПОЗ ИТlIВ
10. Ако З(1 рема н број х nаж и 1 х 1 = 2. онда је х = -2 ИЛ Jl х = 2. До каЮI. 11. Ако за рем ан бр ој х в аж и I х I < ], онда ј е - 1 < х < ]. До кажи.
12. Припада ли ИIПС РВiUlУ [- 3, 2) број: а) - 5; 13.
Припада ли шпе рвалу [ - Ј ,
]]
број : а)
- 3;
б)
б)
- 3;
В)
- 2;
I
--
4 2 ,. В)
;
1')
О;
1') 1;
д)
_2 .
5' д)
2;
ђ)
2;
е)
7, 3
1;) 3,
3
14. Нацртај бројеВIlУ праву 11 031-1 а'llI на њој интеРВ
[-3, 3);
1) (- 1,5[;
1.7. Операције с квадратним коренима -
ж) [-Н
основна
•
СВОЈства
Да б и с мо УСПСIlШО "реJUИJlИ " Ilроблеме који следе, морамо мало ДОПУНIIТИ наша знања о KOp Clll1Ma и операЦllјама с Ibима. Ограничићемо се 11.1 l'lQчетне кораке, будући да ћ е мо се
ТlI M Г111Т
Пример
УоеРII
1 ,
~
~
ce ga je .,./36 · 289 = ',./36 · \1 289 = 6 ·1 7 = 102 .
У та ЧIЮС1'
01\01'
тнрl) е ња у в е равамо се јСДIIOСТ<ШIНlМ и зра 'lунаваљем:
36·289 = ]0404, 102 2 = ]0404 .
По стаuља с е Пllтање важи Л II ш тем случаЈ У.
OB
својство ко ре н а ПО3 11ПШЮIХ реiUllIlI Х број ева у оп
Пример
2
Увери се ga за било која goa йозщ71U6l111 реална броја а и Ь важи
,'----\" 11'
г
,-
Ь = '.,/ а· \:, ь.
ДОВОЉНО је доказати да је (\/~. ,:,ь)2 = (Ј' Ь . Примењујући својства реалних бројева добијамо да Је:
(\/~ .\/ь)2
=
(\,г;; .,:'Ь) .(\/~ .\,/ь) = (( ,/(/ . ·\'гь) .'\'~ ) .,,гь = (,г;; .(' /(-1. /Ь )). · )ь
=и"
(J,;;Z;));Z; = ((,га
"Ь) ,га) ;!; = (Ј,;
,,;;) (;Z;Гb)
.
= (Ч (Гь)' = П· Ь.
З а нас су значајни специјални СJlУ'lајеllИ 01101' својства. Тако је, на пример, за произвољан позитиван број а
"
Задаци 18 = 2'\/ 2;
1.
Увери се да је: а)
3.
Провери да ли је: а)
4.
Квадрапш корен изрази као производ КВ
, :'72
б ) , ':12 = 2 \:' 3;
=4 ,:'з;
В)
г-
г
,: ]8 = 3\/2.
В)
,
г
,:' 72 = 6 \:' 2.
производ природноr' броја и квадратних корена простих бројева (једнО!" ИЈ1И више):
а)
,;153;
б) ,Г35;
в) '. ,/ 216;
1.8. Децимални запис реалноr броја. Приближна вредност реалноr броја у петом разреду СМО сазнали да разломкс можемо записи вати и у облику њихових деци мзлних запнса. Учили смо да разломци имају КОИ3 ' IЗИ нли бссконачзн ПСРИОl1,liЧall ДСI\И м
т
-
И још много тога. У шестом разреду СМО сва та знаll,З llрсltслlt на
"
рационалliС бројеве, операције с њима
If
односе међу љима .
•
о (О)
•
А (а)
'( 1 )
СЛllка
17
Нека је, на уобичајени Н3'IИН, задата број евпз права избором јединичне дужи
01,
['дс је
0(0), 1(1).
Посматрајмо неки позитиван реалан број а, Ако је а рauионалан број,
311<1МО како доћи до ЊСI'Оl101' децималног записа. Ако а није рационалан број, онда је ОН
ирационалан број . Нека ирационалном броју а одговара тачка А бројевне праве. Да бнсмо растеретили излагање и слике које их прате, у даљем ћемо изостављати ознаке за тачке на
бројевној правој, ГOIюрићемо и писати "тачка а" уместо "та'[ка А која
OArOBapa
броју аЦ.
На тај I!ачин ће се претходна слика свести на следећу :
•
•
о
Слика уочимо на бројевној !!раној тачке
1,2,3,4, ....
18
Како је а ирационалан број,
та
k
и
k+ 1. Дакле,
важи
k
•
о
•
• •
а
k
•
k+ l СЛI!ка
Лоде1ЈИМО јеДНl-IИЧВУ дуж
2
k+ 10
на десет једнаких делова и уочимо тачке
19
k, k+ 1 10
9
' ... , k+ 10 . Те су тачке (бројеви) рационалне, па се ирационална тачка (број) а не
поклапа ни с једном од ЊIIХ . Она се IlалаЗlf између неких двеју узастошrих таквих тачака. Нека су то тачке
~
k+10
и
k+
(~+1). . , где Је СI неки од БРОЈева О,
10
1,2, ... ,9.
Онда важи
с,
k + - <(1< 10
•
k
'1
k +-
,
с, Е{0.1.2 •... 9}.
10
'+]
'!+1 k +-
10 СЛlI I«I
(С 1 + 1) +--.
k
lO
20 Број
ду ж ине
]0
k
је цео део броја а а
'1
прва gецuл-НIЛ(/ броја а. Поделимо затим дуж
на ] о једнаких делова, Ч~lме СМО jeДI1'HH'IНY дуж поделили на
делоиа. У очи мо тачке
100
=102 једнаких
1 k+ -С ј + -2 , ... ,k+ С] + -9- , "ГеСУТ:I 'lке(6роk+ -" , k- + -'1 +--,
10
јаО
10
10
100
10
100
јеВ.Ј ) Р,ЩIЮJlilЛll е , па се ирационална тачка (број) а не ПОКЛ311а ни с јСДIЮМ од
IbIIX. Она
се
ов ет li
'1
. k + - + { Cl +I ), .lде ЈСС2 ]0 100
k' +
некиод
С]
С2
10
100
б·
РОЈсваО,
- + -- <а<
k
1,2, . . . ,9 .
+ - 1 + -2- С
(с +1)
10
100
П рема томс,
' , Е {1.2 ... ..9).
Број '2 ј е уруlа gщuмала броја а. Ј асно је да овај rЮСТУI'I<1К можемо наСтt"ШИТ I I ; како су С!ЈС надсоне тачке које УО'Јавама при томе рационалне а тачка а ирацнона;ша, она се неће
1"10-
кл аП<1Тf1 с н е ком од гюдеоних тачака без обзира на број У'lИљеНI1Х описаних поступака. О llll саним поступком IleMo за ирационаmНI број а до6ИТIi љегов беСI;:QIНl.чан деЦIIМ
који 0значаВt1 да је
k+ CI +..:L. + ~ + ~ + ...
]00
1000
10000
](]
]00
1000
]0000
Де lџtМ
Ак о је (/
k заПlкује
< О, онда
помоћу својих цифара у Сl l стему са
налазимо децималllИ запис броја
Да би с мо унотпуннли
OCIIOBOM 10.
Inl и узимамо у обзир да је тада (ј =- Ial.
lIallJe даље IfЗЛЩ'ање, потребно је да имамо још неке важне чи
ње l l l,tl~ е.
Пример
Не/т су l'
1 1/
Ь uоз um/lБЈЈ/I рсаЛlЩ бројеО1l . Ако је (/2
C BOjCl'BO 12 рсаЛ IIИХ бројева
< /)1, Ollg(1 је п < Ь. ДОК(1ЖIl .
нам "говор и" да је за бројеве а
=
=
11 lJ
ИСТИ l lнта тач н о једна од т ри
=
МОl ' уllНОСТИ: а < Ь, (/ ь, ь < а, Ако би било 11 /Ј, бшю бl111 2 /12, што llротивре'lИ прет п оставци. Ако би БИ1l0 Ь < а, било би /12 < 112, 111'1'0 lјСТО 1'.\1<0 IlРОТИВРС'lJ.t Ilретпоставци, Преостаје да је ИС-ГИ I IИТО а
< Ь,
ШТО је и т ребало доказа ти.
Пример
2 г
ОуреУ/l /јео уео 11 прве уве gеlС/lмале броја .Ј 2. Будуhи да ј с
ТО ј е
,,12 < 2,
1<
ШТО 31101'111 да је I(ео део броја .../2 једнак 1. УО'lанамо сада бројеве: ] ; ]+-
1
10 8
]+-
= ], ] ;
]+
10
= [,8; [+ 9
10
10
= 1; 1,52 = 2,25;
]2
2
= ], 2;
= 2,56;
УО'lавамо да је 1,42
3 10
4 5 . = 1,3; 1+-=1,4; 1 + = 1,5, 10 10
7 ] + 6 = ],6,. 1 + = ],7; 10
10
= 1,9 . Кщщрираљем ОВИХ бројева добl, Ејам() да ј е:
1, l l = 1,2 1;
1,62
]+
= 1,44; 1,72 = 2,89;
= ],69; ] ,82 = 3,24;
= [,96; 1,92 = 3,6 [.
1 ,з 2
[,22
< 2 < 1.52 . Оданде, IHl
],42
ОСНОВУ Гlримера 2, эакључујемо да nаЖ\l :
],4 < / 2 < 1,5.
3ато је l' l р m\ деl(lIмма броја
-../2 једнака 4. Дељењем добијеllOl> IllIтервала [ 1,4;
[,5) 113 десет
ј сд наКl l Х деЛО ЩI добијамо бројене:
1,4; [, 4 + -
1
; 1,4+ -
2
100
100 1,4+ -
6
100
; 1, 4+
3
100
; ], 4+
4
100
; 1,4+
5
100
;
7 8 9 ; 1,4+-; 1,4 + - ; 1, 4 +
100
ЊИХОIIIIМ КII<ЩРllраlf,СМ добијамо да је
100
100
] ,42 = ] ,96; 1,412 = ] ,988]; ] ,4 22 = 2,0 164; . , . , 11 зау
стављамо сс. В IЩ I1МО да смо добlfЛИ број I\сћи од 2, 3 3113МО дЗ сс ГlОllсћаllањсм ОClIOИС
KBaдp ,I ТlI pCiUТllllX ГЮ3ИТЩШIIХ бројева повеhавају, што 3Н:I'IИ да 11(' юшдраТI1 CllILX пре
ОСТ;Ј}1IIХ Оl( Ir аВСДСllIlХ бројева 611ТI1 већl1 од 2, 3:1КЉУ'lујемо да ј е ] ,4] 2 < 2 11 <1
< ],4 22 = 2,0164,
је '(РУЈ'а )(СЈ(~lмаJlа броја 2 једнака ] " Онда децималнн за1 1 11С број<1 Ii t"лаСLl
/i.
= ],4 1....
Уз мало труда можемо, оваюН1М поступком, доl'НI И до l(iUJ,ltX ДСI(имала броја 2. Помоhу UC11l101" каJlКУЛ:lтора Н
,
.,;2 = 1,4 142 1. ". , Ш ТО 3 ЩI'lll д а ЈС
],41421 А ко "Yllcl'la MO"
ItI ITCPBiU1 (] ,2)
•
1, 1
• 1,2
< ) 2 < 1,41422.
задате бројевне праве и ма ћем о овакву СЛIIКУ
•
1,3
12
• •
1,4
•
1,5
•
1,6
•
1,7
•
1,8
•
1,. СJlика
•
2
21
..
Ако додатно "увеliамо" интервал
•
•
1,41
1,4 СЛl1ка
•
[],4; ],5) добићемо
•
..
•
1,42
1,43
22
УО'ЈаЩIМО да се тачка
-/2 налази IIзмеђу та'1ака 1,41
раСЈ' ојању мањем од 0,01. То, као што знамо, значи да се број
,/2
11
1,42 н да је од обе на
разликује ОД оба ова броја
за мање од 0,01, Зато можемо прихватити јепан од IL>lЈХ за ариближиу вре9иосm броја
\/'2,
УО'lавамо да се, у овом случај у, први од њнх, број 1,41, мање раЗЛlIкује од броја можемо ту вредност УСlюј~1ТИ за његову при6ли жну преДIIОСТ. Пише."ю
-Ј2 ~ 1,41. ЗI I (\МQ да смо при томе У'IШНlШI lрешку кој а је м(\ља од
0,01,
Видели смо да ирационални бројеви имају 6есконачан децималНIl запис и учили како да дођемо до њеl'а . С ДРУI'е стране, знамо да рационални бројеви имају коначан деLtИМ
да је таквим записом задати број и рацион ал ан? То је сложен задатак и МII ћемо га илу стровати јеДIIИМ примером.
Пример
3
Yaepll се !Ја је реалан број за!Јаm gСЦIIМ{/J/lШМ 3(1i7I1CO,\1. 0,1234567891 О 1112 1314 15 (ucnllcyjcMo реуо,\1. ПРl/роgне бројеве) IIрmџ/Оналаll . ПреТlюставимо да је опај заПl-IC
lIepllOAI I' I(\H
If да му се период састоји, н а П рl lмер, од ТрН
цифре. ПР '1ЛIIКОМ реt)шм 6pojer~a у за ПlICУ liеМОСПlћll до ,честа 'Iа кој ем се налаЗII број 11111, Ма како да пеРIIОД "покрнва" lIаш заПIIС, он ће сп,ћ ll до тог места
'1 не ;\1Оже "lIз6еl1l1" да се
ЛQЮЮГШ са три ОД ОВIIХ пет једини ца. НО, ТО би знаЧlI!lО да се Гl ер 'IOД састојн од трн јеДlНllще
и да би, почев од тог места, све l\ифре у З
011 lIе може имати lIep"OA било које "дужине".
Приликом практичног ра"унања ми не можемо користити бесконачне деЦliмалне записе,
С так в им за П ИСИМil ни најмоl1Н11ји ра'lу н ари не могу изаћи на крај, Зато смо принуђени да бројеве који су представљени бескона'lНИМ децималним записима замен и мо љима п р иб л ижним бројевима, који имају ко иа'lI-I е деЦИМ<1лне записе и који , као што знамо, I"lред стављају рационалне 6ројеве, Ако, на приме р , број
(/
има l1СЦНМални запис:
(/ =
k,Cj C2C)C",CS ' , , ,
можсмо У јlракти'!Ном ра'Јунању број а зам енити њему приБЛНЖIН1М
1I од ЊСПI мањим
рацноналним бројем
а" = k'С1С2СЗ' Грешка кој .. се ври томе 'IИНИ је позитиван број. једнак а
н ман,а је од
0,001,
-
а О-
=О,ОООС4С5 ' , , ,
П~l тањем колико ће ова грешка угицати на крајњи резултат ра'lунања
б"lmћемо се у средљој школи, Ако се присетимо "увсћаlЮГ" дела бројевне праве ПРI1ЛИКОМ посматра".. а броја
2
11 н.ему ПРl1блнжних вреДIlОСГИ, МОЖСМО у овом, општем случају, за
ПРl1БЛИЖIlУ предност број .. 11 усвојити 11 број :
а"
= k'C1C2C)'
с' 3
= (3+ 1 ,
Сада је П р ll БЛ I, ж н а в редност ве ћ.а од броја који смо њоме заМС II11 Л И , па ћ.С МО за ,' реш ку кој а се п р и том е 'JlНIИ ус вој и',' н ра3JIИКУ a ~
-
а, У општем случај у :
Ако се реаЛ(1II број tI замеllll '/Јем)' IlРllБЛlLJIашм бројем
Ма уоа броја,
Пример
1
а ""
(1 -
.. ) 6) в) г)
б)
3, 14;
В)
3, 15;
3,14 1592", 3,141592 ... 3, 141592., . 3,14]592., . -
Пример
tluсол)'ml/(I
opcgl/ocm разлике
4
Ако за ПРllБЛIIЖffУ epcgl/OCl11 ре(l.лНО16роја а = а)
(1 ....
1. јесте апсолyrна грешка која се ар" оваквој ЭnЛ1еlfll 'HlIIll,
3, 141;
г)
3,14 15;
3,14 1592 , ,
,УСбојшu:
колuкаје),'lIIљенtI ,решка?
3,1 4 = 0.001592", < 0,01; 3,15= 0,0084073 ... < 0.0 1; 3,14] = 0,00059265 , ., < 0,001; 3, 1415 = 0,000092, .. < 0,0001,
5
На ClICmCM(/mCKO,\f преlлеgу (шТа је за масу Зорана Показала
47,650 kg,
кре!је 30Р(ШОО(/ стоар rш маса (/КО o(/fa, на мас(/ма go
(реlllll З(/ М(fIl.> е О(Ј
Вај-а је I lQ к а$. ла Il риб:IIIЖНУ 30ранов у масу т'" од
0,200 kg,
т о I;е
:ia
50 kg ,
1111 - 47,650 kg 1< 0,200 kg, Одавде добијамо
- 0,200 kg < т - 47,650 kg < 0,200 kg, од н ос н о
47,650 kg - 0.200 kg < 111 < 47,650 kg т
200 g!
=47,650 kg, Како је ,lПСОJlутна грешка маља
стварну 30ранову м асу 111 бити ИСПУЉСIIО
47,450 kg <
У KOjllM се iраI/lЩ (/,\f{/
< 47,850 kg.
+ 0,200 kg
м Задаци г
1.
Од реД l 1 цео део If I'РИС дне деЩI М;lле броја -Ј З .
2.
ОД РСЮ1 цео део
3.
Од реди цео део 11 децималне рззn омке 'lIIјlll\1 са6ирање м добијамо број
4.
У в с рн се да ј е реалан број, задат ДЩllмалним заllЈ1СОМ
11
с
" ' рис дне децимзлс 6роја 'v
10.
- 2,418.
0,10100100010000100 ...
( број
Ј. утl IЈ з м е l)у дв е јединице повећава се за један ) I1раЩЮШIЈНlН.
5.
Ако
3(1
,,) 2,7;
rЧJL1БЛI1ЖНУ вредност реалног броја с б)
2,71;
13) 2,718;
= 2,7] 828] 8 ... ус војиJJt број :
") 2,7182;
ПРОI(С IIII ГрСIIJI'У КОЈа Је тиме )"-1Ин,С!I
6.
О pacTojall, Y d и з међу места А и В Зllаш да је
8763111 < (1 < 9145
tп. Коју ћсш ВСЛIIЧИI" У
усвоји т и з а пр~tБЛИЖIIУ предност ТОГ растојаља? ЗаIlЈТО?
7.
OД PCДlI ~tIIТСР В ал које.\1 ПРLfП<1да .\1CPI III број С "екс нсJtи' шн е ( при изабраној јСДЩIIIЦJl ме ре) i\fЮ 3 11<1111
II.crOI\Y при6лижну
Прl lЛ ll К ОМ м ере ња , мања од
0.05.
вредност с"
= 7,38 и з наш да је грешка, У'lIJњена
2. ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА 2.1. Питагорина теорема ПИТАГОРА (око
580- око 500.
,'ОДIШС пре 11 . с_) грчки фило·
зоф 11 матемаПI' l ар, ОСНlша' ј фююзофскс и матсмаТl1чке
mi ·
тагорејске ш КОJlе. Тој ШКQJllt се IIРIНlисујс открићс да постоје Ilссамерљнвс дуж и, позната П,пагорина теорсмз. Према IЫj ~
ховам У'IСЉУ, СУШТlШ3 СНјјХ ствари ј е у броју 11 I.1.СО cneMlfp је складно урсl)сн систем бројева 11 fЫIХОI3ИХ односа .
О ЗJl
броја. Иако се поуздано зна да су :.ы снојство
[]Р:lIIО)'Г1l01' TpoyrJla Ilа које се ОДНОСИ Питај'ОРНИ;! Tt."0PCM
знал' l стар"
Е I' ltпl'lани 11 ВаВНЛQНЦИ још у
ХРИСТ3, сматра се да
11>('11
веку нре
XVI II
први исправан докаЗllришща унра
[ [ljТal'Opa
ВО [IIПЈ"ОРI,.
Ако канан ДУЖ IIН!:'
]2 dm rюделима IШ три дела везивањем '{норова lI а растој а њу 3 dш од
једног краја '! 4 (Iш од ДРУГО I' крај а, доби ћемо моделе трн дужи (дуж mш од 3 dш, 4 dш,
5 dm ) од KOjl!X можемо , помоћу скссрчнћ а забиј ених на местима 'I ворова, затеэа њем фор мирати "троугао". Мерењем помоћу угл омера или упореl)lшаљем с правим углом тро угао ног лењнра IlajlJehel' од У l'л оиа тако фОРМIlРа!ЮГ TpoYI'lIa (~I апrрам ~l ajBehe Cl·раIl IШ.С) увер ићемо се да је тај угао ираu" Тако смо ) ~ОШllИ до једноставнс :\lе
тоде
.. KOIICl/lf)YIICa/b{/" (ПРllБЛIIЖНО) правог угла, За
овакав поступак су з нали стари ЕП1ПћаllИ
I!
Вави -
ЛОIIЦI1"
3 dm
(jbJf>
4 dm
"Мрдалицс", којим:\ смо се бавили у шестом Р
бо р за оваюЈО, скспсрllмеНП}lНО и Приближно КОН ciТiPYllcmvc Пр
ДУЖИllа ОД
8 ст, ]5 сtп, ] 7 ст, увеРllllБЮ се , гюмоћу
угломера 11111' троугаоника, да је највећи од углова
"троу,"ла" којll ЩIС фОРМllрају [",ран. УО 'l авам() Д<1 за тројке бројева
]7
3, 4, 5,
односно
8, 15,
важн да је:
32+ 42=52,
82+ 152= ]72.
Да ли је 0 1101 праВIIJIIЮСТ случајН<1 НЛlI смо, поп ут ста
p llX
Егнпhа'IЗ '! ВаВIIЛО llаца, наслугили неко опште
СIlојСТ IЮ '"lраIЮУI'ЛНХ троуглова?
Сл!!ка
ТЕОРЕМА р
ь
а
ПовРlIIllна КВliураmа "Щl ХIIПоiUеllУЗОМ бll
N
ло којет liраОQуtлоf mроуfла јеУllliка је збllРУ
,
,
/,
ПООР"Шllа коаураmа
а
llli!}
Ktlmer1llIM(/
тоЈ
mроуfла.
Доказ .
- У вези с појмом ПОВРШ~1Не У 'I I1ЛИ
смо да подударне фИ l ' уре имају једнаке површине и да ј е површина фнгуре која ј е ра
, в
стављена на више Делова ј еднака збиру по вршип з тих делова . ГlреТllOстанимо да нам
ь
,
је задат било какав правоуr'Лlt ТрОуt"зо Аве,
а
при чему ј е С тсме IlРЗIЮt" УI'ла, и да су а и Ь његове катете а с Ihеt'ОЩl хипотенуза. Ако
С
Ь
А
а
М
катету СА ПРОДУЖИМО за дуж ЛМ, подударну
Слика
ДУЖltМQ преко њено!' краја В за дуж ПР, по-
2 дударну са СЛ и одредимо тачку
добићемо квадрат Нека су В и
FP =
IlpeKo њено г краја А (;.\ СВ, катету СВ про-
а (сл.
F,
CMNP,
N,
редом, тачке које припадај у дужима
2) .
симстричну Т
чије су странице једнаке а+Ь. (Зашто је квадрат?)
MN
и
NP,
такве да је МЕ:::: Ь,
Једноставно се уверавамо да су правоугли троуr')IOВИ ВАМ,
EN:::: (Ј, NF:::: Ь, FEN, BFP поду
дарни с троуглом АВС Да бисмо слику мало растереТИЛl!, И30стаВЈ1ћемо ознаке за темена всћег и мањег квадрата и нумерисати праrюугле троуглове бројеlНlма од смо ОСНОI\НИ, већи
KnaApaT
1 до 4
(сл.
3) . Тако
растаnили на пет делова (·tетири правоугла троугла и мањи
квадрат) It Нoerona је ПОВРlJIина једнака збиру површина т их пет делова. Ако формирана четири праВОУl'ла троугла, премештајући их уз неонходно обртање, пресложимо како је то I lриказано на слици 3,
YBcpanaMo се да ј е ОСНОllНИ, l:Iећи квадрат растављен на четири
tlраl:lоугла ТРОУ I'Јlа ]ј
мања квадрата, један страНlще а и дрУПI странице Ь, па је његова
Al'\a
IlO вршнна једнака збиру ПОВРШlIна тих шест делов а . Површина основног квадрата се није Ilроменила па збир површнна пет делова из Ј IРI:IОЈ' растављања мора бити једнак збиру IIOВрШl1на шест делова из ДРУЈ'ОГ растав,ъања . Површина мањег квад р ата у првом ра
стаl:lљању, а то је квадрат над ХИIТ отеИУЗ0 М l !Олазиог нравоуглог троугла, једнака је? док су llOВРШl1не mal-hИХ квадрата У ДРУI 'ОМ раставља њу, а то су квадраТIf који су подударни
Ь
Ь
а
,
4
"
,
ь
ь
2
,
, а
2
3
3
4
а
3 Ь
Слика
Ь
квадратима над катетама полаЗIIОГ праrюуl'JlШ" троугла, једнаке а 2 ОДНОСНО Ь 2 • Како се при ЛIIКОМ премештања
11
06ртања ПОВрtllине уо'.ена четllрll Прalюугла троугла I-Iе мењају,
фl11"уре које их допуњују до подударНI1Х, веh.иx квадрата морају Ilмати једнаке 110вршине. На IIРВО; СЛIЩI1 то је квадрат lIад ХИ l iOтенузом, а lIа другој су то квадраТII Над катетама пола3110Г правоуглог троугла, ШТО значи да је ПОnРШlll1а квадрата над ХI1ПОТСНУЗОМ Ilраво УI'ЈIОГ троугла једнака збl1РУ Iювршина квадрата lIад катстама тог троугла, ТIIме је теорема докаЩII[а.
Иако нема [ЮТlJрда о томе, верујс се да је управо оваквим поступком ПитаЈ'ора доказао овај ЗН3'I
110
11
хипо
управо доказано; теорем" ваЖII:
у таЧIIОСТ ове једнакости могли смо се уверити и користећи слику, формуле за 1l0ВРШ[lНе квадрата
1I
Ilравоуглих троуглова
својства реалних бројева. У ' lинићемо то РСII,Ј<шањем
11
СJlсдсl1ИХ IIримера,
Пример
1
ДОК(lЖII 9(1 У ilроtIЗ80Љl/ОМ f1ра(ЈОУlлом mроу/Лу 8QЖII сле9е liе. Ако су а, Ь, с Mep"1I 6роје811 gУЖIl
IЩ реуом, каiПей1а
tI
Х1lа0mеllУЈе то , iйроуlла, ОН9а је a Z + Ь 1
КОРИСТllhемо раније нацртану CJlнку
3,
= CZ,
На њој УО'Јавамо flСЛИК И квадрат cTpa l lltЦC а
МЈIЫI квадрат страlНЩС С ~I '[стири подударна праrЮУ l'ла троугла чије су катете а и
/).
+
Ь,
Како
је површина веЛИКОI' квадрат;) једнака (а+Ь) 2 , [lOври.IIIна мањег квадрата С? , површнна сваКО I' ОД поменутих
ПРШЮУГЛЈ.tх троуl'лова
(" . и)
и
.
ДЈ Је
ВСЛl1ЮI
квадрат
расташьен
на
2 мањи квадрат и ТС праn оу гл е трОУI·лове, мора поnршию! веЛIIКОГ квадрата бити збllР У 1I0ВрШIIНа мањег квад рата If
' leTllpll ,
правоугла троуглз. Зато је:
4(а · и)
(a+b) · =c 2 + - - , 2 однос н о
(" + и) . (ни) = с' + 2"Ь (а+Ь)· а + (а+Ь) ,Ь = с? + 2аЬ а2 а
1I
KOHa'IНO
2
+ Ь(l + (lЬ + fjl = с? + 2аЬ + 2аЬ + fjl = С? + 2аЬ
jeAllaKa
Пример
2
ДУЖI/Н/! увсју страница йра(јОУТЛОf шроуfла јеУllаке су 13 ст 11 5 ст, l1зра'lунпј gУЖIIНУ m pcll /! сmрmнще
Пошто
mof
mроуfла ,
нагласили да ли су то катете нраВОУ"ЈЮI' троугла ИЛИ је дужа од њих ХI1ГIO
IIHCMO
тенуэа тог троугла, п остоје две могућности ,
10
Ако је дужа од эадатнх стран ица ХИ IЮТl;'нуза IlраНОУI'ЛОI ' l'РОУ I 'Л
Meplle бројеве
ДУЖIНl
(/2 +52=
1з2 ,
однопlO
(/2= 132 _ 52= 169-25 = 144, IЈа ј е а
= 12 (а је I IOЗLПИ I ШН број ч ији је к пад рат ј еднак 144, дакле KBaдpaT lН1 корен броја 144), ДаЮl е, ДУЖI IН С СТРi\lllща то г п раnоугл о г троугла су 12 с т , 5 ст, 13С l11 ,
20
Ако су обе задате страНИ llе катстс то г правоуглог троугла, ОНЩI за мерне бројеве ДУЖИ1-1.1 ст раница
то .' Т рОУI'ла иажи:
одаклс ће бити
cl = 132 +
52 = 169+25 = 194,
односно
с
г
=\' 194,
па су дужине страница тог праrюуглог троугла 13 сIП, 5 сtП, ,,'/ 194 СI11,
ti
Задаци 1,
Израчунај ДУЖIIНУ ХlllЮl'енуэе правоу,';Ю I' троугла Чltјс су ДУЖIIII С н:атета: а)
] 2 ст; 2,
б)
]
11
9 "11
11
3
Задате су дужи н е ХИНОП'lIузе 1I једне катстс правоу .'ло г T poY1'Jla: с
= 20 ст, (/ =
]2
СI11.
Изра'lунај ДУЖ I1НУ дру .·с катете тог троу гла.
3,
Израчушј обим ПРШЮУГJlО Г троугл а а ко су задате дужине:
.1) 4.
катета (ј
= ]6 с т , Ь =
[2
сш; б) к атете
хнпотенузе а
= 16 ст, с = 30 СШ.
Из ра' l унај обим п равоугло г Т РО упш ако су дужине двеју страНII ца: а)
7 S.
11
5
ст
I! 4
ст;
6) 5
dш и
о)
0,5
б)
т
dш, Коли ко има решсња?
Изра
ДУЖИIiУ хипотенузе
јеДll
2,5 C1l1
његових
катета
х
6,
1",
На основу података на СЛИЦИ
израчунај странице,
ДУЖИНУ
непознате
0,7 ст
2.2.Теорема обрнута Питаrориној теореми Започели смо прt."тходну лекцију формирањем ТРОУЈ')[ова IlOMOl1Y канапа 11 »мрл.алНI~а" . ТОМ пр ил и ком СМО се уuерили да за посматране две тројке мерннх бројепа дужнна дужи, које IIспуњ.шају УСJlои да је збир квад рата д вају ОД бројева којll им ПРllllадају једнак квад рату
TPChCl'
броја, l.IаЖl1 да представљају мерне бројеве ДУЖlll13 страllllца ПР'ШОУ " JlJ I Х
...роу
,'лов а. Увср н ћсмо се сада да овакво тпрђење важ и у општсм СЛУ'l ају. ТЕОРЕМА
Ако j~ кааур"m ОУЈК,mе јеу"е сmРallUце шроу!Ла јео,,"к з611рУ квllураmа gужuна осталих gбеју сшр,mUI~а то, mроуrла,
0"9"
је тај
mpoyfao
аравоуrлu. ар" "ему је У1ао Ifаспрам
Il(lјgуже сmРUllllце прав.
Д о к а 3. - Нека је дат трОУ ,',Ю Аве и н е к а , уз уобнчајено 03Ю1'НШ<Јње стран ица, за дужине
Њ~I'OIiИХ страНlща ЩIЖИ да је а 2 + Ь 2
= С? , Посматрајмо затим нраllОУ1'ЈЈИ троугао MNP 'Iнјс су
ДУЖ I1Н ~ катета ј еДllаке
{/ 11 Ь, а прав УI'
р
• ь
ь
"
,
А
в
м
" р
N
C;IIIKa 5 Дакле, угао код тр ОУ I'Ј lа
MNP,
TCMCII
С троугла АВС је прав, јер је једнак углу код TCMe ~1:1 Р
а он јс ло ПРС1'поставци прав, Доказалll смо }џl је т роу.'ао АВС IlраВОУГЛII ~1
да је У Ј' ао наспрам најдуже странице с тог троугла прав . ОЩI се теорсма 'IССТО зовс
Ilример
11
обрuуmа ПUfllаiОРUllа mеорема.
1
Заgаmе су gужlt/lС сmрmнщn mроуlла Аве :
6)
=8 СIl1, IJ = [5 оп, с = [7 ст; а = 20 ст , Ь = 23 с т, с = 29 сш;
В) а
1')
(/ = Ј2 ст, Ь = /7 СI11,( = З ст ;
д) а = -.Ј'5 ст, Ь = 7 ст , с = 8 СIП.
а)
а
Провери да
)[11
=40/7 С I11 , Ь = 9/7 ст, с = 4 [/7 ст;
је тро у гао Аве правоугли.
а)
Троугао јес-гс I Ј Р.1II0 У I'ЈII1, 6уду Ilн да је
б)
Троугао lIије праIЮУ " ЈI И, 6удуIlи да ј е 202
11)
Троугао јесте I lраВОУГЈIИ , 6удуIlи да је
82 + 152 = 64 + 225 = 289 = 172.
+ 2з2 = 400 + 529 = 929;t: 292.
г)
TpoYI'ao јесте
прanоугли, будући да је:
(-'/2)=' +( ' '/7)2 =2 + 7=9=32 . д) Троугао није праI:lОУI'JLИ, будући да је
('\/sy + 7" = 5 + 49 =54 :;;t64::: 82.
Задаци 1.
Ако су мерии бројеви страница троугла : а) увери се да Је таЈ троугао
2.
б)
8, 6, 10;
12.35.37
правоугли .
Мерни бројеiНI страllИl~а троугла су : а)
5, 7, 9;
6) 12. 15 18.
Увери се да тај троугао Iшјс правоугли .
3.
Задате су дужине страница троугла АВС:
43-
а ) а:::-т, Ь= - Пl ,с::: ~ п:; 777 13 в) р::: 6 ст, q = 2,5 СПl,/, = -
б) а:::
2,4
сЈт, Ь :::
г) а::: ~cт
ст;
7
5
4,2 (im, 17
Ь :::-ст'
с:::
4,8
Јт;
23
с = - ст '
4
10
Провери да ли ј е ТРОУ"ао АВС праrюугли .
2.3. Примене Питаrорине теореме Питагорину теорему можемо применити у решавању раЗЛИ'II1ТИХ задатака . При томе, имајући У виду да се она односи на правоугле троуглове, то задаци садрже у самој поставци или се у процесу решавања појављују правоугли троуглови или многоуглови КОЈе раЗЛ
Пример
1
D,-_ _ _ _."c
ИЗР(i'/унај gужtlну glljаfонале K8agpml1a ако је gужина њеiове странице
3
ст . Зет
Нека је то квадрат AВCD . Знамо да су дијагопалс квадрата јед наке . Дијагонала АС је х.ипотенуза јсднакокраког правоуглог троугла Аве па је, према Питагориној теореми,
АС 2
= АВ2
+
ВС 2 ::: з2
+
з 2 :::
2 . з2
:::
18,
А
в
од носно ~
АС= ,\,'3 2 ·2ст =
r
3"",:'2
ст .
Слика
6
Q'lИгледно је д~ мерни број ДУЖ l1ll е стран~ще, који је у нашем п рнмеру био
3,
јеД l1lllща
мере за ду-живу, з~ кој у смо у овом примеру изабрали цеll тиметар, може бllТИ било којll гюзнт нваll реалан број и било која 011. јединица мере за ДУЖI1НУ. Доказали смо да заж~, следеће.
Ако је ари uза6раllој јсуиlIицu мере за gужuну мерllи број gуЖUlIlt странице кваураmа
јеунак а, Оllуа је мер"" број gУЖUllе guјаfонале тоl кваураl71а јеУllак аЈ2. Дакле.
d=aJ2. Пример
2
D
с
А
в
Израllунај gужuну gllјаlо/шле UРllБОУfао1tllка ако су 9У ЖIIне њеfОбllХ
cyccgllux
сmрmmц"
17
ст
119
ст .
Нека ј е то np~BOYI'aoHIIK ВС
ABCD и IIска је АВ = 17 ст 11 = 9 СПl. Д~ф1l'ОНаЈЈrI АС Iюсматраног праВОУПlО,tиК,1
је ХИПОТ Сllуза праваугло г ТрОУ"ла Аве Примењујући ПитаГОРИIIУ теорему добијамо да Ј е к вадрат мер иог броја ДУЖlIне д иј
АС! 1'[<1
је ДУЖИIJa
Сл ика
= АВ 2 + ВС2 = 172 + 92 = 370
7
AJljaJ'ollaJle Ј еДИrlЮl (Ј = АС = \1 370 ст.
Овај поступак "ПРОJlаз и " у општсм случају. каШI су мсрни бројеВII дужина сусед ни х стра Нlща праnоугаОflика било KaKB~1 позитивни реалнн број ели а Ј еДНlllща м ере З <1 ДУЖi1llУ
1" РОIIЗВОЉIЈО Il забрана. ДоказаJlИ смо да uажи следеће. Ако су 11рll UЗll6раllој јеgUIIUЦII мере за gУЖUIIУ мерии бројевll gУЖU1lа
cycegllux сmРtllllщtl apaooyluolIIlKtI јеВllаКII а 11 Ь. О"!Ј" је мер/ш број gУЖUllе gllјаfОllале то, ПравоуfаОllllка
јеаllак J(ll+ b~ . Будући да је к вадрат правоугаOlI ~I К
1 могли
'1l1je су сусеДllе странице једнакс, j ~ C HO је да 2, уз претпоставку ца је а Ь.
РСl1Ш llаПI примењујући I1р имер
смо 1" ример
=
01111 су нам Il р и ме р" по к азали да се за сва изра'lунзвања користе мер ШI бројсви Ду-жllва
ДУЖН које у ЊJlма учсстuују. Дз бl l СМО појСДIЮСТ'I1IИЛlI споразумеuање, било оно rlНcaHo
JlJНI усмено, даље ћемо чссто 1Н1С
11
б Р ој
Н е ст р анице , подразумеU<1јући да смо и забрали општеllрихваћСJlУ (каже се и с т
rI-
11 Д а р Д н у) јединицу мерс за дужину. На тај На'\НН ћемо упр.шо фОРМУJlисану теорсму (кра ти ти.
Ако су gУЖUllе сусеаllих cтpa","~a
aptlBoyfaOlIllKfI jeglluKe а
iПоТ apaooylaOlIllKu јевнака Ја ! +Ь! "
11 Ь, 01l9а је gУЖUllа guја'Оllllле
Подсетимо се да смо од самих почетака бављења реалним бројевима,
11<1
прпнм часовима
усвојили као несумњиву ист ину да свака дуж има 11О'ПIУНО одређену ДУЖIIНУ. која се при
и з абр.нюј јеДIШИЦ~1 ме ре за ДУЖИllУ IIзражава као производ одређеног реаJIIЮI' броја и изабране ј еД Иlшце ме ре. На тај ЩI ЧШI је задаваљем дужи задата 11 њенй дужниз. 3ато ћемо, опет
у
ЦИЉУ
ПОЈ('ДНОСТ'ШЉ lша Њ
записа ,
'I есто
КОр" СГ IIТИ
ду жниу. Ак о је, на пример, Iюсма тр,ща ДУЖ 03 1-[а'[('1'I3 сз
оз на'l ава ти исто тако са а, уместо са
Пример
1а 1,
(1,
и сту
озна ку
за
дуж
11
Љ(' I ЈУ
МЈ I ћемо њену ДУЖ IШУ често
како смо то чинили раније.
3
Израчунај обим jegllaKOKpaKO l mр оуfЛ (/ бl/С1IНе која oglooapa ОС/106/,ЩII Ј,
m(()
су .1(1galI1e gУЖIIН(/ ОСНО81ще {/
= ЈО С IП
11 gУЖIll/(/
= 12 ст.
ОбllМ ТРU }' Пl а jeДll3K је зби р у дужшы ње l'ОВНХ страница. с
Како в и с ин а која ОДI'овара ОСIIQВlIЦ И јеДllакокраКОI' троугла цел и тај троугао н а ДВй гюдуцарн а прапоугла троугл а једн а Kaтt~Ta ДУЖl1llе
5
ст
<1
друга катеТ<1 дужине
12
'111;<1 је 111'11-
СIП,
мењујућн Питагор"ну Т С'орсму израЧУН ;lваМQ дужину ХНПО тенузе (то је дужина Ь кракова то г јсднакокраКО[' l'РОУI'пй) ,
h = \/122 + 5 1 СП1 = \/ 144 + 25
ь
ОбllМ О pa ' JYI-IЗМО по фОРМУЛI1
л
5С ll1
5 СIl1
Слик а
0 = {/ + 2Ь
0 =( 10 +2 ' ]3)
12 СП1
сПl = ) ] б9сlП = 13СI11,
сl11
, ДаКЈ l е,
= 36Сl11 ,
в
8
Пример
4 ИЗР(I ' IУlшј 6IIС/I1IУ jegllaKociТipmlll'lHor гароуfЛfl ако је gУЖlII/ll н>еТовuх
с
сй7рmlllца
7
С П1 .
Свака од висина ј еДlЈаКОСТР<1НИ'II-JОI' троугла деЛЈ[ тај т роуга о Н<1 два 7ст
110дудаРН:1 IlраIlОУ ГЛ
AaTor'
ТРОУI'ла, а катсте су висина и половина странице Д<1ТО Г
троугла. На основу IlIlТШ'ОРИ/lе теоремс рачунамо
А
~ ст
7 2
- ст
Слика
•
9
Ако је .\1еРI IИ број дужи не cтpa l l l l l ~e јед накостраllИ'IIIN троyrла jeДl l aK tI ( у нашем
0 11
је био
7),
IIPIIMCPY
ОIЩКI,IИМ поступком ДОШIЗIIМО дО фОРМУЈlе за израЧУlI<шање ВIIClПlС ( lIодсетll
мо се да IlIIСIIJIОМ троугла зовемо ДУЖИНУ нормалне дужи која садржи теме троугла с 1I00спрамном страНIЩОМ) једна кострани чног ТРОУЈ'ЈI(I . Све радИМО I ']рll щаfiраној једИlНЩН мере за дуЖIIНУ. Нска су дужине страница јеДII.lкостраШIЧJlОГ ТРОУ I'llО1 Аве једн :н;с
(/
ст 11
н ек а је та'lка М ГЮДllожјс нормале повученс tlз темеllа С lIа стрО1ЮЩУ ЛВ. Он д а је IНlCI1Ha
1,
ТОI" троугла јеД l l
11 =
<
с
Ја, ~ Ю ст = Ја' ст соn ={з(;)' cт=~ :3cт
tlСJn
УоБН'lајено је, гюдразумеllзјући да је изабрана јеДl1Jllща мере за ДУЖ I1НУ, изостављаПI IIl1сање њенс О;'ШО1ке у фОРМУЛ]f . Дакле, "КО је 3llgmПti gУЖiНlll
Q СШР"НUI~е јеgllQкосmраllu·шоr шроуfJIQ. h jeglltlKa
60
Оllуа је Iьеlооа висиIltl
h=
А
-.!!сm
•../3 .
2
2
м
а
- ст
2
Слик а
]0
З НО1јући одраније формулу за изра'lун,шањс ПОВрШI1Не троугла сад јеДIIО c TallHO на1l
троугла, ако му јс позната дуж ина а страНЈ1Ј(е (изостављамо IНlCaњc ознаКЈ за јеДltшщу
мере 3..1 дуЖ1l1lУ 1I ОД Ј"ОваРЈјуће једшшце :l-tcpe за IЮВРШIIНУ):
ДаКJlе, ако је эtlgаmtl gУЖUI/(l
(l
сwраЩ1че је91fакосmраllи'lllО; mроуtлu. Оllуа је ,ьејова иовр.mmа
р јеУllUКU р=
. ' ../3 . 4
Задаци Израчунај оБЈIМ квадрата ако је дужина њеЈ"ОВС Jl.ијаl'Oнале
d = 12
С!n.
Израчунај об~IМ ПР~ШОУI ' ;ЮIН1ка ако је дужниа ј СЈ\ IIС ЊС"ОIJС страНIII\е а НЈ дијаl"О IЫJlе
3.
(/ = ] 7
= ]5 ст,;. ДУЖ II
СП1.
ИзраЧУllај дужине страница пр<нюуl-аоника ако је Jlужина његове дијагон.UlС
а УI' ао
II:'IMCIjy )\ијагонале 11
јсдне сграНlще
d = ]2 С ЈП ,
600.
~ Израчунај 1l0ВРIIIИНУ једнаК()КIМКОI' троугла ако је дужина "'CI'Olle ОСНОВlЩС (ј а крака Ь
5.
=
= 14
Ст
0 = ]8
ст.
9сПl .
И з ра'lунај I IУЖИНУ теЖ IfШ ll е ДУЖII
jellHaKocrpalllt'IHOI" троугла ако је
I I,(,:"Г08 об~l,\1
в
2.4. Примена Питаrорине теореме на ромб, трапез и делтоид
Пример
1
с
/)
ИЗР(I'Iу,шј об1lМ ром.ба ако су .11J!Јаше gужuне Ive fo611X guјаrон(/ло : Ј l
= 12 ст, с1 2 = 8 ст.
Знамо да се дијагоналс ром ба уз ајамно полове и секу ПОД правим УUЮМ. Зато је дијагоналама ром б растављен на ЧС'Тl1РИ подударна правоугл а троугла. Нека ј е то ромб
ABCD,
дужина љегове странице а 1I н ека је М преСС 'lН а
та ч к а ље гових Д ~фll·О Н iUlа. О н да је, на П р lоl мер,
d
АВМ Гl равоугли а ДУЖ IНI С' ЊС ГОВ IIХ к атета су -.!
2
=
= 6сIП
11
А
в
п
.
~.
2
6 С IП
TPOYl'ilO
С;lI lка
4СI1l, ДОК Је дужина њихоnс хипотенузе Једнака а.
]]
Применом Пнтагорине теоремс lIа троуг ао АВМ израЧУНi1l\аМQ ДУЖI1НУ (Ј странице ЛВ:
КОРIЈIllI\сњсм !ЈСIШ()ј' K
0,0011026... ,
= 7,2111026 ... ,
Ilа ~юже,\lО узетll ла је, Ilа "PI1M~p .
(1 '"
маl l.у од 0 ,0 1. 0611М О pO~16:l jCДll aK је 4а, 11<1 J\:ipa'I)' llaJlaMO
611111КlIO,\I IЈреДlЮllrt, у. lIаЖI:iIlМО д;) је О,.,
7,2:1,
'111Mt' С\IO )"1111111Л11 l ' peulKy од
0 = 4 ..J5i Сlll.
Ако се 3;)ДОI\О,1 ,II,\IО IIРI1-
28,84 СIIl, УЧllњеlЩ Ј'решк;) је 0,0044 ... 11 маЈ!.;) ј е ОЈI О,ОЈ.
Пример 2
у јеУllакокраком шрапеЈУ i10Јlюmе су qУЖllне OCl/OOlllj(? а
= ] 4 ст,
Ь
:::: 6 Ст
11 (НIC/и/(/
11 = 5
ст.
ИЈра'fунај gужuну њеl0аlfХ кракова. Н ска јс ТО l' рапсз
ABCD, Il pl1 чему ј е АВ
веl1а а СО
м а ња ОСНОI~ ИI ЏI т раl 'I СЗ
D
с
IlOрМалс, ПОВУ 'IС Н С са
,
на ос н о в ицу АВ <1
ОСНОIНЩУ АВ. Онда су ТРОУГЛОВIi
не
ст
--
Р
СЩlка
од
(а-ћ)
• 4
113 теме на D
подножје liOp .\ 1,UIC, llOll)"IC I"I C 11 3 TCMCl l a С Ila
APD
Н
BQC
ЈIO
дударни праВОУI')l И ТРОУГЛОНII ' Iија је ДУЖIIII
5сП1
А
Q
п
в
Q
катета ~
2
--
5 СПl
ст,
=
дужина
ДРУI'С
од
ка т ста
.
4ст, а дужина ХII1"10тснузс)ед-
2
H
12
] 4- 6
ДУЖIНl У с њс гове хи потенузе, а т и мс
APD
ПI1ТШ'О Р II Н У теорему 1,lз ра ' I Уl l аЩI МО
11 ДУЖ IIllУ
к ра ко ва тог т рапсза:
и овог пута, користсћи ЏСПНИ каЛКУЛ
= 6,403124 .. . c\n
о::
6,40
ст, при чем у је учињена !'решка мања од
0,0 1 СIl1.
Пример
3 ИзраЧУllај 1I0вРlllllНУ gелmОllgа АНС/Ј
с
(Јате gУЖlmе п
= ] 3 СПl
1I1jtI ЛВ и ВС 11
15 СIl\
KIKQ
су ,\јУ 3(/ -
(//(0
и Ь
= ] 5 оп cycegl/lIx сmР(/I/ gУЖ/llUl Ј l = 24 сш gllјatОI/ШI С BD.
СУ 'Тр UI IИLtе АВ и ВС HejeAlluKc ДУЖ l l l lе, At'ljU-
ГОН
BD
IНlје симетрЈ.ЛU делтоида. То :~ I1Utlll Да
дијЈ.I·О Н ШIU АС јесте с и метрЈ.ЛЈ. Д СJlТОlща, Нека је М п реССЧ Н <1 Т<1'lка дијаГОН3Л
12 Ст
12 С I11 м
D
дија/ 'ОН.lле ВО, па је ДУЖИ1I <1 ДУ ЖII дМ ј еД ll3ка
в
]3
d, = 12'111. 3 ",IМО 2
ст
јамно НОрМШlIIС. Зато су троуглови ЛВМ 11 Н СМ праUОУ1"ЈtJ.t
А
Сл и ка
и
може мо
примеl1l1ТLI
I II1Т;lГОРI1tlУ
теорему З <1 1f.'Iр<1 'tушшањ е њихоllt lХ ,тр'НtI1lЏl које
13
не зна мо.
Pa'tYllaMO:
IAM =.Ј 1 3 2 - 1 2 1 ст=5ст, одакле ј е
.
Д
ICM =~ 1 52 - 1 2 1 cm = 9cm ,
I АС I = (9+5 ) с lП =14 с т , па је траже на tlOВрШlIна једн ака d ·(1 14·24 =-' --' =--сш = 168cm 1 .
Р
2
2
2
Задаци 1.
За i"lр а1ЮУI')[I1 Тр;lIIез I lОз н ате су ДУЖlIне ОС l lO ВLща
но рмаЩlOt· на ОСНоtllще Ь
2.
= 12
СIП, с
= 4
ст 11 ДУЖlIна крака
= 6 СПl . Изра'lунај ДУЖIlIlУ другог крака .
l{рећућ Ll ,е по раuннuи II зле тник је ишао
[2 kl11 н а југ . Hu
(1
4 ktll Jta ceuep , з атв .\-! () klll Jla
IIСТОК
11,
JI:!јзuд,
КОЈ1I1КОМ р а стој ању ОД ПО'lСТl tс Т:!'1ке се налази на крају IIУТ:1? (У IЮРС
Л lt с преТХ ОДlнtМ задатком.)
3.
ДУЖ l tllа страница ро м6а је ДУЖ ИII У љеl'ове
4.
n p y l'e
10 ст, а ДУЖ lfll:! ј ед не њеl"ове Д lфГOlt ;)ЛС је 12 оп. Изра'l У lI
ДНJ:l I'О liaле и ПОВРJlJlШ У.
ДУЖ IНl а страница ром6а
jenllaK
је
5
с т а један од његових углова једнак је
600.
И :sра ' IУI I <1ј дужинt.' ДIФt·ОIЫ.llа и П()ВРtI]ИНУ ром6:!.
S.
П озна"Гt.' с у "["И дужин е диј:!l'онала ДСJlтоида (/1 =
8 ст, d z = ) 2 ст И ДУЖИ II :! јел.IЈО1' Iz apa = 5 ст . И зр :!чун ај дужнну дРУГОГ Гlap
=
6.
ЊI СJlИ1Џl је приказана ситуација н а
в
терену. КОЊ3I1ИК, који се налази у Т<1<ЈКИ А, треба да напоји коња на реци
r
и снн"не у T
/3. Упореди
дужине
пугева које треба да пређе ако КQп,
S,
где је
S
~tЈ1И У та
Q
средина дуж и
PQ.
5кm
л
Ко
лика је дужина пута од А до В ако ко
2km
Љ" НС напоји? р
3 кт
,
Q
~CJТI I К:I
14
2.5. Конструкције тачака на бројевној правој које одrоварају квадратним коренима природних бројева Научили смо како да КQНСТРУИШСМQ тачку lIа бројевној правој која одговара броју ,/ 2 . ПОК
правој које одговарају бројевима ,/3,
/ 4,,/5, ,/6, . ..
Нека је 3 •.11.1<1'1'<1 бројевиа права избором јединичне дужи
0/ , 0(0) , I(]) .
Конструисањем
квадрата над јсдиничном дужи налазимо дуж дужине ', /2. Њеним преношељем на бро
јевну праuу (у ,ЈО3ИТИШЈОм смеру ч иј ll је поч етак у О), добијамо тачку А( /2). Конструи шимо затим дуж ЛА, дужин е
1,
нормалн у н а б ројеuну осу. ТРОУ I'<Ю ОАА
1
је пра1ЮУ I'ЈН1 с
!
/2
о
(о )
Ј
Слика
15
( 1)
А(/2)
8(/3) С(2) D(/S)
правим УI'ЛОМ у ТСМСElУ А. МСР"II бројеви ДУЖИlI;Ј. ЊСI'ОIlИХ катета су
\f2
It ] ,
П;Ј. је MepH~1
број дужине њс['оце хипотенузе ОЛ 1 једнак
Ј(;2)' + l' =.[з ПРСНОН I СЊСМ ове хипотенузе на бројевну праву (у ПО:~ ИТИUllOм смеру '1llјll ј е почетак у О)
llaлазимо тз" I КУ
8(-/3), Та'IКУ
с(Ј4), у ствари
Ta'IKY
С(2) КОIIСТРУИШСМО Il егюсредно,
преношењем ј еД IIН I I'I IIС дужн. Конструишимо затим дуж ССI, ДУЖliне јСIШУ осу,
Примср
TpoYl'ao
1, норм ал н у на 6ро
ОСС. је праВОУГЛI1 с правим углом у тсмсну С. Мерни бројеВII ДУЖlIна
I
КОllсmРУН!l1II Шј бројеОf/ој правој UUI'/ку која ogfoBapn броју
\,г ] 9,
ПОТРilЖIIМО (КОР~IС'геhи се таблицо м множењ;Ј.) ПРllрОД'l1l број '1llји је квадрат "близу" (ово '['СК да би природни бројеви који се пој ављују п од од њеl'а. Уочанамо да је 1'0 број
4
KOpellQM
бlUlI1 ма1111) броја
Знамо како се Н;Ј. бројепној праВОЈ КОНСТРУlНпу Ta'IKC '/14) .,ПОДIII'llемо" l юрмаJlУ
19 н маљи је
и да ј е
11
щ-Јз) . Ако у та'lК~1 Т
1-1;'[ бројевну праву и на њу пренссемо дуж 013, доб l1h емо праВОУГЛ II
троугао чиј " су MCPIНI бројсви дужина "пета једнаки
4
1-1 Јз,
113
јс ,\ICP IIII број дужине
-.Jl9. Преношењем ове хипотенузс 113. бројеllllУ "рапу (у ПО311 тиUlЮМ смеру '[llји је [1O'lе1'
А,
I
о (О)
/( 1) А(I2) в(/Ј)
гз
Т(4) M(1Т9)
Слика
16
Пример
2
О,
КОl/сmРУUШIl IItI бројеmюј пра вој
која
rTla'IKY ,\12] .
ogiooapa
Уочавамодаје21 и
21
броју
5
= 16+5,али
2
= 25 -
4. Прво представ 21 IЮДII нас до кон из примера 1. Кори
Ј1>:IЉС броја СТРУКIlијс
С'l'ићс ,vю ДРУI'О предст.шљање. ИЗ ЊСI'О\ fНЩIIМО да је м
Ј( 1)
0(0)
Слика
~
што зна'lИ да Је "'; 2]
17
мсрии број Л)'ЖИl-I С катстс пр<нюуглог троугла у које м су ПО31'lати
мерни број дужнне ДРУI'е катетс 2 и МСР "11 број хнпотснузс S. Конструисаl'tемо такав пра ВОУnlН ТРОУI'ilО ООIМ l'IРНМСII,ујуl'tи праВI1ЛО ССУ (страница, страllнца,
yrao I lаспрам 001 нормална на бројегщу праву и има МСРIНI број 2. ДобllјCllО треће Ta'IKa.
Ilсће), 1'lрИ чему је дуж теме ЛIl је траЖСН<Ј
Уместо прирОДНОЈ' броја чији је квадрат "близу" и мањи можемо КОРИСП1Ти ПРИРОДНИ број
чији је квадрат "близу" и ве~1II. ВИДИМО да 11ам је обично задата дужина бар једне ОД катета праВОУl'Ј101' троугла коју при ЈТиком конструисања користимо. Један од њеиих крајева смештамо у тачку
0(0),
а други
крај I-Ја Ilозитиван део бројевие праве . Један од тих крајева бирамо за теме прзвоl' угла такrюг ТРОУI'ла, Који од њих, зависи од тога шта нам је поред дужине те кзтете познато ,
Задаци
1.
I{ОIIСI'РУI1ШИ на два на'шиа та'н<у бројевне II раве која oAI·ouapa броју -Ј6.
2.
I{ОНСТРУИWIl Ta'I KY 6ројевне IIраве која одговара броју: а) -
3.
КО1ЕСТРУНШН Ta' IKY 6ројевне праве која одговара броју: а)
4.
КО][C'I'руиши Тi1ЧКУ бројепне праве која одговара броју: а) Јll ;
5.
I(OIЈСТРУIIШИ, редом, тачке које одговарају бројевима
6.
Т,\'ЈКУ која одговара броју
2/3;
б) 2 - ,Гs . б) -3+ 2 -1з.
r::
11 "\,'3 па, користсћи се IЫlма,
Тачке бројевне Гlраве 2 + ,/3 и 2 - ,,/3 симетри t lне су у односу на тачку: а)
7.
-'/'5 ,
,
,-'2
/5;
2;
б) ,/3 ;
в) - ,,:'3. Заокружи слово испред тачно]' одговора,
На бројСВllOј правој није означена та'lка ДИ ДУЖI1НУ јединичне дужи
11
означи
1(1) а означене тачку l( 1) ,
су тачке
0(0)
11
r А(v"2).Одре-
({21)
3. РАЦИОНАЛНИ AJlГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ
3.1.
Степен чији је изложилац природан број
ПОДСЕТИ СЕ
у нижим разредима СМО број
987 654
заПИСИВа1111 и Н3 следсfш начин:
987654 = 900000 + 80000 + 7000 + 600 +50 + 4 :::: 9· 100 000 + 8·10 000 + 7· 1000 5·\0 + 4 = 9-105 + 8-104 + 7']03 + 6-102 + 5· 101 + 4.
+ 6·100 +
Тада смо I-'РIЩ ПУ" користили степене броја ]0, тј. бројеве 101, 102, 103, 104, 105 ... за краћи (дскадни) запис Ilриродноr' броја.
у 'IСТИРl'QМ разреду смо КОРИСТIIЛIf формуле за ItЗра'lунаlыње ПОВрШИIIС квадрата Р =
и ПQвршине коцке Р
Пример
= 6· а . а :::: 6 · (/2 И У њима израз а . а замењивали
= aZ
изразом а ,
1
Ако 11Вlща коцке има ДУЖIIIIУ /1, запрсми на коцке
MYJlcje V = {ј' а 'п =
Пример
(1 • (1
2
VjeAllaK3 је а
· а · а . Краl1и заlll1С ове фор
(/3,
2
Изра'lУl/ај 25,
ПРОl13ЈЮД 2 · 2·2·2·2 краће се може записати као 2 S где број 5 IlОказује колико пу,'а број 2 М l lQЖflМО самим собом, Дакле, 25 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32.
Уопште, можемо се до говорити да ако реал ан број а треба да помножимо самим собом 1I пута
(11 је природан број), онда се тражени производ ~ краће записује као а" и
•
'IИ'га "а на п"". Број а" З0ЦСМО п-ти степен броја а. У crепену а" реалан број
Q
предcrавља
OCIIOBY crспена,
а Прllродан број п ИЗЛQжилац (или експонент) степена.
- -+- а п
степен ...
-
'------±I_. -
•
основа степена
~
изложилац степена
Ако израчушшамо tI ~ Tlt степен броја
(1,
онда говоримо о операцији степеноваља, па већ
упознатим алгсбарским операцијама сабираЉil, одузимања, множења, дељења н корено в а ља, придодајемо још једну зна ч ајну алгебарску операцију.
Вред ност броја
Пример
3
ИЈР(јllунај Број
(11 ј е по до говору једнака самом броју а.
5·1.
54 :::: 5 . 5 . S . S :::: 2S . 2S :::: 625.
Пример
4
ДокаЖll уп је Како је
24 :::: 42.
24 :::: 2 · 2 · 2 · 2 = 16
Пример
= 16, то ј е
доказ заВрШСII.
5
Ш т а јс 8сће з 5 IlЛII
S3?
I{ако је з 5 :::: 3 . З . З . З . З
Пример
и 42 = 4·4
= 27 . 9 ==
243 н 53 = 5 . 5 . 5
= 125, то је 24 3 > 125, па је з5 > 53.
6
l1зра'lУllај (_ Ј )7. "рој (- 1)' = (- 1).(-1 Н-1 )·(-1Н- 1 )' (-1
).(-1). Како је (- 1) . (- 1) = 1, то је
(-1)' = 1·1·1·(- 1) = -1 .
Пример
7
Да ЛII је а "
=
11 "
?
У примеру 4 видели смо да је 24 ј еднако са
11"
= 42 = 16, а у ПРl1меру 5 да је з
за ( ваки реалан број а и сваки природан број
а ко је а паран, а IJ непараll природан број, онда је
(1"
n.
па ран, а
s
> 53. То
I'ОfЮРIi да а" Hllje
Постоје I-t други Ilрнм ери, јер
11"
II('параll
IlpllpOAaH
број.
Пример
8
ш та је всliе
К"о је (-3)'
(_3)4 IIЛ 1/ (--4)3?
= (-3) . (-3) . (-з) · (-3) = 9 · 9 = 81
тоје(-з)4 = 81
Пример
и (-4)'
= (-4) . (-4) . (-4) = 16· (-4) =-64,
>_ 64=(-4)3.
9
Изра'lУl/ај (~J
Степени се у науци, а и у снакодневном животу КОРИCl'е врло
'lecTO јер
МНОI'е велике бро
јене није лако написати и описати коришћењем класичног декадног записа.
Пример
10
Познато је да се једна меморијска ћелија у рачуна ру зове бит. Један бајт садржи
8 бнта.
Је
Дt1H килобајт (kB) је 2]0 = 1024 бај т а. Један мегабајт (МВ) има 2\0, дакле 1 024 килобајтоuа. Један Ј'Игабајт
(GB) је 2]U или 1 024 мега6ајта, а један терабајт (ТВ) има 2]0 И}ЈИ 1024 Гllгабај та. Дакле, један кнлобајт има 2]0, '\l ега6ајт има 220, Пlгабајт има 230, а један тера6ајт има 240 бајта. Број 2'10 = 1 024·1 024·1 024·1 024 = 1 099 5 11 627 776 11 има 13 щtфара.
Пример
11
Светлосна !'одш! а је дужина пуга коју светлост препали за једну ,·од ину. Брзина светлости
је
3·108 шЈs, а у години дана има 60 . 60 . 24 . 365 = 31 536000 секунди. Тражена удаљеност нз ~юси 3·108 . 31 536000 94 608 000 . 108 m или 9 460 800 000 000 000 111 9 460 800 000 000 kш,
=
=
па светлосна !'од ина при6ШIЖIЮ\ представља дужину нешто мало мању од девет 11 гю хиљада милијарди КШlOметара,
I Каже се rtрн6Л1tЖIJО, јер једна астроtЮМСI<
Пример
12
До кр;Ij<1, 2005. I'одине највепи познати прост 6рој је 6ио 2ЈО.402 ,Ш - 1 (овај број I[м а 9 152 052 цифара). И з ра 'l У Нали СУ га
15.
децем6ра
2005. ["ОДН НС ДЩ) IIрофесора са МIIСУРИ Држа вног
УНlfве Р3 IЈТ("1·а. КОЛIIКИ је израчунатJt 6рој I Iај60ље I·ОI.lOри следе пи пода-rnк. Ако на страни ЦУ КЊII I'С стане око око
3 660
Пример
2 500 цифара,
онда
61f КlЫ j гa У којој 6 ~1 сс 06јаВIIО тај прост број н.\lала
страна.
13
АUОl'ЗДрОI3 број, познат јО1.l.1 и као АВOI"аДРОII;} КОНСТ
н ом молу СУПСТ:1 IЩС. Аrюгадров број ИЗНОСИ 6,022 14199(47 ) ' 1023 по МОЛУ.
~ Контролна питаља Како се краliе запнсује ароювоg п међусобно jcgHaKUX реаЛНIIХ бројева а ? Шта је ОСllова а шта I/ЗЛОЖ/lлm\ стейена? КОЛll/((/ је вреg 1/0Сi1lюраза (f' ако је п ЙРllроgа1/ број? Да ли је
1" за сот", пр ироуан број јеglШК 1?
Ако је 11 Прllроуаll број,
N
Kaga је (-1 Ј" јеУНlIКО ), (/ кауа -1?
Задаци 1.
За Пllllltl
CTCtlCII
а) основа
2.
Слсдспс ~I з ра зс за rrИILlН У облику степена и израчунај вредност добијешtх CТC lleHa;
2,
а изложилац
7;
б) основа
о) 2 · 2 · 2 · 2 ·2; б) (-7) ' (- 7). (-7); В) (;)ШШ(~} 3.
-9,
а нзложилац
4,
,' )(-0,3)· (-0,3)' (-0,3)
Следсћ с степеие за llИШИ у облику производа једнаких '1 IIНllлаца, а заПt М израчунај
uреДIЮСТ дaТljX степена; а) 3\ б) (-4)3; В)
(lЈ; '")(-~ Ј ; д)
(0,2)3 .
+ (-1 )9;
5.
OДPCДl1 вредност израза: а ) 63
б.
И ;јра'lунај ПQдефllНl1uији: а) (-1)5 + (_1)6 + (-1)1;
6)34 - 43;
п)
Ю +( -~)';
В)
(т'
, ) 26 . (_3)',
6) (_1)17+ 018+ 119; В)
(_3)'
+(-2)' +(- 1)'.
7.
Изра'I УI I<1ј гю дефиницији: а ) (·Ј'2Ј ;
8.
Одреди IJрСД IЮСТ изра за: а ) 24 . З 3 ;
9.
Докажи да је
б) (-.Ј3)'; б) (-4 )"
23 +)2 просг 6рој, број
52 +
(-5)'.
2'; сложен број, а број з 2 - 23 НI'lје нн прост ни
сложен број.
10. Да)ll1 су Т
12.
> 37;
6) 1">(-1)";
11 ) (-4) S + (_5 )4 >
О?
Број е ве : а)
8, 32, 128 1I 5]2 р;ктаШI на ЧИJlИОЦС и ПОТОМ напиши као CTC I'I CII C чија је 00108<1 2; 6) 9, 27, 243 и 729 рзcrави на <ЈIIНllOце и потом Н;IIIИШИ као CTCJlCI IC .шја је основа 3; о ) 100. 10 000, 1 000000 растаЩI на 'ШНИОЦС и напиши као степе н е Чllја је ОС l юва 10. 13. Шта је I.Icl'te: а ) 8'\ ИЛИ 123;
14. Да 1Iи су та 'шс ј ед накости: а) 22 + 23 = 25;
3.2. Множење степена једнаких основа ПОДСЕТИ СЕ
Видел и смо да ако реалаll број а треба да помножимо самим собом 11 пута
број), о н да се ,,' раЖ('IIИ производ а' а' а'
, .. ' а
~
краћ е зап и суј е као п"
11
(tI
је природан
чита "а на
tI".
На тај
"
начин смо упознали нојам Cl'епена и израчу"аваље стеПСllа чија је основа реалан, а ИЗJlожила ц прнрод<ш број, П оставља се питање да ли се Cl'епенн једнаких основа могу сабирати, одуз нмати, МНОЖltТи и делити, тј . да ли се могу и под којим условима и з uодlt Т!1 операц~.је са степенима,
Пример
1
корш:mеlill gефШ/lщ нју стеаена I13ра'fуиај арО ll3боg 22 . 23. Из
22 . 23 :::: (2 . 2) . (2 . 2 . 2) следи да је 21 . 2.3 :::: 2 . 2 . 2 . 2 . 2 :::: 2s :::: 32.
Пример
2
Изра1fУlшј f1рОll3боg х 7 . х] ], fge је х реалан број. Како је по деф~tНl1цијl1
х 7 . х ll
::::
7
Пример
------------7+11
(х · х · . . . · х) · (х· х · .. . ·х):::: (х·х· .... х):::: (х·х· .. . ·х), то '----------.---
'----------.---
It
'----------.--ЈН
3
Дати су реалан број {/ 11 i1p llpOgHII бројевu т 1111. Изра'lунај npoI/J8og ат. а". Користе!'.и II ОСТУll ак
]13 ]lpeTXOAHO I'
ат
. п п ::::
(а· п
Ilримера јасно је да је:
..... а)· (а . п· ... · 11)
'-v------'
:::: (а . а·
~
"''''n
~
m
... · о) :::: o",+n.
. '
И З претХОДН ИХ Прltмера можемо заКЉУЧИТИ да је производ степе на једнаких основа ат 11
an
једнак стс п ену чија је основа једнака основи датих стеПС llа , а ИЗ1l0Жltлац прои звода је јед нак з6иру ИЗЛОЖШl аца датих сгеllена, тј.
a lll • a l1 ::::
Пример
(а Е
R,
т Е
N,,,
Е
N) ,
4
Изра1јУlmј) 2 .
33'
з4 ,
Тражсни IlРОИ3IJОД з 2 мо
а т -+- 11
заЮЬУ' I ИТН да
, з Ј . з4 ј ед нак ј е
праВI1ЛО о
(з2
. 33) . 34 ::::
з5
. 3'1 ::::
з9, Како је з9
множењу степен а Ј еднаких основа
важи
11
::::
з2 +
за
3+ 4,
може
више од два
'IИ I II I ОIЏ'l (сте п е н а јед наких ос нова ).
Пример
5
ЊР"',унај Траже Юi
(-2);· (_2)7. (-2)" . производ (_2)5 , {_2)7 , (-2) 1]
јсднак ј е
«_2)5 . (_2)7), (_2)11:::: (_2)12 . (-2)11 = (_2)13.
Пример
6
Број М IIЛllјарgn зtНIUlUIl км сшеl1ен броја 10.
М ~lЛ ијаРДil је
Пример
1000 МIIЛ ИОllа, дакле 1000 · 1000000 = 10:1· 106 = 1 0 · ј о· 10·10·10·10· 10·10·10 = 109.
7
у ~I аред ној '['абели дат ј е "РС I"л ед сте пен а 6роја
10.
3 на 'lење
Ме l)ународн и
ЕВРОПСКII
ЛМСРI I'I К И
$1
Ha3 ~IB
с н с гем
с и стем
Ј едан
103
к ило
х и љ ад а
Х.l 1љаД
10'
МС'"З
МИЛИОН
М I I Л1юlt
10' 101 2
1'11 1"3
МI1Ј11 IЈ3 р д а
611111101-1
тера
61111ИОII
" РИJlI1QН
1O!S
п ета
бил нјарда
КlJ
10 111
скса
ТРИЛЈIOН
КВИII Т IIЛlЮII
1021
зета
ТР ltл и}арда
ССКСТИJlИОН
Јота
кваДРIfЛИОl1
се llТIIЛ II ОН
10
Н
Број 10100 зове се ["УI'ОЛ
(googol).
Детаљније о овој тем и, тј . о сте п ени ма броја
•
• • •
10 може се наћи 11;1 сајто в и м а : http: //s r.w ikipecli a.org/wiki/%DO%Al% DO%98d%DO%BF%D I %80o/QDO%B5% D 1%8 4%DO%B8%DO%BA%DI%81 Ilttр:llс п.w i kiреd iа .ОГgl\v i ki/Lопgdа пdds hог tdscа lеs Il ttр:IIС Il.w ikiреd i
Ilttp:1 Љ r.\vikipedia.orglwiki/G ugol
~ Контролна питања Како се Мllоже стеПеЩI
jegllflKllx
основа?
Да ЛII се nраВIIЛО за множење сшеОена је9на КllХ оС//ова може применити u на вflfllе 09 98а
'пнН/оца (степена jegHaKIIX основа)?
м Задаци 1.
Y rlpOCfIf 11 з разс: а) 2]0'26; б) 34·37;
r)
3.
Т3.
74 . 7~;
В)
(-4)' - (-4)'; д) (_9)" - (-9)" - (-9)"_
Да'гс су ј СД II::l КОСТII: а)
2.1 . 25 =28;
ОЈ )
(-0,2)' - (-0,2)' = (-0,2)';
б) (-5)' - (_5)' - (-5)'
= (-5)";
Кој с од љих су таЧIIС~ Ш та је исће
5.
Да IIИ су једнакости х5 . х3 = х l5 11 ~. ХЈ
6.
ОДРСДIIТII Х, ако је: а) З4. З"
7.
ДОК<1Жllдајс а '"
(_3)10.
(_з)7 ИЛИ
2(, ·2 3 ?
4.
=з
ll
=.x4S та'IНС за
; б) х1. ~
С !Јаку вредност РСi1Л1IQГ броја х?
= 128.
·a"l ..... (ln . =a", +nl ... ··· ·., . (aEI~.,11'1I 2 ... lI kE N).
3.3. Дељење степена једнаких основа ПОДСЕТИ СЕ
У поз нали смо м ноже ње степе на једна ки х ОСI-Iова, тј. доказали да а ко ј е а реала li број, а т и 1/ пр и род ни б ројеви, онда ј е ат
.
а"
= ат + ". ПОСl'а WЫI се l1ит3. ње да ЛI1 се могу и како
поделити сте п е н и Ј еднак и х основа.
Пример
I
Kop"cmetIu gефlll/uцuју стеПена юра t,унај КОЛII"'IUК 27 : 2). Из 2 ' :2 .Ј
=
2-2-2-2-2-2-2 2 -2 -2
=2·2·2·2.следидајс2 7 : 2)= 2·2·2·2 = 24 = 16.
Пример2
Израчунај КОЛII'/11I1К х 1 2 ;.х8, 1ge је х реалан број раЗЛll'/lIt71 og нуле. (Х·х ·
.. . ·х)
~
Како ј е
rlO дефНl1llЦ ~ф l
х l2
:х = Н
8 ву,.а, доб l фl х 12 ; хв = х' х' х· х
Пример
1I , то се после с краllll llа ња броја х бројем х, 11 ТО ... ·х) '
.
(х·х·
,
=х".
•
3
Дат1l су рсаЛ(l Н број а (а -;Ј:. О) 11
apupogHII бројС/ЈU
111 11 11 (т
2:
11). Изра'IУllај
/(0)//1,/11I1/( а"'; а n .
Користеl;lI lюстуЈ'1<1К из претходног примера ј<1СНО ј е да ј е : (а · (Ј·
... ·а)
~
аnO ; а"=
no
(а . а . , ... а ) '-v-'
=(а 'а '. , .'а)=а"'- n. '---.г---'
m-"
"
Из претХОДНИХ I l римера можемо закључити да је КОЛИ'lНlI К степе н а jeJtHaKIIX ос но ва ат 11 а једнак сте п ену <НЈја је ос н ова једнака основи датих степ а на а, а II 3ЛОЖ llлац К ОШf' lНlt ка ј е
"
једн ак разлици изложилаца датих степена т {јп': пп
Пример
=
а'''-'' (а Е
R,
а
-
11, тј.
'# О, '" Е N, ,, Е N,,,,
> ,,).
4
ДОК(lЖU уа је з 5 ·34: 3~
= 27 .
Bp CI!110CT IЏITOI' 11зраз,\ з 5 . з4 ; 3!> јеДН<1К<1 је (з5 . 34 ) : 36
= з5+4 : з6 = 3'.1 : з6 = з9 - 6 = з3 = 27.
~ Контролна питаља [(ако се усле Cmet7clIlI jegllaK/lX основа?
Ш ша се може З(llUЬУЧIIШ II
113
gељеlbа х! : :i' I/Лll УОt1шШеI/О. /lЗ gељења ат : ат?
N
Задаци Ј.
Уп ростн II зра зе : а)
2.
3.
21 0 : 26; 6)
з9 : з5;
В)
(-4)7 : (-4)\
г)
73 . 7 S : 74;
д)
(_9)10. (_9)11 : (_9) ll,
Изра'lунај: а) (_2)7 : (_2}3; б) (_3)11: (_ 3)8; В) (-0,4)1.1: (-0,4)11;
1') ( _
~ J : (_~)1
Кој е су од даТIIХ јед накост и та 'lн е:
а)
218: 23 = 26;
В)
1-0,2)', 1-0,2)' = 0,04;
б)
(_5)12 : (_5)4 = (_5)8;
5.
6.
Да JНI су јеД l l акости х l 2 : х3 = .х4
7.
ОД РСД ЈПII Х ако ј е: а ) 39: 3Х = 35;
И х lН : х'
=;.:3 тз чн е за сва КIi рсал;,1II број х?
6) 77 : 7Х
=49.
3.4. Множење степена једнаких изложилаца у ПрСТХОД l lИ М ПОl'лашьима СМО упознали МНQжењс и }Ј.сљсње степена јед наких основа. Анализирајмо сада, рсшаван.см примера, МНQжење степена јед наких 11 ЗЛ Qжилаца .
Пример
I
ИЗрll'lУllај 24·34, По дефИНllцији степена је
24 . з4 = (2 . 2 · 2 · 2)' (3·3 · З · 3). Како ј е М НQж с ње реалних б р о 24 . 34 = (2 . 3) . (2 . 3) . (2 . 3) . (2 . 3) = 6 · 6·6·6 = 64 = 1296. Закључујемо да је 24 . 34 = (2 · 3)4 = 1296.
ј ева КО,\1УТ ;lтиuна и асоцијативна операl(llја, ТО је
ПРlIмер
2
УаРОСl1111 /tЗ1Ја3 х 7 . у7 (х U у су реални бројеВll ). Сл ичн о ка о у при ме ру 1 добија се да је х 7 . у 7 =(х·х · ... ·х)·(х·х· ... ·х ) 11 ПРl1м е н ом
,
,
~~
,,
Пример
3
ОУРСУIl ВрСУllосm IIЗраза а" . Ь" ( а 11 Ь су реаЛlll1 бројеВII, а "је i7p llpogml број). П РIIмсњујућll llOcтyn
K
и 2, доб ија се Д:.1 је с/П, Ь n = ~ ([. tI
':" .
a~· ~
' [ I I PII MCIIOM 3:.1KOI [:.1 комутаЦllје и асоцијације следи
а"
. Ь" = ~a' Ь)· (а· Ь)· ... · (а· Ь\ = ( а· Ь)".
3акључујемо да је ПРОИЗIJОД степена једнаких И З1l0жилаца а" 11 Ь" једнак стеllену чија је оснона l1РОИЗIJОД основа датих степена, дакле а
Ь, и да је ИЗJlОЖИJlац једнак IIЗЛОЖIIОЦу
.
датих степена, тј. а"
(1
=(а . Ь)"
. Ь"
(а Е
R,
ЬЕ
R, "
е
N).
Контролна питања Како се ),f//Оже L'meneHIJ jegllm\llx UЗЛОЖllлаца? Да 1111 се nраВI/ЛО за Мl/ОжеllJе стеПена jeguaKllx 1IЗ1IОЖllлat(а може npUMel/llmU и Н" 8L1ше 09 9В{[ '1IIIItI ОI{{[ (стеаен{[ јеgнmшх lI3ЛОЖllлаца)?
N
Задаци 1.
Упросrн 11зразс: а)
210·310;
г)з 6
6) 54 . 3\
.4 · 7 ј 6
6
6)
(-З)' (Н
В)
(-6)'. (-4)'; д) (-9)'· (-5)'·2'. В) (- 0.6)"
103;
,') (-2)"'"
( _
1
)'009
2
3.
Дате су јСДllаЈ\ОСТН: а)
5)·63 =
4.
з0 3 ;
")(4.9)'; (2·3),
= 24; В) (-0.2)' ·5' =- 1;
6.
б)
7'1. (_ 5)4
1')
26. З 6 . 46
=
2418. Кој е од 'Ы\Х су та ' lне?
Да ЛII су једнакости х5
.
r
OдpeДl I Х ако је: а)
6)(4'15)' (8·10)'
= (ху)IО 11 (_х)8 . ( _у)8 = (ху) 16 таЧllе З:.1 ма које реалllе број ене
х If у?
7.
И зра ЧУН
85. 7 Х ::: 565;
3.5. Дељење степена једнаких изложилаца Видели смо како се МНQЖС степени једнаких И3ћ Qжилаца. Анали з ирај мо сад;}, ре шавањем примера, КОПИЧЮIК (1'еПСII
Пример
1
110 ДсфИlшцијн
Пример
степеllа је
6' 3 '
~ 6·6·6 · 6 ~(6).(6 ).(~).(~)~(~)· ~2' ~ 16. 3·3·3 · 3
3
3
3
3
2
УПРОСlТIlIl/ЗРаз
x 13 : ylJ
(х
11
У су рсаЛНIl6ројев u /Ј у -:1: О ) .
Слично као у Bp ll.\1Cpy I добија се да је
(х·х·
IJ X :y I3
. .. ·х )
= ~ Y' y~"~ ... у; = (~) . (; ) .... . (;) , '-v-' 13
x 1J : i
3
•
[1<}
Је
.
[Ј
J ::::; " .
Пример
()
3
ОуреУIl вреgllОСi11l1зраЗ(l а"
: Ь"
(п 11
h су рсаЛ/щ
бројеви, Ь "1:- О, "је ПРllрО(]{//I 6рој).
Ј(орнстећи поступак юю у IIретходном прим еру добија се да је
(а а·
... · а)
a" .'и"~ (~ ~ (~).(,, Ь· и· .. . и) и (, ) .. (aи )~(~)" ь ~
~,~~~--~
"
"
Закључујемо да је КQЈН1ЧIIИК степена јеДН
: Ь, и И:!ЛОЖШIЗЦ једнак 113Ј10ЖltOцу датltХ
сте пена П, тј.
а": Ь" = (~J (ае R,be R. byl:.O,1J е N).
Пример
4
Изра'lунај
(- 7)5: 145.
ТраЖСl l И "оли ч ник (- 7)5 : 145 једнак је:
(-7)' =(-7)' ~(_~)' = (-l)"(~)' =(-l)2-~_ 2- , ]45
@I
14
2
2
32
32
Контролно питање Како се уеле сrn:еаеllи јеунаких tl3ЛОЖl/лаца?
N
Задаци 1.
У прост и из разе: а) 6 1(): з10;
6 ) 15-4 : 34;
r) з8·4(1: 68;
3.
(_5)6
~
14';
И з рач унај:
б) ЮUо)'
11) (_0.2)5 : 55 = - 1;
1·) 27·67 : 47 =
(-9)' , 15"5' ,
а) Ш (~J;
24) : 6)= 41;
б)7О',
д)
4.
Дате су jeAHaKoCТI I : а)
В ) (-12)', (-4)';
з7.
Кој е од н.их су таЧIIС~
5.
Шта је веЬе
6.
Да !ОИ су једнакост" х", у' =(~J И х6 , у' =( ~ тачн"а све могуће бројне .редно
(_20)9: 59
или
107: 57~
l'
ПII Х И У~
3.6.
Степеновање степена
у претходним погm:ШЉllма СМ О показали када је
MOI"yhe
МНОЖИТII
11
делити С1'спе н е ако
им ају једнаке ОС llов е или једнаке изложио це. Поставља се ПlIтаље да ЛI1 је могуће степено вати CTerlCHe и шта можемо закључити у ТИМ СЛУ'lэјеВl1ма.
Пример
1
КОЛII/Ш је
(2 3)4?
I-Iа ОС I ЮIIУ Ј tсq>llll lЩl1је CТCI I C H
Пример
=
.1<.
23 · 23·2 ) ·
ОClюuу yrlO311<'Il'OI' IIраUllла .\шож('
2}
=2
Ј ... 3 + Ј
.. Ј = 2" 3 =21 ~ = 4096.
2
ИЈра'IУШlј (х ll ) 5 . Како је ''ЈО ДСфLIIШ Цllј ll степена (xl~)5
Пример
• х l 2 . х l 2 . х ' 2 . ТО је (X I2 ) 5
= xl>O.
3
Ilpoocp/I 9(1 Лll је за сваки реалан број п (a'~ )~
= x l ! . х 12
11 ма које 17Р IlР09"С бројеве т 11 11 mtl'/I1fl јсу "акосm
=(/""'1
ПО ДСфНИIIЦllјl1 стеllе н ;, Је
(а"')"
= ~'" . ат .. ... (1"', = (/
= (1 "'''',
па Је дата једнакост
"
та'lна .
И З 11PCTXOДl HI X l'l рим е рз ЗЗКЉУ 'l ујемо да је
(ат)" = а'''''' (а Е R. tn Е N. " Е N).
Пример4
mтajeoelle (2 3)4 I/JIII (4jP~ Како је (2')4
= 21 2
~I (43)1 =
46 = (2 2)6 = 211, '1'0 06а из раза 11 м ају ј ед нак е вреД НОСТII.
@I
Контролна питања Како се IIЗБО9U операција сiПеfiеllовmьа саЈеnена? Да ЛII је Ја сваки реалан број а и ма које ( а т)"
apupogHe бројеве
111 и IJ mа'llla јсgнакосfП:
= (п") '" .
м Задаци
3.
У II РОСПI ИЗРrlЗС; а )
4.
ДокаЖI1 да је
5.
Шта је всћс
8.
ДОКilЖИ да и зра з
(83)2 = (23)6.
(\.15)'" ИЛII
(911)" (34)4"
__
(\/ 125 'Ј' .
н е зав и с и ОД вредности nрИ рОДl!О I' број а
10. УlюреДII бројеве 101 2 11420,
11.
3.7. Примери операција са степенима До сада нисмо говорили о сабирању и одузимању сте п ена, али ни о Мllожењу и дељењу степена чије су основе различ ите и И3ЛQЖИ ОЦИ различити . Размотримо неколико прим ера у којима су садржаllе и такве операЦИЈе.
Пример
1
ДокаЖ IJ уаје 21 0
+ 210 =
Ако Н3 нзраз 210 21()+ 2
IО
Пример
= 2
IО
(1
+ 210 + 1) =
211 .
применимо дистри6УТИfJIIИ за КОII , добијамо да је 210 . 2 = 211.
2
ИЗР(/'IУI/(lј б · 78
+ 5·78 -
4·78.
Као и у IIРетходном Гl р н мер у. п ри мен ом зако н а ди стрибуције добијамо
6·78 + 5 ·78- 4' 78
Пример
= (6 + 5-4) · 78 = 7·78 = 1'.
3
Да дll су ma'lllcjcgl/aKOcmll: а) 23 + 24 == 27;
Како је 23
= 8, 2~ = ]6,27 =
СJlИЧНО је 23 + 2'1 = 8
Пример
++
128, то је 23 + 24
16
б) 23 + 21
=2
1Ч
= 8 + 16 = 24 -:1: 128 = 27,
= 24 ::t- 4096 = 21 2. ТО 3 Н 3'IИ д а дате једнакости нису т ачнс .
4
Провери јеУllаКОСI71U : а) з6
-
з2
= 34;
Јас н о је да је з 6 = 729, з2 = 9, з4
0 111'1110 је
~1 з6
-
з2
6)
з6
_ з2 =
з3.
= 8 1, а 3} = 27 It да је з 6 -
= 720 '# 27 = з3.
з2
= 729 - 9 = 720::;t: 81 = 34.
На ОСIIОIlУ претХОДНИХ примера можемо закључити:
да се сабира lJ>С и одузимање степена једн а ких ОС Н Оllа и ј едва к и х ИЗЈIOЖl1лаца реали зу
•
је кор"шћељем закона д истрибуције и претварањем нз з н а ч е lЮ I' саби рања, односно оду.:S имања у одгова рајући прои з вод;
•
да се степени једнаких основа не сабирају (одузимају) тако што се саберу (одузму)
•
да се сгепенн једнаких основа не сабирају (одуз имају) ни тако што се ПОМtюже (поде
IbИХОВИ изложиоци;
ле) њихови изложиоци.
Пример
5
ДП ЛIЈ је й1а'fllа је9накосШ I<а ко ј е
43 +
53
= 93?
43 =64, 53 = 125,93 = 9·9·9 = 729, то је 43 + 53
=64 + 125 = 189 ~ 729 = 93.
То з н а чи да дата ј СЈЏНI КОСТ није та ч н а.
Пример
6
Провери јС9накосm Јасно је да је ]'1 _
74
74 _ 24
= 54.
= 7'7'7-7 = 49· 49 = 2401, 24 = 16,
24 = 2401 _ 16 = 2385
~
625 = 54.
5~
= 62511 да ј е
Дакле. једнакост није Ta'II"".
ИЗ претход них примера се може закључити:
• •
да се стеl l ени једнаких изложилаца не сабирају тако што ИМ се основе саберу; да се степени једнаких изложилаца не одузимају тако што им се ОДУЗМУ основе.
Претход ни х шест примера говоре да се за сабирање и одузимање ст епе на једнаких основа или сабирање и оДузимањс степе на ј еднак их И3ЛQж илаl,~а не МО I'У фо р муmt сати правила слн ч на Il ра lJил има за МНQжење и дељење сгеl'lе н а ј едн аки х ос н ома, од носн о cтel l eHa јед HaK~I X ИЗЈIOЖШЈ3ца.
Пример
7
Колико је 4)
+ 4) + 4 3 ~
Користеl1" зако н дистрибуције за реалпе бројеве добија се да је
4) + 4.)
+ 43 = (] + 1 + 1) - 43 = 3 . 43.
Пример
8
ИзраЧУllај9· 517 + 16·51 7. Користећи закон дистрибуције добија се
<) · 517 + 16.51 7:::: (9 + 16)·517:::: 25· 517:::: 52 . 517:::: 51 9.
Пример
9
Оуреу и вреgllОСШ uзраза 9· 2~ - 3 . 2]0 + 5 . 2". Какоје9 '
2" - 3 ' 210 + 5 ' 2":::: (9 + 5), 2~ - 3' 210 :::: 14 , 2"-3' 210 ::::
:::: 7' 2 ' 29 _ 3 , 210 :::: 7 ' 210 _ 3, 21()::: 4 ' 210= 22 . 21U :::: 2 12,
Примери
5,
б и
7
нам показују да је сабирање и одузимање степена могуће само ако сте
пени имаЈУ JeДlJaKe ОС]lQве и Једнаке ИЗJlожиоце,
Пример
10
Изр а'lунај
23 '
Како степени
з2,
23 и з2 немају једнаке основе ни јед н аке изложиоце, то се lIе мож е 11рим е ни
ти IНlј еД l10 од дпа претходно формулисана прагщла о множењу степена једнаких основа, односно једнаких изложилаца. Остаје нам само да израчунамо вредности снаКОl' од датих
степена, а гютом и њихов производ, тј.
23'
з2
-= 8,9 :::: 72 и да закључимо да се за
множење
степена који немају једнаке основе и немају једнаке ИЗJlожиоце не МОI'У формулисати пра ВИЈЈа слична [ lр аlНU lИма за множење степена Једнаких основа, односно множење стеи ена ЈеДliаких ИЗЈЈожилаца ,
Пример
11
ИЈра'lунај
25 : 52.
Како степени 25 и 52 немај у једнаке ни оснопе IIИ једнаке изложиоце, то се н е може при ме ~1ИТИ нијеllНО од Д ва претходно формулисана IIравила о дељељу степена једнаких осно па , односно степена ј еднаких изложилаца , Остаје нам само да израчуна мо предности сваког од датих степена, а потом и љихов КОЈ1И'IНИК, ТЈ.
,
,
2' : 5~
32
= 32:25:::: - :::: 1,28 , 25
Дакле, за
дељење степена који немају једнаке основе и немају једнаке И 3Ј1Ожиоце не МOIЈ' се фор мул исати правила сл ична правилима за дељење степена једнаких ОПlOва, од нос но дељење степена једнаких изложилаца.
Пример
12
J{:tKO су 11
8
и 4 СТСЩ:НI1 броја
2,
то је
ПримеРII које смо анализирали показују да се II С МОI'У све математичке Оl'lерације, па ни
операције са степенима формализовати, тј. да не постоје тачно формулисана праllllJШ за Сllаку од могуhих ситуација. 3601' тога је математика као наука OTBOpelli) за самосталан и к реаТИ ШIII рад 11 заНИМЉlIва за Оllе који се њом баве, јер је једнако lIажно дока3..1ТИ да у
11311CCIIIIM
случаЈсвима нека правила важе, а да опет у другим случаЈевима анаЈIОПlа праВII
ла IIС IJзже.
~ Контролна питаља Да ЛII је а 2
+ а 5 = а 7? ОglОБОр обраJJlОЖIl йрuмером за а = 2. Д(, Л/I је ЬS -lJ2 -= lr'? Oglooop оБР(IJЛОЖII Йрllмером за Ь = З. Да л/.I је.лА
+ YS =
(х
+ уЈ"? Og[080P обраЗЛОЖIl
аримером Ја х -= 2, У = 3.
Да ЛlI је 1113 - 113 -= (т - 1I)3? Og/080P образложu аримером, за т
= 5, 11 = З ,
Да Л /1 се може ФОРМУЛIIС(/(ПII i1ра8UЛО за са6ирmье tI оgУЗlIмање стеПеН(I jegHaKIIX ОСllова? Да лtl се може ФОРМУЛllсатll (јравило за са611рmье 11 оgУЗllмање степена jegl/(//\IIX 113ЛО ЖIIЛfща?
Kaga се МОјУ ca6patТifl ClllelleНlI јеgl/mшх ОС1I08(1? Да ЛII су та 'l1Iе jegHlIKocmll
а· (ЈП а
+ р.
а"
= (а + Р) . (Ј " 11
' (1" - 13 . а" -=
(а
-
13) , а"?
Да ЛlI се може формулисатll араоило за множење 11 geJbeIVe сй1ейена llејеgнmшх О(l/О8а IllIejeg/ЮКIIХ IIЗJlОЖIIЛllца?
tj
Задаци 1.
Одреди вредност IIзраза:
а) 43 + 4";
3.
Датс су јСДIЈ3КОС'l'И:
а)
]]4 + 64 = 17\
OдpCДlJ I<ојс од даТIIХ једнаl<ОСТИ су 'Нl'Јне?
б)
5' - з7
= 27;
В) з 2
+ 42+
] 22
= ]з 2 ,
3 . 23 + 5 . 23;
5.
За lЩШИ у облику степена изразе: а)
б) 4 .
7.
Да 1111 за С 8а ки реалан број х naжс једнакости: а ) х2
34 + 5·34;
+ х' =
3.8. Рационални алгебарски изрази.
хб;
б) х'
В) 44 .
+ 54 =
59 - 19 · 59.
(х
+ 5)4.
Бројевна
вредност израза
I>ројевне изразе користили смо и раније, праКТИЧНQ од прВО I' раз рсда. МсђУВIМ, до сада се IIИСМО бавили конкретном дефиницијом и начином грађења израза . Циљ овог разматрања је да упознамо lIојам аJll"сбарског израза, начин добијања аJll"сбарсюtх израза и бројснну вреДllOСТ аJll"сбарских израза .
Пример
1
ДаfПll су реалнu бројевu ] 2 U
r7POlIJoogy
11 КОЛll'fIIUКУ
ТраЖСНII изрази су:
3.
Наr7l1ШU броје6н е изразе који су јеgllmш: збllРУ, раЗ/lIl/{/Ј,
gafliUX бројева.
]2 +3, ]2 - 3,12·3,12: 3.
С М КИ од добијених бројсвних i1 зраза има с воје ,,др во" .
12
~-/
15
Пример
3
3
~/
12
3
~. /
36
9
4
2
Нацрmај "gpoo" бројеон.ОI IIзраза
40
12
5
(40 : 5) + (4 - 7) . 2 U uзра'IУllај бројС81/У opcgliOCfli юраза .
4
7
2
-3
8
-6
Дакле
(40.5)
+ (4-7) ·2 =
= 8 + (-3) ·2 =
+
=8+(-6) =
2
= 2.
Пример
3
ДщТlII су l'еllЛШI 6ројеБII х 11
- 5. HllIfPi1illj
УРБQ које ОУ/Обара з6uру. раЗЛUlјll. арОIIJ80УУ 11 КОЛII'I
нику уаmих 6ројева.
~-/
Пример
Х·
-5
х
~./
~/
х - ( - 5)
х - 5
-5
х
-5
х
х.
(-5)
(-5 )
4
Нацрmај "9Р(1О" IIзраза
х'
== x1 :«4 _
у).
3)
11 IIзра'lУllај 6ројеОllУ
fJpegl/ocm юраЈII З II
(4-у)·З x == 6 ~l y == 2. х == 6
х == 6
х2 = х· х == 36
з
4
4-у = 2
(4 - у)· з
х'
• «4 -
у) .
6)
= (6·6) • «4 -
2) . З)
= 2·3 = 6
= 36. (2 . 3) = 36.6 = 6.
ГlpllM eliyjeMo да су у СIН1М претходним примерима заступљене операције
+ • - , .• : које
ћемо убудуhе ЗIШТl1 аЩ'сбарскс операције. У примерима] и
2, поред симбола алгебарски.х операција +, -, . , : , присyrне су само константе 12, 3, 40, 5, 4, 7, 2 ... (реални бројеви) 11 зато изразе таквог типа зовемо бројеВIIИ изрази. Изрази у примерима 3 и 4, поред аЈll'еба рских оtlерација и констан ти - 5, 4, 6, 2 ... садрже и непознате (проме н љиве) х 11 У (које су такође реални бројеви) 11 такве изразс Ћсмо у6удуће зваТ\1 алге6арски рационални изрази. Из претходних прим ера можемо закључити да су за I'рађење аm'е6арскltх раЦIfOllaJIНЮС израза II СО П ХОДI I И:
• • • •
реалне конста нтс: - 2, - ], о 1. 2, 3 ... 0,5 ... ..Ј2 , ...; рсалне вро менљи ве (непознате ): Х, у,
Z ...
знаци (с имболи ) за алге6арске операције
а, Ь, с
... ; +, - ,' ,:;
IIСЮ1 поссбl lИ З .13ЦИ (с имболи) као што су заграде
( , ), ,., .
110сматрајуhи раЦl\О l lалне алl'е6арске изразе из претходних примера З<1кљу'ryјемо следеће,
1) 2)
Реал н е KOHcтa Il Тl' и "ромеl.љиве су рационаJll1И ал .'ебарск!! из рази,
Ако су А 11 В II зраз~., Оlща су и А
+ В, А - 8, А ' 8
иА
: В (В
*" О),
TaKol)C раЦl\ОналllИ алге
барски и зр а зи,
3)
Сваки рационални 3ЈЈ1'е 6а рски нзраз се може доБИТ~1 ПРlIмеllOМ Ilраонла
1 112
уз упо
требу заграда,
4)
Бројt'нна IJреДIIОСТ рационалног алгебаРСf(оl' и зраза се доб~lје кана се у алге6 арском нзразу н е познате (проме нљиве) замене одго варајућим реални м бројеUl1ма
11
изuрше
Ilазначсн е операције.
Пример
5
Изра 'lу"uј 6ројсвllУ вреУllосm рационаЛllоr алте6аРСКОl11зраза
2·х+3·у
3'х-2'У
'<акојех= 3 иу = 4,тојс 2·х+3 · У = 2 ·3+3 ·4 3·х-2·у 3·3-2·4
Пример
30
за х
= З 11 У = 4,
= 6+ 12 =~ = 18. 9-8
1
6
које врСУНОСlU1l х Нllје мотуliе I13ра"унmЙIl
I13роза 5· х
6pojClmy
вреgносш Р(ЩIIOIUlЛllоi (ll!fсБОРСI\О[
+7
х
3 1iaMo да у C!faKOM КОЛlI'IНltку ДСЛltл ац мо ра БИТII раЗJII,'II1 Т ОД нуле. У датом раЦlIо нално м
алгс6арском 11 з ра :iу х ј е деЛllлац (l1меlНl Jl<Щ разломка ) 11 није могу llС It зра'lУНi1ТII IJредност аJll"ебарског изра :м ака ј е х
=
О. Кажемо и да КQJ]lI'IIIИК lI и је дефшш(,ш ;\ко је дел ltЛ<Щ једнак
IIУЛlI, Ако КО1ll1'11I~IК запнсујемо у обл ику рамамка, онда разломак није дефllllllсаll ака је њеЈ'ОIj IIМСllliЛац ј ед нак О.
~ Контролна питања Да ли су КOflсmонiПе 11 17POMcIlЛJUBe раЦlIонаЛll11 алfебароm IIJразu?
Каl\О се ,раус Р(IIjIlOfitlЛIШ алfебаРСКII изразll? Да Л11 С6аl\/1 Р{ЩIIО//{/Ла/I аЛ fебаРСКII израз има своје "урва "?
Да ЛII сваком "урвеmу" оу/Овар а jegal/ раЦIIОIIQЛ{m {/ЛlебаРСКII I/ЗРаз? Кауа Iшје мо туli е IlJрО'lУl/ml1l1 6ројевну вреУIlОСfiI рm(tlОНtlЛI/Оf аЛfебаРС/.:ОIl1Зраза?
м Задаци 1.
Нацртај ,,дРIЮ" следеlшх рационалних алгебарских И 3р О1за: о) (х
+ 4): 0.25;
6) (а-4) - (3 - Ь+ 5); B)r+x+ l. 2.
Дато ј е "Д РIЮ" рационално г алге6арског I1зраза . х
х
х
6
3
/ +
3.
ЗаJtНWl 1 Ш\Т11 израз и изра'lунај његову вредност ако је х
= - 3.
Нацртај "ДРIlО" Р;ЩИQналIIlfХ алгсбарских израза: o1 )~;
б)
г) x
l
r-
3у,
11) х2
+ 1;
+У
y l_ x Израч унај б ројСlIlIУ Щ)СД1ЮСТ дaТl JX раЦl1ОНаЈIНИХ аЈl l"еба РСКlIХ IIзра Зi1 аа х =
4.
датеl су Р 'ЩIIQtlаJIIНI алп:барClШ изра311 А
2 11 )' ::: -3.
= х + З и В = У - 2.
Н ацрта; "дрно" раЦIfО I !аЛI I IIХ алгсбарских израза: А+В,
А - В,
А - В,
А:В,
4·А+5·В
11 израЧУll ај бројсвну вредност добијених раЦИОЈlilЛllИХ алгс6аРСКIIХ 11з раза ако је х :::- I и У
= 3.
5.
OДPCД~1 раЦl10ll:.lJIIIС аm"сбарскс I1Зразс А
6.
За које IIpelI l !OCTII ПРОМСIIЉIIIIСХ нису дефННltCаН~1 ЮР:I
<1) 1 5:х;
б) х+3
.
В и А
; В ако је А
+В=
4х
11 Л - В = О .
11) х-7 .
х-2
х 2 +8
7.
ОДРСДl1 раЦИОНilлне <1Ј11'е6арске изразе А
8.
ОДРСДИ UРСДIIOС" ра ЗJlОМ ка
+ВиА-
ОДГОII<1р<1 jCJЏlI1 11 само једаll од бројсва из
cKyrbl
В ако јс А . В
I О,
Ј,
=
2, 3, ... , 8, 9
2·
1.
r и А." В = 2.
3.9. Полиноми у скупу раЦИQ llалllli Х амс6а рских израза посебну пажљу заслужују ПОЛИНОМI!.
При мер
L
Рm{lюналНl/ алfебараш IIЗрЮII О;
Пример
,
2 Ј 3 . х; х + х; х
2-
.Ј5 су flQЛIIНОМII .
-
2· х
+5
су (/олtlllо,ЮI јеунс променљиве х .
3
Рационални rlЛlс6аРClm ЮрnЗll ]] . х
ri
Iз;
2
РоцrЮ!l(/Л/JII аЛlсбаРСКI/ ЮРllЈ ll Х' -
Пример
-13; 25,48; 6 ]9 '
+ 12 · у,
х2
-
3· У + 7 су i10ЛШIOМIi уве променљиве: х
11
у.
Пример4 РаЦIl01/(ЈЛlILI аЛfe611рСКU IlзраЗII
а
Пример
c+d
3 у+5
нису I/ОЛIlНОМll.
Ь-а
5
Р(ЩUOlI(lЛНU аЛlс6(/РСК II /ЈЈраЈ
3
4
х
7
+ -= . у 2 -.)2
-
О, 56 је i10Л1IНQМ i1ромеНЉllбl lХ х /1 у.
Претходне примере ко ри стимо да дефин иш емо полиноме:
1)
PcaTlНe константе и променљиве су ПОЛl1НОМИ.
2) 3) 4)
Ако су А и В ПОJlИIЮМИ, онда су и А
+ В,
А
-
В и А
Свак и полином се може доб ити прим е н ом делова
.
В такође ПОJJlНIQМИ.
1,2
и З ове дефИlшције.
Бројевна вредност rlОЈlНнома се добије када се у IЮЛ ИНОМУ неПОЗl l ате (променљиве) замен е од го варај ућ и м реалним бројевима и изнрше иаз на"l ене операције.
Полино ми се 'Iесто озна'l звају и великим лаТИIШ' l НИМ словима А, В, С .. р,
при мер поn иноми једн е пром е нљ иве o3Ha
Пример
А
итд.
6
АкојеА :::::
А
R (х, УЈ z)
5u
В = х,
ogpegll ЙОl!lmоме: А
+ В,
В - А,А· Н
uA
+В-А
· В· В.
+ В ::::: S+x,B - А = х-5 , Л' В = 5х u + В - Л . В· В ::::: 5 + х- 5· Х· х = 5 + х + sx1.
Пример
7
ИЗРfl'lУl/ај opegHocm ПОЛllIIома х-' <1)
Q, к Тако се на про ме нљ и ве Q(x, у), са три
Ако је х
::::: - 4,
r - 2х + 50 ако је:
<1) х = -4;
6) х = "'/2 .
онда је
х' - х'- 2х
+ 50 = (-4)3_ (-4)' - 2(-4) + 50 = - 64 - 16 + 8 + 50 = -22.
б ) Лкоје x::::: ,Гz , OHд ... je х3
Пример
-
х 2 - 2х + 50 =(-./7.)3 - (-''/2) 2 - 2fi. +50
=2\i"2 -
2 - 2 \/2 + 50
=48.
8
Пол ш/Ом Р( х)
=
r - 2r
+ 3х -
4+ s.r ypegll ао расmуlillМ, 09"ОСI/О O{lagajyflllM степе/тма.
У ре~ Иllа l !,('М П01lино ма
Р(х)
=х'- 2х' + 3х - 4 + sx'
по растућ им сте п ен има побиј а се ПО1lИНОМ
Р(х) ::::: - 4
+ 3х + 5х2 + r + о . х"- 2х' = -4 + 3х + 5х' + r
- 2х5
а уређ ивањсм ПОЛИl10м а по о наД
Р(х) = - ~+ 0·х4
Број ев и
-2, 1, 5,3,
О,
-4
+r + 5>! + 3х- 4 ::::: -2r+r + 5х2 +
3х-4.
су к оефи циј е нти rюлинома, а при мен ом веЬ уп оз наТ ~Ј Х особина
реалних бројева (закон комутације, асоцијације и дистрибуције) може се доказ ... ·rи да се уређивањем полинома добијају међусобно једнаки ПОЛИIIOМИ.
Пример
9
3 . х4 . у - 5 . х2 ·1 + 9 . х . 1 - I 1 . х . у + 13 се може aocMampm1i11 lIама 3·х"· y, - S . х2 . 1,9 · х · 1 , - 11 ·х· у, 13. ПОJlI///ОМ
11
/тО збllр i1аЛII
На ОСIIОВУ претходног примера, сваки полином се може представити и као збир, специ
јалних, могли бисмо рећи елементарних, полинома које називамо мономи. Аналогно дефиницијама рационалног алгебарског израза, ОДIIQСПО полинома, мономе дефинишемо на следећи начин.
1) 2) 3) 4)
Реалне константе и променљиве СУ мономи.
Ако су А и В моно~и, онда је А
. В такође маном.
Сваки моном се може добити применом делова
1и 2
ове дефиниције.
Бројепна вреТ\ност монома се добије када се У моному непознате (променљиве) замене од!'опарајућим бројевним вредностима .
Пример
10
Ако је А
=- 2 и В =У, ogpegu мономе : А . /3, А . Н · В, А . А . в
А
. l3 =
А
. В· Н == - 2 · у. у :::: - 2' у2,
А
.А .
-2у,
Н
( -2)( -2)у
=
= 4·
у.
Договорићемо се да убудуће при записивању производа ПРОМСIIЉI\ВИХ f1 констаНП1 СИМ бол за пуга (о) изо(.,авимо . Тако ћемо уместо
2 . У записивати
2у, а уместо
7·
х· у записа
ћсмо 7ху .
Пример
11
ДIJШIl CYMOIIOMII А =-2х, В== sx2, С =-6ху, О = 7х, Е == ~xy,
F =-0,25X".
7
Ако обележимо х:::: М ( х;;!. О), онда јеЛ := -2М И О:::: 7М, и
А
=
/)
- 2х
=
7х
2 7
За мономе А и В каже се да су сли'нн!.
СJlИ'IНО ако је 1\1 = х1 (Х;;!. О) , он да је В = 51\1 11 р :::: -О,25М, тј.
в
F F сли'ши
.
Даље Је
-О,25х 2
па су Н ft
мономи .
с -6ху 42 - == - - = - - == - 14 Е 3 3
7 3а
5х '
- = ---, :::: - 20,
мономе
А
и
(х,у;;!. О) . ЗаКЉУ'ЈаК је исти.
Ч
В
важи
В 5х 2 :::: _:::: __ А
-2х
5 - -х
(х
*- О ),
па с е к аже да МОНОМ!1 А И В НИСУ сли'ши .
2
Моно,",-ш С И D нису слични, ј ер је С D
= -6ху == _ ~ у 7'(
7'
(у;;!. О) .
За МОlюме Р 11
Q (Р '1- О 11 Q t:- О) кажемо да су СЈ[И'IНИ ако постоје константе а 1I /Ј (раЗ}IИ'lИте
од О) 11 МаНОм М (М t:- О) таЮН1 да је Р =аМ и Q Q
11I1;е KOllcra11-га, 01ща се каже мономи Р И
Ако је Р = аМ 11
=
(а
+ Ь)М
Q=
Q
=ЬМ н
I1М "'~, Ако КОJIII'\НIIК монома Р и ЬМ
IJ
ни су сли чни,
/ЈМ, о н да је због дисгриБУГИIIНОСТI1 реалних бројева Р
+Q=
аМ
+
ЬМ
=см, То зна'lIt да је зб ир два слична мо ном а такође МО IЮ М, Ј>еалнн бројеви а,
Ь, с" су коефнцијеllТИ МО l lOма,
Пример
12
Ј<оефlЩllјеllmll МОlIома Л
= -2х, 13 = Sxl, С = --6ху, D = 7х,
Е = 3 ху
, F
= ~,2Sх1 су редом :
7
- 2,5, - 6, 7, 3, - (),25, 7 Већ СМО реКЛlI да је С!Јакl' МОНОМ ПQJНlН ОМ, ПОЛl1Ном који је једнак збиру Дна неСЈ:lИчна монома lIa311Ra се 6ш/Ом,
БIIНОМИ су 1 + х, а 2 - 5а, ху - 6у"" Сваки Б Иl10М се може преДСТ'IIJIIТИ као Л
+ В, где су Л и
В неСЛИ'lшt мономи,
Паnином којн је јед нак збl1 РУ три неслична мо на ма н азива се трm/Ом,
ТРl1110МИ су 4 - х +
+ 5х1, а 2 -
,'де су Л, В и С lIеCJI lI'ШИ
аЬ
+ Ь 1 ",
Сваки трином се може представити као Л
+ В + С,
MOIIOMI1,
Уопште, сваки IЮnl1lЮМ је монам који се може преДСЈ'аЈmти као збир два или 'Нfше (аЛI1
увек конаЧl10 М I IO " О) несли'ЈНИХ манама, тј, Р = М или је Р МII А. В, С.
=Л + В + С + D + ,,' + Е. Моно
1). Е којl1 као сабирци Чl1не један ПОЛИIIОМ називају се елементима ПОЛl1lюма,
~ Контролна питања Ка/Ш се gобllјп моном?
Ка9а су 9811 MOIlOMa слиЧlm, а Kl/ga нису? Шта је 6I11ЮМ. а uщш iЩmном? КIIКО се gобllја IIOЛIIIЮМ? Који раЦ/lонаЛНII аЛlебаРСКIl изрази IШСУ 170JIIIНOMtI? Како се IIЗраllу,mоа ореУllосm уато, nолинома?
Да ЛIl upegllOC/U nОЛ/lНома зависи og реgослеgа МО/lOма у уm710М ЙОЛ/lI/ОМУ?
ra Задаци 1.
Наrrиши по ДlJа манома <шји коефиuијен"I'Н су : а ) неНIТИВЈ[И бројеви
2.
или
б) ирационални бројспи .
б) 5у;
Дати су ,vrl"ебарски рационални юрази: а) -4х;
д) 3n 4 Ь 5 ,
KOjfl
(3)
х 2 - 7х
[,)
;
9х
Напиши IЮ дuа рационална алгебарска израза који јесу и кuји нису 11О)l ИНО"'1I1.
4.
Дати су MOI-lOМИ: А :::: зXZ, П :::: - 5х, С = 8х', О :::: - Ј 7. Формирај биноме А
5.
+ А,
триноме А
+В+
Дати су МОНОМИ А
::::
+
С, В
5х и В
А 2, А· В и В 2 И llOЮll-lOме:А
6.
бу;
од датих алгебарских израза су ПОЈЈиномиf Који од њих с у мономиf
3.
С
-
3
2х
С
+D
:::: - 2)'.
и С
+ D +А
и ПО)[ИНОМ А
+
В, D
+
С
11
+ В + С + О.
Да ли су дати маноми СЛИ'IНИ? Формирај маном!;;
+ В,л 2 _ в,
А + А· В,А·В
+ В2 ,
Напиши три СJlи' [ на манама тако д а је коефицијент првог природан број, коефици јент другог рационаЈ1ан број, а коефицијент трећег ирационалан број .
7.
Дати су мономи: А
= -з.х1, в =
6аЬ, С
= 8ХI' D;= - 13аЬ, Е = 17x2, F = - I2хl. Који од
датих монома су СJlИ'IНI1?
8.
Дата је константа З и промеl1љива Х . Помоћу дате константе и дате променљиве направи: а) један маном; б) један бином; в) једаll трином; г) два слична МОlIома.
9.
Дати су полиноми: а) 9 - 2х4
+ х 5 - 7>? + 3х;
б)
91 -
3у
-
б
+ 4у l 0 -
17у3
+ 23у.
Уреди
дате полиноме по растућим, односно опа~ајућим степенима и одреди збир коефИIЏI јеllата цатих полинома.
10. Напиши полином по (/ 'шји коефf1Цијенти по опадајућим степеllllма су 5, -4, О, 3, - 2 и 1.
3.10. Сабирање полинома Упознали смо појмове полинома, манама, сличних манама ... Циљ наредних излагања је да решавањем примера, а коришћењем већ приказаних законитости за сабирање и множење У СКУIIУ реалних бројева, упознамо и операције са полиномима.
Пример
1
Даi1i1l су СЛII'IНII МОНОМII А;= 1 4х и В ;= 9х . Оgреgи Њllхов збир . Применом закона дистрибуције добијамо да је А
+ В ==
14х
+ 9х
;=
(14 + 9)х =
2Зх.
Пример
2
Д(/ти су слu'шu MQHOMII А = 2хТ, В = -7хl и С = llxY. Применом
33KO l1 3 дистр"буције
добијзмо Д3 је збир
Ogpcgu НJIIX08 збир. монома Л + В + С = 2xf +
(-7ХI )
+
+ Ilxl = (2 + (-7) + lI)хl = 6х1· Из преТХОД ll а Д IЈа примера следи да се слични МОНОМИ сабирају тако што се ЊIfХОВИ КОI:'
фициј еllТИ саберу.
fI
Пример3 = 3, В = Ј6х и С =- 7хl . Оуреуu ЊIIма супротне МОlIоме. За маном А = 3, супротан маном је маном А' = -3. За маном В = Ј6х CYI' poTall МОIIОМ је маном В' =-16х, ,\ З
Даmll су МОIЮМII А
УОllwте l1О, 3<1 МОI1ОМ М, супротан моном је моном м' = -М. Примећујемо да су, као и код
реаЛlН1Х бројева,
MOHOMII
М fl м' супротни ако је М
+ М' =
О.
YlJo~eњe појм а супротних монома аМШ'ућује нам да дефинишемо и ОДУ311маље MOIIOM3, оа ћ.емо разликом МОнама А и В сматрати збир монома А и манома в' који је супротан МОНО му В.
Пример
4
О!] збира манама 5х3у
11
2х3у оgузмu ЊIIХ08У разлику.
Тражеl lИ одговор ј е (5х3у
Пример
+ 2хЗу) - (5i\y-
2х3у) = 7;(3у- зх1у = 4хЗу.
5
Са6ер" ЙОll IIIIОМ С: А = з1- 5у
+9
и В = 8у -
21- 4.
П али нам е Л н В са6нрам о тако што сабе ремо СЛИЧ I IС мономе из јеД НОЈ' н другог ПОЛШlома.
Дакле, А
+ В = з1 - 5у + 9 + 8у -
21 - 4 = з1- 21- 5у + 8у + 9 -
4=
r + Зу + 5, при чему су
изведене трансформације у складу са заКОНl1ма КОМУI"Зције, асоцијације и ДИСТР l1 6 у цнј е за реалне бројеве.
Пример
6
Сабери nOJl /IIIOMe: А = 4(/2 - 7аЬ
+ lOl? -
За
+
9Ь
- 11 u В =
зЬ 2
+
3аЬ
-
5а 2
+
7а
-
БЬ
+ 12.
Зби р l'l ОЈIИ llOма А и В добијамо прсгруписанањем монома у ОКIJИРУ датих ПОЛИlIома у складу са зако нима комyrације и асоцијације за реалне бројеnс, l'I а се добија
А
+В =
4а 2 __ 5a 2 - 7аЬ
+
=- а 2
Пример
3аЬ + Ј ОЬ!
_ 4аЬ+
+ 3Ь2 - 3а + 7(1 + Ј3Ь 2 + 4а + 3Ь + 1.
9Ь- 6Ь - 11
+ 12
7
Ogpegllffill ЙОЛUllOме суйротне йоли номuма: Л = 4, В = 3 - х, С =
xl- 6х + 8 11 D = 7 + 5у -
у.
3 ЩIМО да ј е реал н ом броју а, суп ротан број -а. У прим еру 3 НИ}1,СЛl t смо да је MONO.\.1y М су прота ll МО НО М -М. Пол ином супротан нолин ому Р ј е пал ин ом р'
=
-Р, lIа су датим ПОШI
, \ОМИМа су, ', ротни ПОl l инам и:
А' =-А
С = - с = - (х' Приметимо и да је
= -4; в' =-В =-(3 -х) = х - 3;
- 6х + + 8) = ->:' + 6х - 8 и D' = - D = - (7 + 5у - 1") = - 7 - 5у + 1". Р + р' = О, тј. збир полин ома Р и њему супротног I'IOJIII HOMa р' = - р је
једнак нули.
Прим ер
8
ИЗРtl'lунај раЗIlU"), ЙОJllтома А и
8, ако је А = 4r - 6х + 8
Il
8 = 5xl- 7.
Одуз и мање полинома се нрши аналогно одузимаљу мо н ома, тј. разлика П ОJIIlнома А и В добиј а када се поли но м А сабере са полиномо м су протном п аЛlf ll ОМУ 8, тј. IЮЛЈIНОМОМ в'
= -В. Дакле, А - В = А
+
в' = А
+
(-В) =
4>:' - 6х + 8 - (5):' - 7)
= 4>:'- 6х + 8 + (- 1)(5>:' -7) = 4>:' -6х+ 8 + (- 1)5>:' + (-1)(- 7) = 4>:'- 6х+ 8 - 5>:'+ 7 = 4>:'- 5>:' - 6х+ 8 + 7 = ->:' - 6х+ 15.
Пример
9
О!] разлике ЙОлtlllома А
= 5а
2
- 6аЬ + 7Ь 2 /1 В
= 8Ь
2
- 9а 2 + lOаЬ, оgУЗМI/ нтХО8 збир.
П ол шюм
=
(А - в ) - (А + В) ( 5а' - 6аЬ + 71>' - (8Ь' - 9а' + IОаЬ) ) - (5а ' - 6' + 8Ь' - 9а ' + IОаЬ ) = (5а 2 - 6аЬ + 7&2 - 8Ь2 + 9а 2 - 10ab) - ( 5а 2 - 6аЬ + 7Ь 2 + 8Ь 2 _ 9(/2 + IOab) = 2 ( 14a - 16ab - Ь 2 ) - ( 15&2- 4(12 + 4аЬ ) = 14a 2 - 16ab - Ь 2 - 15b 2 + 4а 2 _ 4(1Ь = 18а 2 - 20аЬ - 16lJ2. Проблем се може решити и једноста вн ије, јер је
(А - В)
- (А + В) = А - В - А - В = -2В = -2 (81)' - 9а' + I ОаЬ ) = -16b' + 18,,' - 20аЬ.
~ Контролна питања На KOjU ImчtlН се сабирају слични маНОМII? Ш та је за маном М супрота н маном?
На који наЦllН се ogYJUMajy МОIIОМII? Да ли је збир 98(1 манама увек MOIIOM? Да Ли је сабирање монама комуШа Ш И8на 11 аСOl~ијаmШJ/Iа оаерацuја? Ш illn је за 170ЛUНОМ Р суарОiПlll1 001l1ll/ОМ? Како се сабирају, а како
ogJ311Majy liОЛIII-IОм.u?
Да л и је збир 90(1 110llш/Ома УОСК ПОЛIIНОМ?
м Задаци 1.
С1бе р и моном е: а) 5х,- 1 2х и 8х;
6) -3(/2, 6а 1 и -1 5а 2 ; В ) - 6alJ1, 7а Ь 1 и 14ab 1• 2.
Дати с у маноми А
а) А
7ху 1-1 В
=
=
-4ху . ОДРСТ\И МОlIом е :
+ В;
6) 1:1)
А
В;
г)
48 - SA;
-
2А
+ 38; д) -БА
-78.
3.
Гl OCTOj~1 Л И ма ном
NTaKaB
да за би л о који маном М важ и једнакост М
4.
Дат и су м ономи А
= 5х и В =-9у. Одреди ПОЈ1ИН Qме: А + В, А -
5.
Д(l.Т И су полинами А
= зх2 - 2х + 1 и
В=
sx2 -
6х
В, 3А
+ 7. Одреди збир
+N
+ 28 ,1
=М. 4А
- 58.
и разл ику Д;\ТИХ
110-
линома.
6.
= 51- 61, в = 71- 8у н С = 9у- 10. ОдреД ~IТИ IIОJlННОМ С : - В + С. А + 28 - ЗG.
Дати су полиноми: А А
+ В,
В
+ С. л
7.
Докажи да је са6и рање ТрИ1l0 м а комутаТИlJна н а социјатшша опера ција.
8.
Постоји ЛИ ПОЛИIiОМ
9.
За полином р= -4а 3
N
такав да за било који полином Р важи једнак ост Р
+ 3а 2 -2 а + 2009
10. Дати су пол ином и А
= 9.х3 -
СУПРОТlIII rЮJII IНО М ~l ма: а ) А
одреди ПОЛI1IЮМ р' такав да је Р
+ N = Р.
+ р' = О.
8r + 7х - 6 и В =:х2 - 5х + 10. Одреди полино ме који су + В; 6) А - В; I~) 28 - А.
3.11. Множење монома у 1101"ЛЗВЉУ О реалним бројевима смо научили да за реалне бројеве важе закони комутације и асоцијације за МНQЖСЊС, тј. ако су а, Ь и с ма који реални бројеви, онда ј е: а . Ь = Ь· а • а . ( Ь . с) = (а· Ь) . с
•
(заКОI1 комутацијс за множсље), (закон асоцијације за множење).
Законе комугације и асоцијације за множење реалних бројева искористићемо за М НQжењс манома.
Пример
1
Да т и су мономи : А :;:::
2, В::: -3х u С:;::: 4х2. Иэрачунај ЙрОUЗ6оgе: АВ, АС, ВС и АВс.
Прим е ном закона КОМУlације и асоцијациј е за множење добија се: АВ
= 2·
(-3х)
= (2' ( - З)) х = -бх;
А С= 2· ( 4х') = (2· 4)х' = 8х 2 ;
= ( -Зх) . (4х') = (-3) ' 4· (х ' х') = (- 12) х' = - 1 2х'; АВС = А(ВС) = 2( - 12х') = (2 . (- 12)) х' = -24х'. ВС
Приликом МНQжења манама уо6ичајено је да се коефицијснат манама исписује пре про менљивих .
Пример
2
Дати су ,\ЮIIOМU: Л = 5ху, В = _6х 2 у И С :::: 7хУ . Израчуна) ПРОUЗ6оgе: АВ, ЛС ВС u АВС Применом закона комутациј е и асоцијације за множеље добија се;
= 5ху · (-бх'у) = (5· ( -6))(х · х').(у . у) = -зох'у'; АС = 5ху· 7ху' = (5 . 7)(х . х)· (У' у') = З5х'1 ; ВС = ( _6х у) . (7ху') = (-6·7) (х • х)· (У' у') = -42х'1; АВС = (5ху)· (-6х'у) . (7ху') = (5 · 1- 6) ' 7)' (х · х • х) · (у. у. у') = -210х' у" . АВ
2
2
2
Из претходних примера закључујемо да је производ два или више манама, такође моном, који се добија тако што је његов коефицијент једнак производу коефицијената моно ма-чинилаца, а променљиве добијају применом множсња степена једнаких основа.
Пример3
Дат и су MOlfOMII Л
=_ 2а Ь , /3 = 3afi2. ИЈрачунај iiрОЮ80gе: АВ2 , Л 2
3
В.
Применом зако на ком ут::щије и асоциј ац ије за М llож е ње и пр;щ ила за стеПСlIовањ<) ПрОII
з вода доб ија се:
АВ!
= А 'В =
(-2а 2 Ь), (3аЬ 2 )2 (-2и' Ь )'· (ЈиЬ')
= =
(-2а 2 Ь) · (9а 2 Ь 4 )
= (-2' 9) ' (а
(-8а6Ь')· (ЈаЬ')
= (- 8·
2
. ( 2). (Ь· Ь4 )
Ј) · (а". и)· (Ь'. Ь')
=_ 18a4bs; = -24а'Ь' .
СIJOIКИ ма н ом има С80ј сте п е н. Степен моно ма је једнак зб ир у сте п ена ЊСI'ОIШХ промен ЉИВИХ, при чему је степен константи једна к нул и.
Тако, МаНОМ и, добијени у претХОДНОМ ПРЊ\1ер у, _ 18а 4 Ь 5 и -24а 7 Ь 5 , имај у сгеп ене
0+4 + 5 =9, МОНОМИ -ЗОх3yl;
-42х3у;
35ry3;
однос н о О
+ 7 + 5 = 12.
-210х"у" из npllMepa
2, ~I Majy редом сте псне
0+3+2 = 5,0+2+3=5,0+3+3 = 6иО+4+4 = 8.
!I Контролна питања К(JI(О се Мlfоже МОIIОМII? Шта је nрОllзвоg ува I/JILl 8111ие монома?
Како се 09pe~yje сијеl1ен монома? Да /111 је М/fOжеlье монома комуmасаll8на оаерација? Постојll
/111
моном
N
шакав 9а Ја
611/10
који моном М ваЖII јеунакоctn М
.N
= М?
Задаци 1.
ПОМlIO Ж l1 MQ I'IOMe: а)
2.
Д ..п и су MOHOMII:
0,2
н
15;
-3а 2 Ьэ,
7a·1b,
б) -4 и Јх';
8аЬ\ _ ll а 3 Ь 2 ,
В) 5а и
-7af;
г ) О ,6ху
11-25x2yl.
23а 5 •
Који од IЩГl1Х манама има највећи степсн~
3.
Дати су МОIIОМII А
= 4х и В = 5у. Од реди MOIIQMe: а) АВ; 6) Л В; В) ЛВ2; [.) л 2
сте ll еllе добије Нll Х MaliOMa. Одреди пол ином који је једнак ЛВ - А2В
4.
Дати су маном ~I
•• ајuеh и 5.
А
4
9
3
2
2
В 2 • Одреди
+ АВ2 -
л 2 В2.
= - аЬ 2 и В = _ а 2 Ь. Одреди којll од мо ... амз А 3 В, А 2В2 If лвЈ има
степ е .l.
Докаж~. да је М l lOжење манама асоцијаТИВllа опера ција .
6.
Да ЛИ з а сџаки моном М постоји моном м' такао да је М· м'
7.
Д:!ти су маноми А =
3r и В = -
монома А'''Е'' једнак
]3.
= ].
2х3 . Одреди природне бројеве т и
11
тако да је степен
3.12. Множење полинома у поглављу о реалним број евима навели смо да за реалне бројеве важе закони комутације и асоциј ациј е за са6ирање и множењс, као и зако н дистрибуције множења IlpeMa сабирању тј. ако су а, Ь и с ма који реал ни бројеви, онда је :
•
(/ + Ь =
•
а .Ь
=
•
(1
+
(Ь
•
а' (Ь · с) = (а' Ь)
•
(/. (Ь
+а .а
Ь Ь
+ с) =
+ с) =
(заКО II к омутације за сабирање) (зако н комyrациј с за множење) (а
аЬ
+ Ь) + с .с
(зако н асоцијације за сабирање) (зако н асоцијације за множење)
+ ас
(заКО I-1 ди стрибуције множења према сабирању)
Наведене законе искористићемо за м ножење подинома.
Пример
1
Иэра'tУ1lај ПрОЮ60g йолuнома
5
11 Х
На ОСНООУ закон:! дистрибуције је
Пример
+ 6. 5.
(х
+ 6) = 5 . х + 5 . 6 =
5х
+ 30.
2
Ogpegll ПрОЮ60g йОЛIIНDМ(/ 3х ~ I 7х - 5. СJl~1' IIЮ К,\О У прет ходном при меру 3х· (7х
Пример
- 5) = 3х . 7х
+ 3х . (-5) = 2 ]:~ -
3
ПОМIIОЖU UQлuноме 6а 2 u а 3 - 4(1
+ 2.
На ооюну закона дистрибуције је: 6а 2 , (а 3 _ 4а
+ 2)
= 6а 2 . а 3
+ 6а 2 • (- 4(1) + 6а 2 • 2 = 6(15 _ 24а 3 + ]2(12,
]5х.
3<1кључујемо да је производ монома М полииомом А М .А
+ В + С.
тј . М (А
+ В + С)
+ М . В + М . С. тј. полином А + В + С се множи мономом М тако ш то се сва ки
једнак његов
'Јлан ( моном ) А, В, С помножи МОНОМОМ М.
Пример
4
Г/ОМ НQжи 110Лllноме у
+ 2 и у2 - 9.
На ОСЈIOВ У заКЩlа дистрибу ц иј е и к омугацнј е је
(у
+ 2)(у' - 9) ~
(у
+ 2) . у' +
(у
+ 2)·(- 9) ~ у'
(у
+ 2) + (- 9) (у + 2).
НОl.Iо м IIриме н ом зако н а дистрибу ц иј е добија се
(у +
Пример
2)(1 - 9)
~y' . у+ у'.
2 + (- 9)·
у+
(-9)· 2 ~y'
+2y'-9y - 18.
5
ПОМJlОЖLl ЙОЛLIIlQме х
+ у + 1 11 х? -
ј.
Сл и·то к ао у 1 1peTXOДH~'M п р имер и м а
(х+ у+ 1 )(х'-у') ~ (х+ у+ 1) . х'+ (х+ у+ 1) · (-у') ~x'. ( х + у+ 1) ~ х' . х
+ х'
Из IIримера
4
и
.У
+ (-у').
+ х'· 1 + (- у') . х + (- у') . у + (- у') . 1 ~ х' + х'у + х' -
5 је ј а с но
и да се пол и н ом и множе тако
111'1'0
у'
(х+ у+ 1) ~
-
ху'
-
у'.
се с в аки чла н (маном) једн ог
I IQЛИ Н ОМ
MI1 с абе р у. Дакле (А + В + С) (М + N) == ЛМ + ВМ + СМ + ЛN + BN + CN, а аналогна јед II<1KOCT важ и и када гroМНIQМИ имаЈУ ви ш е чланова.
~ Контролна питања Како се Мllоже МОНОМ и /70л. ином?
Може ЛII I7polJJBog монома u Qол инома бити константа? Како се U380gu Оl7срација Мllожења Qолинома? Да Ли је множење ЙОЛUНQма комутативна оаерmсuја? Да Л lI је
npOIJJBog 90а или б щuе аолинома увек йолuном?
Може ЛlI ароuзвоg 96(1 Пол/тома бити константа? Постоји ли йолином
N
такав !Ја за било који Qолиl/ОМ Р важи јеgиакост Р .
N ==
Р?
N
Задаци 1.
ДаТ И СУ П ОJlин ом и :А=2х.
В =3х+l
и
С=4х-2.
И з р а ч у н ај П QJl И Н Q м е ЛВ , АС. В С и АВ с.
2.
Од реДII про и з вод rЮЛ ИН Qм а За 2
3.
У ПРОСТ ~I и зра зе: а ) 2у(3у-
4.
Дока Ж II да је ( а
5.
Од реди сте п ен п ро из вода п ал ино м а х
6.
ДО ЮI ЖI1 да в редн ост I шраза ( а
7.
OA peALiA 2- 4А +3 ако ј еА = 3Ь+ 4.
8.
К ОЛl1ко јеуако ј е (у- 3 )(у+ 3) +8 = 0.
9.
И зр ач ун а; аб, ако је ( а
у( 6у
+ 5)(а 2 - Sa + 25) =
10. Одред и rюл ин оме А
11 .
4) -
2а
-
11
+ 2)(а 2 -
+1и
+ 5); аЈ
6 ) х(у + 6) -
у(х
-7).
+ 125. - 1и
+ 5)(а + 4) -
2а
Н ОJlИ Н Qма а - 4.
П ОЛИН ОМа х2 (а
+ х + 1.
+ 2 )( а + 7) н е зап и с и
ОД броја а.
+ 4) = 8,5 .
В а ко ј е: а) АВ = 7х2 - 8х;
6 ) AB =xy-9у.
Дужи н е ив ица к вадра су тр и узасто пн а п риродн а б роја х -
1, х и
х
+ 1, а дуж и н а
ивице
коцке ј е х. КО и м а већ у пов р шин у? Ко им а већ у за прем ин у?
3.13. Квадрат збира и квадрат разлике у r. ретходним rюглаuљим а в идеЈШ СМО к а ко се М Н Qже МО Н ОМ И и П ОЛИ I-IO МИ. Цl-tљ о ве теме
ј е Д<1 Н <1У'IИМО да к ваДР И Р<1 МО 6и номе.
Пример
1
Изра'/УI/(Iј I(б(l9рm71 БUНQма х
+ 6.
Н а ОС Ii О IЈУ дефИ НИ I ~ иј е к вад рата ~I пра в ила за Ml-IOжење 11 0Лl1НQ м а след и да је квадрат 611110М<1х+6,1ј .
(х+ 6)2
Прим ер
=
(х + 6 ) ' ( Х+ 6) = х?
+ 6х + 6х+ 36 = х? +
1 2х+ 6.
2
КОЛ II КО је
«(1 + Ь)Ч
ЏI И'Е Н О К <10 У flРетход ~IO М I lр име ру ( а
+ Ь)2 =
«(1
+ Ь)« (I + Ь) = (1 1 + аЬ + (/Ь + Ь2 = (/2 + 2аЬ + Ь! .
Из добијеног резултата можемо рећи да је квадрат збира једнак збllРУ квадрата сваког члана бинома увећаном за двосгруки производ чланова бинома, тј.
(а
+ Ь)1 =,,2 + 2аЬ + ЬZ.
п'
Како је новршина кnадрзтз странице х једнака Xl, то се
аЬ
добије в а j CA IJa KOCТ може илустровати и г рафИ'IКИ. На име, квадрат чија СТР311ица има дужину а
+ Ь,
очигле
ДI!О се састоји од квадрата 'Јија страllица има дужину а,
д ва правоугаоника чије странице имају дужине а и Ь и квадрата 'Iија сграllица има ДУЖИIlУ Ь. Тада је и површина датог квадрата (а
+ Ь)l једнака зби
аЬ
ь
ру 110ВРШИН;'L делов;'L из којих се кпадрат састоји, дакле
а 2 , 2аЬ и Ь 2 , Ilа је О'lи ,'JlСДI!О (а
+
Ь)2
=а
2
+ 2аЬ + Ь 2 •
/,
а
Слика
Пример
1
3
I1зра 'IУII(/ј (2х
+ 3у)1.
На ОClIOВУ IlреТ ХОlОЮ формулисаног правила добија се:
(2х
+ Зу)l = (2х) 2 + 2 . 2х·
Пример
4.r + 12ху + 91.
4
Колико је Како је
3у + (3у)2 =
«(1 -
Ь)Ч
((1 - Ь) 2 = «(1- Ь)((/ - Ь), то је (а - &)2 = ((/ _ Ь)({I _ Ь) = а 1
-
аЬ - {/Ь
+ &1 =
а 2 - 2аЬ
+ b1•
До доб ијСIIО " резул тата се може до li И и н а осн ову IlРетходно ,' правила, јер је Рi\3ЛИЮ1 (f
-ь
=(/ + (_ Ь) , па је (а -
Ь) 2
=
(а
+ (-
Ь» 2
=а
2
+ 2а( -
Ь)
+ (_ &)2 = {/1 -
2(IЬ
+ Ь2 •
Из добије.ю ,· реЗУJlтата можемо закључити да је к вадрат разлике ј ед нак зб нру KuaApaTa (UaKOI' ',лана бинома умаљсном за двоструки производ ЧЛ3НО1Ја бинома, тј. (а
Пример
_ Ь)2 = а 1 - 2{lЬ
+ Ь2•
5
Изра'IУl/ај (4у' - 5)2,
1-1з oCIIOUY претХОДНОГ праl:lИllа је ( 41 - 5)2
=(41)2 -
2(41)5 + 51
= 16,1- 401 + 25.
Пример
6
Квадрат збира се може
BeOl\.bl
лепо искористити и за
јСIЏIll од доказа већ ДОК
,
1,
(Гарфилдов доказ). Наиме, ако правоугли троугао чије
катете
f1.\1ajy
дужft!-ЈУ а и
11, а Xl1Iютенуза дужину с,
допу
нимо до правоуглог трапеза чије су странице а и
'Iијаје ВЈ1сина (/
,
l'
l' ,
11 ft
+ ь (ННДИ СJll1КУ), онда добијени трапез
садржи три правоугла троугла чије су ПОl3ршине
ь
P r, P z
Слика
11 Р} . Ако обележимо са Р 110ВрШИНу трапеза, онда је Р;:::;
.а +Ь
аЬс 2
аЬ
P 1 + Р2 + Р·ј • Даље Ј е -- (а + Ь) ;:::; - + - + - , односно . 2 2 2 2 l{oHa'IHo је а 2 + 2а/l +/12 ;:::; ,2 + 2аЬ, тј. а 2 + Ь 2 = (2 .
@I
"
,
l'
(а
,
+ Ь)-
;:::; аЬ
2
+ (2 + аЬ.
Контролна питања Како се gобuја кпаgраш биll0ма?
Да ли се кваурирањем б/11I0ма увек gобllја mрином?
Може ЛII се fрафllЧКU i7рllказаmи кваgраш раЈл/ше?
N
Задаци 1.
Квадрирај бftноме: а) х
+ 6;
6)
1
+ 5;
2а
о) - Ь - 4;
д)7х+6у.
2
+ 7)2 - х(х - 8);
2.
Израчушј : а) (х
3.
УПРОСТ I! изразе: <1) (х
4.
Израчунај: а) (с
5.
Докажи да вредност израза (3а - 5)2 - а(90 - за) не зависи ОД вредности реалног броја а .
6.
Одреди све реалне бројеве х, такве да је (2х - 9)2
7.
ДОК<1ЖИ једнакости: а) (х
8.
ОJlРСДИ квадрат тринома (х+ у -Ј ) .
9.
ОЈ\РСДИ ПОllИНОМ Р ако је : а) р2 ;:::; х2
+ 5)2 -
+ з)2 + (3 _
6) у(4у + З) - (2у - 5)' .
(х - 7)(х - 3); с)2;
б) (2у - з) 2_ 2 (у + ])(у+ 5).
6) (511 - 4)' - (4 - 5Ј) '.
- у)2;:::; (у _ х) 2 ;
+
Ј2х
б) (х
+ (2х - 3)(5 -
+ у)2
+ З6;
10. СтраIНще TpoYUla имају дужину: а ;:::; 2х, Ь
=х
2
= (_Х _ у) 2 .
б) р2 -
2х) = 106.
=
4а 2 - 4аЬ
+ 1)2.
] И С
= х2 + 1 (х је позитиван реалан
+ 8.
Колика је површина тог лраво
број) . ДОК3Жf1 да је дати троугао праrюугли.
11. Странице праВОУI'ЛОI' троугла су 3х УГЛOl' ТРОУI'ла?
+ 2, 4х + 8
и 5х
3.14. Разлика квадрата Пример
1
Дати су MOI-/OMU А =: х 11
/:3 :: 2.
Збир манама А и В је А
+ В :::: Х + 2,
+ВиА + В)(А -
Производ бинома А
(А
Изра'lунај йроuзооg збира
u раЈЛUl\е yalТillX манама.
а разлика манама А и В је А
- В
=: Х -
2.
- В је В) = (х + 2)(х - 2) = ,о - 2х + 2х - 2'
= ,0 - 2'.
На основу добијеНОl' резултата се види да је је производ збира и разлике монома х
нак разлици њихавих квадрата, ТО јест:х2
-
11 2 јед
22, Да ли је то само у овом случају НЛlt се ув е к
као производ збира и разлике два манама добија разлика њихових квадрата?
Пример
Ogpcgll
2
ЙРОliJ80g (а
+ Ь)(а -
Ь).
СЈНI Ч !IO као у претходном примеру (а
+ Ь)(а _
Ь)
::::
(/2 _ аЬ
+ аЬ _
Ь 2 =: (12 _ 1}2,
Из добијеног резултата можемо закључити да је производ збира и разлике Два монама ј ед нак разлици њихавих квадрата, тј. (а
+ Ь)((I- Ь):::: а 2 _ Ь 1 •
Добијена ј еднакост се може илустровати и графИЧКI1. Ловршина праВОУl'аоника
ABCD
'шје странице имају дужину а односно
+ Ь,
а - Ь
ь састоји се из два
(/ -
IIраВОУl'аоника,
P1
и
Р2 '
Ь'
Ако се
друt' И правоугаоник Р2 премести
Р,
нЬ
D
(заротира), добија се нова фИlура ко)а
О'Н1l'ледно
драт
'IИЈа странице
из
кога
Је
1'lредставља
исечен
ква
има дужину квадрат
(/
Р,
Р,
ЧИЈа
страница има дужину Ь, Како су
површине те две фигуре једнаке, то је (а + Ь)(а - Ь) = (/2 _ Ь 2 ,
Пример
ь
А
3
Изр(/чу"ај (2х
+ 3у)(2х -
3у).
На основу претходно формулисанor правила добија се
(2х
+ Зу)
(2х - Зу) = (2х) ' - (3у)' = 4,0 -
91.
В
Ь
Пример
4
Израз а 2 -
9 '-/аllииl/I 1«(10 ПрОllзвоу ува 6ш/Ома,
Как о је а 2 - 9 = (1 2_ з 2 , ТО је (/2 - 9
= ( а + 3 )( а -
3).
~ Контролна питања Чему је j egHaK /lРОllзвоg з бира 11 разлике МОНОЈ,Н/ А 11 В?
Да Л I I се IIЗраз М1 -
N1 може lIаl1llсаl1lu као ap0ll380g ува бuнома?
Може ЛII се арО llзвоу I13раза а
N
+ Ь 11 а -
Ь аРlIказаfПII трафll'fЮ I на још IfCKII на '/IIН?
Задаци 1.
Из ра ч у на; r r ро rr З IЮД П ОЛl lНо ма: о ) (х + 8 )(х- 8 ) ;
б ) ( 2у
В) 2.
+
7 )( 2у
- 7);
((1,/2 + 3)(0,/2 - 3),
Изра чунај :
а) (х
+
7) - х' ; б ) (4у - 3 )( 4у + 3) - ( 4у - 5)'. 3.
7 )(х -
Y r/ paCТ i) и зразе:
а) ( х
+ 5)(х - 5) -
(х
-
7)(х
+ 7);
6 )( 2у - 3 )'-4(у+ I)( у - I ) .
4.
И з р ачунај :
а) (с
+ 3)(3 -
б) (5Ј +
с)
+ (..2;
4)(4 - 5(1) + 25(1'.
5.
Дока жи да п редност и зра3
6.
Од реди све реалне број е ,~е х, такве да ј е (2х - 9 )( 2х
7.
Докаж и да је ир еДlЮСТ израза (х1
8.
+ 5) -
9а 2 не за писи од нреДНОСТII peiUJl-Ю " број а а ,
+ I )(xl - 1) -
( .хА
+ 9) -
х ( 4х - 2) = 5.
- 2009) кон ста н тна.
Јед н а катет а пр,1В оу ,'лог т р оугла И М
ДУЖИ II У дру,'е К
+ а )(е - а )
= 144.
8 р аЗЛlfЧI ПС од константе, ако је : а) АВ = xl - 9; б ) АВ
9.
Одреди ПОЛИ lI оме А и
10.
Дужин е СГрШ lИ l Џl к вад рата ра зл и куј у се 3а
7
=4а
2
_
Ь2 ,
с т, а љи х ове rlOВрШИ II С се разликују за
189 ст 2 , И з ра 'l ун ај дуж ин е crра llи ца тих кu;щрата,
3.15. Растављаље полинома на чиниоце у петом разреду смо се 6аВИШt растаIJљањем природних бројева на ЧИНlюце. У оквиру ове теме покушаhемо да до сада crечено знање о rюлиномима применима на р.-.стављаље по Jlинома lIа ЧИНИQЦС.
Пример
1
ПОЛIIIIОМ х2
+ 5х
I1реgсшавu као ЙрОll380g goa ПОЛlIнома.
Ако ИСКОР l tCТ l lМО ДI1СТР " UУТIIIJ НИ за к он, онда је х2 цИ 110JIIнюма
Пример
r + 5х 11011111100\111 Х И Х + 5.
+ Sx =Х· х + 5· х;::о х (х + SJ. па су ' 1IIH I1O-
2
Растави на 'fllН J/OICC I/Jраз 6а
+
llаЬ _1I 2,
СJlI I ЧНQ као у претходном пр"меру6а
+
llllb - а 2 = 6· а
+
lIb·a-а· а.
Сваки од уочених сабира ка садржи реалан број 1I као 'ШН II ЛЗЦ, па је
6а
+ 1 ] {/Ь -
(/2
=
(1 •
(6
+ ] ]1Ј -
а).
Из претходних примера можемо извести и општи эаКЉУ'IaК да се збир манама ЛМ 1> АМ 2 ,
... АМЈ: од
којих сваки МОНОМ садржи маном А, може написати као производ А (М.
+ М2 +
... + Мк ), тј. АМ 1
+ AM z + ... +AМk=A
(М.
+ М 2 + ... + м,,).
Поступак издвајања зајеДНI1 'IКОГ ман ама ( Ч ИНI10ца) из свако г од манома назива се и ш
goajaIbe ЧU1luоца apeg заfраgу и веома често се користи у решавању разноврсних матема ТI1'IКИХ проблема.
Пример
3
ПОЛIllIOМ ху
+ 2х + Зу + 6
Q'IIII'леДIIО је да п риа Дllа
I1II'1КI1 ЧIНlилац
3,
IШLluullt као apOU3Bog ува 170ЛlНlOма.
MOflOMa
Ilа је З
+
имају зајеД fllf'I КИ 'IIНIIIШЩ Х, а друга два МО lю ма зајед
2х
+
Зу
+6=
х(у
+ 2) +
З(у
+ 2) .
ВИД I IМО да је дo6~ljeHII
ПОЈНI]iOМ збир два манама, од којих сваки као ЧIНIН}I(Щ садрж и полином у
ст ављаље 11<1'1'0]' ]lOlIинома на '1иииоце н астављамО и добијамо
ху+ 2х+ 3у+
6 = Х(У+ 2)
+ + 3(у+ 2)
= (у+ 2)(х+ 3).
Поступак који смо примениml у задатку назива се меmоуа rруЙ uшња.
+ 2.
3ато ра
Пример
Ри сmшщ
4 1/(/
tl/ll ll/Ol~e (/OДllНOM.x3 - 7x.l
+ 2х - 14.
К ак о јех:3-7х? + 2х- 14 = х· х? - 7х? + 2х- 2·7 = х? (х-7) + 2(х - 7) = (х -7 )(х? + 2). тасу '1 ИНИ ОЦ И полинома .х3-7х? + 2х-14 ПОЛИIIО Мlf х - 7 It x2 + 2.
tI
Задаци Ј.
Раст авн liaчиниоцеполиноме:а)Sх+ 10;
2.
Ра стаlJИ Ни '!Иниоце ПОilинаме: а) x.l
З.
Растави lIа ЧlflШО]{С ПОЈЈИIIОМС: а) 4х?
4.
ОдрСщ,t П ОЛlНlOме А и В различите ОД константе, ако је А . В
5.
PacTalН1 на 'lИниоце ПОJlинам х?
6.
ПОЛl1lЮМ а 2 (]()'} - 5 a 2OOs
7.
Р'lCтавн на 'шни о це полином
8.
ПОЛlНlOм иЈ - и 2 Ь
9.
Ако су т и 11 l]рирОД Н~t бројеви, израз т 2
+ 3а -
+ иЬ 2 -
-
х'.
+ 6х; +
б)6у2 - 12Х;
б)
18х;
+ 2х' -
21 - 7у;
IJ ) 14a J -3S Ь1 .
В) а 3 - Sa 2 + 8(/.
б) БУ: - 9у;
2r + 7х -
ll) 5Ь 3
+ 35Ь 2 -
=.х3 -
Br + 3х - 24.
20Ь.
7.
15 Ilрикажн ка о IIРО И ЗI.IОД Д llа IIЛI1 uише П01ll1ll0ма.
yl 2 +
3 у9 + 6У' + I ВУ.
Ь Ј прнкаЖI1 као производ д ва 11ОЛ НlIо ма.
+ 211111 + ,,2 + т + 11
IlреДСI
узаПО Пll 3 ПРllр ОД Н3 броја. Докзжи.
10. Ако је (/ ]Ieo број, 11 з р аз а Ј - (/ представља I l раизвод трн УЗ3СТО Пllа I\СЈl а броја. Докажи.
3.16.
Сложенији примери растављања полинома на
чиниоце
у 1"peTxoAfloj теми смо за растављање ПОJlинома н.1 ЧИНИОI\е КОРИПИЛИ закон дистрибу циј е за реалн е бројеве. У оквиру ове теме покушаћемо да ра зл ику квадрата и квадрат бино ма И СКОР" СПIМО за расгављање подинома на чиноце.
Пример
1
ПОJIIЩОМ х2
-
16 I7РС9сmа811 као аРОЮ8О9 98(/ (/О/1II110М(/.
О чи гледн о ј е r
- 16 = r - 41,
па је ре' . О разлици к вадр ата. Ви деЛ If смо lЏI је разлика квадра
та дпа ПОЛИllOл.1 а ј еД llака I1 РОIIЗ IlОДУ ЊИХОВОI' збира и разлике, па ј е
х'
тј. IЮJ]l1llOМ
- 16 ~ х' - 4' ~ (х + 4)(х - 4),
r - 16 има чиниоце х + 4
It
Х - 4.
Пример
4
Ра стави на 'IlllIIlOц е йОЈ/IIIIОМ ( х - 9) 2 - 36. О 'шглед но ј е (х - 9)2 - 36 = (х- 9)2 - 61 = (х- 9 ци пол ина м а (х -
+ 6)(х - 9 - 6 ) =
(х- 3)(х - 15), ( Ја су '11111110 -
9)1 - 36 ПОЛ И ЈЮ М Н х - 3 и х - 15.
Претходни прим ери указују на то да УКОЈШКО с е дати полином може т рансфор м и са ти у
раалику КЩЈ.ДР:Ј.'Га Два полинома А и В, онда се полином А 2
+В
IlрОИЗПОД п аЛИIIQма А
В 2 може унек ["Ј риказа П1 као
и А - В.
А'
Пример
-
- В' = (А + В)(А - В).
3
Растави 1/а
Ка к о се тршlO М а
+ 6 а + 9.
израз а 2
'IIIIII /O IjI:
+ 6а + 9 м оже н а писаНI к ао (/1 + & 1 + 9 = а 2 + 2· 3 а + 9 = а 2 + 3а + 3а + 9 + 3а ) + (3а + 9) = а ( а + 3) + 3 ( а + 3) = ( а + 3 )(а + 3), т име смо даТJI
I'р уписањем ( а 2
2
II з ра з
растаВИЛJl Il а ЧИIН10це.
Ако трином
ItarHllJ lCMO
у облику
112 + ба
+9=
(а )2
+ 2·
Q 'I ИI"л ед н о ј е да II ма мо збир к вад рата број ева а и
о к вад рату бином а а И з приме ра
3
+ 3, .•ј .
а2
+ ба + 9 =
(а
3и
+ з) 2 =
а' 3
+ з2 ,
IbllXOn д востр у ки прои з вод, щ\ се раД I 1
(а
+ 3 )(а + 3).
м ожсм о извести и општи за кључак да уколик о се дати полино м мо же
трансформисати у збир квадрата дпа ПОЛl1нома увећаног за њихов двоструки прои з вод,
онда се Д:Ј.ТИ ПОЛlНlOм А 1 (А
+ В) (А + В ) =
(А
+ 82 + 2АВ може
приказ ати као ПРОИ З 130Д дпа иденти'(на монома
+ В)'. А'+ В'+2АВ=(А +В)(А +В)=(А
Пример
4
РастаВlI
1/(1
Ка ко је :х3
' IImllOце t10ЛIIНОМ :х3
+ 3r -х - 3
=х'
+ зх! -
r + 3· r
+ В)'.
х - 3.
-х-3
=r
(х+
3) -
(х +
3)=
(х
+ 3 )(х1 - 1).
М е l»)'1"11М , ПОЛ ИIЮ М х1 - 1 се и с<\ м може раставити на чино[~е. 113 се до бија да ј е х'
Пример
(х +
+
3)( х'- 1 ) = (х + 3)(х+ l )( х - 1).
5
ПОЛ UIIОМ х? Решење
+ зх' -х-3 =
1.
-
8х
+ 12
нm7111ШI као ЙРОUЗ80g 'Јо а Qол uнома.
П олиrюм х? х'
-
8х
- 2х - 6х
Решеlbе 2. ДаТII I"IОЛИНОМ х2 х' - 8х + 16 - 4
=
(х)'
+ ] 2 се може
-
+
8х
12
lIаlНl сати и у облику
=х(х- 2) -
+ 12 се може
6 ( х - 2)
= (х - 2)(х - 6 ) .
наl1ис ати и у оБЛIIК У
+ Н) ' + 2хН) - 4 = (х - 4 ) ' -2 2
= (х - 4
+ 2)(х- 4 - 2) = (х- 2 )(х - 6 ) .
N
Задаци 1.
Растав . !
2.
Ра СТЗflll 113 '1IIl lИо це П ОJlина ме : а ) х?
3.
Ра сга В II 113 'IИНllOце 1101l llно ме: а ) ( х - з) 2 - 49;
4.
Од ред ., п ол ин оме А, В и С разли ч ите ОД конста нте, ако је А в е ј едн ак о:
113
'IИII I1 D це ПОЛl1но ме : а ) х?
а )х3- 14х2+ 49х;
Раставн на '1и н иоц е П ОЛНIIоме: а )
6.
П о;н r ном 3а 3
7.
Pn cTaВl I 11<1 'IИllиоце полином
8.
1l0ЛlНIOМ (ј 2
9.
Ра ст.ш и на Чl1ll ио це ПО;:ШНQ м е: а) х?
ба
+ 9-
10. ДОК<1ЖIf да је из р аз.хА
6) f
+ I Ох + 25;
r - х? + х -
S.
-
6)81 - 41;
-
6) 36 -
12у + 36; (5у
13 ) a1 - 4 а Ь + 41Ј1.
+ 2)2 ;
В) (l3_ (l Ь2 .
б )т- 81 у;
+ 2 {/ ЧЈ -
- 25;
1;
6)1' - 81+
В ) (/ 4 _
16;
256.
3аЬ 2 - 2Ь 3 прика жи к ао П РО liзrюд ДlЫ ил и пиш е пол ино м а.
91 + 4у -
9у
- 4.
25 Ь 2 прикажи Ю1О II РО\l зrюд ДU3 liЛ И п иш е п олино м а.
+ х? +
+ ] 8х + 80; 6)
f - ]4у + 33;
В)
(1 2 -
1 6 (1 Ь
+
I ј ед на к п рои зводу Д в а трнн ом а .
11. Од реди с ве нр ирОД Н С броје ве т
11 11, та кве да ј е (т
+
11 ) 2 - ( т
-
11)2:::
8.
Ј 2. Од реди сие пр и род н е број е ве", и " такве да је ",2 _ ,, 2 ::: 7.
3.17. Примена полинома -
једнакости и једначине
у п огла ољу О реал ни м број е вима кори ст или см о д о с в еома важ н е чињ с нице. Ако је
(1
Ако ј е а
= Ь , о нд а ј е а + с = Ь + си а - с
= Ь -с.
= Ь и ако ј е c-:l; О , онда је ас = Ьси а: с = Ь : с.
И сказа н с 'lиње tЈИце користимо за решавање ј еднаЧИl~а.
Пр и мер
1
РеШ1l јеgШI ' f UI/У (х - 7)(х И З (х - 7 )( х + 7) А ко се
11
=
+ 7) =
( х - 5)2.
(х - 5)2 следи да ј ех2 - 49
= х2 -
Ј Ох
+ 25.
на ле ву и на десн у стран у ј еднакости дода и з раз 'Ох - х2 , доб ија се
r
-49 + IОх-х2::: х2 - ' ОХ + 25 + I Ох- х2. од н осно IOх- 49 ::: 25.
Укол ико се н щ} Jl С II У 11 н а дес ну стран у добиј ен е ј едн а 'l1lн е дода I Ox - 49 +49 ::: 25+49 ИJlИ I Ох ::: 7 4.
СЛ СД ~I да ј е х
74
37
= - = - = 7,4. 10 5
49,
доб ија се
3 9 Ь2 •
у поr'лављу о реалним бројевима доказали смо да ако је производ два реална броја једнак нули, овда јс један од тих бројева јсднак нули (стр .
Исказаrrу чињсницу користимо за
26).
решавањс неки х Јед rЫ'lина.
Пример
2
оурсуu сва PCIllClbll јеуна 'IИн е х2 = 9х. Ако СС 11 од JICBe и од десне стране дате ј ед на ч ин е одузме 9х, доб ија се ј едн а 'l ина
r - 9х = 9х -
9х тј. х2
9х
-
= о.
PacтaBfualbt:M ЈI Сllе стране једна'lI1не на 'НIНИОЦС доб ија се х(х - 9)
==о. Како је П рОI1ЗВОД Два
броја јеюrак нули ако је један од IЫIХ једнак ~r УJlИ, то зш'rи да је х
=
О илн Х -
9=
О,
IЫ су решеља дате јеДJlаЧl1не х = О или х = 9. Провером се до6иј
92 = 9 · 9 = 81,
Пример
што јејош ј едан доказ да су О и 9 решеЊ'1 дате једна' l llне.
3
ДокаЖII !Ја су а /ј -а јеgШЈа решења јеgl/а ЧlI не:х2
= u 2•
Ако се 11 од леве 11 од десне странс дате једна чин е одузме маном а 2 , добllја се јеДllачи на х2- а 2
= а2 _ а 2 .
Када се раЗЛlI к а квадрата растави на ' шниоце ,1юбија се ј ед на'1ина (х+ а )(х- а)
= 0.
Како ј е I lроизвад јеДllак II УJll! ако је један од Чlllшлаца једнак О . то је х +
Како су -a~'
Пример
(/ јеДLНl а
(/ = о
III1И х - (/
= о.
решеља добиј еВI1 Х једна'lИ на, то је доказ за ВРLll еl '.
4
Оореуu СКУП ((н/х рещеЊ{I jegH{lIj/lHe х 3 - 4х = О.
Растављањем израза х? - 4х на чиниоце, из једна чине х-' 'ШLlа х(х2 - 4) О, тј. х(х2 - 22) = х(х + 2)(х - 2) О.
=
=
-
4х = х·:х2 - 4х = О добија се једна
ДоБLlјен~, r'I РО L rЗIЈОД је јед нак fl УЛИ ако је један од чинилаца једнак Irули па је: х
2=
О или х
- 2=
=
О 11ЈН1 Х
О. Решеља три добијен е једначн н е су: х= О,х=-
Према том е, скуп решења дате јед на'lИне је
2
илих =
R = јО, - 2,
2.
21.
п Пример5 ДОКllЖlI je!JIIOKOCfll (х - 1)(х + 1)(г
+ 1)(:<1 + 1)
=.х8 -
1.
Корищhењем Ir равиЛ
(х-1)(х+ 1)( х'
+
1)(х"
+ 1)
= (х' - I )(х' + 1 )(х" + 1) = (х"-I)(х" + 1) =х'- 1.
+
Пример
6
+ х + I = О, он!}а је ~ = 1. Докажu. И з јед наКОСТII х2 + х + 1 = О.јасно је да је х =1:- О. Т;)д;) је х(х? + х + 1) = О, п а je.i' +.~ + х:::- О. Ако се 1-1 на леву 11 на десну сграну jeЦH3K ocТl1 дода], до6ија се .\Ј + х? + х + ] = ]. К;НЩ ј е х? + х + 1 =О, то је r + о = 1, па је r = ], Ш ТО ј е It требало ДОl(азаТII. Ако је х?
Задаци 1.
+ 3)(2 - х) + (х + 4 )(х - 5) :::- 2; 6) (У + 4)(у - 4) - (У+ 3)' 5.
РСJllII ј еЈЩ~I'IIНlе: а) (х
=
2.
ОllреДI-I рС lu ења jeJIH3 l lllНa : .1) (х
+ 6)(х + 8)
:::- (х
+ 7)(х + 9);
6) ( 2у + 5)' =(у+ 1)( 4у +3).
3.
РеlllИ јеДI I <1'lII н е :
<1) х2 = 36;
6 ) 25 = 4;-'; St.2 :::- 7;
д)
1') 9Ь' = 13;
4.
Одреди решења једна ' IIIНО1: а ) х?
+
6) 3;-' = 1 2у; 1') 3IJ + 4ь 2 = О.
'Ох :::- О;
В) Sa 2 :::- 9а;
=О;
5.
РеllШ јеД liа'шн е: а) (х - з )2 - 49
6.
Одреди ре шењО1 ј една 'l ина: а ) ;(l
6 ) 36 = (Sy + 2)2; В) (4Ь + з) 2 = 25;
+ 6х + 9 = О;
2
в)а = 8а - ] 6;
7.
РСШllјеДIЫ 'lllн е:а)х3-х=о ;
8.
Ако је а 2 - баЬ
9.
Ако је х
+ 9Ь 2 =
+ 2у = 1,
10. Ако је х 2 - 2х
онда је х 2
+4=
б ) 9у=у;
О , онда је а 2
11) 2(12 = 16; ђ) х' + 1 = О.
=
r) (а - 1)1
=3,
6);-'+36 = 12у; 2 1') 4х - 28х+ 49 :::- О,
1I)(1 3+ 4 а=0;
г)х"= 16х2;
/1)/+21=0 ,
9Ь 2 . ДОl(аЖI1.
+ 4ху + 41 + 2008 = 2009.
ДокаЖlI,
О, Оllда јех" = -8 . Lt окаЖl1.
3.18. Примена полинома -
неједнакости и
•
неЈедначине
у Il О I'Л:ШЉУ О реал ним бројевима наведе на су следе t1<1 свој ст на (ст р,
Ако је а> Ь. онда је а Ако је а
>Ь
+ с> Ь + с и
27),
а-с> Ь-с.
и акоје с> О, онда је ас> Ьс и а: с> Ь: с.
ИСК
>. < , ;:::, :;;.
Ц~tљ ОЈјС теме је да п о ка же како се ПОЛИНОМlt н наведене "иље виц е Ш,tU3lье нсједна'lина.
MO I'Y користити за ре
Пример РеШII
1
l/ejegH(/'111HY
(х
+ 2) (х + 5) :?:
(х
-
3)(х -
4).
5):?: (х-3)(х-4) след и да је х? + 2х+ 5х+ lO:?:r -3 х-4х+ 12.
ИЗ (х+ 2)(х+
CpCIjI! IIUII,CM леве
десне стране нејед"ачи"е дОбl!јн сс
!1
r + 7х + Ј О:?: r - 7х + Ј 2.
Ако се и ЛС[Јој и десној СТр,IНИ l!еједнаЧl1не дода израз 7х-х?, д061!ја се х2+7х+ JO+7x -r:?:r- 7х+ J2 + 7x-х?-r,одноCllО Ј4х+ Ја:?: Ј 2. Следи 14х
+
2
I():?: 12 - ]0, 1101 је 14х:?: 2, тј. х:?: 14 =
10 -
.
.
РСII.IСIЈ.<1 дате неЈедначине х Прllпа/ЏIЈУ скупу
Пример
I
7' ЗаIН1C3НО језиком
Јtllтсрвала
[1 7' ) оо
•
2
РеШ/lllсјсgl/а'f//НУ (х Из
+ 3 )(х + 7) < (х + 5)2. (х+ 3)( х + 5) < (х+ 5)2, следи да јс х2 + 3х+
Среl)IfШIЊбl леве Ако се од ЛС[ЈС
r
11
+
11
+ 2Ј
r
10x
+ 25.
+ ЈОх + 2] < х? + неједннчине одузме х2 + ] Ох, д0611ја се
деснс стр::I.IIС неједна'lИне добија се
од деС I IС странс ЈОх
7х+ 21
_х 2 - ЈОх
+ 25.
+ 25 _х 2 - - 1Ох, ОДНОСНО 2Ј < 25. неједнакост 21 < 25, пајс решење датс Ј l ејСДЈI::t 'lllн е
< xl +
3 1101 ' 111 да се за сваЮI ремаll број х Jl,обllј:1
]Ох
IOx
ма којн ренлан број х .
у rlО l'лављу о реМНЈ1М бројевима до казали смо следеће. Ако је IЈРОI1ЗВОД два реална броја ПОЗИТl1ван, онда су ти реални бројеlН1 нстога знака. Ако је производ два реална броја lIeгaТlIBaH, онда су ти рсални 6ројеви СУПРОТНОЈ' знака. КОРl1шћењем ОВЈјХ 'IИЊСllица МОГУ се решаваТII одрсl)снс класе нејеДIЈаЧИН<1 11 доказати неке ЈlеЈ еднакости .
ПРIIМСР
3
Ако је х реалаl/ број. 01/9(/ је х2:?: О. ДокаЖII fТjapJ;eњe. Ако је х реалан број, онда је х
Ако је х
< О,
онда је х
2
< О, х = О
или х
> О.
РаЗМОТРI1МО сва три случај,ј.
=х' х > О, јер су 06а '111111101(<1 II СТОЈ' (негаТИВЈIOЈ') знака.
= О, онда је х? = х . х = О . о = О . Ако је х > О, онда је r =х· х > О, јер су оба чиниоца ИСТОЈ' (IЮЗИ ТИВНОГ ) Зll а к ;). Ако ј е х
Пример
4
ДОКUЖII уа за Сl;JlIЮI реалан број а важи нејеgнокосш а 2
+ ] ОО
;;:: 20(1.
У претход но м пр"меру доказано је да је Кlfадр'IТ сиаког реалног броја х ItС l lеГ
Ако је х Ако се
11
=
а - 10, ollAa паЖIЈ неједнакост х1 = (а - 10)2 ~ О, тј. а 2 - 20а
н а леву
11 на
десну страну неједнакосги дода
a1 _
Пример
20а
+ ]00 + 20а 2:: О + 20а
MOIIOM 20(1, добllја
и KOHa'IHO
a1
се неј ед накост
+ ] оо 2:: 20(1.
5
ОУРСУ Il сва рещења HejegHa'lIlHe х? Ако се 11 од леве
х 2 _ 1 2х
+ 100 2:: о.
<
< ] 2х.
од десне странс дате неј еДН3'll{не одузме израз 1 2х добllће се неједнаЧИllа
1{
12х - 12х тј. х?
-
12х
< О.
PacTaТlљaљeM леве ст ране једна'lине на чиниоце добија се х(х -
] 2)
<
О . Како је производ
Два броја IICJ'aTlluaH ако су ти бројеви супро т ног знака, гюстоје Дl.lе могуhНОСГlt :
<О
].
х
11 Х -
2.
х> О и х
12 >
< 12,
О, тј. х
<О
11 Х
> ]2,
па тaKBII pe:.uIlHt бројеllИ не посгоје .
па су решење дате пејСДllачинс ClШ реални бројеви 113 I! l lтервала (О,
] 2).
Задаци 1.
Реш!t нејеДllаЧИllе: а) (х
+ 5)(3 -х) +
(х
-
5)(х
+ 4) > 4;
6) (у+ 5)(у-5) - (у-4)' < 7. 2.
Одреди решења неједначина:
а) (х+ ')(х+ 2) ~ (х+ 3)(х+
3.
Реши JlејС;ЏIa'l ине: а) х?
6) (2у + 3)' $ (у + 2)(4у - 7).
4);
+ 3 > О;
6) 41 + 5 < О; д) х' + 8.<' ~ О.
2
г)] _ 9Ь ::;; ]3;
4.
Одреди решења нсједначина :
а) х 2
+
10х
+ 25
~ О;
б)
в) 22::5а 2 +з ;
1- 12у + 40 < О;
в) 10а-5а 2 -6>0.
5.
P{'IJIII неј една'lИне: а) (х-5)(х- 4) 2:: (х - l )(х-8);
6.
OдpeДlI решеља неједначи н а: а) х3
7.
Реши lIејСДllа'lине: а) х?
8.
Докажи да за сваки рсалаl l број х важе неједнакости:
а)
9.
r - 8x + 20 > О;
Ако је (/
> Ь,
б)
онда је 3а 3
+ 3х < О;
+ 6х > О;
r-x+ 1 > О;
б) (2у+
б) 15г - т::;; О;
6 ) 1- 5y~ О; В) (х
+ 1)2::;; 2(х2 + 1).
+ 4аЈ? > 3а 2 Ь + 4LY. ДОК
10. Ако је х + у = 4, онда је х? + у2 2:: 8. Докажи.
7)2 < (2у+ 3)(2у+] 1). 11) (13
+ 4а > о.
3.19. Примене полинома ПОЛИIIОМИ се MOry ефикасно применити и за рационалније рачуш\њс, решавање проблема деЉИ IJОСТИ н друге области математике . Циљ ове теме је да упознамо још н еке за нимљиве прим ене 1l0JlИlIома.
Пример
1
Ј1зраt'Уl/nј
] ОО] 2.
ТраЖСIЮ И :1Р<1"Уlншан.с се ИЗIЮД И применом квадрата 6l11юма. Како је 100 ] 2 = ТО је [00] 2
Пример
= 10002 + 2000 + 1 =
1 000000
+ 2000 + ] = ] 002001.
(] 000 + 1)2,
2
КОЛlIl(vје992-1~ Вредност
AaTOl'
и зра за је разлика квадрата, па је
99' -1 = 99'_ 1' = (99+ 1)(99 -1) = 100·98 = 9800.
Пример
3
ИЗрll"Уllај
38 . 42.
ПРОlt31ЮД 38 . 42 се може приказати као (40 - 2)(40
Пример
+ 2) = 402 - 22 = 1600 - 4 = 1596.
4
КОllШШ је {Јйх
+ 5)2? Квадрат броја (] Ох + 5) једнак је (1 Ох + 5)2 = (Јох) 2 + 2· IОх' 5 + S2 =
IООх2
+
\ООх
+ 25 = IООх(х + 1) + 25.
Из до6ијСIЮГ резултата заКЉУ'Iујсмо да су П ОСЈl едње дне Цllфре тражено.' кпадрата је број cтoТl'l l a једнак х(х
+ 1), тј.
бројеии који се завршавају на
се п роизводу узаСТО I1I111Х бројева х и х
+
5
25,
а да
квадрирају се тако што
I ДОl1ише 25.
На пример, број 152 доб ија 'rзко што се 1 rюмножи са 2 и ДОl1ише 25, тако да добијемо 225. Слично је
952
252
=625; 352 = 1225; 451 ::: 2025; 552 ::: 3025; 652 =4225; 752 = 5625; 852 = 7225;
= 9025; 1052::: 11025.
0130 ШIЖИ It за uишецифрене бројеве. За 1452 се добија тако 1.111'0 помножимо 1411 15 и када добијем о 210 допишемо 25, што значи да је 1452 21025.
=
ПОJtlНIOМИ се успешно мо["у применити и на проблеме који трстирају ДСЉI1IЮСТ израза, сабнрање бројеuа. гeOMeTp~ljCKe проблеме и МНОI'е друге области матемаПIке .
6
Пример5 Ако је 11 Ilрщюgан број, онуа је број
,,3 - 11
уеЉЈ/6 ((/
6. ДОКnЖII.
И зраз ,,3 _ 11 се може трансформисати у производ. ј е р ј е 113 _ 11
= n( n 2 - 1)
=11( 11 +
1)( 11
1)
-
= = (11 -
1)
11 ( 11
+ 1).
Закљу чуј емо /џ1 дати израз прсдставља проltЗlIОД ТРl1 УЗ'Н;ТQ[ша ПРИРОД~lа броја. Зн амо Д.Ј је 01 \ три УЗ,lCТОIllНI ПР~IРОIlЈ[а броја бар јсдан СИ [ ' ур[\О
/\СЉIШ са
Пример
3. То
З llа'lll да је ЊИХОR ПРОИЗRОД lIеЉIЩ са
1Iapall, даКЈЈе деЉI1В са 2, [1 таЧIЮ један 2 . 3 6, што је 11 требало ДоказаТII .
=
6
ОуреУ Il збllР I1рб llХ 11 Ilеоар'щх ЙРilроgЈЈIIХ бројеоа. Зб ир
S
= 1 + 3 + 5 + ... + (211 -
3) + (211 - 1) може се I tзра' l УЩIТl 1 тако ш то направимо п арове
(0161IpaKa. тј. саберемо II Р ВИ и гюследњи број, Д РУ I' " И прет п ослсд њ и I ПД. На тај на'шн ће
се доБ НПI з6 11Р
Ta'lllO
S = ( 1 + 211 - 1) + (3 + 211 - 3) + .... = 211 + 2" + ...
"2 , то ћс тражс ни з6 11р 6И 'ПI
Пример
5 = 211
"2 =
Како УО 'l е Ill IХ парова 11 .\-1<1
11 1
4
К{/mеmа оравоуrлоr mроуfла IIМП gУЖlIlIУ 1 О cтn, (1 ХII(IOШСНУЗ(/ је 3(12 (111 gужа ОуреУIl
nOljplIlIIllY
og уруте к(/тете.
таЈ (јРП60уtлаf mроуtла.
Н('ки IIСllоз ната катста има дужину х. Тада је ДУЖltна ХIНlОТСНУЗС х
+ 2. К'Нi:o је дапt троугао
I l раIlОУГМt, важи Г!ИТ;\I ' орина теорема, [Ја је збир кuадрата катС"та једнак квадрату хнпот('
II УЗС, тј.
Даље ј еr+ 100 = r + 4x+4.
Ако 11 од лсвс 11 од деснс ст ране ;еД I IUКОСТИ одузме мо 11З Р
r + 100 - .r - 4 Дакле, х
=Ј?
+ 4, до611ћс се jCД Ha'IIIН a
+ 4x +4-r - 4 тј. 96 = 4 х.
= 96 : 4 = 24, п а су дужине страница т раЖС I IO I' 26 с Пl. ПО ВРШ Иllа троугла је 10 . 24 : 2 = 120 сm 2 •
ОРalЮУГJlО l' т роугла
1О
ст ,
24
ст
11
м Задаци В) 9992,
1.
И зра ч ун а;: а) 99 l ;
2.
I{OJI 11 КО је::I.) 972_ 9;
6) 104' - 16;
3.
И зра' I У llај: а)
6)36'44;
4.
f(ОЛlIКО је; а) ]35 2;
S.
ДОЮ\ЖI1 да ј е прОLI:} I IOД два узастоп н а !l ариа природна броја дељ иl.l са
6.
А к о је р I ICIНl.p'lII Щ>ОСТ број, о н да ј е 113 1'33 р2
7.
ДОЮIЖII да је::Ја ( 11<1101 11рИрОдrш број 11 1131';\3 /1 3
8.
Стабло дрвета високо
6) 10 1';
6; . 75;
6) 305';
18
В ) 5 022-4~ I~ )
201 . 199.
В) 56?
8.
- I ДСЉI1В са 8. ДаЮ\Ж LI . + 2009 1/ ДС)1>I1IJ са 6.
III олуја преJlОМИ и врх стабла додирује земљу на удаЉСllOСТl1
12 Пl од IЮllllOжја стабла. На којој ВI I СИ НИ ј е стабло I', РСЈЮМЉС IЮ.
9.
Збир Ю1тС'га праI!ОУ"ЛО I' троугл а је 14 ст , а
nOBpl,I I IHI OI
TPOYI'JI3 24 Сl11 2 , И ЗРЗ 'I У l lај
ХИIIОТСIIУ3У даТОI' ТРОУ " ЈШ .
1О.
СтрrНlI1LЏ~ т ро угла су
611. ,,2- 9 11112 + 9. Докажи да је ,,2 + 9 највећа од C'l"раннца
Да ли је дао." и ТРОУ'"'IO о штроугл и, nрав оу гли ИЛl1 ТУПО УПШ~
l'ро у ,'ла.
4.
МНОГОУГАО
4.1. Многоугао -
појам и врсте. Број дијагонала
многоугла
у [јетом и ЩССТQМ разреду смо учили да се проста затворена изломљена линија у раRlIИ lIаЗИRа и Мllогоугаона ЛИНИЈа .
мноеоусао је фUСУР" у равни коју 'Ш1Ш MHoloyiaoHa mmuја и унуmраlUlbа област оуре/јена том линијом.
Дужи које чин е МНOI'оугаону линију називају сс страllице МIIОlоуfла . 3ајСДllи t Н(С та чке ст ра ница називају се темена Мllогоyrла. Странице многоугла које
IIMajy
зајсЛ,rНI'IКО теме су
суседне, а које немају зајсдничких тачака су нссуседнс . Тсмсна која су НЈ једној стра НIIЦИ
су суседна , а која то нис у су несуседна. Према броју темена Е
г------
______ о
А",'--
___, А,
многоугао је троугао,
пеТоуr·ао, ..... Чест
четвороугао,
['де ј е п природан број и 11:::>:
лежаваЈУ с
л\----.Ј Слика
В
се
уместо
многоугао каже и n-тоугао (чита се ентоугао),
са
3.
Темена се 06е
A,B,C, .. . ,X,Y,Z
ШIИ
Једн им
словом и индексом, односно А I , А 2 , А з ,
Al~l----JA2
... , А".
На пример, петоугао се обел ежава АВСОЕ ИJlИ
А 1А2АФ4А s (сл.
1).
Углови чија су темена темена МllOгоугла, '1ијн
I
краци су одређени суседним страницама многоугла и који имају зајеДIlН'1 ке тачке са унутрашњом облашћу многоугла су углови многоугла. Углони IН~ТОУI 'ЖI АВСОВ су :
LABC, LBCD, LCDE, L DEA,LEAB. 2) .
Те УГJl ове мож ем о обеле-
жавати И са : а]>а!,а з ,а.р а s ( сл .
Темена, странице и УI"ЛОВИ су ОСНОВ~I И елементи многоуr"ла.
Многоугао ј е конвексан а ко за било које две његове та
D
На
супротном неконвексан.
пример,
r ЈеТОУ I'ЛОUИ
п р иказан и
с
Е
У Је
конве ксни ,
на
СЮЈЦИ
а
", А
Слика
в
2
су
(дуж
3
је не
шесто углу). Ми ћемо даље само
сне многоуглове.
с
одређена
теменима С и Е не припада
разматрати
D
шестоугао
IIриказан на слици конвексан
1
Е
конвек
А:----./ в Слика
3
ДУЖI1 'Iијс су крајње
Пример
T,l'lKe
HeCYC~ДHa темена многоупlа називају се f}uјаrОllале АНlО10уlла,
с
I
На СЛIЩIl 4 ЙрllкаЗlllI је йеmоуlао 11 шщрmане су све њејове !}lIја I QfU1ле.
E----.:~ А
СЛlIка
Пример
4
2
Колико УllјаlОllала Ј/ма IIIccmoyfao? И з јеДНО l'
TeMCl la
lI1еСТ ОУ I 'ла уочавају се
3 дијаl'он але,
Да ЛИ то важи за сна ТСМСllа?
Погл едај следсhу СЛIIКУ!
D
D
D
D
А
А
А
А
Слика ТСМСIIОМ А и
TCMCIIOM
В су одрсђене IЮ Tpfl дијаl'онале (АС,
AD,
АЕ.
J3D,
5
ВЕ.
BF). TCMCIIOM С ДВС (СЕ. СР). 'I'CMCHOM f) једна (ОР), јер смо ост;\ле осћ УО'liIлlt 9 диј аго нала,
113 друl'OГ
темсна, То је укупно
Размотримо колико укупно дијагонала и м а 'Ј-тоугао ( ~1IIOгоугао са /Ј темена),
Из ј едно г тсмена М l lOl'оугла ј е одређено
11 - 3 дија l'онаJlе. што можемо заПllсати Ј" = ,,- 3. 11 ' (11 - 3) дија l'Оllале, Сваку дијаl 'оналу смо .. Р;\'Iуналн" из обе крајње да број 11' (11 - 3) треба да ПОДСJlИМО са 2. Дакле.
И3 " темена то је тачке, што ~Нlачи
број свих 9uјаrО1lала II-тоуfла (М1l0fоуlла са " mе,.,еJlа), у ОЗ1f"ЦII О". јесте:
D" = ПРОUСРII
Пример
01.0 тврђсње за
"'(11-3)
2
"
'Iетгюроугао, петоугао, ШССТОУI',IO,
3
ИЈРП"Уl/flј 1(0ЛIIl(0 91lјUIQJI(Iла IlMa geceй.loy/ao,
ДесеТОУ I 'ао има
35 дијагонала ,
['Ј Контролна питаља Шта је АlllOl0уlао? Шта су /{јемсна, ш(йt/ сiПраllLще, а штfl у/лови МIIО10Ујl1(1?
ll1ma
су СУСС!ЈIfС сmрmllЩС мно/оуlла?
ШtЉI је !Јllјаl0Н(lла М/lOfоуlла? Зlll/ltТIо IIJ jcgllOl темеllа tI-тоу/ла йосiПојll 11 -
3 (Јuј(l{Оllfll1а?
Задаци Ila оБСJlСЖII
1,
Н ацртај ОСМОУ I';Ю,
2.
НаЦРТ;lј щ.'тоугао којl1 111'.1<1 два пара параЛСЈIII11Х страница,
3.
Н ш_tРТ
4.
Illccroy,'ao
ње н)Ва темена н угло uе,
KOjl1 11 ма три па ра IIaРiUII?11I I И Х сгра шща ,
Нацртај КОIШСКСНI1 "-тоугао чија СУ тсмена 11<1 трима llаралеЛlНlМ I lpaBaMa 3КО је I! 11
= 5,
= 6,
5. КОЛl I К() Дl lј<1ГОllала се можс II<щртrпн из јеД~IOI' TCMC l-lа 15-TOYI'JI<1~
6,
КОЛlIКО дијаl'Ollала
7.
Ако се нз јеююг тсмена I/-тоугла може н.щртаТII
11.'01<1:
а)
15-Toyr<10; б)
20-тоу,'ао?
б ) СТрШНЩ:1; В) нијаt'онала има тај /J-Toyгao~
10
Дllја l'онала, КОJII IКО: а) тсмсна;
8, Ако IH'oyrao има 27 ДIЈјагонала, КОЛИКО је II~
9. Да ЛIJ постоји М НОГОУl ' ао 'I нјн је број дијагонала: а) 10; Ако МIЮГОУl'ао II М:'
10.
5
б)
В) ЗО~
20;
II УI';! Вllш е Дllја ГО llaла lIего СТ РШlНца, IIзраЧУl l ај КОЛ IIКО СТ рШlllца
Ilма та} М I Ю I'ОУI'ао.
11.
Да ЛII lюстојll М НО l'ОУl'ао '111јl l је број странИI(;} једвак броју Дllј<1ГОllала?
4.2.
Збир углова мноrоугла
го
у III ССТОМ разреду смо у'll1ЛII да је: -зб ир У l 'Jlова троу ГЛ<1
]8()0,
- зб l1р Уl'ЈЈОва '1 СТ ВОРОУ I ')lа 3600,
СЛlIка
Пример
6
I D
Изра ' IУII(lј збир Уfлов(l I/сmОУ/Л(I,
Њщртај п еТОУl'ао ЛВ СDЕ 11 дијагонале из )едн о г темена, на I ЈРl1мер и з ТСМСII3 Л (сл ,
7),
Диј а r'О l l алама Л С и лD JH~TOYI ' ao ј е п о деље н н" тр и ТРОУ I') l а, З6ир углова lIеТ ОУ I '!Нl је,
л.'"""':::--_-Ј с в
СЛl1ка 7
LEA H + LA I3C + LHCD + LCDE + LDЕЛ =
=(L ВЛ С + LCAD + L DAE) + LA BC +(LBCA + LAC/J) +(LСIJЛ + LЛ DЕ) + L /JEA = = =
+ LЛВС + L В СЛ ) + (LСЛD+ LЛСD+ LCIJA ) + (LDA E + LAIJE + LIJEA) = 1800 + 1800 + 1800 = 3 · 1800 = 54()0.
(L ВЛ С
ДРУ I'ИМ pC'IIJMa, к ако је з6 11Р углова сваког троугла
3 . ] 800= 5400.
]800, то Је зб ир у гло ва петоугла
УТIJРД.јМО сада Аезу између зби ра УГ'IО Аа ма КОГ МНОГОу t'ла
једног 'гсмена, на примср А" рЏЗJIажу тај МНО ј'оу . 'ао на 11 -
11 број а ЊСГО IJ IIХ темена , Из MHOI'OY0I
У I'ЛОIШ, па како је збир У l'ЈЮАа сваког ТРОУ " М
1800,
то ј с:
з61lр уfлова МНОfОУfла са rJ темена, у ОЭllat~u S"jegllaK (п тј.
S" =
(,Ј -
- 2) ' 1800,
2) ' 1800.
Провери 0110 Тflрl)ење за троут"ао, четвороугао и Il~ГОуг
2
Пример
ИЗРn'IУlшј з6ир У'ЛО(Ј(ј ЩССI1fОУТJlfI.
Збир у,'ЈЮ'1l1 llЈССТОУГЩl ј е
7200.
УnЮВИ које обра з ује стра~lица конвексног МНОI'OУl'ла са продужетком суседне страmще наЭl1вају СС сйољаШЊЈ/ уlЈ100ЈI МIIО10УlЈ1а.
На СJIIЩII
Пример
8
ПР.l казан је
lIeTOYI'ao
ЛВСDЕ 11 ЊСI'OЈЈI' С llоља lЏЊИ УГЛОВlt.
.,
3
D
.з'
с
I1зра"У'mј збир C(lOJMIUlblIX Уl1106(1 Йеl1iоуfЛа. Сl'lољаШlb l 1
Yl'ao KOjllM
l'OуГЛ<1 са
КОt-lliСКClЮГ МfЮГОУ " ла Уlюредаll је углу МIЮ "ма зајеДIIИ
а,'
СПОЉ
а; +a ~ +а ; +a~ +а;
=
= (1800 - ex l ) +(1800 -
а!)
=5, ]80
8 + (1800 -
ех 3 )
+(1800 -
a~)
+(]800 -(xs) =
- a s = 5,18()0 - (a, +а 2 +СХ Ј +«4 = 5'1800- (5 - 2)' 1800 = 5, 1800-3, ]800 = 2· ]800 =3600. 0
-ех l - ех 1 - а Ј -ех 4
З611Р С llOља l llllИХ у глоuа п етоугла јс
+ (5 )
А
=
Сл ик а
шта 'Iам даје идеју да збllР СПОЉ<1ШЊИХ углова
Ако са
5;'
11 да је 3600,
MHOI'oY.'lIa
3600,
не зависи ОД броја ТСМСllа тог
Проверимо то!
обслежимо збир спаљашњих УГ"0ва Мllогоугла са
11 те м ена,
тада је
S" + S;, = 11' Ј 800 (збир l' парова упореДlIIlХ УI·ЈЈОва). Одавде ј е:
8
3600.
Дакле. з бир спољаШЊIIХ углова ТрОУГЛ<1, четВОРОУ l 'lIа и петоугла јС/џlак је
МНОl'ОУl'ла
а,'
Е
S:'=n ·1 80 0 - S n = = ". 1800 - (11 - 2) ·1800 = = 1/ · 1800-/1 · 1800+ 2 · 1800 = = 2·1800 = 3600. Збир СЙОЈЬаUllbих уrлова КО/јвеКС/јоl м.но!оуlла је
3600.
~ Контролна питања Шта је уl(/О М/IОI0уIЛ(/?
Шта је саољтЮЫI уlао МI/о/оуfла? Колики је збир у,.ла М//Оiоуlла и сйољашњеf уf.ла М1/0fоуIла који IIMajy 3l1jegl/lI'IKo Шеме?
МОјУ ЛlI Уlао МIlО[ОУfла 11 сt10.љЩUЊII у'ао МНО[ОУlла који ш.mју зајеgl//I'IКО теме. 6/117111 jegl/(/I\II?
Kal\o
се II3ра'IУIШбfl збllР у/лова 1\00/6eKCI/Of МЈ/Оlоуrла са 1/ mемена?
Како се юра'IУllflба збир сilОЈЫlIlIЊIIХ уfлов(l КОН8ексноТ МI/Оl0уlЛ(l Ctl 11 mемсн{/?
Задаци 1.
МО I'У Л И У ГЛО IНl од: а )
400, 50°. 70°, 90°, 100°;
611ТИ УГЛОВИ пстоугла?
2.
Ш crТ У l'llОАа ~I CI\O I' сеДМОУI"J13 су:
100°. 1 !ОО, ]20°, 1300, ]400, 1500,
И зрачунај сеДМ II угао
то г сеДМОУПlа,
3,
Израчунај УПlOве аЈ' а 2 , а Ј , и
((4 = ((5 =
((4' a s петоугла
ако је
(12= ((1 +200,
аз је за
20%
већll ОД а l
((ј.
4, Изабсри тачку М у У l iут рашњој о бл асти осмоугла A.A 2A j •• ,AIj и нацртај дуж и МА 1 , МА 2 , МА .! ,
,.. , MAI\'
За кол ико је зб и р угло ва троуГЛО В i1 МА Ј А 2 , МА 2 А з ,
...,
МА 7 А н ,
MA~A J већи од збира свих УЈ'лова то г осмоугла ?
5.
Ако је збир У l'лова МНОI'оугла пет пуга већи од збllра свих њеl'ОIЩХ слољаUl Њ ИХ УЈ'ЛО ва, КОJJlIКО СТР"Н ll ща ~IMa тај мно['оугао?
6.
Ако је зби р С IIIIХ С[IQљ.ашњих Уl"Лова многоугла за
7200 мањи
ОД зб ира његOlШХ углова,
КОJJlIКО страmща I l ма тај М IЮ I'ОУ" ао?
7.
Ако МНО I"ОУ I'ао 1 1 ма
2,5
пуга више дијагонала ВСI'О страница, l1эра'I У I IaЈ з6 1 1Р свих
ЊСI 'ОIlИХ УI "ЛО IЈа.
8.
Да)lll КОНl.lекоlИ петоугао може нмати: а) три; б) ' l eTllp~J пра lЈа угла?
НаЦРТ
9.
(17' тnкодајс Л] А 2 =
3
(ти СХ,
=
ех1
= 900,
Њщртај кшшеКС Н I I шсстоугао М] М 1 Мз М 4 М'ј М 6 'lНjH су угловн (11)
10.
TrLKO AajeM 1 М 2 = М 1 М ј
=
М) А14
= 3 ст 11 (Х2
4.3. Правилни многоyrлови -
= СХ)= 1 20 ,
CX1> а. Ј • СХ 4 ,
(1;;,
au.
D
појам и својства
у шестом разреду СМО учнли да;
тро у ,'ао
'!lIje су
снс странице једн;)кс
li Ma ј еднаке
све У I'ЛО lJе;
ЧЮУ l'ао 'l Ј1је су С\Щ угла ВII ј еднаки щtа Једн аке сие ст ра ннце;
-
ром6 има једнаке С I)(' СI'Р;1 IНlце, аЛII У I'ЈIOВlI му НII СУ СВН ЈеДН
Л .,
-
нраllОУIЋОННК
има
JCДlНlKC
сне
УI')Ю1lе,
;\Л L I
странице
:\1 У
нису СВС јСЈЈ: llак с;
Л5
квадрат ]Iма Јед]]акс све странице и Једнаке снс У1'ЈlOве.
Да ЛИ све страНIЩС М I Ю I' оугла могу 6ИТI1 једнаке?
а
Да 1111 сви УГЛQВI1 МIIQ['ОУ1"ЈШ МОГУ а
611TII
jCДHaK II~
Од['овор је на 06а ова Ш1Тања IIОТ[lрдан, А,
MHoioyfao ''''је су све еmраmще јеУllаке 11 св" Уfлоо" Amo1oylao.
jeYHaКll назива се правила"
а
МИОГОУl',lO Nf, М 2 М Ј , •. М" , М" чији СУ УГЛО Вl1 а,. <Х2. аз • .. " a'I-[' а." је пра в илан ако за љегове ст ранице 11 угло вс ва}l\lI: СJII[ка
-
М'М 2 = М[М ! 1I_ 1 =
9
Пример
=... =
= М 1 М2 = ... =М"_ [М,, = М" М 1
[[ <Х,
= <Х2 = <ХЈ
I
џ) Ј1зра'lУllај је!Јан У/(IO ПРtlб1/Л1/0i IIIссmоуlла, б) Ј1З/)(I'IУllајјсgllll СПОЉfll/llЫI уlао йрmШЛl107 шссmоу/Л а ,
<1)
Зби р СII' I Х У ['ЛОЩl прави }[ но[' [l1сстоугла је
(6 - 2) ' 1800 = 4· 1800
= 7200, п ;\ ј е ј сда l l угао
7200: 6 = 120°. б) Збир свих с пољаШ IЫIХ углова правилног ШССТОУГЈТ.I ј е
3600 : 6
= 600.
3600, [1;1 је јеД
о lOља[.1 [11>11 УГ
УI'30 нраlНIЛlЮГ IЈ-тоугла се РiIЧУН;I ·1
11. Ако са а,. обележимо У1ао араОJlЛlIО1 МIlОlОУ1ла са
<Х ..
=
~ ('_ ' --,2-,-)_' 1800
"
" mе.меuа. tllaga је:
ЈСД'НI Сlюљашњи угао праl.lIIЛНОI· I/ - тоугл а се ра'lуна тако што се збl!р СIЩХ Clюљ,' шњнх YI'JIOIJ(l подели бројем yrлопа. 1ј. бројем
Ако са а" обележимо
jegau
".
сnоља"""и Уlао nраВШlUОf МНОfОУfла са п темена.
maga је:
, 360" а" = " . Провсри ОВС ФОРМУЛС.'lа јСД~lакостранични троугао
11
квадрат.
ПОll сеТfIМО се да IIраl.lИJlНI1 троугао и праВИЛIIИ 'lстворОУI"ао имаЈУ описаllУ
11
Уl lll са ну
КРУЖ НИЦУо Те крУЖНIIЦt.' имају IIСТИ центар. CBaКl! flравилан многоугао има описану и УJlисану кружницу. Центри тих круЖlllща се поклапају и та тачка се Ilззива центар правилног многоугла.
А)
С3
C!II!Ka 10
Пример
А,
2
ТроуrлOfНl оgређеНII ClI ува УЈlIПllOйна ШемеНlI Правl/Лl/О! МI/О/ОуIЛО 1/ центром тот Мl/О[оуfлtl су
Н<1 СЛ1 ЩII
11
lIogygapHU. ДокаЖl/о
је I1p"К<13al~ l1Р.I ЩIЈ1ШI осмоутао Л I Л 2 А Ј
'0'
А з 11 њему
A7f-------~~----~A)
01111С<111а кружн ица са центром О . Важи:
А 1А 2
=А 2 А ј =
. 0'
А 7 Л (i
=Ан Л I И ОЛ ] = ОА 2
= ,.. = ОАм, па су јсд-
11;l кокраки троуглови
Л 1 А 2 О. А 2 А з О,
0'0'
А 7 А з О. А з А I О подударllll.
А,
Сл ика 11
ЈеДllакокраки ТРОУlоао 'Iија је основица страница "равилног п-тоугла, а "рх је У цснтру тог t,-тоугла назива се каРtlктеРUСfПlIЧНlI
mpoyfao
1'-tnОУfла . Усао при врху каракте
ристи'шог троугла јс
'У" = 3600 , где је п број ТСМСIЩ тог n-тоyrла.
"
Пример3 Тачке
gogllpa 17Р(/БЈ/лItОll1~t710УIЛ(/
11 /IJсме
YUtlCliItC КРУЖ1/lЩС су mсмсна nрarJ/lЛI/Оi /нпоуfла.
ДОК(/ЖI,.
На СЛИЦlI
12
прш<аз,\II је праВIIЛН!I осмоугао А 1 А 2 А з
А г 11 њему упнсана "РУЖllица таЧКt=
осмоугла
и
k
"РУЖIIIII.l.е
...
са центром О. Додирне
су
среД IIНl 1'3
осмоугла (За11lТОО 11 обележимо их са
cтpaHllua
P 1 Р! ... Pg •
Из jeд~
наКОСТII сгра llица осмоугла слеДI1 једнакост н IЫIХОВИХ поло вина , OlIlIOCHO A 1 P 1 =
Важи
L P,A 2 P! = L P2A J PJ =
P 1 Л 2 = А 2 Р2 = ... оо.
= L P8AIP,
= Р8 А, .
1\.10 у глови Ilpa ~
ню,ног oC~OYI·JI;1.
ОдаТJlе следи да су ТРОУГnОlll' I~А 2 Рl ,l-)l А Ј Р.!> ... ,Р~АI/~ ЛОДУl1.;1Р Н И, а из п одударн осп"
I~P2
LI~Р2 РЗ
=
Р1 РЗ
след н:
= ... =
P~P, И
= LP1PjP., =... = LP~P1Pl '
(Зашто?)
Дr.кле, осмоугао ~ PI ' . ' Р8 је Il раnllла н .
ПР,ШНЛ II И троугао 11М <1 три осе Сlfметр иј е. а правилни ' I СТ lюроугао
Пример
'leTllp " .
4
КОЛIIКО оса СlIметрuје можеш
ga нацршаш i1Рtlб!lЛI/IIМ Мl/оfоУfЛЩШМ{/ I1РIl1ШЗ(Н/IIМ 1-/(1 CJl IЩЈ/
13~
Сл и ка
13 С оаки од ОНИХ вравилних MHoroyrnOBa и ма онолико оса с н мет р иј е колико има темена.
ПравИЛJlИ
n -Toyrao
има п оса симетрије.
Ако ј е п па раи б рој. тада су
!!.
оса симетрале парова наспр ам них стр ан и ца. а ~ оса су
2
2 си м ет рале п а рова lIаспрамнкх углова.
Ак о ј е п н е lЈаРЗ Н број. тада је свака оса симетрије с имстрала страни це и с иметрала наспраМIfОГ угла .
~ Контролна питања Да Лll је МIIОlоуlао I1раВilлаll ако има jegHaKc све сl71ра юще? Да Лll је МlIотоуlао I1раВIlЛ(Н/ ако Ilма јС9наке све yfлове?
Kaga
се З(l Mlloroylao каже 9а је I1рав llл ан?
Како се uзра" унава број 9 11ја fо нал а IIЗ j egHof iПем. ена правuл н оr М1iОlоуrла? Како се uз ра чу~m 8а број CB IIX 9uјаfонала араВIlЛНО [ Мllо fоуlл а ? Ка ко се tlзра"УН(ј(Ј(ј збир С(Ј их Уlл ова ара81lЛflОf М fl оrоуfла?
Ка ко се tlЗра'lун ава збир св их сl10љашњих уtлова ара в иЛНОf мноrоуlла? Како се uзра'lунава jegaH yrao прав uл н о' М 1iО lоуfла ? Кол и ко оса СlIметр ије има аравUЛ11l1
MHoloy lao?
Задаци 1.
З а окружи СЛ О I.lO и с п од СЛ lI ке н а КОЈОЈ Ј е п р иказа н пр ав ил ии
а
МНОГОУ I'<Ю.
2.
LD, o<> D OOO , 9
90 Щфll 'о нала ; LI ) једа н ЊС I 'ОИ с нољ ашњи
cue
ж
14
б ) зби р ње гOiИЈХ УГЛО ll а ј е уг ао је
Ако ј е М lю r' ОУl' а о М, М 2 Мз
а) ј еднаке
~
~СЛlI ка
КОJlИ КО страни ца и ма пр а вилии многоуг ао ако:
а) им а
3,
б
.. , М"
200;
г) један ње гов угао је
28800; 1400?
правилан , тада су:
, ье гове страниц е ;
б) јед в аке све њ е г о в е д иј а го нале ; I~ ) ј една к и св и њ его ви УГЛО ВИ ; г) ј ед на к и
CIHI ње l'О ВИ
с пољашњи угло ви,
Заок р уж и СЛОnа и с п ред ТЗ 'IНИ Х одго вора ,
4. M Ho l'oy,'ao
и ма
104
д ијаго иале и све једна ке странице, а) Коли ко ст раница " ма таЈ
М Н ОI'оуга о? б) Да ли ј е тај M lloroyгao праВ llл ан ?
S.
Нацртај к вадрат да су та'I КС Е и тог ш ссrоугл а,
ABCD. па зати м н а ц ртај једн акостр а ничн с TPOYI'JIQBC ВЕС и ADF, тако F ва н к вадр ат а , Да }1 И је ш еСЈ'О У l'ао ABECDF п рав ил а l Ј? И зра ч ун а; у глове
6.
Угао пр и ВРХУ ка рактер и стично г троугл а II -тоугла ј е једнак Сllољашњем у.·лу тог Il -тоугла. Докзж и .
7.
Сва к а т ри узаСТО Шi З теме иа п ра вилно г Il -ТОУI'ЛЗ су темена
)сднакок раког т роугла .
докаж и.
8.
ИзраЧУllај углове карактер исти'lН ОГ т р оугла правилш: а) lIеТОУI'ла; б) 1 1, I CCТOYfJl;J. ; В) осмоугла; г) девеТОУl'Jlа; д) дссетоугла,
9.
Нека је А 1 А 2 А Ј А 4 А 5 А 6 пр а вилн и шеСТОУ I·.Ю. И зрачунај углове т роу гл а: а ) А 1 А2 Аз ; б) А 1
10.
A z ... As A9 ,
Нека је А 1 А 2 А Ј ,., А" правилии МНОl"Oугао, Праnс одређеllС стра н ицама А 1 А 2 и А Ј А. 1 граде у гао ОД
12.
в ) А ] А з А4 •
Израчунај У I'ЗО који граде пра ве одређенс ст ра ницама А 1 А 2 И А ) А 4 II раВIIJlНОI ' дсвс тоугла А 1
11.
AJ A s;
] 440,
Кол ико страница им а тај II -тоугао?
Нека је у гао ~Iзмеђу полупречникз о пи са Н О I' круга и ље му најближег полу преЧНl! ка УПllса Н О I' круга праПИЛII О Г м но гоугла
200.
И зра чун ај:
а ) једа н њеГО IЈ угао; б ) један ње гов С llOљаШ Њ l 1 у гао ; В ) зби р ње гових у глова; г ) зб ир њеl"OВИХ спољаш њи х углова.
13.
Н ека јс А I А 2 А Ј
.. , А"
правилни
стра ницом А 7 А м градс угао од
]4.
MHO!"oYI·ao. С и мстрала 450, И::sра' I У llај n.
угла
As А ь А ,
и 11рава одрсl)сна
Нацртај приближно пралилни п етоу г ао ако јс: а) ПОЛУПРС'llIИК њсму ОПll сано г круга
4 ст; б) његова страни[,щ 3 ст ; В ) п ол упреЧНI1К њему YIН1CaHoг КРУl ' а 3 CI11 .
15. Нацртај п ри бли ж н о rl ра ВИЛ IIИ деветоугао ако ј е: а ) II ОЛУПРС' I НИК Њe:l.1У о пи сано г круга 4 с т ; б ) његова стра н ица 3 ст; В ) пол упре'. ни к љему УПl lCано г круга 3 ст.
4.4. Конструкције правилних мноrоyrлова Прошле j'oД lНle смо учили о основним КЩlCтрукцијама троугла и чеТDороугла. Ра змотримо сада како се ко нcrруиш у н еки I1раВ ИЛll1f мно гоуглови.
Како се сваки прав ил ни м н о гоугао м ож е Р3 ЗЛОЖ ИТIf н а п подударних карактериcrи чн их т роуглов а, KOHcтpYKЦlI)a правил ног м ного угла своди се н а конструкцију једног каракте ристичног ТРОУ I'ла,
у"
=_360"_
Карактеристични
Tpoyr·.lO
троугао
чији је угао
при llрХУ' За љегову конструкцију ј е потребан још ј едан од елсмената '1'01 '
"
ТРОУОlа :
-
је ј една ко крак и
ос н ов ица ( С1'рающз правилног м но го уmа ) ;
крак ( пол у преЧ Н~IК КРУЖ I-IИЦС О [lи са н е ОКО праВИЛНОI' м н огоугла);
_ в ис ина која одговара основици ( п олупреч ник круж нице уписане у тај праВИЛIIИ мно гоу гао).
Умемо да КОllструишемо угао 3600 за,,: 3, tI праuилних
rr
Пример
MHOI'OYI'JIOBa
са
"
:
3, 4. 6, 8, 12 сграница
4,
11 :
6, " = 8.
tI
= 12.
1-13
liе конструкција
6ити једноставна.
I
КОllсillРУUШL/ ара8t1ЛН!I mpoyrao (jegHaкосШраНlI'fНи mроуlаоЈ ако је аолуаре'l HIIK ойисане кружнцце
3 ст .
Теме н а тр аже н ог троугл а Аве l1е б и ти на круж шщи
k(O,
3С1п). I{онструиш е
мо тачке Л и В н а К Р УЖIIЦII
LAOB: ]20". ЛВ
= ВС (сл .
k тако да је
Теме С је на крУЖ Н ИЦl111
15).
А
Слика
--
Пример
15
2
КОl/сmРУlllII1l nра81lлни шеСillоуrао ако је љеfова страница
5 с т.
k
Карактеристи чн и т роугао п ра в илног шесгоугла ј е ј ед на ко краКI1 троугао чији је угао
60"
при врху, тј . ;едпакостраНЈ1-
ЧНII троугао. Конструи шемо кружницу А l' Л z ,А ) , А 4 ,
As, Аб те кружнице тако да је А , A z : А 2 А) : ... : АsAб: 5 ст.
Докажи да јсАt.A, : 5с П) (сл.
А,
k(O, 5ст) и та'IКС
А,
] 6). СЩ1 ка
Пример
]6
3
KOHCillPYUUl/I ара8u.лНLI oCMoylao ако је њеl0ва сшраНlща 4 ст. КарактеРIКТИ'IНИ угао од
Tpoyl'ao правилно.' QCмоугла А.А 2
.•• А 8 је јСДllакокраКlI троугао ч ији је
A.A zO, тако да је ОClIOПlща 180" _45" 1350 А 1 А 2 = 4 CI", а углови н злегли на ОСНОВИЦУ LЛ 2 А 1 О = LЛ 1 А 2 О = 2 : - 2- : 67"30' 45"
при врху. Конструиwемо једнакокраКI1 троугао
( сл .
17а ). Затим
конструишемо кружницу
А з , А 4 , ••• , А в су тачке кружнице
k(O,
ОЛ] )
КОја садржи
и тачку
A2.TeMelbl
k тако да је А 2 Л) :::: А з Л 4 == .. .= А 7 Л g :::: А нА] (сл . Ј 7б). Ао
б)
а)
А5
А,
о
А,
А,
k
k
А2
А,
Сли ка
А2
17
Прим ер
4
КО1/Сmруuшu йравuЛlIU gflallaccmoyrao ако је 170ЛУЙРСЧIIUК IЬсму уаU Сl1l1С КРУЖН II ЦС Ј начин конструк ц ије. А7
А,
[lраВИ!lНИ
А,
-
4 с т.
1l 0Л У['Iре'IНИК кружниц е УПЈЈ сане у
МНOI "оугао Је ј еднак
ВИСИНИ
карактерист ич н ог
троугла . Дакле, конструиш емо ј е цнакокрак и троугао А ]А 2 О
А,
'Iија је висина ОР (која одговара ОСНОВИЦИ А,Л 2 ) јед нака
А"
А5
k(O, 4 ст)
О
А4
А"
k А, А,
4
осношще у ::::
yr-ao HaC!lpaM
Те м е на А з , А 4 ,
... , А]2
k(O, OA r)
( сл .
30",
су т ачке кружнице
Л]Л 2 :::: Л z А з ::::
18).
Затим КОII
која са д ржи и тачку
... =A 11
k,
A z.
тако да ј е
А] 2 '
Колико је Л' 2 A ] ~ начин
11
ције .
Р А,
мо
4 Слика
ст, а
струишемо кружницу
-
конструк
Конструишс
КРУЖIIИЦУ
А7
k( О,
ст) и пун централ -
ии угао, односно кру
18
жницу поделимо на шест Једнаких де
лова (као у примеру
2) . Симетралама
с ва к и од тих лукова поделимо и тако добиј амо та чк е Р 1 ,
P z, ...,
Р I2 У који м а уписана кружница д оди
р ује т р а ж ен и д на наССТ ОУ"ао (сл .
19).
Ст р а ниц е тр а ж е нО!" м нО!" оу,"л а су на Т
k у та'lкам а Р], ]>2' .,., ]Ј ] 2' а темена ,.. , А ] 2 с у зај еД НИ'lке Ta ' IKe узастопних тан
ге ната. Док а жи д а је конструисани дванаестоугао А ] А 2 ••• А
'2
пра в и ла н.
Слика
19
~ Контролна питаља Да 1111 се може l/aцpmmlllj 611110 који аравUЛlm MHotoyfao ако је: а ) ПОЗl/ата ",еl08а страница;
110Эll аCn flолуаре 'IНIIК њему оаuсан е КРУЖНllljСј
6)
в) ПОЗ l/ат аолуаре'tНIlК ,ьсму уЈ111СnНС кружmще? Да ли се може консmрусааlIJ би1l0 који аравUЛНII Mlloloylao ако је: а)
f103Hal7la fbefooa cmpalllll~a;
б) Познат ЙQлуаре'II/IIК љему оПисане КРУЖl/uце;
в) Познат йолупречнu к њему утICане кружнuце? Да Л II су mа'lке qOgllpll правилно! lнпоyrла са IЬСМУ YUIKUHOM КРУЖIIIЩОМ mемена праВIIЛНО!
I/ ·mоутл а?
Задаци 1.
КОН СТР У ИШII пра ВИЛ IIИ 'I СТlюро у '"ао ( квадрат) ако је Il олу ПрСЧ IIIIК њему: а)
2.
OllllCaHC КРУЖ ~lице 3 ст;
6) 11)
3,5
2,5
С !n .
с т;
ПОЈI У I" РС'I ЮI К њему ОПl1сащ~ к р уж нице IЈОJlУПречник љсм у у писан е кружнице
3 ст; 2 Ст,
КОIКI'РУIIШН праВJfJIIIИ tll есl'oУ"ЗО ако је љегова: а) Bcl'!a д ијаl'о нала дуж ине 6 ст ј
4.
упи са не КРУЖ I ,и [,~е
КО I IСТРУИШИ [ I РЗ IВIЛШI шесто у '"ао ако је: а ) њеГО I~а ст раница
3.
6)
Нацртај праву р
11
б) м ања д ијаl'онала 5 СI11,
тачку О ва н ље. Конструнши правил ии:
а)
TpOy t'ao; б) чет вороугао; В) шестоугао; 1') осмоугаОј д) nnall
та'lI,а О .
Н а цртај ље l 'ОIЩ
Il pi1BY р 11 тачк у С ван ље. Кон стру ишн п раВИ ]ll 1l1 ш естоугао Л BCDEF ако јс СТР 'lIlИ LЏ1 Л/Ј 113 (l paHoj р.
4.5. Обим и површина многоyrла Ако ј е
A 1 А 2 А) .. .А/! А Ј м ногоусаона линија, љена дужина О је зби р дужина сви.х ЊСIШХ 0 = А 1 А 2 + А 2 А) + ...+ А n _ 1 А n + A,.AI' Уместо ДУЖЈfна МJlOroyraoHe ЛИllије A1 А 1 А] ...• А/! обично кажемо обим многоyrлаА 1 А 1 А ] •. .• А n • crраllица:
НЗУ'Н1Л~1 смо да израЧУllамо обим неких троутова и обllМ неких ЧСТВОРОУI 'л ова,
Обим ПРЗlJиJlttDl '
'H'OYI'}!a
када је п оз н ата дужи н а странице а је: О,/= lI·а.
Пример
1
Изра'Јунај обим nрааШ/.НОl щесmоуfл.а који је уаllсан у кру' пре'IНIIIШ
1О
ст.
Стра ница правилног шестоугла је јед н ака полупречнику описане кружнице, тј. траж ени обим
Пример
30
Изрu <'ytmј обим йеШОУ'Jlа АВСОЕ (сл .
ЕС ЕС,
Е "":::... __--'s!..f-_~ с
Обележимо са
ако:
п ресек дијагонала ВО и Ес. Троугао BCD је јед-
5
ХИllOтенуза праВОУГЛО I' троугла
је правоугли трапез, па је АЕ
20
20)
= 17 ст, BD = 10 ст, iПемеll а В и D су симеmРllчна у OgHOCY на арадУ LBCD = 900, L ABD =900, LAES =450.
накок раки правоугли, l1а је ВС в
Слика
па је
2
D
А
S ст,
ст.
=
ESD
со
=
s.fi ст. Страни ца ОЕ је
= 13 ст . Четвороу,'ао ABSE и АВ = 7 ст. (Зашто?) Обим
и ОЕ
= S,\Г2 ст
петоугла АВСОЕ је
ЛВ + ВС+ CD + ОЕ+ ЕЛ
= 7 ст +
s-J2cm + S\!2 cm +13cm + s -J2 cm =(20 + IS...J2 ) ст .
Прошлс године смо н аучили ш та је површина фИl'у ре и како се изра ч унава површина ТРОУ I') lа ' 1 неких четвороуглова. Не постоји правил о п о к оме 6 и се израчунавала по в рши н а
ма ко! ' мно гоуmа. Н ај ЧС\Јlhс се на !ю годан на'ш н м н огоугао разла же на троугло ве или четвароуглове чије I'ювршине знамо да израчунамо.
(1
Пример3 Изра'fунај поврШUIlУ чеmвороуrла
LABC=LBCD = 1200
(сл.
ABCD ако је АВ =
ВС
= 8 ст, СО = 12 ст,
21).
Дати ч етвороу"ао АВСО није н и о аралелог рам ни т ра н са (зашто?), па њеТО IiУ површи н у не можемо ра ч уна т и пр имсњујуhн н еко од нама познатих прапила. Зато га морамо разложити. I-Iацртамо днјаl'ОНалу
АС (сл. 22). Тр о угао АВС је једнакокрак са углом од 1200. У г ао је В'АВ је 300, па је вис и на ВВ' из темена В н а АС једнака меН I1 МО Пита гори н у теорему н а ТРОУI'ао с
Слика
21
израчунамо да је
АВ' = 4,·ЈЗ сш, односно АС = 8,ГзСI11. Угао ACD је једнак раЗJlИ ЦИ У['ло ва
в
4 ст. (За ш то?) При
В'АВ 1I
BCD и
ACD су
ВСА, тј .
АС
г
L ACD = 1200 - 300 = 900.
=8'.' 3С I11
Катете правоуглог троугла
И CD = 12 ст. ЧеТ80РОУ I'ао
ABCD је
ра зложсн на
D
два троугла, А ВС и ЛСD, па је НoC I"OHa понршина једнака эбиру површин а ОЩIХ т роу гло ва. Дакле,
РА8СО
= РА/ЈС + РАси =
ЛС · ВВ'
2
+
Л С·СD
2
г.;
~
8,, 3· 4 8 ..Ј 3· 12 r; = -2- + 2 = 64 "\· 3.
ПОUРШlша четвороугла ABCD је 64-/Зст 2 • Слик а
Пример
4
КРУЖl/lща 110луйре 'IН llка су стра нице
13 ст, 14
4
с т gogupyje сое cmpaHurce mpoyfJlQ чије
с
с т , ] 5 с т. Израчунај аовр шuну m01l1lpoyfJla.
=
Н е ка с у ЛВ (С1l. 23).
22
= 13 СПl, ВС = 14 с т, СА ]5 ст странице троуглаЛВС I{ружпица k(O, 4 с т) уписа на је у троугао 11 додирује
редом ст ранице ЛВ, вс, СА У тз чкама
П О lJрш и на Р
5,
Т,
U.
Tpoyl"Jla АВС ј ед на к а је з6иру П ОИрU ll1ll 3 ТрО У l'ло ва
АВО, ВСО. СЛО, lI а је:
A8 ·0S ВС- ОТ СА·ои + + = 2 2 2 13·4 14·4 15·4 13 + 14 + 15 = -- + -- + -- = ·4 =84 . р=
2
2 2 ПОНРI.JJI1l"lа ТрОУIЖI ј е 84 с т 2 .
2
s
А
Слика
в
23
Сваки Il ра 1НtЛ юt 1I -'с'о У I'ао се може разложити на ка рактер и сти чн е T poYf/ IO IJe. 11:1 је:
р = п . a~ ·IJ~ " 2' где смо са: Рт ат
hl1 обеле Ж ИllИ
редом елементе многоугла површину. страницу и полуп ре
,(НИК уr1ИсаllС кружниц е ( IJИ С ИНУ карактеристичпог троугла). .
Даље Ј е
п '" =
11 .
an ·11" О" · 11~ . О 6 = - - - , где Је "о им 2 2
ТО Г многоугла.
( П Оll ршина ТРОУI'1I3 м ож е се и зра ч унати ако су задате дужине страница).
Пример
5
Е
Каракте РИ СТИlJНИ
троугао
праnилно) '
шестоугла је једнакостра нични
24). Површина Ш ССТ ОУ1"Ј13 је ше ст пута пећа од гювршин е
jeJtIIOI' кар актеристичн о г троугла, па је :
О
а
ИЗР(l'IУllај аоврШIlНУ арааUЛНОf шесmоуfла Чllја је страница а.
троугао (сл.
а
F
f----*---1 C
" А
Сл llка
а
24
В
~ Контролна питања Како се рачуна йоврШUНQ правИЛНОl шроуlла?
Како се рачуна аовРШlJна йравUЛНОf шесшоуrла? Ако су У "ру' аолуйрсчнuка
r уйисани
аравuлнu
mpoyfao u
йравuлнu шеСiПОУfао,
yйopcgll IbИХО8С [lОВРШllне.
KBQgpam АВСО је уйисан у круI, а KBagpam A1B jCtD 1 је оаllсан око Kpyra og ових K6agpama има већи обим?
аОЛУЙрС'lнuка r. Који
Задаци 1. ИзраЧУl1ај обим и ПQВРШИНУ јсднакостраничног троугла ако Је ПОJlупречник њему: а) Qllисане, дужине
2.
3
б) уrlис;ше КРУЖ ~lиuе
ст .
Диј аГОЊШ
20
ст, а угао између дијагонала
600,
Изра
површину тог правоугаоника.
3.
Правилан шестоугао, квадрат и ј еднакострапични троугао им ај у 06им е по
36 ст .
Из
рачуна) и упореди површине тих МНОГОУГЛQва .
4.
ПраВИЛal l шестоугао, квадрат и једнакострани'lНИ ТРОУ I"ао су уписани у круг полу преЧlIика дужине б ст. Израчунај и упореди обиме тих МНОI'оуглова .
5.
Израчунај површину правилног: а) осмоугла,
б) дванаестоyrла
ако ј е полупречник њему описане кружнице
6.
4
ст .
б) шестоугла
ако је I]QЛУllре'IНИК њему уписане кружнице
Њщртај једнакостраJ-tИ 'I НИ троугао АВС и изван троугла квадрате Да)lИ је IнестоуЈ' ао је СТрЗl-l ltц а
8.
сПl.
Изра
7.
4
PQRSTU троуr'ла 4 ст .
Изра'rунај обим
11
1l0ВрШИНу
шеСТОУI'ао странице тар шестоугла.
3 ст,
ABQP, BCSR,
САИТ
пр авила н? Изра
oceH
а тачке
слици ако је
ABCDEF
пра вилан
дужи АО, СО, ЕО . Тачка О је Цен
9.
Израчунај оби м и попршJtну трОУ I'ла чиј а су темена ма КОЈа т ри темена I l раВИilНОГ шсстоуглз ст ранице
ABCDEF
4 с т.
А
в
~HIKa 25 10.
Странице п раlJОУ l 'аоника су АВ
Тачке Е.
F. С,
Н,
L,
=CD = 13 с т и ВС =
Ј су на cr раницама АЕ
а тачке
G
и
1 су
=
ОА
=6 ст.
TOI' правоугаоника (В ИДИ СЮIКУ ) тако да ј е
РВ
=
ен
=
LD = 4 ClП,
редом средишта страница ВС и ОА. И зра' lунај обим и ПОlJршину
шестоугла ЕРс ни. Да ли је тај шеСТОУГЗ0 пр а вилан ?
D
L
с
н
G
Слика
26
5.
ЗАВИСНЕ ВЕЛИЧИНЕ И ЊИХОВО ГРАФИЧКО ПРЕДСТАВЉАЊЕ
5.1. Правоугли координатни систем у равни До сада СМО видел и да с вака права мож е п оста ти 6роје вн а I,рзnа. Поз на ти м п оступ ком с в;нюј тач к и праве додели се једа н реалан број
-
ње на координ ата , а сВа к ОМ реал н ом броју
одго вара тзчка броје uн е п раве ч ија ј е коо рд ината тај реал а н број . Полож ај б ило кој е та ч ке н а број еn в ој п равој м о же се потпуно одредит и једн и м реаЮIII М број ем
координ атом те
-
та ч ке. Природно се 11QСТЗ l1ља пи тање да ли се н а СJl И'l а н н а 'I ИН може одред ит и положај
тачке у равн и . ПО'lЋрдан одго вор н а о во питање наћll h eтc у о вој лек цији. Место у позор и ш ту оп исано је са д ва б роја . Пр в и број аз на '!ана ред у ко ме се о но налаз и, а други б рој ј е б рој сеД llШта у у
том реду. На сл ича н н а чи н се м оже одреДИПI lю)[ожај та ч ке
у ра IJ Н И. У том циљу У равн и се најп ре rюстаlJ И ј едан п раnо угди координатн и систем. Њ ега чине две коо рд и на ТII С осе
које се секу п од правим углом такве да је љ ихова п ресеЧ l lа тачка О коо рдинатни п очетак обе координаПIС осе. Једна
м (х.у)
М" г----,
коорди патн а оса з о ве се апсцисна (х-оса), а друr а ординат
Ј
на (у-оса) . Једи ничне дужи ОЈ односно ОЈ на а П СЦ II Сlюј, Ј
о
М'
х
односн о, о рдип атн ој оси су нај ч ешће једнаке . PaBa~1 са овако изабран и м коорди н атн и м системом Оху зваћемо координатна раван (сл .
]).
Напоменимо да се апсцисна и ординат-
н а оса могу озна'l ава т и и друrим словима .
Нека је М прои звољна СЈНlка
1
Ta'I IOl
коорди н а тнс равни Оху и м'
односн о м" подн ожја нормала и з ње н а х односн о у-осу. Та ч ки м' одговар а реалан б р ој х (О 'lI1 1'а н н а Х-ОС И ), а
T3'I KI1
м" реалан број у
(о 'нпан на у- ос и ). Њи х зо вемо прва ко орднната (х-координата, а псциса). ОДНОС НО , друга
координата (у-коо рдин ата, орди на'rа) тач ке М. На тај на ч и н та'I Ю1 М одговара уређен и па р реал~Н1Х број ева (х,у). Обр н уто, свако м пару реал ни х броје ва (х,у) можем о п р идр уж и
ти
Ta'IKe
М', од н ос но , М" са коо рдин ата ма х на а п с ц ис ној од нос н о у на о рд инат ној ос и .
Н о р м ал е и з М', од н ос н о, М" на х од носн о у-осу ( тзв. координ атне линије ) се к у се у тач ки М. ч ије су коо рд ин а те у право х одн осно у. Зато, полож ај тачке М у коо рд ин атној ра вни у потпуности одређуј у д ва реалн а бр ој а
-
ње н е к оо рдин ате х и у,
Ако та'lка М и ма координате х и у, п исаћемо М (х,у).
rJ
Да ли знате? Н а 'IИН одређивања положаја тачака у равни потиче од Француск о r математичара и фило зофа Ре н е Д е к а рта , па се доби ј ени правоу rли координатни си стем ч есто на з ива и Декар топ координатни систем .
ДЕКАРТ
(1596-1650)
фра н ц уск и ф илозоф, м атемаТ И'Ј а р и
ф и з ич ар . П оз н ат је п о и з ре ц и " Мисл и м , дакл е по стој н м" . У делу " Ра сп ра ва о метод и " , залаже с е за следеће : п рих ватаље сам о о н о г ш то је ј ас но човековом уму и И С КЉУЧ УЈ е сва ку сумњу;
раз6ијање м а љи х п роблема ~13 м аље; прове рава ње саз н аНО I' кад год ј е то мо гу ћ е; заКЉУ'l и ва ње од Il роcr иј ег ка сл оженије м.
у
Пример
1
ПрсgсmЦОII тачке А(
А
2
1,2),
В(] ,-3) У КООР91111аm ној равни Оху.
Одредимо прво тачку С( 1,О) на х-ос и ' lИј а је к оорд ин ата ј еД lН1ка
1.
с
Н а НОР МaJlИ И3 С Ј l а аПСЦИСflој оси, к ао да је (Ю'lетак у-осе С. одред имо ТоРIКУ чиј а је у- коорди н ата једн а ка
2.
х
Биће то тачка А. На истој
нор маJlИ нала з и се 11 Ta ' I Ka В, само са Д Р У I'О М КОО РДlI н атом
-3 (сл. 2). В
-3
Сл и ка
2
ПР ИДРУ'А<ивање уређеtl ИХ па рова реалних бројева тачкама ра 8НИ, 11 обраТIIО, ОМО I'ућава да се геометријске ФЩ'уре опишу односом реалних броје»;!, и обра т но,
11 тако ycrlOcraBII веза
између геометрије и алгебре. На ведимо НСКОllИКО примера.
Пример
2 у
Скуп
fl1a"aKlI 'шје кооруинаmе Јаgовољавају lIejegN aKoca111
-2 :s; х:5 3, - 1 :5 у:5 4 је K6agpaa1 ABCD чија су Шемена О (-2, 4 ), С(3, 4) . 13(3,- 1). ПОlлеgај слику 3 и увери се !
А(-2,- 1 ),
D(-2,4)
('(3,4)
х
О
A(-2,-1)
1 8(3, - 1) Сл ика
3
у
Пример
3 II
KoopguHQmmm осама раван је раЈложена на чешири пра ва уf.Ла који се називају коаврантu . Тачке орво! квауранmа имају ненеЈ(l
________~(~o,_o~ ) --~x
mи8НС обе коорguнашс Оа се он може аЛfс6аРСКII оiillсаШu као
1=
111
l(x,y)lx~O,y~OJ .
Други квадрант је одређен условима х $ О, У ~ О, трсћи х::; О, у::;
()
IV
Слика
4
If четврти х;:: О, у::; О .
Координате се користе за оријентацију и
)'
свакодневном животу. У плановима се 'leeTO
површ раЗJlОЖИ на квадрате OIшсане уређеним паром слова или бројева .
7 Пример
4 б
Пронађи у којем кваураmу майе се налаз и ушће Саве у
5
Дунав .
'" ~..... ;g
4
Одговор: у квадрату (С,5).
3
~
1"
2
ABCDEFG Слика
~ Контролна питања Шт(/ је коорgЩШi7i1-1U систем у равни?
Шта је кооруинаmна раван? Како се оуређује положај Шачке у коорguнашиој равни? ШЙlа је айсциса, а шта
"
opguHama
тачке у коорgинашној равни?
Задаци 1.
Њщртај I1равоугли координатни систе м Оху и обележи та ч ке А(2,3),
2.
8(-2,3),
С(-2, -3),
D(4,- 1).
Нацртај троугао АВС ако је А( -2,2), В( - I,О, С(-3,2).
5
3.
Одред" координате Т,'I'Iака симеТРИЧllИХ та'lкама M(- I,-J2} N(i, -з) у односу на: а ) х- осу. б) у-осу.
4.
у
Одреди координате тачака А, В, С У датој коорди натној Р
5.
Дате су тачке А (-2,3), В (3,2), С(-2,-3), Које од њнх СУ: а ) 11ЗН;Щ х- осе; Н) испод апсцис н с осе;
6)
А
D(2,-3) .
л е во од у осе; О
дес но од ординатне осе?
1')
х
С 6.
У кој ем KB
л( - 2, Н В(2,I;3), С (- 2, - 3), D(3, -.Ј3) ?
/Ј
7.
Н а цртај с к уп та'!ака ч ије КООРД ll нате за довољавају усл 011 а ) ху>О;
8.
ШТа [I редставља скуп та ч ака чиј е координате задовољавају услон а) х
9.
Одреди ску п тн 'щка 'lИје координате з а до нољавају услоl.l а)
-1 S
ОI ~I Ю16
6) ху < О .
х
s
1;
= 1;
6) у == 2?
б)ISуS2 .
10. Од реди КООРII.LНl ате сред ишта дуж и MN: М (-2,3), N(4,5). 11.
Одреди ЧСТnрТО теме п арал еЈюгра ма о) А (О,-2), В(3,1), С(-I,З) ;
12.
ABCD а ко је:
б) А(2,-2), В(- I,З), С( 1
,5).
О др еди координате темена троугла симеТР И' l н о r' троуглу АВс, А ( -2,1), В{3,2), С(О,-2) у одн осу иа п раву
PQ, P{-l , l ), Q(2 ,-2}.
13. Опиши од носом координата скуп та'l ака на следеh и м СЛ l1 кам а:
у
у
о
х
о
у
х
О
I
~ Слнка
х
7
N 14. O'IIIТ
тка до ње['а идући само ка северу , ј угу , истоку и
4
западу. Преко мочваре се не може ићи.
w
5.2.
Растојање тачака у
Е
5
о
s
•
координаТНОЈравни
Слика
8
Положај тачке у координатној равни је потпуно одређен њеним координатама. 3ато н е представља изненађеље да је могуће израчунати растојање две тачке чије су координате познате.
Подсетимо се да се растојање ра злик е њихових
TatlaKa
на бројевној оси ИЗРЭ 'lу н ава као апсолугна вредност
координата.
Нека ј е дата дуж лВ својим КООРДИJ-lатама А (Хл, Ул), Б(хв, Ун). Ако је дуж АВ Ilэралелнэ х-оси, тј. Ул = УВ, дужина дужи АБ је једнака 1 ХВ -ХА 1 (сл. Слично, ако је дуж АВ паралелна У оси, тј. ХА = Хв, дужина дужи АВ је једнака 1 Ув
-
9).
Ул 1 (сл .
10) .
Ако дуж АВ није паралелна ниј едној координаТlюј оси, УО'ЈИМО правоугли троугао коме је хипотенуза АВ, а катете паралелне координатним осама. Њи.хове дужине су 1 ХВ 1
Ув
- Ул
1
(сл.
ХА 1 и
-
11). Применом Питагорине теореме на тај троугао добијамо да је растојање
тачака А и В једнако
[ [' --",'ХВ-ХА) '( , +(УI; - У"')' , IАВ [--\II[ХЛ - Х t\ [' +УВ-УА
Ова формула важи у свим случајевима, јер је, као што знамо, ,Га2 = а 1. 1
А
у
У Ул
у
А
А
УА
= УЈЈ
В
В
У8
Ј О
ХА
Слика
О
I
ХВ
9
Слика
Пример
в
Х
Хл
О
Х
10
Слика
11
1
Ogpegll расmојањс й1а'lКС А( - 3,4) 90 коорgllиашио[ UО'lешка 11 90 й1а '/кс В(5, - 2) . Према извеДСlюј формули тражена растојања су
I лоl = )( хл - ор +(УА - 0)2 1
А BI= \/"(5 - (-3))2 + (-2 -
=·\/32 + 41 ="\/15 = 5,
4)2 = \/64 + 36 = \.1 100 = 10.
ХВ
Х
~ Контролно питање Како се ра о 'уна растојmьс ша'Ш/Ш у I(оорgfl ИQfli1/ој раБНU~
N
Задаци 1.
Од реди растојаЊ<1 тачак а А
2.
ОдреДl1 ДУЖIIНУ дуж и АВ ако је А
3.
Одреди об ll М троугла Ав е 011(0 ј е А
4.
с=
В
(2, 11),
(3. - 1),
В
С
(- 1, 2),
П
(3, - 2),
С ( О, З).
= 1 АВ 111 ДО је 1 АС 1 ' 1 СВ 1 = Ј , 2 око је А (4, -6),
( 1, Ј) .
а} Пр овери да је Т3' IЮI С
(4, 2) једн ако
удзл.ена ОД т а ч ака А
б) Да Лlf ЈЈ е то Щ1Ж И и за све та'ЕКС М (х. у) код који х ј е х
6.
од KOOPlI.III 13THOI' ПО"Н."'Т к а.
(7, 2).
(-2, - 1),
Ут"I'''" I""У"О," Д' је 1 А С 1 + 1 СВ 1
IJ (-1,9),
5.
(-4,-3),
Про uсри да су с пс T a 'l KC М (х. у) КОД који х ј е х?- +
I
=
(-1,2)
11 в
( 1, - 2).
2y~
= I н а рnстојањ у 1 од коорд инаТl-IO l'
почет ка.
5.3. Зависне величине и њихово графичко представљање
Плату и з ража вам о бројем динара . Стадо оваца описујемо бројем ова ца кој е г а '!н Н С.
Слично : - ДУЖ НЮI ј е Q ПН С<1 li3 број ем метара
-
П О ВР ШIЈ на је О ll исана б ројем Кl)ад рат них метара
-
тем п е ратура је ОПИСЩlа број ем степе ни
-
при тиса к је описа •• бројем бара
-
напон струје ј е оп и сан бројем волти
-
тр ошак је о пи са н бројем дин ара
-
радна јединица јс о пи сана бројем радника итд.
За свс што можемо описати н е ки м бројем употребљавамо назив величина. С ве што смо претходно навели су дакле при мери величина.
у сва к од н е l)НОМ ж ивоту ч есто се појављуј у две ВСЛИЧllн е такве да се нри про мени ј едне од
њих мења и о на д р у га . С ва кој могућој вредности прве велнчине одговара тада једна , њој
одго взрзјуhз , вредност друге пenИ'lине. У том случају кажемо да друга веЛIIЧlIна завиСII 09 прве.
Пример
1
у следеliој табели прика зана ј е Вр е м е (у
h)
IlpoMeHa
температуре ваздуха у току једног дана
(24 часа):
5
7
10
12
14
17
19
21
24
-3
О
2
6
7
6
3
1
-2
Температура (у ОС)
И з табеJlе ч итамо да ј е , на ПРlIмер, температура у
5
ч аСОl3а била
- 3 степена,
а у
12 часова + 6
с т еl l е ни.
Ове IlOдатке МОЖБЮ УЧИН1ЈТи uид.ЊИI:IИМ Гlредстаl:lЈьајући парове одговарајућих вредности Т <1чкама у КООрДИН3ТНОЈ равни.
Нацртамо један КООРДИН<1ТНИ систем у Р<1ВНИ. На х- оси представимо времена, а на у- оси прон а ђемо одговарајуће температуре. ОдређеНИl\.1 паровима (време
-
х, температура
-
у)
у
, о
1
Сл ика
I
I
1
9
1
х
12
С куп доб ~1јених тачака у координатној равни називамо график зависноcrи величин е у од вел и чин е х.
На овој слици није потпуно видљиво како се мељала температура . Знамо да ј е она посте п е н о расла од
5
до
14
часова, а затим опадала, а н а слици се виде њене вредности само у
н ек им (целим ) с атима. Ако спојимо редом ове T3'IКe дужима добићсмо и зломљену линију која б ољ е п р и казује про м ену температуре у времену (сл.
13).
--
/
1\
\ 1'.
"-
/' о
1
7.
5
10
14
12
19
17
21
1
I
~
"- 2' "-
х
Слlll(а
13
Графици се често користе за прикззи в а ње за висн ости дпс веЛИ 'l ине. Са графика се може О'lИ1'а1'И много КОРИСНИХ информација. На пример, са графика прикзззног па слици ]
3
очитај:
•
да је температура у
11 часова
•
интервал растења (и нтервал ОД интервал о п ада њ а (од
•
бнла
14 до 24
4
степена, а у
22
часа нула;
5 до 14 '[асова, када линија графика иде нагоре) , као и
<Јаса, када линија l" р афика иде надоле);
да је тем п ература б ил а исп од нуле од
5
ДО
7
и од
22
до
24 ' Iaca.
Тачке графика су тада
и с п од З l lс ци с н е осе;
• да је од 7 до 22 часа температура била ПОЗИТИ 13на. Графи к је тада изнад х- осе; •
да је у
Приме р
14 '[ асова н ајвиша температура била 7 степени, а најнижа у 5 часuва - 3 СI'е пе l~а.
2 у
Графнком датим Н
14
п р и каза н је део
базсн а у на п уљсн водом у трен утку t:
Са ње га сс МОI' У О'lи таПI, на приме р , следећ е 11нформације:
• за 3 сата се напуни половина базена (јер ј е за t = 3, у = 0,5) ;
=
• да се базен н апуни , тј . да буде у 1, потреб110 је 6 саНI , јер се то остварује за t 6;
1
.;О
1
2
3
4
5
6
=
СЛIIка
• гра ф ик је дуж, ба зен се пуни ра llномер н ом
14
Б РЗ llН ОМ (у јед н а ки м в ремен с к им и нтервал и ма П р И ЛlIII воде је једнак ) .
•
за први с.п
Hal1YH I1
једна шест и на).
се
1 6
базена, за два сат а
2· 1 6 а зена (ОЈе р 6
О
се у другом сату 1-I
t
Графll К н е ке зависности може бити и крива линија,
Пример
3
КаРЩlО l'рам дат н а слици
15
Ilриtш зуј е ра д с рца у з.IIШСI IOСПI од т ре н утк а
upe M e ~l a, Ако с р це ради ИСllравн о дело ви I'раф lн\а с е ПОl l atJљај у на IiСТII на 'I ИН ,
Q lИка
Приме р
4
ДУ Ж IНI<'
S З
је
(/
В СЛИ '1 l lн а кој а
J;t Ibe M T
IlYTa [Јози)]а зависи од брзине
;\a[lHCII
]5
v њеt 'ОIЮ 1 '
креТ
дужи м;t) I'р;tфик ове зависности ако је а :::: -
И
'-
200
У Е [ О,
av2,
]0,20,30,40,50,60,70, 80,90, ]00,] 10, ]20, ]30, ]40 1,
I ОС
951 1 9С
18' 1
8С
17' 1
7С
16' 1
V
6С
/
1" 15( 14'
V 1/
1 4С
1/
1"
I ЗС
V
1" 1
2С
1" 11( 20
,10
Сл ика
]6
30
--- --40
где
ОД стања пута и квалитета гум а возила, Н .щртај нриБЈЈИЖНО (спа -
50
6u
170 180
I'!OI 10(
11 (
]2{
13{
14(
@'Ј Контролна питања Кауа кажемо уа јеуна веЛIIЧ!ШIi заОllСl1
09 gpyfe?
Како ,рафll'lКIl преустављамо заоисност уос веЛ UЧ lШС?
Може ЛII нској вреуносmll јеуне вСЛl l Ч l lНС
oglooapaalll више вреУ IlОСјl1l1
9руlе вСЛ II'lllне која
09
њс З(/Вllси?
м Задаци ].
у табеЛII ј е дата 3311 11 ( НО(Т вел ичин с х
- 1
z
2
z од
ВСJl ичин е х:
з
ПреДСТ3 1111 ј е I" раф ик о м . П роч итај н а I'рафик у: а ) ИII ТСР llал е р асте ња и О ШЩ<1 ња ;
б) н зј всh у
If
lI<.ј м а њу ДОСТI1ГНУТУ в рсд носг 11РО МС IIЉ И ВС Z 11 ОД ј'оварајућ у нред ност
п роме н љ и ве х.
2.
П осм атрај граф ик кретања вредности ак-
циј а н а берз и . Да Лl Ј IJред н ост а к циј а ра сте
opcgllocl1i акција
IIЛ И о п ада?
3.
О'lII тзј са ,"ра ф нк а к ретаље це ll а ба рела l'I афте: време
"-Слl1ка 17
фе6р,
"",рт
Сл ш:а l SГ 4.
Представи I ' рафиком к ретаље средље г курса евра: октоба р
76.73
6. о ктобар 22, ОЈо'обар 24, октобар 27, оК'rобар
77.65
1.
3 1, октоба р 7, н о вем ба р
8 1,07
83,08 83,97 84,99 86,79
Пуж се пењс уз бандсру flисине
5.
ноћу склиз не
5
т. Дању се попне
3
( 190 11 1 11111 180 K+H+bt9-Ж 170 Н--Н-+,Н:Н-Н-l
т, а
2 m.
А) За КОЛИКО дана ће се ['lOпети ИЈ врх 6aH дe pe~ Б) Направи табелу ЗЭ1НICНОСТI1 висине на коју се пуж понео
160 Н--bl''t-I-+-Н-Н-1
и броја дана пењања .
150 f-t.1Н+1-+-Н-Н-1 140 R--Н+I-+-Н-Н-1 130 Н--Н+Н-t-Jн-t-I
В) Представи завис н ост I "ра фнком.
6.
Графицим а на сл ици
19
при ка за на ј е просеч н а висина деча
ка (плава л и н ија ) и девој'IИ ЦЭ ( црвена Jlини ј а) у одреlјеном 10 111 2131415161? 1819 20
добу ста рости :
-~Сm' lка
у КОМ периоду ж и вота су девојчиuе у просеку више од де
19
чака И СТО I' .'од ишта?
7.
1
На сл нци су п риказани износи рачуна за ут рош е н у
цеl'" (ХIIЛ'.)
еле КТрll'lНУ е н еРI'ију у завис нос ти од потрош ње и та Рllфе.О гшши !
о
5.4. Директио
300
600
\. Слн ка 20
пропорционалне
величине
Један ОД најјеДIIOСТ<1 внијих обл ик а заВИСНОСП1 две веJll1',ине Је директна ПрОПОрЦИОllал ност.
Пример
1
Ако тона у.ља кошта динара, пола тон е
] О 400 ди нара, онда две тон е ко ш тају 20 800 динара, три тоне 31200 5 200. Уопште, х то на угља кошта у = 10 400 . х динара. КОJlИЧНИК од го -
варајућих вредности 1:: је константа једна ка 10400. х
Кажемо: це н а
:ia
неку КОЛИ'lН н у угља је директно пропорЦИOlI
стантом ПРОПОРЦИOl.аЈ •• IOСfИ
k = 10400.
Вел'I"U1Ја у је 9"рекШuо ПРОUОРЦllоltuлuа веЛIl1јШ/U х ако је оу"ос у свllХ IIJItХОб llХ 0910Х
oapajyhux вреg1l0СШU увек исти (константан) број разлu'шш
09 uуле.
Друпt М ре'lИма, п роменљива веЛИ'Ј ина у је директно пропорционална вели'шни х ако Је за
неЮ1 број Број
k се
k, k '#- О, У = kx за
све ОДl'о варајуће вредности ових величина.
назива коефицијент пропорционалносги.
k\~
= kx
Ка ко и з у
след и
х
1 =- У k
и
k1 ~ О,
величин а х ј е такођ с lНl ре кт но пропорционална
велtЈ'ЩНII у. дакле оне ч ине .-Јар директно ПРОlIорцион ал lllt х вел и'шна .
Ос н о вно својСТIЮ I l ара директно пропорци о нални х вел ичин а на осн ову којег се лако I lре познаје да су о н е директно пропорционално је следеће . Ако једна од вели чин а порастс или се смањ и т п ута. при чему је 11/ број различит од нуле.
љој директно пропорционална величина такође п орасте ИЛИ се смањн IfСТII број 111 пута.
Пример
2
Ј еда н IШЧ (у ОЗl l ац lt тора од: а)
Одго вор: а)
Пример
б)
19;
1") 22;
2,54 . 19
је енглсска мера за ДУЖИIlУ. И м;!
с!n. КОЛlIка је дијагонала мон и
2,54
в) х инча у центиметрима?
=48.26;
б)
В ) дужина од х инча и ма у
55,88;
= 2.54х ЦС lпиметра .
3
у табеЛlI су П Р ll казане одгова рајућ е IЈредности д вс l~еЛИ 'lI1Н е х и у_ Да }III су оне
Al1pel\THO
I I РОП ОРЦ ИО l lаЈЈI I С? х
3
у
1.5
~I
0,5
5
7
9
2.5
3.5
5
Не. оне НIКУ ДIlРСК'ГI IO IlропорЦИОllaJil l е, јер ни су св и i\ОJlI I'IННЦИ ОДГОII;1Р<1јуl!их IЈРСДlЮСТI I ЈСДIl3К11:
1,5 ] 0,5 2,5 3,5 5 - = - = - =-= - " - . 3 2 1 5 7 9 Да је уместо
5
у fЮСЈl сд љем пољу табел е 6ило
4,5
ВСЛИ' l Иliе
6 11
БИ /l е IЏ l рект н о ПрOlюр-
1(IЮ lt 3Ј1не. јер б и пща CВlJ КОЛИ 'IНlЩИ одго варајућllХ ВрСЩlOст и били јеДI I ;1Ю1.
Пример
4
Обим к взд рата је Дll pe i\T H O пропорщюн алан дужини ње ,'ове СТРЗ li ице. Ако је а дуж" на с.· рзнице. обим је 4а. Коефицијент прОПОРЦIIоналllOСТI1 је
Пример
4.
5
ПређС l l 1I п ут 5 I l р И IЮЖ Н.. И ко н стантном брзи ном v ДИ РСi\Т I-IО је прОn О РНlt о н anа ll времену П УТОВ:1Њ:1
t. 0 110
след и И 3 познате фо рмуле 5
=
vt.
~ Контролна питања Које су веЛIIЧUНС f/UPCK([JHO nРОПОРЦ/lонаЛIIС?
Шта је коефuцијен т аР0l10Р'јUОНnЛНОСi17l1? Како се ареЙОЗllају
•
gae gupeKiIlHO
йройорцuоналн е велuчuне?
Задаци 1.
Полуни табеле директно ПРОlIорционалних ОСЈ1И'lИна:
I Маса
: Цена (дин.)
5 60
15
20
25
IДужина
2
;~.7 1
20
30
IКомада
6
~3'8 1
12
15
(kg)
,Цена (дин.)
, цен а (дин.)
I
2.
Да л и с у В СЈlJ.lчине дате у табели одгоnарајућнх вредности директно пропорционалнс?
3.
Да ЛИ су директно пропорционалнс следсћс ВСЛlIЧllне : а) пређе н и I'IУ1' и преостали део пута ; б) д убина уласка заПРТII,а у дрво и број запртн,сва (сл .
21 а);
В ) б р ој е ви зубаца и полупрсчници два ужљсБЉСIМ зупчаника приказана на слици
216;
Ј ' ) ВИСИIЈ а ПС'IЬ<:1ља и б рој стеПСlIика (сл . 211l); б)
В)
I 0" 5S \\\S \S \")-
I~~СЛliка 21
д ) вред ност неко!' објект а у доларима и у еврима; ђ) TeMI1epaTypa у UеJlзијУСОВflМ
fI
Фаренхајтовим степенима;
е) К ОJlи ' щна боје и 11Овршина која се њом може обојити; ж ) з апремнн;Ј. у литрима и I 'алоннма?
4.
КУIIОВНИ курс евра у банци јеДНО1· дана био је јент ј е тог дана у банци llроменио на томе зарадила банка?
100
85,79,
а продајии
евра. а други купио
]00
86,3
ДИЩlра . Један КЛИ
евра. KOJНlKO ди н ара је
S.
Измеt)у броја корака
l'
.
које ч овек шетај ућll направи у минути It дужине корака Р ( у
.
п
метр" ""'" ) KOJIIM хода IIOСТО}И веза
- = Р
140.
Л) Пера је II
0,80
т. КОЈ1ика ј е Iьегова БРЗlта крет,ны1.:
а) у МСТРИМ;Ј У минути; б) у Кl1лометрима Н
6.
За спре.\lзње оброка за ТРIl особе потреб н о је
750 g
хлеба,
3()() g меса, 600 g
КрО~1IlIIра If
1200 g
КУП УС:!. КО11 ИКО је потребно ових н ами рница за оброк за : а) једну ос06у; б ) пет особа.
7.
За малу 11ИЦУ облика квадрата l!oTpe6Ho је
ба
g
]50 g брашна, 120 g шаМПИII,ана, 90 g ШУIIКС
11
кра.СТ,Щilца . Колико ј е потребно намирница за већу ницу облика квадрат:!, 'оф је
страница ДЩI пута већа?
5.5. Обрнуто Пример
пропорционалне величине
1
Ilређени пут s при крстањ у рацномерном БРЗIIНОМ v у неком I\У у . (. ОТУД
lIyTa, а
111 (111"#-
BpeMCllY t
једнак је ПРОIl3UО
О) пута, врем е путовања се смаЉli IICТl1
ако се брзина смањи т lIута време путовања се поuећ :1111 пута. Каж емо да је вре
ме rютребно да се пређе (константан) пут
s оБРllУТО
IlрОПорЦИОIIМНО брзини креПЊ
Две веЛU'Ш1lе су 06рuушо аРОUОР'ЏIОНUЛllе ако су "РОll3воу" сваке уве ОУјоварајуl,е вреу носШи iПlа веЛIl""'Ш меljусобllО јеу"акu, тј. ако постоји број k, k ху
Из ху
k 3(1
сваки Iтр оуСоварајућllХ бреу"осmll х
::: k, k :# О следи да је х :# О
FO Шакав уа је
11 у iПllХ веЛII'lIt11а .
1I У :# О, па се једна од величина ако се зна друга може
израчунати ПО обрасцима:
k
y:::~,
Х
k
x= ~ .
у
Обрнута ПРОIЮРЦИОНМНОСТ две I!СЈ[И'lине препо з наје се вајлакше на осноиу слсдећег СlJојстиа .
.
Ако се величина х промени у mх, гдс ЈС т :# О ПрОl1 31юља н
Пример
6
.
.
рОЈ , BCJlII' IНH a у постаЈе
у т
2
Претпоставимо да за нек у КОЛIIЧИНУ новца можемо Д
MOI'yl'lC
је КУПIIТИ ТОJIIIКО
пуга мање робе. Ако се цеllа робе СМ
ТС робе.
Пример
3
Ако два радника ураде неки посао за 1l0СТИ) могу да ураде исти потребно да се посао уради
Пример
] О дана, онда четири радника (истих радних способIlOcao за 5 iЩIН, а једном раднику би требало 20 дана . Време је обрнуто сразмсрно броју ра дника - извршилаца посла.
4
Неки йieKcт је откуцан у
240
реуова
II
у сваком реуу
0111куцан ис111и ({Јекст ако би у реуу било
IIMa 70
знакова. У колико реуова бll био
80 знакова?
ОЗН'I'IIН.-!О са х непознати број редова. Како је број знакова ненромењен, то је:
80 . х = 70 . 240. l' ешаЩ:lн,С."1 јеДliaчине добијамо да је х
= 21 О редова.
~ Контролна питања К(/У су уве веЛllчине обрнуто аРОf10РЦlIоналне? Навеуи примере обрнуто ароаОРЦllоналних вСЛUЧllна. Како йреайЈнаmц уа су уве величине обрнуто аРОllорционалне?
м Задаци 1.
ПOl"IУНII табе)lе вредности обрнуто пропорционалних величина:
а) 1f1 61i1 2.
б) 1~ 16 18110 1
Да } I И су)' табели приказане вредности обрнуто пропорционалних веЛИЧИllа~ а)
4
12
48
6
2
0,5
6)
~16 1 ]21 I 2 З
3.
ДоI ЛИ су обр ',' У" О Пр О ПОрl,~ИОЩlJlне следеће RеЛИ'lИне~ а) в реме п уњења базена
11 КОЛИ'lИна пале којом се пуни у МLШУГ I1;
б) време оба uљања радо ва и број ангажова ннх рад н ика ;
В) маса " аса у БУТall-6оuJt 11 притисак у боци ?
4.
Ако се баЗС 1 1 ПУНII са 50 180де у М IIН УТ И, ОН се н ап у ни за 2 сата. КОJIIIКО би врсмена тре
бало да се н а П УШ I ако се у с вакој минути п уни са: а)
75/;
6) 20
5.
R
ДваЩIССТ радника урадил и би I IСКИ посао за
5 дана.
Колико дана б и за то требало:
а) "СТlю рици ; б) јеДаЈ l аеСТОР " t~и радника?
6.
За " 'Р ' 1Тllса l< р , ',ка у суду за п рСМ llн е
V 11 тсмпсрат уре Т ваЖ ' 1 pV = c0l1s1 'Ј'
( Бојл -Мар нотов заI
а) Ако се За!l рем ин а УДВОСl'ручи, а т емпература н с пр омени, како се м ења прнти сак~ б) Ако се П рИТLfсаl< угростру'lИ, а запрсмина остане и ста , како се меља тсмпература?
5.6. Пропорција Ако су кол и ч ници број ева а и Ь и бројева с и
d ј едн аки, једнакост
а
с
ь
d
наЗllоа се пропорција. Про порцију можемо зап исати 11 у обл и ку а: Ь::: с : ЧlIтам о : а се OAIIOC II према Ь исто као с према
Б рој ев и а и
d
d.
d.
1 1 ази uају се спољашњи чланови про п орције, а Ь и с
-
њсюt унyrpашњи
чланови.
Прим ер
Како је
1
3,4 : 1,7 ::: 2
и
] 2 : 6 = 2,
важи пропо рција
3,4 : 1,7 ::: 12 : 6.
Приметнмо да је у 080ј пропорцији проюпод CllOљаШlb l1 Х 'lЛ
3,4 . 6 ::: 1,7' 12::: 20,4.
Размотримо још н еке при мере про по рциј е: 6,2~9,З
-24, 5
~
48, (-1 0).
Провери да н за њих важи да је производ спољаШЊI1Х чланова једнак производу унутра ШЊI1Х чланова! Да Ј111 ово својство унек важи?
Некајс ~
=;, =k. Тада је а
= kb.c=kdnaje:
ad = kb· d =
Ь·
kd = Ьс.
Дакле, за Сl1аку Ilропорцију важи основно својство пропорције.
Про"звоg СПОЈынmьшс 'mаllова
apoaopl.uje јеоиак је
арОUЗ80gу у"уmрmШЫlХ.
Ово на м OMol·yhal.la да одредимо четврти члан ПРОlюрцнје ако су позната љена три члана.
Пример
2
у ПI)Q1ЮIЩI.lјll
Пример
12: 5 = 48 : х један
'IJlHHje н епознат. Из
12
·х =
5·48
бнhех =
20.
3
Растојаље мс l)у местима Л I! В на карти је је карта рађеllа у размери
5 ClП.
Колико је CТ l lapllO растојаље тих месга ако
1 : 200 ооо?
Ра зме ра
1 : 200 000 зна чн да растојањс од 1 ст 200000 с т = 2 km у природи.
н а карти oJlI'ouapa растојаљу
ОЗllа'НlМО са х (у ст) тражено растојање. Тада се
5
IIрема х ОДIIOСII као
1 према 200 000.
И .\1амо. даклс. ПРОl!орцију
Отуда х
= 5 . 200 000 = 1 000000.
Како ј е
1 000000
Пример
СIП
5
I
х
200000
= 1О km. растојаll.с Mel)y мест и ма А 11 В ј е
10 km.
4
' П ОК(IЖII 9(1 /lЗ {/РО{/ОР'ЏIЈС.а = -с , ако Је'Ь а ct "# О , с.леgll Ь
Имамо да јс
(/(/
d
аЬ =d с
-
= Ьс. Деобом страна са cd добнјамо тврђсњс.
Даклс. у 11РОIIорцнји се МО/ОУ заменити места унуграmњим 'IЛalIOВИЛНI. ПРОВСРII да исто важи 11 33 Сllољашњс 'mанове!
ПРОДУЖЕНА ПРОПОРЦИЈА
Кажемо да је низ броје»а
(11' (/2•..0' 11" различитих ОД нуле пропорционanаll низу бројева Ь"
&2 •.. 0' Ь/l различитих од нуле, у 0311<1ЦИ
аl
: (12 : ••• : 11"
= ы : Ь 2 : "'_ : Ь",
ако је {јЈ
a~
=
ь, =ь:=
{I"
b~
Ово зоuемо IЈродужена пропорција.
6
Пример5 Дато је
(/:
Ь
= 5: 3 н Ь: с = 4: 7. Колико је (Ј : Ь : с? ..
И з п р вс JlPO II O P l~ ~IJ C Је
аЬ
=
5
3
, а из
Ь
С
Apyre - = - . у 4 7
циљу дщюl)е ll.3 IНI исти I1М С II НЈН\Ц ра3110-
маК;1 са бројиоцем Ь 1 1рОШllрИМО нмениоце прве пропорције са
(/
-
20
од;:щдс добијамо
tI
20
Ь
с
12
21
Ь
Ь
12'
12
=-
4,
а
Apyre
са
3,
[Ја добијамо
с = 21
.
= - = - , наЈС (/:Ь:с=20: 12:2].
Пример
6
Легура је смеш;! бакра и Цl111Юl У размсри ако у њсму има
75
6: 5.
Колико У предмету од те лсгурс 11Ж\ бакра
"рама ЦlIlIка?
Ако са х 03113'111 МО КQJlI1Ч IНl У бакра у предмету (у ." рамима ) Щ1.Ж I1 ПРОПОРЦllја х: Одавдс је 5х
Пример
75 = 6: 5.
75-6
= 75 . 6, па је х =- - = 15 . 6 = 90. Дакле, у предмету 11ма 90 g бакра. 5
7
Диа брата треба }џ, 1I 0дt=Ле
32 400
динара у размер и
5 : 4.
Колико дltнара треба да добијс
СIlаЮ1 од
IbIIX? ПР8111fа'll/ll. - Ако јелаll х:
4х
добије х ДlIнара, други доб~lја
(32 4ОО-х) = 5: 4. Одатле је = 5 (32 400 - х), 4х = 5·32400 -
Друји 1U1'/IIII. -
JC1I.al1
5х, 9х
32 400 -
х динар ... и IЈаЖII
= 5· 32 400, х = 5·3600 = 18000 Д lIнара .
тре6 ... да до6ије ~. а ДРУГI1 ~ од 32 400 Дl1нара. Како је јС1l.lIа 1I.CВCТlllla ОД
32400 ј СД II ;l к а 3 600, ј сд.ш
1I.061 1 ја
9 9 3 600 . 5 = 18 000 ДИ ""ра ,
а ДРУГ I I
3 600 . 4 = 14 400 ДИ I Ја ра.
Пример
8
Две ист овремст'1О уКJI,у'lене једнаке пумпе испразне бунар за
5
] 5 часа ва.
За КОЛИКО часова би
таквих пумпи ИCl"т разнило бунар?
Означи мо са х непознато време. Запишемо кратко услове:
2
пум п е
5
пумпи
- - - ]5
'тасо ва
х 'Јасова
Број пум п и и време пражљсња су обрн уто пропорцио н алн е веЛИЧ1111е. јер колико пута више (маље) пум т !и толико пута краће (дуже) нреме пражњсња. Зато је
2· ]5 = 5·
х. ОДЈ-
2· ]5
тл еје х= -- = 6 .
5
Могло би се Р,IДИТl1 и п осту п но.
Како је број ПУМ IШ ynеЈl И 'Ј ан Отуда
5
пумпи би радило
2.5
пута, ист и број Iт ута треба ума љити време рада.
15
= 6 'laCOBa. 2.5
Дакле, х
=6 '!асова.
Овако се раде и сложенији з::щаци:
Пример
9
Шеснаес т радни к а за ло
]2
рад в нка за
20
Дат,,! и ско п а
180
метара канала. Колико метара канала 611 l1Скопа
28 да н а?
ЗаТ lll шемо кратко успоне:
16
радника
12
рад н ика
- - - 2 0 даНа---28
дана
1 80 метара
? метара
Задатак ћемо решити тако ШТО ћемо користећи пропорционалност (директну или обрну ту) две од ОIШХ величина п ри услову да је трећа оели'шиа ФИКСИЈхша, трансформисаТ II подат к е 113 11 0'lет н ог ста ља у п одатке из к рајљег ста ња и на крају О Ч lI тат и непознату В Cl I И'l I I В У.
Да би се смаљио број радника са
на ] 2, т реба ПОМНОЖIIТИ ] 6 са
]6
обрнуто ПРОПОРЦ I IQна;l ан броју радника , да би метар.l канала треба
20 12 16
20'16 80 = 12 3
12 ,
дана
- - 180
3
' дана на Сада "намсстимо " и6 рОЈ
28
ћ
множе ' и
8О3 са
-
3
Како је број Дана
радника ископало НСllромењених
дана. ДоБИЈамо ново ( та њ е:
80 ] 2 радника - - - -
12 16
80
·28.
метара.
180
Како је број дана диреКТIЮ пропорционалal~ броју метара (уз фllксир а нн број радника
Ila
12) доб~lјамо НОВО craIbe: Ј 2 раДlIи к а ---28дана--
Одавде чита мо тр ажеНl1 р езул тат:
]89
3
180· - · 28=189 80
метара.
метара.
~ Контролна питања Ш lUа је nРОПОРЦllја ?
Шта су сйољmШЫ l , а шта У' lуmраlU ЊU ЧЛrlновl1 ароаорције? Које је OCl1001-l0 својство прОПОРI( lIје? Како се КОРllсте проПорције у эаgаЦlIма у којима се појављују аро аорtЏlOIIМ1-I е веЛII'lllllе? Ш та је ароgУЖСI/(/ аропорцuја?
м Задаци = 2,72: 0,8.
1.
ПровеРI1ТЗЧIIО СТ 1·lрО I·lОрЦllје
2.
Наl lИ ШИ још трн нов е пропорције мењајуhи м еста унутраШЊIIМ или С l!Оља ШIЫIМ
2,04: 0,6
' I л ановима ПрOl!ОрЦИЈ е:
а)
2 : 3= 12 : 18;
З.
И з ј ед нзкоcrll
4.
РСl lт једнаЧИJlе:
За
6.
ОД а) б)
7.
3,2 kg
б)
I
с:
tI.
састаВII три таЧllе п ро п ор циј е.
I
- ,2 - = 0,2 ,-,; 2 2
робе пла ћ е lЮ је
8~
в) ~ = .-i... ; 0,75
I I 520 дина ра.
3,75
г)
9 3-
....11.2~ 7
КОЛИКО треба платити за
х
1,5
1,5 kg
робе~
2 1 kg СУНЦОК РСТОВО I' семе на добије се 5,1 1 уља. КОЛИ КО се литара уља добије и з 7 kg ceMe l~ a~ КОЛИКО треба семе н а да се д061 1је 15,31 УЉil ?
Р'l стојање две Дl1
=
3 . 15 = 9 . 5
а) 0,5 :х=2:1 3 ;
S.
б) (1 : Ь
T3'IKe
на карти ј е
размера карте
3 ст . 1 : I оооооо?
КОJlИКО је стnарно растојање ТИХ та'lака у ПрllрО
8. Расюјање места на карт и разме ре 1 : 5 је 7,2 ст. Коли ко би бllЛО растојање II СТII Х места Ila карти размере 1 : 3~
9. Растој а ње међу гралоrИ1ма је I 200 kш. Колико треба да буде то растојање на каРПI ра з ме ре ] : 3 000 ООО? 10. Може ли се саставити прогюрција од 6ројева : а) 3, 5, 8, 13; 11.
Два зупчапика, први са
27,
а други са
108
~ , ~,
6) 10, 8,
зубаца. Ако се други oKpel~e
50
пута, колико
п ута се ок ре н е п р н и?
12.
На истовару треба да pa).l.~' Ј
13.
Три маШl1llС за за
8
6 сати
5 људи 8
обраде
90
да на . КОllИКО да на 6и исти посао радило
предмета . Колико ["I редмета могу обрадити
20 људи?
4 М;НUlше
сати?
14. Топлаliа је потрОI1.[ И1lа 120 тона угља за 24 Д;.1IIа lIоже њ а 5 котлова. КОJII I КО да н а 6и п о трајало] 80 т она угља ако би се ложила само
4
котла?
15. Три ссјалице за 4 дана могу 1l0сејат и 384 ha. За КОЛIIКО дана би 7 ссјаЈ1ица lюсејале 4 480 Iш?
16.
Пет радник а за
6 А,l н а
зар аде
12000 дин ара.
Кол ик о
611
:iараДI1ЛО
6 рад ни ка
за
26 да lЫ?
17. МЮIJI са 4 камена самеље за 10 дана 2 тоне брашна. Колико брашна би саМJlСО радећll са 3 камена 6 дана?
5.7.
Графички приказ директно пропорционалних величина
Ве!; смо видели да се зависност две величинс може приказати графички. Како изгледа
I'рафик зависности две директно пропорци о налне величине~
Пример
1
ПР~lмер
]
iI
у
9
у Ta6c1ll1 је п р и каза ll а З<1lIИС Н ОСТ вел ич ина х и у.
6
~ ~
/
Како су с[и! КОIllI 'I НIЩI1 одго ва рајућ ll Х вред ности за х н у Јед наки:
ове две fiеяичинс су дире ктн о п роп о рц и он алн е. Г ра ф ик заlН1СН ОСI' И прика зан је на сл иц и
'/
-2
-2 4 6 - =- - - , -3 6 9 22.
V
1
4
6
-3 Слика
22
х
Примети да с пс Т
IIO'le1'<1K.
Ово СБојстно IНI ЖИ за било које две д и ректн о П РО ПОРЦIIОI1 ;ЈЈlН е ПСЛИ'lине.
Све аlа'fке fрафUКll завftсltоcrllll 9ве 9ирекшно ароаорr~1l0ltаЛllе веЛUllrmе apuaagajy араоој која саgржu КООР9иllаmнu aO·teтaK.
ВаЖII и обрнyrо. Ако '1I'I.Ke графика заВИСНОСТII две веЛН'Iине припадају
npalloj
која садржи
координатни nO'lcтa" , те величин(' су директно пропорционалнс.
Пример
2
На СJII Щ И
23<1.,
б, JI
03 Ha'Iellll
су нарави ОДl'опара;ућIlХ UРСД IЮСI' И две НСЛII'1I1н е. Које од њих
су директно ПРОIl0РЦI101lалllе?
I
- -
а
LЦ- ") Г- г-
I
б)
-
.
~
г+-
-1-
т
о
о
I
I
1-
-
.
.
t--
1-1 01 СЛ I Щ I1
23;1
На СЛIЩI1
236
I
о
I
f--f-ГГ
-
+
I
су Tplf 1';1 'I К(' У KOO PД ~IH3THoj раШII! које 1I1 1СУ КОЛIlIl('аР liе. ОД I·О ·
1)('1111' 11111('
Одгозарајуhе
о
-
tr
t Hapajyt1c
о
г- г-
Слика
23
ни су д иректно п рОПОРЦИОl1злне.
су Трll '['3'IKC које су ,",ОЛliнеаРliе али права не 3C1ll1'II111e 1'1 11СУ дирек тн о пропорционаm[с.
садржи КООРДlIнаТНII ПО'lстак.
I-Iа сли ни 23з су TP ~1 КОllllllсарис та 'I КС и пра ва која саДРЖII КООРДlш аТ ШI ПОЧСТ;I К . ОД1'о· парај уllе uеЛИ 'l1Il1 е јесу д ире ктно П РОПОРЦ I1Qнал н е.
Пример
3
Hallpm(lj rрафl/К заВ /lСJfосйllJ веЛLl'ftl/ю х 11 У ако је у За х
= 2х, х Е
R.
= I oДl"o Bapaj yhe у је у = 2 ' I = 2.
График је праllа која саДрЖl1 тачке (О, О) J.I
( 1,2).
х
Сл"ка
24
~ Контролна питања Како uJlлеgа fрафuк завuсноСiПи
gBc guрскшно
проuорu,uоналне велU'luне?
Какве су 9вс ослtlЧUНС ако Iрафuк њихове зависности aplluaga арапој која саgржu КООР91l нmЈјни ЙО'lсСйак?
tI
Задаци 1.
Графички прнкажи зависност вели чин а датих у табелама. Које од њих су директно пропорционалне?
2.
Дати су 1'рафици зависности две величине . Које од ТЈ1Х I.ICJНI'\l1H3 су директ~1O ПРОПОРЦИОНаЈ l не? о)
В) У
6) У
у
о
о
х
х
о
х
~ Слика 25 3.
Нацртај праве дате вез ом бројева х и у:
а)у=3х;
4.
б)у= -3х;
в )х=2у.
Ауто троши б/бензина П3
]00 km
пута. Нацртај график зависности:
а) пређеног пута од КО}Нlчине потрошенor горива;
6) потрошеноl' I'OРИВЈ. од пре ђе но г пута .
6.
КРУГ
6.1. Централни и периферијски утао крута у петом разреду СМО у'.или следеhе.
-
КРУЖllица стојању
r
k(Q, r)
је проста затворена линија у равни чија је свака тачка М на датом ра ·
од дате ТЗ'Iке О те равни. Тачка О је центар, а дуж ОМ је IIQ1IУ['lреЧI-lИК ТС
кружницс.
I<руж н ица
k(O, г) и њоме Qдре l)енз унутраш ња област равни одрсЬују фщ'уру која се r).
н зз и иа круг К(О,
Угао .шјс је тсме нс анар кружнице н азива се L~еll mраЛНll уlnО
КРУЖllице или њој Од l'оuарајуВеl' круга. Ако краци угла аОЬ секу кружницу
k(Q,
л
г) у тачкама А и В и ако
је лук АВ у ТОМ углу, каже се да је угао аОЬ центраЛ//и yfflO Hng
луком ЛВ (сл. 1). 3а ДВ'" централна угла једне кружнице или КРУЖНИЦ3 једнаких ПQJlулре'I Нl1ка важи:
• • •
једнака су ако су над једнаким луковима;
већем од углова одгоnара пећ.и лук; Стlка
мањем ОД углова ОДГОЩlра маљи ЛУК.
1
КоввеКСIIИ угао 'Iије теме I l рилада КРУЖlПщlt, а краци секу круж"ицу наЗlIва
се периферијеки угао кружнице или љој оДговара;ућ.ег круга. Ако краци псриферијског угла
cSd секу кружницу k(O, r) у тачкама С и D и ако је лук СО у 1).
том углу, каже се да је f1ерuфсрuјскu У1ао нag луком СО (сл. Увсримо се да важи следеће.
а) Пр и мер
На СJlIЩII
k(O, r).
2(1 је t7рllкmmш
КРУЖl/uца
њщрmај lџmшраЛI/U у1ао
/Jag луком MN Ilag луком РО.
k
б)
р
---
.0
11 аерUфСРllјСКII у1ао
рСllJење је IIриказано lIa СЛИЦ~1
26.
Колико цснтралних, а колико пе
риферијских углова се може нацр тати?
р
1
м
s Слика
м
2
Пример
s
2
На слtlЦlI
3 је
ар"каЗ (lIIа КРУЖНtlца
k
k(O, r).
ИЈмерu, Па yuopegu ценiIiраЛIIU 11 ПерuферuјСКII у1ао нnу луком АВ. Ш та запажащ? Цен т рални угао АОВ ј е д па пута већ и од п е р н
фе р иј ског
YI'1I<\ ASB.
Ј-I ацртај још два периферијска у гла н ад луком АВ, п а п ровери СЛl1ка З
тачност овог запажања.
Ценillралltu
кру1а је
ylao
fjoa
"ута веli"
09
'1ер"фер"јСКОf усла lIа9
"сm"м луком. в
Н ека је
к
1. Та '! ка 11. Ta'IKa
А
Слика
I lерифе риј с к и
LASB
Yl'ao
к руга К(О,
')
'Ј
цент рал~I И
LAOB
уга о над И СТII М л у к ом АВ. Разл и куј емо тр и сл уч аја.
о
О је на јед н ом к раку LЛSВј О је у
L ASBi изван LASB.
[ [[о Та
4
А
---"'k---~S Н екџ ј е
CJl Y' laj 1. -
AS
п реЧ Н I1 К
круга (сл.
4).
Тада Је
о
LAOB
С1l0љашњи угао 60В5, п а је
LAOB СЛУ'lај
11.
(сл.
5). -
~
LOBS + LOSB
Н ека права
~
2LOSB
SO се'! е
~
k
2LASB.
к ру жни цу у та " ки С. Пер и Сл и к а
феријеки и це нтрал ни уга о су п одељен и :
5
LASB ~ L ASC + LCSB LAOB ~ LAOC + LCOB, Н а осн ову размат раља под
LAOB
~
1 следи LAOC
2LASC + 2LCSB ~ 2 (LASC + LCSB) Случај
k
=2LASC и LCOB = 2LCSB, па је
111 .
(сл .
6). -
Нека права
50 ce'le
круж lНЩУ у та'!ки С.
L ASB ~ LASC - LCSB, LAOB ~ LAOC - LCOB. На основу разма трања под
1 следи LAOC =2LASC
и
LCOB = =
па је
LAOB
6
2LASB.
За периферијски и централ ни угао важи :
2LC5B,
Слика
~
~
2LASC - 2LCSB
~
2 (LASC -
L CSВJ ~
2LASB.
ОВИМ смо се уверили да је увек централни угао круга два ПУIЋ
uећи од пеР~lфе ријског угла н а д и стим луком .
При м ер
3
ПеРllфеРllјоm Уlао нав fipe 'fН lIKoM је прав,
TaK;'LB пер и фер ијск и yrao је половина OДl'OBapajyhcr це ll ТРалног У" ЈЩ који је опруже l l (сл. 7 ),
При мер
uшка
7
Слика
8
СЛ lI ка
9
4
Са и ЙСР Ll феР llјСКII у11100и на9 IICfПllM IIУКОМ су jegHaKII. Св и IICр ифе р иј с ки УГJlОВИ н ад IIСТИМ лук ом су једнак и , је р је С IШКli од 'ЫI )( ј еднак п ол о вин и зај ед нич ко г ц е нтрал ног угла на д т и м луком
При м ер
(C)I. 8).
5
Перифер"јСКLI услоои 1/(/9 је91lакџм луковима СУ јевна ки. Ј еД llаки м л у ков и ма ЛВ 11 У I'Л О ВИ Л ОВ И СОО ( сл,
СО од го варај у ј едн аки
цеtlТ ралЮI
9),
п
~ Контролна питања Шil1а је lieHa7p allHII Уlао кружн и це? Да 11 11 сваком централном уfлУ кружн ице oglooapa само јеван ЛУК те КРУЖНlЩС? Да lIи сваком ЛУКУ КРУЖШLЦе Овlовара само jegaH ценшрални yfao ше КРУЖНlIце? Ш та је йерuферuјскu ylao КРУЖlНще?
Да ЛlI сваком аерифеРllјском УIЛУ КРУЖl/ ице ов [овара само jegaH ЛУК те КРУЖНlще? Да Ли сваком луку кружнице oglooapa само јеван аер uферuјски ylao те КРУЖlllще?
Да ли сваком аеРLlфер ијском УfлУ кружнuце ogloeapa само јеван l~еll{1lраЛ//11 уlао iПе кружmще? Да л и сваком централ ном yfлу кружн uце ogfooapa само јеван йер uферијСКLI yfao те КРУЖН lll је?
Задаци 1.
На слици су приказани кружница и УГЛОВН.
Koj~1 утопи су rн~ риферијски, а који централни?
2.
k
З аокружи слово испред та'lне реченице.
;;1.) С ваком луку кружнице одговара само један пери фе р ијСКJt У Ј'ао те к р уж нице.
6)
С ваком перифери;ском yгlГ'j круж н ице одговара само један це нтрални УЈ'ао те кружнице .
В) Сваком централном У " JlУ к ружнице од говара само ј едан пернфе ријс к и угао те кружнице.
3.
На основу података датих на сликама одреди КОЈ1ИКИ је осенчени УЈ'ао?
4.
Допуни слсдеl'lе речеl-lИце тако да буду та<Јне.
Слика
-
Полукружници одговара це нтрални угао од
-
Четврти ни КРУЖlНще одгопара централни угао од
_ ____
11
_ _О
кружнице ОДI'овара централни угао од
_ 600
и псриферијски угао од
_ _
О
и периферијеки УI ',Ю од
_ _
О
5. Мањи и већи лук MN КРУЖJlице k(O, ') су у размери 2 : 3. У којој размери су централ ни, а у којој периферијски )'Тлони над ОВИМ луковима?
6.
Нацртај кружницу k(O, Зст). КОIiCl' руишlt тет ину МЈУ угао над: а) мањим; б) пећим луком
MN.
= Зст
и један псриферијски
Изра'Јунај тај угао и њему ОД('оварајући
цен т ралн и угао.
7.
Троугао Аве је једнакокрак. Угао при врху С је
20".
Израчунај
LAOB, LAOC и LBOC
ако је О центар кружнице оннсанс око тог TpOYl'Jla,
8.
9.
Н ека је АВ пречник и АС ТС1'ина КРУ I'а К( О,
L AOC = 420, Израчунај
4
ст) тако да је
УГЈIQне мвс.
Дпа ПСРИ ф СРl lјска угла једне кружни це ил и кружннца Јед rlаЮIХ полупречника су једнака ако су над једнаки м: а) Jlуковима;
10.
б) тетивама. Шта је тз 'rно?
Ако је А]А 2 А) ., .А 9 праIНIJIНИ дспстоугао и О центар њему описаног круга, израчуна; угловс: а)
A rOA 2;
б) А 2 ОА ј ;
1.1) A rA 7A 9 ;
1') А з А 7 А(> (види слику).
СЛl l ка
12
6.2.
Обим крута. Број 7t
На почетку СIЮ једне "тајанствене" реченице. Чак 11 Грци и стари ВаВIIЛОНЦU су казали уа обuме кау уелиш круlОбllМ аре'lIIиком gобuјеUl Ilеоахоу"" Itам Ои.
Интуитивно је јасно да кружница има своју ДУЖИНУ, Рецимо, ако замислимо да смо кружницу на једном месту .,rIРСССКЛИ", а затим "исправили", добили бисмо дуж која има своју дужину. Можемо
ТО
If
праКТI1ЧНО ураДIПИ ако ОКО ИСКО]' предмета kpy-..кНОГ облика
06авијемо канап, па затим нзмерима ДУЖИIlУ ТОГ канала.
~ ::,
СИГУр l 10 је да обим (дужина) кружнице зависи о" преЧllИка. Али како? Ако поделима дужину кружнице са ДУЖИНQМ
запажамо да је тај КОЛИЧНИК нешто већи од броја
прсчника,
3. ПОIIОI!ИМО тај
поступак мсрења обима разли'lИТИХ предмета КРУЖНQГ оБЈ1ика и
Слика
дељсња ltужнном ПРСЧlIика круга. Можемо завазитн следсће.
13
КОЛll'IIШК обима круса и !Јужtmе аре'щuка је је9ан сйlала1« (константан) број. Тај број је Itрвн довољно ПРСIЈ;ИЗНО израчунао Архимед
. б рОЈ.
.
мерељима Је дошао да заКЉУ'lка да се та,
(3. век пре ,:!Ове ере). Разним
налази изме
ђ у б· 223 POJC Il3 71
22 П осле 7
"-.
Архимеда, многи матсмаТltчари су покушавали да одреде lIериадJt'шос," то," броја, мисле~ ћи да је он рационалан. Тај број не може бити записан тачно зато што "ма бесконачно де цимала, и ' "0 без псриодичног понављања! Тај број се обележава са 1t (чита се: пиј. (Као симбол за број
1t УЗето је прво слово г рчке речи 1tEplq:tEptCX што
311<1.'111
обим. )
КОЛIlЧНIlК обима "руса u 9УЖU1fе ареЧJluка је број 11:.
Другачије,
Обl'М круlа jeg1UIK је арОUЗ80gу УУЖU1fе 1ЬеСО80' apeOlНиKa 11 броја 1t Ако са О обелеЖIlМО обll!lf круса, са r gужl'НУ шеlовоf аолуаречника, tnауа је
0= 2г1С. ХОЛ3lIДСКI1 матсмаТl1чар Лудолф ван Цојлен израчунао је са та
32 децимале број
1770. године ШlJајl~арски математич а р 'охаll Лам6ер'Г је доказао да јс број 1t ира 1882. године нема'IКИ математичар ФсрдинаНДЛИllДсмаll је доказао Arl број 1t
ционалан. А
"С може гсометријски да се конструише (као што је био случај са бројевима IJсћ да је 1t "аТИПИ'lан
U
ирационалан број и назвао I'а mраНСljснуенmан број. У Токију је
године изра'l унат број
Број 1t је приближно
1t
1996.
са шест милиона децимала!
3,14159265358979323846 ... У практичним задацима се најчешће KOPII-
Сfl1 да је 1t = 3,14 или 1t
22
=-. 7
број деl~l1мала"
fi. . .Ј3 .... ),
П онекад. кад је потребна nећа прецизносг, корнсгн се
11 већи
Пример
1
Изра'lУНCiј обим круја ' flIјll је йолуаречник Ра<, унамо
0 = 211t: = 2 . 7 . 7t =
Об и м тог К РУ " а је
Пример
ст .
Ј 4л .
141t ст.
2
КОЛШ\О fосшuју може 9а
обима 1110Ј сшола? (п "'"
0 = 200 . 3, 14 = 628.
cegl/e за
окруtлu сш о
ape
ако С8CiЮI
focill
заузима бар
75 CI1l
3, 14)
Обим стол а ј е
За тај сто м о же да седне
Пример
7
8
628
ст. Даље је
628 : 75 "'" 8,4.
,·остију.
3
Колики 170лу17ре'lНIIК има највеliа кружнuца која се може lIаfiравшl1u 09 каlltl!7а gУЖIIНе
6,28
т?
(Jr ~ 3, 1 4)
И з О = 2r1tследи да Ј.е
О
.
т=-, п а Ј е т=
2п
6,28т
2·3. 14
= I т.
Највсћа круж шща која се може на п ра в ити од кана п а дуж ин е
Пример
6,28 m
има п олупре<ш ик
1 т.
4
Сmрmllща јеgнакосшраНIJЧIIОI троуiла је
12
ст. Израчунај обим
кружнuце:
а) Уйllсане у тај троуlао;
б) ой исане око то ј tТlроуiла .
ПРОlJlJlе '"ОЈџ, не смо учи л и да се з н а 'l ај н е та ч ке једн акострани '1 Н О " троугла поклапају, п а је rюлуп реч н н к уписа н е кружн и цс јед-
.
hakoctpal-lИ Чl lOГ троугла Једнак
I
-
ВИСЈ.Нl С, а попупречник Qписа-
3 вс
2 -
nИСЈ.lне ТОЈ' троугла (сл.
14).
3
ВИСЈ.1На једнакостраничног троугла је
6-./3 ст.
а) 1l 0лупре<ЈНИК УПИС<,lНе к руж н и це је 213 ст, а обим 413псm. б) ПОJlупречни к описан е круж нице је 4f3cm, а обим 8f37tcm.
Слика
14
~ Контролна питања Шта је обим
Kpyfa?
КОАlIки је КОЛИ'Il-iUК обима КРУlа u gУЖUl/е Ibelo801 аолуйре'lнuка? Да ли је број 7( рационалан?
Задаци 1.
И з рачунај обим круга tш ј и је п р ечник : а}7сП1;
2.
б)
12cтn.
КОЈ r Иf\lt је 0611М круга чији је ПОЛУПРСЧIТИК:
а) 12сП1; 3.
1m
б)З/2 СШ?
Колики је обим точка чији је пречник
точак I -Iа пугу дугом
4.
Да ли се метални 06руч обима IIИЩI
5.
64
Ст? (п
1,2
ш? Колико пута се приближно окрене тај
],2 kш?(n "" 3,14) 2
ш може сместити у рам облика квадрата чија је стра
"" 3,142)
ТеНIВЈ КРУЈ'а К(О, г) је ЛВ
= ] о (111 . Израчуна; обим круг а К ако је т~ентрално рас тојање
тс тетиве:
а) -5 ст; 6.
б)
s-J3 ст.
Обим круга К је 24тr ст. За колико се 1l0већа обим 01301' круга ако се полупреЧIIИК повећа: а) за
3
ст;
6)
два пута?
7. Обим КРУ ј 'а К(О, 4 ст) 1I01lећа се за : а) 2n ст; б) 7 ст . За колико се повеhа полупре'IНИК овог КРУI ' а?
8. Одреди однос обима круга описанО!' око квадрата и круга уписаноr' у квадрат ' I ија је ст раница
9.
10.
]0
ст.
РаЗЈ1I1ка обима огrисаrюr' и уписаlюr' круга јсднакостраНИ'IНОI'
троугла је 1t..J3cm. Изра'lунај обим Tor' троугла.
Изра'ryнај збир обима најпсћих кругова који додирују споља странице квадрата кове кружнице
ABCD и додирују изнутра одговарајуће лу k(Q, r) описане око квадрата . Дијагонала ква-
драта је АС = 812 ст. Види слику
15. Слика
15
6.3.
Дужина кружног лука
Н екз је О обим. а
r 11 0Лynре'l НИК
крута К. Знамо да је О
= 2nt, па rJt
је ДУЖИllа IIOJlУКРУЖIIIЩС т, дужина ч ет вртин е кружнице
2 rJt
ОСМЩlе -
ИТД. (сл.
16).
4 Централном углу ОД ЈО одговара лук који је 360-1'И део обима "ру-
Слика
. 2rn r7t ЖНИЦС.'Г}. -- =- -. 360 180 Ако је центрзшlИ угао над луком ЛВ јсДlI3К аО
rJt
JlукаАВједнака 180 ·
1·
о
а
. 10,
онда је дуж~tна
= 180 (С1l.17).
YI'ao
1 круга
IЮЛУПРС'lIiика Г, коме
аО:
н
1= та. 180
А
СЈ1ика
а
та
3акључујемо да је дужи на кружног лука одговара центрanни
=
16
17
Дужина КРУЖllоr лука је у"рекшно ароаОРЦUОIlUЛlta ogfoBapajyfieM I{Сllmралном yfлу.
Пример
1
КQЛIIК/I КРУЖIILI лук оаише врх gуже казаљке на Clll71y за ако је !Ьс,m gужmla
10 Мlтуто
10 ст? (п "" з, 141 6)
Дужа казаљка ОПl1ше ПУН круг за
I
час, тј. за
60
минуга. За
10
м.Иliута ће описати шестину nyн or У I'ла или 600, н а дужину Ј1ука КОЈИ Оl1ише I~ P X: те казаљке рачунамо
_ I O_~_6_0 = _IO_1t "" 10'3, 14 16 _ 10 472
180 11 0113 је 1"1!)I1БJll1ЖНО
Пример
3 10,472
3
-,
ст.
Слика
18
2
КОЛIIКII је аОЛУUрС'fliUК КРУЖllllце чuја је чеmврmllНа 22 ст? ( л ...
nt'90 ЧСТLlР1·И Н И КРУЖllице одrовара централни угао од 900, па је - -
180
ОДIIQСI!О ЛОJlупреЧ IIИ К те кружнице је приближно
14 ст.
272 )
,. 22 = 22.
Даљеје _ 7_ =22,
2
~ Контролна питања Да ли је gужщm КРУЖNОl лука
ароаОРЦllон.аmю gУЖ1ll1U 17QлуаРС'flНlка
gupCKmHo
I\'Pyla?
Да ли је gужuна "ружно; лука 911рекшно аРОЙОРЈЏlOlltIЛНlI og10oap(ljylieM I(снmРlIlI.НОМ уму круш?
Како се tlJрачу,шва gужuн.а "ружно' JlУ'Ш који oglooapa gm110M уту
09 аО?
Задаци
tQ Пре'IIН1К <1) 180;6)
KPYI"a
К је 12 ст. Колика је дужина лука круlЋ К чији је цснтраЛlНI УI'аО:
Ј5 0"?
Q ПQЛУПРС'I I I ИК круга К је угао:
3) ]5";
б)
30";
10
В)
сtП. Колика је дужина лука "pyr';! К чr'фi је []еРl1феријски
45";
[.)
6а"?
~ ЦснтраЛllОМ углу круга К ОД а) 600; б) 90"; В) V ки је [!Олупре'шик тог круга?
120" ОДl'ОlJара лук ДУЖИIIС 10)'( ст.
Колн·
4. ЦСIIТР;ШНОМ углу (х круга К(О, 4 ст) OAl'OBapa лук дужине 2ЈТ ст. За 1\01ll1КО се повећа ДУЖllва оnог лука ако се У'<10 повсћа за: а)
5,
КРУЖIIOМ IIУКУ
KpYI'a
К(О,
4
6) ЈО;
30";
о)
500 ?
ст) одговара централни угао од
450,
Тај лук је саrшјен у
КРУЖIIIIЦУ, Колики је 110JlУllре'нlИК те КРУЖlllще?
6, ЦСlIтрално растојање тетипс АВ = 8 ст круга К је 4..[3 ст, Израчунај ДУЖl1не Malbel' 11 I.Iсllсг лука ЛВ,
7. Странице АВ, ВС. СА троугла Аве су редом ]0 ст, 5 СIП, 5..[3ст. Око троугла је описаll КРУ I'. Изра'lунај дужине ЛУКOlЩ АВ, ВС. СА.
8.
Обим полукруга IIOЈ I УПРСЧIIНК
16,56 ст; 1') 25,]2 "11;
б) д)
4 ст
је IIриблюКlЮ:
]2,56 Ст; В) 20,56 33,12 с т (л"" 3, 14).
сш;
ЗаОКРУЖ~1 СЈIOIЮ ис п ред таЧНО l' одговора.
9.
Израчунај ДУЖНIIУ !I иније ПРl1 казан е на слици Жlнща се 1"I0КЈlaпају, IЮЛУПРС'IНИЦИ су редом
19. UeHl'p l1 кру· 2 ст и 3 "Н, а
L, ~ентралIlИ УI'ЛОIН1 по 600.
10.
ЦСl l тралШI угао ех oAronapa КРУЖIIОМ луку од 4 ст k(O.4 С(11). Тада је: а) 300< ех < 400; б) 400< ех <500; Н) 500< ех <600; ех < 700. З(10КРУЖI1 слово испред та 'l НОI" OArOllopa.
k1 кружюще
1') 600<
~Слllка
19
6.4. Површина крута Треба да израчунамо површину да то г к руга К(О, г). П овршин а круга заниси од ПОЛУIlРС'I ника. Али како? Да бисмо утврдили ту зависност размотримо следеће: у круг К упишема прав и ли и асмаугао А [А 2 А з .. .А s (сл .
А,
20) .
Q'lИгледно је IlQ вр шина ОВОГ осмоуглз ма њ;} ОД ПОВ РШ \1не к
к руга . Даље, одредимо среди шта В 1 ,
ua А) А 2 • А 2 А з >
•• • ,
А 7 А 8 • А кА 1 (сл .
82. В з , .." 88 редом л уко 2 1). Површина праВI1JIНQt"
Ill сснаестоугла А IB1A2Bz ...A!lB8 већа је од површине осмоугла А Ј А 2 А з ...А 8 али је мања од површин е круга! Овај поступак може мо да настанима одређивањем средиш та луко в а који одгова рај у страницама шеснаестаУ I"МI при чему ћемо доби ти правилан МНОl"Oугао са А,
А,
Слика
к руга,
20
...
..А з
пра вил но г
ш еснаест пута
uct1a
шеснаестоугл а
= 8РЛIА20 '
АIВ]А 2 В2 ••• Л gВg
је
А, А,
од по вр ш и н е ј едног њеГОВОI' каракте р
ИСТИ 'IН О I' т роугл а, ла је
<
В,
је осам пута већа од површине
једног његовог карактеристичног троугла тј. P g
PI{
ће ПОВрШlIна б~[
Површин а IIраuишlОГ OCMOyг ~ па А]А 2 А з
П овршина
32 стр а НШ.l,е 'lItја
ти већа од ПQВРШИl-I С ш ес наеСТОУ l"Jl а, а м ања од П ОВРШЩIe
В,
Pl 6 = I БРА] IJ I 0 ' Закључили смо да је
P 16 , па следи да ј е Р А]А2 0
< 2РА ]Н]О'
Р:1]fI] О, п ри чему за странице важи ОЛ]
однос но
В,
I - РЛј Л 2 0 < 2
Аз
== ОА 2 = аБ].
В2
Сл еди да је ни сина која од гов ара осн овици карактеристи
В,
'нюг троугл а A1B]O пећа од Од l"оварајуће висине т роугл а
СЛI1К <12 1
А]А 2 О (сл . 22). о
ОЧ ИI'лед но ј е д а се УДВОСТРУ' l авањем броја страНИ Ц<1 У ll иса них многоуГЛQва висине које одговарају ОСlювицама њихо
вих карактер и сти ч них троуt') ЮJlа повећавају и по дужини све п иш е приБШl жа lшју дужнии полупре 'lни ка
r.
Истовре
мено ОСИОJlИЦС тих т роугло ва постају с не мање али се
110-
већ ав а њихов збир ( оби м м ногоугла ) и све lшше ПРl1ближа ва обиму круж нице. Како се 110вршин а МНО ] 'ОУГJlО lJ
· 6 РОЈ
Р
"
а h =п . ....!!......!!. = 0,,/1,,
2
2
ка
2rтt ·r
- - - =r 2
2
п, нз-
слућуј емо да ва жи следеће. Сл ика
22 ПОВрШllна круТи jegllaKa је ароuзооgу броја 1r1~ кваgраl1l(llьеlОБОI аолуаре'"ll1ка
P=1t· ,.,.
r:
Пример
1
Изра',унај а0вРl1lину крута "ији је ареЧllflК
P<1'IY~13MO Р
Пример
1О ст.
=1t' 52 = 251t. ПОВРШИl13 круга је 251t ст
2
•
2
ИзраЧУllllј СiЛраllицу најве/јет ква9раmа који се може УЙllсатl1 у КРУ;
00-
ВРШI/IU: Ј ООд ст 2 , Дllјщ'онаJlа најllсће l' квадр ата у пи саног у круг је јеД l lака преЧIIИКУ кру
га (сл. 23). ИЗ л · ,-1
20
= JOOn следи
да ј е r
= 10 сtn,
па је преЧНI1К круга
ст.
За cтpal l 11UY а квздраТ
Оmка
23
~ Контролна питања Да 1111 ПОВРllнmа
Kpyra заmlClI
09 аолуаре'lНlIка крута?
Да 1I1l је аоврlIlllна свако! МНО[ОУ'1Iа чија mемена су на КРУЖНlЩIl МlI1ьа 09 i10врншне крута који је o9peQell тОМ КРУЖI/IЩОМ? Како се рачуна 170вРШllна крут(/?
Задаци
~ Израчунај ПОВРШIIНУ круга чији је ПОЛУllречник: а) 8 ст;
€) И зра'l унај површиttу круга ЧИ;II је преЧ I IИК:
а) 1 ш;
g)израчуна; IЮВрШИIlУ круга чији је обим:
а) 1t ш;
б) 1,2 ст;
В).Ј5 ст.
6) 7 Ст;
В).Ј20 СIП
6)
1 7п сщ
11)
,.[в1tсш.
~ И зрачуна; ЛUВрllll1l1У круга којll је ОПllсан око кnaдрата Чllја је: а) cт pa HIlLIa
5.
8
ст;
б) дијаГOlыла
СТ Рi1llице прrшоугаоник а су
7,5
0,5
ст
т,
11 10 с т.
угаон ика је:
а ) 56,251t ст 2 ; Зао к руж и ОIO ВО испред тачн ог одговора,
Гlовршина круга Оl1liса llO l' око таг пр а но
6.
Углови троугла АВСсу LЛВС
= зао, LBAC = 600, а страница АС = 4 ст. Израчунај 110-
НРIllИНУ круга описаНОl' око овог троугла.
7. ПОВ РUlllllа круга К је 25л ст 2 . Изра ч унај ПОВрШ II НУ КРУl'а Ч~ф1 је ПОJlУП РС 'IНlt к: а) за 2 ст; 6) д ва пута 1Jel1~1 од полynРС'lН ика KpYI'a К, 8.
Пол у пре'IЮ!К круга К 1 је
9
ст, а круга К2 је
је површина једнака а) з6 иру;
9.
Крак једнакокраког троугла је
ст, Изра'lунај ПОJlу п ре'I IНIК круга чија
12
6) разлици, поnршина KpYI"OBa К! и K 1•
4
ст, а је)ЩII угао
1200,
Изра'lунај ПОВРШИНУ круга опи
саног око ОВО,· троугла .
10. Ст раница ромба је 6 ст, а ПОВРUННlа круга уписаног у ром6 ј е 41t
(111 2, Изра'lунај по
ВрШIi Н У 1'01' ром ба.
6.5. Површииа кружног исечка и кружног прстена Део површи круга који припада централном углу тог КРУl"а назива се КРУЖI/II uсе'ШК.
КРУЖIIИ исечак је део ПО врши круга К(О, АВ (сл .
() Q['раЈЈI1ЧСН полупречницима АО, ВО ~'! луком
24).
ГlОВРШШЈа кружног исечка круга К(О,
Централном углу од
1800
П
r)
зависи од одговарајућег цент рал.ног угла .
одговара кружни исе'lак-полукруг 'ЈИја је површина r ~л 2
··
ов ршина к ружн ог ИСС' lка 'IИЈИ ЈС цсн трални утао
90·'~ Је 4
Површина кружног исечка КРУI"з' К(О, угао
10 је
r)
чији је цснтрални
, 'п
-- о
360 Према томе, п овршина КРУЖНОI· исе'rка чији је I~СIIТРални Уl"ао аО је л
r 2л Слика
360
24
ПООРШUl/а КРУЖ1l011lсе'fка круСа ПОЈ/упре'ши,",
~=
Како је
360
коме ОВlовара l~ellfflpaJIIIll усао
i f је:
r 2 1to:
360
површина кружног иссчка крута полупречника
[. ко ме одговара лук ДУЖИ~l е
r,
r l ла
·а =-- .
,
l је : Р;=т ·
r,
Пример
I
Yaopcgll аООРllllIlJУ КРУЖIIОТ Llсечка круТа аолуареЧНIIК/Ј цеl/траЛI/О' У1Л(l оу
300 11
6
ст 11
о
nовРШIlНУ круУа аОllупрецнuка 2с",.
6 · л·зо ГlОВРШIIШ1 КРУЖIIОГ исе'!ка је р; = 360 1ЈОВРШНll а круга је]Ј = 21. Л =4л. 2
Површнн а
'!'
Зл. Отка
KpYI·a је Ilcha од површинс иеС'lка за
25
"t ст 2 .
Пример 2 ПовРIllUI/f/ КРУЖI/О/ I/cet lKII је I Ол С1ll 2 . Колuки је оgrоваР(lјуlш цеmllраЛIШ у1(/0 ако је ПОЛУnРСЧНI/К круТа
5 ст? 2
.
ПI!щ емо да Је 10л
5 л(Х =-,
360
па слсдн ех
Одговарајуlш ЦСIIТрМНИ угао јс
= lОл·З60 = 144. 25л
1440.
Две КРУЖНlIllС су KOHljeHmptltmc ако им се lјСIIШРU nOКllm1ajy, а 170ЛУ
аре t ll/IIЦII су раЗII/l'/IImll. КОI/I/,СНШРII'fИе "РУЖ'IUlје ogpeIjyjy КОIЩСН mpLI'II/C KpyfOBC.
Н е ка су К.(О, (1) и К2 ( О, ђ) концеНТРИЧНI ' кругови. Део ПОВрШI'
већс .· од ових кругова који н е пр"пада унуграшњој облаСТI! мањсг
'1
круга назива се "ружнu арстСII.
На слиц и
26 је
приказан кружни прстеll одређеll круговима
K1(O, (1) и К2 (О, (2) , '. > '2. ПовРШlща КРУJl(//ОI apctnella јеу"ака је разЛUl~1l аОбрlUllllа IьеfОбllХ
Оlllка
26
KpylOOU.
Пример
3
ИЗР(l'IУlmј aoop"IIII/Y кружноr арсmена који је оgређен КОНl~енi11РUЧI/IIМ "РУЖl/llцама аОllуаре'l / II/К(I ) Јm 11
0.15
т.
ПОЛУПРС'I!IИК Bchcr кр уга је 15 ст, а мањег 10 ст. ПОПРШИllа прстена одређСIЮГ OBIIM кру r·овимајеРр = Is2тс - )02л =225 1[ - lOO7t = 1251[. ПОВРШИIЩ ПРСТСIIЗ је 12Sn СП1 2 .
Il ример
4
ПовјЈlIIlIIllI кружно' ЙРCl7iе1/а је 504п С/1l 2 • Изра'lунај аолуаре'lНIIК веliеl крута ако је аолуl7рЙ-
1/IIK мmIJ еl
кру,а
15
ст.
ОбелеЖIIМО полynРСЧНItК већеЈ' круга са r. Тада је 504л
= r21t -
15 21t.
СIIСДИ да је
= 504л + 225л = 729Л, r2 = 729, r = 27.
нt
ПОJlуrrРС:'IIIIIК псћег КРУl'а је 27 ст,
~ Контролна питаља Шта је крУЖ1Н1 исе'/{/К?
og gужuне Gолуl7ре'l/U/ка "ру1а? gupeKmllO ароt10РЦlIонашш оgТОбарајуliсм
Да ЛII аО8рrumm КРУЖ1/01 flсечка завllСIl Да ли аовршrша КРУЖНОf Ilсе'lка
ченmралном уiлу
крута? Како се llэра"У1/tl6t1 (ioop rmma "РУЖНОl uсечка који ogfosapa ценl1iјЈ(lЛIIОМ уму 09 аО? ШШа је крУЖНlI арстен? Кtlко се IIЗР(l'iунава аовриlIlна КРУЖl/оf uрсl1lена?
Задаци
G Израчунај ПQВРШИНУ кружног исе'!ка круга К(О, 9ст) ако је OДl'OBapajyћ~1 централн и угао:
а)
2.
180;
б)
В)
80;
И ЗР3 '! У Н
3.
1080. 10
ст
OArOB
360.
ИЗР3ЧУН
9
ст) ако је дужина одговарајућег
кружног лука:
а) 9л СI11;
4.
•
6) - cm. 2
Тстипа ЛВ "РУI'а К(О,
4
ст) једн а ка је
4 ст.
И зра'I УШl.ј пов рш ину к р ужно г исечка којl1
од гопара мањем ЛУКУ ЛВ.
5. Око правоуглог трОУl'ла Ч l1је су катете 10 ст и 10.Ј3 С1П ОПl1С3li је круг. Израчунај обим 11 површину кр ужно г исе ч ка над краћом катетом троугла.
6.
Круг 'lIIј и ј е П ОЛ УПРСЧ IIИI\
4 сl11
им а поврwину ј ед наку rЮllрШ ИlIII к руж но !' И СС 'Ј ка кру
га К. Ако том н се'Ј К У одго вара ц е нтрал ни угао од
1200,
израчуна; полупрс 'l НИК к р уга К.
7. И зра'Ј у н а; ЈЮВРШIIIJУ кружно] ' прстсна који је одрсђсн КО IIЦСliТР"Ч IНI М Kpy,'oIНlMa: а) lюлynре ' lника
б ) ПО ВРl lНlна
7 ст 11 3 ст ; 2S1t ст ! I! 20п ст 2 ;
в) обlfма 20л ст 11 10л ст,
8,
Изра'IУllај llOВРIilИНУ КРУ-МНОГ прстена који одређују круг о пи сан ОКО кваllрата
11
круг
у пи са н у ]tC'I'И КlЩдрат чија је: а ) ст рани ца
20
С I11 ;
б) ГlOвршнна 20 с т 2 •
9,
И зра
а) всћсг КРУ l'а Ј ОО п с т 2 ; б) маљег кру .'а Ј ООл С 111 2 , а ра зл ика ГlOлупре ' ЈН и ка нећег и мањег к р у ] 'а ј е Ј ст .
10.
Ј<ру г К] је КО l ще ll 'I' ри
8
IЈаКО] п оловини П О '\РШlш е круга а ) К;
ст ) тако да је IЮВрШИН3 1I .l сталог нрстена ј ед
6) К ,. Одр ед и п олупр е 'IIIII К круга К"
7. СЛИЧНО ст Ма'lе је СЛ IIЧI!О одраслој мачкн, дете својим родитеЉlIма, 06јека"г на малој фотографијll истом објекту на увећаној фотографији. У геометР~lји СЈIIIЧНС фигуре имају исти 06ЛIIК ДОК им друге ка р актер и стике на пример I\еличинз, боја 11 др. могу БИ 'ГI! ра3Юt'l ите.
СЛ IIК:) 1
у ч ему ј е 1'3;lla СЛII'!НОСТИ? Када кажемо да су НСКИ фш'уре СJlИ 'II\С? ОД ,'ОБОР ћете сазнати у lIаредни м л еКI Џlјам а.
7.1. Размера дужи При ['Iредстављању реалних бројева на бројспној правој УIЋРДИЛII смо да свака дуж, при и забраној јединици мере е, има дужину
позитиван број који показује КОЛИКО се једи ·
-
Нl I' IHHX дужи И њених делоnа налази у меРС I Ю) ДУЖII.
Под размером дпс дужи rюдразумеваћемо КОJlI I ЧИИК дужина 'ПI Х ДУЖ I!. Дакле, ако дужи (ј и Ь имају дужине
u
ОДНОСНО а: Ь
=
v
мерних јединица е, онда је
и: У.
f у односу на коју а, односно f има дужину \11 јединица е, овда је 11 = pllI, V = 11111.
Ако ј е за јединицу мере IIзабрана нска друга дуж ДУЖЩl е р одtЮСIЮ (ј, а дуж
ОдаТJlе следи 11 ; 11 = Р
: СЈ
и а
: Ь = Р : q. Дакле,
размера 9ве 9Ужи не зависи
09
изабране јеgшtlще мере којом су те gуж" мереJlе.
Ако постоји дуж е која се цео број пута садрЖII и у ДУЖ I! су самсрљиве. У
Ь ~IMajy
cynp01'llOM, дужи
{,
11 У ДУЖ II Ь, за ДУЖI1 а
11
Ь се каже да
су иесамсрљнве. Размера саМСРЉИВ\1Х ДУЖI! (када их мери
мо ;еДИltиЦОМ е) је КОЈIIIЧIIИК два цела rЮЗИТИВllа броја, дакле ПО3ИТlшаl1 раЦlIоналан број.
Важи н обрнуто. Ако је размера две ДУЖl1 рац ионалан број, те ДУЖ II су самерљиве.
б" m. е {/: раЦ l10налан РОЈ )eAIIaK ~ онда Ј е 3allcтa, ако Ј'Ь IЈ
111 1IУ"а у дужи
{/ и
t/ !'У"а у дужн Ь.
Размера две несамерљиве дужи је ирационалан број.
а
=
1/1' -Ь 11
па се
11-1'11 део ДУЖ I1 Ь садржи
Пример
I
Диј
(/
и страlllща а ква дра та су н есамеРЉИII С дужи јер је d:o
=
,
(I .Ј 2 :0
,
=\12
,а
г.:
"1/2
је ираLНIOНМ3Н број,
Пример
2
ВIIСИl!а
1111 стра lllща а једнакостраНИ'IНОГ троугла су несаМСРЉИl3е ДУЖll IJ: је -Јз ирацноналаll број,
Једна к ост дв е раз м с ре ЗIШJlН см о пропорција. Отуда каж ем о )ЏI су ДУЖ I I ЦИОllaJIllе дужим а с и
Пример
r
(1
(1
= \13 : 2, је р
Н Ь пропор
(/ а ко је а ; Ь = с: (/,
3
Cpcglbl! лmшје mроуlла йроаОРЦIIOlюлне су њuма ogfooapajyIiIlM cmраmщаМ lI mроуtЛll. Заиста , ако су т и 11 сред ље линије троугла кој е одговарај у ст раllицама а и Ь, о н да је а
= 2т. Ь = 2f1. п а ј е 111 : п = 2m : 2" = а : Ь.
Прим ер
4
Не к а паралел н е праве а , Ь. ссс ку праие р и у
q редом
,
Ta'IKaMtI А, В, С односно А', В', С (сл. 2).
Tal13 је
с
ЛВ, в с= А 'В', В'С.
ь
п
У вериl'lСМО се у та'ш ост П Р I! усло ву да су дужи АВ н НС сам с рЉII IIС, 'Iј. а ко, 3 01
IleKe
а
природне бројеве
т
111, П, I:!ажи
АБ: ВС= т: Ра 3JIОЖ И МО дуж А С m 1 т
+"
n. ј ед наки х дслона и
КО II СТРУ ИШИМ О прав е које садрже деоне тач ке па РМСЈIIIС п равој
{/
и IIраној
q (сл. 2 З3
т
р
= 2, п = 3).
Н а добијеll ој CJlIЩII уоча ва мо подуда рн е троу-
q
ГЈюве и дос врсте fюдударllИ Х паралелог ра ма ( по кажите то!). Сада н астаје О'lИ гn ед но да су обе размере у тврђељу ј една ке т
Слика
: 11.
Ha110MeJla. - С;:Ј сnике се так ође уочава да важи и В8": се'
= 111: (111 + 11).
2
Тврђење у примеру
4
познато ј е као Талесова теорема.
При паралелном осветљењу сенке које ба цају две паралелне дуж и н а неку праву ( или раван) прОП ОР ЦИОНilЛНС су самим ДУЖ Н Мil (сл.
3).
Корнстећ и о нај 11 р ИНЦИП Талес је (о ко
600
година пре 11. с. )
из ра ЧУ llао В И СИНУ КеОllсо ве п ирамиде ме рећи дужнну ње н е се нк с. Размера виси не пирамиде 11 њене се нке једнака је ра змери Слика
3
в и сине
неког
пободеl!ОГ
штаП
н
ње гове
сенке,
претrlОстављај уhи наравно да су С)'~I ' lеви зраци паралелни (што је, збо г велике удаљености Сунца, приближно та Ч liO). ИЗ OIџоварај уће пропорције Талес ј е изра'lунао висину пи рамиде.
Дализнате? Талес је један од првих грчких филозо ф а. Рођен је у Малој Азији. Учио је геометрију у Ег и пту. Њему се преписују nажне теореме из геометрије. Измерио је висину пирамида, п редсказао п о мрачење Сунца, објашњавао порекло земљотре са. Умео је да изра' l уна растојање до брода на мору и његон положај . Веро вао ј е да је основа свега вода.
Талесоnа теорема се лако памт и а к о се м ал о сл о
бодније и нтерпрети ра.
Талее из Мuлеmа
(640-550. [. Слика
4
аре н . е.
)
Пример
5
Изра'lУl/ај
н
(JIiCUlIY Н gpaema мерећll gУЖUIIУ 1. њеЈ()
ве сенке.
Заболи
вертикално
његову сенку
l (сл. 5).
штап дужине Измери сенку
и
I!
измери
L дрвета .
Приме ни Талесову теорему. До6ићеш да је
Н: L
Пример
5
в
6
Н" сЛ/",и 6 је DБ
11 Ас. IADI = 8, IDBI = 4, ICEI = 9. [(олико је IBEI?
Према ЋUlссовој теореми ј е ВЕ: ЕС
Отуд" је
Слика
=11: 1, па је
=
ВО:
I----".,.E
DA.
4
9
8
2
9
8
IBEI ,9 = 4,8 и 1ВЕ 1= 9 - =-
А
с
Слика
6
Е
Пример
7 D
Гlogell.u gашу gуж А13 IIlI трн jegl1aKa
gell.{/. с
I-Iа tlршюј која садржи ПI' I КУ А али не и та
D,
Е тако да ј е реДОСJlед А-С-О-Е и АС
П ра ве које садрже С и
D
=
СО
=
ОЕ.
Гl аралелне правој ЕВ деле дуж АН на
А
в
три једн ака дела. Докажи!
Слика
Пример
8
ДокаЖII
ga тачке 0(0, О), А(2, 1), В(6, 3) aputlagajy jcglloj правој.
7
у
I-I ека је Л'(2, О),
8'(6,
в
О) и С(6, у) пресек праве ОЛ и ВВ'. Праве
с
ЛА' и вв' су паралелне.
=АЛ' : СВ' . С друге стране је ОЛ': ОВ' = 2 : 6 као и ЛА' : СВ' = 1 : у. Из пропорције 2 : 6 = Ј : у добијамо у = 3. Зато се "l"а'lке В и С по Према ТалеСОl!ој теореми је ОА
: ОС =
ОЛ':
А
08'
клапају. Тиме је доказано да су тачке О, А, В колинеарне.
О
А'
В'
Слика
8
х
~ Контролна питања Шта је размера gУЖII?
Kaga
се каже
9(1 су !ЈВС qужu
самерљuве?
Каква је размера !Јве самерљиве gужu? Како је Талес IIЗмерllО висину QllpaMlIge?
Задаци 1.
Нацртај дуж ЛВ . Одреди на љој све тачке С за кој е је: а) АС: СВ В) А С : СВ >
2.
Дата је дуж ЛВ у раШIИ . Опиши СПС тачке С у раuни за кој е је а) АС б)АС:С/Ј <
7 5. •
: СВ = ];
1.
(}Ј Одреди однос дужи чије су дужине: а) SO сtn .~
= 1; б) АС: СВ < 1;
1: г)ЛС: CB~ 1: 4 .
If
1,25
т; б) 2 km и 650 tп .
Нацртај Ilравоугаони к чија је размера страница 2 : 3. Размера ОСlIовица трапс-за је 3 : 4. Одреди размере ОСНОВИЦа и средље Лl\llIIје тог "рансза.
® Одред,! дужине страница "роу.'ла 06и мз 36 ст 7.
Одреди дужине страница п ра rюугаОНI1I(<) обима
(ј) Тачка А је између тачака В н С и АС: СВ = 9.
5 : 8.
Обим троугла је Ј 9 ст, а странице су у размери:
'1lIje
су странице у размери 5 : 6 : 9.
14 с т
чије су страНllце у разме р и
2 : 3.
Одреди АС: АВ. (/ : Ь
= 2 : 3, Ј) : с =9 : 4. Одреди дужине
стра llflц а .
10.
Маl.lIИllа за КQШlрање: а) увеличава сваку дуж
i пута; б) умањује сва ку дуж З пута. Ко 3
је диме н з ије има копија правоугаоника чије су СТР i1Н ице дуж ин а
11.
Н а карти размере
1 : 800 000
растојање два мест а је
2 ст.
6
и
9 ст?
Колико ј е растојање места у
ствар н ост и ?
12.
Растојањс места у ст варности ј е
13.
Растојање два места у стварности ј е
] km.
Колико ј е на к арт и разме ре
2 km
а на карти
I
I : 300 ооо?
с т . Коли ка ј е разме ра ка рте?
14.
Основице трапеза су сам е рљиве дужи. Да ли је са њима самерљива и средња ЛННI1ја трапеза?
Дужине катста праВОУГЛО I' троугла су: а)
12 ст
и
9 с т; 6) 3
ст и
5 ст.
Да ЛlI ј е ХИ lIоте
lIуза самерљива са неком од катста?
16.
Нека је та'[ка В између тачака А и С и АВ: ВС
= 7: 3. Одреди размере АВ: АС 11
АС,ВС1
17.
Та'[ка С дсли дуж АВ У размер и
1 : 4,
а тачка
Dу
разме ри
3 : 2.
У којој ра змеР~1 Ta'IK<1 С
деЛlI дуж Ат
18.
Н е ка је тачка В између А и С и АВ: ВС
= 7 ; 3. Одреди размере АВ; АС
19.
Подели дуж на а ) пет јеД llаЮIХ делова;
6)
20.
Подели дату дуж у размер и
21.
Тачка С дели дуж АВ у размер и дели дуж
22. 23.
3 : 2. 1 : 4,
ДокаЖIf да из nponop loЏlje ДУЖ II а : Ь
а тачка
Dу
р
: 2.
У којој размеРI!
С
T'I'IKa
=с: d следи ПРОПОРIЈ.lfја а : с=: Ь : Ј.
Кориcrи Талесову ТСОРСМУ да покажеш да је средља ЛlНlија троугла паралел н а сг рани
",el!Oj
ПОЈIQВИНIJ.
Примени Талссову тсорему да покажеш да се те жишне дужи троугла секу у једној та'[ки
25.
седам једнаких делова.
AD?
ЩI троугла и jenllaKa
24.
If АС: ВС
-
теЖi1ШТУ троугла и да тежиште сnаку ОД 'blIX дели у размер и
ДокаЖl1 помоћу Талссове теореме да су тачке (О, О),
crCMY
7.2.
( 1, 2), (3, 6)
У
2:
1.
KOopnl111allTOM
CI1-
колинеарне.
Сличност троутлова
Нека паралелне праве а и а' секу краке угла Apq у тачкама в, в' које припадају правој р и С, С које припадају правој
q.
ПРlIметимо да троуглови Аве и АЛС' (сл.
onl'oBapajyhe
9) IfMajy
ј ед наке
углове:
LB = Према Талесовој теореми
LВ',
с'
LC = LC.
(11 напомени при њеном доказу)
љихове одговарајуће странице су пропорционалне: АБ, АВ'
Иcrо ћс важити за ма која два троугла Аве и А' В'С која имају им се поклопи један УIЋО, а странице наспрам њсга буду пара
9.
с
=АС, АС = ВС, В'С.
једнаке одговарајућс углове, јер се они могу премеcrити тако да лелне као на слици
q
р
А
В
В'
"
Сл ика
а
9
Два троугла АВС и А' В'С који имају ј еднаке одговарајуће УГЈ\ове
LA
= LA',
зову се слични троyrлови. Пишемо
LB
= LB',
LC = LC
LlABC - LlA'B'C.
Дакле, важи теорема.
Слични троyrлови имају одговара;уnе странице пропорционаJlне.
Важи и обрнута теорема .
Два ТрОУI'ла ·rије су одговарајуnе странице пропорционалне су слични.
Овим је "тајна" сличности разрешена. Ликови су слични ако се њихове тачке могу "упарити" тако да oДl'oBapajyћe дужи буду про rrорционалнс .
Пример
1
Да лu су raроуrловll аРllка.Ю lIll '/а СЛIlЦU
] О слични?
Јесу.
Користећи да је збир углова ТРОУ['ла једнак јс IIсобслежени угао код првог троугла
550,
1800, добијамо да а код друго]' 650.
Слика ]0
Зато су углови првог троугла једнаки ОДl"оварајућим у]"}ювим а друго ]' троугла, па су троуглови слични.
Пример
2
В
ВlIСlIIm која ogroBapa Хllf10t11енузи правОУ/ЛОЈ mроуlла gелu тај тро -
а
х
(1)
h
у/ао IШ сличне mроуrлове. Провери.
'
Добиј ени троуглови имају једна -
кс OlЏ'OBapajyћe углаве па су сли-
А
М
С
М
h
Ь
/,
x~ • (1)
(п)
Ь
А
В
У
(11) М
А
Слика]
чни.
Пример
3
Дmио је
DE 11АС
С
У
]
в
ДокаЖll ga је дАВС
- LlDBE.
(сл .
4
]2)
Из [ЈЕ 11 АС следи
LBDE =: LBAC, LBED = LBCA Трауглови АВС и
Е
D
DBE
(УI'ЈЮ1:\ И са IJaралелним крацима).
8
6
имају једнаке одговарајуће углове
L A = LD, L C = L E, LB = L B,
па су слични.
А
С
Слика
]2
ПРJlмер4
Кол"ко је
IBEI (сл.
ТРОУПЮПI! Аве и
12) ако је IЛDI = б.IСЕј = 8.ID81 = 41 DBE су СJ1l1ЧНИ. Зато су њнхове ОЮ ·ОlJарајуће
стравице IIРО1l0РЦI10налне,
наје ВЕ: во= ВС: ВА.
Ако је
IBEI =х, биhе х:4=(х+8):
]0.
И з тога је, према својствима пропорције, ]Ох=4·(х+8 10х=4х+3 2, 6х
= 32,
32
16
6
3
Х= - = - ,
Пример
5
На СЛIЩI/ је АС 11 А'С. ИЗРСi "Уl/ај неl1031lаШе gУЖlIlIС х I1 у.
в
УО'III СЈш'ше -ГРОУ ' ·Л ОВС. ПРlIмеНIt IIроrюрционаЛIIОСТ ОЮ·ОЈ\арајуli.нх страница. Добl1hеш (х
+ 30)
,22 = 30, 14.
(у+15),22 = у , 14.
ОдаlJде решапањсм добијамо х
120
=]'
у
105
=""4. х
в
в А
Слнка
30+х
А
Слика
22
]4
]3
в
Задаци Ако ј е МВС
-
дА'Н'С, да Л11 је МВН
-
дА'В'Н'
16
слични?
В'
( С1l. 15)~
Да тl су ТРОУl'JlOIНI JlРIН,аЗ
()
А
с
I-l
А'
Н'
СлнкO'I
I~
в
10
С'
15
в
5
6
,
v 1---"---'"
I!
12
20
10
л
15 'с
А
Слика
16
v
F
14
w
Израчунај х према подацим а Датим на слици
Q
Сл и ка
t 7.
Е
в
Израчуна; непознату дужину према подацима
датим н а слици
17
18.
10
6
12 л
D
f Слика
18
180cm
5. 600
ст
Слика
19
200ст
Изра'lунај висину дрвета према подац има датим на слици
19.
6.
Према датој СЛlilЏI
20 О IНlШН
поступа к мереља uисине брда 11 изра ' lунај његову rШ СI1НУ.
7.
Колико је висок зид приказан на слици
21?
м'
h 20
9т
т
5т
4т
iOООm
Слика
8.
20
Докажи да су трОУ IЋОВИ на слици
8
Слика
22
СЛlIка
22
СJlИ'IНИ.
"
2I
Резултати, упутства, реll1еlЬа
1.1 1.
а)
9 \6 25; б) 4,7089; 11) т ; 1') 12,5316.
2.
а)
49 9 _ 0,5625; 11) 16 _ 0,3265306122448979] 020408] 6 4 - 12,25 ; 6) 49 16
(мало смо се "наМУ'IШШ~);
г) ~= o,I736T . 144
3.
х
-2
х'
4
4.
(_
х) 2
-, , 5
25 25 9
4
25
-
- <),7
О
0,49
О
0,49
О
1
4 1
" 1
-
16
0,53
1, . 1
64
0, 2809
:;;;
0,2809
149
2.5
6,25
64
6, 25
5.
а ) 112,36 с т '; б) -
6.
а) 33 ;6)
1.
(2,1)2 = 4,41; (2,2) 2 = 4,84' (2,з) 2 = 5,29; (2,4)2 = 5,76' (2,5 )1 = 6,25: (2,6)1 ::= 6,76; (2,7) 2 = 7,29'
64
dm'; 11) 529 dш 2 ; г) 23,765625 ш 2 .
2s
7 8'
1.2
(2,8)2 = 7,84; (2,9) 2 == 8,41; 4 < 4,4] < 4,84 < 5,29 < 5,76 < 6,25 < 6,76 < 7,29 < 7,84 < 8,41 . 2.
(0,2)2 = 0,04; (0,7) 2 = 0,49; (1,2) 2 = 1,44; (1,5) 2 = 2,25; (1,9) 2 = 3,61; 0,04 < 0,49 < 1,44 < 2,25 < 3,61 < 4.
3.
(_2,7) 2 = 7,29; (_2,4)2 = 5,76; (_2,2)1 = 4,84; (_ 2,1) 2 = 4,41; (_ 1,9)1 = 3,61; (_ ],6)2 = 2,56; (_ 1,1)2 = 1,21; (.-{ј,8) ' = 0,64; (.-(),4) 2", 0,16; (.-(),1) l = 0,01; 7,29 > 5,76 > 4,84 > 4,41 > 4 > 3,61 > 2,56 > 1,21 > 0,64 > 0,16 > 0,01>
5.
а ) Решеља су бројеви
6.
ПОСГУILИ као приликом решаваља примера а) -4 и4; 6) -3и3;1:I)
7. @
-3
и
7
3; 6)
7
- - 11 4 4
решеља су бројеви
7
- -4
о.
" ?4 ; 1:1) решења су 6рџјеви
3, у лекцији [. Решења су брuјеl:lll :
5
--
6
"
5 6
1.3 1.
,
gl
116 "" _4; r) E.=~: д)
2.
а) '1,'49
_ '" _ : В)
3.
а) Ј2.56 "" 1,6; б) /з.6 1 = 1,9;
(1)
4.
,)1-' ,ј;
55
= 7; 6)
з'зЈ
\36
1-~·~\; 66 Ј
6)
I~
6
\ 9
7
3
.Гs:29:: 2,3 .
,) 1-'.'.); ,)1-~·~)· 99
5.
а)
6.
,) (_ 3.3). рЗЈ' =135 1 =~5 ; 6) (_24.24). [гr 24 J' =1241=24; 5 5 ,1 5 19 ]9 \]9 19 19
1-0,6: 0,61:
б) I-Ј,3:
\49
1,31; 11) 1-2,3; 2,31; r) 1-],9; 1,91.
,) 1_2..2.). 1 (_,), =1_2.1 =2.; ,) {-з.з}.г" =1з 1=з; ,) {-"ј. и =1-51=5. 1 16 16 V 16 16 16 ,.
8,
,)
{-{),14.~14}.~4)' =1-~I4 I =~I4; б) {-3,27,3,27ј.Ј3,27' =1"'1 =з.27;
11)
{-2,2S;2,25}, ~(-2,2S)l =1-2,25 1=2,25; гЈ {-6,54;6,54 },~ = 16,54 1=6.54.
(1)
~ "" .,/(-2,86)2 = 1- 2.861 = 2,86; б) .,Гј;Ј = J(~Y = ~I = ~ ;
6)
a+b=-2,86+ ~=-2,86+o,75 "'-2,11; ~(-2. 11)2
I
,
п) Ь-а = ~ 4
(-2,86) = О, 75+ 2,86= 3,6];
=1-2,111=2,11;
~З,бl1 = 13.611= 3,61;
3 9- =-2,86-2,25=-S,ll;..j<' 5,]1)2 г Ј a - }b=--2,864
"
9.
а)
1.
ПОСГУШI као у
-5, 11 1 =5.11.
4
0,]5: ],5; 15(): - ; 13
б)
5:
В)
0,3.
1.4 IIPIIMCpy 3 датом
,
x=E,p,qEN,(p,q)=I;
q (3k)1 = }(lј, 9Р
:=
Зq ', зР
у лекцнјll
1.4.
L=з,р1 =3q2,p:=3k,keN, ч'
= ql, q = 3/, /
е N; (p,q)
(p,q) = 1.
2.
ПОIЮElИ IIOCТYIl.tK из IlрСТХОДlЮГ задат ка; уместо броја
3
"Y'HtCГ IIOuahe
o
број
7.
р
3.
Х"" - ,
q
p,q
Е
N,(p,q) '" 1;
p=2k,kEN,(2k)1 =&j~,4P =бqЈ,2k1 =Зql; з60f (2,3) == 1, мора бити ql де.љИIJ са 2, ql = 21, П
I =:
q = 21, leN;
(р
,q) ;?: 2,
4.
Нема, В!fДИ ПРrJМСР
6.
Ј г- 3 ,) ај 1-2,\/0, 9' "4 '-3"1;6)
IЏTO прОТI1ВРСЧИ ПРl"Тпоставци да је (р,
5.
2.
НС),1!1, ВI1Д« задатак
{-->/3, ,/iO}; вЈ {s} с N, {5, О, -
q) = 1.
3.
{I; ,5,(Ј, - т, ),141 с Q
.,Ј25} с Z;
{,Ј6, ii""i}с 1.
1.5 1.
р
р
Т,
d А
2.
1о
Делимо !Iа п једнаких деЛОllа за
11 = 6. р
р
d М,
М,
л
М,
в
2" Делимо на два једнака дела, па половину делимо на три једнака дела. р
1
р
AS = -
2
ЛМ
I 1 1 = - AS= _ . - АВ
3
d А
ЛВ,
s
1
::: - АВ
3 2
в
6 d
р
d
" 30 ДеЛi1МО
на три једнаЈ<а дела, па трећину
делимо на два једнака дела .
А
м
с
в
р
,.
р
0(0)
••
N( !!) 7
р р
щ&.)
0(0)
"
1( 1)
р р
V
,
6.
м (-./2)
0(0)
м
1 \ /(1)
1.6 1.
Ь+(а+с)_( Ь + а )+с_с+(Ь+а)_с+(а+Ь).
2.
х + 5= ..[з,(х + 5)+(-5) =.Јј +(-5), х +(5+(- 5»:< './3- 5,х +0 =..fз - 5,.у:= ..fз = -5 .
3.
а) х +.Ji =..[3, (х +..[2) + (-Б) = ./3 +(-·/2), х +(.[2 +(-../2» = .f) -.Ј2. х +о=..fз 6)
./2, х = .fз - ,!2;
х - 2 +.fs:: 8,(х - 2 +.Ј5) +(2 -.Ј5) = 8+(2 -
.[sJ, х +0 = 10-..[5, х:: 10- .[s .
4.
а) Нс"а јс а ирационалан број. ПрстnостаllИМО да је -а раЦl10llал~н број. Оlща постоје 6ројсви р
11 СЈ. Р EZ, q Е N, Т3ЮIИ да је -п'" Е. . Но то зна'ш да је а = -Р, па 6и а 6ио раlџ!Оналаll 6рој, ШТО q q IlpoTIHlpe'lII
6)
прстпостаllЦI' ШI је а IIраЦИОНМЩ I број.
Не"а је 11 "paЦlIQII:lJtall број. Онда
ПреТllостани.VlOлајС
1. е R . " 1. рщнонаЛ311 6рој. Онда постојс6ројСНI! р 11 (/' Р eZ, q Е N, та"ви да је 1. = f!.. 11
није О,
flll
реалан реl(llflРОЧ(/l/ број бројll
flocmoju
11,
11
.
11
(,
Но,р ..:0, јер није могуће /1а 6уде а · О '" q ..:0. Стога је 1.=Е.= ~, т EZ. k Е N, Щl би (1 бl10 а
1/
1I
раЦllOlIман 6рој, што IIрОТllВРСЧl1 претПОСТ3Fщи ла је а ирационалан број.
5.
6.
k- 2,
x~:> -
] 2' -г..] (X' ''Yг.5)' Тs= 5 \. 5
'
с - r;]Ј' 22 х· ( \'5· "' - r;, х"I = ""7'= _It: ' х= г \'5 \'5 ,,5 ,\15
а) х .,Гз+2=7 , х· ЈЗ +2+(-2)=7+(-2) , х· Ј3= 5, х·(,Гз·Тз)=]з ,х ,] =Тз , х= :ј; . 6) 3х--!2=6, зх-,Гz+,Ј2=6 +/2 , 3х = 6+Ј2, Xr3 ' ~)=(6+J2).~, •
х.] = 6+,,,'2, 3
6+ ,,/2 .
х= -- ·
3
Х[\/5 ' \15~J=(-])' ,}5~ o 7. 8.
9.
3) х(х - ])
(1 +
=
О,х = О ИЈIII х-1
'1 +«-0)
= О,х=о
IUlH х = ], па су то
6pojClllt
О
x·]= -i ,
] х=- -=
+( -Ь))
+ ( -(l)))+(-Ь)
НС"а јс а Е R, а > О. ЊeI"OB реЦII{1РОЧЈН 6рој _ постојн, реалан је 11 важи а .! = 1 . Кад бll
"
број, ttрЩIЭВОЛ а, 1. био 611 Hct"aTHBJH н не би бlfО jel\HJ"
"
бll а.! '" О , mmо није MofyJit:.
.
IUllt 1.
= «(1 + Ь) +(-(1) +(-Ь) "" {Ь + (1) +(- (1) + (-Ь) '" {Ь +{а = (Ь + О) + (-ь) = /1 +(- IJ) = О.
erJTllllaH
.Ј,
\,· 5
].
1.
6110 11-
"" "
Кал. 6и _ био jegllflK О, било
"
10. Лко је х?: О, онлаје I х I = х, II~ lIаЈЈаЭIIМО реалаtl бјюј х, та"аВДЈ је х '" 2. Ако је х< О, ондЈ је I х I =-х, [[а је -х = 2, н HaJl33H;\IO реала ll број х, Т
11 .
X~O, X < ]jX < O, -х< ],X >- I.ДаК}lс,мораБИТllх >-1 их < I,ОДНО(НО-l <х<
12.
а) "с о б) ла;
11) да; 1') дај д)
дај ђ) нс; с)
Л(-2)
14.
IIC.
0(0)
1.
а) НС; б) "е; В) да; 1') да; д) не; ђ ) lIе.
13.
1(1)
ЩfЈ
• •
~$$$S$S$~$S$SjS$~$S$+$S$·
l.
-2
•
"'S$SШS$S$S$S$',ШS$S$$S,' 2 -2
.)
-2
0(0)
-./2 - 1
_1 Ј
ђ) СЛII'tIlО;
е) слично;
ж) слич но.
•
1(1)
•
•
1.7 1.
а ) (2,Ј2)1
.(../2)2 =4.2=8=(.Ј8)\ J8=2'n;
=22
(2./3)2=2 2 . ( Ј3)2 =4·3= 12 = (,л'2( m=2.Ј3; В) (J,f2Y =3 ·(,f2Y =9.2= 18=(Ji8)\ .fI8=з.Ј2.
б)
1
2. 3.
а) (4 .Ј3) 1 = 16.3 =48~72=(" '!72 )\6) (з,16)2 =9.6=54*72=(,tnY;
'Ј (6 f, )' =36.2=72= ( Ј72( 4.
;1.) Jisз =
F5i::: ,;3 . ,,'5ј;
БЈ
11) .J2i6=~Зl.22 .3.2 _3. 2-...гз:2 =2
5s=M=,[5·["
1,)1%= ,116-6= ~= 4. J2 .
/3.
1.8 1.
Ј3 = 1'73 ....
3.
-2.4]8 = -3+ - + - + -~.
5.
2.
5 10
8 100
2 1000
а ) Греlllка је мз ња од О,];
., )
грещка је маља ОД
0,001;
< с < 7.38 + 0,05
JiO = 3, 16 ....
4. Поступи као у HPI!MCpy4. Уместо Цllфарз I I«0PltC1'1I цstфрео.
6)
грешка је мања од
г) грешкз је мања од
0.0]; 0,0001 .
7,33 < <: < 7,43.
7.
7,38 - 0,05
1.
а) '=~9 1 +]21cт_\/8 1 +144cт _ ..J225cт_ ] 5cт;
2.1
6)
с = ,1]2 + (..fз)l dm
=
~I + 3dm = J4d m =2dm,
=
2.
11 ..)202 - 121 сш = ~400 - 144 ст = ,J2s6ст = Ј6ст.
3.
а) с_ ~1 21 с т _ , f256+144cm _ . /400ст . -20 ст ; 0 - 48 c111 6)
4.
ћ :~302- 1 62cт =-J900-256(m=.J644cт
а) Акосутодужнне катета, Оlщаје с = ~25+ 16ст
O =(46 +-ЈШ'сm.
41 ст ; 0 = (5+ 4 +,f4i )cnl. Акојс ft"AH3 ОД 'Ыџ
= ...
Ј;ИПQТСНуэа, то мора 6ити ДУ-Ао:3 од IbИЈ;. Тада је Ь = "'~ ст = '/9ст '" Зеm: О::: (5+ 4 + 5 )ст .
Ако су то дужине катета, онда је с = .,./<,[s)1 +(-fi)1 ст = ~5+ 7 ст =,fJ2 ст; 0= (,fs + fi + ,f\2 )ет. Ако је једна ОД љих юшотеllуэа, то мора бllТI! дужа од ЉИЈ;. Тада је
6)
h= 5.
Ј( /Ј)!
_(,fs)l
ст
= , 17 -
5ст = ...f2 ст;
0= (.Ј7 +.fs +
.Ј2 )е", .
lI=b,a+b :: 2a = 12em,II=6em; е=~62+6lсm=,IЗ6 ·2сm = 6fiсm.
6.
а) x =~ cт;
~
6) 1= \15.76
С!n.
2.2 1.
3.
2. а) 52 + 72", 25 +49 ; 74 ~ 81 '" 92;
а)8 2 +6 2 ::= 64 + 36 : 10О = 10 2 ;
+ 352 '"
+ 1225 '"
6) ]2~+ ]52", 144+225 = 369 * 324 = 182.
б)
122
а)
16 + 499= 4925 = [')' . !lр:ШОУГЛII; 7 = 49 "7 ,Јесте [ :;' Ј' + (3)'
144
1369 = )72,
6) 2,42 + 4,22 = 23,4 'F- 23,04 = 4,8 1 ,lНljC
11раnoуГJIИ;
Н) 62 + 2,52 = 36
[2")' '
+ 6,25 = 42,25
г ) уоч;:шамо да је: ~ = 64, 5
20
= 6,52 =
!? = 85 4
20
јесте праrЈОУГJlИ;
, 23 = 46 • Па је најдужа од задаПIХ страница ЛРУ I'З од IЫIX. 10 20
Оrщ може 61.1"ГИ х,шотеll у.щ. П рОlJсрапамо:
, па троугао није !lраIlОУГЛИ.
2.3 d , ../Z. 11 =--.=
12
48
О=4а= -г ст
1.
d = a.
2.
Jl
3.
Троугао Аре је jCдH3KocтpaНlI'IJH; стога је (1
(12
=
012
а =с ст,
(/1, &_ './289
,2
"
225cm_ .f64 cm_8cm: 0 - 2a+2b - (2.15+2.8)cm-46cm. 2Ь =
12 ст,
ОДЗКJIе је Ь
С
"
Ь
30· 30·
•
"
8 Ь
р
,.
= 6 ст,
Jd ~ _/; 2 '" ,/144 36ст = Бв сm = Ј36 · Зет = ..Ј(;1:3 ст = 613(111'
D
А
d ':
P=28.fi ст!.
5.
1:::
z.J3 ст.
(l
=
6Ј3 ст.
2.4 1.
Из
rlp31;1oyrJlor троyrлз DAS. због лs '" ( 12--4) ст '" 8 ст,
5/Ј
'" Ь '" 6 ст, бнће
d = ..ЈЛS 1 +501 = Јв! + 61 ст = ..fIOOcm = IОст.
Ако C/!11t
113
Ilретходног задатка 06р"смо за
90",
4 ст
С
5
4 с П1
8
d
8,m
А
2.
D
6k1ll
до6иhемо
С1ЩКУ која [Јриказује !]СllШ'l t'ње нашег II.mСТИIIКЗ,
Hm
Hm
Pacтoj~ll,.e између ПОлазне те'lке Р и крајље Т3'1КС К је
6kш
РК :: './82 +61 km = IOkm.
l'
12 kЛ\
"т
к
3.
ЛВ
= 10
с т, 8О
= 12
меl)ус06110 lюрмаJlltс
11
ст. Дllјагонале ромба су
лвs пра80уГJlII с нравим углом код тсмснз ДУЖIIIЮМ катетс
80. а
8s
D
полове се. Стога је троугао
5
"\--_--.., с
И
јеДјlаком половини днјаroнале
ДУЖШЮМ ХIШОТ('Нузе АВ једнаком 10 ст.
Стогаје .!.лс =\fI0 1 _6 1 сm, 2
ЛС
=
16 ст, lIа је llOUРШlll1a
AI-----_~ 8
4.
Како је угао код темена А једнак 60 , ТРОУI ЗО О
А8О је јеДIНIКОС1'раЮI'13Н . Зато је ВО ст.
ИЗ
';,', -_ _ _ _ _ _/1'с
= d1 + 5
праllОУГЛОГ троугла Аве рачунаМQ
катету
А5 [= ':')
i =Нf)' =FШ'
Дакле, Ј ј = s.J3 С!n, Ј 2 = 5 ст, p=dt·d2=2sJ3 cm 2. 2
2
8
5.
360.· /Ј
+ ,1 =
ДУЖНllе
10
Сlll
с
< 12 С'11, једна ке суседн е crР
5 СI11 lIе МОГУ формнрати троугао са лијаГОl1алом (120 3ато је ,12
оса Сl\метријс дслтонда, а једнаке суседне страиищ.' дужине по
,//
,1,
5 ст т т фОРМ'1рају јеДН:lКОКРШ:<И ТрОУ":lО DBC. Ако јс Р прсссчна Т:I'lка дија- ТЈ (----'~_t.,f----'}, ['0]1(1.113, 113 праН(lУГЛ(lГ ТРОУГЛ:l Р8С добllјамо да је дужина његоне l'
Юlтсте РС =
(/1 -
((~' )'
'" = .,}51 - 4 2
ЛУЖIl1 I З ДУЖII АР= (12 -3) ет
'" 9еl11.
СI11 =3ет Одат)!с СЛСДlI ла јс
Из г. ра80УГIю,·троугла АВР доби
јамо да је дужи на ЊСГОЈ\С ХИlJотеиуж' ЛВ, а то је тражена дужи·
Н3 ,'1руго г пара jeIIH3Kllx crрающа , јеЈ1.Н:lка
Ь = .,1'97 ст . Да је 6шю 6.
(/
Ь= АВ '" \,19 2 +4 2 ст,
= 7 ст, Ю,1али бисмо ДljЗ реи.сњ;! . 3ап по?
А
Дужнне II YГCll3 у Нрll;! три случаја једшке су з6I1РОlIима дужина ДУЖII које ИХ "раде:
,
] о а, = АР + РВ =(2 + ./34 )km 2" Ј1 = AQ + QB = (
;!
у 'rCТllpToM
\rt3
+ 5) km
CJrY'rajy jeAr.aKa је ДУЖJIIЩ
Хtmотеиу
2
зс АН "р,ШОУГЛОГ троугла АВТ:
40 ({4 = АВ =
.JI8 kl1l.
,
~,. f"§~::::::=1--1 ~ km
р
2
2.5
о О) I '( 1) ћ .гзГ4 ,гS Гб 2
2
2.
l-.J5
/
О{ О)
1\ 1{
Ј
}
2 Г>
Г6
Q
1" 5 kш
3.
1\1\ - 3 + ИЈ
-,
-3
4.
-,
а)
]] =9+2=32+(.[2)2,
ој
23=25-2 =5 1
1(1 )
0(0)
Ii
Щ=~32+(..Ј2)2; б)
,Јј
.[ј
17=16+1=41+ 12,
"7=~;
-(.J2p , .fi3=~5Z - {fiу . \
~
t ,г,
\
\
ј о (О)
I ( 1)
./2
,
7.
r----- t--
3 јЈЈ
4Л7ЈЗ
S
\
1\ \ \
,
0(0)
6.
~
-
~ ,гј
-------------,
/(I)ЛД.fS
Та'Јан је одгопор 110Д а ) КОIIСТРУIIШНМО I1рПО cJ-tмстрa;rу дужи
05,
з.аПIМ
јСДltOкокраки лрапоуглJt троугао ОАЛ1 чија је Хll110тснуэа дуж ОА н,егоnс су катете дужине КОlt струишемо ТЗ'iI(У = ОМ =
1. 1 6ројСIIне осе тако да је 01
м
1.
0(0)
А(
12)
3.1
3. а ) )4 = 3 · 3 · 3 · 3", 8 1; б) (--4)3 = (--4) ' (--4 ). (--4) = - 64; в ) д)
4.
(0,2).\ = 0,2 . 0,2 . 0,2 == 0,008.
а) 45 = 1 024; б) 113 = 1331; В) (_ 5)1 = 625; г)
lЈ
,
1
1 . _ 1 . . =-,д) (-Q,2:ЈЈ'=- - ,ђ)
--
2
5.
7. 9.
а)
215;
б)
а)
8; 6) 9;
17; 11)
~ ; г)
6. а) -1; б) О; В) 2.
576.
576
В)
[6 - . 2s
Како је 23 +)2 = 8 је
м
32
8.
+ 9= 17 = 1· 17 и
52 + 25 = 32 + 25 = 57 = 3 · ! 9,
а)
432;
б)
2 000.
како је 17 ПРОСТ број, то ј е npIH1 део доказа З311ршен . Ошчн()
IЏП) ~-IНачи да је
57
QIожен број . Такође број )2 -- 23
= 9 -- 8, а I Hllje
ни просг ни СЛQжен број .
10. а) l eДH~t(Ocт 62 + 26 = 36 + 64 = 100 = 102 је таЧН
11. а) 73 '" 243 < 2187 = з7, па неједнакост није тачна; 6) ]1 2 = 1 > _ 1 = В) (--4)5 + (_5)'1 = - Ј 024 + 625 = - 399 < О, па једнак о\.'Т није та'ша.
+ 16
(_ ])13 па је једнакост тачна;
=2з' 32 =25, Ј28 =27 Н 5Ј2 = 29; 11) ЈаО = Ј0 , Ја 000 = ЈО\ Ј 000 000 = 106.
12. а) 8
2
13.
а) 84=4 096, Ј
728
= Ј2; 6) (- 5)3 =- Ј25 > - 243 '" (- 3); 11) ( . ../2")12= 64 = (8)'.
14. а) 22 + 23 = 4 + 8 = ]2
* 32 = 25;6) з 5 _ з4 = 243 -
8] = ]62 ~ 3; В) 44 _ 43 + 42 = 256-64 + ]6 = 208
$64=4'.
3.2 1.
2.
д)
210 ' 26 = 216; 6) з4 . з7 = 31 1; II} (--4)" (--4 )3 = (--4)13 ; (_9)10, (_9) 11 . {_9) 12 = (_9)}3.
а)
(- 2)1 = (_2)3 ' (_2)4 = - 8' 16 = -128; 6) (_3)4 == (_ 3)2. (_3)2 = - 8];
а)
г)
.
73.74 . 75 = 712;
В) (-{),4)3 = (-{), 4) . (-{),4)2 = -{),064; [) (-~ Ј = ( _~)2 (-~I = д) (-Fз)' +Fз)'(-Fз)'(--Гз) ' 3.
,333,27
а) једнакост
23'25 == 28 ј е
В) једнакост
(-{),2)4. (-{),2)5 = (-{),2)9 је ТЈчна:
г ) једнакост
таЧН Ј; б) јед нак о ст
'5 .(3)' '5 (3)". '5 ('35)' .(3)' =
32 '
(_5)4 . (_5) 5. (_ 5)6 = (_5)15 јеТЈЧН3;
НИЈстачна.
5.
Ни су. Прва јешtакост је тач t tа I lа пример за х наЈ<ОСТ је та' Јна за х
6.
=
О, х
= ], х = - 1, а
=
О, х
= 1, а IlIIј е та'ша = -2, х = 3, ...
а)Ако је34'3~=3",о ндаје3"= З7,l t ајеХ=7;б)аЈ<ојех3'
•
"
(о Е R,"1 .1I1' .... lIt е N).
х
= 2,
х
= -3, ...
а
APYI
јед
није та 'ЈНа за х
x" = 256 = 2~,ll aje х=8.
xS=
"
3.3 Ј.
а)
210: 26 = 2\ 6)
11.) (_9)10. (_9) 11: 2.
а)
з9: з5
= 3\ в) (--4)7 : (--4 )3 = (-4)4: Ј') 73·75: 74 = 78 : 74 = 74;
( _9)Н'"
(_2)7 : (_2)3 = (_2)4 =
(_9)21 : (_9)9.
16: 6) (_3)11. (_ 3)3 = (_3)3 = -27: iJ) (-0.4)1 3 : (-0.4)11 = (-0.4) 1 = -0, 16:
,ј НЈ'НЈ' = НЈ' = 3.
213 : 23 = 2 JS '11: 26; 6) једнакост (-5) 11 : (_ 5)4 _ (_5)8 је та'ЈНа: 11) јСДllакост (-0,2)8 : (-0,2)6. (-0,2)2 = 0,04 је тачна:
а)
,ј Ш' ш' = Ш~
••
8
Како је
•IO
(_3)10: (_3)7", (_3)3 = -27,
а
28:
2~
= 23 _ 8,
то је
(_3)10:
(_з)1
_ -27 < 8 _ 28: 25.
,.
6.
Како је х 12 : х' = х9 '11: х4 бројСIIС
ItIICY та'!нс. а
1I
за х
х 18 : х!' =
=
x l2 "" х', једнакоcrи
су та'l не само за х
7.
а) з9:
2.
з)47 '0,257 = (4·0,25)7: ];б) (-3Ј" {јУ = (-з·јЈ =(-2)4= 16;
3" =
= 1, док
за остме ремне
О нису дефинисане .
з9-ж=з 5 .llаје9_х=
5. односно х = 4;
б)
71 : 7"= 71->: = 49 =
7 2 ,даљеје7_Х
3.4
п)(-О,6)', I(},=(0,6· ]0)3= (-6») =-216: г) (_2)~·r_~YOO9 = r-2.r-~11:I009 3.
••
а) JeAltaKOCТ
5)·63'" 30 3 таЧllа је; 6 ) једнакост 74. (_5)4 _ (_35)4 о) једиа Ј
,ј
б)
~
24
ItIЈје тачна:
=63=216:
(4 6' ·6' _·9)Ј _ = (6·6») __ = _ _ (2·)' 6' 6Ј (4· 15)4 = (4·)·5)4 )4·44·54 (8· IOP (2· 4 ·2·5)2 2: ·42·22·52
25=2 025.
=] .
= 2.ах= 5.
6.
Како је ~
.т
'"
(ху)5 И како је (ху)5 '"
с ве реалне СЈројевс х 11 у. ху
7.
(xy) IOтачна је
је и (-x)~ · (_у)8
ако ху = О IVIИ ху = (")')И
=
=
1,
ш једнакост не важн за
(")')16 само ако је ху
'"
О. ху =
1 ИЛИ
= - 1. Друга једнакост важи само З3 неке вредносги х И у.
а) Из
6)
C.JI!1'lHO
85. 7 Х = 565 следн да је 85 .7''' = (8 . 7)' = 85 . 7', Ila је 7 Х = 75, односно х = 5. 49. х9 = 2119. ТО је 49 . х9 = (4 . 7)9 = 49 . 79, оа је х9 = 79, односно Х = 7.
Како је
3.5 1.
а ) 610 : )1 0
= (6: ) 10 = 2 10 = 1 024; 6)
гЈ)8 . 48: 6 2.
R
'"
(3 ' 4:
154 : )~
= 05 : )4 = 54 = 625; 11) (_ 12)5: (--4)5 = )5 = 243;
6)~ = (12: 6J~ .: 28 "'- 256; д)
З)47 :27 =(4:2/ = 27 = 128;
6)
(_ 9)7: 157 ·57 =
(~y:(~y =2Ј =8;
(~: '5Ј
= (_ 3)7 = - 2187.
11)(-0,6)' : 0,22 = (_ 3)] =_27;
г) (_2)J : (_ ~Y =4 Ј =64. 3.
а)
24] : 6' _ 4'.
Јсднакосг није
в)
(--{),2)5 : 55 = (- 0,2 : 5)5 otl. JeAH(lKOCT
Ta'lHa; 6) 7(f: (_5)6 = (70: (_5» 6 = (_ 14)6 = 146. Iшје Т(lчна; гј
Једнакост је тачна .
27 . 67: 47 = (12: 4); = ) 7. Једнакост је тачна .
4. 5.
K(lKO је (_20)5 : 55 = (--4)' = - 1024
6.
Једнакости
7.
XI5 : y J
и како је
10; : 57 = 27 = 128, то је (_ 20)5 : 55 < ЈО; : 57.
=(;)5 и Х 6 : У6 =(;) нису увек
= 189: 69 = з9, П(lјех = 9: 127 : х 7 = 67 СJlеди дајех 7 = 127 : 6; = 27, најех = 2.
<1) Ако је 189 : 3-" = 69, ОНД
6)
Из
3.6
2,
3,
(2 5)2 = 2 10= 1024>1000 = 103. (( - 5) .)3 (_ 5)12 - - - " - - = 1; 511 (52)6
а)
,)
Ta·IHe.
(,iJ S)4 (.Ј27' )'
5.
Кзко је
(.JS))IJ: (
/51)1)
=y~ И (Бs~ У
= ( Ji2s)IO
=( .J12sZY
=(125)' = (5) )'
=5[~ , дати
I-праЗII су јеДIlЗ1(II.
.
~,
~
(3~)""
з1 60,
-- = -
~~
~
З1"'"
}16
= -- = -
.
8.
Како Је
••
Израз (х2) Ј = Х> 11 (х')2 = ха. Ахо јех == О I-ши l х
== 1,
BpeAIIOCТ!1 датог Ilэраза не :-IаВII(I1 од ПрllроДноr' бр()р
I '" 1, О l щаје;(l = ;(I. AКQje I х I >
11.
1. Оlllщје;(l <ха
и акојеlхl < 1. ОIЏЩjc;(l > х",
10.
3.7 1.
а) 4'
2.
а) jeДТl aKOCТ 7 Ј
+ 44 = 64 + 256 = 320; 6) 54_ 53 + 52 = 625-125 + 25 = 525; 11) 6.1_ 62 + 61 = 216 - }6 + 6 "' 186.
није 'Гa'IHa. б) Ј.
а ) Једнзкост В ) jeIIl 13KOCТ
4.
а)
+ 7~ = 7 Ј ( 1 + 72) = 50 · 7.1 = 50· 343, 79 = 74 . 7) = 2 401 . 1680; 7) + 5) <]9. Једнакост 97 - 9~ = 94 (9.1_ 1) == 9 t . 728 И 9 Ј = 729. Једнакост шrје та'lиа.
114 + 64 :: 174 IНlje Т3'1 l lа; 6) једи акост 57 - з7 }1 + 42 + 121 = 5! + 122 = 1}2 јесте тач на.
'" 27 није тачна;
6·24 + } . 24 _ 7·24 = (6 +} _ 7) . 24 == 2·24 = 2$ = 32;
6)4 , 3' - 5·3$ +6·З S =(4 - 5 + 6) · 35=5·3)= 5·243 : 1215; В)
7 . 44 _ 9·44 + 6 . 44 = (7 _ 9 + 6) . 44 == 4 . 44 = 1 024.
5.
а)}· 2 Ј +5' 2 Ј = (3 + 5) · 2.1 = 8· 2.1 = 2 Ј ·2 Ј = 2 Ь , 6)4 · }4 + 5 · У = 9' 3· = з 2 . з4 = }6; В) 44 · 5~- 19·59 = 25·59 = 52 ·59 = 511.
6.
а)
21) + [2·2 [1 = 22 . 211 + 12 · 211 '" (4 + 12)·211 == 16.211 = 24'211 = 2]5,
б ) 6·}9 + з 10 "" 6.}9
+3
. )9
== 9.
з9
==
}2. з9
== }" < )1 2,
11) 1I '46 +20'4 S = 11 ·4·4)+ 20·25"'44·45 +20·4s= 6
7.
а) Како је
33
х = 1, il
+ х' = 2 > 1 = :/>, једнакост Нllje тачнз З3 свак и резла ll 6рој х; + 5· = 1 + 625 == 626 ~ 1296 = 64 = (х + 5)4. па 1111 083 једнакост Нllје 'Гa'lНa 33
б) СпИ'lно, 33 х :: 1, х' свако х .
3.8 1.
а) (х+4):0,25; 6)(a - 4) · (3 · Ь+S); п)Т + Х + l.
,)
2.
.,
0.25
5 ,В) Х
"
6)
Дато дрво карактерuше израз х · х
+ (х - 6): 3 ::= х' + (х - 6) : 3. Ако је х = - 3, ВреДНОСТ израза је
9 + (3 - 6) : З = 9 - 1 = 8.
3.
Бројевна вредност аше6аРСКЈ\Х шраза ј е: а) х3 В} х' + 1 =21 +(_3)1=4 + 9 = 13; г)
х
2
У _+ _
2Ј
=:
= 8; 6)
r-3 .
у
= (_3)1 - 3(- 3) = 9 + 9 = 18; 1 7
=(21 _ з) : {( - 3)2 - 2)=1 : 7= - ·
уl - х
4.
Лко ј еА = Х + 3!1 В =y - l , Оllдаје: Л +В=х+3 + у - 2 = х+у + I = 3;А - В=х + З-у + l=
- у+5= 1;Л .В = 5(y - 2}=8+S= 13.
х
5.
Ако је А - Б= О, А
6. 7.
+
oJlllaje А
3)(у
=:
- 2) = 2; А : В
В, па ю Л
+ 8=
=
(х
+ 3) :
(у
- 2) = 2; 4 . А
+5.
В
=
4(х
+ 3) +
4хслеllИ А = В = а. Тада јеЛ· В = 2х. 2х = 4х' и
: В = 2х : 2х = ] (х ":1: О} .
а)х=О; б) х - 2 = 0 IUlИ х=2: Ако јеА: В
= 2, ОI!l1<1
у. Тада је А = 2у или -2у и А
-
В
=
"" -
јеА
II} lIеФJlнисанјезаС[lакореалнох, јсрјех' + 8>ОУl3ек.
у или В А
8.
(х
= 28, па
2у - у = у илиА -В
Вредност ра3Јюмка
юЛ· В = 2· Т, следи да је 2В. В = 2Bl = 21, па је 82 ""
+ В "" 2у + у =
3у или А
r
и в= + В = -2у - у = -3у. СлИЧIIО је и
= -2у + у = -у.
је О, јер од
УlIотребљених слова једно мора имати вредност О. То није
10
lIијеДl10 СЛОIIО нз имениоца (јер тада раЗJIОМэ.к
Ile
би био деф юlJtсан) , n ећ неко слово из бројllО
ца. Због TOl'a је предност ра~'IЛомка О .
3.9 1.
а) -7ху,--О,6а; б) \,ГЈа 2 Ь, -fiz Ј •
2.
ПОJlННОМII су : а), В),
3.
э.) х'+2"? + 4; иху+2х - 3у + 4;б) ~;[.)
r) 11 д); мо\юм и су а) " 11) .
6х -7у
4.
2а+3
АкојеА = 3..?, В = -5х, С=8хз, D= - 17,ондаје : А+В = З"? - 5х; D+C= - 17 + :J; C + A=8:J + 3.~;A + B+C=3..? - 5x+8:J; B+C + D =-5х + 8:Ј - 17;С+О +А = 8:J - 17 + Зх2;А + В+С+D= З..? -5х + 8х) - 17 .
S.
Ако је А
= 5х
и В
= -2у,
Qидаје А 2 =
А +В = Sx-2у;А2 - В "" 25х"
+ 2у; А
Sx· Sx = 25х2 ; А· В = Sx· (-2у) = - I Оху, В2 = = 5x - IОху; А· В + в 2 = - lOху + 4f.
+А · В
(-2у)( -2у) = 4у;
7.
8.
DIII'IIII I МОНОМII су: А 11 Е; П 11 О; С
а)3х; б)х-3;
1)
11 F.
х·х - х+З=r - Х+3;1')3Х 11 Х.
9. а) 9- 2х" +xS-7r + 3х= 9 + 3x-7r - 2f + xs =x3- lx" - 7г + 3х-9; б)91_зl_6+4у IО - 171 + 23)' = -6+23y+9r -171 -з1 + 4уlO = 4y lO-зt- 17у +91+ 23у - 6. Збир l(оефНlЏlјенз1'3 д;;IТIIХ IЮЛlIнuма јс 4. OI\IIOCIIO 10. 10.
Тражеllll ПОJlIIlЮМ је:
5(/5 _ 4114 + О . (13 + 3111 _ 2(/ + 1 = 51,5 _ 4а" + 3a 1 - 21' + 1.
3.10 1. а) 5х + (- I2x ) + 8х = 13х - 12х = х; б) _3а 1 + 6а 2
2.
1502 _ - 12a1 ; В) ~!Т
-
+ 7а!Т +
14а&2 - Isn&2.
а )А+ В _7ху _ 4ху _ 3ху;
6) A-B - 7xy-(-4x)' )-ll xy; 11) 2А+3В - 2 ' 7ХУ+3'(-4Ху) = 1') 48- 5А = 4(7ху) - 5(-4ху) = 28ху + 20ху = 48ху; д) -6А - 78 = -6(7ху) - 7(-4ху) = - 14...:y.
14ху- 12ху= 2ху;
= -42ху + 28ху 3. 4.
'ГраЖСНlI МОНОМ
N је
Ако је Л
_ -9у, Оl1даје А
_
5х 11 В
О, јер 33
N-
О слеДil М
+ В = 5х- 9у;
4А -5 8 = 4(5х)-5 (-9у)
= 15x-18y;
+ О-М.
=
20х
А
-
В
-
5х-
(-9)') -
5х
+ 9у; 3А + 2/Ј -
3(5у) +2(-9у)
+ 45)'.
S. А + В = 3г - 2х + 1 + 5х! - 6х: + 7 = 8х} - 8х + 8; А - В = 3х! - 2х + 1 - (5х! - 6х: + 7) = зxl-2х+ 1- 5.~ + бxl - 7 =-2х' + 4r -6. 6. А + 8 = 51 - 61 + 71 - 8у = 51 + 1 - 8у; В + С = 7"': - 8у + 9у - 10 = 71 + у - 10; А - 8 + С= 51 - 6r-(71-8y) +9у-10 = 51 - 61 - 71+ 8)'+ 9у-IО = 5y'-13y' + 17y- 10. А + 2в - зе = 51 - 61 + 2(7},z - 8у) - 3(9), - 10) = 5уЭ - 6},2 + 141 - 16у - 27у + 30 = 51+81 - 43у+30.
7.
КомyrаПIJЩОСТ 11 аСОЦllја Т ШIIIОСТ са611рања IЮЛlIнома IIPOIICТII'le них
8.
113 ОШ'ОflарајућllХ особlНl:l
реал
6pojell3.
Гlостојll. То је IЮJUIНОМ
N = О, јер 33 611ЛО
кој»
1I0)lllllOM 1)
I;I;IЖII јед»акост Р + О
=
Р.
9. Ако је Р = -4(/Ј + 302 -211 + 2 009, онда је Р' = 4а Ј - 3а + 211 - 2 009.
'
10. а) Л + В = 9."" - 8г
+
7х
- 6 + ).2 - 5х + 10 _ 9х3 - 7:? + 2х + 4, а супротан пOIllНlOM је -9Х"' + 7ЈГ - 2х - 4: б) А - 8= 9r'-8x.2+ 7х - 6 -(r- 5х + 10) : 9-"" - 8х.2 + 7х-6 -ЈГ+ 5х- 10 = 9-"" - 9Х"' + 12x- 16, а CYl1potal-l IЮllliI l ОМ јс - 9r' + 9xl - 12х + 16: В) 28 -А = 2(:? - 5х + 10) - (9-"" - 8х2 + 7х - 6) = 2х' - 10x + 20 - 9-"" + 8х} - 7х + 6 = - 9r' + 10x! - 17х + 26, а 11011111-101.1 СУIIРОТЗII lю611јСIЮМ је 9х3 - 10xl + 17х - 26.
3.ll 1. 2.
а ) О,2·15 = 3: б) -4·зr =- I 2х'; 1
СТСШ'Нl I МOIlQма: 7а"/), _3а /)Ј, 8аЬ\ - llа)&2,
5,5
3.
+ О =5.
ГlpeMa томе,
CBI1
r:
8) 5а. (-7ат) =-3Sn 2
г) О.6ху· (- 25ry') =- 15х'у'.
2)(15 су репом 4
МЩiQМI1 и~ају степсн
+ 1 '" 5, 2 + 3 '" 5, 1 + 4 = 5, 3 + 2 =
5.
л ... о је А '" 4х 11 В = 5у, онда је: а) ЛВ = (4х) (5у) = 20ху; 6) А1Ј./ = (4х)2 (5у) = 80ry; 11) Ан 2 ::: 100 xr: r) A l B2 ,. 16.>.2 . 25у'оо 400.~1. СТСllеflН доu1tјеlllfХ монома су рсдом:
1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, I + 2 = 3, 2 + 2 ::: 4. ПОШIIIО.\{ А8 - А 2 8+ Ан2 _А 2 в 2 = 20xy-80xly+ lООxl400xlr·
•• 4 lIb 1 . ( _9 a1b ] ' AB J=_
3
4 аЬ 2 · 729 а"ЬЈ = 243 а 7 Ь ~ .СВJtМОIЮМИlIма)У . Сl'е!Јен = -
2
3
8
S.
Доказ про>tСТ!lЧС 113 аСО1(ијатИIIНОСТН МНQЖСЊЈ реалних бројеllа.
6.
Не постоји. На пример, З3 МОIIОМ А
7.
= 3т О.'1 гопарајући
израз би био
А' =~, ~m! А' није МОНОМ .
Како је А m 8" = (3x 1 )'" _(_ћ· Ј ) " = 3",х 2 ," _(_2 ) "х Ј о = З"'(_2)"х" m +Ј" ;-Ш3'!It да
IIOCToje
12.
2
две МОЈ"ућносги: т
II1]]И т
= 5, 71 =
3х
,
ТО је 2111 + 311 = 13. ТО
= 2, rl = 3.
3.12 1. ЛВ == 2х(3х + 1) = 2х·)х 2х - 2 It Аве = ( ЛВје =
+ 2х =- 6т + а; АС =-
«(ix2 + 2х)(4х -
+ ])
а) 2у(3у - 4) - у(6у+ S ):=-13Yi
4.
Доказ nроистичс из МlIшкења ЛОЈ\I1IНЈма (а
5.
K
6.
Доказ пронстичс И:i чињенице да је (а
7.
л l _ 4Л+3 = 91?+12Ь + 3 .
8.
Из(у-3)(у+3)+8=0,слеДJlдајеу2= I ,Hajc/= 1.
9.
Иэ (а
+ 2)(а 2 -
2а
6)
4х
=-
+
1)(4х-2)
=
lи -
24х' - 4Т - 4х.
х(у+6) - у(х - 7 ) = 6х+7у.
+ 5)
+ х + 1) = XI- 1, ПРОИ:ИЮД
+ 4)
+ вх2 -
+ 911 - 4.
3.
=
За} _ 14а 2
12х"
(3а 2
10.
(а - 4)
2х(4х - 2) =- 8 ..:' - 4х; вс=- (Јх
=- 24Х> -
2.
-
2а
2)
и (а2 - 5а
+ 25).
има степсн 3.
+ 5)(а + 4) -
(а
= 8,5 слеДII да је а} = 0,5, []а је
+ 2)(а + 7) = 6.
.
(I~
1
: 0,25= - . 4
а) А _ х,В _ 7х_8; б} Л_у,В_ х-9 .
11. Г!ОВРШlIна коцке је Р , = 6xl. ПОВРШlIна квадра је Р1 = 6х2
- 2,
Н;! је ПОВРШИН
од Iювршине коцке.
3.13 1. а) xl + 12х
+ 36; 6) 4(12 + 20(, + 25;
2c~ - & . ./2 + 9; д) 49х! + 84ху + 36у2 .
2. а) (x + 7)1-x(x-8) = 22x+49; 6) у(4у+3) - ( 2у -5 )2 = 23у - 25. 3. а) (х + 5ј2 - (х-7)(х - 3)=20х+4; 6) (2у_3) 2_ 2(у+ l)(y +5) = 2у2 - 24у - l. 4. а)(с+З) 2 +(З - с) 2 =18+2с2 ; 6)(5d_4)1_(4_5d)2 = 0. 5. Доказ "РОИС1"II'lе 113 'lIIњенице да ј е (311 - 5)2 - а(9а - 30) = 25.
6.
Како јс (2х - 9)2 + (2х - 3)(5 - 2х) "" -20х + 66, то 113 -2Ох + 66 '" 106 CIIСДlI да је;( о:: -2.
7.
Доказ IlpolKТlI 'Ie 113 Чllљеll н це да 3з С8аки peiIJIНlt 6рој II II3ЖII jCAll aKOCТ (-а)2 = а 2 .
8. (x+y- I )!=Т+Т+ I +2ху-2х-2у. 9.
а) Р =х
+
10 нтl Р -- х-IО. 6) р_ 2а-Ь ИЛII р= ь- 2а.
10. Како је а ! + 1Jl.:=. 4т + х' - ~ + I '" х' + 2.х2 + 1 :. (xl + I)Z '" с.1-, дат" Т\ЮУI'ао је IIP380yrJlIt. 11 . Нека је с1 :: 3х + 2, /' _ 4х + 8 It С _ 5х + 8. Како је троугао npallOyrJlH, OIl!W је а 1 + tr _ r-. Тада је (3х+ 2)1 + (4х + 8)2 .:. (5х + 8)2 IIЛII 9Ј? + ]2х + 4 + 16xl +64х + 64 '" 25Ј? + 8Ох + 64, 113 је 4 .:. 4х 111111 Х = 1. Страlll ще троугла су с1 == 5, Ь = ]2 и с = ] 3. Г!ОIlРЏЈ1Ш3 Tor праlЮУГЛОГ ТРОУI'ла је 30 ст 2 •
3.14
2.
а)-49: 6)(4y-3)( 4y+3) -( 4y -5 )~ = 40y-34.
Э.
а) (х+ 5)(х- 5) - (х-7)(х+ 7) = 24: б) (2у - з)2_4(у+ 1)(Ху- Ј) '" 13 - 12у.
4. a)(c+3)(3-c)+r=+9; 6) (5Ј+4)(4-5Ј) + 25Ј2 ", ]6.
5. Доказ CJlСДII 113 'L II ЊСНlще да је (3а - 5)(3(1 + 5) _ 9а 2 '" - 25. 6.
И з (2х- 9)(2х
+ 9) -
х ( 4х-
2) - 5 следи да је 2х - 8] _ 5,
"а је х
=- 43.
7. Доказ CJlеДII из '1ltЊСltlЩС да је (r + I )(r - 1) - (х' - 2 0(9) о:: 2 008.
8. На OCIIOBY ПНТ3luрltиt' "reOpcMe је а1 + Е1 = r-. Зато је Ь 2 = r!- - а1 =- (с+ а)(с - (1)
9.
а) ~ _ x+3,B=-x_3;
6)
=144, " а је Ь -
]2.
Л-2а-Ь,В- 2а+Ь.
10. АIЮ је страшща lIећег квадрата а, а мањег Ь, Оll/l.а је а - Ь = 7 11 а! - Er - (а - 11)(a + Ь) = ] 89. Тада је 7(а + Ь) = 189, најса + Ь = 189: 7 == 27,да.њсјСll= 17 ст 11 Ь - ]0 ст.
3.15 1.
а)5(Х+2): 6)6(у-2х); о)
7(2(1>- SIl).
2. а) х(х + 6); 6) у(2у- 7); 8) а(l,2 - Sa + 8).
3. а) 2х(2х + 9); 6) 3у(2у- 3); 8) 5b(1Jl + 7Ь - 4).
4.
K;tl\O jcx-' - 8.r + 3х - 24 =r(x-8) + 3(х-8) = (x- 8)(.r + 3), тојеЛ =х- 8 11 В = r
5.
r-x4 + 2х' - 2.xl + 7х-7 _ ( х-I)(х4 + 2.xl + 7).
6.
11.I00\I_
St,.:ootI + 3а - 15 = (а - 5)(а2ООо! + 3).
7. yl2 + 3y~ + 6у6 + 18у3 = у'<Ј..б + 6)(т + 3)
8. 9.
10.
аЈ - а2Ь т1
+
+ IIEr -
2т"
ЬЈ
= a1(a _ Ь)+
+ ,,.! + 111 + " _
(т
ЬZ(a- Ь) о:: (а
+ n)2 +
,,)-а= а(I,1- 1 ) = а(а - l )(а+
(т
+
_
Ь)(а !
п) = (т
+ ЬZj. + 11)(111 + 11 + 1).
1)=(11-1)(1 (а+ 1).
+ 3.
3.16 1. а)
r - 25
4; ==
:: (х + 5)(х - 5); 6) 81 -
(9 - 2у)(9 + 2у); в) 4а 1 - 9 jjl == (2а - 3Ь)(2а + 3Ь);
г) ,2 _ 5 == (с + ,./5)(с - .'/5). 2.
аЈ r +ЈОх + 2S = (х + 5)';б)r - !2у + 36 = (у - 6)2; В) (а _ 2Ь)2.
3 + 7)(х -
3. В) (х - 3)2 - 49 == (х -
3 -
7) :: (х + 4)(х -
10);
б)
(8 + 5у)(4 - 5у);
B)(4b+3 + a)(4b + 3-а).
4.
a)A=x,B=x - 7,С = х - 7;
6}A == y,B == y + 9,C = y - 9;
fI)A ""- IJ,8 = а+Ь,С=II - Ь.
5. а) (r + I){х - Ј); б) у" - 8У' + 16 = (1 - 4)2 :: (у + 2)2(у _ 2)1; 11) а 4 _ 256 :: (а - 4)(а + 4)(а < + 16).
+ 2 а'Ь -
3а/;'
- 2Ь 3 = (12(311 + 211) _ 1I 2 (3а + 2Ь) = (а + Ь)(а - Ь)(3(1 + 2Ь).
6.
3а Ј
7.
91 + 4у -
8.
а'
- ба + 9 -
25Ь"
=
(а - з)2 - (5Ь)2
9.
аЈ
r + Ј8х + 80
=
х2
9у - 4
= 910 - уЈ - 4(1 - уЈ = (1 - у)(3у + 2)(З1 - 2) .
18х
+
+
=
(а - 3
+ 5Ь)(а - 3 -
5Ь).
81 - 1 = (х - 9)2 - 1 = (х - 9
6) 1 - 14y+33=(y - ll)(y - 3); (j}a 2- 16ab+39b1 =
+
1)(х - 9 - Ј)
=
(х - 8)(х - 10);
(а - 3Ь)(а-13Ь).
10. х" +х 2 + 1 '" (xl + 1 +x)(.r + 1 - х). 11.
Како је (т
+ 11)2 _
(111 _ 11)2= 411111 _
8,
тојсmll - 2.Дак,1е, т
- 2и 11 - 1 ИЈ!>I т - 1 и 11 = 2.
12. Како је m<_ I,2 == (m - II)(m + 11) ::: 7, rтaje 111 - 11 == 1 И 111 + 11 == 7. Дамс, 111 = 41111 = 3.
3.17 1.
а ) х =- 8; 6)у =-5.
2.
а) х
==-7,5; 6)
22
у= - -.
13
3.
а)х = 6илих =- 6;
5
6)
у == -
или
2
~
5
го
-'./13
\Г!3
У= -- ;Н) а=2 . ./2 ИЛИ 11=-2,2; г) Ь= -- али Ь =- ·
3
2
3 •
д) с = \~ или с = -\~ ; ~) 1Тc~a решеља. 4.
а)х == ОИЈТих =- Ј() ;
5.
а) х = 10илих =- 4;
6.
а) х =-3 ;
6)' = 6;
6)
8. Ако јс (1 < - 6аЬ + 9.
9Ь 2
3
5
4
у = ~или y = -~;в)Ь =-2 или b=~; г) а =: I + ,/з ИЈЈи
6)
5
н)а =
7. a)x = O,x = l,x =- I;
9
)' = ОИЈЈиу = 4; в)а = ОиЈТИ а=-; г)Ь = Оилlt Ь= - -.
4;
г)
5
х
2
a = I - 13 .
7
,
= - .
6)у = 0,у = 3,), = - 3; н)а = О;г)х = О,х = 4,х = -4; д)у=О.
=
О, онда јс (а
Акојех+2у = 1,ОЩЏlје:(1
- зЬ)l = О, rтa је а = 3Ь" а 2 = ~Њ2.
+ 4ху + 41 = (х +
2у)<
=.
1, rтajex2 + 4ху+41 + 2008 = 1 + 2 008 = 2
009. 10. Ако је х2 - 2х + 4 ::: О, онда је х ~ О. Тада је х{х2 - 2х + 4) = х3 - 2х2 + 4х = О . Како jc.r - 2х = - 4, то је х3 - 2:(1 + 4х = х3 - 2(.r - 2х) = х3 - (- 4) = О, naјех3 = - 8.
3.18 б)
2. а)
1.
а)х< - 3; 6)у<6.
3.
а) РСIIIСЊС 11 PCIlCТilWt>a;y СfЩ реаJlИ 11 6ројсни; решеља; г) Ь Е Я; д) х Е
6)
11
Il сјСДIl3ЧIIII:1 нема реШСlbа; в) "сјед" .. ",,"а нема
R.
4.
а) хе и;
6)
"еједна 'ш иа нем а решеља; в) (l ejeднa'IIIHa нема
S.
а) хе Я:
6)
IIС;СдlНIЧIll13 нсма решења.
6.
:. ) х < О; 6)y~15; l,)а > О.
7.
а) х В) tI
8.
< -6 I\Л I I Х > О, тј. х Е (__ о < О ИЛII а > 8. тј. tI е (- _, О) u
а) Доказ следи 113 јеДII:1КОС'ПI r
6)
23
yS- - .
--6) u (8, оо) .
- 8х
(О,
б) у
_);
s
pCIIICIha.
о и}[и У
+ 20 = (х _4)1+ 4. На СЈIII 'I ЗН
2: 5,
тј. У е
(__ • О) u (5,
оо);
НЗ'IIIН се доказују" зада ЦlI'ЮД
11 в).
9. Ако је 11 > Ь, Оllда је а - Ь > О. Из II сјС.l!l lакости Ја' + 4аь 2 > 3а 2 Ь + 4113 cnеди JЏI је 3(I Ј + 4аЬ 2 - 3а 2 Ь _ 4Ь3 1(3,
а
> О, па је Ја 2 (а -
-
Ь 11 3а 2
+ 4 1Ј2,
Ь)
+ 4Ь 2 (а -
Ь)
> О ИЛИ (n -
Ь)(3а 2
+ 4Ь 2 ) > О,
ШТО је та'то јер су оба 'НlНlЮ-
JlО3ИТ НВНlt.
10. Акојех+ у = 4, онда је у- 4 -хи:r + i':::r + (4-х)'::;х2 +х2 -8х+ 16 = 2:r-8x+ 8 + 8 = 2(;х2 -4х+4)+8 = 2(x - 2)l+8~8 .
3.19 1. а) 991 = (100 - 1)2 = 1001 - 200 + 1 = 9 801; б) 10 11 = ( 100 + 1)1 = 10 сюо + 200 + 1 :: 10 20 1; В) 9992 = 1 000000-2000+ 1 = 998001.
2. а) 971_ 9 = (97 + 3)(97 - 3) '" 9 400; 6) 1042 - 16:: 10800; В) 5021 - 4 :: 252 000. 65·75 = 7OZ_5 2 =4 875; 6) 36·44 = (4{)-4)(40 + 4) = 1 584; ,,) 201 · 199 = 39999.
3.
а)
4.
а)]8
S.
И,
211 (2" + 2) = 4111
'Ј(II
+ ])
1I
б.
225; б) 93 025; В) 56 = ]252 = ]5625.
+
411 ::
411(11 + ])
след" да је добијени НРОIIЗ RОД ДСЉIIII са
II p
8, јер је 2, nОШ'I'О је УJlек један од бројеЈЈа ЈЈ
(11 + Ј ) 1 1аран.
Лкојер = 211 + I,Оllлајеpl-1 =(Р+ l)(р-l)=(211+ 1 + 1)(211+ 1 - 1) = (211 +2)211 = 411(11+ 1), на се дока::.
CIIOnH на
IJpc ТXOAlllt задата к.
7. Доказ IIp
11.1
+ 2009n '"
".1- 11 + 2 0]011.
8. Ако је стабло I1 реЈIQМљено на JlНСИIIН Х, онда је н а ОСНОВУ Пн;аrорине теореме (] 8 - х) 2 _ r + 12' , Ilaje324 - 36x+r = Х?+ 144,nаје36х:: 180, тј. х = 5т.
9.
+ Ь = 14 It аЬ: 2 :: 24, тј. I1Ь = 48. Тада је = 196 -96 = 100. Како је cl = 111 + lJ2 = 100, то је
Ако су дуж""е Kaтcr;) n раRоугло r троyrла а и Ь, О Јlда је а
(а + Ь)1
= 111 + 2аЬ +
дуж ltl13 Хllnотенузе с
Ь1
= 141 = 196,
па је а 1 + ьz
= 10.
10. О'lllrлеДlIО је ,,1 + 9 > ,,1 _ 9. ИЗ (" _ з)1 :: 1.1 _ 61. + 9 > О, слеДII 1.1 _ 9 > 61 •. ДаТl1 троутао је IIравоyrЛlI, јер је {1I 1 _ 9)1 + (611)1 = ,,4 _ Ј 8,,~ + 8 Ј + 36,,1 = 114 + 18,,1 + 81 = (,,1 + 9)1.
•
А',-----А,
5.
а)
6.
12.
90;
б)
170.
7.
а)
13; 6) 13; 11)
D 1 ј ::
65.
11'(11-3) = 54, 8.
О"
= 27,
11·(n - )) = 2·) · )·),
9.
а) нс; б) да;
11)
не.
11 (11 - 3)=27, /1-(11 - 3)=(3.3).(32) , 2 11 (11 - 3)=9·6, 11
(11 - 3)=:9·(9-3),
11 =9.
10.
/1' ( п - 3) "-"'~"
= 5n, I!
.
(п
- 3) = 1011, 11 - 3 = 10, п = 13 . Т;Јј
многоугао има
13
страница .
2 11.
Да . То је петоугао.
4.2 1.
а ) Нс;б ) не .
3. S, - 5400, 5, - (( 1 + ((1 + (1, + ((4 + a~, 5400 =: а] +((1 +20" + ((1 +20%((1 + 0:1 + (:(1'
1 1+ 20' , 5'0" 2б ((\' 540"::::«1+ 5(1 - =5 Уr'лови петоугла су:
4.
5.
100' •
100", 1200, 1200, 1000, 100".
Зб нр УЈ'лова троуглова МА 1 А 2 , АfА 2 А з , за
{ХЈ =
•. , MA 7A g, МЛвА l
)60".
5"
=5' S~,S"
=5 ·360°,.'10 :=:18000,
(11 _ 2)·180" = 1800",11 - 2 = 10,11 = 12.
6.
Тај .I.1Hor'oyr'ao има
12 страница.
Тај
8
MHoroyr'Jo
има
страница.
7. Sg = ! 080".
всћи је од збира свих угло{\з ТОГ осМ"оугла
8.
:1) S,
= 540", 5400 _ 3·900 = 270. З6 1!Р AII:I
I!МЗТl! трн [IРЗ I!а угла;
9.
преостала угла таю!ог нстоугла је
Један тa"a t! седмоугао nриказзt! је "а СЛИЦI ! . А.
270",
[ IЗ ш.'тоугао може
не може.
6)
10.
Један такав шcrтоуraо је IlрНК
Л,
М,
Л,
л.
2
М,
М,
Л,
Л,
М,
4.3 1.
6);г); ђ );е):ж).
2. а) 15; 6 ) 18; 11) 18: г) 9.
3.
а ); 11 ); г).
4.
5.
ШеС1"ОУГ:Ю
ABECDF ИЈlје
а)
16;
б) не.
IlРЗ IIlt/t3Н, јер немз једнз ке све
Уl·лове. J-I:.сГОIIЈI уГЛО!:! tI су; LЛВЕ
с
D
= 150", LBEC = 600,
LECD :: ISO", LCDf · = 150", LDFA = 60" tI LFAB = ISO".
6.
Угао "Рl! IlрКУ карзктеристи'lНО Г троугла lI-тоУfilа
7.
СВС страlttще IIР31111ЛIЮГ
11
Сl юљашltt! угзо II-тоу гла су јеДНЗК I!
360"
" II-Toyrlla су једнаке, па
спака ТРI! њсгова расто!!на темеl 1 3 су
TeMell3 јел-
1lзко"раког троугла.
10.
Н е" :1 се [ I Р3I1е nлрсђСIIС сгра шщама А 1 А ! и ЛУ\~ [lраIlИЛ1Ю" ДСВСТОУГЛ3 АtЛ 1
М. Т;ЏЏI је
LAy\lM '" LA!AJM '" 400 као
СПОJbllШЊII УГЛОIttI, П3 је траЖClIII
... АsЛ9
секу у 111'I ЮI
LA1MA, ::: 100".
11 .
T~j II -ТОУ['ао [I ма
12.
Угао нз мсђу ПОЛУПРСЧ[II!К~ ОI[IIС3[ЮГ KpYJ'~ 11 њс.\1У IIзј6Л1!жt:!· I[ОЛУnРС'[t![!l(а УШlс;ltюг круга
20
страНll ца.
НР'ШJlJIIЮГ МIЮI'оу гла јед н;!к јс п олови ни угла ПРИ (ЈРХУ кзрактерIIСТII'ШОI' троугла. УI'аО I IРI! врху
ј{' 400, IIа је 3600 :с 40. тј. I1 = 9. а)
140": 6) 400;"11) 1260";
г)
360".
13. Н екз се Cllметрала угла AY\1A7 11 "рава одређена СТр;! IIИЦОМ А 7 А в тог ПрШЩЛ1ЮГ М I IОГОУГЛ3 секу у тачкtt М. Тада је
LAv\1M једнак споља шњем углу ~', а LA 1 ЛьМ је у" ореАа l l II ОЛОll tl1щ jeAII OI' угла
тог I>lIIогоугла, тј. LA1Л~М =
ISOO- 180: - ~'
За уrЛОIlС троугла л"л7М ваЖII: 450+(1800_ 1 8002-~'1+~'= 1 800. Одавде је 13' = 30". па је 360"
- - ::: 300.
"
ОДНОС'IO
tI
= 12.
14. а) Нацртај круг К(О, 4 ст)
1I
та'lке Л и R на
"1')'1')' тако да је LAOB = 720 (користи УI'ломер), Дуж '" ВС '" СО:= ОЕ. Тре
ЛВ је страница траженог пстоугла. Тt',\1еиа С, О, Е су на "ругу тако Д(l је АН ба.110 6и да је ЕЛ приближно јеДН'l"О АВ ,
б)Нацртај једнаЈ<О"раки ТРОУl'ао АНО, тако lIа је АН '" 3 ст, LOAB
= LОВЛ = 54",
Круг К(о,оА)
ОШlсан је око траЖСI\О!' неТОУЈ'ла, Даље као I\ОД:1,
3 ст) 11 та'lке Р 1 11 P~ lIа "РУI'У тако да је LP,OP2 = 720. TallГ('llТe 1, 11 12 "оје Pz КРУI'а К секу се у та'lКI' 11, Круг К(О,ОА) ОПИСЗII је око траЖСllОI' петоугла,
11) Нацртај "руг К(О,
садрже тачке Р, 11 Дм.с као IIОД а ) ,
D
,)
,)
б)
D
"
15.
Посту"ак решаuања је ЈКПЈ "зо У задатаку
1.
КонструJtШI1 кпал.рат чија је: а) дијагонала
2,
а) BIIДII урађен ПРl\мер у уџбсllllКУ.
14,
4.4
6)
6
ст;
6)
страница
ст.
ПОll уlре'"шк orТltcalle КРУЖНЈlЦе је једнак
о) КОНС1'РУIIШИ јеДl l акостраНН'IШI троугао Чllја је ,,"(1lна
3.
5
а) Већа днјаГО l!зла јс пре'lНИК опнсаl!ОГ крута; б) КОlLстру"щеыо троугао ARСтако:щ је АС =
LBAC = LBCA = 30·. шестоутла,
811)111
АВ
D
Е
5 ст, С
= ВС су страmщс траженог
F
СЈЩКУ!
"
А
4,
СТр аlllЩН,
2 ст.
КОIIСТРУIIШI1 нормалу"
113
та'lке О на праву р, ОбелеЖII са
N
"ресек праllllХ р
11 11,
Дуж
ON
IJО.llупре'IИIIК круга )'Тlисано, ' у тај нраВI1ЛНII МlIогоугао ,
5,
КОIIСТРУИlllемо иормалу
I1 која садржи тачку С на "paJlY /1, 11, Затим КОllструпщемо TPOYI'aO СС,В тако да је LC,CB:= 300. Теме је А I Ш правој р таЈ\О да је АВ "" вс. ВlЩII СЛIIКУ. Обележимо са С, пресек праllJtх р 11
с
је
4.5 27.[,
r
r
r
•
1. а) O = 9 -Ј Зсm , Р = -- сm 1 ;6) О=18V Зсm,Р=2 N 3 сm 1 . 4
2. Э.
О = 20( 1 +..f)) сm , Р = Ј(юЈЗ сm 1 . Обележимо са Р", р•• РЈ редом 1 1О8ршине I IР,ШIUlНОГ шестоугла , ,,"адрата .1 ;eДH3KocтpaНlI 'IHO Г
троугла. Тада је p~ = S4,[з ст 1, Р. = 8] ст 1, Р, 4.
Обележимо са
=:
36,fз ст 1, 113 је p~ >- Р. >- Ру
О. И О) редом оБИМ nраll l lЛlЮ Г шестоугла, К llаl1рата 11 јеЛ1lз коcrРЗНlI'lIJОГ
0 6'
троугла. Како је 0 6 = 36 ст, О. = 24 '/2ст 11 0з = 18 ,Ј3 ст. 3акључујсмо да је 06 > О. > Ој. 5.
а ) Обел е Ж liМО са О центар осмоутла
ABCDEFGH,
са ЛА , I)II (IIII У
113
краки Ilраuоуrли, следи Д3 је АА. = 2-./2 ст , па је p~
= ВР"'I!() '
Р3
=8
nО·АА ,
2
ПОI.lРШl\на осмоугла је
'
, РЗ = 4·4·2->12, РЗ
=:
г
32,'2 .
32"./2 ст"; б) 48 ст!,
:Q: А
r
с
I
Е
F
темена А карзктеРИСТIIЧIЮГ троугла А ва. Тада II З МА Ј О' којll је јсюшко-
"
2
6. а )О= 31 С ПI , Р = 64 с m ;б) О=16,, 3ст,Р=32 " 3С I11 • 7.
Шсстоу г:ю PQRSТИ стра юще.
Hllje
PQ = RS =
ТИ
,
[ [ ран ила н , јер не ма једн зt:е
= 4 ст,
QR = ST = ИР = 4Јзсm. па је 0 = 12(1 + Ј3Ј ст,
р = 1 6(з+.Ј3)сm ~.
,
и
, 8.
Троугао
PQR је јеДII:It:остраНll чан ,
,m . PQ = А2с;::: зЈ3 2
Защто? Ду-м
Г.
O=( 18 + 4,5v3)cm,
PQ је средља
ЛlI!lIIја троугла Аса,
, lIa ј е
р __ 189'/З,m ' 16
10. а = 30 C111, Р = 54 ст 2 . Тај щесто угао није [Јраl.\илан, ј ер н е м а ј ед наке сос УГllоне.
5.1
,
1.
2.
В
,
3.
У
А
О
C~, : ,8
,
х
D
с '--
о
M (- I "ћЈ
,
N~ ,з)
I /11 "(1,,/2) 1
х
М ' Н .-n)
N·· (_l . -3)
2
х
4.
А( -2,!}; В(О,-3}; С(2,-!}.
5.
а ) И~Н
6.
А е ll;
7.
а)
0,1
ор,'1ИТШПlе осе су В и
В е l;Сеlll;
r:y А
и С; В) испод апсuисне осе су С
I! D;
D.
DefV. 6)
у
у
о
о
8.
а) Праву паралелну у- оси;
9.
а)
6)
праву паралелну х-оси.
,
БЈ
у
2 ~,
о
о
10. 5 (1,4) 11. 'Ј
ОЈ
у
ен.
10)
12.
у
у
С
А
.( ~
В
.2)
В А
О
D
с-
D
"
О
"
А С
о
Јј'{ - 3.4)
1 А
13.
а}
- 3:;;
х ~
2;
б) х ~
- 15:y~3
1;
у:?:2
в) (х ~
-2
(- 2:0;:;
и
х ~
- 1~ 3)
у:О;:;
2)
или (х:?:
IUlИ
3 и - 1:0;:;
У ~
14. х = 5, У = 4. Најкраћи ДОПУСТII II И пут је приказан lIа слици . N
w
р
s
2) .
Q
5.2 1.
IOA I =~=' 1 0н l = ,f2 l +111 :: ...
2.
IABI_~(3_7)1 +(-1-2)1 -
Ј1 6+9 -5 ,
rrn
l ос l '" ,1\1 +2 1 ",,'5.
IA8 1=-I" 3.
+1'
=.Ј26
1 8с l =,fЗ1+S1",,Ј34
IСА 1:: ,{4 + 16 '" ,f2Q \ лвl +1 всl +1СА \:: '../26 + ,f).i + •./10. 4.
Iлсl-,1(4 - 1)1+(-6 3)1_.J9Q_~
,
з-110
IBcl =~( I + I)1+(3-9)1 =,40=2JW Iлвl = ~{4 + ОЈ +(-6_9)2 =.J2s0 = 5..;10
lI(- Ј,9Ј
I I I II I
И3 Л В = лс + вс слеЩI да је С юм~ђу А 11 В. Такође се lјИД I!
IАс ј : ) ВС I= З\,'10:2 \,'10 = 3:2 . ~
~
С(1 . 3)
\ о
х
А(4.-6)
S.
а) Ас Ј :: ,{(4 + 1)1 +(2-2)1 _5 I BC I =~(4-1P+(2+2)2 =5;
,----,-0--,--""'
АМ ! = ВМ ! ~
(х + 1)1 + (у - 2)1 '" (х
6) Ам =,!'(х+l)! +(у _2)1
х 1 +2х
ljM =~(X - I)l +(у+2)2
4х=8у
+ 1+
+ 1)1
уl - 4у +4
=
+(у + 2)1 х 1 -2х +]
+ у1
+4у+ 4
х::: 2у
6.
OW=(x-О)2+(у-О)1=xl+r= 1
1.
а ) О ' lада н а [-Ј, О Ј f1
5.3 6) Hajuel;a
8реди OCf
I:lреДнocr
Ila [2,31;
расте на [О. 2Ј
z= 3 эах:: 2; најМ:lња
z::: - 2 за
z
х :: О.
х
-2
3.
2.
Опада
4.
РС IJIСIIoС јс дзто
Цсна јс опадала lф а пр "ла,
3 о н да
1l0'IСЛU да p ~cтc .
113 (ЛИЦИ.
Cpegltlu "YfX евра 87 85
/'
/~
" 8Ј
/
82
81
~ .--"
80
79 78
I
5
л) з а
22 24
6
О
I1II CII II:1
О
27
ВЈ
Тр ll јЩllа:
дан
БЈ
Љ/тум
., .,, 1 1 3
2
1
2
3
5
12
,
7
31
в,Ю",(/(III)
•
5
1\
)
2 I
О
6.
Од
7.
До лотрощеШIХ
1.
M~C'l (kg)
11
до
, I
'~2
2
~ 2
ДtШII
)
I·ОДIIН3.
13
300 kW
цена расте, од
300 до 600 k\V
бржс расте, а преко
600 kW још
брже расте.
5.4 Цена
5
20
15
,
25
(111111.) 60 "о 240 300
Комада Цена (Ю IН. )
2.
а) Да.
5.
Л)n=70,
6)
Нс.
70
-
Р
6 49,2 3.
9
12
ДУЖII!I:l
2
10
20
30
Ценз (днн .)
11,34
5~7
113,4
170, 1
15
73,9 98,4
123
а) Не; б) да; и) да; г ) да; д) дај ђ) нс; е) да: ж) до!.
70
I
=140, Р=-=-шi 140 2
Б) Р = О,80т,
n=
1 49,Р =
4. 52.
140'0,80 = 11 2.
БРЗllllа Кpt."ТаI МI је КОJl НЧIIНК пређ.сно г пyt'3 н за то утрошеНОI' иреМСl l а:
а) Y=~=112· o. 80~=89.6~; /
min
min
6)
896~=896o.001km 'тјп'
~h
60
5,376
km h .
,
б.
За снремаље оброка:Ја једну особу треба трн пута мање
200 g КРОМllIIра, 400 g КУl lуса. 2 kg КУllуса.
3а
11(1' особа
потребно јс
OUIIX наМНрlrlща: 250 g ХЈЈеба, НЮ g меса, 1,250 kg хлеба, 0,5 kg меса, 1 kg I.lЮМПl1ра,
7.
J10UPIllIlI!a 8еће I llще је 4 пута 8t'ha од поuршин(' мапе 111ще па је поч>е6l1а 11 'leтUOPOCТPYKa 8рсД II OCТ ОЈЈНХ lIаМllрllllца: БОО g 6раlllиа. 480 g ша:'\!ПlIЊОII:l, 360 g ШУlIке и 240 g краст:нюца.
1.
,)
5.5 3 9 4,' 9
3
6
2.
а) Да; БЈ lIе.
4.
а)
3anpcMII11a
б)
5 сати.
S.
6)
1
27
6 4
2
10
1
-
-
4
3 3.
6азеl13 је
,
8
4
а ) Да; б) да: в) не.
50· 120 = 6 000
ш. Да бil се 6a~ell I ШI I У IIIIO треба
6000 """75 = 80
М llll ута.
а) /едllOМ Р3Д1I1IКУ треба 60 JXalla да урадн ПОСЗО, '[еП<ОРНЦII '1СТIlј)1I пута маље. Д3КЈlе
15 lIаllа:
6) 6 IIa113. 6.
а) ПРНТltcак се смањ" на половину своје вредности . б) Температура се
Tpll
пута смаЊII.
5.6 1. 2,04: 0,6 = 3.4, 2.72: 0.8 = 3.4. 2.
а)2: 1 2 = 3:18,
ПРОПОРЦllја је тa'lНa.
18:3 = 12:2,18:12=3:2;
3.3:9 = 5: 15.3:5 = 1: 15, 9:3 = 15:5.
б)а:с. = Ь:tl, Ј:с=Ь:а. Ј:Ь=с:а.
4. а)х = 3,25; б)х = 2'2,5'О,2=5'0,2=1: 8)x = I,75: г)х = 2,55. 11520 5. 301 1 kg робе треб3 плаТIIТII - - = 3600 All llapa. За 1,5 kg 3.2
5 400
дllllзра.
6.
а)
8.
Pac fojall,e Ml'CТa у стваРlIOСТН је 5 . 7.2 = 36 ст. На карти pa~MCpe 1 : 3 pacrojaIbe бll 611ЛО 12 С111 .
9. 40
12.
1,71;
б)
робе треба [ IлаТIIТII
ст.
15 floYIAII 20 ЉУIIИ
13.
7. 3000 000 ст _ 30 k111.
ISgceMcHa.
10.
а) Н С.
б) Због
8да l l а. 11з П РОllOРЦllј е Х дат
3 маШllllе
бсатн
9Опрсдмета
4 MaU)llIIe
8 саТИ
? Il рсдмста
3 3 - маlШtнС 4 4 Ma[IlIfllC; 4 MaUIIII'C 4 MaJtllllle
3 б' - саТI-t 4 -9 С3ТII 2 9 2 -· 8· - саТII 2 9 8сатн
6
3
10· - =8· 5 2 15
х
20
8
- =-
може. IШ
_
доБИЈамо х
90 предмета
14.
6 3
IIpll MCp 10:8= - :- . 11. 200 5 2 = 6 даllа.
]20ТОllа
]80ТОllа
180
24
2 90· 8· - IlpenMC"r.I 9 160 предмета
120
5 котло"а
Даllа
? даll~
120 - ТО ll а
90 предмета
I lута.
4
котлз
180
"' - дана
120
,
180ТO ll a
3бдаl,а
180ТОН;I
3б· - да ll а
180тона
4 4Snalla
S KOTIIOtta 5 котлова 4 5 · - котла
,
4
котла
15.
Јсеј,vшщ'
7
<1
сејалице
дана
3 дана 7
- дана
7 12 4480
сејаmща
-·-- д ана
384
41<Јмсна
I О дана
2 тоне
3 камена
6 дана
х тоне
4· -
камена
4
Ј О· - дана
3
4
3
КЈ.\iсиа
40
- д ана
3
)
камена
3 камена
40 3
6 5· -
12 хюьада
26 дана
х Xluъaд:l
радника
5
6' -
дана
12
хиљада
6
384 ha
6 радника
4480 384 - --11<1 384
6 радника
5· 5
6 раIЏПlка
26 дана
5 дана 26
12 )ШЈЫIдЈ
дана
26
12" -
XWl>JAJ
5
62,4
хиљаде
21'онr
2 тоне 6· 3
6·-·-дана
2
БДЈ!!а
U, 9 тона
3 40
6 дана
5
448011а
20дана
сејалица
3
384 ћа
12
7 17.
6 радиика
4· -
7 ссјаЛlща
7
16. 5 радника
ћа
4480 !Ја
? дана
7 . 3· - ССJ'lJlипа 3
7
384
-тоне
40
5.7 1.
Нису ДllрtЋТНО пропорционалне, јер права
Јесу директно пропорцнонал:не
којој IIрил адају тачке графИ
б) у у
о
о
2.
а) Нису директно ПРОПОРТ{lIOНWlНС;
6) Нису директно ПРОГЮРЦЈ10НXlНС; В) Јесу директно про -
1I0РЦl10нал не, јер графИЈ< ПРШlада Ilрююј која садржи координатни llOч("Так.
3.
а)
6)
у
у
у =
у
3>::
у = 2х
х
о
х
х
б)
,)
4.
S( km)
s ~ О
~
100
х
О
x•
6
..i...s 100
5 .. 100 х
100
6
6 О
О
6
100
S
x{l)
6.1 1. I"I СРllфеРl lјскн су 111 О, а I\СI[трал l lll је
2. 6 ).
(L
3. 41 ", 220", 50", 35".
5. 6.
ОI1l"Оllaрајућ" t(ентраЈЈНИ
11 ощ'оварајУћll
а) Перllферl lјctm угао I Јад
MaIbIIM
пеРllфеРl\ј С IЩ УГJlOlIII су У размеРl1
ЈIУКО:>I је
30",
а одгопзрајуhll ЦCHTpalllНl
2 : Ј.
60".
6) Гl СР ll феРltј С l<1i У I"30 над псt'IIIМ пуком је ] 50"', а ОдГОllарајућll ЦСl1траюш 300".
7.
Угао лсв је периферијски УI'ЗО КРУЖlllще ОПllсане ОКО тог троугла , ЈЈа је одгоuзрајућlt IlСII тралНII УI'ЗО лов једнак
8.
40", LAOC = L BOC= 160".
LА8С=2 t ",L8СЛ=90",LСАR =69".
9. а.
6.2 2. а) 24х ст; 6) 6'nrr cm.
1. а) 7n ст : 6) 112n: с т.
3.
06 II М ТО'IК3 је
),768
т: точа к се о крене
318
5. а)О = 10.Ј2п сm:б) О =201tсm. 7.
9.
ПОЈЈУЩ><:'I Н!IК круга се noncћ~ за: а)
2
Г~ :: ", /1. ' u ""
1 1/1. где
једrr акостра lll1'1IIО Г
10.
су го.
6. 1 cm; 6)
7
Да.
06 Щ.1 к ру ,'а се IЮllсћа за: а) б1t С II1:
- ст.
'"
4.
8.
6)
24л с т.
Qc:Orl = ../2 :1.
' ... h редом nолynРСЧННЦl1 ОШ!С~IIOГ 1I упнсarlOl' круга 11 BIICltlla
21 с 2 С Tpoyrna. 2 · - hn: -2 ·-/rл:::: ..J3n: . - /I1С = v3п. 113
ПОЛУ'lРСЧШIК једног малог кругаје ±(з.Ј2 16('n-l)n:cm.
[Југа.
3~3
11 ::: - - ,fI '"
2
3 cm. О = 9 ст .
8) = 2'./2 - 2, 'Ја је тражеlШ з6rtр обим;) таква 4 Kpyrn
6.3 1.
а)
0,6 псm; 6) 5 пе т.
5
а) - пет
2.
10
- ле ш
;6)
3 3.
а) 30сщ6) 20сш; В)
5. 0,5
; В)
5жсш;г )
3
3
1 10 4. Заа) ~пст :6) лет;В) - хе т · 45 , 3
IScm .
МаЊII ЛУК је
6.
пет .
40
8
- пет.
- п ет
3
7. 5
5 3
пет, - пет,
20
- пет·
10
8.
- пет.
в.
9.
3
(6+5п)сm .
10.
11.
3
6.4
3.
а) Р =: 0,25 nш 2 : б) Р '" 72,25 пет ': 11)
5.
в.
7.
а)Р = 49лсm';б)Р= IQ01tcm1.
4. а) Р = 32 лет'; б) р = 0,0625 хт' ,
r = 2 пет '.
8.
а) 15 СШ; 6) зfi сm.
10. Р = 24 ст!.
6.5 81 9 243 1. а) -псm 2 ;6) - 1t сш' :II) - п сm l 20 !'i 10
2.
(10+П)Сffi; ~2 1t cm: .
8 4 - кст . 3 '
10.
а) ДЩI круга IЈО1!уllре'lIшка
'i < 8 <" б) Два
и
KPY I':I
(81
_~ 2 )1t=
,
'1 11 '2
1 _ 81п, 2
(г}
50
Р = l 1t с ш 1 •
су КОНЦСIIТРН 'l НЗ
_ 8 1 Јп
Kpyl:y
= ..!.8 2 Л. ТО су: 2
'1
К
•
1
щ:пуњаllају услове Задатка;
= 4fi. СШ, " = 4\Г6ст.
IЮЈЈУllречltи!(а '1 и ',су ко!!цеНТРII'lна тражеllО М кругу
(г} -
11
81)1'1: = _ г,Ј n . СлеДIi 2
K 1И
ИСЈ1УЊ3I1ају услове задатка;
8-../6
да су rl "' - ст,
3
rl
h
",8,,2ст .
7.1 1.
а) Тачка С је среДlIште ДУЖII АВ;
6)
'Ј 'Ј 1.
I
I
"1
с
А
(l1pll3
Н
(ДРУI;) !ЮЛОIIИН;) дуж 1t);
1'с
А
8
I I
I
с
А
( 'It:тOpтa ПОЛQВlша ДУЖН):
8
а ) Симетрanа дуЖ l1 ЛВ.
3. а)
5Ucm
5Ост
-- ~ -- =
\,25т
половнна дужи);
125ст
6)
2 5'
Полуращl.ll која садрж и та'I КУ А, а чији је руб cl l Mcтpana ДУЖ II Л8.
2 UUUm
2kлl
- .
6)
650т
=
100
650т = 13'
4. Ь:
,.
(1
= 2 : 3.
m=-,- , ,+Ь
а:Ь=3:4,
6. sk + 6k + 9k _ 36, k _ 1,8. Дужи не стра ница 7.
троугла
9 ст: ]0,8
16,2 ст.
АС:АВ-
8.
а +Ь=7
ст н
а:Ь =2 : 3
в
5 : 3.
с
А
a= 2k,b =3k 2k+3k=7
, 7
k= -
,
14
,
21
a=-ст,Ь= - ст.
,.
10. а)
а+Ь+ с =19
2
6.~::: 8
а= - Ь
3
3
, , 4
с= - Ь
,
'}.
6)2х3.
- Ь+Ь+ - Ь "" 1 9
3
~ = 12. дНМСll3!tјс суВ х 12; 3
4
Ь=9,а=б,с=4.
11 . 800QOO · 2ст = 16km
15.
1
12. зет
13. 1 : 200 000
Н.Да.
а) Да, са обе:
б) .,,}3 1 + 51 = fi4 . ДУЖИlI;} хнпотенузе је нраЦIIОllалаll број, па она Hllje самеРЉltllЗ са KareтaMa. 16.
ЛС; БС -
10; 3,
ЛС;АС
_ 3 : 10.
17. 1 : 2.
1 8.7:]Он]0 : 3.
19.
Конструкција се IIИДИ на датој (лици. За доказ кориcrи Тале(О!lУ теорему.
6)
А
20.
в
D
а) Поделимо дуж на
3: 2 (UИДИ
3 + 2 = 5 деЛО!lа као у 1) . б) СllИЧИО .
претхОДНОМ задатку. Тачка
D деЛIJ
дуж АН у размер!!,
(JIИКУ У задатку
21.
1 : 2.
22.
Какuјеа:Ь = с : d,тоэначидаје Ь
"
да важи (JIeдeћ~ размера: а
23.
Слично.
:с =
Ј ' Помножим() ли ову једнакост са
h (
добllјамо
Ь: Ј. с
Права садржи средиште В' странице Ас, наралслна ј е са crраницом
АВ и сече страНИ1IУ ВС у тачки С. П О Талесовој теореми С је средиште НС (ВС
=
СС) . Дакле, средња линија В'С" је паралелна са
АВ. На ИСТIJ на'шн закључујемо да је средња лннија А'С наралt:J\на са
В'С
24.
АС
Из
паралелограма
АА'СВ'
закључујемо
да
је
1
= АА ' = 2" АВ ,чиме је тврђење доказано.
А
Нека тачка Т деЈШ тежншну дуж СС у размери АСисечеАВуС'и
ТС"
ТС'
СА
СС
1 АС" )' С"С'
2 : 1. Права 2
п
која садржи Т []аралелна је страници
с
Како је средља ЛИliија А'С' = ~ АС, важи АС" АС
=
ТС" А'С
=
2 3
Докажи да су А, Т, А' тачке једне праuе. Нека
сече
праву
С А'
У
Д".
ТС" АС" 2 Л"С' = Ас, = з · Какојеlf
ПО
ТалесОJlој
ttpaBa
АТ
теореми
те" 2 С'А,= з ,тачкеА'иА " се
ноклапају. Дакле, Т дели теЖИШIfУ дуж АЛ' у размери
2 : 1. 25.
Нека
А
в
р
Тиме је тврђеље доказано.
nparl3
ОЛ сече праву ВВ'.
По Тале(оuој теореМIf ~: = ~~: = ~, па Је IСВ' 1=31 АА' 1=6. Отуда С(3,6) == В.
у
I----in А
В'
7.2. 1.
Јесте.
3.
Из
'. 7. 8.
х
Z. 3601"10:7:6 -20: 14: 12 јесу.
5 10+5
- = -15
N 180
800 200
-~-
5 - =-
9
х
4
х=
биllС х
,., = 720
= 5.
4.
6.
Ст.
мвс
- LlDEF, паје 10: 6 = х : 12. Oryдајс 120 = 6х Jt Х = 20.
11-2 ЈОО(Ј -- ~-- ,Ij =! 802ш.
20 - 2
10
7,2.
П рсмссnl ИХ У rlOложзј "ао на датој СЛИЦН. ДОI{а)IЩ по~оhу ( обрнyrc) ТалесО8С теорсмс да су
onroвapajyhe стрЗllНЦС паралелне 11 закљу'Ш да су 1I СВИ одговзрајytiи УГnOlIll јСДIl3К11 .
8
8
11
САДРЖАЈ 1.
РЕAIlНИ БРОЈЕВИ
5
1.1 .
Квадрат рационалног броја
) .2.
Рсшаuа ље једначине
1.3.
Квадратни корен
1]
1.4.
Постојањс ирационалних бројева
13
1.5.
Реални бројеви и бројевна права
17
1.6.
Основна својства реалних бројева
21
1.7.
ОГlсрације с квадратним коренима
1.8.
ДсцимаЈНЈИ запис реалног броја; приближна вредност реалног броја
2.
xl -
5
а
8
-
основна својства
ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА
31 33 39
2.1.
ПИТi1 I 'о рина теорема
39
2.2.
Теорсма орнута Питагориној
43
2.3.
Примене ПитаГОР'fне теореме на квадрат, правоугаоник, ТрОУI'ао
44
2.4.
Примене Пl1тш'ор ине теореме на рамб, трапез, делТQИ!t
48
2.5.
конструкције Т3'l акз на б ројевној правој које ОД['о иарају КВ:lДратним коренима природних бројева
3.
РАЦИОНАЛНИ AIlГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ
3. 1. Степен
чији је изложилац природан број
50 53 53
3.2.
Множење степена једнаких основа
57
3.3.
Дељеље степена једнаких основа
60
3.4.
Множсње степена једнаких ·изложилаца
62
3.5.
Дељеље степе!!а једнаких ИЗЛОЖИJlаца
64
3.6.
СТСПСllо»аљс
66
CI'cnc"a
3.7.
Примери операција са степенима
68
3.8.
Рационални алгебарски изрази . Број СВIIЗ вредност израза
72
3.9.
ПОЛИНQМИ
76
3. 10. Сабираље полинома
80
3.11.
Мllожење МО!iOыа
84
3. 12.
Мllожење flQJlинома
86
3.13.
Квадрат збира и квадрат раЗЈШке
88
3.14.
Разлика квадрата
91
3. 15.
Растављаље подинома на чиниоце
93
3. 16.
Сложени;и приме р и растављања п олинома на 'Iииноце
94
3. 17.
Примена полинома
-
ј еднакости и једна'Нtн е
96
3. 18.
Примена полинома
-
неједнакости и неједначине
98
3.19.
Примене папинома
101
4. МНОГОУГАО
104
4.1.
м Horoyrao
4.2.
Збlfр углоuа многаугла
4.3.
ПР.ЩИЛНII многауглови
4.4.
Конструкције правшщих
4.5.
Об им и ПОВРШИllа
-
појам и врсте. Број дијагонала
Mllol'oyrna
104 107
-
појам и својства
110
MHoroyrnoua
114
MHOI'oyrna
5. ЗАВИСНЕ ВI!!lИЧИНЕ И ЊИХОВО ГРАФИЧКО 5. 1. Пра IlОУ"ЛИ координаћl И систем у равни 5.2. Растојање 'ra'laKa у коорд инатној р аuни
117 ПРЕДСТАВЉАЊЕ
122 122 126
5,3.
Зависне величине и љихово графИ'IКО предстаnљање
127
5.4.
Директно прОПОРЦИОНaJlне велич.ине
132
5.5.
Обрнуто пропоциаНaJlне веПИ'lИне
135
5.6.
Пропорција
137
5.7.
Графички приказ директно пропорционалних величина
142
6. КРУГ 6. 1. Централни
и псрифеРJtјски угао круга
145 145
6.2.
Обим круга. Број 1t
149
6.3.
ДУЖИ~l а кружног лука
152
6.4.
Површина круга
154
6.5.
Поuршина КРУЖ"ОГ исе'lка и кружног прстена
156
7. СЛИЧНОСТ 7.1. Рззмерадужи 7.2. С.ЈIИ ЧНОСТ троуглова РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА
160 160 165 170
др Внјнслав Андрић цр Ђор!;с Дугоuшја Вера Ј о цковнћ др ВладИМЯР Мнћић MaTeыaТJ.IK8 за седми разред
Прво Itздање,
2009.
OCIlOBlle школе
године
И здава' . Завод за уџ бен ик е
Београд, ОбllЛlll1ев венац
5
\VWW.7.ЗVod. гs 1IIIКОIIIIII уредник
мр Тијанз Ранчиh Дll з ај •• Бра llll СЛ3В СТ311кови tl Цртсжи
Слобода н Благојсвић
Графll 'IКИ уредник М IUНШ Бјела н овић Jlектор
Мирјана МII)Iошеви h Коректори
Ружица ЈооаН08ић Татјана Зо рић Компјутерска обрада
"АС", Бео град Обим:
26 штзмпарских 20,5 х 26,5 ст
табака
Формат:
,
Рукопис предат у штампу јуна Ш тампање за врш ено јула
2009. годин е. 2009. године.
Штампа
ЈП "Службени глаCII ИК", Београд
www.zavod.co.rs к.6.17210
