Kriging I MIN 235 – Geoestadística Rodrigo Estay Huidobro rodrigo.estayh@usm.cl
Estimadores lineales ponder ponderados ados La idea básica es estimar el valor de una variable regionalizada (por ejemplo, la ley de cobre total) en una posición u donde no conocemos el valor verdadero, planteando:
donde Z*(u) es el valor estimado estimado para la posición u, {Z(ui), i=1...n} son los valores de los datos en las posiciones { ui, i=1...n}, a es un coeficiente aditivo y { i, i=1...n} son ponderadores.
Estimadores lineales ponderados
¿Qué factores podrían considerarse en la asignación de los ponderadores? –
–
cercanía a la posición que está siendo estimada redundancia entre los valores de datos
–
continuidad o variabilidad espacial
–
anisotropía (dirección preferencial)
Estimadores lineales ponderados Más cercano vecino
Atribuye toda la ponderación al dato más cercano al sitio a estimar (i = 1 para el dato más cercano, i = 0 para los otros datos, a = 0) También llamado por “estimador polígonos de influencia”, puesto que el sitio a estimar se encuentra en el polígono de influencia del dato que se lleva toda la ponderación
Estimadores lineales ponderados Inverso de la distancia Atribuye a cada data una ponderación proporcional al inverso de su distancia al sitio a estimar Existen variantes, donde se eleva la distancia a una cierta potencia:
donde d i es la distancia entre el dato nºi y la posición que se está estimando, c es una constante pequeña, y w es un valor usualmente comprendido entre 1 y 3
Estimadores lineales ponderados Inverso de la distancia Inverso de la distancia
Inverso del cuadrado de la distancia
Estimadores lineales ponderados Kriging Los estimadores anteriores son sencillos de aplicar, pero la asignación de la ponderación sólo depende del criterio de cercanía. La idea del método de kriging es incorporar los otros criterios (redundancias entre datos, continuidad espacial, anisotropía) mediante el uso del variograma. De este modo, se logra obtener estimaciones más precisas mejor planificación, mejor selección estéril / mineral, + $$$ →
Estimadores lineales ponderados Kriging El Kriging es el mejor estimador lineal insesgado (Best Linear Unbiased Estimator , BLUE) –
“lineal” porque es una combinación lineal ponderada de los
datos –
“insesgado” porque el error de estimación tendrá una media
igual a 0 –
“mejor” en el sentido del error de varianza mínima para un
modelo dado de covarianza / variograma
Estimadores lineales ponderados Kriging Existen varios tipos de kriging: –
–
–
Kriging simple: media m conocida Kriging ordinario: media m desconocida Kriging con deriva: media desconocida que depende de cada posición m(u) •
•
•
–
Kriging no lineal : aplica kriging a una transformada de la variable •
•
•
•
–
–
Kriging universal - intrínseco: la deriva es un polinomio de las coordenadas Kriging trigonométrico : la deriva es una función periódica Kriging con deriva externa : la deriva es proporcional a una variable secundaria Kriging lognormal : cuando el logaritmo de los datos tiene una distribución normal Kriging de indicadores : aplica kriging a datos binarios (indicadores) que codifican probabilidades de pertenecer a un tipo de roca o de sobrepasar una ley de corte Kriging disyuntivo : aplica kriging a factores que descomponen la variable a estimar Kriging multi-Gaussiano : aplica kriging a la transformada Gaussiana de los datos
Kriging multivariable = cokriging Etc.
Kriging Simple Hipótesis 1) Se conoce el valor promedio m de la variable regionalizada 2) También se conoce el variograma g(h), el cual presenta una meseta: g() = s2 existe una funcion de covarianza, dada por C(h) = s2 – g(h)
Kriging Simple Queremos construir el “mejor estimador lineal insesgado” para estimar el valor en un sitio u:
Para determinar el coeficiente a y los ponderadores {i, i=1...n}, se examina las condiciones de insesgo y de varianza mínima.
Kriging Simple Condición de insesgo El valor esperado del error de estimación es:
Para que este valor esperado sea nulo, se debe plantear
Kriging Simple Varianza mínima La varianza del error de estimación se expresa en función de la covarianza
=
var{ Z * (u)} 2 cov{ Z * (u),Z (u)} n
=
n
i
j
cov{ Z (ui ),Z (u j )} 2
=
n
cov{ Z (u),Z (u )} i
n
n
C (u u ) 2 C (u u ) i
i1 j1
i
i1
i1 j 1
n
var{ Z (u)}
j
i
i
j
i1
i
C (0)
C (0)
Kriging Simple Varianza mínima Los ponderadores óptimos (que minimizan la varianza del error) pueden determinarse tomando derivadas parciales con respecto a los ponderadores
e igualándola a cero:
Este sistema de n ecuaciones con n ponderadores desconocidos es el sistema de kriging simple (KS)
Kriging Simple El estimador se escribe:
La media aparece con un ponderador que es el complemento de la ponderación acumulada de los datos. Mientras más lejos el sitio u de los datos, menores serán sus ponderadores y mayor será la ponderación de la media. De cierto modo, la media “compensa” la falta de información aportada por los datos
Kriging Simple Varianza del error
Asimismo, es posible determinar el valor de la varianza del error (que se minimizó). Esta varianza lleva el nombre de “varianza de kriging”, aunque se refiere a la varianza del error de kriging:
Puede calcularse sin conocer los valores de los datos. Se demuestra que esta varianza siempre es menor o igual a s2.
Kriging Ordinario Hipótesis 1) No se conoce el valor promedio m de la variable regionalizada. Esto permite generalizar el kriging a situaciones donde esta media no es constante en el espacio: la media puede variar de una región a otra, siempre que sea aproximadamente constante en cada vecindad de kriging. 2) Sólo se conoce el variograma g(h) o la función de covarianza C(h)
Kriging Ordinario Condición de insesgo El valor esperado del error de estimación es: E { Z (u) Z (u)} a *
n
E { Z (u )} E { Z (u)} i
i
i 1 n
a i m m i 1
Siendo m desconocida, para que este valor esperado sea nulo se debe plantear
a0
n
1 i
i 1
Kriging Ordinario Varianza mínima La varianza del error de estimación se expresa en función de la covarianza var{ Z (u) Z (u)} *
=
var{ Z * (u)} 2 cov{ Z * (u),Z (u)} n
=
n
i
j
cov{ Z (ui ),Z (u j )} 2
=
n
cov{ Z (u),Z (u )} i
n
n
C (u u ) 2 C (u u ) i
i1 j1
i
i1
i1 j 1
n
var{ Z (u)}
j
i
i
j
i1
i
C (0)
C (0)
Kriging Ordinario Varianza mínima Los ponderadores óptimos (que minimizan la varianza del error sujeto a que la suma de los ponderadores sea igual a 1 ) pueden determinarse introduciendo un multiplicador de Lagrange m
n var{ Z (u) Z (u)} i j C (u i u j ) 2 i C (u ui ) C (0) 2 m i 1 i 1 j 1 i 1 1 i n
n
n
*
0
y anulando las derivadas parciales con respecto a los ponderadores y con respecto al multiplicador de Lagrange
Kriging Ordinario Las derivadas parciales son: n [ ] 2 j C (u i u j ) 2 C (u u i ) 2 m , i 1,...n i j 1
[ ] n 2 i 1 m i 1
Se desemboca en el sistema de kriging ordinario (KO) n j C (u i u j ) m C (u u i ) , i 1,... n j 1 n 1 i i 1
Kriging Ordinario En notación matricial: C (u1 u1 ) C (u u ) n 1 1
C (u1 u n ) 1 C (u n u n ) 1 1 0
mide las correlaciones (redundancias) entre datos
1 n m
C (u1 u) C (u u) n 1
mide las correlaciones entre datos y valor a estimar
Kriging Ordinario Se puede escribir también en términos de variograma
g (u1 u1 ) g (u u ) n 1 1
g (u1 u n ) 1 g (u n u n ) 1 1 0
1 n m
g (u1 u) g (u u) n 1
No es preciso que el variograma tenga una meseta para que exista este sistema. Por ende, se puede utilizar aun cuando el variograma crece infinitamente y no existe ni varianza ni covarianza
Kriging Ordinario Varianza del error La varianza del error ( “varianza de kriging ”) vale: 2 (u) s 2 s KO
n
C (u i
i
u) m
i 1 n
i g (u i u) m i 1
Puede calcularse sin conocer los valores de los datos. En ocasiones, esta varianza puede ser mayor que s2.
Ejemplo Dada la siguiente configuración, calcular el estimador de kriging simple y ordinario y las respectivas varianza para estimar Z(u0). El modelo variográfico a utilizar es: g(h) = 0,3 + 1,75 {1-exp(-3|h|/a)} Se sabe que Z(u1) = 0,5 g/t, Z(u2) = 16 g/t y la media del sector (vecindad) es m = 1,4 g/t
Z(u0)
Solución KS:
Solución KO:
1 = 0,208 2 = 0,410
1 = 0,399 2 = 0,601 = 0,595
Z(u0) = 7,22 g/t 2 KS = 1,43 (g/t)
Z(u0) = 9,82 g/t = 1,66 (g/t)2
Z(u2)
Z(u1)
Kriging de bloques El kriging (simple, ordinario…) puede ser extendido a la estimación directa del valor promedio en un bloque: Z(V)
1
Z(u)du V V
El sistema de kriging sólo difiere del sistema de kriging puntual en el miembro de la derecha: hay que reemplazar la covarianza punto-punto C(ui – u) por la covarianza punto-bloque: C (ui ,V)
1
1
N
C (u ,u)d u C (u ,x V N V
i
i
k
)
k 1
donde {xk, k = 1… N} son puntos que discretizan el bloque V.
