INTRODUCCION Generalmente el valor de la media m es desconocido y por lo tanto no se puede utilizar el kriging simple. El kriging ordinario establece una condición adicional al sistema de ecuaciones del kriging simple para para filtrar el valor desconocido de la media. media.
DEFINICION Kriging es un grupo de geoestadísticos técnicas para interpolar el valor de un campo al azar en una incumplido ubicación de las observaciones de su valor en lugares cercanos. La teoría detrás de interpolación y extrapolación por Kriging fue desarrollado por el matemático francés Georges Matheron sobre la base de la tesis de maestría de Daniel Krige Gerhardus,. Desde el punto de vista geológico, la práctica de kriging se basa en el supuesto de continuación de la mineralización entre los valores medidos. La aplicación de kriging a los problemas en la geología y la minería, así como a la hidrología se inició a mediados de los años 60 y especialmente en los años 70 con el trabajo de Georges Matheron.
El Kriging es conocido como el método interpolador Geoestadístico, es un estimador lineal insesgado, presenta dos propiedades básicas que son: Hacer que la suma de errores tienda a cero, y que el cuadrado de las desviaciones sea mínimo. Tiene como objetivo estimar el valor de la variable Z, para un punto x 0 que no ha sido considerado anteriormente, realiza una suma ponderada sobre todos los sectores que conforman la zona de estudio de interés, tomando los vecinos más cercanos al punto de interés x0.
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El proceso del Kriging es asignar pesos a los vecinos más cercanos, considerados para la estimación, la diferencia del Kriging con otros métodos de interpolación, es que utiliza un método semejante a la interpolación por media móvil ponderada, a diferencia que los pesos son asignados a partir de un análisis espacial, basados en el semivariograma experimental. Un método de interpolación será exacto cuando, pase por los puntos muestrales, lo más cercano posible a ellos. Es importante que un modelo para semivariograma que ha sido ajustado, represente una tendencia a los modelos antes descritos, para que las estimaciones obtenidas por medio del Kriging sean más exactas y más confiables. Las estimaciones mediante el método Kriging pueden ser, por punto o por bloque. Métodos de Estimación del Kriging.
Existen dos métodos de Kriging para realizar las estimaciones. Kriging Ordinario.
Es el método más apropiado, para situaciones medioambientales, este método asume que las medias locales, no están necesariamente relacionadas lo más cercanamente a la media poblacional, por lo cual solo usa las muestras en la vecindad local para la estimación. Kriging Simple.
Asume que las medias locales son relativamente constantes e iguales a la media poblacional, la cual es conocida. La media poblacional es usada como un factor en cada estimación local, a lo largo con las muestras en las vecindades locales. Hay dos tipos de Kriging, el de Punto y el de Bloque, lo cuales generan unas cuadrículas de interpolación. Kriging de Punto. Estima los valores de los puntos en los nodos de las cuadrículas.
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REPRESENTACIÓN TÉCNICA PUNTO KRIGING.
Kriging de Bloque.
Estima el valor promedio de los bloques rectangulares, que están centrados en los nodos de las cuadrículas, los bloques son le tamaño y forma de las celdas de las cuadrículas, este tipo de Kriging no resulta ser un buen interpolador, ya que no estima el valor de un punto. Efecto del Rango en las Estimaciones. Un valor grande para el rango (a), significa un comportamiento más continuo. Las estimaciones dan como resultado mapas bastante lisos para la variable de interés.
Efecto del modelo en las Estimaciones. Considerando la forma que presenta el Variograma en los primeros lags, un modelo Gaussiano es más continuo que un modelo Esférico con un mismo efecto en 6h, para la variable mejor correlacionada, se muestran los mapas con más suavización.
Efecto del Sill en las Estimaciones. El cambiar el valor de S ill , no cambia los valores de las estimaciones, por lo que los mapas de estimaciones seguirán siendo los mismo, afecta a la variación de las estimaciones, un sill más alto indica, mayor variación en las estimaciones.
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Error de Estimación.
Dado que no son estrictamente equivalentes, hay un error de estimación involucrado en los procedimientos. La aceptación de un método de estimación será dado por la magnitud de los errores involucrados, el mejor método a considerar de be ser el que de los errores más pequeños, considerando todos los bloques o puntos en la estimación. La Varianza en la Estimación.
La varianza indica la dispersión que presentan los valores estimados con respecto a los valores reales. El Kriging no solo provee una estimación de mínimos cuadrados, también está ligado a la varianza del error. La varianza del error es:
Dependiente en el modelo de la covarianza. La precisión de la estimación podría depender de la complejidad de la variabilidad espacial de z, modelado por la covarianza. Dependiente en la configuración de los datos. La localización de los datos y sus distancias entre sí, son estimados. Independiente de los valores de los datos.
Para un modelo de covarianza dado, la configuración de dos datos idénticos podría producir la misma varianza Kriging, sin importar que los datos estuvieren.
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KRIGING PUNTUAL
Utilizaremos el programa geovar
Luego abriremos el programa y seleccionaremos el archivo:
PROG1.BAS
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2. kriging en Excel Caso de estudio configuración del problema
APLICACIÓN Caso I
MODELO ESFERICO:
[ { ] }
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SOLUCION: a)
̅
̅ ̅ ̅
Matriz de distancia V
B
x1 x2 x3 x4
1 1,41 3,16 4,24 3,16
2 3,16 4,24 3,16 1,41
3 3,16 1,41 3,16 4,24
4 4,24 3,16 1,41 3,16
Matriz de variograma B
V
x1 x2 x3 x4
1 0,2101 0,4582 0,5979 0,4582
2 0,4582 0,5979 0,4582 0,2101
3 0,45822 0,2101 0,45822 0,59789
4 0,59789 0,45822 0,2101 0,45822
̅4311 ̅ Matriz de distancia B
B
1 2 3 4
1 0 2 2 2.83
2 2 0 2.83 2
3 2 2.83 0 2
4 2.83 2 2 0
Matriz de variograma B
B
1 2 3 4
1 0 0.296 0.296 0.413
2 0.296 0 0.413 0.296
3 0.296 0.413 0 0.296
4 0.413 0.296 0.296 0
̅ ∑ pág. 8
̅ Matriz de distancia V
V
X1 X2 X3 X4
X1 0 4 5.66 4
X2 4 0 4 5.66
X3 5.66 4 0 4
X4 4 5.66 4 0
Matriz de variograma V
V
X1 X2 X3 X4
X1 0 0.568 0.7583 0.568
X2 0.568 0 0.568 0.7583
X3 0.7583 0.568 0 0.568
X4 0.568 0.7583 0.568 0
̅ ∑ ENTONCES:
̅ ̅ ̅ APLICACIÓN Caso II
[ { ] }
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SOLUCION: a)
̅
̅ ̅ ̅
Matriz de distancia B
V
x0 x1 x2 x3 x4
1 1.41 1,41 3,16 4,24 3,16
2 1.41 3,16 4,24 3,16 1,41
3 1.41 3,16 1,41 3,16 4,24
4 1.41 4,24 3,16 1,41 3,16
Matriz de variograma B
V
X0 x1 x2 x3 x4
1 0,2101 0,2101 0,4582 0,5979 0,4582
2 0,2101 0,4582 0,5979 0,4582 0,2101
3 0,2101 0,45822 0,2101 0,45822 0,59789
4 0,2101 0,59789 0,45822 0,2101 0,45822
̅ ̅ Matriz de distancia B
B
1 2 3 4
1 0 2 2 2.83
2 2 0 2.83 2
3 2 2.83 0 2
4 2.83 2 2 0
Matriz de variograma B
B
1 2 3 4
1 0 0.296 0.296 0.413
2 0.296 0 0.413 0.296
3 0.296 0.413 0 0.296
4 0.413 0.296 0.296 0
̅ ∑ pág. 10
̅ Matriz de distancia V
V
X0 X1 X2 X3 X4
X0 0 2.83 2.83 2.83 2.83
X1 2.83 0 4 5.66 4
X2 2.83 4 0 4 5.66
X3 2.83 5.66 4 0 4
X4
2.83 4
5.66 4
0
Matriz de variograma V
V
X0 X1 X2 X3 X4
X0 0 0.4132 0.4132 0.4132 0.4132
X1 0.4132 0 0.568 0.7583 0.568
X2 0.4132 0.568 0 0.568 0.7583
X3 0.4132 0.7583 0.568 0 0.568
X4
0.4132 0.568 0.7583 0.568 0
̅ ∑ ENTONCES:
̅ ̅ ̅ KRIGING PUNTUAL APLICACIÓN NUMERICA
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MODELO ESFERICO: xi x1 x2 x3 x4
Z(xi) 50 52 60 53
[ { ] }
SOLUCION:
SISTEMA DE MATRICES:
Comprobar que siempre tiene que ser 1 Σxi=1
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ENTONCES:
( )( )()() POR LO TANTO:
APLICACIÓN Caso III
[ { ] }
SOLUCION: a)
̅ ̅ ̅
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̅ Matriz de distancia B
V
x0 x1 x2 x3 x4 x5
1 1.41 1,41 3,16 4,24 3,16 5.10
2 1.41 3,16 4,24 3,16 1,41 5.10
3 1.41 3,16 1,41 3,16 4,24 3.16
4 1.41 4,24 3,16 1,41 3,16 3.16
Matriz de variograma B
V
X0 x1 x2 x3 x4 x5
1 0,2101 0,2101 0,4582 0,5979 0,4582 0.6987
2 0,2101 0,4582 0,5979 0,4582 0,2101 0.6987
3 0,2101 0,45822 0,2101 0,45822 0,59789 0.4582
4 0,2101 0,59789 0,45822 0,2101 0,45822 0.4582
̅ ̅ Matriz de distancia B
B
1 2 3 4
1 0 2 2 2.83
2 2 0 2.83 2
3 2 2.83 0 2
4 2.83 2 2 0
Matriz de variograma B
B
1 2 3 4
1 0 0.296 0.296 0.413
2 0.296 0 0.413 0.296
3 0.296 0.413 0 0.296
4 0.413 0.296 0.296 0
̅ ∑ pág. 14
̅ Matriz de distancia V
V
X0 X1 X2 X3 X4 X5
X0 0 2.83 2.83 2.83 2.83 4
X1 2.83 0 4 5.66 4 6.32
X2 2.83 4 0 4 5.66 2.83
X3 2.83 5.66 4 0 4 2.83
X4
X5 2.83 4 4 6.32 5.66 2.83 4 2.83
0 6.32 6.32 0
Matriz de variograma V
V
X0 X1 X2 X3 X4 X5
X0 0 0.4132 0.4132 0.4132 0.4132 0.5680
X1 0.4132 0 0.568 0.7583 0.568 0.8220
X2 0.4132 0.568 0 0.568 0.7583 0.4132
X3 0.4132 0.7583 0.568 0 0.568 0.4132
X4
X5 0.4132 0.568 0.568 0.8220 0.7583 0.4132 0.568 0.4132
0 0.8220 0.8220 0
̅ ∑ ENTONCES:
̅ ̅ ̅ KRIGING PUNTUAL APLICACIÓN NUMERICA
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MODELO ESFERICO: xi X0 X1 X2 X3 X4
Z(xi) 58 50 52 60 53
X5 ?
[ { ] }
SOLUCION:
SISTEMA DE MATRICES:
Comprobar que siempre tiene que ser 1 Σxi=1
pág. 16
ENTONCES:
()( )()()( ) POR LO TANTO:
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