10. KRIGING 10.1
PERMASALAHAN
Dari hubungan kadar suatu conto pemboran dengan kadar blok akan diperoleh suatu pencaran sistematis. Disini berarti bahwa conto bor tersebut bukanlah suatu harga estimasi yang paling baik untuk menaksir blok, sehingga diperlukan suatu koreksi. Cara penentuan koreksi ini diberikan oleh Matheron melalui pemboran hargaharga conto dengan bantuan fungsi variogram. Nama cara ini (kriging) diambil dari pakar geostatistik di Afrika Selatan D. G. Krige yang telah memikirkan hal ini untuk pertama kalinya di awal tahun limapuluhan. Korelasi antara kadar-kadar conto pemboran dan kadar sebenarnya suatu blok yang diwakili oleh titik bor tersebut (diperoleh mis. dari hasil penambangan blok tersebut) akan memberikan suatu diagram pencar yang memperhatikan, bahwa sebagian besar pasangan data tersebut terletak di dalam suatu elips seperti yang terlihat pada Gambar 10.1.
Gambar 10.1 Pencaran data antara kadar conto hasil eksplorasi dengan kadar blok penambangan Dalam hal semua hasil analisa conto merupakan estimasi yang benar/cocok/ sesuai terhadap kadar setiap blok yang diwakili conto tersebut, maka pencaran pasangan data tersebut akan membentuk garis regresi A-A’ yang melalui titik nol. Penelitian Krige pada perilaku kadar conto emas memperhatikan bahwa garis regresi tersebut pada kenyataannya lebih mendatar, seperti yang ditujukan oleh garis B-B’ (Gambar 10.2).
Gambar 10.2 Pencaran data antara kadar conto vs. Kadar blok untuk conto emas (kurva B-B’) Ini berarti bahwa simpangan terbentuk secara sistimatik dan conto bor bukan merupakan harga estimasi yang mewakili kadar bijih pada blok. Analisa conto yang terletak di atas harga rata-rata memberikan suatu harga yang lebih besar daripada kadar-kadar blok, jika tidak diberikan koreksi. Harga conto z1 memberikan harga blok Z1’ melalui kurva A-A’ yang lebih besar dari harga sebenarnya Z1 (kurva B-B’). Tetapi sebaliknya analisa-analisa yang terletak di bawah harga rata-rata Z memberikan harga yang di bawah harga-harga blok, conto z2 melalui kurva A-A’ memberikan harga blok Z2’ yang lebih kecil dari harga sebenarnya Z2 (kurva BB’). Koreksi Matheron yang memperhatikan variogram dari analisa data regional, memperlihatkan bahwa estimasi kadar blok tidak hanya dipengaruhi oleh conto yang terletak di dalam blok saja, tetapi juga dipengaruhi oleh conto-conto di sekitarnya yang berdekatan. Koreksi tersebut memberikan : 1. suatu harga estimasi yang lebih baik, 2. suatu varians σ K2 dari estimasi tersebut. Cara perhitungan dengan metode kriging ini kadang-kadang terlalu kompleks untuk suatu komoditi tertentu. Hal ini sangat bermanfaat jika dilakukan pada penentuan cadangan-cadangan yang mineable dengan kadar-kadar di atas cutoff grade. Sebagai contoh hubungan antara harga analisa conto dengan harga analisa blok bijih (harga sebenarnya) yang terpancar membentuk elips (Gambar 3), kemudian tarik garis regresi melalui titik 0 dan titik ( Z , z ), selanjutnya bagi elips tersebut dengan cut-off grade zc = Zc = 5% menjadi empat bagian.
Gambar 10.3 Pencaran data antara kadar conto vs. memperlihatkan kesalahan penambangan
kadar
blok
yang
Daerah 1 : semua blok dengan kadar > cog sesuai dengan kadar conto > cog ditambang Daerah 2 : semau blok dengan kadar < cog yang sesuai dengan kadar conto < cog tidak ditambang Daerah 3 : semua blok dengan kadar < cog yang karena kesalahan kadar conto > cog yang ditambang Daerah 4 : semua blok dengan kadar > cog yang karena kesalahan kadar conto < cog tidak ditambang Jika garis regresi B-B’ yang menunjukkan hubungan antara conto dan kadar blok diplot, maka blok-blok dengan kadar 5% juga akan ditambang walaupun kadar conto kadar 3,5% (Gambar 3b). Daerah 4 pada Gambar 3b yang tidak tertambang karena kesalahan informasi menjadi kecil, sementara itu daerah 3 yang ditambang walaupun berkadar rendah menjadi lebih besar, walaupun demikian secara keseluruhan daerah dengan blok-blok yang mempunyai kadar > cut-off grade (5%) dan ditambang menjadi lebih besar. Berdasarkan analisis variogram, Matheron memberikan koreksi perkiraan kadar pada suatu blok yang tidak hanya dipengaruhi oleh conto di dalam blok saja, tetapi juga pada conto-conto di sekitarnya. Dengan bantuan kriging ini tidak akan ditentukan garis regresi baru yang lebih baik, tetapi metode ini akan mengoreksi kadar-kadar conto (dinaikkan atau diturunkan, sehingga mempersempit elips pencaran data (Gambar 4).
Gambar 10.4 Perubahan bentuk elips pencaran data akibat koreksi dengan metode kriging Melalui koreksi ini bentuk elips akan lebih kurus/sempit dengan batas-batasnya mendekati garis regresi yang membentuk sudut 45º. Jumlah conto dan pasangan bloknya pada daerah 3 dan daerah 4 yang menyatakan kadar rendah ditambang atau kadar tinggi tidak ditambang akan berkurang. Royle & Newton (1972) telah menyelidiki bermacam-macam model koreksi dan menghasilkan solusi, bahwa proses kriging ini memberikan harga-harga pengestimasi kadar-kadar blom terbaik berdasarkan kadar-kadar conto yang sudah dikoreksi.
10.2
PERSAMAAN UMUM
Misalnya terdapat suatu kumpulan S1 dari n conto dengan volumina yang sama pada suatu tempat xi sebagai harga perkiraan / estimasi terhadap suatu kadar Z dari volume V dipilih Z*. Harga perkiraan ini dapat melalui pembobotan kadar z(xi) conto : n
Z* = ∑ λ i ⋅ z ( x i ) i =1
Jumlah faktor pembobotan λi dibuat sedemikian rupa sehingga sama dengan satu : n
∑λ i =1
i
=1
Dengan cara ini akan tercapai, bahwa harga estimasi adalah without bias, artinya harga yang diharapkan untuk perbedaan antara Z da Z* adalah nol.
E{Z − Z *} = 0 Dengan memperhatikan faktor-faktor pembobotan akan didapat suatu varians estimasi (lihat persamaan terdahulu pada varians estimasi) Dengan memperhatikan faktor-faktor pembobotan akan didapat suatu varians estimasi (lihat persamaan terdahulu pada varians estimasi)
σ E2 = Var [Z − Z * ] n n 2 n 1 ( ) ( ) γ x − y dx dy − ∑∑ λi λ j γ (xi − x j ) = ∑ λi ∫ γ xi − y dy − V i =1 V VV V∫ V∫ i =1 i =1
= 2∑ λi γ (S i ,V ) − γ (V ,V ) − ∑∑ λi λ j γ (S i , S j ) n
n
i =1
n
i =1 j = 1
Varians estimasi ini adalah suatu fungsi dari faktor-faktor pembobotan λ1 , yang sudak diketahui bahwa jumlahnya adalah 1. Untuk memilih faktor-faktor pembobotan yang optimal, dibuat sedemikian rupa sehingga varians estimasi ini minimum. Persyaratan bahwa jumlah λ1 yang tidak diketahui adalah satu, dapat didekati dengan pertolongan suatu multiplier lagrange untuk meminimumkan hubungan persamaan berikut ini :
Q = σ E2 − 2μ (∑ λi − 1)
⇒ min
Selain dari yang tidak diketahui, juga terdapat μ yang juga tidak diketahui. Pernyataan bahwa harus diminimumkan ini diartikan bahwa pendekatan parsial ∂Q / ∂ μ dan ∂Q / ∂λi adalah nol. Selanjutnya didapat sistem persamaan linier (kriging system) sebagai berikut :
∑ λ γ (x n
j =1
j
i
− x j )+ μ =
1 γ (x − xi )dx V V∫
∑ λ j γ (S i , S j ) + μ = γ (S i ,V ) n
j =1
atau n
dan
∑λ i =1
i
=1
Sistem persamaan ini cukup untuk menentukan harga-harga λ1 dan μ yang akan menghasilkan suatu varians minimum. Varians perkiraan/estimasi (kriging variance) akan diekspresikan melalui persamaan berikut : n 1 1 2 σK = dx∫ γ (x − y )dy − ∑ λ j ∫ γ x − x j dx atau ∫ VV V V VV j =1
(
)
σ K2 = −γ (V ,V ) + μ + ∑ λ j γ (S j ,V ) n
j =1
Keterangan : Persamaan-persamaan yang diberikan dapat juga kemudian digunakan, jika z(xi) pada persamaan unutk perhitungan hargaharga estimasi Z adalah lebih kurang sama dengan harga ratarata dari sejumlah conto-conto yang berdekatan satu sama lain. Mis. γ (x i − x j ) bertindak sebagai harga rata-rata dari γ untuk kumpulan titik-titik Si dan Sj pada posisi xi dan xj.
Berikut ini diuraikan persamaan untuk menghitung dan yang merupakan konstanta-konstanta yang tidak dikenal :
λ1 ⋅ γ (S 1 S 1 ) + λ2 ⋅ γ (S 1 S 2 ) + ... + λ j γ (S 1 S j ) + ... + λn ⋅ γ (S 1 S n ) + μ = γ (S 1V ) λ1 ⋅ γ (S 1 S 1 ) + λ2 ⋅ γ (S 1 S 2 ) + ... + λ j γ (S 1 S j ) + ... + λn ⋅ γ (S 1 S n ) + μ = γ (S iV ) M
M
M
M
M
M
M
M M λ1 ⋅ γ (S 1 S 1 ) + λ2 ⋅ γ (S 1 S 2 ) + ... + λ j γ (S 1 S j ) + ... + λn ⋅ γ (S 1 S n ) + μ = γ (S jV ) M M M λ1 ⋅ γ (S 1 S 1 ) + λ2 ⋅ γ (S 1 S 2 ) + ... + λ j γ (S 1 S j ) + ... + λn ⋅ γ (S 1 S n ) + μ = γ (S nV ) λ1
+ λ2
+ ... + λ j
+ ... + λ n
+μ = 1
Dengan memperhatikan bahwa γ (S i S j ) = y (S j S i ) , maka akan memberikan suatu matriks berikut ini : ⎡γ (S 1 S 1 ) γ (S 1 S 2 ) ⎢ ⎢γ (S 2 S 1 ) γ (S 2 S ) ⎢ M M ⎢ ⎢ γ (S i S 1 ) γ (S j S 2 ) ⎢ M M ⎢ ⎢γ (S n S 1 ) γ (S n S 2 ) ⎢ 1 1 ⎣
L γ (S 1 S j ) L γ (S 1 S n ) 1⎤ ⎡ λ1 ⎤ ⎡γ (S 1V )⎤ ⎥ ⎢ ⎥ L γ (S 2 S j ) L γ (S 2 S n ) 1⎥ ⎢⎢λ 2 ⎥⎥ ⎢γ (S 2V )⎥ ⎥ ⎢M⎥ ⎢ M ⎥ M M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ L γ (S i S j ) L γ (S j S n ) 1⎥ • ⎢λ j ⎥ = ⎢γ (S jV )⎥ ⎥ ⎢M⎥ ⎢ M ⎥ M M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ L γ (S n S j ) L γ (S n S n ) 1⎥ ⎢λ n ⎥ ⎢γ (S nV )⎥ 1 1 0 ⎥⎦ ⎢⎣ μ ⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ L L
Matriks γ (S i S j ) merupakan suatu matriks yang simetris. Sistem persamaan tersebut diatas dapat dituliskan sebagai berikut :
[K ] ⋅ [L ] = [M ] Persamaam ini akan diselesaikan terhadap L untuk mendapatkan λ1 dan sehingga diperoleh persamaan :
[L ] = [K ]−1 ⋅ [M ] Untuk varians kriging dapat dituliskan :
σ K2 = −γ (V ,V )+ t [L ] ⋅ [M ]
10.3
PENGARUH PARAMETER GEOSTATISTIK PADA FAKTOR-FAKTOR PEMBOBOTAN DAN VARIANS ESTIMASI
Pengaruh beberapa parameter geostatistik akan diterangkan pada suatu conto perhitungan sederhana sebagai berikut : Diketahui conto x i dengan kadar z( x i ) diambil dengan jarak yang sama (L=20 m) di sepanjang suatu garis. Kadang rata-rata semua conto z = 1,0 . Variogram (model Matheron) pada data tersebut mempunyai parameter sebagai berikut :
C0 = 0 ,0
C = 1,0
a = 60 m
Akan dihitung faktor-faktor bobot, varians estimasi (varians kriging), dan standar deviasi relatif untuk kadar z* suatu potongan garis sepanjang L (mis, pada titik x1 ) Untuk melihat bagaimana pengaruh conto-conto di sekitarnya serta pengaruh nugget variance, maka akan diperhatikan jika hanya dipengaruhi oleh suatu titik x 1 (dirinya sendiri), atau dipengaruhi oleh tiga titik x 1 , x 2 , x3 atau jika dipengaruhi oleh semua titik-titik conto disekitarnya.
10.3.1 SISTEM KRIGING DENGAN MEMPERHATIKAN HANYA SATU CONTO
∑ λ j γ (S i , S j ) + μ = γ (S i , L ) n
j =1
n
∑λ j =1
j
=1
untuk n = 1 maka λ1 = 1
γ (S 1 S 1 ) = 0
γ (S 1 L ) = C0 + Cγ (pf)
[ 2] = 0 + 1 X (10 ) 60 = C0 + C X L = 0,124
Dengan memasukkan parameter-parameter tersebut pada persamaan umum kriging akan memberikan : 1 ⋅ 0 + μ = 0 ,124 ⇒ μ = 0 ,124
Untuk varians krigingnya berlaku rumus :
σ K2 = −γ (L , L ) + μ + ∑ λ j γ (S j , L ) n
j =1
γ (L, L) = C0 + C ⋅ F (L)
( a ) = F (20 60 )
= 0 + 1⋅ F L
= F (0,333) = 0,165 μ = 0 ,124
λ1 γ (S 1 L ) = 1* 0 ,124 = 0 ,124
σ K2 = −0 ,165 + 0 ,124 + 0 ,124 = 0 ,083 Standar deviasi relatif : σ K =
σ K2 z
⋅ 100% = 29%
10.3.2 SISTEM KRIGING DENGAN MEMPERHATIKAN TIGA CONTO Sistem Kriging
λ1 ⋅ γ (S1 S1 ) + λ2 ⋅ γ (S1 S 2 ) + λ3 ⋅ γ (S1 S 3 ) + μ = γ (S1 L)
λ1 ⋅ γ (S 2 S1 ) + λ2 ⋅ γ (S 2 S 2 ) + λ3 ⋅ γ (S 2 S3 ) + μ = γ (S 2 L)
λ1 ⋅ γ (S 3 S1 ) + λ2 ⋅ γ (S 3 S 2 ) + λ3 ⋅ γ (S 3 S 3 ) + μ = γ (S 3 L) + λ2 + λ3 +μ = 1 λ1 Untuk L = 20 m maka :
a = 60 m
C0=0,0
dan C = 1,0
γ (S 1 S 1 ) = γ (S 2 S 2 ) = γ (S 3 S 3 ) = 0
γ (S1 S 2 ) = γ (S1 S 3 ) = C0 + C ⋅ γ (x1 − x2 )
( ) (
)
γ (x1 − x 2 ) = γ L a = γ 20 60 = γ (0 ,333) = 0 ,481 γ (S 2 S3 ) = γ (S3 S 2 ) = C0 + C ⋅ γ (x2 − x3 )
( ) (
)
γ (x 2 − x3 ) = γ 2 L a = γ 40 60 = γ (0 ,667 ) = 0 ,851
( )
γ (S 1 L ) = C0 + C ⋅ X L 2 = 0 ,124 γ (S 2 L) = γ (S 3 L) = C0 + C ⋅ X (L' )
seperti pada a)
( L + L )⋅ X (L + L ) − (L )⋅ X (L ) 2 2 2 2 X (L' ) =
(
L = X 30
) ( ( ) (
) )
= X (0 ,5 ) = 0 ,359 2 60 X L = X 10 = X (0 ,167 ) = 0 ,124 2 60 30 ⋅ 0 ,359 − 10 ⋅ 0 ,124 X (L' ) = = 0 ,477 20 ⇒ X L+L
Sehingga sistem kriging menjadi : λ 1 ⋅ 0 ,000 + λ 2 ⋅ 0 ,481 + λ 3 ⋅ 0 ,481 + μ = 0 ,124 λ 1 ⋅ 0 ,481 + λ 2 ⋅ 0 ,000 + λ 3 ⋅ 0 ,851 + μ = 0 ,477 λ 1 ⋅ 0 ,481 + λ 2 ⋅ 0 ,851 + λ 3 ⋅ 0 ,000 + μ = 0 ,477 λ1 + λ2 + λ3 + 0 = 1,000 ______________________________________ 0 + 0 ,851 λ 2 + 0 ,851 λ 3 + 0 = 0 ,00
[1] [2 ] [3 ] [4 ]
[2] − [3]
λ 2 = λ3 ______________________________________
λ1 + 2λ2 = 1,000 λ1 = 1,000 − 2λ2
[4]
______________________________________
2(0 ,481 λ2 ) + μ = 0 ,124
μ = 0 ,124 − 0 ,962 λ2
[1]
______________________________________
(1 − 2 λ 2 )0 ,481 + 0 ,851 λ 2 + (0 ,124 − 0 ,962 λ 2 ) = 0 ,477
0 ,481 − 0 ,962 λ 2 + 0 ,851 λ 2 + 0 ,124 − 0 ,962 λ 2 = 0 ,477 λ 2 = 0 ,12
______________________________________ λ 1 = 0 ,76
λ2 = λ3 = 0 ,12 dan μ = 0 ,01
[2]
σ K2 = −γ (L , L ) + μ + ∑ λ j γ (S j , L ) n
j =1
γ (L , L ) = 0 ,165 μ = 0 ,124
∑ λ γ (S , L ) = 0 ,76 ⋅ 0 ,124 + 0 ,12 ⋅ 0 ,477 + 0 ,12 ⋅ 0 ,477 = 0 ,208 n
j =1
j
j
σ K2 = −0 ,165 + 0 ,01 + 0 ,208 = 0 ,053 Standar deviasi relatif : σ
=
σ K2
* 100% = 23% z ______________________________________ 2 K
Z* = λ1 ,76 * z (x1 ) + 0 ,12 * z (x2 ) + 0 ,12 * z (x3 ) Faktor bobot λ 2 dan λ3 mempunyai harga yang sama, sesuai dengan posisi titik 2 dan 3 yang simetri terhadap titik 1 (berjarak L). Berdasarkan posisi titik-titik yang simetri ini, maka persamaan sistem kriging dapat lebih disederhanakan sebagai berikut : ⎡ z ( x ) + z ( x3 ) ⎤ Z* = λ1 ⋅ z ( xi ) + λ2 ⋅ ⎢ 2 ⎥ { 2 ⎣ 442 S1 1 443⎦ S2
Sistem kriging
λ 1 ⋅ γ (S 1 S 1 ) + λ 2 ⋅ γ (S 1 S 2 ) + μ = γ (S 1 L )
λ1 ⋅ γ (S 2 S 1 ) + λ 2 ⋅ γ (S 2 S 2 ) + μ = γ (S 2 L ) λ1 + λ2 + 0 = 1,000 γ (S 1 S 1 ) = 0
γ (S 2 S 2 ) = 1 2 [C0 + C ⋅ γ (2 L )]
= 1 [0 + 1 ⋅ 0 ,851] = 0 ,425 2 γ (S 2 S 1 ) = γ (S 1 S 2 ) = 0 ,481
(
)
γ 40 60 = γ (0 ,667 ) = 0 ,851
seperti sebelumnya γ (S 1 L ) = 0 ,124 γ (S 2 L ) = 0 ,477 ______________________________________
λ 1 ⋅ 0 ,000 + λ 2 ⋅ 0 ,481 + μ = 0 ,124 λ 1 ⋅ 0 ,481 + λ 2 ⋅ 0 ,425 + μ = 0 ,477 λ1 + λ2 + 0 = 1,000
______________________________________
λ2 = 0 ,24(λ2 = 0 ,12 & λ3 = 0 ,12) λ 1 = 0 ,76 μ = 0 ,01 ______________________________________ σ K2 = −0 ,165 + 0 ,01 + 0 ,76 ⋅ 0 ,124 + 0 ,24 ⋅ 0 ,477 = -0,165+0,01+0,208
σ K2 = 0 ,053
seperti sebelumnya
10.3.3 SISTEM KRIGING DENGAN MEMPERHATIKAN SEMUA CONTO Akan digunakan tiga conto seperti pada 10.3.3, semua sisa conto lainnya dikelompokkan menjadi satu conto dengan harga rata-ratanya z . Semua conto rata-rata ini mempunyai jarak yang cukup jauh dari letak x1 , x 2 , x3 dan potongan L, demikian hingga γ (h ) dan semua fungsi bantu X(h), F(h) dianggap sama dengan 1,0.
⎡ z ( x ) + z ( x3 ) ⎤ Z* = λ1 ⋅ z ( xi ) + λ2 ⋅ ⎢ 2 ⎥ + λ3 ⋅ {z { 2 ⎣1442 S3 S1 443⎦ S2
Sistem kriging
λ1 ⋅ γ (S1 S1 ) + λ2 ⋅ γ (S1 S 2 ) + λ3 ⋅ γ (S1 S 3 ) + μ = γ (S1 L)
λ1 ⋅ γ (S 2 S1 ) + λ2 ⋅ γ (S 2 S 2 ) + λ3 ⋅ γ (S 2 S3 ) + μ = γ (S 2 L) λ1 ⋅ γ (S 2 S1 ) + λ2 ⋅ γ (S 2 S 2 ) + λ3 ⋅ γ (S3 S3 ) + μ = γ (S3 L) λ1
+ λ2
+ λ3
γ (S 1 S 1 ) = 0 γ (S 1 S 2 ) = γ (S 2 S 1 ) = 0 ,481 γ (S 2 S 2 ) = 0 ,425
+ 0 = 1,000
γ (S1 S 3 ) = γ (S 3 S1 ) = C0 + C ⋅ γ (1,0) = 1,0 γ (S 2 S3 ) = γ (S3 S 2 ) = C0 + C ⋅ γ (1,0) = 1,0
γ (S3 S3 ) = C0 + C = 1,0
Conto-conto yang tergabung dalam S3 terletak terpencar jauh di luar ( jarak > a), sehingga kadar rata-rata semua γ (x1 − x j ) adalah 1 (satu).
γ (S 1 L ) = 0 ,124 γ (S 2 L ) = 0 ,477
γ (S 3 L) = C0 + C ⋅ X (L' ) ≅ 1,00 Sebagai contoh perhitungan , diambil conto-conto dengan jarak 6L = 120 m (L + 6 L) ⋅ X (L + 6 L) − (6 L) ⋅ X (6 L) X (L' ) = L 7 L ⋅ X 140 − 6 L ⋅ X 120 60 60 = 7 ⋅ X (2 ,333 ) − 6 ⋅ X (2 ,0 ) = L = 7 ⋅ 0,84 − 6 ⋅ 0,82 = 0,96 ≅ 1,00
(
)
(
)
λ1 ⋅ 0 ,000 + λ2 ⋅ 0 ,481 + λ3 ⋅ 1,000 + μ = 0 ,124 λ1 ⋅ 0 ,481 + λ2 ⋅ 0 ,425 + λ3 ⋅ 1,000 + μ = 0 ,477 λ1 ⋅ 1,000 + λ2 ⋅ 1,000 + λ3 ⋅ 1,000 + μ = 1,000 + λ3 + 0 = 1,000 + λ2 λ1
[1] [2] [3] [4]
______________________________________ − 0 ,481 λ 1 + 0 ,056 λ 2 + 0 ,000 + 0 ,000 = −0 ,353 λ 1 = 0 ,116 λ 2 + 0 ,734
[1]-[2]
______________________________________ 0,116 λ1 +0,734+ λ2 + λ3 = 1,000
[4]
λ3 = 0 ,266 − 1,116λ2 ______________________________________
λ1 + λ2 + λ3 = 1,000
→ μ = 0 ,000 ______________________________________ 0 ,481λ 2 + 0 ,266 − 1,116 λ 2 = 0 ,124
λ2 =
0 ,142 = 0 ,224 0 ,635
[3]
λ 1 = 0 ,116 λ 2 + 0 ,734 = 0 ,760 λ3 = 0 ,226 − 1,116λ2 = 0 ,016 (karena kecil diabaikan) ______________________________________
σ K2 = −γ (L , L ) + μ + ∑ λ j γ (S j , L ) n
j =1
γ (L , L ) = 0 ,165
μ = 0 ,000
0,760 ⋅ 0,124 = 0,094 0 ,244 ⋅ 0 ,477 = 0 ,107 0 ,016 ⋅ 1,000 = 0 ,016
∑ λ γ (S , L ) = 0 ,217 n
j =1
σ K2 = 0 ,053
j
j
(seperti sebelumnya)
Kedua conto z ( x 2 ) dan z ( x3 ) bersifat memagari pengaruh conto-conto yang terletak di sebelah luarnya. Di sini tidak terjadi perbaikan faktor bobot dan juga tidak ada perbaikan varians estimasi.
10.3.4 PENGARUH NUGGET VARIANCE C0 ≠ 0 Dengan memperhatikan semua conto seperti pada 10.3.3 C0 = 0 ,3 γ (S 1 S 1 ) = 0
γ (S 1 S 2 ) = 0 ,3 + 0 ,481 = 0 ,781 1 γ (S 2 S 2 ) = (0 ,31 + 0 ,851) = 0 ,576 2 γ (S 3 S1 ) = 0 ,31 + 1,0 = 1,3
C = 1,0 a = 60 m
z = 1,0
γ (S 3 S 2 ) = 0,31 + 1,0 = 1,3
γ (S 3 S 3 ) = 0 ,31 + 1,0 = 1,3
γ (S 1 L ) = 0 ,3 + 0 ,124 = 0 ,424 γ (S 2 L ) = 0 ,3 + 0 ,477 = 0 ,777
γ (S 3 L) = 0,3 + 1,0 = 1,3
___________________________________________
λ1 ⋅ 0 ,000 + λ2 ⋅ 0 ,781 + λ3 ⋅ 1,3 + μ = 0 ,424 λ1 ⋅ 0 ,781 + λ2 ⋅ 0 ,576 + λ3 ⋅ 1,3 + μ = 0 ,777 λ1 ⋅ 1,3 + λ2 ⋅ 1,3 + λ3 ⋅ 1,3 + μ = 1,3 λ1
+ λ2
+ λ3
+ 0 = 1,0
[1] [2] [3] [4]
___________________________________________ − 0 ,781 λ 1 + 0 ,205 λ 2 + 0 + 0 = − 0 ,353 λ 1 = (0 ,205 λ 2 + 0 ,353 ) / 0 ,781 = 0 ,262 λ 2 + 0 ,452
[1]-[2]
___________________________________________ ___________________________________________
0 ,262λ1 + 0 ,452 + λ2 + λ3 = 1,0 λ2 = 0 ,548 − 1,262λ3 ___________________________________________ 1,3λ1 + 1,3λ2 + 1,3λ3 + μ = 1,3 1,3 ⋅ (λ1 + λ2 + λ3 ) + μ = 1,3
[4]
[3]
λ1 + λ2 + λ3 = 1 μ = 0 ,0 ___________________________________________
0 ,781λ2 + 1,3λ3 + μ = 0 ,424 0 ,781 λ 2 + 1,3 (0 ,548 − 1,262 λ 2 ) = 0 ,424 0 ,288 λ2 = = 0 ,335 0 ,860 λ 1 = 0 ,262 λ 2 + 0 ,452 = 0 ,540 λ3 = 1,0 − 0 ,335 − 0 ,540 = 0 ,125 ___________________________________________
σ K2 = −γ (L , L ) + μ + ∑ λ j γ (S j , L ) n
j =1
γ (L , L ) = 0 ,3 + 0 ,165 = 0 ,465
0 ,540 ⋅ 0,424 = 0,229 0,335 ⋅ 0,777 = 0,260 0 ,125 ⋅ 1,300 = 0 ,163 +
∑ λ γ (S n
j =1
j
j
, L ) = 0 ,652
σ K2 = −0 ,465 + 0 ,00 + 0 ,652 = 0 ,187 σ K = 0 ,187 / 1,0 ⋅ 100 % = 43% ___________________________________________
[1]
Dengan kehadiran varians nugget, pengaruh conto-conto yang terletak di luar tidak dapat lagi diabaikan. Effek screen pada conto berikutnya berkurang akibat adanya varians nugget. Jika varians nugget dinaikkan lagi menjadi C0 = 0 ,5 akan terlihat pengaruhnya lebih baik lagi : λ 1 = 0 ,466
λ 2 = 0 ,341
σ K2 = 0 ,248
σ K = 43 %
λ3 = 0 ,193
μ = 0 ,000
10.3.5 RINGKASAN C0 λ1 λ2
0,0 1,0
1 conto 0,3 1,0
0,5 1,0
σ K2
0,08 29%
0,38 62%
0,58 76%
λ3
σK
3 conto 0,0 0,76 0,12 0,12
0,0 0,76 0,22 0,02
Semua conto 0,3 0,54 0,34 0,12
0,5 0,47 0,34 0,25
0,05 23%
0,05 23%
0,19 43%
0,25 50%
10.4
SIFAT-SIFAT CARA KRIGING
Melalui metode kriging diperoleh harga penaksir terbaik berdasarkan informasi yang ada pada suatu endapan bahan galian. Faktor bobot dipilih sedemikian rupa sehingga diperoleh varians estimasi yang minimum. Sehingga Kriging memperhatikan : • Struktur dan korelasi spasial variabel melalui suatu fungsi γ (h ) , • Hubungan geometri relatif antar data yang mencakup hal penaksiran dan penaksiran volume melalui γ sebagai γ (S i , S j ) (hubungan antar data) dan sebagai γ (Si ,V ) (hubungan antara data dan volume). Jika variogram isotrop dan pola data teratur, maka sistem kriging akan memberikan data yang simetri. Dalam banyak hal hanya conto-conto di dalam blok dan di sekitar blok memberikan estimasi dan mempunyai suatu faktor bobot masing-masing nol. Dalam hal ini jangkauan radius conto yang pertama atau kedua pertama akan tidak mempengaruhi (tersaring). Efek screen ini akan terjadi, jika tidak ada nugget effect atau kecil sekali ε = C0 / C . Efect nugget ini menurunkan efek screen. Untuk efek nugget yang besar, semua conto mempunyai bobot yang sama. Conto-conto yang terletak jauh dari blok dapat diikutsertakan dalam estimasi ini melalui harga rata-ratanya. Seperti yang telah dijelaskan, metode ini memanfaatkan penggunaan informasi yang ada sebaik-baiknya, sehingga didapatkan estimasi linier yang paling baik untuk harga yang sebenarnya. Target utamanya adalah menghindari kesalahan sistematis dalam estimasi yang terlalu besar atau terlalu kecil (over estimate atau under estimate) dalam menaksir cadangan. Hal ini sangat penting pada perkiraan cadangan untuk pemilihan blok apakah layak tambang atau tidak.
10.5
CONTOH KRIGING PADA SUATU GRID YANG TERATUR
Perhitungan dilakukan terhadap suatu blok pada endapan bahan galian yang sudah diketahui mempunyai variogram model Matheron dengan : C0=0,0
C=1,0
a= 60 m
z = 1,0
Blok berbentuk bujur sangkar berukuran 20 m x 30 m dengan 4 conto disekelilingnya dan 1 conto di tengah-tengah blok. Berdasarkan kesimetrian letak conto terhadap blok, maka persamaan penaksiran kadar dapat dikelompokkan sebagai berikut :
z* = λ1 ⋅ z (x1 ) + λ 2 ⋅ { S1
3
∑λ j =1
j
z (x4 ) + z (x5 ) z ( x1 ) + z ( x 2 ) + λ3 ⋅ 2 44 142 4 2 43 4 14 42 3 S2
S3
⋅ γ (S i , S j ) + μ = γ (S i , R )
γ (S 1 , S 1 ) = 0 1⎛ 2⎝
⎛ 40 ⎞ ⎞ ⎟ ⎟⎟ = 0 ,5 ⋅ 0 ,852 = 0 ,426 ⎝ 60 ⎠ ⎠ 1⎛ ⎛ 60 ⎞ ⎞ γ (S 3 , S 3 ) = ⎜⎜ C0 + C ⋅ γ ⎜ ⎟ ⎟⎟ = 0 ,5 ⋅ 1,000 = 0 ,500 2⎝ ⎝ 60 ⎠ ⎠ ⎛ 20 2 + 30 2 ⎞ ⎟ = γ (0 ,601) = 0 ,793 γ (S 2 , S 3 ) = C 0 + C ⋅ γ ⎜ ⎜ ⎟ 60 ⎝ ⎠ ⎛ 20 ⎞ γ (S 1 , S 2 ) = C0 + C ⋅ γ ⎜ ⎟ = 0 ,481 ⎝ 60 ⎠ ⎛ 30 ⎞ γ (S 1 , S 3 ) = C0 + C ⋅ γ ⎜ ⎟ = 0 ,688 ⎝ 60 ⎠ ⎛ 10 15 ⎞ γ (S 1 , R ) = C0 + C ⋅ Q⎜ , ⎟ = 0 ,241 ⎝ 60 60 ⎠ γ (S 2 , R) = C0 + C ⋅ Q(R' )
γ (S 2 , S 2 ) = ⎜⎜ C0 + C ⋅ γ ⎜
⎛ 30 15 ⎞ ⎛ 10 15 ⎞ 3 ⋅ Q⎜ , ⎟ − 1 ⋅ Q⎜ , ⎟ ⎝ 60 60 ⎠ ⎝ 60 60 ⎠ Q (R' ) = 2
3 1 = ⋅ 0 ,638 − ⋅ 0 ,241 = 0 ,517 2 2
γ (S 3 , R) = C0 + C ⋅ Q(R' ' ) ⎛ 45 10 ⎞ ⎛ 15 10 ⎞ 3 ⋅ Q⎜ , ⎟ − 1 ⋅ Q⎜ , ⎟ ⎝ 60 60 ⎠ ⎝ 60 60 ⎠ Q (R' ' ) = 2
3 1 = ⋅ 0 ,536 − ⋅ 0 ,241 = 0 ,683 2 2 ⎛ 30 20 ⎞ γ (R , R ) = C0 + C ⋅ F ⎜ , ⎟ = 0 ,320 ⎝ 60 60 ⎠ Sistem kriging :
λ1 ⋅ 0 ,000 + λ2 ⋅ 0 ,481 + λ3 ⋅ 0 ,688 + μ = 0 ,241 λ1 ⋅ 0 ,481 + λ2 ⋅ 0 ,426 + λ3 ⋅ 0 ,793 + μ = 0 ,517 λ1 ⋅ 0 ,688 + λ2 ⋅ 0 ,793 + λ3 ⋅ 0 ,500 + μ = 0 ,683 + λ2 + λ3 +0 =1,000 λ1 ___________________________________________ penyelesaian empat persamaan dengan empat variabel λ1 = 0 ,57
λ3 = 0 ,17
λ 2 = 0 ,26
μ = 0 ,00
σ K2 = −γ (R , R ) + μ + ∑ λ j γ (S j , R ) n
j =1
= − 0 ,320 + 0 ,00 + (0 ,057 ⋅ 0 ,241 + 0 ,26 ⋅ 0 ,517 + 0 ,17 ⋅ 0 ,083 ) = − 0,320 + 0,387 = 0,067 Standar deviasi relatif : σ K =
σ K2
⋅ 100% = 26% z ___________________________________________
Bandingkan dengan : σ E2 (
) = σ E2 ⎛⎜ 30 , 20 ⎞⎟ = 0 ,158 ⎝ 60 60 ⎠
σ E = 40 % ___________________________________________
Secara umum cara kriging untuk blok dengan grid teratur ini tidak hanya memperhatikan 4 conto/blok di sekitarnya tetapi 8 blok.
•8
•2
•9
•4
•1
•5
•7
•3
•6
Kadar yang diestimasi untuk blok di tengah-tengah (blok 1) adalah :
⎛ z ( x ) + z ( x5 ) ⎞ ⎛ z ( x ) + z ( x3 ) ⎞ Z* = λ1 ⋅ z ( x1 ) + λ2 ⋅ ⎜ 2 ⎟+ ⎟ + λ3 ⋅ ⎜ 4 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ z (x ) + z ( x7 ) + z ( x6 ) + z (x7 ) ⎞ λ4 ⋅ ⎜ 6 ⎟ + λ5 ⋅ z 2 ⎝ ⎠ Dalam hal ini akan terdapat 6 sistem persamaan linier untuk menentukan bobot λi ( μ = 0 seperti yang sudah dijelaskan terlebih dahulu). Untuk suatu efek nugget yang besar ε = C0 / C perlu diperhatikan satu kelompok conto yang mengitari blok di cincin luarnya lagi. Catatan : Sistem persamaan tersebut, yaitu pembobotan tiap conto melalui λi berlaku juga untuk semua blok-blok yang akan ditaksir, dengan syarat konfigurasi conto dan bloknya sama. Untuk dapat melakukan kriging pada 66 blok dengan grid teratur, harus dihitung 4 faktor bobot yaitu untuk 4 conto bor yang mengitari setiap blok. Varians estimasi untuk tiap blok akan berbeda, semakin sedikit conto yang ikut dalam proses semakin besar harga varians ini.
Jika conto terletak di dalam blok yang akan ditaksir, atau ada satu-dua conto terletak di sekitar 8 conto yang akan digunakan untuk menaksir blok, maka sistem persamaannya harus disesuaikan lagi karena sistem pembobotannya sudah berbeda.
Untuk conto dengan penyebaran yang tidak teratur, yang karena suatu hal tidak terletak di tengah-tengah blok (random stratified grid), sistem persamaannya masih dapat digunakan tetapi dengan memodifikasi untuk tiap blok.
10.6
CONTOH KRIGING PADA GRID YANG TIDAK TERATUR
Kadar z* suatu blok selayaknya ditaksir dari kadar conto blok tersebut dan kadarkadar dari conto di sekitar blok yang akan diestimasi. Terdapat satu kelompok S1 = n conto di tengah-tengah blok R, yang dikelilingi 8 blok di sekitarnya A yaitu kelompok S2 = m conto, dan seluruh endapan diwakili oleh satu kelompok S3 = 1 conto (kadar rata-rata = z ). Jika kadar kelompok S1 = z1, dan kadar kelompok S2 = z2, maka harga estimasi adalah :
z* = λ1 ⋅ z1 + λ2 ⋅ z 2 + λ3 ⋅ z Blok 1 = blok Blok 2-9 = aureol Seluruh endapan
R / S1 / n conto dengan z1 A / S2 / m conto dengan z2 V / S3 z
(aureol = blok-blok yang mengelilingi blok yang akan ditaksir R) Sistem kriging :
λ1 ⋅ γ (S1 S1 ) + λ2 ⋅ γ (S1 S 2 ) + λ3 ⋅ γ (S1 S3 ) + μ = γ (S1 R)
λ1 ⋅ γ (S 2 S1 ) + λ2 ⋅ γ (S 2 S 2 ) + λ3 ⋅ γ (S 2 S 3 ) + μ = γ (S 2 R)
λ1 ⋅ γ (S3 S1 ) + λ2 ⋅ γ (S 3 S 2 ) + λ3 ⋅ γ (S 3 S 3 ) + μ = γ (S 3 R) + λ2 + λ3 = 1,0 λ1
Karena conto-conto dalam blok tidak mempunyai posisi yang teratur, maka hubungan γ yang biasanya berlaku antar titik digantikan dengan hubungan γ dengan bidang yang ditaksir, mis.
γ (S 1 S1 ) → γ (R , R ) atau γ (S 1 S 2 ) → γ (R , A) 1 n
λ1 ⋅ γ (R , R ) + λ2 ⋅ γ (R , A) + λ3 ⋅ γ (RV ) + μ = γ (R1 R ) 1 n
λ1 ⋅ γ ( A, R ) + λ2 ⋅
1 γ ( A, A) + λ3 ⋅ γ ( A,V ) + μ = γ ( A, R ) m λ1 ⋅ γ (V , R) + λ2 ⋅ γ (V , A) + λ3 ⋅ γ (V ,V ) + μ = γ (V , R)
λ1
+ λ2
+ λ3
= 1,0
Selain itu perlu diperhatikan juga, bahwa ekstensi endapan (V) lebih besar dibandingkan dengan range a, sehingga γ (V , R ) = γ (R ,V ) = γ (V , A) = γ ( A,V )
= γ (V ,V ) = C0 + C = K dan dengan demikian μ = 0 .
Sistem persamaan kriging disederhanakan menjadi :
λ1 ⋅ γ (R , R ) + λ2 ⋅ γ (R , A) 1 n
λ1 ⋅ γ ( A, R ) + λ2 ⋅ λ1
+ λ2
+ λ3 ⋅ K = γ ( R , R )
1 γ ( A, A) + λ3 ⋅ K = γ ( A, R ) m + λ3 = 1,0
Hubungan γ antar bidang yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan tersebut dapat diperoleh secara numerik melalui integrasi, seperti yang sudah dijelaskan pada penurunan fungsi bantu F. Penentuan dapat juga diperoleh melalui tabel fungsi bantu F, seperti yang ditunjukkan pada dua contoh berikut ini : a) γ (R , A) Perhitungan hubungan antara bidang di tengah-tengah R (=1) dan aureol A (=2+3+4) :
Untuk mempermudah, hubungan antara bidang 1 dengan bidang 1 diekspresikan dalam F11, hubungan antara bidang 1 dengan bidang 2 adalah F12, dst
Sehingga didapat :
F11 + F12 + F22 + F21 + F33 + F34 + F44 + F43
+ + + +
F13 F24 F31 F42
+ + + +
F14 F23 F32 F41 = 16F
Hubungan yang sama dan sebangun tersebut ditulis berulang-ulang dan dapat disederhanakan sebagai berikut : 4F11 + 4F12 + 4F13 + 4F41 = 16F F11 + F12 + F13 + F41 = 4F Yang dicari adalah hubungan antara bidang 1 dengan 2+3+4 : F12 + F13 + F14 = 4F - F11 γ (R , A) = 4F(2h,2l) - F(h,l) b) γ ( A, A) Dengan jalan yang sama hubungan antara bidang 2 sampai dengan 9 dapat dicari : 81F = 9F11+12F12+16F13+12F14+6F26+6F39+8F25+8F38+4F37 setelah dikelompokkan diperoleh : 64 γ ( A, A) = 81F - F11 - 4F12 - 8F13 - 4F14 1 [81F(3h,3l) - F(h,l) – 8F(h,2l) – 8F(2h,l) – 32F(2h,2l)] γ ( A, A) = 64
Contoh melakukan kriging pada suatu endapan bahan galian (Royle, 1971) Diketahui suatu potongan (slice) endapan bahan galian yang dibagi dalam blok berukuran 100 x 100 ft (Gambar 10.5). Pada setiap blok diambil satu conto (random stratified grid). Dari conto tersebut diperoleh variogram yang dengan model Matheron memberikan parameter berikut ini : C = 16,50 %² C0 = 3,80 %² ε = 0,23 a = 240 ft z = 4,27 % Untuk mengoreksi harga-harga conto dengan memperhatikan kadar-kadar blok di sekitarnya perlu dilakukan kriging. Perhitungan dilakukan jika pada aureol minimum terdapat 5 conto. Harga taksiran : z* = λ1 ⋅ z1 + λ2 ⋅ z 2 + λ3 ⋅ z 3 dengan
λ3 = 1 − λ1 − λ2 z 1 = kadar conto di tengah-tengah z 2 = kadar rata-rata conto 5 s/d 8 (blok di sekitarnya)
z3 = z = kadar rata-rata conto seluruh endapan Varians dari harga perkiraan ini tergantung dari jumlah conto yang diikutkan pada estimasi ini : Conto di tengah 1 1 1 0
aureol 8 7 6 6
varians 3,68 3,99 4,25 8,43
Simpangan baku 1,9 2,0 2,1 2,9
Pada Gambar 10.5 terlihat harga conto (angka dengan font besar) dan di bawahnya harga yang sudah dikriging (angka dengan font kecil italic)
Histogram kadar conto asli : MINIMUM Y = 0.0 2 N = 85
NO. KELAS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
MAKSIMUM = 26.40 KADAR RATA-RATA Y = 4.24 VARIANS = 14.6369 STANDAR DEVIASI = 3.8258 SKEWNESS = 2.8204 KURTOSIS = 15.0903 JUMLAH KELAS = 12 INTERVAL = 2.5000 . BATAS FREKUENSI FREKUENSI FREKUENSI ATAS RELATIF KUMULATIF 31.76 31.76 27. 2.5000 71.76 40.00 34. 5.0000 87.06 15.29 13. 7.5000 94.12 7.06 6. 10.0000 97.65 3.53 3. 12.5000 97.65 0.00 0. 15.0000 98.82 1.18 1. 17.5000 98.82 0.00 0. 20.0000 98.82 0.00 0. 22.5000 98.82 0.00 0. 25.0000 100.00 1.18 1. 27.5000 100.00 0.00 0. 30.0000
Histogram kadar conto setelah dikriging : MINIMUM Y = 1.57 N = 78
NO. KELAS 1 2 3 4 5 6 7 8 9
MAKSIMUM = 15.51 KADAR RATA-RATA Y = 4.50 VARIANS = 5.5037 STANDAR DEVIASI = 2.3460 SKEWNESS = 1.8352 KURTOSIS = 8.0452 JUMLAH KELAS = 12 INTERVAL = 2.5000 . BATAS FREKUENSI FREKUENSI FREKUENSI ATAS RELATIF KUMULATIF 2.5000 13. 16.67 16.67 5.0000 41. 52.56 69.23 7.5000 15. 19.23 88.46 10.0000 7. 8.97 97.44 12.5000 1. 1.28 98.72 15.0000 0. 0.00 98.72 17.5000 1. 1.28 100.00 20.0000 0. 0.00 100.00 22.5000 0. 0.00 100.00
10 11 12
25.0000 27.5000 30.0000
0. 0. 0.
0.00 1.18 0.00
100.00 100.00 100.00
Gambar 10.5 Blok yang telah dikriging
Berdasarkan susunan masing-masing blok dan batasan kriging bahwa di sekitarnya minimum harus ada 5 conto, maka hanya blok yang dikriging dari total blok 88. Jika ditentukan cut-off grade adalah 3,00%. Ditanyakan : 1. Berapa dari 78 blok yang telah dikriging mempunyai kadar conto asli > 3% ? 2. Berapa dari 78 blok yang telah dikriging mempunyai kadar yang telah dikriging > 3% ? 3. Beri tanda blok yang mempunyai kadar yang dikriging > 3% ?
Endapan yang sama dihitung lagi dengan cara kriging dengan anggapan, bahwa semua titik bor terletak tepat di tengah-tengah grid. Hasil proses kriging ini dapat dilihat pada Gambar 10.7. Varians estimasi ( σ K2 ) lebih rendah dari sebelumnya. Tergantung dari susunan/ pola pemboran dan jumlh N titik bor yang digunakan untuk estimasi, akan diperoleh harga-harga yang berbeda. Gambar 10.6 memperlihatkan sifat varians estimasi dan harga-harga yang ditaksir Z* kaitannya dengan jumlah titik bor N untuk 2 pola pemboran yang berbeda. Terlihat bahwa 5 sampai 6 titik bor untuk estimasi dalam hal ini sudah cukup baik.
Gambar 10. 6 Pengaruh pola dan jumlah conto pada varians kriging dan harga rata-rata
Gambar 10.7 Blok yang telah dikriging dengan maks. 9 dan min. 6 conto
10.7 KRIGING TITIK Titik-titik pengambilan conto umumnya tidak terdistribusi teratur, sehingga untuk pembuatan peta isoline perlu dilakukan interpolasi membentuk suatu grid yang teratur. Terdapat berbagai metode untuk masalah ini, di antaranya adalah NNP (nearest neighboring polygon) dan IDW (inverse distance weighted, ID, IDS, atau ID3). Dari diskusi cara penaksiran telah diketahui, bahwa kriging memberikan harga penaksiran melalui titik yang paling baik dan terpercaya. Untuk menyelesaikan masalah ini dapat digunakan sistem persamaan kriging yang sebelumnya telah digunakan. Dalam hal ini hanya digunakan variogram saja, karena hanya hubungan antar titik conto saja yang perlu diperhatikan. Untuk tiga titik xi yang digunakan untuk menaksir titik keempat x0 di peroleh sistem persamaan sebagai berikut :
λ1 ⋅ γ (x1 x1 ) + λ2 ⋅ γ (x1 x2 ) + λ3 ⋅ γ ( x1 x3 ) + μ = γ ( x1 x0 )
λ1 ⋅ γ (x2 x1 ) + λ2 ⋅ γ ( x2 x2 ) + λ3 ⋅ γ (x2 x3 ) + μ = γ (x2 x0 )
λ1 ⋅ γ (x3 x1 ) + λ2 ⋅ γ (x3 x2 ) + λ3 ⋅ γ (x3 x3 ) + μ = γ (x3 x0 ) + λ2 + λ3 = 1,0 λ1 γ (x1 x1 ) = γ (x2 x2 ) = γ (x3 x3 ) = 0,0
γ (x1 x2 ) = γ (x2 x1 ) = C0 + C ⋅ γ (x1 − x2 )
ס X1
γ (x1 x3 ) = γ (x3 x1 ) = C0 + C ⋅ γ (x1 − x3 )
ס X2
γ (x2 x3 ) = γ (x3 x2 ) = C0 + C ⋅ γ (x2 − x3 )
• X0
γ (x1 x0 ) = C0 + C ⋅ γ (x1 − x0 )
γ (x2 x0 ) = C0 + C ⋅ γ (x2 − x0 ) γ (x3 x0 ) = C0 + C ⋅ γ (x3 − x0 )
ס X3
Penentuan varians estimasi disederhanakan melalui persamaan berikut :
σ K2 = μ + ∑ λ j γ (x j − x0 ) n
j =1
Metode ini mempunyai sifat, bahwa proses estimasi memberikan suatu titik xi = x0 , sehingga pada titik ini z * ( x0 ) = z( xi ) . Hal ini perlu diterangkan pada suatu contoh yang sederhana sebagai berikut : Suatu endapan dengan model Matheron mempunyai C0 = 0 dimisalkan terdapat tiga titik : x1 x3 x2 I-------------------I--------------------I 20 m 20 m x0
γ (x1 x1 ) = γ (x2 x2 ) = γ (x3 x3 ) = 0,0 ⎛ 40 ⎞ ⎟ = 0 ,852 ⎝ 60 ⎠ ⎛ 20 ⎞ γ (x1 x3 ) = γ (x3 x1 ) = C0 + C ⋅ γ (x1 − x3 ) = γ ⎜ ⎟ = 0 ,481 ⎝ 60 ⎠ ⎛ 20 ⎞ γ (x2 x3 ) = γ ( x3 x2 ) = C0 + C ⋅ γ ( x2 − x3 ) = γ ⎜ ⎟ = 0 ,481 ⎝ 60 ⎠ γ (x3 x0 ) = γ (x0 x0 ) = 0,0 ___________________________________________
γ (x1 x 2 ) = γ (x2 x1 ) = C0 + C ⋅ γ (x1 − x2 ) = γ ⎜
λ1 ⋅ 0 ,0 + λ2 ⋅ 0 ,852 + λ3 ⋅ 0 ,481 + μ = 0 ,481 λ1 ⋅ 0 ,852 + λ2 ⋅ 0 ,0 + λ3 ⋅ 0 ,481 + μ = 0 ,481 λ 1 ⋅0 ,481 + λ2 ⋅ 0 ,481 + λ3 ⋅ 0 ,0 + μ = 0 ,0 + λ2 + λ3 = 1,0 λ1 ___________________________________________ Jawab :
λ3 = 1 σ K2 = 0
λ1 = λ 2 − μ = 0
___________________________________________
C =1,0 a = 60m
Contoh kriging titik dari Delfiner & Delhomme (1973)
(b) titik pengukuran curah hujan dalam mm kontur dibuat berdasarkan interpolasi dan digambarkan secara manual Gambar 10.8 Perbandingan antara Pembuatan kontur hasil Interpolasi manual, polinomial, dan kriging (a) variogram linier data curah hujan di Wadi Kadjemur
(c) kontur dihitung berdasarkan polinomil pangkat dua
(d) kontur dihitung melalui proses kriging titik
