3 Análisis de Cuerpos Rígidos.pdf

En el capítulo anterior (Análisis de la Partícula) suponíamos que cada uno de los cuerpos considerados podía ser tratado como si fuera una sola partícula. Al definir que un cuerpo rígido es aquel que no se deforma, se supone supone que la mayoría de los cuerpos considerados considerados en la mecánica elemental son rígidos. Sin embargo, las estructuras estructuras y máquinas reales nunca son absolutamente rígidas y se deforman bajo la acción de las cargas que actúan sobre ellas. A pesar de ello, por lo general estas deformaciones son pequeñas y no afectan las condiciones de equilibrio o de movimiento de las estructuras en consideración. consideración. En este capítulo estudiaremos el efecto de las fuerzas ejercidas sobre un cuerpo rígido y se a prenderá como remplazar un sistema de fuerzas dadas por un sistema equivalente más simple. Dos conceptos fundamentales asociados con el efecto de una fuerza sobre un cuerpo rígido son el momento de una fuerza con respecto a un punto y el momento de una fuerza con respecto a un eje. Otro concepto que presentaremos en este capítulo es el de un par, esto es, la combinación de dos fuerzas que tienen la misma magnitud líneas de acción paralelas y sentidos opuestos. opuestos.

1.

INTRODUCCIÓN

1.1. FUERZAS EXTERNAS E INTERNAS Las fuerzas que actúan sobre los cuerpos rígidos se pueden dividir en:

1.2. PRINCIPIO DE TRANSMISIBILIDAD

Fig. 1 Fuerzas internas y externas A.

FUERZAS EXTERNAS Representan la acción que ejercen otros cuerpos sobre el cuerpo rígido en consideración. Como ejemplo consideremos las fuerzas que actúan sobre un camión descompuesto que es arrastrado hacia adelante por varios hombres mediante una cuerda unida a la defensa delantera.

Fig. 4 Principio de transmisibilidad Las condiciones de transmisibilidad establece que las condiciones de equilibrio o de movimiento de un cuerpo rígido permanecerán inalteradas si una fuerza F que actúa en un punto dado de ese cuerpo se remplaza por una fuerza F ' que tiene la misma magnitud y dirección, pero que actúa en un punto distinto, siempre y cuando las dos fuerzan tengan la misma línea de acción. Las dos figuras, F y F ' , tienen el mismo efecto sobre el cuerpo rígido y se consideran equivalentes. El estudio de transmisibilidad puede ser derivado a p artir del estudio de la dinámica de los cuerpos rígidos.

Fig. 2 Fuerzas externas B.

FUERZAS INTERNAS Son las que mantienen unidas las partículas que conforman al cuerpo rígido. Este tipo de fuerzas las estudiaremos en los capítulos de análisis de estructuras.

Fig. 5 Aplicación del principio de transmisibilidad

Fig. 3 Fuerzas internas En el presente unidad sólo consideraremos fuerzas externas. Ing. Mario Carranza Liza

El estudio de la estática de los cuerpos rígidos estará basado en los tres principios que se han presentado hasta ahora, que son: la ley del paralelogramo para la adición de vectores, la primera ley de Newton y el principio de transmisibilidad.

Análisis de de los Cuerpos Rígidos - 1

2.

MOMENTO DE UNA FUERZA: (formulación matemática) Cuando una fuerza se aplica a un cuerpo, ésta producirá una tendencia a que el cuerpo gire alrededor de un punto que no está en la línea de acción de la fuerza. Esta tendencia a girar se conoce en ocasiones como par de torsión, torque, pero con mayor frecuencia se denomina el momento de una fuerza o simplemente el momento.

2.1. MAGNITUD La magnitud de MO es: (1)

MO  F.d

Donde d es el brazo de momento o distancia perpendicuperpendicular desde el eje en el punto O hasta la línea de acción de la fuerza. Las unidades del momento son el producto de la fuerza multiplicada por la distancia. En el sistema de unidades de SI, donde la fuerza se expresa en newtons (N) y la distancia se expresa en metros (m), el momento de una fuerza estará expresado en newtons-metro (N.m). Mientras que en el sistema de unidades ingles será lb.ft ( libras por pie).

2.2. DIRECCIÓN La dirección de MO está definida por su eje de momento, el cual es perpendicular al plano que contiene la fuerza F , y por su brazo de momento d. Para establecer el se ntido de dirección de MO se utiliza la regla de la mano derecha.

2.3. MOMENTO RESULTANTE

Fig. 6 Llave de torsión que se usa para desenroscar el perno. Por ejemplo, considere una llave de torsión que se usa para desenroscar el perno de la Fig. 6. Si se aplica una fuerza al mango de la llave ésta tenderá a girar el perno alrededor del punto O (o el eje z). La magnitud del momento es directamente proporcional a la magnitud de F y a la distancia perpendicular perpendicular o brazo de momento d. Cuanto más grande sea la fuerza o más grande sea el brazo de momento, mayor será el momento o el efecto de giro. Ahora podemos generalizar generalizar el análisis anterior y considerando la fuerza F y el punto O que se encuentra en el plano. El momento Mo con respecto al punto O, o con respecto a un eje que pase por O y sea perpendicular al plano, es una cantidad vectorial puesto que tiene magnitud y dirección específicas.

Si un sistema de fuerzas se encuentra en un plano x-y x- y , entonces el momento producido por cada fuerza con re specto al punto O estará dirigido a lo largo del eje z . En consecuencia, el momento resultante MO del sistema puede ser determinado sumando simplemente los momentos de todas las fuerzas algebraicamente ya que todos los vectores momento son colineales.

Fig. 8 Momento resultante Esta suma vectorial puede escribirse en forma simbólica como: (2)

Fig. 7 El momento es una cantidad vectorial puesto que ti ene magnitud y dirección específicas

Ing. Mario Carranza Liza

 (MR )O  F.d

Si el resultado numérico de esta suma es un escalar positivo MOR será un momento en sentido contrario al de las manecillas del reloj (fuera de la página); y si el resultado es negativo, MOR será un momento en el sentido de las manecillas del reloj (dentro de la página).

Análisis de de los Cuerpos Rígidos - 2

Ejemplo 1. Una fuerza vertical de 100 lb se aplica en el extremo de una palanca que está unida a una flecha en el punto O. Determine:

Ejemplo 2. Para cada caso ilustrado en la figura, determine el momento de la fuerza con respecto al punto O.

a)

Resolución: La línea de acción de cada fuerza está extendida como una línea discontinua para establecer el brazo de momento d. También se ilustra la tendencia de rotación del miembro causada por la fuerza. Además, la órbita de la fuerza se muestra con un flecha curva de color rojo. Entonces,

b) c) d)

e)

el momento de la fuerza de 100 lb con respecto a O; la fuerza horizontal aplicada en A que origina el mismo momento con respecto a O; la fuerza mínima aplicada en A que origina el mismo momento con respecto a O; qué tan lejos de la flecha debe actuar una fuerza vertical de 240 lb para originar el mismo momento con respecto a O, si alguna de las fuerzas obtenidas en los incisos b), c) y d) es equivalente a la fuerza original.

Resolución


Análisis de los Cuerpos Rígidos - 3

Ejemplo 3. Cuatro fuerzas actúan sobre la parte de máquina que se muestra en la figura. ¿Qué valor tiene la suma de los momentos de las fuerzas respecto al origen O?

Foto 1 Para poder sacar el clavo se necesita que el momento

Resolución:

de FH con respecto a O se más grande que el momento de la fuerza FN con respecto a O.

3.

PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES El producto vectorial (producto cruz) de dos vectores A y B da como resultado el vector C , el cual se escribe: (3)

CA xB

Fig. 9 Producto vectorial 3.1. MAGNITUD Es el producto de las magnitudes de A y B y el seno del ángulo  que forman. (4)

C  A.B.sen

3.2. DIRECCIÓN El vector C tiene una dirección perpendicular al plano que contiene A y B de tal manera que C se especifica mediante la regla de la mano derecha (Fig. 9). Conociendo la magnitud y la dirección de C , podemos escribir: (5)

C  A x B  (A.B.sen ) u c

Donde el escalar A.B.sen  define la magnitud de C y el vector unitario uc define la dirección de C.



Ejemplo 4.

Se tienen los vectores A  2 i  4 k y

B   i  2 j  5 k .

Determine: a) A x B y b) B x A Resolución:

Fig. 10 Regla de la mano derecha 3.3. LEYES DE OPERACIÓN a) No es conmutativa, es decir: A x B  B x A

(6)

b) Si al producto vectorial se multiplica por un escalar a, se cumple la ley asociativa



  

  



a A x B  a.A x B  A x a.B  A x B a

(7)

c) Se aplica la propiedad distributiva



 

 



A B x D  A x B  A x D

(8)

3.4. PRODUCTOS

VECTORIALES EXPRESADOS EN TÉRMINOS DE COMPONENTES RECTANGULARES

A continuación se determina el producto vectorial de cualquier par de vectores unitarios i, j y k . Consideremos el producto i x j como ambos vectores tienen una magnitud igual a 1 y dado que estos forman ángulos rectos entre sí, su producto vectorial también deberá ser un vector unitario, dicho vector debe ser k , puesto que los vectores i, j y k son mutuamente perpendiculares.

ixi=

ixj=

ixk=

xi=

x j =

xk=

kx i=

k x j =

kxk=

Fig. 11 Producto i x j Ing. Mario Carranza Liza


4.

MOMENTO DE UNA FUERZA: formulación vectorial

Donde: rx , ry , rz

representan las componentes x, y, z del

vector de posición trazado desde el punto O hasta cualquier punto sobre la línea de acción de la fuerza. representan las componentes x, y, z del Fx , Fy , Fz vector fuerza. Desarrollando el determinante, tenemos:

(13) (a)

El momento de una fuerza F con respecto al punto O, o realmente con respecto al eje de momento que pasa por O y es perpendicular al plano que contiene a O y a F, figura 3-10(a), puede expresarse usando el producto vectorial, es decir:



j

 k

El significado físico de esas tres componentes de momento resulta evidente al estudiar la figura 3-11(a). Por ejemplo, la componente i de MO está determinada a partir de los momentos de Fx, Fy Y Fz con respecto al eje x. En particular, observe que Fx no genera un momento o tendencia a girar con respecto al eje x ya que esta fuerza es paralela al eje x. Ejemplo 5.

MO  r x F

Aquí, r representa un vector posición trazado desde O hasta cualquier punto que se encuentre sobre la línea de acción de F. Mostraremos ahora que el momento MO, al ser determinado por este producto vectorial, tiene la magnitud y la dirección correctas. A.







(b)

Fig. 12 Momento de una fuerza

(9)

MO  ryFz  rzFy  i 

Determine el momento producido por la

fuerza F que se muestra en la figura, respecto al punto O. Exprese el resultado como un vector cartesiano.

MAGNITUD La magnitud del producto vectorial se define con la ecuación (10)

MO  r.F.sen 

donde el ángulo  se mide entre las colas de r y F. Para establecer este ángulo, r debe ser tratado como un vector deslizante de manera que  se pueda ser construido apropiadamente. Como el brazo de momento d=r.sen , entonces (11)

B.

MO  r.F.sen   F.(r.sen )  F.d

DIRECCIÓN La dirección y el sentido de MO en la ecuación 3.9 están determinados por la regla de la mano derecha, tal como se aplica ésta al producto vectorial.

C.

FORMULACIÓN VECTORIAL CARTESIANA

Resolución:

Si establecemos ejes coordenados x,y,z, el vector posición r y la fuerza F pueden expresarse como vectores cartesianos:

(12)

MO  r x F 


i

j

k

rx

ry

rz

Fx

Fy

Fz


4.2. TEOREMA DE VARIGNON El momento con respecto a un punto dado O d e la resultante de varias fuerzas concurrentes es igual a la suma de los momentos de las distintas fuerzas con respecto al mismo punto O. Esta propiedad la descubrió Pierre Varignon (1654-1722).

Fig. 13 Momento de una fuerza respecto a O



1. La barra AP tiene una longitud de 650 mm . El radio de la polea mide 120 mm . Se aplican fuerzas iguales T  50 kN en los extremos del cable. ¿Cuál es el valor de la suma de los momentos de las fuerzas a) respecto a A; b) respecto a P?

4. Dos hombres ejercen fuerzas de F  80 lb y P  50 l b sobre las cuerdas. Determine el momento de cada fuerza respecto de A. ¿De qué forma girará el poste, en el sentido de las manecillas del reloj o en el sentido contrario?

BW – 4.9

2. Calcular el momento de la fuerza de 600 N respecto al punto O de la base, siguiendo cinco procedimientos diferentes.

H_12 – 4_4

5. Una fuerza de 300 N se aplica en A como se muestra en la figura. Determine a) el momento de la fuerza de 300 N alrededor de D y b) la fuerza mínima aplicada en B que produce el mismo momento alrededor de D.

M – pro tipo 2.5

3. Se aplican tres fuerzas a la barra representada en la figura. Determinar: a)

El momento de la fuerza F A respecto al punto E.

b)

El momento de la fuerza FE respecto al punto A.

c)

El momento de la fuerza FD respecto al punto B.

B_9 – 3.3

6. Dos fuerzas iguales y opuestas actúan sobre la viga. Determine la suma de los momentos de las dos fuerzas a) respecto al punto P; b) respecto al punto Q, y c) respecto al punto coordenado x  7 m , y  5 m .

BW – 4_13

R – pro eje 4.1



7. Hallar el momento respecto al punto A debido a la tracción de 120 kN en el cable de izado de la grúa tractora.

B_9 – 3.9

M – 2.30

8. A una placa cuadrada se aplica cuatro fuerzas en la forma que se indica en la figura. Determinar los momentos de las distintas fuerzas respecto al origen O del sistema de coordenadas xy .

11. La masa combinada del carrito para equipaje y la maleta que se muestran en la figura es de 12 kg. Su peso actúa en A. La suma de los momentos respecto al origen del sistema coordenado debidos al peso que actúa en A y la fuerza vertical F aplicada en el asa del cargador es igual a cero. Determine la fuerza F (a) si   30 ; (b) si   50 .

BW – 4.39

12. Se aplica una fuerza de 200 N al extremo de una llave para apretar el tornillo que fija la rueda al eje. Determinar el momento M de esa fuerza respecto al centro O de la rueda para la posición representada de la llave.

R – pro eje 4.7

9. Para levantar el poste de alumbrado desde la posición mostrada, se aplica la fuerza F al cable. Si, determine el momento producido por F con respecto al punto A. M – 2.34

13. La carretilla y su contenido tienen una masa de 50 kg y un centro de masa en G. Si el momento resultante producido por la fuerza F y el peso con respecto al punto A debe ser igual a cero, determine la magnitud requerida de la fuerza F .

H_12 – 4.24

10. Un malacate AB se usa para tensar cables a un poste. Si se sabe que la tensión en el cable BC es de 1.04 kN y que la longitud d es de 1.90 m , determine el momento respecto de D de la fuerza ejercida por el cable C. Para ello descomponga en sus componentes horizontal y vertical la fuerza aplicada en a) el punto C y b) el punto E. Ing. Mario Carranza Liza


H_12 – 4.35

14. Los cables AB y AC se extienden del punto de unión A sobre el piso a los puntos de unión B y C en las paredes. La tensión en el cable AB es de 10 kN y la del cable AC es de 25 kN . ¿Qué valor tiene la suma de los momentos respecto a O debidos a las fuerzas ejercidas sobre A por los dos cables?

16. Determine el momento producido por la fuerza FB respecto al punto O. Exprese el resultado como un vector cartesiano.

BW – 4.57

15. Una fuerza de módulo 840 N está aplicada a un punto de un cuerpo, según se indica en la figura. Determinar: a) El momento de la fuerza respecto al punto B. b) Los ángulos directores asociados al vector unitario e dirigido a lo largo del eje de momentos. c) La distancia d del punto B a la recta soporte de la fuerza.

R – pro eje 4.8


H_12 – 4.40

17. Los cables AB y BC se sujetan al tronco de un árbol muy grande para evitar que se caiga. Si se sabe que las tensiones en los cables AB y BC son de 555 N y 660 N, respectivamente, determine el momento respecto de O de la fuerza resultante ejercida por los cables sobre el árbol en B.

B_9 – 3.22


3 Análisis de Cuerpos Rígidos.pdf

Recommend Documents