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2.9 Prue Prueba bas s estadísti estadísticas cas para para los los númer números os alea aleator torio ios. s.
2.9 Pruebas estadísticas para los números aleatorios.
Puesto que en el muestreo Monte Carlo cualquier variable aleatoria no uniforme (normal, exponencial, Poisson, etc.), es obtenida a partir de números aleatorios uniformes (0,1), el principal énfasis en las pruebas estadísticas deberán ser con respecto al generador de los números aleatorios, ya que cualquier deficiencia estadística en la distribución de la variable aleatoria no uniforme, se deberá exclusivamente a la utilización de un deficiente generador de números aleatorios. Por ello se aplicarán algunas de las muchas pruebas estadísticas que han sido desarrolladas para probar la uniformidad y aleatoriedad o independencia de los mismos, lo cual significa que la ocurrencia de un número aleatorio no determina la ocurrencia del siguient sig uiente e y así a sí sucesivamente. sucesivamente. Para la uniformidad Bondad de ajuste o Ji-cuadrada: X 2 Bondad de ajuste ajuste KolmogorovK olmogorov-Smirnov Smirnov Para la aleatoriedad o independencia Corridas por arriba y por abajo del promedio Corridas ascendentes y descendentes PRUEBA PRUEB A DE BONDAD DE AJUSTE JI CUADRADA. Procedimiento: 1. Generar la muestra muestra de números números aleatorios aleatori os de d e tamaño N. 2. Subdividir S ubdividir el int i nterval ervalo o [0,1] en n subinterval subintervalos. os. 3. Para cada cad a subinterval subintervalo o contar la frecuencia frecuencia observada F0 y calcu ca lcular lar la la frecuencia frecuencia esperada FE de números aleatorios, la cual se obtiene dividiendo N/n. 4. Calcular el estadístico estadístico de prueba.
2 0 contra el valor 5. Comparar C omparar el valor calculado X 0 valor tabulado tabulado de d e la distribución di stribución X 2 , con 2 2 0 es menor que X (n-1),? (n-1) grados de libertad y una significancia ?. Si X 0 entonces entonces no se puede rechazar rechazar la uniformid uniformidad ad de d e los números números aleatorios. aleatori os.
EJEMPLO 4. Realizar la prueba de bondad de ajuste Ji-cuadrada a la siguiente muestra de 148.204.211.134/polilibros/portal/Polilibros/P_terminados/SimSist/doc/SIMULACI-N-131.htm
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2.9 Prue Prueba bas s estadísti estadísticas cas para para los los númer números os alea aleator torio ios. s.
tamaño 30 de números números aleatorios aleatori os uniformes 0.15
0.31
0.81
0.48
0.01
0.60
0.26
0.34
0.70
0.31
0.07
0.06
0.33
0.49
0.77
0.04
0.43
0.92
0.25
0.83
0.68
0.97
0.11
0.00
0.18
0.11
0.03
0.59
0.25
0.55
I N TE R V A LO
FE
FO FO
(FE-FO) 2 /FE
0.00 - 0.20
6
10
2.67
0.21 - 0.40
6
7
0.17
0.41 - 0.60
6
6
0.00
0.61 - 0.80
6
3
1.50
0.81 - 1.00
6
4
0.67 X20=5.01
Sea alfa= alfa= 5%. Tenemos (5-1) grados de libertad, es decir V =4. =4. El valor en tablas de la distribución Ji cuadrada es: X24.5% = 9.49 2 2 0 es menor que X 4.5% es decir; 5.01 es menor que 9.49. entonces no se puede Como X 0 rechazar rechazar la uniformidad de d e los números números aleatorios. aleatori os.
PRUEBA PRUEB A DE BONDAD DE AJUSTE DE KOLMOG KOLMOGORO OROV-SMI V-SMIRNOV RNOV Procedimiento 1. Generar una muestra de números aleatorios uniformes de tamaño N. 2. Ordenar dichos números en orden ascendente. 3. Calcu Ca lcular lar la distribución dis tribución acumulada acumulada de los números números generados con c on la siguiente expresión
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2.9 Prue Prueba bas s estadísti estadísticas cas para para los los númer números os alea aleator torio ios. s.
Donde i es la posición que ocupa el número aleatorio Xi en el vector ordenado obtenido en el paso 2. 4. Calcular el estado de pru p rueba eba Kolmogorov-Smirn K olmogorov-Smirnov ov del modo siguient sig uiente e Dn = máx | Fn (Xi) – Xi | para toda X i
5. Si D n es menor dalfa,n, entonces no se puede rechazar la hipótesis de que los números generados provienen de una distribución uniforme. La distribución de D n ha sido tabulada como una función de n y alfa para cuando F n (x) = F0 (x).
EJEMPLO 5. Efectuar la prueba de Kolmogorov – Smirnov a la siguiente muestra de números aleatorios uniformes. uniformes. 0.15
0.31
0.81
0.48
0.01
0.60
0.26
0.34
0.70
0.31
0.07
0.06
0.33
0.49
0.77
0.04
0.43
0.92
0.25
0.83
0.68
0.97
0.11
0.00
0.18
0.11
0.03
0.59
0.25
0.55
Sustituyendo Sustituyendo los valores en e n las fórmulas fórmulas correspondientes se s e tiene ti ene que: i
RNDi
F(R N D i)
R ND i- F (R N D i)
1
0.00
0.03
0.03
2
0.01
0.07
0.06
3
0.03
0.10
0.07
4
0.04
0.13
0.09
5
0.06
0.17
0.11
6
0.07
0.20
0.13
7
0.11
0.23
0.12
8
0.11
0.27
0.16
9
0.15
0.30
0.15
10
0.18
0.33
0.15
11
0.25
0.36
0.11
12
0.25
0.40
0.15
13
0.26
0.43
0.17
14
0.31
0.47
0.16
15
0.33
0.50
0.17
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16
0.34
0.53
0.19
17
0.34
0.57
0.23
18
0.43
0.60
0.17
19
0.48
0.63
0.15
20
0.49
0.67
0.18
21
0.55
0.70
0.15
22
0.59
0.73
0.14
23
0.60
0.77
0.17
24
0.68
0.80
0.12
25
0.70
0.83
0.13
26
0.77
0.87
0.1
27
0.81
0.90
0.09
28
0.83
0.93
0.1
29
0.92
0.97
0.05
30
0.97
1.00
0.03
siguiendo con el paso 4 Dn = Max |RND i – F(RND i)| = 0.23 Comparamos el valor D n (calculado) contra el valor en tablas de la distribución KolmogorovSmirnov con n = 30 y un nivel de significancia alfa = 5%, el cual es d30.5% = 0.242. 0.242. como 0.23 es menor que 0.242, entonces, entonces, no se puede rechazar la uniformidad uniformidad de los números números aleatorios. aleatori os.
CORRIDAS CORRID AS POR ARRIBA Y POR ABAJO DEL PROMEDIO Procedimiento Generar Generar la muestra de tamaño N de d e números números aleatorios. aleatori os. Con base bas e en esta muestra, muestra, obtener una una nueva nueva sucesión binaria, bi naria, según el criterio siguient sig uiente: e: Si r asig narle e a r j el símbolo 0. j es menor o igual a 0.50 entonces asignarl Si r entonces asignarle as ignarle a r j el símbolo 1. j es mayor a 0.50 entonces La frecuencia esperada para cada longitud de corrida i , es:
EJEMPLO 6. Dada la siguiente muestra de tamaño 30 de números aleatorios, aplicar la 148.204.211.134/polilibros/portal/Polilibros/P_terminados/SimSist/doc/SIMULACI-N-131.htm
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2.9 Prue Prueba bas s estadísti estadísticas cas para para los los númer números os alea aleator torio ios. s.
prueba de corridas, para la independencia 0.15
0.31
0.81
0.48
0.01
0.60
0.26
0.34
0.70
0.31
0.07
0.06
0.33
0.49
0.77
0.04
0.43
0.92
0.25
0.83
0.68
0.97
0.11
0.00
0.18
0.11
0.03
0.59
0.25
0.55
Comparando los números aleatorios según el criterio establecido, se obtiene la siguiente sucesión binaria. Leyendo de izquierda a derecha se agrupan los símbolos símbolos del mismo tipo tip o para formar las corridas. 0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
En la siguiente tabla se resume la información necesari necesaria a para el cálcu cá lculo lo de la Ji-cuadrada Ji -cuadrada Longitud de corrida i
FE
FO
(FE-FO)2/FE
1
8.000
9
0.125
2
3.875
3
0.197
3
1.875
2
0.008
4
0.906
1
0.010
5
0.438
1
0.721
Como para las longitudes de corrida i = 2, 3, 4, 5; las frecuencias observadas son menores o igual a cinco, ci nco, agrupamos agrupamos estas es tas longitudes longitudes de corridas en una una sola longitud longitud de corrida corri da ? 2. i
FE
FO
(FE-FO) 2/FE
1
8
9
0.125
>=2
7.04
7
0.936 X 0 2 = 1.061
El valor en tablas de X 2 1.5%= 3.84; entonces no se puede rechazar la independencia de los números números aleatorios. a leatorios.
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CORRIDAS ASCENDENTES Y DESCENDENTES Procedimiento 1. Generar la muestra muestra de tamaño N de números números aleatorios. aleatori os. 2. Construir la sucesión binaria de acuerdo al siguiente criterio: Si rj es menor o igual a r entonces asig a signarl narle e a r j+1 entonces j el símbolo 0. Si rj es mayor que que r entonces asig a signarl narle e a r j el símbolo 1. j+1 entonces 3. Con base en la distribución X 2 , efectuar la prueba, donde la frecuencia esperada de las longitudes de corrida i se calculará con:
EJEMPLO 7. Aplicar la prueba de las corridas ascendentes y descendentes a la muestra de números aleatorios del ejemplo anterior. Compararemos a los números por fila, pero es indistint indisti nto o hacerlo por po r columna. columna. 0.15
0.31
0.81
0.48
0.01
0.60
0.26
0.34
0.70
0.31
0.07
0.06
0.33
0.49
0.77
0.04
0.43
0.92
0.25
0.83
0.68
0.97
0.11
0.00
0.18
0.11
0.03
0.59
0.25
0.55
ahora la sucesión binaria es 0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
obsérvese que la última celda se deja en blanco, pues no hay con que número comparar. (aquí N = 29) Longitud de corrida i
FE
1
11.500
11
0.020
2
5.083
5
0.001
FO
148.204.211.134/polilibros/portal/Polilibros/P_terminados/SimSist/doc/SIMULACI-N-131.htm
(FE-FO) 2 /FE
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2.9 Prue Prueba bas s estadísti estadísticas cas para para los los númer números os alea aleator torio ios. s.
3
1.400
2
4
0.292
-
5
0.005
-
FO
0.257
(FE-FO) 2 /FE
i
FE
1
11.500
11
0.020
>=2
6.483
7
0.004 X 0 2 = 0.024
como el valor valor calcul c alculado ado de 0.024 0 .024 es menor que el valor valor en tablas de Ji-cuadrada X 2 1.5%= 3.84, no se puede rechazar la independencia independencia de los números números aleatorios. aleatori os.
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