PRUEBAS ESTADISTICAS PARA NUMEROS ALEATORIOS 1.- PRUEBA DE MEDIAS Una de las propiedades propiedades que deen !u"plir los nueros del !on#un$o
r i es que el
%alor esperado sea i&ual a '.(. La pruea que us!a de$er"inar lo an$erior es la lla"ada pruea de "edias) en la !ual se plan$ean las si&uien$es *ip+$esis, H 0 : μ r =0. 5 i
H 1 : μr ≠ 0.5 i
La pruea de "edias !onsis$e en de$er"inar el pro"edio de los n n"eros que !on$iene el !on#un$o r i "edian$e la e!ua!i+n si&uien$e, ´r =
1
n
n
∑ ri i=1
Pos$erior"en$e se !al!ulas los l"i$es de a!ep$a!i+n in/erior 0 superior !on las e!ua!iones si&uien$es, 1
LI r´ = − z α 2
2
1
LS´r = + z α 2
2
( ) 1
12 n √ 12
( )
Si el %alor de
1
12 n √ 12
´r se en!uen$ra en$re los li"i$es de a!ep$a!i+n) !on!lui"os que no
se puede re!*aar que el !on#un$o
r i $iene un %alor esperado de '.( !on un
ni%el de a!ep$a!i+n de 1-2. En !aso !on$rario se re!*aa que el !on#un$o
ri
$iene un %alor esperado de '.(. Para el !al!ulo de los li"i$es de a!ep$a!i+n se u$ilia el es$ads$i!o
z α 2
) el !ual
se de$er"ina por "edio de la $ala de dis$riu!i+n nor"al es$3ndar 4$a"i5n se puede !al!ular di!*o %alor u$iliando la /un!i+n PROMEDIOA 4o A6ERA7E8-"edia ari$"5$i!a- de E9!el8.
E:EMPLO Considere los ;' n"eros del !on#un$o
r i que se presen$a a !on$inua!i+n) 0
de$er"inen si $ienen un %alor esperado de < !on un ni%el de a!ep$a!i+n de =(>. '.';;= '.'1( '.@ '.((1; '.''?
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r i !on$iene ;' n"eros) por lo $an$o) n;'. Un ni%el de a!ep$a!i+n
El !on#un$o
del =(> i"pli!a que 2(>. Ense&uida pro!ede"os a !al!ular el pro"edio de los n"eros 0 los l"i$es de a!ep$a!i+n, ´r =
´r =
1
n
n
40
1
∑ r i= 40 ∑ r i i=1
1 40
i=1
( 0.04487 +0.17328 + 0.57548 + 0.04901 + ...+ 0.33616 +0.15885 +0.37266 + 0.41453 )
´r = 0.43250 1
LI r´ = − z α 2
1
2
( ) 1
√ 12 n
LI r´ = −( 1.96 ) 2
(
1
= − z 0.05 2
1
√ 12 ( 40 )
2
)=
(
1
√ 12 ( 40)
)
0.41053864 9
1
LS´r = + z α 2
LI r´
2
( ) 1
√ 12 n
1
= + ( 1.96 ) 2
(
1
= + z 0.05 2
2
1
√ 12 ( 40 )
)=
(
1
√ 12 (40 )
)
0.58946135 1
Co"o el %alor del pro"edio,
´r '.;@(' se en!uen$ra en$re los l"i$es de
a!ep$a!i+n) se !on!lu0e que no se puede re!*aar que el !on#un$o de ;' n"eros r i $iene un %alor esperado de '.() !on un ni%el de a!ep$a!i+n de =(>.
.- PRUEBA DE 6ARIANA O$ras de las propiedades que dee sa$is/a!er el !on#un$o
r i ) es que sus
n"eros $en&an una %ariana de 1F1. La pruea que us!a de$er"inar lo an$erior es la pruea de %ariana) que es$ale!e las si&uien$es *ip+$esis, 2
H 0 : σ r =1 / 12 i
2
H 1 : σ r ≠ 1 / 12 i
La pruea de %ariana !onsis$e en de$er"inar la %ariana de los n n"eros que !on$iene el !on#un$o
ri
"edian$e la e!ua!i+n si&uien$e,
n
( r −r´ ) ∑ =
2
i
( )=
V r
i
1
n
−1
Despu5s se !al!ulan los l"i$es de a!ep$a!i+n in/erior 0 superior !on las e!ua!iones si&uien$es,
2
X α /2, n−1 L I V ( r)= 12 ( n −1) 2
=
L SV ( r )
X 1−α / 2, n−1
12 ( n − 1)
Si el %alor de 64r8 se en!uen$ra en$re los l"i$es de a!ep$a!i+n) de!i"os que no se puede re!*aar que el !on#un$o r i $iene una %ariana de 1F1) !on un ni%el de a!ep$a!i+n de 1-2G de lo !on$rario) se re!*aa que el !on#un$o
ri
$iene una
%ariana de 1F1. E:EMPLO Realiar la pruea de %ariana a los ;' n"eros
ri
del e#e"plo an$erior.
Considerando que n;' 0 2(>) pro!ede"os a !al!ular la %ariana de los n"eros) 0 los l"i$es de a!ep$a!i+n !orrespondien$es, n
n
∑ ( r −r´ ) ∑ ( r −0.43250 ) = = 2
i
V ( r )=
2
i
i 1
=i
n −1
1
40−1
0.41453 −0.43250 ¿
2
2
0.37266 −0.43250 ¿ +¿ 0.17328 − 0.43250 + ...+¿ 0.04487 −0.43250 ¿
2
¿ V ( r )=
1 39
+¿
¿
64r8 '.'=('
2
=
L I V ( r)
X α / 2, n−1
12 ( n −1)
2
=
X 0.05 / 2,39
2
=
L SV ( r )
X 1−α / 2, n− 1
= 12 ( n −1)
12 (39 )
= 58.1200541 =0.12418815 468
2
X 1−0.05/ 2,39
12 ( 39 )
=
23.6543003 468
=0.0505433 8
Dado que el %alor de la %ariana, 6H '.=(' es$3 en$re los l"i$es de a!ep$a!i+n) pode"os de!ir que no se puede re!*aar que el !on#un$o de ;' n"eros r $iene una %ariana de 1F1 '.'@@
@.- PRUEBA DE UNIORMIDAD Una de las propiedades "3s i"por$an$es que dee !u"plir un !on#un$o de n"eros r es la uni/or"idad. Para !o"proar su a!a$a"ien$o se *an desarrollado prueas es$ads$i!as $ales !o"o las prueas C*i-!uadrada 0 de Jol"o&oro%S"irno%. En !ualquiera de a"os !asos) para proar la uni/or"idad de los n"eros de un !on#un$o r es ne!esario /or"ular las si&uien$es *ip+$esis, H 0 : r U ( 0,1)
H 1 : r no son unifomes
a8 PRUEBA CKI-CUADRADA La pruea C*i-Cuadrada en lu&ar de "edir la di/eren!ia de !ada pun$o en$re la "ues$ra 0 la des%ia!i+n %erdadera) !*e!a la des%ia!i+n del %alor esperado. n
∑ =
2
X cuadrada =
i 1
2
( Oi− Ei ) Ei
Donde n es el n"ero de in$er%alos de !lase 4e#e"plo, Oi es el n"ero oser%ado en la !lase i) 0 Ei es el n"ero esperado en !ada !lase i) 0 n es el n"ero de !lases. Para una dis$riu!i+n uni/or"e) Ei) el n"ero en !ada !lase es$3 dado por, Ei
=
N n
Para !lases i&ual"en$e espa!iadas) donde N es el n"ero $o$al de oser%a!iones. Puede ser "os$rado que la dis$riu!i+n de la "ues$ra C*i-Cuadrada es$a apro9i"ada"en$e a la dis$riu!i+n C*i-Cuadrada !on n-1 &rados de lier$ad. E#e"plo, Use la pruea C*i-Cuadrada !on 2'.'( para proar si los da$os dados a !on$inua!i+n en la $ala 1 es$3n uni/or"e"en$e dis$riuidos.
C3l!ulos para la pruea C*i-!uadrada
10
2
∑ =
El es$ads$i!o X cuadrada =
i 1
2
( Oi− Ei ) Ei
!orrespondien$e de la C*i-!uadrada
=6.2 es "enos al es$ads$i!o 2
X 0.05,9 =16.9 . En !onse!uen!ia) no se puede
re!*aar que los n"eros r si&uen una dis$riu!i+n uni/or"e.
8 PRUEBA JOLMO7ORO6-SMIRNO6 Propues$a por Jol"o&oro% 0 S"irno%) es$a es una pruea es$ads$i!a que $a"i5n nos sir%e para de$er"inar si un !on#un$o r !u"ple la propiedad de uni/or"idad. Es re!o"endale apli!ar en !on#un$os r pequeos) por e#e"plo) n'. El pro!edi"ien$o es el si&uien$e, 1. Ordenar de "enor a "a0or los nu"ero del !on#un$o r. r 1 ≤ r 2 ≤r 3 ≤ … ≤ r n
. De$er"inar los %alores de,
+¿=ma"1
¿
[ ] i −r n
[
+¿=ma"1
¿
−¿ y ¿ +¿ ! !on las si&uien$es e!ua!iones, ¿
i −1 n
]
−¿ ¿ +¿ ! D"39. 4 ¿
@. De$er"inar el %alor !r$i!o
α !n de a!uerdo !on la $ala de %alores !r$i!os
de Jol"o&oro%-S"irno% para un &rado de !on/iana 2) 0 se&n el $a"ao de la "ues$ra n. ;. Si el %alor D es "a0or que el %alor !ri$i!o α !n se !on!lu0e que los n"eros del !on#un$o r no si&uen una dis$riu!i+n uni/or"e) de lo !on$rario se di!e que no se *a de$e!$ado di/eren!ia si&ni/i!a$i%a en$re la dis$riu!i+n de los n"eros del !on#un$o r 0 la dis$riu!i+n uni/or"e.
E:EMPLO, Realiar la pruea Jol"o&oro%-S"irno%) !on un ni%el de !on/iana de ='> al si&uien$e !on#un$o r de 1' n"eros. R 4'.=?) '11) '.() '.) '.=) '.'@) '.1@) '.=) '.1) '.=8 El ni%el de !on/iana i"pli!a 2 1'>. Ordenando los n"eros r de "enor a "a0or la se!uen!ia es, '.' '.1 '.1 '. '. '. '. '. '.= '.= @ 1 @ 1 ( = = ?
Para de$er"inar los %alores de $ala !o"o la si&uien$e,
−¿ +¿ ! ¿ 0 D es re!o"endale realiar una ¿
De a!uerdo a la $ala de %alores para la pruea Jol"o&oro%-S"irno%) el %alor !ri$i!o 0.10,10 !orrespondien$e a n 1' es 0.10,10 '.@) que resul$a "enor el %alor D1-';G por lo $an$o) s5 !on!lu0e que los n"eros del !on#un$o r no se dis$riu0en uni/or"e"en$e.
