Numeros Pseudo Aleatorios

NUMEROS PSEUDO ALEATORIOS FOLLETO

13/08/2010 UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA DE LA SELVA FACULTAD DE INGENIERIA EN INFORMATICA Y SISTEMAS

SIMULACIÓN DISCRETA DE SISTEMAS

Docente: Brian Cesar Pando Soto

SDS – Números Pseudo Aleatorios

NUMEROS PSEUDO ALEATORIOS 1. DEFINICIONES Se llama números pseudoaleatorios a una sucesión determinística de números en el intervalo [0,1] que tiene las mismas propiedades estadísticas que una sucesión de números aleatorios. Una forma general de obtener números pseudoaleatorios es partir  de una semilla de p números y aplicar una función d. Los números pseudoaletorios son necesarios cuando se pone en práctica un modelo de simulación, para obtener observaciones aleatorias a partir de distribuciones de probabilidad. Los números aleatorios generados en un inicio por una computadora casi siempre son números aleatorios enteros. En sentido estricto, los números generados por una computadora no se deben llamar  números aleatorios porque son predecibles y se pueden reproducir, dado el número aleatorio generador que se use. Por ello en ocasiones se les llama números pseudoaleatorios. No obstante, el punto importante es que, en forma satisfactoria, hacen las veces los números aleatorios en la simulación si el método que se usa para generarlos es válido. El procedimiento usado por una computadora para generar números aleatorios se llama generador de números aleatorios. Un generador de números aleatorios es un algoritmo que produce secuencias de números que siguen una distribución de probabilidad específica y tienen la apariencia de aleatoriedad. La referencia a secuencias de números aleatorios significa que el algoritmo produce muchos números aleatorios en serie. La secuencia de números generados debe cumplir con las 2 hipótesis siguientes: •

Distribución Uniforme.

•

Independencia (no correlacionados).

Además son importantes los siguientes aspectos: •

Las subsecuencias también deben cumplir 1) y 2).

•

algoritmos rápidos y que no ocupen mucha memoria.

SDS – Números Pseudo Aleatorios

Los números aleatorios se pueden dividir en dos categorías principales: •

Números aleatorios enteros. Es una observación aleatoria de una distribución uniforme discretizada en el intervalo n, n+1 Por lo general, n =0 ó 1 donde estos son valores convenientes para la mayoría de las aplicaciones.

•

Números aleatorios uniformes. Es una observación aleatoria a partir de una distribución uniforme (continua) en un intervalo [a,b].

2. PROPIEDADES MÍNIMAS QUE DEBERÁN SATISFACER LOS NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS •

Ajustarse a una distribución U(0,1).

•

Ser estadísticamente independientes (no debe deducirse un número.

•

conociendo otros ya generados).

•

Ser reproducibles (la misma semilla debe dar la misma sucesión).

•

Ciclo repetitivo muy largo.

•

Facilidad de obtención.

•

Ocupar poca memoria.

Cualquiera que sea el método para generar números aleatorios debe satisfacer las siguientes condiciones: •

Estadísticamente independientes (no debe existir correlación).

•

Reproducibles.

•

Sin repetición dentro de una longitud determinada de la sucesión.

•

Generación a grandes velocidades.

•

Requerir el mínimo de capacidad de almacenamiento.

3. METODOS DE GENERACION DE NUMEROS ALEATORIOS Se cuenta con varios generadores de números aleatorios, de los cuales los más populares son los métodos congruenciales.

3.1. Métodos congruenciales Entre los métodos congruenciales mas populares están el aditivo, multiplicativo y mixto.

El método congruencial mixto.- genera una sucesión de números aleatorios enteros en un intervalo de 0 a m-1. Éste método siempre calcula el siguiente número a partir del último que obtuvo, dado un número aleatorio inicial Xo, llamado semilla.

SDS – Números Pseudo Aleatorios

En particular, calcula el (n + 1)-ésimo número aleatorio Xn+1 a partir del n-ésimo número aleatorio Xn con la relación de recurrencia.

Donde a, c y m son enteros positivos (a < m, c < m). Ésta notación matemática significa que Xn+1 son 0, 1, , M-1, de manera que m representa el número deseado de valores diferentes que se puede generar como números aleatorios. A manera de ilustración, suponga que m=8, a=5, c=7 y Xo=4. En la siguiente tabla se calculó la sucesión de números aleatorios que se tuvo (esta sucesión no puede continuar, puesto que solo se repetirían los números en el mismo orden). Obsérvese que ésta sucesión incluye los ocho números posibles una sola vez. Ésta propiedad es necesaria para una sucesión de números aleatorios enteros, pero no ocurre con algunos valores de a y c.

Tabla 1. Números generados con método congruncial mixto Xo=4 n 0 1 2 3 4 5 6 7

Xn 4 3 6 5 0 7 2 1

5Xn+7 27 22 37 32 7 42 17 12

(5Xn+7)mod 8 (5*4+7)mod 8 (5*3+7)mod 8 (5*6+7)mod 8 (5*5+7)mod 8 (5*0+7)mod 8 (5*7+7)mod 8 (5*2+7)mod 8 (5*1+7)mod 8

Xn+1 3 6 5 0 7 2 1 4

La cantidad de números consecutivos en una sucesión antes de que se repita se conoce como longitud de ciclo. En consecuencia, la longitud de ciclo en el ejemplo es 8. La longitud de ciclo máxima es m, de manera que sólo los valores de a y c considerados son los que conducen a una longitud de ciclo máxima. Para entender mejor el enunciado superior se continua con la generación de los números y miren lo que ocurre:

SDS – Números Pseudo Aleatorios

Tabla 2. Extensión a la tabla 1. Xo=4 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Xn 4 3 6 5 0 7 2 1 4 3 6 5 0 7 2 1 4 3 6 5 0 7 2 1 4

5Xn+7 27 22 37 32 7 42 17 12 27 22 37 32 7 42 17 12 27 22 37 32 7 42 17 12 27

(5Xn+7)mod 8 (5*4+7)mod 8 (5*3+7)mod 8 (5*6+7)mod 8 (5*5+7)mod 8 (5*0+7)mod 8 (5*7+7)mod 8 (5*2+7)mod 8 (5*1+7)mod 8

Xn+1 3 6 5 0 7 2 1 4 3 6 5 0 7 2 1 4 3 6 5 0 7 2 1 4 3

Como se ve en la tabla 2, llega un instante donde los números empiezan a repetirse cíclicamente. Adicional a todo esto para cumplir con la uniformidad con la que deben cumplir la generación de números pseudo aleatorios en la tabla 3, se ilustra la conversión de números aleatorios en números aleatorios uniformes. La columna de la izquierda proporciona los números aleatorios enteros que se obtuvo en la última columna de la tabla anterior. La última columna proporciona los números aleatorios uniformes correspondientes a partir de la fórmula: Fórmula 1. Número aleatorio uniforme(Ri) = (Número aleatorio entero + ½ ) / m Podría usarse otra fórmula como:

SDS – Números Pseudo Aleatorios

Fórmula 2. Ri=Xi/(m-1), Mientras el resultado Ri este entre el intervalo cero y uno. Sin embargo para el ejemplo se utiliza la fórmula 1.

Tabla 3. Números Aleatorios cumpliendo uniformidad Numero Aleatorio Entero Numero Aleatorio Uniforme

3 6 5 0 7 2 1 4

0,4375 0,8125 0,6875 0,0625 0,9375 0,3125 0,1875 0,5625

El método congruencial multiplicativo.- corresponde al caso especial del método congruencial mixto en el que c =0. Para dar mejor alcance veamos el método con un ejemplo donde a=5, c=0, m=7 y Xo=6, y en la siguiente tabla se calculo la sucesión de números generados:

Tabla 4. Numeros Aleatorios con el método cong. multiplicativo Xo=6 n

Xn

5Xn+0

(5Xn+0)mod 7

Numero Aleatorio Entero

0 1 2 3 4 5

6 2 3 1 5 4

30 10 15 5 25 20

(5*6)mod 7 (5*2)mod 7 (5*3)mod 7 (5*1)mod 7 (5*5)mod 7 (5*4)mod 7

2 3 1 5 4 6

El método congruencial aditivo.- también es parecido, pero establece a =1 y sustituye a c por algún número aleatorio anterior a Xn en la sucesión, por ejemplo, Xn-1 (así requiere más de una semilla para iniciar el cálculo de la sucesión). Se basa en la siguiente formula:

SDS – Números Pseudo Aleatorios

Xi = (Xi-1 + Xi-n) mod (m) i= n+1, n+2, n+3,N

X5

65 89 98 3 69

N

i

Xi-1

Xi-n

(Xi-1 + Xi-n)mod 100

Xi

1 2 3 4 5 6 7

6 7 8 9 10 11 12

69 34 23 21 24 93 27

65 89 98 3 69 34 23

(69+65) mod 100 (34+89) mod 100 (23+98) mod 100 (21+3) mod 100 (24+69) mod 100 (93+34) mod 100 (27+23) mod 100

34 23 21 24 93 27 50

X1 X2 X3 X4

n=5 N=7

El método congruencial mixto proporciona una gran flexibilidad para elegir un generador de números aleatorios en particular (una combinación específica de a, c y m). Sin embargo, se requiere tener mucho cuidado al seleccionar el generador de números aleatorios porque la mayoría de las combinaciones de valores a, c y m conducen a propiedades indeseables (por ejemplo, una longitud de ciclo menor a m)

BIBLIOGRAFIA •

GARCIA Pizarro, Luis M., 2008, “Unidad II. Números Pseudo aleatorios”. Instituto Tecnológico

de

Piedras

Negras.

México.

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http://www.scribd.com/doc/2557289/Numeros-Pseudoaleatorios. •

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http://www.slideshare.net/iorifoar/algoritmo-coungrencial-

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CABRERA, María del Carmen, 2008, “Simulación de Sistemas”. Universidad Técnica Particular de Loja.