Teoremas y leyes del álgebra de Booleana. Primero se establece la relación de igualdad o equivalencia “=” para indicar que las dos variables x e y, pertenecientes al conjunto B, son iguales; por ejemplo, x = y. I. Leyes de composición interna. En B se definen dos leyes de composición interna, “+” (operador “O”, “OR”, o suma lógica) y “.” (operador “Y”, “AND”, multiplicación o producto lógico); siendo B cerrado para estas operaciones. ∀x∈B, ⇒ a) x + y∈B b) x ⋅ y∈B El punto (.), utilizado como símbolo para denotar el producto, no es indispensable, aunque no aparezca, se sobreentiende. Por lo tanto, la operación x⋅ y ∈B ; se puede escribir de la forma: x y∈B. II. Elementos neutros. Existen elementos neutros para ambas leyes de composición interna; las cuales son: a) Elemento neutro para la suma, ∃0 ∈ B / ∀x ∈ B, x + 0 = 0 + x =x b) Elemento neutro para la multiplicación, ∃1∈B/∀x∈B, x ⋅1=1⋅ x = x III.
Conmutatividad de las leyes de composición
interna. La suma y la multiplicación lógica son conmutativa; ∀x, y∈B ; a) x + y = y + x b) x y = y x IV. Distributividad de las leyes de composición interna.
En el álgebra de Boole la suma y la multiplicación son distributivas recíprocamente. ∀x, y, z∈B ; a) x + (y z) = (x + y)(x + z) b) x( y + z) = x y + x z En el álgebra de los números reales, no se cumple el caso “a” de la distributividad. V. Elemento opuesto. Todo elemento de B tiene su opuesto (o función NOT). A este elemento se le denomina inverso, opuesto, complemento o negado. Se representa de varias formas, dos de ellas son: ( x , x'). La suma y el producto de una variable con su complemento da como resultado “1” y “0” respectivamente.
∀x∈B, ∃ x∈B/
a) x + x = 1
b) x x = 0 VI. Elementos del conjunto Booleano “B”. Este postulado es muy obvio, sin embargo, se debe reglamentar; el postulado dice: En B hay al menos dos elementos diferentes. ∃x, y∈B / x ≠ y . Los dos elementos distintos son “0” y “1”. Con estos postulados se pueden demostrar las siguientes identidades del álgebra de Boole descritas en la tabla 2.1. Estas identidades también pueden ser demostradas mediante la teoría de conjuntos. Suma Lógica 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1 x+0=x x+1=1 x+x=x
Multiplicación Lógica 0.0=0 0.1=0 1.0=0 1.1=1 x.0=0 x.1=x x.x=x
Complemento 0 =1 1= 0 x=x x=x
x + x =1 x . x =0 Tabla 2.1. Identidades del álgebra de Boole. Principio de dualidad: En los postulados anteriores se observaron que las dos proposiciones (a y b) son duales y esto significa que se pueden obtener aplicando este principio: si en una igualdad se sustituyen “0” por “1”, “+” por “.” y viceversa, en todos los lugares que aparezcan, se obtiene otra igualdad que se puede llamar “forma dual”. Esto trae como consecuencia que cada teorema del álgebra de Boole tenga otro dual igualmente válido. Teorema de absorción (T1): ∀x, y∈B;
a) x + x y = x b) x(x + y) = x
Las dos partes del teorema son demostrables, no obstante, se demostrará la proposición “b”. Ya que incluye la demostración de la parte “a”.
Para demostrar (P.d): x(x + y) x(x + y) = x x + x y Propiedad distributiva =x+xy Identidad de la multiplicación = x(1+ y) Identidad y propiedad distributiva (factor común) = x(1) Identidad de la suma =x Identidad de la multiplicación Lo que se quería demostrar (L.q.d)
Teorema (T2): ∀x, y∈B;
a)x(x + y) = x y b) x + x y = x + y
P.d: Se demostrará la parte a; la parte b, se deja para el lector. x( x + y) x( x + y) = x x + x y Propiedad distributiva
=0+xy =xy
Identidad de la multiplicación Identidad de la suma
L.q.d Teorema (T3): El complemento de una variable existe, y es único. ∀x, y∈ B / x y = 0 ∧ (x + y) =1 ⇒ x ≠ y ⇒( x = y )∨( x = y) Para todo x, y que pertenezca a B, si se cumple que el producto de estas dos variables es cero, y la suma es igual a uno entonces, significa que dichas variables son diferentes; por lo tanto una es complemento de la otra. El símbolo ∨ significa disyunción “o”; y el símbolo ∧ significa conjunción “y”. Las condiciones de las hipótesis en el producto y la suma conllevan a que la única forma de cumplir la proposición es cuando las dos variables son complementarias recíprocamente. P.d: x=x x = x +0 suma =x+xy
Identidad Identidad de suma Por hipótesis
= ( x+ x)( x + y) distributiva
Propiedad distributiva
= (1)( x+ y ) suma
Identidad de suma
= ( x+ y)( x+ y )
Por hipótesis
y=y
Identidad
y = y +0 =y+xy
= (1)( y+ x )
Identidad de
= ( x+ y)( y+ x )
Propiedad distributiva
= x +( y y)
= y +(0)
Identidad del producto
=x+(0)
=y
Elemento neutro
=x
L.q.d
Por hipótesis
= ( y + y )( y + x) Propiedad
= y +( x x) distributiva
x=y
Identidad de
y=x L.q.d
Por hipótesis Propiedad
Identidad del producto Elemento neutro
Teorema (T4): ∀x, y∈B;
a)x y + x y = x b)(x + y)(x + y ) = x
P.d: (se demostrará la parte b) (x + y)(x
+ y) =x+0
= x + y yPropiedad distributiva Identidad del producto
=x
Identidad de la suma
L.q.d.
Teorema (T5): ∀x, y, z∈B;
a)x y + x y z = x y + x z b)(x + y)(x + y + z) = (x + y)(x + z)
P.d: (se demostrará la parte a) xy+
xyz = x( y+ y z) Factor comúm = x(y + z) Teorema 2 =xy+xz
Propiedad distributiva
L.q.d. Teorema (T6): Teorema De Morgan. ∀x, y∈B,
a)x + y = x⋅ y b) x⋅ y = x + y
El teorema de la unicidad del complemento (T3) indica que se debe demostrar que los dos miembros de las igualdades (a) y (b) son complementarios. Por ejemplo, basta comprobar en (a) que x ⋅ y es el complemento de x + y . Por lo tanto, el producto de estos dos valores debe dar “0” y su suma debe dar “1”. La aplicación de este teorema es muy importante en los circuitos de compuertas digitales. aI)(x + y) + ( x⋅ y )=1
aII)(x + y)⋅( x⋅ y)=0 P.d: caso aI (x + y) +( x⋅ y ) ={(x + y) + x}⋅{(x + y) + y} ={x + (x + y)}⋅{x + (y+ y )}
Propiedad distributiva Propiedad conmutativa y asociativa
={(x + x) + y}.{x +1}
Propiedad asociativa e Identidad suma
= (1+ y)(x +1)
Identidad de la suma
= (1)(1)
Identidad de la suma
=1
Identidad de la multiplicación
P.d: caso aII (x + y)⋅( x⋅ y) ={x ⋅( x⋅ y )}+{y ⋅( x⋅ y)} ={(x⋅ x)⋅ y}+{( y ⋅ y)⋅ x)} = (0⋅ y ) + (0⋅ x) =(0) + (0) =0
Propiedad distributiva Propiedad conmutativa y asociativa Identidad de la multiplicación Identidad de la multiplicación Identidad de la suma
L.q.d.
Libro: ELECTRÓNICA DIGITAL COMBINACIONAL Diseño, Teoría y práctica por: Ángel Agustín Olivier Mayo de 2002
