monografia algebra booleana

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO PUNO FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS

MONOGRAFIA: “POLINOMIOS BOOLEANOS, ESTRUCTURA Y APLICACIONES ”

RESENTADO POR: CONDORI COLQUEHUANCA, NELSON ROLDAN

PUNO-PERÚ 2018

2 FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURA

DEDICATORIA A mi Madre y a mi Padre. Vuestro apoyo – y y los estados mentales que me ofrecieron. Que Dios ilumine sus caminos para que puedan ser Guías de sus Prójimos.


INDICE INTRODUCCIÓN .......................................... ................................................................. ............................................. ............................................ .............................. ........ 4 CAPITULO I: EXTRUCTURA DE LOS POLINOMIOS BOOLEANOS............................... ............................... 5 Definición de algebra de Boole: ............................................ .................................................................. ............................................ ........................ 5 Formas de notación del álgebra de Boole:............................................ ................................................................... .............................. ....... 5 1.1

Operaciones en el álgebra de Boole .......................................... ................................................................. .................................. ........... 7

1.2

Funciones booleanas y funciones booleanas ............................................ ............................................................... ...................7

1.3

Propiedades de los átomos ......................................... ............................................................... ............................................ ......................... ... 10

1.4

Mapa de Karnaugh .......................................... ................................................................ ............................................ .................................... .............. 11

CAPÍTULO II: APLICACIÓN DEL ÁLGEBRA BOOLEANA ............................................ ............................................13 2.1

Compuerta OR.......................................... OR................................................................ ............................................ ........................................... .....................13

2.2

Compuerta AND ......................................... ............................................................... ............................................. ........................................ .................15

CONCLUCIONES.......................................... ................................................................. ............................................. ............................................ ............................ ...... 17 BIBLIOGRAFÍA ............................................ ................................................................... ............................................. ............................................ ............................ ...... 18 ANEXO..................................... ANEXO........................................................... ............................................ ............................................. ............................................. ............................ ...... 19


INTRODUCCIÓN El álgebra booleana estudia la forma de resolver el diseño eficiente, teniendo una serie de circuitos útiles, con datos de salidas múltiples. Por ello, todas las operaciones del algebra de Boole, leyes, teoremas, definiciones, etc. tienen un sólo objetivo: el cálculo de incógnitas. El álgebra tiene muchas definiciones (álgebra booleana, función booleana, expresiones booleanas y anillo booleano, entre otras) estas honran honran a George George Boole, famoso matemático matemático del siglo XIX Boole forma parte de una larga cadena de personas de gran trascendencia que se dedicaron a formalizar y mecanizar el proceso de pensamiento lógico. En este efecto en 1854 Boole escribió un libro titulado The The laws of thought. La contribución contribución de Boole consistió en el desarrollo de una teoría lógica que utilizaba símbolos en lugar de palabras. Unas discusiones sobre el trabajo de Boole pueden verse en Hailperin. Casi un siglo después de la publicación del trabajo de Boole, en 1938, C.E. Shannon, entre otros, observo que el álgebra booleana se podía aplicar en el análisis de circuitos eléctricos. Como consecuencia de esto, y en las décadas subsiguientes, el álgebra booleana se convirtió en un medio indispensable para el análisis y el diseño de computadoras electrónicas. Se estudiará en esta monografía la existencia de la relación del algebra booleana y los circuitos, veremos también sus aplicaciones.


CAPITULO I: EXTRUCTURA DE LOS POLINOMIOS BOOLEANOS Definición de algebra de Boole: Un algebra de Boole es un retículo distributivo y complementado. (Navarro) El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario " º " definido en éste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana.

Formas de notación del álgebra de Boole: En Lógica binaria se suele emplear la notación {(0,1), \, +, - , ∙}, común en la tecnología digital, siendo la forma más usual y la más cómoda de representar (Navarro). Por ejemplo, las leyes de De Morgan se representan así: (+)=∙ ∙=(+)

Cuando el álgebra de Boole se emplea en electrónica, suele emplearse la misma denominación que para las puertas lógicas AND (Y), OR (O) y NOT (NO), ampliándose en ocasiones con XOR (O exclusiva) y su negada NAND (NO Y), NOR (NO O) y X-NOR (equivalencia). las variables pueden representarse con letras mayúsculas o minúsculas, y pueden tomar t omar los valores {0, 1}. Empleando esta notación las leyes de De Morgan se representan: NOT (a OR b) =NOTaAND =NOTaAND NOT b NOT (a AND b) =NOTa =NOTa OR NOT b En su aplicación a la lógica se emplea la notación ˄˅⌐ y las variables pueden tomar los valores v alores {F, V}, falso o verdadero, equivalentes equivalentes a {0, 1}


Con la notación lógica las leyes de De Morgan serían así: ⌐ ( ˅ ) = ⌐˄⌐ ⌐ ( ˄ ) = ⌐˅⌐

En el formato de Teoría de conjuntos el Álgebra de Boole toma el aspecto: ((),~,∪,∩) En esta notación las leyes de De Morgan serían así: ~( ∪ ) = ~  ∩ ~  ~( ∩ ) = ~  ∪ ~ 

Otra forma en el álgebra de conjuntos del Álgebra de Boole, las leyes de De Morgan serían así: (  ∪  ) =  ∩  (  ∩  ) =  ∪ 

Desde el punto de vista práctico existe una forma simplificada de representar expresiones booleanas. Se emplean apóstrofos (') para indicar la negación, la operación suma (+) se representa de la forma normal en álgebra, y para el producto no se emplea ningún signo, las variables se representan, normalmente con una letra mayúscula, la sucesión de dos variables indica el producto entre ellas, no una variable nombrada con dos letras. (Hailperin, 1981)

La representación de las leyes de De Morgan con este sistema quedaría así, con letra minúsculas para las variables: variables: (  +  )` =  ` ∙  ` (  ∙  )` =  ` +  `

y así, empleando letras mayúsculas para representar las variables: (  +  ) =    ()′ = ′ + ′

Todas estas formas de representación son correctas, se utilizan de hecho, y pueden verse al consultar bibliografía. La utilización de una u otra notación no modifica el álgebra de Boole,


solo su aspecto, y depende de la rama de las matemáticas o la tecnología en la que se esté utilizando para emplear una u otra notación.

1.1.1. Definiciones Las algebras booleanas se pueden introducir de dos maneras diferentes: uno a través de una relación de orden que cumple ciertos axiomas; otra a través de operaciones sobre un conjunto que satisfacen ciertas ecuaciones. ecuaciones. Las dos denticiones son equivalentes, lo cual será el resultado principal de esta subsección, por lo que en un futuro podremos utilizar cualquiera de las dos definiciones. (COMPUERTAS LOGICAS)

1.1 Operaciones en el álgebra de Boole

v)

i)

+ y · son asociativas.

ii)

+ y · son conmutativas.

iii)

+ tiene elemento neutro 0 y · tiene elemento neutro 1.

iv)

+ y · son distributivas una con respecto de la otra.

Para todo a ∈ K existe a0 ∈ K tal que a+a0 = 1 y a·a0 = 0. Entonces diremos que a0 es el complementario de a. (Posteriormente demostraremos que el complementario de un elemento es único). vi)

Notas. 1. Se puede demostrar fácilmente que si n ∈ℕy a, 1 , . . . ,   ∈ K entonces a · (b1 + . . . + bn) = (a · b1) + . . . + (a · bn) y a + (b1 · . . . · bn) = (a + b1) · . . . · (a + bn). 2. Dado que las operaciones + y · son asociativas, si a, b, c ∈ K denotaremos por a+b+c = (a+b) +c = a+(b+c) y por a·b ·c = (a·b) ( a·b) ·c = a· (b ·c). Ejemplos. 1. Si E es un conjunto no vacío, entonces (P(E), ∪, ∩) es un álgebra de Boole con elementos neutros ∅ y E respectivamente y si A ∈ P(E), entonces A0 = A¯E.

1.2 Funciones booleanas y funciones booleanas

8 FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURA 

m Si se define un espacio booleano como B= {0,1}



m Usando el producto cartesiano se puede definir   = {0,1} x {0,1} = {(00), (01), (10), (11)}



m Para X = (X1, ( X1, X2) podemos definir una función booleana f de dos variables según: f(X):  →B, cada punto de   se mapea a B



m Para n variables booleanas con X = (X1, X2, ... Xn) se puede definir una función booleana f de n variables según: f(X): Bn→B, cada punto punto de Bn se mapea a B



m La función booleana puede tomar valores de 1 o 0 dependiendo de los valores de sus variables. (Algebras Booleanas)

1.2.1. Orden en el álgebra de Boole. . Conjunto parcialmente ordenado Definición 1. Conjunto parcialmente ordenado: A junto con una relación ≤, denotado como (A, ≤), es parcialmente ordenado si cumple que:

1) Reflexivo: ∀a ∈ A, a ≤ a. 2) Transitivo: ∀a, b, c ∈ A, si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c. 3) Antisimetrico: ∀a, b ∈ A, si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b.

Observación: Supongamos que A es un conjunto parcialmente ordenado, la razón por la cual decimos que A es parcialmente ordenado, y no totalmente ordenado, es porque dos elementos arbitrarios de A no necesariamente son comparables. Podemos muy bien tener elementos a y b en A tal que a ≰ b y b ≰ a. Por ejemplo, consideremos el conjunto X = {{0}, {1}, {0, 1}, {0, 2}}, y supongamos el siguiente orden p arcial sobre X, a ≤ b si A ⊆ B., así tendríamos que {0} ≤ {0, 1} y {0} ≤ {0, 2} ya que {0} ⊆ {0,

1} y {0} ⊆ {0, 2}, sin embargo {1} ≰ {0, 2}, es decir

estos dos conjuntos simplemente no pueden ser comparados bajo este orden parcial. Si S es un subconjunto finito de un conjunto A parcialmente ordenado, definiremos el supremo de S como el elemento ∨S (´único si existe) tal que: 

∀s ∈ S, s ≤∨S

9 FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURA 

Para cualquier x ∈ A tal que s ≤ x ∀s ∈ S, tenemos t enemos que ∨ S ≤ x

El dual del supremo de S es el ínfimo y denotada como ∧S la cual es definido idénticamente como el supremo, pero con la desigualdad contraria. Definición. Un conjunto totalmente ordenado L es un conjunto parcialmente ordenado, donde si a, b ∈ L entonces a ≤ b ó b ≤ a. Lema 1. Sea P un conjunto no vacío parcialmente ordenado, tal que todo subconjunto totalmente ordenado de L tiene supremo (en P) entonces P posee un elemento máximo. (Herinsten)

1.2.2. Átomo de un álgebra de Boole

Simplificación de funciones booleanas: El proceso de simplificación de una expresión booleana consiste en encontrar una nueva expresión más sencilla que determine la misma función booleana, en el sentido de que tenga un número menor de operaciones. o peraciones. Para ello introducimos el método de Quine Mc-Cluskey que consta de los siguientes pasos: Sea K un álgebra de Boole y f una función booleana de orden n sobre K. Denotamos por B = {0, 1}. Para obtener una expresión simplificada de f realizamos los siguientes pasos: (Herinsten) (Herinsten) 1. Calculamos su tabla de verdad. 2. Ordenamos los valores cuya imagen es 1 en una columna de arriba a abajo en número decreciente de unos. Separamos éstos en bloques de forma que los elementos de cada bloque tengan el mismo número de unos. 3. Comparamos cada elemento de cada bloque con cada uno de los elementos del bloque inferior de forma que si dos de estos elementos difieren en un ´único valor, les antepondremos antepondremos un + y escribiremos en una nueva columna, el elemento que se obtiene al sustituir dicho valor por un guion. Separaremos los elementos resultantes por una línea cuando acabemos de comparar dos bloques. 4. Repetimos el proceso anterior con la nueva columna obtenida y así sucesivamente hasta que solo tengamos una única columna con un único bloque o bien, cuando de los


bloques que se tengan, no existan elementos que difieran solo en un valor de otro elemento del bloque siguiente. 5. Rellenamos una tabla donde escribimos en la primera fila las secuencias de unos y ceros correspondientes a los átomos de f, en la primera columna las secuencias con guiones que no llevan + obtenidas anteriormente, y en cada recuadro interior correspondiente a un átomo y uno con guion, escribiremos un asterisco si todos los valores de ambos, sin contar los elementos con guiones coinciden. 6. Finalmente, de cada columna elegimos un asterisco de forma que el número de filas donde hayan sido elegidos asteriscos sea el menor posible. La suma de los elementos de la primera columna que contienen asteriscos elegidos junto con los elementos de d e la primera fila en cuya columna no hay ningún asterisco es una expresión booleana simplificada de f.

1.2.3. Circuitos lógicos

Los circuitos lógicos se pueden visualizar como máquinas que contienen uno o más dispositivos de entrada y exactamente un dispositivo de salida. (Herinsten) ( Herinsten) 

En cada instante cada dispositivo de entrada tiene exactamente un bit de información, un 0 o un 1; estos datos son procesados por el circuito para dar un bit de salida, un 0 o un 1, en el dispositivo de salida.



De esta manera, a los dispositivos de entrada se les puede asignar sucesiones de bits que son procesadas por el circuito bit por bit, para producir una sucesión con el mismo número de bits. Un bit se puede interpretar como un voltaje a través de un dispositivo de entrada/salida; aún más, una sucesión de bits es una sucesión de voltajes que pueden subir o bajar (encendido o apagado).



Se puede suponer que el circuito siempre procesa la sucesión de izquierda a derecha o de derecha a izquierda. Si no se dice otra cosa se adopta la primera convención.

1.3 Propiedades de los átomos


Dada un algebra se llama átomo booleano, o simplemente átomos, de orden r a las intersecciones de r de lo generados de dicho algebra booleana con los m-r restantes. sus propiedades son las siguientes: siguientes: 



El número de átomos distintos de orden orden r de un algebra booleana es  .



El número total de átomos es 2 .



Dos átomos distintos son disjuntos.

1.4 Mapa de Karnaugh Simplificación de expresiones expresiones booleanas: Una función booleana se puede representar de muchas maneras mediante expresiones booleanas, e interesa encontrar la más simplificada. La expresión como suma de productos elementales no es la expresión más simple, pero si es el punto de partida de todos los métodos de simplificación, que se basan en la búsqueda de pares de productos elementales que difieran solamente en una variable y poder aplicar el siguiente resultado. (Navarro) Los mapas de Karnaugh Mapas de Karnaugh Son similares a una tabla de verdad ya que muestra todos los posibles valores valores de las variables variables de entrada y la salida resultante para para cada valor. Características de los Mapas de Karnaugh: Esta organizado en una cuadrícula en forma de encasillado cuyo número de casillas depende del número de variables que tenga la función a simplificar. Para una función de n variables, el mapa consta de 2n cuadros, cada uno asociado a uno de los 2n mientras diferentes que son suficientes para generar la función. Las celdas se disponen de manera que la cada una se diferencia de la contigua (tanto en vertical como en horizontal) justamente en el estado de complementación de una variable.



CAPÍTULO II: APLICACIÓN DEL ÁLGEBRA BOOLEANA Una aplicación del álgebra de Boole es el álgebra de circuitos de conmutación. Un circuito de conmutación es una red eléctrica formada por interruptores conectados por cable, con dos estados que son cerrado y abierto, a los que se les asigna, respectivamente, los valores 1 y 0, y dos terminales s y t. (Herinsten)La corriente eléctrica fluye de s a t a través del punto donde está localizado un interruptor si y sólo si éste está cerrado s t x figura 5 En la figura 5 se muestra un circuito con un solo interruptor. El circuito de la figura 6 está cerrado si y sólo si x o y están cerrados. Esta combinación de interruptores se indica con x y ∨ y se dice que los l os interruptores x, y están en paralelo s x t y figura fi gura 6 Dos interruptores x e y están en serie si están conectados como en la figura En este caso el circuito está cerrado si y sólo si ambos x e y lo están, esta combinación de interruptores se indica con x y ∧. La operación suprema es la conexión en paralelo y el ínfimo es la conexión en serie. Los valores que pueden tomar los interruptores son sólo dos: {ON, OFF} o bien {1,0}. Si dos interruptores operan en tal forma que cuando uno está abierto el otro está cerrado, y viceversa entonces se designará uno de ellos con una letra y el otro por su complemento. Se indica con 0 al circuito que está siempre abierto y con 1 al que está siempre cerrado. Con estas operaciones el conjunto de circuitos de conmutación c onmutación es un álgebra de Boole y tiene todas sus propiedades. En el diseño actual de redes eléctricas los interruptores se reemplazan por otros dispositivos llamados compuertas lógicas, que se corresponden con las operaciones booleanas ∨ ∧, y complemento (negación).

2.1 Compuerta OR Suma booleana.

La representación matemática de una suma booleana de dos variables se hace por medio un signo más entre las dos variables. (Navarro) Ejemplo La suma booleana de las variables A y B se enuncia de la siguiente forma, X = A + B La suma booleana es 1 si alguna de las variables lógicas de la suma es 1 y es 0 cuando todas las variables son 0. Esta operación se asimila a la conexión paralela de contactos. La tabla de verdad de la suma se muestra en la tabla 2.2.


Tabla 2.2. Tabla de Verdad de la función OR En circuitos digitales, el equivalente de la suma booleana es la operación OR y su símbolo lógico se representa en la figura 2.6. COMPUERTAS LOGICAS LOGICAS 34 Figura 2.6.

Símbolo lógico para la compuerta OR. Con la correspondiente ecuación X= A + B. El inverso de la función OR es la función NOR. La tabla de verdad se muestra en la tabla 2.3.

Tabla 2.3. Tabla de verdad de la función NOR El símbolo lógico de la compuerta NOR se representa en la figura 2.7.


Figura 2.7. Símbolo lógico para la compuerta NOR Con la correspondiente ecuación X= (A+B)’ La suma booleana difiere de la suma binaria cuando

se suman dos unos. En la suma booleana no existe acarreo.

2.2 Compuerta AND Multiplicación booleana La representación matemática de una multiplicación booleana de dos variables se hace por medio un signo signo punto (·) entre las dos variables. La multiplicación booleana de las variables A y B se enuncia de la siguiente forma, X=A·B La multiplicación booleana es 1 si todas las l as variables lógicas son 1, pero si alguna es 0, el resultado es 0. La multiplicación booleana se asimila a la conexión serie de contactos. La tabla de verdad de la multiplicación booleana se muestra en la tabla 2.4.

Tabla 2.4. Tabla de verdad de la función AND En circuitos digitales, el equivalente de la multiplicación booleana es la operación AND y su símbolo se representa en la figura 2.8.


Figura 2.8. Símbolo lógico de la función AND con la correspondiente ecuación X= A·B El inverso de la función AND es la función NAND. La tabla de verdad se muestra la tabla 2.5

Tabla 2.5. Tabla de verdad de la función NAND


CONCLUCIONES El mapa de Karnaugh, podría considerarse como una especie de Tabla de la verdad. Su gran utilidad radica en la posibilidad de minimizar expresiones booleanas, y con esto, las compuertas lógicas. Gracias a este método podemos expresar en términos gráficos la agrupación de expresiones con factores comunes y así eliminamos las variables que no necesitamos. Con el mapa de Karnaugh podemos minimizar expresiones que contengan seis o menos variables. Pensar en utilizar el mapa de Karnaugh con siete o más variables en una expresión se convierte en una tarea casi imposible de realizar. El mapa de Karnaugh también ha venido a sustituir el uso de algunos teoremas de Álgebra booleana y manipulación de ecuaciones facilitando la minimización de expresiones de este tipo. Por esto debe considerarse el aprendizaje de este método como una herramienta importante en el estudio de informática y electrónica, entre otras.


BIBLIOGRAFÍA 

Algebras Booleanas. (s.f.). Booleanas. (s.f.).



COMPUERTAS LOGICAS. (s.f.). LOGICAS. (s.f.).



Hailperin. (1981). Boole's algebra isn't Boolean algebra . Math . Math Mag.



Herinsten, I. (s.f.). Algebra (s.f.). Algebra abstracta. mexico: abstracta. mexico: Iberoamerica.



Navarro, M. B. (s.f.). Matematica Discreta y Algebra Lineal. Granada: Lineal. Granada: Departamento de Algebra, Universidad de Granada.



Stone, M.H The theory of representative for Booleans algebras. Trans Amer. Math. Soc, 40:3740:37 111. (1936). Applications of the theory of Booleans rings to general topology. Trans Amer Math Soc, 41: 321-364. (1937). 2. Sikorski, Roman Boolean Algebras. Springer, BerlinGöttingen-Heidelberg. (1960). 3. Bell, J.R Boolean-valued Models and Independence Proofs in set theory. Clarendon Press,. (1977). 4. Paul R. Halmos Lectures on Boolean Algebras. D. Van Nostrand Company, Inc. New Jersey. 1963. Logic as Algebra. The Mathematical Association of America. 1998. 5. Peter T. Johnstone. Stone Spaces. Cambridge University Press. Cambridge. 1982.



D. Barnes and J. Mack, An algebraic introduction to mathematical logic, Springer-Verlag, 1975 (Hay traducción al castellano). [2] S. Burris and H. Sankappanavar, A course in universal algebra, Springer-Verlag, 1981. [3] P. Halmos, Lectures on Boolean algebras, D. Van Nostrand, 1963. [4] A. Hamilton, Logic for mathematicians, Cambridge University Press, 1978 (Hay traducción al castellano). [5] J. Donald Monk, Mathematical Logic, Springer-Verlag, 1976. Universidad de Valencia, Departamento de Logica y Filosof ´ ´ıa de la Ciencia, Apt. 22.109 EE46071 Valencia, Spain E-mail address: [email protected]


ANEXO Ilustración 1

fuente: Herstein 1

20 FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURA Ilustración 2

fuente: Herstein 2

Ilustración 3

fuente: Matematica Discreta Discreta y Algebra 1


Ilustración 4

fuente: Matematica Discreta Discreta y Algebra 2


Fuente: Algebra Moderna (Frank Ayers) 1


Fuente: Algebra Moderna (Frank Ayers) 2


fuente: Herstein 3

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