Algebra Booleana

Algebr ă booleană

1. Elemente de algebră booleană Operaţ Operaţii elementare

Între două variabile a şi b se definesc opera ţiile elementare descrise în urm ătorul tabel: ab 00 01 10 11

a  b 1 1 1 0 0 1 0 0

a ⋅ b 0 0 0 1

a + b 0 1 1 1

a ⊕ b 0 1 1 0

a ⊗ b 1 0 0 1

a ⋅ b 1 1 1 0

a + b 1 0 0 0

Tabelul 1. Operaţiile elementare în algebra booleană

Observaţie: operaţiile anticoinciden ţă (a⊕ b) şi coincidenţă (a⊗ b) se pot scrie cu ajutorul funcţiilor elementare astfel: a ⊕ b = a b + a b a ⊗ b = a b + a b Reprezentarea funcţ funcţiilor logice

Funcţiile logice pot fi descrise cu urm ătoarele metode: • tabel de adev ăr → vezi Tabelul 1; • analitic: − cu variabile → f  = a + bc ; − cu produse canonice → f=P0+P5+P6+P7 ; − cu sume canonice → f  = S0 ⋅ S5 ⋅ S6 ⋅ S7 ; Observaţie: produsele şi sumele canonice sunt complementare ( Pi = Si ) Problema 1: Să se reprezinte modalităţile amintite mai sus.

func ţia f  cu trei variabile dat ă în tabelul următor cu toate

Rezolvare: abc 000 001 010 011 100 101 110 111

f  1 0 0 1 1 1 0 0

Cu variabile (nu este forma minim ă!): f  = a b c + a bc + a b c + a bc {

P0

{

P3

{

P4

{

Cu produse canonice: f  = P0 + P3 + P4 + P5 Cu sume canonice: f  = S0 ⋅ S3 ⋅ S4 ⋅ S5 1

P5

Algebr ă booleană

Observa ţie: în expresia produselor canonice P i variabilele cu valoare 0 apar negate. În ex presia sumelor canonice Si variabilele cu valoare 1 sunt negate. De exemplu: S0 = a + b + c, S3 = a + b + c Teoreme şi proprietăţ proprietăţii •

Propriet ăţile operaţiilor elementare:

⎧0 ⋅ X = 0 ⎪1⋅ X = X ⎪ SI : ⎨ ⎪X ⋅ X = 0 ⎪⎩X ⋅ X = X •

⎧0 + X = X ⎪1 + X = 1 ⎪ SAU : ⎨ ⎪X + X = 1 ⎪⎩X + X = X

Teorema lui De Morgan:

⎧⎪a ⋅ b = a + b ⎨ ⎪⎩a + b = a ⋅ b •

Teorema absorbţiei

a + a b = a + b Problema 2: Să se demonstreze teorema absorb ţiei.

Rezolvare: a + b = 1⋅ (a + b) = (a + a )(a + b) = aa + ab + a a + a b Ţinând cont de propriet ăţile operaţiilor elementare, ultima ecua ţie devine:

a + b = a + ab + a b = a (1 + b ) + a b = a + a b Aplicaţ Aplicaţii Problema 3: Să se demonstreze urm ătoarea egalitate:

a + a b = a + b .

Rezolvare: a + b = 1⋅ (a + b) = (a + a )(a + b) = a a + a a + a b + a b = = a + a b + a b = a (1 + b) + a b = a + a b Problema 4: Să se demonstreze urm ătoarea egalitate:

a + b + a + b = a .

Rezolvare: DeM

a + b + a + b = (a + b)(a + b) = a a + a b + a b + b b = = a (a + b + b) = a (a + 1) = a = a

2

Algebr ă booleană

a + ab = a + b . Problema 6: Să se demonstreze urm ătoarea egalitate: a + a b = a + b . Problema 7: Să se demonstreze urm ătoarea egalitate: ab + bc + ac = a b + b c + a c . Problema 5: Să se demonstreze urm ătoarea egalitate:

Rezolvare: DeM

DeM

ab + bc + ac = ab ⋅ bc ⋅ ac = (a + b)( b + c)(a + c) = = (a b + b b + a c + b c)(a + c) = = a a b + a b b + a a c + a b c + a b c + b b c + a c c + b c c = = a b + a b + a c + a b c + b c + a c + b c = = a b + a c + b c(1 + a ) = a b + b c + a c Problema 8: Să se demonstreze urm ătoarea egalitate:

a bc + a bc + abc = (a + b) ⋅ c .

Rezolvare: a bc + a bc + abc = a bc + ac(b + b) = a bc + ac = Abs

= c(a + a b) = c(a + b) Problema 9: Să se demonstreze urm ătoarea egalitate:

a( b + c) + ( b + d ) + (a + c) + b = a c + b + d . Problema 10: Să se demonstreze urm ătoarea egalitate: a(b + c + d) + a bc + a c = a Problema 11: Să se minimizeze urm ătoarea func ţie: f  = (a + bc)(a + cd) .

Rezolvare:

(a + bc)(a + cd) = aa + abc + acd + bccd = a + abc + acd + bcd = = a(1 + bc + cd) + bcd = a + bcd

Problema 12: Să se minimizeze urm ătoarea func ţie:

f  = a + b + c + a bc .

Rezolvare: a + b + c + a bc = a + b + c + a + b + c = a + b + c

3

.