Universidad Galileo Algebra Booleana

UNIVERSIDAD GALILEO IDEA

CEI: LITA-QUETZALTENANGO Nombre de la Carrera: LTATE Curso: ELECTRÓNICA GENERAL Horario: 13: Tu!or: "i#$ado %arrios& 'or$e (ario

NOMBRE DE LA TAREA

 Al$ebra %oolea#a

 A)ellido  A)ellidos& s& Nombre Nombress del del Alum#o: Alum#o: Rile* Her#+#de,& Osar E#ri.ue Car#/: 11001 "e2a de e#!re$a: 4415 6ema#a a la .ue orres)o#de 5

Índice Introducción...............................................................................................................................3 ¿Qué es el álgebra booleana?.....................................................................................................4 Operaciones con álgebra booleana........................................................................................4 Resultados idénticos con menos funciones............................................................................4 Epresiones booleanas...........................................................................................................4 !unciones booleanas.............................................................................................................." Identidad booleana................................................................................................................." Reglas para una #ariable $nica.............................................................................................." %EORE&'(...........................................................................................................................)

Optimi*ación de epresiones booleanas................................................... ............................+ 'plicación del algebra booleana ,compuertas lógicas-......................................................./ 0a compuerta I! se representa........................................................................................./ con un triángulo................................................................................................................/ El circulo en la salida significa......................................................................................../ negación.........................................................................................................................../ 'gregando una etapa 1O% a una compuerta '12 obtenemos....................................... una 1'12....................................................................................................................... OR es la función ideal para........................................................................................... sumar dgitos binarios...................................................................................................... OR 5 1O% 6 1OR..................................................................................................... !OR&70' 8'1O1I8' 2I(971%I:' O 2E &I1%ER&I1O(...................... ..........; &'%ER&I1O ,&i-<....................................................................................................; !OR&70' 8'1O1I8' 8O1=71%I:' O 2E &'%ER&I1O(..............................; 8O1:ER(IO1 9 &'1I>70'8IO1 2E !OR&70'(...................................................3

8onclusión..............................................................................................................................." ibliografa..............................................................................................................................)

Introducción E# el )rese#!e !raba7o daremos a o#oer sobre al$ebra %oole o !ambi/# o#oida omo %oolea#a o#oida as8 e# i#9orm+!ia * ma!em+!ia& * 9ue #ombrada as8 a 2o#or a Geor$e %oole de la 9e2a de  de #oiembre de 1;10 al ; de diiembre del a$io de mediados del si$lo ?I?@ El ale$ra %oole 9ue u# i#!e#!o de u!ili,ar las !/#ias al$ebraias )ara !ra!ar e)resio#es de la l>$ia )ro)osiio#al@ E# el #iel de l>$ia di$i!al de u#a om)u!adora& lo .ue omB#me#!e se llama 2ardare& * .ue es!+ 9ormado )or los om)o#e#!es ele!r>#ios de la m+.ui#a& se !raba7a o# di9ere#ias de !e#si>#& las uales $e#era# 9u#io#es .ue so# aluladas )or los irui!os .ue 9orma# el #iel@ Es!as 9u#io#es& e# la e!a)a de dise#ias de las 9u#io#es boolea#as& .ue so# B!iles )ara arios )ro)>si!os& !ales omo el de de!ermi#ar si dos e)resio#es re)rese#!a# o #o la misma 9u#i>#@ Dero )ara o!ros )ro)>si!os so# a me#udo di98iles& )or !e#er m+s o)eraio#es .ue las #eesarias@ Dar!iularme#!e& ua#do es!amos o#s!ru*e#do los irui!os ele!r>#ios o# .ue im)leme#!ar 9u#io#es boolea#as& el )roblema de de!ermi#ar  u#a e)resi># m8#ima )ara u#a 9u#i># es a me#udo ruial@ No resul!a# de la misma e9iie#ia e# di#ero * !iem)o& )ri#i)alme#!e& dos 9u#io#es las uales alula# lo mismo )ero do#de u#a !ie#e me#os ariables * lo 2ae e# me#or !iem)o@ Como solui># a es!e )roblema& se )la#!ea u# m/!odo de sim)li9iai>#& .ue 2ae uso de u#os dia$ramas es)eiales llamados ma)as o dia$ramas de ar#au$2& * el ual !ie#e la limi!ai># de )oder !raba7ar adeuadame#!e s>lo o# )oas ariables@ 6e reali,a# es!as )rese#!aio#es o# el 9i# de demos!rar la a9i#idad eis!e#!e e#!re el +l$ebra de %oole * la l>$ia )ro)osiio#al& * o# el ob7e!o de ime#!ar el )roedimie#!o de sim)li9iai># )rese#!ado e# la l>$ia de )ro)osiio#es

¿Qué es el álgebra booleana? El +l$ebra boolea#a !ra!a o# o)eraio#es de ariables .ue s>lo )uede# !omar u#o de dos alores:  o 1@  i#dia F9alsoF& mie#!ras 1 i#dia FerdaderoF@ E# )ri#i)io& el +l$ebra boolea#a se )aree al +l$ebra omB#@ Dor lo !a#!o& se usa# si$#os similares @

Operaciones con álgebra booleana El +l$ebra boolea#a )ermi!e sim)li9iar arias 9u#io#es om)le7as@ Las reduio#es )ermi!e# om)re#der la 9u#i># o# m+s 9ailidad@ Dor e7em)lo& )uede# a#elarse los eleme#!os .ue #o a9e!a# la salida 9i#al * rear u# irui!o .ue re)rese#!e la 9u#i># u!ili,a#do me#os om)uer!as l>$ias@ Usar me#os om)uer!as e# u# irui!o se !radue e# a2orro de !iem)o * di#ero@

Resultados idénticos con menos funciones Como )uedes er& las salidas de ambos irui!os so# id/#!ias@ Las salidas so# 9+iles de ide#!i9iar omo id/#!ias a#ali,a#do !a#!o los irui!os omo las !ablas de erdad@ E# 9u#io#es m+s om)le7as& es mu2o m+s di98il reo#oer 9ormas e.uiale#!es reduidas sim)li9iadas eami#a#do la !abla de erdad@ La redui># s>lo )uede lo$rarse media#!e el uso de +l$ebra boolea#a * o!ros m/!odos de redui>#@

Expresiones booleanas E# el +l$ebra FomB#F& u#a ombi#ai># de alores 9i7os o ariables dada o#s!i!u*e u#a e)resi>#@ E# es!e se#!ido& el +l$ebra boolea#a es i$ual@ U#a e)resi># boolea#a es u#a ombi#ai># de alores 9i7os * ariables& los .ue s>lo )uede# ser 1 o @ Los dis!i#!os alores ariables * 9i7os es!+# relaio#ados media#!e o)eraio#es boolea#as omo AN& NOT * OR@

El orde# de )rimarias es

las o)eraio#es boolea#as el si$uie#!e:

1 NOT 2 AN 3 OR

Cua#do dos o)eraio#es !ie#e# el mismo orde# de im)or!a#ia se reali,a# de i,.uierda a dere2a@

Funciones booleanas ada u#a e)resi># boolea#a .ue o#!ie#e # ariables& ada u#a de las uales s>lo )uede aler  o 1& 2a* ombi#aio#es )osibles de los alores de las ariables@ U#a 9u#i># boolea#a e)resa el resul!ado )ara !odas es!as ombi#aio#es@ Dor e7em)lo& dada la 9u#i># Z  A J C& se )uede alular la res)ues!a i#diidualme#!e )ara ada ombi#ai># )osible de A& %& C * @ O!ra o)i># es rear u#a !abla de erdad .ue o#!e#$a ada u#a de !odas las )osibles ombi#aio#es de ariables A& %& C *  )ara de!ermi#ar las salidas@ e 2e2o& ambos m/!odos so# id/#!ios& ee)!o .ue la !abla de erdad or$a#i,a los da!os m+s larame#!e@

Identidad booleana os e)resio#es .ue !ie#e# salidas id/#!ias )ara ada ombi#ai># de e#!radas )osible se die .ue !ie#e# la misma ide#!idad boolea#a@ Dor e7em)lo& e# los irui!os .ue 2as eami#ado a#!eriorme#!e& se$B# se mues!ra& 2as obserado la ide#!idad boolea#a  AJ%@ Las dos e)resio#es so# id/#!ias& omo lo mues!ra la !abla de erdad .ue 2as a#ali,ado e# la !area .ue reali,as!e@

Reglas para una ariable !nica

 Al i$ual .ue e# las ma!em+!ias Fomu#esF& el si$#o de mul!i)liai># Ko si$#o boolea#o  AN FF o# 9reue#ia se omi!e e# las e)resio#es& omo )or e7em)lo A%  A% * AKAJ%  AKAJ%@ E# las si$uie#!es re$las del +l$ebra boolea#a& se 2a ma#!e#ido el si$#o & )ero m+s adela#!e e# es!a a!iidad& as8 omo e# o!ras a!iidades& er+s o# 9reue#ia e)resio#es e# do#de se lo 2a omi!ido@ Nota: Los !/rmi#os mul!i)liai># * suma se usa# a.u8 e# re9ere#ia a las 9u#io#es boolea#as AN * OR * #o a las o)eraio#es ari!m/!ias@ "EORE#

%$La ma#era de demos!rar  los !eoremas si$uie#!es se )uede basar  e# ideas i#!ui!ias )rodu!o de la 9amiliaridad o# al$B# +l$ebra boolea#a e# )ar!iular& Ke# dia$ramas de Me##& o bie#& e# irui!os o# si!2es o e# !ablas de erdad o# la B#ia o#dii># de .ue se res)e!e al )ie de la le!ra los = )os!ulados 9u#dame#!ales@ E# es!as #o!as s>lo se usa# ra,o#amie#!os basados e# los seis )os!ulados@ el 2e2o de .ue ada )os!ulado !ie#e dos i#isos los uales so# duales u#o del o!ro@ O Principio de Duaidad@ 6i u#a e)resi># boolea#a es erdadera& su expresión dual  !ambi/# lo es@ O E!pre"ione" duae"@ os e)resio#es se die# duales u#a de la o!ra& si u#a se )uede ob!e#er  de la o!raambia#do las o)eraio#es K J  )or K@ * ieersa * ambia#do los Os )or 1 s * ieersa@ Teore#a 1$ Mutipicaci%n por cero

a A@   b AJ1  1 E!picaci%n:

 A@  A@ J  0 es el neutro de la suma  A@ J A@ A el producto de una variable por su complemento da 0   A@K J A  distributividad   A@K A una variable más el neutro no se altera   una variable por su complemento da 0  Teore#a 2$ A&"orci%n

a A J A%  A b AKA J %  A " e a.u8 e# adela#!e& de auerdo al )ri#i)io de dualidad demos!rar s>lo u# i#iso de los si$uie#!es !eoremas * au!om+!iame#!e el i#iso dual .uedar+ demos!rado@ E!picaci%n'

 A J A%  A@1 J A% 1 es el neutro del  producto  AK1 J % distributividad   AK1 Teorema 1  A  es el neutro del producto Es!e !eorema se )uede usar  e# diersos asos de sim)li9iai>#& bas!a o# usar  ide#!i9iar  e# u#a suma& u#a e)resi># .ue se re)i!e )rimero e# 9orma aislada * lue$o mul!i)lia#do a o!ra e)resi>#@ Teore#a 3@ (anceaci%n a A J A%  A J % b AK A J %  A % E!picaci%n'  A J A%  KAJ AKAJ%  distributividad 

 1@KAJ% la suma de una variable con su complemento es 1  AJ% 1 es el neutro del Producto Es!e !eorema se )uede usar e# la sim)li9iai># de e)resio#es ua#do e#o#!ramos u#a e)resi># sumada Co# su om)leme#!o mul!i)liado )or o!ra e)resi># Ko el dual@ Teore#a )$ (anceaci%n a A% J A %  % b KAJ%K AJ%% E!picaci%n'  A% J A%  KAJ A % distributividad   1@% la suma de una variable con su complemento es 1  % 1 es el neutro del  producto

Dara usar es!e resul!ado 2a* .ue ide#!i9iar dos !/rmi#os .ue !ie#e# u# 9a!or omB# * el !/rmi#o .ue #o es omB# e# u#a de ellas es el om)leme#!o del de la o!ra@ Teore#a *$ Ide#potencia

a A@A  A b AJA A La demos!rai># del i#iso Kb de es!e !eorema es i#media!a del !eorema de absori>#& *a .ue A J A   AJ A@1@ Es!e !eorema im)lia .ue ua#do eis!e# té rminos semejant es e# u#a e)resi>#& bas!a o# esribir u#o de ellos& o bie#& .ue u# !/rmi#o )uede FdesdoblarseF !a#!as ees omo se .uiera@ Obs/rese .ue !ambi/# es!o im)lia .ue  An   A )ara ual.uier  #Bmero # e#!ero )osi!io@ Teore#a +$ (on"en"o a A% J A C J %C  A% J  A C b KAJ%K AJCK%JC  KAJ%K AJC E!picaci%n'  A% J AC J %C  A% J AC J %CKA J A AJ A es el neutro de la multiplicación  A% J AC JA%C J A%C  distributividad   KA% JA%C J AC J A%C conmutatividad y asociatividad   A% J AC absorción

La lae )ara usar es!e !eorema es e#o#!rar dos !/rmi#os .ue o#!e#$a# u#a e)resi># e# u#o a9irmada * e# o!ro #e$ada& a#o!ar los !/rmi#os o# los .ue es!+# mul!i)lia#do u#o * o!ro * busar  o!ro eleme#!o .ue sea la mul!i)liai># de es!os Bl!imos dos& /s!e Bl!imo eleme#!o es el .ue se )uede elimi#ar@ Teore#a ,$ Teore#a de De Mor-an a AB  AJB b A+B  AB

El !eorema de e (or$a# se )uede $e#erali,ar  al aso de m+s de dos ariables boolea#as& )or  e7em)lo& )ara 3 ariables& !e#emos .ue  A+B+C   K A+B C   ABC & e# 9orma similar&  A.B.C   K A.B JC    AJBJC  & * as8 suesiame#!e )ara m+s de !res ariables@

Teore#a .$ In/ouci%n a AA Teore#a 0$ (o#pe#ento" de o" neutro" a 0  1& b 1   Po"tuado"

1@- La suma l>$ia de u#a ariable a * 1 es siem)re 1@  a  14 5 1 @- La suma l>$ia de u#  * u#a ariable a& siem)re da el alor de la ariable a@   a  64 5 a

3@- La suma l>$ia de u#a ariable o#si$o misma& siem)re da e# la salida el mismo alor de la ariable@   a  a4 5 a @- La suma l>$ia de u#a ariable * la i#ersa de /s!a siem)re da e# la salida 1& *a .ue al me#os u#o de ellos ale 1@   a  not a4 5 1 0@- La mul!i)liai># l>$ia de u#a ariable a * u# 1 siem)re da omo resul!ado el alor  de la ariable a@  a 7 14 5 a =@- La mul!i)liai># l>$ia de u# ero * u#a ariable a& da e# la salida u# @  a 7 64 5 6 5@- La mul!i)liai># l>$ia de u#a ariable a o#si$o misma& da omo resul!ado el alor de la ariable a@  a 7 a4 5 a ;@- La mul!i)liai># l>$ia de u#a ariable a )or  la i#ersa de /s!a& dar+ a la salida siem)re @   a 7 not a4 5 6

Optimi&ación de expresiones booleanas' Las e)resio#es boolea#as se usa# )ara de!ermi#ar  si u# o#7u#!o de u#a o m+s o#diio#es es erdadero o 9also& * el resul!ado de su ealuai># es u# alor de erdad@ Los o)era#dos de u#a e)resi># boolea#a )uede# ser ual.uiera de los si$uie#!es: E!pr e"ione" r eacionae": .ue om)ara# dos alores * de!ermi#a# si eis!e o #o

* *

u#a ier!a relai># e#!re ellos Ker m+s adela#!e& !al omo m9#P1 8uncione" &ooeana": !al omo )K& .ue re$resa u# alor de erdad Kes!os se e)lia# ba7o F"u#io#es boolea#asF@

Las e)resio#es relaio#ales )ermi!e# de!ermi#ar si u#a relai># dada se eri9ia e#!re dos alores@ La 9orma $e#eral de u#a e)resi># relaio#al es: E)resi>#-1 o)erador-de-relai># e)resi>#- o#de: * *

e!pr e"i%n91 es u#a e)resi># #um/ria o de ade#a oper ador9de9r eaci%n es u#o de los si$uie#!es:

o o

 I$ual P No i$ual Kdi9ere#!e de

o o o o o

*

P (e#or .ue P (e#or o i$ual .ue  (a*or .ue  (a*or o i$ual .ue : Co#!ie#e K)uede ser usado s>lo e# e)resio#es de ade#a e!pr e"i%n92 es u#a e)resi># del mismo !i)o .ue e)resi>#-1& o sea& e)resi>#1 * e)resi>#- debe# ser ambas e)resio#es #um/rias o ambas e)resio#es de ade#a@

Los o)eradores de relai># 5 :; : :5 ; ;5 !ie#e# su si$#i9iado o#e#io#al ua#do se a)lia# a e)resio#es #um/rias Kde#!ro de los l8mi!es de )reisi># de los alores #um/rios de9i#idos ba7o FE)resio#es #um/riasF@ Cua#do se om)ara# e)resio#es de ade#a& se a)lia# las si$uie#!es re$las: *

*

Ee)!o )or el o)erador F'F Ko#!ie#e& las ade#as se om)ara# ea!ame#!e e# la 9orma e# .ue ourre#& o sea& las le!ras ma*Bsulas * mi#Bsulas se om)ara# de auerdo o# el >di$o  A6CII .ue les orres)o#de K)@e7@  A ser+ o#siderada me#or .ue a os e)resio#es de ade#a #o so# o#sideradas i$uales& a me#os .ue !e#$a#

la misma lo#$i!ud@ 6i dos e)resio#es $e#era# ade#as de di9ere#!e lo#$i!ud .ue so# id/#!ias& ar+!er )or ar+!er& 2as!a el !o!al de la lo#$i!ud de la m+s or!a& e#!o#es& la m+s or!a ser+ o#siderada me#or .ue la m+s lar$a@ El o)erador: Ko#!ie#e& busa u#a ade#a de ara!eres Kde9i#ida )or  e)resi>#- e# o!ra ade#a Kde9i#ida )or e)resi>#-1@ 6i el se$u#do o)era#do eis!e e# ual.uier )ar!e del se$u#do o)era#do& el resul!ado es Merdadero KTRUE@ Es!e o)erador es i#se#sible al 2e2o de .ue los ara!eres se 2alle# e# ma*Bsulas o mi#Bsulas: )or lo .ue las le!ras mi#Bsulas se o#sidera# i$uales a su le!ra ma*Bsula orres)o#die#!e@ Dor e7em)lo& el resul!ado de: 1: .u8mia 6er+ Merdadero KTrue si& * s>lo si& el am)o 1 o#!ie#e la ade#a .u8mia@ e# aso o#!rario& el resul!ado ser+ "also K"alse@ N>!ese .ue el se$u#do o)era#do )uede ser  ual.uier ade#a o ar+!er& * #o #eesi!a ser u#a )alabra omo !al@ Dor lo !a#!o& e# es!e e7em)lo& el resul!ado ser+ Merdadero #o s>lo si el am)o 1 o#!ie#e la )alabra .u8mia& si#o !ambi/# si o#!uiera bio.u8mia& 9o!o.u8mias& .u8miame#!e& e!@ Los o)era#dos de u#a e)resi># boolea#a )uede# ombi#arse o# los o)eradores si$uie#!es: *

*

*

NOT KNO Es!e o)erador )rodue el alor Merdadero& si su o)era#do es "also *

el alor "also& si su o)era#do es Merdadero@ El o)erador NOT s>lo )uede usarse omo o)erador si$#o J& o sea& siem)re se a)lia a la e)resi># boolea#a .ue le si$ue AND KS Es!e o)erador  )rodue el alor  Merdadero si ambos o)era#dos so# Merdadero@ 6i ual.uiera de los dos o)era#dos es "also& e#!o#es el resul!ado ser+ "also OR KO Es!e o)erador  reali,a u#a o)erai># O-i#lusio@ El resul!ado es Merdadero si ual.uiera de los dos o)era#dos& o ambos so# Merdadero@ E# aso o#!rario& es "also@

 Al ealuar  e)resio#es boolea#as& * e# ause#ia de )ar/#!esis& C64I6I6 e7eu!ar+ las

o)eraio#es NOT e# )rimer lu$ar& des)u/s las o)eraio#es AN& * 9i#alme#!e las OR@ Las series de dos o m+s o)eradores del mismo #iel& se e7eu!a# de i,.uierda a dere2a@ 6e )uede# usar )ar/#!esis )ara al!erar el orde# de ealuai>#: las e)resio#es de#!ro de )ar/#!esis se ealBa# a#!es& * las e)resio#es e#!re )ar/#!esis i#!er#os a o!ros& so# ealuadas a#!es .ue las e)resio#es e!er#as a los )ar/#!esis@

$plicación del algebra booleana (compuertas lógicas)' U#a ma#era $e#erali,ada de re)rese#!ar  las 9u#io#es l>$ias es el uso de s8mbolos o blo.ues l>$ios de#omi#ados  puer ta  s o compuer ta  s lógicas@ Es!as )uer!as e# $e#eral re)rese#!a# blo.ues 9u#io#ales .ue reibe# u# o#7u#!o de e#!radas Kariables i#de)e#die#!es * )rodue# u#a salida Kariable de)e#die#!e@ U#a de las e#!a7a de usar  /s!os s8mbolos es .ue )or  ser  u#a re)rese#!ai># e#!rada 4 salida )ermi!e# la i#!ero#ei># de )uer!as Kla salida de u#a o# la e#!rada de o!ra )ara re)rese#!ar  9u#io#es m+s om)le7as a )ar!ir de 9u#io#es se#illas@ O!ra e#!a7a es el 2e2o de .ue los blo.ues se#illos K)uer!as o# )oas e#!radas se e#ue#!ra# dis)o#ibles e# irui!os i#!e$rados omeriales& de a.u8 .ue u# dia$rama de )uer!as l>$ias orres)o#de dire!ame#!e a u# diagrama de alambrado de irui!o l>$io@ alida A La om)uer!a I" es la m+s se#illa de !odas Com)uer!a I" K6I

*a compuerta IF se representa con un triángulo' La )uer!a l>$ia I"& llamada 6I e# as!ella#o& reali,a la 9u#i># boolea#a de la i$ualdad@ E# los es.uemas de u# irui!o ele!r>#io se simboli,a media#!e u# !ria#$ulo& u*a base orres)o#de a la e#!rada& * el /r!ie o)ues!o la salida@ Es!o si$#i9ia .ue si e# su e#!rada 2a* u# #iel de !e#si># al!o& !ambi/# lo 2abr+ e# su salida * si la e#!rada se e#ue#!ra e# #iel ba7o& su salida !ambi/# es!ar+ e# ese es!ado@ E# ele!r>#ia& $e#eralme#!e se u!ili,a# om)uer!as I" omo am)li9iadores de orrie#!e Kbu99ers e# i#$les& )ara )ermi!ir  ma#e7ar  dis)osi!ios .ue !ie#e# o#sumos de orrie#!e eleados desde o!ros .ue solo )uede# e#!re$ar orrie#!es m+s d/biles Com)uer!a NOT KNO

El circulo en la salida signi+ca negación' Es!a om)uer!a )rese#!a e# su salida u# alor .ue es el o)ues!o del .ue es!a )rese#!e e# su B#ia e#!rada@ E# e9e!o& su 9u#i># es la #e$ai>#& * om)ar!e o# la om)uer!a I" la ara!er8s!ia de !e#er  solo u#a e#!rada@ 6e u!ili,a ua#do es #eesario !e#er  dis)o#ible u# alor l>$io o)ues!o a u#o dado@ 6e simboli,a e# u# es.uema el/!rio e# el mismo s8mbolo .ue la om)uer!a I"& o# u# )e.ue#@ #umero de e#!radas debe ser omo m8#imo de dos& )ero #o es raro e#o#!rar NAN de 3 o mas e#!radas@

Com)uer!a NOR KNO O e 9orma similar  a lo e)liado o# la om)uer!a NAN& u#a om)uer!a NOR es la #e$ai># de u#a om)uer!a OR& ob!e#ida a$re$a#do u#a e!a)a NOT e# su salida@

$gregando una etapa ,O" a una compuerta $,- obtenemos una ,$,-' Com)uer!a ?OR KO Elusio

.OR es la función ideal para sumar d/gitos binarios' La om)uer!a OR is!a a#!eriorme#!e reali,a la o)erai># l>$ia orres)o#die#!e al O i#lusio& es deir& u#a o ambas de las e#!radas debe# es!ar e# 1 )ara .ue la salida sea 1@ U# e7em)lo de es!a om)uer!a e# le#$ua7e olo.uial seria (a# sea erdadera@ E# aso de .ue realie ambas osas& la a9irmai># !ambi/# es erdadera@ A.u8 es do#de la 9u#i># ?OR di9iere de la OR: e# u#a om)uer!a ?OR la salida ser+  siem)re .ue las e#!radas sea# dis!i#!as e#!re si@ E# el e7em)lo a#!erior& si se !ra!ase de la o)erai># ?OR& la salida seria 1 solame#!e si 9uimos de om)ras o si 9uimos al i#e& )ero  si #o 9uimos a #i#$u#o de esos lu$ares& o si 9uimos a ambos@ Com)uer!a N?OR KNo O Elusio

.OR 0 ,O" 1 ,.OR No 2a* mu2o )ara deir  de es!a om)uer!a@ Como se )uede deduir  de los asos a#!eriores& u#a om)uer!a N?OR #o es m+s .ue u#a ?OR o# su salida #e$ada& )or lo .ue su salida es!ar+ e# es!ado al!o solame#!e ua#do sus e#!radas so# i$uales& * e# es!ado ba7o )ara las dem+s ombi#aio#es )osibles@ Mini < #a!i t=r#ino"$ MINTERMINO #i4: T/rmi#o )rodu!o e# el .ue a)aree# !odas las ariables& *a

sea# om)leme#!adas o si# om)leme#!ar@

FOR#2*$ 3$,O,I3$ -I%42,"I5$ O -E #I,"ER#I,O% : suma de

mi#!/rmi#os K6uma de Drodu!os@ ada la lis!a om)le!a de mi#!/rmi#os * asi$#a#do 1s * s arbi!rariame#!e a las ariables& siem)re 2a* u#& * s>lo u#& mi#!/rmi#o .ue !oma el alor 1@ U# mi#!/rmi#o es u# !/rmi#o )rodu!o .ue es 1 ea!ame#!e e# u#a l8#ea de la !abla de Merdad@ La 9>rmula om)ues!a )or !odos los mi#!/rmi#os ser+ id/#!iame#!e 1@ Cada 9>rmula de o#mu!ai># )uede e)resarse omo suma de mi#!/rmi#os@ S esa 9>rmula es B#ia@ NOTACIÓN: U# mi#!/rmi#o se desi$#a )or  mi sie#do i el #Bmero deimal orres)o#die#!e de la !abla de erdad@ Dara el )rodu!o& el  se asoia a la ariabl e om)leme#!ada * el 1 a la ariable si# om)leme#!ar@ E'E(DLO: C % A "KC&%&A 1 1 11 111 1 11 11 1111

"KC&%&A  m J m J m3 Jm5  6 mK&&3&5 "KC&%&A  CV%VA J CV%VA J CV%VA J CV%VA O bie# "KC&%&A  CV%VA J CV%VA J CV%VA J CV%VA

#$."ER#I,O (#i)6 !/rmi#o suma e# el .ue a)aree# !odas las ariables& *a sea# om)leme#!adas o si# om)leme#!ar@

FOR#2*$ 3$,O,I3$ 3O,72,"I5$ O -E #$."ER#I,O% : )rodu!o de ma!/rmi#os KDrodu!o de sumas@ ada la lis!a om)le!a de ma!/rmi#os * asi$#a#do 1s * s arbi!rariame#!e a las ariables& siem)re 2a* u# * s>lo u# ma!/rmi#o .ue !oma el alor @ U# ma!/rmi#o es u# !/rmi#o suma .ue es  ea!ame#!e e# u#a l8#ea de la !abla de erdad@ La 9>rmula om)ues!a )or  !odos los ma!/rmi#os ser+ id/#!iame#!e @ Cada 9>rmula )uede e)resarse omo )rodu!o de ma!/rmi#os@ S es B#ia@

NOTACIÓN: U# ma!/rmi#o se desi$#a )or  (i sie#do i el #Bmero deimal orres)o#die#!e de la !abla de erdad@ E# la suma& el 1 se asoia a la ariabl e om)leme#!ada * el  a la ariable si# om)leme#!ar@ E'E(DLO: C % A "KC&%&A 1 1 11 111 1 11 11 1111

"KC&%&A  (1 V ( V (0 V (=  D (K1&&0&= "KC&%&A  KCJ%JA V KCJ%JA V KCJ%JA V KCJ%JA O bie#: "KC&%&A  KCJ%JA V KCJ%JA V KCJ%JA V KCJ%JA 3O,5ER%IO, 4 #$,I82*$3IO, -E FOR#2*

%$El om)leme#!o de u#a 9>rmula de mi#!/rmi#os es!+ 9ormado )or  la suma de los mi#!/rmi#os .ue #o a)aree#@ El om)leme#!o de u#a 9>rmula de ma!/rmi#os es!+ 9ormado )or  el )rodu!o de los ma!/rmi#os .ue #o a)aree#@ mi  (i (i  mi La !ra#s9ormai># de u#a 9>rmula de mi#!/rmi#os Kdis*u#!ia e# o!ra de ma!/rmi#os Ko#7u#!ia se basa e# la doble om)leme#!ai>#& K"  " Dara 9u#io#es i#om)le!as e# la !abla de erdad a)areera u#a ? o u#a le!ra d Kdel i#$l/s do#! are re9iri/#dose a !/rmi#os si# es)ei9iar@ C % A "KC&%&A 1 1 11 11?

1 11?

11 1111

"KC&%&A  6 mK&&5 J "K3&0 "KC&%&A  D (K1&&= V "K3&0 Com)leme#!o de u#a 9u#i># i#om)le!a: o!ra 9u#i># i#om)le!a o# los mismos !/rmi#os #o im)or!a * el om)leme#!o de la 9u#i># om)le!a@ Las 9>rmulas de mi#!/rmi#os * de ma!/rmi#os de las 9u#io#es i#om)le!as@  And @ La o)erai # And re.uiere .ue !odas las se
)ara .ue la salida sea erdadera@  As8 el irui!o de la 9i ura #eesi!a .ue ambo s i#!erru)!ores es! # errados )ara .ue la lu, e#ie#da@

Los es!ados )osibles del irui!o se )uede# modelar e# la Tabla de Merdad .ue !ie#e asoiada@ 6abemos .ue los i#!erru)!ores s>lo )uede# !e#er  dos es!ados& abier!os o errados& si el i#!erru)!or abier!o se re)rese#!a media#!e el ero K o 9also * el errado media#!e el alor u#o K1 o erdadero e#!o#es e#la !abla de erdad asoiada se )uede er la si!uai># .ue se desrib8a e# el )+rra9o a#!erior& ua#do se de8a .ue la lu, s>lo )re#de ua#do ambos i#!erru)!ores es!+# errados& es deir& si A  1 * %  1 e#!o#es L  1@

La om)uer!a l>$ia es u#a 9orma de re)rese#!ar la o)erai># A#d )ero e# el +mbi!o de los irui!os ele!r>#ios& )ara ese aso A * % so# las se# A#d la re)rese#!aremos omo la 9u#i># A#dK  A& % & do#de A * % ser8a# los )ar+me!ros de e#!rada Klos mismos alores de A * % e# el irui!o * L  A#dK A& % & orres)o#der8a a la 9orma de asi$#ai># de alor a L@ E# es!e aso el )ar+me!ro de salida es la misma 9u#i># A#d@ Or @ La o)erai># Or !ie#e similares ara!er8s!ias a la o)erai># A#d& o# la di9ere#ia

.ue bas!a .ue u#a se# No!e .ue e# el irui!o los i#!erru)!ores es!+# e# )aralelo& )or lo ual bas!a .ue u#o de ellos es! errado )ara .ue el irui!o se ierre * e#ie#da la lu,@ La o)erai># Or !ambi # !ie#e u#a re)rese#!ai># 9u#io#al omo OrK A& %  do#de A * % ser8a# los )ar+me!ros de e#!rada Klos mismos a ores de A * % e# el irui!o * L  OrK  A& % & orres)o#der8a a la 9orma de asi$#ai># de alor  a L@ E# es!e aso& el )ar+me!ro de salida es la misma 9u#i># Or@ NOT: La Bl!ima de la !res o)eraio#es 9u#dame#!ales& la ual !ambi/# se o#oe omo #e$ai>#& om)leme#!o o i#ersi>#& es mu2o m+s sim)le .ue las a#!eriores@ E# la 9i$ura se )uede obserar  el irui!o& .ue e# es!e aso !ie#e la )ar!iularidad de .ue al es!ar el i#!erru)!or abier!o la lu, e#ie#de& ua#do /l es!+ e# )osii># de errado la lu, )erma#eer8a a)a$ada@

La #o!ai># 9u#io#al )ara es!a o)erai># ser+ No!K A & do#de A orres)o#de a la se$io * ara!eri,a#dolo de la si$uie#!e ma#era: Do#inio L%-ico   W omi#io L>$io   K X & 1 Y& X l: A#dK l& l & l:OrK l& l & l:No!K l Y

No!e .ue ada u#a de las o)eraio#es o 9u#io#es de es!e domi#io se 2a e)lii!ado larame#!e la a#!idad * el !i)o de )ar+me!ros o# los uales ellas o)era# Ko)era#dos * el !i)o de alor  .ue la o)erai># deuele& e# es!e aso !odos los )ar+me!ros so# del !i)o l>$io K l @  As8& ua#do se 2abla del domi#io del om)u!ador al resoler u# )roblema& es!e domi#io

!ie#e omo base el domi#io rei/# desri!o@ Los irui!os ele!r>#ios .ue da# ida al om)u!ador )uede# ser re)rese#!ados !odos media#!e es!e omi#io L>$io

3onclusión E# o#lusi># las +l$ebras boolea#as& es!udiadas )or )rimera e, e# de!alle )or Geor$e %oole& o#s!i!u*e# u# +rea de las ma!em+!ias .ue 2a )asado a ou)ar u# lu$ar )romi#e#!e o# el ade#imie#!o de la om)u!adora di$i!al@ 6o# usadas am)liame#!e e# el dise# * om)u!adoras& * sus a)liaio#es a# e# aume#!o e# mu2as o!ras +reas@ Las om)uer!as l>$ias so# los dis)osi!ios ele!r>#ios m+s se#illos .ue eis!e#& )ero al mismo !iem)o so# los m+s u!ili,ados e# la a!ualidad@ Dodemos deir .ue la +l$ebra de %oole es la base de !oda la ele!r>#ia di$i!al@ Ho* e# d8a si$#i9ia .ue desde !u relo7& 2as!a i#!er#e!& #o 9u#io#ar8a# si# es!e i#$e#io ma!em+!io@ Es 7us!o deir .ue si# ella& #o eis!ir8a el mu#do a!ual !al * omo lo o#oemos@

9ibliograf/a 2!!)s:44es@ii)edia@or$4ii4[C3[;1l$ebra\de\%oole 2!!):44@mo#o$ra9ias@om4!raba7os14al$ebra-boolea#a4al$ebra-boolea#a@s2!ml 2!!):44@)ro9esormoli#a@om@ar4ele!ro#ia4om)o#e#!es4i#!4ele\di$i!@2!m