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CAÍDA LIBRE y TIRO VERTICAL Suponé que un tipo va a la ventana y deja caer una cosa. Una moneda, por ejemplo.
Claro, el tipo tiene razón. Cuando uno deja caer una cosa, lo que cae, cae con MRUV. Toda cosa que uno suelte va a caer con una aceleración de 9,8 m/s2. Puede ser una moneda, una pluma o un elefante. Si suponemos que no hay resistencia del aire, todas las cosas caen con l a misma aceleración. ¿ Quién descubrió esto ? Obvio. Galileo . Este hecho es medio raro pero es así. En la realidad real, una pluma cae más despacio que una moneda por la resistencia resistencia que opone el aire. aire. Pero si vos sacás el aire, aire, la pluma y la moneda van a ir cayendo todo el tiempo juntas. ( Este es un experimento que se puede hacer).
Esta aceleración con la que caen las cosas hacia la Tierra se llama aceleración de la gravedad. Se la denomina con la letra g y siempre apunta hacia abajo. En el caso de la moneda que cae yo puedo puedo “ acostar “ al problema y lo que tendría sería un objeto que acelera con aceleración 9,8 m / s 2 . Vendría a ser algo así :
→ a=9,8 m 2 s → x
0
Y si lo hubiera tirado con velocidad inicial para abajo tendría esto : v 0
→ a=9,8 m 2 s → x
Es decir que un problema de caída 0 libre no se diferencia para nada de un problema de MRUV. Es más, la caída libre libre es simplemente simplemente un ejemplo de un MRUV. Para resolver estos problemas puedo aplicar los mismos razonamientos, las mismas ecuaciones, todo lo mismo. La única diferencia es que antes todo pasaba en un eje horizontal. Ahora todo pasa en un eje vertical. Lo demás es todo igual. Pregunta: ¿ Y qué pasa con el tiro vertical ?.
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Rta: Y bueno, con el tiro vertical es la misma historia. Tiro vertical significa tirar una cosa para arriba.
Si yo acuesto una situación de tiro vertical, lo que voy a obtener va a ser esto: v 0 ( +) →
a = ( −) 9,8 m
s 2
←
→
0
x
Es decir, tengo la situación de una cosa que sale con una determinada velocidad inicial y se va frenando debido a una aceleración negativa. ¿ Y esto qué q ué es ? Y bueno, es un movimiento rectilíneo uniformemente variado. Si hiciera un esquema tomando un eje vertical y, tendría algo así:
Conclusión: Tanto la caída libre como el tiro vertical son casos de movimiento rectilíneo uniformemente variado. Los problemas se piensan de la misma manera y se resuelven de la misma manera. Las ecuaciones son las mismas. Los gráficos son los mismos. Caída libre y tiro vertical no son un tema nuevo, son sólo la aplicación del tema anterior. Quien sabe MRUV, sabe caída libre y tiro vertical. ( Sólo que no sabe que lo sabe ).
CÓMO RESOLVER PROBLEMAS DE CAÍDA LIBRE y TIRO VERTICAL 1 - Hago un esquema de lo que pasa. pasa . Sobre ese esquema tomo un eje vertical y.
Este eje lo puedo poner apuntando para arriba o para abajo ( como más me convenga ) Puede ser algo así:
SIGNOS EN UN TIRO VERTICAL.
Sobre este esquema marco los sentidos de v0 y de g. Si V0 y g apuntan en el mismo sentido del eje y, serán (+) .Si alguna va al revés del eje y será (-) .( como en el dibujo). El eje horizontal x puedo ponerlo o no. No se usa en estos problemas pero se puede po-
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ner. movimiento es dato y vale g . Generalmente se la toma como 22 - La aceleración del movimiento
10 m/s . Escribo las ecuaciones del movimiento. Incluso puedo poner la ecuación complementaria que me puede llegar a servir si no me dan el tiempo. y = y 0 + v 0 ⋅t + 21 g ⋅t 2 Ecuaciones ← v f = v 0 + g ⋅t Horarias a = cte = g v f 2 − v 0 2 = 2 ⋅ g ⋅ ( y f − y 0 )
← Ec. Complementaria
Si, por ejemplo en el dibujo V0 fuera 10 m/s, la aceleración de la gravedad fuera 9,8 m/s y la altura del edificio fuera de 20 m, las ecuaciones horarias quedarían:
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Y = 20 m + 10 Vf = 10
m m - 9,8 2 ⋅ t + 1 ⋅t 2 2 s s
m m + - 9,8 2 ⋅ t s s
m a = - 9,8 2 = cte s
←
Reemplacé por los Datos
3 - Usando las primeras 2 ecuaciones horarias despejo lo que me piden. En este tipo de problemas suelen pedirte siempre las mismas cosas. Puede ser el tiempo que tarda en llegar a la altura máxima. Puede ser la velocidad inicial con la que fue lanzado. Puede ser cuánto tarda en caer. Siempre son cosas por el estilo. Pueden tomarte un problema de encuentro también. también. En ese caso hay que plantear las ecuaciones horarias para cada uno de los cuerpos y después seguir los pasos de siempre para resolver problemas de encuentro.
Ejemplo
( CAIDA LIBRE Y TIRO VERTICAL ) Un tipo está parado a 20 m de altura. Calcular qué tiempo tarda y con qué velocidad toca el suelo una piedra si el tipo: a)- La deja caer. b)- La tira para abajo con V0 = 10 m/s. c)- La tira para arriba con V0 = 10 m/s.
Un esquema de lo que pasa es el siguiente: Voy al caso a) donde el tipo deja caer caer la piedra. Elijo mi sistema de referencia referencia y marco
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v0 y g con su signo. En este caso V o vale cero porque la piedra se deja caer. Reemplazo por los valores y las ecuaciones del movimiento quedan así : m 2 Y = 20 m + 1 - 9,8 2 ⋅t 2 s Ecuaciones m horarias ← V f = 0 + - 9,8 2 ⋅t s m a = - 9,8 2 = cte s El tiempo que la piedra tarda en caer lo despejo de la 1ª ecuación. Cuando la piedra p iedra toca el suelo su posición es y = 0. Entonces en la primera ecuación reemplazo y por cero. Me queda : 0 ⇒
=
m 2 t s 2
4,9
m
20 m − 1 9,8 2 t 2 2 s =
20 m
⇒
t 2
=
t = 2,02 seg
⇒
20 m 4,9 m s 2
←
Tiempo que tarda
Reemplazando este tiempo en la segunda ecuación tengo la velocidad con que toca el piso: V f
= −
V f
9,8
= −
m 2
⋅
s
19,8
2,02s
m ←
s
Velocidad de la piedra al tocar el suelo.
El signo negativo de Vf me indica que la velocidad va en sentido contrario al eje y Siempre conviene aclarar esto. b) - La tira para abajo con V0 = 10 m/s. Tomo el mismo sistema de referencia que tomé antes. Eje Y positivo vertical hacia arriba. Ahora la velocidad inicial es (-) porque va al revés revés del eje eje Y. ( Atento Atento ).
− b ± b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c Igual que antes, cuando cuando la piedra toca2 ⋅ela suelo, y = 0. Entonces: m m ( y = 0 ) ⇒ 0 = 20 m − 10 ⋅t − 4,9 2 t 2 2 m m m − 10 ± 10 − 4 ⋅ 4,9 2 ⋅s ( − 20 m ) s s s s ⇒ t 1,2 = m 2 ⋅44,9 ,9 m 2⋅t 2 + 10 m ⋅t − 20 m = 0 ⇒ 2 s s Haciendo las cuentas : c s t 1,2 =
b a m m − 10 ± 22,18 Esto es una ecuación cuadrática. Fijate los valores de a, b s que te marqué s ⇒ t 1 2 = m de la ecuación cuadrática. reemplazo los valores de a, b y c en la fórmula 9,8 2 s
y c. Entonces
,
⇒
t 1 = −3,28 seg ;
t 2 = 1,24 seg
← Tiempo de caida.
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( Taché la 1ª solución porque tiempos negativos no tienen sentido físico ) . Ahora voy a reemplazar este tiempo de 1,24 segundos en la 2ª ecuación: Reemplazando t= 1,24 1,24 seg en Vf = Vo + g t calculo la velocidad final. (= al tocar tocar el piso ). Me queda : m m V f = −10 − 9,8 2 ⋅ 1,24 s s s m V f = −22,18 ← Velocidad al tocar el piso. s c) - Para el caso cuando cuando el tipo la tira para arriba arriba con V0 = 10 m/s, el signo de V o cambia. Ahora V0 es positiva. Pero... Pero... Ojaldre !. El signo de g NO cambia ! . La gravedad sigue apuntando para abajo ( como siempre ). Entonces al ir al revés del eje Y su signo es negativo. Las ecuaciones horarias quedan:
Haciendo lo mismo que en los 2 casos anteriores me queda:
Fijate que en los casos b) y c) el tiempo de caída no dio lo mismo. Eso es lógico. En un caso estoy tirando la piedra para arriba y en el otro para abajo Pero en los casos b) b) y c) la velocidad de la piedra piedra al tocar tocar el piso... SI, dio lo mismo !. Hummmmm.... ¿ Estará bien ? Esto me estaría diciendo que al tirar una piedra con una velocidad inicial “ve cero” para arriba o para abajo, ésta toca el piso con la misma velocidad. ( Raro ). ¿ Podrá ser eso ?... Rta: Sí. No es que “puede ser que sea así ”. Tiene que ser ser así. ( Pensalo ).
Otro ejemplo: Un proyectil es lanzado verticalmente hacia arriba, en el vacío, con una velo-
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cidad inicial de 60 m/s. ¿Cuál es la altura máxima alcanzada? a) 30 m b) 60 m c) 600 m d) 180 m e) 360 m Este ejercicio tiene una enseñanza especial. En cualquier otro apunte te lo van a resolver en un renglón y con una formulita. Te va a parecer muy inocente y sencilla. Pero ahí está la semillita del formulerismo... la anti-física. anti-física. Yo lo resuelvo como siempre. No por ser un ejercicio tonto lo voy a hacer de otra manera, porque mi objetivo es enseñarte a manejar la cinemática. De modo que voy a empezar por un esquema, eligiendo un S.R. e indicándolo para cualquier lector de mis apuntes. También voy a poner a la vista los l os modelos del movimiento correspondiente, MRUV, y con ellos voy a armar las ecuaciones de movimiento que relata el enunciado de este ejercicio.
y = y o o + v o o ( t – t o o ) + ½ a ( t – t o o )² v = v o o + a ( t – t o o ) Las constantes del modelo las reemplazo por las constantes iniciales del proyectil (el globito de abajo).
y = 60 m/s . t – 5 m/s² . t² v = 60 m/s – 10 m/s² . t A esas dos ecuaciones, que son las que describen todo el movimiento del proyectil, les pedimos que hablen del evento que nos interesa (porque hay datos e incógnitas), o sea, el punto 1.
y 1 1 = 60 m/s . t 1 1 – 5 m/s² . t 1 1² ² 0 m/s = 60 m/s – 10 m/s² . t 1 1 (Donde decía y , puse y 1; donde decía t , puse t 1; y donde decía v , puse v 1, o -lo que es lo mismo- 0 m/s ). ).
Si te fijás, desembocamos en un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Te lo resuelvo. De la segunda ecuación despejo t 1:
10 m/s² . t 1 1 = 60 m/s t 1 1 = 6 s Con ese valor voy a la otra ecuación y obtengo y 1.
y 1 1 = 60 m/s . 6 s – 5 m/s² . 36 s² y 1 = 180 m
T. P. 5:
respuesta d)
CAIDA CAI DA LIBRE LIB RE Y TIRO TIR O VERTICAL VERTI CAL
8 5.6- Dos cuerpos iguales se mueven, uno en Problema 20. Para medir la atracción gravitatoria de un planeta sin atmósfera se deja caer caída libre (A) y otro en tiro vertical (B). Entonun objeto desde cierta altura h. Este tarda 16 s ces se verifica que: en llegar al suelo, con una velocidad de 40 m/s. a)Ambos tienen aceleraciones de igual móduEntonces, la aceleración de la gravedad en ese lo pero sentido contrario; planeta planeta es, en m/s2: a) 0,80 b)0,40 c) b)A tiene aceleración "g" y B se mueve a ve5,00 d) 10,00 e) 1,25 f) 2,50 locidad constante; c) A se mueve con velocidad constante y B 5.2- Un objeto cae partiendo del reposo desde tiene aceleración "g"; una altura de 25 m respecto del piso. d)Ambos tienen aceleración "g"; a) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al piso? e)Sólo (A) es atraído por la Tierra; b) ¿A qué altura del piso se hallará a los 2 f) Sólo (B) es atraído por la Tierra. segundos de la partida? 5.7- Juan arroja verticalmente hacia arriba c) ¿Qué velocidad tendrá en ese momen to? una piedra, piedra, con una velocidad velocidad de partida partida de d) Grafique la posición y la velocidad des 10 m/s, y simultáneamente Pedro, que se ende que parte hasta que llega al piso. cuentra 40 m más arriba, arroja otra hacia abajo, e) ¿Con qué velocidad, como mínimo, también con velocidad de 10 m/s. ¿A qué altura y debería ser lanzado desde el piso hacia en qué instante se cruzan ambas piedras? Trazar arriba para llegar otra vez hasta una los gráficos correspondientes e interpretar. altura de 25 m? Rta: a) t 1 = 2,24 s b) y 2 5 m c) v 1 = – 20 m/s 5.8- Se deja caer una pelota desde la cornisa de 2 = 5 m un edificio edificio y tarda 0'3 s en pasar por delante delante del mar5.3- a) Cuánto tarda en volver al suelo un ob- co superior de una ventana. ¿A qué qué distancia de la co co- jeto que se arroja hacia arriba con una velocidad misase encuentra el marco superior de la ventana? inicial de 20 m/s? (e = 0'441 m) b) ¿Y hasta que altura llega? 5.9- ¿Desde qué altura debe caer un cuerpo libreRta: t = 4s y max = 20cm mente para que al llegar al suelo su velocidad sea de 5.4 5. 4- Una piedra cae libremente, partiendo del 54 km/h? (h = 11'47m) reposo. Hallar: 5.10- Desde lo alto de un rascacielos de 300 m de a - Su aceleración. (Justificar las hipótesis que necesite). altura se lanza verticalmente hacia abajo una piedra b - El tiempo que tardará en alcanzar una ve- con una velocidad inicial de 36 km/h, Calcular: locidad de 30 m/s. a) ¿Con qué velocidad llegará al suelo? c - La distancia recorrida en ese tiempo. (v = 7733 m/s) d - Su velocidad luego de recorrer 5 m. b)¿Cuánto tiempo tarda en caer? caer? (t = 6'8 s) e - El tiempo requerido para recorrer 500 m. 5.11- Se lanza un cuerpo hacia arriba con una ve5.5- Se dispara un objeto verticalmente hacia locidad de 80 km/h desde un punto situado a 70 m por arriba, con una velocidad de 30 m/s. Se pide: encima del suelo, Hallar: a - Elegir un sistema de referencia, que a) Altura máxima que alcanza el cuerpo. mant mantend endrá rá invari invariabl able e en todo todo el desarr desarroll ollo, o, y (h = 25' 1 m) plantear las ecuaciones horarias del movimiento. b) Tiempo Tiempo total invertido en volver al punto Justificar los valores y signos asignados. de lanzamiento (t = 4'53 s) b - Calcular su posición y velocidad al c) Velocidad de llegada al suelo. (v = 42'1 m/s) cabo de 2 s; 4 s; y 8 s de su lanzamiento. Hallar los d) Tiempo total en el aire (t = 6'56 s) desplazamiento desplazamientos s entre O y 2 segundos; segundos; 2 s y 4 s; 4 s y 8 s. Interpretar. c - Determinar en qué instante vuelve a pasar por el punto de partida. d - Determinar el instante para el que su altura es máxima, y el valor de dicha altura. e - Hallar en qué instante se encuentra a 25 m de altura. 5.1-
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