CAÍDA LIBRE VERTICAL 1.
CONCEPTO. Es aquel tipo de movimiento rectilíneo
uniformemente variado (M.R.U.V.) cuya trayectoria es una línea recta vertical y que se debe a la presencia del campo de gravedad. La nica fuer!a que acta sobre el cuerpo es su propio peso" ya que no considera considera la resistencia del aire. Este tipo de movimiento se obtiene" cuando un cuerpo es lan!ado #acia arriba" #acia aba$o" o simplemente es soltado. En las ecuaciones cinem%ticas no se considera la masa ni la fuer!a resultante. La cinem%tica en general estudia as propiedades geom&tricas del movimiento. GALILEO GALILEI (1564 (1564
- 1642) gran físico y astrónomo italiano que por primera ver empleo el método eperimental de investigación en la ciencia! "alileo introdu#o el concepto de inercia$ esta%leció la relatividad del movimiento$ estudio las leyes de caída de los cuerpos y del movimiento de estos por un plano inclinado$ inclinado$ las leyes del movimiento& al lan'ar uno o%#eto formando formando cierto ngulo con el ori'onte$ aplicó el péndulo simple para la medida del tiempo!
2. CONSIDERACIONES CONSIDERACIONES DEL MOVIMIENTO DE CAÍDA LIBRE * 'o se considera la resistencia del aire. La altura m%ima alcan!ada es suficientemente peque*a como parar despreciar la variaci+n de la aceleraci+n de la gravedad. La velocidad m%ima alcan!ada por el cuerpo es suficientemente peque*a para despreciar la resistencia del aire. La altura alcan!ada es suficientemente peque*a para considerar un campo gravitatorio #omog&neo y uniforme. m * * El valor o m+dulo de la aceleraci+n de la gravedad es, g = " / - = " / s +g
3.
ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE CAÍDA LIBRE VERTICAL
0nalíticamente el movimiento de caída libre es un caso es especial del M.R.U.V." donde la distancia se reempla!a por la altura y la aceleraci+n lineal por la aceleraci+n de la gravedad.
Cuando BAJA
Cuando SUBE
1) = ,2 .t + 1- g .t
1) = ,2 .t − 1- g .t
2) = , - .t −
2) = , - .t +
3) , -
1 -
g .t -
= ,2 + g.t
-
4) , -
5) =
3) , -
= ,2- + - g.
4) , -
(,2 + , - ) -
.t
g .t -
= ,2 − g .t
-
5) =
1
1 -
= ,2- − - g. (,2 + , - ) -
.t
4. TIEM TIEMPO PO DE VUELO UELO 3onsideremos un cuerpo lan!ado verticalmente #acia arriba. 3uando el cuerpo alcan!a la altura m%ima su velocidad es nula. 4e la ecuaci+n, , -
= ,2 − g.t
V: 8 2
reempla!ando los datos, 2 = ,2 − g ..
g
4espe$ando, . =
5
, 2 g
5iempo de subida,
5iempo de vuelo,
t/01234
t,0567
=
=
, 2
g -., 2
g
V2
= . = -.
EJEMPLO 01: 4esde el piso es lan!ado verticalmente #acia arriba un cuerpo con una rapide! de 62 m7s. 4etermine el tiempo de vuelo. (g 8 12 m7s -)
Resol!"#$ 0plicando la f+rmula pr%ctica, t,0567
=
-., 2 g
⇒
.,0567
=
-(62) 12
= 12 s
Res%es&': el tiempo que demora en regresar al punto de lan!amiento es 12 segundos. EJEMPLO 02: 4esde el piso es lan!ado verticalmente #acia arriba un cuerpo luego de / segundos regresa al punto de lan!amiento. 4etermine la rapide! de lan!amiento. (g 8 12 m7s -)
Resol!"#$ 0plicando la f+rmula pr%ctica, Resolviendo, ,2
t ,0567
=
-.,2 g
= 92 m 7 s
Res%es&': La rapide! de lan!amiento es 92 m7s.
2
⇒
/=
-(, 2 ) 12
(. EL INTER INTERVALO VALO DE TIEMP TIEMPO O DEPENDE DEPENDE DE LA ALTUR ALTURA A 5odos los cuerpos que se de$an caer simult%neamente con la misma velocidad inicial cero desde una altura" utili!an el mismo intervalo de tiempo para llegar al suelo.
= ,2 .t + 1- .g.t -
V2 8 2
Reempla!ando los datos tenemos,
8
g =
5
= 2 + 1- .g.. -
el intervalo de tiempo de caída es,
. =
8 -. 8 g
V: /2 metros se abandona (velocidad nula) una esfera de EJEMPLO 01: 4esde una altura de /2 #ierro. 4etermine el intervalo de tiempo que demora en llegar al piso. (g 8 12 m7s -)
Resol!"#$ 0plicando la regla pr%ctica, .
=
-. 8 g
⇒
.
=
-.(/2) 12
=
1;
= 9s
Res%es&': el tiempo transcurrido es 9 segundos. 96 metros se de$a caer (velocidad nula) una piedra. EJEMPLO 02: 4esde una altura de 96 4etermine el intervalo de tiempo que demora en llegar al piso. (g 8 12 m7s -)
Resol!"#$ 0plicando la regla pr%ctica, .
=
-. 8 g
⇒
.
=
-.(96) 12
=
=
Res%es&': el tiempo transcurrido es < segundos.
3
). ALTURA M+IMA Un cuerpo que es lan!ado verticalmente #acia arriba alcan!a su altura m%ima cuando su velocidad final en el punto m%s alto es igual a cero.
V: 8 2
0plicando la ecuaci+n, , - -
= ,2- − - g.
g
Reempla!ando los datos, 2 =,
2
8 =
=
− - g.8 V2
2
,
- g
EJEMPLO 01: 4esde el piso es lan!ado verticalmente #acia arriba un cuerpo con una rapide! de 62 m7s. 4etermine la altura m%ima que alcan!a el cuerpo. (g 8 12 m7s -)
Resol!"#$ Reempla!ando en la formula pr%ctica, , 2(62) 8 = ⇒8 = = 1-6 m - g -.(12)
Res%es&': La altura m%ima es 1-6 metros. EJEMPLO 02: En la tierra" un ob$eto lan!ado verticalmente #acia arriba con cierta rapide! alcan!a una altura m%ima >=?" determine la altura m%ima que alcan!a en la Luna" si la aceleraci+n de la gravedad es la seta parte de la terrestre y la rapide! de lan!amiento la misma. (g 8 12 m7s -)
Resol!"#$ Reempla!ando en la f+rmula pr%ctica, En la T"e,,', 8 =
En la L$',
81
=
, 2- g
, 2- ,2=; = ;.8 g - g ÷
-
÷ ;
Res%es&': La altura m%ima que alcan!a en la Luna es ;=.
4
-. CAMBIO DE LA ACELERACIN DE LA /RAVEDAD La intensidad de la gravedad no es el mismo para todos los lugares de la 5ierra" depende de la altura sobre el nivel del Mar y de la latitud. El movimiento de caída libre plantea la misma aceleraci+n para todos los cuerpos cualquiera que sea su masa" a esta aceleraci+n se le llama aceleraci+n de la gravedad normal" cuyo valor es 96@ de latitud es, m * g = "/ - = "/ s +g En los polos, g 8 "/< m7sA (M%ima) * En el Ecuador, g 8 "B/ m7sA (Mínima)
. CAMPO /RAVITACIONAL 'o s+lo la 5ierra atrae a los cuerpos" tambi&n el Col" la Luna y todo astro. Ce entiende por >gravedad? a la regi+n de espacio que rodea a un astro gracias al cual atrae a los cuerpos. 5odos los planetas (5ierra) y sat&lites (Luna) generan a su alrededor un campo de gravedad. g Tierra gLuna 6
. INTENSIDAD DEL CAMPO /RAVITATORIO La aceleraci+n de la gravedad >g? depende de la masa y el radio terrestre. Es decir la aceleraci+n de la gravedad depende de la o,' que tiene el cuerpo creador del campo gravitatorio.
4onde, g
G
MT
R2T D, 3onstante de gravitaci+n universal. D 8 ;";B.12 11 '.m-.gFMT 8 masa de la tierra 8 6".12-9 g R T 8 radio de la tierra 8 ; 922 m
5
10. N5MEROS DE /ALILEO Ci abandonamos un cuerpo de cierta altura" entonces la altura que recorre en cada segundo es directamente proporcional a los nmeros impares. Grimer segundo
1H 8 6 m
Cegundo segundo
5ercer segundo 3uarto segundo Iuinto segundo Ceto segundo C&timo segundo Jctavo segundo
6H 8 -6 m BH 8 <6 m H 8 96 m 11H 8 66 m 1
= ,2 .t + 1- g .t -
V0 = 0
t=0s K
Para. t = n
1
= ,2 .n + 1- g .n -
t=1s
Para. t = n-1
-
= ,2 .(n − 1) + 1- g .(n − 1)3K
Restando:
n
= 1 − -
Jbtenemos que, n = ,2 + 1- g .(-n − 1)
t=2s
CASO PARTICULAR 3uando , 2
=
2
1 -
g.(-n − 1) n = 9 .(-n − 1) )n
=
4onde el valor de H es la mitad del valor de la aceleraci+n. g 9 = 8 6 3onsiderando, g 8 12 m7s -. En el primer segundo recorre 6 metros. En el segundo segundo recorre 16 metros. En el tercer segundo recorre -6 metros. En el cuarto segundo recorre <6 metros. En el quito segundo recorre 96 metros. En el en&simo segundo recorre 6(-nF1) metros.
g 5K
t=3s
6
11. CUANDO EL CUERPO ASCIENDE 6DESACELERA7 0nalicemos el movimiento de subida respecto de un sistema de referencia.
E!'!"o$es: 1) = ,2 .t − 1- g .t
(m) 2) = , - .t + 3) , -
V:
-
g .t
= ,2 − g.t
= ,2- − - g.
-
4) , -
5) = 6) n
1 -
(,2 + , - ) -
.t
g
#
= ,2 − -1 g .(-n − 1) V2 (m)
EJEMPLO 01: Ce muestra el lan!amiento vertical de una esfera en el punto 0 con rapide! V2 8 <2 m7s. 4eterminar la rapide! de la esfera cuando pasa por el punto K. (g 8 12 m7s -) B
4 0 m V 0= 3 0 m /s A
Resol!"#$ 0plicamos la siguiente ecuaci+n del movimiento,
, - -
= ,2- − - g.)
, 1-
= (<2)- − -(12).(92)
, 1-
= 122 ⇒
,1
= 12 m 7 s
Res%es&': La rapide! de la esfera en K es 12 m7s.
7
12. CUANDO EL CUERPO DESCIENDE 6ACELERA7 0nalicemos el movimiento de ba$ada respecto de un sistema de referencia.
E!'!"o$es:
(m)
1) = ,2 .t + 1- g .t
2) = , - .t − 3) , -
V2
g .t -
= ,2 + g .t
# (N)
= ,2- + - g.
-
4) , -
5) = 6) n
1 -
(,2 + , - ) -
g
.t
= ,2 + 1- g .(-n − 1)
(m)
V:
EJEMPLO 01: En cierto planeta una partícula en caída libre duplica su rapide! luego de recorrer <2 m en - segundos. 4etermine la aceleraci+n de la gravedad (en m7s -). V
3 !
2 V
Resol!"#$ 3%lculo de la rapide! V, =
(,2 + , - ) -
.t
⇒
<2 =
(,
+ -, ) -
.(-)
Resolviendo, V 8 12 m7s 3%lculo del m+dulo de la aceleraci+n de la gravedad, g
=
, 1 − , 4 t
=
-2 − 12 -
= 6 m 7 s-
Res%es&': el m+dulo de la aceleraci+n de la gravedad en este planeta es 6 m7s -.
"
13. TIEMPO DE ALCANCE 3uando dos partículas son lan!adas simult%neamente" en la misma direcci+n" de diferentes posiciones" en una misma línea verticalO el tiempo de alcance es, 4el grafico tenemos la siguiente ecuaci+n, 8 4 − 8 1
= 8
− 1- g. - ) − (,1 .. − 1- g. - ) = 8
(, 4 ..
G
=K
g
simplificando tenemos, , 4 ..
− ,1 .. = 8
=0
VK
despe$ando obtenemos,
. alcance
=
8 , 4 − , 1
= V0
EJEMPLO 01: Ce muestra el lan!amiento vertical de dos esferas simult%neamente con rapideces de V0 8 /2 m7s y V K 8 <2 m7s. P4espu&s de cu%ntos segundos las esferas se encuentran a la misma alturaQ (g 8 12 m7s -) V
#
1 ! V
$
Resol!"#$ Los m+viles est%n separados inicialmente 122 metros en la vertical. 0plicando la f+rmula pr%ctica, 8 122 .alcance = ⇒ .alcance = = -s , 4 − , 1 /2 − <2
Res%es&': La s esferas estar%n a la misma altura despu&s de - segundos.
%
14. TIEMPO DE ENCUENTRO 3uando dos partículas son lan!adas" simult%neamente" en direcciones opuestas" de diferentes posiciones en una misma línea verticalO el tiempo de encuentro es, 4el grafico tenemos la siguiente ecuaci+n, 8 4 + 8 1 (, 4 ..
V0
= 8
+ 1- g. - ) + (,1 .. − 1- g. - ) = 8
g
simplificando tenemos, , 4 ..
+ ,1 .. = 8
=0
=
G
despe$ando obtenemos,
. encuentro
=
=K
8 , 4 + , 1
VK
EJEMPLO 01: 4os ob$etos que se encuentran en la misma vertical separados una distancia vertical de -22 m" si uno de ellos se suelta libremente mientras el otro es lan!ado #acia arriba con una rapide! de 92 m7s. 4eterminar el intervalo de tiempo que demoran en encontrarse.
Resol!"#$ Los m+viles est%n separados inicialmente -22 metros en la vertical. 0plicando la f+rmula pr%ctica,
.encuentro
=
8 , 4 + , 1
⇒
.encuentro
=
-22 2 + 92
= 6s
Res%es&': La s esferas estar%n a la misma altura despu&s de 6 segundos. EJEMPLO 02: 4os ob$etos que se encuentran en la misma vertical separados una distancia vertical de 1;2 m" si uno de ellos se lan!a #acia aba$o con rapide! de 6 m7s mientras que el otro es lan!ado #acia arriba con una rapide! de <6 m7s. 4eterminar el intervalo de tiempo que demoran en encontrarse.
Resol!"#$ Los m+viles est%n separados inicialmente 1;2 metros en la vertical. 0plicando la f+rmula pr%ctica, 8 1;2 .encuentro = ⇒ .encuentro = = 9s , 4 + , 1 6 + <6
Res%es&': La s esferas estar%n a la misma altura despu&s de 6 segundos.
1
1(. LA ALTURA ES DESPLA8AMIENTO VERTICAL Ci lan!amos un cuerpo verticalmente #acia arriba respecto de un sistema de referencia. 0#ora anali!amos el movimiento de cuerpo en caída libre en forma 9e!&o,"'l" es decir considerando los signos. Entonces la altura tendr% signos positivo o negativo, (1) Ci la altura tiene s"$o %os"&"9o significa que el cuerpo se encuentra sobre el nivel de referencia" subiendo o ba$ando. (-) Ci la altura tiene s"$o $e'&"9o significa que el cuerpo se encuentra deba$o de la línea de referencia descendiendo. (<) Ci la altura es !e,o significa que el cuerpo #a regresado o est% pasando en ese instante por el nivel de referencia ('.R.).
(N)
g V-
V<
# (N)
V1 #82 '.R.
(N) V9
# (F)
(F) V6
11
EJEMPLO 01: Ce muestra el lan!amiento de una partícula" con rapide! V 8 -2 m7s desde una altura # 8 <22 m. P4espu&s de cu%ntos segundos llegar% a la superficie terrestreQ (g 8 12 m7s -) V $
&
Resol!"#$ El despla!amiento de la piedra finalmente es <22 metros vertical #acia aba$o (signo negativo). 0plicamos la ecuaci+n del movimiento que relaciona la posici+n y el tiempo,
) = ,2 .t − -1 g.t - −<22 = -2.t − 1- (12).t Resolviendo la ecuaci+n, −;2 = 9.t − t ⇒ t = 12 s Rempla!ando tenemos,
Res%es&': La partícula llegar% al piso despu&s de 12 segundos. EJEMPLO 02: 4esde un globo a B6 m sobre el suelo" que asciende verticalmente con rapide! de 12 m7s" se suelta un saco de lastre" determine el intervalo de tiempo que le toma llegar al suelo. (g 8 12 m7s -)
Resol!"#$ L a velocidad inicial del saco es 12 m7s #acia arriba (por inercia) respecto de nuestro observador ubicado en la 5ierra. 0plicamos la ecuaci+n del movimiento que relaciona la posici+n y el tiempo,
) = ,2 .t − -1 g.t - −B6 = 12.t − 1- (12).t Resolviendo la ecuaci+n, −16 = -.t − t ⇒ t = 6 s Rempla!ando tenemos,
Res%es&': La partícula llegar% al piso despu&s de 6 segundos. EJEMPLO 03: Un globo se encuentra subiendo con velocidad de 6 ; (m7s) y en el instante que se encuentra a <;2 m del piso" desde el globo se de$a caer una piedra. PIu& tiempo tarda la piedra en llegar a la superficie terrestreQ (g 8 12 m7s-)
Resol!"#$ L a velocidad inicial de la piedra es 6 m7s #acia arriba (por inercia) respecto de nuestro observador ubicado en la 5ierra. 0plicamos la ecuaci+n del movimiento que relaciona la posici+n y el tiempo,
) = ,2 .t − -1 g.t - −<;2 = 6.t − 1- (12).t Resolviendo la ecuaci+n, −B- = t − t ⇒ t = s Rempla!ando tenemos,
Res%es&': La partícula llegar% al piso despu&s de segundos. 12
EJEMPLO 04: Una esfera peque*a se lan!a desde la a!otea de un edificio con velocidad 92 ; (m7s)" tardando en llegar al piso 12 s. P3u%l es la altura del edificioQ (g 8 12 m7s -) Resol!"#$ :i$amos nuestro sistema de referencia en la a!otea del edificio. El cuerpo es lan!ado verticalmente #acia arriba. 0plicamos la ecuaci+n del movimiento que relaciona la posici+n y el tiempo,
) = ,2 .t − -1 g.t - Rempla!ando tenemos, 8 = 92.(12) − 1- (12).(12) = −122 m El signo negativo significa que el cuerpo finalmente se despla!a verticalmente #acia aba$o cuyo m+dulo es la altura del edificio.
Res%es&': La altura del edificio es 122 metros. EJEMPLO 0(: 4esde la a!otea de un edificio de ;2 m de altura" se lan!a un cuerpo con velocidad 12 ; m7s. P0 qu& altura del piso se #allar% el cuerpo al cabo de 9 segundos del lan!amientoQ (g 8 12 m7s -)
Resol!"#$ :i$amos nuestro sistema de referencia en la a!otea del edificio. El cuerpo es lan!ado verticalmente #acia arriba. 0plicamos la ecuaci+n del movimiento que relaciona la posici+n y el tiempo,
) = ,2 .t − -1 g.t - Rempla!ando tenemos, 8
= 12.(9) − 1- (12).(9) - = −92 m
El signo negativo significa que el cuerpo finalmente se despla!a verticalmente #acia aba$o respecto de la a!otea. Entonces" respecto del piso la distancia es, ;2 m 92 m.
Res%es&': 4espu&s de 9 segundos el cuerpo se encuentra a -2 metros respecto del piso. EJEMPLO 0): 4e lo alto de una torre de /2 m de altura se lan!a una piedra con velocidad de <2 ; m7s. P4espu&s de cu%ntos segundos impactar% la piedra con el pisoQ (g 8 12 m7s -) Resol!"#$ :i$amos nuestro sistema de referencia en la parte superior de la torre. El cuerpo es lan!ado verticalmente #acia arriba. 0plicamos la ecuaci+n del movimiento que relaciona la posici+n y el tiempo,
) = ,2 .t − -1 g.t - −/2 = <2.t − 1- (12).t Resolviendo la ecuaci+n, −1; = ;.t − t ⇒ t = / s Rempla!ando tenemos,
Res%es&': La piedra llegar% al piso despu&s de / segundos.
13
1). DISTANCIA
) = ,2 .t + 1- g .t - Gara. t 8 n 1
t=
= ,2 .n + 1- g .n -
V
Gara. t 8 nF1 -
= ,2 .(n − 1) + 1- g .(n − 1)g
Restando:
n
&2
= 1 − -
Jbtenemos que,
)n
=
&1
,2 + 1- g .(-n − 1)
CASOS PARTICULARES
t = n-1
a) 3uando el cuerpo es abandonado" soltado o de$ado caer ( , 2 = 2 ) " se cumple que,
)n
=
1 -
&n
g .(-n − 1)
b) 3uando el cuerpo es lan!ado verticalmente #acia 0RRSK0" el cuerpo inicia su movimiento en contra del campo de gravedad" es decir desacelera.
)n
=
,2
−
1 -
t=n
g .(-n − 1)
Ci #n es positivo el cuerpo se despla!a verticalmente #acia arriba. Ci #n es negativo el cuerpo se despla!a verticalmente #acia aba$o. Ci #n es cero el cuerpo regresa al punto inicial.
EJEMPLO 01: Un cuerpo se de$a caer desde lo alto de una torre" Pqu& distancia recorre en el tercer segundo de su movimientoQ (g 8 12 m7s -)
Resol!"#$ El cuerpo sale del reposo ( , 2 segundo" entonces n 8 <.
)n
= 1- g.(-n − 1) ⇒
)n
= 2 ). 0plicamos la regla pr%ctica. En el tercer segundo
= 1- .12.(- < − 1) = -6 m
Res%es&': el cuerpo se despla!a -6 metros" vertical #acia aba$o. 14
EJEMPLO 02 Un cuerpo se lan!a desde lo alto de una torre con velocidad 6 ; (m7s)" Pqu& distancia recorre en el tercer segundo de su movimientoQ (g 8 12 m7s-)
Resol!"#$ El cuerpo es lan!ado verticalmente #acia 0RRSK0 con rapide! de 6 m7s. En el tercer segundo" entonces n 8 <.
)n
=
,2 − 1- g .(-n − 1)
Reempla!ando los datos tenemos,
)n
=
6 − 1- .12.(- < − 1) = −-2 m
Res%es&': el cuerpo se despla!a -2 metros" vertical #acia aba$o. EJEMPLO 03 Un cuerpo se lan!a desde lo alto de una torre con velocidad -6 ; (m7s)" Pqu& distancia recorre en el tercer segundo de su movimientoQ (g 8 12 m7s-)
Resol!"#$ El cuerpo es lan!ado verticalmente #acia 0RRSK0 con rapide! de -6 m7s. En el tercer segundo" entonces n 8 <.
)n
=
,2 − 1- g.(-n − 1)
Reempla!ando los datos tenemos,
)n
= -6 − 1- .12.(- < −1) = -6 − -6 = 2 m
Res%es&': en el tercer segundo no eperimenta despla!amiento. EJEMPLO 04 Una moneda se lan!a con velocidad F6 ; (m7s) en caída libre. PIu& altura recorre la moneda en el quinto segundo de su movimientoQ (g 8 12 m7s -)
Resol!"#$ El cuerpo es lan!ado verticalmente #acia 0K0TJ con rapide! de 6 m7s. En el quinto segundo" entonces n 8 6.
)n
= ,2 + 1- g.(-n − 1)
Reempla!ando los datos tenemos, n = 6 + 1- .12.(- 6 − 1) = 62 m
Res%es&': el cuerpo se despla!a 62 metros" vertical #acia aba$o.
15
PROBLEMAS RESUELTOS 1. Un cuerpo es lan!ado con velocidad ;2 ; (m7s). P0 qu& distancia del nivel de lan!amiento se encuentra el cuerpo despu&s de 9 segundosQ. (g 8 12 m7s -)
Resol!"#$ 0nali!ando deducimos que el tiempo que demora en alcan!ar la altura m%ima es ; segundos" entonces despu&s de 9 segundos el cuerpo lan!ado sigue en ascenso. g .t 0plicamos la ecuaci+n, = ,2 .t − = ;2. ( 9 )
−
( 12 ) . ( 9 )
-
= 1;2 m Res%es&', se encuentra a 1;2 m del piso despu&s de 9 segundos. 2. 4e lo alto de una 5orre" un cuerpo es lan!ado con velocidad -2 ; (m7s). P0 qu& distancia del nivel de lan!amiento se encuentra el cuerpo despu&s de / segundosQ. (g 8 12 m7s -)
Resol!"#$ 0nali!ando deducimos que el tiempo que demora en alcan!ar la altura m%ima es - segundos" entonces despu&s de / segundos el cuerpo lan!ado se encuentra descendiendo. g .t 0plicamos la ecuaci+n, = ,2 .t − = -2. ( / )
−
( 12 ) . ( / )
g
-
= −1;2 m Res%es&', se encuentra a 1;2 m deba$o del punto de lan!amiento despu&s de / segundos.
V
3. Un cuerpo es lan!ado verticalmente #acia arriba desde la a!otea de un $ edificio" si luego de ; s su rapide! se duplica" determinar la velocidad de lan!amiento. (g 8 12 m7s -)
# V
Resol!"#$ 0nali!ando deducimos que el cuerpo duplica su rapide! en el movimiento de regreso a la 5ierra (se encuentra descendiendo en 3). 0plicamos la ecuaci+n, , -
= ,2 − g ..
( −-, ) = , − 12. ( ; )
' 2V
⇒
,
= -2 m.s −1
Para e( ro*. 3
Res%es&', la velocidad de lan!amiento es" -2 m7s vertical #acia arriba. 4. Un globo aerost%tico sube con velocidad 12 ; (m7s) y cuando se encuentra a una altura de B6 m respecto del suelo desde el globo se de$a caer una piedra. PIu& tiempo demora la piedra en llegar al sueloQ. (g 8 12 m7s -)
Resol!"#$ :i$amos nuestro sistema de referencia en la 5ierra" entonces observamos que la velocidad inicial de la piedra es 12 ; (m7s). El cuerpo asciende" alcan!a su altura m%ima y luego regresa
16
a la 5ierra. 0plicamos la ecuaci+n, = ,2 .t −
−B6 = 12. ( . ) −
( 12 ) . ( . )
g .t -
-
⇒
6.. - −12.. − B6 = 2
Resolviendo la ecuaci+n de segundo grado, . - − -.. −16 = 2
⇒
.
g
=6 s 1 !+s
Res%es&', la piedra llega a la superficie terrestre despu&s de 6 segundos.
5.Un cuerpo se suelta desde /2 m de altura respecto del piso. PIu& velocidad tendr% <6 m antes de impactar con el pisoQ. (g 8 12 m7s -)
#
$
1 !+s
Resol!"#$ Cabiendo que la velocidad inicial es nula" aplicamos los nmeros de Dalileo,
/2
6 16
75 !
-6 <6
El nmero de t&rminos de la suma coincide con la cantidad de segundos. Gor consiguiente demora el cuerpo 9 segundos en llegar al piso. 4espu&s de < segundos se encontrar% a <6 metros del piso" en ese instante su velocidad ser% <2 m7s vertical #acia aba$o.
' Para e( ro*. 4
Res%es&', la velocidad que tiene es <2 ; (m7s). 6. 4esde el piso se lan!a verticalmente #acia arriba un proyectil y cuando le falta - segundos para alcan!ar la altura m%ima se encuentra a ;2 m del piso. P3u%l fue la velocidad de lan!amientoQ. (g 8 12 m7s -)
g 2 !
Resol!"#$ V
Cabiendo que la velocidad final es nula" cuando alcan!a la altura m%imaO aplicamos los nmeros de Dalileo,
-2
6 16
El nmero de t&rminos de la suma coincide con la cantidad de segundos. En los dos ltimos segundos antes de alcan!ar la altura m%ima recorre -2 m. Entonces la altura m%ima que sube es ;2 m N -2 m 8 /2 m. Gor consiguiente en el descenso demora el cuerpo 9 segundos en llegar al piso.
/2
6 16
#
$
V 6 !
-6 <6
La rapide! con que llega al piso ser% 92 m7s. La rapide! de lan!amiento #acia arriba y la rapide! con que regresa al piso son iguales. 17
' Para e( ro*. 6
Res%es&', la velocidad de lan!amiento es 92 ; (m7s). 7. Un globo aerost%tico sube con velocidad constante V ; (m7s)" si el piloto suelta una piedra" Pqu& separaci+n eistir% entre el globo y la piedra luego de < segundosQ. (g 8 12 m7s -)
Resol!"#$ :i$amos nuestro sistema de referencia en la 5ierra" entonces observamos que la velocidad inicial de la piedra es V ; (m7s)" la misma velocidad constante del globo. La piedra asciende" alcan!a su altura m%ima y luego regresa a la 5ierra. 4el grafico tenemos la ecuaci+n,
:
d
# g
V
= d glo%o − piedra
despla!amiento de la piedra, = , . t − despla!amiento del globo, d glo%o
:
,
V
g . t -
= , .t
-
.R.
$
g .t - = ( , .t ) − , .t − ÷ -
: =
g .t Para e( ro*. 7
-
Reempla!ando t 8 < s,
:
=
12. ( < )
-
-
= 96 m g
Res%es&', despu&s de < segundos estar%n separados 96 metros.
8. Un globo se encuentra subiendo con velocidad de 6 ; (m7s) y en el instante que se encuentra a <;2 m del piso" desde el globo se de$a caer una piedra. PIu& tiempo tarda la piedra en llegar a la superficie terrestreQ. (g 8 12 m7s-)
5!+s
Resol!"#$ :i$amos nuestro sistema de referencia en la 5ierra" entonces observamos que la velocidad inicial de la piedra es 6 ; (m7s). El cuerpo asciende" alcan!a su altura m%ima y luego regresa a la 5ierra. g .t 0plicamos la ecuaci+n, = ,2 .t − -
−<;2 = 6. ( . ) −
( 12 ) . ( . )
#
$
5 !+s 36 !
-
⇒
6.. - − 6.. − <;2
Resolviendo la ecuaci+n de segundo grado, . - − . − B- = 2 ⇒ . = s
=2
' Para e( ro*. "
1"
Res%es&', la piedra llega a la superficie terrestre despu&s de segundos. 9. 4iego suelta un ob$eto y observa que durante el penltimo segundo de su movimiento recorri+ -6 m. P3on qu& velocidad impacto en el pisoQ. (g 8 12 m7s -)
Resol!"#$ Cabiendo que la velocidad inicial es nula" aplicamos los nmeros de Dalileo,
/2
6 16
-6 <6
En el penltimo segundo recorre -6 m y en el ltimo recorre <6 m. El nmero de t&rminos de la adici+n coincide con la cantidad de segundos. Gor consiguiente demora el cuerpo 9 segundos en llegar al piso. 4espu&s de 9 segundos su velocidad ser% <2 m7s vertical #acia aba$o.
Res%es&', la velocidad que tiene es 92 ; (m7s). 10. 4esde una altura de -2 m respecto de la superficie de un lago" se suelta una esfera peque*a" el cual tarda -"/ s en llegar #asta el fondo. Ci cuando ingresa al agua mantiene su velocidad constante" determinar la profundidad del lago. (g 8 12 m7s -)
$
Resol!"#$ Cabiendo que la velocidad inicial es nula" aplicamos los nmeros de Dalileo,
-2
V $ = T=s
g
6 16
2 !
En - segundos llega a la superficie del lago" entonces deducimos que se mueve con velocidad constante un intervalo de 2"/ segundo en el interior del agua. La esfera ingresa al agua con rapide! de -2 m7s.
#
T=2s
$G/$ 2 !+s d
0plicamos la ecuaci+n del M.R.U., d d
, !. -2 m!s
' 1
2 &/ s
1; m
T = 20" s
Para e( ro*(e!a 1
Res%es&', la profundidad del lago es 1; metros.
1%
$
V $ = T=s
g 11. 4esde 6 m de altura sobre el nivel de un lago" se suelta una esfera peque*a. P=asta que profundidad m%ima llegar% la esferaQ" si la desaceleraci+n que eperimenta dentro del agua es F/ ; (m7s-). (g 8 12 m7s-)
5!
#
T=1s
$G/$ 1 !+s
Resol!"#$ Cabiendo que la velocidad inicial es nula" aplicamos los nmeros de Dalileo, recorre 6m en el primer segundo de su movimiento. En 1 segundo llega a la superficie del lago. La esfera ingresa al agua con rapide! de 12 m7s.
d
'
V' =
Para e( ro*(e!a 11
0plicamos la ecuaci+n del M.R.U.V. en el tramo K3,
, - -
= ,2- − -a.d
Ree!(aa!os (os datos: -
-
( 2 ) = ( 12 ) − - ( /) .d Resolviendo la ecuaci+n tenemos, d 8 ;"-6 m
Res%es&', la m%ima profundidad que alcan!a en el lago es ;"-6 metros. 12. Una esfera peque*a se lan!a desde la a!otea de un edificio con velocidad 92 ; (m7s)" tardando en llegar al piso 12 s. P3u%l es la altura del edificioQ. (g 8 12 m7s -) 13. 4esde el balc+n situado a 92 m del piso se lan!a verticalmente #acia arriba una pelota de tenis" sabiendo que al cabo de 9 s est% llegando al piso" determine la velocidad con el cual llega al piso. (g 8 12 m7s -) 14. En el instante t 8 2 se lan!a un ob$eto" desde el piso" con velocidad -2 ; m7s. PEn qu& instante >t? se #alla por segunda ve! a 16 de alturaQ. (g 8 12 m7s-) 1(. 4esde la a!otea de un edificio de ;2 m de altura" se lan!a un cuerpo con velocidad 12 ; m7s. P0 qu& altura del piso se #allar% el cuerpo al cabo de 9 segundos del lan!amientoQ. (g 8 12 m7s-) 1). 4e lo alto de una torre de /2 m de altura se lan!a una piedra con velocidad de <2 ; m7s. P4espu&s de cu%ntos segundos impactar% la piedra con el pisoQ. (g 8 12 m7s -) 1-. 4esde un mismo punto" a una altura de -2 m se suelta un ob$eto 0 y simult%neamente se lan!a verticalmente #acia arriba otro ob$eto K. Ci el ob$eto K llega al piso - segundos despu&s que 0" P con qu& velocidad se lan!+ el cuerpo KQ. (g 8 12 m7s -) 1. Un paracaidista desciende con velocidad constante 12 ; (m7s)" en cierto instante se cru!a con un ob$eto que asciende en >caída libre? con velocidad 92 ; (m7s). PIu& altura descendi+ el paracaidista #asta que el ob$eto lo cru!a por segunda ve!Q. (g 8 12 m7s-) 2
EJERCICIOS DE CAÍDA LIBRE VERTICAL 21.F Ce*alar verdadero (V) o falso (:) segn como corresponda, ( ) 5odo cuerpo en caída libre tiene movimiento uniforme. ( ) Colo eiste gravedad en la 5ierra. ( ) La aceleraci+n de caída libre depende del tama*o de los cuerpos. a) V:V
b) ::V
c) :::
d) VVV
e) V::
2-.F 3on relaci+n a la aceleraci+n de caída libre de los cuerpos en la superficie de la 5ierra" no es cierto que, 0. 4epende del peso de los cuerpos. K. Es independiente de su volumen. 3. Es la misma a toda altura. 4. Es mayor en la 5ierra que en la Luna. E. Ce considera constante en la superficie de la 5ierra. a) E
b) 3
c) 4
d) K
e) 0
2<.F Ci lan!amos una moneda al aire y verticalmente #acia arriba, ( ) El tiempo de subida es igual al tiempo de ba$ada. ( ) En la parte m%s alta de su trayectoria la velocidad es nula. ( ) La velocidad de retorno es igual a la velocidad de lan!amiento. Sndicar verdadero (V) o falso (:), a) :VV
b) ::V
c) V::
d) VV:
e) VVV
29.F Un cuerpo que cae libremente" paso $usto al punto 0 con rapide! V. P3on qu& rapide! pasar% $unto al punto K" si este se ubica a una distancia # deba$o de 0Q a)
2 + 2g&
b)
d)
2 + g&
e)
2 − 2g&
c) 2 2 − g&
2 − g&
26.F 4esde un #elic+ptero que est% descendiendo a una velocidad uniforme de < m7s" se de$a caer una pelota verticalmente. 3alcular la velocidad de la pelota en m7s al final del primer segundo. 'o considere la resistencia del aire. (g 8 "/ m7s2) a) < m7s
b) ;"/
c) 1-"/
d) 1;";
e) --";
2;.F 4esde un edificio muy alto" un ni*o suelta un cocoO < segundos despu&s suelta el siguiente coco" Pcu%l ser% la separaci+n entre los cocos" < s m%s tardeQ a) 122 m
b) 1-2
c) 1<2
d) 1<6
e) 192
2B.F Ce suelta un ob$eto desde una altura de -62 m. 4etermine a qu& altura del piso se encuentra luego de ; s de ser soltada. (g 8 12 m7s 2) a) 92 m
b) ;2
c) B2
d) /2
e) 2 21
2/.F Un proyectil es disparado verticalmente #acia arriba. 4etermínese la rapide! de disparo" si luego de ascender -6 m su velocidad es de -2 m7s. (g 8 12 m7s 2) a) 12 m7s
b) -2
c) <2
d) <6
e) 92
2.F P4esde qu& altura se debe soltar una canica para que en el ltimo segundo de su caída libre recorra -6 mQ (g 8 12 m7s 2) a) 96 m
b) -6
c) 92
d) -2
e) <2
12.F 4esde lo alto de un edificio se lan!a verticalmente #acia arriba una piedra con una rapide! de 92 m7s" Pqu& tiempo permanece la piedra en el aire y con qu& rapide! llega al pisoQ a) 6sO <2 m7s b) 12sO ;2 m7s c) 16sO <2 m7s d) -2sO <2 m7s e) -6sO 92 m7s
11.F 4esde la a!otea de un edificio se suelta una piedra. Ci en los ;2 ltimos metros de su recorrido ($usto antes de impactar con el piso) su rapide! se duplica" #alle la altura del edificio. a) 92 m b) ;2 c) /2 d) 1-2 e) -22 1-.F En el diagrama mostrado" determine que tiempo demora el proyectil en ir de 0 #asta K. (g 812 m7s 2) a) 1 s b) c) < d) 9 e) 6
1<.F Una peque*a esfera es lan!ada verticalmente #acia arriba desde la a!otea de un edificio para impactar en la base del mismo" luego de 12 s" con una rapide! de B2 m7s. 4etermine la altura del edificio. (g 812 m7s 2) a) 122 m
b) -22
c) 162
d) 196
e) '.0.
19.F Ce de$a caer un ob$eto desde la a!otea de un edificio. 3uando pasa $unto a una ventana de -"- m de altura" se observa que el ob$eto invierte 2"- segundo en recorrer la altura de la ventana. PIu& distancia eiste entre la cima del edificio y la parte superior de la ventanaQ a) 16 m
b) -2
c) -6
d) 6 22
e) 12
16.F 0 trav&s de una rendi$a una persona ve pasar un cuerpo #acia arriba y luego de < s lo ve pasar #acia aba$o. Ci la rendi$a esta a una altura de -2 m sobre el suelo" determinar la velocidad con que el cuerpo fue lan!ado desde el piso. a) 6 m7s b) 12 c) 16 d) -2 e) -6
1;.F Un globo se eleva verticalmente desde la superficie terrestre a rapide! constante de 6 m7s. 3uando se encuentra a una altura de <;2 m se de$a caer una piedra desde el globo. El tiempo en segundos que tarda la piedra en llegar a la superficie terrestre es, (g 812 m7s2) a) ; s b) c) 1d) 16 e) 1/ 1B.F Un cuerpo 0 se de$a caer desde un edificio de /2 m de altura" Pcon qu& rapide! (en m7s) #acia arriba debe lan!arse simult%neamente otro cuerpo K para que cuando 0 llegue al piso est&n separados 12 mQ a) 1"6 b) --"6 c) <"6 d) 1-"6 e) 1-6"6 1/.F 4esde una altura de 96 m se lan!a #acia arriba un ob$eto con rapide! de 92 m7s. 4etermine la rapide! con la que llega al piso (g 812 m7s 2) a) <6 m7s
b) 96
c) 62
d) ;2
e) B2
1.F 4os cuerpos >G? y >I? se colocan en la misma vertical tal como se indica en la figura. El cuerpo >G? se lan!a #acia arriba con una rapide! de ;2 m7s y en el mismo instante >I? se de$a caer" Pdesde que altura >? se tendr% que de$ar >I? para que ambos se encuentren cuando G alcan!a la m%ima alturaQ a) 962 m b) <;2 c) ;-2 d) -12 e) /B2
-2.F En el instante mostrado desde el globo aerost%tico que asciende con rapide! >V? se lan!+ un ob$eto #acia aba$o con una rapide! de / m7s respecto del globo. Ci el ob$eto demora en pasar de >0? #acia >K? - segundos" determinar >V?. 0dem%s, V / m7sO (g 8 12 m7s -) a) b) c) d) e)
-2m7s -9 -; -/ <2
23
MSCE!"#EA $E %&'B!EMAS 1. e !uestra e( (ana!iento ertia( de una esera en e( unto $ on raide V = 3 !+s. eter!inar (a raide de (a esera uando asa or e( unto #. g = 1 !+s 2) B
4 0 m V 0= 3 0 m /s A
$) 1 !+s
#) 12 !+s
') 14 !+s
) 16 !+s
8) 1" !+s
2. e !uestra e( (ana!iento ertia( de dos eseras si!u(t9nea!ente on raidees de V $ = " !+s V # = 3 !+s. ;esu
1 ! V $
$) 1 s
#) 2 s
') 3 s
) 4 s
8) 5 s
3. e !uestra e( (ana!iento ertia( de dos eseras on raidees de V $ = 1 !+s V# = 1 !+s. 8( !>i( # es (anado 6 segundos desui( $. ;esu
V#
$
#
$) 12 s
-.R.
#) 13 s ') 14 s
) 7 s
8) " s
4. e !uestra e( (ana!iento de una art@u(a0 on raide V = 2 !+s desde una a(tura & = 3 !. ;esu
&
$) 6
#) "
') 1
) 12
8) 14
5. 8n ierto (aneta una art@u(a en a@da (i*re du(ia su raide (uego de reorrer 3 ! en 2 segundos. eter!ine (a ae(erai>n de (a graedad en !+s 2). V 3 !
2V
$) 5 (
#) -5 (
') 15 (
) -15 ( 8) -1 (
6. os art@u(as $ # son (anadas ertia(!ente &aia arri*a on (a !is!a raide: V $ = V# = " !+s. La art@u(a # es (anada 2 segundos desu
V $
V#
$
-.R.
#
$) 11
#) "
') 1
) 12
8) %
7. os art@u(as $ # son (anadas ertia(!ente &aia arri*a si!u(t9nea!ente on raide: V $ = 75 !+s V# = 35 !+s. ;esu
1 ! V $
$) 105
#) 205
') 30
) 305
8) 40
8. /na art@u(a (anada &aia arri*a de!ora 2 segundos en regresar a( unto de (ana!iento. eter!ine (a a(tura !9Ai!a ?ue a(ana e( uero. g = 1 !+s 2) $) 1 ! #) 15 ! ') 5 ! ) 2 ! 8) 25 !
9. /na esera e?ueBa se a*andona t = s) en a@da (i*re ertia(. eter!ine e( des(aa!iento entre t = 1 s t = 3 s. g = 1 !+s 2) $) -5 ( #) -15 ( ') -25 (
) -35 ( 8) -4 (
10.
/n uero se (ana ertia(!ente &aia arri*a on e(oidad 4 ( !+s). eter!ine e( des(aa!iento en !) entre t = s t = " s. g = 1 !+s 2) $) ( #) -5 ( ') 15 ( ) -15 ( 8) -1 (
11.
esde un g(o*o ?ue su*e on e(oidad de 2 ( !+s) ?ue se enuentra a una a(tura de 4 ! so*re e( sue(o se sue(ta una iedra. eter!inar e( tie!o transurrido en s) ?ue de!ora en ((egar a( sue(o. g = 1 !+s 2) $) %016 #) 105 ') 11017 ) 1306 8) 17016
12.
/n uero reorre 34 ! en (os dos C(ti!os segundos de su !oi!iento de a@da (i*re. eter!ine e( tie!o tota( en s) ?ue de!ora en aer e( uero sa*iendo ?ue e( uero es so(tado. g = 1 !+s2) $) 4 #) 1" ') "2 ) 41 8) 2
13.
e !uestra e( (ana!iento ertia( de dos eseras si!u(t9nea!ente on raidees de V $ = 6 !+s V# = 2 !+s. ;esu
B
1 00 m V
$) 205 s
A
#) 305 s
') 405 s
) 505 s8) 605 s
14.
e !uestra e( (ana!iento ertia( de una esera en e( unto $ on raide V = 2 !+s. eter!inar (a raide de (a esera uando asa or e( unto #. g = 1 !+s 2)
25
B
1 5 m V 0= 2 0 m /s A
$) 1 !+s
#) 12 !+s
') 14 !+s
) 16 !+s
8) 1" !+s
15.
e !uestra e( (ana!iento ertia( de dos eseras on raidees de V $ = 1 !+s V # = 1 !+s. 8( !>i( # es (anado 4 segundos desui( $. ;esu
VA
V
B
N .R . A
B
$) 12 s
#) " s
') % s
) 1 s
8) 11 s
16.
e !uestra e( (ana!iento ertia( de dos eseras si!u(t9nea!ente on raidees de V $ = 7 !+s V# = 3 !+s. ;esu
B
1 6 0 m V
A
$) 1 s
#) 2 s
') 3 s
) 4 s
8) 5 s
17.
e !uestra e( (ana!iento ertia( de una esera on raide V = 4 !+s. ;esu
V
0
1 0 0 m
$) 12 s
#) " s
') % s
) 1 s
18.
8) 11 s
e !uestra e( (ana!iento ertia( de dos eseras si!u(t9nea!ente on raidees de V $ = 7 !+s V# = 3 !+s. ;esu
26
V
B
1 2 0 m V
A
$) 1 s
#) 2 s
') 3 s
) 4 s
8) 5 s
19.
e !uestra (a osii>n iniia( de dos ueros0 e( i(indro sa(e de( reoso (a esera es (anada &aia a*aDo. eter!ine (a raide iniia( EVF de (a esera ta( ?ue ((eguen a( iso si!u(t9nea!ente. 2!
V
2 !
$) 1 !+s
#) 11 !+s
') 12 !+s
) 13 !+s
8) 14 !+s
20.
/na art@u(a on !oi!iento ertia( asa or un unto P (uego de 3 segundos regresa a di&o unto. i e( unto P se enuentra a 2 ! de( sue(o0 &a((e (a raide en !+s) on ?ue (a art@u(a ue (anada. g = 1 !+s 2) $) 21 #) 22 ') 23 ) 24 8) 25
21.
/n uero se (ana ertia(!ente &aia arri*a on e(oidad 1 ( !+s). eter!ine e( des(aa!iento en !) entre t = 1 s t = 2 s. g = 1 !+s 2) $) 5 ( #) -5 ( ') 15 ( ) -15 ( 8) -1 (
22.
/n uero se (ana ertia(!ente &aia arri*a on e(oidad 5 ( !+s). eter!ine e( des(aa!iento en !) entre t = 4 s t = 6 s. g = 1 !+s 2) $) 5 ( #) -5 ( ') 15 ( ) -15 ( 8) (
23.
/n uero se (ana ertia(!ente &aia arri*a on e(oidad 4 ( !+s). eter!ine e( des(aa!iento en !) entre t = 4 s t = 5 s. g = 1 !+s 2) $) 5 ( #) -5 ( ') 15 ( ) -15 ( 8) -1 (
24.
/n uero se (ana ertia(!ente &aia arri*a on e(oidad 5 ( !+s). eter!ine e( des(aa!iento en !) en e( uarto segundo de su !oi!iento. g = 1 !+s2) $) 5 ( #) -5 ( ') 15 ( ) -15 ( 8) -1 (
25.
/na esera e?ueBa se a*andona en e( eAtre!o $ de( tu*o $#. 8( radio de (a irunerenia es R = 1 !. i no &a roa!iento0 deter!ine e( intera(o de tie!o ?ue inierte en reorre e( tra!o $#. g = 1 !+s2) $ R g R
$) 05 s
#
#) 1 s
') 2 s
) 3 s
26.
8) 025 s
e !uestra e( (ana!iento de una art@u(a0 on raide V = 2 !+s desde una a(tura & = 25 !. ;esu
27
V $
&
$) 3
#) 5
') 7
) %
8) 12
27.
/n uero se sue(ta0 ae (i*re!ente (e to!a 6 s ((egar a( sue(o. eter!ine (a a(tura ?ue reorre en (os 2 C(ti!os segundos de su a@da. g = %0" !+s 2) $) "5! #) 7"! ') 12! ) %! 8) 1!
28.
e sue(ta un uero ae (i*re!ente una a(tura de 1 !0 deter!ine (a raide en ese instante ?ue ((ega a( iso. g = 1 !+s 2)
$) " !+s
#) 1 !+s
') " 5 !+s
)
50 !+s
8) 20 5 !+s
29.
/n uero ae ertia(!ente desde e( reoso. eter!ine (a a(tura ?ue desendi> uando su e(oidad es de " !+s.g = 1 !+s 2) $) 403! #) 607! ') 302! ) 20"! 8) .$.
30.
/n g(o*o aerost9tio asiende ertia(!ente on raide onstante de 5 !+s0 en un instante dado se deDa aer un uero reseto de( g(o*o0 ?ue tarda 2 s en i!atar on e( iso. 'a(u(ar (a a(tura a (a ?ue se enontra*a e( g(o*o a( !o!ento de so(tar e( uero. g = %0" !+s 2) $) "7! #) 7%! ') 123! ) %6! 8) .$
31.
/n uero se (ana ertia(!ente &aia arri*a on una raide de 2 !+s0 ;$( a*o de ?ue tie!o o!o !9Ai!o se enuentra a una a(tura igua( 75 de su a(tura !9Ai!a g = 1 !+s 2) #) 7 −
$) 3 s
') 2 −
3s
) 7 +
3s
3s
8) 1s
32.
os ueros se enuentran searados ertia(!ente or una distania E,F !etros0 e( uero ?ue est9 en tierra se (ana ertia(!ente &aia arri*a on una e(oidad EF !+s0 !ientras e( otro se sue(ta si!u(t9nea!ente. eter!ine e( intera(o de tie!o ?ue de!oran en enontrarse.
$)
2H v
s
#)
H
2v
s
')
3H 4v
s
)
H v
s
8)
2H
s
v
33.
/na ersona se enuentra en (o a(to de un ediiio de 12 ! de a(tura0 uando e un uero su*iendo ertia(!ente0 tres segundos desu
$) 5 105 !+s
#) 3 110 !+s
')
150 !+s
) 2 85 !+s
8) .$
34.
eter!ine (a a(tura !9Ai!a ?ue a(ana un o*Deto ?ue se !uee ertia(!ente0 si en e( C(ti!o segundo de su asenso reorre (a uarta arte de su a(tura !9Ai!a. g = 1 !+s 2) $) 3! #) 45! ') 5! ) 1"! 8) 2!
35.
os iedras se (anan si!u(t9nea!ente ertia(!ente &aia arri*a0 a( a*o de 1 s se enuentran searadas 2 !. eter!ine (a dierenia de raidees on (as ?ue ueron (anadas. g = 1 !+s2) $) 4 !+s #) 3 !+s ') 1 !+s ) " !+s 8) .$.
36.
eter!inar e( intera(o de tie!o ?ue de!oran en enontrarse. i dos o*Detos ?ue se enuentran en (a !is!a ertia( searados una distania ertia( de 2 !0 si uno de e((os se sue(ta (i*re!ente !ientras e( otro es (anado &aia arri*a on una e(oidad de 4 !+s. $) 1s #) 2s ') 3s ) 4s 8) 5s
37.
/n o*Deto es (anado ertia(!ente &aia arri*a on ierta e(oidad0 si (uego se (ana en (a !is!a direi>n sentido desde e( !is!o unto on una e(oidad igua( a( do*(e de (a ri!era0 a(ana una a(tura !9Ai!a 6 ! or eni!a de (a ri!era. 'a(u(e (a a(tura !9Ai!a a(anada en e( ri!er (ana!iento. g = 1 !+s 2) $) 3! #) 45! ') 25! ) 35! 8) 2!
2"
38.
$ un o*Deto so(tado (i*re!ente desde una a(tura deter!inada en (a Tierra (e to!a ((egar a( iso 3 s0 si rea(ia!os (o !is!o en un (aneta donde (a ae(erai>n de (a graedad es (a uarta arte de (a terrestre ara (a !is!a a(tura so*re e( terreno0 a(u(e e( intera(o de tie!o ?ue (e to!a ((egar a( iso. $) 4s #) 7s ') 6s ) 1s 8) .$
39.
'a(u(e (a distania ertia( ?ue seara a dos o*Detos0 si uno se sue(ta desde e( reoso e( otro se (ana ertia(!ente &aia arri*a a( !is!o tie!o on una raide de 6 !+s de !anera ?ue se enuentren Dusto donde e( ?ue ue (anado desde e( iso a(ana su a(tura !9Ai!a. g = 1 !+s 2) $) 36! #) 45! ') 256! ) 435! 8) 2!
40.
esde un &e(i>tero ?ue desiende ertia(!ente on una raide de 3 !+s0 se deDa aer un roeti( a( iso uando se enuentra a una a(tura de 404 !. eter!ine (a raide on (a ?ue i!ata en e( iso. g = 1 !+s 2)
$)
103 !+s #)
91 !+s
')
150 !+s
)
97 !+s
8) .$
41.
/n uero es (anado desde e( iso ertia(!ente &aia arri*a on una raide de 1 !+s. eter!ine e( tie!o ?ue (e to!a regresar a( unto de (ana!iento. g = 1 !+s 2) $) 4s #) 7s ') 6s ) 2s 8) 3s
42.
8n e( ro*(e!a anterior a(u(e e( reorrido &asta ((egar a( sue(o. $) 2! #) 1 ! ') 25! ) 3! 8) .$
43.
os o*Detos ?ue se enuentran en (a !is!a ertia( searados 1 ! arten si!u(t9nea!ente0 uno es so(tado (i*re!ente !ientras e( otro es (anado &aia arri*a0 si se enuentran uando a!*os oseen (a !is!a raide0 deter!inar a ?ue a(tura desde e( iso se rodue e( enuentro. $) "! #) 75! ') 65! ) %5! 8) 1!
44.
'a(u(e e( !>du(o de (a ae(erai>n de (a graedad en !+s 2 de un (aneta ) si un o*Deto ?ue ae (i*re!ente0 du(ia su e(oidad a (o (argo de % ! en 3 s.
$)
10
#)
3
40
')
7
20
)
3
33
8) .$
2
45.
esde e( te&o de un asensor de 205 ! de a(tura ?ue su*e on e(oidad onstante de " !+s0 se desrende un (ao0 deter!ine e( tie!o ?ue (e to!a a( (ao i!atar en e( iso de( asensor.
$)
1 4
s
#)
1 3
s
')
1 2
s
)
3s
8) .$
46.
esde e( iso es (anado ertia(!ente &aia arri*a un uero on una raide de 5 !+s. eter!ine e( tie!o de ue(o. g = 1 !+s 2) $) 14s #) 17s ') 16s ) 12s 8) 1s
C!AVE $E &ES%UES*AS+ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 21. 22. 23. 24. 25. 26.
8. 17. 27.
9. 10. 18. 19. 28. 29.
20. 30.
31.
37.
3".
4.
32.
33.
34.
35.
36.
3%.
47.
E+AMEN UNI 1. /na art@u(a es (anada &aia arri*a on raide V . eter!inar (a a(tura !9Ai!a ?ue a(ana di&a art@u(a !) si desun iniia(. g = 1 !+s 2) 1er e!inario de '8PR8/H 26 I HH) $) 4 #) 5 ') 6 ) 7 8) "
2. esde (a aotea de un ediiio de 2 ! de a(tura0 una e(ota $ es (anada ertia(!ente &aia arri*a on raide de 15 !+s. $( !is!o instante se (ana una e(ota # ertia(!ente &aia a*aDo on igua( raide. ;'u9( es e( intera(o de tie!o entre (as ((egadas de (as e(otas a( nie( de( iso g = 1 !+s 2) 2%
1er e!inario de '8PR8/H 26 I HH) $) 4 #) 3 ') 2
) 1
8) 5
3. /na ersona se enuentra en un g(o*o aerostatito en reoso0 desde una a(tura , sue(ta una iedra desu
4. /n uero de (ana desde (a sueriie terrestre ertia(!ente &aia arri*a on raide 4 !+s. /n segundo desu
C!AVE $E &ES%UES*AS+ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 11. 12. 13. 14. 15. 21. 22. 23. 24. 25.
7. 16. 26.
8. 17. 27.
9. 10. 18. 19. 28. 29.
20. 30.
31.
36.
37.
3".
4.
32.
33.
34.
35.
3%.
3
