UNIDAD 1
Distribuciones de Probabilidad Probabilidad Continuas OBJETIVO EDUCACIONAL Al término de de esta unidad unidad el alumno: alumno: •
Caracterizará las diferentes distribuciones de probabilidad continuas e interpretará su significado
1.1.
Introducción
En la práctica pueden presentarse pequeñas variaciones en las longitudes medidas, por muchas causas, tales como vibraciones, fluctuaciones de temperatura, diferencias entre quienes toman las medici mediciones ones,, calibr calibraci acione ones, s, desgas desgaste te en la herram herramient ientaa de corte, corte, desgas desgaste te en los cojine cojinetes tes y cambios cambios en la materia prima. Incluso el procedimient procedimiento o de medición puede producir producir variaciones en los resultados finales. En estos tipos de eperimentos, las mediciones de inter!s pueden representarse con una variable aleatoria. Es ra"onable modelar el rango de los valores posibles de la variable aleatoria con un intervalo de n#meros reales.
Variable aleatoria continua. con tinua. Si el rango de una variable variable aleatoria aleatoria X contiene contiene un intervalo intervalo (ya sea finito o infinito) de números reales entonces X es una variable aleatoria continua!
1
Estadística I ___________________________________ __________________________________________________________________________ _______________________________________________ ________
1.. 1..
Distr Distrib ibuc ució ión n de !rob !robab abil ilid idad ad de una una "ari "ariab able le alea aleator toria ia cont contin inua ua
"na funci# funci#n n f($) f($) es una
#unción de densidad de !robabilidad de la variable aleatoria
continua X si para cual%uier intervalo de números reales $ ' $ & se satisfacen: ' ) f ( $ ) &)
f ( $ )d$
) * ( $ '
' $ &
X $ & )
$ '
f ( $ )d$
+a #unción de distribución acu$ulada de una variable aleatoria continua X es ,($)- * ( X $ )
$
f ( $ )d$
$uando se ha obtenido la función de distribución acumulada se pueden evaluar las probabilidades siguientes% a) * ( X
a )
, ( a )
b) * ( X
b )
'
c) * ( a
1.%. 1.%.
X
b )
, ( z
, ( b )
, ( b )
'
a
)
, ( z
, ( a )
b
, ( z
)
b
)
, ( z
a
)
&edi &ediaa ' "ar "aria ian( n(aa de de una una "ari "ariab able le alea aleator toria ia conti continua nua
&a media y la varian"a de una variable aleatoria continua se definen de manera similar al caso de la variable aleatoria discreta. En las definiciones, la integración reempla"a a la sumatoria. Suponga %ue X es una variable aleatoria continua probabilidad probabilidad f($) para para
con funci#n de densidad de
$
+a media de X es
. ( X )
$
+a varianza de X es
/ ( X )
& $
+a desviaci#n desviaci#n estándar estándar de X es
$
$ f ( $ )d$
( $
) & f ( $ )d$
$ & f ( $ )d$
& $
/ ( X )
E)e$!lo 1.1 'etermine el valor de 0 para que la siguiente función sea una función de densidad de probabilidad
2
MOISÉS MUÑOZ DÍAZ
__________________________________________________________ Distribuciones de Probabilidad Continuas
f ( $ )
0 $ &
para
$ 1
*olución (ara que f($) sea una función de densidad de probabilidad se debe cumplir que f ( $ )
Entonces
1
y
f ( $ )d$
&
0$ d$
'
0
$
' 1
0
'
1
'
0
21
E)e$!lo 1. )uponga que la función de distribución acumulada de la variable aleatoria X es , ( $ )
$
!& $
$ 3
'
$ 3
$alcule% a* *(X 4 &!5)
b* *(X 6 '!3)
*olución a* *(X 4 &!5) + ,($ - &!5) - !&7(&!5) - !32- 328 b* *(X 6 '!3)- '
,($ - '!3) - '
E)e$!lo 1.% )uponga que f ( $ )
!&7('!3) - !9 - 98
!&3 para 4 $ 4 1! $alcule la media y la varian"a de X!
*olución . ( X )
/ ( X )
1 $
& $
$ ( !&3 )d$
1
&
!&3
$ ( !&3 )d$ &
&
$ & &
1
!&3
!&3
$
1& &
1
1
!&3
&
1
1
1
1. 'etermine el valor de 0 para que la siguiente función sea una función de densidad de probabilidad
MOISÉS MUÑOZ DÍAZ
Estadística I __________________________________________________________________________________
a+
f ( $ )
0 $ &
b+
f ( $ )
0 ( '
c+
f ( $ )
0 e
para
$ 1
& $ )
$
para
para
$ &
$
&! &a función de densidad de probabilidad del tiempo de falla en horas* de un componente
electrónico de una copiadora es f ( $ )
$ : '
e
'
para
$ . $alcule la probabilidad de que
el componente a*
-arde más de /// horas en fallar
b*
0alle en un lapso comprendido entre 1/// y /// horas
c*
0alle antes de 1/// horas
! )uponga que la función de distribución acumulada de la variable aleatoria X es , ( $ )
$
!&3 $ !3 '
&
&
$
$
&
&
$alcule% b* *(X 6 '!3)
a) *(X 4 '!5)
c) *(
' 4X 4
') 1! 'etermine la función de densidad de probabilidad asociada con cada una de las siguientes
funciones de distribución acumulada a* , ( $ ) ' e
b+
, ( $ )
& $
$
$
&
!&3 $ !3
&
$ '
!3 $ !&3
' $ ' !3
'
$ ' !3
3! El espesor de un recubrimiento conductor, en micrómetros, tiene una función de densidad f ( $ )
2 $ &
para
' m
$ '& m
a*
$alcule la media y la varian"a del recubrimiento
b*
)i el costo del recubrimiento es de /.2/ dólares por micrómetro de espesor en cada pie"a, 3cuál es el costo promedio del recubrimiento por pie"a4
!
MOISÉS MUÑOZ DÍAZ
__________________________________________________________ Distribuciones de Probabilidad Continuas 2! )uponga que la función de densidad de probabilidad de la longitud de unos cables para
computadora es f ( $ ) !' para
'& $ '&' mil5metros
a*
$alcule la media y la desviación estándar de la longitud del cable
b*
)i las especificaciones para la longitud son '';3 4 $ 4 '&3 mil5metros, 3qu! valor de la media da la mayor proporción de cables que cumplen con las especificaciones4
9! )uponga que el tamaño de una part5cula contaminante en micrómetros* puede modelarse con f ( $ )
& $
para $ ' . $alcule la media de X
1., Distribución de Probabilidad Nor$al &a distribución continua de probabilidad más importante en todo el campo de la estad5stica es la distribución normal. )u gráfica recibe el nombre de curva normal, es la curva en forma de campana que se muestra en la figura 1. 1.
MOISÉS MUÑOZ DÍAZ
"
Estadística I __________________________________________________________________________________ 6na variable aleatoria continua X tiene una distribución normal, con media
y varian"a
&
si
su función de densidad de probabilidad está dada por '
n( $ < )
&
e
&
( $ u ) : &
,
&
'onde
$
- !'1'3;! ! ! y e - &!9'5&5! ! ! !
#i-ura 1.1 del análisis de la primera y segunda derivada de n($< )
7 partir del análisis de la
se encuentran las propiedades de la curva normal%
1. +a moda %ue es el punto sobre el e=e >orizontal donde la curva tiene su má$imo ocurre en $ - !
. +a curva es simétrica alrededor de un e=e vertical %ue pasa por $ - ! %. +a curva tiene sus puntos de infle$i#n en $ intervalo
4
4
es c#ncava >acia aba=o en el
? y es c#ncava >acia arriba en cual%uier otro punto!
1! +a curva normal se acerca al e=e >orizontal en forma asint#tica en cual%uiera de las dos direcciones ale=ándose de la media! 3! .l área total ba=o la curva y arriba del e=e >orizontal es igual a '!
/reas ba)o la cur"a Nor$al &a curva de cualquier distribución continua de probabilidad
o función de densidad está
construida de tal modo que el área bajo la curva, limitada por los dos puntos $ - $ ' y $ - $ & es igual a la probabilidad de que la variable aleatoria continua X asuma un valor entre $ - $ ' y $ - $ & ! Entonces, para la curva normal * ( $ '
X
$ & )
$ & $ '
n( $ < ) d$
' &
$ & $ '
e
( $
)& : &
&
d$
El área bajo la curva entre dos puntos cualesquiera debe, entonces, depender de los valores de y
! &a dificultad que se encuentra al resolver las integrales de las funciones de densidad
normal hace necesaria la tabulación de las áreas de la curva normal para una referencia rápida. 8o obstante, ser5a una tarea interminable crear tablas separadas para cada valor concebible de y
#
!
(or fortuna es posible transformar todas las observaciones de cualquier variable
MOISÉS MUÑOZ DÍAZ
__________________________________________________________ Distribuciones de Probabilidad Continuas aleatoria normal X en un nuevo conjunto de observaciones de una variable aleatoria normal con media
0
&
- '! Esto puede reali"arse por medio de la transformación
- y varianza
X
@
En consecuencia puede escribirse, * ( $ '
X
'
$ & )
$ & $ '
&
e
( $
)& : &
&
d$
$ & $ '
e
z & : &
d$
'onde @ es un variable aleatoria normal con media cero y varian"a ', llamada distribución normal estándar @ B Aormal (
z
' ) .
z
A!licaciones de la Distribución Nor$al $on el cambio de variable a @ se ha reducido el n#mero que se requiere de tablas de áreas bajo la curva normal a una, la de la 'istribución 8ormal Estándar -abla 1 del 7p!ndice*. (ara las aplicaciones de la distribución normal utili"aremos el procedimiento siguiente% Sean:
X - una variable aleatoria continua X B Aormal ( )
$ @
X
@ B Aormal ( ' )
@ .ntonces: a) * ( X
a )
, ( a )
b) * ( X
b )
'
c) * ( a d) * ( a
X
X
b )
b )
MOISÉS MUÑOZ DÍAZ
, ( z
, ( b )
, ( b )
, ( a )
'
a
, ( z
, ( a )
'
) b
, ( z
, ( b )
)
b
, ( z
) a
, ( z
)
'
a
, ( z
) b
)
$
Estadística I __________________________________________________________________________________
E)e$!lo 1., 6na compañ5a fabrica focos cuya duración está normalmente distribuida con una media igual a 5 horas y una desviación estándar de 1 horas. Encuentre la probabilidad de que un foco a* dure menos de 9 horas9 b* tenga una duración mayor 55 horas9 c* se funda entre las 995 y 51 horas.
*olución Sean:
X - duraci#n de focos fabricados por una compaDa en >oras X B Aormal (
5
1 )
, ( 9 )
, ( z
$ @
X
@ B Aormal ( ' )
@ .ntonces: a) * ( X 9 )
9
5 1
)
, ( z
& !3 )
!2& por lo %ue se espera
%ue 2 de cada ' focos fabricados duren menos de 9 >oras! b) * ( X 55 )
'
, ( 55 )
'
55
, ( z
5 1
)
'
, ( z
& ! )
51
5
!&&5 el &!&58
de los focos fabricados durarán más de 55 >oras! c)
* ( 995
X
, ( z !53 )
51 )
, ( z
, ( 51 )
!33 )
, ( 995 )
!5&
, ( z
!&;'&
1
!3'''
)
, ( z
995
5 1
)
el 3'!''8 de los focos
se fundirán entre las 995 y 51 >oras de uso!
1. 6tilice la -abla 1 del ap!ndice para calcular las probabilidades siguientes para la variable aleatoria normal estándar @! a* * ( @ ' !& ) 9
b* * ( @ ! )
c* * ( @ ' !13 )
d* * ( @
& !'3 )
e* * ( & !1 @ ' !92 )
%
MOISÉS MUÑOZ DÍAZ
__________________________________________________________ Distribuciones de Probabilidad Continuas
. )uponga que @ tiene una distribución normal estándar. 6tilice la -abla 1 del ap!ndice para determinar el valor de z que resuelve cada una de las siguientes probabilidades% a* * ( @ z )
!;
b* * ( @ z )
!3
c* * ( @ z )
!'
d* * ( @ z )
!;
e* * ( ' !&1 @ z )
!5
%. )uponga que X tiene una distribución normal con una media de ' y desviación estándar de &. $alcule lo siguiente%
a* * ( X ' )
b* * ( X
c* * ( 2 X '1 )
; )
d* * ( & X 1 )
e* * ( & X 5 ) 1. )uponga que X tiene una distribución normal con una media de ' y desviación estándar de &. $alcule el valor de $ que resuelve cada una de las siguientes probabilidades%
a* * ( X $ )
!3
c* * ( $ X ' )
b* * ( X $ )
!;3
!&
3! &a resistencia a la compresión de una serie de probetas de concreto puede modelarse con una
distribución normal con una media de 2 :g;cm, y una desviación estándar de ' :g;cm. 3$uál es la probabilidad de que la resistencia de una probeta% a* sea menor que <2/ :g;cm9 b* se encuentre entre 2=// y 2>// :g;cm4 2! &as barras de pan de centeno que cierta panader5a distribuye a las tiendas locales tienen una
longitud promedio de cm y una desviación estándar de & cm. )uponga que las longitudes están distribuidas normalmente, 3qu! porcentaje de las barras son a* más largas que '!9 cm4 b* entre &;! y !3 cm de longitud4 c* más cortas que &3!3 cm4
. )e regula una máquina despachadora de refrescos para que sirva un promedio de & ml por vaso. )i la cantidad de bebida se distribuye normalmente con una desviación estándar de '3 ml a* 3qu! fracción de los vasos contendrán más de &&1 ml4
MOISÉS MUÑOZ DÍAZ
&
Estadística I __________________________________________________________________________________ b* 3cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre ';' y &; ml4 c* 3cuántos vasos probablemente se derramarán si se utili"an vasos de & ml para las siguientes ' bebidas4 d* 3por debajo de que valor obtendremos el &38 de las bebidas más pequeñas4
2. El diámetro interior de un anillo de un pistón ya terminado se distribuye normalmente con una media de ' cm y una desviación estándar de ! cm. a* 3qu! proporción de anillos tendrán diámetros interiores que ecedan de '!93 cm4 b* 3cuál es la probabilidad de que el anillo de un pistón tenga un diámetro interior entre ;!;9 y '! cm4 c* 3por debajo de que valor del diámetro interior caerá el 12? de los anillos de pistón4
3. 6n abogado va todos los d5as de su casa en los suburbios a su oficina en el centro de la ciudad. El tiempo promedio para un viaje de ida es de &1 minutos, con una desviación estándar de !5 minutos. )uponga que la distribución de los tiempos de viaje está distribuida
normalmente. a* 3cuál es la probabilidad de que un viaje tome al menos @ hora4 b* )i la oficina abre a las >%// a.m. y !l sale de su casa a las =%A2 a .m. , 3qu! porcentaje de las veces llega tarde al trabajo4 c* )i sale de su casa a las =%2 a.m. y el caf! se sirve en la oficina de =%2/ a >%// a.m., 3cuál es la probabilidad de que pierda el caf!4 d* Encuentre el tiempo por arriba del cual encontramos el '38 de los viajes más lentos. e* Encuentre la probabilidad de que & de los siguientes viajes tomen al menos @ hora.
14. En el ejemplar de noviembre de 1>>/ del C'e()cal En*ineerin* Pro*ress un estudio discute sobre la pure"a del oigeno de cierto proveedor. )uponga que la media fue de ;;!2' con una desviación estándar de !5 y que la distribución del porcentaje de pure"a fue aproimadamente normal. a* 3Bu! porcentaje de los valores de pure"a esperar5a que estuvieran entre >>.2 y >>.C4 b* 3Bu! valor de pure"a esperar5a que ecediera eactamente el 2? de la población4
11. &a vida promedio de cierto tipo de motor pequeño es ' años con una desviación estándar de & años. El fabricante reempla"a gratis todos los motores que fallen dentro del pla"o de
+,
MOISÉS MUÑOZ DÍAZ
__________________________________________________________ Distribuciones de Probabilidad Continuas garant5a. )i está dispuesto a reempla"ar sólo el 8 de los motores, 3de que duración debe ser la garant5a que ofre"ca4 )uponga que la duración de un motor sigue una distribución normal.
1.5 Distribución de Probabilidad Ti!o 6a$$a. &a distribución gamma recibe su nombre de la bien conocida función gamma, que se estudia en muchas áreas de las matemáticas. &a #unción -a$$a se define como 7
+
'
$
e
$
d$
para
$
Pro!iedades de la #unción -a$$a8 '
7l integrar por partes con u $ 7
e
+
(ara
$
$
'
e
$
y dv &
'+ $
7
$
d$ , obtenemos
e d$
'+
7
$
&
e
$
d$
' , que produce la fórmula recursiva da 7 +
'+ 7
7
'+
&a aplicación repetida de la fórmula recursiva da 7 +
7
'+ 7
&+ 7
&+
7
'+7
& +7
7n
+ ,
n , donde n es un entero positivo,
y as5 sucesivamente. Dbserve que cuando 7 n+
+ 7
'+7 n
& + 7'+
)in embargo, dado que 7 '+
e
$
d$
'
En consecuencia 7 n+
7n
'+9
Dtra propiedad importante de la función gamma es que
7' : & +
Distribución 6a$$a. +a variable aleatoria X tiene una distribución -a$$a con parámetros
y si su funci#n de densidad de probabilidad está dada por
MOISÉS MUÑOZ DÍAZ
++
Estadística I __________________________________________________________________________________
' f 7 $ +
7 +
$ ' e
$ :
.
$
. y
$uando
en cual%uier otro caso
.
La $edia ' la "arian(a de la distribución -a$$a son &
y
&
.
En la siguiente figura se muestran gráficas de varias distribuciones gamma para ciertos valores espec5ficos de los parámetros
y !
1 alfa = 1, beta =1
0.8 0.6 0.4
alfa =2, beta = 1 alfa = 4, beta = 1
0.2 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
Distribución -a$$a &a distribución gamma especial para la que
- ' se le llama distribución e;!onencial.
La $edia ' la "arian(a de la distribución e;!onencial son y
&
&
.
E)e$!lo 1.2 En cierta ciudad, el consumo diario de agua en millones de litros* sigue aproimadamente una distribución gamma con
-& y
- - )i la capacidad diaria de dicha
ciudad es de nueve millones de litros de agua, 3cuál es la probabilidad de que en cualquier d5a dado el suministro de agua sea inadecuado4
*olución
+2
MOISÉS MUÑOZ DÍAZ
__________________________________________________________ Distribuciones de Probabilidad Continuas Sean:
X - consumo de agua en cierta ciudad en millones de litros X B Eamma (
&
)
$
.ntonces: ' f ( $ )
'
f ( $ )
* ( $
&
;
( & )
$ :
$ e
$ en cual%uier otro caso
$ e
; )
* ( $ ; )
$ :
'
'
$
;
'
;
$e
$ :
e ( 1 )
d$
'
e ( ' )
;
$ e
$ :
!';;'
'
d$
'
e
$ :
$
;
'
'; !;'8
';!;'8 de los d5as el suministro de agua será inadecuado
EJERCICIOS 1.5
1. )i una variable aleatoria X tiene la distribución gamma con * ( ' !5
$
- & y
- ' encuentre
& !1 )
. )uponga que el tiempo, en horas, que toma reparar una bomba de calor es una variable aleatoria X que tiene la distribución gamma con parámetros
- & y
- F! 3$uál es la
probabilidad de que la siguiente llamada de servicio requiera a* a lo más una hora para reparar la bomba de calor4 b* al menos dos horas para reparar la bomba de calor4 . En cierta ciudad, el consumo diario de energ5a el!ctrica, en millones de iloFatts G hora, es una variable aleatoria X que tiene una distribución gamma con una media - 2 y varian"a - '&-
&
a* Encuentre los valores de
MOISÉS MUÑOZ DÍAZ
y !
+
Estadística I __________________________________________________________________________________ b* Encuentre la probabilidad de que en cualquier d5a dado el consumo de energ5a diario eceda los 1 millones de iloFattsHhora. A. El tiempo necesario para que un individuo sea atendido en una cafeter5a es una variable aleatoria que tienen una distribución eponencial con una media de cuatro minutos. 3$uál es la probabilidad de que una persona sea atendida en menos de tres minutos en al menos cuatro de los siguientes seis d5as4 2. &a vida en años de cierto interruptor el!ctrico tiene una distribución eponencial con una vida promedio de
- & de estos interruptores se instalan en diferentes sistemas, 3cuál es la
probabilidad de que a lo más fallen durante el primer año4
1.< Distribución de !robabilidad ti!o Beta Distribución Beta. +a variable aleatoria X tiene una distribución beta con parámetros y si su funci#n de densidad de probabilidad está dada por 7
y
'
'
$ 7' $ + 7 + 7 + .
f 7 $ +
$uando
+
.
$ ' en cual%uier otro caso
.
La $edia ' la "arian(a de la distribución beta son y
&
7
&
+ 7
'+
.
E)e$!lo 1.3 En cierto pa5s, la proporción de tramos de autopista que requieren reparación en un año determinado es una variable aleatoria con distribución beta, con
- y - &! $alcular%
a* en promedio, 3qu! porcentaje de tramos en autopista requieren reparación en un año cualquiera4 b* &a probabilidad de que a lo más la mitad de los tramos de autopista requieran reparación en un año cualquiera.
*olución Sean:
X - proporci#n de tramos de autopista %ue re%uieren reparaci#n en un ao determinado X = Geta 7
&+
$ '
+!
MOISÉS MUÑOZ DÍAZ
__________________________________________________________ Distribuciones de Probabilidad Continuas .ntonces:
a)
.2 lo cual significa que en promedio el
&
necesitarán reparación en un año cualquiera. b) )ustituyendo ( 3 )
- y - & en la fórmula para la distribución beta y utili"ando el hecho de que
1H
&1 ,
( )
&H
&
f ( $ )
& y que
( & )
'& $ ( ' $ )
$ '
en cual%uier otro caso
'H
' , se obtiene
7s5 * ( $ ' : & )
' : &
&
'& $ ( ' $ )d$ '&
$
$ 1
1
' : &
'&
'
'
3
&1
21
'2
2 !&38
EJERCICIOS 1.6
1.
)i la proporción anual de declaraciones de impuestos erróneas en el departamento de contribuciones puede considerarse una variable aleatoria que tiene una distribución beta con - & y
- ; 3cuál es la probabilidad de que en un año determinado menos del 1/? de las
declaraciones sean erróneas4 . )uponga que la proporción de unidades defectuosas embarcadas por un vendedor, las cuales var5an de cargamento a cargamento, puede considerarse como una variable aleatoria que tiene la distribución beta con
- ' y - 1!
a* Encuentre la media de de esta distribución beta, es decir, el promedio de unidades defectuosas en un cargamento de este vendedor. b* $alcule la probabilidad de que un embarque de este vendedor contenga 2? o más de unidades defectuosas4
1. Distribución de !robabilidad de >eibull 6na distribución de probabilidad que se utili"a ampliamente en año recientes para tratar con los problemas de confiabilidad de los componentes que forman los sistemas es la distribución de eibull, que introdujo el sueco aloddi eibull en 1>>.
MOISÉS MUÑOZ DÍAZ
+"
Estadística I __________________________________________________________________________________
Distribución de >eibull. +a variable aleatoria X tiene una distribución de >eibull con parámetros
y si su funci#n de densidad de probabilidad está dada por f ( $ )
$uando
y
$
'
e
$
$ en cual%uier otro caso
.
La $edia ' la "arian(a de la distribución de >eibull son ':
'
'
&
,
&:
'
&
'
'
En la siguiente figura se muestran gráficas de la distribución de eibull para
&
- ' y diversos
valores del parámetro ! En !sta se observa que las curvas cambian de forma de manera considerable para diferentes valores de los parámetros, en particular el parámetro . )i hacemos - ' la distribución de eibull se reduce a la distribución eponencial. (ara valores de
6 '
las curvas toman la forma de campana como la curva normal, pero muestran asimetr5a.
Distribuciones de >eibull 7 ? 1+ 1.6 beta = 3
1.2 beta =1 beta =2
0.8 0.4 0 0
0.5
1
1.5
2
2.5
EJERCICIOS 1.6
1. )uponga que la vida de servicio, en años, de la bater5a de un aparato para sordos es una variable aleatoria que tiene una distribución de eibull con
+#
- '& y
- &!
MOISÉS MUÑOZ DÍAZ
__________________________________________________________ Distribuciones de Probabilidad Continuas a* 3$uánto tiempo se puede esperar que dure tal bater5a4 b* 3$uál es la probabilidad de que tal bater5a est! en operación despu!s de dos años4 . )uponga que el tiempo de falla en minutos* de ciertos componentes electrónicos, sujetos a vibraciones continuas, puede considerarse como una variable aleatoria que tiene la distribución de eibull con
- '3 y
- '!
a* 3$uánto puede esperarse que dure un componente4 b* 3$uál es la probabilidad de que ese componente falle en menos de 2 horas4 . )uponga que la vida #til en horas* de un semiconductor es una variable aleatoria que tiene una distribución de eibull con
-!3! 3$uál es la probabilidad de que el
-!&3 y
semiconductor a#n est! funcionando despu!s de A/// horas4
1.2 Distribución de Probabilidad )i@cuadrada Teore$a 1.,. Si
s
&
&
es la varianza de una muestra aleatoria de tamao n tomada de una &
poblaci#n normal %ue tiene la varianza &
( n
, entonces la estadDstica
' ) s & &
n i '
( $ i $ ) & &
Iiene una distribuci#n JiKcuadrada con v - n L ' grados de libertad!
(ara las aplicaciones de la distribución
&
Tabla del 7p!ndice*, utili"aremos el procedimiento
siguiente% Sean: X - una variable aleatoria continua X B ormal ( & ) X $ ' $ & $ n n variables aleatorias independientes n
&
n & i
$ s
$ i
i '
&
n ( n
&
: n
i '
' )s
' &
& &
&
B Ji cuadrada ( v
n
' gl ) )
MOISÉS MUÑOZ DÍAZ
+$
Estadística I __________________________________________________________________________________ .ntonces: a) * ( s a ) * ( s
&
b) * ( s b ) * ( s
&
c) * ( a
s
&
a )
,
&
b )
b ) * ( a
&
'
s
&
( n
&
,
&
' ) a &
( n
&
' ) b
&
&
&
b )
( n ' ) b &
&
,
&
,
&
( n ' ) a & &
E)e$!lo 1.5 )e sabe que la duración de los cinescopios para televisión fabricados por una compañ5a se distribuye en forma normal con una media de horas y una desviación estándar de 2 horas. )i se seleccionan ' de estos cinescopios al a"ar, hallar la probabilidad de que la varian"a muestral% a* no eceda de &2 horas, b* se encuentre entre &2 y 2925 horas. Soluci#n Sean: X - duraci#n de los cinescopios en >oras
X B ormal (
2 )
X 6 $ ' $ & $ n
n -' variables aleatorias independientes
n
&
n & i
$ s
$ i
i '
&
i '
n ( n
&
: n
' )s
' &
& &
B Ji
&
cuadrada ( v
; gl )
)
.ntonces: & a) * ( s
&2 )
,
&
;( &2 ) 2
, (
&
&
3 !; )
!&3
(or lo tanto, esperamos que 2 de cada cien muestras, de tamaño 1/, tengan una varian"a muestral inferior a
s&
2925 )
,
;( 2925 )
&
2 & ,
+%
&
'2 !;&
,
;( &2 )
&
2 & , (
&
3 !; )
!;3
!&3 - !9
MOISÉS MUÑOZ DÍAZ
__________________________________________________________ Distribuciones de Probabilidad Continuas (or lo tanto, esperamos que 9 de cada cien muestras, de tamaño ' tengan una varian"a muestral mayor de &2 horas pero menor de 2925 horas.
1.3 Distribución de !robabilidad t *tudent Teore$a 1.5. Sea @ una variable aleatoria normal estándar y / una variable aleatoria JiK cuadrada con v grados de libertad! Si @ y / son independientes , entonces la distribuci#n de la variable aleatoria I donde @
I
/ : v
Está dada por ( v
>( t )
( v : & )
( v ' ) : &
&
' ) : &
'
v
t
v
t
.sta se conoce como la distribuci#n t con v grados de libertad!
Corolario
Sean X ' X & X n
normales con media
variables aleatorias independientes %ue son todas
y desviaci#n estándar n
$ i
$ i '
y
n
&
n i '
$
.ntonces la variable aleatoria I
s
! Sean ( $ i n
$ ) '
&
,
tiene una distribuci#n t con v - n L ' grados de
s : n
libertad!
(ara las aplicaciones de la distribución
t
)tudent Tabla
% del 7p!ndice*, utili"aremos el
procedimiento siguiente% Sean:
X - una variable aleatoria continua X B Aormal (
M)
$ $ ' $ & $ n
n variables aleatorias independientes (n 4 )
n
n
$ i $
i '
&
$ i
<
n
MOISÉS MUÑOZ DÍAZ
s
i '
&
n
$ i
: n
i '
n '
+&
Estadística I __________________________________________________________________________________ $
I
s : n
I B I Student ( v
n
' gl )
I .ntonces: a) * ( X a ) , ( a ) , t
b) * ( X b ) '
, ( b )
a s : n
'
, t
b s : n b
c) * ( a X b ) , ( b ) , ( a ) , t
, t
s : n
d) * ( a X b ) , ( a ) ' , ( b ) , t
a s : n
a s : n
'
, t
b s : n
E)e$!lo 1.< 6n fabricante de focos afirma que su producto durará en promedio de 2// horas de trabajo. (ara verificar este promedio, esta persona prueba 2 focos cada mes. )i el valor de t calculado cae entre
t !3
y
t !3 , !l se encuentra satisfecho con esta afirmación. 3Bu!
conclusión deberá !l sacar de una muestra que tiene una media de $ 3'5 horas y una desviación estándar s Sean:
1 horas4 7suma que la distribución de los tiempos de vida es normal4
X - tiempos de vida de los focos producidos por un fabricante en >oras X B Aormal (
3
M)
$ $ ' $ & $ n
n-&3 variables aleatorias independientes (n 4 )
n
n
$ i $
I
i '
$ i &
<
i '
s
n
&
n
$ i
: n
i '
n '
$ s : n
I B I Student ( v
n
'
&1 gl )
I
2,
MOISÉS MUÑOZ DÍAZ
__________________________________________________________ Distribuciones de Probabilidad Continuas .ntonces: 'e la Tabla % obtenemos el valor de t !3 para &1 grados de libertad. (or lo tanto, el
fabricante estará de acuerdo con esta afirmación si una muestra de &3 focos da un valor de t entre K'!9'' y '!9''! I
$ s : n
3'5
3
& !&3
1 : &3
Ne a%uD %ue el fabricante está en condiciones de concluir %ue sus focos duran más de 3 >oras!
1.14 Distribución de Probabilidad Teore$a 1.<. Sean " y / dos variables aleatorias %ue tienen distribuciones JiKcuadradas con v' y v& grados de libertad respectivamente , entonces la distribuci#n de la variable
aleatoria ,
" : v' / : v&
está dada por
>( f )
v : &
( v'
v : & '
v& ) : & ( v' : v & ) ' ( v' : & ) ( v & : & )
f '
( ' v' f : v & )
( v' v& )
f
.sta se conoce como la distribuci#n , con v' y v& grados de libertad!
Teore$a 1.. Al escribir
v
f v ' para f con v' y v& grados de libertad obtenemos & v
f v ' ' &
' v
f v & '
7s5, el valor , con v' - 2 y
v& - ' grados de libertad, que deja un área de /.>2 a la
derecha, es 2
f ' !;3
'
'
'
1 !2
f 2 !3
!&12
)uponga que las muestras aleatorias de tamaño n' y n& se seleccionan de dos poblaciones normales con varian"as
MOISÉS MUÑOZ DÍAZ
& '
y
& &
, respectivamente. 'el -eorema 1.A sabemos que
2+
Estadística I __________________________________________________________________________________
& '
( n
&
' )s'
y
& '
( n
& '
&
' )s' & '
son variables aleatorias que tienen distribuciones JiHcuadradas con v '
n'
' y v&
n&
'
grados de libertad. 7demás, como las muestras se seleccionan al a"ar, tratamos con variables aleatorias independientes, y entonces con el uso del teorema 1.< con
& '
& &
" y
/ ,
obtenemos el siguiente resultado
Teore$a 1.2. Si
S '& y S && son las varianzas de muestras aleatorias independientes de
tamaos n' y n& tomadas de poblaciones normales con varianzas respectivamente entonces &
&
S ' : ' , & & S & : &
tiene una distribución , con v'
22
n'
' y v&
& '
y
& &
& & & S ' & & ' S &
n&
' grados de libertad.
MOISÉS MUÑOZ DÍAZ
EJERCICIOS 1.3
1. (ara una distribución JiHcuadrada encuentre & .&3 cuando
a*
v - '3
b)
& .'
cuando v - 9
c*
& .3 cuando
v - &1
. (ara una distribución JiHcuadrada encuentre los siguiente% & .3 cuando
a*
v-3
b)
& .3 cuando
. (ara una distribución JiHcuadrada encuentre a* * 7
&
&
+
.;; cuando v - 1
b* * 7
&
&
+
.&3 cuando v -'; &
c* * 7 9 .23
&
+
&
tal que
&
tal que
c)
& .'
cuando v - '&
.13 si v - &3
A. (ara una distribución JiHcuadrada encuentre a* * 7
&
&
+
.' cuando v - &'
b* * 7
&
&
+
.;3 cuando v -2
c* * 7
&
&
&.&'+
v - ';
.'3 si v - '
2. (ara la distribución -H)tudent encuentre% a* t .&3 cuando v - '1 t .' cuando v - '
b*
c* t .;;3 cuando v - 9 <. (ara la distribución -H)tudent encuentre% a* * 7I
&.23 cuando v - 9
c* * 7 '.32 I
b) * 7I
& .'9; cuando v - '&
'.'5 + cuando v - &1
d) * 7I
&.329 + cuando v -
'9
C. (ara la distribución -H)tudent encuentre% a* * 7 t .3
I
t .' +
b* * 7I
t .&3 +
=. 'ada una muestra aleatoria de tamaño A de una distribución normal, con desconocida, encuentre 0 tal que MOISÉS MUÑOZ DÍAZ
2
Estadística I __________________________________________________________________________________ a* * 7 &.9 I
0 +
.;23
b* * 7 0 I
&.5' +
.;3
c*
* 7 0 I
0 +
.;
>. (ara la distribución , encuentre% a* f .3 con v' - 9 y v& - '3
b) f .3 con v' - '3 y v& - 9
c* f .' con v' - &1 y v& - ';
d) f .;3 con v' - '; y v& - &1
b* f .;; con v' - &5 y v& - '&
2!
MOISÉS MUÑOZ DÍAZ
