Razones y proporciones
El testamento del jeque Al morir el jeque, ordenó que se distribuyeran sus camellos entre sus hijos de la siguiente forma: la mitad para el primogénito, una cuarta parte para el segundo y un sexto para el más pequeño. Pero resulta que el jeque solo tenía once camellos, con lo que el reparto se hizo realmente difícil, pues no era cosa de cortar ningún animal. Los tres hermanos estaban discutiendo, cuando ven llegar a un viejo beduino, famoso por su sabiduría, montado en su camello. Le pidieron consejo y este dijo: - Si vuestro padre hubiese dejado doce camellos en vez de once no habría problemas. - Cierto, pero solo tenemos once - respondieron los hermanos, a lo que el beduino contestó: tomad mi camello, haced el reparto y no os preocupéis que nada perderé yo en la operación. ¿En qué se basa el beduino para afirmar tal cosa?
Objetivos
Razón
Al finalizar el presente capítulo el alumno estará en la Es la comparación de dos cantidades homogéneas, esta comparación puede hacerse empleando la sustracción o la capacidad de: división. - Comparar dos dos cantidades cantidades por sustracción o división e interpretar el resultado. Clases de razón - Co ns tr uir re la cio nes ent re l as canti da de s proporcionadas. a. Razón aritmética (R.A.) - Reconocer los tipos de proporciones que existen. - Aplicar las propiedades adecuadamente en la resolución Es la comparación de dos cantidades mediante la de problemas. sustracción. Dicha comparación nos determina en cuánto - Aplicar los conceptos conceptos para la resolución de situaciones excede una cantidad a la otra. de la vida real. Ejemplo:
Introducción En la vida cotidiana encontramos varias magnitudes a nuestro alrededor, alrededor, por ejemplo: La velocidad del bus donde nos desplazamos, el tiempo que demora nuestro recreo, la temperatura del medio ambiente, el precio de una entrada al cine, etc.
A un evento deportivo asistieron 42 000 personas pe rsonas a occidente y 24 000 a oriente. ¿Cuál es su razón aritmética? Solución: Escribiendo los datos mediante una sustracción 42000 - 24000
Todas las magnitudes que podamos identificar son susceptibles de ser medidas y asociarse a un número y una unidad a la que llamamos cantidad.
18000
Valor de la razón aritmética
Interpretación del resultado:
Veamos Veamo s algunos ejemplos: MAGNITUD
UNIDAD
CANTIDAD
Longitud Longitud Masa Dinero Velocidad Velocidad
Metro Kilogramo soles Km/h Km/h
20 m 8 Kg 40 soles 120 Km/h
El número de personas en occidente excede en 18 000 al número de personas en oriente. Hay 18 000 personas más en occidente que en oriente.
En general una razón aritmética se puede escribir: a - b = R A Donde: a: b: R A :
Antecedente Consecuente Valor de la razón aritmética
b. Razón geométrica (R.G.)
Propiedad:
Es la comparación de dos cantidades mediante la división. Dicha comparación nos determina cuántas veces una cantidad contiene a la otra.
En toda proporción aritmética se cumple que la suma de los términos extremos es igual a la suma de los términos medios.
Ejemplo:
Es decir:
En una mesa de votación se contabilizó 200 hombres y 50 mujeres. ¿Cuál es su razón geométrica?
Si:
Solución:
Clases de proporción aritmética
Efectuando la división en el orden que aparecen los datos tenemos.
- Proporción aritmética discreta.- Es aquella proporción aritmética en la cual los términos medios son diferentes.
200 5
a-b=c-d a+d=b+c
4
a-b=c-d
Valor de la R.G.
b c
Donde “d” es la cuarta diferencial de “a” , “b” y “c” .
Interpretación: - El número de hombres es 4 veces el número de mujeres. - El número de mujeres es la cuarta parte del número de hombres. En general una razón geométrica se puede escribir:
a b Donde: a: b: R G :
= R G
Antecedente Consecuente Valor de la R.G.
Proporción aritmética continua.- Es aquella proporción aritmética en la cual los términos medios son iguales. a-b=b-c Donde “b” es la media diferencial de “a” y “c” . Se cumple: a c 2 . “c” es la tercera diferencial de “a” y “b” b=
b. Proporción Geométrica (Equi - cociente) Cuando se reúnen dos razones geométricas de igual valor. Por ejemplo:
Proporción
3 15 4
Es la reunión de dos razones aritméticas o dos razones geométricas que tienen el mismo valor. Clases de proporción
En general:
a. Proporción Aritmética (Equi - diferencia) Cuando se reunen dos razones aritméticas de igual valor. Por ejemplo:
1 5
3 4 15 20
1 20 5
A C B D Donde:
32- 7 25 32- 7 70 - 45 70 - 45 25 En general:
“ A” y “D” son los términos extremos. “B” y “C” son
los términos medios.
Propiedad: a-b=c-d
Donde: “a” y “d” son los términos extremos. “b” y “c” son los términos medios.
En toda proporción geométrica se cumple que el producto de los términos extremos es igual al producto de los términos medios.
Es decir:
Si:
Problemas para la clase
A C B D
A.D. = B.C.
Clases de proporción geométrica: - Proporción geométrica discreta: Es aquella en la cual los términos medios son diferentes. A C B D
BC
Donde: la cuarta proporcional de “ A” ; “B” y “C” .
“D” es
- Proporción geométrica continua: Es aquella en la cual los términos medios son iguales.
a) 15 d) 8
b) 12 e) 16
c) 10
2. Dos números son entre sí como 7 es a 3. Si su razón aritmética es 120, hallar el número mayor. a) 100 d) 180
b) 120 e) 210
c) 150
3. Dos números son entre sí como 4 es a 7 si su suma es 88, hallar su diferencia. b) 32 e) 36
c) 16
4. La razón geométrica de dos números es 3/5, si se aumenta 46 unidades a uno de ellos y 78 al otro se obtendrían cantidades iguales. Dar la suma de cifras del número menor.
Se cumple: B = A.C Donde: “C” es
1. La suma de las edades de dos hermanos es 42 años. Si su razón geométrica es 5/2, hallar la edad del hermano menor dentro de 4 años.
a) 24 d) 18
A B B C
“B” es
NivelI
la media proporcional de ” A” y “C” . la tercera proporcional de “ A” y “B” .
a) 10 d) 7
b) 8 e) 16
c) 12
5. Hallar la cuarta proporcional de 9; 12 y 15. Propiedades de la proporción geométrica Si : A C ; entonces se cumple: B D
1.
A B C D B D
2.
A B C D B D
3.
A B C D A C
4.
A B C D A C
5.
C A A B C D
6.
A B C D A B C D
7.
A C A C BD B D
Observación:
En las propiedades de la 1 a la 6 los términos de la primera razón (A y B) sólo se pueden sumar y restar e intercambiar el orden, las mismas operaciones se deben realizar con los términos de la segunda razón y la igualdad se mantendrá.
a) 16 d) 27
b) 20 e) 30
c) 24
6. Hallar la media proporcional de 8 y 18. a) 10 d) 12
b) 15 e) 20
c) 18
7. En una proporción aritmética continua la media diferencial es 18 y uno de los extremos es 10, hallar el otro extremo. a) 18 d) 32
b) 21 e) 36
c) 26
8. La suma de los extremos de una proporción geométrica es 36 y su diferencia es 4. Hallar el producto de los términos medios. a) 160 d) 320
b) 180 e) 144
c) 240
9. En una proporción geométrica continua los extremos son entre sí como 9 es a 4 y su razón aritmética es 15. Hallar la media proporcional.
a) 15 d) 24
b) 18 e) 32
c) 21
a 7 ; haciendo uso de las propiedades, hallar: 10.Si: b 5
a2 b 2 . 2b 2 37 a) 50
d)
37 100
37 b) 25
e)
74 c) 25
17
1. Las edades de Juan y Arturo son 12 y 18 años respectivamente. Dentro de cuántos años la razón de sus edades será 9/11. b) 12 e) 20
b) 20 e) 35
c) 25
b) 60 e) 80
c) 70
4. En una proporción geométrica continua el mayor de los términos es 25 y el término intermedio es 20. Hallar la suma de los 4 términos. a) 75 d) 105
b) 92 e) 115
c) 81
5. El producto de los 4 términos de una proporción geométrica continua es 50625. Si la suma de los antecedentes es 24, ¿cuál es la suma de los consecuentes? a) 36 d) 48
a)
1 3
b)
2 3
d)
2 5
e)
3 5
c)
1 5
b) 40 e) 50
8. La razón geométrica de las velocidades de “ A” y “B” es 4/3. Si en 10 minutos “ A” recorre 200 m, ¿cuánto recorrerá “B” en media hora? a) 300 m d) 150
9. Si :
3. En una fábrica trabajan 240 personas y se observa que por cada 4 hombres hay 1 mujer. ¿Cuántas mujeres deben contratarse de tal forma que se tenga 3 hombres por cada 2 mujeres? a) 50 d) 75
c) 27
7. En una proporción geométrica discreta la suma de los extremos es 48 y su diferencia es 12. Si los antecedentes están en la razón de 5 a 2, hallar el valor de la razón geométrica de la proporción, si todos los términos son números enteros.
c) 15
2. En una caja hay 150 cuadernos, 90 de pasta roja y el resto de pasta azul. ¿Cuántos cuadernos rojos se deben retirar para poder afirmar que por cada 5 cuadernos rojos se encuentra 4 azules? a) 15 d) 30
b) 24 e) 54
15
NivelII
a) 10 d) 18
a) 36 d) 18
c) 32
6. Sabiendo que : - “a” es la tercera diferencial de 28 y 20. - “b” es la cuarta proporcional de 16; “a” y 36. Hallar la media proporcional de “a” y “b” .
y
b) 450 e) 360
c) 600
a c 25 b d 9 b d 15
b d3 Hallar “a + c” a) 425 d) 275
b) 550 e) 250
c) 325
10.Patty nació 8 años antes que Luis y hace 6 años sus edades estaban en la misma relación que los números 9 y 5. Si dentro de “n” años la razón de sus edades será 5/4, hallar “n” a) 12 d) 18
b) 15 e) 20
c) 16
Nivel III 1. A un evento deportivo asistieron 4 hombres por cada 5 mujeres y 3 mujeres por cada 7 niños. Si en total asistieron 1 860. Hallar la razón aritmética entre el número de hombres y el número de niños. a) 540 d) 690
b) 360 e) 510
c) 480
2. Sabiendo que “b” es la media proporcional de “a” y “c” 2 2 y que “a” , “b” y “c” suman 234. Además: a b 4 . b 2 c 2 25 Hallar “a + b”
a) 72 d) 96
b) 84 e) 108
c) 88
3. La suma de los cuatro términos de una proporción geométrica continua es 63. Hallar la diferencia de los extremos si la razón es un número entero.
a) 1 436 d) 1 287
b) 1 318 e) 1 156
c) 1 351
10.En una fiesta se observa que por cada 3 hombres hay 4 mujeres y por cada 5 hombres que fuman hay 4 hombres que no fuman. Además en las mujeres por cada 2 que 4. En un recipiente se mezclan 32 litros de vino y 40 litros fuman hay 5 mujeres que no fuman. Si la cantidad de no fumadoras está comprendida entre 18 y 26. ¿Cuántas de agua. Se extraen 18 litros, de la mezcla y se completa con vino hasta que los volúmenes se igualan. Luego se personas asistieron a la fiesta? extraen 12 litros de la nueva mezcla y se reemplaza con vino. Hallar la razón geométrica de las cantidades a) 135 b) 147 c) 151 finales de vino o agua. d) 158 e) 162 a) 7 d) 21
b) 15 e) 24
a)
2 5
b)
2 3
d)
3 2
e)
3 4
c) 18
c)
2 7
Autoevaluación
1. Dos números son entre sí como 3 es a 5. Si su suma es 120. Hallar su producto.
5. En una proporción geométrica continua la suma de los antecedentes es 28. Si la suma de los términos de la segunda razón es 70. Hallar la media proporcional.
a) 2 375 d) 3 375
b) 5 425 e) 4 225
c) 3 325
2. Hallar la tercera proporcional de 25 y 20. a) 20 d) 18
b) 24 e) 32
c) 16 a) 18 d) 15
6. En una carrera de 2 000 m un atleta “ A” ganó a otro “B” por 400 m y “B” ganó a “C” por 200 m. ¿Por cuántos metros ganará “ A” a “C” en una carrera de 3 000 m? a) 800 d) 580
b) 950 e) 460
d)
7 4 9
b) e)
7
c)
4
2 5
b) 180 e) 120
3. Las edades de José y Antonio son proporcionales a los números 7 y 5. Si hace 8 años sumaban 32 años. ¿Cuál es la edad actual de Antonio? a) 20 años d) 28
8. La suma de todos los términos de una proporción geométrica es 420. Hallar la suma de los consecuentes si el producto de las dos razones es 4/25. a) 300 d) 360
c) 12
c) 840
7. La razón aritmética de dos números es a la razón geométrica de los mismos como el número mayor es a 49/10. Hallar la razón geométrica de los números.
a)
b) 16 e) 24
c) 240
9. En una asamblea estudiantil se presenta una moción. En la primera votación por cada 4 votos a favor habían 5 en contra, pedida la reconsideración se notó que por cada 7 votos a favor habían 4 en contra. Si 247 estudiantes cambiaron de opinión y no hubo abstenciones, ¿cuántos estudiantes asistieron a la asamblea?
b) 24 e) 32
c) 25
4. En una proporción geométrica continua el mayor de los términos es 18 y el término intermedio es 12. Hallar la suma de los cuatro términos. a) 42 d) 60
b) 48 e) 50
c) 52
5. En una caja hay 280 bolas de 3 colores distintos. Se observa que por cada 2 bolas azules hay 5 blancas y por cada 3 blancas hay 7 verdes. ¿Cuántas bolas verdes hay? a) 135 d) 175
b) 145 e) 196
c) 155
Claves 1. d 4. e
2. b 5. d
3. a
