NÚMEROS DECIMALES Valor Posicional Para entender los números decimales primero tienes que conocer la notación posicional. Cuando escribimos números, la posición (o "lugar") de cada número es importante. En el número 327: el "7" está en la posición de las unidades, así que vale 7 (o 7 "1"s), el "2" está en la posición de las decenas, así que son 2 dieces (o veinte), y el "3" está en la posición de las centenas, así que vale 3 cientos. Cuando vamos hacia la izquierda, cada posición vale ¡10 veces más! Cuando vamos hacia la derecha, cada posición es 10 veces más pequeña El sistema de numeración decimal también se llama "base 10", porque se basa en el número 10. En decimal hay diez símbolos (0 a 9), pero fíjate en esto: no hay un símbolo para el 10 son en realidad dos símbolos juntos, un 1 y un 0 Contamos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 entonces decimos "me he quedado sin símbolos, así que empiezo otra vez con 0, pero primero voy a añadir 1 a la izquierda ‖. 0 10 20
1 11 21
2 12 22
3 13 23
4 14 24
5 15 25
6 16 26
7 17 27
8 18 28
9 19 29
NUMEROS BINARIOS El sistema binario, en matemáticas e informática, es un sistema de numeración en el que los números se representan utilizando solamente las cifras cero y uno ( 0 y 1). Es el que se utiliza en las computadoras, pues trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo que su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido 1, apagado 0 ). ). La palabra binario viene de "bi-" que significa dos, es decir, son en "base 2" en lugar de "base 10". Empiezas contando 0, después 1, ¡ya se te acabaron los dígitos! Así que vuelves al 0, pero aumentas en 1 el número de la izquierda. Un dígito binario por sí solo (como "0" o "1") se llama un "bit". Por ejemplo 11010 tiene cinco bits de longitud. Así mismo, para mostrar que un número es binario , ponemos un pequeño 2 detrás: 1012
Construcción de una Tabla de Números Binarios 0
Iniciamos en la posición de la unidad con el número cero
1
Continuamos en la posición de la unidad con el número 1 No hay "2" en binario, así que volvemos al 0 en la posición de la l a unidad y Sumamos 1 a la posición de la decena Volvemos al 1 en la posición de la unidad y Sumamos 1 posición de la decena (Se suma 1, hasta 2 posiciones de la decena, luego se vuelve a 0)
10 11 100
Volvemos al 0 en la unidad, Cambiamos a 0 en la decena Sumamos 1 a la centena
101
Volvemos al 1 en la posición de la unidad Continuamos en 0 en la posición de la decena sumamos 1 a la centena
110
Volvemos a 0 en la posición de la unidad Cambiamos a 1 en la posición de la decena Continuamos en 1 en la centena
111
Volvemos a 1 en la posición de la unidad Continuamos en 1 en la posición de la decena Continuamos en 1 en la centena (Se suma 1, hasta 2 posiciones de la decena, luego se vuelve a 0)
1000
Tabla de Números Decimales a Binarios DECIMAL 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
BINARIO 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 10001
CONVERSIÓN DE NUMEROS ENTEROS DECIMALES (BASE 10) A BINARIO (Base 2) Por el Método de la División Consiste en dividir el número del sistema decimal entre 2, cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2, y así sucesivamente. Ordenados los restos, del último al primero, éste será el número binario que buscamos. Ejemplo: Transformar el número decimal 100 en binario.
Por el Método de Factorización Este método consiste también en divisiones sucesivas entre 2. Para aplicarlo será necesario seguir los siguientes pasos: 1. Determinar si el número decimal es par o impar. a. Si el número es par se coloca un cero en la columna de la derecha. b. Si el número es impar se coloca un 1 en la columna de la derecha. 2. Se resta al número decimal el 0 ó 1 de la columna de la derecha 3. Se divide el número decimal entre 2. 4. Por último sólo nos queda tomar el último resultado de la columna izquierda (que siempre será 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los dígitos de abajo a arriba. Ejemplo: 100 0 → Como es un número par se coloca cero, se resta y se divide entre 2 50 0 → Como es un número par se coloca cero, se resta y se divide entre 2 25 1 → Como es un número impar se coloca uno y se resta → 25 – 1 = 24 luego se divide entre 2 12 0 → Como es un número par se coloca cero, se resta y se divide entre 2 6 0 → Como es un número par se coloca cero, se resta y se divide entre 2 3 1 → Como es un número impar se coloca uno y se resta → 3 – 1 = 2 luego se divide entre 2 1 1 Resultado: (100)10 = (1100100)2
Por el Método de Distribución Consiste en distribuir los unos necesarios entre las potencias sucesivas de 2 de modo que su suma resulte ser el número decimal a convertir. Recordando Potenciación
20 21 22 23
Todo número elevado a la cero es igual a 1 Es igual a 1 Es igual a 2 x 2 = 4 Es igual a 2 x 2 x 2 = 8
24 Es igual a 2 x 2 x 2 x 2 = 16 25 Es igual a 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 26 Es igual a 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64 27 Es igual a 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128
De este procedimiento se desprende la siguiente tabla. 20 2 22 2 24
= = = = =
1 2 4 8 16
25 = 2 = 27 = 2 = 29 =
210 = 2 = 212 = 2 = 214 =
32 64 128 256 512
1.024 2.048 4.096 8.192 16.384
215 = 2 = 217 = 2 = 219 =
32.768 65.536 131.072 262.144 524.288
… Y así sucesivamente
Para aplicar este método es necesario reconocer en que potencia se encuentra el número decimal que se desea llevar a binario. Por ejemplo, sea el número 151, para llegar a él se necesitarán las 8 primeras potencias de 2, ya que la siguiente, 28 = 256, es superior al número 151, por lo tanto, 2 8 no nos sirve y no lo tomamos en cuenta. 20 2 22 2
= = = =
1 2 4 8
24 2 26 2
= = = =
16 32 64 128
Es necesario encender (colocando 1) las potencias adecuadas que nos permitirán llegar al número decimal 151, para ello siga los siguientes pasos: 1. Se comienza poniendo un 1 en la última potencia para encenderlo, que en nuestro ejemplo es 128. 2. Aún faltan 23 para llegar al 151, porque 151 - 128 = 23 3. Este valor se conseguirá distribuyendo unos entre las potencias cuya suma dé el resultado buscado. 4. Colocamos 1 en 24 = 16, y que es el que más se acerca a 23 y restamos 23 – 16 = 7. Lo que significa que aun faltan 7 para llegar a 151. 5. Encendemos 22, 21 y 20 y con ello conseguimos las potencias que nos faltan para llegar a 151. 6. Ponemos ceros en el resto de las potencias. Ejemplo:
20 = 1 2 =2 22 = 4 2 =8 2 = 16 2 = 32 26 = 64 2 = 128
1 1 1 0 1 0 0 1
Resultado: 128 + 16 + 4 + 2 + 1 = (151) 10 = (10010111)2
CONVERSIÓN DE BINARIO A DECIMAL Ejemplo 1: ¿Cuánto es 11012 en decimal? Se inicia de derecha a izquierda, desde la posición de la unidad usando la potenciación respectiva para cada caso. Tal como se muestra a continuación: 1. La posición correspondiente a la unidad se multiplica por 2 0 = 1, lo que es igual a 1 * 1 2. La posición correspondiente a la decena se multiplica por 21= 2, lo que es igual a 2 * 0 3. La posición correspondiente a la centena se multiplica por 2 2, lo que es igual a 2 × 2 = 4 4. La posición correspondiente a la unidad de mil se multiplica por 23, lo que es igual a 2×2×2 = 8 5. Finalmente: 1111 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 en decimal 1 2 =8 1*23 1*8 8
1 2 =4 1*22 1*4 4
0 2 =2 0 * 21 0*2 0
1 2 =1 1 * 20 1*1 1 13
Resultado: (1101)2 = (13)10
NUMEROS BINARIOS CON PUNTO DECIMAL
Ejemplo 1: ¿Cuánto es (1,1)2 a decimal? El "1" de la izquierda está en la posición de las unidades, así que vale 1. El "1" de la derecha está en la posición de las "mitades o puntos decimales", así que vale 1×(1/2) Por tanto, 1,1 es igual a "1 y 1 medio" = 1,5 en decimal Resultado: (1,1)2 = (1,5)10
ENTERO DECIMAL 1 1 2 =1 ½ 1 *2 1*½ 1*1 ½ 1 0,5 1,5
Ejemplo 2: ¿Cuánto es 10,112 en decimal? ENTERO
1 2 =2 1*2 1*2 2
0 2 =1 0*2 0*1 0
DECIMAL
1 ½ 1*½ ½ 0,5
1 ¼ 1*¼ ¼ 0,25 2,75
Resultado: (10,11)2 = (2,75)10
SUMA DE NUMEROS BINARIOS Para realizar una suma de dos números binarios es necesario tomar en consideración que se trata de un procedimiento similar a la suma decimal, excepto que se manejan sólo dos dígitos (0 y 1).
0+0=0 0+1=1 1+0=1 1 + 1 = 0 al sumar 1+1 siempre se acarrea 1 a la siguiente operación (acarreo es igual a llevar un numero).
En el siguiente ejemplo se muestra la suma consecutiva de números binarios:
Suma De 2 Números Binarios:
Sean los números binarios 00102 y 01102 1. De la misma forma que hacemos cuando sumamos números del sistema decimal, esta operación matemática la comenzamos a realizar de derecha a izquierda, comenzando por los últimos dígitos de ambos sumandos, como en el siguiente ejemplo:
2. En la tabla de suma de números binarios podemos comprobar que 0 + 0 = 0 3. Se suman los siguientes dígitos 1 + 1 = 10 (según la tabla), se escribe el ―0‖ y se acarrea o lleva un ―1‖.
4. Se suman los siguientes dígitos 1 + = 1 de la tercera columna y al resultado se le suma el valor ―1‖, así, tendremos que sumar 1 + 1 = 10. De nuevo acarreamos o llevamos un ―1‖, que tendremos que pasar a la cuarta
posición del sumando.
5. El valor ―1‖ que acarreamos lo sumamos al dígito ―0‖ del sumando de abajo. De acuerdo con la tabla tenemos que 1 + 0 = 1. Luego, ese resultado se suma con el digito ―0‖, así tenemos que: 1 + 0 = 1
6. El resultado final de la suma de los dos números binarios será: 1 0 0 0
EJERCICIOS PROPUESTOS RESUELTOS CONVERSION DE BASE 10 A BASE 2 1. Dados los números 30, 35 y 22 en sistema decimal, efectuar la suma y expresar el resultado en el sistema de numeración binaria a. Conversión de 30 a binario R: 30 en el sistema decimal equivale a 11110 en el sistema binario b. Conversión de 35 a binario R: 35 en el sistema decimal equivale a 100011 en el sistema binario c. Conversión de 22 a binario R: 22 en el sistema decimal equivale a 10110 en el sistema binario d. Efectuar la suma de los números binarios obtenidos R: 8710 = 10101112
2. Sumar los números decimales 100 y 51, expresando la operación y el resultado en números binarios a. Conversión de 100 a binario R: 100 en el sistema decimal equivale a 1100100 en el sistema binario b. Conversión de 51 a binario R: 51 en el sistema decimal equivale a 110011 en el sistema binario c. Efectuar la suma de los números binarios obtenidos R: 15110 = 100101112 3. Teniendo los valores 42, 6 y 8 en sistema decimal, transformarlos y expresarlos en números binarios a. Conversión de 42 a binario R: 42 en el sistema decimal equivale a 101010 en el sistema binario b. Conversión de 6 a binario R: 6 en el sistema decimal equivale a 110 en el sistema binario c. Conversión de 8 a binario R: 8 en el sistema decimal equivale a 1000 en el sistema binario d. Suma de los números binarios obtenidos 5610 = 1110002 4. Sumar 4 + 5 + 10. a. Conversión de 4 a binario. R: 4 en el sistema decimal equivale a 100 en el sistema binario. b. Conversión de 5 a binario. R: 5 en el sistema decimal equivale a 101 en el sistema binario. c. Conversión de 10 a binario. R: 10 en el sistema decimal equivale a 1010 en el sistema binario. d. Efectuar la suma de los números binarios obtenidos. R: 1910 = 100112 5. Sumar 40 + 91. a. Conversión de 40 a binario. Entonces 40 en el sistema decimal equivale a 101000 en el sistema binario. b. Conversión de 91 a binario. Entonces 91 en el sistema decimal equivale a 1011011 en el sistema binario. c. Efectuar la suma de los números binarios obtenidos. d. 13110 = 100000112
CONVERSIÓN DE BASE 2 A BASE 10 1. Convertir el número binario 11012 a Base 10 R: 1310 2. Convertir el número binario 111112 a Base 10 R: 3110 3. Convertir el número binario 1010102 a Base 10 R: 4210 4. Convertir el número binario 101111012 a Base 10 R: 18910
RESTA DE NUMEROS BINARIOS La técnica de la resta en binario es, nuevamente, igual que la misma operación en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria, que es más sencilla
Reglas de la Resta 0 – 0 = 0 1 – 0 = 1 1 – 1 = 0 0 – 1 = Regla de excepción (se pide uno prestado y el minuendo queda en 10 2 = 210)
Restas Sucesivas: 1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1
1
-
Restas Llevando. Método 1, Pidiendo Prestado Ejemplo 1: (10)2 – (1)2 1
0 1
-
1. La resta 0 – 1 no es posible realizarla, por lo tanto, la unidad pide 1 prestado a la decena. En este caso, la operación en la columna de las unidades se resta 10 – 1 = 1 y queda de la siguiente manera: 0
10
1
0 1 1
-
2. Finalmente, la columna de las decenas queda en 0, ya que esa columna ya prestó la única unidad que tenía disponible y la operación queda de la siguiente manera 0
10
1
0 1 1
0
-
Ejemplo 2: (100)2 – (1)2 1
0
0 1
-
1. La resta 0 – 1 no es posible realizarla, por lo tanto, la unidad pide 1 prestado a la decena. Pero la decena no tiene, así que pide 1 prestado a la centena. 2. Para realizar la operación en la columna de las unidades se resta 10 – 1 = 1 y queda de la siguiente manera: 0
10
10
1
0
0 1 1
-
3. Para la columna de las decenas es necesario recordar que 10 = 1 + 1, pero como esa decena le prestó un 1 a la unidad, el 10 se convierte en 1 y queda de la siguiente manera: 0
1+1
10
1
0
0 1 1
-
0
1
10
1
0
0 1 1
1
-
4. Finalmente, la columna de las centenas queda en 0, ya que esa columna ya prestó la única unidad que tenía disponible y la operación queda de la siguiente manera 0
1
10
1
0
0
1
0 1 1
1
0 1
-
Ejemplo 3: (100)2 – (11)2 0 1
-
1. La resta 0 – 1 no es posible realizarla, por lo tanto, la unidad pide 1 prestado a la decena. Pero la decena no tiene, así que pide 1 prestado a la centena. 2. Para realizar la operación en la columna de las unidades se resta 10 – 1 = 1 y queda de la siguiente manera: 0
10
10
1
0 1
0 1 1
-
3. Para la columna de las decenas es necesario recordar que 10 = 1 + 1, pero como esa decena le prestó un 1 a la unidad, el 10 se convierte en 1 y queda de la siguiente manera: 0
1+1
10
1
0 1
0 1 1
-
0
1
10
1
0 1 0
0 1 1
-
4. Finalmente, la columna de las centenas queda en 0, ya que esa columna ya prestó la única unidad que tenía disponible y la operación queda de la siguiente manera 0
1
10
1
0 1 0
0 1 1
0
-
Restas Llevando. Método 2, Igualando a 1 Ejemplo 1: (10)2 – (1)2 1
0 1
-
1. En la columna de las unidades 0 – 1 no cabe, por lo que se agrega un 1 al 0 para formar un 10 y simultáneamente se suma un 1 al sustraendo, quedando la operación de la siguiente manera, obsérvese que los números agregados se presentan en color rojo. 1 1
10 1
2. Ahora sí es posible realizar la operación y se resuelve de la siguiente manera: 1 1 0
Ejemplo 2: (10110)2 – (1100)2
1
0 1
10 1 1
1 1 0
1 0 1
0 0 0
-
0 – 1 no cabe, por lo que se agrega un 1 al 0 para formar un 10 y simultáneamente se suma un 1 al sustraendo.
10 binario es igual a 2 decimal, por lo que se resta 2 - 1 = 1 1 1 0
10 1 1
1 1 0
1 0 1
0 0 0
-
Ejemplo 3: (11011)2 – (1101)2
Ejemplo 4: (10001)2 – (1010)2 1. Resolvemos la operación de la columna de la unidad 1 – 0 = 1 2. Agregamos un 1 en la columna de la decena al lado del minuendo para que el 0 se convierta en 10 3. Sumamos 1 en el sustraendo de la centena, quedando de la siguiente manera: 1
0 1
0 0
0 1
1 0 1
1
0 1
0 1+0
10 1
1 0 1
4. Resolviendo lo anterior nos queda: 1
0 1+1
10 1+0
10 1 1
1 0 1
1
0 10 1+1 1+0 1
10 1 1
1 0 1
5. Luego aplicamos el mismo procedimiento para la unidad de mil, agregamos un 1 a la unidad de mil y sumamos 1 en el sustraendo, quedando de la siguiente manera. 1 1
10 10 1+1 1+0 1
10 1 1
1 0 1
6. Recordamos que 1 + 1 es 10, así que la columna de la unidad de mil quedaría 10 – 10 = 0, como se muestra a continuación: 1 10 10 10 1 1 1+1 1+0 1 0 0 1 1 1 7. Finalmente se resta la columna de la decena de mil, quedando la operación de la siguiente manera: 1 1 0
10 10 1+1 1+0 0 1
10 1 1
1 0 1
EJERCICIOS RESUELTOS DE SUSTRACCION DE NUMEROS BINARIOS A. B. C. D.
111101001 – 101101101 = 001111100 1011011 – 0101110 = 0101101 100111 – 10111 = 10000 110100 – 10101 = 11111
MULTIPLICACIÓN DE NUMEROS BINARIOS Para efectuar una multiplicación binaria se tiene que tener en cuenta la siguiente tabla:
Ejemplo: Para realizar el producto de los números binarios 101012 y 1012 hay que realizar los siguientes cálculos:
DIVISIÓN DE NUMEROS BINARIOS En cuanto a las divisiones binarias , las reglas también son las mismas que en el Sistema Decimal, la diferencia es que a la hora de hacer las restas, dentro de la división, éstas deben ser realizadas en binario
Ejemplo: Para dividir 1100102 entre 102 los cálculos son:
Ejemplo: Dividir 100010010 (274) entre 1101 (13):
Escribir en Binario ¿Cómo representar con unos y ceros una letra o una palabra?. Parece un poco más complejo y, de alguna forma, así lo es. De hecho, para resolver este problema, no alcanza la matemática sino más bien empiezan a jugar un rol fundamental los estándares. La solución al problema de la representación de letras (y todo tipo de caracteres no numéricos) es la definición de uno (o más de uno) estándar en donde a cada caracter se le asigna un número (en decimal digamos) correspondiente. De esta forma matemáticamente no hay un problema; ya se sabe convertir un número decimal en binario. Por ejemplo se tienen los números decimales 0, 1, 2 y 3, con los cuales se puede armar la tabla con los correspondientes números en binario: Decimal Binario
0 00
1 01
2 10
3 11
Luego se le agregara a cada valor un caracter que se representara con ese valor, como por ejemplo: Decimal Binario Letras
0 00 a
1 01 b
2 10 c
3 11 d
De esta forma, ya se puede representar palabras simples ―uniendo‖ el valor de cada caracter y mostrándolo en
binario, por ejemplo:
Texto bebe beba beca
Decimal (1313)10 (1310)10 (1320)10
Binario (01110111)2 (01110100)2 (01111000)2
Existen, existen diferentes tablas de conversión de caracter a binario pero la más popular y antigua es la llamada ASCII (acrónimo inglés de American Standard Code for Information Interchange — Código Estadounidense Estándar para el Intercambio de Información ). Este es el estándar más usado para mantener la relación carácter-número y muchos personas la han uutilizado (posiblemente sin saberlo) cuando en los teclados antiguos, se tecleaba la tecla Alt conjuntamente con un numero para
generar algunos caracteres especiales. Por ejemplo, Alt+64 para hacer la arroba ( @). Es decir, la arroba se corresponde con el valor 64 en el código ASCII. En un principio, el ASCII estaba representado por 7 bits (un valor binario de 7 dígitos) por lo que se pueden representar 128 valores diferentes (el 1111111 en binario es dicho valor en decimal). Los primeros 32 valores se utilizan para caracteres de control como el salto de línea (enter) o el escape. Los siguientes 96 valores representan los caracteres imprimibles, ellos son los siguientes: ! ‖ # $ % & ‗ ( ) * +, -. / 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 :; < = > ?
@ A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z [ \ ] ^ _ `abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|}~ Años más tarde de la creación del código ASCII, se creó el ASCII extendido. Este agrega un bit más quedando cada valor de 8 bits (un uno o un cero más) y pudiendo formar ahora 256 caracteres. De esta forma, los primeros 128 valores coinciden con la tabla ASCII clásica y se agregan nuevos caracteres hasta el valor 240. Entre estos nuevos caracteres, se encuentran las vocales con acentos, las eñes (ñ - Ñ) y la arroba, entre otros.
EJERCICIOS Convertir los siguientes números al sistema binario
Convertir los siguientes números al sistema decimal
Convertir los siguientes números a letras y descifrar al mensaje
