Recibimos sabiduría, legaremos desarrollo
Grupo: 52T Profesor: Ing. José Antonio López Tello Ingeniería en Sistemas Computacionales
Cd. Lázaro Cárdenas, Mich. 17 de octubre de 2013
Introducción ............................................................... 2 .................................................................................................................................. ................................................................... 2 Números pseudoaleatorios ........................................................... ........................................................................................................ .............................................3 2.1 Métodos de generación de números pseudoaleatorios .....................................................3 2.2 Pruebas estadíscas estadíscas ............................................................... ............................................................................................................ .............................................6 2.2.1 De uniformidad.............................................................................................................6 2.2.2 De aleatoriedad ............................................................... 10 .......................................................................................................... ...........................................10 2.2.3 De independencia ........................................................... 12 ...................................................................................................... ...........................................12 Conclusión .................................................................. 26 ................................................................................................................................... ................................................................. Referencias Referencias bibliográcas .................................................................. 27 ............................................................................................................ ..........................................27
En este trabajo de invesgación veremos los diferentes métodos de generación de números pseudoaleatorios así como las diferentes pruebas estadíscas que se les aplican para vericar aspectos de la calidad de los números pseudoaleatorios. Los números pseudoaleatorios son muy ulizados en simulación ya que con ellos se da la necesidad de generar números aleatorios en modelos de simulación para así probar su funcionamiento.
Métodos Manuales: son los métodos más simples y lentos, ejemplo de estos métodos
son lanzamientos de monedas, dados, cartas y ruletas. Los números producidos por estos métodos cumplen las condiciones estadíscas mencionadas anteriormente, pero es imposible reproducir una secuencia generadas por estos métodos. Tablas de números aleatorios: estos números se pueden generar por medio de una
hoja de cálculo o por cualquier generador de cualquier lenguaje de programación razón por la cual su comportamiento es totalmente determinísco. Mediante el computador digital: existen tres métodos para producir
números
aleatorios mediante un computador: •
Provisión externa.
•
Generación interna a través de un proceso sico aleatorio.
•
Generación por medio de una regla de recurrencia.
Métodos aritmécos para generar números pseudoaleatorios Métodos de Cuadrados Medios: el procedimiento de obtención de
números
pseudoaleatorios con este po de generador es el siguiente: •
Se dene una semilla.
•
Se eleva la semilla al cuadrado.
•
Dependiendo de la candad de dígitos que se desea tenga el número pseudoaleatorio, se toman de la parte central del número resultante en el paso anterior el número de dígitos requeridos. Si no es posible determinar la parte central, se completa el número agregando ceros al principio o al nal.
Debe tenerse en cuenta que se desean números pseudoaleatorios entre 0 y 1, en consecuencia el resultado se debe normalizar, es decir, si los números son de dos dígitos se normaliza dividiendo por 100, si es de tres sucesivamente.
dígitos por mil y así
Método de Producto medio: este método es un poco similar al anterior pero se debe
comenzar con dos semillas cada una con k dígitos, el número resultante se toma como las cifras centrales del producto de los dos números anteriores. Por ejemplo, tomando como semillas a X0 =13 y X1 =15 el método sería el siguiente: X2 = (13*15)= 0195 = 19, luego R2 =19 / 100 = 0.19. X3 = (15*19) = 0285 = 28, luego R3 = 28 / 100 = 0.28. X4 = (19*28) = 0532 = 53, luego R4=53 / 100 = 0.53.
Método del producto medio modicado :
consiste en usar una constante
mulplicava en lugar de una variable. Es decir Xn+1 = (K*Xn). Debe notarse que los métodos anteriores enen periodos relavamente cortos, los cuales son afectados grandemente por los valores iniciales que se escojan, además son
estadíscamente
insasfactorios. También debe tenerse en cuenta que un generador con un periodo corto no sirve para hacer un número considerado de ensayos de simulación.
Métodos congruenciales Método Congruencial Adivo: calcula una sucesión de números
pseudoaleatorios
mediante la relación Xn+1= Xn +Xn -k (mod M). Para usar este método se necesitan k valores iniciales, siendo k entero. Las propiedades estadíscas de la secuencia enden a mejorarse a medida que k se incrementa. Este es el único método que produce periodos mayores que M. Método Congruencial Mulplicavo: calcula una sucesión Xn de enteros no negavos,
cada uno de los cuales es menor que M mediante la relación Xn+1= a.Xn (mod M). Es un caso especial de la relación de congruencia en que c=0, este método se comporta de manera sasfactoria estadíscamente, es decir, los números generados por medio de este método están unifórmente distribuidos, y
no están correlacionados. Este
método ene un periodo máximo menor que M, pero se pueden imponer condiciones en a y X0 de tal forma que se obtenga el periodo máximo. Desde el punto de vista computacional es el más rápido de todos.
Método Congruencial Mixto o Lineal: los generadores congruenciales lineales generan
una secuencia de números pseudoaleatorios en la cual el
próximo número
pseudoaleatorio es determinado a parr del úlmo número generado, es decir, el número pseudoaleatorio Xn+1 es derivado a parr del número pseudoaleatorio Xn La relación de recurrencia para el generador congruencial mixto es Xn+1 =(a Xn+c) mod m, en donde •
X0 = es la semilla
•
a =el mulplicador
•
c = constante adiva
•
m = el modulo (m > X0, a,c)
•
X0, a, c >0
Esta relación de recurrencia nos dice que Xn+1 es el residuo de dividir a Xn+c entre el modulo. Lo anterior signica que los valores posibles de Xn+1 son 0,1,2,3 ....m -1, es decir, m representa el número posible de valores diferentes que pueden ser generados.
Las dos propiedades más importantes esperadas en los números aleatorios son uniformidad e independencia. La prueba de uniformidad puede ser realizada usando las pruebas de ajuste de bondad disponibles. Por ejemplo, un número estadísco suciente de números aleatorios pueden ser usados para vericar la distribución de los números contra la distribución uniforme teórica usando ya sea el método Chi -Cuadrada o el método Kolmogorov-Smirnov (KS) para números aleatorios. Este po de prueba es denominada "Prueba de frecuencia" Una prueba básica que siempre será desarrollada para validar un nuevo generador es la prueba de uniformidad. Dos métodos de pruebas disponibles. Estas son las pruebas Kolmogorov-Smirnov y la prueba Chi-Cuadrada Ambas de estas pruebas miden el grado de ajuste entre la distribución de una muestra de números aleatorios generados y y la distribución uniforme teórica. Ambas de estas pruebas están basadas en la Hipótesis Nula de que no existe diferencia entre la distribución de la muestra y la distribución teórica. La prueba de Kolmogorov-Smirnov
La
prueba
de Kolmogórov-Smirnov (también
prueba K-S)
es
una prueba no
paramétrica que se uliza para determinar la bondad de ajuste de distribuciones de probabilidad entre sí. Conviene tener en cuenta que la prueba Kolmogórov-Smirnov es más sensible a los valores cercanos a la mediana que a los extremos de la distribución. La prueba de Anderson -Darling proporciona igual sensibilidad con valores extremos. Procedimiento:
1. Generar una muestra de números aleatorios uniformes de tamaño N. 2. Ordenar dichos números en orden ascendente. 3. Calcular la distribución acumulada de los números generados con la siguiente expresión
Donde i es la posición que ocupa el número aleatorio Xi en el vector ordenado obtenido en el paso 2. 4. Calcular el estado de prueba Kolmogorov -Smirnov del modo siguiente Dn = máx | F n (Xi) – Xi | para toda Xi
5. Si Dn es menor d alfa,n, entonces no se puede rechazar la hipótesis de que los números generados provienen de una distribución uniforme. La distribución de D n ha sido tabulada como una función de n y alfa para cuando F n (x) = F 0 (x). Ejemplo: Efectuar la prueba de Kolmogorov – Smirnov a la siguiente muestra de números aleatorios uniformes. 0.15
0.31
0.81
0.48
0.01
0.60
0.26
0.34
0.70
0.31
0.07
0.06
0.33
0.49
0.77
0.04
0.43
0.92
0.25
0.83
0.68
0.97
0.11
0.00
0.18
0.11
0.03
0.59
0.25
0.55
Sustuyendo los valores en las fórmulas correspondientes se ene que: i
RNDi
F(RNDi)
RNDi- F (RNDi)
1
0.00
0.03
0.03
2
0.01
0.07
0.06
3
0.03
0.10
0.07
4
0.04
0.13
0.09
5
0.06
0.17
0.11
6
0.07
0.20
0.13
7
0.11
0.23
0.12
8
0.11
0.27
0.16
9
0.15
0.30
0.15
10
0.18
0.33
0.15
11
0.25
0.36
0.11
12
0.25
0.40
0.15
13
0.26
0.43
0.17
14
0.31
0.47
0.16
15
0.33
0.50
0.17
16
0.34
0.53
0.19
17
0.34
0.57
0.23
18
0.43
0.60
0.17
19
0.48
0.63
0.15
20
0.49
0.67
0.18
21
0.55
0.70
0.15
22
0.59
0.73
0.14
23
0.60
0.77
0.17
24
0.68
0.80
0.12
25
0.70
0.83
0.13
26
0.77
0.87
0.1
27
0.81
0.90
0.09
28
0.83
0.93
0.1
29
0.92
0.97
0.05
30
0.97
1.00
0.03
Siguiendo con el paso 4 Dn = Max |RNDi – F (RNDi)| = 0.23
Comparamos el valor Dn (calculado) contra el valor en tablas de la distribución Kolmogorov-Smirnov con n = 30 y un nivel de signicancia alfa = 5%, el cual es d30.5% = 0.242. Como 0.23 es menor que 0.242, entonces, no se puede rechazar la uniformidad de los números aleatorios. Prueba Chi-Cuadrada
Esta prueba puede ulizarse incluso con datos medibles en una escala nominal. La hipótesis nula de la prueba Chi -cuadrado postula una distribución de probabilidad totalmente especicada como el modelo matemáco de la población que ha generado la muestra. Procedimiento
1. Generar la muestra de números aleatorios de tamaño N. 2. Subdividir el intervalo [0,1] en n subintervalos. 3. Para cada subintervalo contar la frecuencia observada F0 y calcular la frecuencia esperada FE de números aleatorios, la cual se obene dividiendo N/n. 4. Calcular el estadísco de prueba.
5. Comparar el valor calculado X02 contra el valor tabulado de la distribución X2, con (n-1) grados de libertad y una signicancia. Si X02 es menor que X2(n-1), entonces no se puede rechazar la uniformidad de los números aleatorios. Ejemplo
Realizar la prueba de bondad de ajuste Ji -cuadrada a la siguiente muestra de tamaño 30 de números aleatorios uniformes. 0.15
0.31
0.81
0.48
0.01
0.60
0.26
0.34
0.70
0.31
0.07
0.06
0.33
0.49
0.77
0.04
0.43
0.92
0.25
0.83
0.68
0.97
0.11
0.00
0.18
0.11
0.03
0.59
0.25
0.55
2
INTERVALO
FE
FO
(FE-FO) /F E
0.00 - 0.20
6
10
2.67
0.21 - 0.40
6
7
0.17
0.41 - 0.60
6
6
0.00
0.61 - 0.80
6
3
1.50
0.81 - 1.00
6
4
0.67 X 0=5.01
Sea alfa= 5%. Tenemos (5 -1) grados de libertad, es decir V=4. El valor en tablas de la distribución Ji cuadrada es: X24.5% = 9.49 Como X02 es menor que X24.5% es decir; 5.01 es menor que 9.49. Entonces no se puede rechazar la uniformidad de los números aleatorios.
Prueba de corridas por arriba y debajo de la media
El método llamado prueba de corridas por arriba y abajo de la media consiste en lo siguiente:
Denotaremos con un número (1) a aquel número que se encuentre por debajo de la media.
Denotaremos con un número (0) a aquel número que se encuentre por arriba de la media.
Este procedimiento consiste en determinar una secuencia de unos y ceros de acuerdo a la comparación de cada número que cumpla con la condición de ser mayor o igual a 0.5 (en el caso de los ceros) o ser menor a 0.5 (en el caso de los unos). Procedimiento
Generar la muestra de tamaño N de números aleatorios. Con base en esta muestra, obtener una nueva sucesión binaria, según el criterio siguiente: Si rj es menor o igual a 0.50 entonces asignarle a rj el símbolo 0. Si rj es mayor a 0.50 entonces asignarle a rj el símbolo 1. La frecuencia esperada para cada longitud de corrida i, es:
Ejemplo
Dada la siguiente muestra de tamaño 30 de números aleatorios, aplicar la prueba de corridas, para la independencia 0.15
0.31
0.81
0.48
0.01
0.60
0.26
0.34
0.70
0.31
0.07
0.06
0.33
0.49
0.77
0.04
0.43
0.92
0.25
0.83
0.68
0.97
0.11
0.00
0.18
0.11
0.03
0.59
0.25
0.55
Comparando los números aleatorios según el criterio establecido, se obene la siguiente sucesión binaria. Leyendo de izquierda a derecha se agrupan los símbolos del mismo po para formar las corridas. 0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
En la siguiente tabla se resume la información necesaria para el cálculo de la Ji cuadrada.
Longitud
FE
FO
(FE-FO)2/FE
1
8.000
9
0.125
2
3.875
3
0.197
3
1.875
2
0.008
4
0.906
1
0.010
5
0.438
1
0.721
de corrida i
Como para las longitudes de corrida i = 2, 3, 4, 5; las frecuencias observadas son menores o igual a cinco, agrupamos estas longitudes de corridas en una sola longitud de corrida ? 2. i
FE
FO
(FE-FO)2/FE
1
8
9
0.125
>=2
7.04
7
0.936 2
X 0 = 1.061
El valor en tablas de X21.5%= 3.84; entonces no se puede rechazar la independencia de los números aleatorios.
Prueba de autocorrelación
Correlación es la relación recíproca entre dos o más cosas (elementos). A veces un grupo de números generados pueden parecer aleatorios, pero existe una relación entre cada cierto número de ellos a parr de alguno especíco. Amplitud de autocorrelación: Es la distancia que existe entre los números de la lista que ene la relación entre sí. Se da cada n -ésimo número aleatorio e inicia en el elemento i. Esta prueba se aplica con la suposición de los números aleatorios ene una distribución uniforme e independiente sobre el intervalo de 1 a 0.
Conceptos y parámetros que usamos en autocorrelación Para analizar la correlación general para todos los pares sucesivos de números aleatorios se uliza la estadísca: Densidad de probabilidad
Dónde: N es el total de números en toda la serie; Tamaño de la muestra. i es el primer número donde empieza la amplitud de autocorrelación. m es la amplitud de la autocorrelación . M es el entero mayor tal que i+(M+1)*m
Cumpliéndose la condición: i + ( M + 1 ) m < M Desviación estándar de la autocorrelación
(Desviación estándar de la densidad de probabilidad.) La estadísca para determinar la signicancia de la autocorrelación para la secuencia propuesta de M+1 números es:
Z signicancia de la autocorrelación que ene una distribución Normal, con media cero
y una varianza de uno, bajo la suposición de independencia. Nivel de signicancia Si se dene el nivel de signicancia por medio de α y Z
1 - α /2 el
valor de Z hace que:
Se uliza (α / 2 puesto que se va a tomar en cuenta ambos lados del área bajo la curva)
Para determinar la autocorrelación se establecen las siguientes Hipótesis; Hipótesis Nula Los números aleatorios están correlacionados (No son Aleatorios) Hipótesis Alternava Los números aleatorios No están correlacionados (Sí son aleatorios ) Criterio de rechazo | Z 0| > Z1-α/2 Entonces, si: |Z| >Z 1- α/2 a se rechaza la hipótesis de aleatoriedad.
Y si |Z| ≤ Z 1- α/2 Se acepta la hipótesis de aleatoriedad. Ejemplo
Tenemos la Siguiente serie de Números: 0.20,0.96,0.78,0.18,0.09,0.80,0.02,0.53,0.05,0.30,0.70,0.59,0.98,0.03,0.37,0.86,0.73,0. 06,0.53,0.25,0.67,0.78,0.33,0.97,0.63,0.25,0.33,0.72,0.91,0.00,0.24,0.64,0.90,0.08,0.33 ,0.94,0.33,0.16,0.45,0.70,0.18,0.07 A primera vista, estos números pueden parecer aleatorios. No obstante, al examinar de cerca estos números se ve que existe una relación clara entre cada sexto número, a parr del segundo. Cada uno de estos números varía en magnitud sucesivamente de muy grande a muy pequeño. 0.20,0.96,0.78,0.18,0.09,0.80,0.02,0.53,0.05,0.30,0.70,0.59,0.98,0.90,0.03,0.37,0.86,0. 73,0.06,0.53,0.25,0.67,0.78,0.33,0.97,0.63,0.25,0.33,0.72,0.91,0.00,0.24,0.64,0.90,0.0 8,0.33,0.94,0.33,0.16,0.45,0.7 0,0.18,0.07.
Prueba de huecos
La prueba de huecos (GAP) es usada para asegurar que la recurrencia de cada dígito parcular en un ujo de números suceda con un intervalo aleatorio. Se pueden usar dos pruebas para comparar estos intervalos con la longitud esperada de los huecos: La 2
prueba Chi-Cuadrada (X ) y la prueba Kolmogorov – Smirnov (KS) es entonces usada para comparar Para determinar si los números aleatorios generados cumplen con las propiedades especicadas (uniformidad e independencia) se tendrán las hipótesis siguientes:
La prueba de huecos se uliza para determinar la signicancia de los intervalos entre la repeción de cierto dígito. Si el dígito k va seguido por x dígitos disntos de k, antes de
que vuelva a parecer k, se dice que existe un hueco de tamaño x. Por ejemplo:
Se puede tomar cualquier números aleatorio; en este caso se toma el número cero, el cual aparece 13 veces y por ende habrá 12 huecos. El primero de longitud 2, el segundo de 19, el tercero de 8, etc. Otro ejemplo tomamos el número cuatro, el cual aparece 15 veces y tendrá 14 huecos. El primero de longitud 16, el segundo de 12, el tercero de 5, etc. Para nes de esta prueba, nos interesa la frecuencia con la que se presentan los diversos huecos. Para una secuencia dada de dígitos, anotamos el número de veces que aparecen los huecos de longitudes 0, 1, 2,.... . Podemos aplicar este procedimiento a un dígito simple entre 0 y 1. Después de tomar nota de la frecuencia con que aparece cada hueco, comparemos la frecuencia acumulava relava (Sx) observada con la frecuencia acumulava teórica. Suponiendo que los dígitos están ordenados aleatoriamente, la distribución de frecuencias acumulavas relavas está dada por:
Y la distribución de frecuencias acumulavas teóricas está dada por:
La probabilidad de un hueco de una cierta longitud puede ser determinada por una prueba Bernoulli.
Si únicamente consideramos dígitos del 0 al 9, entonces;
Teóricamente la distribución de frecuencia para dígitos ordenados aleatoriamente está dada por;
Ejemplo Basándonos en la frecuencia con que se producen los huecos, determínese si se puede suponer que los dígitos están ordenados aleatoriamente. Sea el nivel de signicancia de α = 0.05.
El número de huecos registrados será la candad de números analizados menos el número de números aleatorios generados (en este caso son 10, puesto que cada dígito se debe presentar, por lo menos, una úlma vez). Total de huecos (T) = N – 10 donde N es el tamaño de la muestra (T) = 125 – 10 = 115. Después se verica cual fue la mayor longitud del hueco, y dependiendo de ésta usted elegirá cuantos intervalos requiere. Por ejemplo: si ene una longitud de hueco igual a 49 y desea 10 intervalos entonces el primer intervalo será de 0 – 4, el segundo de 5 – 9, el tercero de 10 – 14, etc. Si quisiera solo 5 intervalos entonces quedará el primero de 0 – 9, el segundo de 10 – 19, el tercero de 20 – 29, el cuarto de 30 – 39 y el quinto de 40 – 49. Para el ejemplo se ene que la mayor longitud de hueco es de 50 y se dividió en 17 intervalos. Enseguida se analizan cada uno de los números aleatorios generados para determinar su longitud de hueco y obtener la frecuencia en los intervalos generados. Por ejemplo: si tomamos el número aleatorio siete (7) su primera longitud de hueco es de 9; y caerá en el intervalo 9 – 11, entonces ese intervalo tendrá su primera frecuencia. Si el mismo número aleatorio u otro número cayeran en ese mismo intervalo entonces se sumaría la segunda frecuencia para este intervalo; y así sucesivamente para todos los intervalos. La suma de las frecuencias de todos los intervalos (en este ejemplo son 17) es igual a el total de huecos (T = 115).
Pasos a seguir en la prueba. Paso 1.
Especique la fdp para la distribución de frecuencia teórica dada por la ecuación (14) basado en el ancho del intervalo de clase seleccionado. Ecuación 14
Paso 2.
Arregle los huecos observados en una distribución acumulada con esas mismas clases. Paso 3.
Encuentre D, La máxima desviación entre F(x) y Sn(x) como en la ecuación
Paso 4.
Determine el valor críco Dα, de la tabla de Kolmogorov–Smirnov para el valor especíco de α y el tamaño de muestra N. Paso 5.
Si el valor calculado de D es mayor que el valor tabulado de Dα la hipótesis nula de independencia es rechazada. El valor exacto de Į puede ser encontrado usando la metodología descrita por Conmover [1980].
Resumimos la prueba en la tabla siguiente:
Para determinar la frecuencia acumulava relava se basa en la fórmula:
y así sucesivamente hasta acabar con los intervalos. Para determinar la frecuencia acumulava relava se basa en la fórmula:
Posteriormente se obene la diferencia máxima absoluta entre las dos frecuencias acumulavas D *
= 0.082. Esta diferencia se compara con la diferencia de
conabilidad. La diferencia de conabilidad está dada por la siguiente fórmula:
Donde el nivel de conabilidad es igual a 1 – nivel de signicancia (1 -.95)=0.05. Valor de la tabla con α 0.05 y N>35 (tamaño muestral 125) = 1.36 (apéndice de tablas)
Puesto que D * (0.082) < D
0.95 (0.127);
rechazamos la hipótesis de que los dígitos están
ordenados aleatoriamente. La prueba de póquer La prueba POKER se uliza para analizar la frecuencia con la que se repiten los dígitos en números aleatorios individuales. Para determinar si los números aleatorios generados cumplen con las propiedades especicadas (uniformidad e independencia) se tendrán las hipótesis siguientes:
Se uliza para analizar la frecuencia con la que se repiten los dígitos en números aleatorios individuales. Por ejemplo, si nos ocupamos de números aleatorios de cinco dígitos, nos interesara la frecuencia con que ocurre lo que sigue en los números individuales: 1.
Los cinco son diferentes.
2. Hay exactamente un par. 3. Dos pares diferentes. 4. Tres dígitos iguales. 5. Tres dígitos iguales y un par. 6. Cuatro dígitos iguales. 7. Cinco dígitos iguales. Por supuesto, el número de esas combinaciones que se pueden dar depende del número de dígitos que constuyen cada uno de los números aleatorios. Para aplicar la prueba del póquer:
a) Escogemos primeramente un nivel de signicancia, a, y enumeramos el grado de repeción de los dígitos. b) A connuación, calculamos la probabilidad de aparición de cada una de esas combinaciones. c) Luego, se examina la frecuencia con que se presenta cada combinación en la secuencia de números estudiados. d) Posteriormente, se puede comparar la frecuencia observada con que aparece cada combinación con la frecuencia esperada, mediante la prueba de la ji cuadrada. Para comprobar que los datos pertenecen a una distribución Uniforme, se debe de cumplir la condición de que X2 Calculada < x2 Į/1,g.l.. Donde x2 Į/2,g.l se obene de la tabla de la distribución Ji cuadrada, con un nivel de signicancia Į y y los grados de libertad g.l. = No. de parámetros de la distribución de probabilidad a probar menos l.(en nuestro caso estamos probando la uniformidad y la distribución uniforme no ene parámetros ).
Como ejemplo, supóngase que tenemos que aplicar la prueba de póquer a N números aleatorios de cinco dígitos. Calcularemos la probabilidad de aparición de cada una de esas combinaciones, bajo la suposición de que los dígitos se presentan de una manera completamente aleatoria.
Fórmulas que ya están establecidas estadíscamente:
Las probabilidades para cada una de las manos de póquer se muestran a connuación:
Para obtener el número de veces que se puede esperar cada una de esas combinaciones, se mulplica cada probabilidad por N. Por supuesto, el número de esas combinaciones que se pueden producir depende del número de dígitos que constuyen cada uno de los números aleatorios. Ejemplo
Tenemos que aplicar la prueba del póquer a n números aleatorios de cinco dígitos. Las combinaciones posibles que indican el grado de repeción de los dígitos en un número aleatorio dado se dieron antes. Calcularemos la probabilidad de aparición de cada una de esas combinaciones, bajo la suposición de que los dígitos se presentan de una manera completamente aleatoria. Números aleatorios:
Si analizamos el primer dígito 0.85881 conene una tercia de 8´s , el segundo dígito conene dos pares uno de 7´s y uno de 9´s, y así sucesivamente se analizan todos los números aleatorios y se cuancan las diferentes opciones en el juego de póquer agrupándolas para obtener la frecuencia esperada fe de cada uno de ellos. Para obtener el número de veces que se puede esperar cada una de esas combinaciones, se mulplica cada probabilidad por n.
Resultados del análisis del póquer:
Como la frecuencia esperada es menor de 5, se deben agrupar las las con las inmediatas superiores hasta que la suma se al menos 5. Así;
Como α=0.05 y numero de intervalos es igual a 3, la X
2
Tabla =X
2
0.05,2=5.99
(apéndice de
tablas), y entonces como 3.63 < 5.99 se acepta la hipótesis de que los números están
ordenados al azar.
Los resultados que se obtuvieron en la tabla fue de la siguiente forma: 4 dígitos disntos = .504 * 100 = 504 1 dígito par = .432 * 100 = 432 2 dígitos pares = .027 * 100 = 27 3 dígitos iguales = .037 * 100 = 37 Por lo tanto para sacar el resultado de la úlma columna se hace mediante la fórmula que se encuentra en la misma posición de la columna. Puesto que x² 0.95 (4) = 9.488 <22.8982, que por lo tanto no podemos rechazar la aseveración de que los dígitos al interior de los números aleatorios están ordenados al azar. Por lo tanto si se aprueba la hipótesis. Nota: este ejemplo fue creado con números aleatorios para cinco dígitos lo cual se puede realizar con números de cuatro dígitos, cinco dígitos, seis dígitos, siete dígitos, etc. Lo cual las formulas van a variar dependiendo de su tamaño de la longitud.
En simulación se da mucho la necesidad de generar números aleatorios pero para generarlos en la computadora se hace por medio de algoritmos denidos por esta razón ya no son números aleatorios ya que siguen un algoritmo para ser creados, a estos números se les denomina números pseudoaleatorios porque son casi aleatorios. A estos números se les pueden aplicar diferentes métodos para vericar varios aspectos de calidad ya que hay dos propiedades importantes esperadas en los números aleatorios la uniformidad e independencia. El método chi-cuadrada y el método Kolmogomorov-Smirnov (KS) son métodos ulizados para probar la uniformidad en números aleatorios.
1. hp://carlosmarquez.les.wordpress.com/2012/02/unidad-4-generacion-de-numerospseudoaleatorios1.pdf
2. hp://www.sites.upiicsa.ipn.mx/polilibros/portal/Polilibros/P_terminados/SimSist/doc /SIMULACI-N-131.htm
3. hp://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r92011.PDF
4. hp://es.wikipedia.org/wiki/Prueba_de_Kolmog%C3%B3rov-Smirnov
5. hp://www.ub.edu/aplica_infor/spss/cap5-2.htm
6. hp://www.slideshare.net/pakitove/prueba-de-corridas-arriba-y-abajo-de-la-media
