UNIPANAMERICANA DISTRIBUCIONES DISCRETAS Distribución Binomial 1. El último sondeo político nacional indica que la probabilidad de que estadounidenses elegidos al azar sean conservadores es de 0.55; de que sean liberales es de 0.30, y de que estén entre una y otra orientación es 0.15. Suponga que estas probabilidades son exactas y responda a las siguientes preguntas referidas a un grupo de 10 estadounidenses seleccionados de manera aleatoria. a) ¿Cuál es la probabilidad de que cuatro sean liberales? P=0.30 Q=0.70 N=10 P(k=4)=10C4 (0.30)^4(0.70) ^10=
b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno sea conservador? P=0.55 Q=0.45 N=10 P(k=0) 10C0 (0.55)^0(0.45) ^10-4= c) ¿Cuál es la probabilidad de que dos estén entre una y otra otr a orientación? P=0.15 Q=0.85 N=10 P(k=2) 10C2 (015)^2(0.85) ^10-2=
d) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos ocho sean liberales?
p(0,1,2,3,4,5,6,7)=
2. Harley Davidson, director de control de calidad de la compañía de automóviles Kyoto Motor, se encuentra realizando su revisión mensual de transmisiones automáticas. En el procedimiento, se retiran 10 transmisiones de la pila de componentes y se les revisa en busca de defectos de
fabricación. A lo largo del tiempo, sólo el 2% de las transmisiones tienen defectos (suponga que los defectos se presentan de manera independiente en diferentes transmisiones). a) ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra de Harley contenga más de dos transmisiones con defectos de fábrica? b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las transmisiones elegidas tenga defectos de fábrica? 3. Diane Bruns es la alcaldesa de una ciudad grande. Últimamente, se ha
estado preocupando acerca de la posibilidad de que grandes cantidades de personas que cobran el seguro de desempleo en realidad tengan un trabajo en secreto. Sus asistentes estiman que 40% de los beneficiarios del seguro de desempleo entra en esta categoría, pero la señora Bruns no está convencida. Le pide a uno de sus ayudantes que haga una investigación de 10 beneficiarios del seguro tomados al azar. a) Si los asistentes de la alcaldesa tienen razón, ¿cuál es la probabilidad de que los individuos investigados tengan un empleo? b) Si los asistentes de la alcaldesa están en lo correcto, ¿cuál es la probabilidad de que sólo tres de los individuos investigados tengan trabajo? 4. Un mes más tarde, la alcaldesa Bruns (del ejercicio anterior) toma la edición matutina del principal diario de la ciudad, el Sun-American, y lee la noticia sobre un fraude en los seguros de desempleo. En el artículo, el periódico afirma que, de cada 15 beneficiarios del seguro de desempleo, la probabilidad de que cuatro o más tengan en realidad un empleo es de 0.9095, y que el número esperado de beneficiarios con trabajo excede de siete. Usted es un asistente especial de la señora Bruns y debe responder a estas afirmaciones en una conferencia de prensa que se llevará a cabo esa misma tarde. Ella le pide a usted que encuentre la respuesta a las preguntas siguientes: a) ¿Son las afirmaciones del Sun-American congruentes entre sí? b) ¿La primera afirmación del periódico contradice la opinión de los asistentes de la alcaldesa? 5. En un estudio reciente acerca de cómo pasan los estadounidenses su tiempo libre se entrevistó a trabajadores con más 5 años en su empleo. Se calculó en 0.45 la probabilidad de que un empleado tuviera 2 semanas de vacaciones; en 0.10 que contara con 1 semana, y en 0.20 que disfrutara de 3 semanas o más. Suponga que se seleccionan 20 empleados al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad de que 8 empleados tengan 2 semanas de vacaciones? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo 1 trabajador tenga 1 semana de vacaciones? c) ¿Cuál es la probabilidad de que cuando mucho 2 trabajadores tengan 3 semanas o más de vacaciones? d) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 2 empleados tengan 1 semana de vacaciones? 6. Harry Ohme está a cargo de la sección de electrónica de una gran tienda departamental. Se ha dado cuenta de que la probabilidad de que un cliente que solamente se encuentre curioseando compre algo es de 0.3. Suponga que 15 clientes visitan la sección de electrónica cada hora. Utilice la tabla 3 del apéndice para responder a las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las personas que curiosea compre algo durante una hora dada? b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos cuatro personas que curiosean compren algo en una hora dada? c) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las personas que curiosean compre algo durante una hora dada? d) ¿Cuál es la probabilidad de que no más de cuatro personas que curiosean compren algo durante una hora dada?
Distribución de Poisson 1. La concertista de piano Donna Prima está muy molesta por el número de tosidos que se presentan en la audiencia justo antes que empiece a tocar. Durante su última gira, Donna estimó un promedio de ocho tosidos justo antes de empezar su concierto. La señora Prima le ha advertido a su director que si escucha más de cinco tosidos en el concierto de esa noche, se rehusará a tocar. ¿Cuál será la probabilidad de que la artista toque esa noche? 2. Guy Ford, supervisor de Producción de la planta de Charlottesville de la compañía Winstead, está preocupado por la habilidad de un empleado ya mayor para mantener el menor ritmo de trabajo. Además de los descansos diarios obligatorios, este empleado deja de trabajar durante periodos cortos un promedio de 4.1 veces por hora. El periodo de descanso que se toma es de 3 minutos cada vez. Ford ha decidido que si la probabilidad de que el descanso adicional, 12 minutos o más por hora, del empleado (es decir, además del obligatorio), es mayor que 0.5, entonces lo cambiará a una tarea diferente. ¿Deberá hacer esto? 3. En promedio, cinco pájaros chocan contra el monumento a Washington y mueren por este motivo cada semana. Bill Garcy, un oficial del Servicio de Parques Nacionales de Estados Unidos, ha solicitado que el Congreso estadounidense asigne fondos para adquirir equipo que aleje a los pájaros del monumento. Unsubcomité del Congreso le ha respondido que no pueden asignarle fondos para tal fin a menos que la probabilidad de que mueran más de tres pájaros cada semana sea mayor a 0.7. ¿Deben destinarse los fondos para espantar pájaros? 4. La compañía Southwestern Electronics ha diseñado una nueva calculadora de bolsillo con una serie de funciones que otras calculadoras todavía no tienen. El Departamento de Comercialización está planeando hacer una demostración de la calculadora a un grupo de clientes potenciales, pero está preocupado por algunos problemas iniciales: el 4% de las calculadoras nuevas produce ciertas incongruencias matemáticas. El vicepresidente de Comercialización planea seleccionar aleatoriamente un grupo de calculadoras para su demostración y está preocupado por la posibilidad de elegir una que empiece a funcionar mal. Tiene la creencia de que el hecho de que una calculadora funcione o no es un proceso de Bernoulli, y está convencido de que la probabilidad de que se presente un mal funcionamiento es en realidad de alrededor de 0.04. a) Suponiendo que el vicepresidente elija exactamente 50 calculadoras para ser utilizadas en la demostración y utilizando la distribución de Poisson como aproximación de la binomial, ¿cuál es la probabilidad de obtener al menos tres calculadoras que no funcionen bien? b) ¿Cuál es la probabilidad de no tener ninguna calculadora que funcione mal? El Centro Contencioso del Condado de Orange, en California, maneja varios tipos de litigios, pero casi todos ellos son de tipo conyugal. De hecho, el 96% de los pleitos que atiende el centro es de esta naturaleza. a) ¿Cuál es la probabilidad de que de 80 litigios atendidos por el centro, exactamente siete no sean de tipo conyugal? b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno sea de carácter no conyugal? 5.
La Oficina de Impresión y Grabado de Estados Unidos es la responsable de imprimir el papel moneda en ese país. El departamento tiene una sorprendente baja frecuencia de errores de impresión; sólo el 0.5% de los billetes presenta errores graves que no permiten su circulación. ¿Cuál es la probabilidad de que de un fajo de 1,000 billetes a) Ninguno presente errores graves? b) Diez 6.
presenten errores que no permitan su circulación? c) Quince presenten errores que no permitan su circulación?
