1. El comisionado de un municipio dice que 80% de la población de la ciudad está a favor de que la recolección de basura sea por contrato a una empresa privada (en contraste a la recolección por empleados del municipio). Para verificar la teoría de que la proporción de personas en la ciudad a favor de la recolección privada es .8, usted muestrea al azar 25 personas y encuentra que x, el número de personas que apoyan lo dicho por el comisionado, es 22. a. ¿Cuál es la probabilidad de observar al menos 22 que apoyen lo dicho por el comisionado si, en efecto, p = 0 .8? b. ¿Cuál es la probabilidad de que x sea exactamente igual a 22? c. Con base en los resultados del inciso a), ¿qué concluiría usted acerca de lo dicho que 80% de todas las personas de la ciudad está a favor de la recolección privada? Explique. 2. Un fabricante envía un artículo en lotes de 1200 elementos por lote. Antes de un envío, se seleccionan al azar 20 elementos de cada lote y se prueban. Si ninguno es defectuoso, el lote es enviado. Si uno o más son defectuosos, todos los artículos del lote se prueban. a. ¿Cuál es la distribución de probabilidad para x , el número de artículos defectuosos en la muestra de 20? b. ¿Qué distribución se puede usar para aproximar probabilidades para la variable aleatoria x del inciso a)? c. ¿Cuál es la probabilidad de que un lote sea enviado si contiene 10 artículos defectuosos? ¿20 defectuosos? ¿30 defectuosos? 3. Los paneles de control alambrados incorrectamente se instalaron por error en dos de cada ocho máquinasherramientas automáticas grandes. grandes. No es seguro saber saber cuál de las máquinas herramientas tienen tienen los paneles defectuosos y se selecciona al azar una muestra de cuatro herramientas para inspeccionarlas. ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra no incluya paneles defectuosos? ¿Ambos paneles defectuosos? 4. Según la Sociedad Protectora de Animales de Estados Unidos, hay aproximadamente 65 millones de perros con dueño en Estados Unidos y alrededor del 40% de todas las familias en Estados Unidos tienen al menos un perro. Suponga que la cifra del 40% es correcta y que 15 f amilias se seleccionan al azar para un estudio sobre propiedad de mascotas. a. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente ocho de las familias tenga al menos un perro? b. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos cuatro de las familias tenga al menos un perro? c. ¿Cuál es la probabilidad de que más de 10 familias tenga al menos un perro? 5. Un fabricante de generadores eléctricos compra motores de 1 hp y 2 ciclos, en lotes de 1000, a un proveedor. Entonces equipa cada uno de los generadores fabricados por su planta con uno de los motores. La historia muestra que la probabilidad de que cualquier motor del proveedor resulte no satisfactorio es 0,001. En un embarque de 1000 motores, ¿cuál es la probabilidad de que ninguno sea defectuoso? ¿Hay tres o más? ¿Hay cuatro? 6. Suponga que la cantidad máxima permisible de determinado tipo de bacteria en el agua es de 5 bacterias por ml. Si la cantidad media para el suministro suministro de agua de la ciudad es de dos y se prueba prueba una sola muestra, ¿es probable que la cantidad exceda la cantidad máxima permisible? Explique. 7. Una publicación especializada señala que aproximadamente 30% de todas las fallas de operación en las tuberías de plantas químicas son ocasionadas por errores del operador. a) ¿Cuál es la probabilidad de que de las siguientes 20 fallas en las tuberías al menos 10 se deban a un error del operador? b) ¿Cuál es la probabilidad de que no más de 4 de 20 fallas se deban a un error del operador? c) Suponga que, para una planta específica, de la muestra aleatoria de 20 de tales fallas exactamente 5 son errores de operación. ¿Considera que la cifra de 30 % anterior se aplique a esta planta? Comente su respuesta. 8. Si una bombilla fluorescente tiene una probabilidad de 0.9 de tener una vida útil de al menos 800 horas, calcule las probabilidades de que, de 20 bombillas fluorescentes, a) exactamente 18 tengan una vida útil de al menos 800 horas; b) al menos 15 tengan una vida útil de al menos 800 horas; c) al menos 2 no tengan una vida útil de al menos 800 horas. R: a) 0.2852; b) 0.9887; c) 0.6083
9. Una empresa grande tiene un sistema de inspección para los lotes de co mpresores pequeños que compra a los vendedores. Un lote típico contiene 15 compresores. En el sistema de inspección se selecciona una muestra aleatoria de 5 compresores para someterlos a prueba. Suponga que en el lote de 15 hay 2 defectuosos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra determinada haya un compresor defectuoso? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la inspección descubra los 2 compresores defectuosos? 10. Una empresa de manufactura utiliza un esquema de aceptación para los artículos de una línea de producción antes de que se embarquen. El plan tiene dos etapas. Se preparan cajas de 25 artículos para su embarque y se prueba una muestra de 3 en busca de defectuosos. Si se encuentra alguno defectuoso, se regresa toda la caja para verificar el 100% de ellos. Si no se encuentran artículos defectuosos, la caja se embarca. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se embarque una caja que contiene 3 defectuosos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que se regrese para su revisión una caja que contenga solo un artículo defectuoso? 11. Suponga que la empresa fabricante del ejercicio anterior decide cambiar su esquema de aceptación. Con el nuevo esquema un inspector toma un artículo al azar, lo inspecciona y después lo regresa a la caja; un segundo inspector hace lo mismo. Finalmente, un tercer inspector lleva a cabo el mismo procedimiento. Si cualquiera de los tres encuentra un artículo defectuoso, la caja no se embarca. Responda los incisos del ejercicio anterior con este nuevo plan. R: a) 0.6815; b) 0.1153. 12. Cierto cargamento viene con la garantía de que contiene no más de 15% de unidades defectuosas. Si la proporción de unidades defectuosas es mayor a 15%, aquél será regresado. Se extrae una muestra aleatoria de diez unidades. Sea X el número de unidades defectuosas en la muestra. a) Si, de hecho, 15 % de las unidades en el cargamento está defectuoso, ¿a qué es igual P( X>= 7)?, b) Con base en la respuesta del inciso (a), si 15% de las unidades del cargamento está defectuoso, ¿siete piezas defectuosas en una muestra de diez es un número inusualmente grande? c) Si se descubre que siete de las diez unidades de la muestra está defectuoso, ¿esto sería una evidencia de que se debe regresar el cargamento? Explique. d ) Si, de hecho, 15 % de las unidades en el cargamento está defectuoso, ¿a qué es igual P( X>= 2)? e) Con base en la respuesta al inciso (b), si 15% de las unidades del cargamento está efectuoso, ¿dos muestras defectuosas entre diez sería un número inusualmente grande? f ) Si se descubre que dos de las diez unidades de la muestra están defectuosas, ¿ello sería una evidencia de que se debe regresar el cargamento? Explique. R: a) 1,346x 10 -4, d) 0,4557
