APOSTILA DE MATEMÁTICA DISCRETA PROFESSOR DANIEL VIAIS NETO 1. LÓGICA FORMAL Proposição (ou declaração) é uma sentença que é verdadeira ou falsa. Exemplos: b) π ≤ 5 .
a) Paris fica na França.
c) Dante escreveu os Lusíadas.
d) x
= 2 é solução de x 2 = 4 .
Proposição composta é aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições. Conectivos são palavras que se usam para formar novas proposições a partir de outras. Exemplos: a) O número 6 é par e o número 8 é um cubo perfeito. b) O sorvete é gelado ou a pizza é quente. c) Se Jorge é engenheiro, então sabe matemática. d) O triângulo é equilátero equilátero se, e somente se , é retângulo. e) Não irei à igreja hoje.
Operações lógicas básicas. Expressão
Conjunção
Disjunção
Expressão Lógica Representação
A ∧ B
A ∨ B
AeB
A ou B
Condicional (implicação) A → B A implica B
Bicondicional (equivalência) A ↔ B A se, e só se B
Negação A' ,
¬ A ou
~ A
Não A
Observações: 1. A, B, K são usadas para representar proposições e, por isso, são chamadas letras de proposição . 2. ∧, ∨, →, ↔ são conectivos binários e ' (ou ¬ ) é um conectivo unário.
Tabela-verdade. A
V V F F
B
V F V F
A ∧ B
V F F F
A → B
A ↔ B
V V V F
V F V V
V F F V
A ∨ B
A'
F
V
Outros conectivos. A
B
A∨ B
A ↓ B
A ↑ B
V V F F
V F V F
F V V F
F F F V
F V V V
A tabela-verdade de uma proposição composta com n proposições simples contém 2 n linhas. 1
Expressões comuns em português associadas a diversos conectivos lógicos.
Expressão em Português
Conectivo Lógico
e; mas; também; além disso Ou Se A, então B. A implica B. A, logo B. A só se B; A somente se B. B segue de A. A é uma condição suficiente para B; basta A para B. B é uma condição necessária para A. A se e somente se B. A é uma condição necessária e suficiente para B. Não A É falso que A... Não é verdade que A...
Conjunção Disjunção Condicional
Bicondicional (equivalência) Negação
Expressão Lógica A ∧ B A ∨ B A → B
A ↔ B A'
Negação de proposições compostas.
Proposição
Negação Correta
Negação Incorreta
Vai chover amanhã.
É falso que vá chover amanhã. Não vai chover amanhã.
Pedro é alto e magro.
É falso que Pedro seja alto e magro. Pedro não é alto ou não é magro. Pedro é baixo ou gordo.
É falso que o rio seja raso ou esteja poluído. O rio é raso ou está poluído. O rio não é raso nem está poluído. O rio é fundo e não está poluído.
Pedro é baixo e gordo. Esta proposição é muito forte. Pedro não tem ambas as propriedades (ser alto e ser magro) mas ainda pode ter uma delas. O rio não é raso ou não está poluído. Esta é uma proposição muita fraca. O rio não ter nenhuma das duas propriedades, não deixa de ter apenas uma delas.
Uma cadeia que forma uma expressão válida é denominada uma fórmula bem formulada ou fbf .
Ordem de precedência dos conectivos lógicos. 1º. Para conectivos dentro de parênteses, efetua-se as expressões dentro dos parênteses mais internos. 2º. ~ 3º. ∧, ∨ 4º. → 5º. ↔ . Em uma fbf com diversos conectivos, o último a ser aplicado é o conectivo principal. Exemplo: Fazer a tabela-verdade para a fbf A ∨ B' → ( A ∨ B )' .
Conectivo principal
Tabela – Verdade: A
B
B'
A ∨ B '
A ∨ B
( A ∨ B )'
A ∨ B ' → ( A ∨ B )'
V V F F
V F V F
F V F V
V V F V
V V V F
F F F V
F F V V
2
Tabela-verdade para 3 letras de proposição.
Definição. Uma fbf que assume apenas o valor V é denominada uma tautologia. Uma tautologia é “intrinsecamente verdadeira” pela sua própria estrutura; ela é verdadeira independentemente dos valores lógicos atribuídos às suas letras de proposição. Exemplo: “Hoje vai ter sol ou hoje não vai ter sol”.
Definição. Uma fbf cujo valor lógico é sempre F é denominada uma contradição. Uma contradição é “intrinsecamente falsa” pela sua própria estrutura. Exemplo: “Hoje é terça-feira e hoje não é terça-feira”. Sejam P e Q duas fbfs e suponha que a fbf P ↔ Q seja uma tautologia. Se fizermos uma tabela-verdade usando as letras de proposição P e Q , então os valores lógicos de P e de Q seriam sempre iguais em todas as linhas da tabela. Neste caso, dizemos que P e Q são fbfs equivalentes ; denotamos essa propriedade por P ⇔ Q . Assim, P ⇔ Q enuncia um fato, a saber, que a fbf particular P ↔ Q é uma tautologia.
Algumas equivalências tautológicas. 1a. A ∨ B ⇔ B ∨ A 2a. ( A ∨ B) ∨ C ⇔ A ∨ ( B ∨ C ) 3a. A ∨ ( B ∧ C ) ⇔ ( A ∨ B) ∧ ( A ∨ C ) 4a. ( A ∨ 0) ⇔ A 5a. A ∨ A' ⇔ 1
1b. A ∧ B ⇔ B ∧ A 2b. ( A ∧ B) ∧ C ⇔ A ∧ ( B ∧ C ) 3b. A ∧ ( B ∨ C ) ⇔ ( A ∧ B ) ∨ ( A ∧ C ) 4b. ( A ∧ 1) ⇔ A 5b. A ∧ A' ⇔ 0
(comutatividade) (associatividade) (distributividade) (elementos neutros) (complementares)
Observação: representamos qualquer contradição por 0 e qualquer tautologia por 1 . As equivalências na lista estão agrupadas em cinco pares, em cada par, uma equivalência pode ser obtida da outra substituindo por ∨ , ∨ por ∧ , 0 por 1 e 1 por 0 . Cada equivalência em um dos pares é a dual da outra.
Leis de De Morgan. ( A ∨ B)' ⇔ A'∧ B' e ( A ∧ B )' ⇔ A'∨ B ' . Exercícios: 1. Quais das frases a seguir são proposições? a) A lua é feita de queijo verde. d) O jogo vai acabar logo? g) x 2 − 4 = 0 .
b) Ele é, certamente, um homem alto. c) Dois é um número primo. e) Os juros vão subir ano que vem. f) Os juros vão descer ano que vem. h) Existem formas de vida em outros planetas do universo. 3
∧
2. Determine o valor lógico (V ou F) em cada uma das seguintes proposições: c) (3 + 5) 2
= 32 + 5 2
a) O número 17 é primo.
b) Fortaleza é capital do Maranhão.
d) Se 0 < 1 então 2 é irracional. g) É falso que 2 + 3 = 5 e 1 + 1 = 3 .
e) Roma é capital da França ou tg 45 = 1 . f) − 1 > −2 ↔ π 2 h) O produto de dois números ímpares é um número ímpar. o
< 20 .
3. Sejam A, B, C e D as seguintes proposições: A : O bandido é francês; B : O herói é americano; C : A heroína é inglesa e D : O filme é bom. Escreva as proposições compostas a seguir em notação simbólica. a) O herói é americano e o filme é bom. c) Embora o bandido seja francês, o filme é bom. e) O herói não é americano, mas o bandido é francês.
b) Se o filme é bom, então o herói é americano ou a heroína é inglesa. d) Uma heroína inglesa é uma condição necessária para o filme ser bom.
4. Construa a tabela-verdade para as fbfs a seguir: a) ( A → B) ↔ ( B → A) d) [( A ∧ B' ) → C ' ]'
b) ( A ∨ A' ) → ( B ∧ B' ) e) ( A → B) → [( A ∨ C ) → ( B ∨ C )]
c) ( A → B) ↔ ( B ' → A' )
5. Sabendo que os valores lógicos das proposições A, B, C e D são respectivamente V, V, F e F, determinar o valor lógico de cada uma das seguintes proposições: a) ( A → C ) → ( A' → C ' )
b) ( A ∧ B)' → A'∨ B '
c) ( A ∧ D)' → A'∧ D'
d) (( A ∨ D) ∧ ( D ∨ C ))'
6. Qual o valor lógico de cada uma das proposições a seguir? a) 8 é par ou 6 é ímpar. d) 8 é ímpar e 6 é ímpar. g) Se 8 for ímpar, então 6 é par.
b) 8 é par e 6 é ímpar. e) Se 8 for ímpar, então 6 é ímpar. h) Se 8 for ímpar e 6 for par, então 8 < 6.
c) 8 é ímpar ou 6 é ímpar. f) Se 8 for par, então 6 é ímpar
7. Escreva a negação de cada fbf a seguir: a) Se a comida é boa, então o serviço é excelente. c) Ou a comida é boa e o serviço excelente, ou então está caro. e) Se é caro, então a comida é boa e o serviço é excelente.
b) Ou a comida é boa, ou o serviço é excelente. d) Nem a comida é boa, nem o serviço é excelente.
8. (TRT) Considere que as letras P, Q, R e S representem proposições e que os símbolos ¬ , ∧ e ∨ são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam ‘não’, ‘e’ e ‘ou’ respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade) que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Consideremos que P, Q, R e S são proposições verdadeiras, julgue os itens seguintes. a) ¬ P ∨ Q é verdadeira. c) [ P ∧ (Q ∨ S )] ∧ (¬ [( R ∧ Q) ∨ ( P ∧ S )]) é verdadeira.
b) ¬[(¬ P ∨ Q) ∨ (¬ R ∨ S )] é verdadeira. d) ( P ∨ (¬ S )) ∧ (Q ∨ (¬R)) é verdadeira.
Respostas: b) F c) F d) V e) V f) V g) V h) V 1. a), c), e), f) e h) 2. a) V b) A ∧ D c) D → ( B ∨ C ) d) B'∧ A e) D → B 3. a) B ∧ D b) F,F,F,F (contradição) c) V,V,V,V (tautologia) 4. a) V,F,F,V (contingência) d) F,F,V,F,F,F,F,F (contingência) e) V,V,V,V,V,V,V,V (tautologia) b) V c) F d) V c) F d) F e) V f) F g) V h) V 5. a) V 6. a) V b) F b) A comida é ruim e o serviço também. 7. a) A comida é boa, mas o serviço é ruim. c) A comida é ruim ou o serviço é ruim, e está barato. d) Ou a comida é boa ou o serviço é excelente. e) É caro, mas a comida é ruim ou o serviço é ruim. b) F c) F d) V 8. a) V 4
Quantificadores lógicos. Existem sentenças onde o valor lógico não está bem definido e varia para cada sujeito. Assim, estas afirmações não são proposições e sim funções proposicionais (ou sentenças abertas). Os quantificadores servem para especificar informações sobre variáveis em funções proposições, transformando-as assim em proposições. Exemplos: x < 0 ; x + 6 = 9 ; x 2
≥ 0 ; 8 x + 2 ≠ 10 .
Quantificador universal. O quantificador universal traduz a idéia de abrangência de uma proposição a todo um conjunto. O quantificador universal é denotado pelo símbolo ∀ e lido como “para todo”, “todo”, “para qualquer”, “qualquer”, “qualquer que seja”. Considerando uma função proposicional qualquer p( x) e um conjunto qualquer A , temos a proposição (∀ x ∈ A)( p( x)) . Exemplos: ∀ x ∈ Z , x < 0 ; ∀ x ∈ N , x + 6 = 9 ; ∀ x ∈ R, x 2
≥ 0 ; ∀ x ∈ N , 8 x + 2 ≠ 10 .
Quantificador existencial. O quantificador existencial traduz a idéia de existência de condições para a validade de uma proposição em um conjunto. O quantificador existencial é denotado pelo símbolo ∃ e lido como “existe”, “existe pelo menos um”. Considerando uma função proposicional qualquer p ( x) e um conjunto qualquer A , temos a proposição (∃ x ∈ A)( p( x)) . Exemplos: ∃ x ∈ Z , x < 0 ; ∃ x ∈ N , x + 6 = 9 ; ∃ x ∈ R, x 2
< 0 ; ∃ x ∈ N , 8 x + 2 ≠ 10 .
Quantificador existencial estrito. O quantificador existencial estrito é uma variação do quantificador existencial. Indica a existência de apenas um elemento capaz de tornar a proposição verdadeira. O quantificador existencial estrito é denotado pelo símbolo ∃! e tem o significado de “existe apenas um”, “existe somente um”, “existe um só”, “existe um único”. Considerando uma função proposicional qualquer p( x ) e um conjunto qualquer A , temos a proposição (∃! x ∈ A)( p ( x )) . Exemplos: ∃! x ∈ Z , x < 0 ; ∃! x ∈ N , x + 6 = 9 ; ∃! x ∈ R, x 2
≥ 0 ; ∃! x ∈ N , 8 x + 2 ≠ 10 .
Observação: O conjunto A é dito o domínio de p ( x ) , e o conjunto de todos os elementos de A para os quais p( a ) é verdadeira é chamado conjunto verdade de p( x) . Exemplos: * 2 { x : x ∈ Z , x < 0} = Z − ; { x : x ∈ N , x + 6 = 9} = {3} ; { x : x ∈ R, x
≥ 0} = R ; { x : x ∈ N , 8 x + 2 ≠ 10} = N − {1} .
Negação de declarações com quantificadores. Teorema (De Morgan) a) b)
¬(∀ x ∈ A) p( x) ⇔ (∃ x ∈ A) ¬ p( x) . ¬(∃ x ∈ A) p ( x) ⇔ (∀ x ∈ A) ¬ p( x) .
Resumo de negações das proposições.
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