DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONJUNTA
1. Sea X el número de veces que falla cierta máquina de control numérico: 1, 2 o 3 veces en un día dado. Sea Y el número de veces que se llama a un técnico para una emergencia. Su distribución de probabilidad conjunta está dada como: p( x x, y)
x
1
2
3
1
0.05
0.05
0.10
2
0.05
0.10
0.35
3
0
0.20
0.10
y
a. Evalúe la distribución marginal de X . b. Evalúe la distribución marginal de Y . X = 2). c. Encuentre P(Y = 3 / X Solución: a.
b.
x
1
2
3
y
1
2
3
p x ( x x)
0.10
0.35
0.55
p y ( y)
0.20
0.50
0.30
X =2) c. P(Y = 3 / 3 /
P Y X
p( x, y) p( )x
P Y X 2
,
p(2, y) p(2)
x
(2,p 1)
0.05
(2p) x 0.35
x
(2,p2)
0.1428,
(2p) x
0.10 0.35
y
1
2
3
p ( y/x y/x=2)
0.1428
0.2857
0.5715
0.2857,
(2,p3) (2p) x
0.20 0.35
0.5715
P(Y = 3 / X = 2) = 0.5715
2. Sea la función de probabilidad conjunta de las variables aleatorias X y Y , dada en la siguiente tabla: x y
2
5
8
0.4
0.15
0.12
0.03
0.8
0.05
0.30
0.35
X = 5) a. Calcule P(Y = 0.8 / X X = 8) b. Calcule E (Y / X c. Calcule la covarianza y el coeficiente de correlación. Solución: a.
x
2
5
8
y
0.4
0.8
p x ( x)
0.20
0.42
0.38
p y ( y )
0.30
0.70
P(Y / X 5)
(p5, )y , p x (5)
p (5, 0.4)
0.42
0.12 0.42
(p8, )y , p x (8)
(p8, 0.4)
0.38
y
0.4
0.8
p( y/ x 8)
0.0789
0.9211
0.42
Cov( X ,Y )
,
0.30 0.42
0.7143
0.4
0.8
p( y/ x 5)
0.2857
0.7143
0.03 0.38
(p8, 0.8)
0.0789,
0.38
E( Y/ X 8) (0.4)(0.0789) (0.8)(0.9211) 0.7684
c. XY
y
P(Y = 0.8 / X X = 5) = 0.7143
b. P(Y / X 8)
p (5, 0.8)
0.2857,
0.35 0.38
0.9211
E( Y/ X 8) 0.7684
Cov( X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y )
X Y 2
2
V ( X ) E( X 2 ) E ( X ) , V (Y ) E(Y 2 ) E(Y ) ,
X
V ( X ),
Y
V (Y )
(0.8)(0.30) 8(0.4)(0.03) E( XY ) 2(0.4)(0.15) 2(0.8)(0.05) 5(0.4)(0.12) 5(0. (0.8))(0.3 (0.35 5) 3.97 3.976 6 8(0.8 ( X ) 2(0.20) 5(0.42) 8(0.38) 5.54, E
( Y) 0.4 (0.30) 0.8(0.70) 0.68 E
X , Y ) = (3.976) – (5.54)(0.68) = 0.2088 Cov.( X 2 (E X) 4(0.20) 25(0.42) 64(0.38) 35.62,
X , Y ) = 0.2088 Cov.( X
(E )X 5.54 ,
2 V ( X ) 35.62 (5.54) 4.9284
(E 2Y) (0.4) 2 (0.30) (0.8) 2 (0.70) 0.496, V (Y ) 0.496 (0.68) 2 0.0336,
0.2088 (2.22)(0.1833)
0.5131
X
(E )Y 0.68
4.9284 2.22,
Y
0.1833 0.5131
3. Sea X el tiempo de reacción, en segundos, a cierto estimulante y Y la temperatura ( ºF ) a la que cierta reacción comienza a suceder. Suponga que las dos variables aleatorias X y Y tienen la siguiente fdp conjunta:
0 x 1. 0 y 1
4 xy, f ( x, y ) 0 P(0 X
a. Encuentre
en cualquier otro caso 1 2
y
Y
1 4
1 2
)
X < Y ) b. P( X va X y Y son independientes. c. Determine si las va X Solución:
P(0 X 12 ,
1 4
Y 12 )
0.5 0.25
0
4 xydxdy
0.5
14 y 2
a.
0.5
0.25
0.5 0.25
2y x2
0.5 0
dy
1 2
0.5 0.25
ydy
14 ( 14 116 ) 634 0.04687 P(0 X 12 , 14 Y 12 ) 0.04687
b. P( X
Y)
P( X Y )
f ( x)
x
f( )y
c.
y
1 0
0
y 0
4 xydxdy
1 0
2y x 2
y 0
dy dy 2
1 0
y dy 12 y 3
4
1
0
1 2
1 2
4 xydy 2 x y2
1 0
1
1 0
2 x,
1
4 xydx 2 y 2x 2 y 0
Puesto que f x ( x) fy ( y) 2 xy f ( x, y)
Son independientes 4. La función de densidad conjunta de las variables aleatorias X y Y es:
6 x, f ( x, y ) 0
0 x 1, 0 y 1 x en cualquier otro caso
a. Muestre que X y Y no son independientes. b. Encuentre P( X > 0.3 / Y = 0.5) Solución: a.
f x x ( )
yf( )y
1 x 0
1 y 0
1 x
6 xdy 6 x y0 6 x(1 x) 6 xdx 3 2x
1 y 0
3(1 )y2
2 f x ( x) fy ( y) 18(1 x)(1 y) f ( x, y)
No son independientes b.
f( x/ y)
f( x, y) f y y ( )
f( x, 0.5)
f( x/ y 0.5)
,
f y (0.5)
6x 3 1 12
2
8 x
0 x 0.5
8 x f( x/ y 0.5) 0
de otra manera
P( x 0.3 / y 0.5)
0.5 0.3
8 xdx 4 x2
0.5 0.3
4(0.25 0.09) 0.64 P( x 0.3 / y 0.5) 0.64
5. Sea X el diámetro de un cable eléctrico blindado y Y el diámetro del molde cerámico que tiene el cable. X y Y tienen una escala tal que están entre 0 y 1. Suponga que X y Y tienen una fdp conjunta:
1 , f ( x, y ) y 0
0 x y 1 de cualquier otra forma
a. Encuentre P( X + Y > ½ ). b. Calcule la covarianza y el coeficiente de correlación. Solución: a.
P( X Y 12 )
1
1
2
4
1 2 1 4
1 2 1 4
1
1 y 2
y
1
1 2 1 4
y
dxdy
y
x1 y dy
y
2
1
1 2
1
1
1 2
y
y
0
1 y
dxdy
y
x0
1
11 1 y y dy ( y) dy y 2 y 1 1 2 dy dy 2 y 1 2
1 2
1 1 1 2 1 1 1 1 2 y ln y y 2( 12 14 ) ln (1 2 ) 0.3466 0.6534 2 2 1 4 2 2 P( X Y 12 ) 0.6534 1 2 1 4
b.
XY
Cov( X ,Y )
1 2 1 4
,
1 2
Cov( X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y )
X Y 2
2
V ( X ) E( X 2 ) E( X ) , V (Y ) E(Y 2 ) E(Y ) ,
X
V ( X ),
Y
V (Y )
11 y 1 1 1 2 1 31 1 2 d x d y x d y y d y y 0 0 y 0 2 0 2 0 0 6 6 1 y 1 1 1 y 1 1 1 21 1 2 E ( X) x dxdy x dy ydy y 0 0 0 0 0 2y 2 0 4 4 y 1 y 1 1 1 1 21 1 y E( Y) y dxdy x0 dy ydy y 0 0 0 0 0 y 2 2 1 1 1 1 1 Cov.( X ,Y ) Cov.( X , Y ) 6 4 2 24 24
E( XY)
1
y
E( X )
1
y
0
0
1
y
0
0
2
E( Y ) 2
xy
1 1 y 1 1 1 2 1 31 1 3 x dy y dy y dxdy 0 0 0 0 y y 3 3 9 9 1 1 1 31 1 y 2 1 2 y dxdy y x0 dy y dy y 0 0 0 3 3 y 2
x
2
2
7 1 1 1 1 V (X ) , V (Y ) , 9 4 144 3 2 12 1
1 24 (0.22048)(0.2886 7)
0.6546
X
0.22048,
Y
0.28867
0.6546