Dinero en la Función de Utilidad MODELO BÁSICO MIU Modelo de Sidrauski (1965) Inicialmente ignoramos la incertidumbre y cualquier tipo de elección entre trabajo y ocio, focalizando nuestra atención en las implicancias del modelo para la demanda de dinero, el valor de la moneda y los costos de la inflación. U t = u (c t , z t )
en que: ct
y z son variables per capita
zt =
t
M t Pt N t
= m t
es el flujo de servicios per capita producido por
la tenencia de dinero - Las familias eligen el igen senderos temporales de c, k, m y b. La utilidad a maximizar es: ∞
W =
∑ t = 0
β es
β t u ( c t , m t )
(2.1)
una tasa subjetiva de descuento La ecuación (2.1.) implica una noción más fuerte de la utilidad provista por la tenencia de saldos reales que aquella simple relación de que tener más dinero será preferido a tener menos. Si la UMg del dinero di nero es positiva,
ello significa que, manteniendo constante el sendero temporal de consumo real para todo t, la utilidad del individuo aumentará a medida que aumenten las tenencias de dinero. Incluso aun cuando el dinero no fuera destinado a consumo. Esto simplemente es para recordar rec ordar que el dinero en la función de d e utilidad puede ser un atajo útil para asegurarnos que existe exis te una demanda de dinero, pero sólo es un atajo. La restricción presupuestaria agregada es: Y t + τ t N t + (1 − δ ) K t −1 + (1 + i t −1 )
B t −1 Pt
+
M t −1 Pt
= C t + K t +
M t Pt
+
B t Pt
(2.2)
La función de producción relaciona el producto Y t t con el stock de capital K t-1 t-1 y el nivel de empleo N t t . Asumiendo que la función de producción es lineal y homogénea con rendimientos constantes a escala, el producto per cápita será una función del stock de capital per cápita.
ൌ௧ ଵାቀషభቁ
(2.3)
Dividiendo ambos miembros de (2.2) por N t y operando convenientemente1
1
Lo hago sólo para K t-1 que sería equivalente a la obtención de (2.3) y para las otras variables es igual el K t −1
procedimiento:
K t −1 N t
= 1+
N t −1 N t N t −1
= −1
k t −1 k = t −1 N t − N t −1 1 + n 1+ N t −1
ello significa que, manteniendo constante el sendero temporal de consumo real para todo t, la utilidad del individuo aumentará a medida que aumenten las tenencias de dinero. Incluso aun cuando el dinero no fuera destinado a consumo. Esto simplemente es para recordar rec ordar que el dinero en la función de d e utilidad puede ser un atajo útil para asegurarnos que existe exis te una demanda de dinero, pero sólo es un atajo. La restricción presupuestaria agregada es: Y t + τ t N t + (1 − δ ) K t −1 + (1 + i t −1 )
B t −1 Pt
+
M t −1 Pt
= C t + K t +
M t Pt
+
B t Pt
(2.2)
La función de producción relaciona el producto Y t t con el stock de capital K t-1 t-1 y el nivel de empleo N t t . Asumiendo que la función de producción es lineal y homogénea con rendimientos constantes a escala, el producto per cápita será una función del stock de capital per cápita.
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(2.3)
Dividiendo ambos miembros de (2.2) por N t y operando convenientemente1
1
Lo hago sólo para K t-1 que sería equivalente a la obtención de (2.3) y para las otras variables es igual el K t −1
procedimiento:
K t −1 N t
= 1+
N t −1 N t N t −1
= −1
k t −1 k = t −1 N t − N t −1 1 + n 1+ N t −1
ω t ≡ f (
k t −1
1+ n
(1 + it −1)bt −1 + mt −1 1 − δ = ct + k t + mt + bt k t −1 + (2.4) (1 + π t )(1 + n) 1 + n
) +τ t +
El problema consiste en maximizar la función de valor (eligiendo las sendas óptimas de c, k, m y b para maximizar (2.1) s.a (2.4) ). (2.4)). Este es un problema de optimización dinámica y resulta conveniente formularlo en términos de una función funci ón valor (value function). Es decir, la función valor da el máximo valor presente de la utilidad que se puede alcanzar cuando las familias actúan óptimamente, dado su estado estad o actual. La variable de estado en este problema es el nivel inicial de recursos ω t y la función valor está definida por
ሺ ௧ሻ ൌ,ถ,,, ሼ ሺ ௧, ௧ሻ ሺ ௧ାଵሻሽ
(2.5)
La maximización estará sujeta a la restricción presupuestaria (2.4) y (1 + it )bt + mt 1 − δ ω t +1 = f ( ) + τ t +1 + k t + 1+ n (1 + π t +1 )(1 + n) 1 + n k t
Ésta sería una Ecuación de Bellman: Un plan de consumo óptimo en el momento t debe maximizar U t + 1
sujeta al nivel futuro de riqueza producido por la decisión de consumo en t. Usando (2.4) k t =
t
− c
t
− m
Usando la definición de siguiente forma
t +1
t
− b t
podemos escribir (2.5) de la
k t
ω t − ct − mt − bt (1+ it )bt + mt 1−δ V (ω t ) = maxu(ct , mt ) + β V f ( ) +τ t +1 + k t + π 1+ n 1+ n (1+ t +1)(1+ n)
C.P.O ∂V (ω t )
= u c (ct , mt ) −
∂ct
∂V (ω t ) ∂bt ∂V (ω t ) ∂mt
ω t +1
=
β [ f (k ) + 1 − δ ]V ω (ω t + 1 ) = 0 1 + n k t
(2.6)
f k (k t ) + 1 − δ =0 (1 + n)(1 + π t +1 ) 1+ n 1 + i t
−
(2.7)
β V ω (ω t +1 ) f k (k t ) + 1 − δ V + = 0 (2.8) ω ( ) + ω t 1 1+ n (1 + n)(1 + π t +1 )
= u m (ct , mt ) − β
Condición de Transversalidad: dar un corte temporal al problema. O bien la utilidad se vuelve nula o bien no se dispone más de activos. lim β t λ t xt = 0 t → ∞
en que xt = k , m, b
(2.9)
λ = u c En que t es la utilidad marginal del consumo en el periodo t.
Por el teorema de la envolvente (“regla del enchufe”) y usando (2.6): λ t = V ω (ω t ) = uc (ct , mt ) =
β [ f k (k t ) + 1 − δ ]V ω (ω t + 1) 1+ n
(2.10)
Usando (2.6) y (2.10) podemos reescribir a (2.8) como: β uc (ct +1, mt +1 ) um (ct , mt ) + = uc (ct , mt ) (1 + n)(1 + π t +1 )
(2.11)
Esta ecuación muestra que el beneficio marginal de agregar dinero a las tenencias en t debe ser igual a la UMg del consumo en t. En (2.11) vemos que el Beneficio marginal de adicionar saldos monetarios tiene dos componentes: - Genera directamente una utilidad um. - Los saldos monetarios reales en t agregan
1 (1 + n)(1 + π t +1 )
los recursos reales per capita en el periodo t+1. Esta adición a ω t +1 vale V ω (ω t +1) en t+1, o β V ω (ω t +1 ) en t. A partir de las condiciones de primer orden para c t y bt [(2.6) y (2.7)], tenemos:
a
u c (ct , mt ) =
β [ f k (k t ) + 1 − δ ]V ω (ω t +1 ) 1+ n
f k (k t ) + 1 − δ = (1 + n)(1 + π t +1 ) 1+ n 1 + it
Haciendo el cociente de ambas ecuaciones u c (c t , mt ) = β V ω (ω t +1 )
1 + it (1 + n)(1 + π t +1 )
(A)
A partir de (2.11) la C.P.O para mt reexpresada (en la que veíamos la influencia de la adición de saldos monetarios) dividimos ambos miembros por u c (ct , mt ) : u m (ct , mt ) +
β u c (ct +1 , mt +1 ) = u c (ct , mt ) (1 + n)(1 + π t +1 )
u m (ct , mt )
u c (ct , mt )
u c (ct , mt )
=
u c (ct , mt )
−
β u c (ct +1 , mt +1 ) u c (ct , mt ) (1 + n)(1 + π t +1 ) 1
β u c (ct +1 , mt +1 ) 1 = 1− ( 1 + )( 1 + ) u c (ct , mt ) n u c (ct , mt ) π t +1
u m (ct , mt )
por el teorema de la envolvente
β u c (ct +1 , mt +1 ) = β V ω ( utilizando (A)
t +1
)
(B)
u c (ct , mt )
(1 + n)(1 + π t +1 ) 1 + it
= β u c (ct +1 , mt +1 )
Reemplazando en (B) u c (ct , mt ) (1 + n)(1 + π t +1 ) 1 = 1− π + + ( 1 )( 1 ) 1 + it u c (ct , mt ) n + t 1 u c (ct , mt )
u m (ct , mt )
(1 + n)(1 + π t +1 ) 1 = 1− ( 1 + )( 1 + ) 1 + it u c (ct , mt ) n π t +1
u m (ct , mt )
u m (ct , mt ) u c (ct , mt ) u m (ct , mt ) u c (ct , mt )
= 1−
=
it
1 + it
1 1 + it ≡ Γ t
(2.12)
En cualquier proceso de maximización, el cociente de Umg es igual al relativo de precios, entonces um (ct , mt ) uc (ct , mt )
=
it
1 + it mostraría el precio relativo de los saldos
reales en términos de los bienes de consumo. La TMgS entre dinero y consumo es igual al costo de oportunidad de mantener dinero. Las familias podrían mantener una unidad menos de dinero, comprando un bono que tiene un rendimiento nominal de i.
i
El valor real de ese pago es 1 + π y como es percibido en t+1, su valor presente es i
(1 + π )(1 + r )
=
i
1 + r + π + π r
=
i
1 + i − π + π
=
i
1+ i
Para las tenencias de capital se puede hacer una interpretación similar: el rendimiento neto marginal de tener capital adicional debe igualar a la utilidad marginal del consumo u c (ct , mt ) =
β 1+ n
[ f k (k t ) + 1 − δ ]V ω (ω t +1 )
Trabajando con la C.P.O de los bonos (2.7.), vinculamos el rendimiento nominal de los bonos, la inflación y el rendimiento del capital: f k (k t ) + 1 − δ = (1 + n)(1 + π t +1 ) 1+ n 1 + it
1 + it = [ f k (k t ) + 1 − δ ] (1 + π t +1 ) = [1 + f k (k t ) − δ ] (1 + π t +1 ) = (1 + r t )(1 + π t +1 )
(2.13) it = (r t + π t +1 )
Relación de Fisher
Dado que se supone que el dinero no percibe una tasa de interés por su sola posesión, el costo de oportunidad de
mantenerlo está afectado por el rendimiento real del capital y por la tasa de inflación. Si suponemos que las familias alquilan sus bienes de capital a las empresas, recibiendo una renta rk, y venden sus servicios laborales cobrando w, el ingreso per capita será:
r k k + w Si hubiera mercados competitivos y rendimientos constantes a escala: r k = f k ( k )
w = f ( k ) − k f k ( k )
( Euler )
Entonces el ingreso de las flias. sería:
y =r k k +w=r k k + f (k )−k f k (k ) =k f k (k )+ f (k )−k f k (k ) = f (k ) Equilibrio de estado estacionario: Supongamos la economía analizada en estado estacionario, con n=0 y su cantidad de dinero creciendo a la tasa θ. Con los saldos reales constantes en el estado estacionario, esto significa que los precios están creciendo a la misma tasa que la cantidad de dinero πss = θ.
Usando (2.10) que era V ω (ω t ) = uc (ct , mt ) =
β 1+ n
[ f k (k t ) + 1 − δ ]V ω (ω t + 1)
y recordando que en estado estacionario V ω (ω t ) = V ω (ω t +1 ) = V ω (ω ss )
Obtenemos las condiciones de equilibrio: a) De la (2.6) que era β uc (ct , mt ) − [ f k (k t ) + 1 − δ ]V ω (ω t + 1) = 0 1+ n
nos queda ss
ss
ss
ss
ss
uc (c , m ) − β f k ( k ) + 1 − δ uc (c , m ) = 0
(2.14)
b) De la (2.7) que era f k (k t ) + 1 − δ − =0 (1 + n)(1 + π t +1 ) 1+ n 1 + it
nos queda 1 + i ss (1 + θ )
[
]
− f k ( k ss ) + 1 − δ = 0
(2.15)
Esta ecuación es la ecuación de Fisher en el estado estacionario. El rendimiento real del capital (neto de depreciaciones) sería
ሺ ሻെ ൌሺ ሻሺ ሻ ൌሺ ሻሺ ሻ
Por lo tanto,
Esta ecuación es la que verán como (2.18)
c) De la (2.8) que era β V ω (ω t +1 ) f k (k t ) + 1 − δ + =0 ( ) u m (ct , mt ) − β V ω ω t +1 1+ n (1 + n)(1 + π t +1 )
nos queda β uc (c ss , m ss ) =0 u m (c , m ) − β f k (k ) + 1 − δ uc (c , m ) + (1 + θ ) ss
ss
[
ss
]
ss
ss
(2.16)
d) Y de la dotación de recursos (2.4) que era (1 + it −1)bt −1 + mt −1 1 − δ ω t ≡ f ( ) +τ t + = ct + k t + mt + bt k t −1 + 1+ n (1 + π t )(1 + n) 1 + n k t −1
nos queda (suponiendo b=0)
ss
f ( k ) + τ
ss
+ (1 − δ )k t −1 +
m
ss
(1 + θ )
= c ss + k ss + m ss
(2.17)
En el sistema de ecuaciones (2.14) a (2.17) el dinero aparece en términos reales. Así, cualquier cambio en la cantidad nominal de dinero que vaya acompañado por su correspondiente cambio en los precios, deja a la cantidad real de dinero en el estado estacionario sin cambios. Por lo tanto, no hay efectos en el lado real. Esto significa que el modelo exhibe neutralidad del dinero. El modelo podría exhibir no neutralidad, pero a corto plazo. ss
ss
ss
1
Dividiendo (2.14) por uc (c , m ) nos queda 1 = β f k ( k ss ) + 1 − δ 1
β
ss
= f k (k ) + 1 − δ
∴
f k ( k ) =
β
+ δ − 1
(2.19)
Esta ecuación define el estado estacionario de la relación capital-trabajo como una función de y . Supongamos una función de producción Cobb-Douglas f ( k ) = k α
entonces, derivando tenemos −1 f k ( k ) = α k α De allí podremos obtener el nivel de capital-trabajo de estado estacionario 1 ss
α −1
k
=
f k (k )
α 1
ss
−1
k α =
f k (k )
α
=
β
=
β
+ δ − 1
+ δ − 1
α
1
=
1 + β (δ − 1) α −1 αβ k = = 1 + β (δ − 1) αβ ss
−
1 + β (δ − 1)
αβ 1
α −1
1
1−α αβ = 1 + β (δ − 1)
1
1−α αβ k = β δ 1 ( 1 ) + − ss
(2.20)
kss resulta independiente de: - Todos los parámetros de la función de utilidad ≠ de β. - La tasa de inflación de estado estacionario (por lo tanto, de la tasa de crecimiento del dinero). kss sólo depende de: - La función de producción. - La tasa de depreciación. - La tasa de descuento.
Como en el modelo los cambios en la cantidad de dinero se traducen en transferencias monetarias al público, tenemos que
௧ିଵ ൗ െ ൌ ௧ ௧ ௧ିଵ ൌ ௧ିଵ௧ ൌ ൦ ௧ൗ ௧ିଵ௧ିଵ൪ൌ ൦1 ௧ିଵ௧ିଵ௧ െ1൪ ൌ ൦1 ௧௧ିଵെ௧ିଵ௧ିଵ൪ൌ 1 ௧ିଵ௧൨
Entonces en estado estacionario las transferencias son:
τ ss =
π ss 1+ π ss
ss
m =
θ ss 1+θ ss
ss
m
Volviendo a la restricción presupuestaria (2.17), al reemplazar τ ss tenemos (siempre recordando que n=0 y que la inflación es igual a la tasa de crecimiento de la cantidad de dinero): ss − m 1 δ ss ss f (k ) +τ + = css + k ss + mss k t −1 + (1+θ ) 1+ n ss m θ ss ss ss f (k ) + m + (1− δ )k + = css + k ss + mss 1+θ (1+θ )
Operando convenientemente nos queda:
c
ss
ss
= f ( k ) − δ k
ss
(2.21)
El nivel de consumo per capita de estado estacionario es igual al producto per capita de estado estacionario menos la inversión de reemplazo per capita de estado estacionario. Suponiendo c
ss
f ( k ) = k α
y dado kss por (2.20)
αβ = + β δ − 1 ( 1 )
α 1 − α
1
1−α αβ − δ + β δ − 1 ( 1 )
css sólo depende de: - Los parámetros de la función de producción (α). - La tasa de depreciación (δ). - La tasa subjetiva de descuento (β). Las
ecuaciones
(2.20) y (2.21) muestran la superneutralidad del dinero : No sólo cambios en el nivel sino también en la tasa de crecimiento de saldos nominales no generan efectos reales. Indaguemos un poco más en la superneutralidad De (2.10)
V ω (
t
) = uc
usando (2.6) (la derivada de la función valor respecto al consumo) V ω ( V ω (
t
t
) = u c (ct , mt ) = β [ f k (k t ) + 1 − δ ]V ω (
) = u c (ct , mt ) = β [ f k (k t ) + 1 −
t +1
)
]u c (ct +1 , mt +1 )
operando convenientemente nos queda: u c (ct +1 , mt +1 ) u c (ct , mt )
=
1 β
[ f k (k t ) + 1 − δ ]
=
1 β 1 + r t
(2.22)
Si estamos en estado estacionario, tomando (2.19) (la productividad marginal del capital), (2.22) es igual a 1. Si k < kss fk(k) > fk(kss) uc (2.22) < 1 decreciente; entonces será óptimo posponer consumo para acumular capital. “k es independiente de π” ¿Qué resulta afectado por π? Cualquier activo que pague en el futuro unidades monetarias.
Ej. Un activo cuesta una unidad de consumo en t y rinde (1+rt) en t+1, En términos monetarios, el activo cuesta P t en t y Pt+1 en t+1. Entonces en t+1 paga (1+r t)Pt+1 y su rendimiento nominal es : (1 + rt ) Pt +1 − Pt Pt
= (1 + rt )(1 + π t +1 ) − 1 ≡ it ( tasa nominal )
Existencia de un Estado Estacionario Para asegurar la existencia de un equilibrio monetario en estado estacionario, debe existir un nivel positivo pero finito de saldos monetarios reales (m ss>0) que satisfaga (2.12) –es decir, la relación de utilidades marginales entre dinero y consumo- evaluada en el nivel de consumo de estado estacionario (css). - Si la utilidad es separable en consumo y saldos reales
u (c, m) = ν (c ) + φ ( m) entonces, en estado estacionario de (2.12) (la relación de utilidades marginales de dinero a consumo): φ m (m ss ) = Γ ssν c (c ss ) ss
i
en que Γ = 1 + i
Lim φ m (m) = ∞ m→0
Si φ m (m) ≤ 0 ∀ m ≥ 0 se garantiza la existencia de un equilibrio de estado estacionario con saldos reales positivos. - Si la utilidad no es separable La ecuación (2.12) se escribe como u m (c ss , m ss ) = Γ ss u c (c ss , m ss ) Si ucm<0 (la utilidad marginal del consumo disminuye con el aumento de las tenencias de dinero), tanto u c como um disminuyen con los aumentos de m, la solución a (2.12) puede no ser única, lo que implica que podrían existir múltiples equilibrios de estado estacionario. Dinámica de los saldos reales (utilidad separable) De (2.11), es decir, la función de utilidad marginal del consumo, tenemos:
β uc (ct +1 , mt +1 ) um (ct , mt ) + = uc (ct , mt ) (1 + n)(1 + π t +1 ) Considerando la separabilidad en la función de utilidad, nos queda:
ሺ ௧ሻ 1 ሺ ௦௦ሻ ൌ ሺ ௦௦ሻ
ሺ ௦௦ሻ ൌ ሺ ௦௦ሻ െ ሺ ௧ሻ
1 ௧ାଵ ൌ ሺ1 ሻ ௧ ௧ାଵ ௧ାଵ௧ ൌሺ1 ሻ ௧௧ ; ௧ ൗ ௧ାଵ ൌሺ1 ሻ ௧௧ ൗ ௧ାଵ ௧ାଵ ௧ ሺ ሻ ሺ ሻ ൌ 1 ; ൌ 1 ௧ ௧ାଵ ௧ ௧ାଵ ௧ൗ ௧ାଵ ௧ାଵ௧ ൌ 1 ௧ାଵ௧ െ1 ൌ 1 ௧ାଵ ௧െ ௧ ൌ 1 ൌ 1 1 ௧ାଵ ൌሺ1 ሻ ௧ 1 ൌ ௧
Multiplicaremos ambos miembros por Mt, recordando que . Pero antes veamos que:
Sabemos que
Entonces
Por lo tanto, al multiplicar ambos miembros de (2.11) por mt, nos queda: B(mt +1 ) ≡
β ν c (c ss )mt +1 = [ν c (c ss ) − φ m (mt )] mt ≡ A(mt ) (2.23) 1 + θ
Un valor de estado estacionario para m satisface la ecuación en diferencia anterior.
ఉଵାఏ ሺ ௦௦ሻ ሺ െ െ ሻ.
En el gráfico vemos las funciones A y B. B es una recta con pendiente y A tiene una pendiente
A ( m ), B ( m )
B ( m )
0
m' '
m'
m ( t )
A(m)
Hay dos soluciones de estado estacionario, m’ que es la solución relevante (saldos positivos) y 0. Sendas para m t>m’ hacen que mt+s tienda a infinito cuando s tiende a infinito. Sendas para m t
Estado estacionario con un stock de dinero que varía en el tiempo Supongamos ahora que las cantidades reales de consumo y capital son constantes, pero que la tasa de crecimiento del dinero varía a lo largo del tiempo. Entonces c t = c* y k t = k* . Con n=0 y usando (2.10) que era , podemos escribir las CPO (2.6) y (2.7) como:
ఠሺ ௧ሻ
ሺ , ௧ሻ ൌ ሾ ሺ ଵା ሺଵାగశభሻ
௧ ൌ ௧ሺ ௧, ௧ሻ ൌ
ሻ 1 െ ሿ ሺ , ௧ାଵሻ
ൌሾ ሺ ሻ 1െ ሿ ௨௨ሺሺ ,,ሻሻ ൌଵା ൌ ሺ ሻ െ ା ൌ ାቀ ቁ ି
(2.24) (2.25)
Haciendo el cociente de utilidades marginales como en (2.12), tenemos: (2.26)
Entonces la restricción presupuestaria, de la cual se puede obtener el consumo, como (2.17) queda:
Y la evolución del stock real de dinero está dada por (2.27)
ൌ
Si es constante, hay un estado estacionario con inflación igual a la tasa de crecimiento del dinero ( ) y los saldos reales ( ) son constantes. Con constante, (2.24) únicamente determina el stock de capital tal que
ሾ ሺ ௦௦ሻ 1െ ሿ ൌ 1
Y la restricción presupuestaria determina
.
También habría un equilibrio de estado estacionario en el cual estaría cambiando a lo largo del tiempo. Para entender intuitivamente cómo y podrían ser afectados por la política monetaria, consideremos (2.24) para . Debido a la productividad marginal (del capital) decreciente . Por lo tanto, para que la ecuación (2.24) se mantenga, la utilidad marginal del consumo deberá crecer a lo largo del tiempo. Así:
௦௦ ሾ ሺ ሻ 1 െ ሿ ൏ 1
௨௨ሺሺ,,శభሻ ሻ ൌఉሾೖሺଵሻାଵିఋሿ 1
(2.28)
ሺ 0ሻ
Por ejemplo, supongamos que un mayor nivel de saldos reales aumenta la utilidad marginal del consumo Entonces, (2.28) puede ser satisfecha si los saldos reales crecen a lo largo del tiempo. Ello significa que la tasa nominal de interés debe disminuir, reduciendo el costo de oportunidad de mantener dinero.
Elasticidad interés de la demanda de dinero um (ct , mt )
La ecuación (2.12)
uc (ct , mt )
=
it
1 + it
a)
Caracteriza a la demanda de saldos reales como una función de la tasa nominal de interés y del consumo real. Supongamos una función de utilidad que depende del consumo y de los saldos reales tipo CES:
ሺ ௧0, ൏ ௧ሻ൏ൌ1 ൣ ௧ଵି0, ് 1ሺ1 െ ሻ ൧
భ ଵ௧ି భష್
Con y . Entonces, haciendo el cociente de utilidades marginales:
(2.30)
భ షభ 1 ଵ ି ଵ ି ି భష್ ሺ ሻ ሺ ሻ 1 െ 1 െ ሺ 1െ ሻ ൣ ൧ ௧ ௧ ௧ ൌ1െ 1 ଵି ൌ భ షభ ଵି ି భష್ ሺ ሻ 1 െ ሺ1െ ሻ ൣ ൧ ௧ ௧ ௧ 1െ 1ൌ െ ൬ ௧௧൰ ൌ1 భ భ 1ൌ ൬ െ ൰್ ௧௧ ൌ 1൬ ൰್
1 െ ௧ ൌ ൬ ൰ ൬1 ൰ భ್
ష್భ ௧
Tomando log en ambos miembros, obtenemos una demanda de saldos reales como una función negativa de la i y positiva del c :
ൌଵ ቀଵିቁ log െ ଵ ଵା
(2.32)
En esta especificación, la elasticidad consumo de la demanda de dinero es igual a 1 y con respecto al costo de oportunidad (o sea, la elasticidad interés) es 1/b. Si tomamos la relación de saldos reales a consumo:
௧௧ ൌ 1൬ െ ൰ ൬1 ൰ భ್
ష್భ
a
a
vemos que es decreciente en . Un aumento en disminuye la ponderación dada a los saldos reales en la función de utilidad y resulta en menores tenencias de saldos reales (con respecto al consumo) en el estado estacionario.
1 ௦௦ ൌሺ1 ௦௦ሻሺ1 ௦௦ሻ
Para ver cómo influye la inflación, debemos recordar que en estado estacionario y
ሺ1 ௦௦ሻ
ሺ1 ሺ ௦௦ሻ െ ሻ ௦௦ሻ െ ሻ 1 ሺ ሺ 1 ൗ 1 ௦௦ ൌ ሺ1 ௦௦ሻ/
es en estado estacionario , o sea, 1 más la productividad del capital neta de depreciaciones. A su vez, es igual a , por lo tanto,
.
Entonces, la relación de saldos reales a consumo en estado estacionario será:
௦௦ 1 െ భ ௦௦௦௦ ൌ 1൬ െ ൰್ ൮ ௦௦ ൲ 1 భ భ ష ௦௦௦௦ ൌ 1൬ െ ൰್ ቆ1 ௦௦ ௦௦െ ቇ ್ 1
ష್భ
También será decreciente en la inflación, debido a que se reducen las tenencias de saldos reales al aumentar el costo de oportunidad de mantener dinero. Interrogantes 1. ¿Cuán grande es el costo en términos de bienestar de la inflación?
2. ¿Existe una tasa de inflación óptima que maximice el bienestar en estado estacionario? ________________________ 1. La magnitud del costo de la inflación en términos de bienestar es igual al área bajo la curva de demanda de dinero, ésta provee una medida de la pérdida de excedente del consumidor por tener una tasa de interés positiva. 2. El costo de oportunidad privado de mantener dinero depende de la tasa de interés nominal, dicho costo se eliminaría si i =0, entonces π ≅ -r . La tasa óptima es una deflación aproximadamente igual al rendimiento real sobre el capital. Con la utilidad dependiendo de m , el gobierno elige como instrumento de política la tasa de crecimiento del dinero θ (y por lo tanto determina π ), para alcanzar el valor óptimo de estado estacionario de m . La utilidad en estado estacionario será maximizada cuando se maximiza U(css,mss) s.a la restricción css = f(kss) - δkss. Como css es independiente de θ, la C.P.O para la tasa óptima de crecimiento de dinero es:
∂m um =0 ∂θ
o
um = 0
y esto sucede cuando i=0 (ver (2.12)).
Critica de Phelps Si θ=0 disminuye el señoreaje y por lo tanto hay necesidad de aumentar otros impuestos distorsivos. Extensiones Interés sobre las tenencias de saldos Para evitar los costos en bienestar por mantener dinero, una alternativa sería pagar intereses sobre las tenencias en efectivo. Siendo “im” la tasa de interés que paga el gobierno por las tenencias de dinero y “s” los impuestos de suma fija que financian esos pagos de intereses. La restricción presupuestaria de las familias será (suponiendo n=0): (1+it m)
f (k )−st +τ +(1−δ )k +(1+r )b + m =c +k +m +b t −1 t t −1 t −1 t −1 (1+π ) t −1 t t t t t
(2.39)
Formando la función valor a maximizar:
V ( s.a
t
) = max {u ( c t , m t ) + β V (
ω t + 1 ≡ f ( k ) − s t + 1 + τ t
t + 1
(1 + it m )
t + 1
)}
m + (1 + r t ) bt + (1 − δ ) k + t (1 + π ) t t + 1
f (ω t −ct −mt ) −st +1 +τ t +1 +(1−δ )(ω t −ct −mt ) + m V (ω t ) =max u (ct ,mt ) + β V (1+it ) +(1+π ) mt +(1+r t )bt t +1
C.P.O ∂V = u c − β V ω (ω t +1 )[ f k (k t ) + 1 − δ ] = 0 ∂c ∂V ∂m
= u m − β V ω (ω t +1 )[ f k (k t ) + 1 − δ ] + β V ω (ω t +1 )
∂V
1 + it m 1 + π t +1
∂V
haciendo ∂m − ∂c = 0 u m (ct , mt ) − u c (ct , mt ) + β V ω (ω t +1 )
1 + it m 1 + π t +1
=0
(2.40)
dividiendo ambos miembros por uc (ct , mt ) : β V ω (ω t +1 ) 1 + it m = 1− u c (ct , mt ) u c (ct , mt ) 1 + π t +1
u m (ct , mt )
por el teorema de la envolvente u m (ct , mt ) u c (ct , mt )
= 1−
β u c (ct +1 , mt +1 ) 1 + it m u c (ct , mt )
1 + π t +1
=0
m 1 β 1+ it
um (ct , mt )
1+ it m
1
=1− β =1− = uc (ct , mt ) 1+ r t 1+π t +1 1+π t +1 1+ r t
(1+ r t )(1+π t +1) −1−it m (1+ r t )(1+π t +1)
=
it −it m
1+ it
(2.12) es ahora
u m (ct , mt ) u c (ct , mt )
=
it − i
m t
1 + it
(2.12a)
El costo de oportunidad del dinero está relacionado con la m i − i diferencia de tasas de interés t t , que representa la diferencia entre el rendimiento nominal de los bonos y el rendimiento nominal del dinero. La cantidad óptima de dinero será alcanzada cuando m it − it
= 0 , sin importar la tasa de inflación.
Si θ=0, entonces πss=0. Por lo tanto la cantidad óptima de dinero (la que hace um=0) puede ser alcanzada si iss=im=rss>0. Explicación: Si πt=0 ⇒ it=rt reemplazo en (2.12a) u m (ct , mt ) u c (ct , mt )
m
=
r t − it
1 + r t
m
u m (ct , mt ) =
r t − it
1 + r t
u c (ct , mt )
Entonces um=0 si im=r o bien si uc=0. Inexistencia de superneutralidad ¿Cuán robusto es el resultado de que el dinero es superneutral? Hay evidencia empírica de que altas tasas de inflación tienen un efecto negativo sobre el crecimiento, lo cual es inconsistente con la superneutralidad. Por ejemplo, un canal a través del cual la inflación puede tener efectos reales en el estado estacionario es introducido si las familias tienen una posibilidad de elección de oferta laboral (labor-supply choice ). Esto es, supongamos que la utilidad depende del consumo, de los saldos reales y del ocio:
u = u ( c , m, l )
(2.41)
La función de producción de la economía será:
y = f (k , n) = f ( k ,1 − l )
(2.42)
en que la oferta total de tiempo es normalizada a 1, de manera que la oferta laboral sea 1- l . De las condiciones de primer orden tendremos:
u l (c, m, l ) u c (c, m, l )
= f n (k ,1 − l )
(2.43)
Por lo tanto, en estado estacionario, tanto la oferta laboral como el consumo pueden ser afectados por variaciones en la tasa de inflación. Específicamente, un aumento en la tasa de inflación reduce las tenencias de dinero (saldos reales). Si esto afecta la utilidad marginal del ocio, entonces (2.43) implica que la oferta laboral será afectada, conduciendo a un cambio en el stock de capital, consumo y producto de estado estacionario. La pregunta a hacerse es: ¿por qué los cambios en las tenencias de dinero afectan la utilidad marginal del ocio? Simplemente porque el dinero se supone que produce utilidad. (2.43) sugiere que si u l /u c fuera independiente de m, entonces la superneutralidad se mantendría. Éste es el caso porque los valores de k , c y l de estado estacionario serán obtenidos de:
ul uc
= f n (k ss ,1 − l ss ) ss
ss
f k (k ,1 − l ) =
1
β
− 1 + δ
y c
ss
= f k (k ss ,1 − l ss ) − δ k ss
Si u l /u c no depende de m, estas tres ecuaciones determinan los valores de consumo, capital y trabajo de estado estacionario, independientemente de la inflación. Así, la superneutralidad surge nuevamente cuando la función de utilidad toma la forma general u(c,m,l) = v(c,l) g(m), es decir, cuando es separable en m. Así, las variaciones en la inflación afectarán las tenencias de saldos reales, pero la elección consumo-ocio no será directamente afectada. Otro canal a través del cual la inflación puede afectar el stock de capital de estado estacionario ocurre si el dinero entra directamente en la función de producción. Dado que estados estacionarios con diferentes tasas de inflación tendrán distintos niveles de equilibrio de saldos reales, también tendrán diferentes productos marginales del capital si los ratios de capital/trabajo son los mismos.
