DINÁMICA ELEMENTAL DE LOS FLUIDOS E cua cuaci ción ón de de B ernou ernoull llii De hecho, una de las definiciones de palabra “fluido” es “libre para cambiar de forma” .
Daniel Bernoulli (Groninga, 8 de febrero de 1700 - Basilea, 17 de marzo de 1782) fue un matemático, estadístico, físico y médico holandés-suizo. Destacó no sólo en matemática pura, sino también en las llamadas aplicadas, principalmente estadística y probabilidad. probabilidad. Hizo importantes contribuciones en hidrodinámica y elasticidad. y elasticidad.
Para comprender los interesantes fenómenos asociados con el movimiento de un fluido es necesario considerar las leyes fundamentales que rigen el movimiento de las partículas del fluido, como el empleo de la segunda ley de Newton (F=ma) aplicada al movimiento de una partícula de fluido.
La ecuación de Bernoulli es una de las más antiguas en la mecánica de fluidos y las hipótesis necesarias para obtenerla son numerosas, se puede aplicar de manera efectiva para predecir y analizar una variedad de situaciones de flujo. No obstante, si la ecuación se aplica sin respetar correctamente sus restricciones pueden surgir graves errores. En efecto, de la ecuación de Bernoulli se afirma con justicia que es “la ecuación de más uso y abuso en mecánica de fluidos”.
S eg unda un da L ey de Newton A medida que que una partícula partícula de un fluido se mueve mueve de un sitio a otro experimenta experimenta una aceleración o una desaceleración. En concordancia con la segunda ley de Newton, la fuerza neta que actúa sobre la partícula de un fluido en consideración debe ser igual a su masa multiplicada por la aceleración,
F = = ma En este tema se supondrá que la viscosidad del fluido es igual a cero. Si la viscosidad es cero, entonces la conductividad térmica del fluido también es cero y no puede haber transferencia de calor (salvo por radiación). Se supondrá que el movimiento del fluido está regido sólo por las fuerzas de presión y de gravedad, gravedad, y la segunda ley de Newton Newton se analizará analizará según como se aplica a una partícula de fluido en la forma: (Presión neta sobre una partícula) + (Fuerza de gravedad neta sobre la partícula) = (Masa de la partícula) x (Aceleración (Aceleración de la partícula) Para aplicar la segunda ley de Newton a un fluido (o cualquier otro objeto) es necesario definir un sistema de coordenadas en el que se describa el movimiento. En general se utilizará utili zará el sistema de coordenadas rectangular (x, y, z) y el cilíndrico (r, Ө, z). Casi siempre la geometría del fluido específico determina cual es el sistema más apropiado. En este tema se estudiará el movimiento bidimensional como el que se limita al plano x-z según se muestra en la figura 3.1ª.Resulta evidente que el flujo se podría describir en términos de las componentes de la aceleración y de las fuerzas en las direcciones de coordenadas x y z . Las ecuaciones ecuaciones resultantes resultantes se se conocen como como forma bidimensional de las ecuaciones de movimiento de Euler en coordenadas cartesianas rectangulares. Así como para el estudio de la dinámica, el movimiento de cada partícula del fluido esta descrito en términos de su vector velocidad, V , que se define como la razón de cambio con respecto al tiempo de la posición de la partícula. La velocidad de la partícula es una cantidad vectorial con magnitud (la rapidez, V V ) y dirección. Cuando la partícula se mueve, describe una trayectoria específica cuya forma es determinada por la velocidad del desplazamiento. Si el flujo es estable (es decir, nada cambia con el tiempo en un sitio dado en el campo de flujo), cada partícula consecutiva que pasa por un punto dado como el punto (1) de la figura 3.1a seguirá la misma trayectoria.
Figura 3.1 a) Flujo en el plano x-z. b) Flujo en términos de las coordenadas de la línea de corriente y coordenadas normales.
Partículas circundantes que pasan a cualquier lado del punto (1) siguen sus propias trayectorias, trayectorias, que pueden tener forma forma distinta a la seguida por la partícula que pasa por (1). Todo el plano x-z está lleno de esas trayectorias. Para flujos estables cada partícula se desliza a lo largo de su trayectoria y su vector velocidad es tangente a la trayectoria en todos los puntos. Las líneas tangentes a los vectores velocidad en todo el campo de fluido se denominan líneas líneas de corri cor rient ente e. En muchos casos es más fácil describir el flujo en términos de las coordenadas de la “línea de corriente” basadas en las lí neas de corriente, como se ilustra en la figura 3.1b. El movimiento de las partícula se describe en términos de la distancia s=s(t), a lo largo de la línea de corriente, que hay de la partícula a algún origen conveniente y del radio de la curvatura local de la línea de corriente, (s) . La distancia a lo largo de la línea de corriente está relacionada con la velocidad de la partícula a través de la relación V =ds/dt, =ds/dt, y el radio de curvatura está relacionado con la forma la línea de corriente. Además de la coordenada a lo largo de la línea de corriente, s , también se usará la coordenada normal a la línea de corriente, n, como se muestra en la figura 3.1b. Por definición, la aceleración es la razón r azón de cambio con respecto al tiempo de la V /dt. Para flujo bidimensional en el plano x-z, la velocidad de la partícula a=d V aceleración tiene dos componentes: componentes: una a lo largo de la línea de corriente, as, la aceleración en el sentido de la corriente, y una normal a la línea de la corriente, an, la aceleración normal. Así, las componentes de la aceleración en las direcciones s y n , a s y an, están dadas por as V
V s
,
an
V
2
(3.1)
Donde es el radio de la curvatura local de la línea de corriente y s es la distancia medida a lo largo de la línea de corriente desde algún punto inicial arbitrario. En general existe una aceleración a lo largo de la línea de corriente (debido a que la velocidad de la partícula cambia a lo largo de su trayectoria,
(
V s
0 )
y una aceleración aceleración normal normal a la línea de corriente (porque la partícula no
fluye en línea recta, ). A fin de producir producir esta aceleración, aceleración, sobre la partícula del fluido debe actuar una fuerza neta diferente de cero.
Figura 3.2 Aislamiento de una pequeña partícula de fluido en un campo de flujo.
F =ma =ma a lo larg larg o de una línea de corr cor r i ente Considérese la pequeña partícula de fluido de tamaño la figura y
y
s por n en
el plano de
normal a la figura como se muestra en el diagrama de cuerpo libre
de la figura 3.2. Los vectores unitarios a lo largo y normal de la línea de corriente se denotan por s y n , respectivamente. Para flujo estable, la componente de la segunda ley de Newton a lo largo de la dirección de línea de corriente s, se puede escribir como V V (3.2) Fs mas mV s V s Donde
F
s
representa la suma de las componentes s de todas las fuerzas que
actúan sobre la partícula, cuya masa es y V m
la dirección s. Aquí,
s n y
,
V s
es la aceleración en
es el volumen de la partícula. La Ecuación 3.2
es válida para fluidos incompresibles o compresibles. Es decir, no se requiere que la densidad sea constante en todo el campo del fluido.
Figura 3.3 Diagrama de cuerpo libre de una partícula de fluido para la cual las fuerzas importantes son las que se deben a la presión y a la gravedad.
La fuerza de gravedad (peso) sobre la partícula se puede escribir como W donde g es el peso específico del fluido (lb/pie3 o N/m3 ). Por tanto, la componente de la fuerza del peso en la dirección de la línea de corriente es ,
Si la línea de corriente es horizontal en el punto de interés, entonces Ө=0 y no hay componentes del peso de la partícula a lo largo de la línea de corriente que contribuya a su aceleración en esa dirección. En general, para flujo estable, p=p(s, n). Se tiene
Entonces, si
Fps
es la fuerza de presión neta sobre la partícula en la dirección
de la línea de corriente, se concluye
Es decir, Fps
p
s
Así, la fuerza neta que actúa en la dirección de la línea de corriente sobre la partícula que se muestra en la figura 3.2 3.2 está dada por
F W s
s
p Fps sen s
(3.3)
Combinando las ecuaciones 3.2 y 3.3 se obtiene la siguiente ecuación de movimiento a lo largo de la dirección de la línea de corriente
(3.4) La interpretación física de la ecuación 3.4 es que un cambio en la velocidad de la partícula de fluido se logra mediante la combinación idónea del gradiente de presión y del peso de la partícula a lo largo de la línea de corriente. La ecuación 3.4 se puede reordenar e integrar como se indica a continuación. Primero, con base en la figura 3.2 se observa que a lo largo de la línea de corriente senӨ=dz/ds. Tambien, se puede escribir
V
V s
.
Por último, a lo largo
de la línea de corriente el valor de n es constante (dn=0), de modo que p p p dp ds dn ds . Por tanto, a lo largo de la línea de corriente s n s p dp . Al combinar éstas ideas a la ecuación 3.4 se obtiene el siguiente s ds resultado válido a válido a lo largo de una línea de corriente
Lo anterior se simplifica a
(a lo largo de la línea de corriente)
(3.5)
Que se puede integrar para obtener
(a lo largo de la línea de corriente) (3.6) Donde C es una constante de integración determinada por las condiciones en algún punto sobre la línea de corriente. Con la hipótesis adicional de que la densidad permanece constante, la ecuación 3.6 asume la siguiente representación sencilla para flujo estable, no viscoso e incompresible.
p
1 2
2
V z
constante a lo largo de la línea de corriente
(3.7)
Esta es la célebre ecuación de Bernoulli , que constituye una poderosa herramienta en mecánica de fluidos.
Hipótesis 1.- Efectos viscosos son insignificantes 2.- Flujo estable 3.- Flujo incompresible (una hipótesis muy aceptable para líquidos y también para gases si la velocidad “no es demasiada alta”) 4.- La ecuación es válida a lo largo de la línea de corriente. Ejemplos. Considérese un flujo de aire alrededor de un ciclista que se desplaza a través de aire tranquilo a una velocidad V 0 0, como se muestra en la figura. Determinar la diferencia de presión entre los puntos (1) y (2).
Ejemplos. Como se muestra en la figura, del grifo que está en el primer piso del edificio fluye agua con una velocidad máxima de 20 pies/s. Para flujo estable, no viscoso, incompresible, determinar la velocidad máxima del agua desde el grifo del sótano (V2) y desde el grifo en el segundo piso (V3), suponer que cada piso mide 12 pies de alto. (g=32.2pies/s2) Utilizar:
p
1
V 2 g
2
z
co cons tan te
F = ma normal a una línea de corriente En muchos flujos las líneas de corriente son relativamente rectas, el flujo es esencialmente unidimensional y las variaciones en los parámetros a través de la línea de corriente (en la dirección normal) a menudo se pueden ignorar en comparación con las variaciones a lo largo de la línea de corriente. Sin embargo, en muchas otras situaciones se puede obtener información valiosa al considerar F = ma normal a la línea de corriente. Por ejemplo, la devastante región a baja presión en el centro de un tornado se puede explicar aplicando la segunda ley de Newton a través de las líneas de corriente casi circulares del tornado.
Figura 3.2 Diagrama de cuerpo libre de una partícula de fluido para la cual las fuerzas importantes son las que se deben a la presión y a la gravedad.
De la figura 3.2 considerando esta vez las componentes en la dirección normal, la la segunda ley de Newton en esta dirección se escribe como,
n , y
Fn Donde
F
n
mV 2
V
(3.8)
representa la suma de n componentes de todas las fuerzas que
actúan sobre la partícula. Se supone que el flujo es estable con aceleración normal
an
V
2
,
donde
es el radio de la curvatura local de las líneas de
corriente. Dicha aceleración es producida por el cambio en dirección de la velocidad de la partícula a medida que ésta se mueve a lo largo de una trayectoria curva. Nuevamente se supone que las únicas fuerzas de importancia son la presión y la gravedad. La componente del peso (fuerza de gravedad) en la dirección normal es
Entonces, si Fpn es la fuerza de presión neta sobre la partícula en la dirección normal, se concluye que
O bien Fpn
p
n Por tanto, la fuerza neta que actúa en la dirección normal sobre la partícula que se muestra en la figura 3.2 está dada por
p c o s pn n
F W F n
n
(3.9)
Al combinar las las ecuaciones 3.8 y 3.9 y usando el hecho de que a lo largo largo de una una recta normal a la línea de corriente se tiene que cosӨ = dz/dn, se obtiene la siguiente ecuación del movimiento a lo largo de la dirección normal
dz dn
p n
V 2
(3.10)
La interpretación física de la ecuación 3.10 es q ue un cambio en la dirección de flujo de una partícula de fluido (es decir, una trayectoria curva, R<∞) se logra mediante la combinación apropiada del gradiente de presión y el peso de la partícula normal a la línea de corriente. Una velocidad o densidades mayores o un menor radio de curvatura del movimiento requieren un mayor desequilibrio de fuerzas para producir el movimiento. Por ejemplo, si se ignora la fuerza de la gravedad (como comúnmente se hace para flujos de gases) o si el flujo está en un plano horizontal (dz/dn=0), la ecuación 3.10 se convierte en
p V 2 n Lo anterior indica que la presión aumenta con la distancia a partir del centro de p
V 2
es positiva: la dirección n positiva apunta hacia el “interior” de la línea de corriente curva). Así, la presión fuera de un tornado (presión atmosférica normal) es mayor que cerca del centro del tornado (donde puede ocurrir un vacío parcial bajo a menudo peligroso). Esta diferencia de presión se requiere para equilibrar la aceleración centrífuga asociada con las líneas de corriente curvas del movimiento del fluido.
curvatura (
n
es negativa porque
Si la ecuación 3.10 se multiplica por dn , se aplica el hecho de que
p
dp
si s dn es constante y se integra a través t ravés de la línea de corriente (en la dirección n ), se obtiene n
V2
dp
onstan ante te a trav través és de la líne línea a de de co corrie rrient nte e dn gz Const
(3.11)
Así, la forma final de la segunda ley de Newton aplicada a través de las líneas de corriente para flujo estable, no viscoso e incompresible es p
V2
dn z Constante a través de la línea de corriente
(3.12)
Interpretación física Una interpretación física de las ecuaciones será de utilidad comprender los procesos con los que se relacionan. relacionan. Para este efecto, las ecuaciones 3.7 y 3.12 3.12 se vuelven a escribir a fin de interpretarlas físicamente. Al aplicar la fórmula F = ma a lo largo de la línea de corriente y normal a la línea de corriente se obtiene
p
1 2
p
V 2 z constante a lo largo de la línea de corriente V2
dn z Constante a través de la línea de corriente
(3.13)
(3.14)
Para obtener estas ecuaciones se establecieron las siguientes hipótesis básicas: el flujo es estable y el flujo es no viscoso e incompresible. En la práctica ninguna de éstas hipótesis es verdadera exactamente. Otra forma, pero equivalente a la l a ecuación de Bernoulli, se obtiene al dividir cada término de la ecuación 3.13 entre el peso específico ϒ para para obtener
p
1 2g
V 2 z constante so sobre un una línea de de co corriente
Cada uno de los términos de esta ecuación tiene unidades de energía por peso (LF/F=L) o de longitud (pies, metros) y representa cierto tipo de carga. El término de la elevación, z , está relacionado con la energía potencial de la altura ura. partícula y se denomina carg a de alt
cabeza de pres pres ión y representa El término de presión, p/ , se denomina carg a o cabeza la altura de una columna del fluido necesaria para producir la pr esión p. /2g , es la carg a de velocidad (altura El término de la velocidad, V 2 /2g (altura dinámica) y representa la distancia vertical necesaria para que el fluido caiga libremente (sin considerar la fricción) si ha de alcanzar una velocidad V partiendo del reposo.
c arg a de presión, de La ecuación de Bernoulli establece que la s uma de la carg velocidad y de altura es constante a lo largo de una línea de corriente. EJEMPLOS.Considérese el flujo que sale de la jeringa que se muestra en la figura. Una fuerza aplicada al émbolo produce una presión mayor que la presión atmosférica en el punto (1) en el interior de la jeringa. El agua sale de la aguja, aguja, punto (2), con una velocidad relativamente alta y asciende hasta el punto (3) en la cima de su trayectoria. Analizar la energía del fluido en los puntos (1), (2) y (3) aplicando la ecuación de Bernoulli.
EJEMPLOS.Considérese el flujo estable, no viscoso e incompresible que se muestra en la figura. De la sección A a B las líneas de corriente son rectas, mientras que de C a D siguen trayectorias circulares. Describir la variación de presión entre los puntos (1) y (2) y entre los puntos (3) y (4).
Presión estática, de estancamiento, dinámica y total Un concepto de utilidad asociado con la ecuación de Bernoulli tiene que ver con las presiones de estancamiento y dinámica. Estas presiones surgen al convertir la energía cinética en un fluido que circula en un “aumento de presión” a medida que el fluido llega al reposo. Cada término de la ecuación de Bernoulli, ecuación 3.13, tiene las dimensiones de fuerza por unidad de ár ea, lb/pulg 2 , lb/pie2 , N/m2 . El primer término, p, es la presión termodinámica real del fluido a medida que éste fluye. Para medir su valor, uno podría desplazarse junto con el fluido y, por tanto, quedar “estático” con respecto al fluido en movimiento. Por tanto, dicho término normalmente se denomina presión estática.
pr es ión ió n hidros hidr os tátic tática a, en El tercer término en la ecuación 3.13, z, se denomina pres alusión evidente a la variación de presión hidrostática. No se trata realmente de una presión, aunque representa el cambio de presión posible debido a variaciones de energía potencial del fluido como resultado de cambios de elevación. 2 /2 /2, se denomina pres pr es ión ió n El segundo término en la ecuación de Bernoulli, ρV dinámica. Su interpretación se puede ver en la figura 3.4 al considerar la presión en el extremo de un pequeño tubo insertado en el flujo y que apunta corriente arriba. Después que se extingue el movimiento transitorio inicial, el líquido ocupa el tubo hasta una altura H como se muestra. El fluido en el tubo, incluyendo el que está en la punta (2), es estacionario. Es decir V 2 2 = 0, es un punto de estancamiento.
Si la ecuación de Bernoulli se aplica entre los puntos (1) y (2), usando V 2 = 0 y 2 = suponiendo que z 1 = z 2 2, se encuentra que p2
p1
1 2
2
V1
Por tanto, la presión en el punto de estancamiento es mayor que la presión estática, p1, por una cantidad
1 2
2
V 1
,
la presión dinámica.
Se puede demostrar que sobre todo cuerpo estacionario colocado en un fluido en movimiento existe un punto de estancamiento. Algunos fluidos circulan “sobre” y algunos circulan “bajo” el objeto. La línea divisoria (o superficie para fluidos bidimensionales) se denomina línea de corriente de estancamiento y termina en el punto de estancamiento sobre el cuerpo.
Figura 3.4 Medición de las presiones estática y de estancamiento.
Para objetos simétricos (como una esfera) resulta evidente que el punto de estancamiento está en la punta o enfrente del objeto, como se muestra en la figura 3.5a. Para objetos no simétricos como el avión que se muestra en la figura 3.5b, no siempre es evidente la ubicación del punto de estancamiento.
Figura 3.5 Puntos de estancamiento sobre cuerpos en fluidos que fluyen.
Si se ignoran los efectos de la elevación, la presión de estancamiento, p+ρV 2 /2, es la mayor presión obtenible a lo l o largo de una línea de corriente dada. Representa la conversión de toda la energía cinética en un aumento de presión. La suma de la presión estática, la presión hidrostática y la presión dinámica se denomina presión total, pT . La ecuación de Bernoulli es una afirmación de que la presión total permanece constante constante a lo largo de la línea de corriente. corriente. Es decir, decir,
p
1 2
V 2 z pT =constante a lo largo de la línea de corriente
Nuevamente, es necesario tener cuidado en que las hipótesis establecidas en la obtención de esta ecuación sean apropiadas para el flujo en consideración. El conocimiento de los valores de las presiones estáticas y de estancamiento en un fluido implica que se puede calcular la velocidad del fluido. Este es el principio en que se basa el tubo de Pitot estático. Como se muestra en la figura 3.6, dos tubos concéntricos están conectados a dos manómetros (o a su manómetro diferencial) de modo que se pueden determinar los valores de p 3 y p4 (o la diferencia p3-p4 ).
El tubo central mide la presión de estancamiento en su punta abierta. Si los cambios de elevación son insignificantes, p3 p
1 2
V 2
Donde p y V son son la presión y la velocidad del fluido corriente arriba del punto (2). El tubo exterior tiene varios orificios pequeños a una distancia apropiada de la punta, de modo que miden miden la presión estática. Si la diferencia de elevación entre (1) y (4) es insignificante, entonces p4 = p1 = p Combinando estas dos ecuaciones se observa que p3 p4
1 2
V
2
Que se puede volver a ordenar or denar para obtener V
2 p3
p4
Figura 3.6 Tubo de Pitot Estático.
(3.16)
Fig ura 3.6 Dis eño eñoss ca caract racterís erís ticos de tubo tubo de Pitot Pitot estático estático
Ejemplo.- Un avión vuela a 146.7 pies/s a una altitud de 10,000 pies en una atmósfera normal como se muestra en la fig. Determinar la pr esión en el punto (1) lejos del avión, la presión en el punto de estancamiento sobre la nariz del avión, punto (2).
EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI Entre dos puntos cualesquiera, (1) y (2), sobre una línea de corriente de un flujo estable, no viscoso e incompresible, la ecuación de Bernoulli se puede aplicar en la forma
p1
1 2
2
V1
z1
p2
1 2
V2
2
z 2
(3.17)
Resulta evidente que si se conocen cinco de las seis variables, es posible determinar la restante. En muchos casos es necesario introducir otras ecuaciones, como la conservación de la masa.
CHORROS LIBRES Una de las ecuaciones más antiguas de la mecánica de los fluidos está relacionada con el flujo de un líquido que sale de un gran depósito como se muestra en la figura. Un chorro de líquido de diámetro “d” fluye desde la tobera a velocidad V como se muestra. Al aplicar la ecuación de Bernoulli entre los puntos (1) y (2) sobre la línea de corriente mostrada mostrada se obtiene
Usando los hechos de que z 1=h, z 2 =0, que el depósito es grande (V 1=0) y está 2 =0, abierto a la atmósfera (p1=0 manométrica), y que el fluido sale como “chorro libre” (p2 =0). =0). Así se obtiene
(3.18) Que es la versión moderna de un resultado obtenido en 1643 por Torricelli Torricelli (16081647), un físico italiano.
Flujos confinados En muchos casos el fluido está restringido físicamente en el interior de un dispositivo de modo que no es posible prescribir de antemano su presión, como se hizo en los ejemplos anteriores de chorro libre. Estos casos incluyen boquillas y tubos de diámetro variable en los que cambia la velocidad del fluido debido a que el área de flujo es diferente de una sección a otra. Para estas situaciones es necesario usar el concepto de conservación de la masa (la ecuación de continuidad) junto con la ecuación de Bernoulli.
Fi g ura 3.7 F lujo estable estable que que entra entra y s al ale e de un depós depós ito
Considérese un fluido que circula a través de un volumen fijo (como un depósito) que tiene una entrada y una salida como se muestra en la figura 3.7. Si el flujo es estable, de modo que no hay acumulación adicional de fluido dentro del volumen, entonces la razón a que el fluido circula hacia el interior del volumen debe ser igual a la razón con que fluye hacia fuera de él (en caso contrario, no se conservaría la masa).
El flujo másico en una boca de salida,
m
(Slugs/s o kg/s), está dado por m Q
donde Q (pies3/s o m3/s) es el caudal o flujo volumétric o. Si el área de la boca de salida es A y el fluido circula a través de esta área (normal al área) a una velocidad media V , entonces el volumen del fluido que cruza esta área en un intervalo de tiempo ẟt es VA ẟt, igual al que hay en un volumen de longitud V ẟt y área A de la sección transversal (ver figura 3.7). Por tanto, el flujo volumétrico (volumen por unidad de tiempo) es Q = VA. Así,
m VA
.
Para conservar la
masa, el flujo que entra debe ser igual al flujo que sale. Si la entrada se designa como (1) y la salida como (2), se concluye que m1 m2 Así, la conservación de
.
la masa requiere que 1V1A1 2 V2 A 2
Si la densidad permanece constante, entonces
1 2
y la expresión anterior se
dad para convierte en la ecuación de continui dad para flujo incompresible. V1A1
V2 A 2, o Q1
Q2
(3.19)
Ejemplo.Una corriente de agua de diámetro d=0.1 m fluye de manera estable de un depósito de diámetro D=1.0m como se muestra en la figura. Determinar el caudal o flujo, Q, necesario en el tubo de entrada si la profundidad del agua permanece constante, h=2.0m.
Ejemplo.De un depósito grande fluye aire en forma estable a tr avés de una manguera de diámetro D=0.03m, y sale a la atmósfera por una boquilla de diámetro d=0.01m como se muestra en la figura. figura. La presión en el depósito depósito permanece constante constante a 3.0 kPa (manométrica) y las condiciones atmosféricas son presión y temperaturas normales. Determinar el caudal y la presión en la manguera.
Ejemplo. A través de una reducción de tubería fluye agua como se muestra en la figura. Las presiones estáticas en (1) y (2) se miden con el manómetro de tubo U invertido que contiene aceite cuya densidad relativa, DR=0.90. Determinar la lectura del manómetro, h en metros. (Q=0.005m3 /s, D1=0.2m, D2 =0.1m, =0.1m, g=9.81m/s2 )
E n g enera enerall, un incremento de velocidad va acompañado de una disminución de presión. Por ejemplo la velocidad del aire que fluye sobre la superficie superior del ala de un avión es, en promedio, más alta que la del aire que fluye por la superficie inferior del ala. Así, la fuerza de presión neta es mayor en la parte inferior que en la superior, por lo que el ala genera una elevación. Si las diferencias de velocidad son considerables, las diferencias de presión también pueden serlo. Para flujos de gases, este hecho puede introducir efectos de compresibilidad. Para flujos de líquidos, puede dar por resultado cavitación, una situación potencialmente peligrosa que se presenta cuando la presión del líquido se reduce a la presión de vapor y el líquido “hierve”. La presión de vapor p v es es la presión a la que en un líquido se forman burbujas de vapor. Se trata de la presión a la cual empieza a hervir el líquido. Resulta evidente que esta presión depende del tipo de líquido y su temperatura. Por ejemplo, el agua, que hierve a 212°F a presión atmosférica normal, 14.7 lb/pulg 2 (abs), hierve a 80°F si la presión es igual a 0.507 lb/pulg 2 (abs). Es decir, pv = 0.507 lb/pulg2 (abs) a 80°F y pv = = 14.7 lb/pulg2 a 212°F. (Ver tablas B.1 y B.2). A partir de la ecuación de Bernoulli Bernoulli se observa una forma de producir cavitación cavitación en un líquido que fluye. Si se aumenta la velocidad del líquido (por ejemplo, reduciendo el área de flujo como se muestra en la figura 3.8), la presión disminuye. Esta disminución de presión (necesaria para acelerar el fluido a través de la constricción) puede ser tan grande que la presión en el líquido se reduce a su presión de vapor. Un ejemplo sencillo de cavitación se puede mostrar con una manguera de jardinería ordinaria. Si la manguera esta “plegada”, en el área de flujo se obtiene una restricción semejante de alguna forma de la figura 3.8. La velocidad del agua a través de ésta restricción es relativamente alta.
Fi g ura 3.8 V ariación de presi ón y cavita cavitación ción en una tubería tubería de área área vari vari ab able le
Ejemplo.Con un sifón se extrae agua a 60°F de un gran depósito a través de una manguera de diámetro constante como se muestra en la figura. Determinar la altura máxima de la curva, H, a la que es posible extraer agua con el sifón sin que ocurra cavitación. El extremo del sifón está a 5 pies por debajo del fondo del depósito. La presión atmosférica es de 14.7 lb/pulg 2 (abs).
Medición de Caudal Una forma efectiva de medir el caudal a través de una tubería es colocar algún tipo de restricción en el interior de la tubería como se muestra en la figura 3.8 y medir la diferencia de presión entre la sección (1) corriente arriba de baja velocidad y alta presión y la sección (2) corriente debajo de alta velocidad y baja presión. Se ilustrarán tres tipos de medidores medidores de flujo de uso común: el medidor de orificio, el medidor de tobera (o boquilla) y el medidor Venturi. La operación de cada uno está basada en el mismo principio físico: un incremento de
velocidad produce una disminución de presión.
Fi g ura 3.8 Dis posi tivos comunes para me medir dir el cauda caudall en en tuberías tuberías
Se supondrá que el flujo es horizontal (z 1 = z 2 estable, no viscoso e 2 ), incompresible entre los puntos (1) y (2). La ecuación de Bernoulli se convierte en
p1
1
2
V1 p2
1
V2
2
2 2 Si se supone que los perfiles de velocidad son uniformes en las secciones (1) y (2), la ecuación de continuidad se puede escribir como Q V1A1 V2 A2
Donde A2 es es la pequeña (A 2
Q A2
2 p1 p2
A 2 1 2 A1
(3.20)
Ejemplo.- A través de un medidor Venturi que se muestra en la figura fluye Kerosina (DR=0.85) con caudales entre 0.005 y 0.050 m3/s. Determinar el intervalo de diferencia de presión, p1-p2 , necesario para estos caudales.
Otros medidores de flujo basados en la ecuación de Bernoulli se usan para medir caudales en canales abiertos, como canalones o compuertas de evacuación. Dos de estos dispositivos, la compuerta de desagüe y el vertedero de pared delgada a continuación. La compuerta de desagüe como se muestra en la figura 3.9 a menudo se utiliza para regular y medir el caudal en un canal abierto. El caudal, Q, es una función de la profundidad del agua corriente arriba, z 1, el ancho de la compuerta, b, y la apertura de la compuerta, a. Al aplicar la ecuación de Bernoulli y la ecuación de continuidad entre los puntos (1) y (2) se puede obtener una aproximación aceptable del caudal real obtenido. Se supondrá que los perfiles de velocidad son uniformes lo bastante lejos corriente arriba y corriente debajo de la compuerta. Así, se aplican la ecuación ecuación de Bernoulli y la ecuación ecuación de continuidad continuidad entre puntos sobre las superficies libres (1) y (2) para obtener
p1
1 2
V1
2
z1
p2
1 2
V2
2
z 2
Y Q = A1V 1 = bV 1z 1 = A2 V V2 2 = = bV 2 z 2z 2 2 Con el hecho que p 1 = p2 = = 0, estas ecuaciones se pueden combinar y volver a ordenar para obtener que el caudal es 2 g
Q z2b
z z 1
2
z z
1
(3.21)
2
2
1
En el límite de Q
z
z
1
2
z2b
este resultado se convierte en
2 gz1
Este resultado limitante representa el hecho de que si la razón de profundidad, z 1 /z 2 2, es grande, entonces la energía cinética del fluido corriente arriba de la compuerta no es significativa y la velocidad del fluido después que ha caído una distancia (z 1-z 2 2 ) = z 1 es aproximadamente V2
2 gz 1
Fi g ura 3.9 G eom eomet etría ría de una compuerta compuerta de des des ag üe
Para obtener el resultado de la ecuación 3.21 se usó la profundidad corriente abajo, z 2 2, no la apertura de la compuerta, a. Como se analiza con respecto al flujo que sale por un orificio (figura 3.10), el fluido es incapaz de dar vuelta en un ángulo pronunciado de 90°. Se obtiene un chorro contraído con un coeficiente de contracción C c = z 2 menor que 1. Por lo común, el valor de C c 2 /a c, es aproximadamente 0.61 sobre el intervalo de la razón de profundidad de 0
Fi g ura 3.10 3.10 Patrones Patrones de flujo y coefic coefic iente ientess de contracción caracterís caracterís ticos pa para ra vari vari as config uraciones de salida salida redonda redonda..
Ejemplo.- Bajo la compuerta de desagüe que se muestra en la figura fluye agua. Determinar el caudal aproximado por unidad de ancho del canal.
Solución.-
La línea de energía y el perfil hidráulico La ecuación de Bernoulli es en realidad una ecuación de energía que representa la partición de un flujo estable, no viscoso e incompresible. La suma de las diversas energías del fluido permanece constante a medida que el fluido pasa de una sección a otra. Una interpretación útil de la ecuación de Bernoulli se puede obtener mediante el empleo de los conceptos de perfil hidráulico (ph) y línea de energía (le). Estas ideas representan una interpretación geométrica de un flujo y a menudo se pueden utilizar de manera efectiva para representar mejor los procesos fundamentales f undamentales presentes. Para un flujo estable, no viscoso e incompresible la energía total permanece constante a lo largo de una línea de corriente. El concepto de “carga” se introdujo al dividir cada término de la ecuación 3.7 de Bernoulli entre el peso específico, g , a fin de obtener la ecuación de Bernoulli en la forma siguiente p
1
V 2 g
2
z
co cons tan te sobre sobre una línea línea de cor corrie riente nte = H
(3.22)
Cada uno de los términos de esta ecuación tiene unidades de longitud (pies o metros) y representa un cierto tipo de carga. La ecuación de Bernoulli estable que la suma de la carga de presión, la carga de velocidad y la carga de altura es constante a lo largo de una línea de corriente. Esta constante se denomina carga total, H . La línea de energía es una recta que representa la carga total disponible para el fluido. Como se muestra en la figura 3.11, la elevación de la línea de energía se puede obtener midiendo la presión de estancamiento con un tubo de Pitot. El punto de estancamiento al final del tubo de Pitot proporciona una medida de carga (o energía) total del fluido. Por otro lado, la espita conectada al piezómetro que se muestra mide la suma de carga de presión y la carga de altura, p/ ϒ ϒ+z. + z. Esta suma a menudo se denomina carga piezométrica. La espita para presión no mide la carga de velocidad. En concordancia con la ecuación 3.22, la carga total permanece constante a lo largo de la línea de corriente (siempre que sean válidas las hipótesis de la ecuación de Bernoulli). Así, un tubo Pitot en otro sitio del tubo mide la misma carga total, como se muestra en la figura. Sin embargo, las cargas de altura, velocidad y presión pueden variar a lo largo de la línea de corriente.
Fi g ura 3.11 R epresenta epresentaci ci ón de la la línea línea de ene energ rg ía y el perfil perfil hidráulico
El lugar geométrico de las elevaciones que se obtiene en una serie de tubos de Pitot se denomina línea de energía, LE. La que se obtiene con una serie de espitas piezométricas se denomina perfil hidráulico, PH. Con la hipótesis de la ecuación de Bernoulli, la línea de energía es horizontal. Si la velocidad del fluido cambia a lo largo de la línea de corriente, el perfil hidráulico no es horizontal. Si los efectos viscosos son importantes (como suelen serlo en flujos de tubos), la carga total no permanece constante debido a una pérdida de energía a medida que el fluido circula a lo largo de su línea de corriente. Lo anterior significa que la línea de energía deja de ser horizontal. La línea de energía y el perfil hidráulico para flujo que sale de un gran depósito se muestra en la figura 3.12. Si el flujo es estable, no viscoso e incompresible, la línea de energía es horizontal y se encuentra a la altura del líquido en el depósito (ya que la velocidad del fluido en el depósito y la presión sobre la superficie son iguales a cero). El perfil hidráulico está a una carga de velocidad, V 2 por 2 /2g, debajo de la línea de energía. Así, un cambio en la velocidad del fluido debido a un cambio en el diámetro del tubo da por resultado un cambio en la elevación del perfil hidráulico. En la boca de salida del tubo, la carga de presión es cero (manométrica), de modo que la elevación del tubo y el perfil hidráulico coinciden.
Fi g ura 3.12 Lí nea de de energ energ ía y perfil hi drául dráulico ico pa para ra el flujo que sale de de un depósi to.
La distancia del tubo del perfil hidráulico indica la presión dentro del tubo como se muestra en la figura 3.13. Si el tubo está por abajo del perfil hidráulico, la presión dentro del tubo es positiva (superior a la atmosférica). atmosférica). Si el tubo tubo está por arriba del perfil hidráulico, la presión es negativa (inferior a la atmosférica). Así, para indicar rápidamente regiones de presión positiva o negativa dentro de un tubo se puede usar un dibujo a escala de un tubo y el perfil hidráulico.
Fi g ura 3.13 Us o de la la línea línea de energ ía y el perfil perfil hidráulico.
