Ecuación de Bernoulli para tenemos un conducto ( de una entrada y una salida ) por donde circula un fluido fluido ideal e incomprensible con flujo permanente se presenta en la siguiente forma:
p 2
z 2
V 2
2
2g
p1
z1
V 2 1
2g
constante
donde cada uno de los términos de la ecuación , representa una forma de energía denominada energía mecánica pero expresada en unidad de longitud , es decir , en metros de columna del líquido en movimiento .
p
representa la altura de presión estática
z
representa la altura de posición
V 2
representa la altura de velocidad o altura de presión dinámica
2g
Línea de energía fluido ideal
V 2
2
V 1
Hr
2g
Línea de energía fluido real
2g
2
p 2 V2
p1
Z2 V1 Z1
Línea de referencia
Línea de energía en un conducto de sección variable
Haciendo un balance de energía mecánica la línea de energía se mantiene constante ( para un fluido ideal ) y es descendente ( para un fluido real ) , indicándonos que existe pérdida de energía Hr (en metros ) en el sentido del flujo , por consiguiente la Ecuación de Bernoulli es modificada como se indica a continuación:
(
p1
z1
V 1
2
2g
)(
p 2
z 2
V 2
2
2g
) = Hr
expresión que según el “balance “balance de energía mecánica” mecánica” nos indica , que la energía energía que posee el fluid fluido en la sección 1 menos la energía del fluido adquirida en la sección 2 es igual a la pérdida de energía traducida en forma de calor . Finalmente, la línea de energía del fluido nunca será ascendente si durante su recorrido por el conducto no exista una turbo máquina que entregue energía al fluido , como es en el caso de una BOMBA .
En forma generalizada, la ecuación de Bernoulli tomando en cuenta la energía que se pierde y la energía que absorbe o entrega el fluido, será la siguiente
(
p1
z1
V 1
2
2g
) H B H T H r (
p 2
z 2
V 2
2
2g
)
carga que entrega el fluido a la turbina ( carga de turbina ) carga que absorbe el fluido por parte del rodete ( carga de bombeo )
Pérdidas de energía en conductos cerrados o tuberías
Al pasar un flujo de fluido por un conducto existirá una oposición a su movimiento llamado generalmente resistencia hidráulica, la misma que se puede originar por el rozamiento con la pared del conducto (debido a la rugosidad
absoluta
del material) o por el rozamiento entre sus partículas del fluido (ocasionadas por la
viscosidad) y, por los cambios de dirección del flujo. La resistencia hidráulica se verá reflejada en la pérdida de energía Hr , la cual podemos subdividirla en dos categorías : pérdida de superficie llamada también pérdida primaria Hrp a la que es originada por el rozamiento y en pérdida de forma denominada pérdida secundaria Hrs a la ocasionada por el cambio de dirección del flujo .
En una instalación hidráulica ( sistema ) donde existan solo tuberías y accesorios ( válvulas , codos , tés , ampliaciones , uniones , reducciones , etc. ) la pérdida de energía total será igual a la suma de las pérdidas señaladas anteriormente , es decir , Hr = Hrp + Hrs
Experimentalmente, se ha logrado obtener expresiones matemáticas empíricas que nos permiten determinar las pérdidas de energía. Así tenemos, la ecuación de Darcy Weisback para las pérdidas primarias:
L V 2 H rp d 2 g designando a , como el factor de fricción que en forma general es una función del número de Reynolds Re y de
la relación entre la rugosidad absoluta
y el diámetro interior del conducto d , o sea
d
. Para conductos de otra
forma geométrica diferente a la circular, el diámetro que se utiliza en vez de d es el diámetro hidráulico DH, a saber;
DH = 4 RH designando a RH , como el radio hidráulico representado por:
R H
Area transversal perímetro mojado
expresión que puede ser utilizada a menos que no exista otra información en la bibliografía especializada .
= f (Re,
El factor de fricción
d
), se puede obtener con la ayuda de un nomograma llamado DIAGRAMA DE
MOODY, sobre el cual están graficadas las curvas de variación del factor de fricción para los siguientes casos específicos:
= f ( Re ) para la zona de flujo laminar ( Re < 2000 ) y cualquier rugosidad de tubería
= f ( Re ,
=f(
d
d
) para la zona de flujo turbulento
) para la zona de flujo totalmente turbulento
o bien , se puede emplear las ecuaciones empíricas correspondientes a las curvas que están trazadas en dicho diagrama , dentro de las cuales podemos escribir a
64
Sí , Re 2000
Re
o con la Ecuación de Fanno:
0.25
d 5.74 0.9 log 3.7 Re
2
3 8 Sí , 5x10 Re 10 y 10
6
d
10 2
Los conductos dependiendo de su material y del fluido que pase por él , su rugosidad absoluta y por ende su sección transversal sufrirán alteraciones en sus medidas con el tiempo de funcionamiento dependiendo del grado de contaminación y viscosidad del fluido . Razón por la cual, el factor de fricción obtenido con las expresiones anteriores o con el diagrama de Moody , debe ser multiplicado por factores que tomen en cuenta la edad de la tubería . De la misma manera que la pérdida de energía primaria, experimentalmente se ha logrado encontrar una expresión que nos permita determinar la pérdida de energía secundaria, a saber:
H rs K
V 2
2g
donde K, representa el coeficiente de pérdida secundaria y su valor depende del accesorio ( ya sea del sistema de acople , diámetro , en algunos casos del número de Reynolds , etc. ) que se esté utilizando , existiendo por lo tanto para su cuantificación ; tablas , ábacos , fórmulas , etc. Otra manera de encontrar la pérdida de energía secundaria, es a través de la longitud equivalente Le y físicamente podemos interpretarla como la longitud de tubería que entrega una pérdida de energía igual a la que provoca el accesorio. Igualando estos conceptos, se obtendrá
Le
Kd
valor que se puede encontrar tabulado o través de gráficos dependiendo del accesorio .
En consecuencia, la pérdida de energía total según Darcy Weisbach puede tomar la forma siguiente
H r H r
L
L L V
2
e
2g
d
K
V 2
d
2g
en función de longitudes equivalentes
en función de coeficientes de pérdidas en accesorios
y cuando existan equipos como ; los intercambiadores de calor , filtros , etc. y dispositivos medidores de flujo en la instalación ( tales como las toberas , diafragmas , caudalímetros , etc. ) también ellos presentarán resistencia al flujo y deberán ser interpretados como una pérdida de carga y tomados en cuenta adicionalmente a la pérdida de energía total .
Cálculo de λ en régimen laminar (tuberías lisas y rugosas)
En régimen laminar λ no es función de la rugosidad y se calcula con la ecuación.
64
Re
3 8 O con la ecuación de Fanno: Si 5 * 10 ≤ Re ≤ 10
Cuando Re ≤ 2000
-6 -2 10 ≤ ε / D ≤ 10
y
0.25
Rr 5.74 log 3.7 R 0.9 e
(1.10)
2
Hay otras ecuaciones para el cálculo del coeficiente de fricción λ desarrolladas para los diversos flujos y materiales empleados como los de la tabla siguiente:
Coeficiente
λ para
Tuberías
cálculo de perdidas primarias en tuberías comerciales.
Régimen
Lisas y rugosas
Fórmula
Laminar Turbulento 3
8
5 * 10 ≤ Re ≤ 10 Lisas y rugosas
-6
Turbulento Lisas
-2
10 ≤ ε / D ≤ 10
Re ≤ 100000
Autor
64 Paiseulle
Re
0.25
Rr 5.74 log 3.7 R 0.9 e
2
Fanno
0.316 Re
1 / 4
Blasius
Lisas
Turbulento
1
(Zona de transición)
2 log10 Re 0.8
Karman - Prandtl (primera ecuación)
/ D 2.51 log10 3.7 Re 1
Rugosas
Turbulento
1 Rugosas
2 log10
D
1.74
Colebrook Karman - Prandtl (primera ecuación)
Diagrama de Moody
Está construido en papel doblemente logarítmico.
Es la representación gráfica de dos ecuaciones.
La ecuación de Poiseuille λ = 64 / Re. Esta ecuación en papel logarítmico es una recta. La prolongación dibujada a trazos es la zona crítica. En esa zona solo se utilizara la recta de Poiseuille si consta que la corriente sigue siendo puramente laminar. De lo contrario λ puede caer en cualquier punto (según el valor de R e) de la zona sombreada. La zona crítica es una zona de incertidumbre. La ecuación de Colebrook – White
/ D 2.51 . En esta ecuación log10 3 . 7 R e 1
λ = f(Re, ε / D) o sea
λ es función de dos variables. Dicha función se representa en el diagrama de Moody por una familia de curvas, una para cada valor del parámetro ε / D. Estas curvas para números bajos de Reynolds coinciden con la ecuación de Blasius.
0.316 Re
1 / 4
y la primera ecuación de Karmán – Prandil
1
2 log10 Re 0.8 , es decir, son asintóticas
a una u otra ecuación y se van separando de ellas para números crecientes de Reynolds. Esto se representa en el esquema simplificado siguiente del diagrama mismo de Moody.
Elaboración de las curvas en el diagrama de Moody.
Es un diagrama adimensional utilizable con cualquier sistema coherente de unidades.
Incorpora una curva de trazos, que separa la zona de transición de la zona de completa turbulencia, es decir la
zona en λ = f(Re, ε / D) de aquella en que λ = f(ε / D. Esta curva de trazos es convencional en realidad las curvas son como ya se ha dicho, sintomáticas.
Coeficiente de rugosidad absoluta,
ε
para tuberías comerciales. Rugosidad absoluta ε
Tipo de tubería
mm
pies
Vidrio, cobre, o latón estirado
< 0,001 (o lisa)
< 0,0000033(0 lisa)
Latón industrial
0,025
0.000082
Acero laminado nuevo
0,05
0,00016
Acero laminado oxidado
0,15 a 0,25
0,0005 a 0,00082
Acero laminado con incrustaciones
1,5 a 3
0,005 a 0.0098"
Acero asfaltado
0,015
0.00005
Acero roblonado
0,03 a 0,1
0,000098 a 0,00033
Acero soldado, oxidado
0,4
0.00131
Hierro galvanizado
0,15 a 0,20
0,0005 a 0.00066
Fundición corriente nueva
0,25
0.00082
Fundición corriente oxidada
1,a 1,5
0.0033 a 0.005
Fundición asfaltada
0,1
0.00033
Cemento alisado
0,3 a 0,8
0.00098 a 0.0026
Cemento bruto
Hasta 3
Hasta 0.0098
Acero roblonado
0,9 a 9
0.003 a 0.03
Duela de madera
0,183a O,9
0.0006 a .003
Los valores de la tabla anterior son un tanto imprecisos, por lo cual el valor de λ obtenido, que puede tener un error de
5% en tuberías lisas, puede, llegar a 10% en tuberías rugosas. De ordinario no se necesita más
precisión. En muchos problemas puede obtener una primera aproximación haciendo λ = 11.02 a 0,03. En un tubo rectilíneo la influencia del cambio de sección se hace sentir hasta un recorrido igual a 10 veces el diámetro (60 veces si el flujo es laminar). El cálculo de λ es pues menos preciso aún si la tubería es corta.
La variación de la rugosidad con el tiempo es aún más imprecisa. Puede utilizarse la fórmula de Colebrook. ε = ε0 + αt
Donde:
ε0 =
Rugosidad absoluta del material.
Procedimiento para el cálculo de las pérdidas primarias Hrp.
El procedimiento siguiente vale cuando la incógnita del problema es Hrp. Cálculo de Hrp por el diagrama de Moody conocidos Q, L, D, v, ε.
Según el material de la tubería se toma ε de la tabla 1.2 de la rugosidad absoluta. Se calcula la rugosidad relativa ε / D. Se calcula Re= v*D / υ. Se lee en λ el diagrama de Moody.
Este valor de λ se lleva a la ecuación de Darcy - Weisbach y se calcula hf
Curvas de fricción Al poner en función del caudal, la pérdida de energía total en una instalación ( sistema ) se demuestra que varía con la capacidad Q al cuadrado y al graficarla Hr vs Q nos dará la curva de fricción del sistema , tal como se indica en la figura siguiente.
Hr
Curva de fricción
Q
Curva de fricción de un sistema
Existen sistemas donde los conductos se conectan en serie (uno a continuación de otro) donde su pérdida de energía total y capacidad será
Hr = Hr1 + Hr2 o
Hr = (K1 + K2)Q2 L 1 1 K D 2 g A2
Donde;
Q = Q1 + Q2
en forma gráfica , se indican las curvas de fricción respectivas en la siguiente figura.
Hr L1
Hr
Hr2 Hr1
L2
Q
Q
d1
d2
(a) Conductos en serie
(b) Curvas de fricción
Curvas de fricción para conductos en serie
También , los conductos pueden encontrarse instalados en paralelo en donde un flujo es subdividido y de nuevo vuelven a juntarse en otro punto o cuando el flujo subdividido va a depósitos que contengan una misma presión en la superficie libre del líquido y ubicados a una misma posición vertical , tal como se indica en la figura 36 .
Q1
Hr3
Hr
Q
Q2
Hr2
Hr1 Hr
Q Q
Q3
Q1
Q2
( a ) Conductos en paralelo
( b ) Curvas de fricción
Conexión de conductos en paralelo y curvas de fricción respectivas
La pérdida de energía y la capacidad se expresará de la siguiente manera
Hr = Hr1 = Hr2 = Hr3 o
donde;
Hri = Ki Qi2
L 1 1 Ki tiene la misma representación matemática que la ecuación K D 2 g A2
H r total (
1
K 1
1 K 2
1 K 3
)1Q 2
Q = Q1 + Q2 + Q3
Un caso muy particular de la a plicación de la curva de fricción es cuando se t oma en cuenta para trazar la curva de carga Hs del sistema y para entender su expresión matemática en función de que parámetros hidráulicos lo relaciona, nos valemos de la figura 37, donde al aplicar un balance de energía mecánica
V V 1 p p1 z 2 z1 2 H s 2 2g 2
2
1
2g
L Le Q 2 d
A
2
HS Curva de resistencia del sistema ( carga del sistema )
Hr
Carga estática del sistema Q
Curva de resistencia del sistema de bombeo
expresión que manifiesta , que la carga del sistema que tiene que vencer la bomba a tr avés de la carga de bombeo HB , es igual a la carga de presión reinante en la superficie libre del líquido de los recipientes , más la carga de posición de los recipientes ( diferencia de niveles ) , más la carga de velocidad del líquido y más la carga de pérdida de energía ocasionada por las tuberías y los diferentes accesorios . La suma de los dos primeros términos de la carga del sistema es comúnmente denominada carga estática del sistema.
Cuando los recipientes están abiertos a la atmósfera, las presiones sobre el nivel del líquido de ambos recipientes será la presión atmosférica y las velocidades de los niveles se puede asumir despreciables. Por lo tanto, la carga de presión y carga de velocidad serán cero, quedándonos la carga del sistema en forma más simplificada de la siguiente manera
H s z 2 z1
1 L Le Q 2 2g
d
A 2
expresión que al graficar conjuntamente con la carga de bombeo versus la capacidad que nos entrega los fabricantes , se interceptarán en el punto f de la siguiente figura. Este punto nos señala la capacidad y carga de bombeo de funcionamiento que estará entregando la bomba en el sistema , a su vez con este punto se puede determinar la eficiencia de bombeo y compararla con el valor de máxima eficiencia que puede entregar la bomba y así determinar si en la instalación está una turbo máquina con potencia subutilizada .
HS
HB Curva de resistencia del sistema ( carga del sistema ) f
Hf
Curva de carga de bombeo
Hr
Carga estática del sistema Q Qf
Curvas de carga bombeo y carga del sistema ( instalación ) Generalmente, la curva de la carga de bombeo tiene la expresión matemática: HB = a + bQ + CQ2 , donde a, b y c son constantes que se obtienen de la curva de la bomba entregada por el fabricante.
Curva de bombeo
En la práctica, la carga real que entrega una bomba denominada como carga de bombeo HB es diferente a la carga ideal de Euler He por cuanto existen pérdidas hidráulicas dentro de la misma y además en una bomba existen también pérdidas mecánicas por el rozamiento de elementos mecánicos que rotan y las pérdidas volumétricas por la recirculación de flujo. Todas estas pérdidas se ven reflejadas en un término llamado eficiencia de la bomba B la cual es el resultado de multiplicar las eficiencias: hidráulica volumétrica
v
h
, mecánica
m
y
, es decir , B
=
h m
v
en consecuencia , podemos diferenciar entre potencia hidráulica Ph que adquirió el flujo al pasar por los álabes y la potencia que se debe entregar al eje de la bomba Peje . Matemáticamente queda:
Ph = QHB
Es importante señalar que los fabricantes de bombas dinámicas , entregan datos hidráulicos experimentales ya sea a través de tablas o mediante curvas de rendimiento ; a saber : carga de bombeo ( HB – vs - Q ) , eficiencia de bombeo (
B – vs
- Q ) y potencia al eje ( Peje – vs - Q ) como se indican en la tabla IV o en la figura 29
respectivamente.
Valores de capacidad , carga y eficiencia de una bomba centrífuga Q (gpm) 0 19 38 57 76 83.6
HB (p) 52.806
Peje *10 (Hp) 8.158 9.559 11.544 14.032 15.00 15.386
51.239 49.469 44.00 40.501
B
(%) 0 27.520 45.320 56.167 60 58.903
Curvas de rendimiento de una bomba centrífuga 70 eficiencia
) 60 P H ( 50 a ) i c % n ( 40 e i a t o c P n e 30 , i ) c i p f ( e 20 a g r 10 a C
carga
potencia
0 0
50
Caudal (gpm)
100
