UJIAN TENGAH SEMESTER FTUI Mata Kuliah Hari/ Tanggal Waktu Dosen Sifat Ujian
: Kalkulus : Kamis/ Kamis/ 20 Oktober Oktober 2005 : 110 menit : Siti Nurrohmah : Tutup Buku
1. (10) Tentukan himpunan penyelesaian dari: 5 a. 2 + ≥ 1 b. x + 5 − x − 2 < 1 x 2. (25) Diberikan fungsi:
0, -4 ≤ x ≤ -1 1 , 0< xx-1 < 2 f ( x ) = x − 1 0, x = 3 1, 3 < x ≤ 4 a. Tentukan domain dan range dari f(x) b. Periksa kontinuitas f(x) di titik-titik x= -1, 1, dan 3 Periksa apakah ada diskontinuitas yang dapat dihapuskan dan tunjukk an bagaimana cara menghapusnya. 3. (15) Hitung limit berikut: a. lim
4 x 2 + 3 x + 2 − 3 x 2 + x + 5
b. lim ( x + 1)
2
x + x − 2
x →1
cot x
x →0+
c. lim x → 2
x − 2
( x
2
−3
)
4. (15) Untuk soal a dan b, tentukan turunan pertama (dy/dx) dari fungsi-fungsi berikut: 2
a. arctg ( y / x) = ln x + y
2
b. lim
x 1+ e −1
x →0+
1 + e x + 1 c. Cari persamaan garis singgung di (1,1) pada kurva x3y + x2y – 2 = 0
5. (15) Diberikan lim
x 1 + e −1
f ( x ) =
x
x x − 1 1+ e +1 a. Tentukan interval dimana f(x) naik dan f(x) turun serta tentukan nilai maksimum/ minimum f(x). b. Tentukan interval dimana f(x) cekung ke atas dan f(x) cekung ke bawah serta tentukan titik baliknya. x →0+
6. (20) Pilih 4 soal dari soal-soal yang ada. Hitunglah integral berikut ini:
a. d.
dx
∫ x(ln x) ∫ x
2 x + 4 2
b.
2
− 6x + 5
dx
∫
cos x
x
dx
c.
e. cos(ln3 x) dx
f.
∫
1 − sin x
e
∫ 1− e
∫2
2 x
dx
3dz z ( z +
z − 2)
g.
dx
∫ 2 + cos x
JAWABAN UTS KALKULUS 2005
Dosen: Siti Nurohmah 1a. 2 + 2+ 3+
5
≥1
x
5 x 5 x
≤ −1
2+
≤0
1+
3 x + 5 x
1b.
5 x 5
x x + 5
≤0
x
≥0 ≥0
Syarat: x + 5 ≥ 00, −4 ≤ x x−≤2−≥10
x + 5 − x − 2 < 1 x + 5 < 1 +
≥ −1
x−2
x ≥ −5 1 x ≥ 2 , 0 < x − 1 < 2 f ( x ) = x − 1 0, x = 3
x + 5 < 1 + 2 x − 2 + x − 2
6 < 2 x − 2
1, 3 < x ≤ 4
9 < x − 2 x > 11
HP: { x x > 11, 11, x ∈ R} 2.
0 < x − 1
0, −4 ≤ x ≤ −1 1 , 0 < x − 1 < 2 f ( x ) = x − 1 0, x = 3 1, 3 < x ≤ 4
dan
x − 1 < 0 ∨ x − 1 > 0
−2 < x − 1 < 3
x < 1
−1 < x < 3
x >1 -1 < x < 3, x ≠ 1
a. Domain dan range dari f(x) domain f: { x − 4 ≤ x ≤ 4, x ≠ 1; x ∈ R} f ( x ) =
1 x − 1
, f (−1) = −
range f: y y = 0, y < −
1 2 1 2
x − 1 < 2
, f (3) = atau y >
1 2 1 2
; y ∈ R
b. di x = -1 lim 0 = 0
f ( x) ≠ lim f ( x) 1 1 xlim x →1 →1 lim =− x →−1 x − 1 2 x →−1−
−
+
+
f(x) di x = -1 diskontinu dan jenisnya diskontinu melompat yang tidak bisa dihapuskan karena lim f ( x) ≠ lim f ( x) . x →−1−
x →−1+
di x = 1 1 lim = −∞ x →1 x − 1 1 lim =∞ x →1 x − 1 Karena lim f ( x ) ≠ lim f ( x ) maka di x = 1, fungsi diskontinu dan tidak dapat −
+
x →1−
x →1+
dihapuskan. di x = 3 1 1 = lim x →3 x − 1 2 lim 1 = 1 −
x →3+
Karena lim f ( x) ≠ lim f ( x) , f(x) di = 3 diskontinu dan jenisnya diskontinu −
+
x →−3
x →−3
melompat yang tidak dapat dihapuskan. 3a.
4 x 2 + 3 x + 2 − 3 x 2 + x + 5
lim
2
x + x − 2
x →1
x →1
( x + 2)( x − 1)
x →1
3b.
( x + 2)( x − 1) 1+ 3
(
9+ 9
lim ( x + 1)
x →0
(
4 x 2 + 3x + 2 + 3 x 2 + x + 5
=
)
(
2
2
4 x + 3x + 2 + 3 x + x + 5
2 9
cot x
+
1
> lim(1 + x) = e x
x →0
1 x = lim (1 + x ) x →0
cot gx . x
+
> lim+ x cot gx = lim+ x →0
lim x cot gx
= e x→0
+
x→0
cot gx x
2
> lim+
− cos ec x
x →0
− x
−2
sehingga lim x cot gx
e x
→0
2
)
( x + 3)( x − 1)
= lim
3
2
4 x + 3x + 2 + 3x + x + 5
4 x 2 + 3 x + 2 − 3 x 2 − x − 5
= lim
=
×
4 x 2 + 3x + 2 + 3x 2 + x + 5
+
1
=e =e
= lim+ x→0
−1
x
2
sin 2 x
=1
)
3c. lim
x → 2
x − 2
( x
2
−3
)
x − 2
> lim−
( x
x → 2
2
−3
)
=
−1
4−3
= −1
x − 2
> lim+
=0 2 3 x − ( ) Karena lim f ( x ) ≠ lim f ( x ) , maka limit di atas tidak mempunyai nilai. x → 2
x → 2−
4a.
x → 2+
y 2 2 = ln x + y x
arctg
1 2
( y ' x
−1
+ y. − x
−2
)=
1
x +y y x 1 y 2 y ' .2 ( x + yy ' ) x − 2 = 2 2 x x 2( x + y )
1+
2
y y − 2 = x + yy ' x x
x
xy '− y = x + yy ' xy '− yy ' = x + y y ' =
4c.
x + y x − y
x 3 y + x 2 y − 2 = 0
3 x 2 y + x 3 y ' + 2 xy + x 2 y ' = 0 gradien garis singgung = f'(1) 3 + y '+ 2 + y ' = 0 2 y ' = −5 y ' = −
5
→m 2 persamaan garis singgung:
y − f (1) = f '(1)( x − x1 ) y − 1 = − y = −
5 2
5 2
( x − 1)
x+
7 2
2
2
.
1
(x 2
2
+y
2
−
1
) ( 2 x + 2 yy ') 2
4b.
x
1+ e −1
y
e = x
1+ e − 1
×
1 + e x + 1
y
(
x
=
)
1 + e −1 x
e
1+ ex − 1
x
x
x
x
2
e e = 1 + e − 2 1+ e + 1 x + y
= 2 + e − 2 1+ e
e
turunan I x + y
(1 + y ') = e − 2.
x + y
x+ y
x
e
1
( 1+ e ) 2 x
−
1
.e x
2
x
+ y '.e
e
x + y
=e −
1 + e x
e x
x
=e −
y '.e
e
x
−e
1 + e x
x+ y
x
e
x
e − y ' =
x
x
1+ e x y e e
y
f ( x ) =
=
×
1 1+ e y e
x
−e
y
×
1 + e x 1 + e x
1+ ex 1 + ex
1 + e x − e y (1 + e x ) − 1 + e x e (1 + e y
x
5b.
1−
1+ ex
e
y ' =
y
1 + e x − e y . 1 + e x − 1
y ' =
y ' =
−e e
y
e −e −e
x+ y
y
x
) x
− 1+ e + 1 y
e +e e
x
x
x − 1 ( x − 1) − x 1 a. f '( x ) = = − ( x − 1)2 ( x − 1)2
f '( x) = 0 → x − 1 − x ≠ 0 f ( x ) tidak memiliki nilai max. atau min. f '( x) = −
1 ( x − 1)
2
selalu negatif untuk ∀ x ∈ R
2 b. f '( x ) = −( x − 1)−
f ''( x ) = 2( x − 1)− = 3
2 ( x − 1)3
f ''( x) = 0 → tidak ada nilai yang memenuhi f(x) tidak mempunyai titik balik f cekung ke atas 2 (x - 1) x>1
3
>0
f cekung ke bawah 2 (x - 1)3 x<1
>0
Jadi, f cekung ke atas pada interval x > 1 f cekung ke bawah pada interval x < 1 6a.
dx
∫ x(ln x)
2
misal : u = ln x du =
1
x dx
dx
1
∫ x(ln x) ∫ u 2
= − (ln x )
6d.
∫ x
=
−1
2
du = −u −1 + c
+c=−
1 ln x
+c
2 x + 4 2
− 6x + 5
2 x + 4 ( x − 5)( x − 1)
=
A
B
( x − 5) ( x − 1)
A( x − 1) + B ( x − 5) = 2 x + 4 x = 1 ⇒ − 4 B = 6 ⇒ B = − x = 5 ⇒ 4 A = 14 ⇒ A = = = =
7
3
2
7 2
dx
− 2 ∫ x − 5 2 ∫ x − 1
7 d ( x − 5) 2∫
7 2
6e.
dx
3
x − 5
ln x − 5 −
−
3 d ( x − 1) 2
3 2
∫
x −1
ln x − 1 + c
∫ cos(ln 3 x)dx = x cos(ln 3x ) − ∫ xd cos(ln 3x ) 1
.3dx ∫ ∫ 3 x ∫ cos(ln 3 x)dx = x cos(ln 3x ) + x sin(ln 3x ) − ∫ xd (ln 3x ) cos(ln 3 x )dx = x cos(ln 3x ) + x sin(ln 3x ).
1
∫ cos(ln 3 x)dx = x cos(ln 3x ) +x sin(ln 3x ) − ∫ x cos(ln 3x ). 3 x .3dx 2∫ cos(ln 3 x )dx = x cos(ln 3x ) + x sin(ln3 x ) ∫
cos(ln 3 x )dx =
1 2
x [ cos(ln 3x ) + sin(ln 3x )] + c
UJIAN TENGAH SEMESTER FTUI Mata Kuliah Hari/ Tanggal Waktu Dosen Sifat Ujian
: Kalkulus : Senin/ 17 Oktober 2005 : 100 menit : Sarini Abdullah, S.Si, M.Stats : Tutup Buku
1. (20) Pilih salah satu dari dua soal berikut ini: a. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
3 x
− 4 < 2 x − 1 .
x, jika x < 0 b. Tentukan domain dan daerah hasil untuk fungsi f ( x) = x 2 , jika 0 ≤ x ≤ 2 3 − x, jika x < 2 c. Tentukan daerah dimana funsi tersebut diskontinu! 2. (20) Pilih dua dari empat soal yang tersedia: a. lim x + 2 x x →3 2
b. lim
+
( x
x → 2+
2
) x
+1
( 3 x − 1)
2 x
c. lim x →3+
x + 2 x + 2 5 d. lim 2 x →∞ x + 1
x + x
2
x x
3. (20) Pilih dua dari empat soal berikut: x
a. G ( x ) =
3
∫ t
2
x
b. f ( x) = e
1
dt . y ≥ 0 Tentukan DxG(x)!
+1
lncot x
. f ‘ (x) adalah . . . .
c. f ( x) = 2 cos ec e
d (ln(tanh x ))
d.
dx
ln x
. f ‘ (x) adalah . . . .
= ...
4. (20) Pilih dua dari empat soal berikut: 3
∫
a. x − 2 dx 1
2
b.
∫ ( x − x)dx −2
c.
∫
dx 2
x + 2 x + 5
d.
∫
x
2
9 − x
dx
1. (20) Dua pojok sebuah persegi panjang berada pada sumbu X dan dua yang lainnya pada parabola y=12 - x2 , y ≥ 0 . Berapa ukuran persegi panjang semacam ini agar luasnya maksimum?
JAWABAN UTS KALKULUS 2005 1a.
3 x
− 4 < 2 x − 1 . (ruas kanan dan kiri dikuadratkan)
3 − 4 < 2 x − 1 x 3 x − 4
2
< 4 ( x − 1)
2
2
2 3 x − 4 − 2 ( x − 1) < 0 3 3 − 4 − 2 ( x − 1) − 4 + 2 ( x − 1) < 0 x x 3 3 (ruas kanan dan kiri dikali x2) 2 x 2 2 x 6 0 − − + − < x x 3 3 − − 2 x 2 x x x + 2x − 6 x < 0
( 3 − 2 x
2
)( 3 + 2 x
− 2x
2
)
− 6x < 0
Gunakan rumus x1,2 =
−b ±
2
b − 4ac
2a
Dari rumus tersebut didapat: 1 1 x1,2 = (3 ± 3) dan x3,4 = − (1 ± 7) 2 2 + + //////////////// /////////////// //////////////// 1 1 1 1 (3 − 3) (3 + 3) − (1 + 7) − (1 − 7) 2 2 2 2 1 1 1 1 HP: x x < − 1 + 7 ∨ 3 − 3 < x < − 1− 7 ∨ x > 3+ 3 , x∈ R 2 2 2 2
(
2b.
lim
( x
x → 2+
= =
5.2 25 2 5
(
)
2
x →∞
2d.
2
+ +1 2
)
( 3.2 − 1)
)
x
) x
(2
(
(
)
x
2
lim
+1
( 3 x − 1)
= lim+ x → 2
2
)
+ 2x + 2 5 2
x + 1
x
2 x + 1 5 = lim 1 + 2 x →∞ x + 1
2
x →∞
= lim 1 +
2 x +1 x . x 2 +1 5 2 x 2 + x 5 x 2 + 5
lim
x →∞
=e
2
x 2 + 1
lim
x →∞
=e
2 x + 1
2 x +1 2 x +1 x . . 2 x +1 x 2 +1 5
3b.
f ( x ) = e f ( x ) = e
4a.
lncot x e
3
∫ x − 2 dx
logcot x
⇒ x−2
1
dan − x + 2; x < 2
f ( x ) = cot x f '( x ) = − cos ec 2 x
f ( x ) = 2 cos ece f ( x ) = 2 cos ece
=
3
1
2
∫ − x + 2dx + ∫ x − 2dx
=−
ln x e
2
log x
=−
f ( x ) = 2 cos ec x
1
=−
1
1
4b.
x
1 2 1 2 3 2
f '( x ) = −2 cos ec x .cot an x . . 2 x f '( x ) = −
→ x − 2; x ≥ 2
2
2
x + 2 x ]1 +
1 2
(4 − 1) + 2(1) + + 2+
5 2
2
3
x − 2 x ]2
1 2
(9 − 4) − 2(1)
−2
=1
cos ec x .cot an x
2
∫ ( x − x)dx −2
=
2
2
−2
−2
∫ xdx − ∫ xdx
−1 0 1 2 = x + 2 x ]−2 − ∫ −2dx + ∫ −1dx + ∫ 0 dx + ∫1dx 2 −1 0 1 −2 1
=
1
2
2
( 4 − 4 ) − {−2 x ]−2 + − x ]−1 + x ]1 } −1
0
2
2 = 0 − {−2( −1 + 2) + −(0 + 1) + (2 − 1)} = 0 − (−2) =2
5.
y=12 – x2
x y
0 12
1 11
2 8
3 4 -1 -2 3 -4 11 8 x = ½ panjang 2x = panjang y = lebar daerah yang diarsir: persegi panjang
-3 3
Ukuran persegi panjang agar luasnya maksimum>>L’=0 L = 2 xy 2 = 2 x(12 – x ) = 24 x – 2 x3 2 L’= 24 – 6 x = 0 2 6 x = 24 2 x = 4 x1 = 2 v x2 = -2 Jadi, agar mencapai luas maksimum, persegi panjang harus mempunyai panjang 4 satuan dan lebar 8 satuan
UJIAN TENGAH SEMESTER FTUI (2005/2006) Mata Kuliah Hari/ Tanggal Waktu Sifat Ujian
: Kalkulus : Selasa/ 7 November 2006 : 120 menit : Tutup Buku
1. (10) Kerjakan satu dari dua. Carilah nilai limit berikut atau nyatakan alasannya jika limitnya tidak ada!
1 1 b. lim − x →1 x − 1 x − 1
2
a. lim
x − x − 1 − 1
x →1−
x − 1
−
−1, jika x ≤ 0 2. (15) Perhatikan fungsi berikut: f ( x) = ax + b, jika 0
d. y = x x
6 5 e. y = 1 + x + ( x 2 + ( x 3 ) 4 )
7
4. (15) Biaya operasional sebuah truk adalah 25 +
x
rupiah/km jika truk berjalan 4 dengan kecepatan x km/jam. Sebagai tambahan, supir memperoleh Rp 1200/ jam. Tentukan kecepatan yang paling ekonomis untuk mengoperasikan truk pada jarak tempuh 400 km, jika kecepatan dibatasi pada 40 sampai 50 km/jam. 5. (20) Kerjakan dua dari empat. Tentukanlah integral berikut ini! x d
a. xtdt dx ∫1
2
b.
∫ x x dx −1
4
∫
2
2
c. x cos( x + 4) sin( x + 4)
d.
∫ x
2
− 2 dx
0
6. (20) Kerjakan dua dari empat. Tentukanlah integral berikut ini! a.
∫e ∫
cos z
sin zdz
c. sin(ln x) dx
b.
∫ sin
5
4 x cos 2 4 xdx
x
c.
e4
∫ 1+ e
8 x
dx
JAWABAN UTS KALKULUS 7 November 2006 2
1a.
lim
x − x − 1 − 1 x − 1
−
x →1
= lim−
dx
(1 − x ) x 2 + x − 2
3b.
= lim−
( ) − 2sin x cos x
= 2 x cos x
y = x dy
1 − x ( x − 1)( x + 2)
x →1
y = sin ( x 2 ) − sin 2 x dy
x 2 − (1 − x ) − 1
x →1
= lim−
3a.
dx
π +1
2
x
+ (π + 1)
x
π
= (π + 1) x + ( π + 1) ln (π + 1)
(1 − x)
x →1
= lim− − ( x − 2) = −3 x →1
1b.
3c.
1 1 lim − x →1 x − 1 x − 1 1 1 = lim − x →1 x − 1 1 − x 1 1 = lim + x →1 x − 1 x −1 2 = lim x →1 x − 1
cos( xy 2 ) = y 2 + x
(
− sin xy
2
). y
−
dx
2.
−1, jika x ≤ 0 f ( x) = ax + b, jika 0 < x < 1 1, jika x ≤ 1 agar f(x) kontinu, maka garis y = ax + b harus melalui (1,1) dan (0,-1) y − y1 x − x1 y2 − y1 y − 1 −1 − 1
y − 1 −2
=
=
=
x2 − x1
x −1
0 −1 x −1 −1
y − 1 = 2 x − 2 y = 2 x − 1
Jadi, nilai a = 2 dan b = − 1
3d.
dx
dy
+1
dy
(
2
) − 1 = 2 y dx 1 + x sin ( xy )
dy
) −1 2 y 1 + x sin ( xy ) 2
(
− y sin xy
=
2
2
ln y = x ln x 1 dy y dx
dx
dx
2
x
dx dy
dy
) − 2 yx dx sin ( xy ) = 2 y dx + 1
y = x
dy
2 yx = 2 y
2
− y sin xy
−
dy
(
−
dy
+
2
− y sin xy
−
2
= 1.ln x + 1
= ( ln x + 1) y x
= ( ln x + 1) x
2
2
3e
6 5 4 2 3 y = 1 + x + x + x
)
(
a = ( x 2 + x12 ) b = ( x + a) y = (1 + b ) dy dx dy dx
=
7
5
6
7
dy db da db da dx
= 7 (1 + b )
6
4 6( x + a )5 5 ( x 2 + x12 ) ( 2 x + x11 )
6 6 5 5 5 2 12 4 2 12 2 12 6 5 ( x + x ) ( 2 x + x11 ) x x x = 7 1 + x + ( x + x ) + + ( ) dx
dy
(
)
(
)
UJIAN TENGAH SEMESTER FTUI Mata Kuliah Hari/ Tanggal Waktu Sifat Ujian
: Kalkulus : Selasa/ 7 November 2006 : 120 menit : Tutup Buku
1. Buktikan untuk setiap bilangan riil x,y,z berlaku x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx 2. Diketahui fungsi: f ( x ) = x + − x + 1 a. Tentukan domain fungsi f b. Gambarkan grafik fungsi f c. Apakah f kontinu di ℝ ? Jelaskan jawaban anda. 3. Pilih 2 dari 4 soal: Tentukan limit fungsi berikut ini: 2
a. lim x cos x →0
1 3
x
1 ln(ln x1000 ) x 1 x 2 x x b. lim d. lim ( x + e + e ) − c. xlim x →1 x − 1 x →∞ →∞ ln ln x x
1 dy 1 4. Tentukan dari fungsi y = x − − 2 dx x x
−
1 x3
−1
−2
−3
5. Cari semua titik (x,y) pada x 2 / 3 + y 2 / 3 = 8 (lihat gambar), dimana gradient atau slope garis singgung pada titik-titik (x,y) tersebut adalah -1.
23
-23
0
23
23
6. Pilih 2 dari 4 soal berikut ini: a.
∫
cot g (ln x ) x
∫
dx b. x ln( x + 3)dx c.
( x 3 − 1)
∫ x ( x − 2) 2
2
dx d.
∫ x
dx 3
x2 − 9
JAWABAN SOAL UTS KALKULUS 2006
1.
( x − y )
2
( y − z )
≥0
2
( z − x )
≥0
2
≥0
x 2 − 2 xy + y 2 ≥ 0
y 2 − 2 yz + z 2 ≥ 0
z 2 − 2 xz + x 2 ≥ 0
x 2 + y 2 ≥ 2 xy
y 2 + z 2 ≥ 2 yz
x + z ≥ 2 xz
2
2
2
2
x + y ≥ 2 xy x 2 + z 2 ≥ 2 xz 2
2
y + z ≥ 2 yz
+
2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ 2 ( xy + xz + yz )
( x 3a.
2
2
+y +z
2
) ≥ ( xy + xz + yz )
Gunakan titik apit −1 ≤ cos 2
1 3
x
3b.
≤1
1
2
− x ≤ x cos
3
x
ln x − x 2 + x x 1 lim − = lim x →1 x − 1 ln x x→1 ( x − 1) ln x gunakan l ' hopital
≤x
2
1
2
lim x →1
2
lim − x = 0 ∧ lim x = 0 x →0
x→0
2
→ lim x cos x →0
3c.
lim
1 3
x
ln x ( ln x1000 )
=0
= lim
lim x →1
ln x (1000 ln x )
x→∞ ln x ln x 1 1000 . 1 1 = =0 lim 1000ln x x = lim x →∞ x →∞ ln x 1 ∞ x x →∞
x
− 2 x + 1
( x − 1)
1
x −4 x + 1
= lim x →1
+ ln x
1 + ln x + 1
=
−4 + 1
2
=
1 − 2 x 2 + x
( x − 1) + x ln x −3
2
3d. lim ( x + e + e x
1 2 x x
)
x →∞
→ bentuk ∞
(e ln A = lim (e
∞
x →∞
misal A: lim ( x + e + e x
ln A = ln lim ( x + e + e
x →∞
)
x →∞
ln ( x + e x + e 2 x )
x →∞
(1 + e + 2e ) ( x + e + e ) ( e + 4e ) ln A = lim (1 + e + 2e ) 2x
x
x →∞
+ 4e
2x
x
)
x
x
x
x
x
x →∞
2x
x
2x
x
x
x
2x
x
(e
x
x
x →∞
( 4e ) 2 x
x →∞
x
2x
( 4e ) ln A = lim1 + e (1 + 4e ) e ( 4e ) ln A = 1 + lim e (1 + 4e ) ( 4e ) ln A = 1 + lim (1 + 4e ) ( 4e ) ln A = 1 + lim =2 ( 4e )
ln A = lim ln ( x + e x + e 2 x ) x
ln A = lim
+ 4e
ln A = lim1 +
1
x →∞
x
) )
2 x
1 2 x x
x →∞
ln A = lim
+ 8e
2 x x
x →∞
x
)
1
2x
x
x →∞
x
A = e 2
4.
1 Misalkan: a = 2 x
1 1 − 3 , b = − a x x
y = ( x − b ) dy
=
dx
−3
−2 −2 1 1 1 −2 −3 = −3 ( x − 6 ) ( −1) −2 − a ( − 1) ( − 1) 2 − 3 3 − 4 x db da dy x x x x
dy db da
−4
1 dy 1 = 6 x − − dx x x 2
5.
−2
1 x 3 −1
−
−2
−4
1 . − 12 x x
x 2 / 3 + y 2 / 3 = 8
2 3
x −1/ 3dx +
2 3
x = − dx y
dy
1=
x y
y −1/ 3dy = 0
−1/ 3
⇔ x = y
x 2 / 3 + y 2 / 3 = 2 x 2/ 3 = 8 x = 4
3/ 2
= ±8
Jadi, titiknya adalah (-8,-8) dan (8,8)
1 − 3 x
−1
−2
1 . 2 x
−2
1 2 3 − 3 . 3 + 4 x x x
6a.
∫
cot g ( ln x ) x
dx
misal : u = ln x → du =
∫
cot g ( ln x ) x
dx x
∫
dx = cot gudu
(
)
= − ln x sin u + c = − ln sin ln x + c
6b.
∫ x ln ( x + 3) dx misal : u = ln ( x + 3) → du = dv = x → v = =
1 2
1 2
x
dx x + 3
2
2
x ln ( x + 3) −
1
∫
x 2
2 x + 3
dx
9 dx = x ln ( x + 3) − ∫ + 2 2 ( x + 3) ( x + 3) 1 2 1 9 = x ln ( x + 3) − ∫ ( x − 3) + dx 2 2 ( x + 3) 1 2 11 2 = x ln ( x + 3) − x − 3 x + 9 ln ( x + 3 ) + c 2 22 1
= =
1 2 1
2 1 ( x − 9 )
2
x 2 ln ( x + 3) −
( x 2
2
)
1 4
x2 +
− 9 ln ( x + 3) −
3 2
1 4
x− 2
x +
9 2 3 2
ln ( x + 3 ) + c x+ c
UJIAN AKHIR SEMESTER FTUI Mata Kuliah Hari/ Tanggal Waktu Dosen Sifat Ujian
I.
: Kalkulus : Selasa/ 27 Desember 2005 : 120 menit : Team : Tutup Buku dan tanpa kalkulator
Pilih 2 soal dari 4 soal berikut : ∞
1. Diketahui integral tak wajar :
1
∫
dx ( ) x x + 1 0 a. Jelaskan mengapa integral di atas merupakan integral tak wajar b. Hitung integral tersebut
2. Daerah D adalah daerah yang dibatasi oleh x = 3 y 2 − 2, x = y 2 , dan y = 0 .Tentukan pusat massa dari daerah D. 3. Tentukan volume benda putar dari daerah D pada soal no.2 jika diputar mengelilingi garis y = -1 4. Tentukan volume benda putar dari daerah D pada soal no.2 jika diputar mengelilingi garis x = 1 II. Pilih 2 soal soal dari dari 4 4 soal berikut :: 2
5. Pada z = f (x,y) = 6. Misalkan f (x,y) =
x + y 2
x − y
2 2
, hitung x
∂ z ∂ x
+ y
∂ z ∂ y
pada x = 2, y = 1
y + 4 2
2
x y − xy + 4 x − 4 x a. Tentukan domain dari fungsi tersebut b. Tentukan lim f ( x, y ) ( x , y )→( 2 , −4 )
7. Berdasarkan hukum gas ideal, tekanan (P ), suhu (T ), dan volume (V ), suatu gas dihubungkan dengan persamaan PV = kT , dimana k konstanta. Tentukan laju perubahan tekanan terhadap suhu, pada saat suhu 400C jika volume dijaga konstan pada 100 inchi3 8. Misal temperatur pada suatu lempengan logam dinyatakan dengan T (x,y) = 4x2 - 4xy + y 2 derajat. Seekor semut berjalan di atas lempengan logam tersebut mengikuti jalur berbentuk lingkaran berjari-jari 5 dengan pusat titik asal. Tentukan suhu tertinggi dan terendah yang dirasakan oleh semut III. Pilih 3 soal dari 5 soal ssoal berikut : 21
9. Hitung integral berikut :
∫ ∫ ( x 0 0
5 x 2
2
)
+ y + 1
2
dydx
10.Carilah luas daerah yang terdapat di dalam r = 1 dan r = 1- cos θ 11.Hitung volume yang terdapat di dalam bola x2 + y2 + z2 = 36 dan di dalam parabolaida 9z = x2 + y2. Gambar!
2 2 12.Hitung volume daerah yang dibatasi di bawah oleh z = x + y , di atas oleh x2 + y2 + z2 = 1
Jawaban UAS KALKULUS 2005 Dosen : Team ∞
1.
1
∫
dx ( ) x x + 1 0 (a). Integral di atas disebut integral tak wajar dikarenakan oleh dua hal. Yang pertama karena terdapat batas ∞ . Kedua, jika kita memasukkan nilai untuk x = 0, maka integran akan bernilai ∞ . ∞
(b).
∫ 0
1
1 x (1 + x )
=
dx
∫ 0
∞
1 x (1 + x ) 1
= lim a →0
∫ a
1
x (1 + x )
[
= lim [2. a →0
=
π
2
π
4
1 x (1 + x ) b
1
= lim 2 arctan a→0
∫
dx +
dx + lim b →∞
x
π
2
−
1
1 x (1 + x )
] + lim [2 arctan 1
a
b→∞
- 2 arc tan
− 0 + 2.
∫
dx dx * x
]
b
1
a ] + lim [ 2 arc tan b →∞
b - 2.
π
4
π
2
= π (*) note :
∫
1 x (1 + x )
dx ………….(1) x = tan t ⇒ maka t = arc tan
misalkan x
1 2 x 1
x
= tan t
dx = sec 2 t dt dx = 2 sec 2 t dt.............(2)
x substitusikan (2) ke (1)
2 sec 2 t
2 sec 2 t
∫ (1 + x ) dt = ∫ (1 + tan t ) dt = ∫ 2
2 sec 2 t sec 2 t
∫
dt = 2 dt = 2t = 2 arc tan
2. D daerah yang dibatasi x = 3 y 2 − 2 , x = y 2 , dan y = 0
x
]
Titik potong kurva : x = y 2 ......................(1) x+2 2 2 ..........(2) x = 3 y − 2 ⇒ y = 3 (1) = (2) x+2 x = 3 3 x = x + 2 2 x = 2 x = 1 , maka y = ±1 My Mx pusat massa : x = ; y = m m 1
m =
∫ [ y
2
(
− 3 y
2
1
)]
∫ (− 2 y
− 2 dy =
0
2
)
+ 2 dy = −
0 1
1
1
y + 2 y 3 0 2
3
2
= 2−
1
=
3
4 3 1
Mx = ∫ y[ y − (3 y − 2 )]dy = ∫ y (− 2 y + 2)dy = ∫ (−2 y + 2 y )dy = − y + y 2 0 0 0 0 2
My =
1
2
2
1
[( y − (3 y 2∫ 2
2
))(
2
(
2
))]
− 2 y − 3 y − 2 dy =
0
=
1 2
=
∫ (−8 y
1
1
y − (9 y 2∫ 4
4
4
2
)
2
− 12 y + 4 dy
0
1
4
1
3
2
+ 12 y − 4)dy =
0
1 8
1
− y + 4 y − 4 y 2 5 0 5
3
1 8
4 − +4−4 = − 2 5 5
( )
pusat massa : x, y My
−4
5 =−3 x = = 4 m 5 3
y =
3 3 Jadi pusat massanya : − , 5 8 3. Metode Kulit Tabung :
Mx m
1
=
2=3 4 8 3
=
1 2
V = 2 π rh 1
= 2 π
∫ ( y + 1)( y − (3 y 2
1
))
2
− 2 dy = 2π
0
∫ ( y + 1)(− 2 y
2
)
+ 2 dy
0
1
∫
3 2 = 2 π (−2 y + 2 y − 2 y + 2)dy 0
1 = 2 π − y 4 + y 2 2 =
11
1
− y + 2 y 3 0 2
3
2 1 +1− + 2 3 2
= 2π −
π
3
4. Metode Cincin 1
∫[
V = π (1 − (3 y − 2 )) − (1 − y 2
2
1
) ]dy = π ∫ [(3 − 3 y ) − (1 − y ) ]dy
2 2
0
∫ (9 − 18 y
2
4
1
(
2
+ 9 y − 1 − 2 y + y
4
))dy = π ∫ (8 − 16 y
0
0 1
16 8 = π 8 y − y 3 + y 5 3 5 0
=
64
•
∂ x
120 80 24 15 − 15 + 15
π 2
2
2
2
x + y x − y
1
2 x( x 2 − y 2 ) − 2 x ( x 2 + y 2 ) 2 x 2 − y 2 ( x 2 − y 2 )2
1 x + y 2
=
= π
15
5. Diketahui Z = f ( x, y ) = ∂ z
2
−
2
Untuk x = 2 , y = 1 , maka 1
•
∂ z ∂ x
=
=
− 1 2 2 + 12 2 2.2(2 2 − 12 ) − 2.2(2 2 + 12 ) 2 2 2 2 2 2 − 12 (2 − 1 )
1 5
•
∂ z ∂ y
4
3
9
5
1
1
2 2 2 2 y x 2 2 ( − y ) + 2 y ( x + y ) 2 2 x − y 2 ( x 2 − y 2 )2
1 x + y 2
=
−
2 12 − 9 2 3 9
= −
2 2
0 1
= π
2 2
2
−
Untuk x = 2 , y = 1 , maka
2
+ 8 y
4
)dy
1
•
∂ z
=
∂ y
= =
− 1 2 2 + 12 2 2.1(2 2 − 12 ) − 2.1(2 2 + 12 ) 2 2 2 2 2 2 − 12 (2 − 1 )
1 5
−
1
2 6 + 10 2 3 9
8
3
9 5 Maka nilai dari ∂ z ∂ z pada x = 2 , y = 1 adalah : x + y ∂ x ∂ y x
∂ z ∂ x
+ y
4 3 8 3 + 1 9 5 = 0 9 5
∂ z
= 2 −
∂ y
6. Misalkan f (x,y) =
y + 4 2
2
x y − xy + 4 x − 4 x
(a) Domain : x 2 y − xy + 4 x 2 − 4 x ≠ 0
( x − 1)( xy + 4 x ) ≠ 0 ( x − 1) x( y + 4 ) ≠ 0 x ≠ 1, x ≠ 0, y ≠ −4
D = {( x, y ) x ≠ 1, x ≠ 0, y ≠ 4; x, y ∈ R} (b)
y + 4
lim
( x , y )→( 2, −4 ) x 2 y − xy +
lim
( x , y )→( 2, −4 )
lim
2 4 x − 4 x
y + 4
( x − 1)( y + 4 ) x 1
(
)
( x , y )→( 2, −4 ) x x − 1
=
1 2(2 − 1)
=
1 2
7. PV = kT kT P = V k ∂P ∂T ∂P ∂T
= =
V k
100
8. T ( x, y ) = 4 x 2 − 4 xy + y 2
( x
2
+y
2
) = 25
L ( x, y, λ ) = 4 x 2 − 4 xy + y 2 + λ ( x 2 + y 2 − 25)
L x = 8 x − 4 y + 2λ x = 0...(1) L y = −4 x + 2 y + 2λ x = 0...( 2) 2
2
Lλ = x + y − 25 = 0...(3)
(1) dam (2) 8 x − 4 y + 2λ x = 0
×1
− 4 x + 2 y + 2λ y = 0
×2
8 x − 4 y + 2λ x = 0 − 8 x + 4 y + 4λ y = 0 +
2λ x + 4λ y = 0 2λ ( x + 2 y ) = 0 λ = 0 , x = −2 y •
Untuk λ = 0 maka 4 y = 8 x sehingga y = 2 x Oleh karena itu x 2 + 4 x 2 = 25 2 x = 5 x = ± 5
Untuk x = 5 maka y = 2 5 Untuk x = − 5 maka y = −2 5 Untuk x = −2 y maka y 2 + 4 y 2 = 25
•
y 2 = 5 y = ± 5
Untuk y = 5 maka x = −2 5 Untuk y = − 5 maka x = 2 5 T ( 5 ,2 5 ) = 4.5 − 4 5.2 5 + 4.5 = 0 0 (Minimum) T (− 5 ,−2 5 ) = 4.5 − 4(− 5 ).(−2 5 ) + 4.5 = 0 0 (Minimum) T (−2 5 , 5 ) = 4.(4.5) − 4(−2 5 )( 5 ) + 5 = 125 0 (Maksimum) T (2 5 ,− 5 ) = 4.(4.5) − 4(2 5 ).(− 5 ) + 5 = 1250 (Maksimum) 21
∫ ∫ ( x
9.
0 0
2
=
)
2
+ y + 1
5
2
dydx =
2
∫ ∫ ( x 0 0
5 x 2
2
)
+ y + 1
2
5
− 2
1
1
arctan + arctan y 3 3 0
1
dxdy =
2
1 5 1 dy = ∫ − − 2 2 ∫ 2 0 ( x + y + 1) 0 2 0 3 + y 2 1
=
1
5 x
y
10. r = 1 , r = 1 - cosθ
=
5
+
5 2
1
0 0
dy
y + 1
π π − + 2 6 3 4
d ( x + y + 1)
∫ ∫ ( x
1
2
2
2
2
2
2
)
+ y + 1
2
dy
π
1
2
L=
∫∫ rdrd θ = 2 ∫ ∫ rdrd θ 0 1− cos θ 1
π
π
2 1 1 1 2 2 d θ = 2 ∫ − (1 − cosθ ) d θ = 2 ∫ r 2 1−cos θ 2 2 0 0 2
π
π
2
∫
= 2 cos θ − 0
1 2
2
∫
2
cos θ d θ = 2 cosθ − 0
1 1 = 2sin θ − θ − sin 2θ 4 8
π π = 21 − = 2 − 4 8
1 4
−
1 4
cos 2θ d θ
π
2
0
11. Volume di dalam bola x2 + y2 + z2 = 36 di dalam parabolaida 9 z = x 2 + y 2 Perpotongan : 9 z + z 2 = 36 2 z + 9 z − 36 = 0 ( z + 12)(z − 3) = 0 z = -12 , z = 3 untuk z = 3 maka x 2 + y 2 = 27 3 3
V =
∫ ∫ 0
2π 3 3
atau V =
∫ ∫ 0
0
2 36 − r −
27 − y 2
36 − x 2 − y 2 −
0
9 1
r rdrd θ 2
3 3 13 3 1 3 2 2 V = ∫ − ∫ 36 − r d (36 − r )d θ − ∫ r drd θ 9 0 0 2 0 3 3 3 3 2π 1 3 1 4 2 2 = ∫ − (36 − r ) 36 − r r d θ − 2 2 36 0 0 0 2π
1 9
( x
2
+ y
2
)dxdy
1 2 1 1 2 − − + . 9 . 3 . 27 . 27 . . 36 . 6 d θ ∫0 2 3 36 2 3
2π
=
2π
=
∫
2π
171 d θ = θ 4 4 0
171
0
=
171
π
2
12. Volume daerah dibatasi oleh x2 + y2 + z2 = 1 dan di bawah dibatasi z = x 2 + y 2
Perpotongan : 2 x 2 + 2 y 2 = 1 1 2 2 x + y = 2 1
1 2 2
2
− y
2
∫ ∫
V=
0
2 2 2 2 1 − x − y − x + y dxdy
0
1 2π 2 2
atau V =
∫ ∫ ( 1 − r − r )rdrd θ 2
0
0
1
1
2π 2 2
=
∫∫ 0 2π
=
0
−
1 2
1 − r 2 d (1 − r 2 )d θ −
1 2
∫ − 2 . 3 (1 − r ) 2
2
1 − r −
0
1 1 1 ∫0 − 3 . 2 . 2 2 2 1 = π 1 − 3 2 2
∫ ∫ r drd θ 2
0
2π
=
2π 2 2
−
1
.
1
.
1
3
0
0
r 3
1
3 2 2 2
+
1
2 2
1
d θ
d θ
3
UJIAN AKHIR SEMESTER FTUI 2006/2007 Mata Kuliah Hari / Tanggal Waktu Departemen Dosen Sifat
: KALKULUS : Kamis / 28 Desember 2006 : 100 menit : Teknik Industri : Fevi Novkaniza, M.Si : Tutup Buku, Tanpa Kalkulator
A. [20] Pilih 2 dari 3 3 soal dibawah dibawah ini : 1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik x = 8 – y2 dan x = y2 - 8 2. Tentukan volume benda putar jika daerah antara y = mengelilingi sumbu Y 3. Tentukan panjang kurva dari y =
1 2
(e
x
+e
− x
x 2 + 1 dan x =
3 diputar
) dari x = 0 ke x = 1
B. [20] P Pilih ilih 2 dari 3 soal berikut ini ini : ∞
∫
∞
a. xe
−3 x
b.
dx
0
1
c. Jika F ( x, y , z ) =
2 5 x y
x
∫ (1 + x )
2 3
dx t
3 / 2 3 , x = t + 2, y = ln 4t , z = e , tentukan
dF
dalam x, y, z, t 3 dt z C. [10] Pilih 1 dari 2 soal berikut : Apakah limit fungsi dua peubah dibawah ini ada? ada? Jelaskan jawaban anda. 3
a.
2
2
x − x y + xy − y
3
3 4 x y
b. lim 2 2 ( x , y )→( 0, 0 ) 2 x 4 + 3 y 4 x + y D. [10] Biaya total bahan untuk pembuatan kotak tanpa tutup adalah $10. Jika biaya bahan untuk bagian bawah kotak adalah $0,15 per cm2 dan biaya bahan untuk sisi lainnya adalah $0,3 per cm2, tentukan ukuran kotak tersebut agar volumenya maksimum. lim
( x , y )→( 0, 0 )
E. [40] Pilih 2 dari 3 soal berikut ini : a. Tentukan volume benda pejal dibawah permukaan z = x3 + y2 dan diatas bidang-bidang z = 0, x = − a, x = a, y = −a, y = a. 1 b. Tentukan dA, dimana S adalah daerah antara x2 + y2 = 4 dan x2 + y2 2 2 x + y S =9 2 c. Tentukan dA, dimana S adalah segitiga yang menghubungkan titik2 1 x + S titik (0,0), (2,2), dan (0,2).
∫∫
∫∫
Jawaban UAS Kalkulus 28 Desember 2006
Dosen Fevi Novkanza
