Dijital Kontrol Sistemleri - Sakarya Üniversitesi Doç.dr. Ayhan Özdemir Ders Notları.

PID Parametrelerinin Deneysel Olarak Ayarlanması

Endüstriyel uygulamalarda, PID kontrolörler genellikle deneysel olarak ayarlanır. PID kontrolör esnek olarak ayarlanabilen üç adet parametre oransal kazanç Kp , integral zaman sabiti Ti ve türev zaman sabiti Td ‘ye sahiptir. Kp nin arttırılması sistem cevap hızını arttırır ancak cevap osilasyonuda artar. Aynı durum Ti, azaltıldı ı zamanda söz konusudur. Td nin arttırılması ile sistem cevabı daha yava ancak daha kararlı olur. Bu bilgiler ı ı ı altında, matematik modeli mevcut olmayan sistemlerin kontrolünde PID kontrolör parametreleri deneme yanılma yöntemine dayalı olarak ayarlanabilir, ancak bu yöntemim ba arısı tamamen tasarımcının deneyimine ve ki isel becerisine ba lıdır. PID kontrolör parametrelerinin daha basit pratik ayarlanabilmesi için Ziegler ve Nichols iki yöntem sunmu lardır. Ziegler-Nichols metodları ile PID Tasarımı

Bu metodların avantajı sistem modeli ile ilgili bilgiye ihtiyaç duymamasıdır. PID parametreleri Kp, Ti ve Td ayarlamak için, kullanılacak yönteme göre, sadece sistemin açık çevrim veya kapalı-çevrim cevabı yeterli olmaktadır. Ayar kuralları sürekli-zaman sistemlere dayanmaktadır ve e er örnekleme zamanı T yeteri kadar küçük seçilirse ayrık-PID kontrolöre de uygulanabilir. ki adet yöntem vardır. Transient Cevap Metodu ile PID Tasarım (Transient response method) Önce sistemin basamak giri için açık-çevrim cevabı elde edilir. Bu yöntemin uygulanabilmesi için sistem açık-çevrim cevabının S- eklinde olması gerekir. Yoksa bu yöntem uygulanamaz. Kontrol edilecek olan sistemin açık-çevrim transfer fonksiyonunda integratör ve/veya kompleks e lenik kutuplar bulunmamalıdır. Sistem I. dereceden ölü zamanlı sistem olarak modellenir.

u(t)

c(t)

Kontrol edilen sistem

A

Ke − sL G (s) = τ s +1 K

C(t) 1

τ !

"#

L !

"%&

$

# $&

cevap e risinden;

ξ = 0.2 civarında olacak KA

ekilde

L

t

τ

K p , Ti , Td tabloya göre seçilir.

Kontrol edilecek olan sistemin açık transfer fonksiyonu G ( s ) Cevap e risi c(t )

'" $

( ) )* + , ! (

c(t ) (

-

)

)()

(

Transient cevap yöntemine göre, K P , Ti

Td PID parametre tablosu.

Kontrolör

KP

Oransal(P)

τ

Ti

TD -

-

KL

Oransal- ntegral(PI)

0.9τ KL

Oransal-integral-türevsel(PID)

1.2τ KL

-

3L

2L

0.5L

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bu kurallar PID parametrelerinin seçiminde ilk de er vermeyi sa lar. Parametrelere son de erler a a ıda ekilde gösterildi i gibi, kapalı-çevrim sisteminde gerçek zamanda ince ayar K i yava -yava azaltılarak ve K d arttırılarak yapılır.

r(k)

K p (1 +

1 z z −1 + Td ) Ti z − 1 z

! / ,

1 − e − sT s

01 !

"

/

sistem

c(t)

$

Örnekleme frekansı, pratik olarak en yüksek band geni li i frekansının takriben 20 katı seçilmelidir. E er örnekleme frekansı yeteri kadar büyük seçilmezse ayrık-zaman PID kontrolör elveri li cevap vermez. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Limit Kararlılık Metodu ile PID Tasarım ( The Stability Limit Method) Bu yöntem kapalı-çevrim kontrol olarak uygulanır. PID parametre ayarına, yalnızca oransal kontolör K p ile ba lanır, TI → ∞, Td → 0 olmak üzere. Sistem sürekli osilasyon yapıncaya

kadar K p yava -yava arttırılır. Sürekli osilasyon ba ladı ında, bu noktada kazanç K s ve kar ılık gelen osilasyon periyodu ise Tw

K s ve Tw ye göre PID !arametreleri K P , Ti

, Td a a ıda verilen tablodan seçilir.

.

Limit kararlılık yöntemine göre K P , Ti

Td PID parametre tablosu.

Kontrolör

Kp

Ti

Td

P

0.5 K s

-

-

PI

0.45 K s

Tw /1.2

-

PID

0.6 K s

Tw / 2

Tw / 8

Limit kararlık yönteminin uygulaması için a a ıda ayrık-zaman kapalı çevrim kontrol blok diyagramından görüldü ü basamak giri için çıkı cevabı osilasyona gelinceye kadar oransal kontrol katsayısı artırılır, Osilasyona gelmeyen sistemlerde bu yöntem uygulanamaz.

r(k)

K p (1 +

1 z z −1 + Td ) Ti z − 1 z

Ti → ∞

1 − e − sT s

sistem

c(t)

Td → 0

Limit kararlılık yöntemi için kapalı-çevrim kontrol blok diyagramı.

Sistem a a ıda gösterildi i gibi osilasyona geldi inde tablodan sınır kazanç ve osilasyon periyoduna göre, PID parametreleri hesabı için gerekli katsayılar tablodan okunur .

2

Örnek: 4

+

,

5

!

6 (

5 ,

)*

Ω( s ) K = V ( s) ( Js + b)( Ls + R) + K 2

6

J = 0.01 km 2 / s 2 Mekanik sistem sönüm oranı b = 0.1 Nms

Rotor atalet momenti

Elektromotor kuvvet sabiti

K = K e = K t = 0.01 Nm / Amp

Rotor direnci

R =1 Ω L = 0.5 H v(t ) volt w(t ) rad / sn

Rotor endüktansı Rotor giri gerilimi Motor açısal hız:

DC motor PID kontrol kurallı olarak kapalı-çevrim kontrol edilecektir. PID kontrolör parametre katsayılarını 7 /8 % transient cevap metodu & bulunuz.

Çözüm: Motor sabiteleri transfer fonksiyonunda ilgili parametrelerde yerine koyulur.

Ω( s ) 0.01 = V ( s) (0.01s + 0.1)(0.5s + 1) + 0.012

→

Ω( s ) 0.01 2 = = 2 2 V ( s ) 0.005s + 0.06 s + 0.1 s + 12 s + 20

Ω( s ) 2 1 = elde edilir. Birim basamak giri için, V ( s ) = V ( s ) ( s + 2)( s + 10) s

Ω( s ) =

2 s ( s + 2)( s + 10)

+

/ ,

5

&

+

# %&

w(t )

/8 % 5 5

)()

5

$

Ω( s)

/# , ! ( ( % # /6 &

) %) )1

& +

V ( s)

, ! /6

)

2 s 2 + 12 s + 20

V ( s)

7

"

Ω( s ) 3

)

/

,

#

#

, #

+

) 1 # τ # -

)

(

& 9) 6 (

*

, ! w(t )

w(t ) = L

w(t ) = s

w(t ) =

(

2 e st s ( s + 2)( s + 10)

i =1

+ ( s + 2) s =0

dw(t ) 1 −2t 1 −10 t = e − e 11 dt 4 4

2 e st s ( s + 2) ( s + 10)

+ ( s + 10) s =−2

5

, 5

w(t )

6

-

)

-

1 1 −2( 0.2011) 1 −10( 0.2011) − e + e = 0.0197 10 8 40

(

(6

-

)

* t = ln(0.2) /(−8)

*

t = 0.2011

dw(0.2011) 1 −2( 0.2011) 1 −10( 0.2011) = e − e = 0.1337 dt 4 4

!

2 e st s ( s + 2) ( s + 10)

(

d 2 w(t ) 1 5 5 1 = − e −2t + e −10 t = 0 → e −10 t = e −2t → e −8t = 0.2 2 dt 2 2 2 2

:

, ! (

1 d m −1 ( s − si ) m F ( s)e st m −1 (m − 1)! dz

c(t ) =

1 1 −2t 1 −10t − e + e 10 8 40 & , *

w(0.2011) =

#

L ,

< ! n

2 s ( s + 2)( s + 10)

t = ln(0.2) /(−8)

&

! ;

−1

# #

, ! (

%&

6 (

)

,

(

)

( 6

w(t )

(

s = si

s =−10

tan(α ) =

dw(t ) 0.0197 = dt max x

= 0.1337

dw(t ) dt

→ x=

0.0197 0.1337

x = 0.1437 sn #)

)

&

L=0.2011−x =0.2011−0.1437 L = 0.0574 sn ')

,

(

, t

y (∞) = 0.1371* d − 0.079 = 0.1 * τ = d − L = 1.3056 − 0.0574

=

K=

* y (t ) = 0.1371* t − 0.079

y (t ) (

&

!

* d = 1.3056 sn #) ) )

τ = 1.2482 sn

y (∞) − y (0) 0.1 − 0 = → K = 0.1 V (∞ ) − V (0) 1 − 0

DC motor I.dereceden ölü zamanlı sistem olarak,

Ω( s) 0.1e −0.0574 s = V ( s ) 1.2482 s + 1

1

:

! !

*&

,

&

#

(

#

#

, #

01 !

6 (

6

K = 0.1 L = 0.0574 sn τ = 1.2483 sn

Kazanç ölü zaman zaman sabiti

Kp =

1.2τ 1.2*1.2482 = K L 0.1*0.0574

Kp • Kp Kp = 260.94

T=2 L → T=0.1 148 Ki • i i

Kp Ti

Ki =2273.1

Td =0.5L → Td =0.0287 Kd • K pTd Kd = 7.4892

+

! / ,

R( s )

Kp

#

%

V (s)

1 Ti s

6 (

2 2 s + 12 s + 20

,

6

Ω( s )

Td s

6 ( *1 ! / ,

& ( ,

& #

#

5 7

, !! 5

) , # ,

( %#*7 /8 % 6

)

+

)

6

/8 %

) ξ = 0.2 *

)

* K i azaltılarak ve K d arttırılarak yeni de erlere

göre birim basamak giri için cevap a a ıda verilmi tir,

>

.

; # 6

* %

(

( , # ,

* 01 ! 6 (

,

+

6

K p = 260.94 K i = 239.26 K d =11.60

PID parametrelerinde yapılan ayar sonrası sistem cevabı.

Ω( s ) 2 = 2 V ( s ) s + 12s + 20 !

!

"

#

$

%&

$ !"

) ) θ (t )

+

5

)#

5

)

' !

% 6%

dθ (t ) = w(t ) dt

)

* sθ ( s ) = Ω( s ) → θ ( s ) = *

$

θ (s) V ( s)

=

@

5

+ #

%

6 (

2 s 2 + 12 s + 20

Kp

+

Ω( s ) s

1 2 2 s s + 12 s + 20

$ ! / ,

θ ref ( s)

5

v(t )

)

! / ,

?

)

Ω( s )

,

6

1 θ ( s) s

Kapalı-çevrim sistemini osilasyona getirecek olan sınır kazanç K s #) )

9)

Routh kararlılık kriteri kullanılır. Karakteristik denklem ,

F ( s) = 1 + G (s ) = 1 + 4 )

#

2K p s ( s + 12s + 20)

) )6 ) ) )

s3

6

1 12 s2 s1 (240 − 2 K p ) 2 K p 2K p s0

20 2K p 0

Sınır kazanç K s = 120

B

* Tw =

)

/

240 − 2 K p 2K p

>0 Kp > 0

5

wd *

)

0 < K p < 120

#

s2

)

12 s 2 + 240 s = 0 s1,2 = ± j 3.61 $

%$)()

2π 2π → Tw = wd 3.61

&$ '

$ wd = 3.61 rad / sn

Tw = 1.9869 sn dir.

') , ) + % 6 6

6 ! *

*

θ ref (t ) = u (t ) ,

θ ref (t )

) ) ) ,

#

% 6

!

K p = 0.6K s → Kp = 72 T=0.5T i w

)

K p < 120

θ (t )

K s = 120 * #

1

5

/ 2K p > 0

s1,2 = ± jwd = ± j 3.61 rad / sn !

!

#

0

12 s 2 + 2 K s = 0

!

B

= 0 → F ( s ) = s 3 + 12s 2 + 20 s + 2 K p = 0

2

θ (t )

+

, #

Tw = 1.9869 sn , K s = 120

Kp • Kp

→ T=0.9935 Ki • i

Kp Ti

K p =72 A Ki =72.47

Td =0.125Tw → Td =0.2484 Kd • KpTd Kd =17.88

6

+ (6

)

+

R( s )

!

)

! / ,

V ( s)

1 Ti s

Kp

#

%

6 (

Ω( s ) 1 θ ( s ) 2 s 2 + 12 s + 20 s

Td s

9

#

5

% 6

+

θ (t )

%&

(6

6 (

& %#*7

,

6

5 /8 %

( ) (

,

7

/8 %

*6 6

%& *

ξ = 0.2 ( %#

)

Birim basamak DC motor konum cevabı.

, !! 5

6

* K i azaltılarak ve K d arttırılarak yeni de erlere

göre birim basamak giri için cevap a a ıda verilmi tir,

C

(

.

;

*

# 6

(

%

* 01

!

( +

, #

,

6 ( 6

K p = 72 K i = 22.3 K d = 49.17

PID parametrelerinde yapılan ayar sonrası sistem cevabı.

01

)

+

5

ess = 0

9 ) %)

% 6

+

θ ref (t ) = tu (t )

!* j=2

5

! % 6

) !

* 01

0

)

Deneysel PID parametre ayar yöntemleri Nichol-Ziegler , aynı zamanda ayrık-zaman PID kontrolörlerde uygulanabilir. Sıfırıncı dereceden tutucu 6 # # 6

(

*

&

T −s 1 − e sT ≅e 2 s

L = Lsistem +

*

,

T & 2

%

T 2

) ) # 7 /8 % & * 01 % ( , ( * ! 5 , () / 01 & 6 ( + , ) # % , 6

(

% 01 & (

% % & /

6#

& ) ! / ,

#

,

K p (1 +

1 z Ti z − 1

K p (1 +

@ &

& * #

E & !

+ Td

1 z Ti z − 1

* + / , )()

Ω( s ) 2 s 2 + 12 s + 20

z −1

+ Td

,

z

)

2 s 2 + 12 s + 20

z −1 z

)

)

%

, &

! , D,

θ ( s)

!

# *

) 6

#) !

) # 5 &

! 5 )

#

.

(

) ) 01

Dijital Kontrol Sistemleri. Doç. Dr. Ayhan Özdemir

Örnek: Konum ölçer

q

Karşılaştırma

q ref

d r

PID

q F

K

Kontrolör

Güç kuvvetlendirici

mg DC-motor

a) Sarkaç sistemi

pervane

b) Basitleştirilmiş sarkaç kontrol gösterimi.

Şekil a) da verilen sistemde, DC motor ile tahrik edilen sarkaç sisteminde çıkış q açısı, istenen q ref konumunda tutulmaya çalışılmaktadır. Sisteme ait dinamik denklemleri yazınız. é Nms ù d [ m] m [ kg ] J éëkg.m2 ùû Atalet Momenti C ê Viskoz Sönüm Katsayısı olmak ë rad úû üzere, a) Sistemi q = 0 denge noktasında lineerleştirin.

b) %2 kriterine göre yerleşme zamanı ts=1.67sn ξ=0.707 olması istenmektedir. PID kontrolör katsayılarını bulunuz. sarkaç hareket denklemi; d 2q dq J 2 +C + mgd sin q = T dt dt

Lineerleştirilmiş model; q = 0 civarında sin q » q olduğu aşağıda verilmiş olan f (q ) = sin q eğrisinden görülebilir. Şekilden, -

p 4

p 4

aralığı için sin q » q yaklaşıklığı doğru sonuç verir,

ancak aralık dışında bu lineer model kullanılması hatalı sonuçlar verir. Yeni çalışılacak nokta etrafında sistem doğrusallaştırılmalıdır.

1


sin q » q alınarak sarkaç hareket denklemi yeniden,

K d 2q C dq mg + + dq = m V 2 dt J dt J J

olarak yazılabilir.

éN ù K m ê m ú V [volt ] ë volt û

bilindiğine göre, T = Km .V ® MotorMomenti olmak üzere, é ë

q ( s) ê s 2 +

C mg ù T (s) s+ d = => J J úû J

q ( s) i)

T ( s)

=

1 J C mg s + s+ d J J

ii) T (s) = Km .V (s) elde edilir. Sarkaç sistem modeline

2

ait blok diyagram aşağıda verilmiştir.

V(s)

Km

T(s)

1 J mgd s 2+ C s + J J

Sayısal değerler yerlerine koyulur ise transfer fonksiyonu,

2

q (s)


K m = 0.017 N m / V d = 0.023m J = 0.009kgm

2

m = 0.43kg

q ( s)

1.89 elde edilir. = 2 V ( s) s + 0.039s + 10.77

s 2 + 0.039s + 10.77 = 0 s1,2 = -0.0019 ± j3.28

C = 0.00035 N ms / rad Tasarım: %2 kriterine göre yerleşme zamanı ts=1.67sn ξ=0.707 olması istenmektedir. Bu kriterleri sağlayacak olan kapalı-çevrim kutupları (kontrol kutupları) aşağıda elde edilmiştir. ts =

4 4 4 rad => 1.67 = => wn = => wn = 3.3878 0.707 wn 1.67 * 0.707 sn x wn

x = 0.707 ise q = cos-1 x = cos-1 (0.707) ise, q = 45 dir. Kontrol kutuplarının s-kompleks düzleminde gösterimi aşağıda verilmiştir.

jw S-kompleks düzlemi

2.4j

Kontrol-kutupları

s

45 s = -2.4

-2.4j

İstenen geçici rejim kriterlerini sağlayan karakteristik denklem, ξ ve wn için

F (s) = s 2 + 2x wn s + wn 2 = s 2 + 2 * 0.707 * 3.3878s + 3.38782 = 0 F (s) = s 2 + 4.8s + 11.52 = 0 s 2 + 4.8s + 11.52 = 0 => s1,2 = -2.4

j 2.4 olarak elde edilir. Yada kompleks kontrol kutupları

s1,2 = -x wn ± jwn 1 - x 2 ifadesi ile doğrudan hesap edilebilir.

3


Klasik PID İçin Genel Kontrol Blok Diyagramı:

D(s)=0 için, sarkaç sistemine ait kapalı-çevrim kontrol blok diyagram; ( K D s 2 + K P s + K I )*1.89 q ( s) = 3 qr ( s) s + (0.039 + 1.89K D )s 2 + (3.61´10-6 + K P )s + K I 1.89

elde edilir.

PID li sistemin Karakteristik denklemi, F (s) = s3 + (0.039 + 1.89K D )s 2 + (3.61´10-6 + K P )s + K I 1.89 = 0 dır ve 3. derecedendir. İstenen davranışı sağlayacak olan karakteristik denklem ise,

Fref (s) = s 2 + 4.8s + 11.52 = 0 dır ve 2. derecedendir. Dolayısıyla K p , K I ve K D nin hesap edilebilmesi için Fref ( s) ’in derecesi bir artırılacaktır. Ancak ilave kutup sistem cevabında baskın olmayacaktır. Bu amaç için, Tasarlanan sistemin örnek 2.

dereceden sistem gibi davranabilmesi için, ilave 3.kutup “x” s-kompleks düzleminde reel eksen üzerinde kontrol-kutuplarının reel kısımlarının 5-10 kat arası uzağına şekilde verildiği gibi yerleştirilir.

4


jw

S-kompleks düzlemi

Kontrol-kutupları

x

s

-24

s

2.4j

-2,4

ilave kutup

-2.4j

5 s < x < 10s

Kutup ilaveli karakteristik denklem: x=-2.4*10=-24 alınırsa

Frefx (s) = (s 2 + 4.8s + 11.52)(s + x) = (s 2 + 4.8s + 11.52)(s + 24) = 0 Frefx (s) = s3 + 28.8s 2 + 126.72s + 276.48 = 0 karakteristik denklem elde edilir. F (s) = Frefx (s) eşitlenerek polinom katsayılarından PID katsayıları elde edilir. s3 + (0.039 + 1.89K D ) s 2 + (3.61´10-6 + K P ) s + K I 1.89 = s3 + 28.8s 2 +126.72s + 276.48 = 0

0.039 + 1.89K D = 28.8 => K D = 15.2175

3.61´10-6 + 1.89K P = 126.72 => K P = 67.0476

1.89K I = 276.48 => K I = 146.2857

Yukarıda klasik PID için verilmiş olan kapalı-çevrim transfer fonksiyonu,

q ( s) 28.74s 2 + 126.705s + 276.4692 elde edilir. = q r (s) s3 + 28.8s 2 + 126.72s + 276.48 Aşağıda modifiye edilmiş PID için kapalı-çevrim kontrol blok diyagram verilmiştir.

5


D(s)

1.89 s 2 + 0.039s + 11.52

146.2857 s

q r (s)

C(s)

67.0476 + 15.21s

Modifiye PID için transfer fonksiyonu:

K I GP (s ) C ( s) = R( s) s + éë K D s 2 + K P s + K I ] GP

%2 kriterine göre yerleşme zamanı ts=1.67 sn ξ=0.707 için olması istenen örnek 2. dereceden sistemin transfer fonksiyonu, 1- T ( s) =

q ( s) 11.52 = 2 qr ( s) s + 4.8s + 11.52

dır.

Klasik PID konfigürasyonu kullanıldığında elde edilen kapalı çevrim transfer fonksiyonu. 2-

q ( s) 28.74s 2 + 126.705s + 276.4692 28.74 s 2 + 126.705s + 276.4692 T ( s) = = = ( s 2 + 4.8s + 11.52)( s + 24) qr ( s) s3 + 28.8s 2 + 126.72s + 276.48

Modifiye edilmiş PID konfigürasyonu kullanıldığında elde edilen kapalı çevrim transfer fonksiyonu 3-

T ( s) =

q ( s) 276.48 276.48 = 3 = 2 2 qr (s) s + 28.8s + 126.72s + 276.48 (s + 4.8s + 11.52)(s + 24)

Aşağıdaki grafikte, örnek 2.dereceden sistem (istenen), Klasik PID ve modifiye PID için basamak cevapları verilmiştir.

6


7

Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir.

MODERN KONTROLE GİRİŞ Klasik kontrol sistemlerinde, analiz, sentez ve tasarımda transfer fonksiyonu kullanılmaktadır. Transfer fonksiyonu, lineer zamanla değişmeyen (sabit katsayılı) kontrol sistemlerine ilişkin dinamiği sadece giriş ve çıkış büyüklükleri ile (aracılığı ile) verir. Sistemin giriş ve çıkış işaretleri belli koşullar altında kontrol edilirken sistemin durum değişkenleri hiçbir şekilde kontrol edilememektedir. Örneğin, çıkışında kararlı değişim özelliği gösteren bir kontrol sisteminde, içinde bulunan bir elemanın gerilimi, akımı, basıncı ve hızı… vb. elemanın dayanabileceği büyüklükleri üzerine çıkarak sistemin çalışamaz duruma gelmesine yol açabilir. TRANSFER FONKSİYONU VE DURUM UZAY DENKLEM KARŞILAŞTIRMA æ dx1 (t ) ö ç dt ÷ æ 0 1 ö æ x1 (t ) ö æ 0 ö ç ÷=ç ÷ + ç ÷ u (t ) ÷ç ç dx2 (t ) ÷ è 2 -1ø è x2 (t ) ø è 1 ø ç ÷ è dt ø G( s) = C ( sI - A)-1 B =

æ x (t ) ö y (t ) = ( -1 1) ç 1 ÷ è x2 (t ) ø

s -1 1 = ( s - 1)( s + 2) s + 2

u(t ) = d (t ) ® u(s) = 1 için çıkı ş

Y ( s) =

ve impuls giriş için çıkış yazılır ise, 1 s+2

ve

-2t

olur. Eğer, sadece çıkışa bakılır ise hiç bir problem Çıkış t-domeninde y (t ) = e olmadığı gözükür. BiBO (Bounded Input Bounded Output) kararlılık kriterine göre sistem kararlıdır. Sınırlı giriş için sınırlı çıkış vermektedir. Oysa durum değişkenlerine bakılır ise, dx1 (t ) = x2 (t ) dt

1 sx1 (s) = x2 (s) ® x1 (s) = x2 (s) dir. s

dx2 (t ) 2 = 2 x1 (t ) - x2 (t ) + u (t ) ise sx2 ( s) = x2 ( s) - x2 ( s) + u (s) dt s

s 2 x2 (s) + sx2 (s) - 2 x2 (s) = s s 1 ise x1 ( s) = x2 ( s) = s s( s + 2)( s - 1)

x2 ( s) =

x1 ( s) =

s s = s + s - 2 ( s + 2)( s - 1) 2

1 olarak elde edilirler. ( s + 2)( s - 1)

Zaman domeninde sırası ile durum değişkenleri, x1 (t ) =

1 t e - 2e-2t ) ( 3

1

Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir. 1 t ( e + 2e-2t ) elde edilir. Durum değişkenlerine bakıldığında ise, durumlar zamanla 3 sonsuza gitmektedir. Buda , eğer önlem alınmamış ise, devrenin yada sistemin bozulması yada bazı elemanların yanması anlamına gelmektedir. Halbuki transfer fonksiyonu ile çıkışa bakıldığında her hangi bir problem görülmemektedir. x2 (t ) =

ÖRNEK: Aşağıda verilen R,L,C devresini göz önüne alalım.


IL L

R

IC C

E ort

Vo

Şekil 1. R, L ve C devresi

Önce t-domeninde dinamik denklemler yazılır ise ,(ilk koşullar sıfır) 1) Eort = Ri(t ) + L 2)Vo(t ) =

di(t ) 1 + ò i(t )dt dt C

1 i(t )dt Cò

(1) elde edilir.

(2)

s-domeninde

é RCs + s 2 LC + 1ù I ( s) 1) Eort ( s) = RI ( s) + sLI ( s) + = Eort ( s) = I ( s) ê ú sC sC ë û I ( s) 2)Vo( s) = sC I ( s) Vo( s ) sC = son ifade düzenlenir ise transfer fonksiyonu, 2 Eort ( s ) é s LC L + RCs + 1 ù I (s) ê ú sC ë û 1 Vo( s) LC = olarak elde edilir. 1 R Eort ( s) 2 s + s+ L LC R,L,C devresinde kondansatör gerilimi V0(t) kontrol edilmek istensin. Geribeslemeli sistem klasik kontrole göre aşağıdaki işlem basamaklarına göre verilebilinir. 2

Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir. İlk adım olarak, Eort (t ) giriş geriliminin elde edilmesi prensip olarak ve basit devresi ile beraber açıklanacaktır. i) Vort(t) gerilimi E(t) dc gerilim kaynağı ile beslenen bir D.C kıyıcıdan elde edilsin.

S(t)=1: Anahtar açık E(t)

S(t)=0: Anahtar kapalı S(t) E(t)

E

E ort

S(t)=1

E ort

S(t)=0

t on Güç Anahtarlama kaynak elemanı Şekil 2.

t off t T

a) Basitleştirilmiş DC kıyıcı

b) DC kıyıcı çıkış

Güç Kuvvetlendirici

K

E(t)

Vsin(wt)

E ort

U(t)

C

IGBT sürücü

K

E ort

U(t) :Kotrol işareti Şekil 3. Güç Kuvvetlendirici DC-Kıyıcı’nın a) basit devre şeması

Şekilde anahtar T periyodu ile geriliminin ortalama değeri,

Eort (t ) =

b) Kontrol blok gösterimi.

ton süresince kapalı toff süresince açık tutulur ise, çıkış

t 1 ton E (t )dt = E Eort (t ) = on E (t ) ò T 0 T

elde edilir.

S(t) anahtarı bir statik anahtar tranzistörden oluşsun. R,L,C devresinde V0(t) gerilim kontrolüne ait güç devresini basit olarak aşağıda verildiği gibi çizilebilir. u (t ) üretilecek olan kontrol işaretidir. Sürücü devre üzerinden transistor base ne uygulanmış olsun.

3



Yük (bozucu)


Iy

IL

K L

Vsin(wt)

R C

IC

Ry

C

IGBT sürücü Uort

Vo

Vo: KontroL edilen büyüklük.

Güç işareti

Kotrol işareti U(t) Şekil 4. Güç devresinin basit devre şeması

Güç katı bir güç elektroniği devresidir. Kontrol blok gösteriminde sadece bir Güç kuvvetlendirici kazancı K olarak gösterilir. Bazı durumlarda K kazancının dışında 1. veya 2. dereceden bir sistem olarak modellenmesi gerekebilir. Şekil 4’te basit güç şeması verilen sistem yine basitleştirilmiş kapalı-çevrim kontrol devresi ile beraber şekil 5 teki gibi verilebilir. Yük Güç Kuvvetlendirici Kontrol edilen sistem (bozucu) IL Iy

K

Vsin(wt)

L

R C

IGBT sürücü U(t)

IC C

Ry Vo

Uort

Vo Kontrolör

Voref e(t)

Şekil 5. RLC devresinde çıkış gerilim kontrolüne ait basitleştirilmiş güç ve kontrol devresi

RLC devresinde çıkış gerilim kontrolüne ait basitleştirilmiş güç ve kontrol devresi ile ilgili negatif geri beslemeli kapalı-çevrim kontrol blok diyagramı aşağıda verilmiştir.

Voref

Eort

u(t)

e(t)

Kontrolör

K

Şekil 6. Kapalı-çevrim kontrol blok diyagramı

4

1 LC 2 s+ R s+ 1 LC L

Vo

Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir. Şekilde 6. daki kontrol sisteminde çıkış gerilimi V0 (t ) ölçülmekte ve kontrol edilmektedir. Dikkat edilir ise, sadece çıkış büyüklüğü olan kondansatör gerilimi ölçülmekte, buna karşılık endüktans akımı I (t ) ölçülmemekte ve kontrol edilmemektedir. Yukarıda 2 nolu denklemden görüleceği üzere çıkış gerilimi akıma bağlıdır. Gerilim kontrol amacı ile eğer aşırı akım çekilir ise transistor zarar görebilir. En önemlisi ise akım dinamiği ile ilgilenilmemektedir, sadece gerilim dinamiği kontrol edilmektedir. Örnekten görüldüğü gibi, transfer fonksiyonu, sistemin durumları ile ilgili dinamik yerine, sadece giriş-çıkış dinamiğini göz önüne almaktadır. Verilen örnekte durum değişkenleri ve Vc (t ) iken sadece çıkış gerilimi ve dinamiği ayarlanmaktadır.

I L (t )

Vc (t ) (aynı zamanda Vc (t ) = V0 (t ) ‘dir.) ölçülmekte

Bundan başka, transfer fonksiyonu ile analiz ve tasarımda bütün ilk koşullar ihmal edilmekte böylece sistemin geçmiş ve başlangıç durumuna ilişkin bilgiden yararlanılmış olunmamaktadır. Klasik analiz ve inceleme yöntemleri sistemin lineer olmaması, zamanla değişmesi, çokgiriş, çok-çıkış olması hallerinde uygulanmaz. Transfer fonksiyonu basitliği nedeni ile hala kullanılmaktadır ve kullanılmaya devam edecektir. Kontrol sistemlerinin modern inceleme ve tasarımda, durum değişkenleri ve sistemin başlangıç koşullarından oluşan durum uzayı yaklaşımı kullanılır. Durum uzayı modeli, başlangıç koşulları verilmiş, birinci mertebeden diferansiyel denklemler sisteminden oluşur. Durum-Uzay Denklemleri: Durum-uzay analizinde dinamik sistem modellemesinde üç tip değişken göz önünde bulundurulur. i) Giriş değişkenleri, ii) Çıkış değişkenleri, iii) Durum değişkenleri Aynı bir sistem için tek bir durum-uzay gösterimi yoktur. Durum değişken sayısı aynı kalmakla beraber aynı sistem için çok farklı sayıda durum-uzay gösterimi elde edilir. Kullanılan durum uzay elde etme yöntemlerine ve kullanılabilecek lineer dönüşümlere bağlı olarak farklı katsayılar matrisleri elde edilecektir. Ancak aynı bir sistem için katsayılar matrisleri farklı olmakla beraber karakteristik denklemleri aynıdır. Eğer durum denklem elde etme yöntemi veya lineer dönüşüm sonunda karakteristik denklem değişir ise o sistem zaten başka bir sistem demektir, hata yapılmıştır.

5

Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir. Lineer zamanla değişen ayrık-zaman ve sürekli-zaman durum denklemi sırası ile; x(k + 1) = G(k ) x(k ) + H (k )u(k ) durum denklemi

Ayrık-Zaman y(k ) = C(k ) x(k ) + D(k )u(k )

çıkış denklemi

dx(t ) = A(t ) x(t ) + B(t )u (t ) dt

durum denklemi

y(t ) = C (t ) x(t ) + D(t )u(t )

çıkış denklemi

Sürekli-Zaman

gibi verilebilir. Değişkenler ve katsayı matrisleri aşağıda açıklanmıştır. x(k)=n-vektör (durum vektörü) y(k)=m-vektör (çıkış vektörü) u(k)=r-vektör (giriş vektörü) A(t),G(k)=nxn matris (durum matris) B(t),H(k)=nxr matris (giriş matris) C(t),C(k)=mxn matris (çıkış matris) D(t),D(k)=mxr matris (doğrudan iletim matrisi, direct transmission matrix)

Matris argümanlarındaki (k ) ve (t ) , G(k ) ve A(t ) deki gibi matrislerin zamanla değiştiğini gösterir. Eğer zamanla değişmeyen bir sistem ise, durum ve çıkış denklemleri; x(k + 1) = Gx(k ) + Hu(k ) y(k ) = Cx(k ) + Du(k )

Ve .

x(t ) = Ax(t ) + Bx(t ) y(t ) = Cx(t ) + Du(t ) değişmez.

olarak yazılabilir. Katsayı matrisleri sabittir, zamanla

Aşağıda şekil 7-8 de sırası ile sürekli-zaman ve ayrık-zaman durum denklemlerinin blok diyagram gösterimi verilmiştir.

6


D dx(t) dt

u(t)

B

ò dt

x(t)

y(t)

C

A

Sistem

Şekil 7 Sürekli-zaman zamanla -değişmeyen sistemin durum uzay blok diyagramı gösterimi

D x(k+1)

u(k)

x(k) -1

zI

H

y(k)

C

G

Sistem

Şekil 8 Ayrık-zaman zamanla değişmeyen sistemin durum uzay blok diyagram gösterimi;

ÖRNEK-1:

Yay

ky B

K:yay sabiti

Sürtünme

dy dt

2

katsayısı

dy M 2 dt

u(t):Kuvvet

f

M

M y(t):konum

u(t)

Kütle Şekil 9 a) Kütle-yay mekanik sistemi.

b) Serbest cisim gösterimi.

Şekil 9 da, denge konumun da bulunan sisteme ait, iii-

Sistemin davranışını tanımlayan dinamik denklemleri yazınız. Durum denklemlerini elde ediniz. (sistem denge konumunda iken uygulanıyor.)

i-

Sistem davranışını ifade eden diferansiyel denklem,

7

u (t )


M

d 2 y (t ) dy (t ) +f + Ky (t ) = u (t ) 2 dt dt

(3)

olarak yazılır. Sistem durum değişkenlerini konum ve hız olarak alırsak ve sırası ile x1 (t ) ve x2 (t ) ile gösterelim. x1 (t ) = y(t ) ® Konum

x2 (t ) =

dy (t ) ® hız dt

dx1 (t ) = x2 (t ) dt

1. durum denklemi,

(3) denkleminde düzenlemeler yapılır Þ dx2 (t ) + fx2 (t ) + Kx1 (t ) = u (t ) = dt dx2 (t ) 1 f K = u (t ) - x2 (t ) - x1 (t ) 2. durum denklemi elde edilir. dt M M M

M

Elde edilen 1. ve 2. durum denklemleri vektör-matris formunda aşağıda verildiği gibi yazılabilir.

é dx1 (t ) ù ê dt ú é 0 ê ú=ê K ê dx2 (t ) ú ê êë dt úû ë M

1 ù é0ù é x1 (t ) ù ê ú ú f ê ú + 1 u (t ) - ú ë x2 (t ) û ê ú ëM û Mû x A

x (t )

B

Kontrol edilen sistem göz önüne alındığında, çıkış olarak alınan fiziksel büyüklük konumdur. y(t ) = x1 (t ) olarak yukarıda tanımlanmıştı. Çıkış denklemi durum değişkenleri cinsinden matris formunda aşağıda verilmiştir.

é x1(t ) ù y (t ) = [1 0] ê 2(t ) úû ë xx2( C x

dx(t ) = Ax(t ) + Bu (t ) durum denklemleri yukarıda Kütle-yay sistemine ait dt y (t ) = Cx(t ) + Du (t )

vektör-matris formunda elde edilmiştir. 8


ÖRNEK-2: Güç Kuvvetlendirici

Rotor Kontrollu DC Makina

ea(t)

K

ia(t)

Vsin(wt)

R C

L

IGBT sürücü

eb(t)

İf=sbt B

q (t )

J

U(t) Şekil 10 Rotor kontrollü DC-makine ve DC-Kıyıcı

i- Basitleştirilmiş rotor kontrollü DC-makineye ait dinamik denklemleri yazınız. ii- Durum-uzay modelini vektör matris formunda elde ediniz.(La≈0 alınacak) t-domeni denklemler 1) ea (t ) = Ku(t ) di (t ) 2) ea (t ) = La a + Raia (t ) + eb (t ) dt

3) Te (t ) = Kaia (t )

4) Tm (t ) = J

d 2q 2

+B

dq + TL (t ) dt

dt dq (t ) 5) eb (t ) = Kb dt dq (t ) 6) w(t ) = dt 7) Tm (t ) = Te (t ) (sürekli rejimde, üretilen elektriki moment=Mekanik moment) s- domeninde Ea ( s) - Eb ( s) sLa + Ra ii) Te (s) = Ka I a (s) i) I a ( s) =

iii) Tm ( s) - TL ( s) = ( s 2 J + Bs )q ( s) =

q (s) =

Tm ( s) - TL ( s) s( sJ + B)

iv) Eb = Kb W(s)

9

TL


v) Tm (s) = Te (s) TL Bozucu moment

U(s)

K

Ea(s)

Te Tm

ia

1 sLa+R a

1 Js+B

Ka


w 1 s

q

Kb Rotor kontrollu DC-makine

Şekil 11 Rotor kontrollü DC-makine ve DC-Kıyıcı kontrol blok diyagramı.

Rotor kontrollü DC-makinenin basitleştirilmiş modeli ( La = 0 için) aşağıda verilmiştir. TL Bozucu moment

U(s)

K Ea(s)

1 Ra


Te Tm

ia

1 Js+B

Ka

w 1 s

q

Kb Rotor kontrollu DC-makine

Şekil 12 Basitleştirilmiş rotor kontrollü DC-makine ve DC-Kıyıcı kontrol blok diyagramı.

olarak elde edilir. ii- Durum-uzay denklemleri için, (1-7) denklemleri kullanılır ve makine çıkışı olan q (t ) nın davranışını tanımlayan denklem elde edilir (La≈0 alındı).

1)’ nolu denklemden; i(t ) =

ea (t ) - eb (t ) Ra

e (t ) - eb (t ) 2) ‘den Te (t ) = K a a = Ka Ra

ea (t ) - Kb Ra

sürekli rejimde Te (t ) = Tm (t ) = ea (t )

J

K a K a Kb dq (t ) d 2 (t ) dq (t ) =J +B = 2 Ra Ra dt dt dt

æ K K ö dq K a d 2q (t ) ea (t ) = = -ç B + a b ÷ + 2 dt R dt R a a è ø

10

dq (t ) dt


æ BR + K a Kb ö dq (t ) K a d 2q (t ) ea (t ) = -ç a + ÷ 2 dt R J dt R J a a è ø Basitleştirilmiş model yardımı ile, rotor kontrollu DC-makine çıkışı q (t ) ifadesi elde edildi. Durum değişkenleri tanımlanarak durum denklemleri

d 2q (t ) denkleminden elde dt 2

edilecektir.

x1 (t ) = q (t ) ® konum x2 (t ) =

dq (t ) ® hız dt

durum değişkenleri olarak belirlenir ise;

dx1 (t ) = x2 (t ) dt

1. durum denklemi

æ BR + K a Kb ö Ka dx2 (t ) = -ç a ea (t ) ÷ x2 (t ) + dt Ra J Ra J è ø

2. durum denklemi

Durum denklemlerini vektör-matris formunda aşağıda verildiği gibi yazılır. é dx1 (t ) ù é0 1 ù é 0 ù ê dt ú ê ú é x1 (t ) ù ê ú æ BRa + K a Kb ö ú ê ê ú=ê ú + ê K a ú ea (t ) 0 ( ) x t ( ) dx t ç ÷ ë 2 û RJ ê 2 ú ê Ra J ëê a ûú è ø ûú êë dt úû ë

Hız ve Konum çıkış olmak üzere seçilir ise, çıkış denklemi olarak C1 ve C2 ölçme ile ilgili sabitler olmak üzere,

u(s)

x2 (t ) Ks Ts s + 1

Ks/(sTs+1)

1 s

xX1(t) 1 (t )

1/s

C2 c

cC1 1

2

yY1(t) 1 (t ) (konum)

Y2(t) y (t ) 2

(hız)

é y (t ) ù éC 0 ù é x1 (t ) ù y (t ) = ê 1 ú = ê 1 úê ú ë y2 (t ) û ë 0 C2 û ë x2 (t ) û

tanımlanabilir.

11


Basitleştirilmemiş DC-makine durum denklemleri (1-7) dinamik denklemleri düzenlenir ise, K di(t ) di(t ) R 1 uort (t ) = Ri(t ) + L + Kb w(t ) = - i(t ) - b w(t ) + uort (t ) ® dt dt L L L dw(t ) dw(t ) Ki n Ki i(t ) = J + Ty (t ) = i(t ) - Ty (t ) ve durum değişkenleri ® dt dt J J tanımlanır akım x1 (t ) = i(t ) konum x2 (t ) = q (t ) dq (t ) x3 (t ) = = w(t ) Açısal hız dt ve durum denklemleri vektör matris formunda yazılır. é dx1 (t ) ù é1ù ê dt ú é - R 0 - Kb ù ê ú ê ú L L é x1 (t ) ù ê L ú ú ê ú ê dx2 (t ) ú = ê 0 0 1 ú êê x2 (t ) úú + ê 0 ú U ort (t ) Durum denklemleri ê ê dt ú ú ê x (t ) ú ê 0 ú ê ú ê Ki ë 3 û ê ú dx t ( ) 0 0 ê ú 3 ê ú ë J ë û û ëê dt ûú Ve Çıkış denklemi, y(t ) = q y (t ) = C1qm (t ) é x1 (t ) ù y (t ) = [ 0 C1 0] êê x2 (t ) úú elde edilir. êë x3 (t ) úû Durum denklemleri elde edilmiş olan rotor kontrollü DC-makine’ye ait tüm durum geri beslemeli sayısal tabanlı kontrol yapısına ait basitleştirilmiş kontrol devresi fikir vermesi (ön bilgi) için aşağıda verilmiştir. Amaç SayısaL Kontrolör’ün tasarlanmasıdır. Güç Kuvvetlendirici


ea(t)

K

ia(t)

C

IGBT sürücü

İf=sbt

L

B

eb(t)

J

q (t ) Ölçme Hız

DAC

akım

U(t)

X2(t)

X1(t)

ADC

Sayısal İşlemci

YÜK

Konum

Vsin(wt)

R

X3(t)

ADC ADC

SayısaL Kontrolör

Şekil 13 Tüm durum geri beslemeli Rotor kontrollü DC-makineye ait sayısal kontrol

12


MODİFİYE EDİLMİŞ PID KONTROLÖR

i- Klasik PID ile kontrol edilen sisteme ait kapalı çevrim trasfer fonksiyonu,

D(s) E(s) R(s)

KP +

KI + KDs s

GP ( s )

C(s)

C (s) ifadesi gerekli ara işlemlerden sonra, R(s)

D(s)=0 için

éK K K I GP ( s) ê D s 2 + P s + 1] KI C (s) ë KI = 2 R( s) s + ( K D s + K P s + K I )GP (s )

olarak elde edilir.

ii- Modifiye edilmiş PID ile kontrol edilen sisteme ait kapalı çevrim transfer fonksiyonu aşağıda verilen ara işlemlerden sonra elde edilmiştir.

. Klasik PID olduğu gibi ''I'', integratör ileri yoldadır. Ancak, oransal kontrolör ''P'' ve türevsel kontrolör ''D'', geri-besleme yolu üzerindedir. D(s)=0 için

C (s) elde edilir. R(s)

KI ìé - C ( s) [ K P + K D s ]} GP (s) = C (s) => í ê R( s ) - C ( s ) ] s îë

RK I GP - CK I GP - CK P sGP - K D s 2CGP = sC =>

{

RK I GP = C éë s 2 K D + sK P + K I ] GP + s} => 1


K I GP (s ) C ( s) = 2 R( s) éë s K D + sK P + K I ] GP + s

Klasik, PID, kontrolörlü sisteme bakıldığında, transfer fonksiyonunda iki adet sıfır (Pay kısmında 2. dereceden polinom) olduğu görülür. Bu sıfırların etkilerinden dolayı, basamak girişe karşılık sistem cevabını ayarlamak zor olabilir. Bu sıfırlar sistem cevap çıkışında erken bir pik'e veya aşımın artmasına neden olurlar. Bu aşım değeri kayda değer olabilir ve sıfırlar orjine yaklaştıkça aşım artar. Alternatif ise, Modifiye PID kontrol transfer fonksiyonunda olduğu gibi pay’daki sıfırları yok etmektir. éK K K I GP ( s ) ê D s 2 + P s + 1] KI C (s) ë KI = 2 R( s) s + ( K D s + K P s + K I )GP ( s)

K I GP (s) C ( s) = R( s) s + éë K D s 2 + K P s + K I ] GP

Klasik PID

Modifiye PID

Örnek: Sarkaç probleminde elde edilmiş olan PID katsayılarına karşılık cevaplar karşılaştırma amacı ile aşağıda verilmiştir.

K P = 67.0476 , K I = 146.2857 , K D = 15.2175

2


AYRIK-ZAMAN MODİFİYE EDİLMİŞ PID KONTROLÖR Aşağıda verilen kapalı-çevrim kontrol sisteminde görüldüğü gibi, PID kontrolörün integral kısmı ileri yolda, oransal ve türev kısmı ise geri-yol üzerindedir. GP ( z )

PID

KI

R(z)

z z -1

1 - e - sT s

T

KP

z -1 KD z

1)

GP ( s )

Y(s)

Y ' ( z) R' ( z)

T

Y ( z) yine kapalı çevrim transfer fonksiyonunun elde edilmesine dair işlem basamakları aşağıda R( z ) verilmiştir.

1)

Y ' ( z) = R' ( z)

GP ( z ) z -1 ö æ 1 + GP ( z ) ç K P + K D ÷ z ø iç çevrimin transfer fonksiyonudur. è

Sadeleştirilmiş kontrol bloğu,

R(z)

KI

z z -1

GP ( z ) æ z -1 ö 1 + GP ( z ) ç K P + K D ÷ z ø è

Y(s)

T

Elde edilir.

Y ( z) elde etmek amacı ile indirgenmiş blok aşağıda verildiği gibi düzenlenirse, R( z )

3


z ö æ GP ( z ) ç K I ÷ z -1 ø è z ùö æ é 1 + GP ( z ) ê K P + K D ç z - 1 úû ø÷ Y ( z) è ë = z -1 ö R( z ) æ GP ( z ) ç K I ÷ z ø è 1+ z -1 ö æ 1 + GP ( z ) ç K P + K D ÷ z ø è z ö æ GP ( z ) ç K I ÷ Y ( z) z -1 ø è = z -1 z ö R( z ) æ + KI 1 + GP ( z ) ç K P + K D ÷ z z -1 ø è

Þ pay ve payda

z -1 ile çarpılırsa; z

GP ( z ) K I Y ( z) = R( z ) æ z - 1 ö æ æ z - 1 ö2 ö z -1 KP + KI ÷ ç ÷ + GP ( z ) çç ç ÷ KD + ÷ z è z ø èè z ø ø Modife edilmiş PID kontrolör ile denetlenen sisteme ait kapalı-çevrim transfer fonksiyonu elde edilir. Klasik ve modifiye edilmiş PID kontrollü her iki sistem karşılaştırılır ise, Karakteristik denklemlerinin aynı olduğu görülmektedir. æ æ z - 1 ö2 ö z -1 æ z -1 ö F ( z) = ç KP + KI ÷ = 0 ÷ + GP ( z ) çç ç ÷ KD + ÷ z è z ø èè z ø ø

Sürekli-zaman PID kontrolörde ifade edildiği gibi, Klasik PID’ li kontrollü sistemde kapalıçevrim transfer fonksiyonun pay kısmında klasik PID konfigürasyonundan dolayı iki adet sıfır gelmektedir. Buda kapalı-çevrim kontrol sistem cevabında aşımın artmasına sebep olmaktadır.

Ayrık-Zaman II. Dereceden Örnek Sistem Otomatik kontrol sistem cevabı geçici rejim kriterleri, birim basamak giriş için ve II. dereceden örnek sistem için verilmiştir. Doğal açısal frekans wn ve sönüm oranı x ye bağlı II. Dereceden örnek sistem transfer fonksiyonu T ( s) ’in T örnekleme zamanına göre ayrık-zaman ifadesi sıfırıncı mertebeden tutucusuz olarak elde edilişi 0 < x < 1 aralığı için aşağıda verilmiştir.

4


R(s)

C(s)

wn2 s ( s + 2x wn )

II. dereceden sistem.

wn2 s ( s + 2x wn )

R(s)

C(s)

Örneklenmiş II. dereceden sistem.

Örneklenmiş II. dereceden sistem rezidü teoremi ile T örnekleme zamanaı için ayrıklaştırılacaktır.

s 2 + 2x wn s + wn 2 = 0 karakteristik denklem kökleri 0 < x < 1 için s1,2 = -x wn ± jwn 1 - x 2 ) olduğu göz önünde bulundurulur ise,

T ( s) =

wn 2 wn 2 = yazılır. Rezidü s 2 + 2x wn s + wn 2 ( s + x wn + jwn 1 - x 2 ) ( s + x wn - jwn 1 - x 2 )

teoremi kullanılır ise,

Z {T ( s)} = T ( z ) =

( s + x wn + jwn 1 - x 2 ) wn 2

z sT ( s + x wn + jwn 1 - x 2 ) ( s + x wn - jwn 1 - x 2 ) z - e

+ s =-x wn - jwn 1-x 2

( s + x wn - jwn 1 - x 2 ) wn 2

z sT ( s + x wn + jwn 1 - x 2 ) ( s + x wn - jwn 1 - x 2 ) z - e

T ( z) =

wn

s =-x wn - jwn 1-x 2

2

×

(- x wn - jwn 1 - x - jwn 1 - x + x wn ) z - e 2

2

wn 2

z -x wnT - jwnT 1-x 2

×

z

-

z

(-x wn + jwn 1 - x 2 + x wn + jwn 1 - x 2 ) z - e-x wnT + jwnT

T ( z) =

é z ×ê 1 - x 2 × 2 j ë z - e-x wnT + jwnT wn

5

1-x 2

z - e-x wnT - jwnT

1-x 2

1-x 2

ù ú û

+


é z 2 - ze-x wnT - jwnT 1-x 2 - z 2 + ze-x wnT + jwnT 1-x 2 ù ×ê T ( z) = ú 2 2 2 j × 1 - x 2 êë z 2 - z (e-x wnT + jwnT 1-x + e-x wnT - jwnT 1-x + e-2x wnT úû wn

wn e-x wnT

e jwd T - e jwd T T ( z) = × 2 -x wnT 2 (e jwd T + e- jwd T ) + e-2x wnT 1 - x × 2 j z - ze wd = wn 1 - x 2

sönüm osilasyon açısal frekansı ve periyot olarak,

Olarak elde edilir.

Td =

2p wn 1 - x 2

olmak

üzere

Osilasyon sönüm periyodu.

T ( z) =

wn e-x wnT

T ( z) =

1- x 2

z sin wd T z - 2 ze cos wd T + e-2x wnT 2

-x wnT

ze-x wnT sin( wn 1 - x 2 T )

wn

× 1 - x 2 z 2 - 2 ze-x wnT cos( wn 1 - x 2 T ) + e-2x wnT

ayrık-zaman örnek II. Dereceden

sistem elde edilir. Bu transfer fonksiyonunu daha sadeleştirirsek,

c=

wn e-x wnT sin( wn 1 - x 2 T ) 1- x

tanımlanırsa ,

d = 2 e-x w n T c o s w (n

2

T ( z) =

cz z - dz + e

-1x 2 T )ve e = e-2x wnT

olarak

olarak elde edilir.

2

Elde edilen ayrık-zaman II. Dereceden örnek sistem sürekli-zaman örnek II. dereceden sistem ile aynı kazanca sahip olabilmesi için birim basamak girişe karşılık son değerin “1” e gitmesi gerekir. Bunun için son değer teoremi uygulanır ise, tanımlanan “K” kazancı elde edilmiş olur. 6


T ( z) =

C( z) cz z =K 2 olduğuna göre ve giriş R( z ) = için, R( z ) z - dz + e z -1

z K 1 z =1= c(¥) = lim( z - 1) 2 z ®1 z - dz + e K=

1- d + e Olarak elde edilir. II.Dereceden sürekli-zaman örnek sisteme karşılık gelen ayrıkc

zaman II. dereceden örnek sistem, T örnekleme zamanı olmak üzere,

1- d + e cz T ( z) = ( ) 2 elde edilir. c z - dz + e

Örnek: x = 0.707

İçin örnek II. Dereceden sürekli-zaman ve ayrık-zaman transfer fonksiyonlarını

wn = 2.82

elde ediniz. Örnekleme zamanı T ’yi seçiniz. Osilasyon

Td =

açısal

2p wn 1 - x 2

frekansı

wd = wn 1 - x 2 =

2p = Td

dir. Örnekleme zamanı ise yaklaşık olarak,

buradan

osilasyon

periyodu,

T = (0.1 0.05)Td

arasında

seçilebilinir.

wd = 1.9943 =

2p = Td

Td = 3.1506sn

örnekleme zamanı

T = 0.02 * 3.1506 = T = 0.063sn olarak hesaplanır. Sürekli-zaman II. Dereceden örnek sistem transfer fonksiyonu, wn = 2.82 ve x = 0.707 için,

wn 2 T ( s) = 2 s + 2x wn s + wn 2 T ( s) =

Olmak üzere,

7.9524s Olarak elde edilir. s + 3.9875s + 7.9524 2

7


T = 0.063sn , wn = 2.82 ve x = 0.707 değerleri için,

c=

wn e-x wnT sin( wn 1 - x 2 T ) 1- x 2

= 0.4408

d = 2e-x wnT cos(wn 1 - x 2 T ) = 1.75

e = e-2x wnT = 0.7778 Ve son değer teoreminden kazanç hesaplanır ise,

z K z -1 c(¥) = lim( z - 1) 2 =1 z ®1 z - 1.75 z + 0.7778

ise

K = 0.0632

elde edilir.

1- d + e ) den aynı sonuç elde edilebilir. c

Veya K = (

T ( z ) = 0.0632

0.4408 z z 2 - 1.75 z + 0.7778

ise Ayrık-zaman II. Dereceden örnek sistem transfer

fonksiyonu

T ( z) =

0.02785 z z - 1.75 z + 0.7778 2

T ( s) =

7.9524s olarak elde edilir. s + 3.9875s + 7.9524 2

II. dereceden örnek sistem birim basamak-giriş ve T = 0.063sn , wn = 2.82 ve x = 0.707 değerleri ve birim basamak giriş için, sürekli-zaman ve ayrık-zaman cevap çıkışları aşağıda verilmiştir.

8


II. dereceden sürekli ve ayrık-zaman Matlab blok diyagramı

Birim basamak giriş için Ayrık zaman ve sürekli zaman cevapları, T=0.0632 sn.

9


10

Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir

Ayrık-Zaman Sistemlerinin Durum Uzay Gösterimleri

Sürekli-zaman sistem Diferansiyel Denklem

Laplace Dönüşümü S-domeni Z-dönüşümü Ayrık-zaman sistem

Sürekli-zaman Durum Denklemleri

Z-domeni

Fark (diferans) denklemi

Ayrık-zaman Durum Denklemleri

Ayrık-zaman durum uzay denklemlerinin kanonik formları: Ayrık zaman sistemlerin durum-uzay gösterimlerini elde etmek için birçok teknik mevcuttur. k. örnekleme anında u(k) giriş y(k) çıkış olmak üzere ayrık-zaman sistem; y(k ) + a1 y(k -1) + a2 y(k - 2) + ... + an y(k - n) = b0u(k ) + b1u(k -1) + ...bnu(k - n)

fark denklemi ile verilsin. Açıklama: -Darbe transfer fonksiyonu: çıkış darbe dizilerinin z-dönüşümünün giriş darbelerinin zDarbe transfer fonksiyonu olarak; dönüşümüne oranına denir (ilk koşullar sıfır).

y (k ) ® Y ( z )

u (k ) ® U ( z )

y(k - 1) ® z -1Y ( z )

u(k - 1) ® z -1U ( z )

y(k - n) ® z - nY ( z )

u(k - n) ® z - nU ( z ) (n örnek önceki değer)

(şimdiki değer) (bir örnek önceki değer)

Olmak üzere; Y ( z) + a1 z -1Y ( z ) + a2 z -2Y ( z ) + ... + an z - nY ( z ) = b0U ( z ) + b1z -1U ( z ) + ... + bn z - nU ( z )

=> Y ( z) [1 + + a1 z -1 + a2 z -2 + ... + an z - n ùû = U ( z) [b0 + b1 z -1 + ... + bn z - n ùû 1

(1)


[b0 + b1 z -1 + ... + bn z - n ùû Y ( z) = (2) U ( z ) [1 + a1 z -1 + a2 z -2 + ... + an z - n ùû b0 z n + b1 z n -1 + ... + bn Y ( z) = U ( z ) z n + a1 z n -1 + a2 z -2 + ... + an

Veya pay ve payda

zn ile çarpılır => zn

(3)

(1),(2),(3) denklemlerinin durum uzay gösterimleri bir çok yoldan elde

edilebilinir. Aşağıda sırası ile anlatılacaktır. 1. Kontroledilebilir Kanonik Form (Controllable Canonical Form) (Faz-Değişken Kanonik Form: phase-veriable canonical form): Doğrudan programlama metodu ile elde edilebilir. b z n + b z n-1 + ... + bn Y ( z) X ( z) pay ve payda X(z) ile çarpılır ve ayrı ayrı yazılır = n 0 n-1 1 -2 U ( z ) z + a1 z + a2 z + ... + an X ( z ) ise,

• U ( z) = ( z n + a1 z n-1 + a2 z -2 + ... + an ) X ( z ) • Y ( z) = (b0 z n + b1 z n-1 + ... + bn ) X ( z )

(*)

olur.

X ( z ), zX ( z ) ..., z n X ( z ) nin ters dönüşümleri kullanılır ise; X ( z ) ® x(k ) = x1 (k )

olsun.

1. durum değişkeni

zX ( z ) ® x(k + 1) = x2 (k ) olsun.


z 2 X ( z ) ® x(k + 2) = x3 (k ) olsun.


.

x2 (k + 1) = x3 (k )

. z X ( z ) ® x(k + 3) = x4 (k ) 3

x3 (k + 1) = x4 (k )


----------------------------------------

z n-1 X ( z ) ® x(k + n - 1) ® xn-1 (k + 1) = xn (k ) n. durum değişkeni z n X ( z) ® x(k + n) = xn (k + 1)

yeni durum değişkenleri x1 (k ), x2 (k ),..., xn (k ) olarak tanımlanmıştır.

2


xn (k + 1) ifadesi ise yeni durum değişkenleri kullanılarak, U ( z) = ( z n + a1 z n-1 + a2 z -2 + ... + an ) X ( z ) denkleminden elde edilir. U ( z) = z n X ( z) + a1 z n-1 X ( z ) + a2 z n-2 X ( z ) + ... + an X ( z ) =>

u(k ) = xn (k + 1) + a1 xn (k ) + ... + an-1 x2 (k ) + an x1 (k ) => xn (k + 1) = u(k ) - a1 xn (k ) + ... + an-1 x2 (k ) + an x1 (k )

yeni durum değişkenleri kullanılarak çıkış ifadesi olarak , Y ( z) = b0 z n X ( z ) + b1z n-1 X ( z ) + ... + bn X ( z )

yazılır.

NOT: pay derecesi=payda derecesi-1 olsun z n-1 X ( z ) ® x(k + n - 1) = xn (k ) olur. y(k ) = b0 xn (k ) + b1 xn-1 (k ) + ... + bn x(k )

Elde edilen durum denklemleri vektör-matris formunda yazılır. é x1 (k + 1) ù é 0 ê ú ê ê x2 (k + 1) ú = ê 0 ê ú ê . . ê ú ê ë xn (k + 1) û ë -an

1

0

0

1

.

.

-an -1 -an -2

...0 ù é x1 (k ) ù é0ù ...0 úú êê x2 ( k ) úú ê0ú + ê ú u (k ) ® kontrol edilebilir Kanonik form .... ú ê . ú ê . ú úê ú ê ú ... - a1 û ë xn (k ) û ë1 û

çıkış denklemi ise,

y (k ) = [bn

bn -1 bn -2 ... b1

é x1 (k ) ù ê x (k ) ú b0 ] ê 2 ú ê . ú ê ú ë xn (k ) û

yazılır.

•Eğer pay ve payda derecesi eşit ise; y(k ) = b0 xn (k + 1) + b1 xn (k ) + b2 xn-1 (k ) + ... + bn-1 x2 (k ) + bn x1 (k ) xn (k + 1) yerine yazılır ve düzenlenir,

y(k ) = b0u(k ) + [b1 - a1b0 ] xn (k ) + [b2 - a2b0 ] xn-1 (k ) + ... + bn-1x2 (k ) + [bn - anb0 ] x1 (k ) é x1 (k ) ù y (k ) = [bn - b0 an ...........b1 - b0 a1 ] êê ... úú + [b0 ] u( k ) êë xn (k ) úû 3


durum değişkenlerinin sırasını değiştirirsek, eski durum değişkenlerine göre yenilerini; é ^ ù ê x1 (k ) ú é0 0 . 0 1 ù é x1 (k ) ù ê ^ ú ê0 0 . 1 0 ú ê x (k ) ú úê 2 ú ê x2 (k ) ú = ê ê ... ú ê . . . . . ú ê . ú ú úê ê ^ ú ê ê x (k ) ú ë1 0 . 0 0 û ë xn (k ) û ë n û ^ é ù x ( k ê 1 + 1) ú é -a1 ^ ê ú ê 1 ( x k ê 2 + 1) ú = ê ê ... ú ê . ê ú ê ^ ê x (k + 1) ú ë 0 ë n û

-a2 . -an -1 0

. 0

.

. .

0

. 1

çıkış denklemi; y (k ) = [b1 - a1b0

tanımlarsak durum denklemleri;

é ^ ù -an ù ê x1 (k ) ú é1 ù ^ 0 úú ê x (k ) ú êê0 úú ê 2 ú+ u (k ) . úê . ú ê.ú úê ú ê ú 0 û ê ^ ú ë0 û ë xn (k ) û

b2 - a2b0

é ^ ù ê x1 (k ) ú ê ^ ú . bn - anb0 ] ê x2 (k ) ú + b0u (k ) olarak yazılabilir. ê . ú ê ^ ú ê x (k ) ú ë n û

ÖRNEK: y(k + 2) = u(k ) + 1.7 y(k + 1) - 0.72 y(k ) fark denklemi ile verilen sistemin durum denklemlerini kontrol edilebilir kanonik form (faz-değişken kanonik form) da elde ediniz. 1. yol; Z- dönüşüm transfer fonksiyonundan ayrık-zaman durum denklemlerinin elde edilmesi;

Z-domeni


İlk koşullar sıfır alınarak transfer fonksiyonu elde edilir………

y(k + 2) = u(k ) + 1.7 y(k + 1) - 0.72 y(k )

z 2Y ( z ) = U ( z ) + 1.7 zY ( z ) - 0.72Y ( z ) =>

Y ( z) 1 X ( z) = 2 U ( z ) z - 1.7 z + 0.72 X ( z )

Önce durum değişkenleri tanımlanır: X ( z ) ® x(k ) = x1 (k )

x1 (k ) , 1. Durum değişkeni

4


Y ( z ) ® y(k ) = x(k ) ® y(k ) = x1 (k )

çıkış denklemi

zX ( z ) = x(k + 1) = x2 (k ) ® x1 (k + 1) = x2 (k ) 1. Durum denklemi, x2 (k ) 2. Durum değişkenidir.

z 2 X ( z) = x(k + 2) = x2 (k + 1) ' dir. Y ( z) = X ( z)

U ( z) = z 2 X ( z ) -1.7 zX ( z ) + 0.72 X ( z ) => z 2 X ( z ) = U ( z ) + 1.7 zX ( z ) - 0.72 X ( z ) x2 (k + 1) = u(k ) + 1.7 x2 (k ) - 0.72 x1 (k )

2. Durum denklemi

2. Dereceden diferans(fark) denkleminden 1.dereceden iki adet diferans(fark) denklemi elde edilmiştir. 1. Dereceden elde edilen fark denklemleri vektör-matris formunda yazılır => 1 ù é x1 (k ) ù é0 ù é x1 (k + 1) ù é 0 ê x (k + 1) ú = ê -0.72 1.7 ú ê x (k ) ú + ê1 ú u (k ) ûë 2 û ë û ë 2 û ë é x (k ) ù y (k ) = [1 0] ê 1 ú ë x2 (k ) û

olarak elde edilir.

2.yol doğrudan fark denklemleri kullanılabilinir; Ayrık-zaman sistem Fark (diferans) denklemi

y(k ) = x1 (k )

çıkışın şimdiki değeri


x1 (k ) olsun. 1. Durum değişkeni.

y(k + 1) = x2 (k ) çıkışın bir örnek sonraki değeri

x2 (k ) olsun. 2. Durum değişkeni.

Yukarıdaki tanımlara göre, x1 (k + 1) = x2 (k )

1. Durum denklemi .

x2 (k + 1) = y(k + 2) olur. Tanımlanan durum değişkenleri y(k + 2) = u(k ) + 1.7 y(k + 1) - 0.72 y(k ) denkleminde yerlerine konulur =>

x2 (k + 1) = u(k ) + 1.7 x2 (k ) - 0.72 x1 (k )

2. Durum denklemi .

Elde edilen durum ve çıkış denklemleri vektör-matris formunda aşağıda verildiği gibi yazılır. 5


1 ù é x1 (k ) ù é0 ù é x1 (k + 1) ù é 0 ê x (k + 1) ú = ê -0.72 1.7 ú ê x (k ) ú + ê1 ú u (k ) ûë 2 û ë û ë 2 û ë é x (k ) ù y (k ) = [ 0 1] ê 1 ú ë x2 (k ) û

GÖZLENEBİLİR KANONİK FORM(OBSERVABLE CANONICAL FORM): Y ( z ) b0 + b1 z -1 + b2 z -2 + ... + bn z - n Darbe transfer fonksiyonu, G( z ) = olarak verilsin, G(z) = U ( z) 1 + a1 z -1 + ... + an z - n yeniden düzenlenir ise, içler-dışlar çarpımı yapılır. Y ( z) + a1 z -1Y ( z ) + ... + an z - nY ( z ) = b0U ( z ) + b1z -1U ( z ) + ... + bn z - nU ( z ) => -2 -n Y ( z) - b0U ( z ) + z -1 [ a1Y ( z ) - bU [anY ( z) - bnU ( z)] = 0 1 ( z )] + z [ a2Y ( z ) - b2U ( z ) ] + ... + z

Veya X nn--2 ( z ) ì ü ï -1 -1 ï -1 Y ( z ) = b0U ( z ) + z (bU íb2U ( z ) - a2Y ( z ) + z [b3U ( z ) - a3Y ( z ) + ......]ý) 1 ( z ) - a1Y ( z ) + z ï ï î þ X nn-1 ( z ) Xn (z)

(*) yeni durum değişkenleri aşağıdaki gibi tanımlanır =>

X n ( z ) = z -1 [bU 1 ( z ) - a1Y ( z ) + X n -1 ( z ) ]

n. Durum değişkeni

X n-1 ( z ) = z -1 [b2U ( z ) - a2Y ( z ) + X n-2 ( z )]

(n-1). Durum değişkeni

...............................................................

X 2 ( z ) = z -1 [bn-1U ( z ) - an-1Y ( z ) + X1 ( z )]

2. Durum değişkeni

X1 ( z ) = z -1 [bnU ( z ) - anY ( z )]

1. Durum değişkeni

(*) Y(z) denklemi, Y ( z ) = b0U ( z ) + X n ( z) olarak yazılır ise ve " taraf ''z'' ile çarpılır ise ; zX n ( z ) = X n-1 ( z ) - a1 X n ( z ) + (b1 - a1b0 )U ( z ) zX n-1 ( z) = X n-2 ( z) - a2 X n ( z ) + (b2 - a2b0 )U ( z ) 6


... zX 2 ( z) = X1 ( z) - an-1 X n ( z) + (bn-1 - an-1b0 )U ( z) zX1 ( z ) = -an X n ( z ) + (bn - anb0 )U ( z ) ile yazılır ise;

ters z- dönüşümü alınır ve çıkan denklemler ters sıra

x1 (k + 1) = -an xn (k ) + (bn - anb0 )u(k )

1. Durum denklemi

x2 (k + 1) = x1 (k ) - an-1 xn (k ) + (bn-1 - an-1b0 )u(k )

2. Durum denklemi

... xn-1 (k + 1) = xn-2 (k ) - a2 xn (k ) + (b2 - a2b0 )u(k )

(n- 1). Durum denklemi

xn (k + 1) = xn-1 (k ) - a1 xn (k ) + (b1 - a1b0 )u(k )

n. Durum denklemi

çıkış denkleminin ters z-dönüşümü alınarak , y(k ) = xn (k ) + b0u(k ) olarak yazılır. Durum denklemleri GÖZLENEBİLİR KANONİK FORM’ da vektör-matris olarak

é x1 (k + 1) ù é0 ê x (k + 1) ú ê1 ê 2 ú ê ê ú=ê . ... ê ú ê ê xn -1 (k + 1) ú ê0 êë xn (k + 1) úû êë0

-an ù é x1 (k ) ù é bn - anb0 ù ... 0 0 -an -1 úú êê x2 (k ) úú êêbn -1 - an -1b0 úú ú u (k ) ... . . . ú ê ... ú + ê ... ú ú ê úê ... 1 0 -a2 ú ê xn -1 (k ) ú ê b2 - a2b0 ú ... 0 1 -a1 úû êë xn (k ) úû ëê b1 - a1b0 ûú

0 ... 0 0 0 . 0 0

yazılır.

Çıkış denklemi olarak,

é x1 (k ) ù ê x (k ) ú y (k ) = [ 0 0 ... 0 1] ê 2 ú + b0u (k ) ê ... ú ê ú ë xn (k ) û

elde edilir.

ÖRNEK: y(k + 2) = u(k ) + 1.7 y(k + 1) - 0.72 y(k ) fark denklemi ile verilen sistemi durum denklemlerini gözlenebilir kanonik form’ da elde ediniz. elde edilen

z -2 Y ( z) 1 z -2 idi. pay ve payda ile çarpılır ve = 2 z -2 U ( z ) z - 1.7 z + 0.72 z -2

Y ( z) z -2 = U ( z ) 1 - 1.7 z -1 + 0.72 z -2

içler dışlar çarpımı yapılır.

7


Y ( z) - 1.7 z -1Y ( z ) + 0.72 z -2Y ( z ) = z -2U ( z ) => Y ( z) = z -2U ( z ) + 1.7 z -1Y ( z ) - 0.72z -2Y ( z ) Durum değişkenleri tanımlanır…………

ì ü ï ï -1 Y ( z ) = z í1.7Y ( z ) + z {U ( z ) - 0 0.72 72Y ( z )}ý ïî ïþ X1 ( z ) -1

olarak tanımlanır=>

X2 (z)

X1 ( z) = z -1 (U ( z) - 0.72Y ( z ))

1. Durum değişkeni.

X 2 ( z ) = z -1 (1.7Y ( z ) + X1 ( z ))

2. Durum değişkeni.

ve Y ( z ) = X 2 ( z ) tir.

Çıkış denklemi.

X1 ( z ) ve X 2 ( z ) te Y(z) yerine koyulur ve eşitliklerin " iki tarafı z ile çarpılır ise; zX1 ( z) = U ( z ) - 0.72 X 2 ( z) zX 2 ( z) = 1.7 X 2 ( z) + X1 ( z) ters z-dönüşümü yapılır ise, x1 (k + 1) = u(k ) - 0.72 x2 (k )

1. Durum denklemi.

x2 (k + 1) = 1.7 x2 (k ) + x1 (k )

2. Durum denklemi.

y(k ) = x2 (k )

Çıkış denklemi.

gözlenebilir kanonik form’ vektör-matris formunda;

é x1 (k + 1) ù é0 -0.72ù é x1 (k ) ù é1 ù ê x (k + 1) ú = ê1 1.7 ú ê x (k ) ú + ê0ú u (k ) ûë 2 û ë û ë 12 û ë é x (k ) ù y (k ) = [0 1] ê 1 ú ë x2 (k ) û

elde edilir.

Yada, b0 + b1 z -1 + b2 z -2 Y ( z) z -2 = = U ( z ) 1 - 1.7 z -1 + 0.72 z -2 1 + a1 z -1 + a2 z -2 b0 = b1 = 0, b2 = 1 a1 = -1.7, a2 = 0.72

genel teriminden katsayılar yazılır ise

dir. Doğrudan gözlenebilir kanonik form genel matrisinde katsayılar

yerlerine yazılır. 8


•Durum değişkenlerinin sırası değiştirilir ise , xˆ (k ) yeni durum değişkenleri olmak üzere; é xˆ1 (k ) ù é0 0 . ê xˆ (k ) ú ê0 0 . ê 2 ú=ê ê ú ê. ú ê ê ë xˆn (k ) û ë1 0 ^ é ù é -a1 x ( k 1) + 1 ê ú ê -a ê ... ú = ê 2 ê ú ê . ^ ê ú ê ë xn (k + 1) û ë -an

1 . 0

1ù é x1 (k ) ù 0 úú ê ... úú tanımlanır ise; .úê ú êë xn (k ) úû 0û

1 0 . 0ù é b1 - a1b0 ù é xˆ1 (k ) ù ê ú 0 1 . .úê b2 - a2b0 úú ú ê ... ú + ê ... ú . . . 1ú ê ú êë xˆn (k ) úû ê ú 0 0 . 0û ëbn - anb0 û

é xˆ1 (k ) ù ê xˆ (k ) ú y (k ) = [1 0 ... 0] ê 2 ú + b0u (k ) ê ... ú ê ú ë xˆn (k ) û

· Elde edilen durum ve çıkış denklemleri de GÖZLENEBİLİR KANONİK FORM’ dur. !NOT: Gözlenebilir kanonik formda elde edilen durum denklemlerinde nxn sistem matrisi Kontrole dilebilir kanonik formda elde edilen nxn sistem matrisinin Transpoze'sidir.

KÖŞEGEN KANONİK FORM (Diagonal Canonical Form):

Y ( z) darbe transfer fonksiyonu ile verilen sistemin kutupları farklı ise (katlı değil ise) U ( z) durum-uzay gösterimi köşegen kanonik formda gösterilebilir. G( z ) =

Y ( z ) b0 z n + b1 z n-1 + ... + bn = olarak düzenlenir ise ve tüm payda U ( z ) z n + a1 z n-1 + ... + an Y ( z) kökleri (kutuplar) farklı olduğuna göre, basit kesirlere ayrılmış olarak aşağıda verildiği U ( z) gibi yazılabilinir.

darbe transfer fonksiyonu;

c c c Y ( z) = b0 + 1 + 2 + ... + n bu ifade, U ( z) z - p1 z - p2 z - pn Y ( z ) = U ( z )b0 +

c c1 c U ( z ) + 2 U ( z ) + ... + n U ( z ) z - p1 z - p2 z - pn X n ( z) X1 ( z) X 2 ( z)

durum değişkenleri olarak tanımlanır ise; 9


X1 ( z) =

1 U ( z) z - p1

X 2 ( z) =

1 U ( z) z - p2

... X n ( z) =

1 U ( z) z - pn

bu denklemlerden sırası ile,

zX1 ( z) = p1 X1 ( z) + U ( z) => x1 (k + 1) = p1 x1 (k ) + u(k )

1. durum denklemi

zX 2 ( z) = p2 X 2 ( z) + U ( z) => x2 (k + 1) = p2 x2 (k ) + u(k )

2. durum denklemi

... zX n ( z) = pn X n ( z) + U ( z) => xn (k + 1) = pn xn (k ) + u(k )

n. durum denklemi olarak ifadeler

yazılır. çıkış denklemi; Y ( z) = b0U ( z) + c1 X1 ( z) + c2 X 2 ( z) + ... + cn X n ( z) => y(k ) = b0u(k ) + c1 x1 (k ) + c2 x2 (k ) + ... + cn xn (k )

olarak elde edilir.

durum denklemlerini vektör-matris formda aşağıda verilmiştir.

é x1 (k + 1) ù é p1 ê x (k + 1) ú ê 0 ê 2 ú=ê ê ... ú ê . ê ú ê ë xn (k + 1) û ë 0

0

...

p2 ... .

...

.

...

0 ù é x1 (k ) ù é 1 ù 0 úú êê x2 (k ) úú ê 1 ú + ê ú u (k ) . ú ê ... ú ê...ú ú ê ú úê p2 û ë xn (k ) û ë 1 û

Ve çıkış denklemini y (k ) = [ c1 c2

é x1 (k ) ù ê x (k ) ú ... cn ] ê 2 ú + b0u (k ) ê ... ú ê ú ë xn (k ) û yazılır.

ÖRNEK: y(k + 2) = u(k ) + 1.7 y(k + 1) - 0.72 y(k ) fark denklemi ile verilen sistemin durum denklemlerini köşegen kanonik formda elde ediniz. verilen fark denkleminden transfer fonksiyonu elde edilir ise; Y ( z) 1 1 A B = 2 = = + => A=10, B=-10 dur U ( z ) z - 1.7 z + 0.72 ( z - 0.9)( z - 0.8) z - 0.9 z - 0.8 10


Y ( z) 10 10 = U ( z) U ( z) U ( z ) z - 0.9 z - 0.8 basit kesre ayrılır. Y ( z) 10 10 = U ( z) U ( z) U ( z ) z - 0.9 z - 0.8 X1 ( z) X 2 ( z) X1 ( z) =

U ( z) => zX1 ( z) = U ( z ) + 0.9 X1 ( z ) z - 0.9

X 2 ( z) =

U ( z) => zX 2 ( z) = U ( z ) + 0.8 X 2 ( z) z - 0.8

ters z dönüşümü alınırsa;

x1 (k + 1) = u(k ) + 0.9 x1 (k )

1. Durum denklemi

x2 (k + 1) = u(k ) + 0.8x2 (k )

2. Durum denklemi.

y(k ) = 10 x1 (k ) - 10 x2 (k )

Çıkış denklemi.

durum denklemlerini vektör-matris formda

é x1 (k + 1) ù é0.9 0 ù é x1 (k ) ù é1ù ê x (k + 1) ú = ê 0 0.8ú ê x (k ) ú + ê1ú u (k ) ûë 2 û ë û ë 2 û ë

yazılır.

é x1 (k ) ù çıkış denklemi y (k ) = [10 -10] ê ú ë x1 (k ) û

olarak elde edilir.

Jordan Kanonik Form: Verilen transfer fonksiyonunda , z = p1 'de m katlı kök olsun ve diğer kutuplar birbirinden farklı olsun. Bu şartlar altında durum denklemi ve çıkış denklemi aşağıda verildiği gibidir.

é x1 (k + 1) ù é P1 ê ú ê ê x2 (k + 1) ú ê 0 ê ú ê ê ú ê ê xm (k + 1) ú = ê 0 ê xm+1 (k + 1) ú ê 0 ê ú ê ú ê ê ê x (k + 1) ú ê 0 ë n û ë

1

0

0

0

P1 1

0

0

0

0

P1

0

0

0

0

Pm+1

0

0

0

0

0

0 ù é x1 (k ) ù é0 ù 0 úú êê x2 (k ) úú ê0 ú ê ú ú ê.ú úê . ú ê ú úê 0 ú ê xm (k ) ú + ê1 ú u (k ) 0 ú ê xm +1 ( k + 1) ú ê1 ú úê ú ê ú ú ê ú úê ú ê Pn û ë xn (k + 1) ûú êë1 úû

11


y (k ) = [ c1 c2

é x1 (k ) ù ê x (k ) ú ... cn ] ê 2 ú + b0u (k ) Kaynak: discrete time control systems Katsuhiko Ogata ê ... ú ê ú ë xn (k ) û

Y ( z ) = b0U ( z ) +

c c c1 c2 U ( z) + U ( z ) + ... + m U ( z ) + m+1 U ( z ) m m -1 ( z - p1 ) ( z - p1 ) z - p1 z - pm+1

+

cm+ 2 c U ( z ) + ... + n U ( z ) z - pm+ 2 z - pn

X1 ( z ) =

1 U ( z ) => ( z - p1 )m

X1 ( z) 1 = X 2 ( z ) z - p1

X 2 ( z) =

1 U ( z) ( z - p1 )m-1

X 2 ( z) 1 = X 3 ( z ) z - p1

... X m ( z) =

... 1 U ( z) z - p1

X m-1 ( z ) 1 = X m ( z) z - P1

kalan (n-m) adet durum değişkenler; X m+1 ( z ) =

1 U ( z) z - pm+1

X m+ 2 ( z ) =

1 U ( z) z - pm+ 2

X n ( z) =

1 U ( z) z - pn

12


LİNEER DÖNÜŞÜMÜN DURUM DENKLEMLERİNE UYGULANMASI Benzerlik Dönüşümü Ayrık-zaman sistemlerin durum modellerinin elde edilmesinde farklı modellerin , kontrol edilebilir kanonik form, gözlenebilir kanonik form, köşegen kanonik form vb…. gibi elde edilebilineceği daha önce ifade edilmiştir. Benzerlik dönüşümü yardımı ile verilen bir sistemin çok farklı sayıda ayrık-durum modeli elde edilebilinir. Durum denklemleri; x(k + 1) = Ax(k ) + Bu(k ) Çıkış denklemi

ve

y(k ) = Cx(k ) + Du(k ) olarak verilsin.

Bu denklemlere lineer dönüşüm, x(k ) = Px' (k ) uygulansın. x(k + 1) = Px' (k + 1) olur.

P ® nxn matris olmak üzere, x ' (k ) yeni durum vektörüdür. Burada, P matrisi tersi alınabilir ve nxn boyutlu sistem matrisi A ile aynı boyutta matris olmak zorundadır. Lineer dönüşümü durum denklemlerine uygularsak, Px '(k + 1) = APx '(k ) + Bu(k )

" taraf P -1 ile çarpılır ise,

x '(k + 1) = P -1 APx '(k ) + P -1Bu (k ) ü ý y (k ) = CPx '(k ) + Du (k ) þ

yeni durum denklemleri, elde edilir.

Ap = P-1 AP, Bp = P-1B, C p = CP, Dp = D olarak tanımlanırsa, x '(k + 1) = Ap x '(k ) + Bpu (k ) ü ï ý y (k ) = C p x '(k ) + Dpu (k ) ï þ

olarak yeni durum denklemleri yazılır.

Böylece tersi olan her P matrisi için farklı durum modeli elde edilebilinir. Lineer dönüşümde sistemin karakteristik denklemi değişmez.

A matrisinin karakteristik denklemi;

zI - A = ( z - z1 )( z - z2 )...( z - zn ) = 0 dır Özellik:

P -1 A P = A olduğu hatırlanır ise,

1


Ap matrisinin karakteristik denklemi;

zI - Ap = zP-1IP - P-1 AP = P -1 zI - A P

= zI - A Görüldüğü her iki sistem matrislerine ait karakteristik denklemler eşittir. ÖRNEK: é0.8 1 ù é0ù x(k + 1) = ê x (k ) + ê ú u (k ) ú ë 0 0.9û ë1 û

é x (k ) ù y (k ) = [1 0] ê 1 ú ë x2 (k ) û Durum değişken modeli verilen sistemin lineer benzerlik dönüşümü yardımı ile yeni durum denklemini elde ediniz. Çözüm: Lineer dönüşüm matris , 2x2 boyutunda tersi alınabilen P matrisi keyfi olarak seçilir. é1 -1ù P=ê ú ë1 1 û

olarak seçilsin.

écof [ P ]ùû P =ë P -1

T

é 0.5 0.5ù P -1 = ê ú ë -0.5 0.5û

é 0.5 0.5ù é0.8 1 ù é1 -1ù é 1.35 0.55ù Ap = P -1 AP = ê => Ap = ê ú ê ú ê ú ú ë -0.5 0.5û ë 0 0.9û ë1 1 û ë -0.45 0.35û é 0.5 0.5ù é0ù é0.5ù Bp = P -1B = ê úê ú = ê ú ë -0.5 0.5û ë1 û ë0.5û é1 -1ù C p = CP = [1 0] ê ú = [1 -1] ë1 1 û

yeni durum denklemini yazarsak; é 1.35 0.55ù ' é0.5ù x ' (k + 1) = ê x (k ) + ê ú u (k ) ú ë -0.45 0.35û ë0.5û

y(k ) = [1 -1] x' (k )

2


zI - A =

z - 0.8

-1

0

z - 0.9

= 0 => z 2 - 1.7 z + 0.72 = 0

İki karakteristik denklem eşittir. zI - Ap =

z - 1.35

-0.55

0.45

z - 0.35

= 0 => z 2 - 1.7 z + 0.72 = 0

Böylece tersi olan her P matrisi için farklı durum modeli elde edilebilinir. Lineer dönüşümde sistemin karakteristik denklemi değişmez.

Lineer Dönüşüm İle Sistem Matrisi A’nın Köşegen Hale Getirilmesi Lineer Dönüşüm sistem durum denklemlerinin öz-değerlerini değiştirmez. A matrisini diagonal (köşegen) hale getiren özel lineer dönüşüm matrisi elde edilecektir. Tanım: A matrisi nxn boyutlu ve öz-değerleri l1 , l2 ,..., ln olsun. Öz-vektörler her bir özdeğer için tanımlanırlar ve nx1 boyutludur. " hangi bir li öz-değerine ilişkin öz-vektör

ziö

ise

Aziö = li ziö => [li I - A] ziö = 0 denkleminin çözümleri olan zi (nxn) boyutundaki vektördür. Her öz-değer için bir öz-vektör bulunur.

l1

için z

l2

için z

1öT

= [v11 v21 ... vn1 ]

2 öT

= [v12

v22 ... vn 2 ]

nöT

= [v1n

v2n ... vnn ]

T

T

...

ln

için z

T

nxn boyutlu A matrisinin bütün öz-değerlerinin basit ve gerçel olması koşulu halinde özvektörlerden oluşan P lineer dönüşüm matrisi ;

3


é v11 êv ê 21 Pöz = ê . ê ê vn1 êë Z1ÖT

v12 v22 . v2 Z 2 ÖT

... v1n ù ... v2 n úú ... . ú ú ... vnn ú Z nÖT ú û

1. sütun 1. öz-vektör, 2. sütun 2. öz-vektöre ....... aittir.

Pöz ’e Benzerlik dönüşüm ya da model matris denir.

ÖRNEK:

0 1 ù é x1 (k ) ù é0 ù é x1 (k + 1) ù é0.5 ê x (k + 1) ú = ê 0 -0.5 1 úú êê x2 (k ) úú + êê0 úú u(k ) ê 2 ú ê êë x3 (k + 1) úû êë 0 -0.7 úû êë x3 (k ) úû êë1 úû 0 é x1 (k ) ù y (k ) = [ 0 0 1] êê x2 (k ) úú êë x3 (k ) úû Durum denklemi ile verilen sistem lineer benzerlik dönüşümü ile sistem matrisi A’ yı köşegen hale getiriniz. ÇÖZÜM: Önce A matrisinin Öz-değer ve Öz-vektörleri bulunur. A-matrisinin karakteristik denklemi; zI - A = 0 dır. Karakteristik denklem kökleri özdeğerlerdir.

z - 0.5

0

-1

0

z + 0.5

-1

0

0

z + 0.7

= 0 = ( z - 0.5)( z + 0.5)( z + 0.7) = 0 =>

öz-değerler;

l1 = z1 = 0.5 l2 = z2 = -0.5 l3 = z3 = -0.7 Her bir öz-değere ilişkin öz-vektörler aşağıda sırası ile hesap edilir. 4


z1öz

é v11 ù = êêv21 úú êë v31 úû z =l 1 1

z2 öz


z3öz


Öz-vektörler belirlensin. [li I - A] ziöz = 0

l1 = z1 = 0.5 => [li I - A] ziöz = 0 => ì é1 0 0ù é0.5 0 1 ù ü é v11 ù é0 0 -1 ù é v11 ù ï ê ï ú ê 1 úú ý êêv21 úú = êê0 1 -1úú êê v21 úú = 0 => Þ í0.5 ê0 1 0ú - ê 0 -05 ï ê0 0 1 ú ê 0 0 -0.7 úû ï û ë î ë þ êë v31 úû êë0 0 1.2úû êë v31 úû

-v31 = 0

v21 - v31 = 0 1.2v31 = 0 denklemleri değerlendirilir ise,

v31 = 0 v21 = 0 olur. Ve v11 'i gelişi güzel alınabilirş v11 =1 olsun,

é1 ù l1 = 0.5 öz-değeri için öz-vektör z1öz = êê0 úú dir. êë0 úû --------------------------------------------------------------------------------------------------------l2 = z2 = -0.5 için , ì 1 ù ü é v12 ù é -1 0 -1 ù é v12 ù é1 0 0ù é0.5 0 ï ï ê ú ê 1 úú ý êêv22 úú = êê 0 0 -1 úú êêv22 úú = 0 => Þ í-0.5 ê0 1 0 ú - ê 0 -05 ï 0 -0.7 úû ï ëê0 0 1 ûú ëê 0 î þ êë v32 úû êë 0 0 0.2 úû êë v32 úû

-v12 - v32 = 0

-v32 = 0 ve 0.2v32 = 0 denklemleri sırası ile değerlendirilir. , ise v12 = v32 = 0 , v22 = 1 gelişi güzel seçilir,

é0 ù l2 = -0.5 öz-değeri için öz-vektör z2 öz = êê1 úú êë0 úû ---------------------------------------------------------------------------------------------------------

l3 = z3 = -0.7 öz-değeri için öz-vektörü belirlersek; ì 1 ù ü é v13 ù é -1.2 0 -1ù é v13 ù é1 0 0ù é0.5 0 ï ïê ú ê ê ú ê ú 1 ú ý êv23 ú = ê 0 Þ í-0.7 ê0 1 0 ú - ê 0 -05 -0.2 -1úú êê v23 úú = 0 => ï 0 -0.7 úû ï 0 0 úû êë v33 úû ëê0 0 1 ûú ëê 0 î þ êë v33 úû êë 0

-1.2v13 - v33 = 0 , -0.2v23 - v33 = 0 denklemler yazılır. v23 = -5v33 , v33 = -1.2v13 denklemleri sırası ile değerlendirilir. v33 = 0.24 seçilir ise v13 = -0.2, v23 = -1.2 olur. 5


l3 = -0.7 öz-değeri için öz-vektör z3öz

é -0.2 ù = êê -1.2 úú êë 0.24 úû

--------------------------------------------------------------------------------------------------------é v11 v12 ... v1n ù êv ú ê 21 v22 ... v2 n ú Pöz = ê . . ... . ú olduğu göz önüne alınarak öz-vektörler yerlerine yazılır ve ê ú ê vn1 v2 ... vnn ú Z nÖT û ú ëê Z1ÖT Z2 ÖT

é1 0 -0.2 ù Pöz = êê0 1 -1.2 úú öz-vektörlerden oluşan dönüşüm matrisi yada model matris elde edilir. êë0 0 0.24 úû 0.2 ù é ê1 0 0.24 ú ê ú Pöz -1 = ê0 1 5 ú => ve ê 1 ú ê0 0 ú 0.24 û ë

x ' (k + 1) = Pöz -1 APöz x ' (k ) + Pöz -1Bu (k ) y (k ) = CPöz x '(k ) + Du (k )

0.2 ù é ê1 0 0.24 ú é0.5 0 1 ù é1 0 -0.2 ù é0.5 0 0 ù ê ú ê ú ê ú ê Pöz -1 APöz = ê0 1 5 ú ê 0 -0.5 1 ú ê0 1 -1.2 ú = ê 0 -0.5 0 úú ê 0 7 úû ëê0 0 0.24 0 24 ûú ëê 0 1 ú êë 0 0 0 -0.7 -0.7 úû ê0 0 ú A P 0.24 0 .2 24 û ë P -1

0.2 ù é é 0.2 ù ê1 0 0.24 ú é0 ù ê 0.24 ú é1 0 -0.2ù ê úê ú ê ú ê ú -1 5 ú ê0 ú = ê 5 ú CPöz = [0 0 1]] ê0 1 -1.2ú = [0 0 0.24] Pöz B = ê0 1 C ê êë0 0 0.24 úû 1 ú êë1 úû ê 1 ú ê ú ê0 0 ú P 0.24 û ë 0.24 û ë P -1

Öz-vektör hesabında lineer bağımlı denklemlerden dolayı öz-değerler için hesap edilen öz-vektörlerde bazı değerler keyfi seçilmek zorundadır. Dolayısı ile her seçilen değere bağlı olarak Pöz dönüşüm matrisi değişecektir. Ancak sistem matrisi A yine diagonal (Köşegen) olacaktır. Pöz -1 APöz aynı kalır ancak Pöz -1 B ve CPöz matrisleri değişir.

6


éx ê êx êx ë

' 1 ' 2 ' 3

é 0.2 ù (k + 1) ù é0.5 0 0 ù é x (k ) ù ê 0.24 ú ú ú ê ú ê (k + 1) ú = êê 0 -0.5 0 úú ê x (k ) ú + ê 5 ú u (k ) (k + 1) úû ëê 0 -0.7 0 0 7 ûú ëê x (k ) úû ê 1 ú ê ú 0 24 û ë 0.24 P -1 AP ' 1 ' 2 ' 3

durum denklemleri ve

P -1B

é x '1 (k ) ù ê ú y (k ) = [0 0 0.24] ê x '2 (k ) ú ê x '3 ( k ) ú ë û

çıkış denklemi elde edilir.

Durum Denklemlerinden Transfer Fonksiyonunun Elde Edilmesi: Sisteme ait durum denklemi, x(k + 1) = Ax(k ) + Bu(k )

ve

y(k ) = Cx(k ) + Du(k )

çıkış denklemi

olarak verilsin.

Durum denkleminin z-dönüşümü alınırsa;

zX ( z) - zX (0) = AX ( z) + BU ( z) koşullar sıfır alınır. X (0) ;

[ zI - A] X ( z) = BU ( z) =>

transfer fonksiyonu elde edilirken ilk

Z { f (t + T )} = zF ( z ) - zF (0) Z { f (t + nT )} = z n F ( z ) - z n F (0) - z n -1F (1) - ... - zF (n - 1)

X ( z ) = [ zI - A] BU ( z ) -1

n -1

= z n F ( z ) - z n å F (k ) z - k k =0

HATIRLATMA!

y(k ) = Cx(k ) + Du(k )

=> Y ( z) = CX ( z) + DU ( z)

koyulur.

{

}

Y ( z ) = C [ zI - A] B + D U ( z ) -1

Y ( z) -1 = T ( z ) = c [ zI - A] B + D U ( z)

7

X ( z ) ifadesi Y ( z ) te yerine


AdjA

T ( z) = C

[cof ( zI - A)]T B + zI - A D zI - A

zI - A = 1 + G( z ) H ( z )

!

=

G( z ) 1 + G( z ) H ( z )

Karakteristik Denklem.

ÖRNEK: é 1.35 0.55ù é0.5ù x(k + 1) = ê x(k ) + ê ú u (k ) y(k ) = [1 -1] x(k ) ú ë -0.45 0.35û ë0.5û verilen sistemin transfer fonksiyonunu elde ediniz. é z - 1.35 -0.55 ù z - 0.35úû ë 0.45

[ zI - A] = ê

cof:kofaktör

=

durum denklemi ile

zI - A = z 2 - 1.7 z + 0.72

é z - 0.35 -0.45 ù cof [ zI - A] = ê z - 1.35úû ë 0.55

[ zI - A]

-1

écof [ zI - A]ùû =ë zI - A

T

0.55 ù é z - 0.35 1 ê z - 1.7 z + 0.72 ë -0.45 z - 1.35úû 2

D=0 olduğundan; T ( z ) = C [ zI - A] B = -1

T ( z) =

0.55 ù é0.5ù é z - 0.35 1 [1 -1] ê úê ú z - 1.7 z + 0.72 ë -0.45 z - 1.35û ë0.5û 2

1 z - 1.7 z + 0.72 2

Durum Denklemlerinin Çözümü : İlk durumlar x(0) ve u(j)

j=0,1,2,... biliniyor ise,

x(k + 1) = Ax(k ) + Bu(k )

y(k ) = Cx(k ) + Du(k )

lineer-zamanla değişmeyen durum denklemlerinin çözümünü elde etmeye çalışılsın. 8


Çözüm elde edilirken sırası ile k=0,1,2,... değerleri verilsin. k=0

x(1) = Ax(0) + Bu(0)

k=1

x(2) = Ax(1) + Bu(1)

= A2 x(0) + ABu(0) + Bu(1)

k=2

x(3) = A3 x(0) + A2 Bu(0) + ABu(1) + Bu(2)

Çözüme devam edilirse, k. terim için k -1

x(k ) = Ak x(0) + å A( k -1- j ) Bu ( j )

elde edilir.

j =0

eğer Ak = f (k ) olarak tanımlanırsa, f (k ) Durum geçiş matrisi olarak adlandırılır. k -1

x(k ) = f (k ) x(0) + åf (k - 1 - j ) Bu( j ) j =0

ifadesi elde edilir.

Bu ifade y(k)' da yerine koyulur ise, k -1

y(k ) = Cf (k ) x(0) + å Cf (k - 1 - j ) Bu ( j ) + Du (k ) j =0

Çıkış ifadesi elde edilir. ÖRNEK: é0 1ù é0ù x(k + 1) = ê x(k ) + ê ú u (k ) ve x(0) = 0, u(k ) = 1 k=0,1,... ú ë -2 -3û ë1 û

y(k ) = [3 1] x(k )

olarak verildiğine göre x(k) ve y(k) değerlerini ardışıl olarak elde ediniz.

é0 1ù é0 ù é0 ù x(1) = ê x(0) + ê ú u (0) => x(1) = ê ú ú ë -2 -3û ë1 û ë1 û

9


é0ù y (1) = [3 1] ê ú => y(1) = 1 ë1 û é0 1ù é0ù é1ù x(2) = ê x(1) + ê ú u(1) = ê ú ú ë -2 -3û ë1 û ë -2û é1ù y (2) = [3 1] ê ú => y(2) = 1 ë -2û é -2ù x(3) = ê ú ë5û

y (3) = -1

é 5 ù x(4) = ê ú y (4) = 5 ë -10 û

Formül kullanarak hesaplansın.

é 0 1 ù é 0 1 ù é -2 -3ù A2 = ê úê ú=ê ú ë -2 -3û ë -2 -3û ë 6 9 û

k=2 için hesap yapalım. 1

x(2) = A2 x(0) + å A1- j Bu ( j ) j =0

é1 0 ù ê0 1 ú ë û

é ù ê 0 1 ú é0 ù é -2 -3ù é0 ù é 0 1 ù é0 ù =ê + + ê úê ú úê ú ê úê ú ë 6 9 û ë0 û ë -2 -3û ë1 û ê -2 -3ú ë1 û ú İRİM İS û ëê I BİRİMMATRİS A1

é 1 ù é0ù = 0 + ê ú + ê ú => ë -3û ë1 û é1ù x(2) = ê ú ë -2 û f 1- j

é -2 -3ù é0ù 1 é0 1ù + å [3 1] ê y (2) = [3 1] ê ú ê ú ú ë -2 -3û ë 6 9 û ë0û j =f C A2

x (0)

10

é0ù ê1 ú 1 ë û


é0 ù é1 0 ù é 0 ù = f + [ -2 0] ê ú + [3 1] ê úê ú ë1 û ë 0 1 û ë1 û é0ù = 0 + [3 1] ê ú => y(2) = 1 ë1 û

Durum Geçiş Matrisinin z-Dönüşüm Metodu ile Elde Edilmesi: x(k + 1) = Ax(k ) + Bu(k ) olarak verilsin. Durum geçiş matrisi sitemin serbest davranışı ile

ilgilidir. u(k)=0 alınır. x(k + 1) = Ax(k ) =>

zX ( z) - zX (0) = AX ( z) =>

X ( z ) = z [ zI - A] X (0) -1

x( k ) =

-1

{ X ( z)} =

-1

x( k ) =

-1

{

ve

{z [ zI - A] } X (0) elde edilir. -1

z [ zI - A]

Durum geçiş matrisi sitemin serbest davranışı ile ilgilidir. u(k)=0 alınır (kaynak yok).

} X (0)

-1

genel çözüm ile karşılaştırılır ise , 0 olduğ du undan

k -1

x(k ) = f (k ) X (0) + å f (k - 1 - j ) B u ( j ) j =0

ve

0 olur

x(k ) = f (k ) x(0)

dır. Ve

x( k ) =

-1

{

z [ zI - A]

karşılaştırılır =>

f (k ) =

-1

{z [ zI - A] } -1

Durum Geçiş Matrisi elde edilir.

ÖRNEK: 11

} X (0)

-1

denklemi ile


é0 1ù A=ê ú verildiğine göre durum geçiş matrisini bulunuz. ë -2 -3û é z -1 ù ise zI - A = z 2 + 3z + 2 = ( z + 1)( z + 2) ú ë 2 z + 3û

[ zI - A] = ê

1 é 2 é( z + 3) 1 ù ê z + 1 z + 2 1 -1 =ê [ zI - A] = ê z úû ê -2 2 ( z + 1)( z + 2) ë -2 + êë z + 1 z + 2

f (k ) =

-1

{z [ zI - A] } -1

ìé 2 z z ïï ê z + 1 - z + 2 = -1 í ê 2z -2 z ï ê -2 + ïî ëê z + 1 z + 2 é 2(-1)k - (-2)k =ê k k ë -2(-1) + 2(-2)

1 1 ù z +1 z + 2 ú ú 2 ú -1 + z + 1 z + 2 ûú

z z ùü z + 1 z + 2 ú ïï úý 2z úï -z + z + 1 z + 2 ûú ïþ (-1)k - (-2) k ù ú -(-1) k + 2(-2) k û

Hatırlatma: ters z-dönüşüm için

1 d m-1 é( z - zi )m X ( z ) z k -1 ùû x(kT ) = å m -1 ë z = zi i =1 ( m - 1) ! dz n

é a b ù -1 1 é d -b ù A = A=ê ú ê -c a ú c d ad dc ë û ë û Hatırlatma:

12


f (k ) Durum geçiş matrisinin matris özellikleri: 1)

f (0) = I = A0

2)

f (k1 + k2 ) = Ak +k = Ak Ak = f (k1 )f (k2 ) 1

2

1

-1

-k -1 k ù = A f ( k ) 3) f (-k ) = A = é veya ë û

2

f (k ) = f (-k )-1

Sürekli-zaman Durum Denklemlerinden Zamanla Değişmeyen Ayrık-zaman Durum Denklemlerine Geçiş Sürekli sistem durum denklemleri;

xx((t ) = Ax(t ) + Bu(t ) y(t ) = Cx(t ) + Du(t )

olarak verilsin.

x(t ) - Ax = Bu şeklinde yazıp her iki tarafı e

- At

ile çarparsak;

ì d - At éëe xx((t ) ûù = - Ae- At x(t ) + e- At x(t ) ï ï e- At ( x(t ) - Ax) = e- At Bu (t ) not: í dt * ï - At * ïî= e [ xx((t ) - Ax(t ) ] olmak üzere,

d - At éëe x(t ) ùû = e- At Bu (t ) yazılabilir. dt Bu ifadenin 0-t aralığında integrali alınır ise, t

e

- At

x(t ) = x(0) + ò e - At Bu (t )dt ve her tarafı

e At

ile çarparsak;

0

t

x(t ) = e x(0) + ò e- A(t -t ) Bu (t )dt At

0

e At = f (t )

tanımlanır ve durum geçiş matrisi olarak isimlendirilir. 13


t

x(t ) = f (t ) x(0) + ò f (t - t ) Bu(t )dt

{t0 = 0} için genel çözüm elde

0

edilir.

t

t0 ¹ 0

için

x(t ) = e

A( t -t0 )

f ( t -t0 )

x(t0 ) + ò e A(t -t ) Bu (t )dt t0

Çıkış ifadesi ise, elde edilen x(t) genel çözüm y(t) ifadesinde yerine koyulur ise,

t é ù y (t ) = C êf (t - t0 ) x(t0 ) + ò f (t - t )Bu (t )dt ú + D(t )u (t ) êë úû t0

elde edilir.

Ayrık-zaman Durum denklemlerinin elde edilmesi: İki örnekleme zaman aralığını kT £ t < kT + T düşünelim. Bu amaç için t0 = kT ve

t = kT + T alınır ve bu aralıkta kontrol işareti u(t ) = u(kT ) sabit kabul ederek ( ZOH’lu yaklaşım) u(t)

t0

t u(kT) (k+1)T

kT

x [(k + 1)T ] = f (kT + T - kT ) x(kT ) +

( k +1)T

ò f [(k + 1)T - t ]Bu(kT )dt

kT

x [ (k + 1)T ] = f (T ) x(kT ) +

( k +1)T

ò f [(k + 1)T - t ]Bu(kT )dt

kT

14


f [(k + 1)T - t ] Bu(kT )dt = f (T ) x(kT ) + g (T )u(kT ) u (kT ) giriş örnekleme aralığında sabit alındığından, integral ifadesi; ( k +1)T

ò f [(k + 1)T - t ]Bdt

g (T ) =

olarak tanımlanır;

kT

( k +1)T

ò

g (T ) =

e A( k +1)T e- At dt

dir.

kT ( k +1)T

g (T ) = e

A( k +1)T

ò

e- At Bdt veya örnekleme aralığı için k=0 alınır ise 0 £ t £ T aralığı

kT

için;

g (T ) e

AT

g (T ) e

AT

f (t ) = e At

é T - At ù ê ò e dt ú B ® ë0 û

é T - At ù ê ò e dt ú B ë0 û

ve

f (T ) = f (t ) t =T

olarak elde edilir.

f (T ) = e AT

olduğu hatırlanır ise,

dir ve

Sürekli zaman durum denklemlerinden ayrık zaman durum denklemleri

x [ (k + 1)T ] = f (T ) x(kT ) + g (T )u (kT ) elde edilir.

y (kT ) = Cx(kT ) + Du (kT )

Sürekli zamanda Durum Geçiş matrisinin elde edilmesi: Sistemin durum geçiş matrisi sadece serbest davranışı ile ilgilidir. Çözümde u(t)=0 alınır. 15


xx((t ) = Ax(t ) Þ sx(s) - x(0) = Ax(s) Þ sx(s) - Ax(s) = x(0) Þ

x(s) = [ sI - A] x(0) -1

x(t ) =

-1

elde edilir. Ters Laplace alınır ise,

{x(s)} Þ x(t ) =

-1

é[ ssII - A]-1 ù x(0) û ë

serbest davranış için elde edilen çözüm x(t) ile u(t)=0 için genel çözüm için elde edilen x(t) karşılaştırılır ise,

x(t ) = f (t ) x(0)

olduğu görülür.

Buradan, Sürekli zaman durum geçiş matrisi,

f (t ) =

-1

{[ sI - A] } = e -1

At

dir.

Sürekli zaman sistem durum geçiş matrisinden ayrık zaman sistem matrisi

f (T ) ,

Ayrık zaman durum geçiş matrisi,

f (T ) = f (t ) t =T

ile elde edilir.

Örnek: Sürekli zamanda; é x1 (t ) ù é -1 2 ù é x1 (t ) ù é1 ù ê x (t ) ú = ê 0 -2 ú ê x (t ) ú + ê0 ú u (t ) ûë 2 û ë û ë 2 û ë durum denklemleri ile verilen sistemin Ayrık-zaman é x1 (t ) ù y (t ) = [1 0] ê ú ë x2 (t ) û durum denklemlerini elde ediniz.

16


Çözüm: İşlem basamakları kısaca aşağıda verildiği gibidir. 1)

f (t ) ,sürekli zaman durum geçiş matrisi bulunur, sonra t=T verilerek ayrık zaman

durum geçiş matrisi

2) g (T ) ifadesi,

f (T )

g (T ) e

elde edilir..

AT

é T - At ù ê ò e dt ú B ë0 û

ile hesaplanır.

f (T ) ve g (T ) ifadeleri kullanılarak ayrık-zaman durum denklemleri, x [(k + 1)T ] = f (T ) x(kT ) + g (T )u(kT ) olarak elde edilir.

Önce, sürekli zaman durum geçiş matrisi,

f (t ) elde edilir.

2 é 1 ù ê é s + 1 -2 ù s + 1 ( s + 1)( s + 2) ú -1 ê ú sI A Þ = [ sI - A] = ê [ ] s + 2 ûú 1 ê ú ë 0 êë 0 ú s+2 û NOT:

2 A B 2 2 = + dir. = ( s + 1) (s + 2) s + 1 s + 2 s + 1 s + 2 A=2, B=-2

f (t ) =

-1

ée- t éë((sI sII - A) ùû = ê ë0

2e-t - 2e-2t ù ú e-2t û

-1

durum geçiş matrisi olarak elde

edilir.

ÖZELLİK:

f (0) = I

f (T ) = f (t ) t =T

olmalıdır.

é e -T Þ f (T ) = ê ë 0

é1 0 ù ú ë0 1 û

f (0) = ê

2e-T - 2e-2T ù ú e-2T û 17

olur.


e

- At

é e -T = f (-t ) = ê ë 0

2e-T - 2e-2T ù ú e-2T ûT =-t

éT

ù

é e -T

ë0

û

ë 0

ìT éet 2e-T - 2e-2T ù ï ú íò ê e-2T ûï î0 ë 0

g (T ) = f (T ) ê ò e- At dt ú B = ê

t

ée

T

ò êë 0 0

éT t ê ò e dt 2et - 2e2t ù ê0 údt = ê 2t e û ê 0 êë

é e -T =ê ë 0

2e

-T

- 2e

e-2T

-2T

T

ù - 2e2t ) dt ú ú= T ú 2t ú t e d ò0 úû

ò ( 2e

t

0

éet ùê úê ûê0 ë

éet ê ê0 êë

ü é1 ù 2et - 2e2t ù ï údt ý ê ú 2t e û ï þ ë0û T

2et - e2t ù ú 1 2t ú e úû 0 2

T

2et - e2t ù ú 1 2t ú e úû 0 2

é1 ù ê0 ú ë û

éeT - 1 2eT - e2T - 1ù 2e-T - 2e-2T ù ê ú é1 ù úê 1 2T 1 ú ê ú -2T e e ë0 û ûê 0 ë 2 2 úû

é e -T =ê ë 0

é1 - e-T =ê ê 0 êë

2 - eT - eT + e -T - e -T - 1 + e -2T ù ú é1 ù 1 -T 1 -2T ú êë0 úû e - e úû 2 2

é1 - e-T ù ú ë 0 û

g (T ) = ê

é x1 [ (k + 1)T ] ù ée-T ê ú=ê ë x2 [ (k + 1)T ]û ë 0

2e-T - 2e-2T ù é x1 (kT ) ù é1 - e-T ù úê ú u (kT ) ú+ê e-2T û ë x2 (kT ) û ë 0 û

Aynı g (T ) bağıntısı ikinci yoldan elde edilebilir. T

g (T ) = e

AT

òe 0

T

- At

Bdt = ò e A(T -t ) Bdt 0

değişken değiştirmesi yapılır ise, T - t = l dersek,

t = 0Þl =T

18

-dt = d l

(T sabit) ve


t =T Þl = 0 0

g (T ) = ( - ò e

Al

T

sınır değerler göz önüne alınır ve

dt = -d l

yazılır

æ T Al ö d l ) B = ç ò e d l ÷B bağıntısı elde olunur. è0 ø

æ T ée- l g (T ) = çç ò ê è0ë 0

é1 - e-T 2e- l - 2e-2l ù ö ê úd l ÷÷ B = ê -2 l e 0 û ø ëê

2e-T - e-2T - 1ù ú é1 ù 1 -2T 1 ú ê ú Þ - e + ë0û 2 2 ûú

é1 - e-T ù ú ë 0 û

g (T ) = ê

19


DURUM UZAY KARARLILIK ANALİZİ Kararlılık analizi BIBO kriteri kullanılarak yapılabilir (bounded input,bounded output). Sınırlı giriş için sınırlı çıkış üreten sistem kararlıdır. Durum-uzay kararlılık analizi yöntemlerinden birisi transfer fonksiyonundan yararlanarak yapılmasıdır.

x(k + 1) = Ax(k ) + Bu(k ) y (k ) = Cx(k ) + Du (k )

ile verilen sistemin transfer fonksiyonu;

Y ( z) -1 = T ( z ) = C [ zI - A] B + D U ( z)

,

[ zI - A]

-1

ifadesini açarak yazılır ve kapalı çevrim

transfer fonksiyonuna eşitlenir ise Adj ( A )

[cof ( zI - A)] T ( z) = C

T

B + zI - A D

zI - A

=

G( z ) 1 + G( z ) H ( z )

elde edilir. Bu ifadelerden kararlılık

analizi için gerekli olan karakteristik denklem,

F ( z) = 1 + G( z) H ( z) = det( zI - A) = 0 denklem kökleri

olduğu görülebilir. F(z)=0 karakteristik aynı zamanda öz-değer olarak adlandırılır.

ÖRNEK: 0 ù é 0.43 A=ê ú sistem matrisi ile verilen ayrık-zaman sisteminin kararlılığını ë -0.037 0.64û inceleyiniz.

i)

0 ù é z - 0.43 det( zI - A) = ê ú=0 ë 0.037 z - 0.64û

det( zI - A) = ( z - 0.43)( z - 0.64) = 0 Þ z1 = 0.43 ve z2 = 0.64 dir. köklerinin tümü birim daire içindedir. KARARLIDIR .

jwz

sz

0.43

0.64

1

karakteristik denklem SİSTEM


Jury kriteri ile karalılık analizi yapılabilir; Karakteristik denklem F ( z) = z 2 -1.07 z + 0.2752 = 0 ,olmak üzere, karakteristik denklem derecesi n=2 dir.

Gerek koşullar i)

F (1) > 0 Þ F (1) = 0.2052 > 0' dır

2 ii) (-1) F (-1) Þ F (-1) = 2.3452 > 0' dır

Yeter koşullar i)

n-1=1 tane koşul sağlanmalıdır. an > a0 , olmalıdır. 1 > 0.2752 ‘dır. Gerek ve yeter koşul sağlandığından kapalı-çevrim transfer fonksiyonunun tüm kutupları birim daire içindedir. SİSTEM KARARLIDIR.

Liapunov Kararlılık Kriteri Non-lineer sistemlerin kararlılığın incelenmesinde en önemli teorilerden birisi Rus Matematikçi Alexander Mikhailovich Liapunov tarafından gösterilmiştir(1892). Liapunov ’un 2. Kararlılık kriteri, dinamik bir sisteme ilişkin diferansiyel denklemin çözümünü elde etmeksizin denklemin biçiminden dinamik sistemin kararlı olup olmadığının saptanmasını sağlar. Liapunov , sistemin içinde biriktirilen enerji ile sistemin dinamiği arasında bağlantı kuracak bir fonksiyon tanımlanmıştır. Eğer toplam enerji, sistem denge durumuna ulaşıncaya kadar sürekli azalır ise bu sistem kararlıdır. Sistemler için yazılan enerji fonksiyonları kesin pozitiftir (positive definit). Toplam enerjisi sürekli azalan bir sistemde ise enerji fonksiyonunun zamana göre türevi negatif olur. Liapunov enerji fonksiyonunun zamana göre türevi negatif olur. Liapunov enerji fonksiyonunun kesin pozitif olma özelliğinden ve kararlı sistemin enerji fonksiyonunun bu özelliğinden yararlanarak 2. Kararlılık kriteri verilmiştir. Bu kriter sadece diferansiyel denklemin yapısından kararlılık incelemesi yapma olanağı verdiğinden Liapunov ’un ‘’Doğrudan kriteri’’ diye adlandırılır. Bu teorem, eğer uygun bir Liapunov fonksiyonu bulunabilirse kararlılık hakkında bir şey söyleyebilir. Eğer fonksiyon bulunamazsa bir şey söyleyemez. Liaponov’un 2. Kararlılık Kriteri: Bir kontrol sistemine ait dinamik denklem,

2


bütün t’ler için

dx = f ( x, t ) f (0, t ) = 0 dt

biçiminde verilmiş olsun.

v(x,t) , Lyapunov fonksiyonu ağıdaki 3 şartı sağlamalıdır. 1- Sürekli ve birinci mertebeden türevi olmalı. 2-Kesin pozitif fonksiyon olmalıdır. 3-

dv( x, t ) kesin negatif olmalıdır. dt

1,2, ve 3 şartlarını sağlayan bir skaler fonksiyon (değeri skaler olan fonksiyon, f=f(p), p’y bağlı olarak f’nin değeri skalerdir.) bulunabilir ise, bu sistemin başlangıç noktasındaki *

kararlılığı düzgün asimtotik kararlılık özelliğindendir. İlave olarak x ® ¥ için v(x,t) *

1/2

sonsuza giderse, sistem düzgün asimtotik geniş anlamda kararlıdır denir. x = éë xT x ùû

v(x,t)

skaler Liapunov fonksiyonunun bulunması için doğrudan doğruya bir yol olmadığı ve v(x,t) ‘nin elde edilmesinin zorluğu göz önünde bulundurulmalıdır.

x1 , x2 ,..., xn ’nin fonksiyonu olan skaler fonksiyon v(x) 1- i) v(x)>0,

x¹0 1/2

*

x = éë xT x ùû vektörün normu denir.

ii) v(0)=0

İse v(x) ‘’Kesin pozitif fonksiyon’’ olarak adlandırılır. 2- i) v( x) ³ 0 , x

¹0

ii) v(0)=0 ise v(x) ‘’Yarı kesin pozitif fonksiyon’’ olarak adlandırılır. 3- Eğer –v(x) ‘’Kesin pozitif fonksiyon ‘’ ise v(x) ’’Kesin negatif fonksiyondur’’.

3


ÖRNEK:

x1 = 0, x2 = 0

da kararlı olan sistemin, kararlılığını Liapunov 2. Kriteri yardımı

ile inceleyiniz. dx1 ( x 2 + x22 ) x1 =- 1 - x2 dt 2 dx2 ( x 2 + x22 ) x2 = x1 - 1 2 dt

ÇÖZÜM: 2 2 v( x) ® Liapunov fonksiyonu ve v( x) = x1 + x2 olarak seçelsin.

1)

i) v( x) > 0, x1 ¹ 0, x2 ¹ 0 ü ý ii) v(0) = 0, x1 = 0, x2 = 0þ

olduğundan v(x) skaler fonksiyonu ‘’kesin pozitiftir’’

2) dx dx dv( x) = 2 x1 1 + 2 x2 2 dt dt dt

ì ( x12 + x22 ) x1 ü ì ( x12 + x22 ) ü = 2 x1 í- x2 ý + 2 x2 í x1 x2 ý Þ 2 2 î þ î þ = -2 x12

( x12 + x22 ) x1 ( x 2 + x22 ) 2 2 x2 = - x14 - x12 x22 - x12 x22 - x24 - 2 x1 x2 + 2 x2 x1 - 1 2 2

= -( x14 + 2 x12 x22 + x24 )

dv( x) = -( x12 + x22 )2 kesin negatif fonksiyondur. dt

Yukarıdaki tanımda ifade edildiği fibi seçilen v(x,t) skaler fonksiyonu koşulları sağlandığından ve x ® ¥ için v( x) ® ¥ ’da olacağından sistem başlangıç denge durumunda geniş anlamda asimtotik olarak kararlıdır.

4


ÖRNEK: Bir sarkaç sistemini ele alalım ve karalılığını Liapunov kararlılık kriteri ile inceleyelim.

Dq

q

l

l

mg sin q

m

Dx

x mg Sarkacı net hareket ettiren kuvvet,

å F = ma

dır. Şekilden Dx = l Dq

yazılır ve

d 2x d 2q Dx Dq dx dq olarak düzenlenir ise, elde edilir ve olarak yazılabilir. =l =l = l Dt Dt dt dt dt 2 dt 2 Newtonun 2. Kanunu yazılırsa, k hava ile sürtünme katsayısı (sönüm katsayısı) olmak üzere, m

d 2x dx + k + mg sin q = 0 2 dt dt

ml

d 2q dq + kl + mg sin q = 0 2 dt dt

d 2q k dq g + + sin q = 0 dt 2 m dt l

Sarkaç sistemin dinamik denklemi elde edilir. Bu ifade yardımı ile önce durum değişkenleri tanımlanır sonra durum denklemleri elde edilir;

5


i) Durum değişkenleri tanımlanır.

x1 = q x2 =

konum

dx1 dq = dt dt

hız

tanımlanan durum değişkenleri

d 2q dx2 = dt 2 dt

olmak üzere,

d 2q k dq g =- sin q 2 dt m dt l

dx2 (t ) k g = - x2 - sin x1 dt m l dx1 (t ) = x2 dt

é dx1 (t ) ù 0 ê dt ú é ê ú=ê g ê dx2 (t ) ú êê - sin x1 êë dt úû ë l

ifadesinde yazılır ise,

2. Durum denklemi.

1. Durum denklemi.

1 ù é x1 (t ) ù ú k ê ú - ú ë x2 (t ) û m úû

1) Sistemin denge noktası için x1=0 ve x2=0’dır. Türevleri, eğer (0,0) sistem için denge noktasıdır. dx1 = x2 = 0 , ( x1 = x2 = 0 için) dt æ dx1 dx2 ö , ç ÷ = (0, 0) ’dır, è dt dt ø

dx2 g k = - sin (0) - (0) = 0 ’ dır. dt l m x x 1

2

Orjin denge noktasıdır. 2) Orjinde asimtotik kararlımıdır, yoksa sadece kararlımıdır? Asimtotik kararlılık testi için Lyaponov fonksiyonu

6

dx1 dx = 0 ve 2 = 0 => orjin dt dt


v(0) = 0 v( x) > 0 dv( x) <0 dt

ü ý (ke sin pozitif ) þ (ke sin negatif )

kesin pozitif şartlarını sağlar ise sarkaç sistemi asimtotik kararlıdır. Eğer,

dv( x) £ 0 şartını sağlar ise sadece kararlıdır. dt i)

Önce Lyaponov fonksiyonunu yazmaya çalışalım. LF (Liapunov fonk.) sisemin Lyaponov fonksiyonu potansiyel ve kinetik enerjileri cincinden yazılacak,

a) Sarkaç sisteminin kinetik enerjisi;

q

V ® Çizgisel Hız V = w*l ® 1 mV 2 2 dq w= (açısal hız ) 1 dq 2 dt ) Þ Ek = m(l 2 dt dq V =l dt Ek =

1 2 dq 2 Ek = ml ( ) 2 dt

Sarkaç sisteminin Kinetik enerjisi

b) Sarkaç sisteminin potansiyel enerjisi =>

7

E p = mgh


q

cos q

q

h h = l - l cosq Þ

h = l (1 - cosq )

Sarkaç sisteminin potansiyel enerjisi E p = mgl (1 - cos q ) Sarkaç sistemini toplam enerjisi; ET = Ek + E p

ET =

1 2 dq 2 ml ( ) + mgl (1 - cos q ) 2 dt

Lyaponov fonksiyonu, durum değişkenleri cinsinden,

V ( x) = ET ( x) = ¯

1 2 2 ml x2 + mgl (1 - cos x1 ) olarak elde edilir. 2

Liapunov fonksiyonu 1-

x=0 için x1 = x2 = 0 Þ V (0) = 0 ' dır. x1 ¹ 0, x2 ¹ 0 Þ V ( x) > 0 ' dır.

kesin pozitif bir fonksiyondur.

2- Liapunov fonksiyonu 1. Türevi alınır.

dV ( x) d V æ d x1 ö d V æ d x2 ö dV ( x) = elde edilir) ç ÷+ ç ÷ (zincir kuralı uygulayarak, d x1 è d t ø d x2 è d t ø dt dt d V ( x) = mgl sin x1 d x1

d x1 = x2 dt

d V ( x) = ml 2 x2 d x2

d x2 k g = - x2 - sin x1 dt m l

tüm türevler

dV ( x) k g = mgl sin x1 * x2 + ml 2 x2 (- x2 - sin x1 ) dt m l 8

dV ( x) de yerine konulur=> dt


= mgl sin x1 * x2 - kl 2 x22 - mgl sin x1 * x2

dV ( x) = -kl 2 x22 dt

dV ( x) dV ( x) < 0 olmalıydı. < 0 ’e bakılır ise , tüm x değerleri dt dt dV ( x) dV ( x) için < 0 değildir. x=0 için göz önüne alınır ise £ 0 ‘dır. dt dt

Asimtotik kararlımıdır?

!DİKKAT: Liapunov ’a göre sistem sadece kararlı gözükmektedir, asimtotik kararlı değildir. Ancak sarkaç sistemini göz önüne aldığımızda, sarkaç, zamanla sönüm katsayısından dolayı, enerjisi zamanla azalacak (0,0) orjin’de denge noktasında duracaktır. Ve asimtotik olarakta kararlıdır. Zamanla Değişmeyen Sistemlerin Liapunov Fonksiyonu;

dx = Ax dt

olarak verilsin,

Liapunov fonksiyonu,

V ( x) = xT px

olarak seçilsin ve 1. mertebeden türevi alınır ise,

dV ( x) dxT dx = Px + xT P dt dt dt

dx = Ax olduğu göz önüne alınır ise, dt

= ( Ax)T px + xT pAx = AT xT px + xT pAx

dV ( x) = xT ( AT p + pA) x dt Q V(x) skaler fonksiyonunun Liapunov fonksiyonu olabilmesi için olması gerekmektedir. Bunun için Q kesin pozitif olmak üzere dV ( x) = - xT Qx dt

biçiminde yazılabilir.

9

dV ( x) nin kesin negatif dt


{A

T

p + pA = - I }

yapılarak çözüm bulunur.

Örnek: 1)

dx é -4 3 ù = x sistemin kararlılığını belirleyiniz. dt êë -1 -1úû

Simetri p matrisi; AT p + pA = -Q ve Q = I matrisi olarak seçelim.

é -4 -1ù é p11 ê 3 -1ú ê p ë û ë 12

p21 ù é p11 + p22 úû êë p12

p21 ù é -4 3 ù é -1 0 ù = denklem çözülürse; p22 úû êë -1 -1úû êë 0 -1úû

(p matrisi kesin pozitif ise sistem asimtotik olarak kararlıdır)

[-4 p11 - p12 + 3 p12 - p22 - 4 p11 - p12 + 3 p12 - p22 ] -4 p11 - p12 - 4 p11 - p12 = -1 -4 p12 - p22 + 3 p11 - p12 = 0 3 p11 - p12 + 3 p12 - p22 = 0 3 p12 - p22 + 3 p12 - p22 = -1

9 é 9 -1 ù ê 70 70 ú D1 = 70 > 0 p=ê ú ê -1 32 ú D = 9 32 - 1 1 > 0 2 êë 70 70 úû 70 70 70 70

Minörler pozitiftir. Sistem asimtotik olarak kararlıdır. Örnek: 2)

dx é -2 0 ù x kararlılığı inceleyiniz. = dt êë 1 -1úû AT p + pA = -Q

é -2 1 ù é p11 ê 0 -1ú ê p ë û ë 12

ve Q = I matrisi olarak seçelim.

p21 ù é p11 + p22 úû êë p12

p21 ù é -2 0 ù é -1 0 ù = p22 úû êë 1 -1úû êë 0 -1úû

é1 -2 p11 + p12 - 2 p11 + p12 = -1ü ê3 ï -2 p22 + p22 - p12 = 0 ýp=ê ê1 ï - p22 - p22 = -1 þ êë 6 kararlıdır.

1ù 6ú ú 1ú 2 ûú

1 >0 3 sistem asimtotik 11 11 D2 = >0 32 66 D1 =

10


ÖRNEK: .

x1 = - x1 - 2 x2 .

sistemin denge durumunda kararlılığını inceleyiniz. (stability of the

x 2 = x1 - 4 x2 equilibrium state) ÇÖZÜM: Denge noktası orjindedir veya x=0’dır.

é dx1 ù ê dt ú é -1 -2 ù é x1 ù ê ú=ê úê ú ê dx2 ú ë 1 -4 û ë x2 û êë dt úû A ' p + pA = - I p = p'

é -1 1 ù é p11 ê -2 -4ú ê p ë û ë 12

p21 ù é p11 + p22 úû êë p12

p21 ù é -1 -2ù é -1 0 ù = p22 úû êë 1 -4úû êë 0 -1úû

é 63 ü ê 20 ï -2 p11 - 5 p12 + p22 = 0 ý p = ê ê -7 ï -4 p12 - 8 p22 = -1 þ ëê 60 -2 p11 + 2 p12 = -1

-7 ù 60 ú ú 11 ú 60 ûú

63 >0 20 63 11 7 7 D2 = >0 20 60 60 60 D1 =

P matrisi kesin poazitif matristir. Sistem orjinde asimtotik olarak kararlıdır. Liyaponov fonksiyonu,

V ( x) = x ' px = [ x1

=

é 23 ê 60 x2 ] ê ê -7 êë 60

-7 ù 60 ú é x1 ù ú 11 ú êë x2 úû 60 úû

1 dV ( x) éë 23x12 - 14 x1 x2 + 11x2 2 ùû ve türevi ise = - x12 - x22 dir. 60 dt

11


EK Bilgi:

Quadratik Form (Karesel Form): nxn gerçek simetrik A matrisi ve gerçek nboyutlu x vektörü olmak üzere, n

n

x Ax = åå aij xi x j T

aij = aij

i =1 j =1

dir.

Gerçek quadratik form olarak adlandırılır.

ÖRNEK:

x12 - 2 x1 x2 + 4 x1 x3 + x22 + 8 x34 = [ x1

x2 xT

é 1 -1 2 ù é x1 ù x3 ] êê -1 1 0 úú êê x2 úú = xT Ax êë 2 0 8 ûú ëê x3 úû x

A

Quadratik form için kesin pozitiflik kriteri (sylvester kriteri):

xT Ax a11 > 0,

quadratik formun kesin pozitif olabilmesi için gerek ve yeter koşul

a11

a12

a21 a22

a11 > 0,

a12

a21 a22 a31

a32

a13 a23 > 0,..., ve A > 0 olmalıdır. a33

Quadratik form kesin negatiflik kriteri (sylvester kriteri):

a11 < 0,

a11

a12

a21 a22

a11

a12

> 0, a21 a22 a31

a32

a13 a23 < 0,..., a33

A >0

(n çift )

A <0

(n tek )

aij = a ji gerçek

simetrik matris için, dikkat minörler içinde, n tek ise det<0, n çift ise det>0 dır. Quadratik form için yarı kesin pozitiflik kriteri (sylvester kriteri):

aii aij ³ 0,

aij

aik

ajk ³ 0, …, A = 0 aki akj akk aji

ajj

i< j
Quadratik form için yarı kesin negatiflik kriteri (sylvester kriteri): 12


aij £ 0,

aii

aij

a ji

a jj

aii

aij

aik

³ 0 aji ajj ajk £ 0, …, A = 0 aki akj akk

i< j
ZAMANLA DEĞİŞMEYEN AYRIK-ZAMAN LİNEER SİSTEMLERİN LYPONOV KARARLILIK ANALİZİ Ayrık-zaman sistem, x(k + 1) = Gx(k ) ile tanımlı olsun. x=0 denge noktasıdır. Liapunov fonksiyonu olarak, V ( x(k )) = xT (k ) px(k ) olarak seçelim. P kesin pozitif gerçek simetrik matristir. DV ( x(k )) = V ( x(k + 1)) - V ( x(k ))

= xT (k + 1) px(k + 1) - xT (k ) px(k )

ve

x(k + 1) = Gx(k ) olduğu düşünülür ise,

= [Gx(k )] p [Gx(k )] - xT (k ) px(k ) T

= xT (k )GT pGx(k ) - xT (k ) px(k ) DV ( x(k )) = xT (k ) éëGT pG - p ùû x(k )

Asiptotik kararlılık için V(x(k)) kesin pozitif seçilmelidir. Bunun için DV ( x(k )) kesin negatif olmalıdır. DV ( x(k )) = - xT (k )Qx(k ) Q = -(GT pG - p) kesin pozitif olmalıdır. (GT pG - p) = -Q p’nin kesin pozitif olması gerek ve yeter koşuldur

ÖRNEK:

1 ù é x1 (k ) ù é x1 (k + 1) ù é 0 ê x (k + 1) ú = ê -0.5 -1ú ê x (k ) ú sistemin orjin kararlılığını belirleyiniz. ûë 2 û ë 2 û ë G

Q = I seçelim.

GT pG - p = -Q

13


é0 -0.5ù é p11 ê1 -1 ú ê p ë û ë 12

p21 ù é 0 1 ù é p11 + p22 úû êë -0.5 -1úû êë p12

p21 ù é1 0 ù = ê0 1 ú p22 úû ë û

Eğer p matrisi kesin pozitif ise orijin x=0 da geniş anlamda asimtotik olarak kararlıdır. é11 ü ê5 ï 0.5(- p12 + p22 ) - p12 = 0 ý p = ê ê8 ï p11 - 2 p12 = 1 þ êë 5 0.25 p22 - p11 = -1

1)

8ù 11 8 24 5ú ú , p11 = , p12 = , p22 = 24 ú 5 5 5 ú 5û

11 > 0 dır. 5

11 24 8 8 2) det( p) = p = ( ) =8 5 5 55

1 ve 2 den ‘’p’’ kesin pozitif matristir.

14


KONTROLEDİLEBİLİRLİK VE GÖZLEMLENEBİLİRLİK KONTROLEDİLEBİLİRLİK Eğer bir sistemin tüm durumları her hangi bir ilk değerden istenen bir değere sonlu zamanda getirilebiliniyor ise o sistemin tüm durumları kontrol edilebilir denir. Herhangi bir durum değişkeni kontrol işaretinden bağımsız ise, bu durum değişkenini kontrol etmek imkansızdır. Bundan dolayı bu sistemin tüm durumları kontrol edilemez. Kontrol edilebilirlik, özdeğer atama (kutup yerleştirme), optimal kontrol, sistem tanımlama v.b gibi birçok kontrol problem çözümü için gerek koşuldur. Tanım: x(k + 1) = Ax(k ) + Bu(k ) sistemi, eğer u(0),u(1),...,u(N-1) sonlu N adet girişleri ile sistemin durum değişkenleri x(0) ilk değerinden son durum x(N-1)'e getirilebiliniyorsa sistem kontrol edilebilir denir. Yukarıda verilen tanım ancak, u (k ) genliğinin sınırsız olması durumunda geçerlidir. Eğer u (k ) genliği sınırlı ise, örnekleme N adetten daha fazla olması gerekmektedir. Bu teoreme göre, açık çevrim x(k + 1) = Ax(k ) + Bu(k ) sisteminin tüm durumları kontrol edilemiyor ise, A sistem matrisinin en az bir adet öz değeri kontrol kuralı u(k) ile değiştirilemez. Bu gibi durumlarda tüm öz-değerlerin atanabilmesi için geri besleme kuralında integral ve türev terimleri bulunan dinamik kontrolör kullanılmak zorundadır. Dinamik kontrolör sistem derecesine artırmaktadır.

Şekilde verilen kontrol sisteminde u(k) kontrol işaretinin üst blokta(moda) herhangi bir etkisi olmamaktadır. Bundan dolayı sistemin tüm durumları kontrol edilemez.

u(z)

z z-0.9

Y(z)

z z-0.8 Tüm durumları kontrol edilemeyen sistem.

1


Tüm durum değişkenlerinin Kontrol edilebilirlik şartının elde dilmesi: Lineer zamanla değişmeyen ayrık zaman sistem,

x(k + 1) = Ax(k ) + Bu(k )

ve

x(0)

biliniyor.

y(k ) = Cx(k ) sisteminde k=0,1,2…..N için x(k+1) yazarsak,

k =0

x(1) = Ax(0) + Bu(0)

k =1

x(2) = Ax(1) + Bu(1) = A2 x(0) + ABu(0) + Bu(1)

........................

x( N ) = AN x(0) + AN -1Bu(0) + ... + ABu( N - 2) + Bu( N -1)

= AN x(0) + éë B

ifadesi

é u ( N - 1) ù êu ( N - 2) ú N -1 ú AB ... A B ùû ê ê ... ú ê ú ë u (0) û

é u ( N - 1) ù ùê ú N -1 ú êu ( N - 2) ú AB .... A B = x( N ) - AN x(0) ú ê ... ú úû ê V ú ë u (0) û

KontrolEdilebilirlikMatrisi

é êB ê ëê

şeklinde düzenlenir ise,

x(N) ve x(0) bilindiğine göre, N adet bilinmeyenin çözülebilmesi için N adet denklem gereklidir. Durum vektörü x(k) nın derecesi n'dir. Çözümünün olabilmesi için katsayı matrisinin

rank [V ] = n

olmalıdır.

Bir ayrık sistemin tüm durumlarının kontrol edilebilmesi için kontrol edilebilirlik matris [V ] ‘nin rankının tam olması gerekir. Sistemin derecesi n ise rank [V ] = n olmalıdır. 2


Sonuç olarak,

AB ... AN -1B] = n

rank[V ] = rank[ B

şartı tüm durum değişkenlerin kontrol

edilebilirlik için gerek ve yeter koşuldur.

ÖRNEK: A

B

0.2 2 0ù é -0 é1ù x(k + 1) = ê ú x(k ) + ê1ú u (k ) 1 0.8 ë û ëû

y (k ) = [ -1 1] x(k ) C

Durum denklemi ile verilen sistemin kontrol edilebilirlik testini yapınız:

é -0.2 0 ù é1ù é -0.2ù AB = ê ú ê1ú = ê -0.2ú 1 0.8 ë ûë û ë û

V = [B

é1 -0.2ù AB ] = ê ú ë1 -0.2û

rank[V ] = 1 Sistem derecesi matrisi

,

2x2 matris tersi alınamaz. Matrisin rank=1

dir.

n=2’ dir. Sistemin 2 adet durum değişkeni mevcuttur. Ancak Kontrol edilebilirlik

rank[V ] = 1 dir. Ancak bir durum değişkeni u(k) işareti ile kontrol edilebilir.

matrisinin tersi alınamaz. Matrisin rank=1 sistemin tüm durum değişkenleri kontrol edilemez.(matrisin tersi alınamaz).

3


z-düzleminde tüm durumların kontrol edilebilirlik şartı: Darbe transfer fonksiyonunda, tüm durumların kontrol edilebilirlik gerek ve yeter koşul için darbe transfer fonksiyonunda pay ve payda arasında yok etme oluşmamalıdır. Oluşur ise sistem yok edilen mod doğrultusunda kontrol edilemez. ÖRNEK:

Y ( z) z + 0.2 z + 0.2 1 = 2 = = U ( z ) z + z + 0.16 ( z + 0.8)( z + 0.2) z + 0.8

Bu yok etmeden dolayı sistem durum değişkenleri tümüyle kontrol edilemez. Aynı sonuç durum değişkenleri ile de elde edilir. Sistem durum ve çıkış denklemleri, 1 ù é x1 (k ) ù é 1 ù é x1 (k + 1) ù é 0 = ê ú ê ú+ê úê ú u (k ) ë x2 (k + 1) û ë -0.16 -1û ë x2 (k ) û ë -0.8û ile gösterilebilir. é x1 (k ) ù y (k ) = [1 0] ê ú ë x2 (k ) û

-0.8ù é 1 AB ] = ê ú Þ rank [V ] = 1 ë -0.8 0.64 û ’dir. Kontrol edilemez. é -0.8 0.64 ù =ê ú ë -0.8 0.64 û

V = [B

KONTROLEDİLEBİLİRLİK

dx(t ) = Ax(t ) + Bu (t ) dt dönüşüm yapılır ise,

durum denklenminde,

L = P-1 AP

,

B* = P-1B

,

z (t ) = P -1 x(t )

C* = CP

olmak üzere lineer

olur.

dz (t ) = Lz (t ) + B*u (t ) , L = diag {li } = diag {l1 , l2 , l3 ,......ln } dt durum denkleminde L matrisi diagonal matris olmak üzere, tüm x(t ) durum değişkenlerinin kontrol edilebilmesi için, B* matrisinin hiç bir sıfır değerli satırı olmamalıdır.

4


æ dx1 (t ) ö ç dt ÷ æ -1 0 ö æ x1 (t ) ö æ 0 ö ç ÷=ç ÷ + ç ÷ u (t ) (Sistem matrisi diagonal (köşegen) formunda !!!!) ÷ç ç dx2 (t ) ÷ è 0 -2 ø è x2 (t ) ø è 1 ø ç ÷ è dt ø

dx1 (t ) = - x1 (t ) , dt

x1 (t ) durum değişkeni u (t ) girişinin bir fonksiyonu değildir. Bundan dolayı x1 (t ) durum değişkeni u (t ) girişi tarafından etkilenemez. Dolayısı ile , x1 (t ) durum değişkeni kontrol edilemez.

dx2 (t ) = -2 x2 (t ) + u (t ) dt

u (t ) girişi x2 (t ) durum değişkenini ektilediğinden x2 (t ) değişkeni u (t ) girişi ile kontrol edilebilir.

Yukarıda çözülen örnek tekrar ele alınıp kontrol edilebilirliği incelenecektir. A

B

0.2 2 0ù é1ù é -0 + x(k + 1) = ê x ( k ) u (k ) ú ê ú ë -1 0.8û ë1û

y (k ) = [ -1 1] x(k ) C

A matrisini özdeğerleri z1=0.8 ve z2=-0.2 dir. Bu öz-değerler için elde edilen öz-vektörlerden oluşan dönüşüm matrisi p elde edilir ve A matrisi diagonal hale getirilir.

é0 0.7071ù p=ê ú ë1 0.7071û

------> Öz-vektörlerden oluşan dönüşüm matrisi.

0 ù é0.8 p -1 AP = ê ú ë 0 -0.2û

é 0 ù p -1 B = ê ú ë1.4142û

x(k + 1) = P-1 APx(k ) + P-1Bu(k ) 5


0 ù é x1 (k ) ù é 0 ù é x1 (k + 1) ù é0.8 = ê x (k + 1) ú ê 0 -0.2ú ê x (k ) ú + ê1.4142ú u (k ) ûë 2 û ë û ë 2 û ë x1 (k )

durum değişkeni

u(k)

kontrol işareti ile kontrol edilememektedir.

GÖZLENEBİLİRLİK:

x(k + 1) = Ax(k ) + Bu(k ) y (k ) = Cx(k ) Durum denklemi ile verilen sistemin herhangi ilk durumu x(0) , N adet sonlu y(0), y(1),…….,y(N-1) ölçümden tüm x(0) durum değişkenleri hesaplanabiliyor ise, sistem tümüyle gözlenebilir denir.

Gözlenebilirlik, ölçülemeyen durum değişkenlerinin elde edilmesinde kullanılır. Bazı geri beslemeli gerçek zaman kontrol sistem uygulamalarında, bir kısım durum değişkenlerinin ölçümü için o durum değişkenlerine doğrudan erişemeyebilir. Bu durumda, geri besleme kontrol işaretini oluşturmak için ölçülemeyen durum değişkenlerinin kestirilmesi gerekmektedir. Durum kestirmekte gözlemlenebilirlik önemli rol oynar.

u(z)

z z-0.9

Y(z)

z z-0.8 Yukarıda verilen şekilde, sistemde üst blok’un çıkışa etkisi olmadığından o mod’a ait durum gözlenemez (durum değişkeni hesap edilemez). Tüm durum değişkenlerinin Gözlenebilirlik için gerek ve yeter şartlarının elde edilmesi;

x(k + 1) = Ax(k ) + Bu(k )

durum denkleminde

açıklanacaktır). 6

u (k ) = 0

alınır (nedeni aşağıda


k=0,1,2,…..,N-1

için

x [(k + 1)] = Ax(k )

ve

y(k ) = cx(k )

Yazılır ise,

x(1) = Ax(0)

y (0) = Cx(0)

x(2) = Ax(1) = A2 x(0)

y (1) = Cx(1) = CAx(0)

...

...

x( N - 1) = AN -1 x(0)

y ( N - 1) = Cx( N - 1) = CAN -1 x(0)

Elde edilir. X(N-1) ifadesi y(N-1) de yerine koyulur ise, matrisel formda,

é C ù é y (0) ù é C ù ê CA ú ê y (1) ú ê CA ú ú ê ú=ê ú x(0) O=ê elde edilir. ê ... ú ê ... ú ê ... ú ê ú ê N -1 ú ê N -1 ú ë y ( N - 1) û ëCA û ëCA û

O Tüm durumların gözlenebilmesi için, [O ] Gözlenebilirlik Matrisi olmak üzere, gerek ve yeter koşul

rank [O] = n

NOT: Gözlenebilirlik şartının elde edilmesinde Serbest davranışın alınma sebebi; k -1

x(kT ) = A x(0) + å Ak - j -1Bu ( jT ) k

j =0

y (kT ) = Cx(kT ) + Du (kT ) A,B,C,D matrisleri ve u(kT) girişleri bilinmektedir. Bundan dolayı çıkış denklemi; k -1

y (kT ) = CAk x(0) + å CAk - j -1Bu ( jT ) + Du (kT ) j =0

SabitBilinenDeğerlerdir De

k -1

å CA

k - j -1

elde edilir. Çıkış denkleminde

Bu ( jT ) + Du (kT )

j =0

terimi sabitlerden oluşmaktadır ve bilinmektedir. 7


Bilinen bu sabit değerler gözlenen y(kT) değerinden çıkarılabilinir. ÖRNEK: A

B

0.2 2 0ù é -0 é1ù x(k + 1) = ê x k + ( ) ú ê1ú u (k ) 1 0.8 ë û ëû

y (k ) = [ -1 1] x(k ) C

Durum denklemi ile verilen sistemin Gözlenebilirlik testini yapınız:

é -0.2 0 ù CA = [ -1 1] ê ú = [ -0.8 0.8] ë -1 0.8û

1ù é C ù é -1 O=ê ú=ê ú ëCAû ë -0.8 0.8û

n=2 sistem derecesi. rank[O]=1 dir. Sistemin tüm

durumları gözlemlenemez sadece 1 adet durum gözlenebilir. Z-düzleminde gözlenebilirlik şartı: Tüm durumların gözlenebilir olması için, transfer fonksiyonunda kutup-sıfır yok etmesi bulunmamalıdır. Eğer, kutup-sıfır yok etmesi oluşur ise, çıkışta yok edilen mod gözlenemez. ÖRNEK:

1 0ù é0 é0 ù ê ú A=ê 0 0 1 ú , B = êê0 úú , C = [ 4 5 1] êë -6 -11 -6 úû êë1 úû u(kT), tüm durumların gözlenebilirliğinde bir etkisi yoktur. Basitçe u(kT)=0 yazabiliriz.

é C ù é4 5 1ù C = êê CA úú = êê -6 -7 -1úú Þ det(O) = 0, rank (O) = 2 dir. İki adet durum gözlenebilir. êëCA2 úû êë 6 5 -1úû Transfer fonksiyonu bulunur; Y ( z) ( z + 1)( z + 4) , (z+1) çarpını pay ve paydada birbirini yok eder. y(kT) = U ( z ) ( z + 1)( z + 2)( z + 3) ölçümleri ile bu (z+1) durum değişkeni hesap edilemez. 8


GÖZLENEBİLİRLİK

æ dx1 (t ) ö ç dt ÷ æ -1 0 ö æ x1 (t ) ö æ1ö ç ÷=ç ÷ + ç ÷ u (t ) ÷ç ç dx2 (t ) ÷ è 0 -2 ø è x2 (t ) ø è1ø ç ÷ è dt ø

æ x (t ) ö y (t ) = ( 2 0 ) ç 1 ÷ è x2 (t ) ø

Yukarıdaki denklemler iki diferansiyel denkleme ayrılabilir.

dx1 (t ) = - x1 (t ) + u (t ) dt

x1 (t ) durum değişkeni sadece u (t ) ye bağlıdır.

dx2 (t ) = -2 x2 (t ) + u (t ) dt

x2 (t ) durum değişkeni sadece u (t ) ye bağlıdır.

y(t ) = 2 x1 (t )

y (t ) çıkışı sadece sadece x1 (t ) ’ye bağlıdır. x2 (t ) ’nin çıkışa her hangi bir etksi yoktur. Bundan dolayı çıkış x2 (t ) durum değişkenine ait bilgi içermez. Sonuç olarak y (t ) ölçümü ile x2 (t0 ) belirlenemez. Sisteme ait Tüm durum değişkenleri gözlenemez.

dz (t ) = Lz (t ) + B*u (t ) , L = diag {li } = diag {l1 , l2 , l3 ,......ln } dt y(t ) = C* x(t ) + Du(t )

Çıkış denklemi olmak üzere, tüm x(t ) durum değişkenlerinin

gözlenebilmesi için, C matrisinin hiç sıfır değerli sütünü olmamalıdır.

ÖRNEK: Aşağıda durum denklemi verilen sistemin gözlenebilirliğini sistem matrisini diagonal forma getirerek inceleyiniz. A

B

0.2 2 0ù é -0 é1ù ( ) x(k + 1) = ê x k + ú ê1ú u (k ) 1 0.8 ë û ëû

y (k ) = [ -1 1] x(k ) C

A matrisini özdeğerleri z1=0.8 ve z2=-0.2 dir. Bu öz-değerler için elde edilen öz-vektörlerden oluşan dönüşüm matrisi p elde edilir ve A matrisi diagonal hale getirilir. 9


é0 0.7071ù P=ê ú ë1 0.7071û

------> Öz-vektörlerden oluşan dönüşüm matrisi.

é0 0.7071ù CP = [-1 1] ê ú = [1 0] 1 0.7071 ë û é x (k ) ù y (k ) = [1 0] ê 1 ú x2 (k ) durum değişkeninin y(k ) ë x2 (k ) û nın ölçülmesi ile x2 (k ) hesap edilemez.

çıkışına etkisi yoktur.

y (k )

Örnek:

C1

R1

Devresi göz önüne alınsın,

C2

R2

U(s)

Y(s)

Y (s) ifadesi yazılır ise, U (s)

R2 ( R1C1s + 1) Y ( s) olarak elde edilir. R1C1 = R2C2 olarak alınır ise, = U (s) R1 ( R2C2 s + 1) + R2 ( R1C1s + 1) R2 ( R2C2 s + 1) Y ( s) ise = U (s) R1 ( R2C2 s + 1) + R2 ( R2C2 s + 1) R2 Y (s) = U ( s) R1 + R2

olur…………..

Devredeki kondansatör C1 ve C2 gerilimleri kontrol edilemez. Giriş ve çıkış verilerinden kondansatör ilk gerilim değerleri hesap edilemez. Görüldüğü gibi devrede R1C1 = R2C2 alınır ise, Devre durum değişkenleri kontrol edilemez ve gözlenemez. 10


DURUM-UZAYI TASARIM METODLARI: 1) KONTROLEDİLEBİLİR KANONİK FORMA DÖNÜŞTÜRME: Herhangi bir ayrık-zaman sistem durum denklemlerinin kontrol edilebilir kanonik forma dönüştürülmesi:

x(k)=Txc(k)

r(k)

y(k) r(k)

Xc(k)

x(k)

y(k)

KontroL edilebilir Kanonik Form

xc (k + 1) = Ac xc (k ) + Bc r (k )

x(k + 1) = Ax(k ) + Br (k )

yc (k ) = Cc xc (k )

y(k ) = Cx(k )

Kontrol edilebilirlik dinamik sistem matrisleri;

Ac = T -1 AT Bc = T -1 B Cc = CT Ac , Bc , Cc katsayı matrisleri Transfer fonksiyon katsayılarından elde edilebilir.

Transfer fonksiyonu:

T ( z) = C ( zI - A)-1 B + D

ifadesinden elde edilebilir.

det(l I - A) = l I - A = l n + an-1l n-1 + ... + a1l + a0 = 0 karakteristik denklem katsayılarından,

é 0 ê 0 ê Ac = ê . ê ê . êë -a0

1

0

0

1

.

.

.

.

-a1 -a2

ù ú . 0 0 ú ú . . ... ú . 0 1 ú . -an -2 -an -1 úû . 0 0

1

matrisi elde edilir.


é0ù ê0ú Bc = ê ú ê...ú ê ú ë1û

Vc

matrisi standart formda yazılır.

Ac , Bc matrislerine karşılık kontrol edilebilirlik matrisi

Vc ,

A, B matrislerine karşılık kontrol edilebilirlik matrisi

V

V = éë B

AB ... An-1B ùû

Vc = éë Bc

Ac Bc ...... Acn-1Bc ùû

Kontrol edilebilirlik matrisinde

Ac = T -1 AT

dir. ve

Bc = T -1B

é ù Vc = êT -1B T -1 ATT -1 B ...ú = T -1 éë B ë û I

Vc = T -1V

, olmak üzere

yazılır ise,

AB ... An-1B ùû

dir

Elde edilen ifade aşağıda verildiği gibi düzenlenebilir…

V = TVc

den dönüşüm matrisi ,

T = VVc-1 A, B

T

ve

Ac , Bc

olarak elde dilir.

matrisleri bilindiğinden

T

dönüşüm matrisi elde edilir.

dönüşüm matrisi ile, kontrol edilebilir kanonik form için,

Cc = CT

yardımı ile hesaplanır.

2


ÖRNEK: é0.5 0 ù é -1ù A=ê , B = ê ú , C = [ 2 0.5] katsayı matrisleri ile verilen ayrık-zaman ú ë 1 0.2û ë1û sistem durum denklemlerini kontrol edilebilir kanonik formda elde ediniz.

Hatırlatma: Kontrol edilebilir Kanonik form b0 z n + b1 z n-1 + ... + bn Y ( z) = Transfer fonksiyonu ile verilen sistemin U ( z ) z n + a1 z n-1 + a2 z -2 + ... + an kontrol edilebilir kanonik formu,

é x1 (k + 1) ù é 0 ê x (k + 1) ú ê 0 ê 2 ú=ê ê ú ê . . ê ú ê êë xn (k + 1) úû êë -an

1

0

0

1

.

.

-an -1 -an -2

...0 ù é x1 (k ) ù é0ù ...0 úú êê x2 ( k ) úú ê0ú + ê ú u (k ) .... ú ê . ú ê . ú úê ú ê ú ... - a1 úû êë xn (k ) úû ë1 û

F ( z) = z n + a1 z n-1 + a2 z -2 + ... + an = 0

Karakteristik denklem………….

çıkış denklemi ise,

y (k ) = [bn

bn -1 bn -2 ... b1

é x1 (k ) ù ê x (k ) ú b0 ] ê 2 ú ê . ú ê ú ë xn (k ) û

Önce karakteristik denklemi yazılır; 0 ù é z - 0.5 zI - A = det ê =0 z - 0.2 úû ë -1 i) = z 2 - 0.7 z + 0.1 = 0 = z 2 + a1 z + a0 = 0

Karakteristik denklem katsayılarından Kontrol edilebilir Kanonik form sistem matrisi ,

é 0 Ac = ê ë -a0

1 ù -a1 úû

1 ù é 0 Þ Ac = ê ú ë -0.1 0.7 û yazılır.

é0 ù Ve standart olarak Bc = ê ú olarak yazılır. ë1 û 3


Cc ’nin belirlenmesi; Önce dönüşüm matrisi

T = VVc-1

hesaplanır. Sonra

Cc = CT

elde

edilir.

éé 1 AB ] = ê ë1

V = [B

é0.5 0 ù é-1ù ù é-1 -0.5ù ê 1 0.2ú ê 1 ú ú Þ V = ê 1 -0.8ú Þ det(V ) = V = 1.3 ë û ë ûû ë û

é0 Ac Bc ] = ê ë1

Vc = [ Bc

1 ù é0 ù ù é 0 é0 1 ù é -0.7 1 ù Þ Vc-1 = ê ú Þ Vc = ê ê -0.1 ú ê ú ú 0úû ë1 0.7 û ë 1 ë 0 1 0.7 û ë1 û û

é -1 -0.5ù é -0.7 1ù é0.2 -1ù T = VVc-1 = ê ÞT = ê ú ê ú ú 0û ë 1 -0.8û ë 1 ë1.5 1 û

ve

é 0.2 -1ù Cc = CT = [ 2 0.5] ê ú Þ Cc = [ -0.35 -1.5] ë -1.5 1 û

2.yol

=> Transfer fonksiyonundan; -1

0 ù é -1ù é z - 0.5 T ( z ) = C ( ZI - A)-1 B = [ 2 0.5] ê ú ê1úÞ 1 z 0.2 ë û ë û

-1.5 z - 0.35 z 2 - 0.7 z + 0.1

T ( z) =

b1 = -1.5 b0 z 2 + b1 z + b2 T ( z) = 2 Þ b2 = -0.35 z + a1 z + a2 b0 = 0 a1 = -0.7 a2 = 0.1

1 ù é 0 Ac = ê ú ë -0.1 0.7 û

é0 ù Bc = ê ú ë1 û Cc = [b2 - b0 a2

[-0.35 - 0*0.1

b1 - a1b0 ]

;transfer fonksiyonu katsayılarından Ac , Bc , Cc matrisleri,

HATIRLATMA:

Y ( z ) b0 z n + b1 z n-1 + ... + bn = U ( z ) z n + a1 z n-1 + ... + an

é x1 (k + 1) ù é 0 ê ú ê ê x2 (k + 1) ú = ê 0 ê ... ú ê ... ê ú ê ë xn (k + 1) û ë -an

y (k ) = [bn - b0 an

-1.5 - (-0.7)*0]

Cc = [ -0.35 -1.5] 4

1 0 ... -an -1

0 ù é x1 (k ) ù é 0 ù ... 0 úú êê x2 (k ) úú ê 0 ú + ê ú u (k ) ... ... ú ê ... ú ê...ú úê ú ê ú ... -a1 û ë xn (k ) û ë 1 û ...

é x1 (k ) ù ... b1 - a1b0 ] êê ... úú n>m êë xn (k ) úû


Durum Uzayında Tasarım Kutup Yerleştirme Tasarım Metodu: Lineer zamanla değişmeyen ayrık-zaman sistem, x(k+1)=Ax(k)+Bu(k) ile verilsin. Bütün x(k), durumlarının bilindiği ve erişebildiği kabul edilsin.

x(k + 1)

u (k )

-1

B

z I

x(k )

A Bu sisteme, lineer durum geri-besleme kontrol kuralı olarak u(k ) = - Kx(k ) uygulansın ve kapalı-çevrim sistem x(k + 1)

x(k + 1) = Ax(k ) + B(-Kx(k )) Þ x(k + 1) = ( A - BK ) x(k ) olur.

u (k )

x(k + 1)

B

z -1 I

x(k )

A -K Lineer durum geri-besleme kuralı ile kapalı çevrim sistem Kontrolör matrisi (statik durum geri-besleme katsayı matrisi) K, kapalı-çevrim sisteminin performansını iyileştirecek şekilde seçilebilir. Performansı iyileştirme yollarından biri kutup yerleştirme yöntemidir. Bu metod kullanılarak, açık çevrim sisteminin davranışı önemli 5


ölçüde iyileştirilebilir. Bu metod kararsız bir sistemi kararlı yapabilir, cevap hızını arttırabilir veya azaltabilir, sürekli hal hatasını arttırabilir, azaltabilir, sistem bant genişliğini daraltabilir, genişletebilir. Tüm bu nedenlerden dolayı, kutup yerleştirme yöntemi pratikte yaygın olarak kullanılmaktadır. Kutup yerleştirme veya kutup atama problemi aşağıdaki gibi tanımlanabilir:

{

l1 , l2 ,..., ln ’ ler açık-çevrim sisteminin öz-değerleri olsun

x(k + 1) = Ax(k ) + Bu(k ) ’nın

ve Ù

Ù

Ù

l1 , l 2 ,..., l n ‘ler ise ( A - BK ) kapalı-çevrim sistem matrisinin istenen öz-değerleri olsun. Kompleks özdeğerler, kompleks eşlenik çiftler halindedir. Ù

Aynı zamanda, p(z) ve p( z ) sırası ile karakteristik polinomlar (karakteristik denklem) olsun. Açık çevrim sisteminin karakteristik denklemi; n

p( z ) = Õ ( z - li ) = zI - A = z n + a1 z n-1 + ... + an-1 z + an = 0 i =1

Kapalı çevrim sisteminin (durum geri-beslemeli) karakteristik denklemi; Ù

n

Ù

Ù

Ù

Ù

p( z ) = Õ ( z - l i ) = zI - A + BK = z n + a1 z n-1 + ... + a n-1 z + a n = 0

(*)

i =1

Ù

p( z ) denklemini sağlayacak olan K matrisinin bulunması gerekmektedir.

Teorem: Açık-çevrim sisteminin tüm durum vektörleri kontrol edilebilir ise kapalıÙ

Ù

Ù

çevrim sistem ( A - BK ) matrisinin öz-değerlerini herhangi bir l1 , l 2,..., l n öz-değerlerine atayan bir durum geri-besleme matrisi, K, vardır.

S Kontrol Edilebilirlik Matrisi

= éë B

AB

A2 B ... An -1B ùû

Tüm durumların kontrol edilebilmesi için ,

Kontrol edilebilirlik matrisinde, rank[S ] = n olmalıdır. Bu teoreme göre, açık-çevrim sisteminin Tüm durumlarının kontrol edilemediği durumlarda, durum geri besleme kuralı ile A matrisinin en az bir tane öz-değeri değiştirilemez olarak kalır. Bu gibi durumlarda, bütün öz değerlerin atanabilmesi için, geri-besleme kuralı olarak dinamik 6


kontrolör uygulanmalıdır. Türev ve inregral terimleri ihtiva eden dinamik kontrolörler sistemin derecesini arttırdıklarından dezavantaja sahiptirler. Tek girişli sistem ele alınsın. B matrisi kolon vektör b, K matrisi satır vektör k T ye dönüşür. Ù

Ù

n

Ù

Ù

Ù

p( z ) = Õ ( z - l i ) = zI - A + Bk T = z n + a1 z n-1 + ... + a n-1 z + a n = 0 i =1

Denkleminin k ya göre çözümü tektir. K nın belirlenmesinde birçok yöntem amaçlanmıştır. En popüler yöntem Bass ve Gura ya göredir ve aşağıda verilen basit yöntem ile çözülür. 1. Yol: -1

Ù

k = éë wT sT ùû (a - a) é1 a1 ê0 1 w=ê ê. . ê ë0 0

... an -1 ù ... an - 2 úú , ... . ú ú ... 1 û

S; kontrol edilebilirlik matrisi éÙù ê a1 ú êÙú Ù a = ê a2 ú , ê ... ú ê ú ê aÙ ú ë nû

é a1 ù êa ú a = ê 2ú ê ... ú ê ú êë an úû

2. Yol: eğer verilen sistem matrisi faz-değişken (Kontrol edilebilir) kanonik formda ise,

é1 a1 ê0 1 A=ê ê. . ê ë0 0

Ve

S = éë B

... ... ... ...

é 0 ê 0 an -1 ù ê ê 0 an - 2 úú , veya A = ê . ú ê . ú ê 0 1 û ê ëê -an

AB

A2 B ... An-1B ùû

æ0 0 0 1ö ç ÷ 0 0 1 0÷ ç ve I= ç. . . .÷ çç ÷÷ è1 0 0 0ø

(I )

-1

1

0

0

1

0

0

.

.

0

0

-an -1

-an -2

... 0 ù é0ù ú ê0ú ... 0 ú ê ú ú ê0ú ... ú ve b = ê ú ... . ú ê...ú ê0ú ... 1 ú ú ê ú ... -a1 ûú ë1û

wT sT = I dır (olur)

= I dır.

7


é Ù ù ê an ú ê Ù ú Ù a = ê an -1 ú , ê ... ú ê Ù ú êa ú ë 1 û

é an - a n ù ê ú Ù ê an -1 - a n -1 ú K = I (a - a) = ê ú ê .... ú ê a -a ú ë 1 1 û

é an ù êa ú a = ê n -1 ú olmak üzere, ê ... ú ê ú ëê a1 ûú

durum geri besleme matrisi kolayca hesap edilebilir. 3. Yol: K matrisinin hesaplanmasında diğer bir yöntem Ackerman tarafından önerilmiştir. -1

Ù

k = e s p( A) T

T

S = éë B

AB

A2 B ... An-1B ùû

kontrol edilebilirlik matris,

eT = [0 0 ... 0 1] Ù

Ù

p( A) Þ p( z ) karakteristik denkleminde z = A koyularak elde edilir. Ù

Ù

Ù

Ù

p( z ) = An + a1 An-1 + ... + a n-1 A + a n I Genel olarak, çok girişli sistem durumunda K matrisinin belirlenmesi biraz karışıktır(zordur).

K = qpT olarak q ve p n-boyutlu matrisler olmak üzere, A - BK = A - BqpT = A - b pT , b = Bq çok girişli sistem tek girişli sisteme indirgenmiş olur.

Kontrol edilebilirlik matrisi, S = éë b

Ab

... An-1b ùû olmak üzere yöntemlere

başvurulabilir. Metod4: Kapalı çevrim karakteristik denklem ile istenen karakteristik denklem karşılaştırılır ve katsayılar eşitlenerek durum geri belsem vektörü k elde edilir., x(k + 1) = ( A - BK ) x(k ) Ù

Ù

Ù

Ù

det( zI - ( A - BK )) = p( z ) = z n + a1 z n-1 + ... + a n-1 z + a n = 0

----------------------------------------------------------------------------------------ÖRNEK: Ayrık-zaman durum denklem katsayılar matrisi aşağıda verilmiş olan sistem için

8


Ù é 0 1ù é0ù ve b = ê ú olduğuna göre, kapalı çevrim sistem öz-değerlerinin l1 = -1 ve A=ê ú ë1 û ë -1 0û Ù

l 2 = 0.5 olabilmesi için durum geri besleme katsayı vektörü k’yı bulunuz. p( z ) = zI - A = 0 Þ Ù

Ù

z -1 1

z

= 0 Þ z 2 + 1 = 0 açık-çevrim sistemin karakteristik denklemi

Ù

p( z ) = ( z - l1 )( z - l2 ) = ( z + 1)( z - 0.5) = z 2 + 0.5z - 0.5 = z 2 + a1z + a2 istenen karakteristik

denklem (Kapalı-çevrim karakteristik denklem) a1 = 0.5 ve a2 = -0.5 Metod1:

sistem faz değişken kanonik formunda olduğu için

éÙ ù a2 - a2 ú é -0.5 - 1ù é -1.5ù ê Þk =ê = k= Ù ê ú 0.5 - 0 úû êë 0.5 úû ë êë a1 - a1 úû

ì Not : z 2 + a1 z + a2 = z 2 + 1 Þ í a1 = 0, a2 = 1 î

Metod2:

é0 é 0 1 ù é0 ù ù é0 1 ù é1 a1 ù é1 0ù ve s = ê ê w=ê =ê úÞs=ê ú ê ú ú ú ú ë1 0 û ë0 1 û ë0 1 û ë1 ë -1 0û ë1 û û é0 1 ù é1 0 ù é 0 1 ù é 0 1 ù ve ( wT sT )-1 = ê wT sT = ê =ê ú ú ê ú ú ë1 0 û ë 0 1 û ë1 0 û ë1 0 û Ù é0 1 ù ìé 0.5 ù é0ù ü é -1.5ù k = ( wT sT )-1 (a - a) = ê ú íê ú - ê úý = ê ú ë1 0û îë -0.5û ë1 û þ ë 0.5 û

Metod3: Ackerman yaklaşımı ile durum geri besleme katsayı matrisi k T ‘nın çözüm, Ù

p( z ) = z 2 + 0.5z - 0.5

polinomda z yerine A matrisi yazılır ise,

Ù

p( A) = A2 + a1 A + I a2 elde edilir. 2

é 0 1ù é 0 1 ù é0.5 0 ù é -1.5 0.5 ù p( A) = ê + 0.5 ê ú ú-ê ú=ê ú ë -1 0û ë -1 0û ë 0 0.5û ë -0.5 -1.5û Ù

s -1 = [b

é0 1 ù Ab]-1 = ê ú ë1 0 û

eT = [0 1]

dir.

9


Ù é0 1 ù é -1.5 0.5 ù k T = eT s -1 p( A) = [0 1] ê úê ú = [-1.5 0.5] ë1 0û ë -0.5 -1.5û

Metod4: x(k + 1) = ( A - BK ) x(k )

ù é x1 (k ) ù é x1 (k + 1) ù é é 0 1 ù é0ù ê x (k + 1) ú = ê ê -1 0ú - ê1 ú [ k 1 k 2 ]ú ê x (k ) ú û ë û ë 2 û ëë ûë 2 û é x1 (k + 1) ù é é 0 1 ù é 0 0 ù ù é x1 (k ) ù ê x (k + 1) ú = ê ê -1 0ú - ê k k ú ú ê x (k ) ú û ë 1 2 ûû ë 2 ë 2 û ëë û 1 ù é x1 (k ) ù é x1 (k + 1) ù é 0 ê x (k + 1) ú = ê -1 - k --k k 2 ûú ëê x2 (k ) úû 1 ë 2 û ë Ac

1 ù é z 0ù é 0 -ê det( zI - Ac ) = ê ú =0 ú ë0 z û ë -1 - k 1 -k 2 û é z =ê ë1 + k 1

-1 ù =0 z + k 2 úû

= z2 + k 2 z +1+ k 1= 0 z 2 + k 2 z + 1 + k 1 = z 2 + 0.5z - 0.5 = 0

k 2 = 0.5 ve 1 + k 1 = -0.5 ise k 1 = -1.5 k T = [k1 k2 ] = [-1.5 0.5] olarak elde edilir.

Elde edilen durum geri besleme matrisi K değerleri yerlerine yazılır.

x(k + 1) = Ax(k ) + B(-Kx(k )) Þ x(k + 1) = ( A - BK ) x(k ) x(k + 1) = ( A - BK ) x(k )

ù é x1 (k ) ù é x1 (k + 1) ù é é 0 1 ù é0ù ê x (k + 1) ú = ê ê -1 0ú - ê1 ú [ k 1 k 2 ]ú ê x (k ) ú û ë û ë 2 û ëë ûë 2 û

10


ù é x1 (k ) ù é x1 (k + 1) ù é é 0 1 ù é0ù ê x (k + 1) ú = ê ê -1 0ú - ê1 ú [-1.5 0.5]ú ê x (k ) ú û ë û ë 2 û ëë ûë 2 û 0 ù ù é x1 (k ) ù é x1 (k + 1) ù é é 0 1 ù é 0 ê x (k + 1) ú = ê ê -1 0ú - ê -1.5 0.5ú ú ê x (k ) ú û ë ûû ë 2 û ë 2 û ëë 1 ù é x1 (k ) ù é x1 (k + 1) ù é 0 ê x (k + 1) ú = ê0.5 -0.5ú ê x (k ) ú ûë 2 û ë 2 û ë

Kapalı çevrim sistem elde edilir.

Ac

det( zI - Ac ) =

-1

z

-0.5 z + 0.5

= 0 ise z 2 + 0.5z - 0.5 = 0 z1 = -1, z2 = 0.5 tir.

Referans girişli kontrol sistemi: Kontrol edilmek istenen sisteme ait ayrık-zaman durum uzay modeli vektör matris formunda x(k + 1) = Ax(k ) + Bu(k ) y (k ) = Cx(k )

verilsin. Sisteme ait kontrol blok diyagram

aşağıda verilmiştir.

x(k + 1)

B

u (k )

Sistem

-1

z I

x(k ) C

y (k )

A

Kontrol edilen sisteme aşağıda verildiği gibi durum geri-besleme ile beraber r (k ) referans işaret uygulansın.

11


r (k )

x(k + 1)

u (k )

K0

-1

B

z I

x(k ) C

y (k )

A

Sistem

-K Referans giriş li durum geribeslemeli sistem.

r (k )

K0

v(k )

u (k )

Sistem

y (k )

-K Referans giriş li durum geri-beslemeli kompakt olarak verilmiş sistem.

Referans girişli durum geri-beslemeli sistem ait kontrol işareti yazılır ise, u(k ) = K0 r (k ) - Kx(k )

olarak ifade edilir. Bu ifade durum denkleminde yerine yazılır

x(k + 1) = Ax(k ) + BK0r (k ) - BKx(k ) Þ

x(k + 1) = ( A - BK ) x(k ) + BK0r (k )

olarak elde edilir.

Karakteristik denklem ,

zI - A + BK = 0

olarak yazılır.

Tüm durum geri-beslemesi ile, sistemin karakteristik denklemi değiştirilebilir, ancak sistemin sürekli hal kazancıda değişir. Bundan dolayı, sistemde ayarlanabilir, K 0 , kazancı gereklidir.

K 0 , birim basamak giriş için y(¥) = 1 olacak şekilde ayarlanmalıdır. ÖRNEK:

12


1ù é 0 é0 ù x(k + 1) = ê x(k ) + ê ú u ( k ) ú ë -0.16 -1û ë1 û é x (k ) ù y (k ) = [1 0] ê 1 ú ë x2 (k ) û

ise, kapalı çevrim kutuplarının z1 = 0.5 + j 0.5,

z2 = 0.5 - j 0.5 olması istenmektedir.

zI - A + BK = ( z - 0.5 - j 0.5)( z - 0.5 + j 0.5) = z 2 - z + 0.5 Þ K = [0.34 -2] olarak elde edilir. R( z ) =

z birim basamak giriş için z -1

Ù ü Ù Ù G = A - BK ï -1 K, kullanılarak transfer fonksiyonu hesaplanır; Ù ý Þ G ( z ) = C ( zI - G ) H H = BK 0 ï þ

Ù Ù é0ù é0 ù H = ê ú K0 ise H = ê ú ë1 û ë K0 û

Ù 1 ù é0 ù é 0 é 0 1ù - ê ú [ 0.34 -2] = ê G=ê ú ú ë -0.16 -1û ë1 û ë -0.5 1û

-1 ù é 0 ù é z G( z ) = [1 0] ê úê ú Þ ë0.5 z - 1û ë K0 û

G( z ) =

K0 z - z + 0.5 2

z K0 K0 Y ( z) z 1 = Þ y (¥) = lim( z - 1) 2 Þ z ®1 R( z ) z 2 - z + 0.5 z - z + 0.5

13

K0 = 1 Þ K0 = 0.5 0.5


r (k )

0.5

B æ0ö ç ÷ è1ø

u (k )

v(k )

Sistem

x(k + 1) -1

z I

x(k )

(1

0)

y (k )

C

1ö æ 0 ç ÷ 0.16 1 è ø A

0.34 Durum geribeslemesi -2 Bilgi notu: Kontrol edilmek istenen sisteme ait ayrık zaman durum denklemleri, x(k + 1) = Ax(k ) + Bu(k )

y(k ) = Cx(k ) olarak verilsin.

u(k ) = -Kx(k ) durum geri-besleme kontrol kuarlı olsun, yerine koyulur ise. x(k + 1) = Ax(k ) + B(-Kx(k ))

x(k + 1) = [ A - BK ] x(k )) elde edilir. Yukarıda verilen sisteme lineer dönüşüm ve durum geri-besleme kontrol kuralı uygulansın.

x(k ) = Tx' (k ) ve x' (k ) = T -1 x(k ) x' (k + 1) = T -1 x(k + 1) lineer dönüşüm ve geri-besleme uygulanır ise,

x' (k + 1) = T -1 ATx' (k ) + T -1Bu(k )

y(k ) = CTx' (k )

olur.

Kontrol kuralına lineer dönüşüm uygulanır ise,

u(k ) = -Kx(k )

u(k ) = -KTx' (k ) u(k ) = - fx' (k ) elde edilir. f = KT dir.

14


Lineer dönüşüm ve durum geri-besleme uygulandıktan sonra elde edilen karakteristik denklem lineer dönüşümsüz durum geri-beslemeli sistemin karakteristik denklemi ile aynıdır. Aşağıda ispatı verişmiştir.

x' (k + 1) = Ac x' (k ) + Bcu(k )

;lineer dönüşüm uygulanmış durum denklemleri.

y(k ) = Cc x' (k ) Lineer dönüşümden sonra u(k ) = - fx' (k ) durum geri-beslemesi uygulanır ise

x' (k + 1) = Ac x' (k ) + Bc (- fx' (k )) x' (k + 1) = [ Ac - Bc f ] x' (k ) elde edilir. Dönüşümden sonra karakteristik denklemler değişmeyeceğinden,

det( zI - A + BK ) = det( zI - Ac + Bc f ) = 0

olmalıdır.

NOT: özellik, P -1 A P = A dır.

det( zI - Ac + Bc f ) = 0 ifadesini açıp yukarıda verilen özellik göz önüne alınır ise, det( zI - Ac + Bc f ) = det( zT -1IT - T -1 AT + T -1Bf ) = 0

= zT -1IT - T -1 AT + T -1Bf = 0 ve

f = KT yazılır ise,

= T -1 zI - A + BK T = 0

= zI - A + BK = 0 olur. Buradan, lineer dönüşüm uygulandıktan sonra durum geri besleme matrisi f elde edilir. Bu matristen, dönüşüm uygulanmamış sistem durum geri besleme matrisi

K = f T T -1 ile elde edilir.

15

f T : f ’nin Transpozu


Durum Uzayında Tasarım Kutup Ye rleştirme Tasarım Metodu: Lineer zamanla değişmeyen ayrık- zaman sistem, x(k+1)=Ax(k)+Bu(k) ile verilsin. Bütün x(k), durumlarının bilindiği ve erişebildiği kabul edilsin.

x(k + 1)

u (k )

-1

B

z I

x(k )

A Bu sisteme, lineer durum geri-besleme kontrol kuralı olarak u(k ) = - Kx(k ) uygulansın ve kapalı-çevrim sistem x(k + 1)

x(k + 1) = Ax(k ) + B(-Kx(k )) Þ x(k + 1) = ( A - BK ) x(k ) olur.

u (k )

x(k + 1)

B

z -1 I

x(k )

A -K Lineer durum geri-besleme kuralı ile kapalı çevrim sistem Kontrolör matrisi (statik durum geri-besleme katsayı matrisi) K, kapalı-çevrim sisteminin performansını iyileştirecek şekilde seçilebilir. Performansı iyileştirme yollarından biri kutup yerleştirme yöntemidir. Bu metod kullanılarak, açık çevrim sisteminin davranışı önemli ölçüde iyileştirilebilir. Bu metod kararsız bir sistemi kararlı yapabilir, cevap hızını arttırabilir veya azaltabilir, sürekli hal hatasını arttırabilir, azaltabilir, sistem bant genişliğini daraltabilir, genişletebilir. Tüm bu nedenlerden dolayı, kutup yerleştirme yöntemi pratikte yaygın olarak kullanılmaktadır. 1


Kutup ye rleştirme veya kutup atama problemi aşağıdaki gibi tanımlanabilir:

{

l1 , l2 ,..., ln ’ ler açık-çevrim sisteminin öz-değerleri olsun

x(k + 1) = Ax(k ) + Bu(k ) ’nın

ve Ù

Ù

Ù

l1 , l 2 ,..., l n ‘ler ise ( A - BK ) kapalı-çevrim sistem matrisinin istenen öz-değerleri olsun. Kompleks özdeğerler, kompleks eşlenik çiftler halindedir. Ù

Aynı zamanda, p(z) ve p( z ) sırası ile karakteristik polinomlar (karakteristik denklem) olsun. Açık çevrim sisteminin karakteristik denklemi; n


Kapalı çevrim sisteminin (durum geri-beslemeli) karakte ristik denkle mi; Ù

n

Ù

Ù

p( z ) = Õ ( z - l i ) = zI - A + BK = z + a1 z n

n -1

Ù

Ù

+ ... + a n-1 z + a n = 0

(*)

i =1

Ù

p( z ) denklemini sağlayacak olan K matrisinin bulunması gerekmektedir.

Teorem: Açık-çevrim sisteminin tüm durum vektörleri kontrol edilebilir ise kapalıÙ

çevrim sistem

Ù

Ù

( A - BK ) matrisinin öz-değerlerini herhangi bir l1 , l 2,..., l n öz-değerlerine

atayan bir durum geri-besleme matrisi, K, vardır.

S Kontrol Edilebilirlik Matrisi

= éë B

AB

A2 B ... An -1B ùû

Tüm durumların kontrol edilebilmesi için ,

Kontrol edilebilirlik matrisinde, rank[S ] = n olmalıdır. Bu teoreme göre, açık-çevrim sisteminin Tüm durumlarının kontrol edilemediği durumlarda, durum geri besleme kuralı ile A matrisinin en az bir tane öz-değeri değiştirilemez olarak kalır. Bu gibi durumlarda, bütün öz değerlerin atanabilmesi için, geri-besleme kuralı olarak dinamik kontrolör uygulanmalıdır. Türev ve inregral terimleri ihtiva eden dinamik kontrolörler sistemin derecesini arttırdıklarından dezavantaja sahiptirler. Tek girişli sistem ele alınsın. B matrisi kolon vektör b, K matrisi satır vektör k T ye dönüşür. 2


Ù

Ù

n

Ù

Ù

Ù

p( z ) = Õ ( z - l i ) = zI - A + Bk T = z n + a1 z n-1 + ... + a n-1 z + a n = 0 i =1

Denkleminin k ya göre çözümü tektir. K nın belirlenmesinde birçok yöntem amaçlanmıştır. En popüler yöntem Bass ve Gura ya göredir ve aşağıda verilen basit yöntem ile çözülür.

u (k )

x(k + 1) -1

B

u (k )

z I

x(k )

x(k + 1)

z -1 I

B

y (k )

C

A

A

Sistem

-K

Açık-çevrim sistem Açık-çevrim sistem

x(k )

Kapalı-çevrim sistem

karakteristik denklem:

n


(Olması istenen ) Kapalı-çevrim sistem karakteristik denklem: Ù

Ù

n

Ù

Ù

Ù

p( z ) = Õ ( z - l i ) = zI - A + Bk T = z n + a1 z n -1 + ... + a n-1 z + a n = 0 i =1

1. Yol: a ve w matrisleri açık-çevrim sistem karakteristik denklem polinom katsayılarından,

é1 a1 ê0 1 w=ê ê. . ê ë0 0

... an -1 ù é a1 ù êa ú ú ... an -2 ú , a = ê 2ú ê ... ú ... . ú ê ú ú ... 1 û ë an û

matrisleri ve

a matrisi ise kapalı-çevrim sistem karakteristik denklem polinom katsayılarından éÙù ê a1 ú êÙú a = ê a2 ú sırası ile elde edilir. Bu katsayılar matrisleri kullanılarak statik durum geri-besleme ê ... ú êÙú êa ú ë nû matrisi K, S, kontrol edilebilirlik matrisi olmak üzere, -1

Ù

K = éë wT sT ùû (a - a) ,

S = éë B

ifadesi ile hesap edilir. 3

AB

A2 B ... An-1B ùû


2. Yol: eğer verilen sistem matrisi faz-değişken (Kontrol edilebilir) kanonik formda ise,

é1 a1 ê0 1 A=ê ê. . ê ë0 0

Ve

é 0 ê 0 an -1 ù ê ê 0 an - 2 úú , veya A = ê . ú ê . ú ê 0 1 û ê ëê -an

... ... ... ...

S = éë B

AB

0

0

1

0

0

.

.

0

0

-an -1

-an -2

A2 B ... An-1B ùû

æ0 0 0 1ö ÷ ç 0 0 1 0÷ ve I =ç ç. . . .÷ çç ÷÷ è1 0 0 0ø é Ù ù ê an ú ê Ù ú Ù a = ê an -1 ú , ê ... ú ê Ù ú êa ú ë 1 û

1

(I )

-1

... 0 ù é0ù ú ê0ú ... 0 ú ê ú ú ... ê0ú ú ve b = ê ú ... . ú ê...ú ê0ú ... 1 ú ú ê ú ... -a1 ûú ë1û

wT sT = I dır (olur)

= I dır.

é an - a n ù ê ú Ù ê an -1 - a n -1 ú K = I (a - a) = ê ú ê .... ú ê a -a ú ë 1 1 û

é an ù êa ú a = ê n -1 ú olmak üzere, ê ... ú ê ú êë a1 úû

durum geri besleme matrisi kolayca hesap edilebilir. 3. Yol: K matrisinin hesaplanmasında diğer bir yöntem Ackerman tarafından önerilmiştir. -1

Ù

k = e s p( A) T

T

S = éë B

AB

A2 B ... An-1B ùû

kontrol edilebilirlik matris,

eT = [0 0 ... 0 1] Ù

Ù

p( A) Þ p( z ) karakteristik denkleminde z = A koyularak elde edilir. Ù

Ù

Ù

Ù

p( z ) = An + a1 An-1 + ... + a n-1 A + a n I Genel olarak, çok girişli sistem durumunda K matrisinin belirlenmesi biraz karışıktır(zordur).

K = qpT olarak q ve p n-boyutlu matrisler olmak üzere, 4


A - BK = A - BqpT = A - b pT , b = Bq çok girişli sistem tek girişli sisteme indirgenmiş olur.

Kontrol edilebilirlik matrisi, S = éë b

Ab

... An-1b ùû olmak üzere yöntemlere

başvurulabilir. Metod4: Genel Kutup Ye rleştirme n. Dereceden sistem modeli;

x(k + 1) = Ax(k ) + Bu(k ) olsun.

Kontrol işareti, u(k ) = -Kx(k ) ve K = [ K1

K2 ... Kn ] olmak üzere,

x(k + 1) = ( A - BK ) x(k ) olur. Ac

İstenen kutup yerleri; z = l1 , l2 ,..., ln olmak üzere Kapalı çevrim sistem karakteristik polinom,

ac ( z) = zI - A + BK = zI - Ac = ( z - l1 )( z - l2 )...( z - ln ) = 0 olsun. Bu denklemde n adet K1 , K2 ,..., Kn bilinmeyen ve sağ tarafta ise n adet bilinen polinom katsayıları mevcuttur. Katsayılar eşitlenerek bilinmeyen katsayılar K1 , K2 ,..., Kn hesaplanır.

5


ÖRNEK:


K

İf=sbt

L

Vsin(wt)

R C

Bozucu (rüzgar)


IGBT sürücü

Bm Ölçme

Jm

E

Uort

Konum

Hız

U(t)

Anten

X2(t) X1(t)

u(s)

u(s)*

T=0.1sn

u(s) -sT

1-e s

Y(s) 1 s(s+1)

Şekilde servo sisteme ait açık-çevrim kontrol blok diyagramı ve aşağıda durum uzay modeli verilmiştir. é1 0.0952ù é0.00484ù x(k + 1) = ê x(k ) + ê ú ú u (k ) ë0 0.905 û ë 0.0952 û y (k ) = [1 0] x(k )

u(k) = - K x(k) durum geri-beslemesi ile yerleşme zamanı (%2) ts = 4 sn ve Aşım @ %16 (x = 0.46) olması istenmektedir. Durum geri-besleme matrisi K’yı hesaplayınız.

istenen yerleşme zamanı ve aşımı sağlayacak olan kapalı-çevrim kutupları; %2, ts =

4 1 1 = 4 Þ x wn = 1 Þ wn = Þ wn = Þ wn = 2.17rad / sn, x = 0.46 x wn x 0.46

z1,2 = e-x wnT e

jwn 1-x 2 T

= e-0.46*2.17*0.11e

2 1-0.462 *0.1 j 2.17*

z1,2 = l1,2 = 0.905Ð ± 11.04 Þ z1,2 = l1,2 = 0.888

Þ

j 0.1745

Olması istenen karakteristik denklem l1,2 kullanılarak;

a ( z) = ( z - l1 )( z - l2 ) = ( z - 0.888 - j0.1745)( z - 0.888 + j0.1745) = z 2 -1.776 z + 0.819 = 0

a ( z) = z 2 -1.776 z + 0.819 = 0

İstenen Karakteristik denklem 6


Durum geri-besleme matrisi K dört farklı yoldan sırası ile aşağıda elde edilecektir. -1

Ù

1.YOL : Geri-besleme matrisi, K = éë wT sT ùû (a - a) ifadesi ile hesap edilecektir.

æ é z - 1 -0.0952 ù ö 2 ÷ = z - 1.905z + 0.905 = 0 z - 0.905úû ø èë 0

a = det( zI - A) = det ç ê

a ( z) = z 2 - 1.905z + 0.905 = z 2 + a1z + a2 = 0

Açık çevrim Karakteristik

denklem

ac ( z) = z 2 - 1.776 z + 0.819 = z 2 + a1 z + a2 = 0

İstenen Kapalı çevrim

Karakteristik denklem

Açık-çevrimden elde edilen katsayılar matrisleri

é1 a1 ê0 1 w=ê ê. . ê ë0 0

... an -1 ù é a1 ù êa ú ú ... an -2 ú , a = ê 2ú ê ... ú ... . ú ê ú ú ... 1 û ë an û

é1 -1.905ù é -1.905 ù w=ê a=ê ú ú 1 û ë0 ë 0.905 û

éÙù ê a1 ú êÙú Kapalı-çevrimden elde edilen katsayı matrisi a = ê a2 ú ê ... ú êÙú êa ú ë nû Kontrol edilebilirlik matrisi: S = [ B

é -1.776ù a=ê ú ë 0.819 û

é é0.00484ù ìé1 0.0952ù é0.00484ù üù AB ] = ê ê ú íê úê ú ýú êë ë 0.0952 û îë0 0.905 û ë 0.0952 û þúû

é0.0048 0.0139ù S=ê ú ë0.0952 0.0862û -1

æé 1 0ù é0.0048 0.0952ù ö æ é -1.776ù é -1.905ù ö K = çê ú ê0.0139 0.0862ú ÷ ç ê 0.819 ú - ê 0.905 ú ÷ 1.905 1 ë ûë ûø èë û ë ûø è

7

é 4.51ù K =ê ú ë1.12 û


2.YOL: Durum denklemleri faz kononik şekline getirilerek, durum geri-besleme matrisi

é an - a n ù ê ú Ù ê an -1 - a n -1 ú K = I (a - a) = ê ú ifadesi ile hesap edilecektir. .... ê ú ê a -a ú ë 1 1 û é1 0.0952ù é0.00484ù x(k + 1) = ê x(k ) + ê ú ú u (k ) ë0 0.905 û ë 0.0952 û y (k ) = [1 0] x(k ) Durum denklemleri verilen sistem kontrol edilebilir kanonik form (faz-değişken kanonik form) dönüştürülür. Verilen sistemin karakteristik denkleminden

a ( z) = z 2 - 1.905z + 0.905 = z 2 + a1z + a2 = 0

Açık çevrim Karakteristik

denklem faz-değişken Kanonik formun sistem matrisi elde edilir.

é 0 Ac = ê ë -a2

1 ù -a1 úû

1 ù é 0 é0ù Þ Ac = ê ve standart olarak Bc = ê ú olarak ú ë -0.905 1.905û ë1 û

yazılır.

ac ( z) = z 2 - 1.776 z + 0.819 = z 2 + a1 z + a2 = 0 Karakteristik denklem

é a - a 2 ù é 0.905 - 0.819 ù K =ê 2 ú=ê ú êë a1 - a1 úû ë -1.905 - (-1.776) û é 0.086 ù K =ê ú ë -0.129û

T = VVc-1 é0.0048 0.0139ù V =S=ê ú elde edilmişti. ë0.0952 0.0862û

8

İstenen Kapalı çevrim


é0 Ac Bc ] = ê ë1

Vc = [ Bc

1 ù é0 ù ù 1 ù é 0 é0 é -1.905 1 ù -1 V V Þ = Þ = ú c c ê1.905 ê1 1.905ú ê 1 1.9 905 -0.905úû êë1 úû û 9 0ûú ë1 ë ë û

é 0.0047 0.0048ù é0.0048 0.0139ù é -1.905 1ù T = VVc-1 = ê ÞT = ê ú ú ê ú 0û ë0.0952 0.0862û ë 1 ë -0.0952 0.0952û T

k=K T T

-1

é 0.086 ù é 0.0047 0.0048ù =ê ú ê ú ë -0.129û ë -0.0952 0.0952û

-1

é 4.51ù kT = - ê ú ë1.12 û NOT: Elde edilen dönüşüm matrisi nin doğruluğunu onaylamak için, verilen durum denklemini kontrol edilebilir kanonik forma dönüştürülsün.

xc (k + 1) = T -1 ATxc (k ) + T -1Br (k )

yc (k ) = CTxc (k ) -1

é 0.0047 0.0048ù é1 0.0952ù é 0.0047 0.0048ù T AT = ê ú ê úê ú ë -0.0952 0.0952û ë0 0.905 û ë -0.0952 0.0952 û 1 ù é 0 =ê ú ë -0.905 1.905û -1

-1

é 0.0047 0.0048ù é0.00484ù T B=ê ú ê ú ë -0.0952 0.0952û ë 0.0952 û é0ù =ê ú ë1 û -1

é 0.0047 0.0048ù CT = [1 0] ê ú ë -0.0952 0.0952 û = [ 0.0047 0.0048]

é1 0.0952ù é0.00484ù x(k + 1) = ê x(k ) + ê ú ú u (k ) ë0 0.905 û ë 0.0952 û

y(k ) = [1 0] x(k )

Dönüşümden sonra kontrol edilebilir kanonik (faz-değişken kanonik )form aşağıda verilmiştir. 1 ù é 0 é0ù xc (k + 1) = ê xc (k ) + ê ú r (k ) ú ë -0.905 1.905û ë1 û

yc (k ) = [0.0047 0.0048] xc (k )

9


3. YOL: Ackerman ifadesi,

-1

Ù

k = e s p( A) T

eT = [0 0 ... 0 1] ise

T

ile durum geri besleme matrisinin bulunması.

eT = [0 1] dir.

é0.0048 0.0139ù é -95.0347 15.3358 ù ise S -1 = ê S=ê ú ú dir. ë0.0952 0.0862û ë105.0107 -5.3388û Ù

Ù

Ù

Ù

p( z ) = An + a1 An -1 + ... + a n -1 A + a n I 2

é1 0.0952ù é1 0.0952ù é1 0 ù =ê 1.776 + 0.819 ú ê0 0.905 ú ê0 1ú ë0 0.905 û ë û ë û Ù é0.043 0.0123ù p( z ) = ê 0.0307 úû ë 0

é -95.0347 15.3358 ù é0.043 0.0123ù k T = [0 1] ê úê 0.0307 úû ë105.0107 -5.3388û ë 0 k T = [ 4.51 1.12]

elde edilir.

4.YOL: Genel kutup yerleştirme yöntemi ile durum geri-besleme matrisinin bulunması.

K = [ K1

K2 ] durum geri besleme matrisi kullanılarak istenen karakteristik denklem elde edilir. æ é z - 1 -0.0952 ù é0.00484ù + [ K1 z - 0.905úû êë 0.0952 úû èë 0

a c = det( zI - A + BK ) = det ç ê

ö K2 ] ÷ ø

æ é z - 1 -0.0952 ù é0.00484 K1 0.00484 K 2 ù ö = det ç ê + ÷ z - 0.905úû êë 0.0952 K1 0.0952 K 2 úû ø èë 0 æ é z - 1 + 0.00484 K1 = det ç ê 0.0952 K1 èë

ùö ÷ ú z - 0905 + 0.0952 K 2 û ø 0.00484 K 2

Durum geri beslemeli sistem karakteristik denklem aşağıda verilmiştir.

10


ac ( z) = z 2 + (0.00484K1 + 0.0952 K2 -1.905) z + 0.004684 K1 - 0.0952K2 + 0.905 = 0 Olması istenen kapalı-çevrim Karakteristik denklem Durum geri beslemeli karakteristik denklem. 2 2

a ( z ) = z - 1.905z + 0.905 = z + a1z + a2 = 0

Açık çevrim Karakteristik denklem

a c ( z ) ve a ( z ) polinom katsayıları eşitlenir Þ ac ( z) = a ( z) 0.00484 K1 + 0.0952 K 2 - 1.905 = -1.776

Þ

0.00484 K1 + 0.0952 K 2 = 0.1290

0.004684 K1 - 0.0952 K 2 + 0.905 = 0.819

Þ

0.004683K1 - 0.0952 K 2 = -0.086

K1 = 4.51 ( pozisyon için) K 2 = 1.12 (hız için)

olarak elde edilir. D(t) Bozucu (rüzgar)



K C

L

IGBT sürücü

Bm Ölçme

Jm

E

Hız

U(t)

X2(t)

Uort Sayısal İşlemci

Anten

Konum

Vsin(wt)

R

q (t)

İf=sbt

X1(t)

K2

1.12

ADC

4.51

ADC

DAC K1

Durum Geribeslemesi

Durum geri beslemeli DC makine kontrolüne ait basitleştirilmiş donanım.

Sayısal İşlemci 1 - e sT s

1 s +1

X 2(t)

X1(t)

q (t)

Konum

Hız

K2

1 s

1.12 K1

4.51

Durum geri beslemeli DC makine kontrolüne ait basitleştirilmiş kontrol blok diyagramı. 11


B Kontrol işareti

u(k)

x(k+1)

0.00484

Sistem A 1.12 K1

4.51

y(k)

x(k)

zI

0.0952

K2

-1

1 0 C

1 0.0952 0 0.905 X2(k):hız

X1(k):Konum Durum geri-besleme

Durum geri beslemeli DC makine kontrolüne ait basitleştirilmiş ayık-zaman kontrol blok diyagramı.

x1 (0) = q (0) = 2 ve x2 (0) = V (0) = 0.75

için hız ve konumun zamana göre değişimi.

Elde edilmiş olan durum geri-besleme kontrol işareti servo sisteme uygulanarak elde edilen kapalıçevrim sisteme ait yeni durum denklemi aşağıda verilmiştir. Kontrol işareti,

u (k ) = - [ K1

é x (k ) ù é x (k ) ù K 2 ] ê 1 ú = - [ 4.51 1.12] ê 1 ú dir. ë x2 (k ) û ë x2 (k ) û 12


é x1 (k ) ù ö é1 0.0952ù é0.00484ù æ x(k + 1) = ê x(k ) + ê ç - [ 4.51 1.12] ê ú÷ ú ú ë0 0.905 û ë 0.0952 û è ë x2 (k ) û ø

é1 0.0952ù é0.0219 0.0054ù é x1 (k ) ù ( ) x(k + 1) = ê x k ú ê0.4299 0.1071ú ê x (k ) ú ë0 0.905 û ë ûë 2 û é 0.9781 0.0898 ù x(k + 1) = ê x(k ) 0.4299 4299 0.7979 0 7979 úû ë -0 Ac

Ac Durum geri-beslemeli kapalı-çevrim sistem matrisidir. İstenen karakteristik denklem elde edilip

edilmediği doğrulaması ise aşağıda yapılmaktadır.

Tasarımın başlangıcında istenen kriterleri sağlayacak olan karakteristik denklem

a ( z) = z 2 -1.776 z + 0.819 = 0

İstenen Karakteristik denklem

Olarak elde edilmiştir. Tasarım sonunda elde edilen sistem matrisi kullanılarak kapalı- çevrim karakteristik denklem,

æ é z - 0.9781

-0.0898 ù ö ÷ z - 0.7979úû ø

a c = det( zI - Ac ) = det ç ê

è ë 0.4299

ac = z 2 - 1.776 z + 0.819 = 0 olarak elde edilir ve olması istenen karakteristik denklem ile aynı olduğu görülmektedir, sonuç olarak tarsımın doğruluğu gösterilmiştir.

MATLAB komutu: Aşağıda verilen sisteme durum geri beslemesi uygulanacaktır.

é1 0.0952 ù é0.00484ù x(k + 1) = ê x(k ) + ê u (k ) ú 0 905 05 û 0 0.0952 ûú ë0 0.905 ë 0.0952 A

x(k + 1)

B

z -1 I

B

y (k ) = [1 0] x(k )

A

C

-K

P: Olması istenen kapalı-çevrim kutupları.

NOT: Place komutu ile değeri sıfır olan katlı kutuplar verilemiyor. Acker komutu ile verilebilir.

p=[0.888+0.1745i 0.888-0.1745i] K=acker(A,B,p) veya K=place(A,B,p)

K = 4.5149

u (k )

1.1255 olarak elde edilir.

13

x(k )


ÖNKOMPANZASYONLU (Referans Girişli) STATİK DURUM GERİBESLEME Kontrol edilen sistemde durum geri-beslemesi ile sistemin dinamik davranışı düzenlenebilmektedir. Sistem cevabının istenen bir referans değere gitmesi istenebilir. Bu durumda, sistem kazancının bir olmalıdır. Bu amaç için referans giriş ile beraber bir kazanç terimi ilave edilmeli ve hesaplanmalıdır. Kazanç hesabı için önerilen iki yol aşağıda verilmiştir I.YOL: Kontrol edilmek istenen sisteme ait ayrık-zaman durum uzay modeli vektör matris formunda x(k + 1) = Ax(k ) + Bu(k ) y (k ) = Cx(k )



x(k + 1)

B

u (k )

x(k )

-1

z I

C

y (k )

A

Sistem


r (k )

x(k + 1)

u (k )

K0

-1

B

z I

x(k ) C

A

Sistem

-K Referans giriş li durum geri-beslemeli sistem.

14

y (k )


r (k )

K0

u (k )

v(k )

Sistem

y (k )


Referans girişli durum geri-beslemeli sistem ait kontrol işareti yazılır ise, u(k ) = K0 r (k ) - Kx(k )


x(k + 1) = Ax(k ) + BK0r (k ) - BKx(k ) Þ

x(k + 1) = ( A - BK ) x(k ) + BK0r (k )

olarak elde edilir.


zI - A + BK = 0

olarak yazılır.

Tüm durum geri-beslemesi ile, sistemin karakteristik denklemi değiştirilebilir, ancak sistemin sürekli hal kazancıda değişir. Bundan dolayı, sistemde ayarlanabilir, K 0 , kazancı gereklidir.

K 0 , birim basamak giriş için y(¥) = 1 olacak şekilde ayarlanmalıdır. II. YOL: Referans girişi takip edebilen statik durum geri besleme ele alınacaktır. Referans giriş, r olsun; e(k ) = r - y(k ) kontrol hatasıdır. e(k)

r (k )

v(k )

u (k )

N

Sistem

x(k ) -K u(k ) = - Kx(k ) + N r

15

y (k )


e(k ) = 0 olduğunda x(k ) durum vektörünün sürekli hal değeri xss , ve u (k ) kontrol vektörünün sürekli hal değeri uss olsun.

e(k)=0

r

v(k)

uss

yss= r

Sistem

N

xss

-K

Amacımız, istenen sürekli hal ölçülen çıkış değerini sağlayan, statik durum geri besleme kuralı u(k ) = -Kx(k ) yı ayarlamaktır. Bu ise kontrol kuralında durum vektör ofseti (denkleştirme, kaydırması) ile yapılır. Sürekli rejim için Kontrol işaret’ inden Kxss çıkar ve sürekli rejim için gerekli olan uss ilave edilerek kontrol işareti,

u(k ) = - K ( x(k ) - xss ) + uss

olarak yazılır.

Böylece ölçülen çıkış değeri y , referans giriş r ’e eşit olur. x(k + 1) = Ax(k ) + Bu (k ) x(k + 1) = Ax(k ) - BK ( x(k ) - xss ) + Buss

burada u(k) yerine yazılır =>

Sürekli halde, x(k + 1) = x(k ) = xss olur… xss = Axss + Buss veya Buss = xss - Axss yerine konulur ise, xss ® Steady State(sürekli hal ) X(k)

Sürekli rejimde

x1 (k ) = x1 (k + 1) x1 (k ) x1 (k + 1)

k

x(k + 1) = Ax(k ) - BK ( x(k ) - xss ) + xss - Axss Þ x(k + 1) - xss = ( A - BK )( x(k ) - xss )

16


Bu denklem, statik durum geri-beslemesinin ( x(k ) - xss ) durum vektörüne uygulandığı gibi yorumlanabilir. xss = x(k ) olduğunda r = y(k ) ‘dır. Ön kompanzatörün uygun seçilmesi kontrol sistemi çıkışının r ’ye yakınsamasını sağlar. Önkompanzatör ilavesi sistemin kutuplarını etkilemez. Sürekli hal cevabı göz önüne alınır ise, xss = Axss + Buss yss = Cxss

olur.

yss = r Axss - xss + Buss = 0 Þ ( A - I ) xss + Buss = 0 Cxss + 0 uss = r ve ( A - I ) xss + Buss = 0 denklemleri ile arttırılmış durum vektörü,

éA- I ê C ë

B ù é xss ù é0ù = 0 úû êëuss úû êë r úû

éx ù é A - I Buradan, ê ss ú = ê ëuss û ë C

yazılabilir. -1

B ù é0ù elde edilir. Ve u(k)’da yerine yazılır => 0 úû êë r úû

u(k ) = - Kx(k ) + Kxss + uss önce u(k) düzenlenir.

éx ù = - Kx(k ) + [ K 1] ê ss ú ëuss û éA- I = - Kx(k ) + [ K 1] ê ë C

-1

B ù é0ù r 0 ûú ëê1 úû

N

u(k ) = - K ( x(k ) - xss ) + uss u(k ) = - Kx(k ) + N r

éA- I N = [ K 1] ê ë C

-1

B ù é0ù 0 úû êë1 úû

olarak elde edilir.

ÖRNEK: 1ù é 0 é0 ù x(k + 1) = ê x(k ) + ê ú u(k ) ve ú ë -0.16 -1û ë1 û

ise, kapalı çevrim kutuplarının

é x (k ) ù y (k ) = [1 0] ê 1 ú ë x2 (k ) û

z1 = 0.5 + j 0.5, 17



Çıkışın istenen referans değere gidebilmesi için Durum geri –besleme matrisi K ve giriş kazancı K 0 ’ı hesaplayınız. Açık-çevrim karakteristik denklem:

zI - A = z 2 + z - 0.16 = z 2 + a1 z + a2 = 0 İstenen Kapalı-çevrim karakteristik denklem:

zI - A + BK = ( z - 0.5 - j 0.5)( z - 0.5 + j 0.5) = z 2 - z + 0.5 = z 2 + a1z + a2 = 0

Sistem matrisi faz değişken kanonik formdadır. éÙ ù a2 - a2 ú é0.5 - 0.16ù é0.34ù ê Þk =ê = k= Ù ê ú -1 - 1 úû êë -2 úû ë êë a1 - a1 úû Durum geri-besleme matrisi, K = [0.34 -2] olarak elde edilir.

Ön Kompanzatör kazancı farklı iki yoldan hesaplanabilir. I. YOL: Transfer fonksiyonu ve son değer teoremi kullanılır. R( z ) =


Ù ü Ù Ù G = A - BK ï -1 K, kullanılarak transfer fonksiyonu hesaplanır; Ù ý Þ G ( z ) = C ( zI - G ) H H = BK 0 ï þ

Ù Ù é0ù é0 ù H = ê ú K0 ise H = ê ú ë1 û ë K0 û

Ù 1 ù é0 ù é 0 é 0 1ù G=ê - ê ú [ 0.34 -2] = ê ú ú ë -0.16 -1û ë1 û ë -0.5 1û


G( z ) =

K0 z - z + 0.5 2

z K0 K0 Y ( z) z 1 = Þ y (¥) = lim( z - 1) 2 Þ z ®1 R( z ) z 2 - z + 0.5 z - z + 0.5

K0 = 1 Þ K0 = 0.5 0.5

II. YOL: Elde dilmiş olan kazanç ifadesi doğrudan kullanılır. éA- I N = K0 = [ K 1] ê ë C

-1

B ù é0ù ifadesi kullanılır. 0 úû êë1úû 18


-1

éé 0 1 ù é1 0 ù é 0 ù ù êê ú-ê ú ê ú ú é0ù N = K 0 = [ 0.34 -2 1] ê ë -0.16 -1û ë0 1 û ë1 û ú ê ú ë1 û ê 0 úû [1 0] ë -1

0 0ù é0ù é -1 N = K 0 = [ 0.34 -2 1] êê -0.16 -2 1 úú êê0 úú êë 1 0 0 ûú êë1 úû

N = K0 = 0.5

r (k )

0.5

v(k )

B æ0ö ç ÷ è1ø

u (k )

x(k + 1) -1

z I

x(k )

(1

0)

y (k )

C

1ö æ 0 Sistem ç ÷ A è -0.16 -1ø 0.34 Durum geribeslemesi -2 Bilgi Botu: Kontrol edilmek istenen sisteme ait ayrık zaman durum denklemleri, x(k + 1) = Ax(k ) + Bu(k ) y(k ) = Cx(k ) olarak verilsin.

u(k ) = -Kx(k ) durum geri-besleme kontrol kuarlı olsun, yerine koyulur ise. x(k + 1) = Ax(k ) + B(-Kx(k )) x(k + 1) = [ A - BK ] x(k )) elde edilir. Yukarıda verilen sisteme lineer dönüşüm ve durum geri-besleme kontrol kuralı uygulansın.

x(k ) = Tx' (k ) ve x' (k ) = T -1 x(k ) x' (k + 1) = T -1 x(k + 1) lineer dönüşüm ve geri-besleme uygulanır ise, 19


x' (k + 1) = T -1 ATx' (k ) + T -1Bu(k )

y(k ) = CTx' (k )

olur.


u(k ) = -Kx(k ) u(k ) = -KTx' (k ) u(k ) = - fx ' (k ) elde edilir. f = KT dir. Lineer dönüşüm ve durum geri-besleme uygulandıktan sonra elde edilen karakteristik denklem lineer dönüşümsüz durum geri-beslemeli sistemin karakteristik denklemi ile aynıdır. Aşağıda ispatı verişmiştir.

x' (k + 1) = Ac x' (k ) + Bcu(k )





olmalıdır.



= zT -1IT - T -1 AT + T -1Bf = 0 ve


= T -1 zI - A + BK T = 0



20



ÖNKOMPANZASYONLU (Referans Girişli) STATİK DURUM GERİBESLEME Kontrol edilen sistemde durum geri-beslemesi ile sistemin dinamik davranışı düzenlenebilmektedir. Sistem cevabının istenen bir referans değere gitmesi istenebilir. Bu durumda, sistem kazancı bir olmalıdır. Bu amaç için referans giriş ile beraber bir kazanç terimi ilave edilmeli ve hesaplanmalıdır. Kazanç hesabı için önerilen iki yol aşağıda verilmiştir I.YOL: Kontrol edilmek istenen sisteme ait ayrık-zaman durum uzay modeli vektör matris formunda x(k + 1) = Ax(k ) + Bu(k ) y (k ) = Cx(k )



x(k + 1)

B

u (k )

x(k )

-1

z I

C

y (k )

A

Sistem


r (k )

x(k + 1)

u (k )

K0

-1

B

z I

x(k ) C

A

Sistem

-K Referans giriş li durum geri-beslemeli sistem.

1

y (k )


r (k )

K0

u (k )

v(k )

Sistem

y (k )


Referans girişli durum geri-beslemeli sistem ait kontrol işareti yazılır ise,

u(k ) = K0 r (k ) - Kx(k )


x(k + 1) = Ax(k ) + BK0r (k ) - BKx(k ) Þ

x(k + 1) = ( A - BK ) x(k ) + BK0r (k )

olarak elde edilir.


zI - A + BK = 0

olarak yazılır.

Tüm durum geri-beslemesi ile, sistemin karakteristik denklemi değiştirilebilir, ancak sistemin sürekli hal kazancıda değişir. Bundan dolayı, sistemde ayarlanabilir, K 0 , kazancı gereklidir. Bbirim basamak giriş için K 0 kazancı SON DEĞER teoreminden y(¥) = 1 olacak şekilde ayarlanmalıdır. II. YOL: Referans girişi takip edebilen statik durum geri besleme ele alınacaktır. Referans giriş, r olsun; e(k ) = r - y(k ) kontrol hatasıdır. e(k)

r (k )

v(k )

u (k )

N

y (k )

Sistem

x(k ) -K u(k ) = - Kx(k ) + N r

2


e(k ) = 0 olduğunda x(k ) durum vektörünün sürekli hal değeri xss , ve u (k ) kontrol vektörünün sürekli hal değeri uss olsun.

e(k)=0

r

v(k)

uss

yss= r

Sistem

N

xss

-K

Amacımız, istenen sürekli hal çıkışın ölçülen değeri yss ’i sağlayan, statik durum geri besleme kuralı u(k ) = -Kx(k ) yı ayarlamaktır. Bu ise kontrol kuralında durum vektör ofseti (denkleştirme, kaydırması) ile yapılır. Sürekli rejim için Kontrol işaret’ inden Kxss çıkartılır ve sürekli rejim için gerekli olan uss ilave edilerek kontrol işareti,

u(k ) = - K ( x(k ) - xss ) + uss

olarak yazılır.

Böylece ölçülen çıkış değeri y , referans giriş r ’e eşit olur. x(k + 1) = Ax(k ) + Bu (k ) x(k + 1) = Ax(k ) - BK ( x(k ) - xss ) + Buss

burada u(k) yerine yazılır =>

Sürekli halde, x(k + 1) = x(k ) = xss olur…

xss = Axss + Buss veya Buss = xss - Axss yerine konulur ise, xss ® Steady State(sürekli hal ) X(k)

Sürekli rejimde

x1 (k ) = x1 (k + 1) x1 (k ) x1 (k + 1)

k

x(k + 1) = Ax(k ) - BK ( x(k ) - xss ) + xss - A Axss Þ Buss

x(k + 1) - xss = ( A - BK )( x(k ) - xss ) 3


Bu denklem, statik durum geri-beslemesinin ( x(k ) - xss ) durum vektörüne uygulandığı gibi yorumlanabilir. xss = x(k ) olduğunda r = y(k ) ‘dır. Ön kompanzatörün uygun seçilmesi kontrol sistemi çıkışının r ’ye yakınsamasını sağlar. Önkompanzatör ilavesi sistemin kutuplarını etkilemez. Sürekli hal cevabı göz önüne alınır ise, xss = Axss + Buss yss = Cxss

olur.

yss = r

Axss - xss + Buss = 0 Þ ( A - I ) xss + Buss = 0 Cxss + 0 uss = r ve ( A - I ) xss + Buss = 0 denklemleri ile arttırılmış durum vektörü,

éA- I ê C ë

B ù é xss ù é0ù = 0 úû êëuss úû êë r úû

éx ù é A - I Buradan, ê ss ú = ê ëuss û ë C

yazılabilir. -1

B ù é0ù elde edilir. Ve u(k)’da yerine yazılır => 0 úû êë r úû

u(k ) = - Kx(k ) + Kxss + uss önce u(k) düzenlenir. éx ù = - Kx(k ) + [ K 1] ê ss ú ëuss û éA- I = - Kx(k ) + [ K 1] ê ë C

-1

B ù é0ù r 0 úû ëê1 úû

N

u(k ) = - K ( x(k ) - xss ) + uss u(k ) = - Kx(k ) + N r éA- I N = K 0 = [ K 1] ê ë C

-1

B ù é0ù 0 úû êë1úû

olarak elde edilir.

4


ÖRNEK: 1ù é 0 é0 ù x(k + 1) = ê x(k ) + ê ú u(k ) ve ú ë -0.16 -1û ë1 û

é x (k ) ù y (k ) = [1 0] ê 1 ú ë x2 (k ) û

ise, kapalı çevrim kutuplarının z1 = 0.5 + j 0.5,


Çıkışın istenen referans değere gidebilmesi için Durum geri –besleme matrisi K ve giriş kazancı K 0 ’ı hesaplayınız. Açık-çevrim karakteristik denklem:

zI - A = z 2 + z - 0.16 = z 2 + a1 z + a2 = 0 İstenen Kapalı-çevrim karakteristik denklem:

zI - A + BK = ( z - 0.5 - j 0.5)( z - 0.5 + j 0.5) = z 2 - z + 0.5 = z 2 + a1z + a2 = 0

Sistem matrisi faz değişken kanonik formdadır. Karakteristik denklem katsayılarından, a1 = -1 , a2 = 0.5 , a1 = -1 a2 = -0.16 yazılabilir.

éÙ ù a2 - a2 ú é0.5 - 0.16ù é0.34ù ê Þk =ê = k= Ù ê ú -1 - 1 úû êë -2 úû ë êë a1 - a1 úû Durum geri-besleme matrisi, K = [0.34 -2] olarak elde edilir.

Ön Kompanzatör kazancı farklı iki yoldan hesaplanabilir. I. YOL: Transfer fonksiyonu ve son değer teoremi kullanılır. R( z ) =


u(k ) = - Kx(k ) + K0 r (k )

Kontrol kuralı

durum geri-besleme durum denkleminde yerine

koyulur , x(k + 1) = Ax(k ) + Bu(k ) ise x(k + 1) = Ax(k ) + B(- Kx(k ) + K0 r (k ))

x(k + 1) = ( A - BK ) x(k ) + BK0 r (k ) Ù

Ù

G

H

Durum denklemlerine ait katsayılar matrisleri kullanılarak transfer fonksiyonu hesaplanır.

5


Ù ü G = A - BK ï ý Ù H = BK 0 ï þ

Þ

Ù

Ù

G ( z ) = C ( zI - G ) -1 H

durum geri-beslemeli ve ön-kompanzatör girişli

sisteme ait kapalı-çevrim transfer fonksiyonu. Ù Ù é0ù é0 ù H = ê ú K0 ise H = ê ú ë1 û ë K0 û

Ù 1 ù é0 ù é 0 é 0 1ù - ê ú [ 0.34 -2] = ê G=ê ú ú ë -0.16 -1û ë1 û ë -0.5 1û


K0 Y ( z) = G( z ) = 2 Þ R( z ) z - z + 0.5

z K0 Þ y (¥) = lim( z - 1) 2z - 1 z ®1 z - z + 0.5

G( z ) =

K0 z - z + 0.5 2

son değer teoreminden,

K0 = 1 Þ K0 = 0.5 olarak elde edilir. 0.5

II. YOL: Elde dilmiş olan kazanç ifadesi doğrudan kullanılır. éA- I N = K0 = [ K 1] ê ë C

-1

B ù é0ù ifadesi kullanılır. 0 úû êë1úû -1

éé 0 1 ù é1 0 ù é 0 ù ù êê ú-ê ú ê ú ú é0ù N = K 0 = [[0.34 -2] 1] ê ë -0.16 -1û ë0 1 û ë1 û ú ê ú 1 ê ú ë û 1 0 0 [ ] û ë -1

0 0ù é0ù é -1 ê N = K 0 = [ 0.34 -2 1] ê -0.16 -2 1 úú êê0 úú êë 1 0 0 ûú êë1 úû

N = K0 = 0.5

6


r (k )

0.5

B æ0ö ç ÷ è1ø

u (k )

v(k )

Sistem

x(k + 1) -1

z I

x(k )

(1

0)

y (k )

C

1ö æ 0 ç ÷ 0.16 1 è ø A

0.34 Durum geribeslemesi -2 Bilgi Botu: Kontrol edilmek istenen sisteme ait ayrık zaman durum denklemleri, x(k + 1) = Ax(k ) + Bu(k ) y(k ) = Cx(k ) olarak verilsin.

u(k ) = -Kx(k ) durum geri-besleme kontrol kuarlı olsun, yerine koyulur ise. x(k + 1) = Ax(k ) + B(-Kx(k )) x(k + 1) = [ A - BK ] x(k )) elde edilir. Yukarıda verilen sisteme lineer dönüşüm ve durum geri-besleme kontrol kuralı uygulansın.

x(k ) = Tx' (k ) ve x' (k ) = T -1 x(k ) x' (k + 1) = T -1 x(k + 1) lineer dönüşüm ve geri-besleme uygulanır ise,

x' (k + 1) = T -1 ATx' (k ) + T -1Bu(k )

y(k ) = CTx' (k )

olur.


u(k ) = -Kx(k ) u(k ) = -KTx' (k ) u(k ) = - fx' (k ) elde edilir. f = KT dir.

7


Lineer dönüşüm ve durum geri-besleme uygulandıktan sonra elde edilen karakteristik denklem lineer dönüşümsüz durum geri-beslemeli sistemin karakteristik denklemi ile aynıdır. Aşağıda ispatı verişmiştir.

x' (k + 1) = Ac x' (k ) + Bcu(k )





olmalıdır.



= zT -1IT - T -1 AT + T -1Bf = 0 ve


= T -1 zI - A + BK T = 0



8



ÖRNEK: Bir önceki statik durum geri-beslemeli DC makine kontrolünde ölçülen çıkışın aşağıda verildiği gibi referans girişi takip etmesi istenmektedir. Ön kompanzatör kazancını hesaplayınız. D(t) Bozucu (rüzgar) Güç Kuvvetlendirici


K L

Uort

Bm Ölçme

Jm

E

Hız

IGBT

X2(t)

sürücü U(t) U(t)

u(t)

Sayısal İşlemci

Anten

Konum

Vsin(wt)

R C

q (t )

İf=sbt

X1(t)

K2

1.12

ADC

4.51

ADC

DAC K1

N

Durum Geribeslemesi

r(k) referans giriş qr(k)

Sistemin durum modeli;

é1 0.0952 ù é0.00484ù x(k + 1) = ê x k u (k ) + ( ) ê 0. 0.905 905 úû 0 0952 09 952 úû ë0 0 ë 0.0952 A

B

y (k ) = [1 0] x(k ), C

Durum geri-besleme kazanç matrisi K = [ 4.51 1.12]

éA- I N = [ K 1] ê ë C

olarak verilmiştir.

-1

B ù é0 ù 0 úû êë1 úû

A- I é ù ê é0 0 ú 0.0952 0952 ù 0 0.00484 0 ê ú = [[4.51 1.12] 1] ê ú ê ë0 -0.905û 0.0952 ú ê1 0 0 úû ë

-1

é0 ù ara işlemler yapıldıktan sonra, ê0 ú ê ú êë1 úû

N = 4.51 olarak elde edilir. 9


D(t ) = 0 rüzgar etkisi sıfır ve r (t ) = 2u(t ) referans giriş için servo sistem cevabı.

D(t - 8) = u (t - 8) , T = 0.1 için

k=

8 = 80 rüzgar etkisi başlangıcı anı ve r (t ) = 2u(t ) 0.1

referans giriş için servo sistem cevabı.

ess

10


Örnekten görüleceği gibi, statik durum geri-beslemesi ile ön kompanzatörlü sistem bozucu yoksa referans girişi iyi bir şekilde izler. Eğer bozucu mevcutsa, izleme performansı zayıftır,

ess

sürekli hal hatası oluşur. D(t) Bozucu (rüzgar) Güç Kuvvetlendirici


K L

Uort

Bm

E

Hız

IGBT

X2(t)

sürücü U(t) U(t)

u(t)

Sayısal İşlemci

Anten

Ölçme

Jm

Konum

Vsin(wt)

R C

q (t )

İf=sbt

X1(t)

K2

1.12

ADC

4.51

ADC

DAC 4.51

K1

Durum Geribeslemesi

r(k) referans giriş qr(k)

DİNAMİK-DURUM GERİBESLEMESİ Hem referans girişi takip eden hemde bozucu etkisini gideren (yok eden) durum uzay yapısı ele alınacaktır. Başlangıç noktamız, durum vektörünü kontrol hatası e(k ) = r - y(k ) ’yı ihtiva edecek şekilde arttırmaktır.

r(k)

x ı(k+1)=xı(k)+e(k)

x (k) ı

u(k) KI

Sistem

y(k)

x(k) - Kp

Dinamik durum geri-besleme kontrol sistem blok diyagramı İntegre edilmiş kontrol hatası; xI (k + 1) = xI (k ) + e(k ) Þ e(k ) = r - y (k ) = r - Cx(k ) Þ xI (k + 1) = xI (k ) + r (k ) - Cx(k )

é x(k ) ù Arttırılmış durum vektörü, ê ú dır. Kontrol kuralı, u (k ) = - éë K p x ( k ) ë I û 11

é x(k ) ù K I ùû ê ú olur. ë xI (k ) û


x(k ) durum vektörü nx1 boyutlu ise,

K p = [ K p1

K p2

........ K pn ]

dir.

Dinamik durum geri-beslemeli kontrolün karakteristik denklemi: Arttırılmış-durum uzay modeli;

x(k + 1) = Ax(k ) + Bu (k ) xI (k + 1) = xI (k ) + r (k ) - Cx(k )

ifadeleri kullanılarak aşağıda

verildiği gibi elde edilir.

é x(k + 1) ù é A 0ù é x(k ) ù é B ù é 0ù ê x (k + 1) ú = ê -C 1ú ê x (k ) ú + ê 0 ú u (k ) + ê1ú r ûë I û ë û ë û ë I û ë Kontrol kuralı u(k) yerine koyulur ise,

é x(k + 1) ù æ é A 0ù é B ù ê x (k + 1) ú = ç ê -C 1 ú - ê 0 ú [ K P û ë û ë I û èë

ö é x( k ) ù é 0 ù KI ]÷ ê ú + ê1 ú r x k ( ) I ë û ë û ø

Karakteristik polinom, ì æ é A 0ù é B ù ï det í zI - ç ê ú - ê ú [ KP ï è ë -C 1 û ë 0 û î

öü ï K I ] ÷ ý = 0 dır. ï øþ

K P ve K I ‘nın seçilmesi ile kapalı-çevrim sistem dinamiği ayarlanır.

ÖRNEK: 0 ù é 0.13 A=ê ú, ë0.46 0.63û

é0.069ù B=ê ú, ë 0 û

C = [1 1]

Artırılmış durum-uzay modeli;

0ù é x1 (k ) ù é0.069ù é x1 (k + 1) ù é 0.13 0 é0ù ê x (k + 1) ú = ê0.46 0.63 0ú ê x (k ) ú + ê 0 ú u (k ) + ê0ú r ê 2 ú ê úê 2 ú ê ú ê ú êë xI (k + 1) úû êë -1 êë1 úû -1 1 úû êë xI (k ) úû êë 0 úû Kontrol kuralı u(k) yerine koyulur ise, 0 0 ù é0.069 ù é x1 (k + 1) ù æ é 0.13 ê x (k + 1) ú = ç ê0.46 0.63 0 ú - ê 0 ú K ê 2 ú çê ú ê ú [ P1 ç êë xI (k + 1) úû è êë -1 -1 1 úû êë 0 úû

12

KP2

ö é x1 (k ) ù é0 ù ÷ê ú K I ] ÷ ê x2 (k ) ú + u (k ) + êê0 úú r ÷ êë1 úû ø êë xI (k ) úû


é x1 (k + 1) ù é0.13 - 0.069 K P1 ê x (k + 1) ú = ê 0.46 ê 2 ú ê êë xI (k + 1) úû êë -1

-0.069 K P 2 0.63 -1

-0.069 K I ù é x1 ( k ) ù é0 ù ú ê x ( k ) ú + u ( k ) + ê0 ú r 0 úê 2 ú ê ú úû êë xI (k ) úû êë1 úû 1

Dinamik durum geribeslemeli sistemin artırılmış durum-uzay modeli. Problem; K P1 , K P 2 , K I katsayılarının hesabıdır.

13


DİNAMİK-DURUM GERİBESLEMESİ Hem referans girişi takip eden hemde bozucu etkisini gideren (yok eden) durum uzay yapısı ele alınacaktır. Başlangıç noktamız, durum vektörünü kontrol hatası e(k ) = r - y(k ) ’yı ihtiva edecek şekilde arttırmaktır.

r(k)

e(k) x ı(k+1)=xı(k)+e(k)

x (k) ı

u(k)

Sistem

KI

y(k)

x(k) - Kp Dinamik durum geri-besleme kontrol sistem blok diyagramı İntegre edilmiş kontrol hatası; xI (k + 1) = xI (k ) + e(k ) Þ e(k ) = r - y (k ) = r - Cx(k ) Þ xI (k + 1) = xI (k ) + r (k ) - Cx(k )

é x(k ) ù Arttırılmış durum vektörü, ê ú dır. Kontrol kuralı, u (k ) = - éë K p ë xI ( k ) û x(k ) durum vektörü nx1 boyutlu ise,

K p = [ K p1

K p2

é x(k ) ù K I ùû ê ú olur. ë xI (k ) û

........ K pn ]

dir.

Dinamik durum geri-beslemeli kontrolün karakteristik denkle mi: Arttırılmış-durum uzay modeli;

x(k + 1) = Ax(k ) + Bu (k ) xI (k + 1) = xI (k ) + r (k ) - Cx(k )

verildiği gibi elde edilir.

é x(k + 1) ù é A 0ù é x(k ) ù é B ù é 0ù ê x (k + 1) ú = ê -C 1ú ê x (k ) ú + ê 0 ú u (k ) + ê1ú r ûë I û ë û ë û ë I û ë Kontrol kuralı u(k) yerine koyulur ise,

é x(k + 1) ù æ é A 0ù é B ù ê x (k + 1) ú = ç ê -C 1 ú - ê 0 ú [ K P û ë û ë I û èë

ö é x( k ) ù é 0 ù KI ]÷ ê ú+ê úr ø ë xI (k ) û ë1 û

Karakteristik polinom, ì æ é A 0ù é B ù ï det í zI - ç ê ú - ê ú [ KP ï è ë -C 1 û ë 0 û î

öü ï K I ] ÷ ý = 0 dır. ï øþ 1

ifadeleri kullanılarak aşağıda


DURUM-UZAY GERİBESLEME İÇİN KUTUP YERLEŞTİRME TASARIMI Tasarım amacı, yerleşme zamanının t s ve maximum aşımın M *p değerini geçmemesidir.

1- Kapalı-çevrim kutupları z1,2 = re

± jq

hesaplayınız. r = e

-

4T ts

,

q =p

log(r ) log( M *p )

2- İstenen karakteristik denklemi oluşturun, • F ( z) = ( z 2 - 2r cos q z + r 2 )( z - 0.25r )n-2

n ® durum uzay boyutu. ( z - e jq )( z - e- jq ) = z 2 - 2r cos q z + r 2 3- Modellenen karakteristik polinomu, x(k + 1) = Ax(k ) - BKx(k ) yı oluşturun ve açın, • K = [ K1 ,..., Kn ] olmak üzere, •modellenen karakteristik denklem, det[ zI - ( A - BK )] 4- K’lar hesaplanır, istenen karakteristik denklem katsayıları ile modellenen karakteristik denklem katsayıları eşitlenir (aynı derecedeki polinomlar) ve denklem çözülür. 5- Sonuç doğrulaması yapılır,

•kapalı-çevrim kutuplarının birim dairede içinde olup olmadığı kontrol edilir, •Transient cevabın istenen performansı sağlayıp sağlamadığını simüle edilir.

2


Örnek: Aşağıda servo sisteme ait şekil a) donanım ve b) açık-çevrim kontrol blok diyagram verilmiştir.



K

Vsin(wt)

R

İf=sbt

L

Bm

C

Jm

E

Uort

Anten

Konum

Hız

IGBT sürücü

Ölçme

X2(t) X1(t)

U(t)

a) Servo sistem donanımı

Bozucu D(s)

Kontrol işareti u(s)

1 s +1

Hız W( s )

1 s

Konum q (s)

b) Servo sisteme ait açık-çevrim kontrol blok diyagram

istenenler: i) Statik ve dinamik durum geri-beslemeli servo sisteme ait donanım blok diyagramı çiziniz. ii) Statik ve dinamik durum geri-beslemeli servo sisteme ait Kontrol blok diyagramı çiziniz. iii) Servo sistemde x = 0.46 ve %2 kriterine göre ts = 4sn olması istenmektedir. Sistemin

referans girişi takip edilebilmesi ve bozucu etkisini gidermesi istenmektedir. Servo sisteme ait ayrık- zaman durum denklemleri T = 0.1 sn için , é1 0.0952ù é0.00484ù x(k + 1) = ê x(k ) + ê ú ú u (k ) olarak verilmektedir. ë0 0.905 û ë 0.0952 û y (k ) = [1 0] x(k ) statik ve dinamik durum geri-besleme katsayıları K p1 , K p 2 , K I hesaplayınız. iv)

Statik ve dinamik durum geri-beslemeli servo sisteme ait durum ve çıkş denklemlerini elde ediniz.

3


v)

Statik ve dinamik durum geri-beslemeli servo sisteme ait ayrık-zaman Transfer fonksiyonunu elde ediniz.

vi)

Statik ve dinamik durum geri-beslemeli kontrol kurallı ayrık-zaman sayısal kontrole ait programını sembolik dilde yazınız.

ÇÖZÜM:

i) Statik ve dinamik durum geri-beslemeli servo sisteme ait donanım blok diyagramı. D(t) Bozucu (rüzgar) Güç Kuvvetlendirici


K Uort

Bm Jm

E

Ölçme Hız

IGBT

X2(t)

sürücü U(t)

u(t)

Anten

Konum

Vsin(wt)

L

R

C

q

İf=sbt

X1(t)

ADC ADC

Sayısal İşlemci K2

DAC K1

KI

z z -1 e(k)

Durum Geribeslemesi İntegral y(k)=x1(k)

r(k) referans giriş ii) Statik ve dinamik durum geri-beslemeli servo sistem ait Kontrol blok diyagramı :

4


Bozucu D(t) u(k) z z -1

r(k)

u(k)

KI

u(k)

1 s

1 s +1

K2

x2(t) Sayısal İşlemci

Konum

Hız

K1

1 - e sT s

x1(t)

y(k)=x1(k)

iii- Statik ve dinamik durum geri-besleme katsayıları K p1 , K p 2 , K I hesap edilmesi.

r(k)


x (k) ı

u(k)

Sistem

KI

y(k)

x(k) - Kp Yukarıda verilen sistemde, istenen kriterleri sağlayacak olan [ K p1

K p2

K I ] katsayıları

hesaplanacaktır.

1- Kapalı-çevrim sisteme ait karakteristik denkle m: ì æ é A 0ù é B ù ï F ( z ) = det í zI - ç ê ú - ê ú[K ï è ë -C 1 û ë 0 û î A 0 ì æ ï é z 0 0 ù ç é1 0 0.0952 0952 ù é0ù çê ïï ê úê ú ú = det í ê0 z 0 ú - ç ë0 0.905 û ë0û ï ê0 0 z ú ç -1 0] 1 û ç[ ïë ç 1 C è îï

ü öï K I ] ÷ý = 0 ï øþ B ö æ ö ÷ ç é0 0.00484 00484 ù ÷ ÷ çê ú÷ ÷ - ç ë 0.0952 û ÷ [ K1 ÷ ç ÷ 0 ÷ ÷÷ ç 0 ø ø è

ìæ é z - 1 -0.0952 0 ù é0.00484 K1 0.00484 K 2 ïç ê z - 0.905 0 úú - êê 0.0952 K 2 0.0952 K 2 = det íç ê 0 ïç 0 z - 1úû êë 0 0 îè êë 1

5

K2

ü ï ïï K I ]ý = 0 ï ï ïþ

0.00484 Ki ù ö ü ÷ï 0.0952 Ki úú ÷ ý = 0 ï úû ø÷ þ 0


ì é z - 1 - 0.00484 K1 ï = det í êê -0.0952 K1 ï 1 î ëê

-0.0952 - 0.00484K 2 z - 0.905 - 0.0952 K 2 0

-0.00484Ki ù ü ï -0.0952Ki úú ý = 0 ï z -1 ûú þ

Staik ve dinamik durum geribeslemeli servo sisteme ait parametrik karakterisrik denklem. F ( z) = z 3 + (-0.0952K2 - 2.905 - 0.00484K1 ) z 2 +

(0.0015716K1 + 2.81 + 0.1904K2 + 0.00484Ki ) z +0.0046828K1 - 0.905 - 0.0952K2 + 0.0046828Ki = 0

F ( z ) = z 3 + a1 z 2 + a 2 z + a3 = 0

İstenen karakteristik denklem;

x = 0.46,

% ts = 4sn Þ

s1,2 = -x wn

j n 1 - x 2 = -0 0.46*2.17 46*2 4 6*2 17 jw

z = esT Þ z = e-(0.99822

j1. 1.9268)0 1.9268)0.1

wn = 2.17rad / sn

2.17 17 1 1 - 0.462 Þ s1,2 = -0.9982 0 j2

j1.9268

Þ z1,2 = 0.8883 ± 0.1687 j r = abs ( z ) r = 0.9050

a ( z) = ( z - 0.8883 - 0.1687 j)( z - 0.8883 + 0.1687 j)( z - 0.25*0.9050) = 0 Þ

a ( z) = z 3 - 2.0029 z 2 + 1.22 z - 0.1853 = 0

istenen karakteristik denklem

a ( z) = z 3 + a1 z 2 + a2 z + a3 = 0 F ( z) = a ( z) yazılır ve katsayılar eşitlenir ise,

• -0.0952K2 - 2.905 - 0.00484K1 = -2.0029 -0.0952K2 - 0.00484K1 = 0.9021

6


• 0.0015716K1 + 2.81 + 0.1904K2 + 0.00484Ki = 1.22 0.0015716K1 + 0.1904K2 + 0.00484Ki = -1.59

• 0.0046828K1 - 0.905 - 0.0952K2 + 0.0046828Ki = -0.1853 0.0046828K1 - 0.0952K2 + 0.0046828Ki = 0.7199

0 é -0.00484 -0.0952 ù é K1 ù é 0.9021ù ê0.0001572 0.1904 0.00484 ú ê K ú = ê -1.59 ú Þ ê úê 2ú ê ú êë 0.00484 -0.0952 0.004683úû êë Ki úû êë 0.7197 úû

0 é K1 ù é -0.00484 -0.0952 ù ê K ú = ê0.0001572 0.1904 0.00484 ú ê 2ú ê ú êë Ki úû êë 0.00484 -0.0952 0.004683úû

-1

é 0.9021ù ê -1.589ú Þ ê ú êë 0.7197 úû

é K1 ù é -156.64 -51.63 53.37 ù é 0.9021ù ê K ú = ê -2.54 2.62 -2.71 úú êê -1.589úú Þ ê 2ú ê êë Ki úû êë 105.01 105.01 105.01úû êë 0.7197 úû u (k ) = - Kx(k ) = - [ K1

K2

é x1 (k ) ù K I ] êê x2 (k ) úú êë xI (k ) úû

é K1 ù é -20.79ù ê K ú = ê -8.41 ú ê 2ú ê ú êë Ki úû êë 3.33 úû

Kontrol işareti…………….

é x1 (k ) ù = -[20.79 8.41 -3.33] êê x2 ( k ) úú êë xI (k ) úû

Artırılmış sistem Karakteristik denkleminin elde edilmesi. r(k)


x (k) ı

u(k) KI

Sistem x(k)

- Kp

Artırılmış sistem için durum denklemleri yazılır.

7

y(k)

DijitalKontrol KontrolSistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir. Özdemir Dijital

é x(k + 1) ù é A 0ù é x(k ) ù é B ù é0ù = + + u ( k ) r (k ) yapılmış olup tüm ê xönceki ú êservo ú durum ú ê xait (dinamik ê 0 ú geri besleme ê1útasarımı Bir bölümde sisteme + ( k 1) k ) C 1 ûë I û ë û ë û ë I blok diyagramı û ë aşağıda verilmiştir. kontrol Şekilden görülebileceği gibi u (k ) kontrol işareti ve r (k ) ise referans giriştir. r (kD(t) )=0 alınarak daha önce verilmiş olan Bass-Gura , faz kanonik form için verilmişBozucu olan (rüzgar) basitleştirilmiş yöntem ve Ackerman ının önerdiği her bir yöntem ayrı ayrı uygulanarak Güç Kuvvetlendirici Rotor Kontrollu DC Makina durum geri besleme matrisi K hesap edilebilir. Aşağıda sırası ile verilmiştir. q K Vsin(wt)

R

İf=sbt

L

Anten

Konum

Hız

0 B Bm æ C A ö æ ö Ölçme Jm Uort 0.0952 0952 ù é0 ù ÷ éEx1 (k ) ù ç é0.00484 é x1 (k + 1) ù ç é1 0 0 00484ù ÷ ç ÷ ê ú ê ú ê x (k + 1) ú = 0 0.905 0 ê x (k ) ú + ç ê ú ÷ r (k ) û ë û 952 0.0 IGBT ÷ 2 ë ç ê 2 ú ç ë U(t) ê ú X2(t)û ÷ X1(t) sürücü ç ÷ ç ÷ êë xI (k + 1) úû [ -1 êë xI (k ) úû 1 0 ] 0 ADC÷ ADC ç ç u(t) ÷ 1 Sayısal İşlemci 0 è ø C è ø 20.79 H

G DAC 8.41

3.33

z z -1

Durum Geribeslemesi İntegral y(k)=x1(k)

r(k) referans giriş

Kontrol blok diyagramından görüldüğü ve durum uzay tasarımında ifade edildiği gibi kontrol edilebilir bir sistemde tüm kutupların istenen yere atanabilmesi için tüm durum değişkenlerinin ölçülmesi gerekmektedir. Tüm durum değişkenlerinin ölçülmesi yerine tüm durum değişkenleri gözlenebilen bir sistemde çıkış ölçülerek sisteme ait tüm durum değişkenleri hesap edilebilir, gözlenebilir (kestirilebilir). Tüm durumları gözlenen sisteme tüm durum geri-besleme uygulanabilir.

18


DURUM GÖZLEYİCİ (KESTİRİCİ) D(t) Bozucu (rüzgar) Rotor Kontrollu DC Makina


I

K

Vsin(wt)

L

R

C

Uort

q

İf=sbt Bm

E

X2(t)

Akım X1(t)

Konum

Hız

IGBT

sürücü U(t)

Anten

Ölçme

Jm

X3(t)

U(t)

Sayısal İşlemci ADC

DAC

ADC ADC

K3 K2 K1

Yukarıda verilen servo sistemde tüm durum geri-besleme için üç adet durum değişkenleri akım,konum ve hız ölçülmelidir. Aşağıda anlatılacak olan gözleyici ve tasarımı ile sadece çıkış (konum) ölçülecek ve gözleyici ile akım,konum ve hız ani değerleri hesap edilecektir.

Genel olarak, bir sistemin tüm durumlarının ölçülmesi pratik olmayabilir, ancak ilgilenilen sistemden elde edilen bilgilerden sistemin durumları kestirilebilinir. Genel olarak, bir sistemin durumlarını kestiren sisteme gözleyici (observer) veya durum kestirici (state estimator) denir.

x(k + 1) = Ax(k ) + Bu(k ) y (k ) = Cx(k ) Verilen sistemin herhangi bilinmeyen ilk x(0) durumları için, N adet sonlu y(0), y(1), y(N-1) ölçümünden tüm x(0) durum değişkenleri hesaplanabiliyor ise, sistem tümüyle gözlenebilir é C ù ê CA ú ú denir. Sistemin tüm durumlarının gözlenebilmesi için Gözlenebilirlik matrisi, O = ê ê ... ú ê N -1 ú ëCA û

rank (O) = n

olmalıdır,

Anxn

:sistem matrisi.

2

,


Luenberger Gözleyici Durum vektörleri gözlenecek olan sistem modeli,

x(k + 1) = Ax(k ) + Bu(k )

p x Î Rn , y Î R

y (k ) = Cx(k ) Durum vektörü

x( k )

ve

u Î Rm

olarak verilsin.

Ù

’nın, yaklaşık değeri x(k )

ile verilsin. Gözleyici modeline ait durum

denklemi,

Ù

Ù Ù

Ù

x(k + 1) = A x(k ) + Bu (k ) + Ly(k ) Ù

Ù

ile verilir.

Ù

x(k ) Î R ve A, B ve L n

bilinmeyen matrisleridir.

Gözleyici, u (k ) giriş vektörü ve y(k ) çıkış vektörü, girişlerin den oluşan iki girişli bir Ù

dinamik sistemdir. x(k ) ve x(k ) aynı boyutlu ise gözleyici tam dereceli/ tüm dereceli (fullÙ

order) gözleyici olarak adlandırılır. x(k ) ’nın derecesi x(k ) ’dan küçük ise düşük-dereceli gözleyici olarak adlandırılır. giriş u(k)

Durumlar Çıkış x(k) y(k) X(k+1)=Ax(k)+Bu(k) C Sistem

Gözleyici

X(k+1)=Ax(k)+Bu(k)+Ly(k)

Sistem ve gözleyicinin basitleştirilmiş gösterimi Ù

Hata vektörü, e(k ) = x(k ) - x(k ) olarak tanımlansın. Gözleyici tasarlama probleminin tanımı, mümkün olan en yüksek hızda e(k ) ’yı sıfır Ù

Ù

yapacak olan A, B ve L matrislerinin belirlenmesidir. Problemin çözümü için, Ù

e(k + 1) = x(k + 1) - x(k + 1) yazılır ve durum denklemleri yerlerine yazılır => Ù

Ù

Ù

= Ax(k ) + Bu (k ) - A x(k )- B u(k ) - L Cx(k ) y(k )

3

düzenlenir =>

Kestirilen Durumlar x(k)


Ù

Ù

e(k ) = x(k ) - x(k ) Þ x(k ) = x(k ) - e(k ) Ù

olduğu göz önüne alınır ise,

Ù

= Ax(k ) + Bu(k ) - A[ x(k ) - e(k )] - Bu(k ) - LCx(k ) Ù

Ù

Ù

e(k + 1) = Ax(k ) + Bu(k ) - A x(k ) + Ae(k ) - Bu (k ) - LCx(k )

düzenlenir ise,

hata dinamiği, Ù

Ù

Ù

e(k + 1) = Ae(k ) + [ A - A- LC ]x(k ) + [ B - B] u(k )

olarak elde edilir.

e(k ) ’nın x(k ) ve u (k ) ’dan bağımsız olarak sıfıra gidebilmesi için aşağıda verilen 3 şart

sağlanmalıdır; Ù

1- A = A - LC Ù

2- B = B Ù

matrisi kararlı olmalıdır. 1 ve 2 ifadeleri yerlerine koyulur ise,

3- A Ù

Ù

Ù

Ù

x(k + 1) = ( A - LC ) x(k ) + Bu(k ) + Ly(k ) = A x(k ) + Bu(k ) + Ly(k ) - LC x( k ) Ù

Ù

Ù

x(k + 1) = A x(k ) + Bu (k ) + L[ y(k ) - C x(k )] Gözleyici durum denklemi Kestirici

Düzeltici terim

Düzeltici terim, genellikle rezidül olarak adlandırılır (artık kalan, artan) Bu sonuçlardan e(k ) aşağıda verilen fark denklemi ile yazılır. Ù

e(k + 1) = Ae(k ) Ù

Hata dinamiği………………………..

e(k + 1) = ( A - LC)e(k )

Ù

Ù

x(k + 1) = A x(k ) + Bu (k ) + L[ y(k ) - C x(k )] ) Kestirici

Gözleyici durum denklemine ait

Düzeltici terim

sayısal gerçekleştirme diyagramı aşağıda verilmiştir. Gözleyici durum denklemi Ù

Ù

x(k + 1) = ( A - LC ) x(k ) + Bu(k ) + Ly(k )

4

olarak düzenlenir.


x(k + 1)

u (k ) giriş

x(k )

-1

B

z I

C

y(k) çıkış

A

Sistem

y(k)

B

e(k)

x(k) Kestirilen durumlar

z -1 I

Sürekli rejimde x(k) x(k)

A C

L C x(k)

Durum Gözleyici (kestirici)

Gözleyici durum denklemine ait sayısal gerçekleştirme diyagramı. Ù

Gözleyici tasarım problemi; A = A - LC matrisinde L matrisini elde edilmesi bir kutup yerleştirme problemine dönüşür. Ù

Gözleyici tasarımında, L matrisinin var olabilmesi ve A = A - LC nin istenen öz değerlere sahip olabilmesi için gerek ve yeter şart ( A, C ) ’nin gözlenebilir olmasıdır.

rank[O] = n,

gözlenebilirlik matris rankı tam olmalıdır.

æ C ö ç ÷ CA ÷ =ç O ç ÷ ... Gözlenebilirlik Matrisi çç CAn -1 ÷÷ è ø

Gözleyici’de durum geribesleme matris L’nin tasarımı: i- l1 , l2 ,..., ln Gözlenecek sistem matrisi A ’nın özdeğerleri , P( z ) gözlenecek sistem karakteristik denklemi olsun. n

P( z ) = zI - A = Õ ( z - li ) = z n + a1 z n-1 + ... + an = 0 olarak yazılabilir. i =1

Ù

Ù

Ù

Ù

Ù

ii- l1 , l2 ,..., ln gözleyici sistem matrisi A = A - LC ’nin istenen özdeğer leri ve P( z ) ise GÖZLEYİCİ karakteristik denklemi olsun.

5


Ù

Ù

n

Ù

Ù

Ù

P( z ) = zI - A = Õ ( z - li ) = z n + a1 z n-1 + ... + an = 0

olarak yazılabilir.

i =1

Problem: gözleyicinin istenen öz değerlere sahip olabilmesi için L ne olmalıdır?

L’nin bulunması, daha önceden verilen yöntemlerden herhangi biri kullanarak yapılabilir. Ù

P( z ) gözleyici karakteristik denklem seçiminde, gözleyici cevap hızı durum

değişkenleri kestirilecek sistem cevap hızından 3~10 kat daha hızlı olacak şekilde seçilmesi tavsiye edilir.

L matris hesabı için aşağıda verilen yöntemlerden faydalanılabilinir. I-YOL i- Gözlenecek sistem karakteristik denklemi, P( z) = z n + a1 z n-1 + ... + an = 0 olmak üzere, é1 a1 ê0 1 w=ê ê. . ê ë0 0

é C ù ê CA ú ú O=ê ê ... ú ê N -1 ú ëCA û

... an -1 ù é a1 ù êa ú ... an - 2 úú 2 ve a = ê ú Karakteristik denklem katsayılarından elde edilir…. ê ... ú ... . ú ê ú ú ... 1 û êë an úû

gözlenebilirlik matris,

Ù

Ù

Ù

ii- Gözleyici karakteristik denklem P( z ) = z n + a1 z n-1 + ... + an = 0 katsayılarından

éÙù ê a1 ú êÙú Ù a = ê a2 ú elde edilir. ê ... ú êÙú êa ú ë nû -1

Ù

iii- Gözleyici katsayı matrisi L = éë wT OT ùû (a - a)

6

ifadesi ile hesaplanır.


II-YOL Ù

Ù

Ù

Olması istenen gözleyici karakteristik denklem P( z ) = z n + a1 z n-1 + ... + an = 0 olmak üzere,

L matrisi için Ackerman eşitliği, z = A için yazılır,

é C ù ê CA ú Ù ú L = P( A) ê ê ... ú ê n -1 ú ëCA û

Gözleyici katsayı matrisi

-1

é0ù ê0ú ê ú ê...ú ê ú ë1û

ifadesi ile hesaplanır.

III-YOL Durum değişkenleri kestirilecek (gözlenecek) olan sistem durum denklemleri gözlenebilir kanonik formunda ise, æ Ù ö ç a n - an ÷ çÙ ÷ Ù L = (a - a ) = ç a n -1 - an -1 ÷ ifadesi ile hesaplanır. ç .......... ÷ ç ÷ ç aÙ - a ÷ è 1 1 ø

Gözleyici katsayı matrisi

VI-YOL Ù

Tüm durum değişkenleri gözlenecek sistemde ayrık-zaman A = A - LC matrisine ait karakteristik denklem ile olması istenen gözleyici karakteristik denklemi karşılaştırılır ve katsayılar eşitlenerek durum geri besleme vektörü L elde edilir., Ù

Ù

x(k + 1) = ( A - LC ) x(k ) + Bu(k ) + Ly (k ) Ù

Ù

Ù

Ù

p( z ) = z n + a1 z n-1 + ... + a n-1 z + a n = 0 Ù

Luenberger gözleyici durum denklemi

Ù

Olması istenen gözleyici karakteristik denklemi. Ù

Ù

det( zI - ( A - LC )) = p( z ) = z n + a1 z n-1 + ... + a n-1 z + a n = 0 eşitlenir ve L katsayıları elde edilir.

7


Örnek: D(t) Bozucu (rüzgar) Rotor Kontrollu DC Makina


I

K

Vsin(wt)

R

L

Bm

C Jm

E

Uort

q

İf=sbt Anten

Ölçme

IGBT

sürücü U(t)

u(t) X1(t)

X2(t)

Akım

Hız Konum

R = 5 W , L = 200 mH , Kb = 0.1 V / rad / sn Ki = 0.1 Nm / A , n =

X3(t)

Yukarıda verilen servo sisteme ait parametreler yanda verilmiştir. Aşağıda verilen düzenekte görüldüğü

n1 1 = , J = 0.02 kgm2 n2 50

gibi Çıkış işaretini ölçerek x1 (t ) ,

x2 (t ) ve x3 (t ) durum değişkenlerini kestiriniz… D(t) Bozucu (rüzgar) Rotor Kontrollu DC Makina


K

Vsin(wt)

R

C

Uort

L

q

İf=sbt Bm

Ölçme Anten

Jm

E

y(t) Çıkış

IGBT

sürücü U(t)

Sayısal İşlemci x(t)

u(t)

Kontrol İşaret x1(t) : akım x2(t) : konum x3(t) : Hız

8


Önce sisteme ait dinamik denklemler yazılır.

Çözüm: t-domeninde

uort (t ) = Ri(t ) + L

s-domeninde

di(t ) + e(t ) dt

I (s) =

Te (t ) = Kii(t )

U ort ( s) - E ( s) Ls + R

Te (s) = Ki I (s)

e(t ) = Kb w(t )

Wm ( s ) =

dw (t ) Tm (t ) = J m + nTy (t ) dt

Te ( s) - nTy ( s) Js

E (s) = Kb W( s)

Tm (t ) = Te (t )

Tm (s) = Te (s)

dq m (t ) dt n q y (t ) = 1 q m (t ) = nq m (t ) n2 wm (t ) =

qm (s) =

Wm ( s) s

q y (s) = nqm (s)

S-domeni denklemler kullanılarak Rotor Kontrollü DC-makineye ait kontrol blok diyagram aşağıda verilmiştir.

Rotor Kontrollu DC makine

Ea (t )

e(t )

Ty (t )

i (t ) 1 Ki sL + R

1 Js

q y (t ) 1 q m (t ) n s wm (t )

Kb x3 (t )

x1 (t )

hız

akım

x2 (t ) konum

Yukarıda yazılan dinamik denklemler kullanılarak Rotor Kontrollü DC-makineye ait sürekli zaman durum denklemler aşağıda elde edilmiştir.

9


Dinamik denklemler düzenlenir uort (t ) = Ri(t ) + L Ki i(t ) = J

di(t ) + Kb w(t ) dt

dw(t ) + Ty (t ) dt

®

x1 (t ) = i(t )

akım

x2 (t ) = q (t )

konum

x3 (t ) =

®

K di(t ) R 1 = - i(t ) - b w(t ) + uort (t ) dt L L L

dw(t ) Ki n = i(t ) - Ty (t ) ve durum değişkenleri tanımlanır dt J J

dq (t ) = w(t ) Açısal hız dt

ve durum denklemleri vektör matris formunda yazılır. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

é dx1 (t ) ù ê dt ú é - R ê ú ê L ( ) dx t ê 2 ú=ê 0 ê dt ú ê ê ú ê Ki ( ) dx t 3 ê ú êë J ëê dt ûú

0 0 0

Kb ù é1ù ú ê L é x1 (t ) ù L ú ú ê ú 1 ú êê x2 (t ) úú + ê 0 ú U ort (t ) Durum denklemleri ú ê x (t ) ú ê 0 ú 0 úë 3 û ê ú ë û û

Ve Çıkış denklemi, y(t ) = q y (t ) = nqm (t )

é x1 (t ) ù y (t ) = [ 0 n 0] êê x2 (t ) úú elde edilir. Parametre değerleri yerlerine yazılır ise durum êë x3 (t ) úû denklemleri ve katsayı matrisleri elde edilir…. é dx1 (t ) ù ê dt ú ê ú é -25 0 -0.5ù é x1 (t ) ù é5 ù ê dx2 (t ) ú = ê 0 0 1 úú êê x2 (t ) úú + êê0 úú U ort (t ) ê dt ú ê 0 ûú êë x3 (t ) ûú ëê0 ûú ê ú êë 50 0 ê dx3 (t ) ú B A êë dt úû

é x1 (t ) ù y (t ) = [ 0 0.02 0] êê x2 (t ) úú C êë x3 (t ) úû

Ayrık-zaman durum denklemleri aşağıda verilen MATLAB komut yardımı ile elde edilmiştir.

MATLAB Komutu: [G H]=c2d(A,B,T)

L

, T=0.004 sn T = alınmıştır. 10 R 10


Rotor Kontrollu DC makinaya ait,

é x1 (k + 1) ù é0.9047 0 -0.0019ù é x1 (k ) ù é 0.019 ù ê x (k + 1) ú = ê 0.0004 1 0.004 ú ê x (k ) ú + ê 0 ú u (k ) ê 2 ú ê úê 2 ú ê ú êë x3 (k + 1) úû ëê 0.1903 0 0.9998 ûú ëê x3 (k ) ûú ëê0.0019 0.00 9úû 0.0 G

durum ve

H

é x1 (k ) ù y (k ) = [ 0 0.02 0] êê x2 (k ) úú çıkış denklemleri elde edilir. êë x3 (k ) úû

Gözlenebilirlik testi:

Sistem matrisi 3x3 tür, n=3 alınır.

æ ç ç ç [0 0.02 ç æ C ö é0.9047 ç ÷ æ C ö ç CA ç ç ÷ ÷ = CA = [ 0 0.02 0] ê 0.0004 O =ç ê ç ... ÷ çç 2 ÷÷ çç Gözlenebilirlik Matrisi çç n -1 ÷÷ è CA ø ëê 0.1903 ç è CA ø ç é0.9047 ç ê ç [ 0 0.02 0] ê 0.0004 ç êë 0.1903 è 0 0.02 0 æ ö ç ÷ O = ç 0.000008 0.02 0.00008 ÷ ç 0.00003046 0.02 0.000156 ÷ è ø

0] 0 1 0 0 1 0

ö ÷ ÷ ÷ ÷ -0.0019ù ÷ ÷ 0.004 úú ÷ 0.9998 ûú ÷ ÷ 2 -0.0019ù ÷ ÷ 0.004 úú ÷ 0.9998 úû ÷ø

rank (O) = 3 tüm durumlar gözlenebilir…..

Çıkış işareti ölçülerek akım, konum ve hızı kestirilecek olan Rotor Kontrollü DC-makineye ait karakteristik denklem, ì é z 0 0ù é0.9047 0 -0.0019 ù ü z - 0.9047 ï ï F ( z ) = det( zI - G) = 0 = det í êê0 z 0 úú - êê0.0004 1 0.004 úú ý = -0.0004 ï ê0 0 z ú ê 0.1903 0 0.9998 ú ï -0.1903 û ë ûþ îë

0

0.0019

z -1

-0.004

0

z - 0.9998

=0

F ( z) = z 3 - 2.9045z 2 + 2.8094 z - 0.9049 = 0 Rotor Kontrollü DC-makine’ ye ait karakteristik denklem,

Karakteristik denklem kökleri, öz değerler, z1 = 1 z2 = 0.9958 z2 = 0.9086

11


Gözleyici karakteristik denklemi:

Gözlenecek sistem zaman sabiteleri, Seçilen gözleyici karakteristik kökleri

Sistem karakteristik denklemleri:

z1g = 0.25

z1 = 1 z2 = 0.9958

z2 g = 0.249

z3 = 0.9086

z3 g = 0.2271

zng = 0.25zn

yapılmıştır.

Ù

P( z ) = ( z - z1g )( z - z2 g )( z - z3 g ) = ( z - 1)( z - 0.249)( z - 0.2271) = 0 Ù

P( z ) = z 3 - 1.4761z 2 + 0.5326 z - 0.0565 = 0 Gözleyici Karakteristik denklem…. Ackerman Formülü ile hesap:

0 0.02 0 æ ö ç ÷ O = ç 0.000008 0.02 0.00008 ÷ elde edilmişti… tersi alınır ise ç 0.00003046 0.02 0.000156 ÷ è ø æ 69106.7 -1.38240.4 69133.7 ö ç ÷ O =ç 50 0 0 ÷ olarak elde edilir… ç -199410.6 263240.4 6913.3 ø÷ è -1

Ù

Ù

P( z ) = z 3 - 1.4761z 2 + 0.5326 z - 0.0565 = 0 karakteristik denkleminde z = G yazılır ve P(G ) elde edilir. 3

é0.9047 0 -0.0019ù é 0.9047 Ù ê ú P(G ) = ê 0.0004 1 0.004 ú - 1.4761 êê 0.0004 êë 0.1903 0 0.9998 úû êë 0.1903 é0.9047 0 -0.0019ù é1 ê ú + 0.5326 ê 0.0004 1 0.004 ú - 0.0565 êê 0 êë 0.1903 0 0.9998 úû êë0

é -0.0428 0 -0.0008ù P(G ) = êê 0.0013 0 0.0023 úú êë 0.0844 0 -0.0006 úû Ù

12

0 -0.0019ù 1 0.004 úú 0 0.9998 úû 0 0ù 1 0úú = 0 0 1 úû

2


é C ù ê CG ú Ù ú L = P(G ) ê ê ... ú ê n -1 ú ëCG û

-1

é0ù ê 0 ú é -0.0428 0 -0.0008ù æ 69106.7 -1.38240.4 69133.7 öæ 0 ö ÷ç ÷ ê ú = ê 0.0013 0 0.0023 ú ç 50 0 0 ÷ç 0 ÷ ç ê ú ê...ú ç ÷ç 1 ÷ 6913.3 øè ê ú êë 0.0844 0 -0.0006 ûú è -199410.6 263240.4 ø ë1û

é -2950.8ù L = êê 71.4 úú Gözleyici kazanç matrisi elde edilir… êë 5830.2 úû MATLAB komutu ile tasarım: z1=1; z2=0.9958; % Gözlenen sistem karakteristik denklem kökleri. z3=0.9086; ---- Gozleyici tasarim ...................... po=0.25*[z1 z2 z3]; %Gözleyici istenen karakteristik denklem kutupları [L]=place(G',C',po)' %Gözleyici kazanç matrisi L hesabı

13


D(t) Bozucu (rüzgar) Rotor Kontrollu DC Makina


K

Vsin(wt)

C

İf=sbt

L

R Uort

q Ölçme

Bm

Anten

Jm

E

y(t) Çıkış

IGBT

sürücü U(t)

Kontrol u(t) işareti

ADC

Sayısal İşlemci Gözleyici

0.019 0

H

ADC

L y(k)

0.0019

x(t)

-2950.8 71.4 5830.2

z-1I

x1(t) : akım x2(t) : konum x3(t) : Hız

e

G

y(k)

0.9047 0 -.0019 0.0004 1 0.004 0.1903 0 0.9998 C

[0

0.02 0

]

Gözleyici ile rotor kontrollü DC makine durum değişkenlerinin kestirilmesi….. Durum gözleyiciye ait ayrık-zaman durum denklemi aşağıda verilmiştir. Ù

Ù

Ù

x(k + 1) = A x(k ) + Bu(k ) + L[ y(k ) - C x(k )]

éÙ ù éÙ ù éÙ ù + ( 1) ( ) x k x k ê x1 (k ) ú ê 1 ú é0.9047 0 -0.0019 ù ê 1 ú é0.019 ù é -2950.8ù êÙ ú ê ú ê xÙ (k ) ú + ê 0 ú u (k ) + ê 71.4 ú [ y (k ) - 0 0.02 0 ê xÙ ( k ) ú ] 004 ( 1) 0.0004 1 0. + = x k [ ]ê 2 ú ê 2 ú ê ê ú úê 2 ú ê ú êÙ ú êÙ ú ê 0.1903 0 0.9998 ú ê Ù ú êë 5830.2 úû û ê x (k ) ú êë0.019 úû ê x3 (k ) ú ê x3 (k + 1) ú ë 3 ë û ë û ë û

Aşağıda verilen kontrol işaret ve bozucu girişleri için benzetim çalışması yapılmıştır.

14


Benzetim çalışması sonucunda , gözleyici ile kestirilen durum değişkenleri ile gerçek zaman durum değişkenlerinin zamana göre değişimleri aşağıda sırası ile verilmiştir.

Gerçek zaman ve kestirilen hız

15


Gerçek zaman ve kestirilen konum

Gerçek zaman ve kestirilen akım

16


SONLU ZAMAN KONTROL (DEADBEAT CONTROL) Sonlu zaman kontrol yalnızca ayrık-zaman sistemlere uygulanabilir. Sürekli-zaman sistemleri için böyle bir sonlu zaman cevap (deadbeat response) yoktur. Sonlu zaman kontrolde, skaler kontrol genliği u(k) sınırlandırılmamış ise, herhangi bir sıfır olmayan hata vektörü en fazla n-örnekleme periyodunda sıfır yapılır. Eğer örnekleme periyodu T çok küçük seçilir ise, yerleşme zamanı çok küçük olur, buda kontrol işaret genliğinin çok aşırı derecede büyük olmasını gerektirir. Aksi takdirde, hata cevabını çok kısa sürede sıfıra getirme imkanı olmaz. Sonlu zaman kontrol de örnekleme periyodu, tek tasarım, parametresidir. Bundan dolayı, sonlu-zaman cevap isteniyor ise, sistemin normal çalışma koşullarında çok aşırı büyük kontrol işaret genliği gerektirmemesi için tasarım ve örnekleme periyodu çok dikkatli seçilmelidir. Fiziksel olarak kontrol işaret genliğini sınırsız büyütme imkanı yoktur. Genlik, yeteri kadar arttırıldığında doyum olayı her zaman gerçekleşir. Kontrol işaret genliğinde doyum olayı gerçekleştiği zaman, cevap artık sonlu-zaman cevap olmaz. Gerçek sonlu-zaman sistem tasarımında , tasarımcı kontrol işaret genliği ve cevap hızı arasında bir tercih yapmak zorundadır. Sonlu-zaman cevabı: x(k + 1) = Ax(k ) + Bu(k ) ile tanımlanan sistemi göz önüne alalım.

Durum geri-besleme u(k ) = -Kx(k ) olmak üzere; x(k + 1) = Ax(k ) + BKx(k ) Þ x(k + 1) = ( A - BK ) x(k )

bu denklemin çözümü

x(k ) = ( A - BK )k x(0) dır.

Eğer (A-BK) matrisinin özdeğerleri li , i = 1,2,..., n birim daire içinde iseler, sistem asimtotik olarak kararlıdır ve (A-BK) nın bütün özdeğerlerini sıfır seçerek, li = 0 sonlu zaman cevap elde etmek mümkündür. Sonlu-zaman cevapta yerleşme zamanı nT den küçük veya eşittir. Sonlu zaman kontrolde olması istenen karakteristik denklem, F ( z ) = z n dir. ÖRNEK:

d 2 y (t ) = u (t ) , diferansiyel denklemi ile verilen sistemin dt 2 i) Ayrık-zaman durum denklemlerini matris formunda yazınız. ii) Sonlu-zaman(deadbeat) kontrol için durum geri-besleme vektörü ‘’f’’ matrisini bulunuz.

1


CEVAP: Sürekli zaman durum denklemlerinin elde edilmesi;

y (t ) = x1 (t ) dy (t ) dx (t ) = x2 (t ) = 1 dt dt æ ö dx (t ) d ç dy (t ) ÷ = u (t ) Þ 2 = u (t ) ç ÷ dt ç dt ÷ dt x t ( ) è 2 ø A B é dx1 (t ) ù ê dt ú é0 1 ù é x1 (t ) ù é0ù ê ú=ê ú + ê ú u (t ) úê ê dx2 (t ) ú ë0 0 û ë x2 (t ) û ë1 û ëê dt ûú

é ù é x (t ) ù y (t ) = ê1 0 ú ê 1 ú êë C úû ë x2 (t ) û

i) Ayrık-zaman durum denklemi; Ayrık zaman durum denklemi çözümü kT

x [ (k + 1)T ] = f (T ) x(kT ) + ò f (l ) Bu (l )d l 0

Vektör-matris formunda

x [(k + 1)T ] = f x(kT ) + Bu(kT ) -1

f = f (T ) =

é1 T ù éë( sI - A)-1 ûù = ê ú t =T ë0 1 û

é T é1 l ù ù b = êò ê ú dl ú B 0 1 ë û û ë0 é l =ê ê êë 0

l2 ù

T

é0ù 2 úú ê ú 1 l úû ë û

veya

T ì é1 l ù é 0 ù ü b = ò íê ú ê1 ú ýd l 0 1 ë û ë ûþ 0î T

él2 ù éT 2 ù l é ù ise b = ò ê úd l = ê 2 ú = ê 2 ú ê ú ê ú 1 0 ë û ëê l ûú 0 êë T ûú T

2


é T ê = ê êë 0

éT 2 ù T2 ù 0 ê ú úé ù 2 úê úÞb = ê2 ú 1 T úû ë û êë T úû

-------------------------------------------------------------------------------------------------

Diğer yol ile çözüm…. é1 T ù ú olarak hesaplanmıştı…. ë0 1 û

f (T ) = ê

é T - At ù é1 T ù é T é1 -t ù ù é0ù g (T ) = f (T ) ê ò e dt ú B = ê ú êò ê údt ú ê ú ë 0 1 û ë 0 ë 0 1 û û ë1 û ë0 û 2 Tù éé ù t é1 T ù ê êt - ú ú é0ù =ê 2 úê ú úê ë0 1 û ê êê0 t úú ú ë1 û û0 û ëë

é é1 T ù êT =ê ú ë0 1 û êê 0 ë

-

T2 ù ú é0ù 2 úê ú 1 T úû ë û

é T2 ù é1 T ù ê - ú =ê 2 ú ë0 1 û êê T úú ë û é 2 T 2 ù éT 2 ù T - ú ê ú =ê 2 ú=ê 2 ú ê ëê T ûú ëê T ûú

---------------------------------------------------------------------------------------------------é é x1 [ (k + 1)T ] ù é1 T ù é x1 (kT ) ù ê T ê ú=ê ú+ê2 úê ë x2 [ (k + 1)T ]û ë0 1 û ë x2 (kT ) û ê T ë

2

ù ú u (kT ) ú ûú

Ayrık zaman karakteristik denklemini yazarsak; p( z ) = zI - f =

z -1

T

0

z -1

= z 2 - 2 z + 1 = z 2 + a1 z + a2 açık çevrim karakteristik

denklem ve denklemden, a1 = -2 a2 = 1 olduğu görülür. 3


Ù

p( z ) = z 2 = z 2 + a1 z + a2 istenen karakteristik denklem. Katsayılar a1 = a2 = 0 dır. éT 2 é1 a1 ù é1 -2ù ê w=ê ú = ê0 1 ú ve s = [b f b ] = ê 2 0 1 ë û ë û êë T

éT 2 3T 2 ù ê2 T T ú 2 ú w s =ê 2 êT T úû êë 2

ù T ú ú ú -T ú û

Ù é0ù é -2ù é 2 ù (a - a) = ê ú - ê ú = ê ú ë0û ë 1 û ë -1û

é 1 êT 2 f = wT sT (a - a ) = ê ê 1 ëê 2T Ù

1 ù é 1 ù 2 ú êT 2 ú T ú Þ durum geri-besleme matrisi, f = ê ú olarak elde edilir. -1 ú ê 3 ú êë 2T ûú 2T ûú

Kapalı çevrim sistem matrisi; éT 2 ù é1 T ù ê ú é 1 T f - bf = ê ú- 2 ê 2 ë0 1 û êê T úú ë T ë û

é1 3 ù ê2 =ê 2T úû ê -1 ëê T

T ù 4ú ú -1 ú 2 ûú

Kapalı çevrim karakteristik denklemi;

Ù

p( z ) = zI - f + bf T

é 1 êz - 2 =ê ê 1 ëê T

T ù 4 ú 2 ú=z 1 z+ ú 2 ûú -

Kontrol işareti u(kT) yi inceleyelim;

é1 u (kT ) = - f T x(kT ) = - ê 2 ëT

3 ù é x1 (kT ) ù é x1 (kT ) ù é1ù ; T = 2 úû êë x2 (kT ) úû êë x2 (kT ) úû êë1úû

K=0;

é1 u (0) = - ê 2 ëT

3 ù é x1 (0) ù é1 Túê = -ê 2 ú 2 û ë x2 (0) û ëT

3 ù é1ù 1 3T T ú ê ú => u (0) = - + T 2 2 û ë1û

K=1;

NOT

4


x [ (k + 1)T ] = éëf - bf T ùû x(kT )

u (1) = - f T x(T )

k =0

= - f T éëf - bf T ùû x(0) é1 T ù 1 3 é ùê 2 4 ú é1ù = -ê 2 Túê ú 2 û ê -1 -1 ú êë1úû ëT êë T 2 úû 1 1 u (1) = 2 x1 (0) + x2 (0) 2T T

x(T ) = éëf - bf T ùû x(0) k = 1; x(2T ) = éëf - bf T ùû x(T ) x(2T ) = éëf - bf T ùû éëf - bf T ùû x(0) 2

x(2T ) = éëf - bf T ùû x(0 ... n

x(nT ) = éëf - bf T ùû x(0)

K=2;

u (2T ) = - f T x(2T ) 2

= - f T éëf - bf T ùû x(0) u (2T ) = 0

u(t)

1 - e sT s

u(t)

1 s

K2 K1

5

1 s

x1 (t ) Konum

Hız

Sayısal İşlemci u(k)

x2 (t )

q (t )


6


7


8

Dijital Kontrol Sistemleri - Sakarya Üniversitesi Doç.dr. Ayhan Özdemir Ders Notları.

Recommend Documents