Otomatik Kontrol Sistemleri - Sakarya Üniversitesi 2014 Final Soruları

Otomatik Kontrol Final Sınavı S.1)Açık çevrim transfer fonksiyonu G( z ) H ( z )  K

09.06.2014

z  0.5 olarak verilen sistem için, z 2  1.2 z  0.4

i) 0
Açık çevrim transfer fonksiyonuna ait: Kutuplar

Sıfırlar

p1  1.4718

z1  0.5

p2  0.2718

z2  

--------------------n  2 Kutup sayısı.

----------------------m  1 Sıfır sayısı.

n  m  2  1  1 adet asimtod vardır. Asimtodların reel eksen ile yaptıkları açı:   

 nm

(2k  1) ile hesap edilir. Bir adet asimtot olduğu için k  0 için bir adet

asimtot açısı hesap edilir.



 1

(2*0  1) ise   

dir.

(Not: k’ya farklı bir değerde verilse bile , k=1   3 veya k=-1    gibi. Görüldüğü gibi k’ya hangi değer verilirse verilsin aynı açı çıkar. Bir adet asintok olduğu için k’ya tek değer verilir. Basit olması için k=0 verilebilir.) Asimtodların reel ekseni Kesme noktası:



 sonlu kutuplar   sonlu ksıfırlar  1.4718  (0.2718)  (0.5) nm

  1.7 Kopma noktaları;

1

dG ( z ) H ( z ) 0 dz

d z  0.5 (K 2 )0 dz z  1.2 z  0.4

köklerinden kopma noktaları elde edilir.

dan

 2  z  1.2 z  0.4  (2 z  1.2 z )( z  0.5)    K  0 dan 2 2     z 1.2 z 0.4     Bu denklemin Kökleri : -1,171 ve 0.171 olarak bulunur.

z 2  z  0,2  0

denklemi elde edilir.

Yer eğrisinin birim çemberi kesme noktaları karakteristik denklem köklerinin kritik kazanç değeri için hesaplanması ile elde edilebilir. z  0.5 karakteristik denklem: F ( z )  1  G ( z ) H ( z )  1  K 2  0  F ( z )  z 2  ( K  1, 2) z  0,5 K  0, 4  0 z  1.2 z  0.4 Jurry kararlılık testi ile gerek koşullar:

F( 1)  0  1  K  1,2  0,5K  0,4  0  K  0,4 ( 1)2 F( 1)  0  1  1,2  K  0,5K  0,4  0  K  3.6 Yeter koşul:

an  a0  1  0,5K  0,4

 1.2  K  2.8

0.4  K  2.8 elde edilir. Her iki değer için birim daireyi K s  K  2.8 alınarak, Karakteristik denklemde K  K s yerine koyulur.

Sistemin kararlı olabilmesi için her üç koşulun sağlandığı bölge: kesme noktaları:

1

F ( z )  z 2  (2.8  1, 2) z  0,5 * 2.8  0, 4  0 F ( z )  z 2  1, 6 z  1  0 denklemin kökleri hesap edilir. z1,2  0.8  0.6 j birim çemberi kesme noktaları elde edilir. olarak bulunur.

K 

z1  0.5 p2  0.2718

p1  1.4718

  1.7

S.2) Açık çevrim transfer fonksiyonu G ( s ) H ( s) 

K olarak verilen bir DC-motorun konum kontrolü yapılacaktır Açık s ( s  1)

çevrim kazancı K=0.6 ve zaman sabiti  = 0.2s ve Gc ( s )  K p (oransal kontrolör) olmak üzere; i) Sistemin kapalı çevrim kontrol blok diyagramını çiziniz. ii) Basamak giriş için sistemin %16.3 aşım(=0.5) ve %2 kriterine göre yerleşme zamanının ts=1.6s olması istendiğine göre K p değerini hesaplayınız. iii) Sistemin basamak ( r (t )  u (t ) )ve rampa giriş ( r (t )  tu (t ) ) için sürekli-hal hatalarını hesaplayınız.

C.2.

G( s )H( s ) 

K s( τs  1 )

i) Kapalı – Çevrim Kontrol Blok diyagram:

θref ( s )

Kp

θ( s ) K s( τs  1 )

ii)

KpK / τ KÇTF 

θ( s )  θref ( s )

KpK / τ s( s  1 / τ )  K K 1 s( s  1 / τ )  K p K 1 p τ s( s  1 / τ )

Değerler yerine konularak;

2

KÇTF 

3K p s  5s  3K p 2

İkinci dereceden birim geribeslemeli bir sisteme ilişkin kapalı çevrim transfer fonksiyonu eşitliğinden faydalanılarak

3K p wn 2 wn 2 2 ise 3K p  wn  K p   3 s 2  2ξwn s  wn 2 s 2  5s  3K p İstenen %2 yerleşme zamanından, t s 

Kp 

52 ise 3

olmalıdır.

4 4  1.6  wn   5 bu değer yukarıda yerine koyulur ise. ξwn 1.6 0.5

K p  8,33 olarak bulunur.

iii) Birim geribeslemeli sistem için hata fonksiyonu A-YOLU

ε( s ) 

R( s ) R( s ) R( s )  ve son değer teoremi yardımıyla Sürekli Hal Hatası ess  lim s s 0  1  A.Ç.T .F 1  G( s ) 1  A.Ç.T .F

A.Ç.T .F  G( s ) 

25 s( s  5 )

O halde birim basamak giriş için,

ess  lim s s 0

1/ s s( s  5 )  lim 2 0 s 0 s  5s  25 25 1 s( s  5 )

Rampa giriş için

ess  lim s s 0

1 / s2 s5  lim 2  0,2  %20 s 0 s  5s  25 25 1 s( s  5 )

B-YOLU Basamak giriş için sürekli hal hatası:

G( 0 ) 

εss 

25  K p  G( 0 )   0( 0  5 )

Basamak Rampa için sürekli hal hatası:

K v  lim s s 0

25 s ( s  5 )

1 ve konum hata katsayısı: K p  G( 0 ) dır. 1 Kp

εss 

εss 

R  Basamak giriş için SHH εss  0 1 

1 KV

K v  lim sG( s ) dır. s 0

K v  5 olarak elde edilir ve εss ifadesinde yerine koyulur.

0

1 εss   εss  0.2  %20 dir. 5

3

Bilgi Amaçlı:

θref ( s )

+-

θ( s ) K s( τs  1 )

Kp

Kapalı Çevrim Kontrol sistemi

Birim Basamak giriş ve cevap

Birim rampa giriş ve Cevap

4

S.3)

a)

C ( z) Ayrık‐zaman kapalı çevrim transfer R( z )

fonksiyonunu elde ediniz. b) Gc ( s)  0.025 G ( s ) 

e s H ( s )  1 T  1 sn ve s 1

r (t )  10u (t ) olmak üzere C ( z )  ? elde ediniz.

c)

ediniz.

C.3.

a)

b)

C (k )  ? elde ediniz. C (5)  ? değerini hesap

Gc ( z )Gs ( z ) C( z )  R( z ) 1  Gc ( z )Gsh ( z )  1  e  sT  Gs ( z )  z  G( s )  s 

 1  e  sT  Gsh ( z )  z  G( s )H( s )  s 

G(s) ve H(s) arasında örnekleyicinin bulunmadığına dikkat edilmelidir! Dolayısıyla

Gs ( z )  Gsh ( z )

Gc ( s )  0,025  1  e  sT e  s  1  0,632 1 1  Gs ( z )  Gsh ( z )  z    ( 1  z )z z    s  1 T 1  s( s  1 ) T 1 z( z  0,368 )  s 0,632 0,025 C( z ) 0,0158 0,0158 z( z  0,368 )   2  C( z )  2 R( z ) 0,632 R( z ) 1  0,025 z  0,368z  0,0158 z  0,368z  0,0158 z( z  0,368 ) 0,0158 z C( z )  Olarak elde edilir ( z  0,32 )( z  0,05 ) z  1 c) Rezidü yöntemi kullanılarak;

c( k )  ( z  0,32 ) ( z  0,32 )

c( k ) 

0,0158z 0,0158z z k 1 z k 1  ( z  0,05 )  ( z  0,32 )( z  0,05 )( z  1 ) ( z 0,32 )( z 0,05 )( z 1 )    z 0 ,32 z 0 ,05

0,0158z z k 1 ( z  0,32 )( z  0,05 )( z  1 ) z 1

5,056.10 3 .3,125 7,9.10 4 .20 0,0158 k 0,32k  0,05k  1 0,27.( 0,68 ) ( 0,27 )( 0,95 ) 0,68.0,95

c( k )  0,086.0,32k  0,062.0,05 k  0,025.1k c( 5 )  0 ,025 olarak elde edilir. 5

S.4)

Yanda verilen yay ve sönümlendirici sisteminde alan kontrollü DC makine ile pozisyon kontrolü yapılmaktadır. Disk ve motora ait atalet ve sürtünmeler ihmal edilmektedir ( J m  Bm  0 ). a) Sisteme ait dinamik denklemleri yazınız. Kontrol blok diyagramını elde ediniz.

yx  x(t) (ölçülen konum) b) yr referans konum girişi ve Gc (z) ayrık‐ zaman kontrolör olmak üzere, ayrık‐zaman sayısal kapalı çevrim kontrol blok diyagramını çiziniz. C.4. a)

e( t )  Ri( t )  L

E( s )  RI( s )  sL I( s )  I( s ) 

di( t ) dt

Tm ( s )  K i I( s )

Te ( t )  K i i( t )

Tm ( s )  F( s ).r

Tm ( t )  Tt ( t )

F( s )  BsX ( s )  K .X ( s ), m  0

Sürekli rejimde;

Te ( t )  Tm ( t )

Giriş E(s), çıkış X(s) olduğuna göre

Tm ( t )  F( t ).r

X( s ) 

F( t )  kx( t )  B

E( s )

dx( t ) dt

1 R  sL

F( s ) Bs  K

Olarak bulunur.

I( s )

Ki

T(s) m

1 r

F( s )

1 Bs  K

X( s )

Sistem Kontrol Blok Diyagramı

b)

Yr ( z )

E( s ) R  sL

Gc ( z )

ZOH

Ki r( Bs  K )( R  sL )

6

X( s )

Otomatik Kontrol Sistemleri - Sakarya Üniversitesi 2014 Final Soruları

Recommend Documents