KONTROL SİSTEMLERİ – II BÖLÜM – 1 GİRİŞ 1.1. Dijital Kontrol Sistemlerinin Tanıtılması 1.2. Sayısal Sistem: 1.3. Küçük Doğru Akım Motorlarının Hız ve Konum Kontrolünü Yapan Dijital Bir Sistem 1.4. Kağıt Endüstrisinde Kağıdın Kalınlık, Rutubet Ve Ağırlığını Kontrol Eden Sistem BÖLÜM-2 DİJİTAL KONTROL SİSTEMLERİNİN MATEMATİK MODELLERİ 2.1.Örnekleme: 2.2. SAYISAL ÇÖZÜMLEMELER 2.2.1. İterasyon yöntemi: 2.1.2. Sayısal İntegral 2.1.3. Sayısal Türev a. Geri fark yöntemi b. İleri fark yöntemi c. Merkezi fark yöntemi 2.3. Diferansiyel Denklemlerin Ayrık Zamanda Yazılışı 2.4. Fark Denklemleri 2.5.Fark Denklemlerinin Bilgisayarla Çözümü 2.6. Fark Denklemlerinin Çözümü 2.7. z Dönüşümü 2.8. z Dönüşümünün Özellikleri 2.9. Seçilmiş Bazı z Dönüşüm Çiftleri 2.10. Ters Z Dönüşümü 2.11. Fark Denklemlerinin z dönüşümü ile çözümü 2.12. Transfer Fonksiyonu 2.13. Transfer Fonksiyonu Verilen Sistemin Cevabını Bulma 2.14. Sinyal Akış Şemaları 2.15. Ayrık Zamanda Durum Denklemleri 2.16. Ayrık Zamanda Doğrusal ve Zamanla Değişmeyen Sistemle İçin Durum Denklemleri: 2.17. Durum Denkleminden Transfer Fonksiyonuna Dönüşüm 2.18. Transfer Fonksiyonundan Fark Denklemine Dönüşüm 2.19. Fark Denkleminden Durum Denklemine Dönüşüm 2.20. Durum Uzay Diyagramları 2.21. Blok Diyagramından Durum Denklemi Çıkartılması: 2.22. Durum Denklemlerinin Çözümü 2.23. Analog Sistemlerin Sayısala Dönüşümü 2.24. Sürekli Sistem Durum Denklemlerinden Zamanla Değişmeyen Ayrık Sistemlerin Durum Denklemlerine Geçiş BÖLÜM-3
İŞARETLERİN ÖRNEKLENMESİ VE YENİDEN SÜREKLİ İŞARETE ÇEVRİLMESİ 3.1. Fiziksel ve İdeal Örnekleyici 3.2. Örneklenmiş İşaretin Kompleks Konvolüsyonla Elde Edilmesi 3.3. İdeal Örnekleyici 3.4. E*(s)Bulunması BÖLÜM-4 KAPALI ÇEVRİM DİJİTAL KONTROL SİSTEMLERİ 4.1. Giriş 4.2. Kapalı Çevrim Dijital Kontrol Sistemleri Blok Diyagramları SAYISAL KONTROL SİSTEMLERİNİN ANALİZİ 5.1. Sayısal Kontrol Sistemlerinin Analizi 5.2. Temel Kontroller BÖLÜM-6 KAPALI ÇEVRİM DİJİTAL KONTROL SİSTEMELERİNİN STABİLİTESİ 6.1. Kararlılık Analizi UYGULAMALAR MATLAB UYGULAMALARI
1.1. Dijital Kontrol Sistemlerinin Tanıtılması Dijital Kontrol Sistemleri, kullandıkları işaretler bakımından normal ya da alışılagelmiş kontrol sistemlerinden farklılıklar gösterir. Alışılagelmiş kontrol sistemler, kontrol sistemin tümünde sürekli (analog) işaretler kullanır. Dijital kontrol sistemlerinde, kontrol düzeninin bir kısmında ya da tümünde zamanda süreksiz işaretler (discrete-in-time signals), darba (pulse) şeklinde işaretler vardır. Pratikte kullanılan dijital kontrol sistemlerindeki işaretler, sürekli işaretler, örneklenmiş işaretler (sampled data), kontrol sisteminde kullanılan sürekli işaretlerin darbe dizisi (pulse-train or impulse-train) ile modüle edilmesi sonucu elde olunan ve değeri örnekleme anlarında sürekli işarete eşit olan, darbe dizisi şeklinde süreksiz işaretlerdir. Bilindiği gibi kontrol sistemlerinde en az bir geri besleme devresi bardır. Sistemde, kontrol edilen büyüklük, kontrol edilen büyüklüğün izlediği bir referans büyüklük ve bu iki büyüklük arasındaki farktan oluşan bir hata büyüklüğü vardır. Çoğunlukla çıkış adı verilen kontrol edilen büyüklük, hataya bağlı olarak sistem tarafından kontrol edilir ve değiştirilir. Kontrol sistemi tasarımında, hatanın sürekli hal değeri, sistemin geçici hal davranışı, sistemin parametre değişmelerine göre az duyar olması ve bozucu dış ve iç işaretlerden etkilenmemesi vb. kriterler göz önüne alınır. Bu kriterleri göz önüne alarak kontrol probleminin çözmek işlem ise 1) Sistemin matematik modelinin kurulması, 2) Tasarım kriterlerini gerçekleştirecek biçinde, algılayıcı (sensors), kontrolör ve karşılaştırma elemanlarının belirlenmesi ve sonuç olarak kontrol edilen sistemin sürülmesi (çalıştırılması) dır. Açıklanan bu kriterler ve tasarım yöntemleri göz önüne alındığında, dijital kontrol sistemlerinin alışılmış (normal) kontrol sistemleri üzerinde aşağıda belirtilen özelliklerde büyük üstünlükler sağladığı görülür: 1. Dijital kontrol sistemleri daha güvenilirdir.
2. Kontrol edilen çıkış büyüklüğü giriş büyüklüğünü daha büyük duyarlıkla (daha küçük hata ile) izler. 3. Sistem parametre değişimlerine daha az duyarlıdır. 4. Dış ve iç bozucu etkilerden daha az etkilenir. 5. Mikroelektronik ve mikrobilgisayarlarda meydana gelen son teknolojik değişmeler nedeni ile dijital kontrol sistemlerindeki kontrol ediciler daha hafif, küçük ve ucuzdur.
1.2. Sayısal Sistem:
f(k) = Sin (22,5) k f(t) = Sin(5t)
Bilgisayarlar toplama, çarpma ve integral alma işlemini sayısal olarak yaptıklarından, giriş işaretlerinde genlikleri saylarla ifade edilen darbe dizisi şeklinde olması gerekir. A/D çevirici sürekli işareti bilgisayarda kullanılabilecek kodlanmış işarete çevirir. D/A ise bilgisayardaki işaretleri sürekli işarete çevirir.
1.3. Küçük Doğru Akım Motorlarının Hız ve Konum Kontrolünü Yapan Dijital Bir Sistem Konum kontrolü, hız kontrolü ve başlangıç konumu kontrolu yapan, küçük güçlü bir doğru akım motoru kullanan, bir dijital kontrol sistemi şekil ‘de gösterilmiştir. Bu dijital kontrol sisteminde a. Konum kontrolü, yükün atalet momentini değiştiğinde, uygun bir hız yörüngesinin otomatik olarak seçilmesi ile yapılır. b. Hız kontrolü, orantı-integral ve türev alan kontrolör yardımı ile uygun bir hız-moment karakteristiği elde edilerek yerine getirilir. c. Sistem enerjilendiğinde otomatik olarak başlangıç konumuna gelir, ya da durma halinde sistem tekrar çalışacak duruma gelir. Anılan kontrol sistemi fotokopi makinalarında, word processors’lerinde, printerlerde ve robotlarda kullanılır. Hızı darbe dizisi şeklinde algılayan motor miline bağlı disk bir dönmede 500 darbe verebilir. Doğru akım motorunu süren devre 2 kHz de çalışan bir chopperdir (kıyıcıdır).
1.4. Kağıt Endüstrisinde Kağıdın Kalınlık, Rutubet Ve Ağırlığını Kontrol Eden Sistem Kağıt endüstrisinde, kağıdın parlak, homojen ve kaliteli olması için bilgisayarlı kontrol sistemi kullanılır. Bu da, dijital kontrol sistemlerinin uygulandığı bir alandır. Kalınlık, rutubet be ağırlığı kontrol etmek için önce bunları algılamak ve darbe dizisi haline getirerek uygun genliklerle bilgisayara girmek gerekir. Bilgisayarı referans kağıt kalınlığı, ağırlığı ve rutubetiyle gerçek değerleri karşılaştırır ve kontrol işaretlerini veriri. Şekil ‘de sistemin blok diyagramı gösterilmiştir.
Şekil1.4. : Kağıt fabrikalarında kağıdın kalınlık, ağırlık ve rutubetini kontrol eden dijital sistemin basit blok diyagramı
2.1.Örnekleme: f(t) = Sin 5t ifadesi zamana bağlı bir sinyal, sürekli zaman sinyali:
f (t0) = Sin 5 t0 f (t1) = Sin 5 t1 t0 t1 t2 t3 0 0,2 0,4 0,6 K = 0, 1, 2, ... tk = K.T T = O,2 sn = t1 – t0 = t2 – t1 = t3 – t2 f ( tk ) = Sin 5 ( tk ) – f ( 0 ) = Sin 5. 0. 0,2 f ( KT ) = Sin 5 K.T f ( 1, T ) = Sin 5. 1. 0,2
T = Örnekleme peryodu – f ( 0,2 ) = Sin 1 f ( 2, T ) = Sin 5. 2. 0,2 – f ( 0, 4 ) = Sin 2
Örnek : u ( K ) = ( 1 )k k ? 0
K daima sıfırdan büyük seçilir. u ( k ) 0 anki örnek.u ( k + 1 ) bir sonraki örnek u ( k – 1 ) bir önceki örnek. Analog sinyaller, sayısal sinyale dönüştürülebilir.
Örnekleme frekansın en az 2 katı olmalıdır. Örnekleme fazla alınırsa bilgisayarda fazla yer kaplar ve bilgisayarın hızı düşer. Örnekleme peryodunu küçük tutmak iyidir.
2.2.1. İterasyon yöntemi: x–f(x)=0 Lineer olmayan bazı sistemlerin analitik çözümünün yapılması zordur. Ancak lineer olmasa bile sayısal sistemde çözümü yapılır. x ( k+1 ) = f ( x ( k ) ) Ayrık zamanda yeni bir kök bulmak için | x ( k+1 ) – x ( k ) | < ? ise x ( k+1 ) › köktür. Örnek: x – ( 5 + Sin ( 2x ) ) C dilinde çözüm: # define f ( x ) ( 5 + Sin ( 2 * x ) ) float x [ 200 ], e : int k; main ( ) {
scanf ( “ % f, % f “ , & x [ 0 ], & e ); for ( k = 0 ; k < 200, k++ ) { x [ k+1 ] = f ( x [ k ] ) if ( fabs ( x [ x+1 ] – x [ k ] < e ) ) printf ( “ kök = % f “ , x [ k+1 ]; } Basic dilinde çözüm: INPUT “ Bir değer giriniz “ , y INPUT “ Hassasiyeti giriniz “ , E 10. x = 5 + Sin ( y ) IF ABS ( x -y ) < E THEN GOTO 20 y=x
GOTO 10 20. PRINT “Sonuç = “ ; x
2.1.2. Sayısal İntegral Eğrinin kaplanmış olduğu alanı ifade eder.
f ( t ) = Sin 5t ise a. Sol kenar kuralı y ( k ) = y ( k-1 ) + T. F ( k-1 ) b. Sağ kenar kuralı y ( k ) = y ( k-1 ) + T. F ( k ) c. Yamuk kuralı
2.1.2. Sayısal İntegral Eğrinin kaplanmış olduğu alanı ifade eder.
f ( t ) = Sin 5t ise a. Sol kenar kuralı y ( k ) = y ( k-1 ) + T. F ( k-1 ) b. Sağ kenar kuralı y ( k ) = y ( k-1 ) + T. F ( k ) c. Yamuk kuralı
2.1.3. Sayısal Türev
f ( t ) = Cos 2 t , y = - 2. Sin 2 t Türevin bir diğer anlamı yani karşılığı eğimdir. Eğim’in bulunma yöntemi 3’e ayrılır. Y ( k ) = tan α ’dır.
a. Geri fark yöntemi b. İleri fark yöntemi c. Merkezi fark yöntemi
2.3. Diferansiyel Zamanda Yazılışı
Denklemlerin
Ayrık
Örnek:
Geri fark yöntemi kullanırsak.
2.4. Fark Denklemleri: Darbe dizisi ya da impuls dizisi şeklinde değişen işaretler zamanda süreksiz işaretleri oluşturur v bu işaretleri taşıyan sistemler fark (difference) denklemleri ile matematik olarak modellendirilirler. Sürekli sistemlerde durumlar, çıkışlar ve giriş fonksiyonları t zamanın sürekli fonksiyonları olduğu halde, zamanda ayrık ya da süreksiz sistemlerde bu büyüklükleri sürekli olan t zamanının ancak kT, k = 0, 1, 2,...gibi ayrık anlarında tanımladırlar. Sürekli sistemlerde durum x(t), çıkış y(t) ve giriş u(t) gibi sürekli zamanın fonksiyonları ile gösterilirken, zamanda ayrık sistemlerde aynı büyüklükler x(k), y(k), u(k), k = 0, 1, 2, 3, ... şeklinde gösterilir. Örnek: Zamanda ayrık işaretlere örnekler
a) u(k) = (1)k k?0 k = 0, 1, 2, 3, ... u(k) = 0 k<0 olarak tanımlanan bir giriş işaretinin değişimi şekil 1’de gösterilmiştir. İşaret bir birim basamak dizisidir. b) u(k) = (2)k k?0 k = 0, 1, 2, 3, ... u(k) = 0 k<0 olarak verilen bir zamanda ayrık işaretin değişimi şekil 2‘de gösterilmiştir.
Şekil 1 Zamanda ayrık birim basamak dizisi
Şekil 2: u(k) = 2k nın değişimi Şekil 3
ün değişimi
Zamanda ayrık işareti genlikleri değişik zaman anlarında sinüs fonksiyonunun genliklerine eşit olan sinüzoidal bir darbe dizisidir.
Darbe dizisi Şekil 3’de gösterilmiştir. Fark denklemlerinde kullanılan katsayısı ve fonksiyonların şu özellikleri vardır: x(k) durum değişkeninin şimdiki değerini x(k-1) durum değişkeninin bir önceki değerini x(k-n) durum değişkeninin n önceki değerini u(k) giriş değişkeninin şimdiki değerini u(k-n) giriş değişkeninin bir önceki değerini
Şekil 4 Dijital kontrol sistemlerinde Birim gecikme zamanı Kazanç elemanı Toplama elamanı
gösterir. x(k-n)’ye n kez geciktirilmiş durum değişkeni de denir. Bu değişkenlerin blok ya da işaret akış diyagramı biçiminde gösterilişinde şekil 4 a, b, c’deki elemanlar kullanılır. Bu elemanlar birim gecikme, sabit kazanç, toplama elemanlarıdır. Bu tanımları kullanarak lineer, zamanla değişmeyen dijital sistemleri sistem mertebesine bağlı olarak aşağıdaki fark denklemleri yardımı ile göstermek mümkündür. k = 0, 1, 2, 3, ...n Birinci mertebeden fark denklemidir. İkinci merteben fark denklemidir.
n. merteben fark denklemidir. a ve b’ler sabit olmak üzere Eğer b1u(k) = 0 ise, denklem birinci mertebeden homojen denklem adını alır. Eğer b0, ...,bm = 0 ise fark denklemi n. Mertebeden homojen fark denklemidir. 3. Denklemde k›k+n alınarak
şeklinde yazılabilir.
2.5.Fark Çözümü
Denklemlerinin
Bilgisayarla
y(-1) = 0 , u(k) = (1)k k?0 y(-2) = 0 , u(k) = 0 k<0 Bilgisayar indisleri eksi alınamayacağı için indisi arttırmak gerekir. Bu sebeple programda bunu ayarlamak gerekir. y(0) = 0 y(1) = 0 y(2) = 0 for (k = 3 ; k<100 ; k++) {
}
2.6. Fark Denklemlerinin Çözümü Normal sabit katsayılı diferansiyel denklemlerin çözümünde olduğu gibi fark denklemelerinin de xc(k) tamamlayıcı çözüm ve xö(k) özel çözüm gibi iki çözümü vardır. xc(k) sağ tarafı sıfır olan homojen denklemlerin çözümü, xö(k) ise sağ tarafı sıfır olmayan ve kaynak fonksiyonunun biçimine bağlı olan çözümdür. Tam çözüm xt(k) = xc(k)+ xö(k) dır. Homojen denklemin çözümü Kaynak fonksiyonu u(k) = 0 alarak
olur. Bu denkleme homojen fark denklemi denir ve çözümü olarak xc(k) = Crk kabul edilir ve yerine konur.
ya da
elde olunur. Bunun çözümü
olur. Bu denkleme karakteristik denklem denir. Cebrin esas teoremine göre n. Dereceden bir denklemin genel olarak n farklı kökü vardır. Bu kökler r1, r2,... rn olsun. Karakteristik denklem yardımı ile elde olunan fark denkleminin çözümü
ya da
olur. C1, C2,...Cn başlangıç koşullarından belirlenir. Karakteristik denklemin kökleri aşağıda verilen dört farklı biçimde olabilir. a. Eğer karakteristik denklemin köklerinin hepsi farklı ve gerçel ise, tamamlayıcı çözüm
b. Köklerden bir tanesi örneğin (ri)’yinci kök m katlı ise tamamlayıcı çözüm
c. Kökler
şeklinde ise kompleks eşlenik ise
ya da kompleks kökleri polar koordinatlarda yazarak
d. Eğer kompleks eşlenik köklerden i. Kök m katlı ise homojen denklemin bu katlı köke ilişkin çözümü
şeklinde olur. Basit örneklerle fark denkleminin tamamlayıcı çözümü elde edilecektir. Fark denklemlerinin çözümünde diğer bir yöntem z dönüşümü çözüm yöntemidir. Bu yöntem z dönüşümü açıklandıktan sonra fark denklemlerine uygulanacaktır. Buraya kadar fark denkleminin tamamlayıcı xc(k) çözümünü elde ettik. Diferansiyel denklemlerde olduğu gibi kaynak fonksiyonunun türüne bağlı olan, bir de özel çözüm vardır. Fark denkleminin tam çözümü tamamlayıcı xc(t) çözümü ile özel çözümün xö(k) toplamıdır. O halde fark denkleminin tam çözümü Tam çözüm = Tamamlayıcı çözüm + Özel çözüm xt(k) = xc(k) + xö(k) olur. Bundan sonra özel çözümün elde edilmesi yöntemi açıklanacaktır. Fark denklemlerinin özel çözümlerinin elde edilmesi n. mertebeden lineer sabit katsayılı bir fark denklemidir.
Burada u(k) kaynak ya da kontrol fonksiyonu x(k)’lar da bu fonksiyona karşı düşen çıkıştır. Kontrol fonksiyonları u(k)’lar genellikle aşağıdaki biçimlerde olabilir. ak, kn, knak,
ya da
ya da kaynak ya da kontrol fonksiyonu u(k)’nın yukarıda açıklanan biçimine göre özel çözümün genel şekli seçilir. Çoğunlukla bu özel çözümler, u(k)’nın biçimine göre tablolar halinde verilmiştir. Tablolardan alınabilen, genel biçimde olan bu özel çözüm fonksiyonlarında,
bilinmeyen sabit katsayıların değeri, özel çözümün diferans denkleminde yerine yerleştirilmesi ile elde olunur. Özel çözümü bulmada operatör metodu da vardır. Fark Denkleminin Analitik Çözümü Örnek:
y(-1) = 0 y(-2) = 0 u(k) = (1)k
u(k) = 0 için
Karekteristik denklemi
Özel Çözüm Denklemde yerine yazılırsa
Homojen ve özel çözüm toplanır.
k yerine –1 ve –2 değerleri verilirse
2.7. z Dönüşümü Sürekli işaretle çalışan kontrol sistemlerinde Laplace dönüşümü, dijital sistemlerde ise z dönüşümü yaygın olarak kullanılır. e(k) sonlu ya da sonsuz bir darbe dizisi olsun, e(k)’nın dönüşümü, bölgesinde
yakınsaklık
olarak tanımlanır. Gerçekten E(z), z’nin negatif üslerine göre ifade edilen bir geometrik dizidir. Burada (q = 0, q = ?), p ve q pozitif sonlu değer alabildiği gibi p = -?, q = +? olması halinde
şeklinde yazılır. Bu dönüşüme iki taraflı z dönüşümü denir. z dönüşümünün tanımını daha iyi anlamak için birkaç örnek verelim. R1, R2, z dönüşümünün yakınsaklık bölgesini tanımlar
2.7. z Dönüşümü Sürekli işaretle çalışan kontrol sistemlerinde Laplace dönüşümü, dijital sistemlerde ise z dönüşümü yaygın olarak kullanılır. e(k) sonlu ya da sonsuz bir darbe dizisi olsun, e(k)’nın dönüşümü, bölgesinde
yakınsaklık
olarak tanımlanır. Gerçekten E(z), z’nin negatif üslerine göre ifade edilen bir geometrik dizidir. Burada (q = 0, q = ?), p ve q pozitif sonlu değer alabildiği gibi p = -?, q = +? olması halinde
şeklinde yazılır. Bu dönüşüme iki taraflı z dönüşümü denir. z dönüşümünün tanımını daha iyi anlamak için birkaç örnek verelim. R1, R2, z dönüşümünün yakınsaklık bölgesini tanımlar
2.8. z Dönüşümünün Özellikleri 1. 2. Bir yanlı dönüşüm İki yanlı dönüşüm
3.
3a.
(bir yanlı dönüşüm)
4. 5.
Eğer e(k) dağa doğru gelişen bir taraflı dizi ise
6. Eğer z = 1 noktası E(z)’in yakınsaklık dairesinin üstünde ya da içinde ise ve e(k) bir taraflı sağa doğru gelişen bir darbe dizisi ise
7. 8. 9. ( * konvolüsyon gösterir)
2.8. z Dönüşümünün Özellikleri 1. 2. Bir yanlı dönüşüm İki yanlı dönüşüm
3. 3a.
(bir yanlı dönüşüm)
4. 5.
Eğer e(k) dağa doğru gelişen bir taraflı dizi ise
6. Eğer z = 1 noktası E(z)’in yakınsaklık dairesinin üstünde ya da içinde ise ve e(k) bir taraflı sağa doğru gelişen bir darbe dizisi ise
7.
8. 9. ( * konvolüsyon gösterir)
2.9. Seçilmiş Bazı z Dönüşüm Çiftleri Aşağıdaki bazı önemli darbe dizilerinin z dönüşümleri verilmiştir. Darbe Dizisi {e(k)} z Dönüşümü E(z) 1. u(k) = 1 k?0 z / (z-1) 2. ?(k) 1 3. k k?0 z / (z-1)2 4. ak k?0 1 / (1-az-1) = z / (z-a) 4a. ak-1 k?1 1 / (z-a), 4b. - ak-1 k?0 1 / (z-a),
5. 1 / k k?0 -ln(1-z-1) .
>1
6. k2 k?0 z(z+1) / (z-1)3 7. kak k?0 az / (z-a)2 8. sinak k?0 zsina / (z2-2zcosa+1) 9. cosak k?0 z(z-cosa) / (z2-2zcosa+1) 10. aksinbk k?0 az(sinb) / (z2-2azcosb+a2) 11. akcosbk k?0 (z2-azcosb) / (z2-2azcosb+a2)
2.10. Ters Z Dönüşümü Laplece dönüşümünün tersini almada kullanılan yöntemle benzer biçimde z dönüşümü tersinin alınmasında aşağıdaki yöntemler vardır. Ters z dönüşümü z-1 [E(z)] = e(k) olarak yazılır. a. Kuvvet Serisi Yöntemi
Örnek:
b) Basit Kesirlere Ayırma Yöntemi
şeklinde yazılırsa
Örnek:
Değerleri yerine yazılırsa;
Örnek:
2.10. Ters Z Dönüşümü Laplece dönüşümünün tersini almada kullanılan yöntemle benzer biçimde z dönüşümü tersinin alınmasında aşağıdaki yöntemler vardır. Ters z dönüşümü z-1 [E(z)] = e(k) olarak yazılır. a. Kuvvet Serisi Yöntemi
Örnek:
b) Basit Kesirlere Ayırma Yöntemi
şeklinde yazılırsa
Örnek:
Değerleri yerine yazılırsa;
Örnek:
2.11. Fark Denklemlerinin z dönüşümü ile çözümü Örnek: y(k+2) - 7y(k+1) + 12 y(k) = 5u(k) başlangıç şartları: y(1) = -1 , y(0) = 1 , u(k) = (2)k
z dönüşümü alınırsa;
Değerleri yerine yazılırsa;
2.12. Transfer Fonksiyonu Sürekli işaretle çalışan kontrol sistemlerinde, S domeni transfer fonksiyonları tanımlanır. İlk koşulları sıfır alınarak çıkışın Laplace dönüşümünün girişin Laplace dönüşümüne oranı transfer fonksiyonunu belirler. Başlangıç şartları sıfır alınarak bulunan; çıkışın girişe oranıdır. Transfer fonksiyonu sistemin davranışını belirler.
Örnek:
z dönüşümü yapılır;
(Başlangıç şartları sıfır)
2.13. Transfer Fonksiyonu Verilen Sistemin Cevabını Bulma
Giriş birim basamak alınırsa
Fourier dönüşümü ile ilişkisi [değiştir] Ayrık zamanlı Fourier dönüşümü (DTFT)'in genelleştirilmesi olan z-dönüşümünün Fourier dönüşümü ile yakından ilgisi vardır.
gibi düşünülürse (DTFT) elde edilmektedir.
Bunun sebebi şöyle açıklanmaktadır: z bir kompleks sayıdır ve kutupsal formda Aejφ olarak gösterilmektedir. Eğer A = 1 ise z dönüşümü Fourier dönüşümü olmaktadır ama yarıçap 1'den farklı ise o zaman z dönüşümü olarak kalmaktadır. [1] ROC, z Dönüşümünün en önemli kavramıdır. ROC (region of convergence-yakınsama bölgesi) bir sinyalin z-dönüşümünün sonsuz olmayan bir sayıya yakınsadığı değerlerinin z-
düzlemi üzerinde gösterildiği alandır. ROC sistem hakkında bir çok bilgi almamızı sağlar. Çizimi ise aşağıdaki özelliklere bakılarak yapılır. ROC bir halka ya da bir disktir ve merkezi orjindedir. H(z)'de z yerine
koyulunca
Fourier dönüşümüne yakınsayabilmesi için ROC'un birim çemberi içermesi gerekir. Bu aynı zamanda sistemin kararlılık kriteridir. ROC kutup içeremez. x[n] sınırlı dizi ise ROC bütün z-düzlemidir. Belki 0'ı ya da sonsuzu içermeyebilir. Nedensel sistemlerde, x[n] sağa yaslıdır ve ROC en dıştaki kutbun dışına doğru olur. Antinedensel sistemlerde, x[n] sola yaslı ve ROC en içteki kutbun içine doğru olur. x[n] hem nedensel hem de anti-nedensel terimler içeriyorsa, ROC en dıştaki kutuptan içeri en içteki kutuptan dışarı doğru olan bir halkadır. Sistemin hem nedensel hem de kararlı olması durumunda, bütün kutuplar birim çemberin içinde olmalıdır. Çünkü eğer bir kutup bile birim çemberin dışında olsa, nedensel sistem özelliğinden dolayı ROC en sağdaki kutbun dışına doğru olur ve birim çemberi içeremez, bu durumda sistemin kararlılık kriteri de karşılanamaz. ROC bağlantılı olmak zorundadır.
2.14. Sinyal Akış Şemaları
x = (3u(z) – z-1
y(z) = 2x
İşaret akış diyagramları, blok diyagramları gibi, sistemlerin sebep- sonuç bağıntıları göstermek için kullanılır. Öncelikle kontrol sistemlerinde geri besleme çevrim sayısı fazla olması halinde blok diyagramlarını tek çevrime indirgemek ve kapalı çevrim transfer fonksiyonunu hesaplamak zorlaşmaktadır. Sinyal akış şemaları, blok diyagramlarına göre daha basit inceleme imkanı sağlayan bir yöntemdir.
2.15. Ayrık Zamanda Durum Denklemleri
2.16. Ayrık Zamanda Doğrusal ve Zamanla Değişmeyen Sistemle İçin Durum Denklemleri Durum Denklemi Çıkış Denklemi Anxn Bnxr Cmxr Dmxr Giriş durum denklemi yarpıldığından dolayı Örnek: r=2, n=3, y=2
2.17. Durum Denkleminden Fonksiyonuna Dönüşüm Tek giriş ve tek çıkışlı sistemler için;
x(k+1)’in z dönüşümü alırsak;
Örnek:
Çözüm:
Transfer
2.18. Transfer Fonksiyonundan Denklemine Dönüşüm
Fark
Başlangıç şartları sıfır kabul edilirse.
2.19. Fark Denkleminden Denklemine Dönüşüm
Durum
Üçüncü dereceden bir sistem olduğu içindir ki 3 tane durum değişkeni vardır.
Ana denklemde değerler yerlerine yazılırsa;
Örnek:
Denklemde yerine konursa;
2.20. Durum Uzay Diyagramları Dijital kontrol sistemlerinde kontrol edici (kontrolör) çoğunlukla bir dijital bilgisayar ya da mikroişlemcidir. Bu elemanların matematik modelleri fark denklemleri ile verilir. Aşağıdaki denklem n. Mertebeden bir fark denklemidir. Fiziksel sistemlerde ya da gerçeklemede m?n olmalıdır. Eğer m>n olursa kontrol vektörü dinamik sistemden zaman içinde önüne geçer ki bunun da bir fiziksel anlamı yoktur. Bu ayrıtta durum uzayı diyagramları açıklanacak ve bu diyagramlardan yararlanarak, fark denklemlerinin en genel halde durum denklemleri ile gösteriliş yöntemi verilecektir.
Şimdi bunun z dönüşümünü alalım.
olur. Bu dijital sistemin darbe transfer fonksiyonu çıkışın z dönüşümünün girişin z dönüşümüne oranı
dır. Rasyonel kesiri z’nin negatif kuvvetlerine göre seriye açarak ve z dönüşümü tanımını göz önüne alarak, ayrık zamanda g{k}sayı dizisi bulunur. Ancak bu ayrıtta, darbe transfer fonksiyonu bir dijital sistem için durum modeli ya da dijital computerde uygulanabilen modelin elde edilmesinde üç yöntem kullanacağız.
1. Doğrudan elde edilen model› Kanonik form 2. Seri model 3. Paralel model
1. Doğrudan elde edilen model
pay ve paydasını X(z) ile çarpalım.
olur. X(z), zX(z)...zn X(z)’nin ters dönüşümleri düşünülecek olursa X(z) › x(k) = x1(k) x(k) = x1(k) zX(z) › x(k+1) = x2(k) x(k+1) = x2(k) z2X(z) › x(k+2) = x3(k) x(k+1) = x3(k) x(k+2) = x3(k) zn-1x(z) › x(k+n-1) = xn(k), x(k+n-1) = xn(k) = xn-1(k+1) znX(z) › x(k+n) › x(k+n) = xn(k+1) yazılır. Çıkış için ise, xn(k+1) = u(k) - a1xn(k) – a2xn-1(k) -...- an-1x2(k) – anx1(k) y(k) = b0xm+1(k)+ b1xm(k) + b2xm-1(k) +...+ bm-1x2(k) + bmx1(k)
bulunur. Fiziksel sistemlerde m
elde olunur. Eğer m = n ise
ve xn(k+1) = u(k) - a1xn(k) – a2xn-1(k) -...- an-1x2(k) – anx1(k) yerine yazılırsa
Durum uzay diyagramı ve zamanda ayrık blok diyagramını elde etmek amacı ile m = n-1 alarak, pay ve paydayı zn ile bölelim.
Y(z) / U(z) rasyonel kesrinin payını sağ taraftaki kesrin payına ve paydasına da paydasına eşit yazalım.
elde olunur. Şimdi bunların işaret akış diyagramlarını çizelim.
yazarak aşağıdaki şeklin durum uzay diyagramının alt kısmı elde olunur. Üst kısmı ise
Şekil 1: Lineer zamanla değişmeyen zamanda ayrık sistemin durum uzay diyagramı
Şekil 2: Şekil 1’deki durum uzayı işaret diyagramından elde olunan n. mertebeden lineer zamanla değişmeyen fark denkleminin zamanda ayrık blok diyagramı Şekil 2 de verilen modelleme ise minimal bir modellemedir ve n adet gecikme elemanı kullanılmıştır. Bu diyagramdan durum değişkenleri için kolayca
yazılır. Seri Model (seri uzay diyagramı) Bu model durum uzay diyagramında biribiri ardında seri bağlanmış alt diyagramlardan oluşur. Varsayalım ki dijital sistemin darbe transfer fonksiyonu basit kutup ve sıfırları cinsinden çarpanlara ayrılmış olarak aşağıdaki gibi verilsin. Ayrıca kutup ve sıfırların gerçek değerli olduğunu varsayalım. Darbe trasfer fonksiyonunu alt darbe transfer fonksiyonları cinsinden, çarpım şeklinde
olarak yazabiliriz. Şimdi i. Alt darbe fonksiyonu ile (m+1), (m+2)...n’inci darbe fonksiyonu
olarak yazalım. Gi(z) ve Gn(z), z-1 cinsinden
olarak yazılır.
2.21. Blok Diyagramından Denklemi Çıkartılması:
Durum
2.22. Durum Denklemlerinin Çözümü Zamanla ayrık sistemler, zaman bölgesinde, fark denklemleri ile modellenirler ve bu denklemlerin, lineer zamanla değişmeyen sistemler için x1(k+1) = Ax(k) + Bu(k) durum denklemi ile gösterildiği aşikardır. Bu bölümde durum denklemlerinin çözümleri verilecektir. Bir diğer durum denklemi de y(k) = Cx(k) + Du(k) ‘dır. Durum denklemlerinin çözümünde başlıca şu yöntemler vardır: 1. Sürekli zamanda yazılan durum denklemlerini, Laplace dönüşümü ile çözümüne benzer biçimde z dönüşümü kullanmak ve sonra ters dönüşümünü almak. Şimdi n. Mertebeden lineer zamanla değişmeyen zamanda ayrık sistemin durum denklemini göz önüne alırsak; x(k+1) = Ax(k) + Bu(k) (u(k) ile x1(0), x2(0), ..., xn(0) değerlerinin verilmesi gerekir.)
Başlangıç şartlarından Kaynaktan gelen çözüm gelen çözüm Örnek:
2. Durum denklemleri k’ya değerler vererek ve genel çözüm için bir ifade bularak da çözülebilir. Durum denklemlerinin, lineer zamanla değişmeyen zamanda ayrık sistemler için verilen ifadeyi göz önüne alırsak;
k = 0, 1, 2, ... değerlerini verelim. Birinci denklemden
veya
Buradan
bulunur. Yukarıdaki ifadelerin incelenmesi sonucu x(k)’genel çözümü;
k = 1’den başlayacak. Ayrıca formülde
değişimi yapmakta mümkündür.
?(k)’ya zamanda ayrık sistemlerin geçiş matrisi denir.
Örnek:
Durum geçiş matrisi;
2.22. Durum Denklemlerinin Çözümü Zamanla ayrık sistemler, zaman bölgesinde, fark denklemleri ile modellenirler ve bu denklemlerin, lineer zamanla değişmeyen sistemler için x1(k+1) = Ax(k) + Bu(k) durum denklemi ile gösterildiği aşikardır. Bu bölümde durum denklemlerinin çözümleri verilecektir. Bir diğer durum denklemi de y(k) = Cx(k) + Du(k) ‘dır. Durum denklemlerinin çözümünde başlıca şu yöntemler vardır: 1. Sürekli zamanda yazılan durum denklemlerini, Laplace dönüşümü ile çözümüne benzer biçimde z dönüşümü kullanmak ve sonra ters dönüşümünü almak. Şimdi n. Mertebeden lineer zamanla değişmeyen zamanda ayrık sistemin durum denklemini göz önüne alırsak; x(k+1) = Ax(k) + Bu(k) (u(k) ile x1(0), x2(0), ..., xn(0) değerlerinin verilmesi gerekir.)
Başlangıç şartlarından Kaynaktan gelen çözüm gelen çözüm Örnek:
2. Durum denklemleri k’ya değerler vererek ve genel çözüm için bir ifade bularak da çözülebilir. Durum denklemlerinin, lineer zamanla değişmeyen zamanda ayrık sistemler için verilen ifadeyi göz önüne alırsak;
k = 0, 1, 2, ... değerlerini verelim. Birinci denklemden
veya
Buradan
bulunur. Yukarıdaki ifadelerin incelenmesi sonucu x(k)’genel çözümü;
k = 1’den başlayacak.
Ayrıca formülde
değişimi yapmakta mümkündür.
?(k)’ya zamanda ayrık sistemlerin geçiş matrisi denir.
Örnek:
Durum geçiş matrisi;
2.23. Analog Dönüşümü
Sistemlerin
Sayısala
a) Geriye Doğru Fark Alma Birinci mertebeden bir diferansiyel denklem gözönüne alalım.
Her iki yanının integralini t0 den t’ye kadar alalım.
olur. Şimdi varsayalım ki x(t) T peryodu ile örneklenmiştir. t = k.T 1. (k-1)T
yazılır. ifadenin sol yanını
dur.
Şekil: Geriye doğru fark alma
Sağ yanı ise integral integrasyon aralığı örnekleme aralığı olduğundan x(t) sabit kabul edileceğinden, şekilden görüldüğü gibi, sağ yandaki integral [x(kT)]T’dir. ayrık sistemler için
bulunur. Burada sağ yanda bulunan (a)’nın boyutu sn-1 olduğunu gözden ırak tutmamak gerekir.
Geriye doğru fark alma düşüncesi ile
olur. Buradan
bulunur. Karşılaştırma yapılırsa
olduğu görülür. S bölgesinde Re(s)<0 yarım s düzleminin tümünü tanımlar ve bu bölge stabilite bölgesidir. (z) bölgesinde stabilite tanımlamak üzere
dır. z = z+jy yazarak
ya da
sadeleştirerek
olur. Bu ifade ise
daire denklemini verir. O halde verilen daireye karşı düşürülmüş oldu.
dönüşümü ile sol yarım s düzlemi denklemi (9) ile
Şekil: Geriye doğru fark almaya ilişkin dönüştürdüğü z düzlemi
dönüşümünün S yarım düzlemini
b) İleriye Doğru Fark Alma
ile verilen diferansiyel denklemi ayrık olarak yazmak amacı ile t0 = kT den t = (k+1)T’ye kadar integral alarak
Şekil: İleri doğru fark alma olur. Şimdi verilen bağlantıyı türev kavramı ile elde edelim.
İleriye doğru fark alma düşüncesi ile
olur. Gene her iki denklemin s ve z dönüşümlerini alarak, ilk koşulları sıfır alarak
bulunur. Buradan karşılaştırma ile ileriye doğru fark almanın
dönüşümüne karşı düştüğü görülür. Bu dönüşüm şekilde gösterilmiştir. Stabilite için Re(s) < 0 ve z düzleminde
Şekil: İleriye doğru fark almaya ilişkin düzlemimde, dönüştürdüğü daire
dönüşümünün sol yarım s düzlemini, z
Yukarıdaki incelemelerden geriye doğru fark alma kullanılarak elde olunan türevin dönüşümüne karşı düştüğü ileriye doğru fark alma yönteminin ise dönüşümüne karşı düştüğü belirlemiş olduk. Geriye doğru fark alarak tanımlanan türevle elde olunan dönüşümünün stabiliteyi bozmadığı, buna karşın ileriye doğru fark alarak tanımlanan türevden elde olunan s(z-1)T-1 dönüşümünün sistem stabilitesinin bozduğu düşüncesi ile ileriye doğru fark alma ile, türev tanım ve ilgili dönüşüm kullanılamaz.
Yamuk yaklaşımı ile integral ve türev alma için gene aynı denklemi göz önüne alalım.
ile verilen denklemi t0 = kT den t = (k+1)T aralığında integre edelim.
Şekil: Yamuk yaklaşımı ile integral ve türev alma X(k+1)=AX(k)+BU(k) ya da
olur. Z dönüşümü alarak
bulunur. Bu bağıntıyı sX(s) = - aX(s) ile karşılaştırırsak
bulunur. Bu dönüşüm aynı zamanda bir lineer dönüşümü olarak da adalandırılır. s düzlemi stabilite bölgesi Re(s)<0 ya da
bulunur. Buradan da x2- y2<0 ya da x2+ y2<1 elde olunur. Böylece iki yönlü lineer dönüşümün sol s yarım düzlemini birim daire içine dönüştürüldüğü anlaşılır.
Şekil: Yamuk kuralına göre integral almaya ilişkin düzlemi, z düzleminde birim daireye dönüştürülmesi
dönüşümünün sol yarım s
2.24. Sürekli Sistem Durum Denklemlerinden Zamanla Değişmeyen Ayrık Sistemlerin Durum Denklemlerine Geçiş Sürekli sistemin durum denklemlerinin
biçiminde olduğunu varsayalım. Bu denkleme
gibi bir çözüm arayalım.
olur. olduğundan
bulunur. Yerine yazılacak olursa
olur. t = t0 için integral içindeki fonksiyonların impuls ya da impuls türevleri içermediği düşünülerek, değerinin sıfır olması gerektiğinden
bulunur. C’nin değeri yerine yazılacak olursa
bulunur. Durum geçiş matrisinin
ve çıkış için
bulunur. Şimdi ayrık sisteme geçmek için örnekleme zamanı amaç için t0 = kT ve t = kT+T koyarsak vr bu aralık
yazılır. Buradan
yazılarak
aralığını düşünelim. Bu sabit kabul edersek
olur. Örnek:
sürekli denklem sistemi veriliyor. Sistemin ayrık durum modellerini bulunuz. Çözüm: Önce
dır.
’yi belirleyelim. Sürekli sistemin parametre matrisleri
için
olur. Ve ayrık durum denklemleri için ise
bulunur. Şimdi aynı bağıntıyı başka bir yoldan elde etmek için
ifadeyi tekrar göz önüne alalım.
olarak yazılır. Bir değişken değiştirmesi yaparak
ve yazılabilir. Yeni değişkenleri yerine konur ise
bağıntısı elde olunur. Örneğimizde bu bağıntı uygulanırsa;
bulunur.
2.24. Sürekli Sistem Durum Denklemlerinden Zamanla Değişmeyen Ayrık Sistemlerin Durum Denklemlerine Geçiş Sürekli sistemin durum denklemlerinin
biçiminde olduğunu varsayalım. Bu denkleme
gibi bir çözüm arayalım.
olur.
olduğundan
bulunur. Yerine yazılacak olursa
olur. t = t0 için integral içindeki fonksiyonların impuls ya da impuls türevleri içermediği düşünülerek, değerinin sıfır olması gerektiğinden
bulunur. C’nin değeri yerine yazılacak olursa
bulunur. Durum geçiş matrisinin
ve çıkış için
bulunur. Şimdi ayrık sisteme geçmek için örnekleme zamanı amaç için t0 = kT ve t = kT+T koyarsak vr bu aralık
aralığını düşünelim. Bu sabit kabul edersek
yazılır. Buradan
yazılarak
olur. Örnek:
sürekli denklem sistemi veriliyor. Sistemin ayrık durum modellerini bulunuz. Çözüm: Önce
dır.
’yi belirleyelim. Sürekli sistemin parametre matrisleri
için
olur. Ve ayrık durum denklemleri için ise
bulunur. Şimdi aynı bağıntıyı başka bir yoldan elde etmek için
ifadeyi tekrar göz önüne alalım.
olarak yazılır. Bir değişken değiştirmesi yaparak
ve yazılabilir. Yeni değişkenleri yerine konur ise
bağıntısı elde olunur. Örneğimizde bu bağıntı uygulanırsa;
bulunur.
3.1. Fiziksel ve İdeal Örnekleyici Fiziksel örnekleyici şekil 1’de görüldüğü gibi sürekli bir işaretin, belli t = kT, k = 0, 1, 2, ... anlarındaki değerlerini belirli bir zaman süreci içinde alan bir elemandır. T örnekleme periyodu, ? ise örnekleme zamanıdır. Şekilden görüldüğü gibi ?<
Şekil1 a) Örnekleme süresi ? ve örnekleme periyodu T olan bir örnekleyici çıkışı e *(t) ve gösterilişi
Şekil 2: b) Örnekleme süresi ? = 0 olan ideal bir örnekleyici ve buna sıfırıncı mertebeden tutucu eklenmesi halinde e(t)çıkışı
c) Örnekleme süresi ?, tutma süresi Th ve örnekleme periyodu T olan örnekleyici ve sıfırıncı mertebeden tutucunun çıkışı e(t) Şekillerin incelenmesinden örnekleme süresi ?, ve örnekleme periyodu T olan gerçek ya da fiziksel bir örnekleyici arasındaki farkı açıkça görmek mümkündür. Gerçek örnekleyicinin çıkışı darbe süresi ? sınırlı olan ve genliği t = kT, k = 0, 1, 2,... anlarındaki sürekli işaret genliğine eşit olan bir darbe dizisi olduğu halde, ideal örnekleyici çıkışı, değeri t = kT anlarında sürekli işaret değerine eşit olan bir impuls ya da delta Dirac dizisidir. Örnekleyici çıkışına konan, tutucu devrenin ideal ya da gerçek eleman alınması halinde tutucu çıkışı da şekil c’de gösterilmiştir. Örnekleyicide en önemli sorun T örnekleme periyodunun seçilmesidir. T’nin seçiminde en önemli kriter e(t) sürekli işaretinin içerdiği bilgi (information) den en az kayıp vererek örneklenmiş işaretin e*(t)’nin elde edilmesidir. T ne kadar küçük olursa e(t) sürekli işaretinin de o kadar e*(t) örneklenmiş işarete yaklaşacağı açıktır. Ancak böyle bir örnekleyici gerektiğinden fazla pahalı olur. T’nin seçileceğine ilişkin Shannon örnekleme teoremi daha sonra verilecektir. Ancak burada kısaca bu teoremi şöyle ifade edebiliriz: f0 frekansından daha büyük frekansları içermeyen bir e(t) sürekli işareti, Ts = 1/(2f0) saniyelik bir örnekleme periyodu ile örneklenirse işaret tam olarak belirlenir ve bilgi kaybı olmaz. Pratikte dijital sistemlerin stabilitesi açısından fs örnekleme frekansı daha büyük T örnekleme periyodu çok daha küçük seçilir.
Örnekleme, bilgi işlem ve haberleşme açısından bir modülasyondur. Burada genlik ve darbe genişliği modülasyonu kullanmak mümkündür. Şekil 2’de modülasyonda kullanılan Şekil 3: Darbe genlik modülasyonu es(t) modüle edilecek işaret, fc(t) taşıyıcı Taşıyıcı ve modüle edilen işaretler sembolik olarak gösterilmiştir. Darbe genlik modülasyonu için bir darbe dizisi göz önüne alalım. Şekil 4’te darbe genişlikleri ? ve darbe periyodu T olan birim genlikli bir darbe dizisi ile modüle edilecek olan es(t) sürekli işareti gösterilmiştir. Burada fc(t), birim genlikli darbe modülasyonu taşıyıcı dalgası, birim basamak fonksiyonu cinsinden
Şekil 4: Darbe genlik modülasyonunda giriş çıkış işaretleri, fc(t) taşıyıcı işaret darbe dizisi, darbe genlik modülasyon çıkışı, es(t) sürekli işaret
olarak yazılır. Tanım uyarınca örneklenmiş işaret
Zaman bölgesinde ifade edilen genlik modülasyonu çıkışı ’nin frekans bölgesi davranışını incelemek ilginçtir. şekil 4’te gösterilen birim darbe dizisi periyodik bir fonksiyondur ve Fourier serisine açılabilir.
yazılır. Burada ws2?fs örnekleme açısal frekansıdır ve
dir. Kompleks Fourier serisi katsayısı Ck tanım uyarınca
fc(t), 0?t?? aralığında olduğundan
ya da
bulunur. İfadesini
parantezine alınırsa
olur. Trigonometrik özdeşlikler kullanılırsa ve ifade ? ile çarpılır.
ya da (Sinc) fonksiyonu kullanılarak
bulunur.
Şekil 5: Sinc(kwst/2) fonksiyonunu değişimi. Bu fonksiyona kapı fonksiyonu da denir.
bulunur. Şimdi
’nin Fourier dönüşümünü alalım.
olarak tanımlanır.
ifadesi Ck katsayısını kullanarak tekrara yazarsak
olur. Buradan
ya da
bulunur. Böylece ? süreli darbelerle ve T örnekleme periyodu ile örneklenmiş bir işaretin Fourier dönüşümü elde edilmiş olur. Ck kompleks Fourier katsayısının mutlak değeri,
dir.
değerleri verilecek olursa
bulunur. Görülüyor ki, örnekleme süresi ? olan birim darbe dizisinden oluşan taşıyıcı işaretin genlik spektrumu frekans bölgesinde Sinc(.) fonksiyonuna göre değişen çizgilerdir. Şekil 6 ‘da Fourier serisi kompleks katsayılarının genliklerinin mutlak değerlenin değişimi gösterilmiştir.
Şekil 6: Birim darbe dizisinin spektrumu örneklenmiş işaretin frekans bölgesi davranışını incelemek üzere bunun Fourier dönüşümü olan E*(jw) nın genliğinin değişimini çizelim.
olur. Şimdi varsayalım ki sürekli işaret es(t)’nin Fourier dönüşümü Es(jw)’nın genliğinin mutlak değeri şekil 7.a’da gösterildiği gibi olsun. Es(jw) kullanılarak, örneklenmiş işaretin Fourier dönüşümü
’nın genliğinin değişimi elde edilecektir. |
|’yı herhangi bir
k için şu şekilde elde edebiliriz. Önce n = k yazarak |Ck| elde edilir ve sonra |
|,
noktasına kaydırılır. Burada es(t)’nin içerdiği en yüksek açısal frekansın w0 olduğunu ve w0’nın iki katının örnekleme açısal frekansı ws den küçük kaldığı varsayılacaktır. Şekil 7.b’de |
| örneklenmiş işaretin genliğinin değişimi verilmiştir.
Şekil 7: a) Sürekli işaret es(t)’in Fourier dönüşümü |E(jw)|’nin genliğinin w’ya göre değişimi b) Süresi ? olan birim darbe (puls dizisi ile örneklenmiş işaretin Fourier dönüşümünü genliğinin değişimi
Şekil 7.a ve b’den görüldüğü gibi örnekleme frekansı yarısı f s/2 es(t) işaretinin içerdiği en yüksek f0’dan büyüktür. f0 = fs/2 olması halinde ’nın genliği küçülerek tekrarlanan kısımları arasında hiçbir boşluk kalmaz es(t) işareti hata yapmaksızın belirlenebilir. Ancak f0>fs/2 olduğunda
tekrarlanan parçaları birbirinin içine girmeye ya da birbirlerini
örtmeye başlarlar ki bu halde, dan es(t) elde edilemez. Çünkü Fourier dönüşümlerin birbirini örtmesi, matematik olarak ters dönüşüm tanımına uymaz ve bilgi kaybına neden olur.
3.2. Örneklenmiş İşaretin Konvolüsyonla Elde Edilmesi
Kompleks
Her iki tarafın Laplace dönüşümü alınırsa
olur. Sağ yanı kompleks konvolüsyon integrali ile bilirlenir. Tanım olarak kompleks konvolüsyon integrali
dir. Es(s) ve Fc(s) sırası ile es(t) ve fc(t)’nin Laplace dönüşümleridir. Süresi ? ve periyodu T olan birim darbe dizisinin Laplace dönüşümü
bulunur. Bir yanlı Laplace dönüşümü kullanıldığından k<0 değerinin katsayısı tanım uyarınca sıfırdır.
olarak elde olunur. Buradan
bulunur. Burada c.E(?) ve Fc(s)’in yakınsaklık absisi ile ilişkili bir sabittir. Bu integrali belirlemek üzere şekil 8’de gösterilen çevreler kullanılacak ve sonra Cauchy rezidü teoremi uygulanacaktır.
Şekil 8: Kompleks integrali belirlemek için Y1, Y2 kapalı çevresi
yazabiliriz. İkinci terimi, a, b, c, d, çevresi üzerine integral almayı belirler. Eğer integralin payının derecesi paydadan küçükse, s =Rej?, R› ?için, bu integralin değeri sıfır olur. o halde
nın E(?’)’in kutuplarına ilişkin rezüdülerin toplamı, Şimdi aynı integrali bir de Y2 için yazalım.
yazılır. Eğer ikinci terimde integralin paydasının derecesi payından bir derece yüksek ise (a-ed) çevresinde s =Rej?, R› ? olduğundan bu integral sıfır olur. Buradan
bulunur. Bu halde Cauchy rezidü teoremine göre, bu kez çevresel kompleks integral saat ibreleri yönünde alındığından
nın fonksiyonu kutuplarındaki rezidüleri toplamı Buradan da fonksiyonun kutuplarının s-? = (2?/T) jkws işte her yerde bu ws’i kullanabilseydik. periyodik olma özelliğini kullanarak
olduğu bulunur. Buraya kadar darbelerin genişlik ya da sürelerinin ? olduğunu kabul ettik. Başka bir deyişle, taşıyıcı işareti küçük süreli darbelerden oluşturduk. Bundan sonra modülasyonun taşıyıcı işaretinde ? = 0 alacağız. Burada darbe dizisi birim impuls dizisine dönüşür. Bu halde örnekleyiciye ideal örnekleyici denir
3.3. İdeal Örnekleyici Yukarıdaki incelemelerde örnekleme süresi ? ile tanımlanmış ve taşıyıcı fc(t) işareti olarak, bir darbe dizisi elde etmiştik. Örnekleme süresi ?’yu sıfır alırsak birim darbe dizisi, birim impuls dizisine dönüşür. Bu halde modülasyon fc(t) taşıyıcı dalgası, k<0 için işareti sıfır kabul edersek.
olarak yazılır. Bu halde örneklemeyi sürekli e(t) işareti ?T(t) birim impuls taşıyıcı işaretinin modülasyonu gibi düşünürek
olarak yazmak mümkündür. Dirac fonksiyonun özelliğinden
yazılabilir.
ya da
olur. Bunun Laplace dönüşümünü alarak
elde olunur.Şekil 9‘da fc(t) birim impuls dizisi, ideal örnekleyici, sürekli e(t) işareti ve e*(t) örneklenmiş işareti gösterilmiştir. Şekil 9.a’da birim darbe ya da basamak fonksiyonunda impuls fonksiyonun elde edilişi açıklanmıştır. Birim basamak fonksiyonlarını ayrı ayrı yazalım.
Şekil 9: Örneklenmiş bir işaretin bir ideal örnekleyici ile elde edilişi e(t) sürekli işaret, f c(t) = ?T(t) birim impuls dizisi (taşıyıcı dalga), e*(t) örneklenmiş işaret
Şekil 9.a.: Birim darbe (basamak) fonksiyonundan impuls fonksiyonunun elde edilişi olur. Tanım olarak
olur. O halde iki birim basamak fonksiyonundan limit olarak ?(t) fonksiyonuna geçerken 1/? ile bölmek gerekir.
ifadesini önce 1/? ile çarpalım sonra e-? (s-?) terimini ?› 0 için Taylor serisine açalım.
ilk iki terimi alıp 1/? ile çarptıktan sonra yerine yazalım.
Bu ifadenin Fourier dönüşümü
olur. Toplan içindeki F{.} w bölgesinde konvolüsyon gerektirir. Bu da kısaca, ?(t-kT) periyodik fonksiyon olduğundan, kompleks Fourier serisi açılımından
olduğundan ve birim impuls treninin Fourier dönüşümünü kullanarak
elde edilir. Bu ifade, ws = 2?/Ts yazarak ve Dirac fonksiyonunun özelliğinden
ya da
Ts örnekleme zamanı bulunur.
3.4. E*(s)Bulunması E(s) belli olmak üzere, sinyalin yıldızlı dönüşüm formülü;
E(?)’nın kutupları Örnek:
Analog belirlemede
Örnek:
E(z) ile E*(s)’nin İlişkisi:
z = eTs › z-1 = e-Ts ‘dir.
4.1. Giriş Bu bölümde zamanda ayrık (dijital kontrol sistemleri) nin kapalı çevrim giriş ve çıkış bağlantıları verilecektir. İşaret akış diyagramları da kullanılarak giriş ve çıkış arasındaki transfer fonksiyonları elde edilecektir.
4.2. Kapalı Çevrim Dijital Sistemleri Blok Diyagramları
Kontrol
Bundan önceki bölümde açık çevrim dijital kontrol sistemlerinin darbe transfer fonksiyonlarını, örnekleyicinin sistemin değişik yerlerinde bulunmasına göre elde etmiştik. Bazı hallerde, yıldızlı giriş ve yıldızlı çıkış arasında, yıldızlı darbe fonksiyonunun tanımlanamayacağını göstermiştik. Yıldızlı transfer fonksiyonlarından z dönüşümü transfer fonksiyonlarının nasıl belirleneceğini açıklamıştık. Bu bölümde, kapalı çevrim dijital kontrol sistemlerinin, fonksiyonlarını elde etmeye çalışacağız. Darbe transfer fonksiyonlarının her hal için elde edilemeyeceğini göreceğiz. Şekil1’de verilen kapalı çevrim kontrol sistemini ele alalım.
Şekil 1: a) Basit kapalı çevrim dijital kontrol sistemi blok diyagramı b) İşaret akış diyagramı Blok diyagramından
ya da toplam transfer fonksiyonu ya da Laplace dönüşümü C(s) ve C*(s)’i giriş ve parametreler cinsinden bulalım. Diyagramdan
her iki yanın yıldızlı dönüşümünü alırsak
bulunur. Burada (H(.)G(.)*) önce H(.)G(.) çarpımının yapılacağı sonra da yıldızlı dönüşümün alınacağı anlamındadır.
bulunur. Her iki yanının yıldızlı dönüşümünü alırsak
yazılır. Buradan çıkışın yıldızlı dönüşümü için
elde olunur. Toplam darbe transfer fonksiyonu için
bulunur. Burada kapalı çevrim kontrol sistemleri blok diyagramlarında karşılaşılan bir güçlüğü belirtelim. Varsayalım ki C*(s) bilinmek isteniyor. Bunun için yıldızlı dönüşümünü alalım.
elde olunur. Buradan C*(s)’i çözmeye çalışalım.
bulunur. Her iki yanının yıldızlı dönüşümünü alırsak
olur. Buradan C*(s), yandaki ifadede çarpan haline gelemediğinden çözülemez ve toplam darbe transfer fonksiyonu bu yoldan gidilerek elde edilemez.
Şekil 2.a) Yalnız çıkışında örnekleyici bulunan kapalı çevrim dijital kontrol sistemi b) İşaret akış diyagramı Şimdi yalnız çıkışı örneklenen basit bir dijital kontrol sistemi göz önüne alalım. Şekil 2’de sistemin blok diyagramı gösterilmiştir. Şekilden
ya da
bulunur. Her iki tarafın yıldızlı dönüşümü alınırsa
elde olunur. Buradan
yazılır. Her ne kadar çıkışın yıldızlı dönüşümü olan C*(s)belirlendi ise de, C*(s)/ R*(s) oranı ya da toplam darbe transfer fonksiyonu elde edilemez. Çünkü ilgilenilen R*(s) çarpan haline sokulamamaktadır.
Şekil 3 a) Hem hata hem de çıkışında örnekleyici bulunan dijital kontrol sistemi blok diyagramı b) Aynı sistemin işaret akış diyagramı Yukarıda incelenen iki hali de içeren daha genel bir kapalı çevrim dijital kontrol siteminin blok diyagramını göz önüne alalım. Sistemin blok ve akış diyagramları şekil 3’de gösterilmiştir. Blok diyagramından
yazılır. Her iki yanının yıldızlı dönüşümünü aldıktan sonra, E*(s)’in denklemde kullanılması ile
ya da
olur. Buradan C*(s) çözülürse
elde olunur. Kapalı çevrim darbe transfer fonksiyonu için
bulunur. Bu da sürekli kontrol sistemleri kapalı çevrim transfer fonksiyonu biçimindedir. Yukarıdaki incelemelerden kapalı çevrim dijital kontrol sistemlerinin blok diyagramları için bazı önemli kurallar verebiliriz. 1) Kapalı çevrim dijital kontrol sistemlerinin blok diyagramlarında şekil 3’de olduğu gibi her koldaki işaret örneklenmiş ise, çıkışın yıldızlı Laplace dönüşümü ve toplam transfer fonksiyonu, aynen sürekli kontrol sistemlerinde olduğu gibi elde olunur. Diğer hallerde blok diyagramında çözümlenmesi istenen değişkenin serbest çarpan kalması gözetilerek işlem yapılır. Özellikle yıldızlı Laplace dönüşümü alındığında, çözülecek değişken çarpan olarak kalamıyorsa, bu değişkene ilişkin transfer fonksiyonu da verilemez. Şimdi kapalı çevrim dijital kontrol sistemleri üzerine birkaç örnek vererek blok diyagramlarının daha iyi anlaşılmasını sağlamaya çalışalım. Örnek 1: Zaman bölgesinde, kapalı çevrim bir dijital kontrol sistemi blok diyagramı şekil 4a da ve bu diyagramın s bölgesi eşdeğer blok diyagramı şekil 4b’de verilmiştir. Sistemin çıkışının yıldızlı Laplace dönüşümü ile z dönüşümünü bulunuz. Çözüm: Şekil 4b blok diyagramında
yazılır. buradan U1*(s) ve E*(s)yerine, R*(s) ve C*(s) cinsiden değerleri yazılırsa
ya da
olur. buradan da
Şekil 4 a) Bir dijital kontrol sistemi kapalı çevrim blok diyagramı b) Laplace bölgesi blok diyagramı
olur. z bölgesi için
Şekil 5: Örnek 2 ye ilişkin blok diyagram
Örnek 2: Şekil 5’de verilen blok diyagramına ilişkin ifadeleri veriniz, çıkış büyüklüğünün z dönüşümünü ve toplam transfer fonksiyonunu C*(s)/ R1*(s) ile C*(s)/ R2*(s)’i bulunuz.
ya
da
ya da Burada E1(s) ve E2(s) ifadelerinde, C(s) yerine G2(s)E2*(s) yazarak,
elde olunur. Yukarıdaki ifadelerin yıldızlı dönüşümleri
ve
dir. Yukarıdaki ifadelerden, E2*(s)
ve
olur. Buradan C*(s)/ R2*(s) için
bulunur. Toplam transfer fonksiyonu için, E1*(s)ifadesinde, E2*(s) yerine değeri yazılır ve R2*(s)= G1*(s) E1*(s) ifadesi kullanılırsa,
ya da
elde olunur. Buradan
bulunur. Öte yandan C*(s)
a da E1*(s)’in ifadesi kullanılarak C*(s) için
bulunur. Buradan Gt*(s) toplam transfer fonksiyonu
ya da
elde olunur.
Şekil 5: Örnek 2’e ilişkin şekil Çözüm: s argümanını göstermeden önce
ya da
C ifadesinde E2 ve E1 yerine ifadeleri yazılırsa
olur. Buradan C* için
elde olunur. E1* için
yazarak
elde olunur. Bu ifadelerden açıkça görülmektedir ki C*çarpan haline getirilemez ve bu nedenle de C* çözülemez. C*/ R* transfer fonksiyonu da verilemez.
5.1. Sayısal Kontrol Sistemlerinin Analizi a. z dönüşümü ile verilen sistemler:
Açık çevrim cevabı
Geri besleme yoktur. u(z) + y(z) Kapalı çevrim cevabı
Örnek:
ileri fark yöntemine göre z’li ifadesi;
Açık çevrim basamak cevabı;
k’ya değer verilince y(k)’nın değişim grafiği Analog Sistem:
Kapalı çevrim birim basamak cevabı;
Açık ve kapalı çevrimde aynı değerler göz önüne alınıp çözümler yapıldığında şekillerden de görüldüğü gibi kapalı çevrimin yükselme hızı açık çevrime göre daha fazladır. a. Örneklenmiş Veri Sistemlerinin Analizi: E(s) E*(s) y(s) T tutma Örnekleme ve tutma Örnek:
olduğundan
y(z) = A(z).F(z) olduğundan yerlerine yazılırsa;
Örnek: E(s) E*(s) y(s) T
İki yıldızsız ifade çarpılmış olsaydı y(s) = G(s).E(s) olurdu. Her iki tarafın yıldızı alınırsa
olurdu. Örnek: Aşağıda gösterilen blok diyagramında E(s) E*(s) y(s) T
y(z) =G(z).E(z) ’ten yerine konursa;
Örnek: Önceki örnekte
için birim basamak cevabı nedir?
bulunmuştu. Buradan
Birim basamak cevabı
Açık Çevrim Örneklenmiş Veri Sistemleri:
1) E(s) E*(s) V(s) y(s) T
2) E(s) V(s) V*(s) y(s) T
3) E(s) E*(s) V(s) V*(s) y(s) T
Örnek:
E(s) E(z) K(z)
K(s)
y(s)
olduğundan
Sonuç olarak bu bölümde örneklenmiş ve dijital işaret haline getirilmiş işaretlere ilişkin transfer fonksiyonları, açık çevrim kontrol sistemlerinin incelenmesinde kullanılan blok diyagramlarının inceledik. Bilindiği üzere sürekli işaretle çalışan kontrol sistemlerinde blok diyagramları çoğunlukla sbölgesinde incelenir. Halbuki örneklenmiş işaretlerde ise blok diyagramları z bölgesinde verilir ve incelenir. Dijital kontrol sistemlerinde blok diyagramlarında sürekli e(t) işaretinin Laplace dönüşümü E(s) ve örneklenmiş işaret e∗ (t)’nin Laplace dönüşümü farklı
fonksiyonlardır. Bu sistemlerde her zaman y∗ (s) / u∗ (z) yada y(z) / u(z) oranını veren toplam transfer fonksiyonunu elde etmek mümkün değildir. Örnek: Aralarında ideal örnekleyici bulunan seri bağlı bir elemanın çıkış ifadesi şöyledir; e(t) e*(t) f(t) f*(s) y(t) y*(t) E(s) E*(s) F(s) F*(s) y(s) y∗ (s)
Her iki ifadenin görüldüğü gibi yıldızlı ifadeleri bulundu. Şimdi ise F∗ (s) ifadesi y∗ (s)’deki yerine konursa
5.2. Temel Kontroller a. Açma - Kapama Kontrolü: (t)
1 Böyle bir sistemin cevabı referans noktası civarında salınım şeklindedir. a. Oransal Kontrol (P): Oransal kontrolde kontrol organının girişi olan hata sabit bir sayı ile çarpılarak çıkış elde edilir. E(s) M(s) e(t) m(t) Buradan m(t) = Kp. e(t) veya M(s) = Kp . E(s) ortaya çıkar. Oransal kontrolün transfer fonksiyonu
’dır. Kp değerine orantı sayısı ve kazanç denir.
Kp değeri keyfi olarak arttırılamaz. Sistemin cevabını hızlandırır. İstenen noktaya daha çabuk ulaşır. P kontrol normal olarak kararlı bir çalışma oluşturur. Daima bir daimi rajim hatası (offset) mevcuttur. Kp kazancı arttırılarak bu hata küçültülebilir. Fakat K çok büyürse sistem davranışı kararsız olabilir. Oransal kontrolörün hata da birim basamak değişmesi olduğu zaman vermiş olduğu cevap aşağıdaki şekildeki gibidir. e(t) m(t) m(t) = K . u(t) K 1
t
a. Türev Kontrolör (D):
Türev kontrolör hatanın türevini almaktadır. Sabit kalan hata üzerinde ise etkinliği yoktur. Hata girişi sabit ise diferansiyel etkinin sağlayacağı kumanda sıfır kumandadır. Bu yüzden kontrol organlarında diferansiyel (türev) kontrolör tek başına kullanılmaz. Bu kontrolör değişmekte olan hata üzerinde etkilidir. Hata daha değişmeye başlıyorken hemen harekete geçer. Bu nedenle türev kontrolör “önceden seziş” olarak kabul edilir. Ayrıca bu kontolör kısaca sistemin çıkışının osilosyonunu giderir diyebiliriz. b. İntegral Kontrolör (I): Bazı hallerde I kontrolör tek başına kullanılarak I tipi kontrol elemanı elde edilir.
I kontrolör sistemdeki hatayı sıfır yapar. Fakat, I kontrolör yavaş bir kontrol sağlar. Yavaş olmasının nedeni ise 900 derece faz gecikmesi getirmesidir. I kontrolör birim basamak girişe cevabı aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. e(t) u(t) u(t) 1 e(t) t
c. PI kontrolör: PI kontrolör, P ve I kontrolörleri birleştirir. Sistemde daimi (sürekli) rejim hatası sıfırdır. Oransal’ın integrale eklenme sebebi, integral zaten sürekli rejim hatsını gideriyordu fakat yavaştı. Oransal işe sistemin cevabını hızlandırıyordu. Bu şekilde daha hızlı bir şekilde sistemin sürekli rejim hatası gideriliyor. PI kontrolörün birim basamak girişe cevabı şekildeki gibidir.
e(t)
u(t) u(t) K 1
t f) PD kontrolör: PD kontrolör, P’den dolayı hızlı bir çalışma sağlar, D’den dolayı ise sistemin 90 0 faz avansı getirir. Ancak sistemde sıfır yapılamayan bir sürekli rejim hatası mevcuttur. PD kontrolörün birim basamak girişe cevabı şekildeki gibidir. K 1 t
g. P – I – D kontrolör: P, I ve D etkilerin biraraya gelmesiyle oluşur. Her bir etkinin davranış özelliklerine sahiptir.
PID kontrol organı, hızlı ve daimi rejim hatası sıfır olan bir kontrol sağlar. Kp, KD, Ki katsayılarının uygun ayarlanması ile iyi bir kontrol sağlamak mümkündür. PID kontrolörün birim basamak cevabı şekildeki gibidir. K 1 t
Örnek:
R(s) + -T
, Kontrolsüz birim basamak cevabı;
genel ifadesi bu blok için bilindiğine göre;
C(s)=
C (s)=
=
.
+
(e
olduğundan )
C(z)=
C(z)= G(s)=F (s).C(s) buradan her iki tarafın yıldızlı dönüşümünü alırsak;
G
F
R(z)
Y(z)=
Y(KT)= y(k) 1 3/7
Birim basmak olduğundan
, dir.
( pay ve paydayı 4’ e bölersek)
k
Normalde eğrinin 1’e gitmesi gerekirdi. Fakat görüldüğü gibi ’ ye gidiyor. Dolayısıyla ’ lik bir kayıp var. Dolayısıyla bu sistemde sürekli rejim hatası vardır. Bunu önlemek(sürekli rejim hatasını yok etmek) için devreye bir integral kontrolör bağlanırsa bu hata giderilir. Son değer teoremini uygularsak;
Lim
Lim
f(kt)=f(
)=Lim
(z-1).Y(z)=Lim
(z-1).F(z)
(z-1).
Görüldüğü gibi ’ lik sürekli rejim hatası mevcuttur. Bu tür durumlarda son değer teoremi uygulanırsa sistemde sürekli rejim hatası olup olmadığı görülebilir. Sistemin sürekli rejim hatsını yok etmek amacıyla integral kontrolör bağlanırsa; Ki=3 olan I kontrolör önceki örneğe bağlanırsa,
1 dir.(geri besleme kayıtçısı 1 dir.)
idi. Buradan;
Y(z)=T(z).R(z) R(z)=
( birim basamaktan dolayı)
son değer teoremini uygularsak;
Lim
(z-1).
*Görüldüğü gibi integral kontrolör aynı devreye uygulanınca sürekli rejim hatsı ortadan kaldırılmış olur.
6.1. Kararlılık Analizi Jury Stabilite (Kararlılık) Testi: Kararlılık testi transfer fonksiyonunun faydasından tayin edilir. Jury tarafından önerilen ve dijital kontrol sistemleri kararlılığının doğrudan z düzleminde incelenmesini sağlayan bir yöntemdir. Dijital kontrol sistemi karakteristik denklemi,
olarak tanımlansın. an, an-1,... aa gerçek katsayılardır. an’in pozitif olduğu varsayımı ile Jury kararlılık test tablosu hazırlanır. z0 z1 z2 ............. zn a0 a1 a2 ............ an an an-1 an-2 ............ a0
b0 b1 b2 ................. bn-1
bn-1 bn-2 bn-3 ........... b0
c0 c1 c2 ........... cn-2
cn-2 cn-3 cn-4 ........... c0
Jury kriterine göre kararlılık şartları:
1.
2.
n çift ise
3.
n tek ise
4. 5. 6.
,
k = 0, 1, 2, ...
Örnek: 0 1 2 3 z z z z
0,4 1,1 1,2 2
2 1,2 1,1 0,4
-3,84 -1,96 -1,72
-1,72 -1,96 -3,84
,
1. 2.
3.
4.
Görüldüğü gibi 4 şartta sağlandığından sistem kararlıdır.
Örnek: Dijital kontrol sisteminin kararlılık denklemi
olarak veriliyor. Sistemin kararlılığını inceleyiniz.
1.
2.
Oysaki
(n tek ise) koşulu sağlanmadığından en az bir kök daire üstünde ya da dışındadır. Ayrıca tablo kurulduğu taktirde
’in de
sağlanmadığı görülür. O halde kararlı değildir.
Örnek:
olarak verilen karakteristik denklemin kararlılığını inceleyiz.
1. 2.
mıdır?
olduğundan sistem kararlı değildir.
Örnek:
kararlı olabilmesi için K ne olmalıdır?
1.
2.
3.
3.
ifadenin ortak paydasını alırsak;
bulunur.
Eğer K “0” veya “1,964” dursa kökler birim çember üzerine denk gelir. Dolayısıyla osilasyon oluşur.
Bu sınırların dışında sistem Kararsız olur.
MATLAB UYGULAMALARI MATLAB'ta Diferansiyel Denklemlerin Köklerinin Bulunması; Matlab'ta diferansiyel denklemlerin köklerini bulmak için aşağıdaki biçimde fonksiyonlar kullanılabilir. katsayilar=[2 3 4]; kok=roots(katsayilar) kok =-0.7500+ 1.1990i -0.7500- 1.1990i denklem ikinci dereceden olduğu için iki kökü vardır. MATLAB'ta Transfer Fonksiyonlarının Basit Kesirlere Ayrıştırılması; pay=[1]; payda=[1 -5 6]; [kok yer kalan]=residue(pay,payda) kok = yer = kalan= 13[] -1 2 Burada kalan =[ ] boş matrisi kalan olmadığını göstermektedir. örnek 3 için pay=[1]; payda=[1 -4 5 -2]; [kok yer kalan]=residue(pay,payda) kok = yer = kalan = 1.0000 2.0000 [ ] -1.0000 1.0000
-1.0000 1.0000 ikinci ve üçüncü durumlar aynı gibi görünseler de aslında ikinci durum (z-1)'i ,üçüncü durum (z-1)2 sini ifade eder. kontrolör ile ilgili örnek sistem kontrolör U(z) Y(z) kontrolör ve sistemin birleştirilmesi py1=[2];pd1=[1]; py2=[0.007 0.007];pd2=[1 -1.937 0.943]; [pay payda]=series(py1,pd1,py2,pd2) pay = payda = 0 0.0140 0.0140 1.0000 -1.9370 0.9430 birim geribeslemeli cevabı [pay1 payda1]=feedback(pay,payda,1,1,-1) pay1 = payda1 = 0 0.0140 0.0140 1.0000 -1.9230 0.9570 sistemin birim basamak cevabının bulunması dstep(pay1,payda1)
sistemin birim basamak cevabı sistemin birim impulse cevabının bulunması dimpulse(pay1,payda1)
birim impulse cevabı U(k)=exp(-2k) için sistemin cevabının bulunması k=1:1:300; u=exp(-2*k); dlsim(pay1,payda1,u)
U(k) girişi için sistemin cevabı Transfer fonksiyonundan durum denklemine dönüşüm pay=[1 1];payda=[1 2 3 1]; [a b c d]=tf2ss(pay,payda) a = b= c = d = -2 -3 -1 1 0 1 1 0 1000 0100 Durum denkleminden transfer fonksiyonuna dönüşüm a=[-2,-3,-1;1,0,0;0,1,0]; b=[1;0;0];
c=[0,1,1]; d=[0]; [pay payda]=ss2tf(a,b,c,d) pay = 0 0.0000 1.0000 1.0000 payda = 1.0000 2.0000 3.0000 1.0000 Durum uzay diyagramı ve transfer fonksiyonu için; R(s) + + C(s) İçice döngülü blok şema n1=1;d1=1;n2=.5;d2=1;n3=4;d3=[1 4]; n4=1;d4=[1 2];n5=1;d5=[1 3];n6=2;d6=1; n7=5;d7=1;n8=1;d8=1; nblocks=8; blkbuild State model [a,b,c,d] of the block diagram has 8 inputs and 8 outputs q= [ 1 0 0 0 0 2 1 -6 -7 -8 32000 43000 54000 63000 74000 8 5 0 0 0 ]; input=[1];output=[8];
[ac bc cc dc ]=connect(a,b,c,d,q,input,output)
ac = bc= cc= dc=
-8.0000 -2.5000 -0.5000 0.5000 0 0 1 0 4.0000 -2.0000 0 0 0 1.0000 -3.0000 0 Sürekli zamandan ayrık zamana dönüşüm G(s)=10/(S2 + 7s + 10) olsun a-) Sıfırıncı dereceden tutucu yöntemiyle örnek 1 pay=10; payda=[1 7 10]; T=0.1; [pay1 payda1]=c2dm(pay,payda,T) pay1 = payda1 = 0 0.0398 0.0315 1.0000 -1.4253 0.4966 z dönüşümünü görmek için printsys(pay1,payda1,'z') num/den = 0.039803 z + 0.031521 -------------------------------z^2 - 1.4253 z + 0.49659 örnek 2 a=1;b=[1 -3 2 0]; [p,d]=c2dm(a,b,0.1,'zoh') p =1.0e-003 *0 0.1798 0.7756 0.2089
d =1.0000 -3.3266 3.6764 -1.3499 printsys(p,d,'z') num/den = 0.00017977 z^2 + 0.00077562 z + 0.00020886 -------------------------------------------------------z^3 - 3.3266 z^2 + 3.6764 z - 1.3499
b-) Tustin algoritması ile
pay=10; payda=[1 7 10]; T=0.1; [pay1 payda1]=c2dm(pay,payda,T,'tustin')
pay1 =0.0182 0.0364 0.0182 payda1 =1.0000 -1.4182 0.4909 z dönüşümünü görmek için printsys(pay1,payda1,'z') num/den = 0.018182 z^2 + 0.036364 z + 0.018182 ----------------------------------------------z^2 - 1.4182 z + 0.49091
