Otomatik Kontrol Sistemleri - Sakarya Üniversitesi 2013 Vize Soruları

Otomatik Kontrol Vize Sınavı S-1)

11.04.2013 Yanda blok diyagramı verilen sistem için;

s

1

k

?

b) sisteme ait blok diyagram

B( s) R(s)


 

a)

c

1

X (s) m

1 s A( s )

Y (s)

R(s)

s

G( s)

Y (s)

şeklinde düzenlenmek istendiğindeG(s)=? a) 1.yol, Doğrudan blok diyagramı üzerinden 1-) B ( s ) = c( sR ( s ) − A( s ))

5-) 4 numaralı denklem 1’de yazılır ise B( s ) = c ( sR( s ) − sY ( s ) )

2-) X ( s ) = B ( s ) + k ( R ( s ) − Y ( s ))

6-) 4 ve 5 numaralı denklemler 2’de yazılır ise

sm ( sY ( s ) ) = c ( sR( s) − sY ( s) ) + k ( R( s) − Y ( s) ) X (s) → X ( s ) = smA( s ) sm A( s ) 4-) Y ( s ) = → A( s ) = sY ( s ) s

s 2 mY (s ) = scR(s ) − scY (s ) + kR( s) − kY ( s)

3-) A( s ) =

Y ( s ) ( s 2 m + sc + k ) = R ( s ) ( sc + k )

Y (s) sc + k = 2 R ( s ) s m + sc + k 2.yol,

1 s m + sc

s

2

c

R(s)

1

k

sc

m

1

1 s

Y (s)

s

k

k s m + sc + k 2

R(s)

1 s m + sc

k

sc

Y (s)

2

k

 sc + k  R( s)    k 

k s m + sc + k

Y (s)

2




Y (s) sc + k = 2 R ( s ) s m + sc + k

b)

R(s)

G( s)

Y (s)




Y (s) G (s) sc + k sc + k = = 2 → G ( s) = 2 R ( s ) 1 + G ( s ) s m + sc + k s m

S-2)

0.8 50s + 1

r (t )

   5  basamak giriş için; i) ifadesini elde ediniz. y (t ) ii)    ? elde ediniz. ii) ’nin son değerini y (∞) = lim y ( kT ) ve y (∞) = lim( z − 1)Y ( z ) k →∞

z →1

ifadelerinden ayrıayrı hesaplayınız.

*

*

*

*

i) Y ( s) = R ( s)G ( s) → Y ( s) = R ( s)G ( s ) → Y ( z ) = R( z )G ( z )

r (t ) = 5u (t ) → R( z ) = 5 G ( z ) = Z {G ( s )}T =5 s

G( z ) =

z z −1

 0.8  0.8  1    0.8  50  Z =Z =Z =     50 s + 1 T = 5 s  s + 150 T =5 s 50  s + 150 T = 5 s

0.8  1 1 z s + sT 50 50  s+ 1 z −e 50 

 0.016 z  = z − 0.905 s =−1/ 50  T =5 s

z 0.016 z 0.08 z 2 Y ( z ) = R( z )G ( z ) = 5 = z − 1 z − 0.905 ( z − 1)( z − 0.905)

ii)1.yol rezidü yöntemi kullanılarak,

0.08 z 2 0.08 z 2 k −1 + ( z − 0.905) y ( k ) = ( z − 1) z z k −1 ( z − 1)( z − 0.905) ( z − 1)( z − 0.905) z =1 z = 0.905

y (k ) = 0.842 − 0.762*0.905k 2.yolbasit kesirlere ayırma yöntemi kullanılarak,

Y ( z) 0.08 z A B = = + ⇒ A = 0.842, B = −0.762 z ( z − 1)( z − 0.905) ( z − 1) ( z − 0.905)

Y ( z ) 0.842 0.762 0.842 z 0.762 z = − = − → y (k ) = 0.842 − 0.762*0.905k z z − 1 z − 0.905 z − 1 z − 0.905 iii) y (∞ ) = lim( z − 1)Y ( z ) = lim( z − 1) z →1

z →1

0.08 z 2 0.08*12 = = 0.842 ( z − 1)( z − 0.905) (1 − 0.905)

y(∞) = lim y(k ) = lim ( 0.842 − 0.762*0.905k ) = 0.842 k →∞

k →∞

S-3) a) (10p)

uort (t) = K ⋅ u (t) uort (t) = Ric (t) + Vc (t) ve ic (t) = C (t) ⋅ uort (t) = R ⋅ C (t) ⋅

d Vc (t) olduğuna göre; dt

d Vc (t) + Vc (t) olarak elde edilir. Buradan; dt

k d Vc (t) uort (t) − Vc (t) burada C (t) = c soruda belirtildiği gibi denklemde yerine koyulduğunda; = Vc (t) dt RC (t) d Vc (t) uort (t) − Vc (t) V (t) V (t) 2 = = uort (t) c − c olarak elde edilir. kc dt Rk Rk c c R Vc (t) d Vc (t) Vc (t) Vc (t) 2 f1 = = uort (t) − lineer olmayan diferansiyel denklem. dt Rkc Rkc b) (5p)

Vc (t) = V0 olmak üzere;

 ∂f  A* =  1   ∂Vc (t) V0 ,u0

 ∂f  B* =  1   ∂u (t) V0 ,u0

  Vc (t) Vc (t)2   ∂ u (t) −   ort  Rk Rkc   u0 2V0 * u0 − 2V0 c   A = = = −   Rkc Rkc ∂Vc (t) Rkc    

  Vc (t) Vc (t) 2   (t) ∂ u −   ort  Rk Rkc   V0 V c   B* = 0 = =   Rkc ∂u (t) Rkc    

c) (10p)

∆Vc (s) B* s∆Vc (s) = A ∆Vc (s) + B ∆u (s) = D (s) kontrolör olmak üzere sürekli-zaman kapalı çevrim ∆u (s) s − A* *

*

kontrol blok diyagramını çiziniz.

∆u (s)

D (s)

B* ∆Vc (s) s − A*

Sürekli-zaman kapalı çevrim kontrol blok diyagramını

S-4)I.dereceden zaman sabiti 1 ve açık-çevrim kazancı 1 olan sistemin transfer fonksiyonuG(s) aşağıda belirtildiği gibi elde edilir;

τ = 1; K = 1 G (s) =

K 1 = τ s +1 s +1

a)(10p) Sistem, sayısal kontrolör “D(z)” ile kontrol edildiği için kapalı-çevrim kontrol blok diyagram; ayrık-zaman kapalı çevrim kontrol blok diyagram olarak çizilmelidir.

1 s +1

D( z ) G (z)

Veya

1 s +1

1 − e − sT s

D( z )

G (z)

Şeklinde çizilebilir. b) (10p) Ayrık-zaman açık-çevrim transfer fonksiyonu: T=0.1

AÇTF = D (z) G(z); D (z) = K 1 − e − sT 1   1  −1 G (z) = Z  ⋅  = (1 − z ) Z   s + 1  s ( s + 1)   s

G (z) =

z − 1  1 z s  z  s (s + 1) z − e sT

+ s =0

1 z ( s + 1) s ( s + 1) z − e sT

G (z) =

z −1  z z  z − = 1−  −0.1  z  z −1 z − e  z − 0.9048

G (z) =

0.0952 z − 0.9048

AÇTF = K

  s =−1   T=0.1

0.0952 z − 0.9048 olarak elde edilir.

c)(5p) Ayrık-zaman kapalı çevrim transfer fonksiyonu;

T (z) =

C (z) D (z) ⋅ G(z) = R (z) 1 + D (z) ⋅ G(z) olarak hesap edilmelidir.

Buradan;

0.0952 z − 0.9048 olduğuna göre (bkz ‘b’ şıkkı); 0.0952 K 0.0952 K z − 0.9048 = T (z) = 0.0952 z − 0.9048 + 0.0952 K olarak elde edilir. 1+ K z − 0.9048 D(z) ⋅ G(z) = K