PID Parametrelerinin Deneysel Olarak Ayarlanması
Endüstriyel uygulamalarda, PID kontrolörler genellikle deneysel olarak ayarlanır. PID kontrolör esnek olarak olarak ayarlanabilen üç adet parametre parametre oransal kazanç K p , integral zaman sabiti T i i ve türev zaman sabiti T d d ‘ ye sahiptir. K p nin arttırılması sistem cevap hızını arttırır ancak cevap osilasyonuda artar. Aynı Aynı durum T i,i, azaltıldı azaltıldıı zama zamanda nda söz söz konusud konusudur ur . T d d nin arttırılması ile sistem cevabı daha yava ancak daha kararlı olur. Bu bilgiler ı ı ıı altında, matematik modeli mevcut mevcut olmayan olmayan sistemlerin kontrolünde PID kontrolör parametreleri deneme yanılma yöntemine yöntemine dayalı olarak olarak ayarlanabilir, ancak bu yöntemim ba arısı tamamen tasarımcının deneyimine ve ki ki isel becerisine ba ba lıdır. PID kontrolör parametrelerinin daha sunmulardır. basit pratik ayarlanabilmesi ayarlanabilmesi için Ziegler ve Nichols iki yöntem sunmu Ziegler-Nichols metodları ile PID Tasarımı
Bu metodların avantajı sistem modeli ile ilgili bilgiye ihtiyaç duymamasıdır. PID parametreleri K p , T i ve T d d ayarlamak için, kullanılacak yönteme göre, sadece sistemin açık çevrim veya kapalı-çevrim cevabı yeterli olmaktadır. Ayar kuralları sürekli-zaman sistemlere dayanmaktadır ve e e er örnekleme zamanı T yeteri kadar küçük seçilirse ayrık-PID kontrolöre de uygulanabilir. ki adet yöntem vardır.
Transient Cevap Metodu ile PID Tasarım (Transient response method ) Önce sistemin basamak giri giri için açık-çevrim cevabı elde edilir. Bu yöntemin uygulanabilmesi için sistem açık-çevrim cevabının S- eklinde olması gerekir. Yoksa bu yöntem uygulanamaz. uygulanamaz. Kontrol edilecek edilecek olan sistemin açık-çevrim açık-çevrim transfer transfer fonksiyonunda fonksiyonunda integratör ve/veya kompleks e e lenik kutuplar bulunmamalıdır. Sistem I. dereceden ölü zamanlı sistem olarak modellenir. − sL
G(s) =
u(t)
Kontrol edilen sistem
A
c(t)
Ke
τ s + 1
K
τ !"#$# L !"%&$&
C(t) 1
cevap e erisinden;
ξ = 0.2 civarında olacak ekilde
KA
L
τ
t
K , Ti , T d tabloya göre seçilir.
Kontrol Kontr ol edile edilecek cek olan siste sistemin min açık trans transfer fer fonks fonksiyon iyonuu G( s) Cevap e erisi c (t )
'"$())*+,!( ' "$())*+,!( c(t ) (-))()(
Transient cevap yöntemine göre, K P , T i T d PID parametre tablosu. Kontrolör
K P
Oransal(P)
T i i
T D
-
τ
-
KL
Oransal-ntegral(PI) Oransal-
3 L
0.9τ
-
KL
Oransal-integral-türevsel(PID)
1.2τ
2 L
0.5 L
KL
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bu kurallar PID parametrelerinin seçiminde ilk de de er vermeyi sa sa lar. Parametrelere son deerler a de aaıda ekilde gösterildi gösterildi i gibi, kapalı-çevrim sisteminde gerçek zamanda ince ayar K i yava yava-yava -yava azaltılarak ve K d arttırılarak yapılır.
r(k)
K p (1 +
1 z
Ti z − 1
+ T d
z − 1 ) z
1 − e−
s
T
sistem
c(t)
!/,01! !/,01!"/$ "/$
Örnekleme frekansı, pratik olarak en yüksek band geni genili lii frekansının takriben 20 katı seçilmelidir. Eer örnekleme frekansı yeteri kadar büyük seçilmezse ayrık-zaman PID kontrolör elveri elveri li cevap vermez. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Limit Kararlılık Metodu ile PID Tasarım ( The Stability Limit Method ) Bu yöntem kapalı-çevrim kontrol olarak uygulanır. PID parametre ayarına, yalnızca oransal kontolör K ile ba balanır, T I → ∞, T d → 0 olmak üzere. Sistem sürekli osilasyon yapıncaya kadar K yava -yava arttırılır . Sürekli osilasyon ba baladı ladıında, bu noktada kazanç K s ve
kar ılık gelen osilasyon periyodu ise T w K s ve T w ye göre PID !arametreleri K P , T i , T d aaıda verilen tablodan seçilir.
.
Limit kararlılık yöntemine göre K P , T i T d PID parametre tablosu. Kontrolör
K
Ti
Td
P
0.5 K s
-
-
PI PID
0.45 K s 0.6 K s
T w /1.2
-
T w / 2
T w / 8
Limit kararlık yönteminin uygulaması için aaıda ayrık-zaman kapalı çevrim kontrol blok diyagramından görüldüü basamak giri için çıkı cevabı osilasyona gelinceye kadar oransal kontrol katsayısı artırılır, Osilasyona gelmeyen sistemlerde bu yöntem uygulanamaz.
r(k)
K p (1 +
1 z
Ti z − 1
+ T d
z − 1 ) z
1 − e−
T
s
sistem
c(t)
T i → ∞ T d → 0 Limit Limit kararlılık yöntemi yöntemi için kapalı-çevrim kapalı-çevrim kontrol blok blok diyagramı.
Sistem aaıda gösterildii gibi osilasyona geldiinde tablodan sınır kazanç ve osilasyon periyoduna göre, PID P ID parametreleri hesabı hesab ı için gerekli katsayılar katsa yılar tablodan okunur okunu r .
2
Örnek:
4+55)*
Ω( s)
V ( s)
=
K
( Js + b)( Ls Ls + R) + K 2
, ! !6( 6(,6 ,6
0.01 km2 / s 2 Mekanik sistem sönüm oranı b = 0.1 Nms Elektromotor kuvvet kuvvet sabiti K = K e = K t = 0.01 Nm / Amp R = 1 Ω Rotor direnci L = 0.5 H Rotor endüktansı endüktansı v(t ) volt Rotor giri gerilimi Motor açısal hız : w(t ) rad / sn J
Rotor atalet momenti momenti
=
DC motor PID kontrol kurallı olarak kapalı-çevrim kontrol edilecektir. PID kontrolör parametre
katsayılarını 7/8%transient cevap metodu & bulunuz. bulunuz.
Çözüm: Motor sabiteleri transfer fonksiyonunda ilgili parametrelerde yerine koyulur. Ω( s)
V ( s) Ω ( s )
V (s )
=
0.01 (0.01s + 0.1)(0.5s + 1) + 0.012
=
2 1 elde edilir. Birim basamak giri giri için, V ( s ) = s ( s + 2)( s + 10)
Ω( s ) =
→
Ω( s )
V (s )
=
0.01 2 = 0.005s 2 + 0.06 s + 0.1 s 2 + 12 s + 20
2 "&)(),!/6$ s ( s + 2)( s + 10)
+/,55)
V (s)
2
s
2
+ 12 s + 20
Ω( s )
+#/#,!( w(t ) %&(%#/6 7/8%&)%) 55)1& +)/, +)/,##,# ##,#
V (s)
Ω( s ) 3
+)1& +)1& #& #& L , #τ #9)*,! w(t ) ##,!( -)(6(!
;<!
c(t ) =
w(t ) = s
w(t ) =
2 e st s ( s + 2)( s + 10) s
1 1 − e 10 8
−2t
+
1 e 40
−10t
d m−1
1
n
2 w(t ) = L + + s s s ( 2 ) ( 1 0 ) −1
(m − 1)! dz
m−
i =1
+
( s + 2)
=0
m st − ( ) ( ) s s F s e i 1
2 e st s ( s + 2) ( s + 10) s
+
( s + 10)
=− 2
2 e st s ( s + 2) ( s + 10) s
=− 10
5 w(t ) (6-)
(&,* dw(t )
=
dt d 2 w(t ) 2
dt
1 e 4
=−
−2 t
−
1 e 2
1 e 4
−2 t
+
−10 t
5 e 2
11,56 11,5 6-)( -)(
−10 t
=
0
→
5 e 2
−10 t
=
1 2t e 2 −
→
e−8t
=
t = ln(0 0.2 * (0..2) /(−8) *
t = ln(0 (0..2) /(−8) t = 0.2011 dw(0.2011) dt w(0.2011) =
=
1 e 4
−2 ( 0.2011)
1 1 − e 10 8
−
1 e 4
−2 ( 0.2011)
+
−10 ( 0.2011)
1 e 40
=
0.1337 -)( -)(
−10 ( 0.2011)
=
0.0197 -)( -)( w(t ) (
:!(,!( :!( ,!(%&6 %&6(,6 (,6
= si
tan(α ) =
dw(t ) dt
=
→
x =
x
max
=
dw(t ) dt
0.0197
0.1337
0.0197 0.1337
= 0.1437 sn
#))&
L=0.2011−x =0.2011−0.1437 L = 0.0574 sn '),( y (t ) (* y (t ) = 0.1371* t − 0.079
y (∞ ) = 0.1371* d − 0.079 = 0.1 , t &!* d
= 1.3056
sn #)))
=*τ = d − L = 1.3056 − 0.0574 τ = 1.2482 sn
K =
y (∞) − y (0) V (∞) − V (0)
=
0.1 − 0 1− 0
→ K = 0.1
DC motor I.dereceden ölü zamanlı sistem olarak,
0.1e 0.0574 s = V ( s ) 1.2482s + 1 Ω( s)
−
1&##,#
:!*&,#( :!*&, #(01! 01!6( 6( !6
K = 0.1
Kazanç
L = 0.0574 sn
ölü öl ü zaman
τ = 1.2483 sn
zaman sabiti
1.2τ 1.2* 2*11.2482 K p = Kp • K p K p = 260.94 = K L 0.1*0.0574
Ti = 2 L
→
T=0.1 148 K i • i
K p
Ti
K i = 2273.1
Td =0.5L → Td =0.028 2877 K d • K Td K d = 7.4 .489 8922
+!/,#%6(,6
( s )
K
1
V (s)
Ti s
2 2 s + 12 s + 20
Ω( s )
Td s
)+) 6(*1&) !/,##,#,6
&5(%#*7/8%) &5(%#*7 /8%) (,7/8% (,7 /8% ξ = 0.2 *) ,!!56* K i azaltılarak ve K d arttırılarak yeni de deerlere
göre birim basamak giri giri için cevap a aaıda verilmi verilmitir,.
>
;* #6%(* 01! (6(,+ ,# ,6
K p
= 260.94
K i =239.26 K d =11.60
PID parametrelerinde yapılan ayar sonrası sistem cevabı.
Ω ( s )
V (s )
2 s 2 + 12s + 20
=
!!" !! "# #$ $%& %& $
!"+))θ (t ) %6% v(t ) 5 5)#
dθ (t ) dt
=
w(t ) * sθ ( s ) = Ω ( s )
5))*
θ ( s ) V (s)
=
→
θ (s ) =
Ω( s )
s
@5
1
2 s s 2 + 12 s + 20
'$$ '$ $ + +
!!/, ! !/,#%6( #%6(,6 ,6
θ ref ( s )
K p
2
s 2 + 12s + 20
Ω( s )
1 θ ( s) s
+)!/,)
?
Kapalı-çevrim sistemini osilasyona getirecek olan sınır kazanç K #))9) Routh kararlılık kriteri kullanılır. Karakteristik denklem , F ( s ) = 1 + G ( s ) = 1 +
2 K p =0 s ( s 2 + 12 s + 20)
4)#))6)))
→ F ( s ) =
s 3 + 12s 2 + 20 s + 2 K p
=
0
6#1) !5
s 3
1 20 12 2 K s 2 0 s1 (240 − 2 K p ) 2 K p 2 K p 0 s 0
/
240 − 2 K p 2 K p
/ 2 K p
>
> 0 K p < 120
0 K p
>
0 0 < K p < 120
Sınır kazanç K s = 120 B5 wd *)#) s 2 !12 s 2 + 2 K s
s1,2
= ± jwd = ±
2
= 0 12 s + 240 s = 0 s1,2 = ±
j 3.61 rad / sn )()$$%&$'$ wd = 3.61 rad / sn
B!)*Tw
=
2π wd
→ T w =
2π T w = 1.9869 sn dir . 3.61
'),6* )+! %66*
θ (t )
θ ref (t ) = u (t ) ,+
θ ref (t )
K s
j 3.61
)))(6 ,6
= 120 *##%6+θ (t ) ,#
K p = 0.6K s
T=0.5T i w
! T w
→ K p = 72 →
= 1.9869 sn
K p • K p
Ti = 0.9935 K i •
K p
Ti
, K s
K p = 72 K i=7A2.47
Td =0. =0.1125Tw → Td =0 =0..2484 Kd • K pTd K d =17.88
= 120
)+!)!/,#%6(
R( s )
K p
1
V (s)
Ω( s )
2
s 2 + 12 s + 20
Ti s
1
θ ( s )
s
Td s
9#5%6+θ (t ) %&(66(,6
&5( %#*7/8%) ( ,7/8% ξ = 0.2 *6%&(%# 6* )
Birim basamak DC motor konum cevabı.
deerlere ,!!56* K i azaltılarak ve K d arttırılarak yeni de göre birim basamak giri giri için cevap a aaıda verilmi verilmitir,(.
C
;*#6% (* 01 !(6(, +,#,6
K p
= 72
K i =22.3 K d = 49.17
PID parametrelerinde yapılan ayar sonrası sistem cevabı.
01)+55!* j = 2 θ ref (t ) = tu (t ) !%6
e ss
= 0 )
9%6+!*01 9%6+! *010) 0) )%)
Deneysel PID parametre ayar yöntemleri Nichol-Ziegler , aynı zamanda ayrık-zaman PID kontrolörlerde uygulanabilir. Sıfırıncı dereceden tutucu
1 − e sT s
−
≅
e
T
2
*,
6(*& L = L sistem +
T
2
T
2
&%(
%01
#))#7/8%&*01& #))#7/8%& *01& #6%(,(* #6%( ,(*!5 !5(% (%6# 6# , , % %& & ()/01& () /01&& & )# )# 6(+, 6( +,) )/!/ /!/, , #%,6
1 z
z −1 ) + T d K p (1+ Ti z −1 z
2
Ω( s )
s 2 + 12s + 20
K p (1 +
1 z
Ti z − 1
+ T d
2
z −1 ) z
2
+ 12 s + 20
θ ( s )
@&*+, @& *+, ) ) % %! ! #* #* & * * / /, , , ! ! ) ) #)()& #)() &,D, ,D, 6 6 E#)!))) & & # # ! !5 5 ( ( 01 !5&)#
.
Dijital Kontrol Sistemleri. Doç. Dr. Ayhan Özdemir
Örnek: Konum ölçer
q d
Karşılaştırma
q ref
r
PID
q F
K
Kontrolör
Güç kuvvetlendirici
mg DC-motor
a) Sarkaç sistemi
pervane
b) Basitleştirilmiş sarkaç kontrol gösterimi.
Şekil a) da verilen sistemde, DC motor ile tahrik edilen sarkaç sisteminde çk q açs, istenen q ref konumunda tutulmaya çallmaktadr. Sisteme ait dinamik denklemleri yaznz .
é Nms ù d [ m] m [ kg ] J éëkg.m2 ùû Atale Atalett Mom Momenti enti C ê Viskoz Sönüm Katsayısı olmak ë rad úû üzere, a) Sistemi q = 0 denge noktasında lineerletirin. b) %2 kriterine göre yerleşme zamanı ts=1.67sn ts =1.67sn ξ=0.707 olması istenmektedir. PID kontrolör
katsayılarını bulunuz. sarkaç hareket denklemi;
d 2q d q J 2 + C + mgd sin q = T dt dt sinq q » q olduu aşaıda verilmiş olan f (q ) = sin q Lineerleştirilmiş model ; q = 0 civarında sin p
p
aralığı için sin sinq q » q yaklaşklğ doğru doğru sonuç sonuç verir, 4 4 ancak aralk dşnda bu lineer model model kullanlmas hatal sonuçlar verir. Yeni çalşlacak nokta etrafnda etrafnda sistem doğrusallaştrlmaldr. erisinden görülebilir. Şekilden,
-
< q <
1
Dijital Kontrol Sistemleri. Doç. Dr. Ayhan Özdemir
sinq sin q » q alınarak sarkaç hareket denklemi yeniden,
K m d 2q C dq mg d V + + = q dt 2 J dt J J
olarak yazlabilir.
é N ù volt lt ] K m ê m ú V [ vo ë volt û bilindiğine göre,
T = K m .V ® MotorMomenti olmak üzere, é ë
q ( s) ê s 2 +
C mg ù T ( s) => s+ d = J J úû J 1
q ( s) i)
J
=
T ( s) s 2 + C s + mg d J J
ii) T (s ) = K m .V (s ) elde edilir. Sarkaç sistem modeline
ait blok diyagram aşağıda verilmiştir.
V(s)
Km
T(s)
q ( s )
1 J s 2+ C s + J
mgd J
Saysal değerler yerlerine koyulur ise transfer fonksiyonu,
2
Dijital Kontrol Sistemleri. Doç. Dr. Ayhan Özdemir
K m = 0.017 N m / V d = 0.023m
q ( s )
1.89
elde edilir. J = 0.009kgm = V ( s) s 2 + 0.039s + 10.77 m = 0.43kg C = 0.00035 N ms / rad 2
s 2 + 0.039s + 10.77 = 0 s1,2 = -0.0 .001 019 9 ± j 3. 3.28 28
Tasarım: %2 kriterine göre yerleşme zamanı ts=1.67sn ξ=0.707 olmas istenmektedir. Bu kriterleri sağlayacak olan kapalıkapalı-çevrim kutuplar (kontrol kutuplar) aağda elde edilmitir. t s =
4 x wn
=> 1.67 =
4 0.707wn
=> wn =
4 1.67 * 0.707
=> wn = 3.3878
rad sn
x = 0.707 ise q = cos -1 x = cos -1 (0.707) ise, q = 45 dir. Kontrol kutuplarının s-kompleks düzleminde gösterimi aşağıda verilmiştir.
jw S-kompleks düzlemi
2.4j
Kontrol-kutupları
s
45 s = -2.4
-2.4j
İstenen geçici rejim kriterlerini sağlayan karakteristik denklem, ξ ve wn için
F (s) = s 2 + 2x wn s + wn 2 = s 2 + 2 * 0. 0.707 * 3. 3.3878s + 3.38782 = 0 F ( s) = s 2 + 4.8s + 11.52 = 0 2.4 olarak elde edilir. Yada kompleks kontrol kutuplar s 2 + 4.8s + 11.52 = 0 => s1,2 = -2.4 j 2.4
s1,2 = -x wn ± jwn 1 - x 2
ifadesi ile doğrudan hesap edilebilir.
3
Dijital Kontrol Sistemleri. Doç. Dr. Ayhan Özdemir
Klasik PID İçin İçin Genel Kontrol Blok Diyagramı:
D(s)=0 için, sarkaç sistemine ait kapalı -çevrim kontrol blok diyagram di yagram; q ( s ) q r ( s)
=
( K D s 2 + K P s + K I ) *1.89
s3 + (0.039 + 1.89 K D )s 2 + (3.61´ 10-6 + K P )s + K I 1.89
elde edilir.
PID li sistemin Karakteristik denklemi,
F (s ) = s 3 + (0.039 + 1.89K D )s 2 + (3.61´ 10-6 + K P )s + K I 1.89 = 0
dır ve 3. derecedendir.
İstenen davranışı sağlayacak olan karakteristik denklem ise,
Fref ( s) = s 2 + 4.8s + 11.52 = 0 dr ve 2. derecedendir. artırılacaktır. ktır. Ancak Dolaysyla K p , K I ve K D nin hesap edilebilmesi için Fref ( s) ’in derecesi bir artırılaca ilave kutup sistem cevabında baskın olmayacaktır. Bu amaç için, Tasarlanan sistemin örnek 2. dereceden sistem gibi davranabilmesi için , ilave 3.kutup “x” s-kompleks düzleminde reel eksen üzerinde kontrol-kutuplarnn reel ksmlarnn 5-10 kat arası uzağına şekilde verildiği
gibi yerleştirilir.
4
Dijital Kontrol Sistemleri. Doç. Dr. Ayhan Özdemir
jw
S-kompleks düzlemi
Kontrol-kutupları
x
s
-24
s
2.4j
-2,4
ilave kutup
-2.4j
5 s < x < 10s
Kutup ilaveli karakteristik karakteristik denklem: denklem: x=-2.4*10=-24 alnrsa
Frefx ( s) = ( s 2 + 4.8s + 11.52)( s + x) = ( s 2 + 4.8 s + 11.52)( s + 24) = 0 Frefx (s ) = s 3 + 28.8s 2 + 126.72s + 276.48 = 0 karakteristik denklem elde edilir. F (s ) = Frefx (s ) eşitlenerek polinom katsaylarndan PID katsaylar elde edilir. s 3 + (0.039 + 1.89K D )s 2 + (3.61´10-6 + K P )s + K I 1.89 = s 3 + 28.8s 2 + 126.72s + 276.48 = 0 0.039 + 1.89 K D = 28.8 => K D = 15.2175 3.61´10-6 + 1.89 K P = 126.72 => K P = 67.0476 1.89 K I = 276.48 => K I = 146.2857 kapalı-çevrim transfer fonksiyonu, Yukarda klasik PID için verilmiş olan kapalı-
q ( s) q r ( s )
=
28.74s 2 + 126.705s + 276.4692
s3 + 28.8s 2 + 126.72s + 276.48
elde edilir.
Aşağıda modifiye edilmiş PID için kapalıkapalı -çevrim kontrol blok diyagram verilmiştir.
5
Dijital Kontrol Sistemleri. Doç. Dr. Ayhan Özdemir
D(s) C(s)
1.89
146.2857
q r ( s )
0.03 039 9s + 11 11.5 .52 2 s 2 + 0.
s 67.0476 67.04 76 + 15.21 s
Modifiye PID için transfer t ransfer fonksiyonu:
C ( s) K I GP ( s) = R( s) s + éë K D s 2 + K P s + K I ] GP
%2 kriterine göre yerleşme zamanı ts=1.67 sn ξ=0.707 için olması istenen örnek 2. dereceden sistemin transfer fonksiyonu, 1- T ( s) =
q ( s) q r ( s)
=
11.52
s + 4.8s + 11.52 2
dır.
Klasik PID konfigürasyonu konfigürasyonu kullanıldığında kullanıldığında elde edilen edilen kapalı çevrim transfer transfer fonksiyonu.
2-
T ( s) =
q ( s) q r ( s)
=
28.74 s 2 + 126.705s + 276.4692
s3 + 28.8s 2 + 126.72s + 276.48
=
28.74s 2 + 126.705s + 276.4692 ( s 2 + 4.8s + 11.52)(s + 24)
Modifiye edilmi PID konfigürasyonu kullanldğnda elde edilen kapal çevrim transfer fonksiyonu
3-
T ( s) =
q ( s ) q r ( s )
=
276.48
s + 28.8s + 126.72s + 276.48 3
2
=
276.48 ( s + 4.8s + 11.52)( s + 24) 2
Aşağıdaki grafikte, örnek 2.dereceden sistem (istenen), Klasik PID ve modifiye PID için Aşağıdaki basamak cevapları verilmiştir.
6
Dijital Kontrol Sistemleri. Doç. Dr. Ayhan Özdemir
7
Dijital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir. Özdemir.
MODERN KONTROLE GİRİŞ Klasik
kontrol
sistemlerinde,
analiz,
ve tasarımda transfer fonksiyonu
sentez
kullanılmaktadır. Transfer fonksiyonu, lineer zamanla değişmeyen (sabit katsayl) kontrol sistemlerine ilişkin dinamiği sadece giriş ve çkş büyüklükleri ile (araclğ ile) verir.
Sistemin giri ve çıkış işaretleri belli koşullar altında kontrol edilirken sistemin durum değişkenleri hiçbir şekilde kontrol edilememektedir. Örneğin, çıkışında kararlı değişim özelliği gösteren bir kontrol sisteminde, içinde bulunan bir elemanın gerilimi, akımı, basıncı ve hızı… vb. elemanın dayanabilecei büyüklükleri üzerine çıkarak sistemin çalıamaz duruma gelmesine yol açabilir.
TRANSFER FONKSİYONU VE DURUM UZAY DENKLEM KARŞILAŞTIRMA æ dx1 (t ) ö ç dt ÷ æ 0 1 ö æ x1 (t ) ö æ 0 ö ç ÷=ç ÷ ç x t ÷ + ç ÷ u (t ) dx t ( ) 2 1 ç 2 ÷ è øè 2 ( ) ø è 1ø ç ÷ è dt ø
G ( s) = C ( sI - A) -1 B =
s -1 1 = ( s - 1)( s + 2) s + 2
u(t ) = d (t ) ® u (s ) = 1 için çıkı ş Çıkış t-domeninde
æ x (t ) ö y(t ) = ( -1 1) ç 1 ÷ è x2 (t ) ø
Y ( s) =
ve impuls giri için çıkı yazılır yazılır ise, 1
s + 2
ve
y(t ) = e-2t
olur. Eğer, sadece çıkışa bakılır ise hiç bir problem olmadığı gözükür. BiBO (Bounded Input Bounded Output) kararlılık kriterine göre sistem kararlıdır. Sınırlı giriş için sınırlı çıkış vermektedir. Oysa durum değişkenlerine baklr ise,
dx1 (t ) = x2 (t ) dt
1
sx1 ( s) = x2 ( s) ® x1 ( s) = x2 ( s) dir. s
dx2 (t ) 2 = 2 x1 (t ) - x2 (t ) + u(t ) ise sx2 ( s) = x2 ( s) - x2 ( s) + u( s) dt s
s 2 x2 (s ) + sx2 (s ) - 2x2 (s ) = s s 1 x1 (s) = x2 ( s) = ise s s( s + 2)( s - 1)
x2 (s) =
s s = s 2 + s - 2 (s + 2)(s - 1)
x1 ( s) =
1 ( s + 2)( s - 1)
Zaman domeninde sırası ile durum deikenleri,
x1 (t ) =
1
et - 2e- t ) ( 3 2
1
olarak elde edilirler.
Dijital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir. Özdemir.
x2 (t ) =
1
et + 2e- t ) ( 3 2
elde edilir. Durum deikenlerine bakldnda ise, durumlar zamanla
sonsuza gitmektedir. Buda , eer önlem alnmam ise, devrenin yada sistemin bozulmas yada baz elemanlarn elemanlarn yanmas anlamna gelmektedir. Halbuki transfer fonksiyonu fonksiyonu ile çıkışa bakıldığında her hangi bir problem görülmemektedir .
ÖRNEK: Aağda verilen R,L,C devresini göz önüne alalm.
Kontrol edilen sistem
IL L
R
IC C
E ort
Vo
Şekil 1. R, L ve C devresi
dinamik denklemler yazılır ise ,(ilk koşullar sıfır) Önce t-domeninde dinamik denklemler
1) Eort = Ri(t ) + L 2)Vo(t ) =
1
C ò
di(t ) 1 i(t ) dt + dt C ò
i(t ) dt
(1) elde edilir.
(2)
s-domeninde
é RCs + s 2 LC + 1 ù I ( s) = Eort( s) = I ( s) ê 1) Eort ( s) = RI ( s) + sLI ( s) + ú sC sC ë û I ( s) 2)Vo( s) = sC I ( s) Vo( s ) sC = son ifade düzenlenir ise transfer fonksi yonu, 2 Eort ( s ) é s LC + RCs + 1ù I ( s) ê ú sC ë û 1
Vo( s) L LC = Eort ( s) s 2 + R s + 1 L LC
olarak elde edilir.
R,L,C devresinde kondansatör gerilimi V 0(t) kontrol edilmek istensin. Geribeslemeli sistem klasik kontrole göre aşağıdaki işlem basamaklarına göre verilebilinir. 2
Dijital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir. Özdemir. İlk adım olarak, Eort(t ) giri geriliminin elde edilmesi prensip olarak ve basit devresi ile beraber açıklanacaktır. i) Vort(t) gerilimi E(t) dc gerilim kaynağ ile beslenen bir D.C kycdan elde edilsin.
S(t)=1: Anahtar açık S(t)=0: Anahtar kapalı
E(t)
S(t) E(t) E ort
E
S(t)=1
E ort
S(t)=0
t on Güç Anahtarlama kaynak elemanı Şekil 2. 2.
t off t T
a) Basitletirilmi DC kıyıcı
b) DC kıyıcı çıkış
Güç Kuvvetlendirici
K
E(t)
V s i n ( w t )
E ort
U(t) C
IGBT
sürücü
K
E ort
U(t) :Kotrol işareti Şekil 3. Güç Kuvvetlendirici DCDC-Kıyıcı’nın Kıyıcı’nın a) basit devre eması
b) Kontrol blok gösterimi.
Şekilde anahtar T periyodu ile t on süresince kapalı t off süresince açık tutulur ise, çıkış
geriliminin ortalama değeri,
Eort(t ) =
1
T
ò
t on
0
E (t )dt = Eort(t ) =
t on E (t ) T
elde edilir.
S(t) anahtarı bir statik anahtar tranzistörden oluşsun. R,L,C devresinde V 0(t) gerilim kontrolüne ait güç devresini basit olarak aşağıda verildiği gibi çizilebilir . u (t ) üretilecek olan kontrol işaretidir. Sürücü devre üzerinden transistor base ne ne uygulan uygulanmış olsun.
3
Dijital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir. Özdemir.
Güç Kuvvetlendirici
Yük (bozucu)
Kontrol edilen sistem
Iy
IL
K
V s i n ( w t )
L
R C
IC
Ry
C
IGBT
Vo
sürücü Uort U(t)
Vo: KontroL edilen büyüklük.
Güç işareti
Kotrol işareti
Şekil 4. Güç devresinin basit devre eması
Güç katı bir güç elektronii devresidir. Kontrol blok gösteriminde sadece bir Güç kuvvetlendirici kazancı K olarak gösterilir. Baz ı durumlarda K kazancının dışında 1. veya 2. dereceden bir sistem olarak modellenmesi gerekebilir. Şekil 4’te basit güç eması verilen sistem yine basitletirilmi kapalıkapalı-çevrim kontrol devresi ile beraber ekil 5 teki gibi verilebilir.
Yük Güç Kuvvetlendirici
IL
K
V s i n ( w t )
R C
(bozucu)
Kontrol edilen sistem
Iy
L
IGBT
IC C
Ry Vo
sürücü U(t)
Uort Vo
Kontrolör
Voref e(t)
Şekil 5. RLC devresinde çıkış gerilim kontrolüne ait basi basitletirilmi tletirilmi güç ve kontrol devresi
asitletirilmi tletirilmi güç ve kontrol devresi ile RLC devresinde çıkış gerilim kontrolüne ait b asi ilgili negatif geri beslemeli geri beslemeli kapalıkapalı-çevrim k ontrol ontrol blok diyagramı aşaıda verilmiştir .
Voref
e(t)
Eort
u(t)
Kontrolör
K
Şekil 6. Kapalı Kapalı--çevrim kontrol blok diyagramı
4
1 LC 2 s+ R s+ 1 LC L
Vo
Dijital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir. Özdemir. Şekilde 6. daki kontrol sisteminde çıkış gerilimi
V0 (t )
ölçülmekte ve kontrol edilmektedir. Dikkat edilir ise, sadece çıkış büyüklüğü olan kondansatör gerilimi ölçülmekte, buna karşılık endüktans akımı I (t ) ölçülmemekte ve kontrol edilmemektedir. Yukarıda 2 nolu denklemden görüleceği üzere çıkış gerilimi akıma balıdır. Gerilim kontrol amacı ile eer ar akm çekilir ise transistor zarar görebilir. En önemlisi ise akım
dinamiği ile ilgilenilmemektedir, sadece gerilim dinamiği kontrol edilmektedir. Örnekten sadece görüldüğü gibi, transfer fonksiyonu , sistemin durumları ile ilgili dinamik yerine, sadece giri--çıkış dinamiini göz önüne almaktadır. Verilen örne giri örnekte kte durum değişkenleri ve
Vc (t )
iken sadece çıkış gerilimi
Vc (t )
(aynı zamanda
I L (t )
Vc (t ) = V0 (t ) ‘dir.) ölçülmekte
ve dinamiği ayarlanmaktadır.
Bundan baka, transfer fonksiyonu ile analiz ve tasarımda bütün ilk koullar ihmal edilmekte böylece sistemin geçmi ve balangıç durumuna ilikin bilgiden yararlanılmı olunmamaktadır. olun mamaktadır. K lasik lasik analiz ve inceleme yöntemleri sistemin lineer olmaması, zamanla deimesi, çok giri, çok -çıkış olması hallerinde uygulanmaz. Transfer fonksiyonu basitliği nedeni ile hala kullanlmaktadr ve kullanlmaya devam edecektir. Kontrol sistemlerinin sistemlerinin modern inceleme ve tasarımda, durum deikenleri ve sistemin balangıç koullarından oluan durum uzayı yaklaımı kullanılır. Durum uzayı modeli, balangıç koulları verilmi, birinci mertebeden diferansiyel
denklemler sisteminden oluur. Durum-Uzay Denklemleri:
Durum-uzay analizinde dinamik sistem modellemesinde üç tip deiken göz önünde bulundurulur. i) Giri değikenleri, ii) Çıkış deişkenleri, iii) Durum deikenleri Aynı bir sistem için tek bir durum-uzay gösterimi yoktur. Durum deiken says ayn kalmakla beraber aynı sistem için çok farklı sayıda durum-uzay gösterimi elde edilir.
Kullanılan durum uzay elde etme yöntemlerine ve kullanılabilecek lineer dönüşümlere bağlı olarak farklı katsayılar matrisleri elde edilecektir. Ancak aynı bir sistem için katsayılar matrisleri farklı olmakla beraber karakteristik denklemleri aynıdır . Eğer durum denklem elde etme yöntemi veya lineer dönüşüm sonunda karakteristik denklem değişir ise o sistem zaten başka bir sistem demektir, demektir, hata yapılmıştır. yapılmıştır.
5
Dijital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir. Özdemir. Lineer z z amanla amanla değişen ayrık -zaman ve sürekli -zaman durum denklemi sırası ile;
x(k + 1) = G(k )x (k ) + H (k )u (k ) durum denklemi Ayrık -Zaman -Zaman
y(k ) = C (k )x (k ) + D (k )u (k )
çıkış çı kış denklemi
dx(t ) = A(t ) x(t ) + B(t)u (t ) dt
durum denklemi Sürekli-Zaman Sürekli -Zaman
y(t ) = C (t ) x (t ) + D (t )u (t )
çıkış denklemi
gibi verilebilir. Deikenler ve katsayı matrisleri aşağıda açıklanmıştır. x(k)=n-vektör (durum vektörü) y(k)=m-vektör y(k)=mvektör (çıkış vektörü) u(k)=r-vektör u(k)=rvektör (giriş vektörü) A(t),G(k)=nxn matris (durum matris) B(t),H(k)=nxr matris (giriş matris) C(t),C(k)=mxn matris (çıkış matris) D(t),D( k)=mxr k)=mxr matris (doğrudan iletim matrisi, direct transmission matrix)
Matris argümanlarındaki (k ) ve (t ) , G(k ) ve A(t ) deki gibi matrislerin zamanla deitiini gösterir. zamanla değişmeyen bir sistem ise, durum ve çıkış denklemleri; Eer zamanla denklemleri;
x(k + 1) = Gx(k ) + Hu (k ) y (k ) = Cx(k ) + Du (k ) Ve .
x(t ) = Ax(t ) + Bx (t ) y (t ) = Cx(t ) + Du (t ) deimez.
olarak yazılabilir. yazılabilir. Katsayı matrisleri matrisleri sabittir, zamanla
Aağda ekil 7-8 de sırası ile süreklisürekli-zaman ve ayrık -zaman -zaman durum denklemlerinin blok diyagram gösterimi verilmitir.
6
Dijital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir. Özdemir.
D dx(t) dt
u(t)
B
ò dt
x(t)
y(t)
C
A
Sistem
Şekil 7 Sürekli Sürekli-zaman -zaman zamanla - deimeyen sistemin durum uzay blok d iyagramı gösterimi
D x(k+1)
u(k)
x(k) -1
z I
H
y(k)
C
G
Sistem
Şekil 8 Ayrık -zaman zamanla deimeyen sistemin durum uzay blok diyagram gösterimi;
ÖRNEK -1: -1:
Yay
ky
K:yay sabiti
Sürtünme
B
dy dt
2
katsayısı
u(t):Kuvvet
f
M
dy 2 dt
M
M
Kütle
y(t):konum
u(t)
Şekil 9 a) Kütle-yay mekanik sistemi.
b) Serbest cisim gösterimi.
Şekil 9 da, denge konumun da bulunan sisteme ait, iii-
Sistemin davranışını tanımlayan dinamik denklemleri yazınız.
i-
Sistem davranışını ifade eden diferansiyel denklem,
Durum denklemlerini elde ediniz. (sistem denge konumunda iken uygulanıyor.)
7
u (t )
Dijital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir. Özdemir.
d 2 y (t ) dy(t ) M +f + Ky(t ) = u (t ) 2 dt dt
(3)
olarak yazılır. Sistem durum deikenlerini konum ve hz olarak alrsak ve sras ile x1 (t ) ve x2 (t ) ile gösterelim.
x1 (t ) = y (t ) ® Konu Konum m x2 (t ) =
dy(t ) ® hız dt
dx1 (t ) = x2 (t ) dt
1. durum denklemi denklemi,,
(3) denkl denkleminde eminde düzenlemeler yapılır Þ
dx2 (t ) + fx2 (t ) + Kx1 (t ) = u(t ) = dt dx2 (t ) 1 f K = u (t ) - x2 (t ) - x1 (t ) 2. durum denklemi elde edilir. dt M M M
M
Elde edilen 1. ve 2. durum denklemleri vektör -matris formunda aağda verildiği gibi yazlabilir.
é dx1 (t ) ù ê dt ú é 0 ê ú = ê K ê dx2 (t ) ú êêë dt úû ë M
1 ù
é0ù x t ( ) é ù 1 + ê 1 ú u (t ) f úú ê ú ë x2 (t ) û ê ú ë M û Mû A
x ( t )
x
B
Kontrol edilen sistem göz önüne alındıında, çıkış olarak alınan fiziksel büyüklük konumdur.
y (t ) = x1 (t ) olarak yukarıda tanımlanmıştı. Çıkış denklemi durum deişkenleri cinsinden matris formunda aşaıda verilmiştir. é x1(t ) ù y(t ) = [1 0 ] ê ú x 2(t ) û ë C x
dx(t ) = Ax(t ) + Bu(t ) Kütle-yay Kütle -yay sistemine ait dt durum denkl emleri yukarıda y(t ) = Cx(t ) + Du(t ) vektör -matris -matris formunda elde edilmiş edilmiştir. tir.
8
Dijital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir. Özdemir.
ÖRNEK -2: -2: Güç Kuvvetlendirici
Rotor Kontrollu DC Makina
ea(t)
K
V s i n ( w t )
ia(t) R
C
L
IGBT
eb(t)
sürücü
İf=sbt B
q (t )
J
U(t) Şekil 10 Rotor kontrollü DC-makine ve DC-Kıyıcı DC- Kıyıcı
i- Basitletirilmi Basitletirilmi rotor kontrollü DCDC-makineye makineye ait dinamik denklemleri yazınız. ii- Durum-uzay modelini vektör matris formunda elde ediniz.(L a≈0 alınacak ) t-domeni denklemler
1) ea (t ) = K u (t ) 2) ea (t ) = La
dia (t ) + Ra ia (t ) + eb (t ) dt
3) Te (t ) = K aia (t ) 4) Tm (t ) = J
d 2q 2
+B
d q + T (t ) dt L
d t dq (t ) 5) eb (t ) = K b dt dq (t ) 6) w(t ) = dt 7) Tm (t ) = Te (t ) (sürekli rejimde, üretilen elektriki moment=Mekanik moment) s- domeninde
Ea ( s) - Eb ( s) sLa + Ra ii ) Te (s ) = K a I a (s ) i ) I a ( s) =
iii ) Tm ( s) - TL ( s) = ( s 2 J + Bs)q ( s) = T ( s) - TL ( s) q ( s) = m s( sJ + B) iv) Eb = KbW(s ) 9
TL
Dijital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir. Özdemir.
v) Tm (s ) = Te (s ) TL Bozucu moment
K
U(s)
Ea(s)
Te Tm
ia
1 sLa+R a
1 Js+B
Ka
Güç
w
q
1 s
Kb
Kuvvetlendirici
Rotor kontrollu DC-makine Şekil 11 11 Rotor kontrollü DC-makine ve DC-Kıyıcı DC- Kıyıcı kontrol blok diyagramı.
Rotor kontrollü DC-makinenin basitletirilmi modeli ( La = 0 için) aşağıda verilmiştir. TL Bozucu moment
K
U(s)
Ea(s)
1 Ra
Te Tm
ia
1 Js+B
Ka
w
1 s
q
Güç Kuvvetlendirici
Kb Rotor kontrollu DC-makine
Şekil 12 12 Basitletir ilmi r otor DC- Kıyıcı kontrol blok diyagramı. otor kontrollü DC-makine ve DC-Kıyıcı
olarak elde edilir. ii- Durum-uzay denklemleri için, (1 -7) denklemleri kullanılır ve makine çıkışı olan q (t ) alındı). ). nın davranışını tanımlayan denklem elde edilir (La≈0 alındı
1)’’ nolu denklemden; i (t ) = 1)
ea (t ) - eb (t ) Ra
dq (t ) e t K ( ) a b e (t ) - eb (t ) dt = Ka 2) ‘den Te (t ) = K a a Ra Ra sürekli rejimde Te (t ) = Tm (t ) =
K a Ka K b dq (t ) d 2 (t ) dq (t ) ea (t ) B =J + = Ra Ra dt dt 2 dt æ K a Kb ö d q K a d 2q (t ) J B ea (t ) = = + + ç ÷ dt 2 R d t R a ø a è
10
Dijital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir. Özdemir. æ BRa + Ka Kb ö dq (t ) K a d 2q (t ) ea (t ) = + ç ÷ dt 2 R J d t R J a a è ø
çıkışı q (t ) ifadesi elde d 2q (t ) denkleminden elde edildi. Durum deikenleri tanmlanarak durum denklemleri dt 2 Basitleştirilmiş model yardımı ile, rotor kontrollu DC-makine
edilecektir.
x1 (t ) = q (t ) ® konum dq (t ) x2 (t ) = ® hız dt
durum deikenleri olarak belirlenir ise;
dx1 (t ) = x2 (t ) dt
1. durum denklemi
æ BR + Ka Kb ö K a dx2 (t ) ea (t ) = -ç a ÷ x2 (t ) + dt R J R J a a è ø
2. durum denklemi
Durum denklemlerini vektör -matris formunda aağda verildiği gi gi bi bi yazılır .
é dx1 (t ) ù é0 1 ù é 0 ù ê dt ú ê x t ( ) é ù ú 1 + ê K a ú ea (t ) æ BRa + Ka K b ö ú ê ê ú=ê ú ÷ ú ë x2 (t ) û ê R J ú ê dx2 (t ) ú ê0 - ç Ra J ëê a ûú è øû êë dt úû ë Hız ve Hız ve Konum Konum çıkış olmak üzere seçilir ise, çıkış d enklemi olarak C1 ve C2 ölçme ile ilgili
sabitler olmak üzere,
u(s)
K Ts
s Ks/(sTs+1) s + 1
x2 (t )
1
xX1(t) 1 (t )
1/s
s
c2
cC1 1
C2
yY1(t) 1 (t )
Y2(t) y 2 (t ) (hız)
é y (t ) ù éC 0 ù é x1 (t ) ù y(t ) = ê 1 ú = ê 1 úê ú ë y2 (t ) û ë 0 C2 û ë x2 (t ) û
(konum)
tanımlanabilir .
11
Dijital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir. Özdemir.
durum denklemleri denklemleri (1-7) dinamik denklemleri düzenlenir düzenlenir ise, ise, Basit leştirilmem leştirilmemiş iş DC-makine durum K di(t ) di (t ) R 1 uort (t ) = Ri(t ) + L + Kb w(t ) ® = - i (t ) - b w(t ) + uort (t )
dt
Ki i (t ) = J
dw(t ) + Ty (t ) dt
tanımlanır x1 (t ) = i (t )
dt L L L dw(t ) K i n = i(t ) - T y (t ) ve durum değikenleri dt J J
®
akım
x2 (t ) = q (t ) konum dq (t ) x3 (t ) = = w(t ) Açısal hız dt ve durum denklemleri vektör matris formunda yazılır. é dx1 (t ) ù é1ù ê dt ú é - R 0 - K b ù ê ú ê L L ú é x1 (t ) ù ê L ú ê úê ú + ê 0 ú U (t ) Durum denklemleri ê dx2 (t ) ú = 0 0 1 ( ) x t ú ê 2 ú ê ú ort ê dt ú ê ú ê x (t ) ú ê 0 ú ê ú ê K i ( ) dx t 0 0 ê úë 3 û ê ú ê 3 ú ë J ë û û êë dt úû Ve Çıkış denklemi, y (t ) = q y (t ) = C1q m (t )
y (t ) = [0 C1
é x1 (t ) ù ê ú 0] x2 (t ) elde edilir. ê ú êë x3 (t ) úû
DC-makine’’ye ait tüm durum geri Durum denklemleri elde edilmi olan rotor kontrollü DC-makine beslemeli sayısal tabanlı kontrol yapısına ait basit ait basitletirilmi letirilmi kontrol devresi fikir vermesi (ön bilgi) için aağda verilmitir. Amaç SayısaL Kontrolör’ün tasarlanmasıdır. Güç Kuvvetlendirici
ea(t)
K
V s i n ( w t )
Rotor Kontrollu DC Makina
ia(t) R
C
IGBT
sürücü U(t)
DAC
İf=sbt
L
B
eb(t)
J
Ölçme H ı z
a k ı X1(t) m
ADC
q (t )
X2(t)
Sayısal İşlemci
K o n u m
X3(t)
ADC ADC
SayısaL Kontrolör SayısaL
Şekil 13 13 Tüm durum geri beslemeli Rotor kontrollü DC-makine DC-makineye ye ait sayısal kontrol
12
YÜK
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir.
MODİFİYE EDİLMİŞ PID KONTROLÖR
i- Klasik PID ile kontrol edilen sisteme ait kapalı çevrim trasfer fonksiyonu,
D(s) E(s) R(s)
D(s)=0 için
C (s) R ( s )
K P +
K I + KD s s
G P ( s )
C(s)
ifadesi gerekli ara işlemlerden sonra,
é K K K I GP ( s) ê D s 2 + P s + 1] K I C ( s) ë K I = R( s) s + ( K D s 2 + K P s + K I )GP ( s)
olarak elde edilir.
ii- Modifiye edilmiş PID ile kontrol edilen sisteme ait kapalı çevrim transfer fonksiyonu aşağıda verilen ara işlemlerden sonra elde edilmiştir.
. Klasik PID olduğu gibi ''I'', integratör ileri yoldadır. Ancak, oransal kontrolör ''P'' kontrolör ''P'' ve türevsel kontrolör ''D'', gerigeri- besleme besleme yolu üzerindedir . D(s)=0 için
C (s) R (s )
elde edilir.
K I ìé - C( s) [ K P + K D s]} GP ( s) = C( s) => í ê R( s) - C ( s)] s îë
RK I GP - CK I GP - CK P sGP - K Ds 2CGP = sC => RK I GP = C {éë s 2 K D + sK P + K I ]GP + s} => 1
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir.
K I GP (s) C ( s) = 2 R( s) éë s K D + sK P + K I ] GP + s Klasik, PID, kontrolörlü sisteme bakıldığında, bakıldığında, transfer fonksiyonunda iki adet sıfır (Pay kısmında 2. dereceden polinom) olduğu görülür. Bu sıfırların etkilerinden dolayı, basamak girişe karşılık sistem cevabını ayarlamak zor olabilir. Bu sıfırlar sistem cevap çıkışında erken bir pik'e veya veya aşımın artmasına neden olurlar. Bu aşım değeri kayda değer olabilir ve sıfırlar orjine yaklaştıkça aşım artar. Alternatif Alternatif ise, Modifiye PID kontrol transfer fonksiyonunda olduğu gibi pay’daki sıfırları yok etmektir.
é K K K I GP ( s) ê D s 2 + P s + 1] K I C ( s) ë K I = R( s) s + ( K D s 2 + K P s + K I )GP ( s)
C ( s) K I GP ( s) = R( s) s + éë K D s 2 + K P s + K I ] GP
Klasik PID
Modifiye PID
Örnek: Sarkaç probleminde elde edilmiş olan PID katsayılarına karşılık cevaplar karşılaştırma amacı ile aşağıda verilmiştir.
K P = 67.0476 , K I = 146.2857 , K D = 15.2175
2
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir.
AYRIK-ZAMAN MODİFİYE EDİLMİŞ PID KONTROLÖR
Aaıda verilen kapalıkapalı-çevrim kontrol sisteminde siste minde görüldüü gibi, PID kontrolörün integral ksm ileri yolda, oransal ve türev ksm ise gerigeri -yol üzerindedir.
G P ( z )
PID
K I
R(z)
z z - 1
1 - e - sT
K P
G P ( s )
s
T
z - 1 K D z
1)
Y(s)
Y ' ( z ) R ' ( z )
T
Y ( z ) R ( z )
yine kapal çevrim transfer fonksiyonunun elde edilmesine dair işlem basamakları basamakları aşağıda
verilmiştir.
Y ' ( z ) = 1) ' R ( z )
G P ( z ) æ è
z - 1 ö z ø÷ iç çevrimin transfer transfer fonksiyonudur.
1 + G P ( z ) ç K P + K D
Sadeleştirilmiş kontrol kontrol bloğu, bloğu,
R(z)
z K I z - 1
G P ( z ) æ z - 1 ö 1 + G P ( z ) ç K P + K D z ø÷ è
Y(s)
T
Elde edilir.
Y ( z ) R ( z )
elde etmek amac ile indirgenmiş blok aşağıda verildiği gibi düzenlenirse,
3
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir.
z ö æ G P ( z ) ç K I ÷ è z - 1 ø æ z ù ö é 1 ( ) + G z K + K P D êë P z - 1 úû ÷ø Y ( z ) çè = R( z ) æ z - 1 ö G P ( z ) ç K I z ÷ø è 1+ z - 1 ö æ 1 + G P ( z ) ç K P + K D z ÷ø è z ö æ G P ( z ) ç K I Y ( z ) z - 1 ÷ø è = z - 1 z ö R( z ) æ + K I 1 + G P ( z ) ç K P + K D z z - 1 ÷ø è
Þ pay ve payda
z - 1 ile çarpılırsa; z
Y ( z ) G P ( z ) K I = R( z ) æ z - 1 ö æ æ z -1ö2 ö z - 1 G z K K K ( ) + + + P I ÷ ç ÷ P çç ç ÷ D ÷ z z è z ø è ø è ø Modife edilmiş PID kontrolör ile denetlenen sisteme ait kapalıkapalı -çevrim transfer fonksiyonu elde edilir. Klasik ve modifiye edilmiş edilmiş PID kontrollü her iki iki sistem karşılaştırılır ise, Karak teristik teristik denklemlerinin aynı olduğu görülmektedir.
æ æ z -1ö2 ö z - 1 æ z - 1 ö F ( z) = ç G z K K K ( ) + + + =0 P I ÷ ÷ P çç ç z ÷ D ÷ z z è ø ø èè ø Sürekli-zaman PID kontrolörde ifade edildiği gibi, Klasik PID’ li kontrollü sistemde kapalıSüreklikapalı çevrim transfer fonksiyonun pay kısmında klasik PID konfigürasyonundan dolayı iki adet sıfır gelmektedir. Buda kapalı kapalı--çevrim kontrol kontrol sistem cevabında aşımın aşımın artmasına sebep olmaktadır.
Ayrık-Zaman II. Dereceden Örnek Sistem Otomatik kontrol sistem cevab cevab geçici rejim rejim kriterleri, birim birim basamak basamak giri için ve II. dereceden
örnek sistem için verilmitir. Doğal açısal frekans wn ve sönüm oranı x ye bağlı II. Dereceden örnek sistem transfer fonksiyonu T ( s) ’in T örnekleme zamanına göre ayrık-zaman ifadesi
sıfırıncı mertebeden tutucusuz olarak elde edilii 0 < x < 1 aralığı için aağıda verilmitir.
4
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir.
R(s)
C(s)
wn2 s( s + 2x wn )
II. dereceden sistem.
C(s)
wn2 s( s + 2x wn )
R(s)
Örneklenmiş II. dereceden sistem.
Örneklenmiş II. dereceden sistem rezidü teoremi ile T örnekleme zamanaı için ayrıklaştırılacaktır.
s 2 + 2x wn s + wn 2 = 0 karakteristik denklem kökleri 0 < x < 1 için s1,2 = -x wn ± jwn 1 - x 2 ) olduğu göz önünde bulundurulur ise,
wn 2 wn 2 T (s) = 2 = yazılır. Rezidü s + 2x wn s + wn 2 ( s + x wn + jwn 1 - x 2 ) ( s + x wn - jwn 1 - x 2 ) teoremi kullanılır ise,
Z {T ( s)} = T ( z ) =
( s + x wn + jwn 1 - x 2 ) wn 2
z sT ( s + x wn + jwn 1 - x 2 ) ( s + x wn - jwn 1 - x 2 ) z - e
+ s =-x wn - jwn 1-x 2
( s + x wn - jwn 1 - x 2 ) wn 2
z sT ( s + x wn + jwn 1 - x 2 ) (s + x wn - jwn 1 - x 2 ) z e
T ( z ) =
wn
s = -x wn - jwn 1-x 2
2
×
(- x wn - jwn 1 - x - jwn 1 - x + x wn ) z - e 2
2
wn 2
×
z -x wnT - jwnT 1-x 2
+
z
(-x wn + jwn 1 - x 2 + x wn + jwn 1 - x 2 ) z - e-x wnT + jwnT 1-x
T ( z ) =
é z ×ê 1 - x 2 × 2 j ë z - e -x wnT + jwnT
wn
5
1-x 2
-
2
z z - e-x wnT - jwnT
1-x 2
ù ú û
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir.
é z 2 - ze-x wnT - jwnT 1-x - z 2 + ze-x wnT + jwnT 1-x ù T ( z ) = ×ê ú 2 -x wnT + jwnT 1-x - x wnT - jwnT 1- x -2x wnT 2 úû 2 j × 1 - x êë z - z (e +e +e 2
wn
2
2
2
wne -x wnT
e jwd T - e jwd T T ( z ) = × 2 x -x wnT 2 (e jwd T + e - jwdT ) + e -2 wnT 1 - x × 2 j z - ze wd = wn 1 - x 2
Olarak elde edilir.
T d =
sönüm osilasyon osilasyon açısal frekansı ve periyot olarak, olarak,
2p
wn 1 - x
2
olmak
üzere
Osilasyon sönüm periyodu.
T ( z ) =
wn e-x wnT
T ( z ) =
wn
z sin wd T -x wnT -2x w T 2 cos wd T + e n 1 - x 2 z - 2 ze
1- x
× 2
ze-x wnT sin( wn 1 - x 2 T ) z - 2 ze 2
-x wnT
cos( wn 1 - x T ) + e 2
-2x wnT
ayrık-zaman örnek II. Dereceden
sistem elde edilir. Bu transfer fonksiyonunu daha sadeleştirirsek,
c=
wne-x wnT sin(wn 1 - x 2T ) 1 - x 2
tanmlanrsa ,
T ( z ) =
d
2 e x w n T c o s w (n -
=
cz z 2 - dz + e
1x 2 T
-
ve
e = e-2x wnT
olarak
olarak elde edilir.
Elde edilen ayrkayrk-zaman II. Dereceden örnek sistem süreklisürekli -zaman örnek II. dereceden sistem ile ayn kazanca sahip olabilmesi için birim basamak girişe karşılık son değerin “1” e gitmesi gerekir. Bunun için son değer teoremi uygulanır ise, tanımlanan “K” kazancı elde edilmiş olur. 6
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir.
T ( z) =
C(z) cz = K 2 R( z ) z - dz + e
olduğuna göre ve giriş R( z ) =
z için, z - 1
z K z 1 c(¥) = lim( z - 1) 2 =1= z ®1 z - dz + e K =
1- d + e
Olarak elde edilir. II.Dereceden sürekli-zaman örnek sisteme karşılık gelen ayrık-
c
zaman II. dereceden örnek sistem, T örnekleme zamanı olmak üzere,
1- d + e
T ( z ) = (
c
)
cz z 2 - dz + e
elde edilir.
Örnek: x = 0.707
İçin örnek II. Dereceden sürekli-zaman ve ayrık-zaman transfer fonksiyonlarını
wn = 2.82
elde ediniz. Örnekleme zamanı T ’yi seçiniz. Osilasyon
T d =
açısal
2p
wn 1 - x 2
frekansı
wd = wn 1 - x 2 =
2p
T d
=
dir. Örnekleme zamanı zamanı ise yaklaşık olarak,
buradan
osilasyon
periyodu,
T = (0 (0.1 .1 0. 0.05 .05))T d
arasında
seçilebilinir.
wd = 1.9943 =
2p
Td
=
Td = 3.1506 sn T = 0.0 0.02 2 * 3.1 3.1506 506 =
örnekleme zamanı
T = 0.063sn olarak hesaplanır. Sürekli-zaman II. Dereceden örnek sistem transfer fonksiyonu, wn = 2.82 ve x = 0.707 için,
wn 2 T (s) = 2 s + 2x wn s + wn 2 T ( s) =
7.9524 s
s + 3. 3.98 9875 75s + 7. 7.95 9524 24 2
Olmak üzere,
Olarak elde edilir. 7
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir.
T = 0.063sn , wn = 2.82
c=
d
ve x = 0.707 değerleri için,
wne-x wnT sin(wn 1 - x 2T )
=
1 - x
2
2e
x wnT
-
= 0.4408
cos(wn 1 x 2 T ) =1.75 -
e = e-2x wnT = 0.7778 Ve son değer teoreminden kazanç hesaplanır ise,
z K z 1 c(¥) = lim( z - 1) 2 =1 z ®1 z - 1.75 z + 0.7778 1- d + e
Veya K = (
c
T ( z ) = 0.0632
ise
K = 0.0632
elde edilir.
) den aynı sonuç elde edilebilir.
0.4408 z
z 2 - 1.75z + 0.7778
ise Ayrık-zaman II. Dereceden örnek sistem transfer
fonksiyonu
T ( z ) =
0.02785 z
z 2 - 1. 1.7 75 z + 0.7 .777 778 8
T ( s) =
7.9524 s
s 2 + 3. 3.98 9875 75s + 7. 7.95 9524 24
II. dereceden örnek sistem birim basamak-giriş ve
T = 0.063sn , wn = 2.82
birim basamak giriş için, verilmiştir. sürekli-zaman ve ayrık-zaman cevap çıkışları aşağıda verilmiştir.
8
olarak elde edilir.
ve x = 0.707 değerleri ve
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir.
II. dereceden sürekli ve ayrık-zaman Matlab blok diyagramı
Birim basamak giriş için Ayrık zaman ve sürekli zaman cevapları, T=0.0632 sn.
9
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir.
10
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
Ayrık -Zaman Sistemlerinin Durum Uzay Gösterimleri Sürekli-zaman sistem Diferansiyel Denklem
Laplace Dönüşümü S-domeni Z-dönüşümü Ayrık-zaman sistem
Sürekli-zaman Durum Denklemleri
Z-domeni
Fark (diferans) denklemi
Ayrık-zaman Durum Denklemleri
Ayrık - zaman zaman durum uzay uzay denklemlerinin denklemlerinin kanonik formları formları : Ayrık zaman sistemlerin durum-uzay gösterimlerini elde etmek için birçok teknik mevcuttur. k. örnekleme anında u(k) giriş y(k) çıkış olmak üzere ayrık -zaman -zaman sistem;
1) + a2 y (k - 2) + ... + an y (k - n ) = b0u (k ) + b1u (k - 1) 1) + ...bnu (k -n ) y (k ) + a1 y (k - 1) fark denklemi ile verilsin. Açıklama: Darbe transfer transfer fonksiyonu: çıkış darbe dizilerinin z -dönüşümünün giriş darbelerinin z - Darbe Darbe transfer fonksiyonu olarak; dönüşümüne oranına denir (ilk koşullar sıfır).
y(k ) ® Y ( z )
u (k ) ® U ( z )
y (k -1) ® z -1Y (z )
bir örnek örnek önceki değer ) u (k -1) ® z -1U ( z ) (bir
y(k - n) ® z - nY (z )
u (k - n) ® z -nU ( z ) (n örnek önceki değer )
( şimdiki şimdiki değer )
Olmak üzere;
Y ( z ) + a1z -1Y (z ) + a2 z -2Y (z ) + ... + a n z - nY (z ) = b0U (z ) + b1z -1U (z ) + ...+bnz - nU (z ) => Y ( z ) [1 + + a1 z -1 + a2 z -2 + ... + an z - n ùû = U ( z ) [b0 + b1z -1 + ... + bnz - n ùû
1
(1)
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
[b0 + b1z -1 + ... + bn z -n ùû Y ( z ) = U ( z ) [1 + a1 z -1 + a2 z -2 + ... + an z - n ùû b0 z n + b1z n-1 + ... + bn Y ( z ) = U ( z ) z n + a1z n-1 + a2 z -2 + ... + an
(2)
Veya pay ve payda
z n z n
ile çarpılır =>
(3)
denklemlerinin klemlerinin durum uzay gösterimleri bir çok bir çok yoldan elde (1),(2),(3) den edilebilinir. Aşağıda sırası ile anlatılacaktır. Kanonik Form (Controllable Canonical Form) (Faz- Değişken 1. Kontroledilebilir Kanonik Form Değişken Kanonik Form: phase-veriable canonical form): form): Dorudan progra mlama metodu ile elde edilebilir.
b0 z n + b1 z n-1 + ... + bn Y ( z) X ( z) pay ve payda X(z) ile çarpılır ve ayrı ayrı yazılır = n U ( z ) z + a1 z n -1 + a2 z -2 + ... + an X ( z) ise,
• U ( z ) = ( z n + a1z n-1 + a2 z -2 + ... + an )X (z )
(*)
• Y ( z ) = (b0 z n + b1 z n-1 + ... + bn ) X ( z) olur.
X ( z ), zX ( z ) ..., z n X (z ) nin ters dönüşümleri kullanılır ise; X ( z ) ® x(k ) = x1 (k )
olsun.
1. durum değişkeni
z X ( z ) ® x(k + 1) = x2 (k ) olsun.
2. durum değişkeni
z 2 X ( z) ® x( k + 2) = x3 ( k ) olsun.
3. durum değişkeni
.
x2 (k + 1) = x3 ( k )
.
z X ( z ) ® x (k + 3) = x4 (k ) 3
x3 (k + 1) = x4 ( k )
4. durum değişkeni
----------------------------------------
z n-1 X ( z ) ® x(k + n -1) ® xn-1 (k + 1) = xn (k ) n. durum değişkeni 1) z n X ( z ) ® x (k + n) = xn (k + 1) yeni durum deikenleri x1 (k ), x2 (k ), ..., xn (k ) olarak tanımlanmıştır.
2
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
xn (k + 1) ifadesi ise yeni durum deikenleri kullanılarak , U ( z ) = ( z n + a1 z n-1 + a2 z -2 + ... + an ) X ( z) denkleminden elde edilir. U ( z ) = z n X ( z ) + a1z n-1 X (z ) + a2 z n-2 X (z ) + ... + a n X (z ) => 1) + a1xn (k ) + ... + an-1x2 (k ) + a n x1 (k ) => u (k ) = xn (k +1)
xn (k + 1) = u(k ) - a1 xn ( k ) + ... + an-1 x2 ( k ) + an x1( k ) yeni durum değişkenleri kullanılarak çıkış çı kış ifadesi olarak ,
Y ( z ) = b0 z n X ( z) + b1 z n-1 X ( z) + ... + bn X ( z)
yazılır.
NOT:
pay derecesi=payda derecesi-1 olsun z n -1 X ( z ) ® x (k + n -1) = xn (k )
olur.
y(k ) = b0 xn ( k ) + b1 xn-1 ( k ) + ... + bn x( k ) Elde edilen durum denklemleri vektör -matris -matris f ormunda ormunda yazılır .
é x1 (k + 1) ù é 0 ê x (k + 1) ú ê 0 ê 2 ú=ê ê ú ê . . ê ú ê ë xn (k + 1) û ë -an
1
0
0
1
.
.
-an -1
-an -2
...0 ù é x1 (k ) ù
é0 ù ú ê x (k ) ú ê0 ú ...0 ú ê 2 ú + ê ú u (k ) ® kontrol edilebilir Kanonik form .... ú ê . ú ê . ú úê ú ê ú ... - a1 û ë xn (k ) û ë1 û
çıkış denklemi ise,
y(k ) = [bn bn -1 bn-2 ... b1
é x1 ( k ) ù ê x ( k ) ú b0 ] ê 2 ú ê . ú ê ú x k ( ) ë n û
yazılır.
Eer pay ve payda derecesi eit ise; ise; • Eer
y (k ) = b0 xn (k + 1) + b1xn (k ) + b2 xn-1 (k ) + ... + bn-1x 2 (k ) + bnx1 (k ) xn (k + 1) yerine yazılır ve düzenlenir,
y(k ) = b0u (k ) + [b1 - a1b0 ] xn (k ) + [b2 - a2b0 ] xn-1 (k ) + ... + bn-1 x2 (k ) + [bn - a nb0 ] x1 (k ) é x1 (k ) ù y(k ) = [bn - b0 an ...........b1 - b0a1 ] êê ... úú + [ b0 ] u( k ) êë xn ( k ) úû 3
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
durum değişkenlerinin sırasını değiştirirsek , eski eski durum deikenlerine göre yenilerini; é ^ ù ê x1 (k ) ú é0 0 . 0 1 ù é x1 (k ) ù ê ^ ú ê0 0 . 1 0 ú ê x (k ) ú úê 2 ú ê x2 (k ) ú = ê ê ... ú ê . . . . . ú ê . ú ú úê ê ^ ú ê ( ) x k 1 0 . 0 0 ë û n ë û ê x (k ) ú ë n û ^ é ù ê x1 (k + 1) ú é-a1 ^ ê ú ê 1 ( x k ê 2 + 1) ú = ê ê ... ú ê . ê ú ê ê x (k ^ + 1) ú ë 0 ë n û
-a2 . -an-1 0
. 0
.
. .
0
. 1
tanımlarsak durum denklemleri;
é ^ ù - an ù ê x1 (k ) ú é1 ù ^ ú ê ú 0 ê x (k ) ú 0 ú ê 2 ú + ê ú u (k ) . ú ê . ú ê. ú úê ú ê ú 0 û ê ^ ú ë0 û ë xn (k ) û
çıkış denklemi; y (k ) = [b1 - a1b0 b2 - a 2b0
é (^ ) ù ê x1 k ú ê ^ ú . bn - anb0 ] ê x2 (k ) ú + b0u (k ) olarak yazılabilir. ê . ú ê ^ ú ê x (k ) ú ë n û
ÖRNEK: y (k + 2) = u (k ) + 1. 1.7 y (k + 1) - 0.72 y (k ) fark denklemi ile verilen sistemin durum denklemlerini kontrol edilebilir kanonik form (faz-değişken (faz- değişken kanonik form) da elde ediniz. 1. yol; Zyol; Z- dönüşüm transfer fonksiyonundan ayrık -zaman -zaman durum denklemlerinin elde edilmesi;
Z-domeni
Ayrık-zaman Durum Denklemleri
İlk koşullar sıfır alınarak transfer fonksiyonu elde edilir……… 1.7 y (k + 1) - 0.72 y (k ) y (k + 2) = u (k ) +1.
z 2Y ( z ) = U ( z ) + 1.7zY (z ) - 0.72Y (z ) => Y ( z ) X ( z ) 1 = 2 U ( z ) z -1.7 z + 0.72 X ( z ) Önce durum değişkenleri tanımlanır:
X ( z ) ® x(k ) = x1 (k )
x1 (k ) , 1. Durum değişkeni
4
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
Y ( z ) ® y (k ) = x(k ) ® y(k ) = x1 (k )
çıkış denklemi
zX ( z ) = x(k + 1) = x2 (k ) ® x1 (k + 1) = x2 (k )
1. Durum denklemi, x2 ( k ) 2. Durum değişkenidir.
z 2 X ( z ) = x(k + 2) = x2 (k + 1) ' dir . Y ( z ) = X ( z ) 1.7zX (z ) + 0.72X ( z ) => U ( z ) = z 2 X ( z ) - 1. 1 .7zX (z ) - 0.72X (z ) z 2 X ( z ) = U (z ) +1.
x2 (k + 1) = u( k ) +1. 1 .7 x2 ( k ) - 0.72 x1( k )
2. Durum denklemi
2. Dereceden diferans(fark) denkleminden 1.dereceden iki adet diferans(far diferans(fark) k) denklemi elde edilmiştir. 1. Dereceden elde edilen fark denklemleri vektör -matris formunda yazılır =>
1 ù é x1 (k ) ù é0 ù é x1 (k + 1) ù é 0 = ê x (k + 1) ú ê -0.72 1.7 ú ê x (k ) ú + ê1 ú u (k ) ûë 2 û ë û ë 2 û ë
é x (k ) ù y (k ) = [1 0] ê 1 ú ë x2 (k ) û
olarak elde edilir.
2.yol doğrudan fark denklemleri kullanılabilinir ; Ayrık-zaman sistem Fark (diferans) denklemi
y (k ) = x1 (k )
Ayrık-zaman Durum Denklemleri
çıkışın şimdiki deeri x1 (k ) olsun. 1. Durum değişkeni .
y (k + 1) = x2 (k ) çıkışın bir örnek sonraki sonraki deeri x2 ( k )
olsun. 2. Durum değişkeni.
Yukarıdaki tanımlara göre,
x1 (k + 1) = x2 (k )
1. Durum denklemi .
x2 (k + 1) = y (k + 2) olur . Tanımlanan durum değişkenleri 1.7 y (k + 1) - 0.72 y (k ) denkleminde yerlerine konulur => y (k + 2) = u (k ) +1.
x2 (k + 1) = u (k ) + 1.7x2 (k ) - 0.72x1 (k )
2. Durum denklemi .
Elde edilen durum ve çıkış denklemleri denklemleri vektör -matris -matris formunda formunda aşağıda verildiği gibi yazılır. 5
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
1 ù é x1 (k ) ù é0 ù é x1 (k + 1) ù é 0 = ê x (k + 1) ú ê -0.72 1.7 ú ê x (k ) ú + ê1 ú u (k ) ûë 2 û ë û ë 2 û ë
é x (k ) ù y (k ) = [0 1] ê 1 ú ë x2 (k ) û
GÖZLENEBİLİR KANONİK FORM(OBSERVABLE CAN ONICAL FORM): Y ( z ) b0 + b1 z -1 + b2 z -2 + ... + bn z -n Darbe transfer fonksiyonu, fonksiyonu, G ( z ) = olarak verilsin, verilsin, G(z) = U ( z ) 1 + a1z -1 + ... + an z - n yeniden düzenlenir ise, içler -dışlar çarpımı yapılır.
Y ( z ) + a1z -1Y (z ) + ... + an z -nY (z ) = b0U (z ) + b1z -1U (z ) + ... + bnz - nU (z ) =>
Y ( z ) - b0U ( z ) + z -1 [a1Y ( z ) - bU b1U (z )] + z -2 [a2Y (z ) - b2U (z )] + ... + z -n [anY ( z ) - bnU ( z )] = 0 Veya X n- ( z ) ì ü ï ï Y ( z ) = b0U ( z ) + z -1 (b1U ( z ) - a1Y ( z ) + z -1 íb2U (z ) - a2Y (z ) + z -1 [b3U (z ) - a3Y (z ) + ......]ý) ï ï î þ 2
X n-1 ( z ) X n ( z )
(*) yeni durum değişkenleri değişkenleri aşağıdaki aşağıdaki gibi tanımlanır =>
X n ( z ) = z -1 [b1U (z ) - a1Y (z ) + X n-1 (z )]
n. Durum değişkeni
X n-1 ( z ) = z -1 [b2U (z ) - a2Y (z ) + X n-2 (z )]
(n-1). Durum değişkeni
............................................ ...................... ......................................... ...................
X 2 ( z ) = z -1 [bn-1U (z ) - an-1Y (z ) + X 1 (z )]
2. Durum değişkeni
X1 ( z ) = z -1 [bnU (z ) - anY (z )]
1. Durum değişkeni
(*) Y(z) denklemi, Y ( z ) = b0U ( z ) + X n (z ) olarak yazılır ise ve " taraf ''z'' ile çarpılır ise ;
zX n ( z ) = X n-1 (z ) - a1 X n (z ) + (b1 - a1b0 )U (z ) zX n-1 ( z ) = X n-2 ( z ) - a2 X n (z ) + (b2 - a 2b0 )U (z ) 6
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
...
zX 2 ( z ) = X 1 ( z ) - an-1 X n (z ) + (bn-1 - a n-1b0 )U (z ) zX 1 ( z ) = -an X n (z ) + (bn - a nb0 )U (z )
ters z- dönüşümü alnr ve çkan denklemler ters sra
ile yazlr yazlr ise;
x1 (k + 1) = -an xn (k ) + (bn - anb0 )u (k )
1. Durum denklemi
x2 (k + 1) = x1 (k ) - an-1xn (k ) + (bn-1 - a n-1b0 )u (k )
2. Durum denklemi
...
xn-1 (k + 1) 1) = xn-2 (k ) - a2 xn (k ) + (b2 - a 2b0 )u (k )
(n- 1). Durum denklemi
1) = xn-1 (k ) - a1x n (k ) + (b1 - a1b0 )u (k ) xn (k + 1)
n. Durum denklemi
çkş denkleminin ters zz-dönüşümü alnarak alnarak ,, y (k ) = xn (k ) + b0u (k ) olarak yazılır. Durum denklemleri GÖZLENEBİLİR KANONİK FORM’ da vektör -matris -matris olarak
é x1 (k + 1) ù é0 ê x (k + 1) ú ê1 ê 2 ú ê ê ú=ê . ... ê ú ê ê xn -1 ( k + 1) ú ê0 êë xn (k + 1) úû êë0
-an ù é x1 ( k ) ù é bn - an b0 ù ú ê x ( k ) ú êb - a b ú ... 0 0 -an -1 ú ê n -1 n -1 0 ú úê 2 ú u (k ) ... . . . ú ê ... ú + ê ... ú ê ú úê ... 1 0 -a2 ú ê xn -1 (k ) ú ê b2 - a2b0 ú ... 0 1 -a1 úû êë xn ( k ) úû êë b1 - a1b0 ûú yazlr.
0 ... 0 0 0 . 0 0
Çkş denklemi olarak,
é x1 ( k ) ù ê x (k ) ú y(k ) = [0 0 ... 0 1] ê 2 ú + b0u (k ) ê ... ú ê ú ë xn ( k ) û
elde edilir.
ÖRNEK: y (k + 2) = u (k ) + 1. 1.7 y (k + 1) - 0.72 y (k ) fark denklemi ile verilen sistemi durum denklemlerini gözlenebilir kanonik form’ da elde ediniz. Y ( z ) z -2 z -2 1 elde edilen idi. pay ve payda -2 ile çarplr çarplr ve = U ( z ) z 2 - 1.7 z + 0.72 z -2 z
Y ( z) z -2 = içler dşlar çarpm yaplr. U ( z ) 1 - 1.7 z -1 + 0.72z -2 7
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
Y ( z ) - 1.7 z -1Y (z ) + 0.72z -2Y (z ) = z -2U (z ) => Y ( z ) = z -2U ( z ) + 1.7z -1Y (z ) - 0.72z -2Y (z ) Durum değişkenleri tanımlanır…………
ì ü ï ï -1 Y ( z) = z í1.7Y ( z) + z {U ( z) - 0.72Y ( z)} ý ï ï X ( z ) î þ -1
olarak tanımlanır=>
1
X 2 ( z )
X 1 ( z) = z -1 (U ( z) - 0.72Y ( z ))
1. Durum değişkeni.
X 2 ( z) = z -1 (1.7Y ( z) + X1 ( z ))
2. Durum değişkeni.
ve Y ( z ) = X 2 ( z ) tir.
Çıkış denklemi.
X1 ( z ) ve X 2 ( z ) te Y(z) yerine koyulur ve eşitliklerin " iki tarafı z ile çarpılır ise;
zX 1 ( z ) = U ( z ) - 0.72 X 2 (z ) 1 .7 X 2 ( z ) + X 1 (z ) ters z-dönüşümü yapılır ise, zX 2 ( z ) = 1.
x1 (k + 1) = u (k ) - 0.72x2 (k )
1. Durum denklemi.
x2 (k + 1) = 1. 1 .7 x2 ( k ) + x1 (k )
2. Durum denklemi.
y (k ) = x2 (k )
Çıkış denklemi.
-matris formunda; gözlenebilir kanonik form’ vektör -matris
é x1 (k + 1) ù é0 -0.72ù é x1 (k ) ù é1ù ê x (k + 1) ú = ê1 1.7 ú ê x (k )ú + ê0ú u (k ) ûë 2 û ë û ë 12 û ë é x ( k ) ù y(k ) = [0 1] ê 1 ú ë x2 ( k ) û
elde edilir.
Yada,
b0 + b1 z -1 + b2 z - 2 Y ( z) z -2 = = genel teriminden katsayılar yazılır ise U ( z ) 1 - 1.7 z -1 + 0.72 z -2 1 + a1 z -1 + a2 z -2 b0 = b1 = 0, b2 = 1 dir. Doğrudan gözlenebilir kanonik form genel matrisinde katsayılar a1 = -1.7, a2 = 0.72 yerlerine yazılır. 8
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
•Durum deikenlerinin sras deitirilir ise , x (k ) yeni durum deikenleri olmak üzere; ˆ
é x1 (k ) ù é0 0 . ê x (k ) ú ê0 0 . ê 2 ú=ê ê ú ê. ê ú ê ë xn (k ) û ë1 0
1ù
ˆ
1
ˆ
. 0
ˆ
^ é ù é -a1 + x k ( 1 ) ê 1 ú ê -a ê ... ú = ê 2 ê ú ê . ^ ê x ( k + 1) ú ê -a ë n û ë n
ú é x1 (k ) ù 0 ê ú ... ú tanımlanır ise; ú .úê ú êë xn (k ) úû 0û
é b1 - a1b0 ù x k ( ) ú é 1 ù êb - a b ú 0 1 . . ê ú ê 2 2 0ú ú 1 0 . 0ù
ˆ
+ ú ê ... ú ú êë xn (k ) úû ê ú b a b 0 0 . 0û n 0û ë n .
.
...
. 1ú ê
ˆ
é x1 (k ) ù ê x (k ) ú y (k ) = [1 0 ... 0] ê 2 ú + b0u (k ) ê ... ú ê ú ë xn (k ) û ˆ
ˆ
ˆ
·
Elde edilen durum ve çıkış denklemleri de GÖZLENEBİLİR KANONİK FORM’ dur.
!NOT: Gözlenebilir kanonik formda elde edilen durum denklemlerinde nxn sistem matrisi Kontrole dilebilir kanonik formda elde edilen nxn sistem matrisinin Transpoze' sidir.
KÖŞEGEN KANONİK FORM (Diagonal Canonical Form):
Y ( z ) darbe transfer fonksiyonu ile verilen sistemin kutupları farklı ise (katlı değil i se) U ( z ) durum-uzay gösterimi köşegen kanonik formda gösterilebil ir. G( z ) =
Y ( z ) b0 z n + b1 z n-1 + ... + bn darbe transfer fonksiyonu; = olarak düzenlenir ise ve tüm payda payda U ( z ) z n + a1 z n-1 + ... + an Y ( z ) kökleri (kutuplar) farklı olduğuna göre, basit kesirlere ayrılmış ayrılmış olarak aşağıda aşağıda verildiği U ( z ) gibi yazılabilinir. c Y ( z ) c c = b0 + 1 + 2 + ... + n bu ifade, U (z) z - p1 z - p2 z - pn Y ( z ) = U ( z )b0 +
c1
U ( z) +
z - p1 X 1 ( z )
c c2 U ( z ) + ... + n U ( z ) z - p2 z - pn X n ( z ) X 2 ( z )
durum değişkenleri olarak tanımlanır ise; 9
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
X 1 ( z ) = X 2 ( z ) =
1
z - p1
U ( z )
1
z - p2
U ( z )
...
X n ( z ) =
1
z - pn
U ( z )
bu denklemlerden denklemlerden sırası ile,
zX1 ( z ) = p1 X 1 ( z ) + U (z ) => x1 (k + 1) = p1 x1 (k ) + u (k )
1. durum denklemi
zX 2 ( z ) = p2 X 2 ( z ) + U (z ) => x2 (k + 1) = p2 x2 (k ) + u (k )
2. durum denklemi
...
zX n ( z ) = pn X n (z ) + U (z ) => xn (k + 1) = pn xn (k ) + u (k )
n. durum denklemi olarak ifadeler
yazılır. çıkış denklemi;
Y ( z ) = b0U ( z ) + c1 X 1 (z ) + c2 X 2 (z ) + ... + cn X n (z ) => y (k ) = b0u (k ) + c1x1 (k ) + c2 x 2 (k ) + ... + cn xn (k )
olarak elde edilir.
durum denklemlerini vektör -matris -matris formda aşağıda verilmiştir.
é x1 (k + 1) ù é p1 0 ê x (k + 1) ú ê 0 p 2 ê 2 ú=ê ê ... ú ê . . ê ú ê . ë xn ( k + 1) û ë 0
0 ù é x1 ( k ) ù
é1ù úê ú ê1ú ... 0 x2 ( k ) ú + ê ú u (k ) úê ... . ú ê ... ú ê...ú úê ú ê ú ... p2 û ë xn ( k ) û ë 1 û ...
Ve çıkış denklemini denklemini y (k ) = [c1
c2
é x1 (k ) ù ê x (k ) ú 2 ú + b u (k ) ... c n ] ê ê ... ú 0 ê ú ë xn (k ) û yazılır.
1.7 y (k + 1) - 0.72 y (k ) fark denklemi ile verilen sistemin durum ÖRNEK: y (k + 2) = u (k ) +1. denklemlerini köşegen kanonik formda elde ediniz. verilen fark denkleminden transfer fonksiyonu elde edilir ise;
Y ( z) A B 1 1 = 2 = = + => A=1 A=10, 0, B=B=-10 10 dur U ( z ) z -1.7 z + 0.72 ( z - 0.9)( z - 0.8) z - 0.9 z - 0 .8 10
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
Y ( z ) 10 1 0 10 U ( z) U ( z) = U ( z ) z - 0.9 z - 0 .8 basit kesre ayrılır. Y ( z ) 10 1 0 10 U ( z) U ( z) = U ( z ) z - 0.9 z - 0 .8 X 1 ( z ) X 2 ( z ) X 1 ( z ) =
U ( z ) => zX1 ( z ) = U ( z ) + 0.9 X 1 (z ) z - 0.9
X 2 ( z ) =
U ( z ) => zX 2 ( z ) = U ( z ) + 0.8 X 2 (z ) z - 0.8
x1 (k + 1) = u (k ) + 0.9x1 (k ) 0 .8x2 (k ) x2 (k + 1) = u (k ) + 0.
ters z dönüşümü alınırsa;
1. Durum denklemi 2. Durum denklemi.
y (k ) = 10x1 (k ) - 10x2 (k )
Çıkış denklemi.
-matris formda durum denklemlerini vektör -matris
é x1 (k + 1) ù é0.9 0 ù é x1 (k ) ù é1ù ê x (k + 1) ú = ê 0 0.8ú ê x (k ) ú + ê1ú u (k ) ûë 2 û ë û ë 2 û ë
yazılır.
é x ( k ) ù çıkış denklemi y( k ) = [10 -10] ê 1 ú ë x1 ( k ) û
olarak elde edilir.
Jordan Kanonik Form: Verilen transfer fonksiyonunda , z = p1 'de m katlı kök olsun ve
diğer kutuplar birbirinden farklı olsun. Bu şartlar altında durum denklemi ve çıkış denklemi aşağıda verildiği gibidir. é x1 (k + 1) ù é P1 ê x (k + 1) ú ê 0 ê 2 ú ê ê ú ê ê ú ê ê xm (k + 1) ú = ê 0 ê xm+1 (k + 1) ú ê 0 ê ú ê ê ú ê ê x (k + 1) ú ê 0 ë n û ë
1
0
0
0
P1 1
0
0
0
0
P1
0
0
0
0
Pm+1
0
0
0
0
0
x1 (k ) ù é0ù ú ê x (k ) ú ê0ú 0 2 úê ú ê ú 0 ùé
úê ú ê.ú . úê ú ê ú 0 ú ê xm (k ) ú + ê1 ú u (k ) 0 ú ê xm+1 (k + 1)ú ê1 ú úê ú ê ú úê ú ê ú Pn úû êë xn (k + 1) ûú êë1 úû
11
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
y (k ) = [c1 c2
é x1 (k ) ù ê x (k ) ú 2 ú + b u (k ) Kaynak: discrete time control systems Katsuhiko Ogata ... c n ] ê ê ... ú 0 ê ú ë xn (k ) û
Y ( z) = b0U ( z) +
cm cm+1 c1 c2 U z U z U z U ( z) + + + + ( ) ( ) . . . ( ) z - p1 z - pm+1 ( z - p1 )m ( z - p1 ) m -1
+
cm+2 c U ( z) + ... + n U ( z) z - pm+2 z - pn 1
X 1 ( z ) =
( z - p1 )
U ( z ) => m
1 X 1 ( z ) = X 2 ( z ) z - p1
U ( z )
1 X 2 ( z ) = X 3 ( z ) z - p1
1
X 2 ( z) =
( z - p1 )
m -1
...
X m ( z) =
...
1
z - p1
U ( z )
X m-1 ( z ) 1 = X m ( z ) z - P 1
kalan (n-m) adet durum değişkenler;
X m+1 ( z) = X m+2 ( z ) =
X n ( z) =
1
z - pm+1
U ( z )
1
z - pm+2 1
z - pn
U ( z )
U ( z )
12
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
LİNEER DÖNÜŞÜMÜN DURUM DENKLEMLERİNE UYGULANMAS UYGULANMASII Benzerlik Dönüümü
Ayrk -zaman sistemlerin durum modellerinin elde edilmesinde farkl modellerin , kontrol edilebilir kanonik form, gözlenebilir kanonik form, köşegen kanonik form vb…. gibi elde edilebilineceği edilebilinec eği daha önce ifade edilmiştir.
Benzerlik dönüümü yardm ile verilen bir sistemin çok farkl sayda ayrk -durum modeli elde edilebilinir. Durum denklemleri; x(k + 1) = Ax(k ) + Bu (k )
Çk denklemi
ve
y (k ) = Cx(k ) + Du (k ) olarak verilsin.
1) = Px' (k + 1) 1) olur. Bu denklemlere lineer dönüüm, x(k ) = Px' (k ) uygula nsn. x(k + 1)
P ® nxn matris olmak üzere, x' (k ) yeni durum vektörüdür. Burada, P matrisi tersi alınabilir ve nxn boyutlu sistem matrisi A ile aynı boyutta matris olmak zorundadır. Lineer dönüümü durum denklemlerine uygularsak,
Px '(k + 1) = APx '(k ) + Bu (k )
" taraf P -1 ile çarplr ise,
x '(k + 1) = P -1 APx '(k ) + P -1Bu(k ) ü ý y (k ) = CPx '(k ) + Du(k ) þ
yeni durum denklemleri, elde edilir.
A p = P -1 AP, B p = P -1B, C p = CP, D p = D olarak tanmlanrsa, x '(k + 1) = A p x '( k ) + Bp u( k ) üï ý y(k ) = C p x '( k ) + Dp u( k ) ïþ
olarak yeni durum denklemleri yazlr.
Böylece tersi tersi olan her P matrisi için farklı farklı durum modeli elde elde edilebilinir. Lineer dönüşümde sistemin karakteristik denklemi değişmez.
A matrisinin karakteristik denklemi;
zI - A = ( z - z1 )(z - z 2 )...(z - z n ) = 0 dr Özellik:
P -1 A P = A olduu hatrlanr ise,
1
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
A p matrisinin karakteristik denklemi;
zI - A p = zP-1 IP - P-1 AP = P -1 zI - A P = zI - A Görüldüğü her iki sistem matrislerine ait karakteristik denklemler eşittir .
ÖRNEK:
é0.8 1 ù é 0ù + x(k + 1) = ê x k ( ) ú ê1ú u( k ) ë 0 0.9û ë û
é x (k ) ù y(k ) = [1 0] ê 1 ú ë x2 (k ) û Durum değiken modeli verilen sistemin lineer benzerlik dönüümü yardm ile yeni durum denklemini elde ediniz.
Çözüm: Lineer dönüüm dönüüm matris , 2x2 boyutunda boyutunda tersi alınabilen alınabilen P matrisi keyfi olarak seçilir.
é1 -1ù P = ê ú ë1 1 û
olarak seçilsin.
écof [ P ]ùû P -1 = ë P
T
é 0.5 0.5ù P -1 = ê ú ë-0.5 0.5û
é 0.5 0.5ù é 0.8 1 ù é1 -1ù é 1.35 00..55ù = > = A p = P -1 AP = ê A p úê úê ú ê -0.45 0.35ú ë-0.5 0.5û ë 0 0.9û ë1 1 û ë û é 0.5 0.5ù é0ù é 0.5ù B p = P -1 B = ê ú ê1 ú = ê 0.5ú 0 . 5 0 0. . 5 ë ûë û ë û é1 -1ù C p = CP = [1 0] ê ú = [1 -1] 1 1 ë û yeni durum denklemini yazarsak;
é 1.35 0.55ù ' é 0.5ù + x' (k + 1) = ê x k ( ) ú ê 0.5ú u( k ) 0 . 4 5 0 . 3 5 ë û ë û y (k ) = [1 -1] x ' (k )
2
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
zI - A =
z - 0.8 0
-1 = 0 => z 2 -1.7 z + 0. 0.72 = 0 z - 0.9 İki karakteristik denklem eittir.
zI - A p =
z -1.35 0.45
-0.55 = 0 => z 2 -1.7 z + 0. 0.72 = 0 z - 0.35
Böylece tersi tersi olan her P matrisi için farklı farklı durum modeli elde elde edilebilinir. Lineer dönüşümde sistemin karakteristik denklemi değişmez.
Lineer Dönüşüm İle Sistem Matrisi A’nın Köşegen Hale Getirilmesi Lineer Dönüşüm Dönüşüm sistem durum denklemlerinin öz -değerlerini değiştirmez . A matrisini diagonal (köşegen) diagonal (köşegen) hale getiren özel l ineer dönüüm matrisi elde edilecektir .
Tanım: A matrisi nxn boyutlu ve öz-deerleri l1 , l2 ,. ,...., l n olsun. Öz-vektörler her bir öz deer için tanmlanrlar ve nx1 nx1 boyutludur. " hangi bir l i öz-değerine ilikin öz-vektör z iö ise
Aziö = li ziö => [l i I - A] z iö = 0 öz-vektör denkleminin çözümleri olan zi (nxn) boyutundaki vektördür. vektördür. Her öz -deer için bir öz bulunur.
l 1 için zT 1öT = [v11 v21 ... vn1 ] l 2 için zT 2öT = [v12
v22 ... vn 2 ]
...
l n için z T nöT = [v1n
v2n ... vnn ]
nxn boyutlu A matrisinin bütün öz -deerlerinin basit ve gerçel olması koulu halinde özvektörlerden oluan P linee r dönüüm matrisi ;
3
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
é v11 êv ê 21 P öz = ê . ê ê vn1 ëê Z ÖT 1
v12 v22 .
v2 Z 2 ÖT
v1n ù ú ... v2n ú . .. . ú ú ... vnn ú ú Z nÖT û ...
1. sütun 1. öz -vektör , 2. sütun 2. öz -vektöre ....... aittir.
P öz ’e Benzerlik dönüşüm ya da model matris denir.
ÖRNEK: 1 ù é x1 (k ) ù é 0ù é x1 (k + 1) ù é0.5 0 ê x (k + 1) ú ê ú ê x (k )ú + ê 0ú u(k ) 1) = 0 -0.5 1 2 ê ú ê úê 2 ú ê ú êë x3 (k + 1) úû êë 0 -0.7úû êë x3 (k )úû êë1úû 0
é x1 (k ) ù y(k ) = [0 0 1] êê x2 (k ) úú êë x3 (k ) úû Durum denklemi ile verilen sistem lineer benzerlik dönüümü ile sistem matrisi A’ y köegen hale getiriniz.
ÇÖZÜM: Önce A matrisinin Öz-değer ve Öz-vektörleri bulunur. A-matrisinin karakteristik denklemi;
zI - A = 0
dr. Karakteristik denklem kökleri öz -
değerlerdir .
z - 0.5 0 0
-1 -1 = 0 = ( z - 0.5)( z + 0.5)( z + 0.7) = 0 => z + 0.5 z + 0.7 0 0
öz-değerler;
l 1 = z 1 = 0.5 l 2 = z 2 = -0.5 l 3 = z 3 = -0.7 öz-vektörler aşada sras ile hesap edilir. Her bir öz-deere ilişkin öz4
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
é v11 ù é v12 ù é v13 ù z1öz = êêv21 úú z2 öz = êêv22 úú z3öz = êêv23 úú êëv31 úû z =l êëv32 úû z =l êëv33 úû z =l 1
1
2
2
3
3
Öz-vektörler belirlensin. [l i I - A] z iöz = 0 l1 = z1
= 0.5 => [l i I - A] z iöz = 0 =>
ì é1 0 0ù é 0.5 0 1 ù ü é v11 ù é 0 0 -1ù é v11 ù ï ê ï Þ í0.5 ê0 1 0úú - êê 0 -05 1 úú ý êê v21 úú = êê 0 1 -1úú êê v21 úú = 0 => ï ê0 0 1 ú ê 0 -0.7úû ïþ êë v31 úû êë 0 0 1.2úû êë v31 úû 0 û ë î ë
-v31 = 0 v21 - v31 = 0 1.2v31 = 0 denklemleri deerlendirilir ise, v31 = 0 v21 = 0 olur. Ve v11 'i gelii güzel alnabilir v11 =1 olsun,
é1 ù ê ú l 1 = 0.5 öz-deer i için öz öz--vektör z 1öz = 0 dir. ê ú êë 0úû --------------------------------------------------l 2 = z 2 = -0.5 için ,
ì é1 0 ï Þ í-0.5 êê0 1 ï êë0 0 î -v12 - v32 = 0 ,
-------------------------------------------------------
é -1 0 -1ù é v12 ù ú ê úïê ú ê úê ú 0 - 0 -05 1 ý v22 = 0 0 -1 v22 = 0 => ú ê ú ê ú ê úê ú ï -0.7úû þ êë v32 úû êë 0 0 0.2úû êë v32 úû 1úû êë 0 0 -v32 = 0 ve 0.2v32 = 0 denklemleri sras ile değerlendirilir. değerlendirilir. 0ù é0. 0 .5
0
1 ù ü é v12 ù
= v32 = 0 , v22 = 1 gelişi güzel seçilir, é0 ù ê ú l 2 = -0.5 öz-deer i için öz öz--vektör z 2 öz = 1 ê ú êë0úû
ise v12
---------------------------------------------------
-------------------------------------------------------
= z 3 = -0.7 öz-deeri için özöz-vektörü belirlersek; ì -1ù é v13 ù 0.5 0 1 ù ü é v13 ù é -1.2 0 é1 0 0ù é 0. ï ïê ú ê ê ú ê ú Þ í-0.7 ê0 1 0ú - ê 0 -05 1 ú ý êv23 ú = ê 0 -0.2 -1úú êê v23 úú = 0 => ï êë0 0 1úû êë 0 -0.7úû ïþ êëv33 úû êë 0 0 0 0 úû êë v33 úû î -1.2v13 - v33 = 0 , -0.2v23 - v33 = 0 denklemler yazlr. v23 = -5v33 , v33 = -1.2v13 denklemleri l 3
sras ile değerlendirilir. v33
= 0.24 seçilir ise v13 = -0.2, v23 = -1.2 olur. 5
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
é-0.2ù ê ú öz--vektör z 3öz = -1.2 l 3 = -0.7 öz-deer i için öz ê ú êë 0.24 úû --------------------------------------------------é v11 v12 ... v1n ù
êv ê 21 P öz = ê . ê ê vn1 ëê Z ÖT 1
v22 .
v2 Z 2 ÖT
-------------------------------------------------------
ú ú öz-vektörler yerlerine yazlr ve . .. . ú olduu göz önüne alnarak özú ... vnn ú ú Z nÖT û ... v2n
é1 0 -0.2ù P öz = êê0 1 -1.2úú öz-vektörlerden oluşan dönüşüm matrisi yada model matris elde edilir. êë0 0 0.24 úû 0.2 ù é 1 0 ê 0.24 ú ê ú 5 ú => ve Pöz -1 = ê0 1 ê 1 ú ê0 0 ú 0.24 û ë
x' (k + 1) = Pöz -1 APözöz x' ( k ) + Pöz -1 Bu( k ) y(k ) = CPöz x '( k ) + Du( k )
0.2 ù é 1 0 ê 0 1 ù é1 0 -0.2ù é 0.5 0 0 ù 0.24 ú é0.5 ê ú ê ú ê ú ê ú Pöz -1 AP öz = ê0 1 5 ú 0 -0.5 1 0 1 -1.2 = 0 -0.5 0 ê úê ú ê ú ê ú -0.7úû êë0 0 0.24úû êë 0 -0.7úû 1 êë 0 0 0 ê0 0 ú A P . û 0.24 ë P -1
0.2 ù é é 0.2 ù 1 0 ê é1 0 -0.2ù 0.24 ú é0 ù ê 0.24 ú ê úê ú ê ú ê ú -1 1]] 0 1 -1.2 = [0 0 0.24] Pöz B = ê0 1 5 ú 0 = ê 5 ú CP öz = [0 0 1 ê ú ê ú C ê ú ê ú êë0 0 0.24 úû 1 êë1úû 1 ê0 0 ú ê ú P 0.24 û ë ë 0.24 û P -1
Öz-vektör hesabında lineer bağımlı denklemlerden dolayı özÖzöz-değerler için hesap edilen öz--vektörlerde bazı değerler keyfi seçilmek zorundadır. Dolayısı ile her seçilen değere öz bağlı olarak P öz dönüşüm matrisi değişecektir. Ancak sistem matrisi A yine diagonal -1 -1 (Köşegen) olacaktır. Pöz AP öz aynı kalır ancak Pöz B ve CP öz matrisleri değişir.
6
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
é 0.2 ù é x (k + 1) ù é0.5 0 0 ù é x ( k ) ù ê 0.24 ú ê ' ú ê ú ê x ' ( k ) ú + ê 5 ú u( k ) ( + 1 ) = 0 0 . 5 0 x k 2 ú ê ú ê úê 2 ú ê ' ' ê x3 (k + 1) ú êë 0 0 -0.7 úû êë x 3 ( k ) úû ê 1 ú ë û ê ú ë 0.24 û P- AP ' 1
' 1
durum denklemleri ve
1
P-1B
é x'1 (k ) ù ê ú y(k ) = [0 0 0.24] ê x'2 (k )ú ê x'3 (k ) ú ë û
çk denklemi elde edilir.
Durum Denklemlerinden Transfer Fonksiyonunun Elde Edilmesi: Sisteme ait durum denklemi, denklemi ,
x(k + 1) = Ax( k ) + Bu( k )
ve
y(k ) = Cx( k ) + Du( k )
çk denklemi
olarak verilsin.
Durum denkleminin z-dönüşümü z-dönüşümü alınırsa;
zX ( z) - zX (0) = AX ( z) + BU( z ) koşullar koş ullar sfr alnr. X (0) ;
[ zI - A] X ( z) = BU ( z ) =>
transfer fonksiyonu elde edilirken ilk
Z { f (t + T )} = zF ( z) - zF (0) Z { f (t + nT )} = z n F ( z ) - z n F (0) - z n -1F (1) - ... - zF (n -1)
-1
X ( z) = [ zI - A] BU ( z )
n
= z F ( z ) - z
n
n -1
å F (k )z
- k
k =0
HATIRLATMA!
y(k ) = Cx(k ) + Du(k ) => Y (z ) = CX (z ) + DU (z ) X ( z ) ifadesi Y ( z ) te koyulur.
{
-1
}
Y ( z ) = C [ zI - A] B + D U (z )
Y ( z ) -1 = T ( z ) = c [ zI - A] B + D U ( z )
7
yerine
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
AdjA A jA
T ( z ) = C
!
[cof ( zI - A)]T B + zI - A D
zI - A
zI - A = 1 + G( z ) H ( z )
=
G ( z ) 1 + G ( z )H ( z )
Karakteristik Denklem. Denklem.
ÖRNEK:
é 1.35 0.55ù é 0.5ù + x(k + 1) = ê x k ( ) ú ê 0.5ú u( k ) y(k ) = [1 -1] x (k ) 0 . 4 5 0 . 3 5 ë û ë û
durum denklemi ile
verilen sistemin transfer fonksiyonunu elde ediniz.
é z -1.35
[ zI - A] = ê
ë 0.45
cof:kofaktör
=
-0.55 ù z - 0.35úû
zI - A = z 2 -1.7 z + 0.72
éëcof [ zI z I - A]ùû é z - 0.35 -0.45 ù -1 = cof [ zI z I - A] = ê zI A [ ] ú zI - A ë 0.55 z - 1.35û
T
é z - 0.35 0.55 ù z 2 -1.7 z + 0.72 êë -0.45 z - 1.35úû 1
D=0 olduğundan; -1
T ( z) = C [ zI - A] B =
T ( z ) =
é z - 0.35
1
0.55 ù é 0.5ù
[1 -1] ê úê ú z 2 -1.7 z + 0.72 ë -0.45 z - 1.35û ë 0.5û
1
z - 1.7 z + 0.72 2
Durum Denklemlerinin Çözümü : İlk durumlar x(0) ve u(j)
j=0,1,2,...
biliniyor ise,
x(k + 1) = Ax(k ) + Bu (k ) y (k ) = Cx(k ) + Du (k ) lineer-zamanla değimeyen durum denklemlerinin çözümünü elde etmeye çalıılsın çalıılsın.. 8
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
Çözüm elde edilirken sırası ile k=0,1,2,... değerleri verilsin . k=0
x(1) = Ax(0) + Bu (0)
k=1
x(2) = Ax(1) + Bu(1)
= A2 x(0) + ABu(0) + Bu(1)
k=2
x(3) = A3 x (0) + A2 Bu (0) + ABu (1) + Bu (2)
Çözüme devam edilirse, k. terim için k -1
x(k ) = A x(0) + å A( k -1- j ) Bu( j) k
elde edilir.
j =0
eer Ak = f (k ) olarak tanmlanrsa, f (k ) Durum geçiş matrisi olarak adlandırılır .
k -1
x(k ) = f ( k ) x(0) + åf ( k -1 - j) Bu( j) j =0
ifadesi elde edilir.
Bu ifade y(k)' y(k)' da yerine yerine koyulur koyulur ise,
k -1
y (k ) = Cf (k ) x(0) + å Cf (k -1 - j ) Bu( j ) + Du( k ) j =0
Çıkış ifadesi elde edilir.
ÖRNEK:
é0 1ù é0ù + x(k + 1) = ê x k ( ) ú ê1ú u( k ) ve x(0) = 0, u (k ) = 1 k=0,1,... ë-2 -3û ë û y (k ) = [3 1] x( k )
olarak verildiine göre x(k) ve y(k) değerlerini ardışıl olarak elde ediniz.
é0 1ù é 0ù é0ù + = > = x(1) = ê x u x ( 0 ) ( 0 ) ( 1 ) ú ê1 ú ê 1ú ë-2 -3û ë û ë û
9
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
é0 ù y (1) = [3 1] ê ú => y (1) = 1 ë1 û é0 1ù é0ù é1ù + = x(2) = ê x u ( 1 ) ( 1 ) ú ê 1ú ê -2ú ë-2 -3û ë û ë û é1ù y (2) = [3 1] ê ú => y (2) = 1 ë-2û é-2 ù x(3) = ê ú ë5û
y (3) = -1
é 5 ù x(4) = ê ú y(4) = 5 10 ë û
Formül kul kullanarak lanarak hesaplansn .
é 0 1 ù é 0 1 ù é -2 -3ù A2 = ê ú ê-2 -3ú = ê 6 9 ú 2 3 ë ûë û ë û
k=2 için hesap yapalm. 1
x(2) = A x(0) + å A1- j Bu( j) 2
j =0
é1 0ù ê0 1ú ë û
é ù ê é-2 -3ù é0 ù é 0 1 ù é0 ù 0 1 ú é0 ù =ê ú ê0 ú + ê-2 -3ú ê1 ú + ê-2 -3ú ê1 ú 6 9 ë ûë û ë ûë û ê úë û ê úû I ë B A 1
İRİMMATRİS İRİMMATRİ S
é 1 ù é0ù ú + ê ú => ë-3û ë1û
=0+ê
é1ù x(2) = ê ú ë-2û f
1- j
é-2 -3ù é0 ù 1 é0 1ù + 3 1 y ( 2) = [3 1] ê [ ] úê ú å ê -2 -3ú 6 9 û ë0 û j =f ë ë û C A2
x (0 )
10
é0 ù ê1 ú1 ë û
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
é0 1ù A = ê ú verildiğine göre durum geçi matrisini bulunuz. 2 3 ë û -1 ù ise zI - A = z 2 + 3z + 2 = (z +1)(z + 2) ú ë2 z + 3û é z
[ zI - A] = ê
1 é 2 é( z + 3) 1ù ê z + 1 z + 2 1 -1 =ê [ zI - A] = ê z úû ê -2 2 ( z + 1)( z + 2) ë -2 + êë z + 1 z + 2
ìé 2 z z ïê -1 -1 -1 ï z + 1 f (k ) = {z [ zI - A] } = íêê -2 z z2+z2 ï + îïêë z + 1 z + 2
1
-
1 ù z + 2 ú ú 2 ú
z +1 -1 + z +1 z + 2 úû
z z ù ü z +1 z + 2 ú ïï úý -z 2 z ú ï + z + 1 z + 2 úû þï
é 2(-1)k - (-2)k ( -1)k - ( -2)k ù =ê k k k kú ë-2(-1) + 2(-2) -(-1) + 2(-2) û
latma: ters z-dönüşüm için Hatr latma:
d m-1 m k -1 é ùû x(kT ) = å z z X z z ( ) ( ) i m -1 ë z = z i i =1 ( m - 1) ! dz n
1
éa b ù -1 é d -b ù 1 A = A = ê ú ê ú ad - dc ë-c a û ë c d û Hatırlatma:
12
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
f (k ) 1)
2)
Durum geçiş matrisinin matris özellikleri :
f (0) = I
=A
0
k +k f (k1 + k2 ) = A 1 2 -k
3) f (-k ) = A
= Ak Ak = f ( k1 )f ( k2 ) 1
2
k -1
= éë A ùû = f (k ) -1 veya f (k ) = f ( -k )
-1
Sürekli-zaman Durum Denklemlerinden Zamanla Değişmeyen Ayrık -zaman -zaman Durum Denklemlerine Geçiş Sürekli sistem durum denklemleri ;
x(t ) = Ax(t) + Bu(t ) y (t ) = Cx(t ) + Du(t )
olarak verilsin. verilsin.
x(t ) - Ax = Bu şeklinde yazıp her iki tarafı e - At ile çarparsak;
e- At ( x(t ) - Ax ) = e - At Bu (t )
not:
*
ì d é - At ù - At - At e x t A e x t e x( t) ( ) ( ) = + û ïï dt t ë í * ï - At ïî= e [ x(t ) - Ax(t) ] olmak üzere,
d - At éëe x(t ) ùû = e - At Bu (t ) yazılabilir. dt Bu ifadenin 0-t aralığında aralığında integrali integrali alınır ise, t
e
- At
x(t ) = x(0) + ò e- At Bu (t )dt
ve her tarafı
e At
ile çarparsak;
0
t
x(t ) = e x (0) + ò e - A(t -t ) Bu (t )d t At
0
At
e = f (t )
tanmlanr ve durum geçiş matrisi olarak isimlendirilir.
13
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
t
x(t ) = f (t ) x (0) + ò f (t - t )Bu (t )d t
{t 0 = 0} için genel çözüm elde
0
edilir.
t
t 0 ¹ 0
A( t -t 0 )
için
x(t ) = e
f ( t -t 0 )
x(t0 ) + ò e A(t -t ) Bu(t )d t t 0
Çk ifadesi ise, elde edilen x(t) genel çözüm y(t) ifadesinde yerine koyulur ise, t é ù y (t ) = C êf (t - t0 ) x(t0 ) + ò f (t -t )Bu(t ) dt ú + D(t )u(t ) êë úû t 0
elde edilir.
Ayrık -zaman -zaman Durum denklemlerinin elde edilmesi: İki örnekleme zaman aralığını
kT £ t < kT + T düşünelim. Bu amaç için t0 = kT ve
t = kT + T alnr ve bu aralkta kontrol kontrol işareti u (t ) = u (kT ) sabit kabul ederek ( ZOH’lu yaklaşım) u(t)
t0
t u(kT) (k+1)T
kT
( k +1)T
ò
x [(k + 1)T ] = f (kT + T - kT ) x(kT ) +
f [( k +1)T - t ]Bu( kT ) d t
kT ( k +1)T
x [ (k + 1)T ] = f (T ) x(kT ) +
ò
f [(k + 1)T - t ]Bu (kT )d t
kT
14
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
f [(k +1) 1)T - t ] Bu(kT )dt
= f(T ) x( kT ) + g (T )u ( kT )
u (kT ) giri örnekleme aralğnda sabit alndğndan, integral ifadesi; ( k +1)T
ò
g (T ) =
f [( k +1)T -t ]Bdt olarak tanımlanır ;
kT ( k +1)T
ò
g (T ) =
e A( k +1)T e- At dt
dir.
kT ( k +1)T
A( k +1)T
g (T ) = e
ò
e - At Bdt veya örnekleme aralıı için k=0 alnr ise 0 £ t £ T aralıı
kT
için; T é ù AT - At g (T ) e ê ò e dt ú B ® ë0 û
éT - At ù g (T ) e ê ò e dt ú B ë0 û AT
f (t ) = e At
ve
olarak elde edilir.
f (T ) = e AT
f (T ) = f (t ) t =T
olduu hatrlanr ise,
dir ve
Sürekli zaman durum denklemlerinden ayrk zaman durum denklemleri
x [ (k + 1)T ] = f (T ) x( kT ) + g (T )u( kT ) elde edilir.
y(kT ) = Cx(kT ) + Du( kT )
Sürekli zamanda Durum Geçiş matrisinin elde edilmesi: Sistemin durum geçiş matrisi sadece serbest davranıı ile ilgilidir . Çözümde u(t)=0 alnr. 15
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
Çözüm:
İşlem basamakları kısaca aşağıda verildiği gibidir. 1)
f (t )
,sürekli zaman durum geçiş mat risi risi bulunur, sonra t=T verilerek ayrk zaman
T )
durum geçiş matrisi f (
elde edilir..
T é ù - At AT ê ò e dt ú B 2) g (T ) ifadesi, g (T ) e ë0 û
ile hesaplanr .
f (T ) ve g (T ) ifadeleri kullanlarak ayrk-zaman durum denklemleri,
x [(k + 1)T ] = f (T ) x(kT ) + g (T )u (kT )
olarak elde edilir.
Önce, sürekli zaman durum geçiş matrisi , ,
f (t )
elde edilir.
2 é 1 ù ê é s + 1 -2 ù s + 1 (s + 1)( s + 2) ú -1 ú [ sI - A] = ê ú Þ [ sI - A] = ê + s 0 2 1 ê ú ë û 0 êë úû s + 2 NOT:
2
( s + 1) (s + 2)
=
A B 2 2 + = dir . s + 1 s + 2 s + 1 s + 2 A=2, B=-2
-t -t -2 t é ù e e e 2 2 -1 -1 éë( sI - A) ùû = ê f (t ) = ú -2t e 0 ë û
durum geçiş matrisi olarak elde
edilir.
ÖZELLİK:
f (0) = I
olmalıdır .
ée-T f (T ) = f (t ) t =T Þ f (T ) = ê ë0
é1 0ù = f (0) ê ú ë0 1 û
2e-T - 2e-2T ù
e-2T 17
ú û
olur .
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
-T é e e- At = f (-t ) = ê ë0
2e -T - 2e -2T ù
T 2e -T - 2e-2T ù ì ï éet
é T - At ù ée-T g (T ) = f (T ) ê ò e dt ú B = ê ë0 ë0 û
T
ée ò0 êë 0 t
éT t ê ò e dt t 2t 2e - 2e ù ê0 = d t ú ê e 2t û ê 0 ëê -T
ée =ê ë0
2e
-T
ée =ê ë0
2e
-T
- 2e e -2T
-T
é1 - e-T =ê ê 0 ëê
- 2e e-2T
ú ûT =-t
e-2T
-2T
-2T
ú íò ê û ïî 0 ë 0
e -2T
ù
T
ò
( 2et - 2e2t ) d t ú
ú= ú ú ûú
0
T
ò e2t d t 0
ét ù êe úê ûê0 ë
2et - e2t ù 1 2
e 2t
üï é1ù d t ú ý ê0 ú û þï ë û
2et - 2e2t ù
éet ê ê0 êë
e2t
t 2t 2e - e ù
1 2
e
2t
T
ú ú úû0
T
ú ú ûú 0
é1 ù ê0 ú ë û
éeT -1 2eT - e2T - 1ù ùê ú é1 ù úê 1 2T 1 ú ê ú e ë0 û ûê 0 ë 2 2 úû
2 - eT - eT + e-T - e-T - 1 + e-2T ù 1 2
ú é1 ù ú êë0úû ûú
1
e -T - e-2T 2
é1 - e-T ù g (T ) = ê ú ë 0 û é x1 [ (k + 1)T ] ù ée-T ê x (k + 1)T ú = ê ]û ë 0 ë 2[
2e-T - 2e-2T ù é x1 (kT ) ù é1 - e-T ù
e-2T
ú ê x (kT ) ú + ê ú u(kT ) 0 û ë ûë 2 û
bants nts ikinci yoldan elde edilebilir. Ayn g (T ) ba T AT
g (T ) = e
òe 0
T
- At
Bdt = ò e A(T -t ) Bdt 0
değiken değitirmesi yaplr ise,
t
T -t = l dersek,
= 0 Þ l = T 18
-dt = d l
(T sabit ) ve
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
t
= T Þ l = 0
sınır değerler göz önüne alınır
ve
dt = -d l
yazlr
æ T Al ö g (T ) = ( - ò e d l ) B = ç ò e d l ÷B bants elde olunur. T è0 ø 0
Al
æ ée çòê 0 è0ë T
-l
g (T ) = ç
2e
-l
- 2e e-2l
-2 l
-T é e 1 ù ö ê úd l ÷÷ B = ê 0 û ø êë
- e-2T -1ù 1 úé ù Þ 1 1 ê ú - e-2T + ú ë0û 2 2 úû
2e
é1 - e-T ù g (T ) = ê ú ë 0 û
19
-T
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
DURUM UZAY KARARLILIK ANALİZİ Kararlılık analizi BIBO kriteri kullanılarak yapılabilir yapılabilir (bounded input,bounded output). Sınırlı giriş için sınırlı çıkış üreten sistem kararlıdır. Durum-uzay kararlılık analizi fonksi yonundan an yararlanarak yapılmasıdır . yöntemlerinden birisi transfer fonksiyonund
x(k + 1) = Ax(k ) + Bu (k ) y (k ) = Cx (k ) + Du (k )
ile verilen sistemin transfer fonksiyonu;
Y ( z ) -1 = T ( z ) = C [ zI - A] B + D U ( z )
,
-1
[ zI - A]
ifadesini açarak yazılır ve kapalı çevrim
transfer fonksiyonuna eşitlenir ise Adj ( A ) T [ cof ( zI - A)] B + zI - A D
T ( z ) = C
zI - A
=
G ( z ) 1 + G ( z ) H ( z )
elde edilir. edilir. Bu ifadelerden ifadelerden kararlılık kararlılık
analizi için gerekli olan karakteristik denklem,
F ( z ) = 1 + G( z) H ( z ) = det( zI - A) = 0
olduğu görülebilir . F(z)=0 karakteristik denklem kökleri aynı zamanda öz-değer olarak adlandırılır .
ÖRNEK: 0 ù é 0.43 A = ê ú sistem matrisi ile verilen ayrık -zaman sisteminin kararlılığını 0.03 0. 037 7 0. 0.64 64 ë û inceleyiniz. i)
é z - 0.43
det( zI - A) = ê
ë 0.037
ù =0 z - 0.64úû 0
det( zI - A) = ( z - 0.43)( z - 0.64) = 0 Þ z1 = 0.43 ve z 2 = 0.64 dir .
köklerinin tümü birim daire içindedir.
SİSTEM
KARARLIDIR .
jw z
s z
0.43 0. 43
karakteristik denklem
0.64 0. 64
1
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
Jury kriteri ile karalılık analizi yapılabilir ; Karakteristik Karakter istik denklem
arakteristik denklem derecesi n=2 dir. F ( z ) = z 2 - 1.07 z + 0.2752 = 0 ,olmak üzere, k arakteristik
Gerek koşullar i) F (1) > 0 Þ F (1) = 0.2052 > 0 ' d ır ır 2 ır ii) (-1) F (-1) Þ F (-1) = 2.3452 > 0 'd ır
Yeter koşullar i)
n-1=1 tane koşul sağlanmaldr. an > a0 , olmalıdır.
1 > 0.2752 ‘dı r. Gerek ve yeter koşul sağlandığından s ağlandığından kapalıkapalı-çevrim tran sfer fonksiyonunun tüm kutupları birim daire içindedir . SİSTEM KARARLIDIR .
Liapunov Kararlılık Kriteri Non-lineer sistemlerin kararlılığın incelenmesinde en önemli teori lerden birisi Rus Matematikçi Alexander Mikhailovich Liapunov tarafından gösterilmiştir(1892). Liapunov
’un 2. Kararlılık kriteri, dinamik bir sisteme ilişkin diferansiyel denklemin çözümünü çözümünü elde etmeksizin denklemin biçiminden dinamik sistemin kararlı olup olmadığının saptanmasını en enerji ile sistemin dinamiği dinamiği arasında bağlantı salar. Liapunov , sistemin içinde biriktiril en kuracak bir fonksiyon tanımlanmıştır . Eğer toplam enerji, sistem denge durumuna ulaşıncaya kadar sürekli azalır ise bu sistem kararlıdır. Sistemler için yazılan enerji fonksiyonları kesin pozitiftir (positive definit). Toplam enerjisi sürekli azalan bir sistemde ise enerji fonksiyonunun zamana göre türevi negatif olur . Liapunov enerji fonksiyonunun zamana göre türevi negatif olur. Liapunov enerji fonksiyonunun kesin pozitif olma özelliğinden ve kararlı sistemin enerji fonksiyonunun bu özelliğinden yararlanarak 2. Kararlılık kriteri verilmiştir. Bu kriter sadece diferansiyel diferansi yel denklemin yapısından kararlılık incelemesi yapma olanağı verdiğinden Liapunov ’un ‘’Doğ ‘’Doğ rudan rudan kriteri’’ kriteri’’ diye diye adlandırılır. Bu teorem, eğ er er uygun bir Liapunov fonksiyo fonksiyonu nu bulunabilirse kararlılık hakkında bir şey söyleyebilir. Eğer fonksiyon bulunamazsa bir şey söyleyemez. Liaponov’un 2. Kararlılık Kriteri:
Bir kontrol sistemine ait dinamik denklem,
2
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
bütün t’ler için
dx olsun. = f ( x, t ) f (0, t ) = 0 biçiminde verilmiş olsun. dt
v(x,t) , Lyapunov fonksiyonu ağıdaki 3 şartı sağlamalıdır. 1- Sürekli ve birinci mertebeden türevi olmalı. 2-Kesin pozitif fonksiyon olmalıdır. 3-
dv( x, t ) kesin negatif olmalıdır. dt
1,2, ve 3 şartlarını sağlayan bir skaler fonksiyon (değeri skaler olan fonksiyon, f =f(p), =f(p), p’y bağlı olarak f ’nin ’nin değeri skalerdir.) bulunabilir skalerdir.) bulunabilir ise, bu sistemin başlangıç noktasındaki noktasındaki *
kararlılığı düzgün asimtotik kararlılık özelliğindendir. İlave olarak x ® ¥ için v(x,t) *
1/2
sonsuza giderse, sistem düzgün asimtotik geniş anlamda kararlıdır denir. x = éë xT x ùû v(x,t) skaler Liapunov fonksiyonunun bulunması bulunması için doğrudan doğruya bir yol olmadığı ve v(x,t) ‘nin elde edilmesinin zorluğu göz önünde bulundurulmalıdır .
x1 , x2 ,. ,...., xn ’nin fonksiyonu olan skaler fonksiyon v(x) 1- i) v(x)>0,
x ¹ 0
ii) v(0)=0
1/2
*
x = éë xT x ùû vektörün normu denir.
İse v(x) ‘’Kesin pozitif fonksiyon’’ olarak adlandırılır. 2- i) v( x)
³ 0 , x ¹ 0
ii) v(0)=0 ise v(x) ‘’Yarı kesin pozitif fonksiyon’’ olarak adlandırılır.
Eğer – – v(x) v(x) ‘’ Kesin 3- Eğer Kesin pozitif fonksiyon fonksiyon ‘’ ise v(x) ’’Kesin negatif fonksiyondur ’’.
3
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
ÖRNEK: x1
= 0, x2 = 0
da kararlı olan sistemin, kararlılıını Liapunov 2 . Kriteri yardımı
ile inceleyiniz.
dx1 ( x12 + x22 ) x1 =- x2 dt 2 dx2 ( x12 + x22 ) x2 = x dt 1 2
ÇÖZÜM:
v( x) ®
v( x) = x12 + x22
Liapunov fonksiyonu ve
olarak seçelsin .
1)
i ) v( x) > 0, x1 ¹ 0, x2 ¹ 0 ü ý ii) v(0) = 0, x1 = 0, x2 = 0þ
olduundan v(x) skaler fonksiyonu ‘ ’kesin pozitiftir’’
2)
dx dx dv( x) = 2 x1 1 + 2 x2 2 dt dt dt ì ( x12 + x22 ) x1 ü ì ( x12 + x22 ) ü x2 ý Þ = 2 x1 í- x2 ý + 2 x2 í x1 2 2 î þ î þ = -2 x
2 1
( x12 + x22 ) x1 2
- 2 x1x 2 + 2 x2 x1 -
( x12 + x22 ) 2
2 x22 = - x14 - x12 x22 - x12 x22 - x24
= -( x14 + 2 x12 x22 + x24 )
dv( x) fonksiyondur r . = -( x12 + x22 ) 2 kesin negatif fonksiyondu dt Yukarıdaki tanımda ifade edildii fibi seçilen v(x,t) skaler fonksiyonu koşulları salandıından salandıınd an ve x ® ¥ için v( x) ® ¥ ’da olacaından sistem başlangıç denge durumunda geniş anlamda asimtotik olarak kararlıdır.
4
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
ÖRNEK: Bir sarkaç sistemini ele alalım ve karalılığını Liapunov kararlılık kriteri ile inceleyelim.
Dq
l
q
l
mg sin q
m
D x
x mg Sarkacı net hareket ettiren kuvvet,
å F = ma
dır. Şekilden D x = l Dq
D x Dq dx d q = l = l elde edilir olarak düzenlenir ise, Dt Dt dt dt
ve
yazılır ve yazılır ve
d 2x d 2q = l 2 olarak yazlabilir. dt 2 dt
Newtonun 2. Kanunu Kanunu yazılırsa, k hava ile ile sürtünme katsayısı (sönüm katsayısı) olmak üzere,
d 2x dx m 2 + k + mg si n q = 0 dt dt d 2q d q + mg s in q = 0 ml 2 + kl dt dt d 2q k dq g + + sin q = 0 dt 2 m dt l Sarkaç sistemin dinamik denklemi elde edilir. Bu ifade yar dımı dımı ile önce durum değişkenleri tanımlanır sonra durum durum denklemleri elde edilir;
5
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
i) Durum değişkenleri değişkenleri tanımlanır.
x1 = q x2 =
konum
dx1 d q = dt dt
hız
d 2q k dq g tanımlanan durum deikenleri 2 = - sin q dt m dt l
d 2q dx2 dx2 (t ) k g = olmak üzere, = x sin x dt 2 dt dt m 2 l 1 dx1 (t ) = x2 dt
ifadesinde yazılır ise,
2. Durum denklemi.
1. Durum denklemi.
é dx1 (t ) ù 0 1 ù ê dt ú é é x1 (t ) ù ê ú = ê ú g k ú ê ê x2 (t ) úû dx ( t ) sin x ë ê 2 ú ê 1 m ûú êë dt úû ë l 1)
Sistemin denge noktası için x1=0 ve x2=0’dır. Türevleri, e ğer (0,0) sistem için denge noktasdr.
dx1 = x = 0 , ( x1 = x2 = 0 için) dt 2 æ dx1 dx2 ö ç dt , dt ÷ = (0, 0) ’dr, è ø
dx2 g k (0) - (0) = 0 ’ dır. = - sin (0 dt l m x x 1
2
Orjin denge noktasıdır. 2)
Orjinde asimtotik kararlmdr, yoksa sadece kararlmdr? Asimtotik kararllk Asimtotik kararllk testi için Lyaponov fonksiyonu
6
dx1 dx = 0 ve 2 = 0 => orjin dt dt
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
v(0) = 0 ü ý v( x) > 0 (ke sin pozitif ) þ dv( x) < 0 (ke sin negatif ) dt kesin pozitif artlarn salar ise sarkaç sistemi asimtotik kararldr . Eğer,
dv( x) £ 0 şartını sağlar ise sadece kararlıdır . dt i)
Önce Lyaponov fonksiyonunu yazmaya çalışalım. çalışalım. LF (Liapunov fonk.) sisemin Lyaponov fonksiyonu potansiyel ve kinetik enerji leri leri cincinden yazlacak, a) Sarkaç sisteminin kinetik enerjisi;
q
V
®
Ek = mV 2
1
V
=
2 1
d q Ek = m(l ) 2 Þ dt 2
w=
Çizgisel Hız
w * l ® d q
(açısal hız )
dt d q V = l dt
d q 2 Ek = ml ( ) dt 2 1
Sarkaç sistemi nin nin Kinetik enerjisi
b) Sarkaç sisteminin potansiyel enerjisi =>
7
2
E p = mgh
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
q
cos q q
h h = l - l cosq Þ h = l (1 - cos q ) Sarkaç sisteminin potansiyel enerjisi enerjisi E p = mgl (1 - cos q ) Sarkaç sistemini toplam toplam enerjisi;
1
ET = ml 2 ( 2
ET = Ek + E p
d q 2 ) + mgl (1 - cos q ) dt
Lyaponov fonksiyonu, durum değişkenleri değişkenleri cinsinden,
1
V ( x) = ET ( x) = ml 2 x22 + mgl (1 - cos x1) 2
¯
olarak elde edilir.
Liapunov fonksiyonu 1-
x=0 için x1 = x2 = 0 Þ V (0) = 0 ' d ır ır .
x1 ¹ 0, x2 ¹ 0 Þ V ( x) > 0 ' d ır ır . kesin pozitif bir fonksiyondu fonksiyondur. r. 2- Liapunov fonksiyonu 1. Türevi alnr.
dV ( x) d V æ d x1 ö d V æ d x2 ö dV ( x) = + (zincir kuralı uygulayarak uygulayarak,, ç ÷ ç ÷ d x1 è d t ø d x2 è d t ø dt dt d V ( x) d x1 d V ( x) d x2
= mgl sin x1 = ml 2 x2
d x1 d t
elde edilir)
= x2
d x2
k g = - x2 - sin x1 m l d t
tüm türevler
dV ( x) k g = mgl sin x1 * x2 + ml 2 x2 (- x2 - sin x1 ) dt m l 8
dV ( x ) de yerine konulur=> dt
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
= mgl sin x1 * x2 - kl 2 x22 - mgl sin x1 * x2
dV ( x) = -kl 2 x22 dt dV ( x) dV ( x) < 0 olmalıydı. < 0 ’e bakılır ise , tüm x değerleri dt dt dV ( x) dV ( x) alnr ise için < 0 değildir. x=0 için göz önüne alnr ise £ 0 ‘dr. dt dt Asimtotik kararlımıdır?
!DİKKAT: Liapunov ’a göre sistem sadece kararl gözükmektedir, asimtotik kararl değildir. değildir. Ancak sarkaç sistemini göz önüne aldğmzda, sarkaç, zamanla s önüm katsaysndan dolay, enerjisi zamanla azalacak azalacak (0,0) orjin’de denge noktasnda duracaktr. Ve asimtotik olarakta ka rarldr. Zamanla Değişmeyen Sistemlerin Liapunov Fonksiyonu;
dx = Ax dt
olarak verilsin,
Liapunov fonksiyonu,
V ( x) = xT px
olarak seçilsin ve 1. mertebeden türevi alnr ise,
dV ( x) dxT dx Px + xT P = dt dt dt
dx = Ax dt
olduğu göz önüne alnr ise,
= ( Ax)T px + xT pAx = AT xT px + x T pAx
dV ( x) T T = x ( A p + pA) x dt Q V(x) skaler fonksiyonunun Liapunov fonksiyonu olabilmesi için
olmas gerekmektedir . Bunun için Q kesin pozitif olmak üzere
dV ( x) = - xT Qx biçiminde yazılabilir. dt
9
dV ( x ) nin kesin negatif dt
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
{ AT p + pA = - I }
yapılarak çözüm bulunur.
Örnek: 1)
dx é -4 3 ù = x sistemin kararlılıını belirleyiniz. dt êë -1 -1úû Simetri p matrisi; AT p + pA = -Q ve Q = I matrisi olarak seçelim.
é-4 -1ù é p11 ê 3 -1ú ê p ë û ë 12
p21 ù é p11 + p22 úû êë p12
p21 ù é-4 3 ù é-1 0 ù = denklem çözülürse; p 22 úû êë -1 -1úû êë 0 -1úû
(p matrisi kesin pozitif ise sistem asimtotik olarak kararlıdır)
[-4 p11 - p12 + 3 p12 - p22 - 4 p11 - p12 + 3 p12 - p22 ] -4 p11 - p12 - 4 p11 - p12 = -1 9 é 9 -1 ù D = ê 70 70 ú 1 70 > 0 -4 p12 - p22 + 3 p11 - p12 = 0 p = ê ú 3 p11 - p12 + 3 p12 - p22 = 0 1 32 ê ú D = 9 32 - 1 1 > 0 êë 70 70 úû 2 70 70 70 70 3 p12 - p22 + 3 p12 - p22 = -1
Minörler pozitiftir. Sistem asimtotik olarak kararlıdır. Örnek: 2)
dx é -2 0 ù = x kararlılıı inceleyiniz. dt êë 1 -1úû
AT p + pA = -Q é-2 1 ù é p11 ê 0 -1ú ê p ë û ë 12
ve Q = I matrisi olarak seçelim.
p21 ù é p11 + p22 úû êë p12
p21 ù é-2 0 ù é-1 0 ù = p 22 úû êë 1 -1úû êë 0 -1úû
é1 -2 p11 + p12 - 2 p11 + p12 = -1ü ê3 ï p -2 p22 + p22 - p12 = 0 = ê ý ê1 ï - p22 - p22 = -1 þ êë 6 kararlıdır.
1ù
D1 =
6ú ú 1ú
D2 =
2 úû
10
1
>0
3 11
32
-
11 66
sistem asimtotik
>0
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
ÖRNEK: .
x1 = - x1 - 2 x2 .
sistemin denge durumunda kararlılıını inceleyiniz. (stability of the
x 2 = x1 - 4 x2 equilibrium state)
ÇÖZÜM: Denge noktası orjindedir veya x=0’dır. é dx1 ù ê dt ú é -1 -2ù é x1 ù ê ú=ê úê ú dx ê 2 ú ë 1 -4û ë x2 û êë dt úû
A ' p + pA = - I p = p ' é -1 1 ù é p11 ê-2 -4ú ê p ë û ë 12
p21 ù é p11 + p22 úû êë p12
p 21 ù é-1 -2ù é-1 0 ù = p22 úû êë 1 -4úû êë 0 -1úû
é 63 -2 p11 + 2 p12 = -1 ü ê 20 ï -2 p11 - 5 p12 + p22 = 0ý p = ê ê -7 ï -4 p12 - 8 p22 = -1 þ êë 60
-7 ù 60 ú ú 11 ú 60 úû
D1 = D2 =
63
>0 20 63 11 20 60
-
7 7 60 60
>0
P matrisi kesin poazitif matristir. Sistem orjinde asimtotik olarak kararlıdır. Liyaponov fonksiy onu,
é 23 ê 60 x2 ] ê ê -7 êë 60
V ( x) = x ' px = [ x1
=
-7 ù 60 ú é x1 ù úê ú 11 ú ë x2 û 60 úû
1
éë 23 x12 - 14 x1x 2 + 11x22 ùû ve türevi ise 60
11
dV ( x) = - x12 - x22 dir. dt
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
EK Bilgi:
Quadratik Form (Karesel Form): nxn gerçek simetrik A simetrik A matrisi ve gerçek n boyutlu x vektörü olmak üzere, n
n
x Ax = å å aij xi x j T
i =1 j =1
aij = aij
dir.
Gerçek quadratik form olarak adlandırılır.
ÖRNEK:
x12 - 2 x1 x2 + 4 x1x3 + x22 + 8x34 = [ x1 x2 xT
é 1 -1 2 ù é x1 ù x3 ] êê -1 1 0 úú êê x2 úú = x T Ax êë 2 0 8 úû êë x3 ûú x
A
Quadratik form için kesin pozitiflik kriteri (sylvester kriteri):
xT Ax
quadratik formun kesin pozitif olabilmesi için gerek ve yeter koşul
a11 a12 a13 a11 a12 > 0, a21 a22 a23 > 0, ..., ve A > 0 a11 > 0, a21 a22 a31 a32 a33
olmalıdır.
Quadratik form kesin negatiflik kriteri (sylvester kriteri):
a11 a12 a13 a11 a12 > 0, a21 a22 a23 < 0, ..., a11 < 0, a21 a22 a31 a32 a33
A > 0
( n çift )
A < 0
(n tek )
aij = a ji gerçek
simetrik matris için, dikkat minörler içinde, n tek ise det<0, n çift ise det>0 dır. Quadratik for for m için yarı kesin pozitiflik kriteri (sylvester kriteri):
aii aij aik aij ³ 0, aji ajj ajk ³ 0, …, A = 0 aki akj akk
i < j < k
Quadratik form için yarı kesin negatiflik kriteri (sylveste (sylvesterr kriteri): 12
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
aii aij aik aii aij ³ 0 aji ajj ajk £ 0, …, A = 0 aij £ 0, a ji a jj aki akj akk
i < j < k
ZAMANLA DEĞİŞMEYEN AYRIK-ZAMA N LİNEER SİSTEMLERİN LYPONOV KARARLILIK ANALİZİ -zaman sistem, x(k + 1) = Gx(k ) ile tanımlı olsun. Ayrık -zaman x=0 denge noktasıdır.
Liapunov fonksiyonu olarak, V ( x (k )) = xT (k ) px (k ) olarak seçelim. P kesin pozitif gerçek simetrik matristir.
DV ( x(k )) = V ( x (k + 1)) - V (x (k ) ) = xT (k + 1) px(k + 1) - xT (k ) px (k )
ve
x(k + 1) = Gx(k ) olduğu düşünülür ise,
T
= [Gx(k ) ] p [Gx( k )] - xT ( k ) px( k ) = xT (k )GT pGx( k ) - xT ( k ) px(k )
DV ( x( k )) = xT ( k ) éëGT pG - p ùû x( k)
Asiptotik kararlılık için V(x(k)) kesin pozitif seçilmelidir. Bunun için DV ( x( k )) kesin negatif olmalıdır. DV ( x(k )) = - xT (k )Qx (k )
Q = -(GT pG - p) kesin pozitif olmalıdır. (GT pG - p) = -Q p’nin kesin pozitif olması pozitif olması gerek ve yeter koşuldur
ÖRNEK: 1 ù é x1 (k ) ù é x1 (k + 1) ù é 0 = ê x (k + 1)ú ê -0.5 -1ú ê x ( k )ú sistemin orjin kararlılığını belirleyiniz. ûë 2 û ë 2 û ë G
Q = I seçelim.
GT pG - p = -Q
13
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
é0 -0.5ù é p11 ê1 -1 ú ê p ë û ë 12
p21 ù é 0 1 ù é p11 + p22 úû êë-0.5 -1úû êë p12
p21 ù é 1 0ù = ê 0 1ú p22 úû ë û
Eer p matrisi kesin kesin pozitif ise orijin x=0 da geniş anlamda asimtotik olarak kararlıdır. é11 8 ù ü ê5 5 ú 11 8 24 ï 0.5(- p12 + p22 ) - p12 = 0ý p = ê ú , p11 = , p12 = , p22 = 5 5 5 ê 8 24 ú ï p11 - 2 p12 = 1 þ êë 5 5 úû 0.25 p22 - p11 = -1
1)
11 5
> 0 dır.
11 24 8 8 2) det( p) = p = ( - ) =8 5 5 55
1 ve 2 den ‘’ p’’ kesin pozitif matristir .
14
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
KONTROLEDİLEBİLİRLİK KONTROLEDİLEBİLİRLİ K VE GÖZLEMLENEBİLİRLİK
KONTROLEDİLEBİLİRLİK Eğer bir sistemin Eğer bir sistemin tüm durumları her hangi bir ilk deerden istenen bir deere sonlu zamanda getirilebiliniyor ise o sistemin tüm durumları kontrol edilebilir denir. Herhangi bir durum değişkeni kontrol işaretinden bağımsız ise, bu durum değişkenini kontrol etmek imkansızdır. Bundan dolayı bu sistemin tüm durumları kontrol edilemez. Kontrol edilebilirlik, özdeğer atama (kutup yerleştirme), optimal kontrol, sistem sis tem tanımlama v.b gibi birçok kontrol kontrol problem çözümü için gerek kouldur. Tanım: x(k + 1) =
Ax(k ) + Bu(k )
sistemi, eğer u(0),u(1),...,u(Nu(0),u(1),...,u(N -1) sonlu N adet girileri ile
sistemin durum değikenleri x(0) ilk değerinden son durum x(N -1)'e getirilebiliniyorsa sistem kontrol edilebilir denir. Yukarıda Yukarıda verilen tanım ancak, u ( k ) genliğinin snrsz olmas durumunda geçerlidir. Eğer u (k ) genliği snrl ise, örnekleme N adetten daha fazla olmas gerekmektedir.
Bu teoreme göre, açık çevrim x(k + 1) = Ax(k ) + Bu (k )
sisteminin tüm durumlar durumlar kontrol
edilemiyor ise, A sistem matrisinin en az bir adet öz değeri kontrol kural u(k) ile değiştirilemez. Bu gibi durumlarda tüm öz-değerlerin atanabilmesi için geri besleme kuralnda integral ve türev zorundadr. Dinamik kontrolör sistem derecesine terimleri bulunan dinamik kontrolör kullanlmak zorundadr. artrmaktadr.
Şekilde verilen kontrol sisteminde u(k) kontrol iaretinin üst blokta(moda) herhangi bir etkisi olmamaktadır. olmamaktadır. Bundan dolayı sistemin tüm durumları kontrol edilemez.
u(z)
z z-0.9
Y(z)
z z-0.8 Tüm durumlar kontrol edilemeyen sistem.
1
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
Tüm durum değişkenlerinin Kontrol edilebilirlik şartnn elde dilmesi: Lineer zamanla değişmeyen ayrık zaman sistem,
x(k + 1) = Ax(k ) + Bu( k )
ve
x(0)
biliniyor.
y(k ) = Cx(k ) sisteminde k=0,1,2…..N için x(k+1) yazarsak,
k =0
x(1) = Ax Ax(0) + Bu Bu (0)
k =1
x(2) = Ax(1) + Bu (1) = A2 x(0) + ABu (0) + Bu (1)
........................
1) x( N ) = A N x(0) + AN -1 Bu(0) + ... + ABu( N - 2) + Bu( N - 1)
ifadesi
é u ( N -1) ù êu ( N - 2) ú ú = A N x(0) + éë B AB ... AN -1 B ùû ê ê ... ú ê ú (0) u ë û
é u ( N - 1) ù é ùê ú ( 2) u N N ê B AB ... ú = x (N ) - A N x (0) ... A 1B ú ê ê ú ê ... ú V ëê ûú ê ú (0) u ë û KontrolEdilebilirlikMatrisi KontrolEdilebi lirlikMatrisi
şeklinde düzenlenir ise,
x(N) ve x(0) bilindiğine göre, göre, N adet bilinmeyenin çözülebilmesi için N adet denklem gereklidir.
Durum vektörü x(k) nın derecesi n'dir. Çözümünün olabilmesi için katsayı matrisinin
rank [V ] = n
olmalıdır.
Bir ayr ık ık sistemin tüm durumlarının kontrol edilebilmesi için kontrol edilebilirlik matris [V ] ‘nin rankının tam olması gerekir. Sistemin derecesi n ise 2
rank [V ] = n olmalıdır.
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
Sonuç olarak,
rank[V ] = rank [B AB ... A N -1B ] = n
şart tüm durum deişkenlerin kontrol
edilebilirlik için gerek ve yeter koşuldur.
ÖRNEK: A
B
é-0.2 0 ù é1ù x(k + 1) = ê x( k ) + ê ú u(k ) ú ë -1 0.8û ë1û y(k ) = [ -1 1] x(k ) C Durum denklemi ile verilen sistemin kontrol edilebilirlik testini testini yapınız: yapınız:
é-0.2 0 ù é1ù é-0.2ù AB = ê =ê ú ê ú ú 1 0 . 8 1 0 . 2 ë ûë û ë û
é1 -0.2ù V = [ B AB ] = ê ú, 1 0 . 2 ë û
rank[V ] = 1 Sistem derecesi matrisi
2x2 matris tersi alınamaz. Matrisin rank=1
dir.
n=2’ dir. Sistemin 2 adet durum değişkeni mevcuttur. Ancak Kontrol edilebilirlik
rank[V ] = 1 dir. Ancak bir durum değişkeni u(k) işareti ile kontrol edilebilir. edilebilir.
matrisinin tersi alınamaz. Matrisin rank=1 sistemin tüm durum değişkenleri kontrol edilemez.(matrisin tersi alınamaz alınamaz). ).
3
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
z-düzleminde tüm durumların kontrol edilebilirlik şartı:
Darbe transfer fonksiyonunda, tüm durumların kontrol edilebilirlik gerek ve yeter koul için darbe transfer fonksiyonunda pay ve payda pa yda arasında yok etme oluşmamalıdır. Oluşur ise sistem yok edilen mod doğrultusunda kontrol edilemez.
ÖRNEK:
Y ( z) z + 0.2 z + 0. 2 1 = 2 = = U ( z ) z + z + 0.16 ( z + 0. 0 .8)( z + 0. 0 .2) z + 0 .8
Bu yok etmeden dolayı sistem durum deikenleri tümüyle kontrol edilemez. Aynı sonuç durum deikenleri ile de elde edilir. Sistem durum ve çıkı denklem leri, 1 ù é x1 (k ) ù é 1 ù é x1 (k + 1) ù é 0 = ê x (k + 1) ú ê-0.16 -1ú ê x (k ) ú + ê-0.8 ú u (k ) ûë 2 û ë û ë 2 û ë ile gösterilebilir. é x1 (k ) ù y (k ) = [1 0] ê ú ë x2 (k ) û
é 1 -0.8ù V = [ B AB] = ê ú Þ rank [V ] = 1 0 .8 0 .64 .6 4 ë û ’dir. Kontrol edilemez. 0.8 8 0. 0.64 64ù é-0. =ê ú 0.8 8 0. 0.64 64û ë-0. KONTROLEDİLEBİLİRLİK
dx(t ) = Ax(t ) + Bu(t ) durum denklenminde, z (t ) = P -1 x(t ) dt * -1 -1 * dönüşüm yapılır ise, L = P AP , B = P B , C = CP olur.
olmak üzere lineer
dz (t ) = L z (t ) + B*u(t ) , L = diag {li } = diag { l1 , l2 , l3 , ......ln } dt durum denkleminde
diagonal matris olmak üzere, tüm x(t ) durum L matrisi diagonal değişkenlerinin kontrol edilebilmesi için, B* matrisinin hiç bir sıfır değerli satırı değerli satırı olmamalıdır.
4
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
æ dx1 (t ) ö ç dt ÷ æ -1 0 ö æ x1 (t ) ö æ 0 ö ç ÷=ç ÷ + ç ÷ u(t ) ÷ç ç dx2 (t ) ÷ è 0 -2 ø è x2 (t ) ø è 1 ø ç ÷ è dt ø
dx1 (t ) = - x1 (t ) , dt
(Sistem matrisi diagonal (köşegen) formunda !!!!)
x1 (t )
durum değişkeni
dolayı
x1 (t )
u(t )
girişinin bir fonksiyonu değildir. Bundan
durum değişkeni u (t ) girişi tarafından etkilenemez.
ontrol edilemez. Dolayısı ile , x1 (t ) durum değişkeni k ontrol
dx2 (t ) = -2 x2 (t ) + u(t ) dt
u(t )
girişi x2 (t ) durum değişkenini ektilediğinden x2 (t ) değişkeni
u (t ) girişi ile kontrol edilebilir. Yukarıda çözülen örnek tekrar ele alınıp kontrol edilebilirliği incelenece incelenecektir. ktir. A
B
é-0.2 0 ù é1ù x(k + 1) = ê x(k ) + ê ú u (k ) ú ë -1 0.8û ë1û y(k ) = [ -1 1] x(k ) C A matrisini özdeğerleri z1=0.8 ve z2=-0.2 dir. Bu özöz -değerler için elde edilen özöz-vektörlerden oluşan dönüşüm matrisi p elde edilir ve A matrisi diagonal hale getirilir.
é0 0.7071ù p = ê ú ë1 0.7071û
------> Öz-vektörlerden oluşan dönüşüm matrisi.
é0.8 0 ù p AP = ê ú 0 0 . 2 ë û -1
é 0 ù p B = ê ú 1.4142 ë û -1
x(k + 1) = P -1 APx(k ) + P -1Bu (k ) 5
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
é x1 (k + 1) ù é0.8 0 ù é x1 ( k ) ù é 0 ù ê x (k + 1) ú = ê 0 -0.2 ú ê x ( k ) ú + ê1.4142 ú u (k ) ûë 2 û ë û ë 2 û ë x1 (k )
durum değişkeni u(k) kontrol işareti ile kontrol edilememektedir.
GÖZLENEBİLİRLİK:
x( k + 1) = Ax( k ) + Bu( k ) y (k ) = Cx( k ) Durum denklemi ile verilen sistemin herhangi ilk durumu x(0) , N adet sonlu y(0), y(1),…….,y(N y(1),…… .,y(N -1) -1) ölçümden tüm x (0) durum değişkenleri hesaplanabiliyor ise, sistem
tümüyle gözlenebilir denir.
Gözlenebilirlik , ölçülemeyen durum değişkenlerinin elde edilmesinde kullanlr. Baz geri beslemeli gerçek zaman kontrol sistem uygulamalarında, uygulamalarında, bir bir kısım durum değişke değişkenlerinin nlerinin ölçümü için o durum değişkenlerine doğrudan erişemeyebilir. Bu durumda, geri besleme kontrol iaretini oluturmak için ölçülemeyen durum deikenlerinin kestirilmesi gerekmektedir. Durum gerekmektedir. Durum kestirmekte gözlemlenebilirlik önemli rol oynar .
u(z)
z z-0.9
Y(z)
z z-0.8 Yukarıda verilen şekilde, sistemde üst blok’un çıkışa etkisi olmadığından o mod’a ait durum gözlenemez (durum değişkeni hesap edilemez ). ).
Tüm durum değişkenlerinin Göz lenebilirlik için gerek ve yeter şartlarının elde edilmesi;
x(k + 1) = Ax(k ) + Bu(k )
durum denkleminde
açıklanacaktır). 6
u (k ) = 0
alınır (nedeni aaıda
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
k=0,1,2,…..,N-1 k=0,1,2,…..,N -1
için
x [ (k + 1)] = Ax(k )
ve
y (k ) = cx(k )
Yazlr ise,
x (2) = Ax(1) = A2 x (0)
y (0) = Cx (0) y (1) = Cx (1) = CAx (0)
...
...
x ( N - 1) = A N -1x (0)
y ( N - 1) = Cx ( N - 1) = CA N -1x (0)
x (1) = Ax(0)
Elde edilir. X(N-1) ifadesi y(N-1) de yerine koyulur ise, matrisel formda,
é y (0) ù é C ù ê y (1) ú ê CA ú ê ú=ê ú x(0) ê ... ú ê ... ú ê ú ê N -1 ú y N ( 1 ) ë û ëCA û
elde edilir.
é C ù ê CA ú ú O=ê ê ... ú ê N -1 ú ëCA û
O Tüm durumların gözlenebilmesi için, [O ] Gözlenebilirlik Matrisi olmak üzere, gerek ve yeter yeter koşul
rank [O] = n
NOT: Göz lenebilirlik artının lenebilirlik artının elde edilmesinde Serbest davranıın alınma sebebi; k -1
x(kT ) = A x(0) + å Ak - j -1Bu ( jT ) k
j =0
y (kT ) = Cx(kT ) + Du(kT ) A,B,C,D matrisleri ve u(kT) girileri bilinmektedir. Bundan dolayı çıkı denklemi; denklemi ; k -1
y(kT ) = CA x(0) + å CAk - j -1 Bu( jT ) + Du( kT ) k
j =0
SabitBilinenDe ğerlerdi ğerlerdir r k -1
å CA
k - j -1
elde edilir. Çıkı denkleminde
Bu( jT ) + Du( kT )
j =0
terimi sabitlerden olumaktadır ve bilinmek tedir. tedir. 7
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
Bilinen bu sabit değerler gözlenen y(kT) değerinden çkarlabilinir.
ÖRNEK: A
B
é-0.2 0 ù é1ù x(k + 1) = ê ú x (k ) + ê1ú u (k ) 1 0 . 8 ë û ëû
y (k ) = [ -1 1] x(k ) C
Durum denklemi ile verilen sistemin Gözlenebilirlik testi testini ni yapınız: yapınız:
é-0.2 0 ù CA = [ -1 1] ê ú = [ -0.8 0.8 ] 1 0 . 8 ë û
é C ù é -1 1 ù O=ê ú=ê ú CA 0 . 8 0 . 8 ë û ë û
Sistemin tüm n=2 sistem derecesi. rank[O]=1 dir. Sistemin
durumları durum ları gözlemlenemez sadece 1 adet durum gözlenebilir. Z-düzleminde Zdüzleminde gözlenebilirlik artı:
Tüm durumların gözlenebilir olması için, transfer fonksiyonunda kutupkutup -sıfır yok etmesi bulunmamalıdır. bulunm amalıdır. Eğer , kutup-sıfır kutup-sıfır yok etmesi oluur ise, çıkıta çıkıt a yok edilen mod gözlenemez.
ÖRNEK: 1 0ù é0 é 0ù ú ê ú A = êê 0 0 1 , B = 0 , C = [ 4 5 1] ú ê ú êë-6 -11 -6úû êë1úû u(kT), tüm durumların gözlenebilirliinde bir etkisi yoktur. Basitçe u(kT)=0 yazabiliriz.
é C ù é 4 5 1 ù C = êê CA úú = êê -6 -7 -1úú Þ det(O) = 0, rank (O) = 2 dir . İki adet durum gözlenebilir. êëCA2 úû êë 6 5 -1úû Transfer fonksiyonu bulunur ;
Y ( z) ( z + 1)(z + 4) = , (z+1) çarpını pay ve paydada birbirini yok eder. y(kT) U ( z ) ( z + 1)( z + 2)( z + 3) ölçümleri ile bu (z+1) durum değişkeni hesap edilemez. 8
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
GÖZLENEBİLİRLİK
æ dx1 (t ) ö ç dt ÷ æ -1 0 ö æ x1 (t ) ö æ1ö ç ÷=ç ÷ + ç ÷ u (t ) ÷ç ç dx2 (t ) ÷ è 0 -2 ø è x2 (t ) ø è1ø ç ÷ è dt ø
æ x (t ) ö y(t ) = ( 2 0 ) ç 1 ÷ è x2 (t ) ø
Yukardaki denklemler iki diferansiyel denkleme ayr labilir.
dx1 (t ) = - x1 (t ) + u(t ) dt
x1 (t ) durum değişkeni sadece u (t ) ye baldr.
dx2 (t ) = -2 x2 (t ) + u(t ) dt
değişkeni sadece u (t ) ye baldr. x2 (t ) durum değişkeni
y (t ) = 2 x1 (t )
y(t )
çk sadece sadece x1 (t ) ’ye baldr. x2 (t ) ’nin çka
her hangi bir etksi yoktur. Bundan dolay çk x2 (t ) durum değişkenine ait bilgi içermez. Sonuç olarak y (t ) ölçümü ile x2 (t 0 ) belirlenemez. Sisteme ait Tüm durum değişkenleri gözlenemez.
dz(t ) = L z (t ) + B*u(t ) , L = diag {li } = diag { l1 , l2 , l3 , ........ln } dt
y (t ) = C * x(t ) + Du (t )
Çıkış denklemi olmak üzere, tüm x(t ) durum değişkenlerinin
gözlenebilmesi için, C matrisinin hiç sıfır değerli sütünü olmamalıdır.
ÖRNEK: Aşağıda durum denklemi verilen sistemin gözlenebilirliğini sistem matrisini diagonal forma getirerek inceleyiniz. A
B
é-0.2 0 ù é1ù x(k + 1) = ê x (k ) + ê ú u (k ) ú ë -1 0.8û ë1û
y (k ) = [ -1 1] x(k ) C
A matrisini özdeğerleri z1=0.8 ve z2=-0.2 dir. Bu özöz -değerler için elde edilen özöz-vektörlerden oluşan dönüşüm matrisi p elde edilir ve A mat risi diagonal hale getirilir. 9
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
é0 0.7071ù P = ê ú 1 0 . 7 0 7 1 ë û
------> Öz-vektörlerden oluşan dönüşüm matrisi.
é0 0.7071ù CP = [-1 1] ê = [1 0] ú ë1 0.7071û é x1 (k ) ù y(k ) = [1 0] ê ú x2 (k ) durum değişkeninin y (k ) ( ) x k ë 2 û nn ölçülmesi ile
çkna etkisi yoktur.
y (k )
x2 (k ) hesap edilemez.
Örnek:
C1
R1 U(s)
R 2
Devresi göz önüne alnsn,
C 2
Y (s) U (s)
Y(s)
ifadesi yazlr ise,
Y ( s) R2 ( R1C1s + 1) = olarak elde edilir. R1C1 = R2C 2 U (s) R1 ( R2C2 s + 1) + R2 ( R1C1s + 1)
olarak alnr ise,
Y ( s) R2 ( R2C2 s + 1) = ise U (s) R1 ( R2C2 s + 1) + R2( R2C2 s +1) Y ( s) R2 = U ( s) R1 + R2
olur…………..
Devredeki kondansatör C 1 ve C 2 gerilimleri kontrol edilemez. Giriş ve çkş verilerinden kondansatör ilk gerilim değerleri değerleri hesap edilemez. Görüldüğü gibi devrede R1C1
= R2C 2 alnr ise,
Devre durum değişkenleri kontrol edilemez ve
gözlenemez .
10
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
DURUM-UZAYI TASARIM METODLARI:
KONTROLEDİLEBİLİR KANONİK KANONİK FORMA DÖNÜŞTÜRME: 1) KONTROLEDİLEBİLİR Herhangi bir ayrık -zaman -zaman sistem durum denklemlerinin kontrol edilebilir kanonik forma dönüştürülmesi:
x(k)=Txc(k)
r(k)
y(k) r(k)
Xc(k)
x(k)
y(k)
KontroL edilebilir Kanonik Form
xc (k + 1) 1) = Ac xc (k ) + Bcr (k )
x(k + 1) = Ax(k ) + Br(k )
yc (k ) = Cc xc (k )
y(k ) = Cx(k )
Kontrol edilebilirlik dinamik sistem matrisleri;
Ac = T -1 AT Bc = T -1B Cc = CT Ac , Bc , C c katsay matrisleri Transfer fonksiyon katsaylarndan elde edilebilir. Transfer fonksiyonu:
T ( z ) = C ( zI - A)-1 B + D
ifadesinden elde edilebilir.
det(l I - A) = l I - A = l n + an-1l n-1 + ... + a1l + a0 = 0 denklem katsayılarından,
é 0 ê 0 ê Ac = ê . ê ê . êë-a0
1
0
0
1
.
.
.
.
-a1 -a2
ù ú . 0 0 ú ú . . ... ú . 0 1 ú . -an -2 - an-1 úû . 0 0
1
matrisi elde edilir.
karakteristik
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
é0ù ê0ú Bc = ê ú ê...ú ê ú ë1 û Ac, Bc A, B
matrisi standart formda yazılır.
matrislerine karşlk kontrol edilebilirlik matrisi matrislerine karşlk kontrol edilebilirlik matrisi edilebilirlik matrisi
V c , V ,
olmak üzere
V = éë B AB ...An-1B ùû Vc = éë Bc
V c
Ac Bc ...... Acn-1 Bc ùû
dir.
Ac = T -1 AT
Kontrol edilebilirlik matrisinde
é
ve
Bc = T -1B
yazılır ise,
ù
Vc = êT -1B T -1 A TT -1 B ...ú = T -1 éë B AB ... An-1B ùû ë
û
I
Vc = T -1V
dir
Elde edilen ifade aşağıda verildiği gibi gibi düzenlenebilir…
V = TV c
den dönüşüm matrisi ,
T = VV c-1 A B
ve
Ac Bc
olarak elde dilir.
matrisleri bilindiinden
T dönüşüm matrisi elde edilir.
T dönüşüm matrisi ile, kontrol kontrol edilebilir kanonik form için,
Cc = CT
yardm ile hesaplanr.
2
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
ÖRNEK: é0.5
0 ù
ë1
0.2û
A = ê
é-1ù -zaman ú , C = [ 2 0.5] katsay matrisleri ile verilen ayrk -zaman 1 ë û
ú, B = ê
sistem durum denklemlerini kontrol edilebilir kanonik formda elde ediniz.
Hatırlatma: Kontrol edilebilir
Kanonik form
b0 z n + b1 z n-1 + ... + bn Y ( z ) = U ( z ) z n + a1 z n-1 + a2 z -2 + ... + an
Transfer fonksiyonu ile verilen sistemin
kontrol edilebilir kanonik formu,
é x1 (k + 1) ù é 0 ê x (k + 1) ú ê 0 ê 2 ú=ê ê ú ê . . ê ú ê êë xn (k + 1) úû êë-an
1
0
0
1
.
.
-an -1 -an -2
...0 ù é x1 ( k ) ù
é0 ù ú ê x ( k ) ú ê0 ú ...0 ú ê 2 ú + ê ú u (k ) .... ú ê . ú ê . ú úê ú ê ú ... - a1 úû êë xn ( k ) úû ë1 û
F ( z ) = z n + a1z n-1 + a2 z -2 + ... + an = 0
Karakteristik denklem………….
çıkış denklemi ise,
y(k ) = [bn bn-1 bn -2 ... b1
é x1 ( k ) ù ê x ( k ) ú b0 ] ê 2 ú ê . ú ê ú ë xn (k ) û
Önce karakteristik denklemi yazılır ; 0 ù é z - 0.5 zI - A = det ê ú=0 z 1 0 . 2 ë û i)
= z 2 - 0.7 z + 0.1 = 0 = z 2 + a1 z + a0 = 0
Karakteristik denklem katsaylarndan Kontrol edilebilir Kanonik form sistem matrisi ,
é 0 Ac = ê ë-a0
1 ù
-a1 úû
1 ù é 0 Þ Ac = ê ú 0 . 1 0 . 7 ë û yazlr.
é0 ù Ve standart olarak Bc = ê ú olarak yazlr . ë1 û 3
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
C c ’nin belirlenmesi; Önce dönüşüm matrisi
T = VV c-1
hesaplanır. Sonra
Cc = CT elde
edilir.
é-1
V = [B
AB ] = ê
ë1
0.5 0 ù é-1ù ù é0.5 é-1 -0.5ù Þ = V ê 1 0.2ú ê 1 ú ú ê 1 -0.8ú Þ det(V ) = V = 1.3 ë û ë ûû ë û
é0
Vc = [ Bc
1 ù é0ù ù é 0 é0 1 ù é-0.7 1ù -1 V V Þ = Þ = ú c c ê-0.1 0.7ú ê1ú ê1 0.7ú ê 1 0úû ë û ë ûû ë û ë
Ac Bc ] = ê
ë1
é-1 -0.5ù é-0.7 1 ù é0.2 -1ù T Þ = úê ê1.5 1 ú 0úû ë 1 -0.8û ë 1 ë û
T = VV c-1 = ê
ve
é 0.2 -1ù ú Þ C c = [ -0.35 -1.5] 1 . 5 1 ë û
Cc = CT = [ 2 0.5] ê
2.yol
=> Transfer fonksiyonundan; -1
é z - 0.5
T ( z ) = C ( ZI - A) B = [ 2 0.5] ê
ë -1
T ( z ) =
-1.5 z - 0.35 z 2 - 0.7 z + 0.1
b1 = -1.5 b0 z + b1 z + b2 T ( z ) = 2 Þ b2 = -0.35 z + a1z + a2 b0 = 0 2
a1 = -0.7 a2 = 0.1
1 ù é 0 Ac = ê ú ë-0.1 0.7û
é0 ù Bc = ê ú ë1 û Cc = [b2 - b0a2
b1 - a1b0 ]
-1
ù é -1ù Þ ú ê ú z - 0.2û ë 1 û 0
;transfer fonksiyonu katsaylarndan Ac , Bc , C c matrisleri,
HATIRLATMA:
Y ( z ) b0 z n + b1 z n-1 + ... + bn = U ( z ) z n + a1 z n-1 + ... + an
é x1 (k + 1) ù é 0 ê x (k + 1) ú ê 0 ê 2 ú=ê ê ... ú ê ... ê ú ê x k + ( 1 ) ë n û ë-an
y (k ) = [bn - b0 an
0*0..1 -1.5 - (-0.7)*0] [ -0.35 - 0*0
C c = [ -0.35 -1.5] 4
1 0 ...
-an-1
...
0 ù é x1 ( k ) ù é 0 ù
...
0
ú ê x (k ) ú ê 0 ú ú ê 2 ú + ê ú u (k ) ... ... ú ê ... ú ê...ú úê ú ê ú ... - a1 û ë xn ( k ) û ë 1 û
é x1 ( k ) ù ê ú n>m ... b1 - a1b0 ] ... ê ú êë xn ( k ) úû
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
Durum Uzayında Tasarım Kutup Yerletirme Tasarm Metodu:
Lineer zamanla değişmeyen ayrk -zaman -zaman sistem, x(k+1)=Ax(k)+Bu(k) ile verilsin. Bütün x(k), durumlarının bilindiği ve erişebildiği kabul edilsin.
u (k )
x(k + 1)
B
-1
z I
x(k )
A Bu sisteme, lineer durum geri- besleme kontrol kural olarak olarak
u(k ) = -Kx(k ) uygulansn
ve
kapal -çevrim sistem x(k + 1)
x(k + 1) = Ax(k ) + B( - Kx(k )) Þ x(k + 1) = ( A - BK ) x( k )
u (k )
olur.
x( k + 1)
B
-1
z I
x(k )
A - K Lineer durum geri-besleme geri-besleme kuralı ile kapalı çevrim sistem K ontrolör ontrolör matrisi (statik durum geri- besleme besleme katsay katsay matrisi) K , kapal-çevrim sisteminin performansını iyileştirecek iyileştirecek şekilde seçilebilir. seçilebilir. Performansı iyileştirme yollarından yollarından biri kutup yerleştirme yöntemidir. Bu metod kullanlarak, açık çevrim sisteminin davranışı önemli 5
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
ölçüde iyileştirilebilir. Bu metod kararsız bir sistemi kararlı yapabilir, cevap hızını arttırabilir veya azaltabilir, sürekli hal hatasn arttrabilir, azaltabilir, sistem bant geniliğini daraltabili r, pratikte yaygın olarak genişletebilir. Tüm bu nedenlerden dolayı, kutup yerleştirme yöntemi pratikte kullanılmaktadır. Kutup yerleştirme veya kutup atama problemi aşağıdaki gibi tanımlanabilir:
{ x(k + 1) = Ax(k ) + Bu (k ) ’nn
,...., l n ’ ler açık -çevrim sisteminin öz-değerleri olsun l1 , l2 ,. ve Ù
Ù
Ù
l1 , l 2 , .. ..., l n ‘ler ise ( A - BK ) kapalı-çevrim sistem matrisinin istenen öz-değerleri olsun. Kompleks özdeğerler, kom pleks eşlenik çiftler halindedir . Ù
Ayn zamanda, p(z) ve p( z ) sras ile karakterist karakteristik ik polinomlar (karakteristik denklem) olsun.
Açık çevrim sisteminin karakterist karakteristik ik denklemi; n
p( z) = Õ ( z - l i ) = zI - A = z n + a1 z n -1 + ... + an -1 z + an = 0 i =1
Kapalı çevrim sisteminin (durum (durum geri-beslemeli) karakterist karakteristik ik denklemi; n
Ù
Ù
Ù
p( z ) = Õ ( z - l i ) = zI - A + BK = z + a1 z n
n -1
Ù
Ù
+ ... + a n -1 z + a n = 0
(*)
i =1 Ù
sağlayacak olan K matrisinin bulunmas gerekmektedir . p ( z ) denklemini sağlayacak
Teorem: Açk -çevrim sisteminin tüm durum vektörleri kontrol edilebilir ise kapalÙ
Ù
Ù
çevrim sistem ( A - BK ) matrisinin öz-değerlerini herhangi bir l1 , l 2,..., l n öz-değerlerine atayan bir durum geri-besleme matrisi, K , vardr.
S Kontrol Edilebilirlik Matrisi
= éë B
AB A2 B ... An -1B ùû
Tüm durumlarn kontrol edilebilmesi için ,
Kontrol edilebilirlik matrisinde, rank[ S ] = n olmaldr. kontrol edilemediği edilemediği durumlarda, Bu teoreme göre, açık -çevrim sisteminin Tüm durumlarının kontrol durum geri besleme kural ile A matrisinin en az bir tane öz -değeri değiştirilemez olarak kalr. Bu gibi durumlarda, bütün öz değerlerin atanabilmesi için, ger ii- besleme besleme kural olarak dinamik 6
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
kontrolör uygulanmaldr. Türev ve inregral terimleri ihtiva eden dinamik kontrolörler sistemin derecesini arttırdıklarından dezavantaja sahiptirler. Tek girişli sistem ele alnsn. B matrisi kolon vektör b, K matrisi satr vektör k T ye dönüşür. Ù
n
Ù
Ù
Ù
Ù
p( z) = Õ ( z - l i ) = zI - A + Bk T = zn + a1 zn -1 + ... + an-1 z + an = 0 i =1
Denkleminin k ya göre çözümü tektir. K nn belirlenmesinde birçok yöntem amaçlanmıştr. En popüler yöntem Bass ve Gura ya göredir ve aşağıda verilen basit yöntem ile çözülür. 1. Yol: Ù T T -1
k = éëw s ùû (a - a) é1 a1 ê0 1 w=ê ê. . ê ë0 0
an -1 ù ú ... an -2 ú ...
. .. ..
. ú
. .. ..
1 û
ú
,
S; kontrol edilebilirlik matrisi matrisi
éÙù ê a1 ú êÙú Ù a = êa2 ú , ê ... ú êÙú êa ú ë nû
é a1 ù êa ú a = ê 2ú ê ... ú ê ú êëan úû
2. Yol: eğer verilen sistem matrisi faz faz-değişken değişken (Kontrol edilebilir) kanonik formda ise,
é1 a1 ê0 1 A = ê ê. . ê ë0 0
Ve
... ... . .. .. . .. ..
é 0 ê 0 an-1 ù ê ú ê 0 an -2 ú , veya A = ê . ú ê . ú ê 0 1 û ê êë-an
S = éë B AB A2 B ... An-1 Bùû
1
0
0
1
0
0
.
.
0
0
-an-1
-an -2
... 0 ù
é0ù ú ê0ú ... 0 ú ê ú ú ê0ú ... ú ve b = ê ú ... . ú ê...ú ê0ú ... 1 ú ú ê ú ... -a1 úû ë1û
wT sT = I dr (olur)
æ0 0 0 1ö ç0 0 1 0÷ -1 ÷ ve ( I ) = I dır. I = ç ç. . . .÷ çç ÷÷ è1 0 0 0 ø
7
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
é Ù ù ê an ú ê Ù ú Ù a = êan -1 ú , ê ... ú ê Ù ú êa ú ë 1 û
é an - a n ù ê ú Ù êa - a n -1 ú K = I ( a - a) = ê n -1 ú .... ê ú ê a -a ú ë 1 1 û
é an ù êa ú a = ê n -1 ú olmak üzere, ê ... ú ê ú ëê a1 ûú
durum geri besleme matrisi kolayca hesap edilebilir. 3. Yol: K matrisinin hesaplanmasında diğer bir yöntem Ackerman tarafndan önerilmitir. T
T -1
Ù
k = e s p( A)
S = éë B AB A2 B ... An -1B ùû
kontrol edilebilirlik matris,
eT = [ 0 0 ... 0 1] Ù
Ù
p( A) Þ p( z ) Ù
n
Ù
karakteristik denkleminde z = A koyularak elde edilir.
p( z ) = A + a1 A
n -1
Ù
Ù
+ ... + a n-1 A + a n I
Genel olarak, çok girişli sistem durumunda K matrisinin belirlenmesi biraz karktr(zordur).
üzere, K = qpT olarak q ve p n- boyutlu matrisler olmak üzere,
A - BK = A - BqpT = A - b p T , b = Bq çok girişli sistem tek girişli sisteme indirgenmiş olur. Kontrol edilebilirlik matrisi, S = éë b başvuru ba şvurulabilir. labilir.
Ab ... An-1b ùû olmak üzere yöntemlere
Metod4: Kapalı çevrim karakteristik denklem ile istenen karakteristi k denklem karşılaştırılır ve katsayılar eşitlenerek durum geri belsem vektörü k elde edilir., edilir.,
x(k + 1) = ( A - BK ) x (k ) Ù
Ù
Ù
Ù
det( zI - ( A - BK )) = p ( z ) = z n + a1 z n-1 + ... + a n-1 z + a n = 0 -----------------------------------------------------------------------------------------
ÖRNEK : Ayrık - zaman zaman durum denklem katsayılar matrisi aağıda verilmi olan sistem için
8
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
Ù é 0 1ù é0 ù A = ê ú ve b = ê1 ú olduğuna göre, kapalı çevrim sistem öz -değerlerinin l 1 = -1 ve 1 0 ë û ë û Ù
’yı bulunuz. l 2 = 0.5 olabilmesi için durum geri besleme katsayı vektörü k ’yı p( z ) = zI - A = 0 Þ Ù
Ù
z -1 çevrim sistemin sistemin karakteristik denklemi = 0 Þ z 2 + 1 = 0 açık -çevrim 1 z
Ù
p( z ) = ( z - l1 )( z - l 2 ) = ( z + 1)( z - 0.5) = z 2 + 0.5 z - 0.5 = z 2 + a1z + a2 istenen karakteristik denklem ( Kapalı--çevrim karakteristik denklem ) a1 = 0.5 ve a2 = -0.5 Kapalı Metod1:
sistem faz değişken kanonik formunda olduğu için
éÙ ù a a 2 2 ú Þ k = é-0.5 - 1ù = é-1.5ù k =ê Ù ê 0.5 - 0 ú ê 0.5 ú ê ú ë û ë û ëê a1 - a1 ûú
ì Not : z 2 + a1 z + a2 = z 2 + 1 Þ í a1 = 0, a2 = 1 î
Metod2:
é0 é 0 1 ù é 0 ù ù é0 1ù é1 a1 ù é1 0ù = Þ = s s ve = ê ú ê ú ê ú ê 1 0ú ú ê ú ë û ë0 1 û ë 0 1 û ë1 ë-1 0û ë1 û û
w=ê
é0 1 ù é1 0 ù é 0 1 ù é 0 1 ù T T -1 = ve w s = ( ) ê1 0ú úê ú ê ú ë û ë 0 1 û ë 1 0 û ë 1 0û
wT sT = ê
é0 1ù ìé 0.5 ù é0ù ü é-1.5ù ú íê-0.5ú - ê1ú ý = ê 0.5 ú 1 0 ë û îë û ë ûþ ë û
Ù
k = (wT sT )-1 (a - a ) = ê Metod3:
Ackerman yaklaşımı ile durum geri besleme katsay matr isi k T ‘nn çözüm,
Ù
p( z ) = z 2 + 0.5 z - 0.5
polinomda z yerine A matrisi yazılır ise,
Ù
p( A) = A2 + a1 A + I a2 elde edilir. 2
é 0 1ù é 0 1 ù é0.5 0 ù é-1.5 0.5 ù + p( A) = ê 0 . 5 ú ê-1 0 ú - ê 0 0.5ú = ê-0.5 -1. ú 1 0 1.5û ë û ë û ë û ë Ù
é0 1 ù ú ë1 0 û
s -1 = [b Ab]-1 = ê
eT = [0 1]
dir.
9
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
T
T -1
é0 1ù é-1.5
Ù
0.5 ù
k = e s p( A) = [0 1] ê ú ê-0.5 -1.5ú = [-1.5 0.5] 1 0 ë ûë û Metod4:
x(k + 1) = ( A - BK ) x (k ) ù é x1 ( k ) ù é x1 (k + 1) ù é é 0 1ù é0ù = k k [ ] 2 úê ê x ( k + 1) ú ê ê-1 0ú ê1 ú 1 ú û ë û ë 2 û ëë û ë x2 ( k ) û é x1 (k + 1) ù é é 0 1 ù é 0 0 ù ù é x1 (k ) ù ê x ( k + 1) ú = ê ê-1 0ú - êk k ú ú ê x (k ) ú û ë 1 2 ûû ë 2 ë 2 û ëë û 1 ù é x1 ( k ) ù é x1 (k + 1) ù é 0 = ê x ( k + 1) ú ê -1 - k --k úê ú 1) û k 2 û ë x2 ( k ) û ë 2 ë 1 Ac
1 ù é z 0 ù é 0 ú ê-1 - k -k ú = 0 z 0 ë û ë 1 2û
det( zI - Ac ) = ê
-1 ù é z =ê ú =0 + + z 1 k k ë 1 2û
= z 2 + k 2 z + 1 + k 1= 0
z 2 + k 2 z + 1 + k 1 = z 2 + 0.5z - 0.5 = 0 k 2 = 0.5
ve 1 + k 1 = -0.5 ise k 1 = -1.5
0.5] olarak elde edilir. k T = [k1 k 2 ] = [-1.5 0. Elde edilen durum geri besleme matrisi K değerleri yerlerine yazılır.
x(k + 1) = Ax(k ) + B( - Kx(k )) Þ x(k + 1) = ( A - BK ) x( k ) x(k + 1) = ( A - BK ) x (k ) ù é x1 ( k ) ù é x1 (k + 1) ù é é 0 1ù é0ù = k k [ ] ê 2 úê ê x ( k + 1) ú ú ê ú ê ú 1 ë 2 û ë ë-1 0û ë1 û û ë x2 ( k ) û
10
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
ù é x1 ( k ) ù é x1 ( k + 1) ù é é 0 1ù é0ù = 1 . 5 0 . 5 [ ] úê ê x ( k + 1) ú ê ê-1 0ú ê1 ú ú û ë û ë 2 û ëë û ë x2 ( k ) û 0 ù ù é x1 ( k ) ù é x1 (k + 1) ù é é 0 1ù é 0 = ê x ( k + 1) ú ê ê-1 0ú ê-1.5 0.5ú ú ê x ( k ) ú û ë ûû ë 2 û ë 2 û ëë 1 ù é x1 ( k ) ù é x1 (k + 1) ù é 0 = ê x ( k + 1) ú ê0.5 -0.5ú ê x ( k ) ú ûë 2 û ë 2 û ë
Kapalı çevrim sistem elde edilir.
Ac
det( zI - Ac ) =
-1 = 0 ise z 2 + 0.5z - 0.5 = 0 z1 = -1, z 2 = 0.5 tir. -0.5 z + 0.5
z
Referans girişli kontrol sistemi: Kontrol edilmek istenen sisteme ait -zaman durum ait ayrk -zaman uzay modeli vektör matris formunda x(k + 1) = Ax( k ) + Bu( k ) y (k ) = Cx(k )
verilsin. Sisteme ait kontrol blok diyagram
aşağıda verilmiştir.
x(k + 1)
B
u (k )
Sistem
-1
z I
x( k ) C
y (k )
A
Kontrol edilen sisteme aşağıda verildiği gibi durum geri geri-besleme -besleme ile beraber r ( k ) referans işaret uygulansın.
11
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
r (k )
x(k + 1)
u (k )
K 0
-1
z I
B
x(k ) C
y ( k )
A
Sistem
- K Referans giriş li durum geribeslemeli sistem.
r (k )
K 0
v(k )
u (k )
Sistem
y (k )
- K Referans giriş li durum gerigeri-beslemeli kompakt olarak verilmiş sistem.
Referans girişli girişli durum geri-beslemeli sistem ait kontrol işaret işaretii yazlr ise,
u (k ) = K 0 r (k ) - Kx (k )
olarak ifade edilir. Bu ifade durum denkleminde yerine yazlr
x(k + 1) = Ax(k ) + BK0 r (k ) - BKx(k ) Þ 1) = ( A - BK ) x(k ) + BK0 r (k ) x(k + 1)
olarak elde edilir.
Karakteristik denklem ,
zI - A + BK = 0
olarak yazlr.
beslemesi ile, sistemin karakteristik denklemi değiştirilebilir, ancak sistemin Tüm durum geri- beslemesi K , sürekli hal kazancıda değişir. Bundan dolay, sistemde ayarlanabilir, K gereklidi r. r. 0 , kazancı gereklidi K , K rim basamak giriş için y (¥) = 1 olacak şekilde ayarlanmaldr. 0 , bi rim
ÖRNEK:
12
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
1ù é 0 é0 ù ( ) x k + ú ê1 ú u (k ) 0 . 1 6 1 ë û ë û
x(k + 1) = ê
é x (k ) ù y (k ) = [1 0] ê 1 ú ë x2 (k ) û ise, kapal çevrim kutuplarnn z1 = 0.5 + j 0.5,
z2 = 0.5 - j 0.5 olmas istenmektedir.
zI - A + BK = ( z - 0.5 - j 0.5)(z - 0.5 + j 0.5) = z 2 - z + 0.5 Þ K = [ 0.34 -2] olarak elde edilir. R( z ) =
z birim basamak giriş için z - 1 Ù
K, kullanlarak transfer fonksiyonu hesaplanr;
G = A - BK BK üï Ù
H = BK 0 Ù
1 ù é 0ù é 0 é 0 1ù = 0 . 3 4 2 [ ] ú ê ú ê-0.5 1ú ë-0.16 -1û ë1û ë û
G=ê
Ù
Ù
é 0ù
Ù
é0ù
H = ê ú K 0 ise H = ê ú ë 1û ë K 0 û
é z -1 ù é 0 ù K G ( z ) = [1 0] ê Þ G( z) = 2 0 ê ú ú z - z + 0.5 ë0.5 z - 1û ë K 0 û
z K 0 K 0 Y ( z ) z 1 = Þ y(¥) = lim( z -1) 2 Þ z ®1 R( z) z 2 - z + 0.5 z - z + 0.5
13
Ù
-1 ý Þ G ( z ) = C ( zI - G ) H ï þ
K 0 0.5
= 1 Þ K 0 = 0.5
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
r (k )
0.5
B
u ( k )
v(k )
x(k + 1)
æ0ö ç ÷ è1ø
-1
z I
x (k )
(1
0)
y (k )
C
1ö æ 0 Sistem ç 0.16 1÷ - ø A è -
0.34
Durum geribeslemesi
-2 Bilgi notu:
Kontrol edilmek istenen sisteme ait ayrk zaman durum denklemleri,
x(k + 1) = Ax(k ) + Bu (k ) y (k ) = Cx(k ) olarak verilsin. u (k ) = -Kx (k ) durum geri-besleme kontrol kuarlı olsun, yerine koyulur ise. x(k + 1) = Ax(k ) + B (-Kx(k )) x(k + 1) = [ A - BK ] x( k )) elde edilir. Yukarıda verilen sisteme sisteme lineer dönüüm ve durum geri-besleme kontrol kuralı uygulansın.
x(k ) = Tx' (k ) ve x ' (k ) = T -1x(k ) x ' (k + 1) = T -1x (k + 1) lineer dönüşüm ve geri-besleme geri-besleme uygulanır ise,
x' (k + 1) = T -1 ATx' ( k ) + T -1 Bu( k ) y (k ) = CTx' ( k )
olur.
Kontrol kuralına lineer dönüüm uygulanır ise,
u (k ) = -Kx (k ) u (k ) = -KTx ' (k ) u(k ) = - fx ' (k ) elde edilir. f = KT dir.
14
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir
Lineer dönüşüm ve durum geri -besleme uygulandıktan sonra elde edilen karakteristik denklem lineer dönüşümsüz durum geri-beslemeli sistemin karakteristik denklemi ile aynıdır. Aşağıda ispatı verişmiştir.
x' (k + 1) 1) = Ac x' ( k ) + Bcu ( k )
;lineer dönüşüm uygulanmş durum denklemleri.
y (k ) = Cc x' (k ) Lineer dönüşümden sonra u (k ) = - fx ' (k ) durum geri-beslemesi uygulanır ise
1) = Ac x ' (k ) + Bc (- fx ' (k )) x ' (k +1)
x' (k + 1) = [ Ac - Bc f ] x' ( k ) elde edilir. Dönüşümden sonra karakteristik denklemler değişmeyeceğinden,
det( zI - A + BK ) = det( zI - Ac + Bc f ) = 0
olmalıdır.
NOT: özellik,
P -1 A P = A dr.
det( zI - Ac + Bc f ) = 0 ifadesini açıp yukarıda yukarıda verilen özellik özellik göz önüne alınır alınır ise, det( zI - Ac + Bc f ) = det( zT -1IT - T -1AT + T -1Bf ) = 0
= zT -1IT - T -1 AT + T -1Bf = 0 ve
f = KT
yazılır ise,
= T -1 zI - A + BK T = 0
= zI - A + BK = 0 olur. Buradan, lineer dönüşüm uygulandktan uygulandktan sonra durum geri besleme besleme matrisi f elde edilir. Bu matristen, dönüşüm uygulanmamış sistem durum geri besleme matrisi
K = f T T -1 ile elde edilir.
15
f T : f ’nin
Transpozu
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayh Ayhan an Özdemir
Durum Uzayı Uzayınd ndaa Tasar Tasa rım Kutup Ye Ye rle rletirm tirmee Tasarm Tasar m Me todu:
Lineer zama Lineer amanl nlaa değim de ğimee yen ay a yrk -zaman -zaman sistem, x(k+1)=Ax(k)+Bu(k) ile verilsin. verilsin. Bütün Büt ün x(k), d urumlarının bil bilindii indii ve erişebildii kabul edils edilsin in..
u (k )
x( k + 1)
B
-1
z I
x(k )
A Bu sisteme, lineer durum geri- besleme kontrol kontrol ku k ural olarak
u(k ) = -Kx(k ) uygul uygulansn ansn
ve
kapal- çevrim sistem x(k + 1)
x(k + 1) = Ax(k ) + B(- Kx(k )) Þ x(k + 1) = ( A - BK ) x ( k )
u (k )
olur.
x( k + 1)
B
z -1 I
x(k )
A - K Lineer durum durum geri-besleme geri- besleme kuralı ile kapalı çevrim sistem K ontrolör ger i- besleme katsay ontrolör matrisi (statik d urum geri katsay matrisi) K , kapal- çevr çevrim im sisteminin sisteminin performa perfo rmannsını iyileştirecek şekilde şekilde seçilebilir. Performansı iyileşt iyileştirm irmee yolların yollar ından dan biri kutup
yerleştirme yöntemidir. Bu metod kullanlarak, açk çevrim sisteminin davranş önemli ölçüde iyileştirilebilir. Bu metod kararsz bir sistemi kararl yapabilir, cevap hzn arttrabilir ve ya azaltabilir a zaltabilir,, sürekli s ürekli hal hatasn arttra a rttrabil bilir, ir, azaltabilir, sistem bant geniliğini daraltabilir, yaygn olarak ol arak geniletebilir. Tüm bu nedenlerden dolay, kutup yerleştirme yöntemi pratikte yaygn kullanılmaktadır. 1
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayh Ayhan an Özdemir
Kutup ye rleş leştir tirm me veya ku kutup tup atama problemi aş ağıd ağıdaki aki gibi tan ta nımlanabilir:
{ x(k + 1) = Ax(k ) + Bu (k ) ’nn
l1 , l2 ,. ,...., l n ’ ler açık -çevrim sisteminin öz- değerleri olsun ve Ù
Ù
Ù
l1 , l 2 , .. ..., l n ‘ler ise
sistem tem mat matris risinin inin ist istee nen öz - değerleri olsun. ( A - BK ) kapalı-çevrim sis
Kompleks Komp leks öz özd değe rler, komp komplleks eşlenik eşlenik çiftler halindedir halindedir . Ù
karakteri eristik stik denklem) polin nomla omlarr (karakt Ayn zamanda, p(z) ve p( z ) sras ile karakteristik poli olsun.
Açık çevrim sisteminin karakteristik denklemi; n
p( z ) = Õ ( z - l i ) = zI - A = z n + a1z n-1 + ... + a n-1z + a n = 0 i =1
Kapalı çevrim sisteminin (durum (durum geri-beslemeli) ka karrakte ri ristik stik de de nkle nklem mi ; n
Ù
Ù
Ù
p( z ) = Õ ( z - l i ) = zI - A + BK = z + a1 z n
n -1
Ù
Ù
+ ... + a n -1 z + a n = 0
(*)
i =1
Ù
denk k lemini salayacak sala yacak olan K matri matr isinin b ulunmas gerekmekt erekmekted ediir . p( z ) den
Teorem: Açk - çevrim sistemini sis temininn tüm durum vektörleri kontrol edilebilir ise kapalÙ
Ù
Ù
çevrim sistem ( A - BK ) matrisinin ö z- değerlerini herhangi bir l1 , l 2,..., l n öz- değerlerine atayan bir durum geri geri-bes -besleme leme matrisi, K , vardr.
S Kontrol Edilebilirlik Edilebilirl ik Matrisi
= éë B AB A2 B ... An -1B ùû
Tüm dur duruml umlarn arn kontrol edile ed ilebilmesi bilmesi için ,
Kontrol Kont rol ed ilebili ilebilirlik rlik matrisinde, rank[S ] = n olmaldr. edil ilemediğ emediği i durumlarda, Bu teoreme göre, açık -çevrim sisteminin Tüm durumlarının kontrol ed durum geri besleme kural ile A matrisinin en az bir tane öz - değeri değitirilemez olarak kalr. Bu gibi gibi d urumlarda, bütün büt ün öz deerlerin atanabilmesi için, gerigeri- besleme kura kural l olarak olarak dinamik kontro kon trollör uygul uygulanma anmald ldr. r. Türev ve inregral terimleri ihtiva eden dina dinamik mik kontro kontrollörler sistemin sis temin derecesini arttırdıklarından a rttırdıklarından dezavantaja sahiptirler.
Tek girili sistem ele alnsn . B matrisi kolon vektör b, K matrisi satr vektör k T ye dönüşür. 2
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayh Ayhan an Özdemir
n
Ù
Ù
Ù
Ù
Ù
p( z ) = Õ ( z - l i ) = zI - A + Bk T = zn + a1 zn -1 + ... + an-1 z + an = 0 i =1
amaçlanmıştr. Denkleminin k ya göre çözümü tektir. K nn belirlenmesinde birçok yöntem amaçlanmıştr. En popüler yöntem Bass ve Gura ya göredir ve aşada verilen basit yöntem ile çözülür.
u (k )
x(k + 1) u(k )
-1
B
z I
x(k )
x(k + 1)
z -1 I
B
y(k )
C
A
A
Sistem
- K
Açk-- çevrim sist Açk sistem em Açık -çevrim sistem
x(k )
Kapal--çevrim sistem Kapal
karakteristik karakteristi k denklem:
n
p( z ) = Õ ( z - l i ) = zI - A = z n + a1z n-1 + ... + a n-1z + a n = 0 (Olması istenen ) Kapalı- çevrim sistem karakteristik denklem: n
Ù
Ù
Ù
p( z ) = Õ ( z - l i ) = zI - A + Bk = z + a1 z T
n
n -1
Ù
Ù
+ ... + an-1 z + an = 0
i =1
1. Yol: a ve w matrisleri açık -çevr çevrim im sistem si stem karakteristik denklem polinom katsayılarından,, katsayılarından
é1 a1 ê0 1 w=ê ê. . ê ë0 0
an -1 ù é a1 ù êa ú ú ... an-2 ú , a = ê 2ú ê ... ú ..... . ú ê ú ú . .. .. 1 û ëan û ...
matrisleri ve
a matrisi is i se kapalı-çevrim sistem karakteristik denklem polinom katsay ılarından ılarından
é aÙ ù ê 1ú êÙú a a = ê 2 ú sras ile elde edilir. Bu katsaylar matrisleri kullanlarak statik durum geri-besleme ê ... ú êÙú êa ú ë nû matrisi K, matrisi kontrol edilebilirlik matrisi olmak üzere, K, S , kontrol T T -1
Ù
K = éë w s ùû (a - a)
,
S = éë B AB A2 B ... An-1B ùû
ifadesi ile hesap ed edilir. ilir. 3
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayh Ayhan an Özdemir
2. Yol: eer verilen sistem matrisi faz faz-değişken değişken (Kontrol edilebilir) kanonik formda ise,
é1 a1 ê0 1 A = ê ê. . ê ë0 0
Ve
... ... . .. .. . .. ..
1 0 ... 0 ù é 0 é0ù ê 0 ú ê0ú an -1 ù 0 1 ... 0 ê ú ê ú ú ê 0 ú ê0ú an -2 ú 0 0 ... , veya A = ê ú ve b = ê ú . . ... . ú . ú ê . ê...ú ú ê 0 ê0ú 0 0 ... 1 ú 1 û ê ú ê ú êë-an -an -1 -an -2 ... -a1 úû ë1û
wT sT = I d dr r (olur)
S = éë B AB A2 B ... An-1B ùû
æ0 ç0 I = ç ç. çç è1
0 0 1ö
÷
0 1 0÷ ve . . .÷
-1
( I ) = I
dr.
÷
0 0 0 ÷ø
é aÙ ù é an - a n ù é an ù ê nú ê ú êa ú ê Ù ú Ù Ù ê a - a n -1 ú a = êan-1 ú , a = ê n -1 ú olmak üzere, K = I (a - a) = ê n-1 ú ê ... ú ê ... ú .... ê ú ê ú ê Ù ú ê a ëê 1 ûú a1 - a1 úû êa ú ë ë 1 û durum du rum geri besleme bes leme matrisi kolayca hesap edilebili edileb ilir. r. 3. Yol:
atriisinin he saplanmasında dier bi b ir yöntem yönte m Ackerman tarafndan ö nerilmit K matr erilmitiir. T
T -1
Ù
k = e s p( A)
S = éë B AB A2 B ... A n-1B ùû
kontrol edilebilirlik matris,
eT = [0 0 ... 0 1] Ù
Ù
p( A) Þ p( z ) Ù
n
Ù
karakteris karakt eristik tik denkleminde
p( z ) = A + a1 A
n -1
Ù
z = A koyul koyulaa rak el e lde edilir. ed ilir.
Ù
+ ... + a n-1 A + a n I
Genel Gen el olarak, çok girişli sistem du d urumun rumunda da K mat matrisinin risinin belirlenm be lirlenmes esii biraz karktr(zordu karktr(zord ur).
K = qpT olarak q ve p n- boyutlu matr matriisler olmak üzere, 4
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayh Ayhan an Özdemir
A - BK = A - BqpT = A - b p T , b = Bq çok girişli sistem tek girişli sisteme indirgenmiş olur. Kontrol Kont rol edilebili ed ilebilirlik rlik matrisi, S
= éë b
Ab ... An-1b ùû olmak üzere yöntemlere
bilir. ir. başvurulaa bil başvurul Metod4: Genel Kutup Yerleş Ye rleştirm tirmee n. Dereceden sistem modeli; x(k + 1) = Ax(k ) + Bu (k ) olsun.
Kontrol işareti, u (k ) = - Kx( k ) ve K = [ K1 K 2 ... K n ] olmak üzere,
x(k + 1) = ( A - BK ) x( k ) olur. Ac
İstenen kutup yerleri ; z = l1 , l2 ,. lmak ak üzere Kapa Kapalı lı çevrim sistem siste m ka karakteristik rakteristik ,...., l n o lm polinom, poli nom,
a c ( z ) = zI - A + BK = zI - Ac
= ( z - l1 )( z - l2 )...(z - l n ) = 0
olsun.
Bu denklemde n adet K1 , K 2 , .. ..., K n bilinmeyen ve sa tarafta ise n adet bilinen polinom
katsaylar kats aylar mevcuttur. Katsayl K atsaylar ar eitlenerek e itlenerek bili b ilinmeyen nmeyen katsayla katsa ylar r K1 , K 2 , ....., K n hesaplanr.
5
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayh Ayhan an Özdemir
ÖRNEK:
Bozucu
Güç Kuvvetlendirici
K
V s i n ( w t )
R C
(rüzgar)
Rotor Kontrollu DC Makina
İf=sbt
L
IGBT
Bm
E
sürücü
Ölçme
Jm
H ı z
U(t)
Uort
Anten
K o n u m
X2(t) X1(t)
u(s)*
u(s)
T=0.1sn
u(s) -sT
Y(s)
1 s(s+1)
1-e s
Şekild ekildee ser vo sisteme ait açk - çevrim ko odeli li kontrol ntrol blok diyagramı ve aşada d urum uzay mode
verilmiştir.
é1 0.0952 ù é0.00484 ù + ( ) x(k + 1) = ê x k ú ê 0.0952 ú u (k ) 0 0 . 9 0 5 ë û ë û y (k ) = [1 0 ] x(k )
= 4 sn ve A şım @ %16 y hesaplaynz. (x = 0.46) olmas istenmektedir. Durum geri-besleme matrisi K ’’y
u(k) = - K x(k) durum geri-beslem geri-besle me si ile yerleme zaman (%2) t s
istenen yerleşme zamanı ve aşımı sağlayacak olan kapalıkapalı -çevrim kutupları;
%2, t s =
4 x wn
z1,2 = e
= 4 Þ x wn = 1 Þ wn =
-x wnT
e
jw wn 1-x 2 T
1 x
=e
Þ wn =
1 0.46
-0. 0.46 46*2 *2.1 .17* 7*0. 0.1 1
e
Þ wn = 2.17rad / sn, x = 0.46 2.17 .17* * 1- 0. 0.46 462 *0 *0.1 .1 j 2.
z1,2 = l1,2 = 0.905Ð ± 11.04 Þ z1,2 = l 1,2 = 0.888
Þ
j00.1745 .1745
Olmas istenen karakteristik denklem l 1,2 kullanlarak; a ( z ) = (z - l1 )( z - l 2 ) = (z - 0.888 - j 0.1745)(z - 0.888 + j 0.1745) = z 2 - 1.776z + 0.819 = 0
a ( z ) = z 2 - 1.776 z + 0.819 = 0
İstenen Karakter Karakteristik istik denkl denklem em 6
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayh Ayhan an Özdemir
Durum geri-besleme matrisi K dört farkl yoldan sras il ilee aşada elde edilecektir. 1.YOL : Geri-besleme matrisi, K
-1 Ù
= éë wT sT ùû (a - a)
ifadesi ile hesap edilecektir.
æ é z -1 -0.0952 ù ö 2 ú ÷ = z -1.905z + 0.905 = 0 0 0 . 9 0 5 z ûø èë
a = det( zI - A) = det ç ê
a ( z ) = z 2 - 1.905 z + 0.905 = z 2 + a1 z + a2
=0
Açk çevrim Karakteristik
denklem
a c ( z ) = z 2 - 1.776 z + 0.819 = z 2 + a1 z + a2
=0
stenen ste nen Kapalı çevrim çevrim
Karakteristik denklem
Açk--çevrimden elde edilen katsaylar matrisleri Açk
é1 a1 ê0 1 w=ê ê. . ê ë0 0
an -1 ù é a1 ù êa ú ú ... an-2 ú , a = ê 2ú ê ... ú ..... . ú ê ú ú . .. .. 1 û ëan û ...
é1 -1.905ù é-1.905 ù = w=ê a ú ê 0.905 ú 1 û ë0 ë û
é aÙ ù ê 1ú êÙú a Kapal-- çevrimden elde edilen katsay matris Kapal matrisii a = ê 2 ú ê ... ú êÙú êa ú ë nû Kontrol edilebilirlik matrisi:
S = [B
é-1.776ù a=ê ú ë 0.819 û
é é0.00484ù ìé1 0.0952ù é 0.00484ù üù AB] = ê ê AB ú íê úê ú ýú êë ë 0.0952 û îë0 0.905 û ë 0.0952 û þúû 0.0048 048 0.0 0.0139 139ù é0.0 S = ê ú 0.0952 952 0.0 0.0862 862û ë0.0 -1
0ù é0.0048 0.0952ù ö æ é -1.776ù é -1.905ù ö æé 1 4.51 -ê K = ç ê ÷ çê ÷ K = éê ùú ú ê ú ú ú ë1.12û è ë-1.905 1 û ë 00..0139 0.0862û ø è ë 0.819 û ë 0.905 û ø
7
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayh Ayhan an Özdemir
matrisi isi 2.YOL: Durum denklemleri faz kononik şekline getirilerek, durum geri -besleme matr
é an - a n ù ê ú Ù êa - a n-1 ú K = I ( a- a) = ê n -1 ú .... ê ú ê a -a ú ë 1 1 û
ifadesi ifade si ile ile hesap edilecektir edilecektir..
é1 0.0952 ù é0.00484 ù ( ) + x(k + 1) = ê x k ú ê 0.0952 ú u (k ) 0 0 . 9 0 5 ë û ë û y (k ) = [1 0 ] x(k ) Durum denklemleri verilen sistem sistem kontrol edilebili edilebilirr kanonik form (f (fazaz-değişken kanonik form)
dönüştürülür. Verilen sistemin karakteristik denkleminden
a ( z ) = z 2 - 1.905 z + 0.905 = z 2 + a1 z + a2
=0
Açık çevrim Karakteristik
denklem faz- değişken Kanonik formun sis sistem tem matrisi matrisi elde edilir.
1 ù é 0 = Ac ê ú ë-a2 -a1 û
1 ù é 0 Þ Ac = ê ú 0.90 905 5 1.90 1.905û ë-0.
ve standart s tandart olarak Bc
é0 ù = ê ú olarak ë1 û
yazlr .
a c ( z ) = z 2 -1.776 z + 0.819 = z 2 + a1 z + a2 Karakteristik denklem
éa2 - a 2 ù é 0. 0.90 905 5 - 0. 0.81 819 9 ù K = ê ú=ê ú 1.90 905 5 - (-1.776 1.776))û êë a1 - a1 úû ë-1. é 0.086 ù K = ê ú ë-0.129û
T = VV c-1 0.0048 048 0.0 0.0139 139ù é0.0 V = S = ê edilmişt mişti. i. ú elde edil 0.0952 952 0.0 0.0862 862û ë0.0
8
=0
İstenen İste nen Kapalı çevrim çevrim
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayh Ayhan an Özdemir
é0 Ac Bc ] = ê ë1
Vc = [ Bc
1 ù é0 ù ù 1 ù .90 05 1 ù é 0 é0 é-1.9 -1 V V Þ = Þ = c c ê1.905 -0.905ú ê1 ú ú ê1 1.905ú ê 1 0ûú ë û ë ûû ë û ë
0.00 0047 47 0.00 0.0048 48ù é0.0048 0.0139ù é-1.905 1ù é 0. Þ = T = VV c-1 = ê T úê ú ê-0.0 ú 0û 952 0.0 0.0952 952û ë0.0952 0.0862û ë 1 ë 0.0952 T
é 0.086 ù é 0.0047 0.0048ù k = K T = ê ú ê ú 0.0952û ë-0.129û ë -0.0952 0. T
-1
-1
é4.51ù k T = - ê ú ë1.12 û NOT: Elde edilen dönüşüm dö nüşüm matrisi matrisi nin doruluunu onaylamak için, için, verilen durum denklemini kontrol edilebilir kanonik forma dönüştürülsün.
xc ( k +1) = T -1 ATxc ( k ) + T -1 Br( k )
yc (k ) = CTxc (k ) -1
é 0.0047 0.0048ù é 1 0.0952ù é 0.0047 0.0048ù T AT = ê ú ê úê ú 0.0952û ë 0 0.905 û ë -0.0952 0.0 0.0952û ë-0.0952 0.0 1 ù é 0 =ê ú 0.905 05 1.9 1.905 05û ë-0.9 -1
-1
é 0.0047 0.0048 ù é0.00484 ù T -1B = ê ú ê ú 0.0952 û ë 0.0 952 û ë-0.0952 0. é0 ù =ê ú ë1 û 0.00 0047 47 0. 0.00 0048 48ù é 0. CT = [1 0] ê ú .095 952 2 0.0952 û ë-0.0 = [0. 0.00 0047 47 0. 0.0 0048]
é1 0.0952ù é 0.00484ù + x(k + 1) = ê x k ( ) ú ê 0.0952 ú u( k ) ë0 0.905 û ë û
y( k ) = [1 0] x( k )
(faz-değişke değişken n kanonik )f ) form aşağıda Dönüümden sonra kontrol edilebilir kanonik (fazverilmiştir. 1 ù é 0 é0 ù ( ) + xc (k + 1) = ê x k ú c ê1 ú r (k ) 0 . 9 0 5 1 . 9 0 5 ë û ë û
yc (k ) = [ 0.0047 0.0048] xc (k )
9
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayh Ayhan an Özdemir
T
ise
0.0048 048 0.0 0.0139 139ù é0.0 S = ê ú 0.0952 952 0.0 0.0862 862û ë0.0 Ù
n
Ù
n -1
p( z ) = A + a1 A
Ù
k = e s p( A)
3. YOL: Ackerman ifadesi,
eT = [ 0 0 ... 0 1]
T -1
ise
eT = [ 0 1]
ile durum geri besleme matrisinin bulunmas.
dir.
95.034 0347 7 15.335 15.3358 8ù é-95. S -1 = ê ú 105. 5.01 0107 07 -5. 5.33 3388 88û ë10 Ù
dir.
Ù
+ ... + a n-1 A + a n I 2
é1 0.0952ù é1 0.0952ù é 1 0ù =ê ú - 1.776 ê0 0.905 ú + 0.819 ê 0 1ú 0 0 . 9 0 5 ë û ë û ë û 0.04 043 3 0.01 0.0123 23ù é0. p( z ) = ê ú 0.0307 û ë 0 Ù
.03 347 15.3 .33 358 ù é0.0 .04 43 0.0 .01 123 ù é-95.0 k = [0 1] ê úê 0 ú 1 0 5 . 0 1 0 7 5 . 3 3 8 8 0 . 0 3 0 7 ë ûë û T
4.51 51 1.12 1.12] k T = [ 4.
elde edilir.
k utup yerle yerleştirm ştirmee yöntemi ile ile durum geri-be sle slem me matrisi atrisinin nin bulunması. bulunması. 4.YOL: Genel kutup K = [ K1 K 2 ] a c
durum geri besleme matrisi matrisi kullanlarak istenen karakteristik denklem elde edilir.
æ é z -1 -0.0952 ù é0.00484ù ö K K = det( zI - A + BK ) = det ç ê + [ ] ÷ 2 ú ê ú 1 è ë 0 z - 0.905û ë 0.0952 û ø æ é z - 1 -0.0952 ù é0.00484 K1 0.00484K 2 ù ö = det ç ê ú÷ ú + ê 0.0952 K 0.0952K 2 û ø z 0 0 . 9 0 5 û ë 1 èë æ é z -1 + 0.00484K1 0.00484K 2 ùö = det ç ê ú÷ + K z K 0 . 0 9 5 2 0 9 0 5 0 . 0 9 5 2 ë ûø 1 2 è
Durum ger ger i bes leme emeli li siste sistem m karakteristik denk lem lem aşada verilmiştir.
10
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayh Ayhan an Özdemir
a c ( z ) = z
2
+ (0.00484K1 + 0.0952K2 -1.905) z + 0.004684K1 - 0.0952K 2 + 0. 905 = 0
Olmas istenen kapalkapal-çevrim Karakteristik denklem
a ( z ) = z 2 - 1.905 z + 0.905 = z 2 + a1 z + a 2
=0
Açk çevrim Karakteristik denklem
polinom nom katsaylar eitleni e itlenir r a c ( z ) ve a ( z ) poli
Þ ac ( z ) = a ( z )
0.00484 K1 + 0.0952K 2 - 1.905 = -1.776
Þ 0.004684 K1 - 0.0952K 2 + 0.905 = 0.819 Þ K 1 = 4.51 ( pozisyon için) K 2 = 1.12 (hız için)
0.00484K1 + 0.0952K 2 = 0.1290 0.004683K1 - 0.0952K 2 = - 0.086
olarak elde ed ili ilir. r. D(t) Bozucu
(rüzgar) Güç Kuvvetlendirici
Rotor Kontrollu DC Makina
q (t)
K
V s i n ( w t )
R C
L
IGBT
Bm
Ölçme
Jm
E
sürücü U(t)
İf=sbt
H ı z
X2(t)
Uort
Sayısal İşlemci
Anten
K o n u m
X1(t)
K2
1.12
ADC
4.51
ADC
DAC K1
Durum Geribeslemesi
Durum geri bes beslleme emeli li DC DC makine kontrolüne ait basitl bas itlet etirilm irilmi i don do nanm.
Saysal İşlemci 1 - e sT s
1
X (t) 2
1 X1(t)
s
s + 1 H z
K2
q (t)
K o n u m
1.12
K1
4.51
Durum ger ger i bes leme emeli li DC DC makine kon ko ntro trollün ünee ait basitletirilmi ba sitletirilmi kon ko ntrol bl b lok diyagr d iyagram am . 11
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayh Ayhan an Özdemir
B u(k) i t e r a ş i
l o r t n o K
x(k+1)
0.00484
zI
0.0952
Sistem K2
1.12 K1
4.51
-1
y(k)
x(k) 1 0
C A
1 0.09 0.0952 52 0 0. 0.9 905 X2(k):hız
X1(k):Konum Durum geri-besleme
Durum geri besleme besleme li DC makine makine kontrolüne ai a it basi bas it letirilm etirilmii ay ayk k - zaman kontr kontrol ol blok diyagram diyagram .
x1 (0) = q (0) = 2 ve x2 (0) = V (0) = 0.75
için hz ve konumun zamana göre değiimi.
Elde ed e dilmi olan dur durum um geri- besleme kontrol iareti servo sisteme uygulanarak elde edilen kapal çevrim sisteme ait yeni durum denklemi aağda verilmitir. Kontrol Kontr ol işareti,
é x (k ) ù é x1 (k ) ù u(k ) = - [ K1 K 2 ] ê 1 ú = - [ 4. 4.51 51 1. 1.12 12] ê ú ë x2 (k ) û ë x2 (k ) û 12
dir.
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayh Ayhan an Özdemir
é x1 (k ) ù ö é1 0.0952ù é 0.00484ù æ + ( ) 4 . 5 1 1 . 1 2 x(k + 1) = ê x k [ ] ç ê x (k )ú ÷ ú ê 0.0952 ú ë0 0.905 û ë ûè ë 2 ûø
é1 0.0952ù é0.0219 0.0054ù é x1 (k ) ù x(k + 1) = ê x ( k ) ú ê0.4299 0.1071ú ê x (k ) ú ë0 0.905 û ë ûë 2 û 0.97 9781 81 0.08 0.0898 98 ù é 0. x(k +1) = ê ú x(k ) 0.429 0. . 4299 9 0.797 0.7 . 979 9 ë û Ac
Ac Durum geri-besleme geri- beslemeli li kapal k apal--çevrim sistem matrisidir. İstenen karakteristik denklem elde edilip
edilmediği doğrulaması ise aağıda yapılmaktadır.
Tasar Ta sarm mnn balang bala ngcnda cnda ist istenen enen kri kr iter terller erii sağlayacak sağlayacak olan ola n karakterist karakteristiik den de nk lem 2 a ( z ) = z - 1.776 z + 0.819 = 0
stenen Karakt Karakterist eristik ik denk denklem lem
Olarak Ol arak el e lde edilmitir. edil mitir. Tasarm sonunda sonunda elde e lde edilen sistem siste m matrisi matrisi kullanlarak kapal - çevrim karakteris karakt eristik tik den de nkle klem m,
a c
æ é z - 0.9781 -0.0898 ù ö = det( zI - Ac ) = det ç ê ú÷ z 0 . 4 2 9 9 0 . 7 9 7 9 ë ûø è
a c
= z 2 -1.776 z + 0.819 = 0
olarak elde edilir ve olması istenen karakteristik denklem ile aynı
olduğu görülmektedir, sonuç olarak tarsımın doğruluğu gösterilmitir.
veri len sisteme sisteme durum geri beslemesi beslemesi uygulanacak uygulanacaktır. tır. MATLAB komutu: Aağıda verilen
é1 0.0952 ù é0.00484 ù ( ) + x(k + 1) = ê x k ú ê 0.0952 ú u (k ) 0 0 . 9 0 5 ë û ë û A
u (k )
x(k + 1)
B
B
A
y (k ) = [1 0 ] x(k ) C
- K
kapalı -çevrim kutupları. P: Olması istenen kapalı-
NOT: Place komutu ile değeri sıfır olan katlı kutuplar verilemiyor. komutu ile Acker
p=[0.888+0.1745i 0.888-0.1745i] K=acker(A,B,p ) veya K=place(A,B,p )
K = 4.5149
z -1 I
verilebilir.
1.1255 ol olaa rak e lde edil edilir. ir.
13
x(k )
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayh Ayhan an Özdemir
ÖNKOMPANZASYONLU (Referans Girişli) STATİK DURUM GERİBESLEME Kontrol ed ilen sistemde du Kontrol d urum geri- beslemesi ile sistemin dina dinamik mik davran düzenlenebilmektedir. Sistem cevabının istenen bir referans değere gitmesi istenebilir. Bu
durumda, siste sistem m ka kazzancnn bir o lmald lmaldr. r. Bu amaç için iç in re refferans giri ile be beraber raber b ir ka kazza nç terimi ilave ed edilme ilmeli li ve ve hesapla hesaplanm nmaa ldr. Kaz Ka zanç hesab hesab için önerilen iki yol aşa ğıda verilmiştir I.YOL: Ko Kon ntro troll edil edilmek mek iste isten ne n sisteme a it ayrk - zaman durum uzay modeli vektör matris formunda
x(k + 1) = Ax( k ) + Bu( k ) y(k ) = Cx(k )
ve rilsin. Sisteme ait kon ko ntro troll blok diy d iyaa gram
aşada verilmiştir.
x( k + 1) -1
z I
B
u (k )
x( k ) C
y (k )
A
Sistem
Kontrol Kont rol ed ilen sisteme aşada verild verildii ii gibi d uru rum m geri-besleme ile beraber r (k ) referans
iaret uygulansn.
r (k )
K 0
x (k + 1)
u (k )
-1
z I
B
x(k ) C
A
Sistem
- K Referans Refe rans giriş giriş li durum geri-beslemeli sistem si stem..
14
y (k )
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayh Ayhan an Özdemir
r (k )
K 0
u (k )
v(k )
Sistem
y (k )
- K Referans giriş li durum geri - bes beslemeli lemeli kompakt ko mpakt olarak ver ve rilmiş sistem si stem..
ge ri-beslemeli sist s istee m ait kontrol işareti Referans giriş li durum ge işareti yazılır ise, ise,
u(k ) = K0 r (k ) - Kx (k )
olarak ifade edilir. Bu ifade durum denkleminde yerine yazlr
x(k + 1) = Ax(k ) + BK0 r (k ) - BKx(k ) Þ 1) = ( A - BK ) x (k ) + BK0 r (k ) x(k + 1)
olarak elde ed ili ilir. r.
Karakteristik denklem ,
zI - A + BK = 0
olarak yazlr.
emesii ile, ile, s iste stemin min karakteristik karakteristik den de nklemi değiti değit irilebilir, an a ncak s iste stemin min Tüm d urum geri- bes lemes sürekli hal kaza kaza ncıda değiir. Bun Bundan dan dolay, do lay, si s iste stem mde ayarlanabili ayarlanabilir, r, K 0 , kaz ancı ancı gereklidir. rim basamak giriş için y(¥) = 1 olacak şekilde ayarlanmald ayarlanmal dr. K 0 , bi rim II. YOL: Referans girişi takip edebilen statik durum geri besleme ele alnacaktr.
Referans giriş, r olsun; e(k ) = r - y(k ) kon kontrol trol hatasdr. e(k)
r ( k )
N
v(k )
u ( k )
Sistem
x( k ) - K u (k ) = -Kx (k ) + N r
15
y ( k )
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayh Ayhan an Özdemir
vektörünün ünün sürek sürekli li hal deer deerii x ss , ve u (k ) e(k ) = 0 olduunda x(k ) durum vektör
kontrol
vektörünün sürekli hal deeri u ss olsun. e(k)=0
r
v(k)
uss
N
y = r
Sistem
- K
ss
xss
Amacmz, istenen sürekli hal ölçülen çk değerini sağlayan, statik durum geri besleme kural u (k ) = - Kx(k ) y ayarlamaktr. Bu ise kontrol kuralnda durum vektör ofset i (dennkletirm (de kletirme, e, kaydrm kaydrmas as) il ilee yaplr. yaplr. Sürekli rejim için Kontrol işaret’ inden Kx ss
çkar ve sürekli rejim için gerekli olan u ss ilave
edilerek ediler ek kontr kontrol ol i şare şareti, ti,
u (k ) = -K ( x (k ) - x ss ) + uss
olarak yazlr .
Böylece ölçülen çk değeri y , referans giriş r ’e eşi eşitt olur. o lur.
x(k + 1) = Ax( k ) + Bu( k ) burada bu rada u(k) yerine yazlr => x(k + 1) = Ax(k ) - BK ( x(k ) - x ss ) + Buss Sürekli halde, x(k + 1) = x (k ) = x ss olur…
Steadyy State(sürekli süreklihal hal ) x ss = Axss + Buss veya Bu ss = xss - Axss yerine konulur ise, x ss ® Stead X(k)
Sürekli rejimde
x1 ( k ) = x1 ( k + 1) x1 ( k ) x1 (k + 1)
k
x(k + 1) = Ax( k ) - BK ( x( k) - x ss ) + xss - Axss Þ x(k + 1) - x ss = ( A - BK )( x( k ) - xss )
16
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayh Ayhan an Özdemir
Bu denkle denkle m, statik durum dur um ge ge ri-bes ri-besllemes emesinin inin ( x (k ) - x ss ) durum vektörüne uygulandıı gibi
= x(k ) olduunda r = y(k ) ‘dr. Ön kompanzatörün uygun seçilmesi kontro kon troll sistemi ç ç kş kşnn nn r ’ye yakınsamasını salar. Önkompanzatör ilavesi sistemin kutuplarını etkilemez . Sürekli hal cevab göz önüne alnr ise, yorumlanabilir. x ss
x ss = Axss + Buss olur. y ss = Cxss y ss = r
Ax ss - xss + Buss = 0 Þ ( A - I )x ss + Bu ss = 0 Cx ss + 0 uss = r ve ( A - I ) x ss + Buss = 0
é A - I B ù é x ss ù é0ù ê C ú êu ú = ê r ú 0 ë û ë ss û ë û
denklemleri denkleml eri ile arttrlm
durum vektörü,
yazlabilir. -1
é x ss ù é A - I B ù é0ù Buradan, ê ú = ê ed ilir. r. Ve u(k)’da yerine yazlr => ú ê r ú e lde edili u C 0 û ë û ë ss û ë u(k ) = -Kx(k ) + Kx ss + uss önce u(k) düzenlenir.
é x ù = - Kx(k ) + [ K 1] ê ss ú ëu ss û é A - I = - Kx(k ) + [ K 1] ê ë C
-1
B ù é0ù ú ê ú r 0 û ë1 û
N
u(k ) = -K ( x (k ) - x ss ) + u ss u (k ) = -Kx (k ) + N r -1
é A - I Bù é0ù N = [ K 1] ê ú ê ú ë C 0 û ë1û
olarak elde e lde edilir. edilir.
ÖRNEK: 1ù é 0 é 0ù + x(k + 1) = ê x k ( ) ú ê1ú u( k ) 0 . 1 6 1 ë û ë û ise, kapalı çevrim kutuplarının z1
ve
é x (k ) ù y(k ) = [1 0] ê 1 ú ë x2 (k )û
= 0.5 + j 0.5, 17
z2 = 0.5 - j0. 0 .5 olması istenmektedir.
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayh Ayhan an Özdemir
Çıkışın istenen referans değe değe re gidebilmesi için Durum Durum geri ger i – besleme besleme matrisi K ve giriş kazancı K 0 ’ı hesaplayınız. Açık -çevrim karakteristik denklem:
zI - A = z 2 + z - 0.16 = z 2 + a1z + a2 = 0 İstenen Kapalı-çevrim karakteristik denklem :
zI - A + BK = ( z - 0.5 - j 0.5)( z - 0.5 + j 0.5) = z 2 - z + 0.5 = z 2 + a1z + a 2 = 0 Sistem matrisi faz değişken kanonik formdadır.
éaÙ - a ù é0.5 - 0.16ù é0.34ù k = ê Ù2 2 ú Þ k = ê ú = ê -2 ú ê ú 1 1 ë û ë û êë a1 - a1 úû Durum ger ge ri-be i-besl sleme eme matrisi, K = [0.34
-2] olarak elde edilir.
Ön Kompanzatör Kompanzatör kazancı farklı iki iki yoldan hesaplanabilir hesaplanabilir . fonk siyonu v e son değer teoremi kullanılır kullanılır . I. YOL: Transfer fonksiyonu
R( z ) =
z birim basamak basamak giriş için z -1
Ù Ù Ù G = A - BK BK üï -1 K, kul kullanlarak lanlarak transfer fonksiyonu hesaplanr; Ù ý Þ G ( z ) = C ( zI - G ) H H = BK 0 ïþ
1 ù é0ù é 0 é 0 1ù 0 . 3 4 2 G=ê = [ ] ú ê ú ê-0.5 1ú ë-0.16 -1û ë1û ë û Ù
Ù é0ù é0ù H = ê ú K0 ise H = ê ú ë1 û ë K 0 û Ù
é z -1 ù é 0 ù K 0 Þ = G ( z ) = [1 0] ê G z ( ) úê ú z 2 - z + 0.5 ë0.5 z - 1û ë K 0 û z K 0 K 0 Y ( z ) z 1 = Þ y(¥) = lim( z -1) 2 Þ z ®1 R( z) z 2 - z + 0.5 z - z + 0.5
K 0 0.5
= 1 Þ K 0 = 0.5
II. YOL: E Elde lde dilmiş olan olan kazanç ifadesi ifades i doğrudan doğrudan kullanılır. -1
é A - I B ù é0ù N = K 0 = [ K 1] ê ú ê ú ë C 0 û ë1û
ifadesi kullanlr.
18
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayh Ayhan an Özdemir
-1
éé 0 1 ù é1 0 ù é0 ù ù ê ú é0 ù N = K 0 = [0.34 -2 1] ê êë-0.16 -1úû êë0 1 úû êë1 úû ú ê ú 1 ê ú ë û 1 0 0 [ ] ë û -1
0 0 ù é0 ù é -1 N = K 0 = [ 0.34 -2 1] êê-0.16 -2 1 úú êê0 úú êë 1 0 0 úû êë1 úû
N = K 0 = 0.5
r (k )
v(k )
0.5
B
u ( k )
x(k + 1)
æ0ö ç1÷ è ø
-1
z I
x (k )
(1
0)
y (k )
C
1ö æ 0 Sistem ç -0.16 -1÷ ø A è 0.34
Durum geribeslemesi
-2 Bilgi Botu:
Kontrol edilmek istenen sisteme ait ayrk zaman durum denklemleri,
x(k + 1) = Ax(k ) + Bu(k ) y (k ) = Cx(k )
olarak veri verilsin. lsin.
u(k ) = -Kx(k )
durum geri-besleme geri- besleme kontrol kuarl olsun, yerine koyulur ise.
x(k + 1) = Ax(k ) + B (-Kx(k )) x(k + 1) = [ A - BK ] x( k ))
elde edilir.
Yukarda verilen sisteme sisteme lineer linee r dönüüm dönüüm ve ve durum gerigeri- besleme kontrol kural uygulansn.
x(k ) = Tx' (k )
ve
x' (k ) = T -1x(k ) x ' (k + 1) = T -1x (k + 1)
uygulanır ise,
19
lineer dönüş d önüşüm üm ve ger ge ri -besleme
Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayh Ayhan an Özdemir
x ' (k + 1) = T -1 ATx ' (k ) + T -1 Bu (k ) y (k ) = CTx ' (k )
olur.
Kontrol kuralna lineer dönüüm uygulanr ise,
u(k ) = -Kx(k ) u(k ) = -KTx ' (k ) u (k ) = - fx ' (k )
elde edi edilir. lir. f
= KT
dir.
Lineer dönüşüm ve durum geri - besleme uygulandıktan sonra elde edilen karakteristik denklem lineer dönüşümsüz durum geri -beslemeli sistemin karakteristik denklemi ile aynıdır. Aşağıda ispatı verişmiştir.
x' (k + 1) 1) = Ac x ' ( k ) + Bcu( k )
;lineer dönüşüm uygulanmş durum denklemleri.
y (k ) = Cc x ' (k ) Lineer dönüşümden sonra
geri-beslemesi uygulanr ise u (k ) = - fx ' (k ) durum geri-beslemesi
1) = Ac x ' (k ) + Bc (- fx ' (k )) x ' (k +1)
x' (k + 1) = [ Ac - Bc f ] x' ( k )
elde edilir.
Dönüşümden sonra karakter k arakteristik istik denklem denklemle lerr deişmeyeceinden, deişmeyeceinden,
det( zI - A + BK ) = det( zI - Ac + Bc f ) = 0
olmaldr.
NOT: özellik,
P -1 A P = A dr.
det( zI - Ac + Bc f ) = 0 if ifadesini adesini açp yukarda verilen verilen özellik göz önüne alnr alnr ise, det( zI - Ac + Bc f ) = det( zT -1IT - T -1AT + T -1Bf ) = 0
= zT -1 IT - T -1 AT + T -1 Bf = 0
ve
f = KT yazlr ise,
= T -1 zI - A + BK T = 0
= zI - A + BK = 0
olur.
Buradan, lineer dönüşüm uygulandktan uygulandktan sonra durum geri besleme besleme matrisi f elde edi edilir. lir. Bu matristen, dönüşüm uygulanmamş sistem sistem durum geri geri be sleme matrisi
K = f T T -1
ile elde edilir.
20
f T : f ’nin Transpozu
Di jital jital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir Özdemir
ÖNKOMPANZASYONLU (Referans Girişli) STATİK DURUM GERİBESLEME Kontrol edilen sistemde durum geri- beslemesi ile sistemin dinamik davranıı düzenlenebilmektedir. Sistem cevabının istenen bir referans değere gitmesi istenebilir. Bu durumda, sistem kazancı bi birr olmalıdır. Bu amaç için referans giri ile beraber bir kazanç terimi ilave edilmeli ve hesaplanmalıdır. Kazanç hesabı için önerilen iki iki yol aağıda verilmitir I.YOL: Kontrol edilmek istenen sisteme ait ayrık -zaman durum uzay modeli vektör matris formunda
x(k + 1) = Ax( k ) + Bu( k ) y(k ) = Cx(k )
verilsin. Sisteme ait kontrol blok diyagram
aağıda verilmitir.
x( k + 1)
z I
B
u (k )
x(k )
-1
C
y (k )
A
Sistem
Kontrol edilen sisteme aağıda verildiği gibi durum geri geri-besleme -besleme ile beraber r (k ) referans iaret uygulansın.
r (k )
K 0
x(k + 1)
u (k )
-1
z I
B
x(k ) C
A
Sistem
- K Referans giriş li durum geri-beslemeli sistem.
1
y (k )
Di jital jital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir Özdemir
r (k )
K 0
u (k )
v( k )
Sistem
y (k )
- K Referans giriş li durum geri-beslemeli kompakt olarak verilmiş sistem.
Referans girişli girişli durum geri-beslemeli sistem ait kontrol işareti yazılır ise,
u (k ) = K 0 r (k ) - Kx (k )
olarak ifade edilir. Bu ifade durum denkleminde yerine yazılır
x(k + 1) = Ax(k ) + BK0 r (k ) - BKx(k ) Þ 1) = ( A - BK ) x (k ) + BK0 r (k ) x(k + 1)
olarak elde edilir.
Karakteristik denklem ,
zI - A + BK = 0
olarak yazılır.
Tüm durum durum geri- beslemesi beslemesi ile, sistemin karakteristik denklemi değiştirilebilir, ancak sistemin
gereklidir. sürekli hal kazancıda değişir. Bundan dolayı, sistemde ayarlanabilir, ayarlanabilir, K 0 , kazancı gereklidir. Bbirim basamak giriş için K 0 kazancı SON DEĞER teoreminden y (¥) = 1
olacak şekilde
ayarlanmalıdır. II. YOL: Refera Referans ns girişi takip edebilen statik durum geri besleme geri besleme ele alınacaktır.
Referans giriş, r olsun; e( k ) = r - y( k ) kontrol hatasıdır. e(k)
r (k )
N
v(k )
u ( k )
y (k )
Sistem
x( k ) - K
u (k ) = -Kx (k ) + N r
2
Di jital jital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir Özdemir
e(k ) = 0 olduğunda x(k ) durum vektörünün sürekli hal değeri x ss , ve u(k )
kontrol
vektörünün sürekli hal değeri u ss olsun.
e(k)=0
r
v(k)
uss
N
yss= r
Sistem xss
- K
Amacımız, istenen sürekli hal çıkışın ölçülen deeri y ss ’i salayan, statik durum geri besleme kuralı u (k ) = - Kx( k ) yı ayarlamaktır. Bu ise kontrol kuralında durum vektör ofset i (denkleştirme, kaydırması) ile yapılır. Sürekli rejim için Kontrol işaret’ inden Kx ss
çıkartılır ve sürekli rejim rejim için gerekli olan olan u ss ilave
edilerek kontrol işareti,
u(k ) = -K ( x(k ) - x ss ) + u ss
olarak yazılır .
Böylece ölçülen çıkış deeri y , referans giriş r ’e eşit olur.
x(k + 1) = Ax( k ) + Bu( k ) burada u(k) yerine yazılır => x(k + 1) = Ax(k ) - BK ( x(k ) - x ss ) + Buss Sürekli halde, x(k + 1) = x(k ) = x ss olur…
x ss = Axss + Buss veya Bu ss = xss - Axss yerine konulur ise, x ss ® Stead Steadyy State(sürek sürekli li hal ) X(k)
Sürekli rejimde
x1 (k ) = x1 (k + 1) x1 ( k ) x1 ( k + 1)
k
x(k + 1) = Ax( k ) - BK ( x( k ) - x ss ) + x s s sss s - Ax xss Þ Bu ss
x(k + 1) - x ss = ( A - BK )( x( k) - xss ) 3
Di jital jital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir Özdemir
Bu denklem, statik denklem, statik durum geri-beslemesinin ( x (k ) - x ss ) dur um um vektörüne uygulandıı gibi yorumlanabilir. x ss = x(k ) olduunda r = y (k ) ‘dır. Ön kompanzatörün uygun seçilmesi
kontrol sistemi çıkışının r ’ye yakınsamasını salar. Önkompanzatör ilavesi sistemin kutuplarını etkilemez . Sürekli hal cevabı göz önüne alınır ise, x ss = Axss + Buss olur. y ss = Cxss y ss = r
Ax ss - xss + Buss = 0 Þ ( A - I )x ss + Bu ss = 0 Cx ss + 0 uss = r ve ( A - I ) x ss + Buss = 0 é A - I ê C ë
B ù é x ss ù é0ù úê ú =ê ú 0 û ëu ss û ë r û
é x ss ù é A - I Buradan, ê ú = ê ëu ss û ë C
denklemleri ile arttırılmış durum vektörü,
yazılabilir. -1
B ù é 0ù ú ê ú elde edilir. Ve u(k)’da yerine yazılı r => 0 û ë r û
u (k ) = -Kx(k ) + Kx ss + uss önce u(k) düzenlenir. é x ss ù = - Kx(k ) + [ K 1] ê ú ëu ss û é A - I = - Kx(k ) + [ K 1] ê ë C
-1
B ù é0 ù
ú ê ú r
0 û ë1 û
N
u (k ) = -K ( x (k ) - x ss ) + u ss u (k ) = -Kx (k ) + N r é A - I N = K 0 = [ K 1] ê ë C
-1
B ù é0ù ú ê ú
0 û ë1 û
olarak elde edilir.
4
Di jital jital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir Özdemir
ÖRNEK: 1ù é 0 é0ù + x k ( ) ú ê1ú u( k ) ve 0 . 1 6 1 ë û ë û
x(k + 1) = ê
é x (k ) ù y(k ) = [1 0] ê 1 ú ë x2 (k ) û
ise, kapalı çevrim kutuplarının z1 = 0.5 + j 0.5,
z2 = 0.5 - j0. 0 .5 olması istenmektedir.
Çıkışın istenen referans değere gidebilmesi için Durum geri – besleme besleme matrisi K ve giriş kazancı K 0 ’ı hesaplayınız. Açık -çevrim karakteristik denklem:
zI - A = z 2 + z - 0.16 = z 2 + a1z + a2 = 0 İstenen Kapalı-çevrim karakteristik denklem:
zI - A + BK = ( z - 0.5 - j 0.5)( z - 0.5 + j 0.5) = z 2 - z + 0.5 = z 2 + a1z + a 2 = 0 Sistem matrisi faz değiken kanonik formdadır. Karakteristik denklem katsaylarnda katsaylarndan, n,
a1 = -1 , a2 = 0.5
,
a1 = -1 a2 = -0.16
yazlabilir.
éÙ ù a a 0.16ù é 0.34ù 2 2 ú Þ k = é0.5 - 0. k=ê Ù ê -1 - 1 ú = ê -2 ú ê ú ë û ë û êë a1 - a1 úû Durum geri-besleme matrisi, K = [0.34
-2] olarak elde edilir.
Ön Kompanzatör Kompanzatör kazancı kazancı farklı iki yoldan hesapl anabilir anabilir . I. YOL: Transfer fonksiyonu ve son değer teoremi kullanılır .
R( z ) =
z birim basamak giriş için z - 1
u (k ) = -Kx (k ) + K 0r (k )
Kontrol kural
durum geri-besleme durum denkleminde yerine
koyulur ,
x(k + 1) = Ax(k ) + Bu (k )
ise
x(k + 1) = Ax(k ) + B(-Kx(k ) + K0 r (k ) )
x(k + 1) 1) = ( A - BK ) x( k ) + BK0 r( k ) Ù
G
Ù
H
Durum denklemlerine ait katsaylar matrisleri kullanlarak transfer fonksiyonu hesaplanr.
5
Di jital jital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir Özdemir
Ù
G = A - BK BK üï Ù
H = BK 0
ý ï þ
Þ
Ù
Ù
G( z ) = C ( zI - G) -1 H
durum geri-beslemeli ve ön-kompanzatör girişli
sisteme ait kapalı-çevrim transfer fonksiyonu. Ù
1 ù é 0ù é 0 é 0 1ù = 0 . 3 4 2 ] ê ú ê ú[ ú ë-0.16 -1û ë1û ë -0.5 1û
Ù
G=ê
é 0ù
Ù
é0ù
H = ê ú K0 ise H = ê ú ë 1û ë K 0 û
é z -1 ù é 0 ù K 0 Þ G( z ) = 2 G( z ) = [1 0] ê ê ú ú z - z + 0.5 ë0.5 z - 1û ë K 0 û
K 0 Y ( z ) = G( z ) = 2 Þ R( z) z - z + 0.5
son değer teoreminden,
z K 0 z 1 y(¥) = lim( z -1) 2 Þ z ®1 z - z + 0.5
K 0 0.5
= 1 Þ K 0 = 0.5
olarak elde edilir.
II. YOL: Elde dilmiş olan kazanç ifadesi doğrudan doğrudan kullanılır.
é A - I N = K 0 = [ K 1] ê ë C
-1
B ù é0 ù
ú ê ú ifadesi kullanılır.
0 û ë1 û
-1
1 ù é1 0 ù é0 ù ù éé 0 êê ú é0ù N = K 0 = [[0.34 -2] 1] ê ë -0.16 -1úû êë0 1 úû êë1 úû ú ê ú 1 ê ú ë û 1 0 0 [ ] ë û -1
0 0 ù é0 ù é -1 N = K 0 = [0.34 -2 1] êê-0.16 -2 1 úú êê0 úú êë 1 0 0 úû êë1 úû
N = K 0 = 0.5
6
Di jital jital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir Özdemir
r (k )
u (k )
v(k )
0.5
B
x(k + 1)
æ0ö ç ÷ è1ø
-1
z I
x(k )
(1
0)
y (k )
C
1ö æ 0 Sistem ç ÷ 0 . 1 6 1 è ø A
0.34
Durum geribeslemesi
-2 Bilgi Botu:
Kontrol edilmek istenen sisteme ait ayrık zaman durum denklemleri,
x(k + 1) = Ax(k ) + Bu(k ) y(k ) = Cx(k )
olarak verilsin.
u(k ) = -Kx(k )
durum geri-besleme kontrol kuarl olsun, yerine koyulur ise.
x(k + 1) = Ax( k ) + B( - Kx( k )) x(k + 1) = [ A - BK ] x( k ))
elde edilir.
Yukarda verilen sisteme lineer dönüşüm dönüşüm ve durum geri-besleme kontrol kural uygulansn.
x(k ) = Tx' (k )
ve
x ' (k ) = T -1x(k ) x ' (k + 1) = T -1x (k + 1) lineer dönüşüm ve geri-besleme
uygulanr ise,
x' (k + 1) = T -1 ATx' ( k ) + T -1 Bu( k ) y(k ) = CTx' ( k )
olur.
Kontrol kuralna lineer dönüşüm uygulanr ise,
u(k ) = -Kx(k ) u(k ) = -KTx' (k ) u (k ) = - fx' (k )
elde edilir.
f = KT
7
dir.
Di jital jital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir Özdemir
Lineer dönüşüm ve durum geri-besleme uygulandıktan sonra elde edilen karakteristik denklem lineer dönüşümsüz durum geri-beslemeli sistemin karakteristik denklemi ile aynıdır. Aşağıda ispatı verişmiştir.
1) = Ac x ' (k ) + Bcu (k ) x ' (k + 1)
;lineer dönüşüm uygulanmış durum denklemleri.
y (k ) = Cc x ' (k ) ' Lineer dönüşümden sonra u(k ) = - fx (k ) durum geri-beslemesi uygulanır ise
1) = Ac x ' (k ) + Bc (- fx ' (k )) x ' (k +1)
x' (k + 1) = [ Ac - Bc f ] x' ( k )
elde edilir.
Dönüşümden sonra karakteristik denklemler değişmeyeceğinden, değişmeyeceğinden,
det( zI - A + BK ) = det( zI - Ac + Bc f ) = 0
olmalıdır.
NOT: özellik, P -1 A P = A dır.
det( zI - Ac + Bc f ) = 0 ifadesini açıp yukarıda verilen özellik özellik göz önüne alınır ise, det( zI - Ac + Bc f ) = det( zT -1IT - T -1AT + T -1Bf ) = 0
= zT -1IT - T -1 AT + T -1Bf = 0
ve
f = KT yazılır ise,
= T -1 zI - A + BK T = 0
= zI - A + BK = 0
olur.
Buradan, lineer dönüşüm uygulandıktan sonra durum geri besleme matrisi f elde edilir. Bu
matristen, dönüşüm uygulanmamış uygulanmamış sistem durum geri geri besleme matrisi
K = f T T -1
ile elde edilir.
8
f T : f ’nin Transpozu
Di jital jital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir Özdemir
ÖRNEK: Bir önceki statik durum gerigeri - beslemeli beslemeli DC makine kontrolünde kontrolünde ölçülen çıkışın aşağıda verildiği gibi referans girişi takip etmesi istenmektedir. Ön kompanzatör kazancını hesaplayınız. D(t) Bozucu
(rüzgar) Güç Kuvvetlendirici
Rotor Kontrollu DC Makina
K
V s i n ( w t )
R C
L
Uort
q (t )
İf=sbt Bm
Ölçme
Jm
E
H ı z IGBT
X2(t)
sürücü U(t) U(t)
Sayısal İşlemci
u(t)
Anten
K o n u m
X1(t)
K2
1.12
ADC
4.51
ADC
DAC K1
N
Durum Geribeslemesi
referans giriş q (k ) r(k) referans r
Sistemin durum modeli;
é1 0.0952ù é 0.00484ù x( k ) + ê ú ú u( k ) 0 0 . 9 0 5 0 . 0 9 5 2 ë û ë û
x(k + 1) = ê
A
B
y(k ) = [1 0] x( k ), C
Durum geri-besleme kazanç matrisi
é A - I N = [ K 1] ê ë C
4.51 1 1. 1.12 12] olarak verilmiştir. K = [4.5
-1
B ù é0 ù ú ê ú
0 û ë1 û
A- I é ù ê é0 0.0952 ù 0.00484 ú = [[ 4.51 1.12] 1] ê ê ú 0.0952 ú 0 0 . 9 0 5 ë û ê ú ê1 ú 0 0 ë û
N = 4.51
-1
é0ù ara işlemler yapıldıktan sonra, ê0 ú ê ú êë1 úû
olarak elde edilir. 9
Di jital jital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir Özdemir
D(t ) = 0
rüzgar etkisi sıfır ve
r (t ) = 2u (t )
D(t - 8) = u (t - 8) , T = 0.1 için k =
referanss giriş referan giriş için servo sistem cevabı.
8 0.1
= 80 rüzgar etkisi başlangıcı anı ve r (t ) = 2u (t )
referans giriş için servo sistem cevabı.
ess
10
Di jital jital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir Özdemir
Örnekten görüleceği gibi, statik durum geri - beslemesi beslemesi ile ön kompanzatörlü kompanzatörlü sistem sistem bozucu yoksa referans girişi iyi bir şekilde izler. Eğer bozucu mevcutsa, mevcutsa, izleme performansı zayıftır ,
e ss sürekli hal hatası oluur. D(t) Bozucu
(rüzgar) Güç Kuvvetlendirici
Rotor Kontrollu DC Makina
K
V s i n ( w t )
R C
Uort
q (t )
İf=sbt
L
Bm
Ölçme
Jm
E
H ı z IGBT
X2(t)
sürücü U(t) U(t)
u(t)
Sayısal İşlemci
Anten
K o n u m
X1(t)
K2
1.12
ADC
4.51
ADC
DAC 4.51
K1
Durum Geribeslemesi
r(k) referans giriş q (k ) r
DİNAMİK -DURUM GERİBESLEM ESİ Hem referans girişi takip eden hemde bozucu etkisini gideren (yok eden) durum uzay yaps ele alnacaktr. Başlangç noktamz, durum vektörünü kontrol hatas e(k ) = r - y (k ) ’y ihtiva edecek şekilde arttrmaktr.
r(k)
x (k) x ı(k+1)=xı(k)+e(k)
ı
u(k) K I
Sistem
y(k)
x(k)
- K p
Dinamik durum geri-besleme geri-besleme kontrol sistem blok diyagramı
İntegre edilmiş kontrol hatası; x I (k + 1) 1) = xI (k ) + e(k ) Þ e( k ) = r - y( k ) = r - Cx( k ) Þ x I (k + 1) = xI (k ) + r ( k ) - Cx( k ) é x (k ) ù Arttırılmı durum vektörü, ê ú dır. Kontrol kuralı, u (k ) = - éë K p x k ( ) ë I û 11
é x( k ) ù K I ùû ê ú olur. ë x I (k ) û
Di jital jital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir Özdemir
x(k ) durum vektörü nx1 boyutlu ise, K p = [ K p1
K p 2 ........ K pn ]
dir.
Dinamik durum geri-beslemeli kontrolün karakteristik denklemi:
Arttırılmı-durum Arttırılmı -durum uzay modeli;
x(k + 1) = Ax( k ) + Bu( k ) x I (k + 1) = xI (k ) + r ( k ) - Cx( k )
ifadeleri kullanılarak aşağıda
verildiği gibi elde edilir.
é x(k + 1) ù é A 0ù é x(k ) ù é B ù é 0ù = + + u k ( ) ê x (k + 1) ú ê-C 1ú ê x (k ) ú ê 0 ú ê1ú r û ë I û ë û ë û ë I û ë Kontrol kuralı u(k) yerine koyulur ise,
é x(k + 1) ù æ é A 0ù é B ù ê x (k + 1) ú = ç ê-C 1ú - ê 0 ú [ K P û ë û ë I û èë
ö é x(k ) ù é 0ù ú + ê1ú r x ( k ) ø ë I û ë û
K I ]÷ ê
Karakteristik polinom,
ì ï
æ é A
det í zI - ç ê
ï î
0ù é B ù
ú - ê 0 ú [KP C 1 û ë û èë
öü ï
K I ] ÷ ý = 0 dır. ï øþ
kapalı-çevrim sistem dinamiği ayarlanır. K P ve K I ‘nın seçilmesi ile kapalı-
ÖRNEK: é0.13
A = ê
0 ù
ú, ë0.46 0.63û
é 0.069ù ú, ë 0 û
B=ê
C = [1 1]
Artırılmı durum-uzay durum-uzay modeli;
1) ù é 0.13 0 0ù é x1 (k ) ù é 0.069ù é x1 ( k + 1) é 0ù ê x ( k + 1) ú = ê0.46 0.63 0ú ê x (k )ú + ê 0 ú u (k ) + ê 0ú r ê 2 ú ê úê 2 ú ê ú ê ú êë x I (k + 1) úû êë -1 êë 1úû -1 1úû êë xI (k )úû êë 0 úû Kontrol kuralı u(k) yerine koyulur ise,
0 0ù é 0.069ù é x1 (k + 1) ù æ é 0.13 ê x (k + 1) ú = ç ê0.46 0.63 0ú - ê 0 ú K ê 2 ú çê ú ê ú [ P1 êë x I (k + 1) úû çè êë -1 -1 1 úû êë 0 úû
12
KP2
ö é x1 (k ) ù é 0ù ÷ K I ] ÷ êê x2 (k )úú + u (k ) + êê 0úú r ÷ ê x (k ) ú êë1úû ø ë I û
Di jital jital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir Özdemir
é x1 ( k + 1) ù é0.13 - 0.069 K P1 -0.069K P 2 ê x ( k + 1) ú = ê 0.46 0.63 ê 2 ú ê êë x I (k + 1) úû êë -1 -1
-0.069K I ù é x1 (k ) ù é 0ù ú ê x (k )ú + u (k ) + ê 0ú r 0 úê 2 ú ê ú úû êë xI (k )úû êë 1úû 1
Dinamik durum geribeslemeli sistemin artırılmış durum-uzay durum -uzay modeli. Problem; K P1 , K P 2 , K I katsayılarının hesabıdır.
13
Dijital Kon trol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Ö zdemir
DİNAMİK -DURUM GERİBESLEM ESİ Hem re ferans gi giriş rişii takip eden hemde hemde bozuc u etkis etkisini ini gidere gideren n (yok (yok eden) d urum uz uzay ay yaps yaps e le alnacaktr. Başla ng ngçç nokta oktamz, mz, durum durum vektör ektörünü ünü kontr kontrol ol hatas atas e(k ) = r - y( k ) ’y ihtiva edecek şekilde arttrmaktr.
e(k)
r(k)
x (k+1)=x(k)+e(k)
x (k)
u(k) K I
Sistem
y(k)
x(k)
- K p
Dinamik Di namik durum geri-besleme geri-besleme kontrol sistem blok diyagramı
İnteg İn tegre re ed e dilm ilmiş iş kon ko ntrol hatası; x I (k + 1) 1) = xI (k ) + e(k ) Þ e( k ) = r - y( k ) = r - Cx( k ) Þ x I (k + 1) = xI (k ) + r ( k ) - Cx( k ) é x (k ) ù Arttırılmı durum vektörü, ê Ko ntrol ku k uralı, u (k ) = - éë K p ú dır. Kon x k ( ) ë I û
x(k ) durum vektörü nx1 boyutlu ise, K p = [ K p1
é x(k ) ù K I ùû ê ú olur. x k ( ) ë I û
K p 2 ........ K pn ]
dir.
slem meli kontrolün karak karak teristik denklem denkle mi: Dinamik durum geri- be sle Arttırılmı-durum uzay modeli;
x( k + 1) = Ax( k ) + Bu( k ) ifadeleri kullanılarak aşağıda x I (k + 1) = xI ( k ) + r ( k ) - Cx( k )
verildiğii gibi elde edil verildiğ e dilir. ir.
é x(k + 1) ù é A 0ù é x(k ) ù é B ù é 0ù = + + u ( k ) ê x (k + 1) ú ê-C 1ú ê x (k ) ú ê 0 ú ê1ú r û ë I û ë û ë û ë I û ë
Kontrol kuralı u(k) yerine koyulur ise, é x(k + 1) ù æ é A 0ù é B ù ê x (k + 1) ú = ç ê-C 1ú - ê 0 ú [ K P û ë û ë I û èë
ö é x(k ) ù é0ù ú + ê1ú r x ( k ) ø ë I û ë û
K I ] ÷ ê
Karakteristik po lin linom, om,
ì ï
æ é A
det í zI - ç ê
ï î
0ù é B ù
ú - ê 0 ú [ KP C 1 û ë û èë
öü ï
K I ] ÷ý = 0 dır. øï þ
1
Dijital Kon trol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Ö zdemir
DURUM-UZAY GERİBESLEME İÇİN KUTUP YERLEŞTİRME TASARIMI
Tasarım amacı, yerleşme zamanının t s ve maximum aşımın M p* değerini geçmemesidir. 1- Kapalı- çevrim kutupları z1,2 = re
± jq
hesaplayınız. r = e
-
4T
t s
,
q = p
log(r ) log( M p* )
2- İstenen karakteristik denklemi oluşturun,
• F ( z ) = ( z 2 - 2r cosq z + r 2 )(z - 0.25r )n-2
n ® durum uzay boyutu. ( z - e jq )( z - e - jq ) = z 2 - 2r cosq z + r 2 3- Modell Modellenen enen karakteristik k arakteristik polinomu, x(k + 1) 1) = Ax(k ) - BKx(k ) yı oluşturun ve açın,
• K = [ K1 ,..., K n ] olmak üzere, stiik den de nkle klem m, det[ zI - ( A - BK )] •modellenen karakter ist 4- K’lar hesaplanır, istenen karakteristik denklem katsayıları ile modellenen karakteristik
denklem katsayıları eşitlenir (aynı derecedeki polinomlar) ve denklem çözülür. 5- Sonuç doğrulaması yapılır,
•kapalı- çevr çevrim im kut kutuuplarının birim b irim da irede içinde olu o lupp olma o lmadığı dığı kon ko ntro troll edilir, •Transient cevabın istenen performansı sağlayıp sağlamadığını simüle edilir.
2
Dijital Kon trol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Ö zdemir
Örnek: Aşağıda servo sisteme ait şekil a) donanım ve b) açık - çevrim kontro kontro l bl b lok diyagram verilmiştir.
Güç Kuvvetlendirici
Rotor Kontrollu DC Makina
K
V s i n ( w t )
R
f=sbt
L
Bm
C E
IGBT sürücü
Ölçme
Jm
H ı z
Uort
Anten
K o n u m
X2(t) X1(t)
U(t)
a) Servo sistem donanm
Bozucu D(s)
Kontrol işareti u(s)
1
Hız W( s )
s + 1
1
Konum q ( s )
s
b) Servo sisteme ait açk -çevrim kontrol blok diyagram
istenenler: i) Stat Statiik ve dinamik durum geri-besle meli ser vo sisteme ait a it donanım blok diyagr diyagramı amı çiziniz. ii) Stat bl ok diyagramı çiziniz. Statik ik ve dina dina mik durum geri-bes le meli servo servo sisteme sis teme ait Kontrol blok iii) Servo sistemde x = 0.46 ve
%2 kriterine göre t s = 4sn olması ist istee nmekt nmekted ed ir. S istemin
referans girişi takip ed referans edil ileb ebil ilmes mesii ve bozucu etkisini etkisini giderme gidermesi si istenmekted i stenmektedir ir . Servo sisteme a it ayrık - zaman d urum den de nkle klemleri mleri T = 0.1 sn için ,
é1 0.0952 ù é0.00484 ù ( ) x k + ú ê 0.0952 ú u (k ) olarak verilmektedir. ë0 0.905 û ë û
x(k + 1) = ê
y (k ) = [1 0 ] x(k ) statik ve dinamik durum geri-besleme katsaylar K p1 , iv)
K p 2 , K I hesaplaynz.
Statik ve dina Statik dinamik mik durum geri-bes geri-beslemeli lemeli servo sisteme ait durum ve çık denklemlerini elde ediniz.
3
Dijital Kon trol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Ö zdemir
Statik ve dina Statik dinamik mik durum geri-bes geri-beslemeli lemeli servo sisteme ait ayrık -zaman -zaman Transfer fonksiyonunu elde ediniz.
v)
-zaman sayısal Statik ve dinamik Statik d inamik durum geri-bes eri-beslemeli lemeli kontrol kurallı ayrık -zaman aitt programını sembolik dilde yazınız. yazınız. kontrole ai
vi)
ÇÖZÜM: i) Stat Statiik ve dinamik durum geri-besle meli ser vo sisteme ait a it donanım blok diyagramı. D(t) Bozucu
(rüzgar) Güç Kuvvetlendirici
Rotor Kontrollu DC Makina
K
V s i n ( w t )
L
R C
Uort
q
İf=sbt Bm Jm
E
Ölçme H z
IGBT
X2(t)
sürücü U(t)
u(t)
Anten
K o n u m
X1(t)
ADC ADC
Sayısal İşlemci K2
DAC K1
KI z z - 1
e(k)
Durum Geribeslemesi
İntegral y(k)=x1(k)
r(k) referans giriş ii) Statik ve dinamik durum geri-be geri-be slemeli servo siste m a it Kontrol blok bl ok diyagramı :
4
Dijital Kon trol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Ö zdemir
ìé z - 1 - 0.00484K1 -0.0952 - 0.00484K 2 ï z - 0.905 - 0.0952K 2 = det íê -0.0952 K1 ê ïê 1 0 îë
- 0.00484K i ù ü ï - 0.0952K i ú ý = 0 ú z - 1 úû ïþ
Staik ve ve dinami dina mik k durum dur um ge ge ribeslemeli servo sis sisteme teme a it para metr etrik ik karakter karakterisri isrik k denklem.
F ( z ) = z 3 + (-0.0952K 2 - 2.905 - 0.00484K1 ) z 2 + (0.0015716 K1 + 2.81 + 0.1904 K 2 + 0.00484 Ki ) z
+0.0046828 K1 - 0.905 - 0.0952K 2 + 0.0046828K i = 0
F ( z ) = z 3 + a1z 2 + a 2 z + a 3 = 0
İ stenen stenen karakteristik karakteristi k denklem; denklem;
x = 0.46,
% t s = 4sn Þ
s1, 2 = -x wn
jwn 1 - x 2 = -0.46 * 2.17
(0.9982 82 z = e sT Þ z = e -(0.99
j1.9 1.926 . 268)0.1 8)0.1
wn = 2.17rad / sn 1 1.9268 .9268 j 2.17 1 - 0.462 Þ s1, 2 = -0.9982 j1.
Þ z1,2 = 0.8 0.8883 883 ± 0.1 0.1687 687 j
r = abs( z ) r = 0.9050 ( z ) = ( z - 0.8883 - 0.1687 j )( z - 0.8883 + 0.1687 j )( z - 0.25*0. 5*0.9 9050) = 0 Þ
a
( z ) = z 3 - 2.0029 z 2 + 1.22 z - 0.1853 = 0 iste sten ne n karakter karakteristik istik denklem
a
a ( z ) = z 3 + a1z 2 + a2 z + a3 = 0 azılır ır ve katsa katsayılar yılar eş itle tlenir nir ise, ise, F ( z) = a ( z ) yazıl
• -0.0952 K 2 - 2.905 - 0.00484 K 1 = -2.0029 -0.0952 K 2 - 0.00484 K 1 = 0.9021
6
Dijital Kon trol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Ö zdemir
• 0.0015716 K1 + 2.81 + 0.1904 K 2 + 0.00484 K i = 1.22 0.0015716 K1 + 0.1904 K 2 + 0.00484 K i = -1.59
• 0.0046828 K1 - 0.905 - 0.0952K 2 + 0.0046828K i = -0.1853 0.0046828 K1 - 0.0952K 2 + 0.0046828K i = 0.7199 0 é -0.00484 -0.0952 ù é K 1 ù é 0.9021ù ê0.0001572 0.1904 0.00484 ú ê K ú = ê - 1.59 ú Þ ê úê 2ú ê ú êë 0.00484 -0.0952 0.004683úû êë K i úû êë 0.7197úû 0 é K 1 ù é -0.00484 -0.0952 ù ê K ú = ê0.0001572 0.1904 0.00484 ú ê 2ú ê ú êë K i úû êë 0.00484 -0.0952 0.004683úû
-1
é 0.9021ù ê- 1.589ú Þ ê ú êë 0.7197úû
é K 1 ù é-156.64 -51.63 53.37 ù é 0.9021ù ê K ú = ê -2.54 -2.71 ú ê-1.589ú Þ 2.62 ê 2ú ê úê ú êë K i úû êë 10 105. 5.01 01 10 105. 5.01 01 105. 105.01 01úû êë 0. 0.71 7197 97úû
u (k ) = - Kx( k ) = - [ K1 K2
é x1 ( k ) ù K I ] êê x2 ( k ) úú êë x I ( k ) úû
é K 1 ù é-20.79ù ê K ú = ê -8.41 ú ê 2ú ê ú êë K i úû êë 3.33 úû
Kontrol işareti …………….
é x1 ( k ) ù = -[20.79 8.41 -3.33 ] êê x2 (k )úú êë x I (k ) úû
Artırılmı Artır ılmı sistem sistem Kara Karakteristik kteristik denk denkleminin leminin eld eldee edilm edilmes esi. i. r(k)
x (k)
e(k) x ı(k+1)=xı(k)+e(k)
ı
u(k) K I
Sistem x(k)
- K p
Artırılmı sistem için d urum de denklemler nklemlerii yazılır.
7
y(k)
Dijital Kontrol Kon trolSistemleri Sistemleri zdemir Dijital Sis temleri Doç. Dr. Dr. Ayhan Ayhan Ö Ayhan Özdemir.
é x(k + 1) ù é A 0ù é x(k ) ù é B ù é 0ù =e êservo sisteme +durum ugeri r (k ) yapılmış olup tüm (kbesleme ) + ê útasarımı ê xönceki ú ê ú ú ê ú ait dinamik Bir önceki bölümde bölümd + 1) û ë-C 1û ë xI (k ) û ë 0 û ë1 û ë I (kblok kontrol diyagramı aşağıda verilmiştir. Şekilden Şekilde n görülebileceği görüleb ileceği gi gib b i u (k ) kontrol işareti ve r (k ) ise referans giriştir. r ( k )=0 D(t) kanonik form içi için n verilmişBozucu olan alınarak daha önce verilmiş olan Bass-Gura , faz kanonik alınarak daha (rüzgar) basitleştirilmiş yöntem ve Ackerm Ackerman an ının önerdiği her bir yöntem ayrı ayrı uygulanarak Güç Kuvvetlendirici Rotor Kontrollu DC Makina durum du rum geri bes leme matris besleme matrisii K hesap edilebilir. Aşağıda sırası ile verilmiştir. verilmiştir. q K V s i n ( w t )
R
İf=sbt
L
0 B Bm æ C A ö æ ö Anten Ölçme Jm Uort E ç ÷ K 1 0 .09 .0 9 5 2 0 é ù é ù + x k x k ( 1 ) ( ) é 1 ù é 1 ù ç é0.00484ù ÷H on ç ÷ u ÷ı z r k ê x (k + 1) ú = ê0 0.905 ú ê0 ú ê x (k ) ú + ç ê m ú ( ) ë û ë û 0.0 952 IGBT ç ÷ 2 2 ê ú ê ú çë X2(t)û ÷ X1(t) sürücü U(t) ÷ ê x (k ) ú ç ÷ êë x I (k + 1) úû ç [ -1 0 1 ] 0 I ë û u(t) ç ÷ ADC ç ÷ ADC 1 Sayısal İşlemci 0 è ø C è ø 20.79
H
G DAC 8.41
3.33 z
-
z 1
Durum Geribeslemesi
İntegral y(k)=x1(k)
r(k) referans giriş Kontrol blok diyagramndan görüldüü ve durum uzay tasarmnda ifade edildii gibi kontrol edilebilir
bir sistemde tüm kutupların istenen yere atanabilmesi için tüm durum değişkenleri değişkenlerinin nin ölçülmesi gerekmektedir. Tüm durum değişkenlerinin ölçülmesi yerine tüm durum değişkenleri gözlenebilen bir sistemde çıkış ölçülerek sisteme ait tüm durum değişkenleri hesap edilebilir, gözlenebilir (kestirilebilir). (kestirilebilir ). Tüm durumları gözlenen sisteme tüm durum geri -besleme uygulanabilir.
8 1
Dijital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Ayhan Özdemir.
DURUM GÖZLEYİCİ (KESTİRİCİ) D(t) Bozucu
(rüzgar) Rotor Kontrollu DC Makina
Güç Kuvvetlendirici V s i n ( w t )
q
I
K
C
f=sbt
L
R Uort
Bm
E
H ı z
IGBT
sürücü U(t)
Akım
X2(t)
X1(t)
Anten
Ölçme
Jm
K o n u m
X3(t)
U(t)
Sayısal İşlemci ADC
DAC
ADC ADC
K3 K2
K1
Yukarda verilen servo sistemde tüm durum geri -besleme için üç adet durum değikenleri akım,konum ve hız ölçülmelidir. Aağıda anlatılacak olan gözleyici ve tasarımı ile sadece çık ı (konum) ölçülecek ölçüle cek ve gözleyici ile akım,konum ve hız ani değerleri hesap edilecektir.
Genel olarak, bir sistemin tüm durumlarının ölçülmesi pratik olmayabilir, ancak ilgilenilen sistemden elde edilen bilgilerden sistemin durumları kestirilebilinir. Genel Genel olarak, bir sistemin durumlarını kestiren sisteme gözleyici (observer) veya durum kestirici (state estimator) denir.
x( k + 1) = Ax( k) + Bu( k ) y (k ) = Cx( k ) Verilen sistemin herhangi bilinmeyen ilk x(0) durumları için, N adet sonlu y(0), y(1), y(N-1) ölçümünden tüm x(0) dur um um değişkenleri hesaplanabiliyor ise, sistem tümüyle gözlenebilir
é C ù ê CA ú ú denir. Sistemin tüm durumlarının gözlenebilmesi için Gözlenebilirlik matrisi, O = ê ê ... ú ê N -1 ú ëCA û
rank (O) = n
olmaldr,
Anxn :sistem matrisi.
2
,
Dijital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Ayhan Özdemir.
Luenberger Gözleyici
Durum vektörleri gözlenecek olan sistem modeli,
x(k + 1) = Ax(k ) + Bu(k ) y (k ) = Cx(k ) Durum Du rum vektörü
x(k )
x Î R n , y Î R p
ve
u Î Rm
olarak verilsin.
Ù
’nın, yaklaşık değeri x( k ) ile verilsin. Gözleyici modeline ait durum durum
denklemi,
Ù
Ù Ù
Ù
x(k + 1) = A x (k ) + B u (k ) + Ly (k ) Ù
x(k ) Î R
n
Ù
ve
ile verilir.
Ù
A, B ve L
bilinmeyen matrisleridir.
Gözleyici,, u ( k ) giriş vektörü ve y (k ) çıkı vektörü, Gözleyici vektörü, girilerin den oluan iki girişli bir Ù
dereceli/ tüm dereceli (fulldinamik sistemdir. x(k ) ve x(k ) aynı boyutlu ise gözleyici tam dereceli/ tüm Ù
order) gözleyici olarak adlandırılır. x(k ) ’nı ’nın n derecesi x( k ) ’dan küçük ise düşük -dereceli -dereceli gözleyici olarak adlandırılır.
giriş u(k)
Durumlar Çıkı Çıkışş x(k) y(k) X(k+1)=Ax(k)+Bu(k) C
Gözleyici
Sistem
Kestirilen Durumlar
X(k+1)=Ax(k)+Bu(k)+Ly(k) Sistem ve gözleyicinin basitletirilmi gösterimi Ù
Hata vektörü, vektörü,
e(k ) = x (k ) - x (k )
olarak tanımlansın.
Gözleyici tasarlama probleminin tanımı, mümkün olan en yüksek hızda e( k ) ’yı sıfır Ù
Ù
yapacak olan A, B ve L matrislerinin belirlenmesidir. Problemin çözümü çözümü için, Ù
e(k + 1) = x(k + 1) - x (k + 1)
yazılır ve durum denklemleri yerlerine yazılır => Ù
Ù
Ù
= Ax(k ) + Bu(k ) - A x(k )- B u (k ) - L Cx (k ) y ( k )
3
düzenlenir =>
x(k)
Dijital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Ayhan Özdemir.
Ù
Ù
e(k ) = x(k ) - x(k ) Þ x(k ) = x(k ) - e(k ) Ù
olduu göz önüne önüne alnr ise,
Ù
= Ax(k ) + Bu(k ) - A[ x(k ) - e(k )] - B u (k ) - LC x(k ) Ù
Ù
Ù
e(k + 1) 1) = Ax (k ) + Bu (k ) - A x (k ) + A e (k ) - B u (k ) - LCx (k )
düzenlenir ise,
hata dinamiği, Ù
Ù
Ù
e(k + 1) = A e(k ) + [ A - A- LC ]x (k ) + [B - B ]u (k )
olarak elde edilir.
’nın n x( k ) ve u (k ) ’dan bağımsız bağımsız olarak sıfıra gidebilmesi için aşağıda verilen 3 şart e(k ) ’nı sağlanmalıdır; Ù
1- A = A - LC Ù
2- B = B Ù
3- A
matrisi kararlı olmalıdır . 1 ve 2 ifadeleri yerlerine koyulur ise,
Ù
Ù
Ù
Ù
x(k + 1) = ( A - LC ) x (k ) + Bu (k ) + Ly (k ) = A x (k ) + Bu (k ) + Ly (k ) - LC x (k ) Ù
Ù
Ù
x(k + 1) = A x (k ) + Bu (k ) + L[ y (k ) - C x (k )] Gözleyici durum denklemi Kestirici
Düzeltici terim
Düzeltici terim, genellikle rezidül olarak adlandırılır (artık kalan, artan) Bu sonuçlardan e( k ) aşağ aşağıda ıda verilen fark denklemi denklemi ile yazılır. Ù
e(k + 1) = A e(k ) Ù
Hata dinamii…………… dinamii……………………….. …………..
e(k + 1) = ( A - LC )e(k )
Ù
Ù
x(k + 1) = A x(k ) + Bu(k ) + L[ y( k ) - C x( k )] Kestirici
Göz leyici leyici durum denklemine denklemine ait
Düzeltici terim
sayısal gerçekletirme diyagramı aağıda verilmitir. Gözleyici durum denklemi Ù
Ù
x(k + 1) = ( A - LC ) x (k ) + Bu (k ) + Ly (k )
4
olarak düzenlenir.
Dijital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Ayhan Özdemir.
x(k + 1)
u (k )
B
z I
Sistem
A
giriş
x( k )
-1
C
y(k)
çıkış
y(k)
B
e(k) -1
x(k)
z I
L
Kestirilen durumlar Sürekli rejimde x(k) x(k)
C x(k)
A C
Durum Gözleyici (kestirici)
Gözleyici durum denklemine denklemine ait sayısal gerçekleştirme diyagramı. Ù
Gözleyici tasarım problemi; A = A - LC matrisinde L matrisini elde edilmesi bir kutup yerleştirme problemine problemine dönüşür. Ù
Gözleyici tasarımında tasarımında,, L matrisinin var olabilmesi ve A = A - LC nin istenen öz değerlere d eğerlere sahip olabilmesi için gerek ve yeter şart ( A, C ) ’nin gözlenebilir gözlenebilir olmasıdır.
rank[O] = n,
gözlenebilirlik matris rank tam olmaldr.
æ C ö ç CA ÷ ÷ =ç O Gözlenebilirlik ç ... ÷ Matrisi çç n-1 ÷÷ è CA ø
Gözleyici’de durum geribesleme geribesleme matris L’n ’ni i n tasarımı: i- l1 , l2 ,. ,...., l n Gözlenecek sistem matrisi A ’nı ’nın n özdeğer leri leri , P( z ) gözlenecek sistem karakteristik denklemi olsun. n
P( z) = zI - A = Õ ( z - l i ) = z n + a1 z n-1 + ... + an = 0
olarak yazlabilir.
i =1
Ù
Ù
Ù
Ù
ii- l1 , l2 ,. ,...., l n gözleyici sistem matrisi A =
Ù
A - LC ’nin istenen özdeğer leri ve P( z )
GÖZLEYİCİ karakteristik denklemi olsun.
5
ise
Dijital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Ayhan Özdemir.
Ù
Ù
n
Ù
Ù
Ù
P( z) = zI - A = Õ ( z - l i ) = z n + a1 z n-1 + ... + an = 0
olarak yazlabilir.
i =1
Problem: gözleyicinin istenen öz değerlere sahip olabilmesi için L ne olmalıdır?
L’nin bulunması, daha önceden verilen yöntemlerden herhangi biri kullanarak yapılabilir. Ù
P( z ) gözleyici karakteristik denklem seçiminde , gözleyici cevap hızı durum
değişkenleri kestirilecek sistem cevap hızından 3~10 kat daha hızlı olacak şekilde seçilmesi tavsiye edilir.
L matris hesabı için aşağıda verilen verilen yöntemlerden faydalanılabilinir. I-YOL i- Gözlenecek sistem karakteristik denklemi , , P( z ) = z n
é1 a1 ê0 1 w=ê ê. . ê ë0 0
an -1 ù ú ... an-2 ú . .. .. . ú ú . .. .. 1 û ...
é C ù ê CA ú ú O=ê ê ... ú ê N -1 ú ëCA û
ve
é a1 ù êa ú 2 a=ê ú ê ... ú ê ú êë an úû
Karakteristik denklem katsaylarndan elde edilir….
gözlenebilirlik matris,
Ù
ii- Gözleyici karakteristik denklem
é aÙ ù ê 1ú êÙú Ù a a = ê 2ú ê ... ú êÙú êa ú ë nû iii-
+ a1z n-1 + ... + an = 0 olmak üzere,
Ù
Ù
P( z ) = z n + a1 z n-1 + ... + an = 0
katsaylarndan
elde edilir.
Gözleyici katsayı matrisi
-1 Ù
L = éë wT OT ùû (a - a)
6
ifadesi ile hesaplanır.
Dijital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Ayhan Özdemir.
II-YOL Ù
Olmas istenen gözleyici karakteristik denklem P( z ) = z
n
Ù
Ù
+ a1 z n-1 + ... + an = 0 olmak üzere,
L matrisi için Ackerman eşitliği eşitliği,, z = A için yazılır ,
Gözleyici katsayı matrisi
é C ù ê CA ú Ù ú L = P( A) ê ê ... ú ê n -1 ú ëCA û
-1
é0ù ê0ú ê ú ê...ú ê ú ë1 û
ifadesi ile hesaplanır.
III-YOL
Durum değişkenleri kestirilecek (gözlenecek) olan olan sistem durum denklem denklemleri leri gözlenebilir kanonik formunda ise,
Gözleyici katsayı matrisi
æ aÙ - a ö ç n n ÷ çÙ ÷ Ù a a 1 n n -1 ÷ ifadesi ile hesaplanır. L = (a- a) = ç ç .......... ÷ ç Ù ÷ ç a1 - a ÷ è ø 1
VI-YOL Ù
Tüm durum değişkenl eri eri g özlenecek özlenecek sistemde sistemde ayrık -zaman -zaman A = A - LC matrisine ait karakteristik denklem ile olması istenen gözleyici karakteristik denklemi karşılaştırılır ve katsayılar eşitlenerek durum g eri eri besleme vektörü L elde edilir., edilir., Ù
Ù
x(k + 1) = ( A - LC ) x (k ) + Bu (k ) + Ly (k ) Ù
Ù
Ù
Ù
p( z ) = z n + a1 z n-1 + ... + a n-1 z + a n = 0 Ù
Luenberger gözleyici durum denklemi
n
Ù
det( zI - ( A - LC )) = p ( z ) = z + a1 z
n-1
Olmas istenen gözleyici karakteristik denklemi. Ù
Ù
+ ... + a n-1 z + a n = 0
7
eşitlenir ve L katsayıları elde edilir.
Dijital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Ayhan Özdemir.
Örnek: D(t) Bozucu
(rüzgar) Rotor Kontrollu DC Makina
Güç Kuvvetlendirici V s i n ( w t )
q
I
K
R
İf=sbt
L
Bm
C
Anten
Ölçme
Jm
E
Uort IGBT
sürücü U(t)
u(t) X1(t)
X2(t)
Akım
X3(t)
Hız Konum
R = 5 W , L = 200 mH , Kb = 0.1 V / rad / sn
Yukarda verilen servo sisteme ait
n 1 Ki = 0.1 Nm / A , n = 1 = , J = 0. 0.02 kgm2 n2 50
parametreler yanda verilmiştir. veri lmiştir. Aşağıda verilen düzenekte görüldüğü
gibi Çıkış işaretini ölçerek
x2 (t )
x1 (t ) ,
ve x3 (t ) durum değikenlerini
kestiriniz… D(t) Bozucu
(rüzgar) Güç Kuvvetlendirici
Rotor Kontrollu DC Makina
q
K
V s i n ( w t )
R C
Uort
L
İf=sbt Bm
Ölçme Anten
Jm
E
y(t)
Çıkışş Çıkı IGBT
sürücü U(t)
Sayısal Say ısal İşlemci u(t)
x(t)
Kontrol
İşaret x1(t) : akım x2(t) : konum
x3(t) : Hız
8
Dijital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Ayhan Özdemir.
Önce sisteme sisteme ait dinamik denklemler yazılır.
Çözüm:
t-domeninde
uort (t) = Ri(t ) + L
s-domeninde
di(t ) + e(t ) dt
I (s) =
Te (t ) = K ii (t )
U ort ( s) - E ( s) Ls + R
Te ( s) = K i I (s )
e(t ) = Kb w(t ) dw (t ) Tm (t ) = J m + nTy (t ) dt
Wm ( s) =
Te ( s) - nTy ( s) Js
E (s ) = KbW(s )
Tm (t ) = Te (t )
Tm (s) = Te (s )
dq (t ) wm(t ) = m dt n q y (t ) = 1 q m (t ) = nq m (t ) n2
q m ( s ) =
Wm ( s) s
q y ( s ) = nq m (s ) S-domeni denklemler kullanılarak Rotor Kontrollü DC-makineye ait kontrol blok d iyagram aşağıda verilmiştir.
Rotor Kontrollu DC makine
Ea (t )
e(t )
1
i(t )
sL + R
T y (t ) 1 q m (t )
1
K i
Js
s wm (t )
n
q y (t )
K b x3 (t )
x1 (t )
hız
akım
x2 (t ) konum
Yukarda yazlan dinamik denklemler kullanlarak Rotor Kontrollü DC-makineye ait sürekli zaman durum denklemler aşağıda elde edilmiştir.
9
Dijital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Ayhan Özdemir.
Dinamik denklemler düzenlenir
uort (t ) = Ri(t ) + L Ki i (t ) = J
di(t ) + Kb w(t ) dt
dw(t ) + Ty (t ) dt
®
x1 (t ) = i (t )
akım
x2 (t ) = q (t )
konum
x3 (t ) = v e
dq (t ) = w(t ) dt
®
K di(t ) R 1 = - i (t ) - b w(t ) + uort (t ) dt L L L
dw(t ) K i n = i(t ) - T y (t ) ve durum değişkenleri tanımlanır dt J J
Açısal hız
durum denklemleri vektör matris formunda yazılır.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
é dx1 (t ) ù é1ù ê dt ú é- R 0 - K b ù ê ú ê L L ú é x1 (t ) ù ê L ú ê úê ú + ê 0 ú U (t ) Durum denklemleri ê dx2 (t ) ú = 0 0 1 ( ) x t ú ê 2 ú ê ú ort ê dt ú ê ú êë x3 (t ) úû ê 0 ú ê dx (t ) ú ê Ki 0 0 ê ú ê ú ê 3 ú ë J ë û û êë dt úû Ve Çıkış denklemi, y (t ) = q y (t ) = nq m (t )
é x1 (t ) ù Parametre deerleri yerlerine yazılır ise durum y(t ) = [0 n 0] êê x2 (t ) úú elde edilir. Parametre êë x3 (t ) úû denk lemleri lemleri ve katsayı matrisleri elde edilir….
é dx1 (t ) ù ê dt ú ê ú é-25 0 -0.5ù é x1 (t ) ù é5 ù ( ) dx t ê 2 ú = ê 0 0 1 ú ê x (t ) ú + ê0 ú U (t ) ú ê 2 ú ê ú ort ê dt ú ê ê dx (t ) ú êë 50 0 0 úû êë x3 (t ) úû êë0 úû ê 3 ú B A êë dt úû
é x1 (t ) ù y(t ) = [0 0.02 0] êê x2 (t )úú C êë x3 (t ) úû
denklemleri aşağıda verilen MATLAB komut yardımı ile elde edilmiştir. Ayrk--zaman durum denklemleri Ayrk
MATLAB Komutu: [G H]=c2d(A,B,T)
, T=0.004 sn 10
T =
L 10 R
alınmıştır.
Dijital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Ayhan Özdemir.
Rotor Kontrollu DC makinaya ait,
é x1 (k + 1) ù é0.9047 0 -0.0019ù é x1 (k )ù é 0.019 ù ê x (k + 1)ú = ê0.0004 1 0.004 ú ê x (k )ú + ê 0 ú u (k ) ê 2 ú ê úê 2 ú ê ú êë x3 (k + 1) úû êë 0.1903 0 0.9998 úû êë x3 (k )úû êë 0.0019úû G
durum ve
H
é x1 (k ) ù ê ú y(k ) = [0 0. 0 .02 0 ] x2 (k ) çıkı denklemleri elde edilir. ê ú êë x3 (k ) úû Gözlenebilirlik testi: Sistem matrisi 3x3 tür,
n=3 alnr.
æ ç ç ç [ 0 0.02 ç æ C ö é0.9047 ç CA ÷ æ C ö ç ç ÷ = ç CA ÷ = [ 0 0.02 0 ] ê0.0004 =ç O ê ç ... ÷ çç 2 ÷÷ ç Gözlenebilirlik ç êë 0.1903 CA Matrisi çç n -1 ÷÷ è ø ç CA è ø ç é0.9047 ç ê ç [0 0.02 0 ] ê0.0004 ç êë0.1903 è 0 0.02 0 æ ö ÷ O = çç 0.0 .000 0000 008 8 0.0 0. 02 0.0 .00 000 008 8÷ ç 0.0 000304 3046 6 0.0 0.02 2 0.0001 0.000156 56÷ø è 0.0000
rank(O) = 3
0] 0 1 0 0 1 0
ö ÷ ÷ ÷ ÷ -0.0019 ù ÷ ú÷ 0.004 ÷ ú 0.9998 úû ÷ ÷ 2 -0.0019 ù ÷ ú ÷ 0.004 ú ÷ 0.9998 úû ø÷
tüm durumlar gözlenebilir…..
Çk iareti ölçülerek akm , konum ve hz kestirilecek olan Rotor Kontrollü DC-makineye ait karakteristik denklem,
0.0019 ìé z 0 0ù é0.9047 0 -0.0019 ù ü z - 0.9047 0 ïê ï ú ê ú F ( z ) = det( zI - G ) = 0 = det íê0 z 0ú - ê 0.0004 1 0.004 ú ý = -0.0004 z - 1 -0.004 = 0 ïê0 0 z ú ê 0.1903 0 0.9998 ú ï -0.1903 0 z - 0.9998 û ë ûþ îë
F ( z ) = z 3 - 2.9045z 2 + 2.8094z - 0.9049 = 0
Rotor Kontrollü DC-makine’ ye ait karakteristik
denklem,
Karakteristik denklem kökleri, öz değerler,
z 1 = 1 z 2 = 0.9958 z 2 = 0.9086
11
Dijital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Ayhan Özdemir.
Gözleyici karakteristik denklemi:
Gözlenecek sistem zaman sabiteleri, Seçilen gözleyici karakteristik kökleri
Sistem karakteristik denklemleri:
z 1 g = 0.25
z 1 = 1
z 2 = 0.9958
z 2 g = 0.249
z 3 = 0.9086
z 3 g = 0.2271 zng = 0.25z n
yaplmtr.
Ù
P( z ) = ( z - z1 g )(z - z2 g )(z - z3 g ) = (z - 1)(z - 0.249)(z - 0.2271) = 0 Ù
P( z ) = z 3 - 1.4761z 2 + 0.5326z - 0.0565 = 0 Gözleyici Karakteristik denklem…. Ackerman Ac kerman Formülü ile hesap:
0 0.02 0 æ ö ÷ O = çç 0.0 .000 0000 008 8 0.0 0. 02 0.0 .00 000 008 8÷ ç 0.0 000304 3046 6 0.0 0.02 2 0.0001 0.000156 56÷ø è 0.0000
elde edilmişti…
tersi alnr ise
-1.3 6910 106. 6.7 7 .382 8240 40.4 .4 69 6913 133. 3.7 7ö æ 69 ç ÷ olarak elde edilir… O =ç 50 0 0 ÷ ç -199 410. 0.6 6 26 2632 3240 40.4 .4 6913 69 13.3 .3 ÷ø è 9941 -1
Ù
P( z ) = z - 1.4761z + 0.5326z - 0.0565 = 0 3
2
karakteristik denkleminde
elde edilir. 3
é0.9047 0 -0.0019 ù é0.9047 Ù P(G ) = êê0.0004 1 0.004 úú -1.4761 êê0.0004 êë 0.1903 0 0. êë0.1903 0.9998 úû é0.9047 0 -0.0019 ù é1 + 0.5326 êê0.0004 1 0.004 úú - 0.0565 êê0 êë 0.1903 0 0.9998 úû êë0
é-0.0428 0 -0.0008ù P(G) = êê 0.0013 0 0.0023 úú êë 0.0844 0 -0.0006úû Ù
12
0 1 0 0 1 0
-0.0019 ù ú 0.004 ú 0.9998 úû 0. 0ù ú 0 =0 ú 1 úû
2
z = G
Ù
yazlr ve
P(G)
Dijital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Ayhan Özdemir.
é C ù ê CG ú Ù ú L = P(G) ê ê ... ú ê n-1 ú ëCG û
-1
é0ù ê 0 ú é-0.0428 0 -0.0008 ù æ 69106.7 -1.38240.4 6699133.7 ö æ0 ö ÷ç0 ÷ ê ú = ê 0.0013 0 0.0023 ú ç 50 0 0 ç ÷ç ÷ ê ú ê...ú ç ÷ ç1 ÷ ê ú 0 . 0 8 4 4 0 0 . 0 0 0 6 1 9 9 4 1 0 . 6 2 6 3 2 4 0 . 4 6 9 1 3 . 3 ê ú ë û è øè ø ë1 û
é-2950.8 ù L = êê 71.4 úú Gözleyici kazanç matrisi elde edilir… êë 5830.2 úû MATLAB komutu ile tasarım: z1=1; z2=0.9958; % Gözlenen sistem karakterist karakteristik ik denklem kökleri. z3=0.9086; ---- Gozleyici tasarim ........... ...................... ........... po=0.25*[z1 z2 z3]; %Gözleyici istenen karakteristik denklem kutupları [L]=place(G',C',po)' %Gözleyici kazanç matrisi L hesabı
13
Dijital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Ayhan Özdemir.
D(t) Bozucu
(rüzgar) Güç Kuvvetlendirici
Rotor Kontrollu DC Makina
q
K
V s i n ( w t )
C
İf=sbt
L
R Uort
Ölçme
Bm
Anten
Jm
E
y(t)
Çıkış IGBT
sürücü U(t)
Kontrol u(t)
işareti
ADC
Sayısal İşlemci Gözleyici
ADC
0.019
H
0
L
y(k)
0.0019 -2950.8
x(t)
-1 z I
x1(t) : akım
71.4
e
5830.2
G
x2(t) : konum
x3(t) : Hız
y(k)
0.9047
0
-.0019
0.0004
1
0.004
0.1903
0
0.9998
C
[0
0.02
0
]
Gözleyici ile rotor kontrollü DC makine durum değişkenlerinin kestirilmesi….. Durum gözleyiciye ait ayrıkayrık-zaman durum denklemi aşağıda verilmiştir. Ù
Ù
Ù
x(k + 1) = A x(k ) + Bu (k ) + L[ y (k ) - C x (k )]
é xÙ ( k + 1) ù é xÙ (k ) ù é xÙ ( k ) ù ê 1 ú é0.9047 0 -0.0019 ù ê 1 ú é0.019ù ê 1 ú -2950.8ù é êÙ ú ê ú ê xÙ ( k )ú + ê 0 ú u( k ) + ê 71.4 ú [ y( k ) - [0 0.02 0 ] ê xÙ ( k ) ú] ( 1 ) 0 . 0 0 0 4 1 0 . 0 0 4 x k + = ê 2 ú ê ê 2 ú úê 2 ú ê ú ê ú Ù Ù ê ú êë 0.1903 0 0.9998 úû ê ú êë0.019úû êÙ ú êë 5830.2 úû ê x3 (k + 1) ú ê x3 (k ) ú ê x3 (k ) ú ë û ë û ë û Aşada verilen kontrol işaret ve bozucu girişleri için benzetim çalşmas yaplmştr. yaplmştr.
14
Dijital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Ayhan Özdemir.
Benzetim çalışması sonucunda , gözleyici ile kestirilen kestirilen durum değişkenleri ile gerçek zaman durum değişkenlerinin zamana göre değişimleri aşağıda sırası ile verilmiştir.
Gerçek zaman ve kestirilen hız
15
Dijital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Ayhan Özdemir.
Gerçek zaman ve kestirilen konum
Gerçek zaman ve kestirilen akım
16
Dijital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Ayhan Özdemir.
SONLU ZAMAN KONTROL (DEADBEAT CONTROL)
Sonlu zaman kontrol yalnızca ayrık -zaman sistemlere uygulanabilir. Sürekli-zaman Sürekli-zaman sistemleri için böyle bir bir sonlu zaman cevap (deadbeat response) res ponse) yoktur. Sonlu zaman kontrolde, skaler kontrol genliği u(k) snrlandrlmamş ise, herhangi bir sfr olmayan hata vektörü en fazla n-örnekleme periyodunda sıfır yapılır. Eer örnekleme periyodu T çok küçük seçilir ise, yerleşme zamanı çok küçük olur, buda olur, buda kontrol iaret genliinin çok aırı derecede dereced e büyük olmasını gerektirir. gerektirir. Aksi takdirde, takdirde, hata cevabını çok kısa sürede sıfıra getirme imkanı olmaz.
Sonlu zaman kontrol de örnekleme periyodu, tek tasarım , parametresidir . Bundan dolayı, dol ayı, sonlu-zaman sonluzaman cevap isteniyor ise, sistemin siste min normal çalıma koullarında çok aırı büyük kontr ol ol iaret genlii gerektirmemesi için tasarım ve örnekleme periyodu çok dikkatli seçilmelidir. Fiziksel olarak kontrol iaret genliini sınırsız sınırs ız büyütme imkanı yoktur. Genlik, yeteri kadar arttırıldıında doyum olayı her zaman gerçekleir. K ontrol ontrol iaret genliğinde doyum olayı gerçekleştiği zaman, cevap artık sonlu-zaman sonlu-zaman cevap olmaz. Gerçek sonlu-zaman sonlu-zaman sistem tasarımında , tasarımcı kontrol iaret genlii ve cevap hızı arasında bir tercih yapmak yapmak zorundadır. Sonlu-zaman Sonluzaman cevabı: ilee tanımlanan sistemi göz önüne alalım. x(k + 1) = Ax(k ) + Bu (k ) il Durum geri-besleme u (k ) = -Kx (k ) olmak üzere;
x(k + 1) 1) = Ax( k ) + BKx( k ) Þ bu denklemin çözümü x(k + 1) = ( A - BK ) x( k )
x(k ) = ( A - BK )k x (0) dır. 2, ....., n birim daire içinde Eğer (A(A-BK) matrisinin özdeğerleri l i , i = 1, 2, içinde iseler, sistem asimtotik olarak kararlıdır ve (A(A-BK) nın bütün özdeerlerini sıfır seçerek, l i = 0 sonlu zaman cevap elde etmek mümkündür. SonluSonlu -zaman cevapta yerleme zamanı nT den küçük n Sonlu zaman zaman kontrolde olması istenen karakteristik karakteristik denklem denklem, F ( z ) = z dir. veya eşittir. Sonlu
ÖRNEK: d 2 y(t ) = u(t ) , diferansiyel denklemi ile verilen sistemin dt 2 i) Ayrık -zaman durum denklemlerini matris formunda yazınız. ii) SonluSonlu-zaman(deadbeat) zaman(deadbeat) kontrol için için durum geri- besleme vektörü ‘’f’’ matrisini bulunuz.
1
Dijital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Ayhan Özdemir.
CEVAP:
Sürekli zaman durum denklemlerinin elde edilmesi;
y(t ) = x1 (t ) dy (t ) dx (t ) = x2 (t ) = 1 dt dt æ
ö
d ç dy (t ) ÷ dx2 (t ) = ( ) Þ = u (t ) u t dt çç dt ÷÷ dt è
x2 ( t )
ø
A B B é dx1 (t ) ù ê dt ú é0 1ù é x1 (t ) ù é0ù ê ú=ê ú ê x (t ) ú + ê1ú u (t ) dx t ( ) 0 0 ë ûë 2 û ë û ê 2 ú êë dt úû
é ù é x1 (t ) ù y(t ) = ê1 0 ú ê ú êë C úû ë x2 (t ) û
i) Ayrık -zaman -zaman durum denklemi; Ayrık zaman durum denklemi çözümü kT
x [(k + 1)T ] = f (T ) x( kT ) + ò f (l ) Bu( l ) d l 0
Vektör -matris -matris formunda
x [(k + 1)T ] = f x(kT ) + Bu(kT ) f = f (T ) =
-1
é1 T ù éë( sI - A) -1 ùû = ê ú t =T ë0 1 û
éT é1 l ù ù b = êò ê ú d l ú B 0 1 û û ë0 ë T
é l 2 ù l ú é0 ù =ê 2 ê ú êë1 úû êë 0 l úû
ìé1 l ù é0ù ü ú ê1ú ýd l 0 1 û ë ûþ 0 îë
T
veya
b = ò íê
T
é l 2 ù é T 2 ù él ù ise b = ò ê úd l = ê 2 ú = ê 2 ú ê ú ê ú 1 0 ë û êë l úû 0 êë T úû T
2
Dijital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Ayhan Özdemir.
é T 2 ù é T 2 ù 0 T úé ù Þb = ê ú =ê 2 ê2 ú ê ú êë1 úû êë 0 T úû êë T úû -------------------------------------------------------------------------------------------------
Diğer yol ile çözüm…. é1 T ù ú olarak hesaplanmt…. 0 1 ë û
f (T ) = ê
é T - At ù é1 T ù é T é1 -t ù ù é 0ù g (T ) = f (T ) ê ò e dt ú B = ê ú ê ò ê0 1 údt ú ê 1ú 0 1 ë û ë0 ë û ûë û ë0 û T éé t 2 ù ù é1 T ù ê êt - ú ú é0ù =ê 2 úê ú úê ë0 1 û ê êê0 t úú ú ë1û û0 û ëë 2 é ù T é1 T ù êT - ú é0ù =ê 2 úê ú úê 0 1 1 ë û ê0 T úû ë û ë
é T 2 ù
é1 T ù ê- ú =ê 2 ú ú ë0 1 û ê ëê T ûú
é 2 T 2 ù é T 2 ù T - ú ê ú =ê 2 ú=ê 2 ú ê ëê T ûú ëê T ûú ----------------------------------------------------------------------------------------------------
é T 2 ù é x1 [(k + 1)T ] ù é1 T ù é x1 ( kT ) ù ê ú ê ú=ê ú ê x ( kT ) ú + ê 2 ú u( kT ) + x k T ( 1 ) 0 1 [ ] ûë 2 û ë 2 û ë ëê T ûú Ayrık zaman karakteristik denklemini yazarsak;
p( z ) = zI - f =
z -1 0
T = z 2 - 2 z +1 = z 2 + a z + a2 açık çevrim karakteristik z - 1 1
denklem denk lem ve denklemde denklemden, n, a1 = -2 a2 = 1 olduu görülür. 3
Dijital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Ayhan Özdemir.
Ù
p( z ) = z 2 = z 2 + a z + a2 istenen karakteristik denklem. Katsaylar a = a2 = 0 1
1
éT é1 a1 ù é1 -2ù ve s = [b f b ] = ê 2 =ê w=ê ú ú ê ë0 1 û ë 0 1 û ëê T
2
3T ù 2
ú
2 ú
T ûú
é T 2 ê2 T T w s =ê 2 ê T êë 2
dr.
ù
T ú
ú ú -T ú û
Ù é0ù é-2ù é 2 ù ( a - a) = ê ú - ê ú = ê ú ë0û ë 1 û ë -1û
é1 Ù êT 2 T T f = w s (a - a ) = ê ê1 ëê 2T
1 ù
T ú Þ ú -1 ú 2T ûú 2
durum geri-besleme matrisi,
é 1 ù ê T 2 ú f = ê ú 3 ê ú ëê 2T ûú
Kapalı çevrim sistem matrisi;
é T 2 ù é1 T ù ê ú é 1 f - bf T = ê ú - ê 2 ú êT 2 0 1 ë û ê T ú ë ë û
é 1 T ù 3 ù ê2 4ú =ê ú 2T úû ê -1 -1ú êë T 2 úû
Kapalı çevrim karakteristik denklemi ;
Ù
p( z ) = zI - f + bf T
T ù é 1 z ê 2 4 ú 2 =ê ú = z 1 ê 1 z + ú êë T 2 úû
Kontrol işareti u(kT) yi inceleyelim;
é1 2 ë T
u(kT ) = - f T x (kT ) = - ê
3 ù é x1 (kT ) ù é x1 (kT ) ù é1ù T ê ú ;ê ú=ê ú 2 úû ë x2 (kT ) û ë x2 (kT )û ë1û
K=0;
é1 2 ëT
u(0) = - ê
3 ù é x1 (0) ù é1 Túê = -ê 2 ú 2 û ë x2 (0)û ëT
3 ù é1ù 1 3T T ú ê ú => u (0) = - + 2 û ë1û T 2
K=1;
NOT
4
olarak elde edilir.
Dijital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Ayhan Özdemir.
x [(k + 1)T ] = éëf - bf T ùû x(kT ) u (1) = - f T x(T )
k = 0
= - f T éëf - bf T ùû x(0)
x(T ) = éëf - bf T ùû x(0)
é1 3 ùê 2 T ê 2 úû ê -1 ëê T
é1 = -ê 2 ë T
u (1) =
1
T2
x1 (0) +
1 2T
k = 1;
T ù
4 ú é1ù ú -1 ú êë1úû
x( 2T ) = éëf - bf T ùû x(T ) x( 2T ) = éëf - bf T ùû éëf - bf T ùû x(0)
2 ûú
2
x( 2T ) = éëf - bf T ùû x(0
x2 (0)
... n
x(nT ) = éëf - bf T ùû x (0) K=2;
u(2T ) = - f T x(2T ) 2
= - f T éëf - bf T ùû x(0) u(2T ) = 0
u(t)
1 - e sT
s
u(t)
1 x2 (t ) 1 x1 (t ) H
Sayısal İşlemci u(k)
s
s ı z
K2 K1
5
K o n u m
q (t )
Dijital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Ayhan Özdemir.
6
Dijital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Ayhan Özdemir.
7
Dijital Kontrol Sistemleri Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Ayhan Özdemir.
8
