Otomatik Kontrol Sistemleri - Sakarya Üniversitesi - Vize Hazırlık Soruları

       

S.1)

Şekilde sıvı tank sisteminde H yüksekliği kontrol edilmek istenmektedir. Giriş sıvı debisi

Qi Vg

pompa

Ki

H qo qo 1

2

ile tank doldurulmakta ve her bir çıkış debisi

olan N

adet çıkıştan boşalmaktadır. A sıvı tank alanı ve olmak üzere, a) Sıvı seviye sistemine ait dinamik denklemleri t ve s domeninde yazınız. H ( s) transfer fonksiyonunu elde ediniz. G ( s)  Vg ( s )

qo N

V K i  1 , A  1 m 2 , K 2  1 m 2 / sn V ÇÖZÜM: a) t-domeins-domein dH 1. qi  Nq0  A dt

5. Qi ( s )  Q0 ( s )  AsH ( s ) 6. Qi ( s )  Vg K1

2. qi  Vg K1 3. q0  K 2 H (t ) dH 4. K1Vg (t )  NK 2 H (t )  A dt

7. Q0 ( s )  K 2 H ( s ) 8. H ( s )( As  NK 2 )  K1Vg ( s )

Açık çevrim sisteme ait transfer fonksiyon 8. Nolu denklemden faydanılarak aşağıdaki gibi yazılabilir. K1 H (s)  Vg ( s ) As  NK 2

    S.2) 

Yanda verilen şekilde motor mili, yay sistemine bağlanarak konum kontrolü yapılmak istenmektedir. Verilen sisteme göre; a) x (t )   ile  u (t ) arasında  sistemi  tanımlayan  dinamik  ÇÖZÜM: a) t-domein 1. ea (t )  u (t ) K

denklemleri t‐domeni ve s‐domeni  için yazınız.   b) D(z)  kontrolcülü  sisteme  ait  kapalı  çevrim  kontrol  blok  diyagramını  çiziniz.(Tyük(t)=r.Fyay,  k  yay  sabiti,  r  disk  yarı  s-domein çap, J rotor ataleti, B=0, L=0, x (t)=r.θ(t)) 

1. Ea ( s)  U ( s ) K

3. Te (t )  K i .ia (t )

Eb ( s )  Ea ( s ) R 3. Te ( s)  K i .I a ( s)

4. eb (t )  K b w(t )

4. Eb ( s )  K b ( s )

5. F  k .x(t ) 6. Ty (t )  Fr  k .x(t ).r

5. F  k . X ( s) 6. Ty ( s )  k .r. X ( s )

2. eb (t )  ea (t )  R.ia (t )

7. Tm (t )  J

dw  Ty dt

d dt 9. Te (t )  Tm (t )

8. w(t ) 

10. x(t )  r. (t )

2. I a ( s) 

7. Tm (s)  Js(s)  Ty ( s)  8. ( s )   ( s ) s   ( s )  9. Te ( s )  Tm ( s ) 10. X ( s )  r. ( s )

1

Tm ( s)  Ty ( s)

( s ) s

Js

 ( s )

b) k .r

Y ( z)

1 ( s ) 1  ( s ) s sJ

1 Ia R

1  e  sT s

r

X ( s)

Yr ( z )

 

  S.3)   

Yanda verilen kontrol sistemi için, a) Sistemin ayrık-zaman açık çevrim transfer fonksiyonunu elde ediniz.

0.75 s2  s

 

 

a)   A.Ç.T.F =  G( z)H ( z) =  K pGs ( z ) H ( z )    

1  e  sT 0.75   1  1 G( z)  Z    0.75(1  z ) Z  2   s ( s  1)   s ( s  1)   s  1 z d  2 1 z    G ( z )  0.75(1  z 1 ) ( s  1) 2 s    s ( s  1) z  e sT s 1 ds  s 2 ( s  1) z  e sT  s 0    

 1 z G ( z )  0.75(1  z 1 )  2 sT  s z  e

 s 1

d  1 z     ds  ( s  1) z  e sT  s 0 

 

z d  z  z 1     G ( z )  0.75       sT sT   z   z  0.905 ds  sz  se  z  e  s  0   

 0  z ( z  e sT  sTe sT  Te sT )   z  z  1    G ( z )  0.75       ( sz  se sT  z  e sT )2  z   z  0.905   s 0   

z  z ( z  1.1)  0.0038 z  0.0034  z 1   G ( z )  0.75       ( z  1) 2  ( z  1)( z  0.905)  z   z  0.905   A.Ç.T.F= K G ( z ) = K

0.0038 z  0.0034 ( z  1)( z  0.905)

2

S.4

R( s)

Yanda  blok diyagramı verilen sistem için; 

G1 ( s )

1 s

G2 ( s )

?

Y ( s)

Kb s

R( s)

G1 ( s )

1 G2 ( s )

G2 ( s )

1 s

Y (s)

G2 ( s ) G2 ( s ) s  G (s) 1  2 sK b s  G2 ( s ) sK b s

sK b s G2 ( s) R(s)

G1 ( s)

G2 ( s ) s  G2 ( s ) sK b

Y ( s)

G1 ( s )G2 ( s ) s  G2 ( s) sK b Y ( s) G1 ( s )G2 ( s )   s R ( s ) 1  G1 ( s )G2 ( s ) s  sG2 ( s ) K b  sG1 ( s ) s  G2 ( s ) sK b G2 ( s )

S.5)

Yukarıda, alan kontrollü DC-makine, sayısal işlemci, güç kuvvetlendirici K ve hız ölçer Kv verilmektedir. ayrık-zaman sayısal hız kontrolü gerçekleştirilmek istenmektedir. (Viskoz sürtünme B = 0) a) Kapalı çevrim prensip kontrol devresini çiziniz.  b) Sisteme ait t‐domeni denklemleri yazınız. Her bir blok transfer fonksiyonlarını elde ederek, kapalı çevrim kontrol  blok diyagramını çiziniz. 

C.5 a) Ayrık-zaman sayısal kontrol yapılacağından, sürekli zaman işaretler Analog Dijital Dönüştürücü (ADC) ile T örnekleme zaman aralıkları ile örneklenir ve sayısala dönüştürülür. Kontrol kuralı sayısal işlemci ile işlenir ve sayısal kontrol işareti üretilir. Bu sayısal kontrol işareti aynı örnekleme zaman aralığında Digital Analog Dönüşütrücü (DAC) ile tekrar sürekli zaman işarete dönüştürülerek kuvvetlendirici üzerinden sistem girişine uygulanır. Ayrık-zaman sayısal prensip kontrol devresi aşağıda verilmiştir.

3

b) Önce Alan Kontrollü DC-makineye ait denklemler yazılır. di (t ) 1-) e f (t )  R f i f (t )  L f f dt 2-) Te (t )  K i i f (t ) 3-) Tm (t )  J

elektrik moment

dw(t )  Ty dt

mekanik moment

4-) Te (t )  Tm (t ) (sürekli rejimde) not: rotorun sabit akım kaynağı ile beslendiği kabul edildiğinden zıt emk söz konusu olmaz. t- domeninde elde edilen 1-4 denklemlerinin Laplace dönüşümleri aşağıda verilmiştir. 1-) E f ( s )  R f I f ( s )  sL f I f ( s )

 I f (s) 

E f ( s) sL f  R f

2-) Te ( s )  K i I f ( s ) 3-) Tm ( s )  sJ ( s )  Ty ( s )

 ( s ) 

4-) Te ( s )  Tm ( s ) (sürekli rejimde)

S-6)

r (t )

i) ii) ii)

y (t ) 0.8 50s  1

Tm ( s )  Ty ( s ) sJ

5 basamak giriş için; ifadesini elde ediniz. ? elde ediniz. ’nin son değerini y ( )  lim y ( kT ) ve y ()  lim( z  1)Y ( z ) k 

ifadelerinden ayrı ayrı hesaplayınız. i) Y (s)  R* ( s)G(s)  Y * (s)  R* (s)G* ( s)  Y ( z )  R( z )G( z ) z r (t )  5u (t )  R( z )  5 z 1  0.8  0.8  1     0.8  50 Z  G ( z )  Z G ( s )T 5 s  Z  Z     50 s  1 T 5 s  s  150 T 5 s 50  s  150 T 5 s

0.8  1 1 z s  G( z)  sT 50 50  s 1 z e 50 

 0.016 z   z  0.905 s 1/ 50   T 5 s 4

z 1

Y ( z )  R( z )G ( z )  5

z 0.016 z 0.08 z 2  z  1 z  0.905 ( z  1)( z  0.905)

ii) 1.yol rezidü yöntemi kullanılarak, 0.08 z 2 0.08 z 2 y ( k )  ( z  1) z k 1  ( z  0.905) z k 1 ( z  1)( z  0.905) ( z  1)( z  0.905) z 1 z  0.905

y(k )  0.842  0.762*0.905k 2.yol basit kesirlere ayırma yöntemi kullanılarak, Y ( z) 0.08 z A B     A  0.842, B  0.762 z ( z  1)( z  0.905) ( z  1) ( z  0.905)

Y ( z ) 0.842 0.762 0.842 z 0.762 z      y (k )  0.842  0.762*0.905k z z  1 z  0.905 z 1 z  0.905 0.08 z 2 0.08*12 iii) y ()  lim( z  1)Y ( z )  lim( z  1)   0.842 z 1 z 1 ( z  1)( z  0.905) (1  0.905)

y ()  lim y (k )  lim  0.842  0.762*0.905k   0.842 k 

k 

 

S-7

ic

u

K

Uort

R C

Vc

a) Şekilde verilen devrede R sabittir. Kapasite değeri ise k C (t )  c kondansatör uç gerilimi ile ters orantılı olarak Vc (t ) değişmektedir. Sistemi tanımlayan lineer olmayan diferansiyel denklemi elde ediniz. b) Çalışma noktası için çıkış kondansatör gerilimi Vc (t )  V0 olmak Vc (t ) üzere lineerleştirilmiş  A*Vc (t )  B*u (t ) yi elde ediniz. t

Vc ( s)   c) lineerleştirilmiş sistem transfer fonksiyonu ve D(s) kontrolör olmak üzere, çıkış kondansatör   u ( s)     gerilimi Vc (t )  V0 civarında kontrol edilmek istenmektedir. Sürekli-zaman kapalı çevrim kontrol blok     C-7) a) uort (t)  K  u(t)

uort (t)  Ric (t)  Vc (t) ve ic (t)  C (t) 

d Vc (t) olduğuna göre; dt

d Vc (t)  Vc (t) olarak elde edilir. Buradan; dt k d Vc (t) uort (t)  Vc (t)  burada C (t)  c soruda belirtildiği gibi denklemde yerine koyulduğunda; Vc (t) dt RC (t)

uort (t)  R  C (t) 

d Vc (t) uort (t)  Vc (t) V (t) V (t) 2   uort (t) c  c olarak elde edilir. kc dt Rk Rk c c R Vc (t) 5

f1 

d Vc (t) V (t) V (t) 2  uort (t) c  c lineer olmayan diferansiyel denklem. dt Rkc Rkc

b) Vc (t)  V0 olmak üzere;

 f  A*   1   Vc (t) V0 ,u0

 f  B*   1   u (t) V0 ,u0

  Vc (t) Vc (t) 2   (t) u     ort  Rk Rkc   u0 2V0 c        Rkc Rkc Vc (t)    

  Vc (t) Vc (t)2    u  (t)   ort  Rk Rkc   V0 c       Rkc u (t)    

A* 

u0  2V0 Rkc

B* 

V0 Rkc

c)

Vc (s) B*  u (s) s  A*

sVc (s)  A* Vc (s)  B*u (s)

D (s) kontrolör olmak üzere sürekli-zaman

kapalı çevrim kontrol blok diyagramını çiziniz.

u (s)

D(s)

B* Vc (s) s  A*

Sürekli-zaman kapalı çevrim kontrol blok diyagramını  

6