30.03.2015
OTOMATİK KONTROL ÇALIŞMA SORULARI VE CEVAPLARI
S-1)
Yanda blok diyagramı verilen sistem için;
A(s)
s
a) c B(s)
R( s)
k
b) sisteme ait blok diyagram
1
X(s)
1
m
1 s
Y (s)
R( s)
s
G (s)
Y (s)
şeklinde düzenlenmek istendiğinde G(s)=?
a) 1.yol, Doğrudan blok diyagramı üzerinden 1-) B(s) c(sR(s) A(s))
5-) 4 numaralı denklem 1’de yazılır ise B(s) c sR(s) sY ( s)
2-) X (s) B(s) k ( R(s) Y (s))
6-) 4 ve 5 numaralı denklemler 2’de yazılır ise
sm sY (s) c sR(s) sY (s) k R(s) Y (s) X ( s) X ( s) smA( s) sm A( s) 4-) Y ( s) A( s) sY ( s) s
s 2 mY (s) scR(s) scY (s) kR(s) kY (s)
3-) A( s)
Y (s) s 2 m sc k R(s) sc k
Y (s) sc k 2 R( s) s m sc k
2.yol,
1 s m sc
s
2
c
R( s)
1
k
sc
m
1
1 s
Y (s)
s
k
k s m sc k 2
R( s) k
sc
1 s m sc
Y (s)
2
k
sc k R( s) k
k 2 s m sc k
Y (s)
Y (s) sc k 2 R( s) s m sc k
b)
R( s)
G (s)
Y (s) sc k 2 Y (s) G( s) sc k s m G(s) 2 sc k R( s ) 1 G ( s) 1 sm 2 sm
S-2)
y (t ) 0.8 50s 1
r (t ) T=5s
i) ii) iii)
basamak giriş için; ifadesini elde ediniz. elde ediniz. ’nin son değerini y() lim y(kT ) ve y() lim( z 1)Y ( z ) k
z 1
ifadelerinden ayrı ayrı hesaplayınız.
i) Y (s) R (s)G(s) Y (s) R (s)G (s) Y ( z) R( z)G( z) *
*
r (t ) 5u(t ) R( z ) 5
*
z z 1
G ( z ) Z G ( s )T 5 s
0.8 1 0.8 0.8 50 Z Z Z 1 1 50 s s 50s 1T 5 s 50 50 T 5 s T 5 s
0.8 1 1 z s G( z ) sT 50 50 s 1 z e 50
Y ( z ) R( z )G( z ) 5
*
0.016 z z 0.905 s 1/ 50 T 5 s
z 0.016 z 0.08 z 2 z 1 z 0.905 ( z 1)( z 0.905)
ii) 1.yol rezidü yöntemi kullanılarak,
y(k ) ( z 1)
0.08 z 2 0.08 z 2 z k 1 ( z 0.905) z k 1 ( z 1)( z 0.905) ( z 1)( z 0.905) z 1 z 0.905
y(k ) 0.842 0.762*0.905k 2.yol basit kesirlere ayırma yöntemi kullanılarak,
Y ( z) 0.08 z A B A 0.842, B 0.762 z ( z 1)( z 0.905) ( z 1) ( z 0.905) Y ( z ) 0.842 0.762 0.842 z 0.762 z y(k ) 0.842 0.762*0.905k z z 1 z 0.905 z 1 z 0.905
iii) y () lim( z 1)Y ( z ) lim( z 1) z 1
z 1
0.08 z 2 0.08*12 0.842 ( z 1)( z 0.905) (1 0.905)
y() lim y(k ) lim 0.842 0.762*0.905k 0.842 k
k
S-3) Şekilde K(V/V) gerilim kuvvetlendirici olmak üzere endüktans değerinin L( i )
k olarak değiştiği i( t )
verilmiştir. Buna göre;
i u(t)
K
a) L
f1
a) Sistemi tanımlayan diferansiyel denklemleri yazınız. i( t ) i0 ,
R
uu(V)
u( t ) u0 çalışma noktası için sistemi lineerleştiriniz. L
b) Lineerleştirilmiş sistem için D( z ) ayrık zaman sayısal kontrolcü olmak üzere kapalı çevrim kontrol blok diyagramını çiziniz.
di( t ) di( t ) R 1 k ve uu ( t ) L Ri( t ) eşitliği kullanılarak i 2 ( t ) u( t )i( t ) elde edilir. dt dt k k i( t )
R 2 1 i ( t ) u( t )i( t ) k k
2R 1 f A* 1 i0 u0 k k i i0 ,u0 i f B* 1 0 u i0 ,u0 k
Δi( t ) A* Δi( t ) B* Δu( t ) Δt
Alternatif YOL: Durum değişkeni tanımlanarak benzer şekilde doğrusallaştırma yapılabilir.
i( t ) x1( t ) durum değişkeni olarak seçilir.
dx1( t ) R 1 x1( t )2 ( t ) u( t ) x1( t ) dt k k
f1
R 1 x1( t )2 u( t )x1( t ) k k
Lineerleştirilmiş Durum denklemi
f 2R 1 A* 1 x10 u0 k k x1 x10 ,u0
i Δi( t ) 2R 1 i0 u0 Δi( t ) 0 Δu( t ) Δt k k k
x f B* 1 10 k u x10 ,u0
olarak yazılır.
x Δx1 ( t ) * Δx ( t ) 2R 1 A Δx1 ( t ) B* Δu 1 x10 u0 Δx1( t ) 10 Δu( t ) Δt Δt k k k Durum denkleminin Laplace dönüşümü alınır ise, i 2R 1 i0 u0 ΔI( s ) 0 ΔU( s ) s k k k
i0 / k ΔI( s ) ΔU( s ) s 2Ri0 1 u 0 k k transfer fonksiyonu elde edilir.
x10 1 2R s x10 u0 ΔX 1 ( s ) ΔU( s ) k k k x10 / k Δx1 ( s ) ΔU( s ) s 2Rx10 1 u 0 k k
Ir(z)
D(z)
+-
1 e sT s
T
i0 / k 2Ri0 1 s u0 k k
I(s)
T
b)
Şekilde sıvı tank sisteminde H yüksekliği kontrol edilmek istenmektedir. S-3)
Giriş sıvı debisi
olan N adet çıkıştan boşalmaktadır. A sıvı tank alanı ve olmak üzere, a) Sıvı seviye sistemine ait dinamik denklemleri t ve s domeninde
Qi Vg
pompa
Ki
H
qo qo 1
2
ile tank doldurulmakta ve her bir çıkış debisi
qo
yazınız. G ( s)
H ( s) transfer fonksiyonunu elde ediniz. Vg ( s)
.
N
V Ki 1 , A 1 m2 , K 2 1 m2 / sn V a) t -domein
1. qi Nq0 A
dH dt
5. Qi (s) Q0 (s) AsH (s) 6. Qi (s) Vg K1
2. qi Vg K1 3. q0 K2 H (t ) 4. K1Vg (t ) NK 2 H (t ) A
7. Q0 (s) K2 H (s) dH dt
8. H (s)( As NK2 ) K1Vg (s)
Açık çevrim sisteme ait transfer fonksiyon 8. Nolu denklemden faydanılarak aşağıdaki gibi yazılabilir. K1 H ( s) Vg ( s) As NK 2
S-4) Yanda verilen şekilde motor mili, yay sistemine bağlanarak konum kontrolü yapılmak istenmektedir. Verilen sisteme göre;
i=sbt f
ia R u(t)
Tyük
L=0
a)
J
B=0
(t)
x(t ) ile u (t ) arasında sistemi tanımlayan dinamik
denklemleri t-domeni ve s-domeni için yazınız. b) D(z) kontrolcülü sisteme ait kapalı çevrim kontrol blok diyagramını çiziniz.(Tyük(t)=r.Fyay, k yay sabiti, r disk yarı çap, J rotor ataleti, B=0, L=0, x (t)=r.θ(t))
r
Kt
ea(t) e(t) b
K
k
Vw x(t)
a) t-domein
s-domein
1. ea (t ) u(t ) K
1. Ea (s) U (s) K
2. eb (t ) ea (t ) R.ia (t )
2. I a (s)
3. Te (t ) Ki .ia (t )
3. Te (s) Ki .I a (s)
4. eb (t ) Kb w(t )
4. Eb (s) Kb (s)
5. F k.x(t )
5. F k. X (s)
6. Ty (t ) Fr k.x(t ).r
6. Ty (s) k.r. X (s)
7. Tm (t ) J 8. w(t )
dw Ty dt
Eb ( s) Ea ( s) R
7. Tm (s) Js(s) Ty (s)
d dt
8. (s) (s)s (s)
9. Te (t ) Tm (t )
Yay uzunluğu
x r
Yay uzunluğu 10. x(t ) r. (t )
Tm (s) Ty (s) Js
( s)
( s) s
9. Te (s) Tm (s) 10. X (s) r. (s)
r
b) k.r
Y ( z)
D(z) T
Yr ( z )
1 e sT s
ut
K
Ea Eb
Ty
1 Ia Ki R
Te=Tm
Kb Ayrık-zaman Sayısal Kontrolör
T
1 (s) 1 (s) s sJ
DC Motor
r
X ( s)
S-5) T= 0.1 sn için r(t) u(t) için C(z) ’i elde ediniz. C() değerini hesap ediniz. R(s)
1 s(s 1)
ZOH
C(s)
1 z z s r(t) u(t) R(s) R (z) s z 1
z esT
A(s)
R(s)
A*(s)
G(s)
ZOH
C(s) 1 s s 1
Not: Aşağıdaki çıkarım bilgi içindir.
C z ifadesi verilen kontrol blok diyagramından doğrudan yazılabilir. R z
A s R s C s
A* s R* s C* s * C s R* s C* s Gzoh s G s C * s R* s C * s GGzoh s *
* * C* s R* s GGzoh s C* s GGzoh s
* * C* s C* s GGzoh s R* s GGzoh s
C s R s *
*
C* s R* s
C z R z
* GGzoh s
* 1 GGzoh s
* GGzoh s
* 1 GGzoh s
GGzoh z
1 GGzoh z
Doğrudan yazınız!
1 1 1 1 e sT z 1 1 GGzoh z Z Gzoh s G s Z Z 2 1 z Z 2 z s s s 1 s s 1 s s 1 n
X ( z) i 1
1 d m1 z ( s si )m X ( s) m 1 (m 1)! ds z esT s si
GGzoh z
z 1 1 z s 1 2 sT z s s 1 z e
GGzoh z
z 1 1 z d z z s 2 z e sT s 1 ds s 1 z e sT s 0
2 d 1 z s 0 2 sT ds s s 1 z e s 1
s 0
'
f f ' g fg ' ' , fg f ' g fg ' 2 g g ' sT z 1 1 z d z s 1 z e GGzoh z z 12 z e 1*0.1 ds s 1 z e sT 2 s 0
z s 1' z e sT s 1 z e sT ' z 1 z d GGzoh z 2 z z 0.9048 ds s 1 z e sT s 0
sT sT z 1 z d z z e s 1 Te GGzoh z 2 z z 0.9048 ds s 1 z e sT s 0 z z e0T 0 1 Te0T z 1 z GGzoh z 2 z z 0.9048 0 1 z e0T
GGzoh z
z z 1 T z 1 z 2 z z 0.9048 z 1
GGzoh z
z z 1 0.1 z 1 z 2 z z 1 z 0.9048
GGzoh z
z 1 z z 1 z z 1.1 2 z z 0.9048 z z 1
GGzoh z
z 1 z 1.1 z 0.9048 z 1
z 1 z 1.1 z 0.9048 z 2 2 z 1 z 2 0.9048 z 1.1z 0.99528 GGzoh z z 2 z 0.9048z 0.9048 z 0.9048 z 1 2
GGzoh z
0.0048z 0.00472 z 1.9048z 0.9048 2
0.0048 z 0.00472 C z 0.0048 z 0.00472 z 1.9048 z 0.9048 2 R z 1 0.0048 z 0.00472 z 1.9048 z 0.9048 0.0048 z 0.00472 2 z 1.9048 z 0.9048 2
C z R z
C z
0.0048 z 0.00472 z 2 1.9 z 0.90952
R z
z z 1
0.0048z 0.00472 z z 2 1.9 z 0.90952 z 1
C () lim( z 1)C ( z ) z 1
C () lim ( z 1) z 1
0.0048z 0.00472 z 0.0048z 0.00472 0.0048 0.00472 lim 2 1 2 z 1 z 1.9 z 0.90952 z 1 z 1.9 z 0.90952 12 1.9 0.90952
S-6) Rf ef (t)
ia =sbt
if
Lf
J w
Ty
ref
Sayısal İşlemci
u
Güç Kuv. K
Hız ölçer Kv
giriş
Yukarıda, alan kontrollü DC-makine, sayısal işlemci, güç kuvvetlendirici K ve hız ölçer Kv verilmektedir. ayrıkzaman sayısal hız kontrolü gerçekleştirilmek istenmektedir. (Viskoz sürtünme B = 0) a) Kapalı çevrim prensip kontrol devresini çiziniz. b) Sisteme ait t-domeni denklemleri yazınız. Her bir blok transfer fonksiyonlarını elde ederek, kapalı çevrim kontrol blok diyagramını çiziniz.
Ayrık-zaman sayısal kontrol yapılacağından, sürekli zaman işaretler Analog Dijital Dönüştürücü (ADC) ile T örnekleme zaman aralıkları ile örneklenir ve sayısala dönüştürülür. Kontrol kuralı sayısal işlemci ile işlenir ve sayısal kontrol işareti üretilir. Bu sayısal kontrol işareti aynı örnekleme zaman aralığında Digital Analog Dönüşütrücü (DAC) ile tekrar sürekli zaman işarete dönüştürülerek kuvvetlendirici üzerinden sistem girişine uygulanır. Ayrık-zaman sayısal prensip kontrol devresi aşağıda verilmiştir.
Rf ref
Sayısal İşlemci
u
DAC
u
Güç Kuv. K
ef (t)
ia =sbt
if
Lf
Hız Ölçer
J w
Kv
giriş
ADC
b) Önce Alan Kontrollü DC-makineye ait denklemler yazılır. 1-) e f (t ) R f i f (t ) L f
di f (t ) dt
2-) Te (t ) Ki i f (t )
3-) Tm (t ) J
elektrik moment
dw(t ) Ty dt
mekanik moment
4-) Te (t ) Tm (t ) (sürekli rejimde) not: rotorun sabit akım kaynağı ile beslendiği kabul edildiğinden zıt emk söz konusu olmaz.
t- domeninde elde edilen 1-4 denklemlerinin Laplace dönüşümleri aşağıda verilmiştir.
1-) E f ( s) R f I f ( s) sL f I f (s )
I f (s)
E f ( s) sL f R f
2-) Te ( s) Ki I f (s) 3-) Tm ( s) sJ ( s) Ty (s )
( s )
4-) Te (s) Tm (s) (sürekli rejimde)
Tm ( s) Ty (s ) sJ
C(t)
T(s) y *
u
ref
u
D(z) T
1esT s
u
K
E(s) f
1 sL+R f f
I(s) f
Ki
T(s) m T(s) e
s
1 sj
Kv T
S-7)
Td(s) E(s)
R(s)
G1(s)
G2(s)
G3(s)
540
1.2 s 1
1 2s 0.5
C(s)
G4(s) 0.1 Yukarıda verilen kapalı çevrim kontrol blok diyagramında, a) b)
E(s) hata fonksiyonunu bulunuz.
Td t 2u(t) için eTd değerini hesap ediniz.
a) Kapalı çevrim kontrol blok diyagramında iki adet giriş olduğundan, E(s) ifadesi süperpozisyon teoremi kullanılarak elde edilecektir.
1- Td(s)=0 için
G5(s) R(s)
E(s)
G1(s)
G2(s)
G3(s)
540
1.2 s 1
1 2s 0.5 G4(s) 0.1
C(s)
G6(s) R(s)
E(s)
G1(s) 540
G2(s)G3(s)G4(s) 1+G2(s)G3(s)G4(s)
C(s)
G6(s) R(s)
E(s) G1(s)G2(s)G3(s)G4(s) 1+G2(s)G3(s)G4(s)
C(s)
E s R s C s
C s E s G5 s E s R s E s G6 s
E s R s
1 1 G6 s
G1(s) 540
Td(s) G2(s)
1.2 s 1
B(s)
E(s)
A(s)
2- R(s)=0 için
G3(s)
1 2s 0.5 G4(s) 0.1
E s C s A s C s G1 s C s G 4 B s A s G 2 s Td s C s B s G3 s
C(s)
A s E s G1 s E s G 4
B s E s G1 s E s G 4 G 2 s Td s
C s E s G1 s E s G 4 s G 2 s Td s G3 s
E s E s G1 s G 2 s G3 s E s G 4 s G 2 s G 3 s Td s G 3 s
E s 1 G1 s G 2 s G3 s G 4 s G 2 s G3 s Td s G 3 s E s Td s
E s
Td s
G3 s
1 G1 s G 2 s G 3 s G 4 s G 2 s G 3 s
G3 s
1 G1 s G 2 s G 3 s G 4 s G 2 s G 3 s
Girişler için E(s) çıkış ifadesi aşağıda verilmiştir.
E s E r s E Td s R s
G3 s 1 Td s 1 G6 s 1 G1 s G 2 s G 3 s G 4 s G 2 s G 3 s
b)
E s fonksiyonuna ait sonsuzdaki değeri son değer teoremi kullanılarak çözülür.
eTd limeTd t limsE td s t
s 0
eTd limsE td s limsTd s s 0
s 0
G3 s
1 G1 s G 2 s G 3 s G 4 s G 2 s G 3 s
Td t 2u(t) için laplace dönüşümü Td s
2 dir. s
1 2 2s 0.5 eTd lim s s 0 s 1.2 1 1.2 1 1 540 0.1 s 1 2s 0.5 s 1 2s 0.5
1 2 4 2* 0 0.5 eTd lims 0.00308 s 0 s 1.2 1 1.2 1 1 1296 0.24 1 540 0.1 0 1 2* 0 0.5 0 1 2* 0 0.5