DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR 1. Derivadas
La derivada de una función una función mide la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable su variable independiente. La independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la l a variable independiente se torna cada c ada vez v ez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una función en un punto dado. 2. Noción de derivada de una función en un punto
Sea una función y = f(x), a partir de ella se puede definir defi nir otra función, y' = f '(x), llamada "derivada de f(x)", que va a jugar un papel fundamental en todo el Cálculo Infinitesimal, tal como vamos a ir viendo en éste y en posteriores temas. Pero comencemos por la definición de derivada en un cierto punto, digamos x = xo, de la función y = f(x) es:
Suponiendo que este límite exista (en cuyo caso se dice que f que f es es derivable en xo). A esta cantidad h se la llama "incremento de x de x", ", en muchas ocasiones se la suele representar como D x (recuerde por ejemplo en Física el concepto de "incremento de temperatura", etc.), y puede ser tanto positiva ("incremento positivo") como negativa ("decremento"). 3. Derivadas parciales
Para determinar la velocidad o el ritmo de cambio de una función de varias variables respecto a una de sus variables independientes se utiliza el proceso de derivación parcial. 3.1 Derivadas parciales de una función de dos variables Si z = f(x, y) las primeras derivadas parciales de f con respecto a las variables x e y son las funciones definidas como
+ ℎ , − , = , = ,: lim →0 ℎ , ℎ + − , = , = ,: lim →0 ℎ Siempre y cuando el límite exista. Observación: La definición indica que para calcular
se considera y constante
se considera x constante
derivando con respecto a “x” y para calcular
derivando con respecto a “y”. Pueden aplicarse por tanto las reglas usuales de derivación. 3.2 Interpretación geométrica de las derivadas parciales Si =
= 0 entonces z = f(x, 0 ) representa la curva intersección de la superficie z f(x, y) con el plano y = 0 . Por tanto (0, 0 ) = pendiente de la curva
intersección en (0 , 0 , (,0,
0)).
Análogamente, f ( 0 , y) es la curva intersección de
{ = , … { = 0 … Y entonces
(,0, 0) = pendiente de la curva intersección en ( 0 , 0 , (,0, 0 )). Diremos que los valores
( 0,
0 ),
( 0,
0 ),
denotan las pendientes de la
superficie en las direcciones de x e y, respectivamente. 4. Derivadas parciales de orden superior
Como sucede con las derivadas ordinarias es posible hallar las segundas, terceras... derivadas parciales de una función de varias variables, siempre que tales derivadas existan. Por ejemplo la función z = f(x, y) tiene las siguientes derivadas parciales de segundo orden:
2
= 2 = …(derivar dos veces respecto a “x”) 2
= = …(derivar respecto a “x”, luego respecto a “y”) 2 = 2 = 2
= …(derivar respecto a “y”, luego respecto a “x”)
= …(derivar dos veces respecto a “y”)
Bibliografía
http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/derivadas.htm http://www4.ujaen.es/~angelcid/Archivos/Analisis_Mat_II_09_10/Apuntes/Tema 3.article.pdf
