Demostración del enunciado de Playfair análogo al quinto postulado de Euclides Rodolfo A. Nieves Rivas Fundación Integral para el Desarrollo Comunitario (F.I.D.E.C.) San Carlos, Cojedes 2203 Venezuela
[email protected] Resumen: En este artículo se presenta un axioma y su aplicación en un ejemplo de construcción geométrica que permite establecer la relación entre un enunciado atribuido a Proclo, actualmente conocido como axioma de Playfair y su analogía con el quinto postulado de Euclides. Se concluye con la propuesta de incorporación de este axioma dentro de la estructura axiomática de la geometría de Euclides.
Palabras Clave: Axioma, Postulado, Estructura Axiomática. Proof of the statement of Playfair analogous to the Euclid’s fifth postulate Abstract: We present in this article an axiom and its application on an example of geometric construction analogous that allows a relation between a statement attributed to Proclus, now known as Playfair’s axiom and its analogy to the Euclid’s fifth postulate. We conclude with a proposal for including this axiom on the axiomatic structure of the Euclid geometry.
Key words: Axiom, postulate, axiomatic structure. INTRODUCCIÓN Dentro de la estructura axiomática en los elementos de Euclides el concepto o definición que ha intrigado a todo aquel que ha tenido acceso a este tratado es lo referente al quinto postulado de Euclides y sus intentos por demostrar nos conducen hacia resultados difusos y problemas conceptuales a tal grado que se pierde la esencia y objetividad de tan majestuosa obra. Es por ello que humildemente se propone la incorporación de un axioma el cual despejará todas las dudas generadas al intentar demostrar dicho postulado o axioma según algunos autores. Este breve artículo tiene como objetivo presentar un axioma preservando la consistencia interna de la estructura axiomática y se considera al quinto postulado como un teorema fundamental dentro de esta estructura. Para el logro del objetivo se expondrá el desarrollo de la siguiente forma:
a) b) c) d) e) f) g) h)
Marco teórico. Bases teóricas Planteamiento del problema y propuesta. Construcción geométrica. (Figura (Figura 1) Objetivo y demostración. Análisis descriptivo de resultados.(Figura 2) Discusión.(Figuras: 3, 4, 5 y 6) Conclusión y recomendación.
MARCO TEÓRICO Quinto Postulado de Euclides: Y que si una recta (secante) al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado, menores a dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los (ángulos) menores a dos rectos.
Enunciado de Proclo o axioma de Playfair análogo al postulado de Euclides: Euclides: Por un punto exterior a una recta; solo pasa una y nada más que una recta paralela a esta.
BASES TEÓRICAS Axioma: 1 El cociente de una suma es igual a la suma de los cocientes. Teorema: 1 El ángulo inscrito sobre la circunferencia es igual a la mitad del ángulo central determinado por la misma cuerda.
Corolario: 1 El ángulo inscrito periférico en una semicircunferencia es recto. Corolario: 2 Las Cuerdas que determinan ángulos centrales suplementarios. Son perpendiculares.
Corolario: 3 La bisectriz de cualquier ángulo central. Es perpendicular a la cuerda que lo determina.
Corolario: 4 Las bisectrices de dos ángulos centrales suplementarios. Son perpendiculares. Corolario: 5 La bisectriz de cualquier ángulo central. Es paralela a la cuerda de su ángulo suplementario correspondiente.
Planteamiento del problema:
Demuestre que: “ Si: La bisectriz de cualquier ángulo es única.
Entonces: Por un punto exterior a una recta dada, pasa una recta paralela Y solo una”.
Propuesta: Axioma: La bisectriz de cualquier ángulo es única.
Construcción geométrica de la figura: 1 a) Dada la recta: r1
b) Siendo el punto: C exterior a la recta: r1
c) Centre el compas en el punto exterior: C y con abertura arbitraria: CD construya una circunferencia de radio: CD y determine el punto: E en la recta: r 1 d) Se unen los puntos: E con el punto: C y luego se prolonga el segmento de recta: DC o radio para determinar el punto: F en la circunferencia. Siendo: DC=CF=CE y ademas:
CDE =
CDE +
DEC y de esta forma se comprueba que:
DEC =
e) Luego se traza la bisectriz: CG del angulo: Siendo CG
ECF
ECF
r1 (Por el corolario corolario 5)
Figura 1
OBJETIVO Y DEMOSTRACIÓN
ANÁLISIS DE RESULTADOS
Figura 2
En la figura 2 se puede observar el cumplimiento de la base teórica utilizada de la siguiente forma; cuando se unen los puntos: E con el punto: F se obtiene la cuerda: EF del ángulo:∡FCE siendo: EF ⊥ ED (por los corolarios 1 y 2) y cuando se construye la bisectriz: CH del ángulo: ∡DCE siendo: CH ⊥ DE (por el corolario 3)y además se observa que: CH ∥ EF (por el corolario 5) Y se comprueba que el ángulo: ∡CDE es la mitad del ángulo: ∡FCE (por el teorema 1) De igual forma queda comprobado que: ∡CDE = ∡DEC =∡FCG = ∡GCE ( con el axioma 1) dado que: ∡ACF/2 = dos rectos/2 = ∡DCE/2 = ∡ECF/2 = ∡HCE/2 + ∡ECG
(Por los corolarios 1; 2; 3; 4 y 5) Y con todo lo anterior queda demostrado el objetivo al comprobarse que: CH ∥DE (con el corolario 5) dado que: DE ∈ r1 Y además: CG ∈ r2 siendo: r2 la bisectriz única por el axioma propuesto.
DISCUSIÓN Cabe destacar que los resultados obtenidos y su análisis nos conducen a tener en consideracion el siguiente teorema equivalente a los primeros cuatros postulados y su conjugación, dado que es fundamental y clave para la comprensión y justificación del axioma propuesto en este artículo.
Teorema principal: Desde cualquier punto exterior: C a una recta dada: AB se puede construir una circunferencia que determine dos puntos: D y E en esta recta y que son además equidistantes a este punto exterior: C. (CD CE)
Figura 3 Corolario: La intersección de una recta secante: AB y una circunferencia determina dos puntos: D y E equidistantes al centro: C de esta circunferencia. Escolio: Todos los puntos pertenecientes a una circunferencia son equidistantes a su centro. Corolario: la intersección de una recta secante: AB y una circunferencia determina una cuerda: DE en esta circunferencia.
Escolio: Y esta cuerda determina un angulo central cuyo vértice es el punto central de la circunferencia.
Corolario: Todo ángulo central:
menor a dos rectos determina un triángulo DCE DCE menor isósceles: DCE DCE cuya base es la cuerda: DE que determina en la circunferencia.
Figura 4 DC CE y dos Corolario: Todo triangulo isósceles: DCE DCE tiene dos lados iguales: DC ángulos iguales:
CDE
CED
Escolio: Y los dos ángulos iguales de cualquier triangulo isósceles, siempre son agudos. Corolario: El ángulo exterior : ECF ECF del ángulo opuesto : DCE DCE a la base: DE de cualquier triangulo isósceles: DCE DCE es igual a la suma de sus dos ángulos iguales . ECF ECF
CDE CDE
CED CED
Corolario: Todo ángulo exterior:
CEB CEB a el ángulo: CED CED que determina la altura relativa a la base de cualquier triangulo isósceles: DCE DCE es igual a la suma del ángulo que determina la altura relativa a la base más el ángulo que determina la base .
CDE
DCE
CEB
He de resaltar que la mejor demostración del quinto postulado tendría que ser presentado con las siguientes características:
Proposición: 39
Figura 5 Si : ACB
ADB
AEB
Cuando : C ; D ; E Y : A; B
R2
Entonces Entonces : R1
Y .Si : AC B
R1
R2
ADB
Entonce Entoncess : R1
AEB R2
Ento Entonc nces es : R1 ; R2 conv conver erge gen n.en.sent sentido ido. AB AB Y : R1 ; R2 dive iverge rgen.en.sen sentid tido.BA CF
DG
EH .( Las.alturas )
Figura 6 Teorema: Si por dos vértices: P; Q de dos ángulos opuestos a una base común: una recta dada: r1 pasa otra recta: r2. Entonces: Las rectas: r1 y r2 son:
Paralelas en sentido:
Si. y.solo.si : APB
AQB
AB
Si. y.solo.si : APB
AQB
AB
Si. y.solo.si : AQB
APB
AB
Convergen en sentido: Divergen en sentido:
AB perteneciente a
CONCLUSIÓN Y RECOMENDACIONES Una vez presentados los resultados obtenidos en esta investigación es necesario reconocer que la demostración del quinto postulado de Euclides no está expuesta en este artículo dado que la misma requiere de tener en consideracion la restructuración y reforma axiomática en general o la enmienda puntual a través de la incorporación de algunos axiomas dentro de su estructura axiomática tales como: a) Axioma: Todo triángulo contiene al menos dos ángulos agudos. b) Axioma: Ningún triángulo contiene dos ángulos que sumen dos rectos. c) Criterio: Las condiciones necesarias y suficientes para que el quinto postulado de Euclides sea cierto es que: La diferencia de los ángulos alternos internos sea menor que cero para que la suma de los ángulos internos sea menor a dos rectos. Y de esta forma: Si una secante corta a dos rectas formando a un lado ángulos interiores cuya suma es menor que dos rectos; entonces estas dos rectas al ser prolongadas convergen en ese mismo lado formando un trilátero. Y es por todo lo anterior que se propone ante la comunidad científica la incorporación del axioma presentado en este artículo y de esta forma poder tratar estos temas que durante tanto tiempo han intrigado a quienes pretenden desentrañar su misterio.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Coxeter, H.S.M (1971): Fundamentos de Geometría. México: Limusa - Wiley, S.A. Joyce, D. (1996). Euclid’s elements. Recuperado el 15 de Febrero de 2012, de http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/bookI.html Ramírez, G., Ana, I. y Sienra, L., Guillermo. (2000): Invitación a las Geometrías no Euclidianas. México: © Coordinación de Servicios Editoriales. Facultad de Ciencias, UNAM.
