Postulado de Broglie. En los comienzos de la física cuántica, cuando los físicos aún estudiaban la naturaleza corpuscular de la energía (léase fotones o paquetes de energía), el físico Louis de Broglie (Francia 1892-1987), postuló que no solo la energía tenia doble naturaleza sino también toda la materia conocida. De Broglie sostuvo que el movimiento de una partícula era gobernado por unas ondas guías, debido a las cuales las partículas podían presentar naturaleza ondulatoria o corpuscular, la cual podía ser apreciado dependiendo del experimento que se usaba. Si a las partículas materiales se les asocia una onda, surge la pregunta: ya que una onda está distribuida espacialmente, ¿En dónde está ubicada la partícula? En el experimento de rendijas y electrones al iluminar los electrones el comportamiento ondulatorio se perdía: el patrón de interferencia se destruye y la partícula es como en mecánica clásica. Pero sí se disminuía la frecuencia de la luz que ilumina los electrones, el patrón de interferencia se recuperaba, es decir, los electrones se comportaban como ondas de longitud de onda l=h/P (según De Broglie), sin embargo, la trayectoria de los electrones se desconocía: no se sabe en donde están los electrones. Entonces: 1. Si se conoce la posición de la partícula material x, no se conoce su momento P: l=h/P ó P=h/l (l=?). 2. Si se conoce el momento P del electrón, se le asocia una longitud de onda l=h/p, pero no se sabe en donde está (x=?). 3. A medida que se va determinando con mayor exactitud la posición x de la partícula material, se va perdiendo exactitud en el conocimiento de P y viceversa.
Muchos físicos clásicos no estaban preparados para asumir esta doble personalidad de la materia. Muchos de ellos argumentaron en contra ya que dicha naturaleza ambivalente no era notoria en la física macroscópica. Sin embargo, experimentos posteriores, como la difracción de electrones, de neutrones, y otros terminaron dándole la razón a De Broglie, el cual recibió el premio Nobel en 1929 por su contribución al entendimiento de los fenómenos de la física microscópica.
Heisenberg había presentado su propio modelo de átomo renunciando a todo intento de describir el átomo como un compuesto de partículas y ondas. Pensó que estaba condenado al fracaso cualquier intento de establecer analogías entre la estructura atómica y la estructura del mundo. Prefirió describir los niveles de energía u órbitas de electrones en términos numéricos puros, sin la menor traza de esquemas. Como quiera que usó un artificio matemático denominado "matriz" para manipular sus números, el sistema se denominó "mecánica de matriz". Heisenberg recibió el premio Nobel de Física en 1932 por sus aportaciones a la mecánica ondulatoria de Schrödinger, pues esta última pareció tan útil como las abstracciones de Heisenberg, y siempre es difícil, incluso para un físico, desistir de representar gráficamente las propias ideas. Una vez presentada la mecánica matriz (para dar otro salto atrás en el tiempo) Heisenberg pasó a considerar un segundo problema: cómo describir la posición de la partícula. ¿Cuál es el procedimiento indicado para determinar dónde está una partícula? La respuesta obvia es ésta: observarla. Pues bien, imaginemos un microscopio que pueda hacer visible un electrón. Si lo queremos ver debemos proyectar una luz o alguna especie de radiación apropiada sobre él.
Pero un electrón es tan pequeño, que bastaría un solo fotón de luz para hacerle cambiar de posición apenas lo tocara. Y en el preciso instante de medir su posición, alteraríamos ésta. Aquí nuestro artificio medidor es por lo menos tan grande como el objeto que medimos; y no existe ningún agente medidor más pequeño que el electrón. En consecuencia, nuestra medición debe surtir, sin duda, un efecto nada desdeñable, un efecto más bien decisivo en el objeto medido. Podríamos detener el electrón y determinar así su posición en un momento dado. Pero si lo hiciéramos, no sabríamos cuál es su movimiento ni su velocidad. Por otra parte, podríamos gobernar su velocidad, pero entonces no podríamos fijar su posición en un momento dado. Heisenberg demostró que no nos será posible idear un método para localizar la posición de la partícula subatómica mientras no estemos dispuestos a aceptar la incertidumbre absoluta respecto a su posición exacta. Es un imposible calcular ambos datos con exactitud al mismo tiempo. Siendo así, no podrá haber una ausencia completa de energía ni en el cero absoluto siquiera. Si la energía alcanzara el punto cero y las partículas quedaran totalmente inmóviles, sólo sería necesario determinar su posición, puesto que la velocidad equivaldría a cero. Por tanto, sería de esperar que subsistiera alguna "energía residual del punto cero", incluso en el cero absoluto, para mantener las partículas en movimiento y también, por así decirlo, nuestra incertidumbre. Esa energía "punto cero" es lo que no se puede eliminar, lo que basta para mantener liquido el helio incluso en el cero absoluto. En 1930, Einstein demostró que el principio de incertidumbre (donde se afirma la imposibilidad de reducir el error en la posición sin incrementar el error en el momento) implicaba también la imposibilidad de reducir el error en la medición de energía sin acrecentar la incertidumbre del tiempo durante el cual se toma la medida. Él creyó poder utilizar esta tesis como trampolín para refutar el principio de incertidumbre, pero Bohr procedió a demostrar que la refutación tentativa de Einstein era errónea.
A decir verdad, la versión de la incertidumbre, según Einstein, resultó ser muy útil, pues significó que en un proceso subatómico se podía violar durante breves lapsos la ley sobre conservación de energía siempre y cuando se hiciese volver todo alestado de conservación cuando concluyesen esos períodos: cuanto mayor sea la desviación de la conservación, tanto más breves serán los intervalos de tiempo tolerables. Yukawa aprovechó esta noción para elaborar su teoría de los piones. Incluso posibilitó la elucidación de ciertos fenómenos subatómicos presuponiendo que las partículas nacían de la nada como un reto a la energía de conservación, pero se extinguían antes del tiempo asignado a su detección, por lo cual eran sólo "partículas virtuales". Hacia fines de la década 1940-1950, tres hombres elaboraron la teoría sobre esas partículas virtuales: fueron los físicos norteamericanos Julian Schwinger y Richard Phillips Feynman y el físico japonés Sin-itiro Tomonaga. Para recompensar ese trabajo, se les concedió a los tres el premio Nobel de Física en 1965. A partir de 1976 se han producido especulaciones acerca de que el Universo comenzó con una pequeña pero muy masiva partícula virtual que se expandió con extrema rapidez y que aún sigue existiendo. Según este punto de vista, el Universo se formó de la Nada y podemos preguntarnos acerca de la posibilidad de que haya un número infinito de Universos que se formen (y llegado el momento acaben) en un volumen infinito de Nada. El "principio de incertidumbre" afectó profundamente al pensamiento de los físicos y los filósofos. Ejerció una influencia directa sobre la cuestión filosófica de "casualidad" (es decir, la relación de causa y efecto). Pero sus implicaciones para la cienciano son las que se suponen por lo común. Se lee a menudo que el principio de incertidumbre anula toda certeza acerca de la naturaleza y muestra que, al fin y al cabo, la ciencia no sabe ni sabrá nunca hacia dónde se dirige, que el conocimiento científico está a merced de los caprichos imprevisibles de un Universo donde el efecto no sigue necesariamente a la causa. Tanto si esta interpretación es válida desde el ángulo visual filosófico como si no, el principio de incertidumbre no ha conmovido la actitud del científico ante la investigación. Si, por ejemplo, no se puede predecir con certeza el comportamiento de las moléculas individuales en un gas, también es cierto que las moléculas suelen
acatar ciertas leyes, y su conducta es previsible sobre una base estadística, tal como las compañías aseguradoras calculan con índices de mortalidad fiables, aunque sea imposible predecir cuándo morirá un individuo determinado. Ciertamente, en muchas observaciones científicas, la incertidumbre es tan insignificante comparada con la escala correspondiente de medidas, que se la puede descartar para todos los propósitos prácticos. Uno puede determinar simultáneamente la posición y el movimiento de una estrella, o un planeta, o una bola de billar, e incluso un grano de arena con exactitud absolutamente satisfactoria. Respecto a la incertidumbre entre las propias partículas subatómicas, cabe decir que no representa un obstáculo, sino una verdadera ayuda para los físicos. Se la ha empleado para esclarecer hechos sobre la radiactividad, sobre la absorción de partículas subatómicas por los núcleos, así como otros muchos acontecimientos subatómicos, con mucha más racionabilidad de lo que hubiera sido posible sin el principio de incertidumbre. El principio de incertidumbre significa que el Universo es más complejo de lo que se suponía, pero no irracional. En la búsqueda de una estructura que fuera compatible con la mecánica cuántica Werner Heisenberg descubrió, cuando intentaba hallarla, el «principio de incertidumbre», principio que revelaba una característica distintiva de la mecánica cuántica que no existía en la mecánica newtoniana. Según el principio de incertidumbre, ciertos pares de variables físicas, como la posición y el momento (masa por velocidad) de una partícula, no pueden calcularse simultáneamente con la precisión que se quiera. Así, si repetimos el cálculo de la posición y el momento de una partícula cuántica determinada (por ejemplo, un electrón), nos encontramos con que dichos cálculos fluctúan en torno a valores medíos.
Estas
fluctuaciones
reflejan,
pues,
nuestra
incertidumbre en la determinación de la posición y el momento. Según el principio de incertidumbre, el producto de esas incertidumbres en los cálculos no puede reducirse a cero. Si el electrón obedeciese las leyes de la mecánica newtoniana, las incertidumbres podrían reducirse a cero y la posición y el momento del electrón
podrían determinarse con toda precisión. Pero la mecánica cuántica, a diferencia de la newtoniana, sólo nos permite conocer una distribución de la probabilidad de esos cálculos, es decir, es intrínsecamente estadística.
Si se preparan varias copias idénticas de un sistema en un estado determinado, las medidas de posición y momento (masa x velocidad) de las partículas constituyentes variarán de acuerdo a una cierta distribución de probabilidad característica del estado cuántico del sistema. Las medidas de la desviación estándar Δx de la posición y el momento Δp verifican entonces el principio de incertidumbre que se expresa matemáticamente como:
donde
es la constante reducida de Planck, denominada h partida (para
simplificar,
suele escribirse como
[1]
)
En la física de sistemas clásicos esta incertidumbre de la posición-momento no se manifiesta puesto que se aplica a estados cuánticos y es extremadamente pequeño. Una de las formas alternativas del principio de incertidumbre más conocida es la incertidumbre tiempo-energía que puede escribirse como:
Esta forma es la que se utiliza en mecánica cuántica para explorar las consecuencias de la formación de partículas virtuales, utilizadas para estudiar los estados intermedios de una interacción. Esta forma del principio de incertidumbre es también la utilizada para estudiar el concepto de energía del vacío.
DIFRACCION DE ELECTRONES.
En 1927 Davisson y Germer observaron que un cristal de níquel produce una dispersión de electrones similar a la que se obtendría con rayos X dispersados por el mismo cristal. Para que se vean las propiedades ondulatorias de los electrones, se requiere que su 2 sea del orden de la red cristalina, es decir A= 10-8 cm que es una 2 similar a la de los rayos X suaves. Como: = mt) -\12rneV Donde V es el potencial de aceleración. Si lanzamos los electrones perpendicularmente a la superficie del cristal (de modo que Ileguen a ella frentes de onda planos); los átomos superficiales del cristal dispersarán a los electrones en todas direcciones y la onda resultante, Que Describe la dispersión, será diferente de cero solo en las direcciones en que se Produce interferencia constructiva. La condición para que esto ocurra se obtiene cuando la diferencia de caminos reflejados sea un múltiplo entero de 2. La longitud de onda 2 medida de esta fórmula por Davisson y Germer resultó coincidir con la predicha por De Broglie. La Difracción de electrones es una técnica utilizada para estudiar la materia haciendo que un haz de electrones incida sobre una muestra y observando el patrón de interferencia resultante. Este fenómeno ocurre gracias a la dualidad onda-partícula, que establece que una partícula de materia (en este caso el electrón que incide) puede ser descrita como una onda. Por esta razón, un electrón puede ser considerado como una onda muy similar al sonido o a ondas en el agua. Esta técnica es similar a la difracción de los rayos-X o la difracción de neutrones. La Difracción de electrones es frecuentemente utilizada en física y química de sólidos para estudiar la estructura cristalina de los sólidos. Estos experimentos se
realizan
normalmente
utilizando
un microscopio
electrónico
por
transmisión (MET o TEM por sus siglas en inglés), o un microscopio electrónico
por escaneo (MES o SEM por sus siglas en inglés), como el utilizado en la difracción de electrones por retro-dispersión. En estos instrumentos, los electrones son acelerados mediante electrostática potencial para así obtener la energía deseada e incrementar su longitud de onda antes de que este interactúe con la muestra en estudio. La estructura periódica de un sólido cristalino actúa como una rejilla de difracción, dispersando los electrones de una manera predecible. A partir del patrón de difracción observado es posible deducir la estructura del cristal que produce dicho patrón de difracción. Sin embargo, esta técnica está limitada por el problema de fase. Aparte del estudio de los cristales, la difracción de electrones es también una técnica útil para el estudio de sólidos amorfos, y la geometría de las moléculas gaseosas. Interacción de los electrones con la materia A diferencia de otros tipos de radiación utilizados en estudios de difracción de materiales, tales como los rayos-X y los neutrones, los electrones son partículas que poseen carga e interactúan con la materia a través de la fuerza eléctrica. Esto significa que los electrones que inciden son influenciados tanto por la carga positiva del núcleo atómico como por los electrones que rodean el núcleo. En comparación, los rayos-X interactúan con la distribución espacial de los electrones en las capas exteriores (electrones de valor), mientras que los neutrones son dispersados por la fuerza de la interacción nuclear fuerte del núcleo. Además, el momento magnético de los neutrones es diferente de cero, por lo que también son dispersados por campos magnéticos. La diferencia en la manera en la que las tres formas de radiación interactúan con la materia permite que se puedan utilizar en diferentes tipos de análisis.
Antecedentes históricos a la propuesta de Bohr El modelo atómico planetario propuesto en 1911 por el físico neozelandés Ernest Rutherford (1871-1937) en base a los experimentos de bombardeo de
finas láminas de átomos de oro con partículas
(núcleos de átomos de helio) que
los científicos alemanes Hans W. Geiger (1882-1945) y sir Ernest Marsden (18891970) habían realizaron en bajo su dirección (entonces eran sus alumnos), suponía la existencia en el átomo de un núcleo de pequeño tamaño (~ volumen en relación con el resto del átomo completo (
)y
) donde se concentra
la mayoría de la masa atómica, estando cargado positivamente y con los electrones de carga negativa orbitando (girando) alrededor del mismo unidos por la atracción electrostática del núcleo, al igual que los planetas que orbitan alrededor del Sol. La mecánica clásica permitía un modelo de órbitas circulares y elípticas para el electrón en este modelo planetario. Por ejemplo, el átomo más sencillo de todos, el átomo de hidrógeno, constaría de un electrón y un núcleo positivo (con un protón) la carga del núcleo
es la misma que la del electrón (
) pero de
signo contrario, por lo que el átomo es eléctricamente neutro. Este modelo planetario es estable mecánicamente, debido a que el potencial de Coulomb:
proporciona la fuerza centrípeta:
necesaria para que el electrón se mueva en un circulo de radio
a una velocidad
, siendo la constante de Coulomb. Pero es eléctricamente inestable debido a que el electrón está siempre acelerando hacia el centro del círculo. Las leyes de la electrodinámica clásica (ley de Larmor) predicen que una carga acelerando radia luz con una frecuencia igual al periodo del movimiento, en este caso la frecuencia de revolución . Así clásicamente tenemos que:
=
=
·
~
La energía total del electrón es la suma de las energías cinética y potencial:
A partir de la ecuación
se tiene que
= (un resultado que se mantiene para el movimiento circular [[1]] en un campo de fuerzas inversamente proporcional al cuadrado de la distancia), así que la energía total puede ser descrita como:
=
~
Así, la física clásica predice que debido a que la energía es perdida por radiación el tamaño de la órbita del electrón alrededor del núcleo (dado por ) se irá
reduciendo
cada
vez
más
haciéndose
cada
vez
más
pequeña,
incrementándose de igual manera la tasa en la cual la energía del electrón es perdida, el proceso que terminaría cuando el electrón alcanzara el núcleo, colapsando con el mismo. Este tiempo puede ser calculado por la mecánica y electrodinámica clásica y resultaría ser menos de un microsegundo. Así, el modelo planetario clásico para el átomo predice que este debería radiar un espectro continuo (ya que la frecuencia de revolución cambia continuamente cuando el electrón cae en espiral hacia el núcleo) y que se produciría un colapso cuando el electrón se precipitara contra el núcleo, un resultado que afortunadamente no ocurre. Es decir según este modelo el átomo es una entidad inestable, llamada a desaparecer con el tiempo. Experimentalmente se comprueba todo lo contrario que a no ser que el átomo sea excitado, el átomo no radia, no emite radiación
electromagnética y que cuando es excitado el átomo radia una línea espectral discreta y no un espectro de radiación continua. Para “solucionar” estas dificultades inabordables desde un punto de vista clásico, Bohr introdujo ad hoc en su modelo de 1913 una serie de postulados no clásicos de naturaleza cuántica, introduciendo con ello la cuantificación (cuantización) iniciada por Planck y Einstein en el “corazón” de la estructura del átomo. Primer postulado: Los electrones se mueven en ciertas órbitas permitidas alrededor del núcleo sin emitir radiación. Así Bohr asumió que el átomo de hidrógeno puede existir solo en
ciertos
estados
estacionarios del
discretos,
átomo.
En
el
los átomo
cuales no
son hay
denominados estados emisión
de
radiación
electromagnética mientras el electrón no cambia de órbita. Con este postulado Bohr evitaba el problema de la inestabiliad orbital eléctrica del electrón que predice la electrodinámica clásica y por tanto del átomo, al postular que la radiación de energía por parte de las partículas cargadas es válida a escala macroscópica pero no es aplicable al mundo microscópico del átomo, pero si esto es así surge el problema de de explicar la transición entre los estados estacionarios y la emisión de radiación por el átomo para ello Borh introdujo otro postulado : Segundo postulado: El átomo radia cuando el electrón hace una transición (“salto”) desde un estado estacionario a otro, es decir toda emisión o absorción de radiación entre un sistema atómico esta generada por la transición entre dos estados estacionarios. La radiación emitida (o absorbida) durante la transición corresponde a un cuanto de energía (fotón) cuya frecuencia
esta relacionada con las energías de las
órbitas estacionarias por la ecuación de Planck: y está determinada por la relación :
[[2]]
donde y
es la constante de Planck (
), con
son las energías de los estados estacionarios iniciales y finales de la
transición electrónica. La ecuación es referida como la condición de frecuencia de Bohr. Este postulado está basado en el concepto de fotón introducido por Einstein [[3]], junto con la conservación de la energía; si la luz está compuesta de fotones de energía , la emisión por parte del átomo de un fotón debe suponer una pérdida de energía igual a la energía del fotón emitido (o si es la absorción de un fotón a la ganancia de energía), por lo tanto es un postulado equivalente aquel de la conservación de la energía en la emisión del fotón, es crucial, debido a que con el Bohr se desvía “de la senda de la teoría clásica”, que requiere que la frecuencia de radiación sea igual a la frecuencia del movimiento de la partícula cargada. Así, mientras el equilibrio dinámico mecánico del sistema en los estados estacionarios está regido por las leyes ordinarias de la mecánica, sin embargo, dichas leyes no son aplicables cuando se trata de transiciones entre estados estacionarios. Tercer postulado: Las órbitas estacionarias admisibles son aquellas en las que el momento angular orbital
del electrón está cuantiado, pudiendo este asumir solamente
valores múltiplos enteros de número integral (
, donde
es la constante de Planck y
es un
), llamado numero cuántico principal. Así,
Este postulado Bohr introduce de nuevo la idea de cuantización en una nueva área de la física clásica al presuponer la idea de cuantización del momento angular orbital de un electrón que se mueve bajo la acción de una fuerza culombiana.
Modelo Atómico de Bohr El modelo atómico de Bohr o de Bohr-Rutherford es un modelo cuantizado del átomo que Bohr propuso en 1913 para explicar cómo los electrones pueden tener órbitas estables alrededor del núcleo. Este modelo planetario es un modelo funcional que no representa el átomo (objeto físico) en sí sino que explica su funcionamiento por medio de ecuaciones.
Niels Bohr se basó en el átomo de hidrógeno para realizar el modelo que lleva su nombre. Bohr intentaba realizar un modelo atómico capaz de explicar la estabilidad de la materia y los espectros de emisión y absorción discretos que se observan en los gases. Describió el átomo de hidrógeno con un protón en el núcleo, y girando a su alrededor un electrón. El modelo atómico de Bohr partía conceptualmente del modelo atómico de Rutherford y de las incipientes ideas sobre cuantización que habían surgido unos años antes con las investigaciones de Max Planck y Albert Einstein. Debido a su simplicidad el modelo de Bohr es todavía utilizado frecuentemente como una simplificación de la estructura de la materia. En este modelo los electrones giran en órbitas circulares alrededor del núcleo, ocupando la órbita de menor energía posible, o la órbita más cercana posible al núcleo. El electromagnetismo clásico predecía que una partícula cargada moviéndose de forma circular emitiría energía por lo que los electrones deberían colapsar sobre el núcleo en breves instantes de tiempo. Para superar este problema Bohr supuso que los electrones solamente se podían mover en órbitas específicas, cada una de las cuales caracterizada por su nivel energético. Cada órbita puede entonces identificarse mediante un número entero n que toma valores
desde 1
en adelante.
Este número "n" recibe el nombre de Número
Cuántico Principal. Bohr supuso además que el momento angular de cada electrón estaba cuantizado y sólo podía variar en fracciones enteras de la constante de Planck. De acuerdo al número cuántico principal calculó las distancias a las cuales se hallaba del núcleo cada una de las órbitas permitidas en el átomo de hidrógeno. Estos niveles en un principio estaban clasificados por letras que empezaban en la "K" y terminaban en la "Q". Posteriormente los niveles electrónicos se ordenaron por números. Cada órbita tiene electrones con distintos niveles de energía obtenida que después se tiene que liberar y por esa razón el electrón va saltando de una órbita a otra hasta llegar a una que tenga el espacio y nivel adecuado, dependiendo de la energía que posea, para liberarse sin problema y de nuevo volver a su órbita de origen. Sin embargo no explicaba el espectro de estructura fina que podría ser explicado algunos años más tarde gracias al modelo atómico de Sommerfeld. Históricamente el desarrollo del modelo atómico de Bohr junto con la dualidad onda-corpúsculo permitiría a Erwin Schrödinger descubrir la ecuación fundamental de la mecánica cuántica.
LA ECUACION DE ONDA DE SCHRÖDINGER El desarrollo de la física cuántica a introducido nuevas formas de comprender los fenómenos que rodean el comportamiento de las partículas elementales. Se ha visto que las ondas electromagnéticas poseen cualidades de partículas energéticas, así como los electrones poseen propiedades de ondas, es decir, es posible asignarles una frecuencia angular y una contante de movimiento determinada, pero además es imposible establecer un punto exacto del espacio donde se encuentra la partícula. La fusión definitiva que cuantifica estas ideas, a sido conseguida
gracias
a estudios científicos
desarrollados por
Erwin
Schrodinger, llamándola ecuación de onda, la cual incluye en comportamiento ondulatorio de las partículas y la fusión de la probabilidad de su ubicación. Es cierto que la búsqueda de la solución de esta ecuación es en el extremo complicada, pero para situaciones reales es de gran utilidad para establecer un estudio matemático riguroso de modelos físicos.
POSTULADOS DE LA ECUACION DE ONDA DE SCHRODINGER 1. - Cada partícula del sistema físico se describe por medio de una onda plana descrita por una función denotada por Y(x, y, z, t); esta función y sus derivadas parciales son continuas, finitas y de valores simples. 2. - Las cantidades clásicas de la energía (E) y del momento (P), se relacionan con operadores de la mecánica cuántica definida de la siguiente manera.
3. - La probabilidad de encontrar una partícula con la función de onda en el espacio viene dada por:
Donde *(x, y, z, t) es la conjugada compleja de (x, y, z, t) y se cumple que (x, y, z, t) *(x, y, z, t) = | (x, y, z, t)|². DETERMINACIÓN DE LA ECUACION DE SCHRODINGER La energía total de la partícula se expresa como: E = Ep + Ec donde Ep es la energía potencial y Ec es la energía cinética:
Utilizando los operadores cuánticos para Ep constante:
Multiplicando por la función de onda (r, t) obtenemos la función de Schrödinger en el espacio r:
Para ampliar este resultado se emplea el operador de Laplace:
Obteniendo la Ecuación General de Schrödinger:
DETERMINACIÓN DE LA SOLUCIÓN: Aplicando el artificio del producto A = B. C, se puede decir lo siguiente: (x,t) = (x) f(t) (x) : Depende del espacio. f(t): Depende del tiempo. Por lo tanto:
agrupando los elementos que dependen del tiempo en el miembro de la izquierda de la igualdad y los que dependen del espacio en el otro miembro se obtiene:
C0 = C0 Co es una constante independiente. Ecuación de Schrödinger El físico austríaco, Erwin Schrödinger, desarrolló en 1925 la conocida ecuación que lleva su nombre. Esta ecuación es de gran importancia en la mecánica cuántica, donde juega un papel central, de la misma manera que la segunda ley de Newton en la mecánica. Fue entre 1925 y 1930, cuando apareció la teoría de la mecánica cuántica, de la mano de un grupo de investigadores, donde destacaba Erwin Schrödinger. Esta teoría fue importante, no sólo por su relevancia e importante papel en la ciencia, sino también por la gran cantidad de conceptos científicos implicados en ella. Son muchos los conceptos previos implicados en la ecuación de Schrödinger, empezando por los modelos atómicos. Dalton, Thomson, Rutherford, Bohr, todos ellos contribuyeron al modelo atómico actual, ideado por Erwin Schrödinger, modelo conocido como“Ecuación de onda”. Esta es una ecuación matemática que tiene en consideración varios aspectos: La existencia de un núcleo atómico, donde se concentra la gran cantidad del volumen del átomo. Los niveles energéticos donde se distribuyen los electrones según su energía. La dualidad onda-partícula La probabilidad de encontrar al electrón A inicios del siglo XX se sabía que la luz podía comportarse como una partícula, o como una onda electromagnética, según las circunstancias, siendo el 1923, cuando De Brogliegeneralizó la dualidad a todas las partículas conocidas hasta el momento, proponiendo la hipótesis de que las partículas pueden ir asociadas a una onda, hecho que se comprobó experimentalmente cuatro años después, al
observarse la difracción de electrones. En el caso de los fotones, De Broglie relacionó cada partícula libre con una energía E, con una cantidad de movimiento p, una frecuencia ν, y una longitud de onda λ, relacionandolas de la siguiente manera : E=hν p=h/λ Clinton Davisson y Lester Germer, realizaron la comprobación experimental, mostrando la longitud de onda relacionada a los electrones según la difracción siguiendo la fórmula de Bragg, que como había predicho De Broglie, se correspondía con la longitud de onda de su fórmula. Schrödinger trató de escribir una ecuación siguiendo la anterior predicción de De Broglie pero reduciendo las escalas macroscópicas e la ecuación de la mecánica clásica, expresandose la energñia mecánica total como: E= p^2 / 2m + V ( r ) Max Born dio una correcta interpretación física para la función de la función de Schrödinger en 1926, sin embargo el carácter probabilístico introducido por Schrödinger provocó mucha desconfianza en los físicos, incluso aquellos con renombre, como por ejemplo, Albert Einstein. La solución de esta ecuación, fue la función de onda, siendo ésta, una medida de probabilidad de encontrar al electrón en un espacio, conocido como orbital. Las funciones de onda se transforman con el tiempo, siendo su evolución temporal estudiada en la famosa ecuación del físico austríaco. Otros conceptos utilizados por Schrödinger se basan en la óptica y la mecánica, y el paralelismo de ambas. A inicios de los años 30, Born le dio una interpretación probabilística distinta a la función de onda a la que De Broglie y Schrödinger habían dado, lo que le supuso el premio Nobel. En este trabajo, Born vio mediante formulas matriciales de mecánica cuántica, que los conjuntos cuánticos de estados, de manera natural construían espacios de Hilbert, para poder representar los estados físicos en cuántica.
Actualmente la ecuación se formula según la mecánica cuántica, donde el estado en un instante t, de un sistema definido por un elemento │Ψ ( t ) > en el espacio de Hilbert, y usando la notación de Dirac , se pueden representar todos los resultados posibles de todas las medidas de un sistema. Con la ecuación de Schrödinger describe la evolución temporal de │Ψ ( t ) > :
La ecuación también tiene limitaciones: -No es una ecuación relativista, solamente puede describir partículas que tengan un momento lineal pequeño en comparación con la energía que tenga en reposo dividida por la velocidad de la luz. -Esta ecuación no añade el espín en las partículas adecuadamente. Fue Dirac, más tarde, quien incorporó los espines a la ahora conocida como ecuación de Dirac, introduciendo además efectos relativistas.
El átomo de Hidrógeno Ahora pasamos al estudio del átomo de hidrógeno. El mas simple de los átomos.
La fuerza que mantiene al electrón unido al proton en el átomo es
la fuerza de Coulomb. El potencial en este caso es
En este caso el problema tiene simetría esférica. Esto significa que la dirección del momento angular puede tomar cualquier orientación y estar bien definido al mismo tiempo que la energía. Esto nos permite separar la variable radial r de las
variables angulares
en la ecuación de Schrödinger y reducir el problema a
un problema unidimiensional. El hecho de que el sistema tenga momento angular significa que existe una fuerza centrífuga proveniente del giro del electrón. Es decir, de su momento
angular. En la siguiente figura mostramos el potencial efectivo en el problema del átomo de hidrógeno.
Figura 11: Potencial efectivo en la dirección radial para el átomo de hidrógeno La ecuación de Schrödinger en este caso (tridimensional) es
Podemos separar las variables y escribir
entonces, al escribir el operador
en coordenadas esféricas encontramos la
ecuación radial
de donde vemos explícitamente el potencial centrífugo
Las soluciones para E<0 estan confinadas y corresponden a valores discretos de la energía dados por
Para cada valor del número cuántico principal n, los valores del momento
angular l pueden tomar los valores
De hecho el número cuántico principal es la suma
de manera que para cada n existen diferentes valores de l y n' que nos dan el mismo n y por lo tanto, la misma energía. A esto se le llama degeneración. La degeneración del nivel n-ésimo es
.
Ademas la proyección m del momento angular sobre el eje z tambien puede tomar los valores
Nuestras funciones de onda estan caracterizadas por tres números cuánticos
Según la espectroscopía tradicional los diferentes estados se denotan
mediante el número cuántico principal n seguido de una letra(s,p,d,f,g,...) que indican el valor de l
Referencias Electrónicas http://www.nuclecu.unam.mx/~vieyra/node42.html http://elrinconfisico.blogspot.com/2008/09/el-postulado-de-de-broglie.html http://www.mitecnologico.com/Main/PostuladoDeBroglie http://es.wikibooks.org/wiki/F%C3%ADsica/F %C3%ADsica_moderna/Principio_de_incertidumbre_de_Heisenberg http://www.monografias.com/trabajos16/principio-de-incertidumbre/principio-deincertidumbre.shtml http://www.bdigital.unal.edu.co/1748/7/8311831.19987.pdf http://www.educared.org/wikiEducared/Postulados_de_Bohr.html http://atomohidrogeno.blogspot.com/
Introducción En el presente trabajo estudiaremos varios puntos interesante con respectó a nuestra carrera primeramente las funciones de las ondas, es una forma de representar el estado físico de un sistema de partículas atreves del postulado de Broglie además de los principio de incertidumbre donde Considero de mucha importancia este principio, debido a la naturaleza del mismo, en este trabajo de describe de la manera mas practica todas las características del mismo, aunque a veces se piense que no es necesario, puede servir en muchas ocasiones para delatar algo, o simplemente para justificarlo. El Principio de Incertidumbre de Heisenberg es sin duda algunos unos de los enigmas de la historia, debido a que este menciona que "Lo que estudias, lo cambias", entonces, si esto es cierto, ¿Qué tanto a cambiado la realidad de lo que nos narra la historia?. En la difracción de electrones, La naturaleza cuántica de los sistemas físicos, descritos por ondas de probabilidad, implica una relación entre su longitud de onda λ y su momento lineal p (medidos en un sistema de referencia dado). el Modelo atómico de Bohr el cual El físico danés Niels Bohr (Premio Nobel de Física 1922), postula que los electrones giran a grandes velocidades alrededor del núcleo atómico. Los electrones se disponen en diversas órbitas circulares, las cuales determinan diferentes niveles de energía.
El electrón puede acceder a un nivel de energía superior, para lo cual necesita "absorber" energía. Para volver a su nivel de energía original es necesario que el electrón emita la energía absorbida (por ejemplo en forma de radiación).
En la ecuación de Schrödinger-Pauli, se hace una generalización
o reformulación de la ecuación de Schrödinger para partículas de espín 1/2 que tiene en cuenta la interacción entre el espín y el campo electromagnético. Esta ecuación es el límite no relativista de la ecuación de Dirac y puede usarse para describir electrones que para los cuales los efectos relativistas de la velocidad pueden despreciarse. El átomo de hidrogeno el enlace químico es el responsable de la unión estable entre dos o más átomos identifica con las fuerzas atractivas que mantienen unidos dichos átomos en el compuesto.
Conclusión Bohr es todavía utilizado frecuentemente como una simplificación de la estructura de la materia. En este modelo los electrones giran en órbitas circulares alrededor del núcleo, ocupando la órbita de menor energía posible, o la órbita más cercana al núcleo posible.
El modelo atómico de Bohr constituyó una de
las bases fundamentales de la mecánica cuántica. Explicaba la estabilidad de la materia y las características principales del espectro de emisión del hidrógeno. Principio enunciado en 1927 por el alemán Werner Heisenberg según el cual no puede ser conocida con exactitud y simultáneamente la posición y la cantidad de movimiento de un electrón. El físico alemán Werner K. Heisenberg es conocido sobre todo por formular el principio de incertidumbre, una contribución fundamental al desarrollo de la teoría cuántica. Niels Bohr, dijo que los electrones giran a grandes velocidades alrededor del núcleo atómico.
Para realizar su modelo atómico utilizó el átomo de
hidrógeno. Representó el átomo de hidrógeno con un protón en el núcleo, y girando a su alrededor un electrón. En éste modelo los electrones giran en órbitas circulares alrededor del núcleo; ocupando la órbita de menor energía posible, o sea la órbita más cercana posible al núcleo.
