UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD PA P ARA LOS MAY M AYOR ORE ES 2011 / 2012
I n t r o d u c c i ó n a l a H i st o r i a d e l as M a t e m á t i c a s Profesor: Dr. Dr. José Manu Ma nuel el López Alonso Alonso
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LOS ELEMENT ELEMENT OS DE E U CLIDES CLIDES De la Biblioteca de Alejandría, a la Re d de de Internet. Alumno: Pedro Miguel Ortega Martínez Curso 1º A Madrid, marzo/mayo de 2012 Página 1 de 46
Índice: Índice :
Prólog Prólo go
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Pág. 3
Antecedentes ntecede ntes
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Alejand lej andría ría
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Las edic edi ciones iones de Euclides …
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Algunas lgu nas edic edi ciones iones publicadas después después de la imprenta
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El s oporte m aterial de los los algoritmos
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http://www http://www.eucli .euclide dess .org/
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Conclu Con cluss iones iones
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Bibliografía Bibl iografía …
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Créditos Créd itos de imágenes
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Poster www.euclides.org
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Prólogo: De entrada, no me importa confesar que siempre, desde niño, las Matemáticas (con mayúscula) nunca se me dieron bien. Ahora que empiezo este trabajo como ejercicio final de la asignatura INTRODUCCIÓN A LA HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS, debo reconocer –y agradecer- que si he llegado hasta aquí, con entusiasmo, con la ilusión de entregar un trabajo a calificar, se lo debo en todo al profesor Dr. José Manuel López Alonso. Según solemos comentar entre los alumnos del Curso 1ºA, José Manuel supo “meterse en el bolsillo al aula entera” desde el primer día en que empezamos a percibir su docencia. Así, haciéndose cercano a muchos quienes tenemos la Matemática como una materia áspera y dura, ha logrado sembrar en nosotros el interés por no faltar a sus clases, de atender a sus ilustradas exposiciones, y salir de la facultad con el sentimiento de haber aprovechado bien el tiempo durante de s us dis ertaciones. ertaciones. Así, poco a poco, intercambiando impresiones entre los compañeros de clase, hemos considerado de magistral los temarios “colgados” en el Campus Virtual, donde el complemento para entender y aprender esta “Introducción” está más que sembrado; es asimilable, comprensible, atractivo, aunque requiere el necesario esfuerzo, algo de sacrificio, y la necesaria perseverancia, para que una parcela de tanta historia y ciencia quede entre nosotros. Y me llamó la atención, precisamente, el titular de este trabajo. Pero no en su complejo desarrollo, nada menos que trece libros de hace más de dos mil años, de cuyos ejemplares existen numerosas copias, transcripciones, ediciones de hace siglos, impresiones recientes, o su aparición en una Red de redes como es Intern Internet et (1996/1 (1996 /1997) 997) Es decir, una obra tan monumental, como yo puedo considerar LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES, ha superado en 15 ó 16 años, todo lo inimaginable que podían pensar autores y estudiosos seguidores de Euclides “el geómetra” en ediciones posteriores, para llegar a ser consultadas sus formulaciones y dibujos por miles y miles de estudiosos científicos, en miles de lugares al mismo tiempo, en todo el mun m undo, do, sin tan s iquiera iquiera utiliz utili zar una gota de tinta ni un u n pedazo pedazo de papel.
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Este deta d etalle lle me m e entu en tusia siasmó, smó, y le propu pro puss e a mi profesor me permitiera permitiera hacer el presente trabajo desde esa perspectiva: en lugar de escoger un libro dedicado a la materia de Euclides, analizar el diseño del Website: http://www.euclides.org/ Es decir, estudiar si el dominio es atractivo, de manejo fácil, de contenido que resulte de interés, por si puede tener un acceso fácil e intuitivo; ¿es comple jo?, jo? , ¿m area tanto número y figura fig ura geométric eomé trica? a? O si por el contrari contrarioo viene ien e a demostrar que esa imagen de complejidad de las Matemáticas ¿es un producto de nuestro propio pr opio rechazo? rechazo? ¿O de la circu ci rcunns tancia de que no tuvimos tuvimos un buen ma m aestro en esta es ta m ateria, ateria, en época época estudiantil? estudiantil? Por tanto, agradezco desde estas líneas el apoyo recibido de mi profesor, aceptando el tema que le propuse. Gracias Gracias al es tím tím ulo recibido, recibido, todos los días días , durante mi cons cons tante tante asistencia a las clases, he inv i nves estitigado gado en busca de mater m aterial ial físico, físico, palpable; palpable; libros al a l fin y al cabo, donde mi sentido del tacto pudiera absorber, o cuando menos admirar, cómo la sabiduría de un singular geómetra griego ha vivido y supervivido, desde hace miles de años, entre misteriosos anaqueles para, a la postre, seguir estando vigentes como como es cierto que el s ol si s igue procurándono procurándonoss la luz y el calor que nos son tan necesarios todos los días. No sé si mi ejercicio resultará científico, aunque el profesor sí lo es. Pero, desde luego, estoy contento por el propio esfuerzo que me he impuesto; asistir a sus clases, investigar, intentar aprender un poco más cada vez que busco un libro; escudriño entre sus páginas, y me alegro cuando voy realizando el apunte necesario para constatar que no le falta belleza a la Matemática. Porque no todo está en los libros, entre los anaqueles de la Biblioteca de la Universidad Complutense, en la Biblioteca de mi barrio, en la del Real Monasterio de El Esc Es corial, en la l a Univ U niver erss idad de Salamanca, Salamanca, en Aleja Alejanndría, o donde don de sea. Ellos, por sí solos, no expresan una palabra; son los maestros, los profesores, y doctores, res , quiene quieness deberíam deberíam os considerar im im prescindibles prescindibles . As í creo hicieron hicie ron los los discípulo discípulos de Euclides Euclides ; y así, as í, entre entre todos ellos ellos , su s us es tudiosos continuadores, han logrado que la Matemática siga estando presentes entre nosotros nosotros . Página 4 de 46
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Antecedentes: Mi primera pregunta fue esta: ¿quién era Euclides? Y como suele ocurrir con otras grandes figuras culturales del mundo antiguo, ha llegado más a nosotros el ec e co de su s u importante importante obr ob ra en lugar de curios curios os detalles detalles relativ relativos os a su vida. Por más que he investigado, no he dado con sus orígenes familiares, su condición condición s ocial, ocial, su s u infancia, infancia, juventud, juventud, ad a dolescencia. olescencia. De los apuntes, me he construido el siguiente Escenario histórico poc po ca:
Año :
Científ Cie ntífii cos:
Siglo VI a.C.
T ales, ales, Pit Pi tágoras.
Siglo V a.C.
Hipócr Hip ócrate atess de Quí Qu íos Platón (428-347) (428-347) funda la Academia Academia de d e Atenas. 387 38 7
Siglo IV a.C. 335 33 5
Arquitas, Arquitas, T eeteto, eeteto, Eu doxo. doxo. Autólico de Pita it ania. Aristóteles (384-322) funda el Liceo en Atenas. Menecmo. Madurez de Eudemo de Rodas, discípulo de Aristóteles. Aristeo.
Siglo III a.C.
300 30 0
Madurez de Euclides. Euclides. Arquímedes (hacia 287-212) Apolonio (hacia 260hacia 190)
Siglo II a.C.
Hips Hip si cl es. Hiparco.
Siglo I a.C.
Estrabón Estrabón..
Siglo I d.C.
Herón de Alejandría
Siglo II d.C.
T olomeo olomeo..
Siglo III d.C.
Diof Dio fant an to
Siglo IV d.C.
Siglo V d.C.
320 32 0
Madurez de Pappus P appus..
370 37 0
Madurez de Teón Te ón de Alejandría lejandría
438 43 8
Proclo (410/12-485) Director de la Escuela de Atenas. Juan Estobeo. Boecio (480-524)
Siglo VI d.C.
Eutocio de Ascalona. Isid Isidoro oro de Milet Mile to. Simplicio Simplicio (hac (hacia ia 500-549)
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Los datos biográficos sobre este autor, se reducen a pocos comentarios y anécdotas recogidos en obras escritas varios siglos después de su muerte, en la época final de la cultura greco-romana, y en los inicios de la Edad Media. 1 La teoría teoría má m ás aceptad a ceptadaa sobr s obree su vida, puede puede ser es ta: Euclides Euclides , quien dem ostró en s us ideas ideas sobre las m atem atem áticas áticas la influencia influencia del filóso filósofo fo Platón, Platón, er e ra más joven que los discípulos directos de este último; además era anterior a otros dos grandes matemáticos de Grecia, claramente anterior a Apolonio y casi ciertamente anterior a Arquímedes, según expongo en el cuadro de la página anterior. Conforme he podido estudiar, hago este resumen: •
Platón murió en el año 347 a.C.
•
Arquímedes rquím edes vivió, vivió, aprox ap roxim imada adam m ente, entre los año añ os 287 y 212 a.C.
•
Apoloni pol onioo viv vivió ió en e n la ciudad de Alejandría, lej andría, Egipto, mediado el siglo sig lo III III a.C.
•
Euclides alcanza su madurez hacia el 300 a.C., entre finales del siglo IV y princi prin cipios pios del sig si glo III a.C.
Esto lo justifican sus historiadores, gracias a los breves pasajes existentes dedicado dica doss a su per pe rs onalidad; el más antiguo a ntiguo s e observ obs ervaa en una de las últimas obra o brass ma tem m ática ática , escrita por Pappus, autor bien actide esta cienc cie ncia ia gri g riega: ega: Colección mate vo en Alejand lej andría ría duran durante te los los primero prim eross años del siglo si glo IV d.C. Por otra parte, y para para com plicar más más la l a investi inves tigación, gación, me encuentro encuen tro que que los Euclides de M egara y Euclides de Alejandría . Según he historiadores hablan de Euclides comprendido el primero era un filósofo cuya doctrina se inspiró en Sócrates, y que vivió un siglo antes. La confusión viene por parte del historiador romano Valerio Máximo , en el siglo I d.C. cuando habló de un “Euclides geómetra” contemporá-
neo de Platón. El error fue corregido en el siglo XVI, por Federico Commandino, autor de una imponente traducción latina de LOS ELEMENTOS, publicada en 1572.
1
MILLÁN MILLÁ N GASC GASCA, A, A. A. ( 2004) 2004) EUCLID ES. La La fuerza del razonamiento razonamie nto.. Edit Edit . Nivola Ni vola..
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Intentando identificar al máximo esta gran figura de la Grecia antigua, he insertado en la página 5 una foto conseguida al entrar en el servidor Google heleno: http://www.google.gr/ Y por otra parte, tal como aprendimos en clase, me he fijado en una de las grandes obras de Rafael “La Escuela de Atenas”. Se trata de un fresco ubicado en la Signatura del Vaticano. En el centro se puede ver a Platón, con el Timeo, señalando al cielo, y Aristóteles, con la Ética, presidiendo un gran número de personajes que no eran contemporáneos entre ellos. Viene a representar que la citada Escuela celebra la “investigación racional de la verdad”
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En el detalle de la izda., he destacado el personaje que tiene un compás en su mano; los estudiosos citan se trata de una demostración de la cuadratura del círculo, aunque siguen en la duda de que pudiera ser Euclides o Arquíme Arquímedes. des. Página 8 de 46
Alejandría: Del matemático más famoso de la Antigüedad, natural de Tiro, estiman sus historia histori adores que se educó educó en Atenas Atenas . Por esta razón conside considerran s u buen conocimiento en la geometría de Platón. El primogénito de la Dinastía Ptolemaica2 Ptolomeo I (304-282 a.C.) fue el encargado de dar a la ciudad fundada por Alejandro El Magno un nivel cultural, sin parangón en ningún rincón del mundo entonces conocido. De esta forma se hizo en cada uno de los reinos según quedó dividido el Imperio de Alejandro, fundando centros de enseñanza y bibliotecas con el fin de alcanzar una supremacía cultural. La primera noticia que se tiene respecto a la Biblioteca, se cita en una descripción que Hecateo de Abdera realiza sobre el templo-tumba de Ramses II. En una sociedad soci edad que que se centra centra en la religión, como se hiciera h iciera en en el Antiguo ntigu o Egipto, Egipto, el templo se cita, tradicionalmente, como el centro fundamental del aprendizaje. Recientes investigaciones sobre el origen, la naturaleza y el propósito de la antigua Biblioteca de Alejandría, dicen que se pueden agrupar en dos teorías rivales: una tesis griega (de carácter helénico y creada a semejanza del Liceo aristotélico) y otra tesis asiática (organización mesopotámica) Se dice que esta última debe con cons iderars iderars e su s u condición condición más directa Euclides llegó a Alejandría, llamado por Ptolomeo I. Fundó una escuela de geometría, consiguiendo que ésta fuera la más importante del mundo helenístico. El faraón egipcio egipcio le l e solicitó compusiera compusiera un manual manual con el que qu e pudiera pudiera es tudiar tudiar la geometría3. En dicho te xto debía incorporar la l a obra y conocimientos que de todos todos los autores anteriores habían escrito sobre el tema. Durante el desarrollo de este trabajo, Euclides debió residir, en Alejandría, en el barrio de Bruchium, en las casas que mandó construir el faraón junto a su Palacio Real y la Biblioteca. Algo similar a una residencia, para intelectuales y artistas, y se le debió exigir a cambio que dejara una copia de sus obras en la Biblioteca, para incorporarla al fondo de m anus nus critos critos , que tanto pres pres tigio tigio dio a la l a misma. 2
2008) La Bi blioteca blioteca de Alejandría . Edit. Edit.La Laii a. DE CASTRO LEA LE AL, L. ( 2008)
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SANZ HERMIDA, J.Mª (1999) Los s eis libros pri meros meros de la geometría geometr ía de Euclid Euclid es. Edit. Universida Uni versidadd d e Salamanca. Salamanca. Página 9 de 46
Hasta este último punto, ya ya s e empieza empieza a relatar el fundamento, fundamento, la sustancia, de la gran Biblioteca de Alejandría, conforme las aportaciones de quienes allí acudían; acudían ; es es tudios tudios os o s abios abios científicos científicos ampar ampa rados bajo el mec me cenaz ena zgo de d e los los faraones greco-egipcios. Respecto si a Euclides dirigió la famosa Biblioteca, existen igual de lagunas como discrepancias. Me remito al resumen de Demetrio de Falero4, quien aun sin si n tener el título de bibliotecario se puede decir que fue el primero de estos profesionales: Bibliotecari Bibl iotecario: o:
Desde: Desd e:
Hasta:
Dem Dem etrio de Falero
297 a.C. ¿?
282 a.C.
Zenódo de feso
282 a.C.
260 a.C. ¿?
Calím Calím aco de Cirene
260 a.C. ¿?
240 a.C. ¿?
Apoloni pol onioo de Rodas Rodas
240 a.C.
230 a.C.
Eratósto Eratós tones nes de Cirene Cirene
230 a.C.
195 a.C.
Aristófanes ris tófanes de Bizancio Bizancio
195 a.C.
180 a.C.
Apoloni pol onioo de Alejand lej andría ría
180 a.C.
160 a.C. ¿?
Aristarco ris tarco de Sam Sam otracia otracia
160 a.C.
131 a.C.
Mi estimación personal se inclina más hacia la labor que desarrolló Euclides, encargada por el faraón de su época: consi consiss tió princ pri ncipal ipalm m ente en exponer de forma ordenada un cuerpo teórico (un conjunto de resultados homogéneo que desarrolla un tema de investigación matemática de manera muy completa) que había sido diseñado por alguno de sus antecesores. Se estima pudo introducir m ejoras en la suces suces ión de res ultado ultadoss , bien de d esde el punto de simplicidad o de la fuerza de las demostraciones.5 Puesto Pues to que no se han conservado es es crito critoss originales de dos grandes autores anteriores, como son Teeteto y Eudoxo, los estudiosos recurren a los ELEMENTOS en el intento de conocer mejor su pensamiento matemático. Los ELEMENTOS son, por tanto, una fuente que nos autoriza con tal de acercarno acercarnoss a los orígenes orígenes mismos mismos de las mate ma temática máticass en Grecia. Grecia. 4
Alej andría andría . Edit.Laia. DE CASTRO CASTRO LEAL, L. (2008) La Biblioteca de Alej
5
EUCLIDE S. La fuerza del r azonami ento. Edit. MILLÁN MILLÁ N GASC GASCA, A, A. A. (2004) EUCLIDE Edit. Nivola.
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Dicha fuente, fuente, la he res res umido me m ediante diante el siguie s iguiente nte cuadro, donde donde relaciono relaciono sus temas, los libros que contienen éstos, y sus diferentes contenidos que componen: Los trece libros de los Elementos
Geometría plana
Libro I
Figuras Figura s rectilíneas rectil íneas
Libro II
Relaciones entre magnitudes geométricas planas Método de aplicación de áreas
Libro III
Figuras Figura s circu ci rcull ares: círculos y circunferencias circunferencia s
Libro IV
T eoría de las figuras fi guras in scrita s y ci rcunscri rcunscri tas
T eoría eoría de la proporc proporción ión
Libro V
Geometría Geom etría plana plana
Libro VI
Aritmét Aritmé ti ca
Libros Libro s VII-VIII-IX VII -VIII-IX
Teoría de la i nconmennconmensurabilidad
Libro X
Clas Cla sifica ci ón de l as canti canti dades dade s inconmens inconmen surables urabl es
Libro XI
Figuras Figura s sól idas
Libro XII
Relaci Rel aciones ones entre en tre m agnitudes geométr geomét ri cas sól idas Método de exhaución
Libro XIII
Polied ros regulares
Geometría del espacio
Aplic Apli cació aciónn de la teoría general de la p roporción roporción a la geometría plana plana
Y me voy a fijar en uno de ellos, concretamente el libro VII6, que también trata, junto al VIII y IX, de la Aritmética. Aquí es donde citan los estudiosos se encuentra “e “ el algoritmo de Euclides Euclides”: ”: un un m étodo étodo antiguo que que conocemos conocemos como como el máximo común divisor de dos núm eros eros . Ahora bien, ese método antiguo que decimos hoy, siguió los avatares de todos los ELEMENTOS, archivados mediante copias amanuenses por las distintas bibliotecas que siguieron las tesis asiáticas. Es decir, cayeron los diferentes imperios, romanos, egipcios, etc., y durante la Edad Media se despreciaron esos ejemplares por estar escritos en griego mientras, precisamente, se imponía el au6
PEÑ PEÑ A MARÍ, R. (2006) De Euclides a Jav Jav a . Edit. Nivola.
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ge del latín com com o le l engua culta en todo el orbe que los cri cris tianos tianos pudieron pudieron gobernar. Y como todo lo asumido en nuestra lengua, empezando por “al” tiene su correspondiente raíz árabe, los estudiosos matemáticos confirman que la palabra algoritmo proviene del nombre de un matemático árabe del siglo IX llamado Muhammad ibn Mũs ã al-Khawãriz al-Khawãrizm m i7 cuyos escritos traducidos al latín en los siglos siguientes, tuvieron mucha influencia en la Europa Occidental. Esto, se precisa comprender, fue posible gracias a la originalidad de Euclides que ha permitido considerar a su obra como intemporal, por la forma de ordenar y exponer –con un método sintético que se caracteriza por el enlace progresivo de las proposiciones, presentadas en grado creciente de complejidad- cuestiones ya conocidas, para alcanzar un sistema que fuese inatacable desde el punto de vista de la lógica. lógica. Por tanto, fueron los árabes y todos los imperios que formaron, quienes se ocuparon de difundir la algoritmia, pórtico del álgebra (árabe también). Partiendo de esa base, en el transcurrir del tiempo moderno la invención de algoritmos hizo posible la invención de notaciones cómodas y seguras para expresarlos y comunicarlos a la máquina: los lenguajes de programación . Visto desde el siglo XXI, se pued pue de considerar que que las computadoras computadoras sur su rgier gie ron como una una necesidad de algoritmia y no al contrario.
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Jav a . Edit. Ni vola. PEÑA PEÑA MARÍ, R. R . (2006) De Euclides a Jav
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Las ediciones ediciones de Euclides: Conforme he venido indagando, observo que los manuscritos de la obra de Euclides es una investigación continua. También he tenido oportunidad de contemplar la reproducción fidedigna del Papiro de Oxirrinco8 que estudios recientes datan entre los años 75-125 d.C., fue descubierto en los restos de una antigua ciudad de origen griego (Oxyrhynchus) situada unos 160 kilómetros aguas arriba de El Cairo, durante las exploraciones realizadas por científicos de la Universidad de Oxford (1896-1897)9
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El fragmento está escrito en griego y contiene la proposición 5 del Libro II de LOS ELEMENTOS sin la demostración. Tomo nota de que en términos modernos, puede ser interpretado como la formulación geométrica de la siguiente identidad algebraica: algebraica: a b + ( a – b )2 / 4 = ( a + b )2 / 4 Este documento es propiedad de la Universidad de Pennsylvania, pues también participó económicamente en la mencionada expedición.
8
DE CASTRO CASTRO LEAL, L. (2008) La Biblioteca de Alej Alej andría andría . Edit.Laia.
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EUCLIDE S. La fuerza del r azonami ento. Edit. Edit. Nivola. MILLÁN MILLÁ N GASC GASCA, A, A. A. (2004) EUCLIDE
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También me resulta resulta inter i nterees ante relacionar relacionar algunos lgunos de los ma m anuscritos nuscritos m ás antiguos de LOS ELEMENTOS, escritos en griego: Sigla Sigl a
Lugar Lug ar
Biblioteca Bibl ioteca
Siglo Sigl o
B
Oxford (Reino (Rei no Unido) Unido)
Bodleta Bodl etann Libr Lib rery
IX
P
Roma (Italia) (Italia )
Biblioteca Bibl ioteca Vaticana atican a
X
F
Florencia Floren cia (Italia)
Biblioteca Bibl ioteca Laurenziana Laurenziana
X
b
Bolonia Bolo nia (Italia) (Italia )
Biblioteca Bibl ioteca Comunale
XI
V
Viena ien a (Aus (Austria) tria)
Nation Natio nalbibliothek albibliothe k
XII (¿?)
p
París
Bibliothèq Bibl iothèque ue Nationale
XII
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Por tanto, sabiendo que durante la Edad Media la ciencia de Euclides estuvo ignorada, menos para los árabes, hubo copistas y comentaristas dedicados a reprod repro ducir los los ma m anuscrito nuscri toss . A Algunos lgunos de aquellos aquellos se consideraban consideraban obras obras de arte, y no por el contenido científico de las ediciones, y sí por el arte con que estaban ilustrados. Así se llegó al descubrimiento de la imprenta, y el adelanto que supuso para los editores de entonces. De la época Moderna, he tomado nota de algunas ediciones publicadas después de la invención de la imprenta: 1482 14 82
Venecia
Primera Prime ra edición de lo s Elementos Elemento s (se (se trata de la traducción latina del árabe realizada por Giovanni Campano de Novora en el siglo XIII).
1505 15 05
Venecia
T raducción raducción l atina del gri gri ego por po r Bartolomeo Bartolomeo Zambe rti rti .
1509 15 09
Venecia
Nueva edición de l a traducción de Campano revi sada por Luc Lu ca Pacioli.
1572 15 72
Pesaro
T raducción raducción l atina de Federi Federi co Conmmand onmma ndin in o.
1633 16 33
Basilea
Primera Prime ra edición de lo s Elementos Elemento s en griego (editio pri pri nceps) reali zada por Simon Grynaeus.
1703 17 03
Oxford Oxfo rd
Primera Prime ra edición completa en griego y en l atín de las obras ob ras de Euc Eu clides, preparada por David Gregory.
1814-1814 18 14-1814
París
Edición trilingüe (griego, la tín, franc fran cés) de los Elemen tos por po r Françoi Françoi s Peyrard.
1883-1916 18 83-1916
Leipz Leip zig
Euclidis opera op era omnia, omnia , de Johan Ludvig Heibe rg. rg.
Pero no me queda yo tranquilo, al advertir que en esta relación no figura, precisamente, ninguna publicación realizada en España. Cuando, justamente, investigando en la Biblioteca de la Facultad de Geografía e Historia encuentro una reproducción facsímil del libro titulado: LOS SEIS LIBROS PRIMEROS DE LA GEOMETRÍA DE EUCLIDES, datado en Sevilla en el año 157610 Esta publicación fue posible gracias al cosmógrafo Rodrigo Zamorano, nacido en 1542 en Medina de Rioseco (Valladolid) Su edición se cita como una traducción literal de la obra de Euclides, y se considera utilizó como fuente la edición de 1482 de Ratdolt, y también pudiera haberlo hecho con la edición de Zambertis de 1505. Se han hecho comparación del impreso y del manuscrito observando pequeñas pero numerosas diferencias desde el mismo prólogo al lector. 10
SANZ HERMIDA, J.Mª (1999) Los s eis libros pri meros meros de la geometr ía de Euclid Euclid es. Edit. Universida Uni versidadd d e Salamanc Salamanc a. Página 15 de 46
A continuación, expongo algunas de las portadas cuyos libros he tenido ocasión de consultar on-line en Bibliotecas de la Universidad Complutense:
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EL SOPOR SOPO RTE MATERIAL MA TERIAL DE D E LOS ALGORITMO ALGORITMOS S: Superado esos primeros soportes que he comentado, desde el papiro hasta los ejemplares editados después de la invención de la imprenta, no conviene olvidar olvidar un antiguo antiguo so s oporte físico com com o es el ábaco. Curiosos también los huesos del matemático John Napier (1550-1617), la máquina de otro matemático, físico y filósofo francés Blaise Pascal (1623-1662); el telar del ingeniero francés Joseph Marie Jacquard (1752-1834), quien diseñó un dispositivo que se podía acoplar a un telar convencional, mediante el cual los hilos de la urdimbre se levantaban automáticamente, en una cantidad y orden preestablecido, de tal mod m odoo que q ue el telar tela r tejía un dibujo determinado. determinado. Los adelantos en este campo siguen constantes en los países más adelantados, gracias a sus científicos, hasta la llegada del siglo XX, donde podemos ver el nacimiento de los computadores electrónicos tal como los conocemos hoy. Dos son los impulsos que llevan a estos logros: la necesidad de contar con tablas astronómicas fiables, y las ecuaciones que rigen el movimiento de los proyectiles balí bal ís ticos ticos dada s u complejidad y neces nece s arias arias de cuantiosos cálculos cálculos11. En los primeros años del siglo pasado, los computadores fueron diseñados y construidos en las universidades e instituciones públicas. También utilizaron tarjetas perforadas de cartulina, como el anterior citado telar francés, hasta que en 1953 la multinacional IBM comercializa su primer tambor magnético, y cintas magnéticas para la entrada/salida de datos. En todo este proceso, relatado de forma tan breve, los algoritmos no han dejado de estar presentes. Las formulaciones matemáticas, que los ingenieros en programación han de hacer comprensibles a los procesadores, reduciendo al máximo posible el espacio donde se han de calcular, dan en utilizar un sistema tan antiguo como lo es y se sigue utilizando: el ábaco, que, reducido a la más mínima expresión electrónica he h emos mos conocido por “bit” “bi t” o digito binario. Se consigue así, mediante mediante un “bit” o un “octeto” la combinación binaria de ceros y unos consigan un registro de 256 combinaciones distintas. 11
PEÑ PEÑ A MARÍ MARÍ , R. (2006) De Euclides a Jav Jav a . Edit. Nivola. Página 19 de 46
Siguen avanzando las combinaciones matemáticas, gracias a la unidad de aritmética en los procesadores, y la unidad de control para organizar los procesos de datos. Se hacen a tan alta velocidad, que se precisan los algoritmos para diseñar unos código códigoss de ins ins trucción trucción binarios s em ejante jan tess a estos estos que relac rela ciono a continuación: Instrucción
Código Có digo binario
Parar
0000 000 0 0000 0000 0000
Cargar
0001
CargarValor
0010
Almacenar
0011
SaltarSiC SaltarSi Cero
0100 010 0 00
SaltarSiN SaltarSi Neg
0100 010 0 01
SaltarSiPo SaltarSi Poss
0100 010 0 10
SaltarSiD SaltarSi Des
0100 010 0 11
Saltar
0101 010 1 00
Copiar Cop iar
0110 011 0 0000 0000
Sumar
0110 011 0 0000 0001
Restar
0110 011 0 0000 0010
Mult
0100 0000 0011
Div
0110 011 0 0000 0100
Es preciso dar un salto hasta los años 50 y 60 del pasado siglo, porque de extenderme en tan interesante tema cabe añadir miles de hojas como esta, para llegar a citar los primeros lenguaje de alto nivel: FORTRAN, ALGOL 60, COBOL, LISP… Luego la programación se haría más estructurada: PASCAL, C y UNIX, e incluso para la orientación de los objetos (donde quiero llegar) SIMULA 67, SMALLTALK, C++ y el JAVA e INTERNET, que es el programa necesario y un medio de comunicación imprescindible para llegar a la obra que deseo analizar. Todo, claro está, mediante el uso de la microinformática, y el reconocido sistema Windows, que ha popularizado el acceso a estos procesos, matemáticos por supuesto, por donde la humanidad sigue estudiando e investigando. Página 20 de 46
http://www.euclides.org/
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Cuando accedo a la primera página, compruebo que la misma ha recibido un total de 480.735 visitas, habiendo tomado los derechos para su publicación en castellano y catalán entre 2002/2003, mientras que el copyright para su primera edición por Internet se cita en 2006. En su cabecera se menciona que es la 3ª edición de LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES, 300 a.C. Esto es posible, gracias a otra herramienta informática con que se ha desarrollado este navegador navegador web vis visitado: itado: Applet que junto ju nto al program program a JAVA puede HTML, una página Web. De esta forma el internauta incrustarse en un documento HTML, puede acceder a una determinada información gráfica, y a veces interactúa con ella; como es la razón del presente estudio. El registro que figura como certificado de mi exposición dice: Copyright Applet © 1996/1997 (Junio 1997) El creador creado r y autor de tan excele excelente nte trabajo es el profesor David E.Joy E.Joyce, ce, responsable del Departamento de Matemáticas, Computación y Ciencia, de la Clark University, con domicilio en 950 Main Street, Worcester, MA 01610, es decir, en el estado de Massachusetts. El correo E-Mail del citado autor:
[email protected] Página 21 de 46
Ahora bien, bi en, según he veni veniddo investigando durante durante todo este tiempo, tiempo, he rectificado igualmente mis primeros apuntes. Tanto es así que, comentando cómo llevo este trabajo, con mi profesor, en la cafetería de la Facultad, me puso en antecedentes de que el Website de Euclides.Org se debe a una iniciativa de la Universidad Politécnica de Cataluña. Este Es te detalle m e valió para s eguir las pesquisas, pesquisas , bus bus cando cando entre los los recov recoveecos que uno acierta a desentrañar del citado Website, hasta tomar contacto con la dirección electrónica de Euclides.Org desde donde me confirman que esta página Web no está adscrita a ninguna Universidad. Se trata de un proyecto abierto con licencia de Copyfreedom. Me lo ha confirmado, nada menos, que el propio autor y mantenedor del Website: Jaume Domenech Larraz; aunque este detalle lo he sabido por el Departamento de Filología Clásica e Indoeuropeo, de la Universidad de Salamanca, gracias a su página Recursos en Red para la Filología Clásica . Jaume es Profesor de dibujo artístico y técnico del IES Rutllant de Gelida, región catalana del Alto Penedés. He inves investigado tigado la firm firm a o Web Webs ite: www www.copy .copyfreedom freedom.co .com m res ultando s er un foro con el siguiente Copyright: © LA LIBERTAD HUMANA DE INVESTIGACIÓN DEL CONOCIMIENTO, y otro más: © 2012 Copyfreedom Online desde 14/04/20 14/04 /2007 07 - Libertad del Cono Conoccimie imi ento Fundación para para la Inves Investigació tigación. n. Fundada en 2005, Copy Cop yfreedom es es una autoriz autori zación que tiene un enfoque univ uni versal para p ara divulg divulgar ar el conoc ono cimie imi ento lo más amplio posible pos ible y la cienc ien cia más allá al lá de los datos datos de cas cas os o de monopolio monopolio por parte p arte de individuos, individuos, empresas empresas , instituciones fundaciones o gobiernos. Mejor dicho, es una licencia para difundir el conocimiento o el trabajo libre, y requiere que todas las modificaciones y versiones extendidas extendidas de que la infor inform m ación ación sea s ea libre tam tam bién. Todo esto es posible, como es lógico, gracias a disponer de un espacio físico donde albergar la dirección virtual de Euclides.Org, es decir tener contratado ese espacio en una empresa de las características como es CatalanHost donde podemos encontrar: servidores, hosting, dominios, SEO’s, etc. Donde Don de s í intervino la citada citada Universidad Poli Politécn técnica, ica, fue en la presentación presentación de este Website, el día 29 de octubre de 2003, en su Facultad de Matemáticas y Estadís Estadís tica, s egún egún el pos ter que incluyo ncluyo al a l final final del presente presente trabajo. Página 22 de 46
La com com posición posición de su página página de d e in i nicio, es la siguiente: siguiente:
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¿Quién era Euclides?
EUCLIDES
Idiomas: Inglés. Alemán. Portugués. Árabe. Italiano. Catalán. Rus Rus o y Chino.
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Los ELEMENTOS de Euclides
La Edición Ratdol 1482
4 - Los Elementos de Euclides
4
5 – Definiciones de Heiberg en Latín
6 – Imágenes Im ágenes de Euclides Euclides
8 – Referencias a Euclides en Internet
9 – Diferen D iferente tess Ediciones Ediciones de los los Elementos Elementos
11 – Sobre las Líneas Indivisibles
7 – Artículos s obre Euclides Euclides
10 – FAQ – Preguntas frecuentes
12 – 1482 Los Elementos Elementos en edición Ratdol
13 – Mapa de la Web
15 - PUBLICIDA PU BLICIDAD D
14 – Bus Bus cador cador
16 - LINKS Página 23 de 46
Que vo vo y a intentar desarrollar por po r cada uno de sus apartados: apartados: 1
¿Quién era Euclides?
Euclid ucl ides es de Alejandr Alejandríía -alrededor -alrededor del 300 3 00 a.C. -, conocid c onocidoo com co mo " El Padre adr e de la Geometría" era un matemático griego del periodo Helenístico que destaco en Alejandría, Egipto, casi con total seguridad durante el reinado de Ptolomeo I (del 323 aC al 283 aC). Sus Elementos es el más famoso texto en la historia de las matemáticas. En él, los principios geométricos son deducidos a partir de un reducido número de axiomas. El método método de demostrac demostración ión de teore mas de Euclides por deducción lógica lógic a a partir de los principios aceptados sigue siendo una columna vertebral para todas las matemáticas, impregnando el asunto con su característico rigor formal. Además también contribuyo a la poesía. Después de escribir varias tragedias, se le considera uno de los cinco grandes dramaturgos de su tiempo. Aunque es conocido por su aportación a la Geometría, los Elementos tamb tamb ién incluyen incluyen teorí teor ía de números, análisis de la rel r elación ación entre números nú meros perfec perf ec tos y los núm nú meros prim pri mos de d e Marcene, la infinitud infinitud de los núm nú meros primos, pri mos, el lema de la la f actorización de Euclides Euclides (que lleva lleva al a l teore ma fundam funda mental de la aritm ar itmét ética ica en la singularidad de los números primos factorizados), y el algoritmo de Euclides para encontrar el máximo común divisor entre dos números. Euclides también escribió sobre perspectiva, secciones cónicas, geometría esférica, y superficies cuadrigas posibles.
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Los Elemen E lementos tos de Euclides
"La ciencia es la hu humildad mildad en la búsqueda búsqueda de lo verd v erdadero adero y en cuanto cuanto pierda esa humildad humildad ya no es e s más que una for fo rma de embaucamiento". embaucamiento".
Los Elementos -año 300 aC.-, son un trabajo fascinante de la ciencia al que cabe dedicar atención, estudio y conocimiento por razones varias de naturaleza distinta. Su belleza,belleza,- una ra r azón sin lugar a dudasdudas- colabor c olaboraa en el desarroll des arrolloo lógico de la geometría y de otras ramas como las Matemáticas y las Ciencias Exactas; otra razón, la eficacia que emana de la obra lo que determina su valor universal que la distingue de otros intentos. Los Elementos se han transmitido a lo largo de 24 siglos a través de mil ediciones y en lenguas como el griego original, el árabe, el latín y lenguas modernas como Ingles, alemán, Euskera y esta versión en Castellano y Catalán. Todo ello orientado a formar elementos de juicio en el lector lector.. "Los com c omienzo ienzoss tuvieron tuvieron una base intuitiva y empí empírica. rica. El rigor se convirconvirtió en una necesidad con los griegos, y -aunque se lograra poco hasta el siglo XIX- por un momento pareció alcanzado. Pero todos los esfuerzos por perseguir el rigor hasta el final han conducido a un callejón sin salida, donde ya no hay acuerdo sobre que significa realmente. La matemática sigue viva y con buena salud, pero solo mientras se apoye en una base pragmática." Esta versión de los Elementos nace con dos intenciones; recuperar el interés intrínseco intrínseco de la obra por su valor valor universal universal y divulgar divulgar una versión versión interactiva que combina los trazados de geometría dinámica y una versión contemporánea del texto en diversas lenguas para su comparación. El documento El uso del Apple de Java que ilustra esta versión es de consulta recomendada. Gracias a la autorización expresa de David Joyce a quien este proyecto debe su agradecimiento por la dimensión practica que aporta a la reflexión y al estudio de la geometría. Es el movimiento de los elementos geométricos lo que genera la percepción de espacio tridimensional en el aparato conceptual de cada uno y que disipa en ese sentido ciertas ambigüedades ineludibles de los trazados estáticos.
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La Edición Ratdol 1482
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Edición de los Elementos de Euclides impresa en 1482 por ( Ratdol, el discípulo más avanzado de Gutenberg. Su título original en latín es Opus Elementorum y aseguran los expertos que es la edición de los Elementos más antigua y mejor conservada del mundo.
3 .1 Link consulta Edición Ratdol Digital
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Los Elementos de Euclides
I, II, II , III III,, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII, XIII. Introducción. In troducción. Uso del applet de Geomet Geometría ría . Euclides. Euclides . Defini Defini ciones ciones revias. revias . Libro Libr o I. Los fundamentos fundamentos de la Geometría Geometría . Teoría Teoría de l os triángulos, paralelas y el área.
Libro Libr o IIII Álgebra geométrica
Libro II IIII Teoría de la circunferencia Libro V Teoría Teoría de las proporci roporci ones abstractas Libro VII Funda mento mento de la teoría teoría de los números.
Libro IX IX Teoría de los números.
Libro XI
Libro IV IV Figuras inscritas y circunscrita Libro VI Figuras geométricas semejantes y proporcionales.
Libro VIII Continuación de proporciones a la teoría teoría de l os números números .
Li bro X Clasifi Clasifi caci aci ón de los los i nconmens conmensuurables.
Geometría Geometría de los sólidos sólidos . Libro XII Libro XIII XIII
Medi Medicci ón de fi gura gurass .
Sólidos regul regul ares. Página 27 de 46
5 – Definiciones de Heiberg en Latín Euclidis opera omnia
Heib Hei berg and a nd H. Meng Mengee (1854-1928)
I, II, III, IV, V, VI, VII, X, XI.
Liber I Definitiones (23) Postulata (5) Communes animi conceptiones ( 5)
Liber II Definitiones (2)
Liber III Definitiones (11)
Liber IV Definitiones ( 7)
Liber V Definitiones (18)
Liber VI Definitiones ( 4)
Liber VII Definitiones (22)
Liber X Definitiones ( 4)
Liber XI Definitiones (28)
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6 – Imágenes Im ágenes de Euclides Euclides
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7 – Artículos s obre Euclides Euclides
8- Geometry Geometry and Space Henri Henri P oincaré
1010 - The Origin of Geometry Michel Michel Serr es
1212 - Encontrando espacio en el currículo para la Geometría actual. Joseph Malkevitch
1414 - Acerca del Razonamiento en Geometría Rina Hershkowitz
1717 - Intentos de demostración del
7- Geometría Geometría y Física Luis Luis San talo
9- Las transformaciones del espacio de infinitas dimensiones. Jaume Aguadé
1111 - El postulado de Euclides. Rafael Barret
6- De Euclides a Newton Newton Renato Alvarez Nodarse
2222 - Hacer ver, hacer sentir Dr. D. Luis Vega Reñón
2323 - Introducción al Caos Determinista Juan M. Ag uirr egabiria egabiria
1313 - Componentes de una histoLuis Puig ria del álgebra. Luis
1515 - Geometría Eterna
2424 - From Thales to Euclid Valentin Valentin F. Turchin Turchin
2525 - Mathematics Mathematics before befo re the
quinto postulado de Euclides .
Vagn Lundsgaar d Han-
greeks
Luis J. Hernández Paricio
sen
Valentin Valentin F. Turchin
1616 - Comentarios sobre los Elem Elem entos de Euclides. Luis J. Hernández Paricio
1818 - La Rioja y su lugar en en la transmisión de los Eleme Elemenntos. (Monasterio de Yuso)
abierta y sus su s 1- La creación abierta enemigos.
1919 - Espacio y Plano
2626 - Antropología de los núme-
Adrien Douad D ouady y
ros y la matemática. matemática. Víctor Manuel A larcón Viudes
2020 - El camino camino a seguir Profesor Profesor Vinicio Villani
2121 - Historia de la Geometría Euclidiana,
2727 - Historia de la Geometría JDL Euclides.org
2828 - Here’S Here’S Looking Looking at Eu clid clid Robin Wils Wils on
Asger Jorn
3- Breve Historia de la Lógica Jaume Jaume Domenech Larr az
5- La demostración en perspectiva. Luís E.Moreno Armella
2- Perspectivas en el ensayo de la Geometrí Geometríaa del XXI. Profesor Profesor Vinicio Villani
4- Euclides Miguel Peña
2929 - Euclides Euclides y la Matemática Matemát ica Difusa Alic Alic ia Delibes
3030 - El Agrimensor ha muerto Antonio Escoho tado tado
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8 – Referencias a Euclides en Internet
EDICIONES IMPR MP RESAS Y EDICIONES VIRTUALES DE LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES Y OTROS OT ROS TRABAJOS TRABAJOS..
1- http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html 2- http://farside.ph.utexas.edu/ 3- http://www.physics.ntua.gr 4- http://special.lib.gla.ac.uk/exhibns/month/june2001.html 5- http://www.math.ubc.ca/people/faculty/cass/Euclid/byrne.html 6- http://www.perseus.tufts.edu/cgi-bin/ptext?lookup=Euc.+ 7- http://www.obkb.com/dcljr/euclid.html 8- http://mathworld.wolfram.com/Elements.html 9- http://www.health.uottawa.ca/biomech/csb/laws/euclid.htm 1010 - http://www.math.ubc.ca/people/faculty/cass/Euclid/ts/ts.html 1111 - http://www.pandd.demon.nl/elementen.htm 1212 - http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/euclid/elem.html 1313 - http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/papyrus/papyrus.html 1414 - http://www.rarebookroom.org/Control/eucmsd/index.html 1515 - http://www.rarebookroom.org/Control/eucgeo/index.html 1616 - http://farside.ph.utexas.edu/euclid.html 1717 - http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk
BIOGRAF AS DE EUC EUCLIDES LIDES.. NOTAS NOTAS BIOGR BIOGR FICAS Y DE OTROS AUTORES
1818 - http://www.lib.virginia.edu/science/ 1919 - http://www.mcs.drexel.edu/~crorres/Archimedes/contents.html 2020 - http://www.math.tamu.edu/~dallen/history/euclid/euclid.html 2121 - http://ccat.sas.upenn.edu/awiesner/gkdem.html 2222 - http://www.cut-the-knot.org/triangle/pythpar/PTimpliesPP.shtml 2323 - http://www.dm.unipi.it/pages/maurolic/edizioni/euclide/intro.htm 2424 - http://www.nexusjournal.com/Sbacchi.html 2525 - http://cs.unm.edu/~joel/NonEuclid/ 2626 - http://mathforum.org/geometry/wwweuclid/index.html 2727 - http://www.du.edu/~etuttle/classics/nugreek/contents.htm Página 31 de 46
9 – Edicione Edi cioness de los los Elementos Elementos
01
Edición medieval del año 888 manuscrito a mano alzada. Está escrito en griego y se conoce por "Bodleian Manuscript". Es una de las primeras ediciones localizadas de los Elementos .
02
Folio 8r of Euclid's Geometry and other other texts France: c.1480 c .1480 MS Gen 1115. The only possible exception to this is a copy of Euclid's Elementa (MS Gen 1115) and other geometrical treatises w hich bears bears the date 4th December 1480.
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04
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06
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Pergamino del siglo XIX escrito en griego. Euclid's Elements, written about 300 B.C., a comprehensive treatise on geometry, geometry, proportions, proportions, and the theory th eory of numnumbers, is the most most long-lived of all all ma themat themat ical w orks. Primera edición de 1482. Euclid Elements of Geometry Printed by Erhard Ratdolt Venice:1482 Sp Coll BD7-c.5 The oldest textbook on geometry still in use today, the Greek math mathee matician aticia n Euclid compiled this w ork in in c.300 BC. BC. Preclarissi mus liber elemen elemen torum toru m Euclidis perspicacissimi: in artem Geometrie incipit quã foelicissime. Venice: Erhard Ratdolt, 1482 La primera edición de los Elementos, no fue publicada en Griego hasta 1533. Con inscripciones de Philippus Romualdus Bissonius, 1742. Los Elementos de Euclides. Edición Princeps de 1533. Demostración del Teorema de Pitágoras.
EUCL IDES, 306-238 a. C. HER EUCL HERVA VA GIV GIV M, 1533. - [12], 268 p. : il. ; 2º (31 cm) Adams E 980 ; BM [STC GER] 288. Ilustrado. - Tarjas. - Marca de impressor na folha de rosto. Assin. : a 6, a-h 6, q 4, i-c 6, Y 4 BN S.A. 708 A. -
From John Dee's Preface to Euclid's Elements of Geometry, translated by Henry Henry Billingsly Billingsly (1570) Dartmouth College Hanover, NH, USA 03755
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Euclidis Elementorum libri XV ; accessit XVI De solidorum regularium comparatione : omnes perspicuis demonstrationibus accuratisq[ue] scholiis illustrati / auctore Christophoro Clavio ...
Primera traducción al castellano de Rodrigo Zamorano. 1576
Euclidis,... Elementa, libri XV, ad germanam geometriae intelligentiam e diversis lapsibus temporis injuria contractis restituta, adimpletis, praeter majorum spem, quae hactenus deerant, solidorum regularium coferentiis ac inscriptionibus. PELETIER, Jacques, 1517-1582 IA COBI PELETARII CEN CENOMA OMANI, NI, In In Euclidis Elementa Geometrica Demonstrationum Libri sex. Ad Carolum Lotharingum, Principem, Cardinalemq; amplissimum. La primera traducción de los Elementos en inglés obra de H. Billingsley y publicada el 1582 por John Daye. It is surely the most elaborate of all editions of Euclid. Billingsley had technical advice from the notorious self-styled mathematician John Dee, and the edition includes a famous preface by him Claude F. Milliet (1621-1678) The elements of Euclid explain'd plain'd in a new , but most most easie me thod ... / Written in French by ... F. Claud. Francis Milliet de Chales ... - 6th. ed. - London : Printed for f or J. Knapton and D. Midw inter
André Tacquet. 1727
Edición del siglo XVIII. Mediolani 1733.
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Gaspar Álvarez (1704-1759) Elementos geométricos de Euclides, dispuestos en methodo breve y fácil para mayor comodidad de los aficionados, y uso del real Seminario de Nobles de Madrid.
Andrew Tacquet. 1783
19 Traducción de Oliver Byrne. Londres. 1847
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Euclid The Thirteen Books of The Elements Thomas L. Heath reprint: Dover (1956) ISBN Volume 1 0-486-60088-2 Volume 2 0-486-60089-0 Volume 3 0-486-60090-4
Ed ición de de I. Barro Barr ow , Londres, 1678.
Traducción medieval del árabe al latín de Los Ele Ele mentos de Euclides, por Adelardo de Bath en 1142.
Edición medieval del año 888. Códice MS D’Orville 301, fol. 46r. Bodleian Library. University of Oxford. Este manuscrito en griego es una de les primeras ediciones que se conocen de Los Elementos de Euclides.
Manuscrito árabe de autor desconocido.
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Manuscrito persa de los Elementos de Euclides, comentados por Nasir al-D al- Din al- Tusi (siglo (s iglo XIII).
26
Editio princeps de los Elementos de Euclides. (S. Grynaeus el viejo, Basilea, 1533). Ejemplar de la Biblioteca del Monasterio del Escorial.
27
Folio 11 recta de l a impresión impresión de d e J.Tacuinus J.Tacuinus (Venecia, ( Venecia, 1505). Es una edición latina ricamente ilustrada. Ejemplar de la Biblioteca Nacional de Francia.
28
Primera página de la edición latina de los Elementos de Euclides de Paganius Paganinus (Venecia, 1509). Ejemplar de la Biblioteca de Catalunya.
29
Página con las definiciones de los Elementos de Euclides en la edición latina de Henrici Stephanus. París, 1516. Ejemplar de la Biblioteca de la Universidad Complutense de Madrid (Marqués de Valdecilla).
30
Primera página de la edición en alemàn de los Elementos de Euclides de J.Kündig. Basilea, 1562.
31
Primera página con las definiciones del Libro IV de la primera edición en francés de los Elementos de Euclides (Libros I–IX). Obra de Pierre Forcadel de Beziers (París, 1565).
32
Frontispicio rontispicio de d e la primera im i mpresión en inglés (Londres, 1570) de los Elementos de Euclides. Posible traducción de Sir Sir Henry H enry Billingsley. Billingsley. Cierta cr ítica histórica la atribuye a Jhon Dee, autor del prefacio.
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10 – FAQ Preguntas frecuentes
Que a lógica prim prim igenia se refiere, refiere, con una un a revis evisiión su s uperficial perficial se s e adm adm ite de toda la obra que Euclides legó a la posteridad. Esta edición de los Elementos es la segunda fase de traducción al Catalán y Castellano en versión interactiva de la obra fechada alrededor del año 300 aC. Influyente en la matemática -(gr. máthema, conocimiento)-, la física y la tecnología se ha editado, publicado y reproducido hasta nuestros días a través de miles y miles de ejemplares. De todas las ediciones que han contribuido a la transmisión de este conocimiento -génesis de la lógica deductiva- han sido consultadas para esta edición y hasta el momento:
E. Joyce, David. Cla rk Uni Uni versi ersi ty, 950 Main Street, Worcester, MA 01610, USA. Digital edition: http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/ elements.html. Euclid´s Ele ment ents. s.
Edición en inglés basada en la versión de Heath y de Heiberg .
Puertas Castaños, María Luísa. volúmenes. enes. Editorial Gredos, Elementos. T res volúm 1991. Edición más prestigiosa en lengua castellana.
ISBN 84-249-1463-5 www.matematiques.net
Publicada en la red desde 1984.
Heath, Sir Thomas Little (1861-1940). The thi rteen rteen books of Euclid Euclid 's Element Elements s trans- trans- lated from the text of Heiberg with introduction and commentary.
Edició Di gital. En inglés in glés:: http://www.perseus.tufts.edu .Tres volúmenes. University Press, Cambridge, 1908. Second edition: University Press, Cambridge, 1925. Reprint: Dover Publ., New York, 1956. Reviewed: Isis 10 (1928), 60-62.
Byrne, Oliver. Oliver. l os sei sei s primeros lib ros. Elements. Edición de los Edición digital digital por Bill Cass Casselman. el man. University of British Columbia.
Ratdolt, Erhard. Elements. Original y versión digital. En latín. 1 volumen, 1482. Edición Edició n Digit igi tal .
Heiberg, Johan Ludwig (1854-1928), and H. Menge. Euclidis Euclidis opera omni omni a. 8 vol. & supplement, in Greek. Edició Di gital. En ingl in glés: és: http://www.perseus.tufts.edu/cgibin/ptext?lookup= bin/ptext?lookup=Euc.+1 Euc.+1 T eubner, eubner, Leipzig, Leipzig, 1883-1916. Edited by J. L. Heiberg and H. Menge.
http://www.math.ubc.ca/people/faculty/cass/Euc lid/byrne.html .
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11 – Sobre la Líneas Indivisibles
Libro I ¿Existen acaso las líneas indivisibles?. ¿Y hay en todas las magnitude magnitudes , en gen g eneral, eral, alguna cosa sin s in partes partes , tal com com o as eguran algunos algunos ? I - II - III - IV - V I - II - III - IV - V I - II - III - IV - V - VI I - II - III - IV - V - VI - VII - VIII - IX - X - X I
Libro II I - II - III - IV - V - VI - VII - VIII - IX - X A partir de esto queda claro que la línea tampoco se compone de puntos y para eso convienen la mayoría de los mismos argumentos.
Libro III Y no es e s cierto tampoco decir del del punto pu nto que es lo más pequeño pequeño de lo qu q ue hay en la recta. I - II - III - IV - V I - II - III - IV - V - VI
NOTAS: 1 Del gr., «expresar o enunciar un pensamiento, mensaje o texto ». En alusión a Hermes Trismegistro diremos que su legado sigue impresionando a cuantos neófitos y expertos conocen sus datos biográficos. Fuentes de Saber Antiguo I. JDL 2006. http://www.euclides.org/menu/imatges/escola.htm 2 Acuñado por Dawkins el término meme hace referencia referencia a la in formac orma ción mínima que expresa una idea « sin ruído ni eco» y se transmite de un cerebro a otro, de una generación a otra según su nivel de fecundidad. Éste referimos sin sin duda está está rela rela cionado con el meme d el método científico que ha demostrado d emostrado su me me al que nos referimos «longevidad» como idea, su «fecundidad» a pesar de barbaries como la Inquisición y su fidelidad en la copia por po r l o que que se refie refiere re a su su tran smisión. DAWKINGS, DAWKINGS, Memes: Los nuevos replicadores . Cap. XI de El gen egois- ta . Memeslosnuevosreplicadores.htm
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12 – 1482 Los Elementos Elementos en edición Ratdol Euclid´s Eucli d´s Elem Elem ents ents . Opus Opus Elementorum. Ratdol, 1482. 1482 . 282 282 Página Pág inass Dividido Dividido en los siguie s iguiente ntess apartados: apartados:
Y conecta con: co n:
Introducción:
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TAPA SELLO
CONTRATAPA MANUSCRITO
LOMO
M TR TRICA ICA
ETIQUETADO
GUARDA
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13 – Mapa del Web
Los XIII Libros de Euclides en Castellano
Introducción Uso del Applet de Geometría Euclides Referencias a Euclides Definiciones Libro I Definiciones (23) Postulados (5) Nociones Comunes (5) Proposiciones (48) Libro II Definiciones (2) Proposiciones (13) Libro III Definiciones (11) Proposiciones (37) Libro IV Definiciones (7) Proposiciones (16) Libro V Definiciones (18) Proposiciones (25) Libro VI Definiciones (4) Proposiciones (33) Libro VII Definiciones (22) Proposiciones (39)
Dentro de cada paréntesis se indican las distintas conexiones que tienen los libros relacionados. cionados. En E n cada una de ell e llas as se encuentran las figuras geométricas de Euclides, que se pueden modificar gracias al programa Applet encriptado dentro de Java. En total son 602 conexiones, conexiones, para practicar con cada uno de los contenidos especificados en los libros de Euclides.
Libro VIII Proposiciones (27) Libro IX Proposiciones (36) Libro X Definiciones I (4) Proposiciones 1 - 47 Definiciones II (6) Proposiciones 48 - 84 Definiciones III (6) Proposiciones 85 - 115 Libro XI Definiciones (28) Proposiciones (39) Libro XII Proposiciones (18) Libro XIII Proposiciones (18)
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14 – Buscar en Euclides.org
Dispone de una ventana, para buscar en Google. Y la siguiente información, con link de conexión en cada uno de ellos: historia de la logica - historia de la geometria - euclides - definicion de rectas paralelas - e lementos de euclide e uclidess - la logica - proposiciones - los los elemento me ntoss de euclides euclides - postulados - proposicion - los los e lemento eme ntoss - la geometria - evolucion de la logica - historia de la logica matem matematica atica - figuras figuras s oliolidas - euclides.org - la historia de la logica - ejemplo de teorema - historia de la logica logica - anteced antecedee ntes de l algebra
Más una información com com plem plem entaria s obre el autor au tor de de LOS ELEMENTOS: ELEMENTOS:
Euclides de Alejandría -alrededor del 300 aC -, conocido como "El Padre de la Geometr Geometríía" era un matem mate mático griego del perí per íodo Helenístico que destacó en Alejandría, Egipto, casi con total seguridad durante el reinado de Ptolomeo I (del 323 aC al 283 aC). Sus Elementos es el más famoso texto en la historia de las matemáticas. En él, los principios geométricos son deducidos a partir de un reducido número de axiomas. El método de demostración de teoremas de Euclides por deducción lógica a partir de los principios aceptados sigue siendo una columna vertebral para todas las matemáticas, impregnando pregnando el asunto as unto con su caracterí carac terístico stico rigo r igorr f ormal ormal.. Ademá A demáss tam ta mb ién contribuyó a la poesía poesía . Después de escribi esc ribirr varias v arias tragedias, tragedias, se s e le considera considera uno u no de los cinco grandes dramaturgos de su tiempo. Aunque es conocido por su aportación a la Geometría, los Elementos también incluyen teoría de números, análisis de la relación entre números perfectos y los números primos de Mersenne, la infinitud de los números primos, el lema de la factorización de Euclides (que lleva al teorema fundamental de la aritmética en la singularidad de los números primos factorizados), y el algoritmo de Euclides para encontrar el máximo común divisor entre dos números. Euclides también escribió sobre perspectiva, secciones cónicas, geometría esférica, y superfícies cuádricas posible posibles. s.
También dispone de un contador de visitas: 484.723 según marcaba el día d ía 17 de m ayo ayo de 2012. 2012. Página 40 de 46
15 – Publicidad Publicidad
Esta es una muestra de la publicidad que inserta el Website de EUCLIDES, entre las pág pá ginas que se consultan; consultan; bien de la propia Univ Uni vers ers idad de Clark, o de libros libros y temas relacionados con la inteligencia.
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16 – LINKS
Además de todo lo comentado anteriormente, finaliza la página del Buscador en Euclide Eucli dess .org con los s iguientes iguientes links links para p ara acceder a nuev nuevas as informaciones informaciones sobr sob re el tema aquí aq uí tratado: tratado: Dirección Dir ección Webs Webs ite:
Contenido: Con tenido:
www.pitagores.com
Información matemática también, pero referida al matemática y filósofo filós ofo griego. Diseño s imilar imilar a la pág pá gina de Euclide Euclidess .org
www.euc www .eucliliddes.org
Es la comentada comentada en es te trabajo.
www.pappus.com
Referida Referi da al últi úl timo mo de lo l os grandes grandes geó ge ómetras grie gri egos Pappus de Alejandría nacido el 290 a.C.
www.polibio.org
Uno de los historiadores más prestigiosos de la antigüedad, nacido en Megalopolis, Peloponeso, Grecia, 200 a.C.
www.lobachevsky.com
Dedicado Ded icado a Nikolai Ivano Ivanovvich Loba L obach chev evss ky, ky, nacido en Rusia en 1792, distinguido profesor de matemática porque sus clases eran claras y detalladas y podían ser comprendidas, incluso, por los estudiantes peor preparados.
Website dedicado a la Geometría Fractal. Una geowww.geometriafractal.com metría que no distingue entre conjunto matemático y objeto natural. www.dibuixtecnic.com
Dedicada al dibujo técnico, edición en catalán y distintos apartados temáticos en castellano.
www..m atem www atem atiques atiques .net .net
Motores de búsqueda para la ciencia m atemática. atemática.
www.escohotado.org
Antonio ntoni o Escohotado Escohotado Espinos Espinos a (Madri (Madrid, d, 1941) es un destacado ensay ensa yista y profes or univers universitario itario cuyos cuyos trabajo trabaj os se s e han dirigido principalmente a los campos campos del derecho, la filosofía y la sociología, y que ha obtenido obten ido notoriedad pública debido a sus investigacio inves tigaciones nes acerc a cercaa de la l as drogas drogas . E Ess tá entre lo l os 70 pensadore p ensadoress recogidos en el diccion d iccionario ario de pensa pens adores del sig si glo XX
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CONCLUSIONES: Tal y como exponía al principio de este ejercicio, me he encontrado con un dominio atractivo, de sencillo manejo, con un contenido bien interesante, de acceso fácil e intuitivo. Si es atractivo, se debe a que lo complejo de la matemática se ha mostrado de una forma bella. Lo contrario, como decía, es un producto de nuestro propio rechazo dada la circunstancia –a mi entender- de no haber tenido antes un buen maestro, un buen profesor como el que yo he encontrado en este primer curso de la Universidad para los Mayores de 55 años en la Universidad Complutense de Madrid. El 29 de octubre de 2003 se presentaba este Website en la Universidad Politécnica de Cataluña, por el autor del mismo, el profesor Jaume Domenech Larraz, y en su primera edición en catalán. Posteriormente, para una razonada mayor difusión internacional, se publicó en el mismo Website en español. De este acto institucional, existe un interesante vídeo al que se puede acceder on-line a la propia Universidad, en su departamento de publicaciones virtuales. El autor de tan singular proyecto proyecto es es licenciado en en Bellas Artes Artes y profesor profes or de dibujo técnico en Barcelona, quien para su desarrollo ha contado con el apoyo de algunas grandes personalidades del mundo académico y matemático, además de un nutrido grupo de estudiantes de dibujo usuarios de la web, que contribuyen con sus visitas y agradables comentarios a la continuación y autofinanciación de un proyecto que hasta el momento no ha parecido interesar a las editoriales. El proyecto www.euclides.org empezó en 2002, cuando “vinculado al estudio del dibujo, la geometría y los principios básicos de la lógica y la deducción como mecanismo del intelecto”, el autor conoció el trabajo de David E. Joyce (Clark University, EEUU) y su Geometry Applet. Estimulado por este descubrimiento y tras recibir el permiso explícito de Joyce para la manipulación y uso de los applets, Domenech comienza a trabajar en la traducción al catalán “con el texto de Heath comparado con la edición de los Elementos de María Luisa Puertas y otras versiones ersiones originales originales a su alcance. alcance. La primera fase consistió en la traducción de los enunciados de los trece libros que componen los Elementos al catalán y al castellano. Poco a poco el interés despertado fue en aumento, mientras la web recibía unas 500 visitas diarias. Esta inusitada repercusión propició el inicio de la segunda fase, consistente en la Página 43 de 46
traducción del texto completo a ambos idiomas. Se encuentra ya disponible la correspondiente al Libro XIII, que el propio autor ha priorizado “por el interés académico de los sólidos regulares”. El proyecto recibió en su momento una carta de reconocimiento de la School of Mathematics and Statistics de la University of St. Andrews (Escocia, Reino Unido), anunciando un enlace a la web desde el MacTutor History of Mathematics archive, un referente de la historia de las matemáticas en Internet. Pese al éx é xito de es es ta edición online online,, el deseo del autor, Jaume Jaume Domenech, es crear una versión combinada en formato papel y soporte digital. Cabe señalar, finalmente, que gracias a las visitas procedentes de las universidades americanas y latinoamericanas y a su constante apoyo y reconocimiento han nacido varios otros proyectos satélites:
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http://www.geometriafractal.com
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http://www.lobachevsky.com
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http://www.pappus.com
En definitiva, estamos ante una excelente herramienta para la difusión y el conocimiento interactivo de LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES. Con el atractivo de haber sido un profesor catalán, dentro del estado español, quien se propuso realizar esta interesante Website. Incluso curiosa, como decía antes, para quienes siempre hemos tenido un cierto rechazo a esta materia que, gracias a nuestro profesor José Manuel López Alonso, he tenido ocasión de comprender la Matemática como algo realmente bello, bel lo, y cargado carga do totalmente total mente de d e naturaleza. naturaleza.
Pedro Miguel Ortega Martínez Madrid, 17 de mayo de 2012
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BIBLIOGRAFÍA
DE CA CAS S TRO LEAL, L. (2008) La Biblioteca de Alejandría . Edit.Laia. GARCÍA GARCÍA BACCA BA CCA,, J.A. (1944) Elementos de Geometría , Edit. Universidad Autónoma de d e Méx México. ico. MILLÁN GASCA, A. (2004) EUCLIDES. La fuerza del razonamiento. Edit. Nivola. Eucli des a Java . Edit. Nivola PEÑA MARÍ, R. (2006) De Euclid Nivola..
SANZ HERMIDA, J.Mª (1999) Los seis libros primeros de la geometría de Eucli- des. Edit. Universidad de Salamanca. Revista ta dig di gital de divulgación ivulgación mate ma tem m ática. ática. MATEMATICALIA(2006) MATEMATICALIA (2006) Revis
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CRÉDITO CRÉD ITOS S DE IMÁGENES IMÁGENES
(1) Proposic Proposición ión 47 del d el Libro I (2) Estatua de EUCLIDES EUC LIDES en la Un U niversidad de Oxford Oxford (3) La Esc Es cuela de Atena Atenass . Rafael. Rafael. Vaticano, Roma. Roma . (4) Sello Sello emitido el 6 de d e septiem septiem bre de 1983 en la Unión Unión Soviética. Soviética. ī ḥis āb al-j (5) Primera Primera página página de Kitāb al-mukhtaṣar f ī ḥ al -jabr abr wawa -l-m l-m uqābala.
(6) Papiro de Oxirri Oxirrinco. nco. Wikipedia. Wikip edia. (7) Manu Manuss crito más antiguo de Euclides. Biblioteca Bodleian. Bodleia n. Oxford. Oxford. (8) Edicione Edici oness SUIZA SU IZA 1537 153 7 e ITALI ITALIA A 1543 154 3 (9) Ediciones Ediciones 1558 y 1582 158 2 (10)
Edicio Edici ones 1591 y 1607 160 7
(11)
Edicio Edici ones 1620 y 1628 162 8
(12)
Edicio Edici ones 1633 y 1679 167 9
(13)
Edicio Edici ones ZARAGOZA ZARAGOZA 1723 172 3 y LONDRES LONDR ES 1816 181 6
(14)
1ª página pág ina de EUCLIDES.O EUCL IDES.ORG RG
(15)
Manus anu s crito original.
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