A Demonstração do Quinto Postulado Postulado de Euclides por Ptolomeu
Ptolomeu, ou Claudius Ptolemaeus, foi geógrafo e astrônomo e viveu no século II, em Aleandria! "oi o autor de um famoso tratado de astronomia em #$ livros, %ue c&egou até ' atualida idade através de uma tradução (ra)e* Almagesto! Porém, é num outro livro %ue Ptolomeu apresenta a sua demonstração do %uin %uinto to post postul ulad ado o de Eucl Euclid ides es!! + livro livro %ue %ue não não c&eg c&egou ou até até noss nossos os dias dias-intitulava.se Que Que linhas prolongadas de ângulos menores que dois ângulos retos encontram-se uma com a outra ! “
”
+ t/tulo pode &o0e não fa1er muito sentido! 2as, se tomar em conta %ue a/ se apresenta um estudo so)re o %uinto postulado de Euclides e até uma demonstração-, compreende.se %ue o %ue Ptolomeu afirma no t/tulo do livro é precisamente o %uinto postulado de Euclides, no sentido em %ue os 3ngulos %ue refere são os dois 3ngulos tam)ém referidos no dito postulado como menores %ue dois retos! A propósito da proposição 45 e referindo.se a Ptolomeu, Proclus escreve* a sua sua demo demons nstr traç ação ão [do [do quin quinto to post postul ulad ado] o] util utiliz iza a muit muitos os dos dos “
teorem teoremas as estab estabele elecid cidos os pelo pelo autor autor dos Elemen Elementos tos preced precedent entes es a este este [a proposição 29] !roclus" !roclus" s#c$ %" &'($)-*+, &'($)-*+,! Em)ora não reprodu1a toda a ” ”
argumentação %ue Ptolomeu utili1ou para demonstrar esses teoremas, Proclus apre aprese sent nta a as demo demons nstr traç aç6e 6ess de Ptol Ptolom omeu eu para para as prop propos osiç iç6e 6ess 47 e 45 dosElementos e para o %uinto postulado de Euclides!
Proposição 28 - Se uma linha reta ao cortar outras duas, fizer o ângulo externo igual ao ângulo interno oposto do mesmo lado, ou se a soma dos ângulos internos do mesmo lado for igual a dois ângulos retos, então, as linhas retas são paralelas entre si. 8e0amos a demonstração da proposição 47 do livro I dos Elementos de Euclides feita por Ptolomeu a partir do modo como Proclus a transcreve* “Seam !" e #$ duas linhas retas cortadas por uma linha reta %&'( de modo a fazer os ângulos "&' e &'$ iguais a dois ângulos retos. %u digo )ue as linhas retas são paralelas, isto *, não secantes. Se poss+el, seam &" e '$ prolongadas at* se encontrarem em . %ntão, como a linha reta '& corta a linha !", ela faz os ângulos !&' e "&' iguais a dois ângulos retos. $o mesmo modo, como '& corta #$, ela faz os ângulos #'& e $'& iguais a dois ângulos retos. #onse)entemente os ângulos !&', "&', #'& e $'& são iguais a )uatro ângulos retos, dos )uais dois, "&' e $'&, estão determinados como iguais a dois ângulos retos/ por este motio os outros dois ângulos, !&' e #'&, são tam0*m iguais a dois ângulos retos. Se então, )uando os ângulos internos são iguais a dois ângulos retos as linhas &" e '$ )uando prolongadas encontram-se uma 1 outra em , logo tam0*m &! e '# )uando prolongadas irão encontrar-se, pois os ângulos !&' e #'& são tam0*m iguais a dois ângulos retos. !s linhas retas irão encontrar-se ou em am0os os lados ou em nenhum se estes os ângulos internos deste lado3, como a)ueles ângulos internos do outro lado3, forem iguais a dois ângulos retos. Suponhamos então )ue &! e '# encontram-se em 4. %ntão as linhas retas 4!" e 4#$ cercam uma 5rea, o )ue * imposs+el. 6 por isso imposs+el )ue linhas se encontrem )uando os ângulos internos são iguais a dois ângulos retos. Por isso elas são paralelas.7 Proclus, s*c 9, :;2.2<-:;:.=8>.
9a transcrição apresentada v:.se %ue Ptolomeu utili1a uma definição de paralelismo %ue coincide com a de Euclides, ou se0a, as lin&as retas são paralelas se não se intersectarem não secantes-! 9ão é esse o seu erro na demonstração do postulado! ; sa)ido %ue esta proposição é demonstr(vel, no entanto, a dada altura, Ptolomeu parece cometer um erro ao não 0ustificar devidamente um passo da
demonstração, em %ue conclui do particular para o universal uma suposição! 9esta demonstração Ptolomeu %ueria provar %ue duas lin&as %ue satisfa1em certas condiç6es nunca se intersectam, mas não pode fa1:.lo ao provar %ue é um a)surdo %ue as lin&as %ue satisfa1em essas condiç6es se encontram sempre, %ue é o %ue é feito %uando di1 %ue se "< e =D se encontram, então A" e C> tam)ém se encontram por am)as satisfa1erem as tais condiç6es-! + %ue Ptolomeu tin&a %ue provar era %ue se "< e =D se encontrarem isso implica um a)surdo! Contudo, aparentemente, Ptolomeu não se limita a tomar por &ipótese %ue "< e =D se encontram, pois, di1 %ue se "< e =D se encontram, então A" e C> tam)ém se encontrarão por estarem nas mesmas condiç6es! +ra, então, 0( est( a supor %ue todas as lin&as nas referidas condiç6es os 3ngulos internos %ue fa1em, num dos lados, com uma reta %ue as intersecte a am)as, são iguais a dois 3ngulos retos- se intersectam, não pondo a &ipótese %ue, algumas ve1es, se encontram, mas não necessariamente sempre! ?ó assim seria a negação da proposição e %ue se redu1ida ao a)surdo provaria a proposição, como pretendia! + erro de lógica %ue Ptolomeu comete é %ue para provar %ue*
!? @odas as retas com as )uais uma terceira reta )ue as intersecte faz ângulos internos num lado cua soma * igual a =8
”
9ão )asta provar %ue é a)surdo*
"? @odas as retas com as )uais uma terceira reta )ue as intersecte faz ângulos internos num de um lado cua soma * igual a =8
”
Este tipo de demonstração é v(lida se demonstrarmos %ue a negação da proposição %ue pretendemos provar leva a um a)surdo! Contudo, a negação de* ! * #? (5 retas com as )uais uma terceira reta )ue as intersecte faz ângulos internos num lado cua soma * igual a =8
”
Ptolomeu sup6e %ue todas as retas com as %uais uma terceira reta %ue as intersecte fa1 3ngulos internos num lado cu0a soma é igual a #7@ se intersectam e, portanto apenas prova*
$? (5 retas com as )uais uma terceira reta )ue as intersecte faz ângulos internos, de um lado, cua soma * igual a =8
”
9esta demonstração, o erro aca)a por não ter conse%B:ncias, pois, a%uilo %ue Ptolomeu sup6e sem apresentar 0ustificação, pode ser demonstrado! Para a demonstração estar completa, Ptolomeu teria de 0ustificar o %ue di1 e mostrar %ue, se de um lado estas retas se intersectam, o mesmo teria de acontecer do outro lado! Citando >eat& #54, p! 4@-* .eria mais claro se ti/esse sido mostrado que os dois ângulos internos num lado de E0 são respecti/amente iguais aos dois ângulos no outro lado" nomeadamente 13 a 43 e 35 a A36 donde" ao assumir que 1 e 35 encontram-se em 7" podemos tomar o triângulo 73 e coloc8-lo por eemplo" atra/#s da rotação em torno do ponto m#dio de 3, de modo a que 3 caia onde est8 3 na :igura e 35 caia sobre A" e assim 1 tem de cair sobre 346 por isso" como 1 e 35 encontram-se em 7" 34 e A tamb#m t;m de encontrar-se num ponto correspondente <$=
8e0amos agora a demonstração apresentada por Ptolomeu para a proposição 45! 2ais uma ve1, Ptolomeu não usa o %uinto postulado! 2as, como era de esperar, a demonstração est( incorreta, pois é imposs/vel prov(.la sem este postulado!
Proposição 2B - Cma linha reta )ue corta duas linhas retas paralelas faz os ângulos alternos iguais entre si, o ângulo externo igual ao ângulo interno oposto e a soma dos ângulos internos do mesmo lado igual a dois ângulos retos. Eis a transcrição de Proclus da demonstração de Ptolomeu* “%u digo, por isso, )ue a rec+proca * tam0*m erdadeira, isto *, )ue )uando linhas retas paralelas são cortadas por uma linha reta, os ângulos internos no mesmo lado são iguais a dois ângulos retos. #omo * necess5rio )ue a linha )ue corta as linhas paralelas faça os ângulos internos no mesmo lado ou iguais a dois ângulos retos ou menores ou maiores )ue dois ângulos retos. Seam !" e #$ linhas paralelas, e sea '& uma reta )ue cai so0re elas. %u digo )ue não faz os ângulos internos no mesmo lado maiores )ue dois ângulos retos. Pois se os ângulos !&' e #'& são maiores )ue dois ângulos retos, os restantes ângulos "&' e $'&, são menores )ue dois ângulos retos. Das estes mesmos ângulos são tam0*m maiores )ue dois ângulos retos/ pois !& e #' não são mais
paralelas )ue &" e '$, logo, se a linha )ue cai so0re !& e #' faz os ângulos internos maiores )ue dois ângulos retos, então tam0*m a linha )ue cai so0re &" e '$ faz os ângulos internos maiores )ue dois ângulos retos. Das estes mesmos ângulos são menores )ue dois ângulos retos pois os )uatro ângulos !&', #'&, "&' e $'& são iguais a )uatro ângulos retos>, o )ue * imposs+el. !nalogamente nEs podemos proar )ue a linha )ue cai so0re as paralelas não faz os ângulos internos na mesma direção menores )ue dois ângulos retos. Se, então, ela o faz nem maiores nem menores )ue dois ângulos retos, a Fnica conclusão restante * )ue a linha )ue cai nelas faz os ângulos internos na mesma direção iguais a dois ângulos retos. @endo isto sido demonstrado, a proposição perante nEs o )uinto postulado3 pode ser incontestaelmente proada.7Proclus, s*c 9, :;G.=H-:;;.=G>.
Ao apresentar esta demonstração, Ptolomeu cr: %ue, provado isto, nada o impede de demonstrar o %uinto postulado de Euclides! De fato, Ptolomeu tem ra1ão ao afirmar %ue, provada esta proposição, pode provar o %uinto postulado de Euclides! Contudo, esta demonstração é incorreta! Ptolomeu apresenta o argumento de %ue, se A< e CD são paralelas, como "< e =D são tão paralelas de um lado %uanto A" e C= são do outro, então a soma dos 3ngulos internos de um lado teria de ser igual ' soma dos 3ngulos internos do outro! 2as, como Proclus referir( no seu coment(rio a esta demonstração, ele não poderia assumir isso! + %ue este argumento tem %ue l&e permitir( demonstrar esta proposição e depois o %uinto postulado é o fato de %ue, afirmar %ue "A e =C são tão paralelas para um lado %uanto "< e =D são para o outro, é e%uivalente a afirmar %ue, por %ual%uer ponto eterior a uma reta, passa uma nica paralela Aioma de PlaFfair-, %ue é e%uivalente ao %uinto postulado de Euclides! Gogo, se não est( a ser suposto o %uinto postulado de Euclides, este argumento não é v(lido e, portanto a demonstração é incorreta! Assim sendo, se o %uinto postulado não é suposto, Ptolomeu comete nesta demonstração um erro lógico do mesmo tipo do %ue cometeu na demonstração da proposição anterior, pois para provar %ue*
!? Sempre )ue uma reta cai so0re duas retas paralelas faz ângulos internos do mesmo lado iguais a dois ângulos retos ”
”
9ão )asta provar %ue é a)surdo
"? %xiste uma reta )ue so0re duas retas paralelas ou faz ângulos internos do mesmo lado maiores )ue dois retos nos dois lados da reta> ou faz ângulos internos do mesmo lado menores )ue dois retos nos dois lados da reta> ”
”
Como fa1 Ptolomeu! A negação de*
! * #? %xiste uma reta )ue ca+da so0re duas retas paralelas, não faz ângulos internos do mesmo lado iguais a dois ângulos retos ”
”
+ %ue deia em a)erto a &ipótese de &aver de um lado da reta 3ngulos internos menores %ue dois 3ngulos retos e do outro maiores %ue dois 3ngulos retos!Para provar %ue os 3ngulos internos são retos Ptolomeu sup6e, tendo em vista um a)surdo, %ue a soma dos 3ngulos internos num lado é menor ou maior %ue dois retos! 2as tam)ém sup6e em)ora 0ulgue dedu1ir- %ue os 3ngulos internos do outro lado verificarão eatamente a mesma propriedade, ou se0a, pressup6e %ue, se de um lado são maiores, do outro tam)ém o serão! +ra, o %ue tin&a de provar era %ue, se de um lado os 3ngulos fossem maiores ou menores %ue dois 3ngulos retos, então sim estar/amos necessariamente perante um a)surdo não forçando a %ue do outro lado isso se verificasse, pois isso só é verdade se considerar o %uinto postulado ou seu e%uivalente-! Depois de 0ulgar demonstrada a proposição 45 sem utili1ar o %uinto postulado de Euclides, Ptolomeu prossegue para a demonstração do próprio postulado sem ter consci:ncia %ue, para demonstrar a proposição 45, 0( o &avia utili1ado implicitamente-* “%u digo )ue, se uma linha reta cai so0re duas linhas retas e faz os ângulos internos no mesmo lado menores )ue dois ângulos retos, as linhas retas se prolongadas encontrar-se-ão nesse lado em )ue os ângulos são menores )ue dois ângulos retos. Suponhamos )ue elas não se encontram. Das se elas são não secantes no lado em )ue os ângulos são menores )ue dois ângulos retos, muito mais serão elas não secantes no outro lado em )ue os ângulos são maiores )ue dois ângulos retos, pelo )ue as linhas retas serão não secantes em am0os os lados/ e se assim for, elas são paralelas. Das foi proado )ue a linha )ue cai so0re paralelas far5 os ângulos internos no mesmo lado iguais a dois ângulos
retos. Is mesmos ângulos são por isso iguais a dois ângulos retos e menores )ue dois ângulos retos, o )ue * imposs+el7. Proclus, s*c. 9, :;;.=G-:;H.:>. Ptolomeu demonstrou %ue, nas condiç6es referidas, as retas se intersectam! Em seguida, completa a demonstração e prova %ue elas se intersectam do lado em %ue a soma dos 3ngulos internos é menor %ue dois 3ngulos retos e não na direção em %ue é maior* “Seam !" e #$ duas linhas retas, e sea %&'( uma linha ca+da so0re elas )ue faz os ângulos !&' e #'& menores )ue dois ângulos retos. Por isso os outros ângulos são maiores )ue dois ângulos retos. !gora 5 foi demonstrado )ue as linhas retas não são não secantes. Das se elas se encontram uma com a outra, ser5 ou no lado de ! e # ou no lado de " e $. !ssumamos )ue elas se encontram no lado de " e $ no ponto . %ntão como os ângulos !&' e #'& são menores )ue dois ângulos retos e os ângulos !&' e "&' são iguais a dois ângulos retos, se o termo comum, o ângulo !&', * su0tra+do, o ângulo #'& ser5 menor )ue o ângulo "&'. Segue-se )ue o ângulo externo do triângulo &' * menor )ue o interno oposto, o )ue * imposs+el. #onse)entemente elas não se encontram neste lado. Das elas encontram-se. Portanto elas encontram-se no outro lado, na)uele em )ue os ângulos são menores )ue dois ângulos retos.7Proclus, s*c. 9, :;H.=2-:;H.2H>.
E assim termina a demonstração de Ptolomeu do %uinto postulado de Euclides! +u mel&or, são estes os trec&os da demonstração de Ptolomeu %ue c&egaram até nós! Por%ue estes trec&os são transcriç6es feitas por Proclus da o)ra de Ptolomeu, não podemos sa)er ao certo se Proclus ter( reprodu1ido com eatidão a argumentação de Ptolomeu! Hesta.nos acreditar nas palavras de Proclus %ue declara citar Ptolomeu na totalidade das tr:s demonstraç6es apresentadas! HE"EH9CIA?
Autor do Artigo: MARQUES, Hugo. "As tentativas de demonstração do Quinto Postulado dos Elementos de Euclides". aculdade de !incias da Universidade de #is$oa. %&&'
<+9+GA, Ho)erto, >on-Euclidean 3eometr?" tradução inglesa de >! ?! CarslaJK 9eJ LorM* Dover Pu)lications Inc, #5! G+E8?NL, 9ic&olas, @he @heor? o: !arallels , tradução inglesa de =eorge alsted, in <+9+GA, Ho)erto, >on-Euclidean 3eometr? , tradução inglesa de >! ?! CarslaJK 9eJ LorM* Dover Pu)lications Inc, #5! <+GLAI, Oo&n, @he .cience o: Absolute .pace , tradução inglesa de =eorge alsted, in <+9+GA, Ho)erto, >on-Euclidean 3eometr? , tradução inglesa de >! ?! CarslaJK 9eJ LorM* Dover Pu)lications Inc, #5! DDGEL, nderJood, athematical 4ranBs , as&ington D!C!* R&e 2at&ematical Association of America, #554 ! >EAR, R&omas, G!, @he thirteen booBs o: Euclid s Elements translated Cith introduction and commentar? volume #-, 9eJ LorM* Dover Pu)lications Inc, #5S edição original #54-! =HEE9on-Euclidean 3eometriesD 5e/elopment and 0istor? , ?an "rancisco* ! >! "reeman and CompanF, #57@! PH+CG?, A 4ommentar? on the :irst booB os Euclid s Elements, tradução inglesa de =lenn H! 2orroJ, 9eJ OerseF* Princeton niversitF Press, #5T@! 8EG+?+, Eduardo, 3eometria" @emas ActuaisD ateriais para !ro:essores , Gis)oa* IIE, #557! ’
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