DEMOSTRACIÓN DE LA FORMULA DE DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA Dada la ecuación de una recta R en su fora i!l"cita# R # Ax + By + C = $ % un !unto P ( x$ & y$ ) & la distancia de este !unto a la recta ser'# D =
Ax$
+ By + C A + B $
(
(
Deostración# La distancia del !unto a la recta ser' la edida del se)ento !er!endicular a la recta R *ue tiene !or e+treos el !unto Q( x, & y, ) !erteneciente a la recta % el !unto P ( x$ & y$ ) R Q ( x 1, y 1 ) D P ( x 0,y 0 )
De-eos .allar la ecuación de la recta !er!endicular a la recta R *ue contiene a P# De R # Ax + By + C = $ .allaos la fora e+!licita des!e/ando y# y
=−
A B
x −
C B B
Coo la !endiente de la !er!endicular a R ser' y⊥
A
& !odeos escri-ir la ecuación de la recta !asante !or el !unto P#
B
= ( x − x ) + y $
A
$
Coo 0 es co1n a las dos rectas !odeos arar el si)uiente sistea de ecuaciones#
y y
A C = − x, − , B B B = ( x, − x$ ) + y$ , A
I)ualando#
− A x − C = B ( x − x ) + y ,
B
B
,
A
$
$
Des!e/ando x1
− B A
A B
x, −
x, +
A B
C B x,
= =
B A B A
B
x, −
−
x$
x$ A C
+ y
$
− y
$
B
B A B x − AC − ABy x + = AB A B − − B + A = B x AC ABy x (
$
$
$
$
,
(
,
(
(
AB
AB
x,
=
B ( x$
− AC − ABy B + A
$
(
(
Por otro lado si ree!la2aos y1 en la forula de distancia entre dos !untos teneos# D =
(
( x − x ) + ( y − y ) $
,
$
(
,
(
D =
( x
(
B B − x ) + y − ( x − x ) + y = ( x − x ) + y − ( x − x ) − y A A (
$
(
,
$
,
$
$
$
,
$
,
$
(
D =
( x
D =
( x
(
B B − x ) + y − ( x − x ) − y = ( x − x ) + − ( x − x ) A A B B − x ) + ( x − x ) − = ( x − x ) , + − = ( x − x ) A A (
$
(
,
$
,
$
$
$
,
,
(
(
$
,
$
(
(
,
$
(
$
$
,
$
A + B A (
(
,
(
(
Ree!la2ando x1
A + B D = ( x − x ) A (
(
$
,
(
(
=
A x + AC + ABy D = B + A (
$
$
(
(
(
B x − AC − ABy x − B + A (
$
$
$
(
A + B A (
(
(
(
(
A + B A (
(
( A x + AC + ABy = ( B + A ) (
$
$
(
( (
(
=
(
x B + x A − B x + AC + ABy A + B + B A A ) ⋅ ( A + B ) = A x + AC + ABy ⋅ , = A Ax + C + By ⋅ A A B + A B + A (
(
(
$
(
$
$
(
(
(
(
(
(
(
$
(
(
$
$
(
(
$
$
(
(
Ordenando D =
0uedando deostrada
+ By + C A + B
Ax$
$
(
(
