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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CAAGUAZU CIRCUITOS ELECTRICOS II - 2013
DEMOSTRACION DE LA FORMULA DE POTENCIA Si analizamos la potencia instantánea entregada por una fuente de tensión senoidal a un elemento de un circuito, conformado por un resistor y un inductor como se muestra en la figura 1, tomamos el caso del circuito conformado por un resistor y un inductor ya que es el caso más general.
las dos expresiones salen del seno y coseno de la suma de dos ángulos:
DEDUCCIONES DE QUE : =
−
y que . =
Podemos deducir la primera teniendo en cuenta que 2 = cos( + ) = = . . = Entonces: 2 =
Y si multiplicamos ambos de ecuación por -1 para cambiar los signos nos queda: 2 = +
Ahora si le sumamos a ambos miembros un 1, sabemos que no varía la expresión, luego: +1 2 = +1 +
Luego sabemos que + = 1, esto sale de la identidad fundamental + = 1, entonces 1 = , y la ecuación nos queda: 1 2 = 2
Luego: =
−
y quedo demostrada.
Ahora para deducir la segunda se utiliza el seno de la suma de dos ángulos, entonces: 2 = ( + ) = . + . = 2.
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Ahora sustituyendo en nuestra ecuación de potencia las fórmulas que acabamos de deducir tenemos: () = . (
1 2 2
2 2
)
Sacando como factor común nos queda:
() =
. 2
((1 2) 2. )
De acuerdo a la definición de valores eficaces esta ecuación quedará: () = . ((1 2) 2. )
Que es lo mismo que: () = . . 2. . 2.
De la cual podemos analizar lo siguiente:
El primer término de la ecuación es constante y representa el valor medio de la función, ya que los dos términos siguientes al integrarlos en un período, su valor es cero, o sea que o
P = U.I cos ϕ (Potencia media, ó Potencia activa)
La frecuencia de la potencia instantánea es dos veces la frecuencia de la corriente ó de la tensión.
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Ahora utilizando nuestra formula general de potencia, podemos deducir la potencia que existe en un capacitor ideal en donde la corriente se adelanta 90 grados respecto de la tensión entonces = 9 0 y entonces sustituyendo en la ecuación general: () = . 90 . 2. 90 . 2. 90
Como 90 = 0 y 90 = 1 , ya sabíamos que en un capacitor no existe potencia activa, solo reactiva, La potencia asociada a circuitos puramente inductivos ó capacitivos, se denomina “Potencia reactiva”, cuya expresión para valores instantáneos está dada por: () = . 2.
Siendo el valor medio en un período de la misma, igual a cero, pero para poder dimensionar la misma se adopta:
= .
Potencia reactiva
Por lo tanto la potencia reactiva en el capacitor es: = .