Demostración de derivadas de identidades trigonométricas

Demostración de derivadas de identidades trigonométricas. Demostración de la derivada de la función seno:

  b  ! se na c os b  cos a sen b

sen a

Sea f la función seno, de modo que: f (x ) ! sen  x 

De la def inición de la der iv ivada:

f

'( x ) ! lim

  (x   f x  

f x

( x

( x p0

Se emplea la pr imera f órmula para

f

'  x  ! lim ( p





(

x

!

lim

( x

( p x





 

(x 

  ( x  , por lo que:

se n x

x

lim

!

x

1  cos ( x 

sen x  (x   sen x 

(x p0

(x   s

x c os (x  c os x s

s

! lim



( p x



x 

?cos (x   1A

s



lim cos x  lim

( p x

1  cos ( x 

!

( x 

( x p

Y lim ( x p

s

(x  ( x 

!1

 Al sustituir estas dos ecuaciones en la anter ior, tenemos que: f

'  x  !

 0.se n x

c o s x.1 ! c o s

x

 

lim

( p

(x    x  (

( p x

Por medio de teorema s tenemos que:

l im



x

(

x

( p

lim s

x

s

cos x s x

(

(x  x

 

 

De este modo se ha demo strado el teorema siguiente:



D x  s

x

 ! c o s x 

Demostración de la derivada de la función coseno:

cos(a  b) ! cos cos acos cos b  senasenb

Si g es la función coseno, entonces: g (x) ! cos x 

! lim

g '( x )



g  x

 (x   g ( x) ( x

( x p0

! lim

cos x  (x   cos x (x 

(x p0

Se emplea la pr imera f órmula para co s x  ( x , de donde se obtiene:

g  '( x )

! lim

! lim

c os os x c os os ( ( x )  sen x sen co s x  sen ( (x )  cos ( x 

( x p 0

cos x ?cos( (x )  1A ( x

( x p0

!

lim

1  cos ( x  ( x

( p x



lim

 

sen sen (x   x sen (x 

(x p0





lim cos x 

( p x



lim

s

( p x



x 

lim

s

( p x

Por medio de teorema s tenemos que:

li m

( x p

1  cos ( x  ( x 

!

y lim ( x p

s

(x  ( x 

!1

(x    x  (

 

 Ahora sustituimos: g '(x) ! 0. cos x  sen x .1 ! sen x 

Y de este modo se demuestra el teorema: (sen x ) ! cos x 

 x 

Demostración de la derivada de la función tangente: Las

der iv ivadas de las funciones tangentes, cotangente, secante y cosecante, se obtiene de la s identidades tr ig igonométr ic icas que contienen al seno y coseno, así como las der iv ivadas de seno y coseno y los teoremas de diferenciación. Para la der iv ivada de la s identidades: tan x  !

se n x 

sec se c x  !

c o s x 

1

sen sen x  cos x ! 1 2

cos co s x 

2

Tenemos que: D x ( t a n x ) !

sec

x 

 Ahora lo demostramos, teniendo que:

¨ sen x  ¸ x  © ¹ ª cos x º

(tan x ) !  x

Podemos decir que:

!

cos x.D x (s

x )  s

cos

!

x .Dx (cos x )

!

(cos x )(cos x )   (s cos

 x

cos  x  s cos  x

x 

!

1 cos

x 

! sec  x 

x 

x )(s

x )

Derivada de la función cotangente: La

demostración del teorema de la der iv ivada de la fun ción secante, emplea la s siguientes identidades: c o s x 

c ot x  !

csc cs c x  !

x 

s

1 x 

s

El teorema d ice:

 x

c o s x 

( c ot  x ) !

x 

sen se n x 

!

 csc cs c

2

x 

Por lo tanto:

!

!

( c o s x ) ' se n

x

c o s x( c o s x)

2

se n x 

sen x sen x  cos x (cosx ) 2

sen x 

!

x  cos x 

s

s

1

!

s

x 

x  !  csc x 

Demostración de la derivada de la función secante:

El teorema de e sta der iv ivada nos dice: (sec x ) !  x

¨ 1 ¸ x  © ¹ ª cos x º

El teorema e s el siguiente: (sec x ) ! sec x tan x 

 x 

 

Y luego lo demostramos, teniendo en cuenta que:

¨

¸ ¹ ª cos x º 1

D x (sec x ) ! Dx  ©

Lo

cual indicamos de esta manera:

!

c o s x .

 x

(co s x )

(1)  1 . cos

!

2

 x

se n x 

cos

2

x

!

c o s x .0  1 .( se n x )

!

x 

cos 2

1



x

co s

! s e c x t

x 

se n x 

co s

x

 

x 

Demostración de la derivada de la función cosecante:

El teorema indica que: D x (csc x ) !  csc x cot x

 

Entonces: !

(1) ' sen x  1( sen x ) ' 2

sen x 

! 1

!

s



co s x  0  cos 2

sen x 

c o s x 

x  s

x 

!



c s c  x c o t

x