ÍNDICE UNIDAD 1
CONVIVIENDO CON LAS CUATRO OPERACIONES
Capítulo 1 Adición de números naturales .......................... 5
Capítulo 6 División de números naturales ......................... 34
Capítulo 2 Sustracción de números naturales ................... 12
Capítulo 7 Aplicación de la multiplicación y división de números naturales ...................................... 41
Capítulo 3 Aplicación de adición y sustracción ................. 20 Capítulo 4 Multiplicación de números naturales ............... 24 Capítulo 5 Complemento ................................................... 31
UNIDAD 2
Capítulo 9 Repaso .............................................................. 50
CONOCIENDO LA ANTIGUA ARITMÉTICA: LA TEORÍA DE LOS NÚMEROS
Capítulo 1 Divisibilidad y multiplicidad ............................. 54 Capítulo 2 Criterios de divisibilidad................................... 61 Capítulo 3 Números primos ............................................... 66
UNIDAD 3
Capítulo 8 Operaciones combinadas .................................. 45
Capítulo 4 Cantidad de divisores de un número ................ 73 Capítulo 5 Máximo común divisor y Mínimo común múltiplo........................................... 78 Capítulo 6 Complemento ................................................... 85
LOS NÚMEROS RACIONALES EN NUESTRA VIDA COTIDIANA
Capítulo 1 Números fraccionarios ..................................... 89
Capítulo 6 Números decimales .......................................... 123
Capítulo 2 Operaciones con números fraccionarios I ........ 99
Capítulo 7 Operaciones con números decimales................ 131
Capítulo 3 Repaso .............................................................. 107
Capítulo 8 Complemento ................................................... 136
Capítulo 4 Operaciones con números fraccionarios II ....... 110
Capítulo 9 Aproximaciones decimales ............................... 139
Capítulo 5 Aplicaciones de los números fraccionarios ...... 117
Aritmética UNIDAD 4
LA NECESIDAD DE SABER LAS UNIDADES DE MEDIDA
Capítulo 1 Conversión ........................................................ 145
Capítulo 6 Complemento ................................................... 169
Capítulo 2 Repaso .............................................................. 151
Capítulo 7 Estadística I ..................................................... 172
Capítulo 3 Razones ............................................................ 154
Capítulo 8 Estadística II .................................................... 179
Capítulo 4 Regla de tres simple ......................................... 159
Capítulo 9 Repaso .............................................................. 185
Capítulo 5 Porcentaje ........................................................ 164
TRILCE
UNIDAD 1
La primera calculadora, aún en uso y con varios miles de años de antigüedad fue el ábaco. Luego de eso y a partir de épocas relativamente recientes, se han desarrollado innúmeras máquinas capaces de realizar las cuatro operaciones. En esta imagen vemos una máquina de diferencias de Babbage, primera máquina programable, permitía calcular logaritmos.
CONVIVIENDO CON LAS CUATRO OPERACIONES
E
n cada actividad humana sea técnica, científica o cotidiana los números han jugado un papel muy importante... los números siempre están presentes y gobiernan el universo del hombre.
Aún en las tareas más simples como son la preparación de una comida, hacer compras, medir el tiempo de un juego, comprar el pan, colocar los platos y cubiertos sobre la mesa, mirar la talla de la franela que nos gusta para que mamá la compre, en fin, en todas y cada una de las acciones del ser humano se encuentran presente los números. •
Según la lectura: ¿los números siempre están presentes en nuestra vida cotidiana?, ¿y las operaciones básicas también lo están? ¿Por qué? Da algunos ejemplos.
APRENDIZAJES ESPERADOS
•
Identificar palabras en los enunciados relacio-
nándolos con las operaciones básicas.
Razonamiento y demostración
Resolución de problemas
•
•
•
Definir las cuatro operaciones e identificar sus
propiedades. Elaborar modelos de la vida real donde se aplique las cuatro operaciones: adición, sustracción, multiplicación y división.
• •
Comunicación matemática •
Identificar y utilizar diferentes formas de repre-
sentación de enunciados de las operaciones básicas.
•
Elaborar estrategias para la resolución de pro-
blemas de cuatro operaciones. Resolver problemas que involucren adición, sustracción, multiplicación y división. Resolver problemas de contexto real y matemático que implican utilizar las operaciones básicas. Identificar algoritmos que se puedan utilizar para resolver problemas.
Adición de números naturales
Adición de números naturales
1
En este capítulo aprenderemos: •
A reconocer, identificar e interpretar los elementos y propiedades de la "Adición".
•
A elaborar estrategias para la resolución de los problemas propuestos.
¿Cómo sumaban los egipcios?
L
a suma es la primera operación cuya necesidad siente el hombre; los dedos de las manos y las piedrecillas le bastaron en un comienzo, pero cuando irrumpe en el campo del comercio necesita fijar sus compras y sus ventas.
¿Cómo sumaban los egipcios y los caldeo–asirios? Los egipcios y los caldeo–asirios efectuaron la suma haciendo huellas en la arena, donde colocaban unas bolitas; cada una de esas bolitas en la huella de la derecha representaba un objeto; cada bolita en la siguiente huella (hacia la izquierda) representaba diez objetos ; en la siguiente huella representaba cien objetos; en la cuarta, mil objetos , etc. En el esquema que se da a continuación están los cuatro momentos de la suma de 647 + 285:
Primer paso
Segundo paso
El número 647
Se le añade 285
Tercer paso
Cuarto paso
Se dejan dos en la
Se dejan 3 bolitas en la segun-
primera columna
da columna
• Si tú fueras un egipcio, ¿cómo sumarías: 378 + 482?
Saberes previos 1. ¿Cuántas unidades hay en dos decenas?
4. Entre 5 docenas y 6 decenas, ¿quién es mayor? ¿Porqué?
2. ¿Cuántas unidades hace una docena? 5. ¿Cuáles son los números naturales? 3. ¿Cuántas decenas hay en una centena? Central: 619-8100
UNIDAD 1
5
Aritmética
Conceptos básicos
Definición La adición es la operación matemática que consiste en agregar, agrupar o añadir dos números o más para
obtener una cantidad final o total.
Elementos de la adición:
signo 15 + 26 + 108 = 149
→ suma
sumandos
Propiedades de la adición de números naturales Propiedad de clausura o cerradura Al considerar la adición de dos números naturales, es indudable que siempre se obtiene un número natural. En general, si "a" y "b" son dos números naturales y su suma es "c", "c" siempre es un número natural. Es decir: Si: a ∈
yb∈
entonces: a + b = c y c
∈
Ejemplo:
Si: 9 ∈
y 5 ∈ , entonces: 9 + 5 = 14 ∈
Recuerda que... Los números naturales ( ) son: 0; 1; 2; 3; 4; 5; ... ; ∞
Propiedad conmutativa "El cambio del orden de los sumandos no altera la suma". Es decir: Si: a ∈
y b ∈ , entonces: a + b = b + a
Ejemplo:
Si: 4 ∈
y 7 ∈ , entonces:
4+7=7+4
11 = 11
Propiedad asociativa "La forma como se asocien los números no altera la suma". Es decir: Si: a ∈
;b∈
y c ∈ , entonces: (a + b) + c = a + (b + c)
Ejemplo:
Si: 6 ∈
;2∈
y 8 ∈ , entonces:
(6 + 2) + 8 = 6 + (2 + 8)
8 + 8 = 6 + 10 16 = 16 Colegios
6
TRILCE
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Adición de números naturales
1
Sabías que...?
Elemento neutro de la adición "El cero es el elemento neutro de la adición". Es decir: Si: a ∈
entonces: a + 0 = a
Ejemplo:
Si: 17 ∈ •
, entonces: 17 + 0 = 17
Completa el siguiente cuadrado mágico, sabiendo que toda suma en cualquier dirección es la
misma; además los números deben ser diferentes del 1 al 16. 3
7
4 16
12 15
2
5
Síntesis teórica ADICIÓN DE elementos • Sumandos • Signo "+" NÚMEROS • Suma NATURALES Acción de
Agregar, agrupar o añadir sus propiedades son
Clausura
Conmutativa
Asociativa
Elemento neutro
"Si sumamos dos o
"El orden de los
"La forma como
"Si sumamos cual-
más números naturales, el resultado también es otro número natural".
sumandos no altera la suma".
agrupamos los sumandos no altera la suma".
quier número natural con el cero, el resultado sigue siendo el mismo número natural".
Ejemplo 8 + 9 = 17
Central: 619-8100
Ejemplo 12 + 13 = 13 + 12
Ejemplo (5 + 7) + 9 = 5 + (7 + 9)
Ejemplo 27 + 0 = 0 + 27 = 27
UNIDAD 1
7
Aritmética 10 x 5 50
Aplica lo comprendido 6. Completar según corresponda cada propiedad 8. El …………………………. de la adición es el cero. de la adición: • • • •
23 + …. = 15 + …..
Propiedad
•
Completar las cifras que faltan:
conmutativa 4. 0 + ….. = 29 Propiedad del elemento neutro (7 + 15) + …… = ….. + (….. + 9) Propiedad asociativa 46 + ….. = 70 Propiedad de clausura 5.
6 .... 7 3
+
9 ....
1 .... 2
5
8
7
1
5
7. La propiedad ……………………. nos dice que la
.... 2 ....
"forma como ………………….. los sumandos no altera la…………………."
.... 2 .... 0
+
Aprende más 1. Relacionar:
4. Si "A" representa a un número de tres cifras im-
a) 12 + 19 = 31
( ) Elemento neutro
pares y "B" a un número de cuatro cifras, hallar:
b) 28 + 46 = 46 + 28
( ) Propiedad con-
• El mayor valor que pueda tomar "A + B". • El mínimo valor que puede tomar "A + B".
c) 65 + 0 = 65
mutativa ( ) Propiedad de clausura
5. Compara el valor de las columnas "A" y "B" en cada fila coloca ">" ; "<" ó "=" según corresponda:
2. Efectúa las siguientes sumas: • 57 892 + 3 872
"A"
• 25 763 + 9 564 + 6 785
35 + 60 + 27
...
46 + 34 + 50
9 decenas + 27 unidades
...
53 unidades + 6 decenas
15 decenas + 19 unidades
...
19 decenas + 15 unidades
La suma de los 7 primeros números impares
...
4 decenas + 9 unidades
25 decenas + 30 unidades
...
2 centenas +7 decenas + 10 unidades
• 8 562 + 3 548 + 1 564 • 10 890 + 5 684 + 8 910
3. En las siguientes operaciones, halle lo indicado. •
Dar como respuesta el producto de la ma-
yor y la menor cifra encontrada. 6
.… 4 3 8 + 3 .… 2 ….
__________________ .… 3 5 …. 1 •
Dar como respuesta la suma de la mayor y
menor cifra encontrada. …. 8 6 …. 2 + 3 9 9 …. __________________ 4 … … 9 6 •
2 3
suma:
7 + 7 7 7 7 7 ... ... ...
Colegios
TRILCE
6 sumandos
7 +
… 2 …. 4 …. 2 ---------------------------------------... 1 3 4 …. 8 …. 8
6. Indicar las dos últimas cifras de la siguiente
Dar como respuesta la mayor cifra hallada. 3 …. 9
"B"
7
7 ... ... ... 7
7
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Adición de números naturales
7. Indicar la suma de las dos últimas cifras de la 10. Hallar la suma de cifras del resultado de sumar: siguiente suma:
333338 + 333383 + ... + 833333
1 + 1 1 1 1 1 ... ... ... 1
1
1 ... ... ... 1
11. Si: a + b = 7 12 sumandos
calcule: a5b + 2ba + ba3
12. Si: u42q + mqu3 + qe68 = aeuq4 calcule: q + u + e + m + a
1
13. Daniel tiene a56 soles y desea comprar una computadora que cuesta d194 soles para lo cual necesita bab soles. Calcule "a + b + d".
8. Efectúa: 4 + 44 + 444 + ... (9 sumandos)
14. Si: CHINA + IH1H = NIN62 hallar: C + H + I + N + A (H ≠ 0)
9. Calcule la suma de las tres últimas cifras de la siguiente adición:
15. La Sra. María, nació en el año 1979 y vivió 6a
2 + 28 + 282 + 2828 + ... + 28282828282
años, muriendo en el año 20ab. Diga usted el valor de "a + b".
Aplicación cotidiana En el siguiente esquema se muestra la población proyectada en forma anual en la provincia de Sa tipo.
Prov. Satipo. Población proyectada en forma anual 1993–2005 135 612 141 085 130 451 125 580
16. ¿Cuál fue la población de dicha provincia en los
146 832
años pares? 94 250
17. Indicar la población total en los cuatro primeros años de dicho gráfico
18. Si para el año 2007, la población se incrementó en 7 458 personas a comparación del año 2005, entonces, ¿cuál es la población en el año 2007?
1993
2001
2002 2003
2004
2005
¡Tú puedes! 1. Si: VV + VV + AA = UVA , calcular: U + V + A. a) 10
b) 12
c) 18
d) 19
e) 21
2. Si: 19ab + 18ab + 17ab + ... + 1ab = mxy77, determinar "a + x + y" a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
d) 12 567
e) 2 335
d) 27
e) 26
3. Si: (a + b + c) 2 = 484, hallar: abc + cab + bca + 111 a) 2 468
b) 25 553
c) 2 553
4. Hallar "a + b + c + d", si: 24abcd + 442 639 = abcd34 a) 28
Central: 619-8100
b) 29
c) 30
UNIDAD 1
9
Aritmética
5. Determinar la suma de todos los números ab que existen, tal que: a – b = 5 a) 360
b) 380
c) 320
d) 400
e) 480 18:10:45
Practica en casa 1. Completa las siguientes expresiones con algu- 4. En el siguiente cuadro completa los espacios en nas de las palabras del recuadro:
blanco para que la suma en las filas, columnas y diagonales se verifiquen. Indica el mayor de los números faltantes.
asociativa
uno
cero
conmutativa
suma
sumandos
suma
asociemos
distributiva
resultado
sumandos
ordenemos
71 18
9 32
11 • Los
términos
de
una
adición
son
8
58
28
102
77 68 88 79
89
15
• La propiedad .................................. nos dice que "el orden de los ....................... no altera la ............................."
5. Indicar la menor cifra encontrada en:
• La propiedad ........................... nos dice que la "forma como ...................... los sumandos no altera el .........................."
( ) 17 + 0 = 17
B. Propiedad conmutativa C. Propiedad de clausura D. Propiedad asociativa
3. Efectuar las siguientes adiciones: • 768 + 6 716 • 468 926 + 546 472 • 1 563 + 896 402 + 3 456 • 79 503 + 4 658 + 21 789 Colegios
10
TRILCE
1 8
6 * 0 2
+
4 + 41 + 414 + 4141 + ... + 41414141
7. ¿Cuál es la cifra de centenas del resultado? 8 + 88 + 888 + ... (12 sumandos)
8. Hallar "a + b + c", si:
( ) 1 256 + 467 = 467 + 1 256 A. Propiedad del elemento neutro
3
4 3 7 *
resultado en:
( ) 0 + 38 = 38 ( ) (56 + 34) + 29 = 56 + (34 + 29)
*
6. Calcular la suma de las dos últimas cifras del
( ) 28 + 39 = 67 ( ) 205 + 160 = 160 + 205
*
7
2. Relaciona los ejemplos de la columna superior con las propiedades de la columna inferior:
106 20
......................... y .........................
• El elemento neutro de la adición es el ............
46
ab4 + bba + 1c96 = 2 964
9. Si: a + b + c = 18
hallar: abc + bca + cab
10. Calcular "a + b"
si: aaa + 381 + bb6 = pq69
11. Carlos Rivera nació en el año 19a6 y luego de vivir 6b años muere en el año 20b7. Calcular "a + b".
12. Tengo S/. ab9 y si recibiera S/. m43 de propina tendría S/. 93m. ¿Cuánto recibí?
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Adición de números naturales
13. En una lista de números, cada número después
15. Hallar el valor de "C + E" en:
del primero se obtiene sumando todos los números que le preceden. ¿Cuál es el octavo número de la lista, si el tercero es 4?
1CABLE + 1CABLE + 1CABLE = CABLE1 Si a letras iguales le corresponde la misma cifra,
letras diferentes representan cifras diferentes.
14. Teresita eligió tres dígitos distintos que sumados dan 6 y escribió todos los números de tres cifras que se pueden formar con ellos (sin repeticiones), luego sumó todos los números que obtuvo. ¿Cuál fue su resultado?
Central: 619-8100
1
•
•
Links de apoyo: http://www.educa.jcyl.es/educacyl/cm/zonaalumnos/tkPop Up?pgseed=1180249174513&idContent=31510&locale =es_ES&textOnly=false (calculo mental de adición) http://www.genmagic.net/mates4/ser3c.swf (juego de adición)
UNIDAD 1
11
