A l j a b a r M a t r i k s | 1
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
Dalam aljabar matriks, gagasan tentang matriks dan aspek-aspek yang terkait didalamnya merupakan salah satu contoh yang dibutuhkan dalam penerapan dalam bidang matematika pada dunia nyata. Penggunaan matriks yang sering ditemui adalah teknik pemfaktoran matriks. Dalam hal ini matriks difaktorkan menjadi beberapa matriks lain yang bersesuaian salah satu metode yang digunakan adalah metode dengan dekomposisi nilai singular. Dekomposisi ini ini sangat berkaitan berkaitan dengan nilai eigen eigen matriks. Sama halnya dengan dengan proses diagonalisasi, diagonalisasi, proses dekomposisi ini mengharuskan kita untuk menggunakan proses Gramm Schmidt untuk mendapatkan vector-vektor yang bersesuaian. Matriks awalnya dikerjakan dengan metode diagonalisasi yang kemudian dilanjutkan dengan proses dekomposisi. Dengan dasar itulah makalah ini dibuat. Dalam makalah ini, dibahas mengenai dekomposisi nilai singular yang dilakukan pada sebuah matriks persegi. 1.2 Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah dari makalah ini antara lain: 1. Jelaskan teorema-teorema yang berkaitan dengan dekomposisi nilai singular singular ? 2. Bagaimana menggunakan metode dekomposisi nilai singular singular dalam matriks ?
1.3 Tujuan Penulisan
Adapun tujuan penulisan makalah ini antara lain : 1. Untuk menyelesaikan tugas mengenai dekomposisi nilai singular yang diberikan oleh dosen pembimbing Aljabar Matriks. 2. Untuk mengetahui teorema-teorema yang berkaitan dengan dekomposisi nilai singular dan aplikasi dari teori tersebut .
A l j a b a r M a t r i k s | 2
3. Untuk menyelesaikan soal-soal tentang matriks yang menggunakan dekomposisi nilai singular .
1.4 Manfaat Penulisan
Adapun manfaat dari makalah ini yaitu agar dapat dijadikan pedoman dalam menyelesaikan berbagai macam soal-soal matriks dengan menggunakan dekomposisi nilai singular . Selain itu, penulis berharap agar makalah ini membawa kemaslahatan buat mahasiswa atau orang-orang yang berkecipung dalam bidang Aljabar Matriks.
A l j a b a r M a t r i k s | 3
BAB 2 PEMBAHASAN Dalam teori matriks, dikenal beberapa teorema dekomposisi, di antaranya teorema faktorisasi LU dan teorema faktorisasi QR. Selanjutnya, terdapat dekomposisi yang dikenal dengan Dekomposisi Nilai Singular ( Singular Value Decomposition atau SVD). SVD terkait dengan nilai eigen dan nilai singular, yang hubungannya akan diuraikan dibawah ini : Nilai Eigen : Untuk suatu matriks persegi A, terdapat vektor tak nol x dan suatu skalar λ sehingga A x = λ x , x ≠ 0 Skalar λ disebut nilai eigen dari A dan vektor x ≠ 0 disebut vektor eigen yang
bersesuaian dengan λ. Untuk menentukan nilai eigen dari matriks persegi A, tulis A x = λ x sebagai A x = λ I x atau ekuivalen dengan ( A −λ I ) x = 0 . Untuk nilai eigen λ , persamaan tersebut mempunyai penyelesaian tak nol jika dan hanya jika det ( A −λ I ) = 0 dan disebut persamaan karakteristik matriks A. Nilai Singular : T
1/2
Diberikan A matriks dengan rank r . Nilai eigen positif dari (A A) disebut nilai singular dari A. Dengan kata lain, jika
σ
adalah nilai singular dari A maka
σ
adalah nilai eigen positif
dari (ATA)1/2 , atau σ 2 adalah nilai eigen dari A TA .
Dari definisi di atas, dapat diketahui hubungan antara nilai eigen dan nilai singular. T
Dengan kata lain, untuk matriks A dengan rank r dan nilai-nilai eigen dari matriks A A
adalah λ1 ≥ λ2 ≥ …..≥ λr ≥ λr+1 = ….= λn= 0, maka σ i = disebut nilai singular dari matriks A.
Misalnya, Untuk menentukan nilai singular dari
√ T
nilai eigen dari A A = dari A adalah
dengan i = 1, 2, …, r , r +1, …, n
dapat diperoleh dengan menghitung
T
dan nilai eigen dari A A adalah
.
√
serta nilai singular
A l j a b a r M a t r i k s | 4
2.1 Pengertian Dekomposisi Nilai Singular
Metode dekomposisi nilai singular merupakan suatu metode yang digunakan untuk memfaktorkan matriks berdasarkan nilai singularnya.
dengan U matriks orthogonal m x m, V matriks orthogonal n x n dan Σ matriks diagonal m x n bernilai riil tak negatif yang disebut nilai-nilai singular. Dengan kata lain Σ = diag ( σ1, σ2, … , σn ) terurut sehingga σ1 ≥ σ2 ≥ … ≥ σn . Jika U = (u1, u2, …, un) dan V = (v1, v2, … , vn) maka
∑
Dapat juga dinyatakan bahwa matriks A mxn dapat dinyatakan sebagai dekomposisi matriks yaitu matriks U, Σ dan V . Matriks Σ merupakan matriks diagonal dengan elemen diagonalnya berupa nilai-nilai singular matriks A, sedangkan matriks U dan V merupakan matriks-matriks yang kolom-kolomnya berupa vektor singular kiri dan vektor singular kanan dari matriks A untuk nilai singular yang bersesuaian. Menentukan SVD meliputi langkahT
T
langkah menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks AA atau A A. Vektor eigen dari ATA membentuk kolom V, sedangkan vektor eigen dari AA T membentuk kolom U. Nilai singular dalam Σ adalah akar pangkat dua dari nilai-nilai eigen matriks AA T atau ATA. Nilai singular adalah elemen-elemen diagonal dari Σ dan disusun dengan urutan menurun.
2.2 Teorema Dekomposisi Matriks Singular Teorema 1
∈
Nilai singular tak nol dari matriks A Cm×n adalah akar pangkat dua ( eigen matriks A* A atau A* A (nilai eigen dari kedua matriks ini sama). Bukti
Menurut dekomposisi nilai Singular diperoleh bentuk demikian :
√
) dari nilai
sehingga dengan
A l j a b a r M a t r i k s | 5
Diperhatikan bahwa matriks V adalah matriks uniter dan menurut teorema diagonalisasi
berakibat A*A dan Σ*Σ similar. Akibatnya matriks A*A dan Σ*Σ memiliki persa maan karakteristik yaitu nilai eigen yang sama. Nilai Eigen matriks tak nol, matriks Σ*Σ tidak lain adalah σ12, σ22,…, σr 2. Hal serupa berlaku juga untuk :
Teorema 2
∈
Harga mutlak determinan dari matriks persegi A Cmxm , yaitu perkalian semua nilai singular matriks A.
||
, adalah
Bukti
Jika Q merupakan matriks uniter maka QQ* = I, sehingga dengan demikian berlaku
||| | | || || =
=
|| || ||
= 1 atau dengan kata lain
. Menurut dekomposisi nilai singular, matriks A disajikan sebagai
. Karena U dan V* matriks uniter maka berlaku
sehingga dengan demikian :
=
,
Karena matriks Σ merupakan matriks diagonal dengan entri -entrinya merupakan nilai singular, yaitu merupakan bilangan positif atau nol, maka berlaku
||
dan
nilai determinannya merupakan perkalian nilai-nilai singular matriks A.
2.3 Algoritma Dekomposisi Nilai Singular
1. Dibentuk matriks A*A dan tentukan sejumlah r nilai singular tak nolnya. Misalkan {σ1, σ 2,…, σr } merupakan nilai-nilai singular tak nol matriks A* A dengan
σ1
σ2
…
σr
σr+1= … = σn = 0
A l j a b a r M a t r i k s | 6
2. Dibentuk matriks diagonal Σ =
3. Dicari himpunan vektor eigen matriks A* A. Misalkan { v 1, v2,
…,
vn} merupakan
vektor-vektor eigen matriks A* A dengan v i merupakan vektor eigen yang bersesuaian dengan λ i. 4. Dibentuk matriks uniter
.
5. Dibentuk himpunan vektor { u 1, u2, …, un}dengan 6. Dibentuk matriks uniter
2.4 Contoh Soal
1. Diketahiu matriks A =
untuk setiap 1 ≤i ≤ n .
.
√ √ ⁄ √ ⁄ [ ] √ ⁄ √ ⁄ √ ⁄ √ ⁄ [ ]
, akan dicari bentuk dekomposisi nilai singularnya.
Dibentuk matriks A*A =
Diketahui nilai eigen A*A adalah λ 1=3 dan λ 2=1
Kemudian dibentuk matriks singularnya Σ =
Nilai-nilai eigen λ 1=3 dan λ 2=1 masing-masing berkorespondensi dengan vector
eigen
√ ⁄ √ ⁄ [ ]
dan
. Himpunan vector-vektor eigen tersebut
ortonormal sehingga dapat dibentuk matriks uniter V sebagai berikut :
Kemudian untuk matriks U yang dibentuk dari
diperoleh :
A l j a b a r M a t r i k s | 7
√ √ √ √ √ [ ] dan
. Kemudian dibentuk matriks uniter U :
√ √ √ [ √ √ ]
Sehinga bentuk dekomposisi dari matriks A adalah :
A=
√ √ √
√ √ √ ⁄ √ ⁄ √ √ ⁄ √ ⁄ [ ] ∈
Diperhatikan matriks uniter U
₵3x2 , agar matriks unitary U ini menjadi matriks
pesegi berukuran 3x3 , tambahkan satu kolom lagi. Namun vector yang menyusun kolom tambahan tersebut harusnlah orthonormal dengan vector kolom lainnya. Karena itu dipilih sebarang vector yang memenuhi syarat tersebut.
√ √ √ [ ]
, sehingga menjadikan matriks
√ √ √ √ √ √ [ √ √ ]
A l j a b a r M a t r i k s | 8
Namun akibatnya matriks singular Σ harus menambah jumlah baris agar mengimbangi jumlah kolom tambahan pada matriks unitary, maka baris tambahan
pada matriks singular Σ harus dibentuk oleh vector 0, sehingga :
A=
√ √ √ √ ⁄ √ √ √ √ ⁄ [√ √ √ ] [√ ⁄ √ ⁄]
Bentuk ini dinamakan bentuk dekomposisi nilai singular penuh karena matriks unitary U dan V masing-masing berupa matriks pesegi. Sedangkan bentuk sebelumnya dinamakan bentuk dekomposisi nilai singular tereduksi.
2. Tentukan SVD (Singular Value Decomposition) matriks A= T
Mencari nilai AA =
Selanjutnya menentukan nilai eigen dari AA T, yaitu λ 1= 10 dan λ 2=12 Diperoleh nilai singular dari A yaitu
√ √ dan
Untuk
λ 1= 10 diperoleh vector eigen yang bersesuaian adalah u 1
λ 2=12
diperoleh
vector
eigen
yang
bersesuaian
menormalisasisakn u 1 dan u2 diperoleh
⁄ ̅ || ⁄√ √ ̅ ‖ ̅̅ ̅̅‖ dan
⁄√ ⁄√ ⁄√ ⁄√
=
⁄√ ⁄√
adalah
u2
Diperoleh U =
Selanjutnya cari nilai eigen dari ATA =
dan nilai eigennya ialah λ 1= 0 , λ 1= 10 dan λ 3=12
Diperoleh nilai singular dari A yaitu 0,
√ √ dan
dan untuk .
Dengan
A l j a b a r M a t r i k s | 9
Dengan mencari vector eigen yang bersesuaian u 1=
, u2=
Akibatnya , vector-vetor singular kanan yang orthomormal adalah
dan u3=
.
⁄√ ⁄⁄√ ⁄√ ̅ √ ̅ ⁄√ ̅ ⁄√ [ ⁄√ ] [ ⁄√ ] ⁄ √ ⁄√ ⁄√ ⁄ √ ⁄√ ⁄√ ⁄√ ⁄√ ⁄ ⁄ ⁄ √ √ √ ⁄ ⁄ ⁄√ √ ⁄√ √ √ √ ⁄√ ⁄√ [ ⁄√ ⁄√ ⁄√ ] ,
, dan
Jadi V T=
Diperoleh SVD matriks A adalah:
A=
A l j a b a r M a t r i k s | 10
BAB 3 PENUTUP 3.1 Kesimpulan Dekomposisi nilai singular adalah suatu proses memfaktorkan sebuah matriks menjadi lebih dari satu matriks, yaitu perkalian antara matriks diagonal yang memuat nilai-nilai singular ( Σ) dengan matriks yang memuat vektor-vektor singular ( U dan V). Dimana matriks U dan V merupakan matriks-matriks yang kolom-kolomnya berupa vektor singular kiri dan vektor singular kanan dari matriks A untuk nilai singular yang bersesuaian.
3.2 Kritik dan Saran Sebelum menyelesaikan persoalaan matriks dengan menggunakan dekomposisi nilai singular, sebaiknya kita terlebih dahulu memahami proses Gram-Schmidt seperti yang berlaku pada proses diagonalisasi. Begitupun dalam menentukan nilai eigen, seseorang harus mampu menentukan persamaan karakteristik dari suatu matriks. Dan juga harus mampu menentukan nilai singular suatu vektor Selain itu kami penulis mengharapkan kritik dan saran dari pembaca demi pengembangan kualitas dari makalah kami .
