DEFINICIÓN Y FUNCIONES DE LAECONOMÍA LAECONOMÍA
La economía es una ciencia social que estudia cómo los individuos o las
sociedades usan o manejan los escasos recursos para satisfacer sus necesidades. Tales recursos pueden ser distribuidos entre la producción de
bienes y servicios, y el consumo, ya sea presente o futuro, de diferentes personas o grupos de personas en la sociedad. El estudio de la economía se basa en la organización, interpretación y generalización de los hechos que suceden en la realidad. La microeconomía, una de las dos ramas en las que se divide la economía, realiza el estudio de unidades económicas (las personas, las empresas, los trabajadores, los
propietarios de tierras, los consumidores, los productores, etc.); es decir, estudia cualquier individuo o entidad que se relacione de alguna forma con el funcionamiento de la economía de forma individual, no en conjunto. Al estudiar estas unidades económicas, la microeconomía analiza y explica cómo y por qué estas unidades toman decisiones económicas. La macroeconomía, la otra rama en que se divide la economía, se encarga de estudiar el comportamiento y el
desarrollo agregado de la economía. Cuando se habla de agregado se hace referencia a la suma de un gran número de acciones individuales realizadas por diversas unidades económicas, las cuales componen la vida económica de un país. Esta rama no estudia las acciones de determinados individuos, empresas, etc., sino la tendencia en las acciones de éstos. Para su estudio, la economía utiliza herramientas como las matemáticas y la estadística aplicadas en la econometría, la cual se usa ampliamente en el desarrollo y prueba de modelos económicos. Un modelo económico es una conceptualización mediante la cual se pretende representar matemáticamente y
de forma simplificada la realidad, para, de esta forma, poder establecer y cuantificar las relaciones entre las variables económicas que se analizan.
La economía es estudiada por los economistas. “Los economistas formulan principios económicos útiles en la formulación de políticas diseñadas para la solución de problemas económicos | [1] ”. De esta manera, la economía puede dar alguna explicación a hechos ocurridos
en el pasado y realizar pronósticos sobre el comportamiento económico en el futuro. Lo anterior facilita el diseño y la implementación de políticas económicas en un país o una región por parte de las autoridades económicas, las cuales, a través de estas políticas, dirigen la economía de dicho país o región con el objetivo primordial de beneficiar a sus habitantes y, por ende, a la economía en general, gracias a la satisfacción de sus necesidades.
Funciones Económicas INTRODUCCIÓN: En esta sección trataremos de introducir al alumno en conceptos elementales de economía, para luego a partir de la definición de función función,, poder desarrollar los problemas de aplicación matemática a las ciencias económicas.
Qué entendemos por Economía?
En una sociedad, los individuos tomados tanto en forma aislada como en su conjunto, tienen necesidades materiales (vivienda, alimentación, etc.) y no materiales (salud, recreación, etc.).Pero, cómo las satisfacen si cuentan con recursos que son escasos o limitados?. El camino es el de realizar actividades productivas. productivas. En ese marco vamos a definir a la Economía como la ciencia que se encarga de distribuir en forma conveniente los recursos escasos de una sociedad, con el objeto de producir bienes que permitan satisfacer satisfacer directa o indirectamente los deseos o necesidades de los individuos. Los economistas son los encargados de encontrar las respuestas al problema que surge entre deseos y necesidades ili mitadas, frente a recursos que son escasos. Para intentar entender como funcionan estas relaciones utilizaremos modelos matemáticos.
Modelación matemática Los antiguos griegos fueron los primeros en tratar de comprender la naturaleza a partir de un análisis lógico. Aristóteles desarrolló la teoría que el mundo no era plano pl ano sino esférico, la que fue demostrada por sin moverse un solo paso de Alejandría. Pero, cómo lo hi zo?. A
La economía es estudiada por los economistas. “Los economistas formulan principios económicos útiles en la formulación de políticas diseñadas para la solución de problemas económicos | [1] ”. De esta manera, la economía puede dar alguna explicación a hechos ocurridos
en el pasado y realizar pronósticos sobre el comportamiento económico en el futuro. Lo anterior facilita el diseño y la implementación de políticas económicas en un país o una región por parte de las autoridades económicas, las cuales, a través de estas políticas, dirigen la economía de dicho país o región con el objetivo primordial de beneficiar a sus habitantes y, por ende, a la economía en general, gracias a la satisfacción de sus necesidades.
Funciones Económicas INTRODUCCIÓN: En esta sección trataremos de introducir al alumno en conceptos elementales de economía, para luego a partir de la definición de función función,, poder desarrollar los problemas de aplicación matemática a las ciencias económicas.
Qué entendemos por Economía?
En una sociedad, los individuos tomados tanto en forma aislada como en su conjunto, tienen necesidades materiales (vivienda, alimentación, etc.) y no materiales (salud, recreación, etc.).Pero, cómo las satisfacen si cuentan con recursos que son escasos o limitados?. El camino es el de realizar actividades productivas. productivas. En ese marco vamos a definir a la Economía como la ciencia que se encarga de distribuir en forma conveniente los recursos escasos de una sociedad, con el objeto de producir bienes que permitan satisfacer satisfacer directa o indirectamente los deseos o necesidades de los individuos. Los economistas son los encargados de encontrar las respuestas al problema que surge entre deseos y necesidades ili mitadas, frente a recursos que son escasos. Para intentar entender como funcionan estas relaciones utilizaremos modelos matemáticos.
Modelación matemática Los antiguos griegos fueron los primeros en tratar de comprender la naturaleza a partir de un análisis lógico. Aristóteles desarrolló la teoría que el mundo no era plano pl ano sino esférico, la que fue demostrada por sin moverse un solo paso de Alejandría. Pero, cómo lo hi zo?. A
través de suposiciones y simplificaciones creó el contexto matemático en el cual pudieron aplicarse los principios de la geometría que le permitieron encontrar una medida equivalente a la circunferencia de la tierra. Actualmente científicos y técnicos buscan representar la realidad en términos matemáticos, y es a este proceso al que denominaremos "modelación matemática" .
Aplicación a las Ciencias Económicas:
En relación a esta sección que estamos desarrollando, el objetivo no es el de formar economistas, sino que pretendemos sirva de ayuda para enseñar matemática desde una perspectiva de las ciencias ci encias económicas. En Economía se plantean los problemas de tal modo que puedan responderse matemáticamente, matemáticamente, y que qu e dichas respuestas puedan generalizarse. Entendemos por modelo a la simplificación y abstracción de la realidad, donde se identifican y parámetros, a partir de los cuales se postulan relaciones entre ellas en forma de leyes o teorías. t eorías. Cuánto más sencillo sea el modelo económico propuesto, más fácil será usarlo para dar respuestas de tipo general. La validez del mismo dependerá de l a validez de las consecuencias que de él se deducen Como no es posible controlar todas las variables, es frecuente introducir la condición de "ceteris paribus" , que nos permite p ermite suponer que todas las variables se mantienen constantes temporariamente, temporariamente, excepto la que estamos estudiando, y quiere decir: "Si todo lo demás no cambia". Por ejemplo, cuando analizamos como varía la demanda de la carne de vaca al variar su precio, estamos dejando de considerar otros factores que influyen en la toma de decisión del consumidor como son el precio de productos substitutos (carne de pollo o de pescado); el gusto o preferencia de los consumidores por otras carnes; y la renta del consumidor en el mismo período de tiempo. ti empo. Ningún valor describe toda la información requerida, ya que la cantidad demandada de carne de vaca dependerá entre otras cosas de su precio.
Expresión analítica de un modelo económico
En este curso nos referiremos a los modelos económicos , que serán las herramientas para entender la realidad en forma simplificada, esquemática y aproximada. Su expresión analítica se realiza a través de una o varias funciones que nos indican las relaciones existentes entre las variables. En el desarrollo de este curso trataremos modelos económicos simples, formados en su mayoría por una sola función que relaciona dos variables.
Así hablamos de la "Función Oferta" , donde las cantidades ofrecidas de un bi en dependerán del precio del mismo, o de la "Función Demanda" , donde las cantidades demandadas de un bien también dependerán de su precio. Analicemos la Demanda de un determinado bien A: Precio de A (p) Cantidad comprada de A (d) 20.000
1
10.000
3
Función Lineal de Demanda del bien A
q: Cantidad demandada del bien A p: Precio del bien A Cantidad demandada = f(precio del mercado)
La gráfica de la curva de demanda nos muestra las cantidades del bien A que serán demandadas durante durante un período de tiempo para cada posible precio. En el análisis no incluimos ni precio de los bienes substitutos de A, ni gusto de los consumidores, ni su renta. Cada punto de la curva de coordenadas (q A,pA), nos muestra como se relacionan las variables precio y cantidad bajo la condición de
"ceteris paribus" .
Funciones Económicas
Para expresar un modelo económico utilizaremos el concepto matemático de función, entendiendo por tal a la relación de dependencia entre variables económicas. En Economía las funciones pueden adoptar tanto formas teóricas muy complejas, como muy simples. En este curso trabajaremos con funciones económicas de una sola variable y principalmente de tipo lineal y cuadrática cuadrática.. Respecto del Dominio y del conjunto de las l as imágenes, haremos algunas consideraciones al al definirlos, ya que los l os valores que asumen las variables deben tener sentido económico, y como tal estarán restringidos a números reales positivos. Si nos referimos a precios o cantidades no podremos hablar de valores negativos, por ejemplo producir (-5) autos, o vender un bien a ( -100) pesos carece de sentido. Las funciones económicas se grafican en el primer cuadrante de un sistema de coordenadas cartesianas
FUNCION ECONOMICA: f : R0+ --> R0+ es una función contínua y biyectiva, con dominio y codominio en los número reales no negativos, que representa a un modelo económico.
Funciones lineales La función lineal es la más simple dentro de las formas que puede adoptar una relación entre variables económicas, pero desempeñan un importante papel en la formulación de los problemas económicos. Una función lineal tiene la forma general
Donde a y b son números reales, el coeficiente a es la pendiente de la recta que representa a la función y siempre es distinta de cero, el término independiente b es la ordenada al origen, que gráficamente representa la intersección de la recta con el eje de las ordenadas en el punto de coordenadas (0,b). La variable independiente es x, a la cual le asignamos valores para obtener y. Estas funciones se caracterizan porque un cambio unitario en la variable independiente (x), provoca un cambio proporcional en la variable dependiente (y). La tasa de cambio está representada por la constante a. Analicemos la relación funcional que existe entre la venta domiciliaria de teléfonos celulares, y el sueldo del vendedor: (funcion ingreso)
donde "y " es el sueldo del vendedor, y "x" es la cantidad de teléfonos vendidos. Estamos frente a una función lineal, cuya representación gráfica es:
Podemos observar: 1. Es función creciente 2. Al aumentar el número de teléfonos vendidos, aumenta el sueldo del vendedor. 3. D (f) = R0+ I (f) =
En otras ramas de las ciencias también se utilizan las funciones lineales, Por ejemplo: Distancia recorrida por un móvil sobre un camino recto a velocidad constante, en función del tiempo (Movimiento rectilíneo uniforme) Ley de enfriamiento de Newton. La velocidad de enfriamiento de un cuerpo está en función de la temperatura del cuerpo, por encima de la temperatura ambiente. Longitud de la circunferencia en función del radio. Unidad de riego en función de la superficie.
Ejemplo Veamos un ejemplo de función lineal aplicado al Comercio Exterior.
Según la Subsecretaría de Comercio Exterior de una región A, se exportaron (en miles de dólares), durante el período comprendido entre 1993 y 1997, l os valores que se indican en la siguiente tabla: Año (x)
1993
1994
1995
1996
1997
Exportaciones (y)
1640
1763
1875
1987
2006
Gráfico 1: Graficamos los puntos en un sistema de coordenadas cartesianas:
Gráfico 2: En el siguiente gráfico mostramos la línea recta que se ajusta mejor (en cierto sentido) a la nube de puntos que aparecen en el gráfico anterior. La línea recta se denomina línea de regresión, y está dada por : Coeficiente de Correlación : 0.976168 Y = 94.4x -186474.99924
Ejemplo 2 La Comisión Ballenera Internacional formuló en 1960 la relación lineal que existe entre la longitud L (en pies) y el peso esperado W (en toneladas británicas) de las ballenas azules adultas. W = 3,15 L - 192
Si representamos gráficamente en un sistema de coordenadas cartesianas, obtenemos:
Representación gráfica La representación gráfica de las funciones permite reconocer rápidamente la relación que existe entre las variables, detectar situaciones claves, formular distintos modelos y compararlos. Se pueden realizar dos tipos de gráficos según la i nformación que se vuelque en ellos: 1. Representar gráficamente la relación que liga a las variables en forma empírica. Retomando el ejemplo de las exportaciones (ejemplo 1), volcamos los datos de la tabla en un sistema de coordenadas cartesianas. Gráfico 1: Cada punto del gráfico representa un par ordenado (x, y), cuya primera componente corresponde al año en que se realizaron las exportaciones, y la segunda a los miles de dólares exportados en ese año. Gráfico 2: Luego se busca y se grafica la lí nea recta que se ajusta mejor (en cierto sentido) a la nube de puntos que aparecen en el gráfico. La línea recta se denomina línea de regresión, y está dada por : Y = 94.4x -186474.99924 Coeficiente de Correlación : 0.976168 2. Se grafica la relación teórica dada por la función Para un determinado valor de x, se obtiene el valor de y. Bastará graficar solo dos puntos, unirlos por medio de una curva continua, y obtenemos la recta que representa a la función lineal sobre la que se trabaja. En el ejemplo 2, que corresponde al peso y longitud de las ballenas, y tomamos el punto P (100 ; 113) y el punto Q (150 ; 270,5), los unimos y obtenemos la gráfica de la relación.
3. Otra forma de obtener la misma gráfica, es a través de la pendiente y l a ordenada al origen . Para la función lineal
Y= La ordenada al origen (b) es 6, y gráficamente está representado por el punto en que la recta corta al eje de las ordenadas, punto de coordenadas ( 0,6). La pendiente de la recta (a) está dada por el valor 2.
En cuanto a la representación gráfica, la inclinación que adopte la recta dependerá del valor de la pendiente, y de la escala a la que le representen las magnitudes utilizadas.
Funciones Lineales: OFERTA Cuántas unidades de un determinado bien estará dispuesto a ofrecer un productor para distintos precios?. Haremos un análisis similar al realizado para la Demanda, pero mirando el problema desde otra arista, ahora contemplaremos el comportamiento del productor. De igual manera que en el caso de la demanda, la oferta individual que realiza un productor dependerá de numerosos factores, entre los que podemos nombrar la tecnología utilizada, los precios de los factores de la producción (Tierra, Capital, Trabajo, etc.), y el precio del bien que se desea ofrecer.
Para analizar la oferta individual de un bien, aplicaremos la condición de "ceteris paribus", y consideraremos temporariamente constantes todos los factores, a excepción del precio del bien que se analiza. Definimos a la oferta como "la relación entre la cantidad que el productor está dispuesto a ofrecer a la venta de un bien, y el precio al que dicha cantidad se ofrece en el mercado, en un determinado momento" .
Función Oferta:
Si confeccionamos una tabla donde se relacionen los diferentes precios con las cantidades que un productor está dispuesto a ofrecer en cada unidad de tiempo, obtenemos una relación a la que llamaremos "Oferta individual" de un determinado bien. La suma de las ofertas individuales para cada productor, se conoce como "Oferta global o de Mercado". Qué sucede si los precios son muy bajos? Los productores no ofrecerán nada, debido a que no se cubren los costos de producción. Pero si l os precios aumentan, la situación cambia y empezarán a ofrecer sus productos en el mercado, en forma creciente, porque a mayor precio del producto, mayor será la oferta del mismo. Función Creciente Tabla de Oferta. Cantidades ofrecidas del bien A a distintos precios pA
qA
2
0
3
2
4
4
5
6
6
8
Representamos gráficamente los valores de la tabla y obtenemos una curva, donde a cada precio le corresponde una cantidad ofrecida determinada. La unión de todos los puntos conforma la "Curva de la Oferta". A cada precio p A le corresponde una cantidad ofrecida q A, si unimos los distintos puntos (pA , qA) , obtenemos la curva de oferta del bien A.
La gráfica corresponde a una función lineal O = f (p) , y es la representación de la relación que existe entre la cantidad ofrecida de un bien (O) en un determinado momento y el precio de dicho bien (p), manteniendo constante todos los demás factores que puedan afectar a la cantidad ofrecida, por ejemplo: tecnología. Se caracteriza por tener pendiente positiva, ya que al aumentar el precio aumentará también la cantidad ofrecida. Veamos un ejemplo de función de Oferta lineal, en donde se relaciona las cantidades mensuales ofrecidas de un bien (q), y su precio de venta (p): O = q = f (p) = 3 p - 1
Cuál es el Dominio y el conjunto de las imágenes de esta función? Do = [ 1/3,+ infinito) Io = [0, infinito) Nos enfrentamos aquí con un problema: al fijar el dominio y el conjunto imagen hemos supuesto que la cantidad ofrecida depende del precio, y no el precio de la cantidad ofrecida, y para graficar ubicamos la variable independiente precio, sobre el eje vertical, mientras que la variable dependiente cantidad en el eje horizontal. En realidad graficamos la función inversa de la oferta Para reflexionar: 1. 2. 3. 4.
Cuál es la cantidad ofrecida del bien a un precio p = 4 ? Habrá oferentes para un precio de $0,25 por unidad? Justifique. Cuál es el menor precio que el mercado acepta? Por qué la pendiente de la función es positiva?. Indique si la función es creciente o decreciente.
1. p = 4
2.
Una oferta de ( - 0,25 ) unidades carece de sentido económico, las cantidades pertenecen al conjunto de los números enteros positivos. 3.
Para precios inferiores a $1/3, los comerciantes no ponen sus productos a la venta. (Oferta cero).
4. La pendiente de la función es positiva, ( a = 3 ). Al aumentar el precio de venta, los comerciantes están dispuestos a ofrecer mayores cantidades de sus productos . Funcion Creciente.
Si conocemos que la oferta de un determinado modelo de calculadoras manuales es lineal, y que cuando su precio es de $6 no hay unidades ofrecidas, pero cuando el precio es $8, se ofrecen 56 unidades. Se desea formular la función Oferta de calculadoras. Una forma de obtener la función es a partir de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:
q = 28 p - 168 DESPLAZAMIENTO DE LA OFERTA Al igual que en la demanda, cuando se produce un cambio en el precio, se produce un movimiento a lo largo de la curva de oferta.
Pero cuando se cambian las otras variables o factores que consideramos constantes, cambia el parámetro y la oferta se desplaza a la derecha o a la izquierda. Las otras variables que influyen en la oferta son: 1. Tecnología
Un cambio tecnológico produce un desplazamiento de la oferta a la derecha, a los mismos precios se puede ofrecer más cantidad.
2. El costo de producción Si disminuye el costo de producción (p. ej. si baja el interés bancario que los productores pagan por los créditos banzarios o baja el salario de los trabajadores) a los mismos precios se ofrecerá más cantidad y la oferta se desplaza a la derecha. Si por el contrario, aumentan los costos, se ofrece menos cantidad y la oferta se desplaza a la izquierda.
3. El precio de otros bienes Cuando aumenta el precio de la yerba, disminuye la oferta de té, debido a que son productos de oferta rival porque compiten por el mismo factore de producción: la tierra. Así también, si aumenta el precio de la carne, aumenta la oferta de cueros ya que los dos productos son de oferta conjunta; derivan del mismo proceso productivo.
Funciones Lineales: DEMANDA El consumo de un determinado bien por un individuo tiene infinitas explicaciones, tales como gustos o preferencias, ingreso del consumidor, precio de otros bienes, pero por sobre todas las cosas el precio del bien. Para analizar la demanda de un bien por un determinado individuo, aplicaremos la condición de "ceteris paribus" y consideraremos temporariamente constante todos los factores, a excepción del precio del bien que se está analizando, así obtenemos la Demanda Individual de un determinado bien. La suma de las demandas individuales de dicho bien, dará la demanda global o de mercados Mercado: Es toda institución social donde compradores y vendedores intercambian libremente bienes y servicios. DEMANDA: Es la relacion entre el precio de un bien y las cantidades se está dispuesto a adquirir en el mercado en un determinado momento, manteniendo constante los demás factores que puedan afectarla.
Ley de la demanda:
El precio de un bien y la cantidad demandada del mismo, poseen una relación inversa debido a que mientras mayor sea el precio, menor será la cantidad demandada, y por el contrario, cuando el precio disminuye aumenta la cantidad demanda. Esta relación inversa se conoce como "Ley de la Demanda", y se cumple para casi todos l os bienes. Si un supermercado aumenta el precio de una gaseosa, la cantidad vendida en el corto plazo disminuirá. Excepciones a esta ley la constituyen por ejemplo la demanda de servicios necesarios como el agua, o de medicamentos oncológicos, entre otros.
Curva de demanda: Analicemos la demanda del detergente de marca A, a diferentes precios y por un determinado consumidor, bajo las condición
"ceteris paribus".
A partir de la recolección de datos reales de la demanda individual de un comprador, se confecciona la tabla de Demanda Observamos que la relación empírica entre el precio del bien y la cantidad demandada es inversa, a medida que aumenta el precio del bien disminuye la cantidad de artículos que los compradores están dispuestos a adquirir. Cuadro .Tabla de demanda Precio (p)
Cantidad demandada (q)
$2
10
$4
8
$6
6
$8
4
$10
2
Con los datos obtenidos se confecciona el gráfico de la curva decreciente de la demanda. Curva de demanda de detergente A
Cada punto del plano de coordenadas (p,q), muestra un precio p y una cantidad q que será demandada; al unirlos se obtiene la curva de la demanda del detergente A en un determinado período de tiempo para cada uno de los posibles precios.
Función Demanda y su representación gráfica:
A partir de ahora trabajaremos con la relación matemática que vincula la forma en que varía la cantidad requerida de un bien, según el precio que tenga en el mercado, aplicando la condición "ceteris paribus"; lo que nos origina la función reducida de demanda y que designaremos "Función Demanda", y l a simbolizaremos como
Las funciones Demanda se suponen continuas definidas en el conjunto de los números reales, es decir que consideramos precios y cantidades como variables continuas. Aunque en la realidad puedan experimentar saltos, ya que los precios pertenecen al + conjunto de los Números Racionales Positivos Q , y las cantidades al conjunto de los Números Enteros Positivos
.
Para evitar las discontinuidades, que no son objeto de este curso se considerará que el + precio pertenece al conjunto de los números Reales positivos (R ). En general, la demanda es una función decreciente que se representa gráficamente en el primer cuadrante.
Veamos un ejemplo de función lineal de demanda, en donde se relaciona las cantidades mensuales demandadas de un determinado modelo de sillones (q), y su precio de venta (p):
q = f(p) = 360 - 20 p Cuál es el Dominio y el Conjunto de las imágenes de la función? Nos enfrentamos aquí con un problema: al fijar el dominio y el conjunto imagen hemos supuesto que la cantidad demandada depende del precio, y no el precio de la cantidad demandada. Desde el punto de vista matemático es indiferente considerarlo de una u otra forma, y desde la óptica económica el análisis se simplifica al suponer que el precio está determinado por el mercado, o sea el conjunto de todos los oferentes y demandantes, por lo tanto, para cada uno individualmente el precio es un dato . Observe en la gráfica que la variable independiente precio se mide sobre el eje vertical, mientras que la variable dependiente cantidad se mide en el eje horizontal. Esta forma responde a una convención entre los economistas para poder comparar gráficos, siempre los valores monetarios se representan en el eje " y ", y como tal lo mantendremos en este curso, pero desde el punto de vista matemático, en realidad no graficamos a la función oferta o demanda, sino, sus funciónes inversas. Mercados de competencia perfecta : Tipo de mercado donde el precio se fija por la interacción de muchos compradores y vendedores y ninguno de ellos puede influir sobre el precio, lo único que se pueden modificar son las cantidades demandadas u ofrecidas.
Para obtener el Dominio de la función buscamos los límites del precio p :
Cuál es el precio para el cual el mercado ya no comprará más productos: f(p) = 360 - 20 p f -1(p) = - 1/20 p + 18
360 - 20p > 0 => 360 > 20p => 360/20 > p => p < 18 Es decir que : ; Si el precio es 18, nadie está dispuesto a comprar sillones.
Para obtener el Conjunto de las Imágenes de la función, buscamos los límites de las cantidades demandadas, para un precio cero:
f(0) = 360 - 20p => f(0) = 360 - 20 . 0 f(0) = 360 Es decir que: ; Si el precio es cero, el producto se regala y la demanda es de 360 sillones.
Recordemos que generalmente las variables económicas son no negativas.
Para reflexionar:
1. 2. 3. 4. 5. 6.
Cuál es la demanda de sillas para un precio p = 10 ? Habrá consumidores dispuestos a pagar $25 por sil lón? Cuál es el mayor precio que la demanda acepta? Cuál es la raíz de la función? Qué significa la ordenada al origen de la función en términos de precio? Porqué la pendiente de la función es negativa?
1. p = 10 f(p) = 360 - 20 p f(10) = 360 - 20 . 10 = 160
Si el precio es diez, la demanda es de 160 sillones: q(10) = 160 2. p = 25 f(25) = 360 - 20 . 25 = - 140 Si el precio es veinticinco pesos, no hay demanda de sillones, porque no existe ningún comprador dispuesto a pagar ese precio. 3. El mayor precio que el mercado acepta es $18, para el cual la demanda es de cero unidades, es decir que cuando el precio sea inferior a dicho monto, el mercado comenzará a demandar sillones. Punto de coordenadas ( 0,18). 4. La pendiente de la función demanda es negativa, porque al aumentar los precios del bien, disminuyen las cantidades demandadas. Es una función decreciente.
Supongamos ahora el mercado de carne de pollo de un supermercado: cuando el precio del kg. es de $4 no hay demanda, y cuando el precio es 0, la demanda es de 200.
1. Identifique las coordenadas de los puntos a los que hace referencia el 2. 3. 4. 5.
enunciado. Determine la función demanda. Qué precio dará por resultado una demanda de 45 unidades?. Interprete la pendiente de la función. Grafique.
DESPLAZAMIENTO DE LA DEMANDA
Consideremos la ecuación de la demanda como Q = a - bp Analizaremos ahora qué sucede cuando, permaneciendo constante el precio del bien en cuestión, se altera alguno de los factores que bajo la condición de ceteris paribus hemos considerado constante.
Esos factores están cuantificados en el parámetro a. Un cambio de cualquier factor que influya en la demanda diferente del precio del bien, desplazará toda la curva de demanda a la derecha o a la izquierda, según sea el sentido del cambio del factor. Este tipo de desplazamiento se denomina cambios de la demanda, mientras que el resultado de variaciones del precio lo denominamos cambios en la cantidad demandada. Esta distinción es muy importante y se debe entender qué factores producen uno u otro tipo de cambios. Entonces, una variación del precio produce un movimiento dentro de la curva o sea una variación de la cantidad demandada. Los otros factores o variables que producen desplazamientos de la demanda porque modifican el parámetro son: El ingreso de los consumidores Cuando aumenta el ingreso las personas pueden consumir más cantidad, cualquiera fuese el precio, por lo tanto aumenta la demanda y se desplaza a la derecha. Por el contrario, cuando disminuye el ingreso, los consumidores compran menos cantidad, disminuye la demanda y se desplaza a la izquierda.
Las variaciones del ingreso producen cambios en la misma dirección. Si bien ésta es la regla, hay excepciones: como el caso de los bienes llamados inferiores, como la mandioca y la grasa, cuya demanda di sminuye cuando aumenta el ingreso. Los precios de los bienes relacionados El efecto depende del tipo de bienes: pueden complementarios y bienes sustitutos. Consideremos primero el efecto sobre la demanda del bien x cuando se produce un cambio en el precio del bien complementario. P. ej., si se produce un aumento en el precio de la nafta, ello repercute en la demanda de autos nafteros, se demandan menos autos y la demanda se desplaza a la i zquierda.
Si se tratan de bienes sustitutos, por ejemplo l a naranja y la mandarina, cuando aumenta el precio de la naranja, aumenta la demanda de mandarinas y la demanda se desplaza a la derecha. El gusto de los consumidores El razonamiento es sencillo. Si el producto se pone de moda o si por medio de la publicidad se convence al consumidor que es mejor, más rico, más lindo, bu eno para la salud, etc., se demandará más cantidad independientemente del precio y la demanda se desplazará a la derecha. Por el contrario, si pasa de moda pocas personas lo comprarán aún cuando se ponga en oferta a un precio más bajo y la demanda disminuye o sea que la curva se desplaza a l a izquierda. Otros factores pueden influir en la demanda y producir desplazamientos. Para caso en particular es necesario analizar cuáles son los más i mportantes.
Funciones Lineales: El equilibrio en el mercado Un mercado determinado está formado por los compradores y vendedores de un bien o de un servicio. Al ponerse en contacto, cada uno tiene sus expectativas de consumo y producción, que están representadas por sus respectivas curvas de demanda y oferta. En el punto de corte de ambas curvas, los compradores y vendedores coinciden en las decisiones, y será solo un precio el que permitirá que los compradores estén comprando la cantidad que desean comprar, y los vendedores estén vendiendo la cantidad que desean vender. A este precio lo denominamos precio de equilibrio , y a la cantidad demandada y ofrecida la llamamos cantidad de equilibrio.
Cómo se determina el precio de equilibrio de un mercado?
Una vez que disponemos de las curvas de oferta y d emanda de un determinado bien, podemos encontrar el punto de equilibrio, que estará dado por un par ordenado cuya primera componente es el precio, y la segunda es la cantidad, en la que se coinciden
las decisiones de los compradores y vendedores. En la gráfica, es el punto de intersección entre las curvas de oferta y de demanda. En la siguiente tabla observamos los precios y las cantidades ofrecidas y demandadas en un determinado momento y bajo la condición de "ceteris paribus". Precio PA
Cantidad demandada (DA)
Cantidad ofrecida (OA)
Excedente o Escasez
10
50
0
Escasez
15
40
15
Escasez
20
30
30
30
10
60
Excedente
35
0
75
Excedente
Una vez que graficamos las curvas de oferta y demanda, podemos encontrar el precio y la cantidad de equilibrio para el bien A, en el punto de intersección de ambas curvas (20,30). Dicho punto es el par ordenado, cuya primera componente representa el precio ($20) y la segunda componente la cantidad en la que coinciden las decisiones de los compradores y los vendedores (30 unidades de A).
Figura
Si el precio fuera superior a $20, por ejemplo $30, la demanda se desalienta. Muchos compradores no dispondrían de los ingresos suficientes para adquirir el producto.y la cantidad demandada disminuye a 10 unidades. Con respecto a la oferta, el nuevo precio alienta a los productores a ofrecer más, las cantidades ofrecidas aumentan a 60 unidades. La diferencia entre cantidades ofrecidas y d emandadas provoca un excedente (exceso) de producción de 50 unidades que quedan sin vender, y los oferentes comenzarán a bajar los precios Si por el contrario el precio bajara a $15, los compradores se sentirían insatisfechos, porque demandarían 40 unidades, y los vendedores ofrecerían solo 15, existiría un exceso de demanda de 25 unidades (escasez). La presión de la demanda haría aumentar el precio. Que no se corten las curvas de oferta y demanda, significa que oferentes y demandantes no se ponen de acuerdo. Por ejemplo: Una joyería en una vill a miseria.
Debemos destacar entonces que son la escasez y el excedente los que presionan sobre el precio y lo hacen desplazar hacia el punto de equilibrio, igualando las cantidades demandadas y ofrecidas.
En el caso que conociéramos las leyes que rigen l a oferta y demanda de un bien y necesitáramos encontrar el punto de equilibrio, bastaría aplicar los conocimientos de resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Para las Leyes de Oferta y Demanda de un determinado bien dadas a continuación, encuentre el punto de equilibrio:
Resolvemos el sistema de ecuaciones:
El precio de equilibrio es p = 21, y las cantidades demandada y ofrecidas corresponden a 22 unidades del bien.
CAMBIOS DEL PRECIO DE EQUILIBRIO El precio de equilibrio se mantiene mientras no se produzcan cambios en las variables o factores que influyen en la Demanda y la Oferta. Si se produce una variación de ingresos o cambian los gustos de los consumidores, la demanda se desplaza y cambia el precio de equilibrio. Aumenta la Demanda
Disminuye la Demanda
Pueden ocurrir desplazamientos de la Oferta si se modifican las variables que influyen en ella (por ej. tecnología), entonces también se modifica el precio de equilibrio. Aumenta la Oferta
Disminuye la Oferta
También se pueden desplazar ambas curvas; puede aumentar la Oferta y disminuir la Demanda o viceversa, o pueden aumentar o disminuir ambas curvas. En cada caso el precio de equilibrio será distinto.
FUNCIONES LINEALES DE COSTOS El costo es la expresión cuantitativa monetaria representativa del consumo necesario de factores de la producción que se emplean para producir un bien o prestar un servicio. Con las funciones de costos trataremos de plantear un modelo matemático simplificado de la realidad económica. Iniciaremos diciendo que los costos de producción de un bien o de prestación de un servicio tienen distintos componentes que, en un principio, le atribuiremos un comportamiento lineal, pues es el modelo más sencillo. Las funciones lineales cumplen un importante papel en el análisis cuantitativo de l os problemas económicos. En muchos casos los problemas son lineales pero, en otros, se buscan hipótesis que permitan transformarlos en problemas lineales ya que su solución es más sencilla. Costo lineal Cuando una empresa produce cualquier bien o presta un servicio, deberá utilizar una serie de insumos que valorizados monetariamente le genera costos, que analizados en función a la relación con la producción total, los denominaremos costos fij os y costos variables. Los primeros, como lo indica su nombre, son independientes de las cantidades de un artículo que se produzca o un servicio que se preste (p.ej.: alquiler del local, depreciación de los bienes durables, determinados impuestos, etc.). En cambio, los costos variables dependen de la cantidad que se produzca de ese artículo o que se preste del servicio, (p. ej.: costos de materiales, de mano de obra productiva, etc.) El costo total es la suma de ambos Costo total = Costos fijos + Costos variables Si a los costos fijos de producir x artículos lo indicamos como b pesos, estamos en presencia de una función constante de la forma f(x) = b Haciendo b = 6, confeccionamos la gráfica correspondiente de C F (x) = 6
Podemos observar que si se confeccionan 1, 5 u 8 artículos se mantiene el mismo valor de costo fijo, por eso decimos que CF (x) = 6 es una función constante. Para simplificar nuestro análisis supongamos la condición de que el costo variable por unidad de artículo se mantiene constante, en ese caso los costos variables totales serán proporcionales a la cantidad de artículos producidos. Si a pesos indican el costo variable por unidad, los costos variables para producir x unidades del artículo serán ax pesos. Estamos en presencia de una función lineal de la forma g(x) = ax Hacemos a = 0,8, o sea g(x) = 0,8 x , por lo que expresamos la función de costo variable: CV(x) = 0,8 x
Como el costo total para producir x artículos es la suma de los costos anteriores, tenemos CT(x) = CV(x) + CF(x) CT(x) = ax + b (función afín) CT(x) = 0,8 x + 6
Ejemplo 1 El costo variable de fabricar juntas para machimbre es de $ 2 por unidad y los costos fijos por día son de $30. Escriba la fórmula de costo total y construya su gráfica ¿Cuánto cuesta fabricar 25 juntas de machimbre por día? Solución El costo total de fabricar x juntas de machimbre en un día es C(x) = 2x + 30
El costo total de fabricar 25 juntas de machimbre por dí a es de $ 80. C(25) = 2. 25 +30 C(25) = 80
Ejemplo 2: El costo de fabricar 10 bolsas de cartón al día es de $2,20, mientras que fabricar 20 bolsas del mismo tipo cuesta $ 3,80. Suponiendo que se trate de un modelo de costo lineal, determine la fórmula correspondiente a producir x bolsitas de papel en el día y construya su gráfica. Solución: En este caso tenemos dos puntos P(10; 2,2) y Q (20; 3,80), pudiendo construir la ecuación que determine la relación. Por la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, tenemos
y = 0,16x+0,6
En el gráfico observamos que como x puede tomar únicamente valores enteros no negativos, no podemos representar a la función como una linea recta continua. Generalmente, cuando se trabaja con funciones económicas, se considera el dominio real, por lo que se la representa como una línea continua.
FUNCIONES LINEALES DE INGRESO Para el análisis de funciones lineales relacionadas con el ingreso, valen las mismas consideraciones hechas referentes a las funciones lineales de costos. El ingreso de una empresa, en un determinado período de tiempo, está dado por las ventas de bienes o servicios en ese período. Por ell o lo podemos expresar como el producto de la cantidad vendida por el precio unitario del bien o servicio.
I = p. q Si la empresa comercializa n productos distintos, la función se define como I = p1q1 + p2q2+ . . . + pnqn que se podemos expresar
Es decir que el ingreso se determina como la suma de los productos de los precios por las cantidades vendidas de cada uno de los bienes. Si volvemos al concepto de función lineal del tipo f(x) = ax + b vemos que en la función de ingreso el término b es igual a 0 por cuanto si no hay ventas de bienes el ingreso se anula. Por lo tanto esta función es del tipo f(x) = ax , como a medida que aumentan las unidades vendidas, aumenta el ingreso, es una función creciente y del primer cuadrante en la representación cartesiana, pues las cantidades vendidas no pueden ser negativas siendo su menor valor x = 0 (cero unidades vendidas). En este caso los ingresos serán también igual a 0 (cero). La gráfica de esta función tendría su nacimiento en el origen de un sistema de coordenadas cartesiana, es decir en el punto (0,0). Ejemplo 1: El precio de venta de una campera es de $ 30. La función de ingreso es: I(x) = 30x (x son las unidades vendidas) y su representación gráfica:
Ejemplo 2: El sueldo de un vendedor (ingresos del vendedor) está dado por la función I(x) = 1,5x + 300, el número 300 representa el sueldo fijo, es decir el valor independiente de las ventas (valores de x) del vendedor. El número de unidades vendidas por el empleado es el valor de x que matemáticamente puede tomar cualquier valor dentro del conjunto de los números reales, pero en este caso, obviamente no se pueden vender cantidades negativas, por lo que cobra importancia la definición del dominio de la función que según lo descripto debe ser un número mayor o igual a 0 (cero). Aunque no se puedan vender cantidades fraccionarias para el análisis económico se toman los valores no + negativos (x R0 )
DI ={x / x
R x 0 }.
Otra posible restricción al dominio estaría dada por la cantidad máxima de ventas determinada por la capacidad del vendedor, la del mercado para absorber la demanda mensual y el stock del producto. Así podríamos decir, por ejemplo, que las ventas máximas en promedio en l os últimos dos años, no superan las 100 unidades. Este dato nos limita aún más el dominio de la función pues x (cantidad vendida) además de tener que ser un número mayor o i gual que cero debe ser menor o igual a 100. Definimos nuevamente el dominio de la función como:
DI = {x / x
R 0 x 100}
Cabría preguntarse ¿Cuál es el sueldo mensual mínimo y máximo que podría cobrar el vendedor? Sueldo mensual mínimo: cuando las ventas son nulas, es decir x = 0 I(x)= 1,5.0 + 300 = 300 Sueldo mensual máximo: cuando las ventas son x = 100 I(x) = 1,5. 100 + 300 = 450
Intuitivamente diremos que cuanto más vende el empleado, mayor será su ingreso por lo que estamos en presencia de una función creciente, definida en el primer cuadrante con dominio DI = {x / x R 0 x 100 } y conjunto imagen II = {y / y R 300 < y < 450}
COMPORTAMIENTO ECONÓMICO DE LOS COSTOS Cabe aclarar que cuando se efectúa el análisis económico de los costos resulta necesario dividir entre el corto y largo plazo. El costo total, en el corto plazo, varía al modificarse la relación entre los factores fijos constantes y los variables, la empresa está en condiciones de ajustar su volumen de producción modificando los factores variables (p. ej.: el número de horas diarias/obrero, etc.) pero no puede aumentar su capacidad de planta. En cambio, a largo plazo, como es factible modificar todos los factores resultan todos los costos variables (algunos en función a la producción y otros al tiempo). Este tipo de análisis, por su profundidad, escapa de los objetivos del curso. En forma general puede decirse que las determinantes que afectan a los costos son la técnica de producción , la eficiencia de los componentes fijos y variables que se utilicen y los precios pagados por los factores productivos. Cuando se modifican los componentes se produce un cambio en la curva de costo, p.ej. si aumenta el precio de los insumos se eleva la curva de costos. Pero, refiriéndonos únicamente a los costos a corto plazo, creemos necesario que el destinatario de este material conozca más profundamente su comportamiento. No escapará a su percepción que para todo el estudio previo, aplicando el principio de ceteris paribus, se supone que sólo varía la cantidad o volumen de producción, que los insumos se mantienen a precio constante, que la técnica de producción es siempre la misma, etc.
El gráfico siguiente corresponde al caso estudiado hasta ahora, cada unidad adicional de insumo agrega al costo el mismo importe que la unidad anterior. La pendiente del costo total es el índice del costo variable por unidad de producción.
En cambio, en el gráfico siguiente está representada una producción a rendimientos decrecientes (costos crecientes). Cada unidad de producto requiere más unidades de factores variables.
Por último, en el gráfico que sigue está representada una producción a rendimientos crecientes (costos decrecientes). Cada unidad adicional del producto manufacturado necesita menos unidades de insumos variables que la anterior
En las empresas reales son más comunes las funciones de costos que combinan los dos últimos casos. El costo fijo se mantiene constante para cualquier volumen de producción ya que la empresa en el corto tiempo no modi fica su capacidad de planta. La curva del costo variable tiende a crecer a medida que aumenta la producción porque se hacen necesarios mayor cantidad de i nsumos variables hasta un determinado volumen de producción, a partir del cual a medida que se agregan insumos variables influyen cada vez más en el producto. Su gráfica puede ser la siguiente:
Para completar nuestro análisis resulta interesante comparar los valores de costos fij os totales, variables totales y totales vistos hasta ahora con los costos unitario fijo promedio, unitario variable promedio y unitario total promedio de una empresa ideal. Cada uno de los costos promedio resulta de dividir el costo total por el número de unidades producidas. Tendremos la siguiente tabla Unidades Costos fijos producidas totales
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
40000 40000 40000 40000 40000 40000 40000 40000 40000 40000
Costos variables totales
Costos totales
Costo unitario fijo promedio
20000 40000 60000 80000 100000 120000 140000 160000 180000 200000
60000 80000 100000 120000 140000 160000 180000 200000 220000 240000
40000 20000 13333 10000 8000 6667 5714 5000 4444 4000
Costo unitario variable promedio 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000
En el siguiente gráfico están representadas las tres primeras columnas, correspondientes a los costos totales
Costo unitario total promedio 60000 40000 33333 30000 28000 26667 25714 25000 24444 24000
En el gráfico siguiente están representadas las tres últimas columnas correspondientes a los costos promedio
Cabe señalar en esta última gráfica que la función del costo uni tario variable es constante mientras que la de costo unitario variable promedio decrece, rápidamente para los valores bajos de producción donde las unidades agregadas sobre los costos fijos producen mayor efecto y luego, más lentamente a medida que aumenta l a producción. Ese efecto se traslada a la función de costo promedio total por unidad. El costo unitario fijo es una curva asintótica que cuando las unidades tienden a infinito, dicho costo tiende a cero
Funciones Cuadráticas: Hasta ahora hemos trabajado con las funciones lineales de oferta y demanda de tipo lineales, donde la variable dependiente cantidad , cambia en proporción directa con el cambio de la variable independiente precio.
Pero existen casos en que la relación puede estar representada por una función no lineal, donde la respuesta de la variable dependiente no se encuentra en proporción directa con los cambios de la variable independiente.
Oferta En un sondeo de opiniones, se les preguntó a los proveedores de un determinado producto sobre las cantidades que están dispuestos a ofrecer en relación a distintos precios. Los datos obtenidos se volcaron en la tabla siguiente:
Precio (p)
Cantidad ofrecida(q)
10
95
20
395
30
895
A partir de los datos recolectados se obtuvo la ecuación de la oferta q = p2 - 5 Si consideramos los valores del dominio que tienen sentido económico, definimos a la oferta como una función biyectiva con raíces función Demanda será
. Descartamos x2 , y el Dominio restringido de la
Los vendedores estarán dispuestos a colocar sus productos en el mercado a precios superiores a ( debajo de dicho valor, no habrá productos en el mercado.
). Por
Para poder graficar buscamos su función inversa, representamos a la variable independiente precio en el eje vertical, y la variable dependiente cantidad en el eje horizontal como acuerdan los economistas.
Para reflexionar:
1. Cuál es el Dominio de la función Oferta, y cuál el Dominio restringido ?. 2. 3. 4. 5.
Compárelos. Cuál es la cantidad ofrecida del bien a un precio p = 28 ? Habrá oferentes para un precio de $2 por unidad? Justifique. A partir de que precio los vendedores están dispuestos a colocar sus productos en el mercado? Es una función creciente o decreciente? Interprete este concepto desde el punto de vista económico.
1. El dominio de la función Oferta es el conjunto formado por los números reales positivos incluidos el cero.
Dominio restringido, se refiere a los posibles valores que puede tomar la variable independiente con un sentido económico.
Para precios inferiores a económico.
Si
, las cantidades ofrecidas son negativas, y la expresión no tiene sentido
Relación de inclusión:
2. 3.
. Para un precio de $ 28, se ofrecerán 779 unidades del bien. , y una cantidad negativa carece de sentido económico.
4. A partir de un precio p
+
los productores estarán dispuestos a colocar sus productos en el mercado.
5. La oferta es una función creciente en los rangos restringidos, a medida que aumenta el precio aumentan las cantidades ofrecidas por los productores en el mercado.
DESPLAZAMIENTO DE LA OFERTA Al igual que en la demanda, cuando se produce un cambio en el precio, se produce un movimiento a lo largo de la curva de oferta.
Pero cuando se cambian las otras variables o factores que consideramos constantes, cambia el parámetro y la oferta se desplaza a la derecha o a la izquierda. Las otras variables que influyen en la oferta son: Tecnología Un cambio tecnológico produce un desplazamiento de la oferta a la derecha, a l os mismos precios se puede ofrecer más cantidad.
El costo de producción Si disminuye el costo de producción (p. ej. si baja el interés bancario que los productores pagan por los créditos banzarios o baja el salario de los trabajadores) a los mismos precios se ofrecerá más cantidad y la oferta se desplaza a la derecha. Si por el contrario, aumentan los costos, se ofrece menos cantidad y la oferta se desplaza a la izquierda.
El precio de otros bienes Cuando aumenta el precio de la yerba, disminuye la ofeeeeerta de té, debido a que son productos de oferta rival porque compiten por el mismo factore de producción: la tierra. Así también, si aumenta el precio de la carne, aumenta la oferta de cueros ya que los dos productos son de oferta conjunta; derivan del mismo proceso productivo.
Funciones Cuadráticas: Demanda
Hasta ahora hemos trabajado con las funciones lineales de oferta y demanda, donde la variable dependiente cantidad , experimenta cambios que son directamente proporcionales a los que sufre la variable independiente precio. Pero en la realidad, en la mayoría de los casos la relación puede estar representada por una función no lineal, donde la respuesta de la variable dependiente no se encuentra en proporción directa con los cambios de la variable independiente. En algunos casos la función de demanda puede expresarse como una función polinómica de grado dos o función cuadrática., cuya representación gráfica es una parábola.
Simbólicamente se expresa:
Una empresa encuestadora sondeó a los posibles compradores de un modelo de paraguas sobre los precios que estarían dispuestos a pagar. Así se obtuvo una función cuadrática de Demanda. Los datos de campo se muestran en la siguiente tabla: Precio (p)
Cantidad demandada (q)
10
280
11
270
15
190
A partir de los datos recolectados se obtuvo la ecuación de la demanda, que responde a la función cuadrática q = -2p2 +32p +160, y en lenguaje matemático la identificaremos como:
Para graficar, respetamos las convenciones de los economistas, y ubicamos a la variable independiente precio en el eje vertical y a la variable dependiente cantidad en el eje horizontal. En realidad graficamos la función inversa de la Demanda. A partir de la Ecuación Canónica de la función cuadrática, buscamos la inversa:
Graficamos la función inversa.
Para reflexionar:
1. Identifique el Dominio y el Dominio restringido. 2. Cuál será la cantidad demandada a un precio de $15 por unidad? 3. Habrá demandantes para un precio de $30 por unidad?. Justifique. 4. A partir de que precios los compradores están dispuestos a adquirir los productos en el mercado? Respuestas 1. 2. f(15) = 190
3. f(30) = - 680. Carece de sentido económico. p = 30 no pertenece al Dominio restringido de la Demanda del bien en cuestión. 4. A partir de precios inferiores a $ 20.
Funciones Cuadráticas: El equilibrio en el mercado En el caso de funciones Oferta y Demanda no lineales, para buscar el equilibrio del mercado, se deberá encontrar el precio de mercado que iguale a la cantidad ofrecida ( q o) y la cantidad demandada (q d). Veamos un ejemplo 2
2
Para q d = p - 5 y q o = - 2p + 32p +160 El equilibrio estará en el punto de intersección entre las cantidades ofrecidas y demandadas q d= q o 2
2
p - 5 = - 2p + 32p +160 0 =3 p2 - 32p -165 Buscamos las raíces: p 1 = 14,4, y p 2 carece de sentido económico por ser negativa. Con: q d : la cantidad demanda. q o : la cantidad ofrecida. p: el precio del bien en un determinado momento. Punto de equilibrio. r (14,47; 204,25) Precio de equilibrio = 14,47 Gráficamente, significa encontrar el punto en donde se cortan las curvas de Oferta y Demanda.
