Introducci´ on a las Funciones Vectoriales (Funciones de on
n
→R
R
)
1
Funciones de Variaci´ on Acota on Acotada da
Sea f una funci´ on real en el intervalo I = [a, b] y sea p una partici´ on de I, p = a = entonces si todas las sumas
{
Definici´ on o n 1.
t0 , t1 ,...,tn=b
}
| (
f tk )
− f (t
k−1 )
|
son acotadas se dice que f tiene variaci´ on acotada sobre I. Se define como el supremo de los valores de las sumas tomadas sobre todas las particiones de I vf = sup
| (
f tk )
− f (t
k −1 )
|
Curvas Rectificables Definici´ on o n 2. Para
funciones vectoriales: Sea f (t) una curva dada por f (t) = (f 1 (t),...,f n (t)) t [ a, b] y sea P una partici´ on de [ [ a, b] P = a = t 0 , t1 ,...,tn=b la suma
{
} L∆ = Σf (t ) − f (t k
∈
k−1 )
es una aproximaci´ on a la longintud de la curva. Si los n´ umeros L∆ estan acotados para todas las particiones de [a, b], entonces se dice que la curva C es rectificable y que la longitud de la curva esta dada por LC = sup L∆ = sup Σ f (tk ) f (tk 1 )
−
−
Si los n´ umeros L∆ no estan todos acotados se dice que la curva C no es rectificable. Teorema 1. Sea
C una curva dada por f (t) = (f 1 (t), f 2 (t),...,f n (t)) t [ a, b] una condici´ on necesaria y suficiente para que C sea rectificable es que f i i = 1,...,n tengan variaci´ on acotada
∈
Demostraci´ on. Necesidad. Necesidad. Sup´ongase ongase que C es rectificable y que LC existe y sea P cualquier partici´on on de I. Entonces f i (tk ) f i (tk 1 ) f ( tk ) f (tk 1 )
|
−
−
| ≤
−
−
Dado que un vector tiene una longitud mayor que cualquiera de sus componentes. Por lo tanto
|
f i (tk )
− f (t i
k−1 )
|≤
f ( tk )
− f (t
k −1 )
≤ L
C
Por lo tanto f i tiene variaci´on on acotada para toda i y para toda partici´on P de [a,b]. [a,b]. f ,...,f Suficiencia.. Supongamos ahora que 1 Suficiencia on acotada esto significa que existe vf 1 ,...,vf n on n tiene variaci´ por lo que
f (t ) − f (t k
k −1 )
≤ |f 1(t ) − f 1(t
k −1 )
k
| + |f 2(t ) − f 2(t k
k−1 )
| + ... + |f (t ) − f (t n
k
n
k−1 )
|≤
vf 1 + vf 2 + ... + vf n
Por lo tanto Por lo tanto
f ( tk )
− f (t
f ( tk )
k −1 )
− f (t
1)
k−
≤
|
f i (tk )
− f (t i
1)
k−
|≤
esta acotada y por lo tanto f es rectificable
Facultad de Ciencias UNAM
vf i
Prof. Esteban Rub´en Hurtado Cruz C´ alculo Diferencial alculo Diferencial e Int Integra egrall III
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Introducci´ on a las Funciones Vectoriales (Funciones de on
Teorema 2.
R
n
→R
)
2
Si f es mon´ otona en [a,b], entonces f es de variaci´ on acotada en [a,b]
Demostraci´ on. Sea f creciente. Entonces partici´on on de [a,b] f (tk )
∀
n
− f (t
k−1 )
≥ 0 por lo tanto
n
| (
f tk )
k=1
− f (t
k−1
)| =
f (tk )
− f (t
k=1
Teorema 3. Si
k−1 )
= f (b)
− f (a)
f es una fuci´ on continua en [a,b] y existe f y es ´esta esta acotada en el interior de [a,b] on acotada en [a,b] M x ( a, b), entonces f es de variaci´
|f (x)| ≤ ∀ ∈
Demostraci´ on. Dem:
Por el teorema del valor medio f (tk )
con t k
∈ (t
∗
k −1 , tk )
− f (t
k−1 )
= (tk
− t
∗
k−1 )f
(tk )
por lo tanto
n
n
| (
f tk )
k=1
− f (t
k−1
n
| )| =
− t 1| |f (t
tk
k=1
k−
∗
k
| )| ≤
− t 1| M = ( b − a)M
tk
k=1
k−
por lo tanto f es de variaci´on on acotada Ejemplo: Mostrar
que la siguiente funci´on on vectorial (curva) f (t) = [t, t2 sen
Soluci´ on: on: Tenemos
1
] es rectificable t
que f 1 (t) = t es monotona y continua en [0,1] por lo tanto f 1 es de variaci´on on acotada. 1 Para f 2 (t) = t sen t vamos a checar continuidad. Para ello proponemos un δ = por lo que si 2
√
| − 0| < δ ⇒ ⇒ |t − 0| < √ ⇒ |t|2 <
0 < t
Mientras que 2
1
1
| ≤ | t2 | = |t|2 < t t Por lo tanto f 2 (t) es continua en [0,1]. Ahora vamos a comprobar que |f 2 (t)| esta acotada en [0,1], |t
sen
− 0| = |t
2
sen
se tiene que
2
f 2 (t) = t sen
1 t
⇒ f 2(t) = 2t sen
1 t
− cos
1 t
Por lo tanto
|f 2(t)| = |2t sen
1 t
− cos
1 t
| ≤ |2t sen
1 t
| + | − cos
1 t
| ≤ |2t| + | − 1| ≤ 3
Por lo tanto f 2 esta acotada y por lo tanto f 2 es de variaci´on on acotada. Finalmente como f 1 y f 2 son de variaci´on on acotada entonces la curva f es rectificable
| |
Ejemplo: Mostrar
→ R2 dada por f (t) = [t, t sen
que la siguiente funci´on on vectorial (curva) f : [0, 1]
π t
]
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Introducci´ on a las Funciones Vectoriales (Funciones de on
R
n
→R
)
3
Soluci´ on: on: En
este caso tenemos que revisar cada una de las funciones componentes. Para x1 (t) = t en [0, 1] tenemos que x1 es monotona creciente y seg´un un el resultado anterior, es de variaci´on on acotada. π Para x 2 (t) = t sen Ahora tomamos la partici´on on
t
P =
2 2 2 2 2 , x2 = ,..., , , xn = = 1 0 = x 0 , x1 = k + 1 k 5 3 2
Por definici´on on f (x0 ) = 0 y para x i = 0 se tiene que
= 1 sen( = 1 sen sen = sen = sensen( ) == −0 = sen = sen = 0 = sen = sen = − 2 2
f
f
2 3
2 3
2 5
π
2 2
2 4
f f
π
2 3
π 2 3
2 4
2 4
π 2 4
2 5
2 5
π 2 5
3π 2 4π 2
2 3
5π 2
2 5
· · ·
Por lo tanto n
2 2 2 2 ( )| = 0 − − + − − 0 + 0 − + − 0 + · · · 3 3 5 5 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 = + + + + + + · · · = 2 + + + + + + · · · 3 3 5 5 7 7 3 3 5 5 7 7 1 1 1 1
| ( ) − f ti
f ti−1
i=1
> 2
3
+ + + + 4 5 6
···
esta ultima u ´ ltima es la serie arm´onica onica la cual no converge a medida que n es suficientemente grande, por n
| ( ) − lo tanto f ti
i=1
f (ti−1 ) no es acotada y en consecuencia la funci´on no es de variaci´on on acotada,
|
por lo tanto la curva no es rectificable
