CURVAS EQUIPOTENCIALES

CURVAS EQUIPOTENCIALES I. OBJETIVOS 1.a. Determinar experimentalmente las graficas de equipotenciales de 3 configuraciones de carga distinta.

curvas

1.b. 1.b. A part partir ir de esto esto,, obte obtene nerr las las líne líneas as de camp campo o eléc eléctri trico co de form forma a aproximada. II. FUNDAMENTO TEORICO Al presentarse una carga unitaria o configuración de cargas en el espacio esta origina perturbaciones en el espacio circundante. Cuando las cargas son estáticas se originan 2 magnitudes medibles íntimamente relacionadas: El campo eléctrico E magnitud de vectorial y el potencial eléctrico V magnitud escolar, escolar, amba función de la posición (x,y,z). [ ]. Cuando se coloca una carga de prueba q 0 en un punto P=(x,y,z) sobr sobre e esta esta acti activa va una una fuer fuerza za con con ser ser acti activa va Fe da origen origen eléctr eléctrico ico provocada por las cargas iniciales en el espacio. Se define el campo eléctrico como E=Fe/q siendo este un campo conservatorio [ ]. El trabajo realizado para mover una carga en este campo será igual al trabajo que realiza el campo E pero con signo cambiado. Wext = - WE Luego para un desplazamiento infinitesimal d s (Vease Anexos 1) DW=Fext . dS Entonces: dW= - Fe . ds dW= - q0 E.ds ..... ....... ..... ..... .... .... .... .... ..... ..... .... .... .... .... .... ....

(1.1 (1.1))

Para una trayectoria C el trabajo total estará dado entonces por la integral de línea de E sobre C. W = - q.

c

E.ds ................................. (1,2)

1

Se define el potencial eléctrico a suplente potencial V como el trabajo por unidad de carga que debido hacer una fuerza externa para traer una carga desde el infinito a la posición que ocupa en el campo E, por lo tanto la diferencia de potenciales entre el punto A y el punto B será W A B / 90 = VAB = VB – VA =

donde A; B є C ................ (1,3)



Como E es un campo comenvativo, sea una curva C´ VAB = -

c

E.ds = -

c´

E.ds

≠C

se define que

A,B є C, C´/1,4

Entonces vemos que el cambo de potenciado no defiende de la trayectoria solo de los puntos inicial y final. Para nues nuestr tro o caso caso estu estudi diam amos os camp campos os prod produc ucid ida a por por carg cargas as puntuales por lo tanto: E=Q/4π E0 1/r2  de (1,1) ÷ dW/ q = - E ds cos θ Pero del anexo 2: ds cosθ=dr  Reemplazando Reemplazando esto último en (1,4) se obtiene: VAB = -

Q/4 π E0 1/r2 dr = - Q/4 π E 0 dr / r2 = Q/ 4 π E0 [1/rB –

1/rA] Por lo tanto de la definición de potenciado: V(r) = Edr= Q/4 π E0 [1/r – 1/∞=Q/4 π E 0 (1/r)............ (1,5) Para obtener el campo de una configuración de mucha cargas se une el principio de super posición. Al tenativamento, el potencial debido a un campo E uniforme (Vease Anexos 3) según (1,3): E.ds= -E. dS= - E.(B-A) VAB = Entonces: V AB = |E| |B-A| como ............................ (1,6) 2

Líneas de fuerza

El concepto de líneas de fuerza fue inventado por Michael Faraday. Esta línea es tal que la fuerza eléctrica sobre una carga en el espacio, siempre es tangente a la línea. Señalan la dirección del campo E en cualquier punto. Siempre apuntan en la dirección en la que el potencial es decreciente de la ec. (1,6) reemplazado para 2 puntas al mismo potencial. VA - VB = 0 = E(B-A) cos θ=0  cos θ = 0 ↔ θ = 90° Entonces el campo E es perpendicular a la superficie que contiene a los puntos con misma potencial, este lugar geométrico se denomina superficie equipotencial, y se puede demostrar que en general las líneas de campo E son perpendicular a toda superficie equipotencial. Ex potencialmente resulta mucho más sencillo medir el valor del potencial V en un punto (x,y,z), y además conociendo la función de potencial se puede determinar el valor del campo E en cualquier punto mediante la relación E(x,y,z)=-V =-V V (x,y,z)..................................... (1,7)

Entonces se puede definir al campo E como la razón de cambio de V respecto a la posición [E] = V/m = N/C. Para poder medir la diferencia de potencial entre 2 puntos del espacio necesitaremos establecer una cociente entre estos para esto utilizaremos una solución conductora de sulfato de cobre la corriente puede ser medida con un galvometro, por lo tanto en aquellos puntos en donde no se establezca una corriente serán los que están al mismo potencial, de esta manera trataremos de encontrar puntos para poder trazar curvas equipotenciales [ ]. III. EQUIPO 1. Una bandej bandeja a de plásti plástico co 2. Una fuente fuente de poder poder DC DC (zv) (zv) 3

3. 4. 5. 6.

Un Ga Galv lvan anóm ómet etro ro Electrodos Electrodos con con forma forma de punta punta laminas laminas y anillos anillos Soluci Solución ón de sulf sulfato ato de de cobre cobre Tres laminas laminas de papel papel milimet milimetrado rado

IV. IV. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL EXPERIMENTAL 4.1. En una hoja de papel milimetrad rado se dibujo un sistema de coordenadas XY tomando como origen el centro de la hoja y se pego la hoja debajo de la bandeja de plástico. 4.2. Se conecta la fuente de poder a la toma de AC, también se conectaron los electrodos en forma de punta; como lo indica el anexo 4. 4.3. 4.3. Luego Luego se ajus ajusto to la la fuent fuente e de pode poderr 2.2 2.2 voltio voltios. s. 4.4. Se tomo el puntero fijo y se posicion iono sobre el eje X en una coordenada de números enteros entre los electrodos. 4.5. 4.5. Se conect conecta a un termin terminal al del punte puntero ro fijo fijo al galvan galvanóme ómetro tro y tambi también én se conecta el puntero móvil y el galvanómetro. 4.6. 4.6. Tomando omando una una coorden coordenada ada Y fija se se movió movió el punter puntero o movil movil de forma forma paralela al eje X hasta que el galvanómetro marque cero y se apunto las coordenadas del punto. 4.7. 4.7. Con el punte unterro móvil óvil se buscaro caron n 4 punt punto os sobr sobre e el eje eje X y 4 puntos bajo el eje X, y un punto mas en el eje X con esto se estableció una curva. 4.8. 4.8. Para ara la config configur urac ació ión n de electr electrod odos os de punt puntas as se llega llega estab estable lece cerr 10 curvas distintas distintas entre los electrodos. electrodos. 4.9. Se repitió repitió lo mismo mismo para las configuracio configuraciones nes de electr electrodos odos en forma forma de laminas y de anillos, anill os, leyéndoles previamente. V. DATOS EXPERIMENTALES Los datos recogidos en el laboratorio son los puntos en coordenadas XY para cada curva equipotencial equip otencial estos puntos se muestran en las tablas N° 1 y N° 3, siendo las respectivas graficas N° 1, N° 2 y N° 3. * Vease luego de datos experimentales

VI. VI.

TRA TRATAMIE AMIENT NTO O DE DE DA DATOS TOS 6.1. SOBRE LAS GRÁFICAS GRÁFICAS EXPERIM EXPERIMENT ENTALES: ALES:

4

6.1. 6.1.a. a. Graf Grafic ica a N° 1 En este caso se trato de determinar las curvas equipotenciales producidas por un polo (2 cargas opuestas separadas la misma distancia del origen). Observamos una distorsión de las curvas en la parte cercana al eje X, X , se trato de aproximar aproximar las líneas de campo c ampo E de forma perpendicular a cada curva equipotencial estas curvas tienen apariencia hiperbólica. 6.1. 6.1.b. b. Gráf Gráfic ica a N° N° 2 Aquí se intento reproducir las curvas creadas por 2 planos paralelos de densidad de carga opuesta. Podemos ver que en la parte media (cercana al eje x) las curvas son casi paralelas y por tanto las líneas lí neas de campo E son casi rectilíneas en la dirección de +O a –O cercano a los bordes las líneas se distorsionan hacia fuera, las líneas de campo E se curvan hacia fuera de las placas. 6.1. 6.1.c. c. Gráf Gráfic ica a N° N° 3 Ahora tratamos reproducir las curvas creadas por la distribución de 2 anillos anillos con sus centros centros posicional posicionales es en (x,y)=(-7,0 (x,y)=(-7,0)) para el anillo con carga – Q y (x,y)=(7,0) para el anillo con carga +Q se observa que las curvas son muy similares a las de la gráfica N° 4 en la distribución de cargas puntuales, excepto que aquí no se observa una distorsión entre la línea que une los anillos, además se produjo un total de 12 curvas, las 2 adicionales son las que bordean los anillos, y están incompletas por que no se hallaron mas puntas con el mismo potencial además hay que percatarnos que al trazar las líneas de fuerza estas caen en los bordes de los anillos perpendicularmente y si se prolongasen estas coincidieran en cada uno de los centros de los anillos. (*) A partir de los puntos obtenidos en las tablas N° 1, N° 2 y N° 3 hem hemos trat tratad ado o de obt obtener ener curv curva as mas deli deline nea adas das mediante una aproximación gráfica para todos los puntos de las curvas. Estas aproximaciones se muestran en las siguientes paginas siendo la grafica N° 4 un ajuste grafico para la gráfica N° 1 lo mismo para la gráfica N° 5 con la gráfica N° 2 y también para la N° 6 con la N° 3. 5

6.2. EXPLICACI EXPLICACIÓN ÓN PARA PARA LAS APROXIMA APROXIMACIONE CIONES S 6.2. 6.2.a. a. Gráf Gráfic ica a N° 4 Las líneas de campo, envosa van en la dirección de la carga positiva a la negativa, además vemos que en las proximidades de las cargas las líneas están mas juntas lo que será la que el campo E en esta zona es mucho más intenso en comparación de las cercanías de la recta X=0 (eje y) donde las líneas están más separadas y el campo E es menos menos intens intenso, o, sobre sobre las curvas equipotenciales; vemos que cerca del eje Y se obtienen curvas casi rectilíneas mientras que al acercarse a las cargas se hacen casi hiperbólicas. 6.2. 6.2.b. b. Gráf Gráfic ica a N° N° 5 Podemos ver que el campo E es casi uniforme y se dirige la placa +O hacia la placa –O, la deformación del campo en el borde es debido a los bordes de las placas (poder de las puntas) y también debemos recordar que la idealización de campo uniforme es cuando la longitud L de las placas (L=12 cm) es mucho mayor que A distancia d que las separa (d=12 cm) es decir <>>d. 6.2. 6.2.c. c. Gráf Gráfic ica a N° N° 6 Esta gráfica resulta prácticamente idéntica a la gráfica N° 4. Esto se debe a que si consideramos los 2 anillos y el plano XY como la sección transversal de un sistema de 2 cilindros de longitud infinita con densidad superficial +O y – O, el campo será será el mism mismo o crea creado do por por 2 carg cargas as punt puntua uale less (Vea (Vease se la demo demost stra raci ción ón de esto esto en los los anex anexos os). ). Tambi ambién én hay hay que que percatarnos que las líneas de campo atraviesan perp perpen endi dicu cula larm rmen ente te las las circ circun unfe ferrenci encia a de los los anill anillos os esto esto debido aquellas superficies metálicas conductores son también superficies equipotenciales.

RESPUESTA A LAS PREGUNTAS:

6

1.

Motivo del uso de la solución conductora de Cu SO 4: En un inicio en el medio el campo E no tiene mayor efecto sobre su al medidor, al introducir la solución de Cu SO 4 el campo eléctrico causa una influencia en las cargas ionicas y el agua se vuelve vuelve conductora [ ]. En un medio medio conductor conductor.. Las cargas viajan según el sentido de las líneas de fuerza como se muestran las gráficas aproximadas al introducir los punteros, electrodos conectados mediante un galvanómetro lo que hacemos es ofrecer en esa capa alterno las cargas en el líquido para que se puedan desplazar (algo así como un modo según la ley de Kirchoff de las iones). Cuando los punte unterros se encu encuen enttran ran en 2 pun puntos tos cual cualqu quie iera ra que que presentan una diferencia de parte cual AV, sobre las cargas en los terminales se realizará trabajo W tal que Ws q(AV), por por el teor teorem ema a de trab trabaj ajo o y la la ene energ rgía ía W= W= EK  (energía ciné cinéti tica ca)) ento entonc nces es la dife diferrenci encia a de pote potenc ncia iall prod produc uce e movimiento de cargas, es decir convierte I (I=dq/dt) y esta es detectada por el galvanómetro, dispositivo que detecta los cambios de concierte gracias a los efectos de rotación que reproducen en su bobina interna debido a la variación del campo magnético B esto a la presencia de cargas en movimiento. De todo lo anterior. Entonces para puertas con el mismo potencial (AV=0) se tiene que AEr=0 será inicialmente no había movimiento de carga en el alambre conductor (EK 0=0) esto quiere decir que que no habr habrá á movi movimi mien ento to de carg cargas as I=0 I=0 ento entonc nces es los los puntos en una superficie equipotencial se hallan buscando aquellos pares en donde el galvanómetro marque cero.

VII.

OBSERVACIONES

8.1 Respect Respecto o a la gráfica gráfica N° 1 la distorsión distorsión que se comenta en 6.1.a. 6.1.a. puede haber sido causada por el efecto de las puntas de los electrodos, como sabemos en esta región el valor del campo E es mas intenso y además 7

en la raíz cercana al eje de un depolo siempre el campo es muy intenso, tamb tambié ién n hay hay que que cons consid ider erar ar los los err errores ores debi debido do a los los equi equipo poss que que dejamos, como la fuente de poder que puede haber dado un voltaje no muy constante y esto hacia que el campo no solo vacía con respecto a la posició posición n (V(x,y (V(x,y,z) ,z);E( ;E(x,y x,y,z) ,z) sino sino tambié también n con el tiempo tiempo (V(x,y (V(x,y,z, ,z,t); t); E (x,y,z,t)). Este error no es tan grosero en las demás gráficas. 8.2 En la gráfica N° 2 al pertenecen pertenecen mayor es producida producida en los bordes de las placas debido al poder de las puntas. 8.3 De la gráf ráfica N° 3 se concluye que los los anillo llos son superficie cie equipotenciales por lo tanto se esperaría entonces que todas las curvas tanto en las gráficas N° 1 y N° 3 sirvan segmentos de circunferencia de distinto radio (comparace en anexos 5). 8.4 Según la ecuación ecuación (1,7) podemos podemos interpretar interpretar el campo eléctrico E como la razón de cambio del campo escalar V respecto a la posición (x,y,z), esto es generalizado en espacio mediante el operador Nabla (V). E x i + E y i + E z k= V V = - av/ax i – av/ay i – av/az k  8.5 8.5 Como Como otra otra de las las posi posibl bles es caus causas as de err error no debe debemo moss olvi olvida darr la conexión en los electrodos debido al proceso de electrolisis del Cu SO 4, por esto se tuvo que ligarlos. 8.6 Además Además debido a que fuimos al tercer tercer grupo en realizar el experimento experimento después de 2 secciones mas A y B la solución de Cu SO 4 ya había sido sometida a un proceso electrolítico muchas veces, tal efecto reduce su conductividad, esto afectaría la lectura en el galvanómetro.

VIII.

CONCLUSIONES

8.1 Las línea líneass de campo campo E están mas juntas donde la magnitud de este es más intenso, y las curvas equipotenciales son más apegadas en estas zonas.

8

8.2 Sobre Sobre una superficie superficie equipotencial equipotencial no ocurre movimiento movimiento de cargas por acción eléctrica. 8.3 8.3 Tambi ambién én se pued puede e comp comprrobar obar la orto ortogo gona nali lida dad d del del vect vector or E a la superficie equipotencial por la ecuación (1,7) y la definición de vector gradiente V, matemáticamente el vector VV siempre es ortogonal al cualquier superficie de nivel de V. 8.4 8.4 El de polo cread creado o por por 2 anill anillos os crea crea el mism mismo o camp campo o que que 2 carg cargas as punteales de signo opuesto, esto se puede generalizar también para un dipolo de 2 esferas.

IX.

RECOMENDACIONES

Para Para la mayor realización de este experimento es necesario que los electrodos se encuentren lo más limpio posible, el galvanómetro correctamente correctamente calibrado y los puntos en la gráfica se deben de tomar con aproximación aproximación hasta milímetros, puesto que para este experimento trabajamos solo con números enteros en lo posible.

X.

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