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UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS Y FÍSICAS CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL
TOPOGRAFÍA II CURVAS HORIZONTALES
DOCENTE: ING. GUSTAVO TOBAR BARRENO
ESTUDIANTE: JAVIER CORREA VELÁSQUEZ
GRUPO: 3G-1-A
2016-2017 GUAYAQUIL – ECUADOR ECUADOR
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Índice general Resumen .................................................. ........................................................................................................ ....................................................................................... ................................. 4 Introducción .................................................................................................................................. 5 Objetivos de este Trabajo ................................................ ...................................................................................................... ............................................................. ....... 6 Objetivo General ....................................................................................................................... 6 Objetivos Específicos ................................................ ...................................................................................................... ............................................................. ....... 6 Curvas horizontales ...................................................................................................................... 7 Generalidades ............................................................................................................................ 7 Curvas Circulares ..................................................................................................................... 8 Curvas circulares simples. .................................................................................................... 8 Principales elementos. ..................................................... ................................................... 8 Fórmulas deducidas por trigonometría. ..................................................... ............................................................................. ........................ 9 Fórmula general. ..................................................... .................................................... ......................................................... ..... 10 Algunas propiedades geométricas. ..................................................................... .............. 11
Curvas circulares compuestas. ........................................................................................... 11 Fórmulas deducidas. .............................................. ...................................................... ........................................................... ..... 12
Curvas circulares reversas. ................................................ ................................................................................................. ................................................. 13 Curvas circulares mixtas..................................................................................................... 14 Ángulos de deflexión. ................................................ ...................................................................................................... ........................................................... ..... 14 Replanteo de curvas cu rvas circulares. .................................................. .......................................................................................... ........................................ 15 Curvas Espirales ................................................... ........................................................................................................ ................................................................... .............. 20 Conclusiones y Recomendaciones ...................................................... .............................................................................................. ........................................ 21 Conclusiones ............................................................................................................................ 21 Recomendaciones .................................................................................................................... 21 Referencias .................................................................................................................................. 22 Bibliografía .................................................................................................................................. 22 Webgrafía .................................................................................................................................... 22
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Índice de figuras Fig. Fig. Fig. Fig. Fig. Fig. Fig. Fig. Fig.
1 Elementos principales de un arco de circunferencia .......................................................................... 7 2 Curva circular simple y sus principales elementos ............................................................................ 8 3 Curva circular compuesta por dos radios ......................................................................................... 11 4 Curva circular inversa y su punto de tangencia intermedia ............................................................. 14 5 Curva circular mixta ........................................................................................................................ 14 6 Ángulos de deflexión positivos y negativos .................................................................................... 15 7 Cuerda unitaria de 10 metros ........................................................................................................... 16 8 Replanteo de curvas por método de ángulos de deflexión ............................................................... 16 9 Curva espiral de una vía férrea ........................................................................................................ 20
Índice de tablas Tabla 1 Grados de curvatura y longitudes de cuerda .................................................................................. 18 Tabla 2 Cuadro de replanteo de curvas horizontales por ángulos de deflexión .......................................... 19
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Resumen El presente trabajo, busca dar a conocer los conceptos básicos sobre el tema de curvas horizontales en el ámbito topográfico, así como también de explicar algunos teoremas y fórmulas aplicadas en el diseño de estas. Las ilustraciones mostradas son esquemas sintetizados de manera resumida y el contenido aplicado únicamente en topografía. El contenido ha sido comprobado por varios textos bibliográficos y documentos en línea actualizados para mayor comprensión del lector.
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Introducción La topografía comprende muchos ámbitos relacionados con el diseño, y las curvas horizontales juegan un papel importante en la construcción de carreteras y vías férreas. Por ello la importancia de tener conocimiento acerca de este tema, además de tener en cuenta conceptos fundamentales de geometría y trigonometría. En el campo el procedimiento es un poco complejo, ya que no hay manera de replantear una curva horizontal así de simple, se deben conocer primero ciertos elementos y parámetros a seguir para poder realizar este trabajo. Para esta ocasión, aprenderemos ciertos métodos para replantear una curva, además de recordar algunos conceptos y fórmulas, necesarias para el cálculo de éstas curvas.
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Objetivos de este Trabajo Objetivo General Conocer los conceptos básicos acerca de curvas horizontales para el replanteo y trabajo en campo.
Objetivos Específicos Aprender las fórmulas y teoremas necesarios en la práctica y el trabajo en oficina. Conocer acerca de los tipos de curvas horizontales utilizadas en diversos ámbitos en la topografía.
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Curvas horizontales Generalidades En la topografía, el estudio de las curvas horizontales es de gran importancia para la representación gráfica de elementos tales como detalles de veredas, caminos y el ámbito más común, el diseño de carreteras. Para representar tales elementos se requiere del estudio de ciertos teoremas de geometría en los cuales se basa el concepto de curvas. Por geometría se entiende a una curva como un arco de circunferencia. Básicamente es un tramo continuo entre dos puntos que cortan a una circunferencia, tales puntos provienen de rectas tangentes a la misma que convergen en un punto de intersección o P.I. En topografía se distinguen dos tipos de curvas, horizontales y verticales, estas últimas se utilizan en el diseño de vías y carreteras en conjunto con las horizontales para la representación de relieves. Las curvas horizontales en cambio muestran la vista en planta del diseño geométrico. Así pues, una curva horizontal es un tramo de circunferencia representado sobre un plano horizontal, cuyos elementos principales son: la cuerda, la sagita o flecha, y el radio. Ver Fig. 1
Fig. 1
Elementos principales de un arco de circunferencia
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Hay dos tipos de curvas horizontales: las curvas circulares y las curvas espirales; cada una de ellas utilizadas en determinados ámbitos para el diseño de vías.
Curvas Circulares Como su nombre lo indica, son curvas formadas por un tramo de circunferencia. Estas pueden ser: simples, compuestas, y reversas o en “s” (véase Fig. 4).
Curvas circulares simples. Estas solo forman un ángulo central ∆. Se compone de dos rectas tangentes empalmadas que forman un solo arco. Son las más comunes y sencillas de realizar en un replanteo de curvas horizontales para el diseño de vías. Ver Fig. 2
Fig. 2 Curva circular simple y sus
principales elementos
Principales elementos.
Punto de curvatura = A = PC. Es el punto donde termina el tramo recto y empieza el curvo. Punto de tangencia o de salida = B = PT. Es el punto donde termina el tramo curvo y comienza el recto.
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Punto de intersección o vértice = C = PI. Es el punto de unión entre las dos rectas tangentes que forman la curva.
∡
Ángulo central = AOB = ∆. Es el ángulo que se forma del centro de la circunferencia hasta los extremos de la cuerda. Este ángulo también se refleja en la intersección de las dos rectas tangentes Rectas tangentes = AC = CB = T Externa = DC = Ext. Cuerda principal = AB = C Flecha o sagita = ED = S Radio = OA = OD = OB = R Fórmulas deducidas por trigonometría.
Cuerda principal:
∆2 = 2
C = 2sin ∆2 Recta tangente:
tan ∆2 = T = tan ∆2 Sagita:
cos ∆2 = → cos ∆2 = S
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S = (1 cos ∆2) Externa:
cos ∆2 = → sec ∆2 = E = sec ∆2 E = (sec ∆2 1) Ángulo central:
∆= 2sin− 2 Fórmula general.
2 = 0
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A partir de esta fórmula se pueden deducir las demás para flecha, cuerda, y radio, sin conocer ángulos, únicamente los valores de las tres componentes principales de un arco de circunferencia. Radio
Sagita Cuerda
= +
= = 2√ 2
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Algunas propiedades geométricas.
El ángulo CAB o también conocido como ángulo semiinscrito, es la mitad del ángulo central AOB. Así pues, se tiene que el ángulo formado por una tangente y una cuerda es la mitad del ángulo central ∆. Las dos tangentes trazadas desde un mismo punto a una circunferencia son iguales entre sí Dos ángulos son iguales cuando tienen sus lados respectivamente perpendiculares y contados en el mismo sentido.
Curvas circulares compuestas. Están formadas por dos o más curvas circulares simples de radios diferentes unidas entre sí. Estas se utilizan por lo general cuando se requiere ajustar la curva lo más posible a la forma del terreno cuando este no es plano del todo y posee relieves.
Fig. 3 Curva circular compuesta por dos radios
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Fórmulas deducidas.
Se tienen las coordenadas del punto B con respecto a A: X y Y donde API es el eje X. (véase Fig. 3) Además: Radio mayor = OA = OC = R Radio menor = O1C = O1B = r Tangente 1 = API = t1 Tangente 2 = BPI = t2 Ángulo central de la primera curva = AOC = δ Ángulo central de la segunda curva = CO1B = δ1 Ángulo central total = ∆ = δ + δ1
Como Así pues
= sin cos90 ∆ cos90 = sin sin∆ sin = sin sin∆ = cos cos cos∆ = cos∆ cos sin ∆ = , entonces = sin∆ = −∆−− ∆
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Para hallar t1
= cos∆ = sin sin∆ cos∆ Para determinar los radios
sin∆ = cos∆ cos cos sin ∆ = 1 cos cos∆ cos cos R = sin ∆ 1cos∆ cos De la misma ecuación se puede despejar r
sin ∆ = 1 cos cos∆ cos cos sin∆ r = 1cos∆ cos Curvas circulares reversas. Son curvas circulares compuestas cuyos centros están ubicados en lados opuestos a la tangente común, formando así curvas en forma de “s”. Estas no son frecuentemente utilizadas, más bien en ocasiones en las que la forma del terreno lo amerita. (Oca, 1989, pág. 168)
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Fig. 4 Curva circular inversa y su punto de
tangencia intermedia
Curvas circulares mixtas. Es la combinación de una tangente de corta longitud (menos de 100 pies) que conecta dos arcos circulares con centros en el mismo lado.
Fig. 5 Curva
circular mixta
Ángulos de deflexión. Según (Nieto & Bonilla, 1968) “Se denomina ángulo de deflexión al ángulo que hace un lado de una poligonal con la prolongación del lado inmediatamente anterior.” (pág. 57)
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Fig. 6 Ángulos de deflexión positivos y negativos
Replanteo de curvas circulares. En el campo se trata de medir las distancias y los ángulos necesarios para el replanteo de una curva circular. Normalmente se suelen tomar cuerdas de unidad o también llamadas cuerdas unitarias, por lo general de 10 o 5 metros dependiendo de la magnitud de la curva. En campo las distancias entre dos estaciones deben forzosamente ser rectas, es por consiguiente que se divide la curva principal en varios segmentos de recta que van engendrando pequeños arcos a lo largo de toda la curva hasta llegar al punto de tangencia PT. El grado de la curva se denomina g, y se toman en conjunto con las distancias de las cuerdas unitarias denominadas c (véase Fig. 7 y Fig. 8). En la práctica, con tránsito se toman los ángulos de deflexión denominados δ, los cuáles son la mitad del ángulo central g. Para hallar el ángulo central g
sin 2 = 2 g = 2sin− 2
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Fig. 7 Cuerda unitaria de 10 metros
Fig. 8 Replanteo de curvas por método de ángulos
de deflexión
Para hallar los radios se puede calcular de tres formas: 1.) Por tanteo: Este método se basa en dar el valor del radio de la curva, expresado por un múltiplo de 30 o de 50 metros. 2.) Por grados de curvas en función del arco: Se expresa la curvatura por un ángulo al centro correspondiente a un arco de 100 metros de longitud. Así pues, si el grado de una curva es g y el radio es R, entonces tenemos:
100 ) R = (360º )( 2 3.) Por grados de curvas en función de la cuerda: La curvatura se expresa en función del ángulo subtendido por una cuerda de 100 metros. Este método se lo emplea en las vías férreas.
R = sin50 2
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Para hallar la longitud de la curva: Como la longitud de una circunferencia es de 2πR correspondiente a un ángulo de 360º, esta varía en función del ángulo central ∆. Así pues, se deduce que la longitud de arco L es:
∆) ̂ = 2(360º Si lo expresamos en función de un arco de 100 metros de longitud con el grado de curva:
̂ = 100(∆) Ejemplo: Vamos a replantear la curva formada por el siguiente triángulo:
Procedimiento: Antes de proceder, vamos a calcular primero el ángulo central ∆ por trigonometría. Por ley de cosenos
50 = 50 97 25097 cos ∆2 9409 = 9700cos ∆2
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∆ = 14º4′11.52" 2 ∆= 28º8′23.05" 1.) Calculo del radio de la curva
= tan ∆ 2 = tan14º450′11.52" = 199.5 2.) Cálculo del grado de curvatura
= 1145. 92 145.92 = 5º44′38.26" = 1199. 5 Para el cálculo de las cuerdas unitarias tomaremos como referencia la siguiente tabla sobre valores de cuerda con respecto al grado de curvatura. Tabla 1 Grados de curvatura y longitudes de cuerda
Grado Curvatura
Longitud de la cuerda unitaria (m)
00º00’-06º00’
20
06º00’-15º00’
10
15º00’-32º00’
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Como nuestro ángulo de curvatura está entre 0 y 6 grados, tomaremos el primer caso, cuerdas de 20 metros de longitud. 3.) Cálculo de la longitud de la curva
∆) ̂ = 2(360º
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′05" 28º8 ̂ = 2199.5 360º = 97.98 4.) Cálculo de las deflexiones Para todas las cuerdas de 20 metros
= 1.5 60 ′38.26"20 1. 5 5º44 ′9.13" = = 2º52 60 Para la última cuerda que sería de 17.98 m
′38.26"17.98 1. 5 5º44 ′54.88" = = 2º34 60 5.) Cálculo de las cotas de replanteo Tabla 2 Cuadro de replanteo de curvas horizontales por ángulos de deflexión
DEFLEXI N
PUNTO
ESTACIÓN
CUERDA
DEFLEXIÓN
P.C.
1+100.00
0.00
0º0’0”
0º0’0”
1+120.00
20.00
2º52’9.13”
2º52’9.13”
1+140.00
20.00
2º52’9.13”
5º44’18.26”
1+160.00
20.00
2º52’19.13”
8º36’37.39”
1+180.00
20.00
2º52’19.13”
11º28’56.52”
1+197.98
17.98
2º34’54.88”
14º3’51.4”
Error de cierre = abs(14º3’51.4”-14º4’11.52”) Error de cierre = 0º0’20.12”
ACUMULADA
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Curvas Espirales Son curvas que se utilizan para que haya un cambio gradual en la transición de un tramo recto a uno circular, de ahí que también se las denomine como curvas de transición. Este tipo de curvas son utilizadas mayormente en el diseño de vías férreas de alta velocidad y en carreteras de primer orden también.
Fig. 9 Curva espiral de una vía férrea
Para dejar sitio a la espiral, la curva circular se aparta un poco de la tangente principal, Tal y como se ve en AFGB. Sí las dos espirales EF y GH son de igual longitud, las separaciones C y BN también son iguales entre sí, y la distancia VC = VN es entonces igual a
tan ,
dónde o es la separación adoptada. (Raymond E., Francis S., & Joe W., pág. 731)
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Conclusiones y Recomendaciones Conclusiones Las curvas horizontales son arcos de circunferencia o tramos continuos entre dos puntos de una, además se forman por la intersección de rectas tangentes a la misma las cuales convergen en un punto de intersección conocido como vértice o PI . Toda curva tiene un punto de curvatura PC y un punto de tangencia o salida PT y la unión de estos dos puntos forma una cuerda la cual subtiende el arco de la circunferencia. En el campo para replantear curvas horizontales se procede a dividir a la curva principal en varios segmentos de curva que parten del PC, los cuales se van uniendo hasta llegar al PT . Para ello es necesario tomar ángulos de deflexión y pequeños tramos de cuerda de 10 o 5 metros.
Recomendaciones Se debe realizar un cálculo previamente de los ángulos de deflexión que se van a tomar para hacer un replanteo, así como también un estudio previo del terreno. Las curvas más comunes de utilizar son las circulares, debido a su facilidad de diseño, sin embargo, cuando el terreno lo amerite o las condiciones de velocidad requieran de ciertos patrones de seguridad, se recomienda optar por curvas circulares compuestas o curvas espirales.
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Referencias
Oca, M. M. (1989). Topografía. Mexico D.F.: Alfaomega. R. D., F. F., & J. K. (s.f.). Tratado de Topografía. Aguilar.
Bibliografía
Grisales, J. C. (s.f.). Diseño Geométrico de Carreteras. ECOE. Irvine, W. (1975). Topografía. Cali: McGRAWLL-HILL. Nieto, A. T., & Bonilla, E. V. (1968). Topografía. Bogotá, Colombia: Norma. Oca, M. M. (1989). Topografía. Mexico D.F.: Alfaomega. R. D., F. F., & J. K. (s.f.). Tratado de Topografía. Aguilar.
Webgrafía DOBLEVIA. (19 de 03 de 2007). doblevia.wordpress.com. Obtenido de doblevia.wordpress.com: https://doblevia.wordpress.com/2007/03/19/curvas-circulares-simples/ DOBLEVIA. (7 de 03 de 2009). doblevia.wordpress.com. Obtenido de doblevia.wordpress.com: https://doblevia.wordpress.com/2009/03/07/curva-espiral-circular-espiral-simetrica/ Morocho, R. M. (31 de 01 de 2013). slideshare.net. Obtenido de slideshare.net: http://es.slideshare.net/rjaviermm/curvas-horizontaales nodubitatio. (2014). nodubitatio.es.tl. Obtenido de nodubitatio.es.tl: http://nodubitatio.es.tl/Curvashorizontales.htm Wikipedia. (2016). wikipedia.org. Obtenido de wikipedia.org: https://es.wikipedia.org/wiki/Arco_(geometr%C3%ADa)
