Curs Fizica - FAIMA, Sem. I

Capitolul I

FIZICA. MĂRIMI FIZICE

CUPRINS 1. ISTORICUL EVOLUŢIEI DESCOPERIRILOR ÎN FIZICĂ....................................................... 2 2. FIZICA – ŞTIINŢĂ A NATURII. OBIECTUL ŞI METODELE FIZICII....................................... 4 3. MĂRIMI FIZICE. MĂSURARE ............................................................................................ 5 3.1. CLASIFICAREA MĂRIMILOR FIZICE ........................................................................... 5 3.2. TIPURI DE RELAŢII ÎNTRE MĂRIMILE FIZICE ............................................................ 6 3.3. MĂRIMI ŞI UNITĂŢI FUNDAMENTALE ÎN S.I. ............................................................. 6 4. ANALIZĂ DIMENSIONALĂ ................................................................................................ 7 4.1. EXEMPLE DE ANALIZĂ DIMENSIONALĂ .................................................................... 8 4.2. ECUAŢII DIMENSIONALE ........................................................................................... 8 4.3. VERIFICARE A OMOGENITĂŢII DIMENSIONALE A FORMULELOR FIZICE PRIN ANALIZĂ DIMENSIONALĂ ................................................................................................. 9 4.4. DEDUCEREA UNOR LEGI FIZICE SIMPLE PRIN ANALIZĂ DIMENSIONALĂ ................ 9 4.5. ALTE ASPECTE PRIVIND ANALIZA DIMENSIONALĂ ................................................11

Ionuţ VLĂDOIU


FIZICA. MĂRIMI FIZICE Fizica, disciplina fundamentală a ştiinţei, se ocupă cu studiul principiilor de bază ale Universului. Fizica este fundaţia pe care alte ştiinţe – astonomia, biologia, chimia şi geologia – sunt construite. Frumuseţea acestei discipline derivă din simplitatea teoriilor fundamentale şi în maniera cu care, utilizând un număr redus de concepte fundamentale, ecuaţii şi teorii, reuşeşte să modifice şi să lărgească modul de înţelegere al lumii înconjurătore. Studiul fizicii poate fi divizat în şase capitole principale: 1. Mecanică clasică sau mecanica newtoniană - care se axează pe studiul mişcării corpurilor macroscopice care se deplasează cu viteze mult mai mici decât viteza luminii. 2. Relativitatea - care este o teorie ce descrie mişcarea corpurilor ce au o viteză 𝑚 apropiată de cea a luminii (𝑐 = 3 · 108 𝑠 ). 3. Termodinamica - în cadrul căreia se definesc noţiuni ca temperatura şi căldura, studiindu-se comportamentul statistic sistemelor formate dintr-un număr foarte mare de particule. 4. Electromagnetismul - care se axează pe studiul fenomenelor electrice şi magnetice şi al interacţiunilor electromagnetice prin intermediul câmpurilor. 5. Optica - studiază fenomenele luminoase şi interacţiunea luminii cu substanţa. 6. Mecanica cuantică - care este o grupare de teorii ce fac legătura între comportamentul materiei la nivel submicroscopic şi observaţiile macroscopice ale acesteia.

1. ISTORICUL EVOLUŢIEI DESCOPERIRILOR ÎN FIZICĂ Ştiinţa, ca o „observaţie organizată” asupra mediului înconjurător, s-a dezvoltat odată cu evoluţia şi dezvoltarea civilizaţiei umane. Primele descoperiri înregistrate, având un conţinut ştiinţific, au vizat tehnologia, ştiinţele naturale, matematica şi astronomia. Marea majoritate a evenimentelor ştiinţifice legate de momentele de început ale dezvoltării cunoaşterii umane au ajuns până în zilele noastre transmise prin viu grai, sau sub forma unor legende ( legenda lui Icar şi a aripilor de ceară care zboară, împreună cu tatal său Dedal), fie în urma descoperirilor arheologice. Începând cu anul 600 î.e.n., odată cu dezvoltarea civilizaţiei şi culturii greceşti, se dezvoltă modul abstract de gândire ştiinţifică organizată, putându-se vorbi de apariţia primilor oameni de ştiinţă şi a primelor şcoli.

1-2

Ionuţ VLĂDOIU


Filozofii greci Leucip şi Democrit (500 – 400 î.e.n.) au formulat „concepţia atomistă” a materiei, conform căreia aceasta nu poate fi divizată decât până la nivelul unor entităţi fundamentale, numite atomos (indivizibil). Aristotel ( 384 – 322 î.e.n.) a scris celebra lucrare „Fizica”, în care se găseau principii formulate corect, dar şi afirmaţii care ulterior s-au dovedit eronate. Cea mai cunoscută dintre acestea a fost cea referitoare la faptul că un corp mai greu cade într-un timp mai scurt decât unul mai uşor, pe aceeaşi distanţă, ipoteză demolată după 200 de ani de Galilei. Arhimede (287 – 212 î.e.n.) a enunţat principiile plutirii corpurilor, contribuind şi la cunoaşterea principiilor de funcţionare a pârghiilor şi scripeţilor, lansând celebra frază: „Daţi-mi un punct de sprijin şi voi putea mişca Pământul”. După o lungă perioadă de obscuritate corespunzătoare Evului Mediu, începând cu secolul al XVII- lea, oamenii de ştiinţă încep să pună la îndoială ideiile grecilor, fiind încurajaţi de ideiile lui Galileo Galilei şi Isaac Newton, care au introdus experimentul pentru confirmarea ipotezelor şi a observaţiilor ştiinţifice. Prima contribuţie majoră a lui Galilei a fost descoperirea legilor naturale care guvernează căderea corpurilor şi oscilaţiile pendulului. Studiind căderea corpurilor ajunge la concluzia că toate corpurile cad cu aceeaşi viteză, indiferent de greutatea lor (în contradicţie cu afirmaţia lui Aristotel), dacă se neglijează frecarea cu aerul. De asemenea el a studiat şi mişcarea accelerată a corpurilor. În 1610 Galilei construieşte luneta, observaţiile astronomice facute de Kepler cu aceasta permiţându-i să stabilească cele trei legi de mişcarea a planetelor în jurul Soarelui. Aceste legi au constitui punctul de plecare în stabilirea legii atracţiei universale dintre corpuri de către Newton. În secolul al XVII- lea existau două curente contrarii cu privire la natura luminii. Pe de o parte, Newton era adeptul teoriei că lumina este formată din particule mici, iar pe de altă parte, Huygens credea că lumina este o undă ce se propagă în spaţiu. A urmat un lung şir de experimente care au încercat să încline decisiv balanţa în favoarea uneia din cele două curente. De referinţă sunt lucrările lui Young (1800) şi Fresnel (1817) care au pus în evidenţă caracterul ondulatoriu al luminii prin experimente de interferenţă. Între 1820 şi 1850 Arago, Foulcault şi Fizeau au demonstrat că teoria ondulatorie este adevărată. Totuşi, după 100 de ani teoria corpusculară începe să fie din nou acceptată, fenomenele de difuzie Compton, efectul fotoelectric, efectul Raman, etc., fiind explicate pe baza acestei teorii. În 1873 Maxwell stabileşte legile de bază ale electromagnetismului şi prevede existenţa unor unde diferite de cele luminoase, prin lungimea de undă şi care străbat spaţiul cu viteza luminii. Aceste unde vor fi evidenţiate de Hertz în 1888 şi vor fi numite unde hertziene sau unde radio. 1-3

Ionuţ VLĂDOIU


În 1896 Becquerel descoperă radioactivitatea uraniului, iar Pierre şi Marie Curie pe cea a poloniului şi radiului, stabilind ca în procesul de dezintegrare radioactivă a acestor substanţe se emit radiaţii α, radiaţii β şi radiaţii γ. În 1895 Roentgen descoperă radiaţiile X, cu multiple aplicaţii în medicină şi industrie. În 1900 Planck, studiind radiaţia corpului negru stabileşte expresia densităţii de energie spectrală emisă de un corp negru, făcând ipoteza că emisia şi absorbţia de energie este discontinuă şi are loc în cuante de energie. Această ipoteză va sta la baza explicării legilor efectului fotoelectric de către Einstein în 1905. În 1908 Millikan determină direct sarcina electronului folosind metoda picăturii de ulei, iar în 1909 Rutherford formulează concluzia că atomul este format dintr-un nucleu încărcat pozitiv şi care înglobează aproape întreaga masă a atomului, în jurul acestuia aflându- se electronii. În 1913 Bohr elaborează teoria semicuantică a atomului, cu ajutorul căreia explică spectrele de emisie şi absorbţie ale hidrogenului. În anul 1917 Einstein introduce conceptul de emisie stimulată care va sta la baza realizării laserelor (1961 – laserul cu rubin realizat de Maiman). În 1922 Compton descoperă fenomenul ce-i poartă numele şi explică reflexia razelor X pe ţinte metalice considerând că acestea sunt formate din particule (au caracter corpuscular), deşi, în 1904 Barkla a demonstrat că radiaţiile X sunt de natură electromagnetică. Deşi teoria corpusculară este reconfirmată, aceasta nu poate explica în continuare fenomene precum difracţia. Davisson şi Germer, în 1927 descoperă difracţia electronilor pe cristale, astfel că ambele teorii suntconfirmate. Răspunsul definitiv cu privire la dualitatea undă corpuscul manifestată de lumină va fi dat de fizicienii L. de Broglie, Dirac, Heisenberg, Schrodinger, care pun bazele fizicii moderne prin elaborarea teoriei mecanicii cuantice.

2. FIZICA – ŞTIINŢĂ A NATURII. OBIECTUL ŞI METODELE FIZICII Fizica este ştiinţa naturii care studiază lumea reală. Scopul acestei discipline este acela de a îmbunătăţii viaţa prin progresul ştiinţei pe care- l realizează, ceea ce conduce şi la un progres tehnologic necesar satisfacerii nevoilor sociale şi materiale. În fizică cunoaşterea se bazează pe următoarele principii:  Recunoaşterea obiectivităţii lumii materiale şi a legilor ei;  Acceptarea principiului cauzalităţii, conform căruia, fiecare stare din lumea reală este efectul unei cauze;  Verificarea experimentală a ideilor teoretice.

1-4

Ionuţ VLĂDOIU


Astfel, materia reprezintă factorul primordial al lumii, care se prezintă sub formă de:  substanţă – forma de existenţă a materiei înzestrată cu masă de repaus;  câmp – forma de existenţă a materiei prin care se transmit anumite tipuri de interacţiuni. Având drept obiectiv studiul obiectelor realităţii, instrumentele de studiu ale fizicii vor fi: observaţia sistematică, ipoteza, modelarea, experimentul şi formularea de concluzii.

3. MĂRIMI FIZICE. MĂSURARE În cadrul unor experienţe primare se constată existenţa unor caracteristici ale corpurilor, sesizabile prin simţuri: temperatura, lungimea, durata fenomenului, mirosul, culoarea, etc. Este evident că nu putem evalua cantitativ, de exemplu, temperatura apei din două recipiente cu ajutorul simţurilor. De aceea, apare necesitatea evaluării numerice a proprietăţilor respective. În plus, anumite caracteristici, cum ar fi culoarea, nu pot fi comparate cantitativ. Astfel, mărimea fizică este o proprietate a unui corp ce poate fi măsurată. Mărimea fizică se reprezintă printr-un simbol. Măsurarea unei mărimi fizice este o operaţiune experimentală prin care i se asociază acesteia o valoare numerică în raport cu o mărime fizică de referinţă, numită unitate de măsură. De exemplu, considerând că rezultatul măsurării lungimi unui corp este de 10 m, acesta se va scrie sub forma:

L = 10 m simbolul mărimi fizice

valoarea numerică măsură

simbolul unităţii de

3.1. CLASIFICAREA MĂRIMILOR FIZICE 1. După modul în care se introduc în fizică aveam:  mărimi primitive – sunt introduse direct ca o consecinţă a unor experimente reale (masa, timpul, lungime, etc.);  mărimi derivate – sunt definite cu ajutorul altor mărimi. 2. După utilitate:  mărimi fundamentale – sunt cele ale căror unităţi de măsură se aleg independent (mărimile fundamentale în S.I., tabelul I);

1-5

Ionuţ VLĂDOIU


 mărimi secundare – sunt cele ale căror unităţi de măsură derivă din cele fundamentale. 3. După calităţile matematice:  mărimi vectoriale;  mărimi scalare;  mărimi tensoriale. 4. După scara la care sunt raportate fenomenele:  mărimi macroscopice;  mărimi microscopice.

3.2. TIPURI DE RELAŢII ÎNTRE MĂRIMILE FIZICE Dependenţa dintre mărimile fizice implicate într-un proces este prezentate sub forma unor relaţii matematice. Acestea pot fi: a. Relaţii de definiţie – permit introducerea unei mărimi noi în fizică prin intermediul altor două (sau mai multe) mărimi, care se cunosc. b. Legi – sunt relaţii esenţiale între mărimi fizice, necesare şi reproductibile, fiind rezultatul direct al experimentului. c. Teoreme – sunt relaţii între mărimi, deduse pe cale matematică, din legi şi relaţii de definiţie. d. Postulatele – sunt afirmaţii care nu pot fi verificate direct, prin experienţă, dar care sunt deduse pe baza consecinţelor lor.

3.3. MĂRIMI ŞI UNITĂŢI FUNDAMENTALE ÎN S.I. În fizică noţiunea de mărime are sens de cantitate, deci ceva ce poate fi evaluat şi exprimat numeric. Evaluarea se face prin calcule, în urma măsurătorilor. Sistemul de unităţi de măsură în fizică este alcătuit din unităţile mărimilor fundamentale şi toate celelalte unităţi de măsură ale mărimilor derivate. Unităţile de măsură ale mărimilor fundamentale se stabilesc cu ajutorul etaloanelor, care se păstrează la Biroul Internaţional de Mărimi şi Greutăţi de la Sèvres (Franţa). Ansamblul unităţilor de măsură ale mărimilor fundamentale formează Sistemul Internaţional (S.I.) de unităţi, stabilit la cea de-a XI-a Conferinţă Generală de Măsuri şi Greutăţi ţinută la Paris, în luna octombrie 1960, bazat pe sistemul metric. Acestea sunt prezentate în tabelul 1. Se mai folosesc şi următoarele unităţi suplimentare, impuse - mai mult - de către matematică: radianul (rad) ca unitate de unghi plan şi steradianul (strad) ca unitate de unghi solid.

1-6

Ionuţ VLĂDOIU


Tabelul 1 Nr. Crt. 1

Mărimea fizică fundamentală Lungime

Simbol mărime fizică l

Dimensiunea mărimii fizice [Lungime]=L

Unitate de măsură metru

Simbolul unităţii m

2

Masa

m

[Masa]=M

kilogram

kg

3

Timp

t

[Timp]=T

Secunda

s

4

Intensitatea curentului electric

I

Amper

A

5

T

Kelvin

K

6

Temperatrura termodinamică Cantitatea de substanţă

Molul

mol

7

Intensitatea luminoasă

I

[Intensitatea curentului electric]=I [Temperatrura termodinamică]=θ [Cantitatea de substanţă]=Q [Intensitatea luminoasă]=I

candela

cd

ν

Etaloanele alese s-au definit astfel: 1. METRUL – este egal cu distanţa parcursă de lumină în vid în timp de 1/299792458 dintr-o secundă. (1983). 2. SECUNDA – este 9.192.631.770 𝑠 , unde 𝑠 este perioada tranziţiei între 133 nivelele hiperfine ale stării fundamentale a Cs. 3. KILOGRAMUL – este masa etalonului păstrat la Sèvres, 1kg este aproximativ egal cu masa unui dm3 apă pură la 4°C. 4. AMPERUL – este intensitatea unui curent electric constant care menţinut în doi conductori paraleli, infinit de lungi şi secţiuni neglijabile, aşezaţi în vid la 1m distanţă, determină apariţia între conductori a unei forţe de 2·10-7 N pe fiecare metru de lungime. 5. KELVINUL – unitate de temperatură termodinamică reprezentând 1/273 din temperatura termodinamică a punctului triplu al apei. 6. CANDELA – este intensitatea luminoasă emisă manual pe suprafaţa de 1/600.000 m2 de un corp negru incandescent (Pt) în condiţii normale. 7. RADIANUL – unghiul la centrul unui cerc care subîntinde pe cerc un arc cu lungimea egală cu raza cercului. 8. STERADIANUL – unghiul cu vârful în centrul unei sfere care delimitează pe suprafaţa sferei o arie egală cu aria unui pătrat cu latura egală cu raza sferei. Unităţile de măsură ale mărimilor derivate se stabilesc cu ajutorul formulelor de definiţie.

4. ANALIZĂ DIMENSIONALĂ Dimensiunea este o unitate de măsură în sens generalizat. Dimensiunea mărimii A se notează [A]. Dimensiunea mărimii derivate reprezintă expresia prin 1-7

Ionuţ VLĂDOIU


care mărimea derivată este reprezentată numai în funcţie de dimensiunile fundamentale, sub formă de produs de puteri raţionale. Formula dimensionlă a mărimii A este: = unde exponenţii reprezintă, fiecare în parte, dimensiunea mărimii derivate A în raport cu una din mărimile fundamentale L, M, T, I, I, Q. Principiul omogenităţii dimensionale a formulelor fizice impune adunarea sau egalarea mărimilor fizice de aceeaşi natură, astfel încât, fiecare formulă fizică trebuie să fie omogenă din punct de vedere dimensional, adică ambii membri ai egalităţii, cât şi fiecare termen al unei sume algebrice, trebuie să aibă aceleaşi dimensiuni fizice, altfel formula n-are sens. Constantele care intervin în legile fizicii pot fi atât dimensionale, cât şi adimensionale (în ultimul caz nu intervin în formula dimensională). Condiţia de omogenitate permite precizarea dependenţei între diferite mărimi fizice. Acest tip de abordare (de deducere) a unor relaţii poartă numele de analiză dimensională.

4.1. EXEMPLE DE ANALIZĂ DIMENSIONALĂ Dacă notăm cu L, M, T unităţile mărimilor fundamentale: lungime, masă şi timp, atunci pentru o oarecare mărime fizică A avem ecuaţia: =

=

=

numită ecuaţie de dimensiuni sau formulă dimensională a mărimii A faţă de mărimile fundamentale alese, iar exponenţii , sunt numere întregi pentru mărimi mecanice. ATENŢIE : A nu se face confuzie între dimensiuni şi unităţi de măsură ! =

Deci :

= =

în timp ce :

(dimensiunea forţei)

=

(unitatea de măsură)

4.2. ECUAŢII DIMENSIONALE În cele ce urmează sunt prezentate formulele dimensionale şi unităţile de măsură în Sistemul Internaţional (S.I.) pentru: viteză liniară, acceleraţie liniară, impuls, lucru mecanic, putere şi presiune. = =

𝑠

= 𝑠

=

=

şi

=

şi

= 1-8

Ionuţ VLĂDOIU =


şi

= =∫

̅

=∫

= ̅ ̅ =

şi

=

=

=

4.3.

̅

=

şi

=

şi

=

=

=

=

=

=

=

=

=

VERIFICARE A OMOGENITĂŢII DIMENSIONALE FORMULELOR FIZICE PRIN ANALIZĂ DIMENSIONALĂ

A

Legea lui Bernoulli este dată de relaţia: =𝑐 deci, vom avea: = = =

= =

= =

Prin urmare, toţi termenii din membrul stâng a legii lui Bernoulli au aceeaşi dimensiune şi deci, constanta din membrul drept este dimensională: 𝑐

=

4.4. DEDUCEREA UNOR LEGI FIZICE SIMPLE PRIN ANALIZĂ DIMENSIONALĂ Principiul omogenităţii dimensionale a formulelor fizicii ne permite să găsim chiar forma unor legi fizice. De exemplu, ştiind din experienţă că perioada unui pendul simplu gravitaţional depinde de lungimea sa, , şi de acceleraţia gravitaţională , scriem: =𝑐 unde α şi β sunt constante. Trecând la dimensiuni, avem: =

=

Dar, perioada este un interval de timp: = astfel încât, prin identificarea exponenţilor, găsim: 1-9

Ionuţ VLĂDOIU

{

=0

{

1=

FIZICA. MĂRIMI FIZICE =

=𝑐

=

=𝑐

√

unde: const.=2π. În cazul unui pendul elastic, a cărui perioadă depinde de masa m şi de constanta elastică k a resortului, avem: =𝑐 Din expresia forţei elastice: = obţinem dimensiunea constantei elastice k a resortului: =

=

=

Deci: =

=

de unde: {

=0

{

1=

=

=𝑐

=

=𝑐

√

𝑚

unde: const.=2π. Se poate determina, prin analiză dimensională, expresia lucrului mecanic, L, efectuat de un gaz într-o transformare izobară. Acesta depinde de presiunea a gazului şi de variaţia sa de volum . =

= =

=

=

{

dar:

= =

Prin identificare rezultă: {

=1 3 = =

{

=1 =1

=

1-10

Ionuţ VLĂDOIU


4.5. ALTE ASPECTE PRIVIND ANALIZA DIMENSIONALĂ 1) Dimensiunea nu caracterizează complet clasa căreia îi aparţine mărimea şi nu reprezintă o proprietate distinctivă a acesteia. Aceasta înseamnă că mărimi fizice diferite pot să aibă aceeaşi formulă dimensională. De exemplu, lucrul mecanic şi momentul forţei ̅ au aceeaşi dimensiune dar exprimă proprietăţi distincte. Dimensiunile celor două mărimi fizice, stabilite cu ajutorul relaţiilor de definiţie sunt: = =

𝑐

𝑐

=1 = 1

=

= =

=

2) Mărimile adimensionale nu depind de nici una din mărimile fundamentale adică au toţi exponenţii dimensiunilor egali cu zero, = = 0, fiind rapoarte a două mărimi cu aceeaşi dimensiune. De exemplu, densitatea relativă care este raportul dintre densitatea corpului dat şi densitatea corpului faţă de care se calculează densitatea relativă este o mărime adimensională.

1-11

Capitolul II CINEMATICĂ ŞI DINAMICĂ NEWTONIANĂ CUPRINS 1. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL ............................................................................................................ 2 1.1. ECUAŢIILE DE MIŞCARE ......................................................................................................................... 3 1.2. TIPURI DE MIŞCĂRI ............................................................................................................................... 6 1.2.1. MIŞCAREA RECTILINIE UNIFORMĂ ................................................................................................. 6 1.2.2. MIŞCAREA RECTILINIE UNIFORM VARIATĂ ...................................................................................... 7 2. DINAMICA NEWTONIANĂ............................................................................................................................ 9 2.1. PRINCIPIILE MECANICII NEWTONIENE ................................................................................................... 9 2.1.1. PRINCIPIUL INERŢIEI ...................................................................................................................... 9 2.1.2. LEGEA FORŢEI .............................................................................................................................. 10 2.1.3. PRINCIPIUL ACŢIUNII ŞI REACŢIUNII ............................................................................................. 11 2.1.4. EXEMPLE DE FORŢE ..................................................................................................................... 11 2.1.4. PRINCIPIUL RELATIVITĂŢII GALIELIENE .............................................................................................. 15 2.1.5. CÂMP DE FORŢE .............................................................................................................................. 16

CINEMATICĂ ŞI DINAMICĂ NEWTONIANĂ

Ionuţ VLĂDOIU

ELEMENTE DE MECANICĂ NEWTONIANĂ 1. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL Realitatea obiectivă care ne înconjoară este materia, care nu poate exista decât într-o mişcare continuă, adică într-un proces continuu de transformare. Mişcarea, ca mod de existenţă a materiei, se realizează în spaţiu şi timp. Acestea generalizează relaţiile spaţiale (poziţia, forma, distanţa, mărimea) şi temporale (durata, succesiunea, simultaneitatea) care caracterizează fiecare obiect, fenomen sau proces. Pentru a determina poziţia unui eveniment în spaţiu trebuie să se cunoască poziţia acestuia în raport cu un sistem de coordonate cartezian şi momentul de timp la care se face această determinare. Pentru a studia mişcarea corpurilor este necesar să alegem un anumit sistem de referinţă. Sistemul de referinţă (S.R.) reprezintă un ansamblu format dintr- un sistem de coordonate, care serveşte la indicarea poziţiei corpului în spaţiu şi un ceasornic legat de acest sistem, necesar pentru indicarea timpului. Deoarece mişcarea corpurilor cu dimensiuni finite este destul de complicată, necesitând cunoaşterea mişcării fiecărui punct al corpului, se utilizează modelul de punct material pentru a descrie mişcarea corpurilor ale căror dimensiuni sunt mici în raport cu distanţele până la corpurile înconjurătoare. Punctul material este caracterizat numai prin masa sa. În cinematică masa nu interesează, de aceea punctul material îl vom numi mobil, adică un punct geometric care se mişcă. Poziţia unui punct material în spaţiu este dată de vectorul de poziţie (figura 1): 𝑟̅ = 𝑥𝑖̅ + 𝑦𝑗̅ + 𝑧𝑘̅

(1)

̅ reprezintă versorii axelor de coordonate. Aceştia au proprietăţile: unde 𝑖̅, 𝑗̅ şi 𝑘 |𝑖̅| = |𝑗̅| = |𝑘̅| = 1

(2)

𝑖̅2 = 𝑗̅2 = 𝑘̅ 2 = 1

(3)

z

𝑖̅ ∙ 𝑗̅ = 𝑗̅ ∙ 𝑘̅ = 𝑘̅ ∙ 𝑖̅ = 0 𝑖̅ × 𝑖̅ = 𝑗̅ × 𝑗̅ = 𝑘̅ × 𝑘̅ = 0 𝑖̅ × 𝑗̅ = 𝑘̅, 𝑗̅ × 𝑘̅ = 𝑖̅, 𝑘̅ × 𝑖̅ = 𝑗̅

P(x,y,z) (4) (5) (6)

Ţinând cont de relaţia (3) putem scrie relaţia (1) sub forma: 2-2

y

𝒌 O 𝒋̅

𝒓̅ 𝒊̅

x

Figura1. Reprezentarea poziţiei unui punct material în raport cu un sistem cartezian.


𝑟2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧2

Ionuţ VLĂDOIU

(7)

Curba descrisă de extremitatea lui 𝑟̅ , în cursul mişcării, se numeşte traiectoria punctului material. Traiectoria poate fi rectilinie sau curbilinie (în particular, circulară). Forma traiectoriei depinde de sistemul de coordonate folosit.

1.1. ECUAŢIILE DE MIŞCARE Relaţia 𝑟̅ = 𝑟̅ (𝑡) care exprimă poziţia corpului în funcţie de timp reprezintă ecuaţia sau legea de mişcare a punctului z material. A(t0) Să considerăm mişcarea unui punct ds 𝑟̅ material în raport cu un S.R., astfel încât la 0 B(t) ̅ d𝒓 momentul t1 acesta să se găsească în 𝑟̅ punctul A(t0) corespunzător vectorului de O x poziţie 𝑟̅0 , iar la un moment ulterior t>t0 în y punctul B(t) corespunzător vectorului de poziţie 𝑟̅ (figura 2). Vectorul deplasare relaţia: 𝑑𝑟̅ = 𝑟̅ − 𝑟̅0

va fi dat de

Figura 2. Mişcarea unui punct material în raport cu un S.R.

(8)

Viteza unui punct material este un vector definit prin relaţia: 𝑣̅ =

𝑑𝑟̅ 𝑑𝑡

𝑟̅ −𝑟̅

= 𝑡−𝑡 0 = 𝑟̅̇ 0

(9)

În general, notaţiile mărimilor fizice cu un punct deasupra sau două, reprezintă derivata de ordinul 1 sau 2 a mărimii respective în raport cu timpul. Din (9) rezultă că vectorul viteză este orientat după tangenta la traiectoria mobilului în punctul considerat (figura 3). Dacă mişcarea este raportată la un sistem cartezian atunci: 𝑣̅ = 𝑣𝑥 𝑖̅ + 𝑣𝑦 𝑗̅ + 𝑣𝑧 𝑘̅

(10)

𝑣̅ = 𝑥̇ 𝑖̅ + 𝑦̇ 𝑗̅ + 𝑧̇ 𝑘̅

(11)

sau

unde:

2-3


𝑣𝑥 = 𝑥̇ = 𝑣𝑦 = 𝑦̇ = { 𝑣𝑧 = 𝑧̇ =

Ionuţ VLĂDOIU

𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑦

(12)

𝑑𝑡 𝑑𝑧 𝑑𝑡

reprezintă coordonatele vitezei după cele trei axe, modulul vectorului viteză fiind dat de relaţia: 𝑣 = √𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦2 + 𝑣𝑧2

(13)

În S.I. unitatea de măsură pentru viteză este: [𝑣] = 𝐿𝑇 −1 [𝑣]𝑆.𝐼. = 1𝑚𝑠 −1

(14)

Trebuie făcută o distincţie foarte clară între vectorul deplasare 𝑑𝑟̅ şi spaţiul parcurs de corp 𝑑𝑠. Primul reprezintă vectorul ce uneşte punctele în care se găseşte mobilul la două momente de timp diferite şi este dat de relaţia (8), pe când spaţiul parcurs de corp reprezintă drumul pe care se deplasează acesta între cele două puncte şi se determină cu relaţia: 𝑑𝑠 2 = 𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑦 2 + 𝑑𝑧 2

(15)

Acceleraţia este o mărime vectorială ce caracterizează modul de variaţie în timp al vectorului viteză (figura 3), adică: 𝑎̅ =

𝑑𝑣̅ 𝑑𝑡

=

𝑣̅−𝑣̅0 𝑡−𝑡0

=

𝑑2 𝑟̅ 𝑑2 𝑡

= 𝑟̈

(16)

sau, în funcţie de componentele pe cele trei axe: 𝑎̅ = 𝑎𝑥 𝑖̅ + 𝑎𝑦 𝑗̅ + 𝑎𝑧 𝑘̅

(17)

sau 𝑎̅ = 𝑥̈ 𝑖̅ + 𝑦̈ 𝑗̅ + 𝑧̈ 𝑘̅

(18)

ale cărui componente pe cele trei axe vor fi: 𝑎𝑥 = 𝑥̈ = 𝑎𝑦 = 𝑦̈ =

𝑑2 𝑥 𝑑𝑡 2 𝑑2 𝑦 𝑑𝑡 2 𝑑2 𝑧

(19)

{ 𝑎𝑧 = 𝑧̈ = 𝑑𝑡 2

În S.I. unitatea de măsură pentru acceleraţie este: [𝑎] = 𝐿𝑇 −2

2-4


[𝑎]𝑆.𝐼. = 1𝑚𝑠 −2

Ionuţ VLĂDOIU

(20)

Se constată că vectorul acceleraţie este dat de variaţia vectorului viteză în timp. Aşadar avem acceleraţie atunci când avem o variaţie a vectorului viteză, prin aceasta înţelegând fie variaţia direcţiei, fie variaţia modulului sau ambele. Dacă mişcarea este rectilinie atunci vectorul viteză are aceeaşi direcţie, iar în acest caz putem vorbi de acceleraţie doar dacă se produce o variaţie a modulului vectorului viteză. Dacă modulul vectorului viteză creşte, 𝑣 > 𝑣0 , adică 𝑑𝑣 = 𝑣 − 𝑣0 > 0 atunci 𝑎 > 0 şi spunem că avem o mişcare rectilinie accelerată; dacă modulul vectorului viteză scade în timp, adică 𝑣 < 𝑣0 , adică 𝑑𝑣 = 𝑣 − 𝑣0 < 0 atunci 𝑎 < 0 putem afirma că avem o mişcare rectilinie încetinită (frânată). Dacă acceleraţia este constantă în timp 𝑎̅ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. şi traiectoria este o dreaptă avem de-a face cu o mişcare rectilinie uniform variată. Dacă 𝑎 > 0 mişcarea este rectilinie uniform accelerată, iar pentru 𝑎 < 0 mişcarea este rectilinie uniform încetinită. Aplicaţia 1. Un vehicul se deplasează în prima jumătate a timpului total de mişcare cu viteza 𝒗𝟏 = 𝟐𝟎 𝒎𝒔−𝟏 după o direcţie ce face unghiul 𝜶 = 𝟔𝟎𝟎 cu axa ox şi a doua jumătate cu viteza 𝒗𝟐 = 𝟒𝟎 𝒎𝒔−𝟏 , orientată după o direcţie ce face unghiul 𝜷 = 𝟏𝟐𝟎𝟎 cu axa ox. Să se determine viteza medie a vehiculului. Rezolvare Notând cu ∆𝒓̅𝟏 şi ∆𝒓̅𝟐 distanţele străbătute de vehicul în cele două etape ale mişcării, viteza medie va fi: 𝒗𝒎 =

∆𝒓̅𝟏 +∆𝒓̅𝟐 ∆𝒕+∆𝒕

=

∆𝒓̅𝟏 +∆𝒓̅𝟐 𝟐∆𝒕

𝟏

= 𝟐 (𝒗𝟏 + 𝒗𝟐 )

Proiectând această relaţie pe cele două axe obţinem: Aplicaţia 2. Un corp se deplasează de- a lungul axei ox după legea: 𝒙 = 𝑨 + 𝑩𝒕 + 𝑪𝒕𝟑 , unde: 𝑨 = 𝟒 𝒎, 𝑩 = 𝟐 𝒎𝒔−𝟏 şi 𝑪 = −𝟎, 𝟓 𝒎𝒔−𝟐 . Să se calculeze viteza şi acceleraţia corpului la momentul 𝒕 = 𝟐 𝒔.

1

𝑣𝑚𝑥 = 2 (𝑣1 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑣2 𝑐𝑜𝑠𝛽) = −5 𝑚𝑠 −1 1

𝑣𝑚𝑦 = 2 (𝑣1 𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑣2 𝑠𝑖𝑛𝛽) = 15√3 𝑚𝑠 −1 Ţinând cont de relaţia (13) rezultă: 2 + 𝑣 2 = 26,46 𝑚𝑠 −1 𝑣𝑚 = √𝑣𝑚𝑥 𝑚𝑦

𝑣 = 𝑥̇ =

Din relaţiile de definiţie ale vitezei şi acceleraţiei obţinem:

2-5

𝑑𝑡

=

𝑣 = 𝐵 + 3𝐶𝑡 2 = 2 𝑚𝑠 −1 + 3 (−0,5 𝑚𝑠 −2 )4 𝑠 −2 𝑣 = −4 𝑚𝑠 −1 𝑎 = 𝑥̈ =

Rezolvare

𝑑𝑥

𝑑𝑣 𝑑𝑡

= 6𝐶𝑡 = −6 𝑚𝑠 −2


Ionuţ VLĂDOIU

1.2. TIPURI DE MIŞCĂRI 1.2.1. MIŞCAREA RECTILINIE UNIFORMĂ Mişcarea rectilinie uniformă este mişcarea la care vectorul viteză este constant în timp 𝑣̅ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡., adică traiectoria este o dreaptă iar modulul vitezei este constant. Integrând relaţia de definiţie a vitezei (9) obţinem: 𝑟̅

𝑡

∫𝑟̅0 𝑑𝑟̅ = ∫𝑡0 𝑣̅ 𝑑𝑡 ⇒ 𝑟̅ − 𝑟̅0 = 𝑣̅ (𝑡 − 𝑡0 )

(21)

Trecând la cazul unidimensional, obţinem: 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣(𝑡 − 𝑡0 )

(22)

Relaţia (22) reprezintă rectilinii uniforme, unde: 𝑥 – coordonata oarecare,

mobilului

legea la

mişcării

momentul

𝑡

𝑥0 – coordonata mobilului la momentul iniţial 𝑡0 , v – viteza mobilului.

Figura 4. Reprezentarea ecuaţiei mişcării rectilinii uniforme pentru t0=0.

Pentru 𝑡0 = 0 legea de mişcare (22) devine 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑡 ce are graficul prezentat în figura 4. Panta graficului 𝑣 = 𝑡𝑔𝛼 este tocmai viteza mobilului. Dacă 𝑣 > 0, mobilul se mişcă în sensul pozitiv al axei 𝑂𝑥 iar dacă 𝑣 < 0 mobilul se mişcă în sensul negativ axei 𝑂𝑥. Aplicaţia 3. Două puncte materiale se mişcă rectiliniu uniform, ecuaţiile de mişcare fiind date de relaţiile: 𝒙𝟏 = 𝟖𝒕 şi 𝒙𝟐 = 𝟐𝟎𝟎 − 𝟏𝟐𝒕. Reprezentaţi grafic legile de mişcare şi determinaţi locul şi momentul întâlnirii celor două puncte materiale. Precizaţi ce reprezintă coeficientul lui t în ecuaţiile de mişcare. Rezolvare Din condiţia de întâlnire a celor două corpuri 𝒙𝟏 = 𝒙𝟐 obţinem: 8t= 𝟐𝟎𝟎 − 𝟏𝟐𝒕 ⇒ 𝒕î𝒏𝒕𝒂𝒍𝒏𝒊𝒓𝒆 = 𝟏𝟎 𝒔 Prin înlocuirea în ecuaţia de mişcare a primului punct material vom obţine locul întâlnirii, adică: 𝒙î𝒏𝒕â𝒍𝒏𝒊𝒓𝒆 = 𝟖𝟎 𝒎

2-6

Aceste valori se pot obţine şi pe cale grafică. Prin reprezentarea grafică a celor două ecuaţii de mişcare pentru 𝑡 ∈ [0 ,10] 𝑠 vom obţine locul şi momentul de întâlnire în punctul de coordonate A (10,80). Comparând cele două ecuaţii de mişcare cu relaţia (22) observăm că coeficientul lui t este chiar viteza punctului material.


Ionuţ VLĂDOIU

1.2.2. MIŞCAREA RECTILINIE UNIFORM VARIATĂ Dacă acceleraţia este constantă în timp şi traiectoria este dreaptă avem dea face cu o mişcare rectilinie uniform variată. Integrând relaţia (16) obţinem: 𝑣̅

𝑡

𝑑𝑣̅ = ∫𝑡 𝑎̅𝑑𝑡 ⇒ 𝑣̅ = 𝑣̅ 0 + 𝑎̅(𝑡 − 𝑡0 ) ∫̅̅̅ 𝑣0 0

(23)

relaţie care în cazul unidimensional devine: 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎(𝑡 − 𝑡0 )

(24)

Relaţia (24) reprezintă legea vitezei în mişcarea rectilinie uniform variată. Reprezentarea grafică a legii vitezei pentru 𝑡0 = 0 este dată în figura 5. Panta graficului este tocmai acceleraţia mobilului, 𝑎 = 𝑡𝑔𝛼, iar aria mărginită de graficul vitezei reprezintă deplasarea 𝛥𝑥.

Figura 5. Reprezentarea legii vitezei în mişcarea rectilinii uniform variată pentru t0=0.

Pentru a găsi legea mişcării rectilinii uniform variate pornim de la legea vitezei pe care o integrăm în ambii membri: 𝑥

𝑡

𝑡

∫𝑥0 𝑑𝑥̅ = ∫𝑡0 𝑣̅ 𝑑𝑡 ⇒ 𝑥 − 𝑥0 = ∫𝑡0 [𝑣0 + 𝑎(𝑡 − 𝑡0 )]𝑑𝑡

(25)

sau 𝑥 − 𝑥0 = 𝑣0 (𝑡 − 𝑡0 ) +

𝑎(𝑡−𝑡0 )2 2

(26)

relaţie ce reprezintă legea mişcării rectilinii uniform variate, unde: x – coordonata mobilului la momentul t oarecare, x0 – coordonata mobilului la momentul iniţial t0, v0 – viteza iniţială, la momentul t0, a– acceleraţia mobilului la un moment t oarecare.

Figura 6. Reprezentarea ecuaţiei mişcării rectilinii uniform variate pentru situaţiile a<0 şi a>0.

2-7


Ionuţ VLĂDOIU

Reprezentarea grafică a ecuaţiei (26) este o parabolă şi este prezentată în figura 6 pentru cele două situaţii 𝑎 < 0 şi 𝑎 > 0. Coordonatele vârfului se pot determina cu ajutorul relaţiilor pe ∆

𝑏

care le cunoaştem de funcţia de gradul doi ( 𝑥𝑣â𝑟𝑓 = − 4𝐴; 𝑡𝑣â𝑟𝑓 = − 2𝐴, unde 𝑎

∆= 𝑣02 − 2𝑎𝑥0 , 𝐴 = 2 şi 𝑏 = 𝑣0 sau bazându-ne pe considerente fizice şi anume, punând condiţia de maxim: 𝑣=

𝑑𝑥 𝑑𝑡

=0

(27)

când obţinem: 𝑡𝑣â𝑟𝑓 = − şi

𝑣0

(28)

𝑎

𝑥𝑣â𝑟𝑓 = 𝑥0 −

𝑣0 2

(29)

2𝑎

Eliminând timpul din relaţiile (24) şi (26) obţinem viteza mobilului funcţie de coordonata lui pe traiectorie, adică formula lui Galilei: 𝑣 2 = 𝑣02 + 2𝑎(𝑥 − 𝑥0 )

(30)

Aplicaţia 4. Un corp se mişcă rectiliniu uniform accelerat conform legii: 𝒙 = 𝟏𝟔𝒕 − 𝟔𝒕𝟐. Precizaţi momentele de timp la care corpul trece prin origine, reprezentaţi grafic legea de mişcare şi determinaţi viteza medie a corpului în intervalul 𝟎 𝒔 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐 𝒔. Rezolvare Momentul de timp la care corpul trece prin origine corespunde condiţiei 𝒙 = 𝟎, astfel încât, va rezulta: 𝟎 = 𝟏𝟔𝒕 − 𝟔𝒕𝟐 𝒕𝟏,𝟐 =

−𝒃±√∆ 𝟐𝒂

=

−𝟏𝟔𝒎𝒔−𝟏 ±√𝟐𝟓𝟔𝒎𝟐 𝒔−𝟐 −𝟏𝟐 𝒎𝒔−𝟐

⇒

𝒕 =𝟎𝒔 ⇒{ 𝟏 𝒕𝟐 = 𝟐, 𝟔𝟔 𝒔 Coordonatele punctului maxim se determină din condiţia (27): 𝒗=

2-8

𝒅𝒙 𝒅𝒕

= 𝟎 ⇒ −𝟏𝟐𝒕 + 𝟏𝟔 = 𝟎

⇒ 𝒕𝒎𝒂𝒙 = 𝟏, 𝟑𝟑 𝒔 ⇒ ⇒ 𝒙𝒎𝒂𝒙 = 𝟏𝟎. 𝟔𝟔 𝒎 Poziţia punctului material la 𝒕𝟎 = 𝟎 𝒔 va fi 𝒙𝟎 = 𝟎 𝒎. Graficul obţinut este prezentat în figura de mai jos.


Ionuţ VLĂDOIU

Aplicaţia 5. În figura alăturată este prezentată dependenţa vitezei de timp pentru mişcarea unui corp. Determinaţi natura mişcării corpului, viteza iniţială şi acceleraţia corpului. Scrieţi ecuaţia de mişcare a corpului. Rezolvare Analizând graficul dependenţei vitezei corpului de timp observăm că mişcarea este uniform încetinită până în punctul de coordonate (10, 0) şi apoi uniform accelerată, deoarece în punctul respectiv corpul se opreşte şi apoi viteza îşi schimbă sensul. Tot din grafic rezultă că viteza iniţială este: 𝒗𝟎 = 𝟓 𝒎𝒔−𝟏. Acceleraţia se determină din ecuaţia vitezei (24), ţinând cont că 𝒗 = 𝟎: 𝒗𝟎 𝟎 = 𝒗𝟎 + 𝒂𝒕 ⇒ 𝒂 = − = − 𝟎, 𝟓 𝒎𝒔−𝟐 𝒕

Ecuaţia de mişcare se obţine prin introducerea valorilor parametrilor 𝑥0 , 𝑣0 şi a în ecuaţia mişcării: 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0 𝑡 +

𝑎𝑡 2 2

Astfel, va rezulta: 𝑥 = 5𝑡 − 0,25 𝑡 2

2. DINAMICA NEWTONIANĂ 2.1. PRINCIPIILE MECANICII NEWTONIENE Principiile mecanicii newtoniene reprezintă enunţuri obţinute în urma a numeroase date experimentale. Ele au caracter general, aplicându-se tuturor sistemelor fizice studiate care satisfac ipoteza mecanicii newtoniene referitoare la faptul că, viteza particulelor studiate este mult mai mică în comparaţie cu viteza luminii. Aceste principii au fost enunţate de Isaac Newton în celebra carte „Philosophiae naturalis principia mathematica”, apărută în 1687. 2.1.1. PRINCIPIUL INERŢIEI „Particulele foarte îndepărtate de alte corpuri se găsesc fie în stare de repaus, fie în mişcare rectilinie uniformă în raport cu un sistem de referinţă inerţial (S.R.I.)”. Prin expresia foarte îndepărtate se înțelege în sensul că nu se influențează în niciun fel (sunt „izolate”). Prin inerţie, în mecanică, se înţelege tendinţa unui corp de a-şi menţine viteza în condiţii exterioare date şi că un corp liber este cel supus acţiunilor gravitaţionale ale tuturor celorlalte corpuri foarte îndepărtate din univers, care determină proprietatea de inerţie a corpului liber. 2-9


Ionuţ VLĂDOIU

Masa este o măsură a inerţiei corpurilor. [𝑚] = 𝑀,

[𝑚]𝑆𝐼 = 1 𝑘𝑔

(31)

Trebuie facută o distincţie foarte clară între noţiune de masă şi noţiunea de cantitate de substanţă. Prima noţiune se referă la proprietatea corpurilor de a-şi păstra, în timp, caracteristicile mişcării, pe când cea de-a doua este o măsură a numărului de particule de substanță (molecule, atomi, ioni, electroni). Cantitatea de substanţă, ν, se determină cu formula: 𝜈=

𝑚 𝜇

𝑁

=𝑁

(32)

𝐴

unde: m- masa de substanţă, µ- masa molară, N- numărul de molecule, atomi, etc., din cantitatea de substanţă, NA- numărul lui Avogadro. 2.1.2. LEGEA FORŢEI Principiul al doilea al mecanicii newtoniene afirmă că, „în condiţii exterioare specificate, cauza care produce modificarea mişcării se numeşte forţă”. 2

𝑑 𝑟̅ 𝐹̅ = 𝑚𝑎̅ = 𝑚 𝑑2 𝑡 = 𝑚𝑟̈

(33)

Forţa este o măsură a interacţiunii corpurilor. Expresia vectorului forţă în funcţie de componentele sale pe cele trei axe de coordonate Oxyz este: 𝐹̅ = 𝐹𝑥 𝑖̅ + 𝐹𝑦 𝑗̅ + 𝐹𝑧 𝑘̅

(34)

sau 𝐹 = √𝐹𝑥 2 + 𝐹𝑦 2 + 𝐹𝑧 2

(35)

unde: 𝐹𝑥 = 𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑥̈ 𝐹 { 𝑦 = 𝑚𝑎𝑦 = 𝑚𝑦̈ 𝐹𝑧 = 𝑚𝑎𝑧 = 𝑚𝑧̈

(36)

Unitatea de măsură în S.I. pentru forţă este: [𝐹] = 𝑀𝐿𝑇 −2 ,

[𝐹]𝑆.𝐼. = 𝑘𝑔 𝑚 𝑠 −2 = 1

(37)

OBSERVAŢII: 1. Deoarece în mecanica newtoniană se consideră că masa punctului material nu variază în timp şi tinând cont de definiţia impulsului: 𝑝̅ = 𝑚𝑣̅

(38)

legea a II- a a lui Newton se mai poate exprima şi prin relaţia: 2 - 10

CINEMATICĂ ŞI DINAMICĂ NEWTONIANĂ 𝑑𝑣̅ 𝑑(𝑚𝑣̅) 𝑑𝑝̅ 𝐹̅ = 𝑚 𝑑𝑡 = 𝑑𝑡 = 𝑑𝑡

Ionuţ VLĂDOIU

(39)

Impulsul având componenetele pe axe: 𝑝̅ = 𝑝𝑥 𝑖̅ + 𝑝𝑦 𝑗̅ + 𝑝𝑧 𝑘̅

(40)

putem scrie: 𝐹𝑥 =

𝑑𝑝𝑥

; 𝑑𝑡

𝐹𝑦 =

𝑑𝑝𝑦 𝑑𝑡

;;

𝐹𝑧 =

𝑑𝑝𝑧 𝑑𝑡

;

(41)

adică: 𝑑𝑝 𝑑𝑝 𝑑𝑝 𝐹̅ = 𝑖̅ 𝑑𝑡𝑥 + 𝑗̅ 𝑑𝑡𝑦 + 𝑘̅ 𝑑𝑡𝑧

(42)

2. Atunci când asupra punctului material acţionează mai multe forţe se aplică pincipiul suprapunerii: „forţa rezultantă pe care o mulţime de sisteme fizice o exercită asupra punctului material este egală cu suma vectorială a forţelor exerciate independent de fiecare sistem asupra particulei”.

𝐹̅ = ∑𝑛𝑘=1 𝐹̅𝑘

(43)

2.1.3. PRINCIPIUL ACŢIUNII ŞI REACŢIUNII „Dacă un punct material acţionează cu o forţă 𝐹̅12 asupra altui punct material, atunci şi ce-l de-al doilea punct material va acţiona asupra primului punct material cu o forţă 𝐹̅21 , egală şi de sens contrar cu prima”. 𝐹̅12 = −𝐹̅21

(44)

2.1.4. EXEMPLE DE FORŢE 2.1.4.1. GREUTATEA

Figura 7. Acţiunea şi reacţiunea exercitată între două corpuri care interacţionează.

Atunci când stăm pe talerul unui cântar aşezat pe suprafaţa Lunii constaţi că deşi el îţi indică acceaşi masă ca şi cea pe care ai măsurat- o pe Pământ, te simţi mai „uşor”. Acest fapt se datorează atracţiei gravitaţionale mai mici a Lunii comparativ cu cea a Pământului. Astfel, putem defini forţa de greutate sau greutatea 𝐺̅ , ca fiind forţa de atracţie exercitată de Pământ (sau alt 𝑵 corp) asupra corpurilor din vecinătatea sa şi se defineşte prin relaţia: 𝐺̅ = 𝑚𝑔̅

(45)

unde 𝑔 reprezintă acceleraţia gravitaţională şi are valoarea de 9,81 𝑚𝑠 −2 la suprafaţa Pământului şi

𝑮 Figura 8. Greutatea şi normala – acţiune şi reacţiune .

2 - 11


Ionuţ VLĂDOIU

1,7 𝑚𝑠 −2 la suprafaţa Lunii. Greutatea este forţa care trage corpurile în jos, spre Pământ (figura 8). 2.1.4.2. FORŢA NORMALĂ Suma forţelor care acţionează asupra noastră pe direcţiile x şi z atunci când ne aşezăm pe un scaun este nulă: ∑ 𝐹̅𝑥 = ∑ 𝐹̅𝑧 = 0 ⇒ 𝑎̅𝑥 = 𝑎̅𝑧 = 0

(46)

De asemenea şi 𝑎̅𝑦 = 0 deoarece nu ne mişcăm. Totuşi, greutatea ne trage în jos. Deoarece 𝑎̅𝑦 = 0 trebuie să existe o forţă, orientată în sus, care să se opună forţei de greutate. Această forţă se numeşte forţă normală sau normala, . Astfel: ∑ 𝐹̅𝑦 = 𝑚𝑎̅𝑦

(47)

şi = − 𝐺̅

(48)

Observăm că normala este orientată în sus (sensul pozitiv al axei), iar ̅ greutatea 𝐺 în jos (sensul negativ al axei) dar sunt egale ca mărime şi astfel, pe axa oy, acceleraţia este nulă 𝑎̅𝑦 = 0. Forţa normală este întotdeauna perpendiculară pe suprafaţa de contact dintre corpuri (figura 8). 2.1.4.3. TENSIUNEA

𝑻

Tensiunea 𝑇̅ este forţa care apare într- un cablu sau frânghie supusă acţiunii de întindere. Din figura 9 rezultă: 𝑇̅ = − 𝐺̅

(49)

adică, tensiunea sunt forţe egale dar de sens opus.

𝑮 Figura 9. Tensiune care apare într- un cablu întis de către greutate.

2.1.4.4. FORŢA DE FRECARE Forţa de frecare 𝐹̅𝑓 este o forţă care apare la mişcarea relativă a două suprafeţe aflate în contact. Există două tipuri de frecare: a) frecare cinetică – atunci când suprafeţe se află în mişcare una în raport cu cealaltă. De exemplu, atunci când apăsăm brusc pedala de frână a unui automobil, acesta începe să

2 - 12

𝑮

𝜶

Figura 10. Forţa de frecare care apare la coborârea unui corp pe un plan înclinat de unghi α.


Ionuţ VLĂDOIU

derapeze. Frecarea cinetică va conduce la oprirea maşinii. a) frecare statică – apare atunci când suprafeţele aflate în contact sunt în repaus şi se opun tendinţei de mişcare a acestora. De exemplu, dacă punem o monedă pe o carte şi înclinăm cartea cu unghiuri mici, frecarea statică va împiedica moneda să alunece şi aceasta va rămâne în repaus. Înclinând cartea şi mai mult va creşte şi frecarea statică, iar moneda va rămâne tot în repaus. În cele din urmă, pentru o anumită înclinaţie a cărţii, frecarea statică va fi învinsă, iar mondeda va începe să alunece, adică va apare frecare cinetică. Mai trebuie spus că, frecarea statică atinge valoarea maximă chiar înainte ca moneda să alunece pe carte. Forţa de frecare este proporţională cu forţa normală, coeficientul de proporţionalitate numindu-se coeficient de frecare 𝜇: 𝐹̅𝑓 = 𝜇

(50)

În cazul frecării cinetice vom avea: 𝐹̅𝑓𝐶 = 𝜇𝐶

(51)

iar pentru frecare statică: 𝐹̅𝑓𝑆 = 𝜇𝑆

(52)

Aplicaţia 6. Un corp de masă m coboară uniform pe un plan înclinat de unghi 𝜶. Demonstraţi că 𝝁 = 𝒕𝒈𝜶.

oy:

+ 𝐺̅ 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 0 − 𝐺𝑐𝑜𝑠𝛼 = 0

sau Rezolvare Analizând figura 10 şi aplicând principiul II al dinamicii putem scrie:

Ţinând cont de relaţia de definiţie a forţei de frecare 𝐹𝑓 = 𝜇 şi că 𝐺 = 𝑚𝑔 obţinem: 𝐺 sin 𝛼 = 𝜇

𝑵 + 𝑭𝒇 + 𝑮 = 𝟎 Proiectând aceată relaţie pe axele ox şi oy vom obţine: ox: 𝑭𝒇 + 𝑮 𝐬𝐢𝐧 𝜶 = 𝟎 sau

−𝑭𝒇 + 𝑮 𝐬𝐢𝐧 𝜶 = 𝟎

şi

= 𝐺𝑐𝑜𝑠𝛼

Adică: 𝐺 sin 𝛼 = 𝜇𝐺𝑐𝑜𝑠𝛼 de unde rezultă: sin 𝛼

𝜇 = 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑡𝑔𝛼.

2 - 13


Ionuţ VLĂDOIU

Aplicaţia 7. În proiectarea unei curbe inginerii trebuie să ia în considerare viteza maşinii şi coeficientul de frecare dintre roţi şi asfalt. Raza acestei curbe este aleasă astfel încât maşina să ruleze lin pe această porţiune de cerc. Stabiliţi formula razei porţiunii curbe de drum care să depindă de viteză şi coeficientul de frecare.

𝒚 𝑵

𝒗 𝑭𝒇

𝑶

𝒙

𝑶

𝑮

𝑹

Rezolvare Aplicând principiul II obţinem:

𝜇𝐺 = 𝑚𝑎 ⇒ 𝜇𝑚𝑔 = 𝑚𝑎 ⇒ 𝜇𝑔 = 𝑎.

𝑵 + 𝑭𝒇 + 𝑮 = 𝒎𝒂 ox: 𝑭𝒇 = 𝒎𝒂

sau

oy: 𝑵 + 𝑮 = 𝟎 sau Va rezulta:

Dar acceleraţia unui corp pe o traiectorie circulară este dată de relaţia:

𝑭𝒇 = 𝒎𝒂

𝑎=

𝑵=𝑮

𝑣2 𝑅

Vom obţine:

𝝁𝑵 = 𝒎𝒂 ⇒

𝑣2

𝑅 = 𝜇𝑔.

Aplicaţia 8. Un corp cu masa 𝑴 = 𝟐𝒌𝒈 este aşezat pe un plan înclinat cu unghiul 𝜶 = 𝟑𝟎° şi se mişcă cu 𝟏

frecare, coeficientul de frecare fiind 𝝁 = 𝟐√𝟑. De corp este legat un fir inextensibil trecut peste un scripete ideal aflat în vârful planului înclinat şi de care se leagă un corp cu masa 𝒎 = 𝟐𝒌𝒈. Considerând 𝒈 = 𝟏𝟎 𝒎𝒔−𝟐 , determinaţi acceleraţia cu care urcă corpul pe planul înclinat şi tensiunea în firul de legătură dintre corpuri. Rezolvare Aplicăm principiul al doilea pentru cele două corpuri: - pentru corpul de masă m: Ox: 𝑮𝟐 − 𝑻 = 𝒎𝒂 Oy: ∑ 𝑭𝒚 = 𝟎 - pentru corpul de masă M: Ox: 𝑻 − 𝑮𝟏 𝒔𝒊𝒏𝜶 − 𝑭𝒇 = 𝑴𝒂 Oy: 𝑵 − 𝑮𝟐 𝒄𝒐𝒔𝜶 = 𝟎 Cum 𝑭𝒇 = 𝝁𝑵, 𝑮𝟏 = 𝑴𝒈, 𝑮𝟐 = 𝒎𝒈, din prima

2 - 14

𝑶 𝑻 𝒎

𝜶

𝒙 𝑮𝟐

𝑮𝟏

𝜶

relaţie 𝑇 = 𝑚𝑔 − 𝑚𝑎 şi din ultima = 𝑀𝑔𝑐𝑜𝑠𝛼, prin înlocuire în penultima relaţie obţinem: 𝑚𝑔 − 𝑚𝑎 − 𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼 − 𝜇𝑀𝑔𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑀𝑎 ⇒𝑎=

𝑔[𝑚−𝑀(𝑠𝑖𝑛𝛼+𝜇𝑐𝑜𝑠𝛼)] 𝑀+𝑚

⇒ 𝑎 = 1,25 𝑚𝑠 −2 Înlocuind această valoare în prima relaţie obţinem: 𝑇 = 𝑚𝑔 − 𝑚𝑎 = 17,5


Ionuţ VLĂDOIU

Aplicaţia 9. Un candelabru cu masa 𝒎 = 𝟓𝟎 𝒌𝒈 este suspendat prin intermediul a două fire care fac unghiurile 𝜶 = 𝟔𝟎° şi 𝜷 = 𝟑𝟎° cu tavanul. Determinaţi tensiunea în fiecare cablu.

𝒚 𝜶

𝜷 𝑻𝟏𝒚 𝑻𝟐𝒚 𝑻𝟐

𝑻𝟏

Rezolvare

𝒙 𝑻𝟐𝒙

𝑻𝟏𝒙

Conform principiului II: 𝑻𝟏 + 𝑻𝟐 + 𝑮 = 𝟎

𝑮

deoarece 𝒂𝒙 = 𝒂𝒚 = 𝟎. Proiectând ecuaţia pe axele ox şi oy vom avea: ox: 𝑻𝟐𝒙 − 𝑻𝟏𝒙 = 𝟎

⇒ 𝑻𝟏 [𝒄𝒐𝒔𝜶 ∙ 𝒕𝒈𝜷 + 𝒔𝒊𝒏𝜶] = 𝒎𝒈

oy: 𝑻𝟐𝒚 + 𝑻𝟏𝒚 − 𝑮 = 𝟎

⇒ 𝑻𝟏 = 𝒄𝒐𝒔𝜶∙𝒕𝒈𝜷+𝒔𝒊𝒏𝜶 = 𝟒𝟐𝟔 𝑵

unde:

𝒎𝒈

respectiv:

𝑻𝟏𝒙 = 𝑻𝟏 𝒄𝒐𝒔𝜶, 𝑻𝟐𝒙 = 𝑻𝟐 𝒄𝒐𝒔𝜷, 𝑻𝟏𝒚 = 𝑻𝟏 𝒔𝒊𝒏𝜶,

𝑻𝟐 =

𝑻𝟏 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒄𝒐𝒔𝜷

⇒ 𝑻𝟐 𝒄𝒐𝒔𝜷 = 𝑻𝟏 𝒄𝒐𝒔𝜶

𝑻𝟐𝒚 = 𝑻𝟐 𝒔𝒊𝒏𝜷.

𝒎𝒈

Prin înlocuire obţinem:

⇒ 𝑻𝟐 𝒄𝒐𝒔𝜷 = 𝒄𝒐𝒔𝜶 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝜶∙𝒕𝒈𝜷+𝒔𝒊𝒏𝜶 𝒎𝒈𝒄𝒐𝒔𝜶

𝑻𝟐 𝒄𝒐𝒔𝜷 − 𝑻𝟏 𝒄𝒐𝒔𝜶 = 𝟎 şi 𝑻𝟐 𝒔𝒊𝒏𝜷 + 𝑻𝟏 𝒔𝒊𝒏𝜶 = 𝒎𝒈 Adică: 𝑻𝟐 =

𝑻𝟏 𝒄𝒐𝒔𝜶

𝑻𝟏 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒄𝒐𝒔𝜷

𝒄𝒐𝒔𝜷

, iar prin înlocuire:

𝒔𝒊𝒏𝜷 + 𝑻𝟏 𝒔𝒊𝒏𝜶 = 𝒎𝒈

⇒ 𝑻𝟐 = [𝒄𝒐𝒔𝜶∙𝒕𝒈𝜷+𝒔𝒊𝒏𝜶]∙𝒄𝒐𝒔𝜷 ⇒ 𝑻𝟐 =

𝒎𝒈𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒔𝒊𝒏𝜷 ∙∙𝒄𝒐𝒔𝜷+𝒔𝒊𝒏𝜶∙𝒄𝒐𝒔𝜷 ∙𝒄𝒐𝒔𝜷

𝒄𝒐𝒔𝜶∙

𝒎𝒈𝒄𝒐𝒔𝜶

⇒ 𝑻𝟐 = 𝒄𝒐𝒔𝜶∙𝒔𝒊𝒏𝜷+𝒔𝒊𝒏𝜶∙𝒄𝒐𝒔𝜷 |: 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒎𝒈

⇒ 𝑻𝟐 = 𝒔𝒊𝒏𝜷+𝒕𝒈𝜶∙𝒄𝒐𝒔𝜷 = 𝟐𝟒𝟔 𝑵

2.1.4. PRINCIPIUL RELATIVITĂŢII GALIELIENE Acest principiu afirmă : „dacă legile mecanicii clasice sunt valabile într-un S.R.I, atunci ele vor fi valabile în orice S.R. care se mişcă rectiliniu şi uniform faţă de primul.” Considerând două S.R.I., S şi S’ care se mişcă cu viteza 𝑣̅ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 faţă de primul, relaţiile între coordonatele spaţiale ale unui eveniment în raport cu sistemele S şi S’ sunt date de transformările lui Galilei:

2 - 15


sau

𝑥 ′ = 𝑥 − 𝑣𝑡 𝑦′ = 𝑦 { 𝑧′ = 𝑧 𝑡′ = 𝑡

(53)

𝑥 = 𝑥′ + 𝑣𝑡′ 𝑦 = 𝑦′ { 𝑧 = 𝑧′ 𝑡 = 𝑡′

(54)

Setul de relaţii (53 - 54) poartă numele de formulele de transformare a lui Galilei, iar derivarea acestora în raport cu timpul conduce la scrierea relaţilor de compunere a vitezelor: 𝑥̇ = 𝑥̇ ′ + 𝑣 { 𝑦̇ = 𝑦̇ ′ 𝑧̇ = 𝑧̇ ′

Ionuţ VLĂDOIU

Figura 11. Două sisteme de referinţă inerţiale S şi S’, S’ se mişcă faţă de S rectiliniu şi uniform cu viteză constantă.

(55)

Dacă derivăm relaţiile (51) în raport cu timpul obţinem: 𝑥̈ = 𝑥̈ ′ {𝑦̈ = 𝑦̈ ′ 𝑧̈ = 𝑧̈ ′

(56)

de unde rezultă că acceleraţiile punctului material sunt aceleaşi în ambele sisteme. Masa punctului material fiind constantă în ambele sisteme, în baza relaţiilor (56) putem scrie: 𝑚𝑎̅ = 𝑚𝑎̅′

(57)

sau 𝐹̅ = 𝐹̅ ′

(58)

Din relaţia (58) rezultă că legea fundamentală a dinamicii rămâne invariantă în raport cu sistemele inerţiale, iar asupra punctului material acţionează aceeaşi forţă în ambele sisteme inerţiale. Sistemele inerţiale prezintă o proprietate fizică foarte importantă şi anume: mişcarea acestora nu influenţează fenomenele fizice din cuprinsul lor. În cadrul sistemelor inerţiale, legile mecanicii sunt invariante faţă de schimbarea sistemului inerţial, acesta constituind principiul relativităţii clasice stabilit de Galilei.

2.1.5. CÂMP DE FORŢE Pentru a descrie forţele foarte complicate care apar atunci când corpurile se mişcă arbitrar este util să se folosească noţiunea de câmp.

2 - 16


Ionuţ VLĂDOIU

De exemplu, forţa de interacţiune dintre două sarcini electrice q şi Q, situate la distanţa una de alta, este dată de legea lui Coulomb: 𝑞𝑄 𝑟̅ 𝐹̅ = 4𝜋𝜀 𝑟 2 ∙ 𝑟

(59)

0

Pentru a analiza această forţă cu ajutorul noţiunii de câmp, trebuie observată forţa exercitată de sarcina Q asupara sarcinii q situată într-un punct oarecare în jurul său. Mărimea acestei forţe poate fi exprimată ca produsul dintre sarcina q şi mărimea, care caracterizează câmpul electric din jurul sarcinii Q şi care reprezintă intensitatea acestuia: 𝐹̅ = 𝑞𝐸̅

(60)

Analizând relaţiile (59) şi (60) observăm că forţa exercitată de sarcina Q, prin intermediul câmpului electric, asupra sarcinii q, va fi dată de relaţia: 𝑄 𝑟̅ 𝐸̅ = 4𝜋𝜀 𝑟 2 ∙ 𝑟

(61)

0

Analog se poate defini câmpul gravitaţional al unei mase M prin intermediul căruia aceasta exercită o forţă asupra unei mase m, situată la distanţa 𝑟̅ de ea şi care este dată de legea atracţiei universale a lui Newton: 𝑚𝑀 𝑟̅ 𝐹̅ = 𝑘 𝑟 2 ∙ 𝑟

(62)

unde: k este constanta atracţiei universale. Această forma: 𝐹̅ = 𝑚Γ̅

lege se poate scrie sub

(63)

𝑀 𝑟̅ unde Γ̅ = 𝑘 𝑟 2 ∙ 𝑟 se numeşte intensitatea câmpului gravitaţional.

Astfel, se observă că un câmp este o stare de existenţă a materiei prin intermediul căruia se realizează diferitele tipuri de interacţiuni dintre corpuri. În fiecare punct din domeniul său de existenţă, câmpul este caracterizat prin anumite mărimi fizice, care pot avea valori diferite în puncte diferite ale spaţiului.

2 - 17

Capitolul III TEOREMELE MECANICII NEWTONIENE

CUPRINS

1. TEOREMA DE VARIAŢIE A IMPULSULUI. CONDIŢII DE CONSERVARE A IMPULSULUI .... 2 2. TEOREMA DE CONSERVARE A ENERGIEI MECANICE .................................................... 4 2.1. LUCRUL MECANIC. PUTEREA MECANICĂ ................................................................. 4 2.2. ENERGIA CINETICĂ. TEOREMA DE VARIAŢIE A ENERGIEI CINETICE ...................... 6 2.3. ENERGIA POTENŢIALĂ. TEOREMA DE CONSERVARE A ENERGIEI POTENŢIALE ..... 8 2.3.1. ENERGIA POTENŢIALĂ GRAVITAŢIONALĂ .......................................................... 9 2.3.2. ENERGIA POTENŢIALĂ ELASTICĂ.....................................................................10 2.4. TEOREMA DE CONSERVARE A ENERGIEI MECANICE ............................................11 3. TEOREMA DE VARIAŢIE ŞI CONSERVARE A MOMENTULUI CINETIC............................ 12

TEOREMELE MECANICII NEWTONIENE

Ionuţ VLĂDOIU

TEOREMELE MECANICII NEWTONIENE Teoremele generale ale mecanicii clasice sunt consecinţe ale principiilor acesteia care simplifică, de cele mai multe ori, abordarea unei probleme de mişcare a unei particule sau a unui sistem de particule.

1.

TEOREMA

DE

VARIAŢIE

A

IMPULSULUI.

CONDIŢII

DE

CONSERVARE A IMPULSULUI Impulsul 𝑝̅ este o mărime vectorială egală cu produsul dintre masa şi viteza particulei: 𝑝̅ = 𝑚𝑣̅

(1)

Unitatea de măsură a impulsului este: [𝑝] = 𝑀𝐿𝑇 −1 , [𝑝̅ ]𝑆𝐼 = [𝑚]𝑆𝐼 ∙ [𝑣̅ ]𝑆𝐼 = 1𝑘𝑔 ∙ 1

𝑚 𝑠

= 1𝑁 ∙ 𝑠

(2)

Impulsul caracterizează cantitativ mişcarea corpurilor. Conform principiului al II- lea: 𝑑𝑣̅ 𝑑 𝑑𝑝̅ 𝐹̅ = 𝑚𝑎̅ = 𝑚 𝑑𝑡 = 𝑑𝑡 (𝑚𝑣̅ ) = 𝑑𝑡

Din relația (2) vom obține:

(3)

𝑑𝑝̅ = 𝐹̅ 𝑑𝑡

(4)

Impulsul forţei rezultante care acţionează asupra punctului material este: ̅ ≝ ∫𝑡2 𝐹̅ 𝑑𝑡 𝐻 𝑡

(5)

1

Astfel încât:

̅ = ∫𝑡2 𝑑𝑝̅ ⇒ 𝐻 ̅ = 𝑝̅2 − 𝑝̅1 ⇒ 𝐻 ̅ = ∆𝑝̅ 𝐻 𝑡 1

(6)

Relaţia (6) reprezintă teorema impulsului: „variaţia impulsului unui punct material este egală cu impulsul forţei rezultante care acţionează asupra punctului material”. În cazul în care forţa totală ce acţionează asupra particulei este nulă, 𝐹̅ = 0, atunci: ̅ = 0 ⇒ ∆𝑝̅ = 0 ⇒ 𝑝̅2 = 𝑝̅1 𝐻 sau

𝑝̅ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

(7) (8) 3-2


Ionuţ VLĂDOIU

Relaţia (8) exprimă teorema conservării impulsului, care afirmă: „dacă asupra punctului material nu acţionează nici o forţă (sau rezultanta lor este nulă), impulsul punctului material se conservă”. Acest enunţ ne arată că 𝑝̅ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. atunci când punctul material este în repaus sau atunci când 𝑣̅ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡., adică când corpul se află în mişcare rectilinie uniformă. Conform principiului al III- lea, forţa care acţionează asupra punctului ̅ , prin urmare: material este egală dar se sens contrar cu reacţiunea 𝐹′ ̅ 𝑑𝑡 ̅ = − ∫𝑡2 𝐹′ 𝐻 𝑡 1

(9)

Deci, creşterea de impuls a unui punct material se realizează pe seama scăderii impulsurilor corpurilor cu care interacţionează acesta. Aplicaţia 1. Un corp cu masa 𝑚 = 2 𝑘𝑔 acţionat de o forţă constantă 𝐹 = 8 𝑁, îşi măreşte viteza de la 𝑣1 = 8 𝑚𝑠 −1 la 𝑣2 = 13 𝑚𝑠 −1. Determinaţi care este impulsul aplicat de forţă şi timpul de acţiune al acesteia. Rezolvare

H= 𝑚𝑣2 − 𝑚𝑣1 = 10 𝑁𝑠. Din formula de definiţie a impulsului forţei rezultante care acţionează asupra corpului H= 𝐹∆𝑡, rezultă: ∆𝑡 =

𝐻 𝐹

= 1,25 𝑠.

Din legea de variaţie a impulsului H= ∆𝑃 obţinem: Aplicaţia 2. O forţă constantă aplicată unui corp cu masa 𝑚 = 4 𝑘𝑔, îl deplasează din repaus rectiliniu pe o distanţă 𝑑 = 5 𝑚, în timpul ∆𝑡 = 2 𝑠. Care a fost impulsul aplicat asupra corpului? Rezolvare

Unde am folosit relaţia de definiţie a ∆𝑣 acceleraţiei: 𝑎 = ∆𝑡 . Dar, mişcarea fiind rectilinie produsul 𝑎∆𝑡 = 𝑣, 𝑑 iar viteza este: 𝑣 = ∆𝑡, astfel încât, vom obţine: 𝑑

H= 𝑚 ∆𝑡 = 20 𝑁𝑠 .

Din teorema de variaţie a impulsului obţinem: H= ∆𝑃 ⇒ 𝐻 = 𝑚∆𝑣 = 𝑚𝑎∆𝑡 Aplicaţia 3. Un soldat cu masa 𝑀 = 80 𝑘𝑔 trage din poziţia culcat cu o armă având masa 𝑚 = 1𝑘𝑔. Ştiind că glontele iese din ţeavă cu viteza 𝑣1 = 1000 𝑚𝑠 −1, calculaţi forţa ce trebuie dezvoltată de umărul soldatului în intervalul ∆𝑡 = 1 𝑚𝑠. Rezolvare Arma şi glontele formează un sistem izolat în care impulsul total se conservă. Din legea de conservare a impulsului aflăm viteza cu care arma loveşte umărul soldatului

𝑝𝑖 = 𝑝𝑓 ⇒ 𝑚𝑣1 = 𝑀𝑣2 ⇒ 𝑣2 =

𝑚𝑣1 𝑀

= 12 𝑚𝑠 −1.

Aplicând teorema de variaţie a impulsului pentru soldat obţinem: 𝐹∆𝑡 = ∆𝑝 = 𝑝𝑓 − 𝑝𝑖 = −𝑀𝑣2 − 0 = −𝑀𝑣2 De unde rezultă: |𝐹 | =

𝑀𝑣2 ∆𝑡

= 106 𝑁.

3-3


Ionuţ VLĂDOIU

Aplicaţia 4. Un autombil cu masa 𝑚1 = 1000 𝑘𝑔 care se deplasează cu viteza 𝑣1 = 15 𝑚𝑠 −1 loveşte un alt automobil cu masa 𝑚2 = 1500 𝑘𝑔 care staţionează. Care este viteza comună a autoturismelor, dacă ele se ciocnesc plastic?

Rezolvare Aplicând legea de conservare a impulsului avem: 𝑝𝑖 = 𝑝𝑓 ⇒ 𝑚1 𝑣1 = (𝑚1 + 𝑚2 )𝑣𝐶 𝑚1 𝑣1

⇒ 𝑣𝐶 = 𝑚

1 +𝑚2

= 6 𝑚𝑠 −1 .

2. TEOREMA DE CONSERVARE A ENERGIEI MECANICE 2.1. LUCRUL MECANIC. PUTEREA MECANICĂ Dacă asupra unui corp acţionează mai multe forţe în acelaşi timp, mişcarea acestuia va fi modificată doar de forţele care nu sunt perpendiculare pe direcţia lui de mişcare. Sub acţiunea acestor forţe corpul se deplasează o anumită distanţă, iar forţele respective efectuează lucru mecanic. Considerând cazul particular al acţiunii unei singure forţe asupra corpului, lucrul mecanic elementar 𝛿𝐿 efectuat pentru a- l deplasa este o mărime fizică scalară definită prin relaţia: 𝛿𝐿 = 𝐹̅ ∙ 𝑑𝑟̅

(10)

Deoarece produsul scalar a doi vectori este 𝑎̅ ∙ 𝑏̅ = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼, relaţia de mai sus poate fi scrisă: 𝛿𝐿 = 𝐹 ∙ 𝑑𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼

(11)

Unitatea de măsură a lucrului mecanic este: [𝐿] = 𝑀𝐿2 𝑇 −2 , [𝐿]𝑆𝐼 = [𝐹]𝑆𝐼 ∙ [𝑟]𝑆𝐼 = 1𝑁 ∙ 𝑚 = 1 𝐽 În relaţia (10) se foloseşte simbolul 𝛿𝐿 pentru a arăta că, în general, lucrul mecanic depinde de drumul pe care se deplasează punctul de aplicaţie al forţei. Analizând situaţia prezentată în figura 1, observăm că doar componenta de pe axa 𝑜𝑥 a forţei efectuează lucru mecanic. În acest caz lucrul mecanic este dat de relaţia:

(12)

𝒚 ̅ 𝑭

𝐹̅𝑦 𝜶

𝐹̅𝑥

𝒙

𝒅 Figura 1. Lucrul mecanic efectuat de forţa 𝐹̅ ce acţionează asupra corpului.

3-4

TEOREMELE MECANICII NEWTONIENE 𝑑

Ionuţ VLĂDOIU

𝑑

𝐿 = ∫0 𝐹𝑥 ∙ 𝑑𝑥 = 𝐹𝑥 ∫0 𝑑𝑥 = 𝐹𝑥 𝑑 𝐿 = 𝐹 ∙ 𝑑 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼

adică:

(13) (14)

Din relaţia de mai sus rezultă: 1. Dacă 𝛼 < 90° ⇒ 𝐿 > 0, adică forţa efectuează lucru mecanic motor; 2. Dacă 𝛼 = 90° ⇒ 𝐿 = 0, adică forţele care sunt perpendiculare pe direcţia de mişcare nu efectuează lucru mecanic; 3. Dacă 90° < 𝛼 < 180° ⇒ 𝐿 < 0, adică forţa efectuează lucru mecanic rezistent. Dacă asupra unui punct material acţionează consecutiv mai multe forţe 𝐹̅𝐾 lucrul mecanic efectuat este egal cu suma algebrică a lucrurilor mecanice elementare efectuate de forţele aplicate. Asfel, putem scrie relaţia (10) astfel: ̅ 𝛿𝐿 = ∑𝑁 𝑘=1 𝐹𝐾 ∙ 𝑑𝑟̅

(15)

O forţă care are proprietatea că lucrul mecanic efectuat de ea, între două puncte nu depinde de drumul pe care se deplasează punctul său de aplicaţie se numeşte forţă conservativă. Dacă forţa 𝐹̅ efectuează un lucru mecanic pe două curbe distincte (C1) şi (C2) care unesc punctele A şi B (figura 2) condiţia să fie forţă conservativă este: ∫(𝐶1 ) 𝐹̅ ∙ 𝑑𝑟̅ = ∫(𝐶2 ) 𝐹̅ ∙ 𝑑𝑟̅

Figura 2. Lucrul mecanic efectuat de forţa 𝐹̅ pe curbele C1 şi C2.

(16)

Din relaţia de mai sus rezultă că lucrul mecanic efectuat de o forţă conservativă pe un contur închis este zero: ∮ 𝐹̅ ∙ 𝑑𝑟̅ = 0

(17)

Acelaşi lucru mecanic poate fi efectuat în diferite intervale de timp. Puterea forţei 𝐹̅ care se exercită asupra particulei, la momentul t, se defineşte prin: 𝛿𝐿

𝑃 = 𝑑𝑡

(18)

Unitatea de măsură pentru putere este: [𝑃] = 𝑀𝐿2 𝑇 −1 ,

[𝑃]𝑆𝐼 =

[𝐿]𝑆𝐼 [𝑡]𝑆𝐼

𝐽

= 1𝑠 = 1 𝑊

(19)

O altă unitate de măsură tolerată este calul- putere: 𝐶𝑃 = 736 𝑊

3-5


Ionuţ VLĂDOIU

Aplicaţia 5. Dacă împingem un scaun cu o forţă constantă de 100𝑁, ce face unghiul 𝛼 = 60° cu orizontala, timp de 10𝑠 pe o distanţă de 5𝑚, ce lucru mecanic efectuez? Care este valoarea puterii?

𝐿 = 𝐹 ∙ 𝑑 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 250 J iar puterea: 𝐿

𝑃 = 𝑑𝑡 = 25 𝑊.

Rezolvare Din figura 3 şi din relaţia de definiţie a lucrului mecanic obţinem:

2.2. ENERGIA CINETICĂ. TEOREMA DE VARIAŢIE A ENERGIEI CINETICE Energia este o mărime fizică scalară ce caracterizeză capacitatea unui corp de a efectua lucru mecanic. Energia mecanică totală este formată din energie cinetică şi energie potenţială (de poziţie): 𝐸 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝

(20)

Unitatea de măsură pentru energie este: [𝐸] = 𝑀𝐿2 𝑇 −2 , [𝐸]𝑆𝐼 = 1 𝐽

(21)

Energia cinetică 𝐸𝑐 este energia pe care o posedă un corp de masă m aflat în mişcare cu viteza 𝑣̅ : 𝐸𝐶 =

𝑚𝑣 2

(22)

2

Ţinând cont de relaţia de definiţie a impulsului (1) putem scrie: 𝑝2

𝐸𝐶 = 2𝑚

(23)

Lucrul mecanic total efectuat de forţa 𝐹̅ la deplasarea punctului său de aplicaţie, între două puncte A şi B este definit prin: 𝐵 𝐿𝐴𝐵 = ∫𝐴 𝐹̅ ∙ 𝑑𝑟̅

(24)

Ţinând cont de principiul fundamental al dinamicii (relaţia(3)), putem scrie: 𝐵 𝑑𝑝̅

𝐿𝐴𝐵 = ∫𝐴

𝑑𝑡

∙ 𝑑𝑟̅

(25)

sau 𝐵 𝑚𝑑𝑣̅

𝐿𝐴𝐵 = ∫𝐴

𝑑𝑡

𝐵

𝐵

𝑣̅ 2

∙ 𝑣̅ 𝑑𝑡 ⇒ 𝐿𝐴𝐵 = 𝑚 ∫𝐴 𝑣̅ 𝑑 𝑣̅ = 𝑚 ∫𝐴 𝑑( 2 )

(26) 3-6


Ionuţ VLĂDOIU

astfel încât, relaţia de mai sus devine: 𝑣̅ 2

𝐿𝐴𝐵 = 𝑚( 2𝐵 −

2 𝑣̅𝐴

2

)

(27)

Din (22) şi (27) obţinem: 𝐿𝐴𝐵 = 𝐸𝐶𝐵 − 𝐸𝐶𝐴 𝐿𝐴𝐵 = ∆𝐸𝐶

adică:

(28) (29)

Relaţia (29) exprimă teorema de variaţie a energiei cinetice, care spune că: „variaţia energiei cinetice a unui punct material este egală cu lucrul mecanic al forţei rezultante care acţionează asupra acestuia”. Aplicaţia 6. Un corp porneşte din vârful unui plan înclinat cu unghiul 𝛼 = 30°şi lungimea 𝑙 = 12 𝑚. Mişcarea se face cu frecare, coeficientul de frecare la alunecare fiind 𝜇 = 0,2, iar 𝑔 = 10𝑚𝑠 −2 .

̅ 𝑵

(A) Determinaţi viteza cu care ajunge corpul la baza planului.

̅ 𝑮

𝜶

Rezolvare

̅ 𝑮

Aplicând teorema de variaţie a energiei cinetice între vârful şi baza planului obţinem:

adică:

2

⇒

Rezolvare Corpul se opreşte pe planul orizontal când 𝑣′𝑓 = 0. Aplicând teorema de variaţie a energiei cinetice pentru suprafaţa orizontală avem:

∆𝐸𝐶 = 𝐸𝐶𝑓 − 𝐸𝐶𝑖 = 𝐿

𝑚𝑣𝑓2

̅𝒇 𝑭

2

𝑚𝑣 ′ 𝑓

− 0 = (𝐺𝑠𝑖𝑛𝛼 − 𝐹𝑓 )𝑙 ⇒

𝑚𝑣𝑓2 2

= (𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼 − 𝜇𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝛼)𝑙 ⇒

𝑚𝑔𝑙(𝑠𝑖𝑛𝛼 − 𝜇𝑐𝑜𝑠𝛼)

2 𝑚𝑣𝑓2 2

=

⇒ 𝑣𝑓 = √2𝑔𝑙(𝑠𝑖𝑛𝛼 − 𝜇𝑐𝑜𝑠𝛼) = 8,86 𝑚𝑠 −1

⇒−

𝑚𝑣𝑓2 2

−

𝑚𝑣𝑓2 2

= −𝐹𝑓 𝑑𝑜𝑝𝑟𝑖𝑟𝑒

= −𝜇𝑚𝑔𝑑𝑜𝑝𝑟𝑖𝑟𝑒 𝑣𝑓2

⇒ 𝑑𝑜𝑝𝑟𝑖𝑟𝑒 = 2𝜇𝑔 = 19,62 𝑚.

(B) Distanţă parcursă de corp până la oprire, dacă planul înclinat se continuă cu o porţiune orizontală pe care corpul se mişcă cu acelaşi coeficient de frecare.

3-7


Ionuţ VLĂDOIU

Aplicaţia 7.

𝑨

Un copil aflat la etajul 10 al unui bloc cu înălţimea ℎ = 25𝑚, scapă din greşeală o bilă metalică cu masa 𝑚 = 100𝑔. Aceasta cade pe pământ şi produce o groapă cu adâncimea ℎ’ = 10𝑐𝑚. Determinaţi forţa de frânare a bilei (𝑔 = 10 𝑚𝑠 −2).

̅ 𝑮 𝒉 𝑶

Rezolvare Aplicând legea de conservare a energiei cinetice pentru sistemul bilă- Pământ şi tinân cont că bila a pornit din repaus şiajunge în final într- o stare de repaus, obţinem:

𝒉′

𝑩

Cum ∆𝐸𝐶 = 𝐸𝐶𝐵 − 𝐸𝐶𝐴 = 0, vom obţine: 𝐿𝐺 + 𝐿𝐹𝑓 ⇒ 𝐿𝐺 = −𝐿𝐹𝑓 ⇒ 𝑚𝑔(ℎ + ℎ′ ) = −𝐹𝑓 ℎ′

∆𝐸𝐶 = 𝐸𝐶𝐵 − 𝐸𝐶𝐴 = 𝐿𝐺 + 𝐿𝐹𝑓

⇒ 𝐹𝑓 = −

𝑚𝑔(ℎ+ℎ ′ ) ℎ′

= 251 𝑁

2.3. ENERGIA POTENŢIALĂ. TEOREMA DE CONSERVARE A ENERGIEI POTENŢIALE Energia potenţială caracterizează capacitatea unui sistem fizic de schimba lucru mecanic sub acţiunea forţelor generate de câmpuri. Energia potenţială este definită, până la o constantă aditivă arbitrară, prin relaţia: 𝐸𝑝 = − ∫ 𝐹̅ 𝑑𝑟̅

(30)

Din relaţia de definiţie a energiei potenţiale rezultă ca forţa pe care o suferă corpul în câmpul considerat este proporţională cu gradientul energiei potentiale: 𝑑𝐸 𝐹̅ = − 𝑑𝑟̅𝑝

(31)

semnul minus însemnând faptul că, forţa este îndreptată în sensul scaderii forţei câmpului. Relaţia de mai sus poate fi scrisă şi sub forma: 𝐹̅ = −∇𝐸𝑝 unde:

(32) 𝜕𝐸

∇𝐸𝑝 = ( 𝜕𝑥𝑝 𝑖̅ +

𝜕𝐸𝑝 𝜕𝑦

𝑗̅ +

𝜕𝐸𝑝 𝜕𝑧

𝑘̅).

Forţa care are proprietatea dată de relaţia (30) se numeşte forţă conservativă, iar faptul că în expresia energiei potenţiale intervin numai derivatele ei explică de ce aceasta se poate determina doar până la o constantă aditivă arbitrară. Înlocuind relaţia (32) în expresia lucrului mecanic, obţinem: 𝛿𝐿 = 𝐹̅ ∙ 𝑑𝑟̅ = −∇𝐸𝑝 ∙ 𝑑𝑟̅

(33) 3-8


Ionuţ VLĂDOIU

Deoarece 𝜕𝐸

∇𝐸𝑝 ∙ 𝑑𝑟̅ = ( 𝜕𝑥𝑝 𝑖̅ + 𝜕𝐸𝑝 𝜕𝑥

putem scrie:

𝑑𝑥 +

𝜕𝐸𝑝

𝜕𝐸𝑝 𝜕𝑦

𝑗̅ +

𝜕𝑧

𝑘̅) (𝑑𝑥𝑖̅ + 𝑑𝑦𝑗̅ + 𝑑𝑧𝑘̅) =

𝜕𝐸𝑝 𝜕𝑧

𝑑𝑧 = 𝑑𝐸𝑝

(34)

(35)

𝐵 𝐵 𝐵 𝐿𝐴𝐵 = ∫𝐴 𝛿𝐿 = ∫𝐴 𝐹̅ ∙ 𝑑𝑟̅ = − ∫𝐴 𝑑𝐸𝑝

𝐿𝐴𝐵 = −(𝐸𝑝𝐵 − 𝐸𝑝𝐴 ) 𝐿𝐴𝐵 = −∆𝐸𝑝

𝜕𝐸𝑝

𝑑𝑦 +

𝛿𝐿 = −𝑑𝐸𝑝

Astfel, vom obţine: sau

𝜕𝑦

(36)

(37) (38)

Relaţia (38) arată că variaţia energiei potenţiale a unui sistem fizic este egală cu”minus” lucru mecanic. Deoarece, de regulă, energia potenţială a stării iniţiale este nulă, 𝐸𝑝𝐴 = 0, obţinem: 𝐸𝑝 = −𝐿

(39)

adică, energia potenţială a punctului material într-un punct este egală cu lucrul mecanic efectuat de forţa 𝐹̅ , luat cu semn schimbat, atunci când punctul material este deplasat din poziţia iniţială în punctul respectiv. 2.3.1. ENERGIA POTENŢIALĂ GRAVITAŢIONALĂ Să considerăm un sistem fizic aflat în interacţiune, format dintr- un corp de masă m aflat la o anumită înălţime faţă de suprafaţa pământului şi Pământul (figura 3). Starea sistemului Corp- Pământ aflat în interacţiune gravitaţională este caracterizată de energia potenţială gravitaţională, deoarece părţile sistemului interacţionează prin forţe de atracţie gravitaţională care sunt de tip conservativ. Pentru a exprima energia potenţială a unui sistem izolat de alte corpuri, trebuie alegem o suprafaţă de referinţă căreia îi atribuim prin convenţie o valoare a energiei potenţiale nulă. De exeplu, în cazul sistemului considerat, putem alege ca suprafaţă de referinţă pe cea a Pământului şi astfel, când corpul se află pe aceasta energia potenţială a sistemului va fi nulă. Energia potenţială în acest caz va fi dată de relaţia: ℎ

𝐸𝑝 = ∫0 𝐺𝑑𝑦 = 𝑚𝑔ℎ

𝑨 ̅ 𝑮 𝒉 𝑷 Figura 3. Interacţiunea gravitaţională în sistemul corp-Pământ.

(40)

3-9


Ionuţ VLĂDOIU

2.3.2. ENERGIA POTENŢIALĂ ELASTICĂ Să considerăm un sistem format dintr- un resort elastic fixat la un capăt şi un corp la celălalt capăt, asupra căruia acţionează o forţă elastică (figura 4). Forţele elastice fiind conservative şi deoarece sistemul resort-corp îşi modifică configuraţia îi putem atribui energie potenţială elastică. Având în vedere teorema de conservare a energiei cinetice, putem scrie: 𝐿 = −∆𝐸𝑝

(41)

unde 𝐿 = −𝐹𝑒 𝑑𝑥 este lucrul mecanic efectuat de forţa elastică. Astfel, putem scrie: 𝑥

𝐸𝑝 = − ∫0 𝐹𝑒 𝑑𝑥

(42)

Deoarece 𝐹𝑒 = −𝑘𝑥, k fiind constanta elastică a resortului, obţinem: 𝑥

𝑥

𝑥2

𝐸𝑝 = ∫0 𝑘𝑥𝑑𝑥 = 𝑘 ∫0 𝑑 ( 2 ) 𝐸𝑝 = 𝑘

adică:

𝑥2 2

Figura 4. Energia potenţială elestică în sistemul corp-resort.

(43) (44)

Aplicaţia 8. O sferă de masă 𝑚 = 0,5 𝑘𝑔 este atârnată de un fir cu lungimea 𝑙 = 1 𝑚 aflat în poziţie verticală. Sfera primeşte un impuls care îi imprimă o viteză iniţială 𝑣0 = 4 𝑚𝑠 −1.

𝜶 𝟐

l

(A) Determinaţi unghiul făcut de fir cu verticala când sfera se opreşte. Rezolvare La deplasare corpului din punctul A în punctul B lucrul mecanic efectuat este:

𝑩 𝒉𝑩 𝑨

𝑪

𝐿 = ∆𝐸𝑐 = −∆𝐸𝑝 adică: 𝑚𝑣𝐴2 𝐸𝑐𝐴 + 𝐸𝑝𝐴 = 𝐸𝑐𝐵 + 𝐸𝑝𝐵 ⇒ + 0 = 0 + 𝑚𝑔ℎ𝐵 2 Dar

𝑐𝑜𝑠𝛼 =

𝑙−ℎ𝐵 𝑙

⇒ ℎ𝐵 = 𝑙(1 − 𝑐𝑜𝑠𝛼).

Înlocuim şi obţinem: 2 𝑚𝑣𝐴

2

= 𝑚𝑔𝑙(1 − 𝑐𝑜𝑠𝛼)

𝑣2

𝐴 ⇒ 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 1 − 2𝑔𝑙 = 0,2 ⇒ 𝛼 = 78°

(B) Care este energia potenţială pentru un unghi 𝛼/2. Rezolvare Energia potenţială în punctul C este: 𝛼

𝐸𝑝𝑐 = 𝑚𝑔ℎ𝐶 = 𝑚𝑔(1 − 𝑐𝑜𝑠 2 )=1,115 J

3 - 10


Ionuţ VLĂDOIU

2.4. TEOREMA DE CONSERVARE A ENERGIEI MECANICE În cazul forţelor conservative, prin compararea relaţiilor (29) şi (38), obţinem: ∆𝐸𝑐 = −∆𝐸𝑝

(45)

de unde: ∆(𝐸𝑐 + 𝐸𝑝) = 0

(46)

𝐸𝑐 + 𝐸𝑝 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

(47)

adică

Această concluzie reprezintă legea conservării energiei mecanice, care afirmă că: „atunci când asupra punctului material acţionează numai forţe conservative energia mecanică rămâne constantă în timp”. Aplicaţia 9. Un corp cade liber de la înălţimea ℎ𝑖 faţă de sol. Stabiliţi expresia vitezei cu care acesta ajunge la sol. Rezolvare Aplicând teorema de conservare a energiei cinetice în sistemul corp- pământ avem:

Dar în starea iniţială viteza corpului este nulă 𝑣𝑖 = 0, iar energia potenţială la suprafaţa pământului este şi ea nulă: 𝐸𝑝𝑓 = 𝑚𝑔ℎ𝑓 = 0, astfel încât obţinem: 0 + 𝑚𝑔ℎ𝑖 =

𝑚𝑣𝑓2 + 0 ⇒ 𝑣𝑓 = √2𝑚𝑔ℎ𝑖 2

𝐸𝑐𝑖 + 𝐸𝑝𝑖 = 𝐸𝑐𝑓 + 𝐸𝑝𝑓 𝑚𝑣𝑖2 2

+ 𝑚𝑔ℎ𝑖 =

𝑚𝑣𝑓2 2

+ 𝑚𝑔ℎ𝑓

Aplicaţia 10. Un resort ideal care se deformează cu 𝛥𝑙 = 0,4 m când este acţionat cu o forţă 𝐹 = 120 𝑁 este fixat la baza unui plan înclinat având unghiul 𝛼 = 30°. Din vârful planului este lăsat liber, fără viteză iniţială, un corp cu masa 𝑚 = 3 𝑘𝑔 care ajunge în repaus după ce comprimă resortul cu 𝛥𝑙𝑚𝑎𝑥 = 0,6 𝑚. Se eglijează frecările. (A) Determinaţi spaţiul maxim parcurs de corp pe plan. Rezolvare Considerând că 𝑣 este viteza corpului în momentul lovirii capătului liber al resortului şi aplicânt legea conservării energiei mecanice la comprimarea arcului obţinem:

𝒎 𝒍 𝒌 𝜶 relaţia: 𝐹 = 𝑘𝛥𝑙 ⇒ k =

𝐹 𝛥𝑙

= 300𝑁𝑚−1 .

Spaţiul maxim parcurs este: 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 𝑙 + 𝛥𝑙𝑚𝑎𝑥 = 4,2 𝑚. (B) Care este viteza corpului în momentul lovirii arcului.

3 - 11


𝑚𝑣𝑖2 2

+

𝑘𝑥𝑖2 2

=

𝑚𝑣𝑓2 2

+

𝑘𝑥𝑓2

Rezolvare

2

unde 𝑥𝑖 = ∆𝑙𝑖 = 0 deoarece resortul nu este deformat şi energia potenţială în acest caz este nulă, iar 𝑣𝑓 = 0 deoarece, la comprimarea maximă a resortului corpul se va opri. Astfel, va rezulta: 𝑚𝑣 2 2

+0= 0+

2 𝑘 𝛥𝑙𝑚𝑎𝑥

2

.

2 𝛥𝑙𝑚𝑎𝑥

Viteza corpului în momentul lovirii resortului este: 𝑚𝑣 2 2

=


2

𝑘

⇒ 𝑣 = 𝛥𝑙𝑚𝑎𝑥 √ = 6𝑚𝑠 −1. 𝑚

(C) Care este energia potenţială maximă de deformare a resortului. Rezolvare

Din legea lui Galilei obţinem: 𝑣 2 = 2𝑔ℎ, unde ℎ = 𝑙 𝑠𝑖𝑛𝛼. Înlocuind în relaţia precedentă obţinem: 2𝑚𝑔𝑙 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝑘

Ionuţ VLĂDOIU


⇒ 𝑙 = 2𝑚𝑔 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 3,6 𝑚

Energia potenţială maximă se atinge atunci când resortul este deformat la maxim, adică: 𝐸𝑝𝑚𝑎𝑥 =


2

= 36 𝐽.

unde constanta elastică am determinat- o din

3. TEOREMA DE VARIAŢIE ŞI CONSERVARE A MOMENTULUI CINETIC ̅ măsoară efectul de rotaţie pe care îl produce o forţă Momentul forţei 𝑀 asupra unui corp rigid. Momentul forţei (sau momentul de rotaţie) în raport cu o axăde rotaţie Δ sau centru de rotaţie O (figura 5) se defineşte prin relaţia: ̅ = 𝑟̅ × 𝐹̅ 𝑀

(48)

Ţinând cont de relaţia produsului vectorial a doi vectori: 𝑎̅ × 𝑏̅ = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼, relaţia de mai sus poate fi scrisă: 𝑀 = 𝑟 𝐹 𝑠𝑖𝑛𝛼

(49)

𝑀= 𝐹𝑏

(50)

sau

∆

unde 𝑏 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝛼 reprezintă braţul forţei. Momentul forţei este un vector perpendicular pe planul format de vectorii 𝑟̅ şi 𝐹̅, orientat în sensul înaintării unui burghiu aşezat perpendicular pe planul menţionat şi care se roteşte în sensul aducerii vectorului 𝑟̅ peste vectorul 𝐹̅ pe drumul cel mai scurt, astfel încât aceşti vectorii să devină paraleli.

̅ 𝑭

̅ 𝑴

𝑶

𝒓̅

𝜶

Figura 5. Momentul forţei ce măsoară efectul de rotaţie produs de o forţă.

3 - 12


Ionuţ VLĂDOIU

Unitatea de măsură a momentului forţei este: [𝑀] = 𝑀𝐿2 𝑇 −2 , [𝑀]𝑆.𝐼. = 1𝑁𝑚

(51)

Momentul cinetic 𝐿̅ al unui punct material aflat în mişcare de rotaţie pe o traiectorie circulară, în jurul unei axe (centru) de rotaţie (figura 6) este dat de relaţia: 𝐿̅ = 𝑟̅ × 𝑝̅ = 𝑟̅ × (m𝑣̅ ) sau

(52)

L = 𝑟 ∙ 𝑝 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼

(53)

Unitatea de măsură a momentului cinetic este: [𝐿] = 𝑀𝐿2 𝑇 −1 , [𝐿]𝑆𝐼 = [𝑟]𝑆𝐼 ∙ [𝑝]𝑆𝐼 = 1𝑚𝑁𝑠 = 1 𝐽𝑠

(54)

Derivând relaţia (52) în raport cu timpul şi ţinând cont de principiul al doilea al dinamicii vom avea: 𝑑𝐿̅ 𝑑𝑡

𝑑

= 𝑑𝑡 (𝑟̅ × 𝑝̅ ) 𝑑𝐿̅

sau

𝑑𝑡

=

𝑑𝑟̅ 𝑑𝑡

O

(55) 𝑑𝑝̅

× 𝑝̅ + 𝑟̅ × 𝑑𝑡

𝑑𝑡

𝑑𝐿̅ = 𝑣̅ × 𝑝̅ + 𝑟̅ × 𝐹̅ ⇒ 𝑑𝑡 = 𝑣̅ × (𝑚𝑣̅ ) + 𝑟̅ × 𝐹̅

̅ 𝒑

𝒓̅ m

(56)

Va rezulta: 𝑑𝐿̅

𝑳̅

Figura 6. Momentul cinetic ce carcterizează mişcarea de rotaţie a corpululi de masă m.

(57) Luând în considerare proprietatea produsului vectorial: 𝑎̅ × 𝑎̅ = 0 şi relaţia de definţie a momentului forţei (relaţia 48) vom obţine: 𝑑𝐿̅ 𝑑𝑡

̅ =𝑀

(58)

̅ 𝑑𝑡, care prin integrare va conduce la: Scriind relaţia de mai sus sub forma: 𝑑𝐿̅ = 𝑀 𝑡2 𝑡2 ̅ 𝑑𝑡 ∫𝑡1 𝑑𝐿̅ = ∫𝑡1 𝑀

(59)

̅ = ∫𝑡2 𝑀 ̅ 𝑑𝑡, numită impulsul momentului forţei rezultante ce Introducând mărimea 𝐾 𝑡 1

acţionează asupra punctului material, obţinem: 𝑡2 ̅ ⇒ 𝐿̅2 − 𝐿̅1 = 𝐾 ̅ ⇒ ∆𝐿̅ = 𝐾 ̅ ∫𝑡1 𝑑𝐿̅ = 𝐾

(60) 3 - 13


Ionuţ VLĂDOIU

Relaţia (60) reprezintă teorema de variaţie a momentului cinetic, care afirmă: „variaţia momentului cinetic al unui punct material este egală cu impulsul momentului forţei rezultante care acţionează asupra punctuli material”. Dacă

̅ =0⇒𝐾 ̅ = 0 ⇒ ∆𝐿̅ = 0 ⇒ 𝐿̅2 = 𝐿̅1 ⇒ 𝐿̅ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. 𝑀

(61)

Relaţia (61) reprezintă teorema de conservare a momentului cinetic, care afirmă: „atunci când momentul forţei rezultante care acţionează asupra unui punct material este nul, momentul cinetic al acestuia se conservă”. Aplicaţia 11. Un corp cu masa 𝑚 = 2𝑘𝑔 este aşezat pe o scândură orizontală care este prinsă la un capăt. Corpul se află la distanţa 𝑑 = 5 𝑐𝑚 faţă de acest capăt. Cunoscând lungimea scândurii 𝑙 = 20 𝑐𝑚 şi că putem neglija masa sa, determinaţi valoarea şi sensul forţei care menţine scânduraîn echilibru.

d

̅ 𝑮

l

Rezolvare Pentru ca scândura să rămână orizpntală trebuie carezultanta momentelor forţelor ce acţionează asupra ei să fie nulă.. Astfel, alegând sensul pozitiv pentru momentele care rotesc scândura în sens trigonometric, vom avea:

𝑀𝐹 − 𝑀𝐺 = 0 ⇒ 𝐹𝑙 = 𝐺𝑑 ⇒ 𝐹 =

𝐺𝑑 𝑙

=5𝑁

Se observă că forţa trebuie aplicată în sus şi că aceasta este mai mică decât G.

3 - 14

Capitolul IV

OSCILAŢII MECANICE

CUPRINS 1. OSCILATORUL LINIAR ARMONIC ..................................................................................... 2 1.1. MĂRIMI CARACTERISTICE MIŞCĂRII OSCILATORII .................................................. 2 1.2. ENERGIA OSCILATORULUI ARMONIC ....................................................................... 7 2. OSCILAŢII AMORTIZATE .................................................................................................. 9 2.1. FACTORUL DE CALITATE AL OSCILAŢIILOR AMORTIZATE .....................................12 3. OSCILAŢII FORŢATE. REZONANŢA ................................................................................13 3.1. APLICAŢII ALE REZONANŢEI ...................................................................................16 4. COMPUNEREA OSCILAŢIILOR ARMONICE.....................................................................18 4.1. COMPUNEREA OSCILAŢIILOR PARALELE CU ACEEAŞI FRECVENŢĂ .....................18 4.1.1. METODA ANALITICĂ ......................................................................................... 18 4.1.2. METODA FAZORIALĂ ........................................................................................ 19 4.2. COMPUNEREA OSCILAŢIILOR PARALELE CU FRECVENŢE DIFERITE ....................20 4.2. COMPUNEREA OSCILAŢIILOR ARMONICE PERPENDICULARE ............................... 22 4.2.1. OSCILAŢII ARMONICE CU ACEEAŞI PULSAŢIE .................................................22 4.2.2. OSCILAŢII ARMONICE DE PULSAŢII DIFERITE .................................................24

Ionuţ VLĂDOIU

OSCILAŢII MECANICE

OSCILAŢII MECANICE 1. OSCILATORUL LINIAR ARMONIC În natură apar multe tipuri de fenomene repetitive, de la orbitele electronilor în atom, până la reapariţia Cometei Halley la fiecare 75 de ani. Civilizaţiile străvechi atribuiau fenomele repetitive, precum anotimpurile, ciclicităţii naturii timpului însăşi, dar în prezent aceste fenomene pot fi explicate fără a apela la presupuneri mistice. De exemplu, presupunând că orbita Cometei Halley nu este o elipsă care se închide singură la fiecare mişcare de revoluţie şi decidem să trasăm cu un creion pe hârtie o traiectorie aleatorie care nu se repetă niciodată. Nu vom putea să desenem prea mult timp fără a intersecta o traiectorie anterioară. Acest moment corespunde celui în care Cometa trece printr- o poziţie anterioară şi cum energia ei potenţială va avea aceeaşi valoare ca cea din momentul în care a trecut anterior prin aceaşi poziţie, legea de conservare a energiei impune ca, în acel punct, aceasta să fi avut şi aceeaşi valoare a energiei cinetice şi, prin urmare, aceeaşi valoare a vitezei. În plus, direcţia de mişcare a Cometei nu poate fi aleasă aleatoriu deoarece trebuie să fie respectată şi legea de conservare a momentului cinetic. Astfel, legile de conservare furnizează un motiv întemeiat asupra multitudinii de mişcări repetitive existente în natură. Făcând o trecere la nivel subatomic, unde electronii se mişcă repetitiv pe anumite orbite în jurul nucleului, putem afirma că particulele ce alcătuiesc materia formează construcţii care vibrează (oscilează). Mai mult, descoperirile iniţiate de Einstein, făcute la începutul secolului XX au lansat ipoteza că particulele subatomice sunt de fapt unde, ipoteză ce şi-a găsit ulterior confirmarea experimentală. În acest nou mod de interpretare a lumii materiale, vibraţiile şi undele sunt fundamentale, iar formarea materiei reprezintă doar unul din „trucurile” făcute de unde.

1.1. MĂRIMI CARACTERISTICE MIŞCĂRII OSCILATORII Plecând de la exemplele de mai sus putem evidenţia şi alte exemple de oscilaţii pe care le regăsim frecvent în jurul nostru. Astfel, vibraţia scoarţei terestre în timpul cutremurelor, a corzilor vocale şi corzilor instrumentelor muzicale, mişcarea de agitaţie termică care conduce la încălzirea recipientului în care se toarnă un lichid fierbinte, vibraţiile clădirilor şi mişcarea pendulelor, mişcarea coloanei de mercur a unui termometru, etc., reprezintă cazuri în care se produc oscilaţii. Astfel, putem definii mişcarea oscilatorie ca fiind deplasarea unui punct material de o parte şi de alta a unei poziţii de echilibru, punctul material care execută o astfel de mişcare numindu- se oscilator.

4-2

Ionuţ VLĂDOIU

OSCILAŢII MECANICE

Intervalul de timp după care punctul material trece din nou prin aceeaşi poziţie se numeşte perioada mişcării oscilatorii T şi este dată de relaţia: 𝑇=

∆𝑡

(1)

𝑁

unde ∆𝑡 este timpul în care se efectuază N oscilaţii complete, [𝑇]𝑆𝐼 = 1𝑠. O altă mărime ce caracterizează mişcarea de oscilaţie este frecvenţa 𝜈 a oscilaţiei, care exprimă numărul de oscilaţii efectuate unitatea de timp: 𝑁

𝜈 = ∆𝑡

(2) 1

unde [𝜈]𝑆𝐼 = 𝑠 −1 = 1𝐻𝑧. Din realţiile (1) şi (2) obţinem: 1

𝜈=𝑇

(3)

Ţinând cont de faptul că, viteza unghiulară sau pulsaţia mişcării circulare, care este un tip de mişcare oscilatorie, este dată de relaţia: 𝜔 = 2𝜋𝜈

(4)

putem scrie: 1

𝑇=𝜈=

2𝜋 𝜔

(5)

Se observă că perioada oscilaţiilor armonice depinde doar de proprietăţile oscilatorului (figura 1) şi nu depinde de caracteristicile mişcării. Acest rezultat reprezintă legea izocronismului micilor oscilaţii, adică oscilaţiile mici sunt izocrone, deci perioada lor nu depinde de amplitudinea mişcării oscilatorii. Aplicaţia 1. Frecvenţa unui post de radio este 98,0 MHz. Ce înseamnă asta şi cărei perioade corespunde? Rezolvare Undele radio emise de antena postului respectiv vibrează de 98,0 milioane de ori pe secundă. Această vibraţie corespunde unei perioade de:

1

T = ν = 1,02 ∙ 10−8 s Acest exemplu ilustrează de ce, în mod normal, folosim frecvenţa şi nu perioada oscilaţiei undelor radio. S-ar putea spune că radioul respectiv emite unde cu perioada de 10,2 ns, dar marea majoritate a oamenilor sunt obişnuiţi cu valorile mari ale prefixurilor din sistemul metric.

Analizând sistemele fizice din figura 1, la o primă vedere ele par a avea foarte puţine elemente în comun:  în figura 1.a este reprezentat un pendul simplu, alcătuit dintr un corp de masă m care se mişcă la capătul unui fir rigid de lungime l;  în figura 1.b un disc plat este suţinut de un fir rigid ce trece prin centrul său şi care oscilează unghiular în planul circumferinţei sale; 4-3

Ionuţ VLĂDOIU

OSCILAŢII MECANICE

 în figura 1.c un corp de masă 𝑚 este prins de un resort elastic de constantă k ce se deplasează, fără frecare, în lungul axei ox;  în figura 1.d prin centrul unei sfere de masă m este trecut un fir de lungime 2l, fixat la ambele capete astfel încât tensiunea 𝑇 în ambele fire să fie constantă;  în figura 1.e este un tub în formă de U, având aria secţiunii constantă şi care conţine un lichid de densitate constantă 𝜌 ce oscilează în jurul poziţiei de echilibru;  în figura 1.f este un circuit oscilant, format dintr- o bobină de inductanţă 𝐿 şi un condensator de capacitate 𝐶, încărcat cu o sarcină 𝑞. Toate aceste sisteme sunt oscilatori armonici simpli, atunci când sunt puţin perturbaţi faţă de poziţia lor de echilibru. Acesta este cazul fundamental al vibraţiei unei particule sau un sistem unidimensional. La o deplasare mică 𝑥 faţă de poziţia de echilibru va apare o forţă care va tinde să-l readucă în poziţia sa iniţială, adică orientată spre poziţia sa de echilibru stabil. Forţa sub acţiunea căreia sistemul revine în poziţia de echilibru poate fi scrisă sub forma: 𝑚𝑎 = −𝑘𝑥

sau

𝑚𝑥̈ + 𝑘𝑥 = 0

(6)

unde k este o constantă de proporţionalitate, semnul minus indicând că forţa

𝑙 𝑇 = 2𝜋 𝑔

(a)

𝑇 = 2𝜋

(d)

𝑙𝑚 2𝑇

𝑇 = 2𝜋

𝐼 𝑇 = 2𝜋 𝑐

(c)

(b)

𝑇 = 2𝜋

(e)

𝑚 𝑘

𝑙 2𝑔

𝑇 = 2𝜋 𝐿𝐶

(f)

Figura 1. Oscilatori armonici simpli şi perioada lor de oscilaţie. (a) Pendulul simplu. (b) Pendulul de torsiune. (c) Pendulul elastic. (d) Masă în centrul unei coarde de tensiune constantă T. (e) Lichid de lungime l într- un tub în formă de U, de secţiune constantă. (f) Circuit electric LC oscilant.

4-4

Ionuţ VLĂDOIU

OSCILAŢII MECANICE

acţionează în sens opus direcţiei de mişcare. Un exemplu de astfel de forţă este forţă elastică, aceasta fiind proporţională cu deplasarea punctului material faţă de poziţia de echilibru şi fiind orientată spre aceasta, în acest caz k reprezentând o constantă elastică. Mişcarea punctului material sub acţiunea acestei forţe se numeşte mişcare oscilatorie armonică. Împărţind relaţia de mai sus la masa m a oscilatorului şi notând cu 𝜔0 =

𝑘 𝑚

pulsaţia proprie sau pulsaţia oscilaţiilor libere a oscilatorului, obţinem:

𝑥̈ + 𝜔02 𝑥 = 0

(7)

Aceasta este o ecuaţie diferenţială liniară şi omogenă, de ordinul al doilea, a cărei soluţie este de forma: 𝑥 = 𝐶1 𝑠𝑖𝑛 𝜔0 𝑡 + 𝐶2 𝑐𝑜𝑠 𝜔0 𝑡

(8)

unde C1 şi C2 sunt două constante arbitrare de integrare. Dacă facem notaţiile:

𝐶1 𝐶2

= 𝑐𝑡𝑔𝜑 şi

𝐶2 𝑠𝑖𝑛𝜑

= 𝐴 obţinem forma echivalentă a ecuaţiei (8):

𝑥 = 𝐶2 ∙ 𝑐𝑡𝑔𝜑 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝜔0 𝑡 + 𝐴 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜑 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜔0 𝑡

(9)

sau 𝑥 = 𝐴[𝑠𝑖𝑛 𝜔0 𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑠𝑖𝑛𝜑 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜔0 𝑡]

(10)

Utilizând formula: 𝑠𝑖𝑛(𝑎 + 𝑏) = 𝑠𝑖𝑛𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑏 + 𝑐𝑜𝑠𝑎 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝑏, relaţia de mai sus devine: 𝑥 = 𝐴𝑠𝑖𝑛 (𝜔0 𝑡 + 𝜑)

(11)

Relaţia (11) ne permite să determinăm depărtarea x a punctului material, la un moment dat, faţă de poziţia sa de echilibru, adică elongaţia mişcării, iar 𝐴 = 𝑥𝑚𝑎𝑥 se numeşte amplitudinea mişcării de oscilaţie. Deoarece valorile limită ale funcţiei 𝑠𝑖𝑛 (𝜔0 𝑡 + 𝜑) sunt ±1, sistemul va oscila între valorile 𝑥 = ±𝐴. Argumentul (𝜔0 𝑡 + 𝜑) reprezintă faza mişcării, iar 𝜑 este faza iniţială (faza la momentul 𝑡 = 0). Această denumire este legată de faptul că adesea, mişcarea oscilatorului armonic este asemănată cu mişcarea circulară deoarece fiecare valoare posibilă a elongaţiei x poate fi reprezentată prin proiecţia unui vector de poziţie de lungime constantă pe diametrul unui traiectorii circulare descrise de mişcarea vectorului de poziţie în timpul rotaţiei în sensul trigonometric, cu viteză unghiulară constantă (figura 2). Fiecare rotaţie, ce corespunde unui unghi descris de vectorul de poziţie egal cu 2πrad, reprezintă o oscilaţie completă. Prin derivarea relaţiei (11) în raport cu timpul obţinem viteza de oscilaţie: 𝑣 = 𝑥̇ = 𝜔0 𝐴 𝑐𝑜𝑠 (𝜔0 𝑡 + 𝜑)

(12)

4-5

Ionuţ VLĂDOIU

OSCILAŢII MECANICE

Figura 2. Variaţia sinusoidală a elongaţiei oscilatorului armonic, în timp, pentru diferite valori ale fazei iniţiale a mişcării.

iar acceleraţia oscilatorului va fi dată de relaţia: 𝑎 = 𝑥̈ = −𝜔02 𝐴 𝑠𝑖𝑛 (𝜔0 𝑡 + 𝜑)

(13)

Din (12) şi (13) se poate observa că între viteză şi elongaţie este o diferenţă 𝜋 de fază de 2 iar între acceleraţie şi elongaţie diferenţa de fază este 𝜋. Aplicaţia 2. Determinaţi expresiile vitezei maxime 𝒗𝒎𝒂𝒙 şi a acceleraţiei maxime 𝒂𝒎𝒂𝒙 a oscilatorului. Rezolvare Viteza maximă a mişcării oscilatorii se obţine punând condiţia ca 𝒄𝒐𝒔 (𝝎𝟎 𝒕 + 𝝋) = 𝟏. În acest caz, din relaţia (12) se obţine: Aplicaţia 3. Expresia 𝑭 = 𝒎𝒂 este o ecuaţie diferenţială, adică o ecuaţie ce implică existenţa unor derivate. În cazul nostru, am presupus că 𝑭 = 𝑭𝒆𝒍 = −𝒌𝒙 şi am obţinut ecuaţia diferenţială de mişcare a oscilatorului având forma dată de relaţia

(6):

𝒎𝒙̈ + 𝒌𝒙 = 𝟎,

unde

𝒙̈ =

𝒅𝟐 𝒙 𝒅𝒕𝟐

.

În

matematică există tehnici speciale pentru rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale. Folosind o astfel de metodă demonstraţi că 𝒙 = 𝑨 𝒄𝒐𝒔 (𝝎𝟎 𝒕 + 𝝋) este tot o soluţie a ecuaţiei (6). Rezolvare Plecând de la relaţia pe care am presupuso soluţie a ecuaţiei de mişcare, 𝒙 = 𝑨 𝒄𝒐𝒔 (𝝎𝟎 𝒕 + 𝝋), obţinem:

𝑣𝑚𝑎𝑥 = 𝜔0 𝐴 Analog, punând condiţia ca 𝑠𝑖𝑛 (𝜔0 𝑡 + 𝜑) = −1, din relaţia (13) obţinem: 𝑎𝑚𝑎𝑥 = 𝜔02 𝐴 .

Înlocuind aceste relaţii în ecuaţia diferenţială a mişcării 𝑚𝑥̈ + 𝑘𝑥 = 0 va rezulta: −𝑚𝜔02 𝐴 𝑐𝑜𝑠 (𝜔0 𝑡 + 𝜑) + 𝑘𝐴 𝑐𝑜𝑠 (𝜔0 𝑡 + 𝜑) = 0 sau −𝑚𝜔02 + 𝑘 = 0 Astfel 𝜔0 =

𝑘 𝑚

adică chiar frecvenţa oscilaţiilor proprii ale oscilatorului armonic, ceea ce înseamnă că 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 (𝜔0 𝑡 + 𝜑), este soluţie a ecuaţiei diferenţiale a mişcării.

𝒙̇ = −𝝎𝟎 𝑨 𝒔𝒊𝒏 (𝝎𝟎 𝒕 + 𝝋)

4-6

Ionuţ VLĂDOIU

OSCILAŢII MECANICE

𝒙̈ = −𝝎𝟐𝟎 𝑨 𝒄𝒐𝒔 (𝝎𝟎 𝒕 + 𝝋)

Constantele A şi 𝜑 se determină din condiţiile iniţiale, adică: 𝑥0 = 𝑥 |𝑡=0

şi

𝑣0 = 𝑣|𝑡=0

(14)

Astfel, vom avea: {

𝑥0 = 𝐴𝑠𝑖𝑛 𝜑 𝑣0 = 𝜔0 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜑

(15)

Utilizând identitatea trigonometrică 𝑠𝑖𝑛2 𝜑 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜑 = 1, obţinem relaţia: 𝑥02 𝐴2

𝑣2

+ 𝜔20𝐴2 = 1 ⇒ 𝐴 = 0

𝑣2

𝑥02 + 𝜔02

(16)

0

Împărţind membru cu membru ecuaţiile (19) obţinem: 𝑥0

𝑡𝑔𝜑 = 𝜔

(17)

0 𝑣0

Astfel, soluţia ecuaţiei de mişcare se poate scrie: 𝑥=

𝑣2

𝑥0

𝑥02 + 𝜔02 𝑠𝑖𝑛 [𝜔0 𝑡 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝜔

0 𝑣0

0

]

(18)

1.2. ENERGIA OSCILATORULUI ARMONIC Energia cinetică a oscilatorului armonic este dată de relaţia: 𝐸𝐶 =

𝑚𝑣 2 2

(19)

Ţinând cont de relaţia (12), obţinem: 𝐸𝐶 =

𝑚𝜔02 𝐴2 2

𝑐𝑜𝑠 2 (𝜔0 𝑡 + 𝜑)

(20)

Deorece mişcarea oscilatorie se efectuează sub acţiunea unor forţe de tip elastic, energia potenţială a oscilatorului va fi dată de relaţia: 𝐸𝑝 =

𝑘𝑥 2 2

(21)

Înlocuind relaţia (11) în relaţia de mai sus obţinem: 𝐸𝑝 =

𝑘𝐴2 2

𝑠𝑖𝑛2 (𝜔0 𝑡 + 𝜑)

(22)

Figura 3 Reprezentarea energiilor cinetice şi potenţiale ale oscilatorului armonic în funcţie de elongaţia mişcării. La orice valoare a elongaţiei suma acestor două energii rămâne constantă, adică E= const.

4-7

Ionuţ VLĂDOIU

OSCILAŢII MECANICE

Astfel, energia totală a oscilatorului armonic este dată de relaţia: 𝐸 = 𝐸𝐶 + 𝐸𝑝 =

𝑘𝐴2 2

=

𝑚𝜔02 𝐴2 2

= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

(23)

Aşadar, energia oscilatorului armonic rămâne constantă la orice moment de timp şi este proporţională cu pătratul amplitudinii. Pe parcursul mişcării oscilatorului are loc o transformare reciprocă a energiei cinetice în energie potenţială, astfel încât, energia oscilatorului se conservă (figura 3). Aplicaţia 4. Două resorturi de constante elastice k1 şi k2 sunt legate de un corp de masă m ca în figură. Considerând frecarea dintre corp şi suprafaţă nulă şi că masele resoartelor sunt neglijabile, determinaţi constanta elastică echivalentă în fiecare caz. Rezolvare Cazul I Resorturile sunt legate în paralel Presupunând o deplasare x a corpului, forţele exercitate asupa corpului pentru a-l readuce în poziţia de echilibru sunt: ∑ 𝐅 = 𝐦𝐠 ⇒ 𝐅𝟏 + 𝐅𝟐 = 𝐦𝐠 Dar: 𝐅𝟏 = −𝐤 𝟏 𝐱 şi 𝐅𝟐 = −𝐤 𝟐 𝐱, astfel încât:

Considerând mişcarea masei şi a resortului 2 putem scrie: f=-k1x1 Dar F=f deoarece produsul mg este acelaşi şi pentru masa m şi pentru masa plus resortul 2, deoarece acesta are masa zero: k1 x1 x1 + x2 Dar: k1 x1 = k 2 x2 (raportul deformărilor este invers proporţional cu cel al constantelor elastice), astfel încât: −(x1 + x2 )K = −k1 x1 ⇒ K =

K=

k1 x1 k1 k 2 1 1 1 = ⇒ = + k1 k + k K k k 2 1 1 2 x1 + k x1 2

Cazul III Resorturile sunt de o parte şi de alta a corpului:

−(𝐤 𝟏 + 𝐤 𝟐 )𝐱 = 𝐦𝐠 ⇒ −𝐊𝐦 = 𝐦𝐠 unde 𝐊 = 𝐤 𝟏 + 𝐤 𝟐 este constanta resortului echivalent. Cazul II Resorturile sunt legate în serie Presupunând o deplasare x1 a primului resort, respectiv x2 a celui de-al doilea resort, atunci distanta pe care se deplasează corpul va fi x1+x2. Forţa exercitată de cele două resorturi va fi:

Dacă resortul 1 este comprimat cu x, atunci resortul 2 este întins cu –x. Astfel: ∑ 𝐹 = 𝑚𝑎 −𝑘1 𝑥 + 𝑘2 (−𝑥) = 𝑚𝑎 ⇒ −(𝑘1 + 𝑘2 )𝑥 = 𝑚𝑎 de unde 𝐾 = 𝑘1 + 𝑘2 este constanta resortului echivalent.

𝐅 = −(𝐱𝟏 + 𝐱𝟐 )𝐊

4-8

Ionuţ VLĂDOIU

OSCILAŢII MECANICE

2. OSCILAŢII AMORTIZATE Datorită interacţiunii cu mediul în care efectuează oscilaţii, oscilatorul pierde energie datorită rezistenţei mediului sau a vâscozităţii acestuia. După cum am arătat, energia oscilatorului este proporţională cu pătratul amplitudinii, ceea ce înseamnă că în timp şi amplitudinea se reduce, adică oscilaţiile se amortizează. Să considerăm cazul în care particula oscilează într- un mediu în care forţa de rezistenţă este proporţională cu viteza particulei, fiind orientată în sens opus vitezei şi care se poate exprima prin relaţia: 𝐹 = −𝛾𝑣 = −𝛾𝑥̇

(24)

În acest caz, ecuaţia de mişcare a oscilatorului în mediul respectiv va fi: 𝑚𝑥̈ + 𝛾𝑥̇ + 𝑘𝑥 = 0

(25)

𝑥̈ + 2𝑏𝑥̇ + 𝜔02 𝑥 = 0

(26)

sau

𝛾

unde 𝑏 = 2𝑚 este coeficientul de amortizare, [b]S.I.= s-1, iar 𝜔0 =

𝑘 𝑚

este pulsaţia

proprie sau pulsaţia oscilaţiilor libere a oscilatorului. Soluţia ecuaţiei diferenţiale omogene a mişcării este de forma1: 𝑥 = 𝐶1 𝑒 𝑟1 + 𝐶2 𝑒 𝑟2

(27)

unde 𝐶1 şi 𝐶2 sunt două constante arbitrare de integrare, iar 𝑟1,2 = −𝑏 ± 𝑖𝜔 . Am notat 𝜔 = √𝜔02 − 𝑏2 frecvenţa oscilaţiilor amortizate sau pseudofrecvenţa, aceasta fiind mai mică decât frecvenţa oscilaţiilor proprii, deoarece frecarea cu mediul întârzie mişcarea şi măreşte perioada oscilaţiilor. Ţinând cont de notaţiile facute, putem scrie ecuaţia (27) sub forma: 𝑥 = 𝐶1 𝑒 (−𝑏+𝑖𝜔)𝑡 + 𝐶2 𝑒 (−𝑏−𝑖𝜔)𝑡

(28)

𝑥 = 𝑒 −𝑏𝑡 [𝐶1 𝑒 𝑖𝜔𝑡 + 𝐶2 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 ]

(29)

sau

Se disting trei situaţii:

1

Numărul constantelor de integrare permise în soluţia ecuaţiei diferenţiale este întotdeauna egal cu ordinul ecuaţiei. Cele două constante 𝐶1 şi 𝐶2 sunt permise deoarece ecuaţia (27) este o ecuaţie diferenţială de gradul al doilea. Valorile coeficienţilor sunt ajustate pentru a satisface condiţiile iniţiale.

4-9

Ionuţ VLĂDOIU

OSCILAŢII MECANICE

CAZUL I: 𝒃 < 𝝎𝟎 – în acest caz mişcarea este periodică Utilizând formula lui Euler: 𝑒 ±𝑖𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ± 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝑥, putem scrie relaţia de mai sus sub forma: 𝑥 = 𝑒 −𝑏𝑡 [(𝐶1 + 𝐶2 )𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝑖(𝐶1 − 𝐶2 )𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡] Dacă facem notaţiile:

𝑖(𝐶1 −𝐶2 ) 𝐶1 +𝐶2

= 𝑐𝑡𝑔𝜑 şi

𝐶1 +𝐶2 𝑠𝑖𝑛𝜑

(30) = 𝐴 obţinem forma echivalentă a

ecuaţiei (30): 𝑥 = 𝑒 −𝑏𝑡 [𝐴 𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + (𝐶1 + 𝐶2 ) 𝑐𝑡𝑔𝜑 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡]

(31)

adică 𝑥 = 𝑒 −𝑏𝑡 [𝐴 𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝐴 𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑐𝑡𝑔𝜑 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡]

(32)

𝑥 = 𝑒 −𝑏𝑡 [𝐴 𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝐴 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡]

(33)

sau

Scoatem factor comun constanta A şi obţinem: 𝑥 = 𝐴 𝑒 −𝑏𝑡 sin(𝜔𝑡 + 𝜑 )

(34)

𝑨 𝒆−𝒃𝒕

Relaţia (34) ne arată că punctul material are o mişcare oscilatorie de tip sinusoidal, dar cu amplitudinea descrescătoare exponenţial (figura 4). O astfel de mişcare este amortizată şi are perioada: 𝑇=

2𝜋 𝜔

=

2𝜋 𝜔02 −𝑏2

(35) Figura 4 Scăderea exponenţială a amplitudinii oscilaţiei amortizate. Amplitudinea scate cu 𝑒 −𝑏𝑡 .

Amortizarea oscilaţiilor se poate caracteriza cu ajutorul mărimii numite decrement logaritmic al amortizării, definită prin relaţia: 𝐴 𝑒 −𝑏𝑡

𝐷 = 𝑙𝑛 𝐴 𝑒 −𝑏(𝑡+𝑇) = 𝑙𝑛𝑒 𝑏𝑡 = 𝑏𝑇

(36)

Decrementul logaritmic al amortizării este o mărime adimensională. Viteza oscilaţiei va fi dată de relaţia: 𝑣 = 𝑥̇ = −𝑏𝐴 𝑒 −𝑏𝑡 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) + 𝜔𝐴 𝑒 −𝑏𝑡 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑)

(37)

𝑣 = 𝑥̇ = 𝐴 𝑒 −𝑏𝑡 [−𝑏 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) + 𝜔 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑)]

(38)

sau

4 - 10

Ionuţ VLĂDOIU

OSCILAŢII MECANICE

Constantele A şi 𝜑 se determină din condiţiile iniţiale: 𝑥0 = 𝑥 |𝑡=0

𝑣0 = 𝑣|𝑡=0

şi

(39)

Astfel, vom avea: 𝑥0 = 𝐴𝑠𝑖𝑛 𝜑0 { 𝑣0 = 𝐴 [−𝑏 𝑠𝑖𝑛 𝜑0 + 𝜔 𝑐𝑜𝑠𝜑0 ]

(40)

Utilizând identitatea trigonometrică 𝑠𝑖𝑛2 𝜑 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜑 = 1, obţinem relaţia: 𝑥02

+ 𝐴2

(𝑣0−𝑏𝑥0 )2 𝜔2 𝐴2

=1⇒𝐴=

𝑥02 +

(𝑣0−𝑏𝑥0 )2

(41)

𝜔2 𝐴2

Împărţind membru cu membru ecuaţiile (40) obţinem: 𝑡𝑔𝜑 =

𝑣0 −𝑏𝑥0

(42)

𝜔𝑥0

Astfel, soluţia ecuaţiei de mişcare se poate scrie: 𝑥=

𝑥02 +

(𝑣0−𝑏𝑥0 )2 𝜔2 𝐴2

𝑒 −𝑏𝑡 𝑐𝑜𝑠 [𝜔𝑡 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

𝑣0 −𝑏𝑥0 𝜔𝑥0

]

(43)

Astfel, energia oscilaţiilor amortizate va fi dată de relaţia: 𝐸 = 𝐸𝐶 + 𝐸𝑝 =

𝑚𝑣 2 2

+

𝑘𝑥 2 2

(44)

Înlocuind în relaţia de mai sus viteza şi elongaţia oscilaţiilor amortizate şi considerând că

𝑏 𝜔0

≪ 1 şi

𝐸 = 𝐸𝐶 + 𝐸𝑝 =

𝑘𝐴2 2

𝜔 𝜔0

𝑒 −2𝑏𝑡

≈ 1, vom obţine: (45)

CAZUL II: 𝒃 > 𝝎𝟎 – cazul mişcarii aperiodice În acest caz mişcarea nu mai este una oscilatorie, punctul material nu mai trece de o parte şi de alta a poziţiei de echilibru ci, teoretic, după un timp infinit de lung revine în poziţia de echilibru (figura 5). CAZUL III: 𝒃 = 𝝎𝟎 – cazul mişcarii aperiodice critice. În acest caz elongaţia tinde mai rapid spre valoarea zero(figura 6).

Figura 5 reprezentarea mişcării aperiodice

4 - 11

Ionuţ VLĂDOIU

OSCILAŢII MECANICE

Una din aplicaţiile importante ale amortizării oscilaţiilor este la sistemul de suspensie al automobilelor. Amortizoarele automobilelor preiau oscialţiile bruşte ale roţilor şi le amortizează, realizând astfel o protecţie atât a pasagerilor cât şi a elementelor componente ale acestora de şocuri puternice. Figura 6 reprezentarea mişcării

Şi clădirile înalte au sisteme de amortizare aperiodice critice care le protejează de vibraţiile puternice care apar în cazul furtunilor şi în cazul cutremurelor. De asemenea, casele au sisteme de amortizoare ce le protejează de zgomotele puternice (materialele izolatoare fonic utilizate în construcţii au rolul de a amortiza vibraţiile sonore).

2.1. FACTORUL DE CALITATE AL OSCILAŢIILOR AMORTIZATE Factorul de calitate 𝑄 al oscilaţiilor amortizate măsoară rata de scădere a energiei oscilatorului. Cum scăderea amplitudinii este exprimată de relaţia: 𝐴 = 𝐴0 𝑒 −𝑏𝑡

(46)

scăderea energiei este proporţională cu: 𝐴2 = 𝐴20 𝑒 (−𝑏𝑡)

2

(47)

Astfel, putem scrie: 𝐸 = 𝐸0 𝑒 −2𝑏𝑡

(48)

unde 𝐸0 reprezintă energia la momentul 𝑡 = 0. Timpul în care energia 𝐸 scade la valoarea 𝐸0 𝑒 −1 este dat de condiţia 1

𝑡 = 2𝑏 𝑠 pe durata căruia oscilatorul a vibrat pe

𝜔′ 2𝑏

𝑟𝑎𝑑.

Vom defini factorul de calitate 𝑄 prin relaţia: 𝜔′

𝑄 = 2𝑏

(49)

ce exprimă numărul de radiani pe parcursul cărora amortizarea oscilaţiilor şi a energiei corespunzătoare scade la valoarea: 𝐸 = 𝐸0 𝑒 −1

(50)

Pentru coeficienţi de rezistenţă 𝛾 mici, factorul de calitate este foarte mare, astfel încât 𝜔02 ≫ 𝑏2 şi 𝜔′ ≈ 𝜔0 , iar relaţia (49) devine: 𝑄=

𝜔0 2𝑏

(51) 4 - 12

Ionuţ VLĂDOIU

OSCILAŢII MECANICE

care este o constantă a sistemului amortizat. Întroducând relaţia (51) în relaţia (48), vom avea: 𝐸 = 𝐸0 𝑒

𝜔 − 0𝑡

(52)

𝑄

Deoarece 𝑄 este o constantă, raportul dintre energia înmagazinată în sistem şi cea pierdută pe un ciclu să fie constantă pentru: 𝑄 2𝜋

=

1 2𝜋

∙

𝜔0 2𝑏

=

𝜈0

(53)

2𝑏

Astfel, raportul dintre energia înmagazinată în sistem şi cea pierdută pe un ciclu va fi dată de relaţia: 𝐸 −Δ𝐸

=

𝜈′ 2𝑏

≈

𝜈0 2𝑏

=

𝑄

(54)

2𝜋

Aplicaţia 5. Un electron dintr- un atom care radiază energie se comportă ca un oscilator amortizat. Dacă 𝑞2 𝜔 2 𝑥02

puterea radiată este dată de relaţia 𝑃 = 12𝜋𝜀

0𝑐

3

𝑊 la lungimea de undă 𝜆 = 0,6 𝜇𝑚, se obţine 𝑄 = 108

şi reprezintă timpul liber de viaţă al radiaţiei care are valoare de aproximativ 10−8 𝑠. S-au utilizat valorile: 𝑞 = 1,6 ∙ 10−19 𝐶, 𝑚𝑒 = 9,1 ∙ 10−31 𝑘𝑔, 𝑐 = 3 ∙ 108

𝑚 𝑠

,

1 4𝜋𝜀0

= 9 ∙ 109

𝑚 𝐹

, iar xo este amplitudinea

oscilaţiei.

3. OSCILAŢII FORŢATE. REZONANŢA La scurt timp după deschiderea podului Tacoma Narrows Bridge din iulie 1940, automobilişti au observat tendinţa acestuia de a oscila puternic, chiar şi la valori moderate ale vitezei vântului. În 7 noiembrie, acelaşi an, când viteza vântului a atins 70 km/h, podul s-a prăbuşit, ruinele acestuia formând unul dintre cele mai lungi recife artificiale din lume. Cauza prăbuşirii podului nu s-a datorat materialelor utilizate la construcţia podului sau unei erori de design, ci datorită fenomenului fizic de rezonanţă. Acelaşi fenomen apare şi atunci când o interpretă de operă reuşeşte să spargă un pahar de sticlă cu ajutorul vocii. În realizarea podului ce l-a înlocuit pe cel prăbuşit inginerii au introdus mici modificări pentru a evita producerea fenomenului de rezonanţă. Pentru a elimina amortizarea mişcării unui oscilator sub acţiunea forţelor de rezistenţă, trebuie să se transmită acestuia energie din exterior. Acest lucru se poate realiza prin acţiunea unei forţe periodice exterioare care să compenseze amortizarea. Expresia acestei forţe este dată de relaţia: 𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝐹0 sin 𝑡

(55) 4 - 13

Ionuţ VLĂDOIU

OSCILAŢII MECANICE

În acest caz, ecuaţia de mişcare a oscilatorului în mediul respectiv va fi: 𝑚𝑥̈ + 𝛾𝑥̇ + 𝑘𝑥 = 𝐹0 sin 𝑡

(56)

sau 𝑥̈ + 2𝑏𝑥̇ + 𝜔02 𝑥 = unde

0

0 sin

𝑡

(57)

𝐹

= 𝑚0 este forţa redusă.

Ecuaţia (57) este o ecuaţie diferenţială de ordinul al doilea, cu coeficienţi constanţi şi neomogenă, a cărei soluţie se obţine prin însumarea soluţiei omogene şi o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene: 𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2

(58)

unde 𝑥1 = 𝐴 𝑒 −𝑏𝑡 sin(𝜔𝑡 + 𝜑0 )

(59)

şi 𝑥2 = 𝐴 sin(𝛺𝑡 + 𝜑)

(60)

Datorită amortizării putem neglija soluţia ecuaţiei omogene (59) şi astfel oscilatiile sistemului vor fi descrise, dup un timp suficient de mare, de soluţia particulară: 𝑥 = 𝐴 sin(𝛺𝑡 + 𝜑)

(61)

Mişcarea descrisă de acesată relaţie se numeşte în regim stationar, regim caracterizat de faptul că, oscilaţiile se efectuează cu fercvenţa forţei exterioare 𝛺. Din condiţia ca ecuaţia (61) să verifice ecuaţia diferenţială (57) la orice moment de timp, vom determina constantele A şi 𝜑. Astfel, derivând relaţia (61) în raport cu timpul obţinem: 𝑥̇ = 𝛺 𝐴 cos( t + 𝜑)

(62)

𝑥̈ = −𝛺2 𝐴 sin( t + 𝜑)

(63)

şi

Înlocuind relaţiile (62) şi (63) în ecuaţia diferenţială a mişcării (57) obţinem: −𝛺2 𝐴 sin( t + 𝜑) + 2𝑏𝛺 𝐴 cos( t + 𝜑) + 𝜔02 𝐴 sin(𝛺𝑡 + 𝜑) =

0 sin

𝑡

(64)

sau (𝜔02 − 𝛺2 ) 𝐴 sin( t + 𝜑) + 2𝑏𝛺 𝐴 cos( t + 𝜑) =

0 sin

𝑡

(65) 4 - 14

Ionuţ VLĂDOIU

OSCILAŢII MECANICE

Cum sin ( t + 𝜑) = 𝑠𝑖𝑛 𝛺𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑐𝑜𝑠 𝛺𝑡 𝑠𝑖𝑛𝜑

(66)

cos ( t + 𝜑) = 𝑐𝑜𝑠 𝛺𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝑠𝑖𝑛 𝛺𝑡 𝑠𝑖𝑛𝜑

(67)

şi

din relaţia (65) obţinem: (𝜔02 − 𝛺2 )𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝛺𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜑 + (𝜔02 − 𝛺2 )𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝛺𝑡 sin 𝜑 + 2𝑏𝛺 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝛺𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝜑 − −2𝑏𝛺 𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝛺𝑡 𝑠𝑖𝑛𝜑 = 0 sin 𝑡 (68) Identificând coeficienţii lui 𝑠𝑖𝑛 𝛺𝑡 şi 𝑐𝑜𝑠 𝛺𝑡 obţinem: {

(𝜔02 − 𝛺2 )𝐴 𝑐𝑜𝑠𝜑 − 2𝑏𝛺 𝐴 𝑠𝑖𝑛𝜑 = 0 (𝜔02 − 𝛺2 )𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝜑 + 2𝑏𝛺 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜑 = 0

(69)

Ridicând la pătrat relaţiile (69) şi adunându-le membru cu membru obţinem: [(𝜔02 − 𝛺2 )]2 𝐴2 + 4𝑏2 𝛺2 𝐴2 =

0

2

(70)

adică 𝐴2 =

𝛿0 2

(71)

2

(𝜔02 −𝛺2 ) +4𝑏2 𝛺2

de unde obţinem: 𝐴=

𝛿0

(72)

2

(𝜔02 −𝛺2 ) + 4𝑏2 𝛺2

Împărţind membru cu membru aceleaşi relaţii obţinem: 2𝑏𝛺

𝑡𝑔𝜑 = 𝜔2 −𝛺2

(73)

0

Relaţia (73) ne arată că oscilaţiile forţate nu sunt în fază cu forţa exterioară, cu excepţia cazului b=0, adică în absenţa frecărilor. Se observă că valoarea amplitudinii A este o funcţie de pulsaţia forţei exterioare 𝛺, maximul său fiind determinat din condiţia: 𝑑𝐴 𝑑Ω

=0

(74)

Prin înlocuirea relaţiei (72) în relaţia (74) vom obţine: 𝛺𝑟𝑒𝑧 = √𝜔02 − 2𝑏2

(75) 4 - 15

Ionuţ VLĂDOIU

OSCILAŢII MECANICE

adică valoarea pulsaţiei forţei exterioare pentru care amplitudinea este maximă. Această valoare este denumită pulsaţie de rezonanţă, iar fenomenul de apariţie a unui maxim al amplitudinii mişcării întreţinute se numeşte rezonanţă. Valoarea maximă a amplitudinii se obţine înlocuind în relaţia (72) relaţia (75) şi va rezulta: 𝐴𝑚𝑎𝑥 =

𝛿0 2𝑏 𝜔02 −𝑏2

(76)

adică, pentru o valoare mică a coeficientului de amortizare 𝑏 se obţine un maxim al amplitudinii mai mare (figura 8).

3.1. APLICAŢII ALE REZONANŢEI În practică apariţia rezonanţei conduce la o creştere bruscă a amplitudinii oscilaţiilor forţate ale diferitelor construcţii (cum sunt fundaţiile clădirilor, podurile, etc.). Rezonanţa poate duce chiar la distrugerea construcţiilor, devenind un fenomen nedorit şi evitat cu grijă. În construcţiile cu scop tehnic se folosesc dispozitive speciale numite amortizoare pentru a elimina oscilaţiile rezonante. În cele ce urmează sunt prezentate câteva exemple ale apariţiei şi utilizări fenomenului de rezonanţă. În timpul unui cutremur apar o multitudine de frecvenţe joase care apar simultan, de aceea este însoţit de un sunet de genul unui huruit de intensitate joasă. Frecvenţele pe care le auzim nu sunt cele mai puternice, ci corespund unor energii ale vibraţiilor ce au frecvenţa cuprinsă în intervalul 1Hz – 10 Hz. Toate structurile construite de noi sunt aşezate pe un strat geologic format din pământ, nisip, noroi şi roci. Când o undă seismică vine spre suprafaţă, aceste straturi se comportă ca un sistem ce posedă o anumită frecvenţă de vibraţie. Frecvenţa de rezonanţă a acestui strat este influenţată de rigiditatea stratului şi de adâncimea acestuia. De exemplu, frecvenţa de rezonanţă a unui strat de noroi are un spectru cuprins între 1 – 4 Hz. Astfel, când undă se propagă spre suprafaţă, acest strat răspunde cel mai puternic frecvenţelor din spectrul său de rezonanţă şi prin urmare, orice structură care se află deasupra unui astfel de strat este supusă unui risc ridicat de avarie. Revenind asupra exemplului de la începutul capitolului „Oscilaţii forţate”, despre prăbuşirea podului Tacoma Narrows Bridge din 7 noiembrie 1940. Întrebarea care s-a pus a fost de ce podul a intrat în oscilaţie deşi vântul sufla cu viteză constantă? Răspunsul a venit după realizarea unor experimente care au pus în evidenţă două mecanisme diferite implicate în producerea dezastrului. Primul mecanism a fost cel care este responsabil pentru iniţierea vibraţiilor iniţiale, relativ scăzute şi care s-au datorat rezonanţei. Pe măsură ce vântul se 4 - 16

Ionuţ VLĂDOIU

OSCILAŢII MECANICE

deplasa peste pod, acesta a început să se comporte ca aripa unui avion, formându-se vârtejuri de aer care „curgeau” în jurul podului. Pe măsură ce un astfel de vârtej se deplasa spre ieşirea podului se producea o schimbare bruscă în presiunea aerului exercitată asupra podului, tradusă prin exercitarea unor forţe orientate alternativ, în sus şi în jos. Aceste forţe exercitate asupra podului sunt exact forţele periodice ce stau la baza producerii rezonanţei. Pe măsură ce vântul era mai puternic, vârtejurile se deplasau mai rapid şi apărea o frecvenţă mai mare a oscilaţiilor induse podului. La o valoare potrivită a vitezei vântului, frecvenţa a corespuns celei de rezonanţă a podului care avea valoarea de 0,2 Hz. Absorţia şi emisia undelor luminoase poate fi legată intuitiv de fenomenul de rezonanţă. Într- un volum mic de gaz atomii sunt suficient de depărtaţi încât se comportă ca nişte sisteme ce vibrează individual. Deşi aceste vibraţii sunt foarte complexe, fiind descrise de aparatul mecanicii cuantice, ele se supun aceloraşi reguli ca şi vibraţiile mecanice obişnuite. Când un strat subţire de gaz alcătuit dintr- un anumit element este încălzit, are loc o emisie de radiaţii luminoase de o anumită frecvenţă, caracteristice fiecărui element. Aceste vibraţii atomice răspund puternic forţelor de excitaţie corespunzătoare frecvenţei lor naturale. Astfel, dacă aveam un gaz rece străbătut de unde luminoase cu frecvenţe diferite, acesta va absorbi fotoni cu frecvenţa identică cu cea a celor emişi atunci când este încălzit. O aplicaţie foarte importantă a fenomenului de rezonanţă este Rezonanţa Magnetică Nucleară (RMN). RMN este o metodă utilizată pentru stabilirea structurii moleculare a unei substanţe chimice necunoscute şi pentru obţinerea unor imagini medicale a unor organe din interiorul corpului omenesc. Corpul omenesc conţine un număr mare de atomi de hidrogen, ce constau dintrun electron ce orbiteză în jurul unui nucleu „greu”, ce conţine un singur proton ce se roteşte în jurul unei axe proprii. Combinaţia dintre această mişcare de spin şi sarcina electrică a sa îl face să se comporte ca un mic magnet. Fiecare proton al atomilor de hidrogen din organism este înconjurat de multe particule încărcate electric, precum propriul său electron şi electronii şi Figura 10. Imagine RMN a protonii atomilor înconjurători. Aceşi „vecini” creierului uman acţionează precum magneţii, exercitând forţe magnetice asupra protonului. În funcţie de structura moleculei în care se găseşte atomul de hidrogen va fi o valoare particulară a forţelor magnetice ce acţionează asupra sa. Aparatul RMN „bombardează” proba cu unde radio şi dacă frecvenţa acestora corespunde cu frecvenţa de rezonanţă a protonului acesta va absorbi puternic energie de la unda incidentă şi va oscila puternic. Vibraţia va fi amortizată nu de frecare, deoarece nu există frecare în interiorul atomului, ci de reemisia undelor radio. Astfel, se poate determina aranjamentul geometric al atomilor din jurul 4 - 17

Ionuţ VLĂDOIU

OSCILAŢII MECANICE

atomului de hidrogen şi localizarea acestora în spaţiu, putându- se realiza imagini medicale (figura 10).

4. COMPUNEREA OSCILAŢIILOR ARMONICE 4.1.

COMPUNEREA

OSCILAŢIILOR

PARALELE

CU

ACEEAŞI

FRECVENŢĂ De foarte multe ori ne întâlnim cu situaţii când trebuie să compunem două sau mai multe oscilaţii. Vom studia pentru început compunerea a două oscilaţii paralele (aceeaşi direcţie de oscilaţie) şi de aceeaşi frecvenţă. În acest caz un punct material este supus acţiunii simultane a cel puţin două oscilaţii armonice având aceeaşi direcţie. În literatura de specialitatea sunt cunoscute două metode pentru a compune cele două oscilaţii: metoda analitică şi metoda fazorială. 4.1.1. METODA ANALITICĂ Să considerăm un punct material supus acţiunii simultane a două oscilaţii paralele cu aceeaşi frecvenţă: 𝑥1 = 𝐴1 𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑡 + 𝜑1 )

(77)

𝑥2 = 𝐴2 𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑡 + 𝜑2 )

(78)

şi

Punctul material va efectua o oscilaţie armonică rezultantă după aceeaşi direcţie şi de aceeaşi pulsaţie cu oscilaţiile componente, având elongaţia: 𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2

(79)

mişcarea fiind de acelaşi tip, adică având ecuaţia: Prin înlocuirea relaţiilor (77) şi (78) în relaţia precedentă obţinem: 𝑥 = 𝐴1 𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑡 + 𝜑1 ) + 𝐴2 𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑡 + 𝜑2 )

(80)

Relaţie care poate fi scrisă şi sub forma: 𝑥 = 𝐴1 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜑1 + 𝐴1 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑠𝑖𝑛𝜑1 + 𝐴2 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡𝑐𝑜𝑠𝜑2 + 𝐴2 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑠𝑖𝑛𝜑2 ) 𝑥 = (𝐴1 𝑐𝑜𝑠𝜑1 + 𝐴2 𝑐𝑜𝑠𝜑2 )𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 + ( 𝐴1 𝑠𝑖𝑛𝜑1 + 𝐴2 𝑠𝑖𝑛𝜑2 ) 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑥 = (𝐴1 𝑐𝑜𝑠𝜑1 + 𝐴2 𝑐𝑜𝑠𝜑2 ) (𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 +

𝐴1 𝑠𝑖𝑛𝜑1 +𝐴2 𝑠𝑖𝑛𝜑2 𝐴1 𝑐 𝑠𝜑1 +𝐴2 𝑐 𝑠𝜑2

𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡)

(81)

4 - 18

Ionuţ VLĂDOIU

OSCILAŢII MECANICE

Notând 𝑠𝑖𝑛 𝜑

𝑡𝑔 𝜑 = 𝑐

𝑠𝜑

𝐴 𝑠𝑖𝑛𝜑1 +𝐴2 𝑠𝑖𝑛𝜑2

= 𝐴 1𝑐 1

(82)

𝑠𝜑1 +𝐴2 𝑐 𝑠𝜑2

obţinem: 𝑥=

(𝐴1 𝑐 𝑠𝜑1 +𝐴2 𝑐 𝑠𝜑2 )

𝑥=

(𝐴1 𝑐 𝑠𝜑1 +𝐴2 𝑐 𝑠𝜑2 )

𝑐 𝑠𝜑

(𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝜑 + 𝑠𝑖𝑛 𝜑 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡)

(83)

adică: 𝑐 𝑠𝜑

𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑 )

(84)

Avându- se în considerare expresiile: 1 𝑐 𝑠𝜑

= =

= √1 + 𝑡𝑔2 𝜑 = 1

(𝐴1 𝑐 𝑠𝜑1 +𝐴2 𝑐 𝑠𝜑2 )

1+(

𝐴1 𝑠𝑖𝑛𝜑1 +𝐴2 𝑠𝑖𝑛𝜑2 2 𝐴1𝑐 𝑠𝜑1 +𝐴2 𝑐 𝑠𝜑2

)

∙ √(𝐴1 𝑐𝑜𝑠𝜑1 + 𝐴2 𝑐𝑜𝑠𝜑2 )2 + (𝐴1 𝑠𝑖𝑛𝜑1 + 𝐴2 𝑠𝑖𝑛𝜑2 )2

1 (𝐴1 𝑐𝑜𝑠𝜑1 + 𝐴2 𝑐𝑜𝑠𝜑2 )

∙ 𝐴1 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜑1 + 𝐴2 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜑2 + 2𝐴1 𝐴2 𝑐𝑜𝑠𝜑1 𝑐𝑜𝑠𝜑2 + 𝐴1 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜑1 + 𝐴2 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜑2 + 2𝐴1 𝐴2 𝑠𝑖𝑛𝜑1 𝑠𝑖𝑛𝜑2 =

=

1 (𝐴1 𝑐 𝑠𝜑1 +𝐴2 𝑐 𝑠𝜑2 )

∙ 𝐴1 2 (𝑠𝑖𝑛2 𝜑1 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜑1 ) + 𝐴2 2 (𝑠𝑖𝑛2 𝜑2 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜑2 ) + 2𝐴1 𝐴2 (𝑐𝑜𝑠𝜑1 𝑐𝑜𝑠𝜑2 + 𝑠𝑖𝑛𝜑1 𝑠𝑖𝑛𝜑2 )

1 (𝐴1 𝑐 𝑠𝜑1 +𝐴2 𝑐 𝑠𝜑2 )

∙ 𝐴1 2 + 𝐴2 2 + 2𝐴1 𝐴2 𝑐𝑜𝑠(𝜑2 − 𝜑1 )

(85)

Astfel, relaţia (84) devine: 𝑥 = 𝐴 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑 )

(86)

unde: 𝐴=

𝐴1 2 + 𝐴2 2 + 2𝐴1 𝐴2 𝑐𝑜𝑠(𝜑2 − 𝜑1 )

(87)

este amplitudinea mişcării oscilatorii rezultante. 4.1.2. METODA FAZORIALĂ Fazorul este un vector al cărui modul este egal cu amplitudinea mişcării oscilatorii şi care se roteşte, în sens trigonometric, în planul 𝑥𝑜𝑦 cu viteza unghiulară egală cu pulsaţia mişcării oscilatorii. Putem reprezenta cele două mişcări oscilatorii în planul 𝑥𝑜𝑦 ca doi vectori de modul egal cu amplitudinea mişcării oscilatorii şi unghiurile făcute cu direcţia pozitivă a axei egale cu fazele mişcării oscilatorii. Din figura 11 observăm că putem calcula foarte uşor amplitudinea mişcării rezultante precum şi faza acesteia:

4 - 19

Ionuţ VLĂDOIU

𝐴=

OSCILAŢII MECANICE

𝐴1 2 + 𝐴2 2 + 2𝐴1 𝐴2 𝑐𝑜𝑠 ∆𝜑

𝑡𝑔 𝜑 =

𝐴 𝐴

=

𝐴1 +𝐴2 𝐴1 + 2

=

𝐴1 𝑠𝑖𝑛𝜑1 +𝐴2 𝑠𝑖𝑛𝜑2 𝐴1 𝑐 𝑠𝜑1 +𝐴2 𝑐 𝑠𝜑2

(88) (89)

Astfel, compunând fazorial oscilaţiile paralele, se regăsesc rezultatele obţinute prin metoda analitică. Figura 11. Reprezentarea fazorială a mişcării oscilatorii Aplicaţia 6. Un corp este supus simultan la două mişcări armonice paralele: 𝑦1 = 4 ∙ 𝑠𝑖𝑛 2𝜋(𝑡 + 1/3) (cm) şi 𝑦 = 3 ∙ 𝑠𝑖𝑛2𝜋(𝑡 + 1/4) (cm). Determinaţi ecuaţia mişcării oscilatorii rezultante.

𝐴1 2 + 𝐴2 2 + 2𝐴1 𝐴2 𝑐𝑜𝑠 ∆𝜑 = 6 𝑐𝑚

iar faza iniţială: 𝐴 𝑠𝑖𝑛𝜑1 +𝐴2 𝑠𝑖𝑛𝜑2 1 𝑠𝜑1 +𝐴2 𝑐 𝑠𝜑2

𝑡𝑔 𝜑 = 𝐴1𝑐

Rezolvare Ecuaţiile celor două mişcări sunt: 𝑦1 = 4 ∙ 𝑠𝑖𝑛 (2𝜋𝑡 +

𝐴=

2𝜋 3

= −3,23

Deci: 𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(−3,23)

) ≡ 𝐴1 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑1 )

𝜋

𝑦2 = 3 ∙ 𝑠𝑖𝑛 (2𝜋𝑡 + 2 ) ≡ 𝐴2 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑2 )

Ecuaţia mişcării oscilatorii rezultante va fi: 𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 = 6,76 𝑠𝑖𝑛(2𝜋𝑡 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 3,23) 𝑐𝑚.

Amplitudinea mişcării oscilatorii rezultante este dată de relaţia:

4.2. COMPUNEREA OSCILAŢIILOR PARALELE CU FRECVENŢE DIFERITE În acest caz, vom considera compunerea a două oscilaţii paralele cu pulsaţiile 𝜔1 şi 𝜔2 , vând fazele iniţiale egale cu zero (𝜑01 = 𝜑02 = 0), şi aceeaşi amplitudine A0, descrise de ecuaţiile: 𝑥1 = 𝐴0 𝑠𝑖𝑛 𝜔1 𝑡

(90)

𝑥2 = 𝐴0 𝑠𝑖𝑛 𝜔2 𝑡

(91)

şi

unde 𝜔2 > 𝜔1 . Mişcarea rezultantă va fi descrisă de ecuaţia: 4 - 20

Ionuţ VLĂDOIU

OSCILAŢII MECANICE

𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2 = 𝐴0 (𝑠𝑖𝑛 𝜔1 𝑡 + 𝑠𝑖𝑛 𝜔2 𝑡)

(92)

Utilizând relaţia trigonometrică: 𝑠𝑖𝑛𝑎 + 𝑠𝑖𝑛𝑏 = 2𝑠𝑖𝑛

𝑎+𝑏 2

𝑐𝑜𝑠

𝑏−𝑎 2

, relaţia de mai

sus devine: 𝑥 = 2𝐴0 𝑐𝑜𝑠

(𝜔2 −𝜔1 )𝑡 2

𝑠𝑖𝑛

(𝜔1 +𝜔2 )𝑡

(93)

2

Dacă notăm diferenţa celor două frecvenţe cu    2  1 , şi tinem cont că 𝜔1 = 𝜔 − ∆𝜔, iar 𝜔1 = 𝜔 − ∆𝜔, putem scrie ecuaţia de mai sus sub forma: 𝑥 = 2𝐴0 𝑐𝑜𝑠(∆𝜔𝑡) 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡

(94)

Se observă că oscilaţia rezultantă nu este armonică, deoarece amplitudinea rezultantă variază în timp (figura 11): 𝐴 = |2𝐴0 𝑐𝑜𝑠(∆𝜔𝑡)|

(95)

Oscilaţiile în care amplitudinea rezultantă variază periodic în timp se numesc bătăi, perioada respectiv frecvenţa acestora fiind: 𝑇=

𝜋 ∆𝜔

=

𝜋 𝜔2 −𝜔1

(96)

respectiv: 𝜈=

𝜔2 −𝜔1 𝜋

= 2(𝜈2 − 𝜈1 )

(97)

4 - 21

Ionuţ VLĂDOIU

OSCILAŢII MECANICE

4.2. COMPUNEREA OSCILAŢIILOR ARMONICE PERPENDICULARE 4.2.1. OSCILAŢII ARMONICE CU ACEEAŞI PULSAŢIE Să considerăm un punct material supus la două mişcări oscilatorii armonice, una de-a lungul axei ox, iar cealaltă de-a lungul axei oy descrise de ecuaţiile: 𝑥 = 𝐴 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑1 )

(98)

𝑦=

(99)

𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑2 )

Ecuaţia traiectoriei rezultante descrise de punctul material în urma compunerii celor două mişcări oscilatorii se obţine prin eliminarea timpul din ecuaţiile parametrice ale traiectoriei (98) şi (99). Astfel, împărţind ecuaţiile cu amplitudinea 𝐴 respectiv şi dezvoltând funcţiile sin, vom obţine: 𝑥 𝐴

= 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜑1 + 𝑠𝑖𝑛𝜑1 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡

(100)

= 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜑2 + 𝑠𝑖𝑛𝜑2 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡

(101)

Înmulţind pe rând prima ecuaţie cu 𝑐𝑜𝑠𝜑2 şi 𝑠𝑖𝑛𝜑2 iar a doua ecuaţie cu 𝑐𝑜𝑠𝜑1 şi 𝑠𝑖𝑛𝜑1 şi de fiecare dată le scădem membru cu membru, va rezulta: 𝑥 𝐴 𝑥 𝐴

𝑐𝑜𝑠𝜑2 −

𝑐𝑜𝑠𝜑1 = 𝑠𝑖𝑛(𝜑2 − 𝜑1 )𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡

(102)

𝑠𝑖𝑛𝜑2 −

𝑠𝑖𝑛𝜑1 = 𝑠𝑖𝑛(𝜑2 − 𝜑1 )𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡

(103)

Prin ridicarea la pătrat şi adunarea membru cu membru a ecuaţiilor de mai sus, se obține ecuaţia traiectoriei punctului material supus la cele două mişcări oscilatorii: 𝑥2

+ 𝐴2

2 2

−

2𝑥 𝐴

𝑐𝑜𝑠(𝜑2 − 𝜑1 ) = 𝑠𝑖𝑛2 (𝜑2 − 𝜑1 )

(104)

Ecuaţia (104) reprezintă ecuaţia unei elipse înscrisă într-un dreptunghi având laturile 2𝐴 şi 2 numit dreptunghiul amplitudinilor, axa elipsei făcând un unghi cu ordonata (figura 12). O astfel de oscilaţie poartă denumirea de oscilaţie eliptic polarizată. Excentricitatea elipsei, direcţia axelor elipsei cât şi sensul de mişcare al punctului material, depinde de amplitudinile A şi B a celor două oscilaţii precum şi de diferenţa de fază ∆𝜑 = 𝜑2 − 𝜑1 . În general, aele elipsei sunt înclinate faţă de axele 𝑜𝑥 şi 𝑜𝑦, dar acestea devin axe principale atunci când diferenţa de fază este: 4 - 22

Ionuţ VLĂDOIU

∆𝜑 = 𝜑2 − 𝜑1 =

OSCILAŢII MECANICE 𝜋

(105)

2

În acest caz, ecuaţia (104) devine: 𝑥2 𝐴2

+

2 2

= 1

(106)

adică, ecuaţia unei elipse având semiaxele 𝐴 şi . În funcţie de valorile defazajului ∆𝜑 distingem următoarele cazuri: 1. dacă ∆𝜑 = 2𝑛𝜋, n=0,1,2,.., oscilaţiile sunt în fază, iar ecuaţia (104) devine: 𝑥2 𝐴2

+

2 2

−

2𝑥 𝐴

= 0 ⇒ 𝑦 = 𝐴𝑥

(107)

adică eclipsa degenereză într- o dreaptă care coincide cu prima diagonală a triunghiului amplitudinilor (figura 13. a, i). 2. dacă ∆𝜑 = (2𝑛 + 1)𝜋, n=0,1,2,.., oscilaţiile sunt în opoziţie de fază, iar ecuaţia (104) devine: 𝑥2 𝐴2

+

2 2

+

2𝑥 𝐴

= 0 ⇒ 𝑦 = −𝐴𝑥

(108)

eclipsa degenerând într- o dreaptă care coincide cu cea de-a doua diagonală a triunghiului amplitudinilor (figura 13, e). În aceste două cazuri mişcarea rezultantă are loc de-a lungul unui segment de dreaptă, în ambele sensuri, oscilaţia numindu- se polarizată liniar. 𝜋

3. dacă ∆𝜑 = (2𝑛 + 1) 2 , n=0,1,2,.., oscilaţiile sunt în cvadratură, iar ecuaţia (104) devine: 𝑥2

+ 𝐴2

2 2

= 1

(109)

adică ecuaţia unei elipse a cărei axe coincide cu axele de coordonate, oscilaţia rezultantă a punctului material numindu-se oscilaţie polarizată eliptic. Dacă punctul material se mişcă în sens invers acelor de ceasornic avem oscilaţii polarizate la stânga (figura 13. b, d, j), iar dacă se mişcă în sensul acelor de ceasornic oscilaţiile rezultante sunt polarizate la dreapta (figura 13, f, h). 4. dacă 𝐴 = , ecuaţia (104) devine în acest caz: 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠(𝜑2 − 𝜑1 ) = 𝐴2 𝑠𝑖𝑛2 (𝜑2 − 𝜑1 )

(110) 4 - 23

Ionuţ VLĂDOIU

OSCILAŢII MECANICE

Figura 13. Traiectoriile descrise de un sistem de două oscilaţii armonice perpendiculare, cu aceeaşi frecvenţă dar la valori diferite ale defazajului ∆𝜑

care reprezintă ecuaţia unui cerc. Oscilaţia rezultantă are o traiectorie circulară 𝜋 de rază R şi poartă denumirea de oscilaţie polarizată circular. Când ∆𝜑 = 2 , cercul este parcurs spre stânga (polarizare circulară stânga, figura 13. c), iar când ∆𝜑 =

3𝜋 2

, cercul este parcurs spre dreapta (polarizare circulară dreapta, figura 13.

g). În ambele cazuri, raza cercului este egală cu 𝐴, iar centrul acestuia se află în originea axelor de coordonate. 4.2.2. OSCILAŢII ARMONICE DE PULSAŢII DIFERITE În cazul compunerii a două oscilaţii armonice ortogonale de pulsaţii diferite punctul material se mişcă pe o traiectorie de o formă mai complicată. Dacă raportul frecvenţelor celor două oscilaţii este un număr raţional, traiectoriile sunt curbe închise, denumite curbe Lissajous (figura 14). Dacă amplitudinile vibraţiilor sunt 𝐴 şi , figura Lissajous va fi conţinută într- un dreptunghi având laturile 2𝐴 şi 2 , care sunt tangente la curbe într- un anumit număr de puncte. Raportul acestor puncte în lungul axei 𝑥 şi cel al punctelor din lungul axei 𝑦 este egal cu raportul invers al frecvenţelor corespunzătoare.

Figura 14. Figurile Lissajous descrise de un sistem de două oscilaţii armonice perpendiculare, cu pulsaţii diferite

4 - 24

Capitolul V

UNDE MECANICE CUPRINS 1. PROPAGAREA UNEI PERTURBAŢII .................................................................................. 2

2. ECUAŢIA DE PROPAGARE A UNDELOR ........................................................................... 6 3. UNDE SFERICE ................................................................................................................ 7 4. UNDA PLANĂ. UNDA MONOCROMATICĂ PLANĂ ............................................................. 8 5. VITEZA DE PROPAGARE A UNDELOR ............................................................................12 5.1. VITEZA DE PROPAGARE A UNDELOR TRANSVERSALE ..........................................12

5.2. VITEZA DE PROPAGARE A UNDELOR LONGITUDINALE ..........................................14 6. ENERGIA TRANSPORTATĂ DE UNDE.............................................................................16 7. REFLEXIA ŞI REFRACŢIA UNDELOR .............................................................................19 8. DISPERSIA UNDELOR. VITEZA DE GRUP .......................................................................20 9. INTERFERENŢA UNDELOR ............................................................................................ 22 10. UNDE STAŢIONARE .....................................................................................................25 11. UNDE SONORE ............................................................................................................27 11.1. VITEZA UNDELOR SONORE ...................................................................................28 11.2. INTENSITATEA SUNETELOR ..................................................................................29

11.3. REFLEXIA ŞI ABSORBŢIA SUNETELOR .................................................................33 11.4. EFECTUL DOPPLER ACUSTIC ................................................................................35 11.5. UNDE DE ŞOC .......................................................................................................37 11.6. ÎNREGISTRAREA SUNETELOR...............................................................................38

Ionuţ VLĂDOIU

UNDE MECANICE

UNDE MECANICE Undele reprezintă un fenomen important în natură şi tehnică, unde regăsim undele sonore care ne ajută să auzim, unde le luminoase cu ajutorul cărora vedem, undele radio prin care comunicăm, undele formate pe suprafaţa oceanelor şi mărilor (valurile), etc. De aceea, în societatea modernă este foarte importantă înţelegerea producerii, propagării şi detectiei undelor. Există două mari categorii de unde , unde mecanice - care apar la disturabrea unui mediu material, de exemplu, undele produse prin aruncarea unei pietre în apă atunci când se formează unde sferice cu centrul în locul în care s- a produs perturbaţia, şi unde electromagnetice – care nu necesită existenţa unui mediu material pentru a propaga (se propagă şi în vid), ca de exemplu, undele luminoase, undele radio, semnalele Tv şi ale telefoanelor, razele X, etc. În acest capitol ne vom ocupa cu studiul undelor mecanice. Să ne imaginăm următorul experiment: pe suprafaţa apei dintr - o piscină se află o minge de volei, iar la o numită distanţă de aceasta dăm drumul unei pietre. Se observă că, sub acţiunea undelor produse de piatră, mingea începe să se deplaseze, adică capătă o energie cinetică. Acest lucru semnifică că s- a realizat un transfer de energie între punctul unde a căzut piatra şi minge. Acesta este fenomenul central ce caracterizează mişcarea undelor şi anume, prin unde se realizează un transfer de energie la distanţă, dar fără să se produ că şi un transfer de substanţă.

1. PROPAGAREA UNEI PERTURBAŢII În cele spuse mai sus am sugerat că esenţa propagării undelor este transportul de energie pe o anumită distanţă, fără transport de substanţă. În producerea undelor mecanice sunt necesare trei elemente: (a) o sursă de perturbaţii, (b) un mediu care să fie perturbat, şi (c) un mecanism fizic prin care elementele mediul se pot influenţa reciproc. Un caz simplu prin care putem evidenţia propagarea unei unde este cel al

Figura 1. Puls deplasându- se într- o cordă. Forma pulsului rămâne aproape neschimbată în lungul direcţiei de propagare prin coardă.

5-2

Ionuţ VLĂDOIU

UNDE MECANICE

utilizării unei coarde fixate la un capăt, iar la capătului liber îi producem o pleznitură P scurtă. (figura 1). Se observă apariţia unui puls ce se propagă dinspre mână spre P capătul fix al corzii. Acesta este caracterizat de o anumită înălţime (amplitudine), şi o anumită viteză de P propagare în lungul mediului. Pe măsură ce pulsul se propagă, fiecare element P perturbat al corzii se va deplasa pe o direcţie perpendiculară pe cea de propagare (figura 2). Trebuie menţionat că nici o parte a corzii nu se mişcă pe direcţia de Figura 2. Un puls transversal deplasându- se într- o cordă. Direcţia propagare a undei. Astfel, o undă în de deplasare a unui element P al propagare care induce elementelor corzii (săgeata albastră) este perpendiculară pe direcţia de mediului perturbat o mişcare propagare a corzii (săgata verde) perpendiculară pe direcţia sa de propagare se numeşte undă transversală. Să comparăm exemplul de mai sus cu un altul, în care pulsul se formează prin mişcarea unui resort comprimat (figura 3). La inducerea unei comprimări urmată de o tragere bruscă a resortului apare o zonă comprimată ce se propagă în lungul direcţiei iniţiale de comprimare. Această zonă este însoţită de o alta în care resortul este întins. De menţionat că deplasarea regiunii comprimate se face pe o direcţie paralelă cu cea în care se mişcă elementele resortului. Astfel, o undă în propagare ce determină o mişcare a elementelor mediului perturbat paralelă cu direcţia sa de propagare reprezintă o undă longitudianală. În natură se găsesc tipuri de unde care se supun unei combinaţii de perturbaţii transversale şi longitudinale. De exemplu, undele ce se propagă la suprafaţa lichidelor, când elementele apei se mişcă atât pe direcţie transversală cât şi longitudinală (figura 4). Deplasarea transversală este dată de variaţia pe verticală a poziţiilor elementelor apei (formarea valurilor), iar deplasarea longitudinală apare deoarece, când unda se propagă la suprafaţă, elementele de apă sunt antrenate într- o mişcare pe traiectorii circulare. Comprimare Întindere

Un alt exemplu este cel al undelor seismice care se propagă dintr- un anumit punct din interiorul Pământului spre suprafaţă odată cu producerea

Întindere

Comprimare

Figura 3. Un puls longitudinal într- un resort comprimat. Deplasarea zonei comprimate se realizează după o direcţie paralelă cu cea de propagare a undei (săgeata albastră).

5-3

Ionuţ VLĂDOIU

UNDE MECANICE

unui seism. Undele longitudinale se deplasează mai rapid spre suprafaţă, viteza lor de propagare fiind

Viteza de propagare

în domeniul 7 – 8 𝑘𝑚/𝑠 în apropierea suprafeţei. Din Figura 4. Mişcarea elementelor de apă la suprafaţă, unda acest motiv ele se mai propagându- se atât transversal cât şi longitudinal. numesc şi unde P (unde Elementele de apă se vor mişca pe traiectorii circulare, fiecare fiind deplasat din poziţia de echilibru atât orizontal primare) deoarece ele sunt cât şi vertical primele care sunt înregistrate de seismograf. Undele transversale se propagă mai încet (4 – 5 𝑘𝑚/𝑠) şi se numesc şi unde S (unde secundare). Înregistrând timpul dintre sosirea acestor unde la seismograf, se poate determina distanţa până la sursa cutremurului. Plecând de la aceste exemple putem defini, în mod general, unda ca fiind o perturbaţie care se propagă, din apropae în aproape, într- un mediu prin intermediul unui câmp. Acest câmp poate fie mecanic (câmp de forţe elastice, câmp determinat de forţele de presiune dintr - un gaz, etc.) sau electromagnetic. Perturbaţia care se propagă în spaţiu este o funcţie de loc şi timp, asfel încât, notând cu 𝜓 mărimea perturbată, putem scrie: 𝜓 = 𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝜓(𝑟̅ , 𝑡)

(1)

Această mărime portă denumirea de funcţie de undă. Trebuie precizat că 𝜓 poate fi o mărime vectorială (deplasare mecanică 𝑟̅ , intensitatea câmpului ̅ , etc.) sau o mărime scalară (presiunea unui electric 𝐸̅ sau magnetic 𝐻 gaz 𝑝, diferenţa de potenţial 𝑈, etc). Mulţimea punctelor din spaţiu în care funcţia de undă 𝜓 are, la un moment dat 𝑡, aceeaşi valoare, adică: 𝜓 = 𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

(2)

formează o suprafaţă numită suprafaţă de undă. Să considerăm o perturbaţie descrisă prin funcţia de undă 𝜓, care se propagă de- a lungul axei ox. În acest caz funcţia de undă se scrie: 𝜓 = 𝜓(𝑥, 𝑡)

(3)

În cazul propagării perturbaţiei cu viteză constantă 𝑣, presupunând că perturbaţia nu se modifică (amortizează) în timp, putem

5-4

Ionuţ VLĂDOIU

UNDE MECANICE

reprezenta grafic 𝜓 = 𝜓(𝑥) la momentele 𝑡 = 0 şi 𝑡 = 𝑡 (figura 5). Astfel, la momentul 𝑡 = 0, pentru punctul P se poate scrie: 𝜓 = 𝜓(𝑥1 , 0) = 𝑓(𝑥1 )

(4)

𝑣̅

𝝍 P

𝑡=0

𝑡=𝑡

𝝍(𝒙𝟏 , 𝟎)

P

𝝍(𝒙𝟐 , 𝒕)

𝒙 𝑥1

𝑣𝑡

unde funcţia 𝑓 defineşte forma 𝑥2 perturbaţiei. Cum perturbaţia se deplasează cu viteza 𝑣 fără să se Figura 5. Reprezentarea perturbaţiei 𝜓 în amortizeze, în punctul P de funcţie de distanţa x, la momentele 𝑡 = 0 şi 𝑡 = 𝑡. coordonată 𝑥2 = 𝑥1 + 𝑣𝑡, funcţia 𝜓 trebuie să aibă aceeaşi valoare la momentul 𝑡 = 𝑡: 𝜓(𝑥2 , 𝑡) = 𝑓 (𝑥1 ) = 𝑓(𝑥2 − 𝑣𝑡)

(5)

Astfel, conform relaţiei (5), rezultă că într- un punct P de coordonată x funcţia de undă 𝜓 va avea forma la momentul t dată de relaţia: 𝜓(𝑥, 𝑡) = 𝑓 (𝑥 − 𝑣𝑡)

(6)

Această relaţie indică că o perturbaţie care se propagă în sensul pozitiv al axei ox cu viteza v, fără amortizare, este decrisă printr - o funcţie de undă 𝜓 ce depinde numai de mărimea 𝑥 − 𝑣𝑡. Mărimea 𝜑 = 𝑥 − 𝑣𝑡 se numeşte faza undei. Suprafaţa de undă fiind definită prin condiţia 𝜓 = 𝑎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡., înseamnă că această suprafaţă va fi determinată şi de relaţia: 𝜑 = 𝑥 − 𝑣𝑡 = 𝑎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

(7)

Prin definiţie, viteza de propagare a unui punct x de fază constantă este denumită viteză de fază. Astfel, prin derivarea în raport cu timpul a relaţiei (7) va conduce la: 𝑑𝑥 𝑑𝑡

−𝑣=0

(8)

adică viteza de fază 𝑣 =

𝑑𝑥 𝑑𝑡

este chiar viteza de propagare a undei în

lungul direcţiei ox.

5-5

Ionuţ VLĂDOIU

UNDE MECANICE

2. ECUAŢIA DE PROPAGARE A

̅ 𝐓 𝚫𝒙

UNDELOR

𝛼𝐵

𝐁 𝛼𝐴

𝐀

̅ Pentru a descrie propagarea 𝐓 undelor într- un mediu, am introdus Figura 6. Un element de coardă Δ𝑥 supus funcţia de undă 𝜓. Toate valorile tensiunii 𝑇̅ . acesteia reprezintă soluţii ale ecuaţiei de propagare a undelor, care ne dă o descriere completă a propagării undelor şi din care vom determina expresii pentru viteza de undă. Vom presupune o undă care se propagă în lungul unei coarde de tensiune 𝑇 (figura 6). Considerând un element ∆𝑥 din această şi presupunând că capetele ei face ungiurile 𝛼𝐴 şi 𝛼𝐵 cu axa ox, forţa care acţionează asupra elementului pe direcţie verticală va fi:

sau

𝑇𝑠𝑖𝑛𝛼𝐵 − 𝑇𝑠𝑖𝑛𝛼𝐴 = 𝑚𝑎𝑦

(9)

𝑇(𝑠𝑖𝑛𝛼𝐵 − 𝑠𝑖𝑛𝛼𝐴 ) = 𝑚𝑎𝑦

(10)

Deoarece unghiurile sunt mici, putem utiliza aproximaţia 𝑠𝑖𝑛𝛼 ≈ 𝑡𝑔𝛼, astfel putem exprima forţele verticale cu relaţia: 𝑇(𝑡𝑔𝛼𝐵 − 𝑡𝑔𝛼𝐴 ) = 𝑚𝑎𝑦

(11)

unde 𝑚 reprezintă masa elementului de coardă. Să ne imaginăm o deplasare 𝜓(𝑦, 𝑡) infinitezimală a capătului, tangenta unghiului în raport cu axa x pentru această deplasare va fi: 𝑡𝑔𝛼 =

𝑑𝜓(𝑦,𝑡)

(12)

𝑑𝑥

Pentru că evaluam această tangetă la un moment particular de timp, putem scrie această relaţie sub forma: 𝑡𝑔𝛼 =

𝜕𝜓(𝑦,𝑡)

(13)

𝜕𝑥

Astfel, înlocuind în relaţia (11) obţinem: 𝑇 [(

𝜕𝜓(𝑦,𝑡) 𝜕𝑥

) −(

𝜕𝜓(𝑦,𝑡)

𝐵

𝜕𝑥

) ] = 𝑚𝑎𝑦 𝐵

(14)

Conform principilui al doilea al lui Newton şi considerând masa elementului de coardă 𝑚 = 𝜇∆𝑥, obţinem: 𝑚𝑎𝑦 = 𝜇∆𝑥 (

𝜕 2𝜓(𝑦,𝑡) 𝜕𝑡 2

)

(15) 5-6

Ionuţ VLĂDOIU

UNDE MECANICE

Astfel, din relaţiile (14) şi (15) obţinem: 𝑇 [(


) −(

𝜕𝜓(𝑦,𝑡)

𝐵

𝜕𝑥

) ] = 𝜇∆𝑥 ( 𝐵

𝜕 2𝜓(𝑦,𝑡) 𝜕𝑡 2

𝜕𝜓(𝑦,𝑡) 𝜕𝜓(𝑦,𝑡) ) −( ) ] 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝐵 𝐴

[(

de unde rezultă:

∆𝑥

)

=

(16)

𝜇 𝜕 2𝜓(𝑦,𝑡) 𝑇

(

𝜕𝑡 2

)

(17)

Partea stângă a acestei ecuaţii poate fi exprimată sub altă formă, dacă ţinem cont de relaţia derivatei parţiale a unei funcţii, definită de: 𝜕𝑓 𝜕𝑥

𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)

= lim∆𝑥→0

(18)

∆𝑥

Dacă facem asocierea 𝑓 (𝑥 + ∆𝑥 ) cu (


) şi 𝑓(𝑥) cu ( 𝐵


) observăm că 𝐴

pentru cazul ∆𝑥 → 0, relaţia (17) devine: 𝜕 2 𝜓(𝑦,𝑡) 𝜕𝑥 2

=

𝜇

( 𝑇

𝜕 2𝜓(𝑦,𝑡) 𝜕𝑡 2

)

(19)

Aceasta este ecuaţia de propagare a undelor obţinută în cazul particular al unei corzii. Prin trecere la cazul general (mişcarea tridimensională, 𝜓(𝑟̅ , 𝑡)) putem scrie relaţia de mai sus sub forma: Δ𝜓(𝑟̅ , 𝑡) − unde

1 𝜕 2 𝜓(𝑟̅ ,𝑡) 𝑣2

𝜕𝑡 2

𝑇

𝑣 = √𝜇

=0

(20) (21)

reprezintă viteza de propagare a perturbaţiei în cazul particular al unei corzi în care se propagă unde transversale. Această ecuaţie de propagare se aplică unui număr variat de unde. În cazul nostru funcţia de undă este deplasarea y a elementului de coardă. Pentru unde sonore, funcţia de undă 𝜓 corespunde poziţiilor longitudinale ale variaţiilor de presiune sau variaţiei densităţii gazului în care se propagă unda. În cazul undelor electromagnetice funcţia de undă 𝜓 𝒛 corespunde intensităţii câmpului electric 𝑷 sau magnetic. 𝒓̅ 𝜽

3. UNDE SFERICE

𝝋

𝒚

𝒙 În general, sursele punctiforme emit unde în toate direcţiile . În cazul mediilor ideale (propagarea nu se face după o direcţie preferenţială), problema are

Figura 7. Poziţia unui punct în coordonate sferice. Poziţia acestuia în raport cu axele este dată de realţiile: 𝑥 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑𝑠𝑖𝑛𝜃 şi 𝑧 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃.

5-7

Ionuţ VLĂDOIU

UNDE MECANICE

simetrie sferică, deci ecuaţia diferenţială a undelor trebuie scrisă în coordonate sferice (figura 7), laplacianul fiind: Δ=

1 𝜕 𝑟2

𝜕𝑟

(𝑟 2

𝜕 𝜕𝑟

)+

1 𝑟 2𝑠𝑖𝑛𝜃

𝜕 𝜕𝜃

(𝑠𝑖𝑛𝜃

𝜕 𝜕𝜃

)+

1

𝜕2

𝑟 2 𝑠𝑖𝑛 2𝜃

𝜕𝜑2

(22)

În cazul undelor sferice create de o sursă punctiformă care se propagă în medii omogene şi izotrope, funcţia de undă depinde doar de variabilele 𝑟̅ şi 𝑡. Atunci putem scrie: 1 𝜕

𝜕2

𝜕

2 𝜕

Δ = 𝑟 2 𝜕𝑟 (𝑟 2 𝜕𝑟) = 𝜕𝑟 2 + 𝑟 𝜕𝑟

(23)

Ecuaţia undelor se scrie în acest caz: 𝜕 2 (𝑟𝜓) 𝜕𝑟 2

1 𝜕 2(𝑟𝜓)

−

𝑣2

𝜕𝑡 2

=0

(24)

Această ecuaţie admite soluţii de forma: 𝑟𝜓 = 𝑓 (𝑟 − 𝑣𝑡) + 𝑔(𝑟 + 𝑣𝑡)

(25)

Adică ea exprimă superpoziţia a două unde care se propagă în sens opus. Se observă că pentru undele care pleacă de la sursă, funcţia de undă are forma: 1

𝜓 = 𝑟 𝑓 (𝑟 − 𝑣𝑡) Termenul temenul

1 𝑟

1 𝑟

(26)

𝑓(𝑟 − 𝑣𝑡) reprezintă undele progresive sau directe, iar

𝑔(𝑟 + 𝑣𝑡) reprezintă undele regresive sau inverse. Primele sunt

unde care pornesc de la sursă, iar cele din urmă sunt unde care converg către sursă. Ecuaţia suprafeţelor echifază este   r  vt  const., care reprezintă ecuaţia unor sfere concentrice cu centrul în sursa undei. Departe de sursă, suprafaţa sferică echifază poate fi aproximată pe porţiuni mari cu un plan, iar undele sferice devin plane.

4. UNDA PLANĂ. UNDA MONOCROMATICĂ PLANĂ Un caz important de unde care se propagă într - o singură direcţie îl constituie acela în care funcţia de undă poate fi exprimată prin funcţiile trigonometrice sinus şi cosinus. Undele sinusoidale reprezintă cel mai simplu caz de undă continuă periodică, care poate fi utilizată pentru construcţia undelor mai complexe. În figura 8 este reprezentată o undă sinusoidală care se 5-8

Ionuţ VLĂDOIU

UNDE MECANICE

deplasează la două momente de timp t=0 şi un moment ulterior t, iar în figura 9 o undă ce se propagă într- un mediu în funcţie de poziţie şi timp.

𝝍

𝑣𝑡

𝑣̅

𝒙 Analizând figura 9 putem definii lungimea de undă 𝜆 ca fiind distanţa dintre două puncte vecine de fază Figura 8. Undă sinusoidală unidimensională egală, succesive pe direcţia de care se deplasează cu viteza 𝑣̅, la mişcare, sau distanţa minimă dintre momentele 𝑡 = 0 (curba portocalie)şi 𝑡 (curba punctată albastră). oricare două puncte identice de pe două unde vecine. Analog, putem definii perioada 𝑇 a undelor sinusoidale ca fiind intervalul de timp necesar ca puncte identice de pe unde învecinate să treacă prin aceeaşi poziţie. Putem defin ii şi frecvenţa undelor periodice (sinusoidale) ca fiind numărul de puncte identice de pe suprafaţa de undă care trec prin aceeaşi poziţie în unitatea de timp: 1

𝜐=𝑇

(27)

Deplasarea maximă faţă de poziţia de echilibru a unui punct de pe suprafaţa de undă reprezintă amplitudinea undei A. Din definiţiile lungimii de undă, ale perioadei şi analizân figura 9 observăm că unda parcurge o distanţă egală cu 𝜆 într- o perioadă. Astfel, viteza de fază poate fi exprimată prin: 𝜆

𝑣=𝑇

(28)

Să considerăm unda sinusoidală din figura 9 (a ), care reprezintă poziţia undei. Fiind o undă sinusoidală va fi exprimată prin relaţia: 𝜓(𝑥, 𝑡) = 𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡

(29)

La un moment de timp 𝑡’ frontul de undă se va afla la distanţa 𝑥 = 𝑣𝑡′, iar funcţia de undă va fi descrisă de relaţia:

𝝍

𝝍

𝜆

𝑇 𝐴

𝐴

𝒕

𝒙

(𝒂)

(𝒃)

Figura 9. (a) Lungimea de undă 𝜆 a undei este distanţa dintre două puncte vecine ce acee aşi fază, (b) Perioada T undei este intervalul de timp undei să parcurgă o distanţă egală cu 𝜆.

5-9

Ionuţ VLĂDOIU

UNDE MECANICE

𝜓(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑖𝑛 𝜔 (𝑡 − 𝑡′) adică

(30) 𝑥

𝜓(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑖𝑛 𝜔 (𝑡 − 𝑣 )

(31)

Cum frecvenţa unghiulară este dată de relaţia: 𝜔 = 2𝜋𝜈 =

2𝜋

(32)

𝑇

relaţia (31) poate fi scrisă şi sub forma: 𝜓(𝑥, 𝑡) = 𝐴 𝑠𝑖𝑛

2𝜋 𝑇

𝑥

(𝑡 − 𝑣 )

(33)

Din relaţiile (33) şi (28) obţinem: 𝑡

𝑥

𝑇

𝜆

𝜓(𝑥, 𝑡) = 𝐴 𝑠𝑖𝑛 [2𝜋 ( − )]

(34)

Relaţia (34) reprezintă ecuaţia undei plane care arată că funcţia de undă într- un punct situat pe direcţia de mişcare depinde simultan de poziţia 𝑥 şi timpul 𝑡 faţă de sursa undei. Mărimea: 𝑡

𝑥

𝜑 = 2𝜋 (𝑇 − 𝜆 )

(35)

se numeşte faza undei plane. Mulţimea punctelor din spaţiu care au la un moment dat aceaşi fază (oscilează în fază) formează suprafaţa de undă. În cazul considerat aici, suprafeţele de undă sunt plane perpendiculare pe direcţia de mişcare ox. După cum am arătat anterior (relaţia (8)), viteza undei este egală cu viteza de propagare a undei şi o numim viteză de fază. Dacă diferenţa de fază Δ𝜑 = 𝜑2 − 𝜑1 dintre două puncte 𝑥1 şi 𝑥2 diferă prin 2𝑘𝜋 obţinem: 𝑡

Δ𝜑 = 𝜑2 − 𝜑1 = 2𝑘𝜋 ⇒ 2𝜋 (𝑇 − adică

𝜆

𝑥2 − 𝑥1 = 𝑘𝜆 = 2𝑘 2 ,

𝑥2 𝜆

𝑡

) − 2𝜋 (𝑇 −

𝑥1 𝜆

) = 2𝑘𝜋

𝑘 = 0,1,2, ..

(36)

(37)

şi atunci spunem că punctele sunt în fază. Dacă diferenţa de fază Δ𝜑 = 𝜑2 − 𝜑1 = (2𝑘 + 1)𝜋 obţinem: 𝜆

𝑥2 − 𝑥1 = (2𝑘 + 1) 2 ,

𝑘 = 0,1,2, ..

(38)

şi punctele sunt în opoziţie de fază. Ţinând cont de relaţia (32) şi definind numărul de undă: 5 - 10

Ionuţ VLĂDOIU

𝑘=

2𝜋 𝜆

2𝜋

= 𝑣𝑇 =

𝜔 𝑣

UNDE MECANICE

(39)

ecuaţia undei plane devine: 𝜓(𝑥, 𝑡) = 𝐴 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)

(40)

Relaţia de mai sus exprimă o undă armonică plană monocromatică. Experienţa arată că orice undă poate fi descompusă într-o combinaţie liniară de unde armonice plane monocromatice. Unda armonică plană monocromatică poate fi scrisă şi prin relaţia: 𝜓(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑥)

(41)

având semnificaţie fizică partea imaginară a acestei expresii (sau partea reală dacă se exprimă funcţia 𝜓(𝑥, 𝑡) prin cosinus). Pentru unda armonică plană monocromatică funcţia de undă este: a) periodică în timp 𝜓(𝑥, 𝑡 + 𝑇) = 𝜓(𝑥, 𝑡) ⇒ sin[𝜔(𝑡 + 𝑇) − 𝑘𝑥 ] = sin(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 ) ⇒ 𝜔(𝑡 + 𝑇) − 𝑘𝑥 = 𝜔𝑡 + 2𝜋 − 𝑘𝑥 ⇒ 𝑇 =

2𝜋 𝜔

(42)

b) periodică în spaţiu 𝜓(𝑥 + 𝜆, 𝑡) = 𝜓(𝑥, 𝑡) ⇒ sin[𝜔𝑡 − 𝑘(𝑥 + 𝜆] = sin(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 ) ⇒ 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 − 𝑘𝜆 = 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 − 2𝜋 ⇒ 𝑘 = Aplicaţia 1. O undă sinusoidală ce se deplasează în lungul direcţiei x, are o amplitudine 𝐴 = 15 𝑐𝑚, lungimea de undă 𝜆 = 40 𝑐𝑚 şi frecvenţa 𝜐 = 8 𝐻𝑧 . Poziţia verticală a unui element din mediu la t=0 şi x=0 este tot 15 cm (figură alăturată). (A) Determinaţi numărul de undă, frecvenţa unghiulară şi viteza undei. Rezolvare 𝑘=

2𝜋 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 = = 0,157 𝑟𝑎𝑑/𝑐𝑚 𝜆 40 𝑐𝑚

𝑇=

1 1 = = 0,125 𝑠 𝜈 8 𝐻𝑧

2𝜋 𝜆

(43)

(B) Determinaţi faza undei şi scrieţi o expresie generală a funcţiei de undă. Rezolvare Deoarece A= 15 cm 𝑦 = 15 cm şi 𝑥 = 0, 𝑡 = 0, înlocuind în relaţia ( 40) obţinem: 15 = 15 𝑠𝑖𝑛(0) ⇒ sin 𝜑 = 1 ⇒ 𝜑 = 𝜋/2.

𝜔 = 2𝜋𝜈 = 2𝜋 8 𝐻𝑧 = 50,3 𝑟𝑎𝑑/𝑠

5 - 11

Ionuţ VLĂDOIU

UNDE MECANICE

𝜋

𝑣 = 𝜆𝜈 = 40 𝑐𝑚 8 𝐻𝑧 = 320 𝑐𝑚/𝑠

Astfel: 𝑦 = 𝐴𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 2 ) = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥) 𝑦 = 15cos(50,3𝑡 − 0,157𝑥)

Aplicaţia 2. O sursă S aflată într- un mediu elastic emite unde sinusoidale cu amplitudine 𝐴 = 0,25 𝑚𝑚, lungimea de undă 𝜆 = 10 𝑚 şi pulsaţia 𝜔 = 100𝜋

𝑟𝑎𝑑 𝑠

.

(A) Determinaţi timpul 𝜏 după care începe să oscileze un punct P situat la dist anţa 𝑥 = 8𝑚 de sursă. Rezolvare 𝜔 = 2𝜋𝜈 ⇒ 𝜈 = 𝜏=

𝜔 = 50𝐻𝑧 2𝜋

Δ𝜑 = 𝜑2 − 𝜑1 =

2𝜋 Δ𝑥 = 16𝜋 𝜆

(C) Distanţa d dintre două puncte între care 𝜋 defazajul este Δ𝜑 = 𝑟𝑎𝑑. 6

Rezolvare 2𝜋 𝜆 Δ𝜑 = d⇒d= Δ𝜑 = 0,83 𝑚 𝜆 2𝜋 (D) Defajajul Δ𝜑1 dintre două puncte 𝜆 situate la distanţa 2 unul de altul pe direcţia de mişcare.

𝑥 𝑥 8𝑚 = = = 0,016 𝑠 𝑣 𝜆𝜐 10 𝑚 50 𝐻𝑧

(B) Determinaţi defazajul oscilaţia în P şi cea în S.

Rezolvare

Δ𝜑

dintre

Rezolvare 2𝜋 2𝜋 𝜆 Δ𝜑1 = Δ𝑥 = =𝜋 𝜆 𝜆 2

5. VITEZA DE PROPAGARE A UNDELOR 5.1. VITEZA DE PROPAGARE A UNDELOR TRANSVERSALE După cum am discutat la începutul capitolului, se cunosc două tipuri de unde: unde longitudinale, la care este perturbaţia este paralelă cu direcţia de propagare a undei, respectiv, unde transversale, la care este perturbaţia este perpendiculară pe direcţia de propagare a undei. Viteza de propagare aundelor transversale a fost stabilită în paragraful 3, unde s-a stabilit ecuaţia de propagare a undelor într - o coardă în care apar unde transversale. Astfel, prin c ompararea relaţiilor (19) şi (20) obţinem: 𝑇

𝑣𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 = √𝜇

(44)

unde 𝑇 reprezintă tensiunea în coardă, iar 𝜇 este masa unităţii de lungime a corzii. Se observă că viteza undelor transversale descreşte odată cu creşterea unităţii de masă a lungimii corzii. Acest fapt se datorează

5 - 12

Ionuţ VLĂDOIU

UNDE MECANICE

dificultăţi sporite de a accelera un element mai lung de coardă prin comparaţie cu unul mai scurt. Formula vitezei undelor transversale se poate determina şi din considerente mecanice. Considerând o puls ce se deplasează într- o coardă întinsă cu viteză constantă în raport cu o porţiune de referinţă. Putem alege ca referinţă o porţiune de coardă care se deplasează cu pulsul considerat, cu aceeaşi viteză deoarece legea a doua a lui Newto n este valabilă atât în sisteme staţionare cât şi în cele care se deplasează cu viteză constantă. Presupunem o deplasare a elementelor coardei spre stânga (figura 10) şi alegem un element de coardă de lungime Δ𝑠 ce formează un arc de cerc de rază 𝑅. Elementul ales va avea o acceleraţie centripetă care este întreţinută de componentele tensiunii 𝑇̅ ce apare în coardă. Această forţă acţionează asupra ambelor capete ale elementului considerat, componentele sale orizontale anulându - se reciproc, iar cele verticale sunt orientate spre centrul arcului de cerc şi vor avea rezultanta egală cu 2𝑇𝑠𝑖𝑛𝜑 (figura 10). Deoarece am ales o porţiune mică de coardă şi ţinând cont că unghiurile sunt mici putem folosi aproximaţia 𝑠𝑖𝑛𝜑 ≈ 𝜑. Astfel, forţa totală ce acţionează pe direcţia radială va fi: 𝐹𝑟 = 2𝑇𝑠𝑖𝑛𝜑 ≈ 2𝑇𝜑

(45)

Elementul de coardă are masa: 𝑚 = 𝜇∆𝑠

(46)

Cum elementul formează un arc de cerc ce subîntinde un unghi 2𝜑, putem exprima lungimea arcului de cerc prin relaţia: ∆𝑠 = 2𝜑 𝑅

(47)

Astfel, relația (46) devine: 𝑚 = 2𝜇𝑅𝜑

(48) ̅ 𝒗

Aplicând legea a doua a lui Newton pe direc ție radială obținem: 𝐹𝑟 = 𝑚𝑎 =

𝑚𝑣 2 𝑅

∆𝒔 ̅ 𝑻

𝑹 𝑶

adică: 2𝑇𝜑 =

(49)

∆𝒔

𝑚𝑣 2 𝑅

(50)

𝜑

𝜑 𝑹

𝜑

̅ 𝑻

𝑶

Figura 10. Mișcarea unui element ∆𝑠 care se deplasează cu viteza 𝑣̅. Forțele care acționează asupra sa sunt radiale deoarece componentele orizontale se anulează reciproc.

5 - 13

Ionuţ VLĂDOIU

UNDE MECANICE

Prin înlocuirea expresiei (48) în relația de mai sus obținem: 2𝑇𝜑 =

2𝜇𝑅𝜑𝑣 2 𝑅 𝑇

𝑣𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 = √𝜇

Adică:

(50) (51)

Trebuie menționat că deducerea acestei relaţii s-a bazat pe presupunerea că lungimea pulsului este mult mai mică decât cea a corzii. În plus, modelul ales nu presupune o formă particulară a formei pulsului, adică acesta se deplasează cu viteza 𝑣̅ fără ca forma pulsului să se modifice. Aplicaţia 3. O coardă uniformă are masa m=0,3kg şi lungimea l=6m este fixată la un capăt. Coarda este trecută peste un scripete ideal (ca în figură), iar la celălat capăt este prins un corp cu masa M=2kg. Determinaţi viteza unei unde ce se propagă în coardă.

𝟓𝒎

𝟏𝒎

Rezolvare

𝟐 𝒌𝒈

Aplicând princiupiul II obţinem: 𝑇 − 𝑀𝑔 = 0 sau 𝑇 = 𝑀𝑔 = 20 𝑁 Masa unităţii de lungime este: 𝜇=

𝑚 𝑘𝑔 = 0,05 𝑙 𝑚

Astfel, viteza undei va fi: 𝑇 𝑚 𝑣 = √ = 20 𝜇 𝑠

5.2. VITEZA DE PROPAGARE A UNDELOR LONGITUDINALE Pentru a determina viteza de deplasare a undelor longitudinale ne vom imagina următoarea sirtuaţie: o bară rigidă de secţiune constantă 𝑆, densitate 𝜌 şi modul de elasticitate 𝐸 este supusă unei tensiuni de-a lungul axei sale (figura 11). Datorită forţelor de tensiune, fiecare secţiune va suferi o deplasare 𝜓 în lungul axei sale. Pentru a putea produce o undă în această bară trebuie să presupunem că deformarea este o funcţie de distanţa 𝑥 faţă de originea sistemului de coordonate. Aplicând o forţă exterioară, două secţiuni aflate la distanţa 𝑑𝑥 una de alta se vor deplasa pe distanţele 𝜓(𝑥) şi 𝜓(𝑥 + 𝑑𝑥). Eforturile unitare pe cele două feţe 𝜎(𝑥) şi 𝜎(𝑥 + 𝑑𝑥) sunt date de legea lui Hooke, care este de forma: 𝜎 𝐸

=

∆𝑙 𝑙

(52)

5 - 14

Ionuţ VLĂDOIU 𝐹

𝜎=𝑆

unde

UNDE MECANICE

reprezintă

efortul

unitar, iar 𝐸 este modulul de elasticitate a lui Young. Mărimea ∆(𝑑𝑥 ) = 𝜓(𝑥 + 𝑑𝑥)- 𝜓(𝑥) reprezintă deformarea Δ𝑙, iar mărimea 𝑑𝑥 reprezintă lungimea 𝑙 a deformării. Dezvoltând termenul 𝜓(𝑥 + 𝑑𝑥) obţinem pentru mărimea ∆(𝑑𝑥) expresia:

𝝍(𝒙)

𝝈(𝒙)

𝑶

𝝈(𝒙 + 𝒅𝒙)

𝒙 𝒙

𝝍(𝒙 + 𝒅𝒙)

𝒅𝒙

Figura 11. Mișcarea unui element 𝑑𝑥 care se deplasează cu viteza 𝑣̅ într- o bară elastică în care se produc unde longitudianle prin exercitarea unor forţe exterioare asupra acesteia.

𝜕𝜓

∆(𝑑𝑥 ) = [𝜓(𝑥) + 𝜕𝑥 𝑑𝑥 + ⋯ . . ] − 𝜓(𝑥 ) =

𝜕𝜓 𝜕𝑥

𝑑𝑥

(53)

Legea lui Hooke va deveni: 𝜎(𝑥) 𝐸

=

𝜕𝜓

(54)

𝜕𝑥

Conform legii a doua a lui Newton, forţa care produce deformarea barei elastice va fi: 𝜕2𝜓

𝐹 = 𝑚𝑎 ⇒ 𝑆 [𝜎(𝑥 + 𝑑𝑥 ) − 𝜎 (𝑥 )] = 𝑚 𝜕𝑡 2

(55)

Masa barei este dată de relaţia: 𝑚 = 𝜌𝑑𝑉 = 𝜌𝑆𝑑𝑥

(56)

unde 𝜌 este densitatea mediului, astfel încât, relaţia (56) devine: 𝑆 [𝜎(𝑥 + 𝑑𝑥 ) − 𝜎(𝑥 )] = 𝜌𝑆𝑑𝑥

𝜕 2𝜓 𝜕𝑡 2

(57)

Acum, dezvoltând termenul 𝜎 (𝑥 + 𝑑𝑥 ), obţinem: 𝜕𝜎

𝜎 (𝑥 + 𝑑𝑥 ) − 𝜎(𝑥 ) = [𝜎(𝑥) + 𝜕𝑥 𝑑𝑥 + ⋯ . . ] − 𝜎 (𝑥 ) =

𝜕𝜎 𝜕𝑥

𝑑𝑥

(58)

care, prin înlocuire în relaţia (58) conduce la: 𝜕𝜎 𝜕𝑥

𝜕2𝜓

= 𝜌 𝜕𝑡 2

(59)

Eliminând efortul unitar 𝜎 din relaţiile (54) şi (59) obţinem: 𝜕2𝜓 𝜕𝑥 2

−

𝜌 𝜕 2𝜓 𝐸 𝜕𝑡 2

=0

(60)

5 - 15

Ionuţ VLĂDOIU

UNDE MECANICE

Aceasta este ecuaţia de propagare a undelor longitudinale care se propagă într- o singură direcţie, într- o bară elastică. Comparând relaţiile (21) şi (60) obţinem pentru viteza de propagare a undelor longitudinale expresia: 𝐸

𝑣𝑙𝑜𝑛𝑔 = √𝜌

(61)

În cazul unei bare de fier ( 𝐸 = 2 ∙ 1011 𝑁/𝑚2 şi 𝜌 = 7700𝑘𝑔/𝑚3 ), viteza de propagare a undelor longitudinale este 𝑣 = 5050 𝑚/𝑠. Aplicaţia 4. O coardă vibrantă cu secţiunea 𝑆 = 2 𝑚𝑚2 şi modul de elasticitate 𝐸 = 1011 𝑁/𝑚, poate oscila sub acţiunea unei tensiuni în fir de 𝑇 = 80 𝑁. În aceeaşi coardă s-ar putea propaga unde longitudianle. Determinaţi raportul vitezelor de propagare ale undelor transversale, respectiv longitudianle în această coardă.

Volumul corzii este: 𝑉=𝑆𝐿 Astfel, relaţia vitezei undelor transsversale devine:

Rezolvare

𝑇𝐿 𝑇 𝑣𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠. = √ =√ 𝜌𝑆𝐿 𝜌𝑆

Vitezele de propagare a celor două unde

Cum:

vor fi: 𝑇 𝑇 𝑇𝐿 𝑣𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠. = √ = √ 𝑚 = √ 𝜇 𝜌𝑉 𝐿 unde am folosit relaţia densităţii: 𝑚 𝜌= 𝜌

𝑣𝑙𝑜𝑛𝑔 = √

𝐸 𝜌

Raportul vitezelor va fi: 𝑇 𝑣𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠. √𝜌𝑆 𝑇 = = √ = 0,02 𝑣𝑙𝑜𝑛𝑔 𝑆𝐸 𝐸 √ 𝜌

6. ENERGIA TRANSPORTATĂ DE UNDE Unda transportă energie atunci când se propagă într - un mediu. Acest lucru poate fi evidenţiat foarte uşor, după cum am amia spus, prin observarea stării de mişcarea induse unui corp ce pluteşte pe suprafaţa apei de către o undă. Un alt exemplu este cel al unui corp legat de o coardă în care propagă unde transversale. Atunci când unda ajunge la obiectul suspendat acesta începe să să execute o mişcare de translaţie, proces ce este însoţit şi de un transfer de energie de la undă la corp. Să considerăm cazul unidimensional al propagării unei unde sinusoidale într- o coardă. Sub acţiunea unei forţe exterioare care acţionează la capătul corzii pe o direcţie transversală aceasta începe să oscileze, iar energia furnizată aceasteia se va propaga în lungul ei. Fiecare element al corzii de de masă 𝑑𝑚 şi lungime 𝑑𝑙 se va mişca pe direcţie verticală, având o mişcare armonică simplă pe direcţia Oy. 5 - 16

Ionuţ VLĂDOIU

UNDE MECANICE

Fiecare element va avea aceeaşi frecvenţă 𝜔 şi aceaşi amplitudine 𝐴. Energia cinetică asociată mişcării elem entului de coardă va fi: 𝑑𝐸𝐶 =

𝑑𝑚𝑣𝑦2

(62)

2

unde 𝑣𝑦 este viteza transversală a elemetului de cordă. Dacă 𝜇 este masa pe unitatea de lungime, atunci masa fiecărui element va fi 𝑑𝑚 = 𝜇𝑑𝑥. Astfel, energia cinetică poate fi exprimată prin relaţia: 𝑑𝐸𝐶 =

𝜇𝑑𝑥 𝑣𝑦2

(63)

2

Mişcarea oscilatorie armonică a elementul de cordă va fi exprimată printr- o relaţie de forma: 𝜓 = 𝐴𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)

(64)

Deoarece elementul de cordă se mişcă doar pe direcţie verticală, coordonate x rămâne constantă, astfel încât putem exprima viteza transversală prin relaţia: 𝑣𝑦 =

𝑑𝜓

|

𝑑𝑡 𝑥=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

=

𝜕𝜓 𝜕𝑡

= 𝜔𝐴 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)

(65)

Astfel, relaţia (63) devine: 𝑑𝐸𝐶 =

𝜇 𝜔2 𝐴2 𝑐𝑜𝑠 2 (𝜔𝑡−𝑘𝑥) 2

𝑑𝑥

(66)

Pentru momentul 𝑡 = 0 energia cinetică va fi: 𝑑𝐸𝐶 =

𝜇 𝜔2 𝐴2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑘𝑥) 2

𝑑𝑥

(67)

Integrând relaţia de mai sus pentru toate elementele coardei cuprinse într- o lungime egală cu lungimea de undă, o bţinem energia cinetică totală 𝐸𝐶𝜆 transportată de cordă pe o lungime de undă: 𝜆 𝜇 𝜔2 𝐴2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑘𝑥

𝐸𝐶𝜆 = ∫ 𝑑𝐸𝐶 = ∫0 𝐸𝐶𝜆 = 𝐸𝐶𝜆 =

𝜇 𝜔2 𝐴2 1 2

2 1

𝑑𝑥 =

4

2

𝜆

𝜇 𝜔2 𝐴2

0

2

[ 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑘𝑥] = 2 4𝑘

𝜇 𝜔2 𝐴2 𝜆

𝜇 𝜔2 𝐴2

𝜆

∫0 𝑐𝑜𝑠 2 𝑘𝑥𝑑𝑥

𝜆

(2 )

(68)

Datorită deplasării faţă de poziţia de echilibru, pe lângă energie cinetică, fiecare element al corzii va avea şi o energie potenţială, dată de relaţia: 𝑑𝐸𝑝 = adică

𝑘𝜓 2 2

𝑑𝐸𝑝 =

(69) 𝑘𝐴2 𝑠𝑖𝑛 2 (𝜔𝑡−𝑘𝑥) 2

(70) 5 - 17

Ionuţ VLĂDOIU

UNDE MECANICE

Repetând raţionamentul de mai sus, obţinem pentru potenţială transportată de undă pe o lungime de undă, relaţia: 𝐸𝑝𝜆 =


energia

(71)

4

Astfel, energia totală transportată pe o lungime de undă va fi: 𝜇 𝜔2 𝐴2 𝜆

𝐸𝑡𝜆 = 𝐸𝑐𝜆 + 𝐸𝑝𝜆 =

(72)

2

Pe măsură ce unda se propagă prin coardă, această energie va trece printr- un punct dat al acesteia într- un interval de timp egal cu o perioadă. Astfel, puterea asociată undei va fi: P=

∆𝐸 ∆𝑡

𝐸𝑡𝜆

=

𝑇

=


(73)

2𝑇

sau, ţinând cont de relaţia de definiţie a vitezei de fază: P=

𝜇 𝜔2 𝐴2 𝑣

(74)

2

Această relaţie ne arată că rata energiei transferate de o undă sinusoidală într- o coardă este proporţională cu pătratul amplitudinii, al frecvenţei unghiulare şi cu lungimea de undă. Intensitatea undei 𝐼 reprezintă energia transportată de undă în timp, printr -o suprafaţă, adică: ∆𝐸

𝐼 = 𝑆∆𝑡 =

P 𝑆

𝐼=

sau

=

𝐸𝑡𝜆 𝑆𝑇

𝜇 𝜔2 𝐴2 𝑣 2𝑆

(75) (76)

Aplicaţia 4. O coardă întinsă cu 𝜇 = 0,05 𝑘𝑔/𝑚 este sub o tensiune de 80 𝑁. (A) Câtă putere trebuie furnizată coardei pentru a genera unde sinusoidale cu frecventa de 60 𝐻𝑧 şi amplitudinea 6 𝑐𝑚?

Rezolvare În acest caz putere se va determina cu formula:

P′ =

Rezolvare 𝑇

𝑣 = √ 𝜇 şi 𝜔 = 2𝜋𝜈 formula puterii devine:

P=

2

Adică:

𝑇 𝜇

2

Astfel, va rezulta:

Ţinând cont că:

𝜇 (2𝜋𝜈)2 𝐴2 √

𝜇 𝜔2 𝐴′2 𝑣

= 512 𝑊

(B) Dacă coardei îi este transferată o putere de 1000W, care ar trebui să fie amplitudiena ca ceilaţi parametrii să fie nu se modifice?

P′ 𝜇 𝜔2 𝐴′2 𝑣 𝐴′2 = = P 𝜇 𝜔 2 𝐴2 𝑣 𝐴2 𝑃′ 𝐴′2 = 𝐴2 √ = 8,39 𝑐𝑚 𝑃

5 - 18

Ionuţ VLĂDOIU

UNDE MECANICE

7. REFLEXIA ŞI REFRACŢIA UNDELOR Atunci când în calea undelor produse pe suprafaţa unui lichid punem un obstacol se observă că undele se întorc spre sursă, interacţionnd cu cele incidente. În plus, dacă obstacolul nu este foarte mare, se observă că undele se propagă şi în spatele acestuia, fr ontul undei fiind circular indiferent de forma frontului incident. Această constatare poate fi explicată dacă se consideră că orice punct al mediului prin care se propagă o undă este o sursă de unde secundare sferice. Acesta este de fapt conţinutul principiului lui Huygens, care furnizează o metodă de a construi frontul de undă la un moment dat, dacă se cunoaşte cel de la un moment anterior. Acest principiu poate fi formulat astfel: orice punct de pe o suprafaţă de undă poate fi considerat sursa unor unde sferice Figura 12. Formarea frontului de undă secundare astfel încât, înfăşurătoarea conform principiului lui Huygens în cazul undelor plane şi sferice. aceastor unde secundare va constitui noul front de undă (figura 12). Pe baza principilui lui Huygens se pot explica şi fenomenele de reflexie şi refracţie a undelor. Astfel, să considerăm două medii având module de elasticitate diferite şi densităţi diferite, pe a căror suprafaţă de separare este incidentă o undă. Conform celor afirmate mai sus, fiecare punct al suprafeţei de separare dintre cele două medii va deveni sursă de noi oscilaţii de la care se vor propaga noi unde având aceeaşi frecvenţă cu cea incidentă. Se observă că o parte din undele produse se întorc în mediul din care au venit, iar o altă parte pătrund în cel de -al doilea mediu, propagându - se prin el. În primul caz spunem că undele sunt reflectate, iar în cazul al doilea spunem că undele sunt refractate (figura 13). 𝑨 𝒊

𝑷

𝒓′ 𝒊

𝑶 𝒓 𝑩

𝒓

𝒓′

𝒊 𝒓′

Pentru undele reflectate din figura 13 rezultă:

𝑶𝟏 𝒓

𝑃𝑂1 = 𝑂𝑂1 sin 𝑖 = 𝑣1 𝑡 (77) şi

𝑂𝐴 = 𝑂𝑂1 𝑠𝑖𝑛𝑟′ = 𝑣1 𝑡

(78)

Adică: Figura 13. Reflexia şi refracţia undei pe suprafaţa de separare dintre două medii diferite.

sin 𝑖 = 𝑠𝑖𝑛𝑟 ′ ⇒ 𝑖 = 𝑟′

(79) 5 - 19

Ionuţ VLĂDOIU

UNDE MECANICE

Relaţia de mai sus arată că undele reflectate se întorc în mediul din care au venit sub unghiul de reflexie 𝑟’ egal cu unghiul de incidenţă 𝑖. Pentru undele reflectate rezultă: 𝑃𝑂1 = 𝑂𝑂1 sin 𝑖 = 𝑣1 𝑡 şi

𝑂𝐵 = 𝑂𝑂1 sin 𝑟 = 𝑣2 𝑡

adică:

sin 𝑖 sin 𝑟

𝑣

= 𝑣2 = 𝑛 1

(80) (81) (82)

Relaţia de mai sus ne arată că raportul dintre sinusul unghiului de incidenţă şi sinusul unghiului de refracţie este constant, fiind egal cu raportul vitezelor undelor în cele două medii . Mărimea 𝑛 din relaţia (82) se numeşte indice de refracţie al mediului. Deoarece viteza de propagare a undei într- un mediu este o caracteristică a mediului respectiv, înseamnă că pentru orice pereche de medii date indicele de refracţie este o constantă specifică.

8. DISPERSIA UNDELOR. VITEZA DE GRUP Dispersia undelor apare atunci când viteza de fază (sau viteza propagare) a acestora printr- un mediu depinde de frecvenţa undelor. asemenea cazuri, energia transportată de undă nu se deplasează, general, cu viteza de fază 𝑣, ci cu o viteză mai mică numită viteză grup 𝑣𝑝 .

de În în de

Unda armonică plană este un concept idealizat, în natură neexistând astfel de unde. Totuşi, acest concept prezintă o însemnătate deosebită pentru studiile asupra undelor deoarece, oricât de complicată ar fi o perturbaţie, ea poate fi reprezentată ca o sumă de perturbaţii având anumite frecvenţe apropiate ca valoare, cu ajutorul analizei Fourier. Acest ansamblu de unde cu frecvenţe apropiate între ele formează un grup de unde sau pachet de unde. Să considerăm, pentru simplitate, cazul a două unde sinusoidale de frecvenţe foarte apropiate 𝜔1 şi 𝜔2 , care se propagă în aceaşi direcţie, de- a lungul axei 𝑜𝑥. În plus, vom considera că cele două unde au aceaşi amplitudine 𝐴 şi că ecuaţiile lor sunt de forma:

şi

𝜓1 = 𝐴 𝑠𝑖𝑛(𝜔1 𝑡 − 𝑘1 𝑥)

(83)

𝜓2 = 𝐴 𝑠𝑖𝑛(𝜔2 𝑡 − 𝑘2 𝑥)

(84)

Unda rezultantă va avea funcţia de undă:

5 - 20

Ionuţ VLĂDOIU

UNDE MECANICE

𝜓 = 𝜓1 + 𝜓2 = 2𝐴 𝑐𝑜𝑠

(𝜔1 −𝜔2 )𝑡−(𝑘1−𝑘2 )𝑥 2

𝑠𝑖𝑛

(𝜔1 +𝜔2 )𝑡−(𝑘1 +𝑘2 )𝑥

𝝍

cos(𝑑𝜔𝑡 − 𝑑𝑘 𝑥)

2

(85) Deaorece am presupus că frecvenţele undelor sunt apropiate ca valoare, se pot alege valorile:

𝑠𝑖𝑛(𝜔0 𝑡 − 𝑘0 𝑥) Figura 9. Funcţia de undă rezultantă este modulată de anvelopa cos(𝑑𝜔𝑡 − 𝑑𝑘 𝑥).

𝜔1 = 𝜔0 + 𝑑𝜔, 𝑘1 = 𝑘0 + 𝑑𝑘 şi

𝒙

(86)

𝜔2 = 𝜔0 − 𝑑𝜔, 𝑘2 = 𝑘0 − 𝑑𝑘

(87)

astfel încât, prin înlocuire în relaţia (85) obţinem: 𝜓 = 2𝐴 cos(𝑑𝜔𝑡 − 𝑑𝑘 𝑥)𝑠𝑖𝑛(𝜔0 𝑡 − 𝑘0 𝑥)

(88)

Relaţia (88) reprezintă o undă a cărei amplitudine este modulată de funcţia cosinus (figura 14). Viteza de deplasare a grupului celor două unde, numită viteză de grup, este viteza de deplasare a unui punct de amplitudine constantă în direcţia 𝑜𝑥. Această viteză este determinată de condiţia: 𝑑𝜔𝑡 − 𝑑𝑘 𝑥 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

(89)

Prin derivarea acestei relaţii în raport cu timpul şi ţinând cont că 𝑑𝜔 şi 𝑑𝑘 sunt constante, se obţine viteza de grup: 𝑣𝑔 =

𝑑𝑥 𝑑𝑡

=

𝑑𝜔

(90)

𝑑𝑘

Utilizând relaţia 𝑘 =

𝜔 𝑣

, unde 𝑣 este viteza de de fază, obţinem:

𝑑𝑣

𝑣𝑔 = 𝑣 + 𝑘 𝑑𝑘 Cum 𝑘 =

2𝜋 𝜆

(91)

va rezulta: 𝑑𝑣 𝑑𝜆

𝑣𝑔 = 𝑣 + 𝑘 𝑑𝜆

𝑑𝑘

𝑑𝑣

= 𝑣 − 𝜆 𝑑𝜆

(92)

Sunt de analizat următoarele situaţii: 1. dacă

𝑑𝑣 𝑑𝜆

> 0 viteza de fază variază direct proporţional cu lungimea de

undă şi atunci viteza de grup este mai mică decât cea de fază, 𝑣𝑔 < 𝑣 , şi are loc o dispersie normală.

5 - 21

Ionuţ VLĂDOIU

2. dacă

𝑑𝑣 𝑑𝜆

UNDE MECANICE

< 0 viteza de fază variază invers proporţional cu lungimea de

undă şi atunci viteza de grup este mai mare decât cea de fază, 𝑣𝑔 > 𝑣 , şi are loc o dispersie anormală. 3. dacă

𝑑𝑣 𝑑𝜆

= 0 viteza de fază nu variază cu lungimea de undă şi atunci

viteza de grup este egală cu cea de fază, 𝑣𝑔 = 𝑣 , şi mediul se numeşte nedispersiv.

9. INTERFERENŢA UNDELOR Foarte multe fenomene din natură nu pot fi descrise cu ajutorul unei singure unde aflate în propagare, ci trebuie analizată situaţia când particulele mediului sunt supuse acţiunii mai multor unde. Pentru a anliza o astfel de situaţie ne putem folosi de principiul superpoziţiei: „Dacă două sau mai multe se propagă simultan printr - un mediu, valoarea rezultantă a funcţiei de undă în fiecare punct al mediului va fi egală cu suma algebrică a funcţiilor de undă ce caracterizează undele individuale ”. Undele care se supun acestui principiu se numesc unde liniare, iar în cazul undelor mecanice, undele liniare sunt caracterizate de faptul că amplitudinea este mult mai mică decât lungimea lor de undă. Undele care nu se supun principiului superpoziţiei se numesc unde neliniare, fiind caracterizate de amplitudini mari. O consecinţă a principiului superpoziţiei este accea că, două unde care trec, la un moment dat, prin acelaşi punct trec mai departe fără a fi distruse sau „alterate”. De exemplu, când aruncăm două pietricele în apă în locuri diferite, fronturile de undă circulare aflate în expansiune nu se distrug reciproc (figura 10). Modelul complex pe care îl observăm poate fi văzut ca două cercuri independente aflate în expansiune. Şi în situaţia în care două unde sonore, provenind de la surse diferite se întâlnesc, ele trec mai departe una prin cealaltă. Interferenţa este fenomenul de suprapunere, în acelaşi loc din spaţiu, a două sau mai multe unde coerente, unda rezultantă având o amplitudine ce este influenţată de defazajul dintre cele două unde. Dacă amplitudinea undei rezultante este mai mare decât cea a undelor individuale vorbim de interferenţă constructivă, iar dacă este mai mică interferenţa este distructivă. Undele coerente sunt undele care au frecvenţe egale şi diferenţa de fază constantă în timp. Dacă presupunem că elongațiile sunt pe aceeași direcție, figura de interferență este

Figura 10. Fronturile de undă circulare produse dpe suprafaţa unui lichid de două pietre mici.

5 - 22

Ionuţ VLĂDOIU

UNDE MECANICE

staționară şi amplitudinile oscilațiilor în diferite puncte ale mediului sunt constante în timp.

𝑷

𝒓𝟏 𝑺𝟏

𝒅𝒌

𝜶 𝜶 𝒓𝟐 Pentru a obține unde staționare 𝟐𝒍 𝑷𝟎 putem realiza următorul experiment: în 𝑺𝟐 fața unei surse punctiforme, 𝑆, de la care 𝛅𝒓 se propagă o undă sferică punem un (𝑬) 𝑫 ecran cu două orificii punctiforme 𝑆1 și 𝑆2 , așezate simetric față de sursa 𝑆 Figura 10. Interferenţa a două unde provenite (figura 11). Conform principiului lui de la sursele coerente S1 şi S2, ce se suprapun în punctul P de pe ecranul (E). Huygens, orificiile 𝑆1 şi 𝑆2 , acționează ca surse independente de oscilații cu aceeași frecvență (ca și sursa S) şi în fază (deoarece le-am dispus la o distanță egală de S). În spațiul delimitat de ecran se vor propaga două unde sferice provenind de la două surse coerente. Să presupunem că într-un punct 𝑃 al mediului ajung oscilații produse de două surse coerente 𝑆1 şi 𝑆2 . Vom considera că punctul 𝑃 se află la o distanţă mare faţă de sursele coerente astfel încât putem spune că cele două unde se propagă pe aceeaşi direcţie. Sursele 𝑆1 şi 𝑆2 , emit unde sferice care, în punctul 𝑃, sunt descrise de ecuațiile: 𝐴

𝑡

𝑟

(93)

𝑡

𝑟

(94)

𝜓1 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛2𝜋(𝑇 − 𝜆1 ) 1

şi

𝐴

𝜓2 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛2𝜋(𝑇 − 𝜆2 ) 2

Notând: 𝑎1 =

𝐴 𝑟1

şi 𝑎2 =

𝐴 𝑟2

şi făcând aproximaţia 𝑎1 ≈ 𝑎2 = 𝑎, din însumarea

relaţiilor precedente se va obţine pentruunda rezultantă relaţia: 𝑡

𝑟

𝑡

𝑟

(95)

)

(96)

𝜓 = 𝑎 𝑠𝑖𝑛2𝜋 (𝑇 − 𝜆1 ) + 𝑎 𝑠𝑖𝑛2𝜋(𝑇 − 𝜆2 ) sau

𝜓 = 2𝑎 cos 2𝜋

𝑟2 −𝑟1 𝜆

𝑡

sin 2𝜋 (𝑇 −

𝑟2 +𝑟1 2𝜆

La un moment dat, frontul de undă este dat de relaţia: 𝑟2 + 𝑟1 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

(97)

care reprezintă ecuaţia unei familii de elipsoizi de revoluţie în jurul dreptei 𝑆1 𝑆2 , având cele două focare în punctele unde se află sursele (figura 11). Figura 11. Locul punctelor din spațiu care au aceeaşi amplitudine este o suprafață determinată de ecuația 𝑟2 − 𝑟1 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡., care descrie o familie

Locul punctelor din spaţiu pentru care amplitudinea rezultantă

de hiperboloizi de revoluţie în jurul axei 𝑆1 𝑆2 .

5 - 23

Ionuţ VLĂDOIU

𝐴𝑟 = |2𝑎 𝑐𝑜𝑠 2𝜋

𝑟2 −𝑟1 𝜆

UNDE MECANICE

| este constantă este o suprafaţă determinată de ecuaţia:

𝑟2 − 𝑟1 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

(98)

În funcţie de diferenţa de drum 𝛿𝑟 = 𝑟2 − 𝑟1 dintre cele două unde, amplitudinea rezultantă a undei poate fi: 𝜆

1. 𝐴𝑟 = 2𝑎 pentru 𝑟2 − 𝑟1 = 2𝑘 2 , 𝑘 = ̅̅̅̅̅ 1, 𝑛. Adică, toate punctele din spaţiul de propagare al undelor pentru care diferenţa de drum este un număr întreg de lungimi de undă vor oscila cu amplitudine maximă, adică se va obţine un maxim de interferenţă. 𝜆

2. 𝐴𝑟 = 0 pentru 𝑟2 − 𝑟1 = (2𝑘 + 1) 2, 𝑘 = ̅̅̅̅̅ 1, 𝑛. Adică, toate punctele din spaţiul de propagare al undelor pentru care diferenţa de drum este un număr impar de lungimi de undă vor oscila cu amplitudine minimă, adică se va obţine un mimin de interferenţă. Locul geometric al tuturor punctelor de aceea și amplitudine (minimă sau maximă) formează o franjă de interferență. Distanța dintre două franje de interferenţă se numește interfranjă. Pentru a determina interfranja vom considera un plan paralel cu planul surselor 𝑆1 𝑆2 situat la o distanță D mult mai mare decât distan ța 2l dintre cele două surse (figura 10). În acest plan, locul geometric al punctelor de amplitudine constantă îl constituie o familie de hiperbole care se obțin prin intersecția acestui plan cu familia de hiper boloizi din figura 11. Considerăm un punct P care se află pe o hiperbolă de amplitudine maximă a cărei ecuație este dată de 𝑟2 − 𝑟1 = 𝑘𝜆 din figura 10 putem scrie: 𝑟2 −𝑟1

sin 𝛼 = şi

tg 𝛼 =

2𝑙

=

𝑘𝜆

(99)

2𝑙

𝑑𝑘

(100)

𝐷

Deoarece unghiurile sunt foarte mici (punctul P este departe de sursă), putem aproxima sin 𝛼 ≈ tg 𝛼, astfel încât din relaţiile precedente obţinem condiţia de a obţine un maxim de interferenţă în punctul 𝑃: 𝑑𝑘 =

𝑘𝐷𝜆

(101)

2𝑙

Analog, condiţia de minim de interferenţă va fi: 𝑑𝑘+1 =

(2𝑘+1)𝐷𝜆

(102)

2𝑙

Relaţiile (101) şi (102) arată că punctele de amplitudine maximă (respectiv,

minimă)

sunt

echidistante,

distanţa

între

ele

fiind

𝐷𝜆 2𝑙

.

5 - 24

Ionuţ VLĂDOIU

UNDE MECANICE

Toatalitatea punctelor de aceeaşi amplitudine forme ază o franjă de interferenţă. Interfranja, 𝑖, reprezintă distanţa dintre două maxime sau minime succesive, fiind dată de relaţia: 𝑖 = 𝑑𝑘+1 − 𝑑𝑘 =

𝐷𝜆

(103)

2𝑙

10. UNDE STAŢIONARE Să considerăm două unde cu aceeaşi frecvenţă şi amplitudine emise de două difuzoare aşezate faţă în faţă (figura 12). Figura 12. Două difuzoare care emit În această situaţie, două unde identice se unde unul spre celălalt. Undele identice ce se propagă în sensuri propagă pe aceaşi direcţie, dar în sensuri opuse se vor combina pentru a forma opuse şi se vor combina conform unde staţionare. principiului superpoziţiei. Acest fenomen de intererenţă între două unde plane de aceeaşi frecvenţă şi de aceeaşi amplitudine, care se propagă pe aceeaşi direcţie, dar în sensuri opuse, reprezintă fenomenul de unde staţionare . Putem analiza această situaţie considerând două unde 𝜓1 şi 𝜓2 care se propagă de-a lungul axei ox, în sensuri opuse, descrise de ecuaţiile: 𝑡

𝑥

(104)

𝑡

𝑥

(105)

𝜓1 = 𝐴 𝑠𝑖𝑛2𝜋(𝑇 − 𝜆 ) şi

𝜓2 = 𝐴 𝑠𝑖𝑛2𝜋(𝑇 − 𝜆 )

Dacă alegem momentul iniţial astfel încât fazele iniţaile să fie egale cu zero, unda rezultantă va fi descrisă de funcţia: 𝑡

𝑥

𝑡

𝑥

𝜓 = 𝜓1 + 𝜓2 = 𝐴 𝑠𝑖𝑛2𝜋 (𝑇 − 𝜆 ) + 𝐴 𝑠𝑖𝑛2𝜋(𝑇 − 𝜆 ) sau

𝑥

𝜓 = 2𝐴 cos 2𝜋 𝜆 sin 2𝜋

𝑡 𝑇

(106)

(107)

Această relaţie exprimă funcţia de undă pentru undele staţionare, unde amplitudinea rezultantă: 𝐴 = 2𝐴 𝑐𝑜𝑠 2𝜋

𝑥 𝜆

(108)

depinde de poziţia 𝑥 a elementului în mediu. Amplitudinea are o valoare minimă egală cu zero, atunci când: 𝜆

𝑥 = (2𝑘 + 1) 2,

(109)

Punctele de amplitudine minimă egală cu zero se numesc noduri (figura 13).

5 - 25

Ionuţ VLĂDOIU

UNDE MECANICE

Valoarea maximă a amplitudinii egală cu 2𝐴 este determinată de condiţia: 𝜆

𝜆

𝑥 = 𝑘 2 = 2𝑘 4,

𝝀/𝟐

𝒏=𝟐

𝝀

(110)

Poziţiile din mediu corespunzătoare amplitudinii maxime se numesc ventre. Analizând putem afirma:

𝑳 𝒏=𝟏

ultimele

două

relaţii

𝒏=𝟑

𝟑𝝀/𝟐

𝒏=𝟒

𝟐𝝀

1. poziţia dintre două noduri (sau ventre) 𝜆

consecutive este egală cu 2 ; 2. distanţa dintre un nod şi un ventru 𝜆

vecin este 4. Figura 14. Noduri şi ventre care apar într- o

Fenomenul de unde staţionare este coardă de lungime L fixată la capete. caracterizat prin faptul că amplitudinea Numărul ventrelor este egal cu cel al unui punct dat de pe direcţia de propagare ordinului armonicii n. va avea aceeaşi valoare la orice moment de timp, spre deosebire de cazul unei singure unde, când amplitudinea punctului respectiv variază în timp. Să considerăm o coardă de lungime 𝐿 fixată la ambele capete (figura 14). Deoarece la capetele fixe ale corzii se pot forma numai noduri, în coardă se formează unde staţionare cu lungimea de undă 𝜆 care poate fi obţinută din relaţia: 𝜆

𝑛2 = 𝐿

(111)

𝜆𝑛 =

adică:

2𝐿

(112)

𝑛

O coardă fixată la ambele capete poate vibra (staţionar) numai cu frecvenţe: 𝑣

𝑣

𝜐𝑛 = 𝜆 = 𝑛 2𝐿

(113)

𝑛

numite frecvenţe proprii. Folosind expresia vitezei undei transversale 𝑣 = √𝑇𝜇 , obţinem pentru frecvenţele naturale de vibraţie ale corzii relaţia: 𝑛

𝑇

𝜐𝑛 = 2𝐿 √ 𝜇

𝑽𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆

(114)

Frecvenţa cea mai mică, numită frecvenţă fundamentală sau armonică de ordinul I corespunde valorii 𝑛 = 1, adică:

𝑵𝒐𝒅𝒖𝒓𝒊

2𝐴 𝑐𝑜𝑠 2𝜋 (𝑥/𝜆)

Figura 13. Noduri şi ventre formate de două unde plane, ce se propagă în direcţii opuse.

5 - 26

Ionuţ VLĂDOIU 1

𝑇

𝜐𝑛 = 2𝐿 √ 𝜇

UNDE MECANICE

(115)

Undele staţionare care se formează în acest caz este ilustrată în figura 14. Frecvenţele corespunzătoare lui 𝑛 = 2,3,4,.., formează armonicile superioare. Ordinul 𝑛 al unei armonici corespunde numărului de ventre care se formează în coardă. Frecvenţa unei coarde care defineşte nota muzicală produsă corespunde fundamentalei. Aceasta poate fi variată prin modificarea tensiunii sau a lungimii corzii. De exemplu, la o chitară sau vioară frecvenţa este modificată prin rotirea şurubului de care este fixată coarda la un capăt. Pe măsură ce tensiunea în cordă se măreşte, va creşte şi frecvenţa. Odată ce instrumentul este acordat, cântăreţii modifică frecvenţa prin deplasarea degetelor coardă şi deci, prin modificarea lungimii de oscilaţie a acesteia. Pe măsură ce lungimea este micşorată, conform relaţiei (115), frecvenţa va creşte, deoarece fercvenţa armonicilor este invers proporţională cu lungimea corzii.

11. UNDE SONORE Undele sonore reprezintă exemplul cel mai comun de unde longitudinale. Ele se propagă prin orice mediu cu o viteză ce depinde de proprietăţile acestuia. Pe măsură ce o undă sonoră se propagă prin aer, elementele acestuia vibrează şi se produce o schimbare a densităţii şi presiuni în lungul direcţiei de propagare a undei. Dacă sursa sonoră vibrează sinusoidal, atunci şi presiunea va varia tot sinusoidal, iar descrierea matematică a undelor sonore sinusoidale se va face ca în cazul undelor mecanice discutate până acum. Acustica reprezintă partea fizicii care se ocupă cu studiul undelor sonore. Undele sonore se împart în trei mari categorii, în funcţie de frecvenţa acestora: 1. Sunetele – sunt undele sonore cuprinse în spectul de sensibilitate al urechii umane. Acestea pot fi generate în diferite moduri, ca de exemplu, cu instrumente muzicale, coarde vocale sau difuzoare. 2. Infrasunetele – au frecvenţa sub pragul auditiv, fiind generate, în general, de trepidaţii. Prin infrasunete comunică diferite animale, de exemplu elefanţii comunică prin astfel de unde sonore, acestea parcurgând distanţe de câţiva kilometri. 3. Ultrasunetele – a căror frecvenţă este peste pragul auditiv. De exemplu, liliecii produc ultrasunete, iar cu ajutorul acestora îşi localizează prada sau localizează obstacole. În figura 15 este prezentat spectrul de frecvenţe al undelor sonore, precum şi câteva domenii de utilizare.

5 - 27

Ionuţ VLĂDOIU

UNDE MECANICE

11.1. VITEZA UNDELOR SONORE În mediile solide se pot propaga unde sonore atât longitudinale cât şi transversale, în timp ce, în lichide şi gaze se propagă doar unde sonore longitudinale. Astfel, relaţiile stabilite pentru calculul vitezelor undelor longitudianle şi transversale se pot utiliza şi în cazul undelor sonore. De fapt, viteza tuturor undelor mecanice are o expresie generală de forma: 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖𝑒𝑡𝑎𝑡𝑒𝑎 𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐ă

𝑣𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠. = √𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖𝑒𝑡𝑎𝑡𝑒𝑎 𝑖𝑛𝑒𝑟ţ𝑖𝑎𝑙ă

(116)

De exemplu, pentru undele sonore longitudinale ce se propagă într- un lichid, viteza undelor depinde de modulul de compresibilitate 𝜒 şi de densitatea mediului 𝜌: 𝜒

𝑣𝑙𝑖𝑐ℎ𝑖𝑑. = √𝜌

(117)

𝑁

unde [𝜒]𝑆𝐼 = 𝑚2 . În mediile gazoase, viteza undelor sonore depinde de presiunea 𝑝 a gazului, printr- o relaţie de forma: 𝛾𝑝

𝑣𝑔𝑎𝑧. = √ 𝜌

(118)

unde 𝛾 este exponentul adiabatic al gazului respectiv. De asemenea, viteza undelor sonore este influenţată şi de temperatura mediului în care se propagă. Pentru undele ce se propagă prin aer, relaţia dintre viteză şi temperatură este: 𝑚

𝑡

𝑣 = (331 𝑠 )√1 + 273°𝐶 unde 331

𝑚 𝑠

(119)

este viteza sunetului în aer la 0°𝐶, iar 𝑡 este temperatura

aerului exprimată în grade Celsius. Utilizând această ecuaţie găsim că, 𝑚 la 20°𝐶, viteza sunetului în aer este aproximativ 334 𝑠 . În tabelul de mai jos sunt date valorile vitezei sunetului în câteva medii. 𝒎

VITEZA UNDELOR SONORE ÎN DIFERITE MEDII, 𝒗 ( ) 𝒔

GAZE Hidrogen (0°C) Heliu (0°C) Aer (0°C) Aer (20°C) Oxigen (0°C)

LICHIDE 1286 972 331 334 317

Apă (25°C) Apă de mare(25°C) Mercur(25°C) Alccol metilic(25°C) Kerosen(25°C)

SOLIDE 1493 1533 1450 1143 1324

Sticlă Fier Aluminiu Aur Cauciuc

5640 5950 6420 3240 1600

Cunoaşterea vitezei sunetului în aer permite determinarea distanţei dintre sursa sonoră şi receptorul sonor. Utilizând această proprietate, putem determina,

5 - 28

Ionuţ VLĂDOIU

UNDE MECANICE

de exemplu, distanţa la care se produce un fulger măsurând intervalul de timp dintre apariţia fulgerului şi producerea tunetului. Aplicaţia 10. Determinaţi viteza de propagare a sunetului în apă cunoscând modulul de compresibilitate 𝜒 = 2,1 · 109 𝑁/𝑚2 la 0°𝐶 şi densitatea apei 𝜌 = 103 𝑘𝑔/𝑚3. Rezolvare Utilizând relaţia vitezei undelor în lichide obţinem:

Delfinii utilizează unde sonore pentru a localiza prada. Experimentele au indicat că un delfin localizeză o ţintă de 7,5 𝑐𝑚 de la o distanţă de 110 𝑚, chiar şi în ape întunecate. Determinaţi timpul dintre emisia sunetului şi momentul în care delfinul „aude” reflexia acestuia. Rezolvare

𝜒

𝑣 = √𝜌 = 1,4 𝑘𝑚/𝑠

Intervalul de timp va fi: Δ𝑡 =

2𝑑 𝑣

2·110𝑚

= 1533 𝑚/𝑠 = 0,14 𝑠

11.2. INTENSITATEA SUNETELOR Câmpul sonor reprezintă regiunea din spaţiu în care se propagă unde sonore. Particulele aflate într- un câmp sonor efectuează oscilaţii în jurul poziţiilor de echilibru, ceea ce duce la o variaţie a presiunii pe direcţia de propagarea a undei. Dacă considerăm că sursa de unde sonore este depărtată de regiunea în care se studiază propagarea undelor sonore, putem presupune că acestea sunt unde plane de forma: 𝜓 = 𝐴𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)

(119)

Viteza cu care oscilează un punct material aflat la distanţa 𝑥 de sursa sonoră va fi dată de relaţia: 𝑣= sau

𝜕𝜓 𝜕𝑡

= 𝜔𝐴 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)

𝑣 = 𝑣𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)

(120) (121)

Câmpul sonor este caracterizat în fiecare punct al său de o mărime numită presiune sonoră 𝑝𝑠 , care reprezintă diferenţa dintre valoare presiunii în acel punct în prezenţa undelor sonore şi presiunea în absenţa acestora. Dacă considerăm unde acustice care se propagă printr- un mediu, la traverasrea mediului de către aceste unde se produce o variaţie a presiunii dată de relaţia: 𝜕𝜓

𝑝𝑠 = −𝐵 𝜕𝑥

(122)

semnul minus indicând o scădere a presiunii produsă de unda sonoră pe măsură ce mă depărtez de sursă, adică are loc o atenuare sunetului după cum vom vedea mai târziu. În relaţia de mai sus prin 𝐵 am notat mărimea ce caracterizează proprietatea elastică a mediului. Această mărime poate fi modulul de elasticiate Young 𝐸, în cazul mediilor solide, modulul de compresibilitate 𝜒, în cazul mediilor lichide, sau produsul dintre exponetul adiabatic şi presiune, 𝛾𝑝, în cazul gazelor. 5 - 29

Ionuţ VLĂDOIU

UNDE MECANICE

Introducând relaţia (119) în relaţia (122) obţinem: 𝑝𝑠 = −𝐵𝑘𝐴 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 ) sau

(123) 𝜋

𝑝𝑠 = 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑠𝑖𝑛 [(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 ) − 2 ]

(124)

unde 𝑃𝑚𝑎𝑥 reprezintă valoarea maximă a presiunii sau amplitudinea maximă a presiunii şi reprezintă valoarea cea mai mare pe care o poate avea aceasta faţă de cea din poziţia de echilibru. Relaţia de mai sus ne arată că putem asocia o undă sonoră cu o undă de presiune. Amplitudinea maximă a presiunii este dată de relaţia: 𝑃𝑚𝑎𝑥 = 𝐵𝑘𝐴 = 𝐵

2𝜋 𝜆

𝐴

(125)

sau, ţinând cont că 𝜆 = 𝑣𝑇 şi: 𝐵 = 𝜌𝑣 2 obţinem:

(126)

𝑃𝑚𝑎𝑥 = 𝜌𝑣𝜔𝐴

(127)

Pe măsură ce unda sonoră se propagă în mediu are loc şi un transport de energie prin mediu. În cele ce urmează vom determina rata energiei transferate mediului de către unda sonoră. Vom face asta prin analogie cu situaţia din paragraful 6. Astfel, considerând un element al mediului de masă 𝑑𝑚 şi lungime 𝑑𝑥, energia cinetică asociată mişcării elementului va fi: 𝑑𝐸𝐶 =

𝑑𝑚𝑣 2

(128)

2

Masa elementului considerat va fi 𝑑𝑚 = 𝜌𝑑𝑉 = 𝜌𝑆𝑑𝑥, 𝑆 fiind aria secţiunii transversale a elementului, iar 𝑑𝑉 este volumul acestuia. Astfel, energia cinetică poate fi exprimată prin relaţia: 𝑑𝐸𝐶 =

𝜌𝑆𝑑𝑥 𝑣 2

(129)

2

Astfel, relaţia (128) devine: 𝑑𝐸𝐶 =

𝜌𝑆 𝜔2 𝐴2 𝑐𝑜𝑠 2 (𝜔𝑡−𝑘𝑥) 2

𝑑𝑥

(130)

Pentru momentul 𝑡 = 0 energia cinetică va fi: 𝑑𝐸𝐶 =

𝜌𝑆 𝜔2 𝐴2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑘𝑥 2

𝑑𝑥

(131)

Integrând relaţia de mai sus pe o lungime egală cu lungimea de undă, obţinem energia cinetică totală 𝐸𝐶𝜆 transportată de undă pe o distanţă egală cu lungimea de undă: 𝜆 𝜌𝑆 𝜔2 𝐴2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑘𝑥

𝐸𝐶𝜆 = ∫ 𝑑𝐸𝐶 = ∫0

2

𝑑𝑥 =

𝜌𝑆 𝜔2 𝐴2 2

𝜆

∫0 𝑐𝑜𝑠 2 𝑘𝑥𝑑𝑥 5 - 30

Ionuţ VLĂDOIU

𝐸𝐶𝜆 =

𝜌𝑆 𝜔2 𝐴2 2

UNDE MECANICE

𝜆

(2 ) =

𝜌𝑆 𝜔2 𝐴2 𝜆

(132)

4

După cum am văzut în paragraful 6 , energia potenţială transportată de undă pe o lungime de undă este egală cu energia cinetică. Astfel, energia totală transportată pe o lungime de undă va fi: 𝐸𝑡𝜆 = 𝐸𝑐𝜆 + 𝐸𝑝𝜆 =

𝜌𝑆 𝜔2 𝐴2 𝜆 2

𝑆𝜆

2 = 2𝜌 𝑣 𝑃𝑚𝑎𝑥

(133)

Pe măsură ce unda sonoră se propagă prin mediu, această energie va trece printr- un punct dat al acestuia într- un interval de timp egal cu o perioadă. Astfel, puterea asociată undei va fi: P=

∆𝐸

=

∆𝑡

𝐸𝑡𝜆 𝑇

𝑆𝜆

2 = 2𝜌 𝑣𝑇 𝑃𝑚𝑎𝑥

(134)

Intensitatea undei sonore 𝐼𝑆 reprezintă energia transportată de undă în timp, printr -o suprafaţă, adică: ∆𝐸

𝐼𝑆 = 𝑆∆𝑡 = sau

𝐼𝑆 =

P 𝑆

=

𝐸𝑡𝜆

(135)

𝑆𝑇

2 𝑃𝑚𝑎𝑥

(136)

2𝜌 𝑣

unde am ţinut cont că: 𝜆

𝑣=𝑇

(137)

Acum, să considerăm o sursă punctiformă care emite unde sonore în toate direcţiile. Din experienţă ştim că intensitatea sunetului scade pe măsură ce ne depărtăm de sursă. Dacă ne ima ginăm o sferă de rază 𝑟 centrată în sursa noastră putem considera că aceasta emite unde sferice în toate direcţiile. Puterea medie a undei emise 𝑷𝒎𝒆𝒅 trebuie să fie distribuită uniform pe această suprafaţă sferică de arie 𝑆 = 4𝜋𝑟 2 . Atunci, intensitatea undei sonore la distanţa 𝑟 de sursă va fi: 𝐼𝑆 =

𝑷𝒎𝒆𝒅 𝑆

=

𝑷𝒎𝒆𝒅 4𝜋𝑟 2

(138)

Acestă relaţie ne arată că intensitatea sunetului scade cu pătratul distanţei faţă de sursă. Aplicaţia 11. Cel mai slab sunet perceput de urechea umană la o frecvenţă de 1000 𝐻𝑧 corespunde unui intensităţi de 10−12 𝑊/𝑚2, numit prag de audibilitate. Cel mai puternic sunet pe carelpoate tolera urechea umană la această frecvenţă are o intensitate de 1𝑊/𝑚2, numită prag de senzaţie dureroasă. Determinaţi amplitudinea presiunii şi amplitudinea asociată cu aceste două intensităţi.

şi că densitatea aerului este 𝜌 = 1,20 𝑘𝑔/𝑚3 obţinem: 𝑃𝑚𝑎𝑥 = √2𝜌 𝑣𝐼 = 2,87 · 10−5 𝑁/𝑚2 Amplitudinea corespunzătoare este: 𝑃𝑚𝑎𝑥 = 𝜌𝑣𝜔𝐴 ⇒ 𝐴 =

𝑃𝑚𝑎𝑥 𝜌𝑣𝜔

=

𝑃𝑚𝑎𝑥 2𝜋𝜌𝑣𝜈

= 1,1 · 10−11 𝑚

Ac est a est e un n u măr r em ar c abi l d e mi c. D ac ă îl co mp ar ă m cu di men si une a un ui at o m v om canst at a c ă ur e che a est e un det e ct or de s unet e ext r e m d e se nsi bil.

5 - 31

Ionuţ VLĂDOIU

UNDE MECANICE

Rezolvare Pentru prima intensitate, considerând că viteza sunetului în aer este de 𝑣 = 343 𝑚/𝑠

Analog, obţinem pentru a doua intensitate valorile 𝑃𝑚𝑎𝑥 = 2,87𝑁/𝑚2 la o amplitudine 𝐴 = 1,1 · 10−5 𝑚.

Experimentele realizate cu privire la intensitatea sunetului au arătat că sunetele audibile sunt cuprinse într- o gamă de intensitate sonoră foarte largă. De exemplu, pentru sunetul normal cu frecvenţa de 1000 𝐻𝑧 intensitatea sonoră 𝑊

variază între 10−12 𝑚2 şi 102 𝑊/𝑚2 . Valoarea minimă a intensităţii sonore care poate fi detectată de urechea umană se numeşte prag de audibilitate, iar valoarea maximă care poate fi suportată se numeşte prag de senzaţie dureroasă. Deoarece domeniul de valori ale intensităţii sonore este larg, s-a definit o altă mărime caracteristică, al cărui domeniu de valori să fie mai restrâns, numită nivel sonor sau nivel acustic, dat de relaţia: 𝐼

𝑁𝑆 = 𝑙𝑜𝑔 𝐼𝑆

(139)

0

unde 𝐼𝑆 este intensitatea sonoră a sunetului considerat, iar 𝐼0 este intensitatea sonoră corespunzătoare pargului de audibilitate la 𝑊

ferecvenţa de 1000 Hz. Astfel, când 𝐼𝑆 variază de la 10−12 𝑚2 la 102 𝑊/𝑚2, nivelul sonor 𝑁𝑆 variază de la 0 la 14. Unitatea de măsură pentru nivelul sonor este belul (simbol B), care reprezintă nivelul sonor al unui sunet a cărui intensitate este de 10 ori mai mare decât cea a pragului de audibilitate. În practică se utilizează decibelul (dB), care reprezintă nivelul sonor al unui sunet a cărui intensitate sonoră este de 1,26 ori mai mică decât pragul de audibilitate. Nivelul sonor în decibeli rezultă din relaţia: 𝐼

𝑁𝑆 (𝑑𝐵) = 10 · 𝑙𝑜𝑔 𝐼𝑆 0

(140)

Sunetele audibile au un nivel sonor cuprins între 0 şi 140 𝑑𝐵. În tabelul alăturat sunt date valorile unor nivele sonore tipice. Expunerea prelungită a urechii la sunete de mare intensitate poate afecta iremediabil auzul. Se recomandă utilizarea unor elemente de protecţie atunci când nivelul sonor depăşeşte 90 𝑑𝐵. Studiile recente au arătat că poluarea sonoră poate contribui la creşterea presiunii arteriale, provoacă anxietate şi nervozitate.

NIVELURI SONORE Sursa sunetului Motor de avion Picamer, mitralieră Sirenă, concert rock Metrou Trafic aglomerat Aspirator Conversaţie normală Bâzâit de ţânţar Şoaptă Ştergerea prafului Prag auditiv

𝑵𝑺 (𝒅𝑩) 150 130 120 100 80 70 50 40 30 10 0

5 - 32

Ionuţ VLĂDOIU

UNDE MECANICE

Aplicaţia 12. Două utilaje sunt poziţionate la aceeaşi distanţă faţă de un lucrător. Intensiatea sunetelor emise de acestea are valoarea de 𝐼𝑆 = 2 · 10−7 𝑊/𝑚2. Determinaţi nivelul sonor receptat de muncitor atunci când doar o maşină operează şi când amândouă maşinile lucrează. Rezolvare Nivelul sonor receptat atunci lucrează primul utilaj este: 𝐼

𝑁𝑆 = 10 · 𝑙𝑜𝑔 𝐼𝑆 = 10𝑙𝑜𝑔 0

2·10−7 𝑊/𝑚 2 10−7 𝑊/𝑚 2

când

Când ambele intensitatea sonoră nivelul sonor va fi: 𝑁𝑆 = 10 · 𝑙𝑜𝑔

2𝐼𝑆 𝐼0

= 10𝑙𝑜𝑔

maşini oprează se dublează, iar

4·10−7 𝑊/𝑚 2 10−7 𝑊/𝑚 2

= 56 𝑑𝐵

Acest rezultat ne indică că atunci când intensitatea sunetului se dublează nivelul sonor creşte doar cu 3 𝑑𝐵.

= 53𝑑𝐵

11.3. REFLEXIA ŞI ABSORBŢIA SUNETELOR Undele sonore emise de o sursă se propagă sub formă de unde sferice, frontul de undă având o suprafaţă de undă cu atât mai mare cu cât se află la o distanţă mai mare de sursă. Astfel, energia undei se va disipa, la un moment dat, într- un volum mai mare şi intensitatea undei va scădea. Adică va exista o atenuare a sunetului ce depinde de distanţa faţă de sursă. Să considerăm cazul particular - acela în care o unde sonoră care se propagă într-un gaz întâlneşte suprafaţa de separaţie cu un corp rigid sau un perete (figura 16). Unda reflectată suferă un salt de fază (0 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋 ), iar amplitudinea undei reflectate este mai mică decât a undei incidente, deoarece o parte din energia undei incidente trece în mediul pe care are loc reflexia. Unda transmisă va avea şi ea o intensitate mai scăzută decât cea incidentă, deoarece, la trecerea prin perete ea va interacţiona cu particulele constituente ale acestuia, cărora le va ceda o parte din energia sa. Scriind ecuaţia ce exprimă legea conservării energiei pe suprafaţa aer- perete, vom avea: (141)

unde 𝐸𝑖 este energia undei sonore incidente, iar 𝐸𝑟 şi 𝐸𝑎 reprezintă energiile undelor reflectate şi absorbite pe suprafaţa peretelui. Pentru caracterizarea proprietăţilor absorbante ale unui mediu se poate defini coeficientul de absorbţie acustică, 𝛼, definit ca raportul dintre energia sonoră absorbită 𝐸𝑎 de mediul în care trece unda şi energia undei incidente 𝐸𝑖 :

Sunet absorbit

𝐸𝑖 = 𝐸𝑟 + 𝐸𝑎

Perete Figura 16. Fenomenele care apar la incidenţa undei unde sonore pe un perete.

5 - 33

Ionuţ VLĂDOIU

𝛼=

𝐸𝑎

UNDE MECANICE

(142)

𝐸𝑖

Pentru a caracteriza fenomenul de reflexie se introduce coeficientul de reflexie sau factorul de reflexie acustică ℛ definit ca raportul dintre amplitudinea undei reflectate şi amplitudinea undei incidente. Unda sonoră fiind o undă de presiune, pentru coeficientul de reflexie acustică se poate scrie relaţia: 𝑃

ℛ = 𝑃𝑟

(143)

𝑖

unde 𝑃𝑟 şi 𝑃𝑖 sunt amplitudinile undei de presiune reflectată şi, respectiv, incidentă. Aşa cum am arătat mai sus (relaţia 133), energia unei unde este proporţională cu pătratul amplitudinii mişcării periodice a punctului material. Asftel, vom avea: 2

𝑃

𝐸𝑟

ℛ 2 = (𝑃𝑟 ) =

(144)

𝐸𝑖

𝑖

Împărţind relaţia (141) prin 𝐸𝑖 şi ţinând cont de relaţiile (142) şi (144), relaţia dintre coeficientul de absorbţie acustică 𝛼 şi coeficientul de reflexie ℛ se poate scrie: 𝛼 = 1 − ℛ2

(145)

Dacă grosimea peretelui ce limitează spaţiul în care se propagă unda sonoră este 𝑑, notând cu 𝐼0 intensitatea sunetului la pătrunderea în perete şi cu 𝐼 intensitatea sunetului la ieşirea din perete, datorită absorbţiei acestuia, putem scrie: 𝐼 = 𝐼0 𝑒 −𝛼𝑑

(146)

Atenuarea sunetului datorată trecerii prin perete este caracterizată de coeficientul de transmisie sonoră 𝜏 al sunetului, definit ca raportul dintre energia ce traversează peretele 𝐸𝑡 şi cea incidentă 𝐸𝑖 : 𝐸

𝜏 = 𝐸𝑡

(147)

𝑖

Cu cât valoarea acestui coeficient este mai mică cu atât energia transmisă prin perete este mai mică, deci atenuarea este mai mare. De regulă, atenuarea unui sunet nu se exprimă prin coeficientul de transmisie sonoră 𝜏, ci prin izolarea fonică ℱ, dată de relaţia: ℱ = 10 · 𝑙𝑜𝑔

1 𝜏

(148)

cărui unitate de măsură este decibelul (dB). 5 - 34

Ionuţ VLĂDOIU

UNDE MECANICE

11.4. EFECTUL DOPPLER ACUSTIC Atunci când un automobil trece cu o anumită viteză pe lăngă noi observăm că sunetul claxonul acestuia se modifică. Frecvenţa sunetului pe care îl recepţionăm creşte pe măsură ce automobilul se apropie, fiind mai mare decât cea a sunetului recepţionat atunci când acesta se depărtează. Acest fenomen, numit efect Doppler, a fost descoperit în 1842 de fizicianul austriac C. Doppler. Acesta a stabilit că frecvenţa înregistrată de un receptor se modifică atunci când acesta sau sursa se află în mişcare. Să considerăm situaţia când un observator O se mişcă cu viteza 𝑣𝑂 spre o sursă sonoră staţionară (𝑣𝑆 = 0). Dacă mediul în care se propagă undele sonore emise de sura S este uniform, undele se propagă cu acceaşi viteză 𝑣, radial în toate direcţiile, adică emite unde sferice. Dacă reprezentăm aceste unde prin cercuri concentrice în sursă (figura 17), putem presupune că fiecare asemenea cerc reprezintă o suprafaţă de fază constantă, adică un front de O undă. Distanţa dintre două ̅ 𝒗 fronturi de undă vecine este ̅𝒔 𝒗 egală cu lungimea de undă 𝜆. ̅𝑶 𝒗 S Considerăm că frecvenţa sursei 𝑆 este 𝜈, lungimea de undă a undelor sonore 𝑣 este 𝜆. 𝝀 Dacă şi observatorul ar fi în Figura 17. Un observator O ce se deplasează cu viteza 𝑣̅𝑂 repaus, el ar recepţiona unde cu faţă de o sursă sonoră S ce se deplasează cu viteza 𝑣̅𝑠 şi acceaşi frecvenţă ca cea a sursei. emite unde cu viteza 𝑣̅. Iniţial considerăm că sursa sonoră se află în repaus (𝑣𝑆 = 0). Cum am presupus că observatorul se deplasează cu viteza 𝑣𝑂 spre sursă, viteza relativă a undelor în raport cu observatorul este: 𝑣′ = 𝑣 + 𝑣𝑂

(149)

Cum viteza de fază a undelor este 𝑣 = 𝜆 · 𝜈, frecvenţa sunetului receptat de observator va fi: 𝜈′ = sau

𝑣′ 𝜆

=

𝜈′ = 𝜈 (

𝑣+𝑣𝑂

(150)

𝜆

𝑣+𝑣𝑂 𝑣

)

(151)

Dacă observatorul se depărtează de sursă, viteza relativă a undelor sonore în raport cu acesta va fi: 𝑣 ′ = 𝑣 − 𝑣𝑂

(152) 5 - 35

Ionuţ VLĂDOIU

UNDE MECANICE

iar frecvenţa sunetelor receptate este: 𝜈′ = 𝜈 (

𝑣−𝑣𝑂 𝑣

)

(153)

sau în cazul general, din (151) şi (153) obţinem: 𝜈′ = 𝜈 (

𝑣±𝑣𝑂 𝑣

)

(154)

unde semnul „+” corespunde cazului în care observatorul se îndreaptă spre sursă, iar semnul „-” cazului în care acesta se depărtează de sursa sonoră. Să considerăm acum situaţia în care sursa se află în mişcare spre observatorul în repaus. Astfel, lungimea de undă 𝜆′ măsurată de observator va fi mai mică lungimea de undă 𝜆 a sursei. Sursa se deplasează, într- un interval de timp de o perioadă 𝑇, pe distanţa 𝑣𝑆 𝑇 = 𝑣𝑆 /𝜈. Astfel, lungimea de undă observată va fi: 𝜆′ = 𝜆 − Δ𝜆 = 𝜆 −

𝑣𝑆

(155)

𝜈

𝑣

Cum 𝜆 = 𝜈, frecvenţa 𝜈 ′ auzită de observator va fi: 𝑣

𝜈 ′ = 𝜆′ = 𝑣

𝑣 𝑣 − 𝑆

𝜈

sau

(156)

𝜈

𝑣

𝜈 ′ = 𝜈 (𝑣−𝑣 )

(157)

𝑆

Astfel, frecvenţa observată va creşte atunci când sursa se va deplasa spre observator. Când sursa se depărtează de observatorul aflat în repaus, lungimea de undă 𝜆′ măsurată de acesta este mai mare decât cea a sursei, 𝜆, iar acesta aude o frecvenţă mai mică, dată de relaţia: 𝜈′ = 𝜈 (

𝑣 𝑣+𝑣𝑆

)

(158)

Generalizând rezultatele obţinute în cele două situaţii, pentru situaţia în care atât sursa cât şi observatorul se află în mişcare, obţinem relaţia: 𝑣±𝑣

𝜈 ′ = 𝜈 ( 𝑣∓𝑣𝑂 ) 𝑆

(159)

primul semn având semnificaţia că sursa şi observatorul se deplasează pe aceaşi direcţie astfel încât să se apropie, iar semnul al doilea va semnifica că sursa şi observatorul se deplaseză astfel încât să se depărteze. Dacă receptorul se mişcă pe o direcţie perpendiculară pe dreapta ce uneşte sursa cu observatorul, frecveţa percepută este acceaşi cu cea a sursei. Acest fapt rezultă din considerentul că distanţa dintre sursă şi observator rămâne constantă în timp. La aceeaşi concluzie ajungem şi dacă sursa se mişcă pe o traiectorie circulară în jurul observatorului. 5 - 36

Ionuţ VLĂDOIU

UNDE MECANICE

Frontul conic al undei de şoc

̅𝑺 𝒗 𝒗𝒕

𝑺𝒏

𝑺𝟎

𝜽

𝑺𝟏 𝒗𝑺 𝒕

(𝒂)

(𝒃)

Figura 18. (a) Reprezentarea undei de şoc produsă de o sursă ce se deplasează cu o viteză 𝑣̅𝑠 mai mare decât viteza sunetului 𝑣̅ din punctul 𝑆0 în punctul 𝑆𝑛 . Anvelopa fronturilor de undă formează un con. (b) Avion ce zboară cu viteza Mach 6 şi care produce unde de şoc în vecinătatea sa.

Deşi efectul Doppler se experimentează, în general, cu unde sonore, el este comun tuturor tipurilor de unde. Efectul Doppler este utilizat în sistemele radar ce determină viteza unui automobil aflat în mişcare atât în raport cu maşina poliţiei aflată în repaus, cât şi atunci când ea se află în mişcare. În astronomie acest efect este utilizat pentru determinarea vitezei stelelor, galaxiilor sau a altor obiecte cereşti în raport cu viteza Pământului. 11.5. UNDE DE ŞOC Să analizăm în continuare situaţia în care viteza sursei 𝑣𝑆 este mai mare decât viteza sunetului 𝑣. Această situaţie este prezentată în figura 18. Cercurile reprezintă frontul undei emise de o sursă la diferite momente de timp. La 𝑡 = 0 sursa este în punctul 𝑆0 , ulterior, la momentul 𝑡 aflându- se în punctul 𝑆𝑛 . La momentul 𝑡 frontul undei centrat în 𝑆0 ajunge la o rază egală cu 𝑣𝑡, iar în acest timp unda parcurge distanţa 𝑣𝑆 𝑡. În punctul 𝑆𝑛 frontul undei începe să fie generat şi astfel putem spunde că frontul undei este nul. Linia tangentă dusă din 𝑆𝑛 la frontul undei centrat în 𝑆0 va fi tangetă la toate fronturile de undă generate la momente de timp intermediare. Astfel, observăm că anvelopa acestor fronturi de undă este un con. Jumătatea unghiul la vârf 𝜃 este dată de relaţia: 𝑠𝑖𝑛𝜃 =

𝑣𝑡 𝑣𝑆 𝑡

=

𝑣

(160)

𝑣𝑆

Raportul 𝑀 =

𝑣𝑆 𝑣

reprezintă numărul Mach, iar frontul de undă conic produs

când 𝑣𝑆 > 𝑣 (viteze supersonice) formează o undă de şoc. Avioanele ce se deplasează cu viteze supersonice produc unde de şoc, care sunt responsabile pentru „boom-ul sonic” puternic înregistrat de urechile noastre. Undele de şoc sunt purtătoare de energii mari concentrate pe suprafaţa conului şi corespund variaţiilor puternice ale presiunii pe direcţia de deplasare a undei. Aceste unde de şoc sunt deranjante auzului şi pot cauza avarii clădirilor 5 - 37

Ionuţ VLĂDOIU

UNDE MECANICE

atunci când avioanele supersonice zboară la atitudini mici. De fapt, avioanele ce zboară cu viteze supersonice produc un dublu boom sonic deoarece formează două unde de şoc: una la vârf şi alta de către coada avionului. 11.6. ÎNREGISTRAREA SUNETELOR Primul dispozitiv de înregistrare a sunetelor, fonograful, a fost inventat de T. Edison în 1877. Sunetele erau înregistrate prin creare de adâncituri variabile şi continue pe foiţe subţiri de metal înfăşurate pe un cilindru rotitor. Pentru a reda sunetele se folosea un ac ce urmărea şanţul de pe cilindrul rotitor. Acest ac era deplasat înainte şi înapoi, în accord cu sunetul înregistrat pe suport şi era legat de o diafragmă legată de un horn care avea rolul de a amplifica sunetul astfel încât acesta să fie auzit. Pe măsura ce fonograful a fost dezvoltat sunetul era înregistrat pe discuri de argilă acoperite cu răsini naturale. În 1948 au fost introduse discurile de plastic care au dominat industria înregistărilor până la introducerea discuprilor compacte (Cd- urilor) în 1980. Înregistrările pentru fonograf prezentau un număr mare de probleme, legate în special de frecările dintre ac şi suportul pe care sunt înregistrate sunetele. Pe măsură ce discurile de plastic erau folosite apărea uzura canalelor trasate în plastic ce corespund sunetelor înregistrate şi astfel se producea o diminuare a calităţii înregistrărilor. O altă problemă apare la frecvenţe înalte. Lungimea de undă a sunetelor înregistrate era atât de mică încât sunetele naturale produse de ciocniri şi asperităţile plasticului produceau zgomote comparabile cu semnalul sonor. Aceste zgomote deveneau deranjante atunci când se reda pasaje în care erau redate frecvenţe înalte. Toate aceste probleme au fost rezolvate de apariţia tehnologiei înregistrării sunetelor digitale. În înregistrările digitale, informaţia este converită în codul binar. La început, forma suprafeţei de undă este eşantionată, adică se transformă un semnal continuu (analogic) într-un semnal discret (figura 19), cu o frecvenţă de 44100 eşantioane pe secuntă. Frecvenţa de eşantionare este mult mai mare decât frecvenţa sunetelor sonore de 20 𝑘𝐻𝑧, astfel că toate sunetele sunt eşantionate cu această rată. În timpul procesului, presiunea sonoră este măsurată şi convertită în semnal electric, astfel încât va exista 44100 de numere asociate fiecărei secunde în care sunetul este eşantionat.

Figura 19. Sunetul este digitaliazt prin eşantionarea electronică a formei frontului undei la intervale de timp periodice. Pe parcursul fiecărui interval între liniile albastre este înregistrat pentru valoarea medie a curentului pe interval.

5 - 38

Ionuţ VLĂDOIU

UNDE MECANICE

Aceste măsurători sunt convertite în numere binare, care sunt numere exprimate în baza 2 în loc de baza 10. În general, curentul măsurat este înregistrat în 16 biţi, biecare bit având valoarea 0 sau 1. Astfel, numărul Figura 21. Reconstrucţia formei frontului de diferitelor nivele de curent pot fi undă eşantionat în figura 19. Reconstrucţia este asociate cu 216 = 65536 coduri. Numărul realizată discontinuu, în trepte, faţă de forma continuă a frontului din figura 19. de biţi dintr- o secundă este de 16 × 44100 = 705600. În figura 20 este prezentată o zonă a suprafeţei unui compact disc. Sistemul laser de redare detectează două zone: adâncituri şi suprafeţe netede. Suprafeţele netede sunt cele neatinse în procesare şi se caracterizeză de o reflectivitate ridicată, pe când adânciturile (craterele) sunt realizate prin topirea suprafeţei şi împrăştie lumina în loc să o reflecte înapoi la sistemul de detecţie. Sistemul de redare eşantionează lumina reflectată de 705600 ori pe secundă. Când lumina laser se deplasează de pe un crater pe o suprafaţă netedă sau invers, are loc o modificare a reflexiei şi este înregistrat un bit cu valoarea 1. Dacă sistemul nu detectează nici o modificare în reflexie, adică nici o tranziţie, va asocia un bit cu valoarea 0. Numerele binare citite de pe CD sunt convertite din nou în curent şi se realizează o reconstrucţie a formei frontului de undă ca in figura 21. Deoarece rata de eşantionare este foarte mare- 44100 de curenţi fiind citiţi pe secundăfrontul de undă este reconstruit din valori discrete ale curentului, deşi acest lucru nu este evident la redarea sunetului. Avantajul înregistrărilor digitale constă în fidelitatea înaltă a sunetelor. În înregistrările analogice fiecare imperfecţiunea suprafeţei sau a sistemului de înregistrare cauzează o distorsiune a formei frontului de undă. Dacă picurile maxime ale frontului undei sunt diminuate, de exemplu la 90% din valoare, se produce o influenţă majoră asupra spectrului sunetului în înregistrările analogice. În înregistrările digitale dacă o imperfecţiune determină ca o valoare a lui 1 să fie 90% din valoarea originală, va fi înregistrată tot ca 1, adică nu apare nici o distorsiune. Un alt avantaj al înregistrărilor digitale este acela că informaţia este extrasă optic, neexistând nici o uzură mecanică a discului.

Figura 20. Suprafaţa unui CD. Tranziţia dintre o suprafaţă netedă şi un crater corespund numărului 1, iar suprafeţele fără tranziţie lui 0.

5 - 39

Capitolul VI TEORIA CINETICO-MOLECULARĂ CUPRINS 1. STRUCTURA DISCRETĂ A MATERIEI ................................................................................................................... 3 2. MODELUL MOLECULAR AL GAZULUI PERFECT.................................................................................................. 6 2.1. MODELUL GAZULUI IDEAL. IPOTEZE ........................................................................................................... 7 2.2. MĂRIMI FUNDAMENTALE. NUMĂRUL LUI AVOGADRO ............................................................................... 7 2.3. GAZUL IDEAL. PARAMETRII DE STARE .......................................................................................................... 11 2.3.1. PRESIUNEA ............................................................................................................................................... 13 2.3.2. TEMPERATURA ......................................................................................................................................... 18 2.3.2.1. TERMOMETRE. SCĂRI DE TEMPERATURĂ ...................................................................................... 19 2.3.2.2. DILATAREA TERMICĂ ............................................................................................................... 23

2.3.2.3. INTERPRETAREA CINETICO-MOLECULARĂ A TEMPERATURII ...................................................... 26 2.3.3. VOLUMUL .................................................................................................................................................. 28 2.4. ECUAŢIA DE STARE A GAZULUI IDEAL .......................................................................................................... 29 2.4.1. ECUAŢIA TERMICĂ DE STARE A GAZULUI IDEAL .................................................................................. 29 2.4.2. ECUAŢIA CALORICĂ DE STARE A GAZULUI IDEAL ................................................................................ 30 2.4.3. VITEZA TERMICĂ ...................................................................................................................................... 31 2.4.3. LEGILE GAZULUI IDEAL ........................................................................................................................... 32 2.4.3.1. LEGEA BOYLE-MARIOTTE ................................................................................................................ 33 2.4.3.2. LEGEA GAY-LUSSAC......................................................................................................................... 33 2.4.3.3. LEGEA LUI CHARLES........................................................................................................................ 34 2.4.3.4. ECUAŢIA CLAPEYRON-MENDELEEV................................................................................................ 35 2.4.3.5. LEGEA LUI DALTON .......................................................................................................................... 35 2.5. PRINCIPIILE MECANICII STATISTICE .............................................................................................................. 37 2.5.1. DISTRIBUŢIA MOLECULELOR ÎN ATMOSFERĂ ....................................................................................... 38 2.5.2. LEGEA LUI BOLTZMANN .......................................................................................................................... 40 2.5.4. DISTRIBUŢIA STATISTICĂ A MOLECULELOR ......................................................................................... 40

2.5.4.1. FUNCŢIA DE DISTRIBUŢIE STATISTICĂ A LUI BOLTZMANN .......................................................... 42 2.5.4.2. FUNCŢIA DE DISTRIBUŢIE A LUI MAXWELL ................................................................................... 44 2.5.4.3. VITEZE CARACTERISTICE MOLECULELOR GAZULUI IDEAL .......................................................... 47 2.5.4.4. MĂSURAREA EXPERIMENTALĂ A DISTRIBUŢIEI MAXWELL A VITEZELOR .......................... 51 2.5.4.5. DISTRIBUŢIA MAXWELL-BOLTZMANN A ENERGIEI ........................................................................ 51 2.6. CIOCNIRI MOLECULARE. FENOMENE DE TRANSPORT ................................................................................ 53 2.6.1. CIOCNIRI MOLECULARE .......................................................................................................................... 54 2.6.1.1. CIOCNIRILE CU PEREŢII VASULUI ................................................................................................... 54 2.6.1.2. CIOCNIRILE INTERMOLECULARE. DRUMUL MEDIU MIJLOCIU...................................................... 54 2.6.1.3. FASCICULE MOLECULARE ............................................................................................................... 56 2.6.2. FENOMENE DE TRANSPORT.................................................................................................................... 57 2.6.2.1. DIFUZIA.............................................................................................................................................. 58 2.6.2.3. CONDUCŢIA TERMICĂ ...................................................................................................................... 60 2.6.2.3. VÂSCOZITATEA ................................................................................................................................. 60

Ionuţ Vlădoiu

TEORIA CINETICO-MOLECULARĂ

TEORIA CINETICO-MOLECULARĂ În capitolul de mecanică newtoniană am studiat legile ce guvernează mişcarea corpurilor fără a lua în considerare structura şi proprietăţile corpurilor. Singurele informaţii oferite despre corpuri sunt cele referitoare la masa şi dimensiunea acestora, proprietăţi suficiente pentru studiul mişcării şi interacţiunii mecanice a corpu rilor, deoarece doar acestea intervin în acţiunea forţelor asupra corpurilor. Însă, experienţa zilnică ne arată că masa şi dimensiunile corpurilor nu sunt singurele proprietăţi ale acestora, ele diferenţiinduse şi prin alte proprietăţi care nu intervin î n mecanică şi care sunt legate, la rândul lor, de fenomene fizice naturale. Astfel, variaţia proprietăţilor corpurilor la încălzire sau răcire, modificarea stării de agregare, modificarea stării de încălzire a corpurilor prin schimb de căldură, etc., reprezintă exemple de proprietăţi prin care corpurile diferă unele de altele. Teoria cinetico-moleculară şi termodinamica se ocupă cu studiul fenomenelor termice, adică a fenomenelor legate de mişcarea termică care se manifestă la nivel molecular. Teoria cinetico-moleculară studiază fenomenele termice atât din punct de vedere teoretic cât şi experimental, pe când termodinamica este mai strâns legată de experiment, studiind legile sistemelor macroscopice. Teoria cinetico-moleculară sau fizica moleculară studiază fenomenele termice luând în considerare structura corpurilor şi anume, că orice ansamblu macroscopic este alcătuit dintr - un număr foarte mare de atomi sau molecule, aflate într - o mişcare continuă (mişcare termică). Atribuindu-se comportării moleculelor proprietăţi simple, se pot determina proprietăţile complexe macroscopice ale ansamblului studiat, folosind legile mecanicii clasice. Termodinamica studiază fenomenele termice din punct de vedere macroscopic, fără a lua în considerare structura atomo-moleculară a corpurilor. Ea studiază, plecând de la rezultatele experimentale, fenomenele la care participă corpurile de dimensiuni perceptibile, corpuri macroscopice. Cum rezultatele teoretice obţinute din teoria cinetico-moleculară trebuie verificate expe rimental, termodinamica şi teoria cinetico-moleculară sunt complementare. Dezoltarea termodinamicii s-a realizat în paralel cu dezvoltarea teoriei atomiste a materiei. Începând cu 1820 experimentele chimice au furnizat dovezi solide cu privire la existenţa atomilor, iar oamenii de ştiinţă au recunoscut că trebuie să existe o corelaţie între 6-2

Ionuţ Vlădoiu


termodinamică şi structura materiei. În 1827 botanistul R. Brown, studiind la microscop o suspensie coloidală de polen în apă, a constatat că particulele de polen au o mişcare continuă şi total dezordonată şi că acestă mişcare este cu atât mai intensă cu cât particulele sunt mai mici şi temperatura mai ridicată. Acestă mişcare total dezordonată, numită ulterior mişcare browniană, a fost observată ulterior în orice lichid şi chiar şi în gaze. În 1905 A. Einstein, utilizând teoria cinetică, a explicat mişcarea browniană considerând că particulele suspensiei se află sub un „bombardament” constant exercitat de moleculele „invizibile” ale lichidului, care la rândul lor se mişcă haotic. Această explicaţie a oferit o percepţie mai clară a existenţei mişcării moleculelor şi a favorizat teoriile conform cărora materia este formată din atomi. Termodinamica oferă răspunsuri la întrebări practice. De exemplu, cum reuşeste un frigider să răcească conţinutul său, funcţionarea motoarelor automobilelelor, ce se întâmplă cu energia cinetică a corpurilor când acestea se opresc, etc.

1. STRUCTURA DISCRETĂ A MATERIEI Corpurile din jurul nostru au aspect de continuitate pentru organele noastre de simţ. Această realitate este contrazisă de experimente simple, ca de exemplu, de fenomenele de dilatare sau compresie. Ambele pot fi explicate doar dacă se consideră că materia este formată din anumite particule aflate la anumit e distanţe unele de altele şi că modificarea volumului corpurilor se realizează prin modificarea acestei distanţe dintre particule. Experienţele efectuate în chimie între secolele al XVIII -lea şi al XIX-lea, în vederea obţinerii compuşilor, au avut o contribuţie strălucită la confirmarea concepţiei moderne privind existenţa moleculelor şi a atomilor, odată cu descoperire legii proporţiilor definite şi a legii proporţiilor multiple. Aceste experienţe au arătat că substanţele simple (adică elementele) şi cele compuse (adică comb inaţiile chimice) se deosebesc unele de altele prin existenţa unor discontinuităţi ale unor mărimi caracteristice substanţei, de exemplu, temperatura de fierbere, punctul de topire, etc. De asemenea, rapoartele dintre masele elementelor care intră într-o substanţă nu au o variaţie continuă. Astfel, legea proporţiilor definite afirmă: „la formarea unui compus dat, elementele se combină între ele într -un raport de masă bine determinat, oricare ar fi procesul prin care s -a obţinut substanţa respectivă şi oric are ar fi masele existente iniţial din elementele ce formează compusul”.

6-3

Ionuţ Vlădoiu


În urma studiilor legate de compuşii chimici, J. Dalton enunţă în anul 1803 legea proporţiilor multiple: „atunci când două elemente care se combină pot forma mai mulţi compuşi, cantităţile dintr-un element care se combină o cantitate fixată din ce de -al doilea element se află într-un raport de numere mici şi întregi”. Importanţa acestei legi constă în faptul că stabileşte rap ortul între masele macroscopice , determinate experimental, ale elementelor ce constituie un compus chimic. În 1808 Dalton, pentru a explica legea proporţiilor multiple, a enunţat ipoteza conform căreia, fiecare element chimic este format din atomi care nu se mai divid prin metode chimice, iar compuşii se obţin prin combinarea atomilor diferitelor elemente, dând naştere unor „atomi compuşi”, adică unor molecule. Aceată ipoteză a lui Dalton nu prevedea formarea moleculelor din atomi identici, de exemplu a moleculelor de oxigen, ea neputând explica legea volumelor a lui Gay-Lussac, formulată în 1805: „raportul volumelor reactanţilor şi a produşilor de reacţie poate fi exprimat prin numere simple întregi ”. În 1811 fizicianul A. Avogadro a explicat că şi atomii elementelor identice se pot unii între ei formând molecule, formulând legea care-i portă numele: „volume egale de gaze diferite, aflate în condiţii identice de temperatură şi presiune, au acelaşi număr de molecule ”. Astfel, a fost conturată concepţia atomo-moleculară a materiei, ai cărei constituenţi de bază sunt atomul şi molecula, dezvoltarea ulterioară a fizicii confirmând în mod strălucit această ipoteză. Atomul nu este particula finală obţinută prin divizarea substanţei, aşa cum se credea în antichitate, el fiind format din particule încărcate cu sarcină electrică. În urma experienţelor desfăşuarate la începutul secolului al XX-lea, în special de E. Rutherford şi N. Bohr 1, s-a formulat modelul planetar al atomului, conform căruia, acesta este format dintrun nucleu în jurul căruia, pe anumite orbite, se află electronii. Deşi particulele care formează atomul posedă proprietăţi cuantice, în cadrul teoriei cinetice vom considera modelul mecanicist, planetar al atomului. Astfel, atomul are dimensiunea de ordinul a , în centru alcestuia aflându-se nucleul pozitiv cu dimensiunea de şi în jurul acestuia gravitează electronii, având sarcină negativă şi care

În 1911 E. Rutherford, bombardând foiţe subţiri de Au cu un fascicul de particule 𝛼 a stabilit că atomul este format dintr-un nucleu pozitiv în care este concentrată aproape întreaga masa a atomului, iar electronii negativi înconjoară nucleul. În 1913 N. Bohr elaborază modelul planetar al atomului, introducând noţiunea de orbită pe care se deplasează electronii în jurul nucleului, proprietăţile chimice ale elementului fiind determinate de numărul electronilor de pe orbitele exterioare. Tot Bohr introduce cuantificarea energiei electronilor pe orbite, afirmând ca trecerea unui electron de pe o orbită pe alta se face cu absorbţie sau emisie de fotoni cu energia egală cu diferenţa de energie dintre nivelele între care se efectuează tranziţia. Această ipoteză a devenit baza teoriei cuantice a atomului. 1

6-4

Ionuţ Vlădoiu


sunt reţinuţi pe orbite în jurul nucleului, la distanţe destul de mari de acesta. Nucleul atomului are o structură complexă, în ciuda dimensiunilor foarte mici. El este format din două tipuri de particule: protoni cu masa şi sarcina , şi neutroni având masa şi sarcina . Particulele constituente ale nucleului atomic se mai numesc şi nucleoni, care pot avea două stări: proton şi neutron . Stabilitatea nucleului este explicată prin transformările continue proton neutron, proton proton, neutron proton şi neutron neutron. Electronii

au masa şi sarcina electrică . Sarcina electronului este sarcina cea mai mică măsurată şi este numită sarcină electrică elementară . Atomii diferitelor elemente posedă un număr diferit de electroni sau protoni. Elementele din sistemul periodic sunt ordonate în funcţie de numărul atomic Z, care reprezintă numărul de protoni din nucleu, care, într-o stare neperturbată, este egal cu numărul de electroni din atom. Atomii se diferenţiază şi prin numărul de masă, A, care reprezintă numărul total de protoni şi neutroni din nucleul atomic, fiind numărul întreg cel mai apropiat de masa atomică reală a speciei respective. Astfel, dacă notăm cu N numărul de neutroni din nucleu, avem: (1) Un element chimic este definit ca o specie de atomi având acelaşi număr atomic, Z. Până în prezent se cunosc 118 elemente dintre care 94 găsite în natură şi 24 obţinute artificial 2. Notând cu X simbolul elementului chimic, putem reprezenta nucleul atomic cu simbolul: . Atomi având numere atomice Z identice şi numere de masă A diferite se numesc izotopi ai aceluiaşi element . Izotopii deşi au mase atomice diferite au proprietăţi fizice şi chimice asemănătoare. De exemplu, hidrogenul are trei izotopi: protiu , deuteriu şi tritiu . Alţii izotopi ai hidrogenului sintetiza ți în laborator sunt şi , care au nucleele foarte instabile, dar nu au fost observați în natură. Deşi există în natură elemente compuse din atomi de un singur fel ( monoizotopice) cum ar fi beriliul, fluorul, sodiul, aluminiul, fosforul, majoritatea elementelor sunt însă amestecuri de izotopi, uneori de mai mulţi izotopi, de exemplu calciul are 6 izotopi. Asemenea elemente se numesc elemente mixte. Numărul izotopilor este 2

Elementul cu numărul atomic 8 numit „ununoctiu” a fost raportat pe 10 octombrie 2006, de către cercetători de la Institutul Rus pentru Cercetare Nucleară şi de la Laboratorul Național "Lawrence Livermore" din California, acesta fiind produs prin colizii ale atomilor de Californiu şi de Calciu.

6-5

Ionuţ Vlădoiu


de ordinul a 1200 în timp ce numărul elementelor chimice cunoscute este de 118. Elementele care au acelaşi număr de masă A, dar număr atomic Z diferit se numesc izobari. De exemplu - seria izobarică 40 cuprinde atomi cu câte 40 de nucleoni: , , , şi . Deşi acestea au 40 de nucleoni, conţin un număr diferit de protoni şi nucleoni. La rândul lor, particulele componente ale nucleului sunt constituite la rândul lor din alte particule. Astfel, protonii şi neutronii sunt constituiţi din particule numite quarkuri. Există 6 tipuri quarkuri, care se numesc: up, down, charm, strange, top și bottom. Electronul nu are particule constituente, adică este o particulă elementară. Volumul nucleului nu este delimitat cu precizie, dar raza nucleului poate fi determinată de relaţia aproximativă: (2) ( ) unde . Se observă că volumul nucleului este proporţional cu numărul de nucleoni din care este compus şi nu depinde de proprietăţile chimice ale elementului. Densitatea substanţei nucleare este aceeaşi pentru toate nucleele , fiind determinată de relaţia: (3) Un atom care în urma unui proces oarecare a pierdut unul sau mai mulţi electroni formează un ion pozitiv. Analog un atom care a câştigat unul sau mai mulţi electroni formează un ion negativ. Procesul de pierdere sau câştigare de electroni se numeşte ionizare.

2. MODELUL MOLECULAR AL GAZULUI PERFECT Teoria cinetică a substanţei explică proprietăţile termice ale corpurilor plecând de la legile mecanice care guvernează mişcarea moleculelor constituente ale substanţei. Teoria cinetică a gazelor utilizează modele simplificate şi idealizate, asimilând atomii şi moleculele cu bile rigide mici sau puncte materiale cu masa de repaus. Astfel, aplicând legea a doua a lui Newton pentru un ansamblu format dintr-un număr foarte mare de particule, în maniera statistică (probabilistică), putem obţine o descriere a proceselor termice. Pentru simplitate, vom considera modelul unui gaz ideal, deoarece moleculele unui gaz interacţionează mult mai slab decât cele ale lichidelor şi solidelor. Modelul gazului ideal poate fi asimilat cu un gaz rarefiat, menţinut la o temperatură suficient de ridicată, în care moleculele se 6-6

Ionuţ Vlădoiu


mişcă întâmplător, ciocnindu-se între ele şi cu pereţii vasului ce conţine gazul respectiv. Teoria cinetică ne furnizează o înţ elegere din punct de vedere fizic a conceptului de temperatură.

2.1. MODELUL GAZULUI IDEAL. IPOTEZE Pentru început, trebuie să definim proprietăţile care caracterizează un gaz ideal. Astfel, modelul gazului ideal se bazează pe următoarele presupuneri: 1. Numărul moleculelor gazului este foarte mare, distanţa medie dintre molecule fiind mare în comparaţie cu dimensiunea acestora. Acest fapt semnifică că molecula ocupă un volum neglijabil în vasul ce conţine gazul, adică putem asimila moleculele cu puncte materiale. 2. Moleculele gazului se supun legilor mişcării mişcarea fiecărei molecule fiind haotică, continuă.

mecanicii

clasice ,

3. Forţele de interacţiune dintre moleculele care se ciocnesc elastic sunt neglijabile. Astfel, moleculele nu interacţionează între ele, ele mişcânduse liber pe traiectorii rectilinii. 4. Ciocnirile moleculelor cu pereţii vasului sunt perfect elastice. 5. Gazul ideal este o substanţă pură, adică toate moleculele sunt identice. Deşi adesea ne imaginăm gazul ideal ca fiind un gaz monoatomic, putem presupune mai degrabă că este un gaz molecular menţinut la presiuni scăzute. Mişcările de vibraţie şi rotaţie ale moleculelor nu influenţează mişcarea acestora pentru situaţia presupusă aici, când distanţele medii dintre aceste molecule sunt mari. Astfel, energia totală a sistemului va fi dată doar de energia cinetică a moleculelor, adică: ∑

(4)

2.2. MĂRIMI FUNDAMENTALE. NUMĂRUL LUI AVOGADRO Legea empirică a lui Gay-Lussac numită legea volumelor definite se referă la reacţiile chimice desfăşurate în stare gazoasă, la presiuni şi temperaturi la care comportarea acestora nu diferă sensibil de cea a gazului ideal. Conform acestei legi, „la presiune constantă, volumele a două gaze care se combină, se află î ntre ele şi faţă de volumul gazului rezultat într-un raport simplu de numere întregi şi mici ”. De exemplu, să considerăm reacţia de sinteză a acidului clorhidric, HCl:

6-7

Ionuţ Vlădoiu


(5) Gazele reactante se află în raport de 1:1, iar HCl cu fiecare gaz care intră în reacţie, în raport de 2:1. În general, dacă produsele rezultate din reac ţie sunt tot gazoase, reacţia are loc cu contracţie de volum. Din studiul reacţiilor în stare gazoasă s-au obţinut rezultatele din tabelul următor. Tabelul 1

Când gazele reactante participă în număr de volum:

Raportul volumelor gazelor reactante

Egal

1:1

Diferit

Rezultate: Exemplu de reacţie

2:1

𝑂

3:1

𝑂

Raportul volumelor intrate şi ieşite

Contracţia de volum

1:1

0

3:2

1/3

2:1

1/2

Pentru a explica legea Gay-Lussac, Avogadro emite ipoteza: „volume egale de gaze simple sau compuse, în aceleaşi condiţii de temper atură şi de presiune, conţin acelaşi număr de molecule ”. Astfel, numărul lui Avogadro, , are valoarea: (6) Cu ajutorul acestei legi s-a dovedit biatomicitatea moleculelor unor gaze ( , , 𝑂, , etc.), monoatomicitatea gazelor nobile ( , , , , , ) şi monoatomicitatea moleculelor metalelor în stare de vapori. Atomii şi moleculele fiind foarte mici, este greu să se exprime convenabil masele lor utilizând unităţi de măsură convenţionele pentru masă. Astfel, se utilizează o altă unitate de masă , numită unitate atomică de masă, , definită ca fiind egală cu din masa de repaus a unui atom neutru de în stare fundamentală. Valoarea aproximativă a acesteia este: (7) Folosind această mărime se pot defini următoarele mărimi: Masa atomică relativă, sau , a unei substanţe este raportul dintre masa atomică medie a unui element şi din masa atomului de , adică: (8)

6-8

Ionuţ Vlădoiu


De exemplu, masa atomică a hidrogenului este , a oxigenului , a clorului , etc. Conform definiţiei, masa atomică relativă a carbonului este . Masa moleculară relativă, sau , a unei substanţe, este raportul dintre masa moleculară a unei molecule din acea substanţă şi din masa atomului de . Trebuie precizat că masa moleculară a unei molecule compuse este egală cu suma maselor relative ale atomilor ce compun acea moleculă. De exemplu, masa atomică a moleculei de ( ) (𝑂 ) hidrogen este , pentru molecula de oxigen avem , iar ( 𝑂) pentru molecula de apă 8. Cantitatea de substanţă, este o mărime fizică fundamentală a sistemului internaţional de unităţi de măsură (S.I.), având unitatea de măsură fundamentală molul: [ ]

(9)

Molul, notat prin mol, este cantitatea de substanţă a unui sistem care conţine atâtea entităţi elementare (atomi, molecule, ioni, etc.) câţi atomi există în 0,012 kilograme de . Conform definiţiei de mai sus, numărul entităţilor elementare dintr un mol de substanţă este acelaşi oricare ar fi substanţa considerată, acest număr fiind numărul lui Avogadro , definit ca fiind raportul dintre numărul de molecule, şi cantitatea de substanţă, : (10) şi are valoarea

.

Masa molară, , este raportul dintre masa, m, a substanţei şi cantitatea de substanţă, : (11) Unitatea de măsură a masei molare este: [ ]

(12)

Volumul molar,

, este raportul dintre volumul substanţei,

cantitatea de substanţă,

şi

:

(13) având unitatea de măsură: 6-9

Ionuţ Vlădoiu

[ ]


(14)

Experimental s-a stabilit că, independent de natura gazului, în condiţii normale de temperatură şi presiune, volumul molar al unui gaz ideal este: (15) Prin condiţii temperatură

normale

de temperatură şi o presiune

şi

presiune .

înţelegem

o

Aplicaţia 1. Determinaţi masa unui atom cu masa atomică egală cu unitatea, cunoscând numărul lui Avogadro . Aplicaţia 2. Într-un vas se află molecule de azot şi molecule de oxigen. Aflaţi masa molară media a amestecului. Rezolvare Conform definiţiei, masa molară a amestecului va fi:

Rezolvare

Astfel, putem scrie:

Exprimând cantităţile de substanţă în funcţie de numărul de mplecule aveam: şi

,

rezultând: Dar

şi

unde 8 este masa molară a azotului, iar este masa molară a oxigenului.

de unde:

.

Aplicaţia 3. Să se determine numărul de molecule conţinute într-un volum de hidrogen aflat în condiţii normale de temperatură şi presiune şi într-o masă de hidrogen. Rezolvare

. Masa molară a hidrogenului este: şi

Volumul unui mol de hidrogen este egal cu volumul molar

, acesta

conţinând un număr de molecule egal cu numărul lui Avogadro Cum

şi

obţinem

numărul de expresia:

molecule

din

Astfel, numărul moleculelor din masa m va fi: .

pentru

volumul

V

6 - 10

Ionuţ Vlădoiu


2.3. GAZUL IDEAL. PARAMETRII DE STARE Modelul gazului ideal este un model simplificator, în care acesta este echivalent cu un sistem format din molecule punctiforme de masă , aflate în mişcare liberă, între care nu se produc alte interacţiuni cu excepţia ciocnirilor reciproce perfect elastice şi a ciocnirilor elastice cu pereţii vasului în care este conţinut gazul. Succesul acestui model s-a datorat utilizării principiilor generale ale mecanicii newtoniene pentru sistemele microscopice, în general a legilor de conservare ale impulsului şi energiei, coroborate cu calculul probabilistic din matematică. Utilizarea calculului probabilistic (statistic) permite tratarea ansamblului de molecule ce formează gazul ca un întreg, evitând astfel dificultăţile legate de cunoaşterea tuturor forţelor care acţionează asupra fiecărei molecule şi a mişcărilor particulare ale acestora. Astfel, este suficient să se cunoască valorile medii ce definesc mişcarea ansamblului considerat, de exemplu viteza medie a moleculelor, pentru a putea caracteriza starea ansamblului. În fizică, prin sistem se înţelege o porţiune finită dintr -un mediu formată dintr-un ansamblu de corpuri legate între ele prin forme de interacţiune (de exemplu, câmpuri electrice, magnetice, nucleare, etc.), bine delimitată de corpurile înconjurătoare, care formează mediul exterior. În teoria cinetico-moleculară, ca şi în termodinamică, se studiază sistemele termodinamice. Un exemplu de sistem termodinamic îl reprezintă un gaz închis într-o incintă, corpurile aflate în afara acesteia formând mediul exterior cu care gazul interacţionează. Starea unui sistem este determinată de totalitatea proprietăţilor pe care acesta le posedă, la un moment dat. Starea sistemului termodinamic este descrisă de un anumit grup de parametrii, denumiţi parametrii de stare, care sunt mărimi fizice măsurabile (exemple: presiunea, volumul, temperatura, alungirea specifică, energia internă, polarizaţia, etc.). Aceşti parametrii de stare pot fi: 1. parametrii independenţi - sunt cei care pot lua valori alese arbitar; 2. parametrii dependenţi - se exprimă în funcţie de parametrii independenţi, prin folosirea unor relaţii presupuse cunoscute. De exemplu, pentru un gaz se pot alege ca parametrii independenţi masa, , şi volumul, , care descriu complet starea gazului la un moment dat. Astfel, densitatea nu este un parametru independent. Parametrii ce caracterizează starea sistemului termodinamic mai pot fi: 6 - 11

Ionuţ Vlădoiu


1. parametrii interni sau de forţă - sunt mărimi fizice ce depind de proprietăţile interne ale sistemului. Aceştia sunt determinaţi de poziţia corpurilor înconjurătoare şi de distribuţia în spaţiu a particulelor sistemului. De exemplu, presiunea ( ), coeficientul de tensiune superficială ( ) al unui lichid, etc. 2. parametrii externi sau de poziţie - determinaţi numai de poziţia corpurilor exterioare care delimitează sistemul termodinamic, ca de exemplu: volumul ( ), aria suprafeţei libere ( ) a unui lichid, etc. O altă clasificare a parametrilor de stare se poate face în funcţie de dependenţa lor de numărul de particule ale sistemului. Astfel, avem: 1. parametrii intensivi - nu depind de numărul de particule, cum ar fi: temperatura, presiunea, intensitatea câmpului electric: 2. parametrii extensivi - depind proporţional de numărul de particule, de exemplu: masa, volumul, energia internă, entropia. Parametrii extensivi au proprietatea de a fi aditivi. Studiul unui sistem termodinamic se poate face atât prin cunoaşterea modificăriilor parametrilor interni, cât şi prin cea a parametrilor externi. Astfel, starea sistemului termodinamic va fi complet determinată de cunoaşterea, la un moment dat, a tuturor parametrilor interni şi externi. Starea de echilibru termodinamic este starea caracterizată de valori ai parametrilor de stare ce nu variază în timp. O astfel de stare poate exista doar atunci când condiţiile exterioare nu se modifică în timp. Transformarea sau procesul este orice schimbare a stării unui sistem. Transformarea are loc între două stări ale sistemului. Astfel, starea în care se găseşte sistemul înainte de transformare, la momentul , se numeşte stare iniţială, iar starea în care ajunge sistemul după transformare, la momentul , , se numeşte stare finală. Se numeşte transformare reversibilă sau cvasistatică transformarea în care toate stările intermediare sunt stări de echilibru şi care poate fi parcursă în ambele sensuri. În nici o transformare reală stările intermediare nu pot fi stări de echilibru, astfel că transformările reversibile nu sunt realizabile în natură. Transformările care nu sunt cvasistatice sau reversibile se numesc ireversibile (exemplu: amestecarea a două gaze). Sistemele termodinamice se pot clasifica în:

6 - 12

Ionuţ Vlădoiu


1. sisteme izolate - sunt cele care nu schimbă energie cu mediul exterior; 2. sisteme neizolate - sunt sistemele care schimbă energie cu mediul exterior 3. sisteme închise - sunt sistemele termodinamice care schimbă energie cu exteriorul dar nu schimbă substanţă cu acesta; 4. sisteme deschise - sunt cele care schimbă atât energie cât şi particule cu mediul exterior. În cele ce urmează vom discuta despre parametrii de stre cu ajutorul cărora se poate caracteriza gazul ideal.

2.3.1. PRESIUNEA Presiunea gazului, , aflat într-un recipient este dată de ciocnirile moleculelor acestuia cu pereţii incintei. Însă, conform principiului al IIIlea, forţelor exerciate de molecule pe pereţii vaselor li se opun forţe egale, dar de sens opus, exerciate de pereţii vasului asupra moleculelor gazului. Forţa exercitată de molecule pe pereţii vasului va fi cu atât mai mare cu cât aria suprafeţelor acestora va fi mai mare. Astfel, se poate defini mărimea fizică numită presiune, exercitată de o forţă normală pe o suprafaţă de arie prin relaţia: (16) Această proprietate a gazului de a exercita o presiune asupra pereţilor recipientului în care se află este una din proprietăţile acestuia prin care îşi manifestă prezenţa. Ca o primă aplicaţie a teoriei cinetico -moleculare, vom deduce o expresie a presiunii exercitate de molecule de gaz ideal asupra pereţilor unui vas de volum , în funcţie de mărimile microscopice ce definesc mişcarea moleculelor gazului. Pentru aceasta, vom considera un vas de forma unui cub de latură (figura 1) în care se află molecule. Pentru început, vom considera o moleculă de gaz cu masa şi vom presupune că aceasta se mişcă cu o viteza a cărei componentă pe axa este . Când această moleculă se ciocneşte elastic cu peretele vasului (ipoteza 4), se produce o schimbare a componentei vitezei perpendiculare pe acesta, astfel încât aceasta îşi va schimba sensul. Acest lucru este valabil deoarece peretele vasului are o masa mult mai mare decât cea a moleculei şi putem asimila fenomenul cu cazul ciocnirii unui corp cu un perete din mecanica clasică. Cum componenta

6 - 13

Ionuţ Vlădoiu


y

𝒗𝒊

𝒗𝒚𝒊

𝒗𝒊

m

d

𝒗𝒚𝒊

𝒗𝒙𝒊

𝒗𝒙𝒊

𝒗𝒚𝒊

d

x

𝒗𝒊

𝒗𝒙𝒊

d

z

Figura 1. Un recipient cubic de latură d ce conține un gaz ideal. Molecula se deplasează cu viteza 𝑣𝑖 . În partea dreaptă a figuri este reprezentată ci ocnire a elastică a moleculei cu peretele vasului ce conduce la schimbarea semnului vitezei pe axa ox.

impulsului înainte de ciocnire este , variaţia impulsului pe direcţia (

)

, iar după ciocnire va fi: (17)

Deoarece mişcarea moleculei se supune legilor mecanicii clasice (ipoteza 2), teorema de variaţie a impulsului va conduce la relaţia: ̅

(18)

unde am notat prin ̅ forţa medie exercitată de perete, pe axa , aupra moleculei în timpul de ciocnire . Pentru ca molecula să se ciocnea scă din nou cu peretele vasului ea trebuie să parcurgă distanţa pe direcţia axei , spre peretele opus. Astfel, intervalul de timp scurs între două ciocniri cu acelaşi perete va fi: (19) Forţa ce produce modificarea impulsului moleculei în urma ciocnirii cu peretele apare doar pe durata ciocnirii . Însă, putem media această forţă pe intervalul de timp în care molecula parcurge distanţa . Ţinând cont că pe parcursul acestui interval se produce doar ciocnirea moleculă-perete, modificarea impulsului moleculei poate fi aproximată ca fiind egală cu cea produsă pe intervalul unei ciocniri. Astfel, putem rescrie teorema de variaţie a impulsului astfel: ̅

(20)

6 - 14

Ionuţ Vlădoiu


unde ̅ este componenta medie a forţei pe intervalul de timp în care molecula se deplasează pe distanţa . Dacă rescriem ecuaţia de mai sus sub forma: ̅

(21)

şi înlocuim intervalul de timp ̅

cu expresia (19) obţinem:

(22)

Conform principiulul acțiunii şi reacțiunii, forţei medii exercitate de moleculă pe peretele vasului îi corespunde o forţă egală şi de sens contrar, exercitată de perete asupra moleculei: ̅

̅

(23)

Astfel, forţa medie totală exercitată de moleculele gazului asupra peretelui va fi egală cu suma forţelor individuale exercitate de fiecare moleculă. Astfel, putem scrie: ̅

∑

∑

(24)

unde am scos în faţa sumei raportul dintre masa şi lungimea a laturii vasului cubic deoarece, conform ipotezei 5, moleculele sunt identice. Dacă în vas am avea un număr mic de molecule, forţa dată de relaţia de mai sus ar varia în timp, fiind diferită de zero pe durata unei coliziuni a moleculei cu peretele şi nulă atunci când nici o moleculă nu loveşte peretele vasului. Însă, conform ipotezei 1, numărul de molecule din vas este mare, de ordinul numărului lui Avogadro, astfel încât variaţiile forţei sunt extrem de mici şi forţa medie va avea aceaşi valoare în orice interval de timp. Astfel, forţa constantă exercitată pe perete datorită ciocnirilor cu moleculele este: ∑

(25)

Acum, să determinăm valoarea medie a componentei vitezei pe direcţia a celor molecule din recipient. Conform definiţiei valorii medii a unei mărimi avem relaţia: ̅̅̅

∑

(26)

Astfel, din ultimele două relaţii obţinem, pentru forţa totală exercitată de cele molecule pe pereţii vasului, expresia:

6 - 15

Ionuţ Vlădoiu

̅̅̅


(27)

Dar, conform teoremei lui Pitagora, vite za moleculei i în raport cu axele sistemului de coordonate va fi: (28) Astfel, valoarea medie a moleculelor din recipient va fi dată de relația: ̅̅̅

̅̅̅

̅̅̅

̅̅̅

(29)

Deoarece mişcarea este complet întâmplătoare (ipoteza 2), valorile medii ̅̅̅ obţinem: ale vitezelor pe cele trei axe sunt identice, ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅

̅̅̅

(30)

iar ecuaţia (27) devine: ̅̅̅

(31)

Presiunea totală exercitată pe pereţii recipientului va fi: ̅̅̅̅

(32)

Cum volumul recipientului cubic este scrisă sub forma: ̅̅̅̅

(33) ̅̅̅̅

sau

, relaţia de mai sus poate fi

(34)

Realaţia (34) reprezintă ecuaţia fundamentală a teoriei cinetico moleculare a gazelor ideale. Ea stabileşte că presiunea unui gaz este proporţională cu numărul de molecule din unitatea de volum şi cu energia cinetică de translaţie medie, ̅ , a moleculelor: ̅

̅̅̅̅

(35)

Utilizând modelul simplu al gazului ideal am obţinut un rezultat ce leagă mărimea macroscopică presiunea, , caracteristică gazului în ansamblul său, de valoarea medie a vitezei moleculei, ̅ , care este o mărimea microscopică, carateristică moleculei. În plus, am putut realiza o definiţie a presiunii gazului cu ajutorul ene rgiei cinetice medii de translaţie a moleculelor, ̅ , care este o mărime statistică.

6 - 16

Ionuţ Vlădoiu


Trebuie notat că ecuaţia (34) ne furnizează câteva trăsături ale presiunii cu care suntem familiarizaţi. Astfel, se observă că un mod de a creşte presiunea este acela de a creşte numărul (concentraţia, ) de molecule din unitatea de volum,

, a vasului. Adică aceasta este

situaţia pe care o regăsim atunci cân umflăm un pneu al automobilului sau un balon. De asemenea, presiunea mai pooate fi cre scută mărind energia cinetică medie a moleculelor aerului, adică mărind temperatura gazului, după cum vom vedea mai târziu. Unitatea de măsură a presiunii simbolul Pa, adică: [ ]

[ ]

în S.I. este Pascalul, având

(36)

[ ]

Deoarece pascalul este o unitate foarte mică pentru valorile presiunii atmosferice se foloseşte unitatea numită bar: (37) Presiunea atmosferică normală,

, măsurată în atm, are valoarea de: (38)

şi este presiunea pe care o exercită o coloană de Hg ( înălţimea de : 8

) cu

(39)

În tehnică, se foloseşte uniatea de măsură pentru presiune numită atmosferă tehnică, notată at, care este egală cu: 8

8

(40)

unde mărimea numită kilogram forţă, este forţa exercitată de câmpul gravitaţional asupra unei mase de un kilogram. Relaţia dintre kilogram forţă şi newton, N, este: 8

(41)

În fizica presiunilor joase se utilizează ca unitate de măsură pentru presiune torr-ul, care este egal cu presiunea exercitată de o coloană de Hg înaltă de : (42)

6 - 17

Ionuţ Vlădoiu


2.3.2. TEMPERATURA Adesea asociem conceptul de temperatură cu senzaţiile de cald şi rece pe care le simţim atunci când atingem un corp. Astfel, simţurile ne permit să facem o evaluare calitativă a temper aturii, dar nu ne permit să diferenţiem între corpurile cu temperaturi apropiate. De exemplu, dacă scoatem dintr-un congelator o cutie din carton şi un recipient metalic avem senzaţia că cel din urmă este mai rece decât cutia de carton, deşi ambele au aceeaşi temperatură. Diferenţele între senzaţiile produse de cele două obiecte sunt date de faptul că metalul are o conductivitate termică mai bună şi realizează un transfer termic mai rapid decât cartonul. De aceea avem nevoie de o metodă precisă şi reproductibilă pentru a măsura cât de cald sau rece este un obiect şi care să nu ţină cont de transferul temic al acestuia. De aceea, fizicienii au elaborat o varietate de instrumente de măsură, numite termometre, pentru a putea efectua măsurători cantitative ale temperaturii. Experienţele personale ne arată că două corpuri care au iniţial temperaturi diferite ajung la aceeaşi temperatură atunci când sunt aduse în contact. De exemplu, atunci când amestecăm două lichide, unul rece şi celălalt cald, observăm că amest ecul are o temperatură situată între temperaturile iniţiale ale lichidelor. Lichidul cald se răceşte iar cel rece se va încălzi. Pentru a înţelege conceptul de temperatură este necesar să definim conceptele de contact termic şi echilibru termic. Astfel, atunci când două corpuri care iniţial au temperaturi diferite sunt în contact termic, ele vor ajunge în final într-o stare caracterizată de aceeaşi valoare a temperaturii. Contactul termic presupune că între aceste corpuri are loc un schimb de energie, chiar dacă corpurile nu sunt în contact fizic. Mecanismul de transfer al energiei între cele două corpuri este limitat la transfer de căldură sau energie electromagnetică, nefiind permise schimburile de masă sau interacţiunile chimice, nucleare, de magnetizare, etc. Echilibrul termic corespunde situaţiei în care corpurile nu mai schimbă energie între ele atunci când sunt în contact termic. Pentru înţelegerea acestei noţiuni să ne imaginăm următoarea situaţie: două corpuri A şi B aflate într-o incintă, izolate între ele şi faţă de mediul exterior printr-un perete ce nu permite schimbul de energie între ele. Dacă parametrii externi sunt menţinuţi constanţi şi înlocuim peretele dintre cele două corpuri cu un altul ce p ermite doar schimbul de energie, dar nu şi schimbul de substanţă (perete diaterm), atunci sunt posibile două situaţii:

6 - 18

Ionuţ Vlădoiu


1. stările iniţiale ale corpurilor se păstrează şi atunci când sunt aduse în contact termic, ele se află în echilibru termic, neexistând schimb de energie sub formă de căldură sau radiaţie între aceste corpuri; 2. stările iniţiale ale corpurilor se modifică după stabilirea contactului termic, adică acestea se află iniţial într-o stare de neechilibru termic . Existenţa contactului termic va duce la un schimb de energie între corpuri, iar în final corpurile vor ajunge la aceeaşi temperatură, adică se stabileşte echilibrul termic. Aceste rezultate pot fi înglobate înt -un enuţ numit principiul zero al termodinamicii, care are următorul enunţ: „ dacă două sisteme termodinamice A şi B sunt puse în contact termic, atunci sistemul A+B format din cele două sisteme ajunge în starea de echilibru termodinamic, iar prin izolarea celor două sisteme starea de echilibru nu se mai modifică”. Principiul zero al termodinamicii se mai poate enunţa şi astfel: „dacă două sisteme termodinamice se află în echilibru cu un al treilea sistem, atunci şi ele se află în echilibru termic ”. Această proprietate a stărilor de echlibru termic se numeşte tranzitivitaea echilibrului termic, Acest principiu poate fi uşor demonstrat experimental, fiind foarte important pentru că ne permite să definim temperatura. Astfel, temperatura este o proprietate ce determină dacă un sistem se află sau nu în echilibru termic cu un alt sistem. Două sisteme se vor afla în echilibru termic dacă ele au aceeaşi temperatură, în mod contrar, ele aflându-se în neechilibru termic. 2.3.2.1. TERMOMETRE. SCĂRI DE TEMPERATURĂ Temperatura, ca mărime fizică are o proprietate particulară ce constă în faptul că nu este o mărime aditivă. De aceea ea nu se poate măsura direct prin metoda comparării cu un etalon, ca în cazul altor mărimi, de exemplu, lungimea, masa, timpul, etc. Termometrul este dispozitivul cu ajutorul căruia se măsoară temperatura unui sistem. Realizarea acestuia se bazează pe faptul că atunci când temperatura unui corp se modifică, se produce o variaţie a proprietăţilor acestuia. De exemplu, volumul unui lichid, dimensiunea unui corp solid, presiunea unui gaz menţinut la volum constant, volumul gazului menţinut la presiune constantă, rezistenţa electrică a unui conductor, culoarea unui obiect, etc., sunt exemple de proprietăţi care ale corpurilor ce variază cu temperatura şi poartă denumirea de corp termometric sau substanţă termometrică. Mărimea ce caracterizeză substanţa termometrică reprezintă o mărime termometrică. De exemplu, 6 - 19

Ionuţ Vlădoiu


în cazul unui termometru uzual, cu mercur sau alcool, substanţa termometrică este mercurul sau alcoolul, iar mărimea termometrică este înălţimea sau lungimea coloanei de mercur sau alcool. Când se măsoară temperatura unui corp, termometrul este adus în contact termic cu acesta, iar după stabilirea echilibrului temic, temperatura corpului termometric va fi egală cu temperatura corpului. Pentru a se stabili unitatea de temperatură, gradul, se aduce termometrul în contact termic cu un sistem aflat în două stări disti ncte şi perfect reproductibile, cărora li se asociază valori bine precizate ale temperaturii numite temperaturi de reper. De regulă, aceste temperaturi sunt temperatura de topire a gheţii şi temperatura de fierbere a apei la presiune atmosferică normală. Intervalul de temperatură obţinut este divizat într-un număr întreg de părţi, numite grade. În acest mod se obţine o scară a temperaturilor, care în cazul exemplificat aici, este chiar scara Celsius. O problemă a termometrelor calibrate în acest mod o reprezintă acurateţea, mai ales în zonele de temperatură depărtate de cele de calibrare, deoarece corpurile temometrice au proprietăţi termice diferite. O altă problemă este legată de domeniul de măsurare al temperaturilor. De exemplu, termometrul cu mercur nu poate indica temperaturi mai mici decât temperatura lui de îngheţ care este de 39°C, iar cel cu alcool temperaturi mai mari de 85°C, adică temperatura de fierbere a alcoolului. Pentru a elimina aceste probleme se utilizează termometre cu gaz. Termometrul cu gaz este prezentat schematic în figura 2. Rolul substanţei termometrice este îndeplinit de un gaz perfect, iar mărimea termometrică este presiunea gazului menţinut la volum constant. Calibrarea acestui termometru se realizează în felul următor: se introduce rezervorul de gaz într-un recipient ce conţine apă cu gheaţă. 𝒑𝟎 Nivelul mercurului din coloana B este ajustat astfel încât, în coloana A nivelul mercurului să corespundă Nivel de h nivelului de referinţă. Măsurând referinţă înăţimea se determină presiunea la A Mercur B temperatura de . Apoi se introduce GAZ rezervorul cu gaz în apă aflată GAZ temperatura de fierbere şi prin ajustarea nivelului de mercur din coloana B, se menţine nivelul din coloana A la nivelul de referinţă. Figura 2. Termometru cu gaz, format Presiunea determinată în acest caz dintr-un vas umplut cu un gaz perfect corespunde valorii unei temperaturi de şi un manometru pentru măsurarea . Ajustarea nivelului de mercur în presiunii gazului. 6 - 20

Ionuţ Vlădoiu


p

Gazul III

p

(b)

Gazul II

(a)

Gazul I

t (°C)

t (°C) 0

100

-273,15 -200

-100

0

100

Figura 3. (a) Exemplu de reprezentare grafică a presiunii în funcţie de temperatură pentru un termometru cu gaz perfect. (b) Presiunea în funcţie de temperatură pentru gaze diferite aflate la presiuni iniţiale diferite şi volum constant într-un termometru cu gaz. În toate cazurile, prin extrapolarea curbelor către valoarea zero a presiunii se obţine temperatura -273,15 °C.

cele două coloane ale manometrului se realizează pentru a menţine volumul gazului la volum constant. Valorile obţinute sunt reprezentate grafic, cu ajutorul căruia se determină temperaturile la diferite valori ale presiunii (figura 3. a). Pentru a determina temperaturile altei substanţe, se aduce rezervorul cu gaz în contact cu aceasta şi se măsoară presiunea, asigurând condiţia ca volumul să rămână constant prin ajustarea nivelului de volum din coloana B. Apoi, cu ajutorul graficului de calibrare (din figura 3. a) se determină temperatura substanţei. Măsurătorile de temperatură realizate utilizând gaze diferite în rezervor au indicat că valorile temperaturii indicate de termometru sunt independente de natura gazului, atâta timp cât presiunea gazului este scăzută, iar temperatura se situează sub cea de lichefiere a gazelor (figura 3. b). Prin extrapolarea dreptelor obţinute spre valori negative ale temperaturii obţinem un rezultat remarcabil şi anume, în toate cazurile, valoare zero a presiunii corespunde unei valori a temperaturii de . Acest rezultat ne sugerează că această temperatură are un rol important. Într-adevăr, această temperatură ce corespunde unei valori nule a mărimi termometrice este baza scării absolute de temperatură, care are valoarea de zero a temperaturii ce corespunde la . Această temperatură este numită adesea temperatură absolută de zero. Cu ajutorul scării absolute de temperatură se măsoară temperatura absolută sau temperatura termodinamică. Scara termometrului cu gaz discutat mai înainte este o scară absolută şi ea se numeşte adesea scară Kelvin, unitatea de măsură a acesteia fiind kelvinul, având simbolul K. 6 - 21

Ionuţ Vlădoiu


Relaţia dintre temperatura absolută, în grade Celsius, , este: [

]

[ ]

, şi temperatura exprimată

(43)

Scara absolută de temperatură a fost adopatată în 1954 de către Comitetul Internaţional de Măsuri şi Greutăţi. Temperaturile de referinţa ale acestei scări sunt temperatura de zero absolut şi temperatura punctului triplu al apei 3. În cazul apei, punctul triplu apare la o temperatură de şi o presiune de 8 . Pe scara absolută de temperatură punctul triplu al apei a fost stabilit la valoarea de . Scara absolută de temperatură furnizează Sistemului Internaţional de Unităţi de Măsură unitatea de măsură fundamentală,

Kelvinul,

definit

ca

fiind

din

temperatura

termodinamică a punctului triplu al apei. Ecuaţia (43) ne arată că temperatura exprimată în grade Celsius este decalată de temperatura termodinamică, exprimată în kelvin, prin valoarea . Deoarece valoarea unei unităţi de măsură, gradul, este aceeaşi în ambele scări, o variaţie a temperaturii de va corespunde unei variaţii a temperaturii cu . Temperatura de îngheţ a apei în scara Kelvin va fi şi corespunde unei temperaturi de , iar temperatura de fierbere a apei va fi , corespunzător valorii de . O altă scară de temperatură utilizată frecvent este scara Fahrenheit, în special în sistemul anglo-saxon de unităţi de măsură. În această scară, temperatura de îngheţ a apei este de , iar cea de fierbere a apei de . Relaţia dintre temperaturile exprimate în grade Celsius şi în grade Fahrenheit este: [

]

[

]

(44)

Astfel, utilizând relaţiile (43) şi (44) obţinem o relaţie între variaţiile de temperatură exprimate în Kelvin şi cele exprimate în grad e Fahrenheit: [

]

[

]

(45)

În figura 4 este prezentată temperatura absolută a unor structuri şi procese fizice. Temperatura de zero absolut nu poate fi atinsă , deşi experienţele de laborator efectuate în domeniul răcirii cu laser a atomilor s-au obţinut valori foarte apropiate. Se pune acum întrebarea, Temperatura punctului triplu al apei corespunde temperaturii în care apa coexistă în cele trei stări de agregare: solidă, lichidă şi gazoasă. 3

6 - 22

Ionuţ Vlădoiu

~15,7 MK 5 MK

1356,55 K 423,15 K 373,15 K


Temperatura în miezul Soarelui. Temperatura coroanei solare.

Temperatura de topire a cuprului. Temperatura de pasteurizare a laptelui. Temperatura de fierbere a apei.

358,15 K

Temperatura de ferbere a alcoolului

273,15 K

Temperatura de îngheţ a apei.

234,25 K

Temperatura de îngheţ a mercurului.

184,0 K

Temperatura cea mai mică înregistrată pe Terra.

77 K

Temperatura de lichefiere a hidrogenului.

20,28 K

Temperatura de lichefiere a hidrogenului.

100 pK

Cea mai joasă temperatură atinsă pe cale experimentală Figura 4. Temperatura absolută a unor procese fizice.

ce se întâmplă când temperatura gazului atinge valoarea de zero absolut? Ţinând cont de formula fundamentală a teoriei cineticomoleculare şi de figura 3, presiunea exercitată pe pereţi vasului ar fi nulă, iar energia cinetică a acestora se reduce la zero, adică mişcarea moleculelor încetează. În acord cu această ipoteză, moleculele ar trebui să se aşeze pe fundul vasului. Teoria cuantică modifică această predicţie arătând că moleculele vor mai avea o energie reziduală, numită energie reziduală de zero absolut. 2.3.2.2. DILATAREA TERMICĂ Măsurarea temperaturii cu termometrul se bazează pe variaţia volumului substanţei manometrice cu temperatura. De exemplu, în cazul termometrului cu H g, pe măsură ce temperatura creşte volumul mercurului din rezervor creşte. Acest fenomen, de mărire a dimensiunilor corpului cu temperatura se numeşte dilatare termică. Dilatarea termică este o consecinţă a modificării distanţei medii dintre moleculele sau atomii corpului. Dacă dilatarea termică este redusă în comparaţie cu dimensiunea iniţială a corpului, schim barea oricărei dimensiuni a acestuia este proporţională cu temperatura. Considerând un obiect de lungime iniţială, , la o anumită temperatură, variaţia lungimii acestuia, , va corespunde unei vaiaţii a temperaturii cu şi va fi determinată cu relaţia: 𝛼

(46)

6 - 23

Ionuţ Vlădoiu


unde 𝛼 reprezintă coeficientul de dilatare liniară. Relaţia precedentă poate fi scrisă şi sub forma: 𝛼 (

)

(47)

unde reprezintă lungimea finală a corpului la temperatura , iar reprezintă lungimea iniţială a acestuia, ce corespunde temperaturii iniţiale . Unitate ade măsură a coeficientuui de dilatare liniară este: [ ]

(48)

În tabelul următor este prezentată valoarea coeficientului de dilatare liniară pentru câteva materiale. Se observă că acesta este pozitiv, indicând o creştere a lungimii cu temperatura. Însă, sunt şi substanţe care prezintă o dilatare pe o anumită direcţie ( 𝛼 pozitiv) şi o contracţie pe alta (𝛼 negativ), cum este cazul carbonatului de calciu, 𝑂 . Tabelul 2

Material

𝜶 (℃)

Aluminiu Cupru Sticlă Sticlă Pyrex Oţel Beton Alcool etilic

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

𝟏

Material Benzen Acetonă Glicerină Mercur Benzină Aer (la ℃) Heliu

𝜶 (℃)

𝟏

∙ ∙ 8 ∙ 8 ∙ ∙ ∙ ∙

Datorită modificărilor dimensiunilor liniare ale corpului cu temperatura şi voumul acestuia se va modifica cu temperatura. Variaţia volumului este proporţională cu volumul iniţial al acestuia şi cu variaţia de temperatură: 𝛽

(49)

unde 𝛽 reprezintă coeficientul de dilatare volumică. Pentru solide, valoarea medie a acestui coeficient este 𝛽 𝛼. Acestă aproximaţie este valabilă presupunând că materialul este izotropic, adică coeficientul de dilatare liniară are aceeaşi valoare în toate direcţiile. Volumul lichidelor creşte în general cu temperatura, acestea având coeficienţi de dilatare volumică de aproape zece ori mai mari decât ai solidelor. O excepţie de la această regulă este apa. După cum observăm din figura 5, atunci când aceasta este încalzită între şi volumul apei se micşorează. Încălzind apa peste se observă o creştere a volumului cu temperatura, adică o scădere a densităţi apei. Astfel, densitatea apei are o valoare maximă de

la

.

Acest fenomen poartă numele de anomalia apei.

6 - 24

Ionuţ Vlădoiu


𝒈 𝝆 ( 𝟑) 𝒄𝒎 1,00000 0,99995 0,99990 0,99985 4 0,99980 0,99975 0,99970

𝒕 (℃) 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Figura 5. Variaţia densităţii apei cu temperatura, la presiune atmosferică normală. Valoarea maximă a densităţii corespunde unei temperaturi de 𝐶, căreia îi corespunde un volum minim al apei.

Putem utiliza acest comportament „anormal” al apei pentru a explica de ce un râu îngheaţă mai repede la suprafaţă decât în adâncime. Astfel, când temperatura aerului atmosferic scade, de exemplu, de la la , suprafaţa apei se va răci şi volumul se va micşora. Acest fapt înseamnă că densitatea apei de la suprafaţă va fi mai mare decât a celei de dedesubt. Astfel, apa de la suprafaţă exercită o presiune mai mare asupra celei de dedesubt, forţând-o să se ridice la suprafaţa şi astfel, în contact cu aerul rece, se va răci. Când temperatura aerul atmosferic are valoarea cuprinsă între şi 0 , volumul apei de la suprafaţă va creşte, adică densitatea se micşorează şi aceasta va îngheţa. Cum densitatea gheţii este mai mică decât cea a apei de dedesubt, aceasta va rămâne la suprafaţă şi va împiedica îngheţarea apei de dedesubt, a cărei temperatură va ramâne de . Acest fenomen permite vieţuitoarelor marine să supravieţuiască. Aplicaţia 5. Un segment de autostradă are lungimea de 30 m la temperatura de . (A) Care este lungimea acestei portiuni la .

(B) Presupunând că capetele porţiunii sunt prinse rigid pentru a prevenii dilatarea, determinaţi tensiunea ce apare în aceasta când temperatura creşte la .

Rezolvare Rezolvare Din tabelul de mai sus observăm că: 𝛼 ∙ (℃) . Deci: 𝛼

Lungimea la

∙

(℃)

℃ va fi:

𝟏

∙

∙

Putem asemăna problema cu situaţia unui corp supus unei foţe de întindere, Astfel, uitlizând legea lui Hooke găsim pentru tensiunea ce apare în porţiunea de drum: ∙

∙

∙

6 - 25

Ionuţ Vlădoiu


2.3.2.3. INTERPRETAREA CINETICO-MOLECULARĂ A TEMPERATURII Să considerăm un cilindru închis şi izolat termic faţă de mediul exterior, umplut cu un gaz pefect (figura 6). Dacă introducem în acesta un piston mobil care divizează volumul iniţial de gaz în două compartimente. Atunci, pentru ca acesta să fie în echilibru mecanic (în repaus), trebuie ca în cele două compartimente temperatura şi presiunea să fie aceleaşi. În acest caz, cele două compartimente sunt în echilibru termodinamic. Deoarece preiunea este aceeaşi în ambele 𝑰𝑰 𝑰 compartimente, , din ecuaţia fundamentală a teroriei cineticomoleculare (relaţia 34) obţinem: [

̅̅̅̅

]

[

̅̅̅̅

]

𝒑𝑻

(50)

adică energiile cinetice medii de translaţie ale moleculelor din cele două compartimente sunt egale.

𝒑𝑻

Figura 6. Cilindru închis şi izolat ce conţine un gaz ideal divizat de un piston mobil. După perturbarea stării de echilibru termodinamic, pistonul se va deplasa până la stabilirea unui nou echilibru.

Dacă înlăturăm izolarea termică a unui compartiment şi-l încălzim, după care o refacem, gazul din cilindru nu se va mai afla în echilibru termic. Acest fapt va conduce la o deplasare a pistonului spre compartimentul ce nu a fost încălzit, deoarece odată cu creşterea temperaturii se produce şi o creştere a presiunii din comparimentul încălzit. La deplasarea pistonului efectuându-se lucru mecanic, înseamnă că, compartimnetul încălzit va transmite energie celuilalt compartiment. După câteva oscilaţii ale pistonului, acesta se opreşte în poziţia iniţială, adică se atinge din nou echilibru termodinamic între cele două compartimente. Astfel, realizarea echilibrului termodinamic s-a realizat prin transfer de energie între cele două compartimente. Cum am considerat că nu există scurgeri de molecule dintr -un compartiment în celălalt sau în afara cilindrului, numărul de molecule rămâne constant şi prin încălzirea gazului s -a modificat doar energi ile cinetice medii ale acestora. Astfel, egalizarea temperaturilor celor două compartimente se traduce prin egalizarea energiilor cinetice medii ale moleculelor din acestea. Adică, putem corela energia cinetică medie a moleculelor cu temperatura gazului. Acest rezultat se aplică şi lichidelor sau solidelor. Notând cu ̅̅̅̅

temperatura putem scrie: (51) 6 - 26

Ionuţ Vlădoiu


iar pentru presiunea gazului: (52) Analizând relaţia (51), ar trebui să exprimăm temperatura în unităţi de energie, ceea ce ar fi incomod. Dacă exprimăm temperatura în grade, în relaţia (51) trebuie să introducem un coeficient care să permită traducerea unităţilor de energie în grade. Astfel, legătura între energia cinetică medie, măsurată în J şi temperatura măsurată în grade va fi dată de relaţia: ̅̅̅̅

(53)

unde reprezintă constanta lui Boltzmann, aceasta exprimă raportul dintre unitatea de energie şi cea de temperatură . Valoarea acestei constante este: 8

(54)

Dacă scriem relaţia (53) sub forma: ̅̅̅̅

(55)

şi o comparăm cu ecuaţia fundamentală a t eoriei cinetico-moleculare (34) obţinem: (56) Această relaţie ne permite să exprimăm mărimile macroscopice ale gazului în funcţie de cele microscopice. Rescriind relaţia (55) sub forma: ̅̅̅̅

(57)

observăm că temperatura este o măsură directă a energiei cinetice de translaţie medie, adică temperatura este o măsură directă a mişcării de agitaţie termică a molecululor gazul ui ideal. Energia cinetică de translaţie medie a molecul ei se referă la molecula cu o viteză pătratică medie ̅̅̅̅. Descompunând această viteză după cele trei componente obţinem relaţia (28), ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅, adică energia cinetică medie se repartizează uniform după cele trei direcţii : ̅̅̅̅

,

̅̅̅̅

şi

̅̅̅̅

(58)

6 - 27

Ionuţ Vlădoiu


Astfel, fiecare grad de libertate va contribui cu o cantitate egală de energie

la cea a gazului. Prin grad de libertate se înţelege un

parametru independent prin care se poate preciza univoc poziţia unui sistem în spaţiu. După cum se ştie din mecanică, poziţia unui punct material în spaţiu este determinată de mişcarea sa în raport cu un sistem de referinţă cartezian xoyz. Astfel, numărul parametrilor independenţi pe care trebuie să-i indicăm pentru a preciza poziţia punctului material în spaţiu va fi egal cu trei, adică un singur punct material are trei grade de libertate . Deci şi o moleculă, pe care am asimilat-o cu un punct material, va avea şi ea trei grade de libertate, unica mişcare pe care am presupus-o că o are aceasta fiind mişcarea de translaţie. O generalizare a acestui rezultat o reprezintă teorema echipartiţiei energiei, care afirmă: „fiecare grad de libertate al moleculei contribuie la energia sistemului o valoare ̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅

”: (59)

Trebuie precizat că pe lângă energia asociată fiecărui grad de libertate al moleculei aflată în mişcare de translaţie, mai pot apărea energii asociate gradelor de liberate ale mişcărilor de translaţie şi rotaţie ale acesteia. Însă, în studiul ga zului ideal noi am presupus că distanţa dintre molecule este mare (ipoteza 1). Adică, mişcările de vibraţie şi rotaţie ale moleculelor nu influenţează mişcarea acestora, energia tot ală a sistemului fiind dată doar de energia cinetică a moleculelor . Deoarece temperatura se defineşte cu ajutorul unei mărimi statistice, energia cinetică medie de translaţie, şi ea va fi o mărime statistică ca şi presiunea. Cum mărimile statistice se pot defini doar pentru sisteme formate dintr-un număr foarte mare de particule, înseamnă că nu se poate discuta despre temperatura unei molecule. În plus, temperatura de zero absolut corespunde temperaturii gazului pentru care energia cinetică medie a moleculelor este nulă, adică mişcarea haotică a acestora încetează.

2.3.3. VOLUMUL În mişcarea lor haotică şi continuă, moleculele gazului ideal ocupă tot volumul vasului în care se află. Astfel, gazul nu are volum propriu, volumul recipientului în care este închis gazul considerându-se ca fiind egal cu cel al gazului. Volumul gazului, , se măsoară în: [ ]

(60)

6 - 28

Ionuţ Vlădoiu


Volumul unui sistem termodinamic este un parametru de stare extern, deoarece el depinde de poziţiile corpurilor exterioare sistemului termodinamic. Dacă rescriem ecuaţia (56) sub forma: (61) observăm că volumul gazului creşte cu temperatura, adică atunci când mişcarea de agitaţie termică creşte. În plus, o creştere a v olumului se obţine atunci când şi presiunea este scăzută. Aceste concluzii le regăsim atunci când dorim să ridicăm un balon cu aer cald. Astfel, pentru a -l ridica se încălzeşte aerul din interiorul balonului la o temperatură suficent de ridicată, astfel încât densitatea lui să scadă şi să fie mai mică decât cea a aerului din exterioarul acestuia. Avantajul acestor baloane în comparaţie cu cele cu gaz mai uşor decât aerul este acela că ele nu trebuie să fie închise ermetic, deoarece gazul din interior nu este ținut sub presiune, ci are aceeași presiune cu a aerul înconjurător.

2.4. ECUAŢIA DE STARE A GAZULUI IDEAL Din ecuaţiile obţinute cu ajutorul teoriei cinetico -moleculare deducem relaţii între parametrii ce caracterizează starea gazului ideal. Aceste mărimi sunt: presiunea, , temperatura, , şi volumul, , numite parametrii de stare ai gazului ideal .

2.4.1. ECUAŢIA TERMICĂ DE STARE A GAZULUI IDEAL Parametrii de stare ai gazului ideal sunt mărimi dependente una de alta. Relaţia care leagă presiunea, temperatura şi volumul unui gaz cu masa dată se numeşte ecuaţie termică de stare şi se poate scrie sub forma generală: (

)

(62)

Această relaţie arată că starea gazului ideal este definită doar de doi parametri, cel de-al treilea fiind obţinut din aceştia. Pentru a obţine o relaţie explicită a ecuaţiei termice de stare vom pleca de la relaţia (56): (63) în care reprezintă numărul de molecule al gazului ideal. Deoarece această mărime este inaccesibilă unei măsurări directe, o putem exprima în funcţie de alte mărimi uşor măsurabile. Astfel, utilizând noţiunea de cantitate de substanţă, pentru un gaz de masă , putem scrie: (64) 6 - 29

Ionuţ Vlădoiu

unde


este masa molară. Utilizând expresile numărului lui Avogadro, şi ale volumului molar,

relaţia de mai sus devine:

(65) din care rezultă: (66) Astfel, relaţia (63) poate fi scrisă: (67) În această relaţie intervin două constante universale: numărul lui Avogadro şi constanta lui Boltzmann . Produsul acestor două constante universale este tot o constantă universală, numită constanta universală a gazelor, , având valoarea: 8

(68)

Introducând această constantă în relaţia (67) obţinem: (69) sau, ţinând cont de relaţia (64): (70) Relaţiile (69) şi (70) poartă numele de ecuaţia termică de stare a gazelor ideale. Ecuaţia termică de stare este numită adesea şi ecuaţia Clapeyron-Mendeleev. Pentru un mol de substanţă: şi şi ecuaţia (70) ia forma: (71)

2.4.2. ECUAŢIA CALORICĂ DE STARE A GAZULUI IDEAL Pentru un gaz ideal format din molecule, energia cinetică de translaţie medie dată de relaţia (59) devine: ̅

(72)

Ţinând seama de relaţiile (63) şi (70) putem rescrie relaţia de mai sus sub forma:

6 - 30

Ionuţ Vlădoiu


̅

(73)

Dacă considerăm că moleculele gazului posedă doar energie cinetică de translaţie relaţia (73) reprezintă energia internă, , a gazului ideal. Această presupunere îşi are fundamentul în faptul că energia internă a gazului este suma energiilor cinetice ale moleculelor aflate î n mişcare termică şi a energiilor potenţiale determinate de ineracţiunile dintre molecule sau a acestora cu câmpurile de forţe exterioare. Deoarece în modelul cinetico-molecular nu se ţine cont de structura moleculei şi de interacţiunile dintre acestea, energia internă a gazului ideal va fi dată doar de suma energiilor cinetice de translaţie a moleculelor: ̅

(74)

Relaţia (74) reprezintă ecuaţia calorică de stare a ga zului ideal, ce exprimă faptul că: „energia internă a unui gaz ideal este proporţională cu temperatura absolută a gazului şi cu cantitatea de gaz ”. Se observă că energia internă nu este influenţată de presiunea şi volumul gazului.

2.4.3. VITEZA TERMICĂ Viteza termică, , este viteza pe care o posedă moleculele datorită agitaţiei termice. Această viteză este dată de relaţia: √̅̅̅̅

(75)

sau, ţinând cont de expresia energiei cinetice medii de translaţie: √

̅

(76)

Astfel, luând în considerare relaţia (55) putem scrie: √ Cum

(77) şi

√

, obţinem: (78)

În tabelul alăturat sunt date vitezele termice pentru câteva molecule, la o temperatură de ℃.

Tabelul 3

Gazul

𝝁 (𝒈 𝒎𝒐𝒍)

𝒗𝑻 (𝒎 𝒔)

𝑯𝟐 𝑯𝒆

2,016 4,00

1902 1352

𝑯𝟐 𝑶 𝑵𝒆 𝑵𝟐 𝑪𝑶 𝑨𝒆𝒓 𝑵𝑶 𝑶𝟐 𝑪𝑶𝟐 𝑺𝑶𝟐

18,0 20,1 28,0 28,0 28,8 30,0 32,0 44,0 64,1

637 602 511 511 504 494 478 408 338

6 - 31

Ionuţ Vlădoiu


Aplicaţia 6. Un gaz ideal format din molecule de hidrogen este încălzit la temperatura de Să se afle: (A) Energia cinetică medie a unei molecule. Rezolvare Din relaţia energiei cinetice medii de translaţie obţinem: ̅

̅ (C) Viteza termică a unei molecule de de vapori de Hg aflaţi la aceeaşi temperatură. Rezolvare Mercurul are

, iar masa unui atom va fi:

(B) Energia cinetică totală a moleculelor dintrun mol de gaz la temperatura respectivă. adică:

Rezolvare Numărul de molecule dint-un mol este dat de numărul lui Avogadro. Astfel, energia cinetică totală a moleculelor dintr-un mol se determină cu relaţia:

Viteza termică va fi: 8

√

=

Aplicaţia 7. Aflaţi pentru gazele din tabelul 3, că vitezele termice sunt de acelaşi ordin cu viteza de propagare a sunetului în gazele respective. Se cunosc , , iar densităţile sunt date în tabelul următor: Gazul

𝝆 (𝒌𝒈 𝒎𝟑 )

𝝁 (𝒈 𝒎𝒐𝒍)

𝑯𝟐 𝑯𝒆 𝑯𝟐 𝑶 𝑵𝒆 𝑵𝟐 𝑪𝑶 𝑨𝒆𝒓 𝑵𝑶 𝑶𝟐 𝑪𝑶𝟐 𝑺𝑶𝟐

0.0899 0.1785 0.804 0.8999 1.2506 1.250 1.293 1.249 1.4290 1.977 2.926

2,016 4,00 18,0 20,1 28,0 28,0 28,8 30,0 32,0 44,0 64,1

Rezolvare Utilizând formulele de calcul ale vitezei termice √ gazos

şi vitezei sunetului într-un mediu √

𝜌

, obţinem tabelul:

Gazul

𝒗𝑻 (𝒎 𝒔)

𝒗𝑺 (𝒎 𝒔)

𝑯𝟐 𝑯𝒆 𝑯𝟐 𝑶 𝑵𝒆 𝑵𝟐 𝑪𝑶 𝑨𝒆𝒓 𝑵𝑶 𝑶𝟐 𝑪𝑶𝟐 𝑺𝑶𝟐

1838,37 1305,11 615,23 582,21 493,28 493,28 486,38 476,56 461,42 393,50 326,02

1837,81 1304,96 614,88 581,19 493,01 493,01 484,86 493,33 461,21 392,11 322,31

2.4.3. LEGILE GAZULUI IDEAL Legile cărora se supun gazele ideale au fost descoperite pe cale experimentală. În continuare, vom deduce aceste legi utilizând teoria cinetico-moleculară, mai precis, din ecuaţia termic ă de stare a gazului ideal.

6 - 32

Ionuţ Vlădoiu


2.4.3.1. LEGEA BOYLE-MARIOTTE Studiind gazul ideal în condiţii de temperatură constantă, R. Boyle şi E. Mariotte au descoperit că la comprimarea şi dilatarea unui gaz , variaţia volumului este însoţită de o variaţie a presiunii gazului. Astfel. produsul dintre presiunea şi volumul gazului este o constantă, atâta timp cât temperatura este menţinută constantă. Acest rezultat reiese şi din ecuaţia de stare (70), dacă se consideră temperatura constantă: (79) Această relaţie se numeşte ecuaţia transformării izoterme şi este reprezentată în figura 7, în coordonate ( ). Se observă că aceste curbe, numite izoterme, se reprezintă prin hiperbole echilaterale în planul ( ).

p

Considerând două stări ale gazului, putem scrie legeea Boyle-Mariotte în decursul transformării izoterme a gazului de la o stare iniţială la o stare finală astfel:

0

𝑻𝟑 𝑇𝟐 𝑻𝟏

𝑻𝟐

𝑇𝟏 V

Figura 7. Reprezentarea transformării izoterme coordonate (𝑝 𝑉).

legii în

(80) 2.4.3.2. LEGEA GAY-LUSSAC Prin menţinerea presiunii unui gaz la valori constante, Lussac a observat o variaţie proporţională cu temperatura a volumului acestuia, adică: 𝛼

(81)

unde 𝛼 este coeficientul de dilatare volumică al gazului, [𝛼 ] , iar este volumul iniţial al acestuia. Această relaţie reprezintă legea transformării izobare şi este reprezentată în figura 8. Relaţia de mai sus poate fi scrisă sub forma: 𝛼 (

)

sau

[

𝛼(

unde

. Dacă 𝛼 [

(

V

𝒑

𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕

(82) )]

(83) obţinem:

)]

𝛼

(84)

T

0 Figura 8. Reprezentarea legii transformării izobare în coordonate (𝑉 𝑇).

6 - 33

Ionuţ Vlădoiu


adică, într-o transformare izobară, volumul gazului este direct proporţională cu temperatura absolută. Deoarece 𝛼

, relaţia (84) devine:

(85) Scriind relaţia (70) sub forma: (86) obţinem:

(87)

adică:

(88)

adică expresia (85) poate fi obţinută şi din ecuaţia de stare a gazului perfect. 2.4.3.3. LEGEA LUI CHARLES Studiind comportarea unui gaz menţinut la volum constant, Charles a constatat că presiunea acestuia depinde liniar de temperatură, adică: 𝛽

(89) 𝛽 (

sau:

)

(90)

unde 𝛽 reprezintă coeficientul termic al presiunii, [𝛽 ] . Relaţia de mai sus poate fi scrisă sub forma: [

𝛽(

)]

(91)

care reprezintă forma experimentală a legii lui Charles sau legea transformării izocore. Această lege este reprezentată în figura 9.

p

𝑽

𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕

T

0 Figura 9. Reprezentarea legii transformării izocore în coordonate (𝑝 𝑇).

Procedând ca mai sus obţinem pentru coeficientul termic al presiunii, 𝛽

𝛼

, iar relaţia (91) devine: 𝛽

(92)

adică, într-o transformare izocoră, presiunea gazului este direct proporţională cu temperatura absolută. Relaţia (92) poate fi scrisă şi sub forma: (93)

6 - 34

Ionuţ Vlădoiu


Din ecuaţia termică de stare (70), pentru

obţinem:

(94) adică

(95)

sau

(96)

adică legea transformării izocore se poate obţine şi din ecuaţia termică de stare a gazelor ideale. 2.4.3.4. ECUAŢIA CLAPEYRON-MENDELEEV Din legile experimentale obţinute s-a stabilit o dependenţă între parametrii de stare ai gazului ideal. Expresia matematică a dependenţei dintre aceştia este dată de ecuaţia Clapeyron -Mendeleev: (97) În stabilirea legilor gazului ideal am presupus o cantitate constantă de gaz. Însă, atunci când cantitatea de gaz se modifică, legile gazului ideal nu se mai pot utiliza în procesul considerat. În această situaţie se poate utiliza ecuaţia Clapeyron-Mendeleev, care stabileşte o relaţie între parametrii de stare ai gazului. Să presupunem o transformare oarecare a unui gaz ideal aflat iniţial în condiţii normale de presiune şi temperatură. În acest caz, ecuaţia transformării generale este: (98) Cum

,

şi

expresia din stânga valoarea 8

obţinem

pentru

, care este chiar constanta universală

a gazelor ideale, . Astfel, relaţia de mai sus devine: (99) deoarece volumul gazului este

, din relaţia precedentă rezultă:

(100) care este chiar ecuaţia termică de stare a gazelor ideale sau ecuaţia Clapeyron Mendeleev. 2.4.3.5. LEGEA LUI DALTON Pentru un amestec de gaze inerte diferite, aflate în echilibru termic într-o incintă de volum , ecuaţia termică de stare se scrie sub forma: 6 - 35

Ionuţ Vlădoiu


(101) unde numărul total de molecule din incintă va fi: ⋯

⋯

(102)

Astfel, presiunea gazului va fi egală cu: ⋯ ⋯

sau:

⋯

⋯

(103)

(104)

adică, presiunea totală a amestecului este egală cu suma presiunilor parţiale, , ale gazelor componente. Acest rezultat reprezintă legea lui Dalton, care se aplică foarte bine gazelor perfecte. La presiuni ridicate, experienţele arată o abatere de la legea lui Dalton, însă gazul nu mai poate fi considerat unul ideal.

Aplicaţia 8. Un gaz ocupă volumul la temperatura şi presiunea . Gazul suferă următoarele transformări: a) comprimare izotermă pănă la volumul şi presiunea ; b) răcire izobară până la temperatura ; c) destindere izotermă până la volumul . (A) Stabiliţi presiunea finală a gazului

𝒑𝟐

𝒑𝟑

𝑻𝟏

𝑻𝟐 𝒑𝟏

𝒑𝟒

0

V 𝑽𝟒

𝑽𝟏

p

.

Rezolvare Pentru transformările suferite de gaz, relaţiile legilor respective sunt: }

p

𝒑𝟐

𝒑𝟑

𝒑𝟏

𝒑𝟒

0 4

T 𝑻𝟑

𝑻𝟏

V (B) Reprezentaţi grafic transformările coordonate (p,V), (V,T) şi (p,T). Rezolvare

în

𝑽𝟏 𝑽𝟒

Reprezentările grafice sunt prezentate alăturat. 0

T 𝑻𝟑

𝑻𝟏

6 - 36

Ionuţ Vlădoiu


Aplicaţia 9. Într-un recipient cu volumul se află un amestec de gaze format din vapori de apă şi 𝑂 . Temperatura amestecului este ℃. Numărul moleculeleor de 𝑂 este 𝑂 şi iar al celor de vapori . 𝑂 Determinaţi presiunea şi masa molară a amestecului.

Se

, 𝑂

8

cunosc: 𝑂

, şi

𝑂

sau

𝑂

𝑂

(

𝑂

𝑂)

8 Masa moleculară a amestecului se determină din relaţia:

8 𝑎

𝑚 amestec

Rezolvare Presiunea totală a amestecului, conform legii lui Dalton, va fi:

𝑎

2.5. PRINCIPIILE MECANICII STATISTICE Teoria cinetico-moleculară a gazului perfect prezintă o desciere a materiei din punct de vedere al ciocnirilor moleculelor. Această teorie a reuşit să furnizeze legile ce guvernează comportarea unui gaz şi condiţiile necesare care să conducă la stabilirea echilibrului termic. Plecând de la mărimile microscpice ce cacterizează constituenţii gazului perfect, am reuşit să stabilim relaţii ale parametrilor de stare ce caracterizează starea acestuia, adică să stabilim relaţii ale unor mărimi macroscopice, care caracterizează gazul în ansamblul său. Astfel, am reuşit să explicăm noţiunile de presiune şi temperatură în funcţie de energia cinetică medie de translaţie a moleculelor, care este o mărime statistică. Adică, am reuşit să stabilim condiţiile de echilibru termodinamic între sisteme utilizând elemente de mecanică statistică. În cele ce urmează, vom stabili câteva dintre legile mecanicii statistice care ne vor permite să explicăm comportarea gazelor. Am stabilit deja una dintre legile mecanicii statistice, teorema echipartiţiei energiei, conform căreia, fiecare grad de libertate al moleculei contribuie la energia sistemului o valoare . Această teoremă ne furnizează informaţii despre viteza pătratică medie a moleculelor, fără a preciza nimic despre poziţiile acestora în cazul echilibrului temic, sau despre cum sunt distribuite moleculele în interiorul gazelor în funcţie de viteza lor. Deşi cunoaştem viteza pătratică medie a moleculelor, nu putem preciza dacă toate moleculele se deplasează cu această viteză, sau câte dintre acestea au v iteze mai mici sau mai mari decât aceasta. Cu ajutorul informaţilor prezentate până acum vom încerca să găsim răspunsul la două întrebări:

6 - 37

Ionuţ Vlădoiu


1. Cum sunt distribuite moleculele în spaţiu în prezenţa unor câmpuri de forţe exterioare care acţionează asupra lor; 2. cum sunt distribuite aceste molecule gazului în funcţie de viteză.

2.5.1. DISTRIBUŢIA MOLECULELOR ÎN ATMOSFERĂ Pentru a introduce elemente de fizică statistică aplicate la fenomene fizice (elementele de teoria probabilităţilor), vom analiza cazul unui sistem termodinamic concret, acela al moleculelor gazului atmosferic. Să considerăm un caz simplu, cel al distribuţiei moleculelor în atmosferă, în absenţa oricărei perturbaţii, ca de exemplu, perturbaţiile produse de vânt. Asupra acestor molecule acţionează câmpul gravitaţional terestru care, în absenţa mişcării de agitaţie termică, ar face ca toate moleculele de gaz să se acumuleze la suprafaţa Pământului, formând un strat de aer în apropierea acestei suprafeţe. Dacă considerăm situaţia inversă, adică asupra moleculelor nu ar exista atracţia gravitaţională a Pământului, atunci moleculele de gaz s-ar dispersa în spaţiul interplanetar, iar atmosfera terestră nu ar exista. Astfel, putem afirma că atmosfera Pământului există în forma actuală datorită prezenţei simultate a mişcării de agitaţie termică a moleculelor şi a câmpului gravitaţional terestru. Pentru a determina legea care guvernează distribuţia moleculelor aerului atmosferic în jurul Pământului vom considerăm o coloană verticală de aer la temperatura cu înălţimea (figura 10). Notăm cu presiunea atmosferică la suprafaţa Pământului (la ) şi cu presiunea atmosferică la altitudinea . La o variaţie a altitudinii cu presiunea variază cu . Cantitatea măsoară diferenţa dintre presiunea coloanelor de aer având ariile bazelor egale cu unitatea şi înălţimile şi . Acestă variaţie de presiune este dată de relaţia presiunii hidrostatice din mecanica fluidelor, care exprimă presiunea exercitată la o anumită înălţime într-un fluid: (105) unde este densitatea gazului, iar este acceleraţia gravitaţională. Semnul minus este impus de faptul că variaţia presiunii, , este negativă. Dacă este masa unei molecule iar

𝒉

𝒅𝒉 𝒑

𝒅𝒑

𝒉𝒑

𝒅𝒉

este concentraţia acestora,

putem scrie: ∙

(106)

Din ecuaţia de stare a gazelor ideale scrisă sub forma: (107)

𝒉

𝟎 𝒑𝟎

𝝆𝑻

Figura 10. Coloană verticală de aer cu densitatea 𝜌 şi temperatura 𝑇. Presiunea atmosferică la suprafaţa Pământului (la ) este 𝑝 , iar la altitudinea este 𝑝.

6 - 38

Ionuţ Vlădoiu


obţinem pentru densitate relaţia: ∙

(108)

Înlocuind acest rezultat în relaţia (105) obţinem: (109) sau

(110)

Integrând această relaţie obţiem: ∫

(111)

∫

Dacă presupunem că temperatura este aceeaşi la orice altitudine, care este adevărată doar pentru variaţii mici ale altitudinii, prin integrarea relaţiei precedente obţinem: 𝑚

(112)

Acestă relaţie reprezintă formula barometrică, care exprimă variaţiei presiunii cu altitudinea. Ţinând cont de relaţia (107), putem scrie relaţia de mai sus sub forma: 𝑚

(113)

une este concentraţia moleculelor la înălţimea , iar moleculelor pentru , adică la suprafaţa Pământului.

este concentraţia

Deoarece demonstrarea formulelor (112) şi (113) s-a bazat pe unele aproximări, acestea descriu aproximativ dependenţa presiunii atmosferice şi a concentraţiei moleculelor de altitudine. De exemplu, am presupus că temperatura nu variază cu altitudinea, astfel încât relaţiile anterioare sunt valabile numai pentru diferenţe de altitudine relativ mici pentru care modificarea temperaturii nu este semnificativă. În plus, aceste calcule s-au bazat şi pe presupunerea că acceleraţia gravitaţională este constantă. Această presupunere este şi ea valabilă numai pentru diferenţe de altitudine relativ mici. Pentru diferenţe mai mari de altitudine trebuie să ţinem cont că acceleraţia gravitaţională variază cu altitudinea conform legii: 𝑃

( 𝑃

unde

(114)

)

este constanta atracţiei universale (

Pământului, iar

𝑃

),

𝑃

masa

raza medie a acestuia. 6 - 39

Ionuţ Vlădoiu


2.5.2. LEGEA LUI BOLTZMANN Energia potenţială gravitaţională pe care o posedă o moleculă aflată la înălţimea faţă de suprafaţa Pământului este: (115) Astfel, relaţia (113) devine: 𝑈

(116)

Această relaţie exprimă legea lui Boltzmann, care arată că, concentraţia, n, de molecule depinde atât de valoarea energiei potenţiale, , cât şi de temperatura acestora. În plus, această lege de distibuţie indică o scădere a numărului de molecule odată creşterea energiei potenţiale a moleculelor, respectiv cu scăderea temperaturii T. Atunci când sistemul de particule este izolat faţă de mediul înconjurător, numărul total de particule rămâne constant în timpul diferitelor procese şi relaţia (116) poate fi exprimată şi în funcţie de numărul de particule: 𝑈

(117)

Astfel, numărul de molecule care au energia potenţială , depinde de temperatură, adică distribuţia acestora după energie este determinată de temperatură.

2.5.4. DISTRIBUŢIA STATISTICĂ A MOLECULELOR În cadrul teoriei cinetico-moleculare se studiază sisteme compuse dintr-un număr foarte mare de molecule. Datorită acestui fapt, nu este posibil să se urmărească mişcarea fiecărei particule în parte. De aceea, în fizica statistică se folosesc metodele teoriei probabilităţilor, adică determinarea probabilităţii ca o particulǎ din sistem să aibă, de exemplu, viteza cuprinsă în intervalul ( ), energia cuprinsă în intervalul ( ), etc. În cele ce urmează introducem câteva noţiuni fundamentale de fizică statistică. Astfel, înţelegem prin eveniment aleatoriu, , acel eveniment ale cărui condiţii de realizare în cadrul unui raţionament particular nu sunt cunoscute şi nu pot fi prevăzute, fiind cu totul întâmplătoare. De exemplu, să ne imaginăm un experiment ce constă în aruncarea unui zar. Rezultatul fiecărei aruncări constă în apariţia aleatorie a unui număr de puncte cuprins între 1 şi 6 (figura 11), fără a putea prevedea care este numărul care apare la o aruncare. Dacă se repetă Figura 11. Valori de apariţie posibile la aruncarea de foarte multe ori, se observă că aruncarea unui zar. 6 - 40

Ionuţ Vlădoiu


numărul situaţiilor în care apare aceleaşi puncte tinde să devină egal. Cu alte cuvinte putem spune că probabilităţile de realizare a celor 6 evenimente posibile (apariţia unui anumit rezultat) devin egale atunci când numărul de experimente este foarte mare (tinde spre infinit). Frecvenţa de apariţie a unui eveniment, 𝑤 , este raportul dintre numărul de cazuri favorabile realizării evenimentului, , şi numărul total al cazurilor posibile , considerând că toate evenimentele se produc cu o probabilitate egală: 𝑤

(118)

Pentru experimentul ce constă în aruncarea zarului, rezultă că 𝑤

,𝑖

̅̅̅̅.

Probabilitatea unui eveniment, , reprezintă limita spre care tinde raportul dintre numărul de evenimente realizate şi numărul total de evenimente , atunci când acesta din urmă tinde la infinit (adică, atunci când se realizaeză un număr mare de măsurători sau experimente): lim

∞

(119)

Acum, să ne imaginăm că punem şase zaruri într-o cutie, fiecare având imprimat doar un număr unic din numărul de puncte posibile. Probabilitatea de a extrage zarul pe care este un punct va fi . Aceasta este egală cu probabilitatea de a extrage zarul pe care sunt imprimate două puncte, sau cu cea de a extrage pe cel care are imprimate trei puncte, ş.a. Astfel, probabilitatea de a extrage un zar cu care are imprimat un anumit număr de puncte va fi

.

Adică, un asemenea eveniment se va produce cu certitudine. Se observă că dacă numărul de evenimente asociate unui experiment este 𝑖 , atunci ∑ 𝑤 sau ∑ , atunci când se realizează un număr mare de evenimente. Considerând un eveniment compus din mai multe evenimente independente, atunci probabilitatea sa se va determina cu teorema însumării probabilităţilor, care afirmă: ”dacă , sunt probabilităţile mai multor evenimente incompatibile, atunci probabilitatea de realizare a unuia dintre ele va fi egală cu suma probabilităţilor tuturor evenimentelor”. Această sumă a probabilităţilor de realizare a evenimentelor asociate unui experiment trebuie să fie egală cu 1, adică cu certitudinea. Să considerăm un eveniment compus constând în realizarea simultană a două sau mai multor evenimente independente. Evenimentele independente sunt acelea în care probabilitatea de realizare a uneia dintre ele nu depinde de realizarea sau de nerealizarea celorlalte. Probabilitatea acestui eveniment se calculează cu ajutorul teoremei produsului probabilităţilor care afirmă că: „probabilitatea de realizare concomitentă a două sau mai multor evenimente independente este egală cu produsul probabilităţilor fiecăruia dintre evenimentele luate separat”. 6 - 41

Ionuţ Vlădoiu


Dacă avem o mărime fizică ( ) ale cărei valori posibile nu aparţin unui şir discret ci unui domeniu continuu, cuprins între valorile şi . Dacă împărţim intervalului în intervale de lăţime infinit mică, , vom avea un număr foarte mare de valori posibile ale mărimii fizice ( ), probabilităţile lor de apariţie fiind ( ), iar evenimentele corespunzând apariţiei unei anumite valori fiind ( ). Acest raţionament ne permite să adaptăm formulele importante obţinute pentru cazul mărimilor fizice cu valori posibile aparţinând unui şir discret la cazul mărimilor fizice cu valori posibile aparţinând unui interval continuu. Astfel, valoarea medie a mărimii va fi dată de formula: ̅

( )

∫

( )

(120)

Suma probabilităţilor valorilor posibile ale unui eveniment este: ∞

∫

( )

(121)

relaţie ce se numeşte condiţia de normare. 2.5.4.1. FUNCŢIA DE DISTRIBUŢIE STATISTICĂ A LUI BOLTZMANN În cele ce urmează vom realiza o interpretarea a legii lui Boltzmann prin prisma teoriei probabilităţilor. Pentru aceasta ne propunem să aflăm care este numărul de molecule , din numărul total de molecule studiate, care se află la înălţimea . Pentru a determina legea de distribuţie a moleculelor după înălţime, vom defini o funcţie de distribuţie a moleculelor după înălţime, ( ), prin relaţia: ( )

(122)

Această funcţie exprimă fracţiunea din numărul total de molecule plasate la înălţimea , sau reprezintă probabilitatea ca moleculă din gazul ideal să se găsească la înălţimea . Utilizând legea lui Boltzmann (116), putem exprima numărul de molecule din stratul de grosime , aflat la înălţimea astfel: 𝑚 ℎ

(123)

Pentru a elimina dependenţa de concentraţia moleculelor, , corespunzătoare presiunii de la suprafaţa Pământului, vom însuma concentraţiile corespunzătoare tuturor straturilor de grosime în care am împărţit atmosfera terestră, adică vom calcula integrala: ∞

∫

∞

∫

∞

∫

𝑚 ℎ

(124)

adică:

6 - 42

Ionuţ Vlădoiu


(125) Astfel, relaţia (123) devine: 𝑚 ℎ

(126)

Prin compararea relaţiilor (122) şi (126) putem identifica expresia funcţiei de distribuţie, ( ), a moleculelor de gaz în raport cu înălţimea h: 𝑚 ℎ

( )

𝑈

(127)

relaţie denumită funcţia de distribuţie Boltzmann. Funcţia de distribuţie pentru un sistem termodinamic este un element fundamental pentru studierea sistemului. Astfel, dacă se cunoaşte această funcţie de distribuţie, se poate calcula valoarea medie a oricărei mărimi fizice caracteristice sistemului cu ajutorul relaţiei (120), iar cu ajutorul relaţiei (122) probabilitatea unui eveniment caracteristic sistemului. Ca orice funcţie de distribuţie, funcţia de distribuţie Boltzmann trebuie să satisfacă condiţia de normare: ∞

∫

( )

(128)

care exprimă faptul că dacă particula sistemului termodinamic studiat există, ea va fi cu siguranţă localizată undeva în Univers, în intervalul de altitudine de la zero la infinit. Cum energia potenţială a moleculei în câmp gravitaţional este atunci relaţia (122) devine: 𝑈

𝑈

,

(129)

care reprezintă probabilitatea ca o moleculă a sistemului termodinamic să aibă energia potenţială în intervalul ( ). Putem generaliza relaţia (127) pentru situaţia în care, pe lângă energie potenţială , particulele gazului ideal au şi o energie cinetică . În acest caz, energia totală , iar funcţia de distribuţie Boltzmann devine ( )

𝐸

(130)

Astfel, va exista o stare a sistemului termodinamic caracterizat prin energia cea mai joasǎ , numitǎ starea fundamentală, sau de echilibru, în care se găsesc molecule. Numărul moleculelor care vor avea energia va fi .

6 - 43

Ionuţ Vlădoiu


2.5.4.2. FUNCŢIA DE DISTRIBUŢIE A LUI MAXWELL În cele ce urmează vom studia distribuţia moleculelor unui gaz în funcţie de viteza lor. Pentru a stabili legea acestei distribuţii, vom defini funcţia de distribuţie a moleculelor după viteze astfel: ( )

(131)

unde reprezintă numărul de molecule care au viteza în intervalul ( ), iar este numărul total de molecule din gazul ideal. Funcţia de distribuţie ( ) determină numărul de molecule care au viteza cuprinsă în intervalul ( ), sau probabilitatea ca o moleculă să aibă viteza cuprinsă în intervalul ( ). În cele ce urmează neglijăm acţiunea câmpului gravitaţional asupra moleculelor. În plus, moleculele gazelor ideale nu interacţionează între ele (ipoteza 3), adică energia lor potenţială este nulǎ şi ele pot avea deci numai energie cinetică. Astfel, energia totală a moleculelor va fi:

. Forma funcţiei

de distribuţie ( ) se alege asemănătoare cu cea din legea de distribuţie a lui Blotzmann, adică: 𝐸

( )

𝑚𝑣

(130)

unde A este o constantă a cărei valoare o vom determina din condiţia de normare a funcţiei de distribuţie, adică: ∞

( )

∫

(131)

Pentru a determina valoarea constantei vom considera cazul variaţiei energiei moleculelor cu înălţimea, adică cazul atmosferei terestre, unde ∈ ( ∞ ∞), condiţia de normare având forma particulară: ∞

( )

∫

(132)

unde reprezintă componenta vitezei după axa (132) obţinem: 𝑚𝑣

∞ ∞

(133)

∫

Pentru a calcula această integrală vom nota cu 𝛼 ∞ ∞

∫

𝑦. Din relaţiile (130), (131) şi

𝛼

𝐼

, atunci putem scrie:

(134)

care este echivalentă cu relaţia:

6 - 44

Ionuţ Vlădoiu ∞ ∞

𝛼

∫

𝑦


𝐼

(135)

Înmulţind membru cu membru ultimele două relaţii obţinem ∞ ∞ ∫∞ ∞

𝛼(

∫

)

𝑦

𝐼

(136) 𝑦 (figura 11, a). Dacă trecem la

care este o integrală dublă pe tot planul coordonate polare (figura 11, b) vom obţine: ∞ ∞ ∫∞ ∞

𝐼

∫

𝐼 adică:

∞

𝜋

∫

𝐼

√𝛼

𝛼

𝜑

𝛼

( )

𝜋

∫

𝜋

∞

𝛼

𝜑 ∫

∞

𝛼

𝜋(

| )

𝛼

𝜋

(137)

𝛼

(138)

Astfel, relaţia (133) devine: 𝜋

(139)

√𝛼 sau

√

(140)

𝜋

Înlocuind pe (140) în relaţia (130) obţinem pentru funcţia de distribuţie a vitezei moleculelor pe direcţie verticală: 𝑚𝑣

(

)

√

(141)

𝜋

Analog, vom obţine pentru funcţiile de distribuţie ( ) şi ( ) expresiile: 𝑚𝑣

( )

√

y

(a)

(142)

𝜋

(b)

y

𝑨𝒓𝒊𝒂

y+dy r

y 0

𝑨𝒓𝒊𝒂

dr

x

x+dx

x

0

𝒅𝝋

r

𝒓𝟐 𝒙 𝒚

dr

𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒓𝒄𝒐𝒔 𝝋 𝒓𝒔𝒊𝒏 𝝋

x

Figura 11. (a) Coordonate carteziene, (b) Coordonate polare.

6 - 45

Ionuţ Vlădoiu

( )


𝑚𝑣

√

(143)

𝜋

Probabilităţile ca viteza unei molecule să aibă simultan componente în intervalele ( ), ( ) şi ( ) sunt: ( )

(144)

( )

(145)

( )

(146)

Probabilitatea ca viteza moleculei să satisfacă simultan aceste trei condiţii reprezintă probabilitatea unui eveniment compus din trei evenimente independente şi va fi egală, aşa cum am arătat anterior, cu produsul probabilităţilor acestor evenimente: (

𝜋

)

𝑚(𝑣 +𝑣 +𝑣 )

(147)

Ţinând cont de relaţia (131) putem scrie: ( )

(

𝜋

𝑚(𝑣 +𝑣 +𝑣 )

)

(147)

numită legea lui Maxwell a distribuţiei moleculelor după modulul vitezelor. Într-un „spaţiu al vitezelor”, în care coordonatele sunt componentele vitezei, funcţia de distribuţie a moleculelor după viteze reprezintă probabilitatea ca o moleculă oarecare să aibă vârful vectorului viteză într-un element infinitezimal de „volum” ( ) aflat în vecinătatea punctului de coordonate ( ). Datorită caracterului haotic al agitaţiei termice, direcţia vitezei nu are relevanţă, toate direcţiile fiind egal probabile. Astfel, este mai util să calculăm numărul de 𝒗𝒚 molecule care au mărimea modulului vitezei cuprinsă în intervalul ( ), indiferent de orientarea vitezei acestora. 𝒗 Elementul de volum din spaţiul modulului vitezelor va fi un strat sferic cu raza 𝒗𝒙 cuprinsă între şi , (figura 12), având valoarea: 𝒗𝒛 𝜋(

)

𝜋

(148)

Figura 12. Volumul stratului sferic de grosime 𝑑𝑣 şi rază 𝑣 în care sunt distribuite moleculele care au viteza cuprinsă în intervalul (𝑣 𝑣 𝑑𝑣).

6 - 46

Ionuţ Vlădoiu


Utilizând formula matematică ( 𝜋

)

(

) obţinem:

(149)

Înlocuind în relaţia (147) vom obţine: ( )

𝜋(

𝑚𝑣

)

𝜋

(150)

adică: ( )

𝜋(

𝜋

)

𝑚𝑣

(151)

care reprezintă funcţia de distribuţie Maxwell-Boltzmann a distribuţiei moleculelor după modulul vitezei. Trebuie precizat faptul că, în deducerea funcţiei Maxwell-Boltzmann ce exprimă distribuţia moleculelor după modulul vitezei, s-a neglijat ciocnirile dintre molecule. Însă, tocmai aceste ciocniri determină forma funcţiei de distribuţie ( ). De exemplu, presupunând un gaz care se află într-o stare iniţială caracterizată de valori egale ale modulelor vitezelor moleculelor. Ca urmare a ciocnirilor dintre molecule, gazul este scos din această stare, o parte dintre molecule se deplasează cu viteză mai mare, iar cealaltă se va mişca mai lent. Acest proces se va desfăşura până când se stabileşte un echilibru caracterizat de viteze ale moleculelor distribuite conform relaţiei (151). Astfel, o stare de echilibru dată a gazului, caracterizată de o anumită temperatură, corespunde unei mişcări total haotice a moleculelor, vitezele acestora fiind date de distribuţia Maxwell. Temperatura va fi stabilită de energia cinetică medie a moleculelor ce se mişcă dezordonat şi nu de mişcarea ordonată a moleculelor indiferent de direcţia acestora. 2.5.4.3. VITEZE CARACTERISTICE MOLECULELOR GAZULUI IDEAL Reprezentând grafic funcţiei de distribuţie a moleculelor după viteze Maxwell-Boltzmann, se obţine rezultatul din figura 13. Se observă că ( ) pentru şi ∞, adică gazul nu conţine molecule aflate în repaus sau care au viteză infinită. De asemenea, observăm un maxim al curbei de distribuţie ce corespunde unei anumite viteze, numită viteza cea mai probabilă, Probabilitatea de apariţie a acestei viteze este maximă. În plus, figura 13 indică încă două viteze caracteristice moleculelor gazului ideal, şi anume viteza medie, ̅ şi viteza termică , a cărei expresie am dedus-o deja în paragraful 2.4.3. Viteza cea mai probabilă se determină din condiţia ca funcţia de distribuţie să aibă un maxim, adică derivata ei în raport cu viteza să fie nulă: ( )

(152) 6 - 47

Ionuţ Vlădoiu


Înlocuind relaţia (151) în relaţia de mai sus obţinem: ( 𝜋(

𝑚𝑣

)

𝜋

)

𝒇(𝒗)

𝒗𝒑

̅ 𝒗 𝒗𝑻

(153)

sau 𝒇(𝒗)

𝑚𝑣

(

)

(154)

de unde se obţine: (

𝑚𝑣

) (

sau

𝒗

𝒅𝒗

Figura 13. Distribuţia moleculelor unui gaz după viteze la o anumită temperatură. Numărul de molecule având viteza cuprinsă în intervalul 𝑣 şi 𝑣 𝑑𝑣 este egal cu aria 𝑓(𝑣)𝑑𝑣. Valoarea funcţiei de distribuţie tinde către zero pe măsură ce 𝑣 tinde către infinit.

(155)

)

(156)

de unde se deduce următoarea expresie pentru viteza cea mai probabilă: √

(157)

Dacă ţinem cont că masa molară a unui gaz este şi că numărul lui Avogadro poate fi exprimat în funcţie de constanta Boltzmann prin relaţia , ecuaţia precedentă poate fi scrisă sub forma: (158)

√

În continuare vom deduce o relaţie pentru viteza medie, ̅ . Pentru aceasta, ne vom folosi de relaţia (120), care exprimă valoarea medie a unei mărimi fizice, pe care o rescriem sub forma: ̅

∞

∫

( ) ( )

(159)

În relaţia de mai sus alegem funcţia relaţia poate fi scrisă sub forma: ∞

̅

( )

∫

( ) de forma

( )

, astfel încât

(160)

Ţinând cont de relaţia (151) ce exprimă funcţia de distribuţie a moleculelor după viteză, relaţia (160) devine: ̅

𝜋(

∞

𝜋

) ∫

𝑚𝑣

(161)

6 - 48

Ionuţ Vlădoiu


Pentru a calcula integrala din relaţia de mai sus, ne folosim de relaţia: ∞

𝐼

𝛼

∫

(162)

𝛼

Astfel, relaţia (161) devine: ̅

𝜋(

) (

𝜋

)

(163)

Ridicând la pătrat ecuaţia de mai sus obţinem: ( ̅)

𝜋 (

) (

𝜋

)

(164)

din care rezultă: ( ̅)

(165)

𝜋

Astfel, expresia vitezei medii va fi: √ ̅

(166)

√𝜋

𝜋

Analizând relaţiile (158) şi (166) observăm: ̅

(167)

Pentru a determina viteza termică, , calculăm mai întâi viteza pătratică medie a moleculelor, ̅̅̅. Astfel, dacă în relaţia (160) considerăm ( ) , putem scrie: ∞

̅̅̅

( )

∫

(168)

Înlocuind funcţia de distribuţie (151) în relaţia de mai sus obţinem: ̅̅̅

𝜋(

∞

) ∫

𝜋

𝑚𝑣

(169)

Utilizând integrala: 𝐼

∞

𝛼

∫

√𝜋

𝛼

5

(170)

din relaţia (169) va rezulta: ̅̅̅ Adică:

5

𝜋( ̅̅̅

𝜋

)

√𝜋

(

)

(171)

(172) 6 - 49

Ionuţ Vlădoiu


𝑠 𝒇(𝒗) ( ) 𝑚

𝑯𝒆 𝑵𝒆 𝑨𝒓 𝑿𝒆

𝟎 𝟎𝟎𝟐

𝟒 𝟐𝟎 𝟒𝟎 𝟏𝟑𝟐

𝟎 𝟎𝟎𝟏𝟓

𝟎 𝟎𝟎𝟏

𝟎 𝟎𝟎𝟎𝟓 𝟎𝟓

𝒎 𝒗( ) 𝒔 Figura 14. Distribuţia Maxwell-Boltzmann a moleculelor gazelor nobile, la temperatura 𝑇 𝐾. Se observă o creştere a vitezelor pe măsură ce masa moleculelor scade. 𝟎

𝟓𝟎𝟎

𝟏𝟎𝟎𝟎

𝟏𝟓𝟎𝟎

𝟐𝟎𝟎𝟎

Viteza termică se defineşte ca rădăcina pătrată a vitezei pătratice medii a moleculelor, adică: √̅̅̅

√

(173)

√

Analizând relaţiile (158), (166) şi (173) observăm: ̅

(174)

Funcţia de distribuţie Maxwell-Boltzmann (151) ne arată că vitezele moleculelor dintr-un gaz depind de masa şi temperatura gazului. La o temperatură dată, fracţiunea moleculelor care au o viteză mai mare decât o valoare fixată creşte pe măsură ce masa scade. Astfel, se explică de ce moleculele „mai uşoare” ca cele de şi părăsesc mai uşor atmosfera terestră, comparativ cu cele care au o masă mai mare, ca de exemplu, şi 𝑂 . În figura 14 este prezentată forma curbei distribuţiei Maxwell-Boltzmann pentru gazele nobile, la o temperatură fixată de . Curbele distribuţiei vitezelelor moleculelor într-un lichid sunt similare celor din figura 14. Fenomenul de evaporare a lichidului poate fi înţeles cu ajutorul acestei distribuţii, plecând de la premiza că unele molecule ale lichidului au energie mai mare decât celelalte. Acestea au viteză mai mare şi vor penetra suprafaţa chiar şi la temperaturi mult mai mici decât cele de fierbere. Moleculele care părăsesc lichidul prin evaporare au o energie suficient de mare pentru a învinge forţele de atracţie care ţin moleculele în faza lichidă. În consecinţă, moleculele care rămân în faza lichidă au energie cinetică mai mică şi, prin urmare, temperatura lichidului scade. Astfel, evaporarea este un proces însoţit de răcirea lichidului.

6 - 50

Ionuţ Vlădoiu


2.5.4.4. MĂSURAREA EXPERIMENTALĂ A DISTRIBUŢIEI MAXWELL A VITEZELOR Lammert, în 1929, a verificat experimental distribuţia Maxwell--Boltzmann a moleculelor după viteze, cu ajutorul aparatului din figura 15. Dispozitivul constă din discuri prevăzute cu fante radiale, dispuse relativ una faţă de alta la unghiuri 𝜃. Discurile se află pe aceaşi axă, fiind separate de o distanţă 𝐿, şi pot fi rotite cu o anumită viteză unghiulară. Viteza de rotaţie are rol de selecţie a vitezelor moleculelor. Un fascicul de molecule este direcţionat spre aceste discuri, iar moleculele ce trec prin fantele lor sunt înregistrate de un detector 𝐷. Dintre toate moleculele care trec prin fanta primului disc, doar cele care au o viteză suficient de mare astfel încât, în timpul să parcurgă distanţa 𝐿 dintre discuri, vor reuşi să treacă prin fanta celui de-al doilea disc. Acest interval de timp va fi egal cu cel în care fanta discului al doilea este rotit cu unghiul 𝜃 astfel încât: (175) adică:

𝐿

𝜃

𝐿𝜔

𝜔

𝜃

(176)

Deci, prin modificarea vitezei unghiulare 𝜔, sau prin cea unghiului 𝜃, este posibil să separăm moleculele care au viteze diferite. Într-un anumit interval de timp, ce corespunde trecerii fasciculului de molecule de la sursă la detector, putem determina numărul relativ de molecule ce ajunge cu o anumită viteză în detector. Rezultatele experimentale au fost în concordanţă cu cele obţinute din distribuţia Maxwell-Boltzmann a vitezelor moleculelor. 2.5.4.5. DISTRIBUŢIA MAXWELL-BOLTZMANN A ENERGIEI În multe aplicaţii trebuie să cunoaştem probabilitatea ca moleculele gazului ideal să aibă energia cinetică în intervalul ( ). Aceasta se poate determina forte simplu, prin conversia distribuţiei vitezelor în distribuţie a energiilor.Pentru a realiza această conversie vom pleca de la formula energiei cinetice,

, din

care obţine pentru viteză expresia:

Vid

𝝎 𝜽

L Figura 15. Dispozitivul experimental utilizat pentru distribuţiei Maxwell-Boltzmann a moleculelor după viteze.

determinarea

6 - 51

Ionuţ Vlădoiu

√

𝐸


(177)

care prin diferenţiere conduce la: (178)

𝐸

√

Prin înlocuirea rezultatului de mai sus în relaţia (150) vom obţine: ( )

𝐸

𝜋( )(

𝜋

𝐸

)

√

(179)

𝐸

relaţie care poate fi scrisă şi sub forma: ( )

𝜋 (𝜋

) √

𝐸

(180)

care reprezintă funcţia de distribuţie Maxwell-Boltzmann a distribuţiei moleculelor după energie. Aplicaţia 10. Calculaţi înălţimea a unei atmosfere izoterme la care presiunea scade de două ori faţă de cea de la suprafaţa Pământului. Se cunoaşte: presiunea atmosferică la suprafaţa Pământului , 8 , aerul atmosferic se află la temperatura , masa molară a aerului , 8 , iar aerul atmosferic este considerat gaz ideal. Rezolvare Utilizând expresia formulei barometrice şi ţinând cont ( ) , că diferenţa de presiune între cele două puncte va fi:

Aplicaţia 11. Dacă presupunem că procesul de variaţie a presiunii atmosferice cu înălţimea este adiabatic, să se determine variaţia temperaturii cu înălţimea. Se consideră , 8 , 8 şi 𝛾 . Rezolvare Variaţia presiunii atmosferice între două straturi de aer este dată de formula barometrică:

ℎ 𝑅

Logaritmând această relaţie obţinem:

Experimental se constată că înălţime al care presiunea scade la jumătate faţă de cea normală este inferioară lui . Acest fapt se datorează variaţiei temperaturii în vecinătatea solului (atmosfera nu este izotermă la suprafaţa Pământului), iar presiunea scade atunci când ne îndepătăm de sol.

Din ecuaţia adiabatei: 𝛾

𝛾

.

Obţinem:

.

𝛾

(

de unde:

)

𝛾

Astfel, va rezulta: (

Adică:

)

𝛾

(

𝛾

)

.

6 - 52

Ionuţ Vlădoiu


adică: Aplicaţia 12. Determinaţi procentul de moleculele de azot care au viteza cuprinsă în intervalul ( ), unde 8 este viteza cea mai probabilă, iar .

sau

𝜋(

unde

√

Rezolvare

𝜋

𝑣 𝑅

. Astfel, putem scrie:

𝑣

Scriem legea de distribuţie Maxwell-Boltzmann sub forma: 𝑚𝑣

𝜋(

)

𝜋

)

𝑣

√𝜋

%.

√𝜋

Se observă că rezultatul nu depinde de tipul gazului considerat.

Aplicaţia 13. Să se determine procentul de molecule dintr-un gaz a căror viteze sunt cuprinse între viteza cea mai probabilă şi viteza pătratică medie. Se ∞ cunoaşte valoarea integralei: ∫ ∞

Notăm: 𝑚

𝛼

8.

√𝛼

Rezolvare

şi obţinem:

Scriem legea de distribuţie Maxwell-Boltzmann sub forma: ( )

𝜋(

𝜋

𝑚𝑣

) ∫

( )

√𝜋

∫

√𝜋

8

sau ( )

%.

Aplicaţia 14. Calculaţi energia cinetică de translaţie cea mai probabilă, a moleculelor unui gaz ideal.

(

Rezolvare Scriem funcţia de distribuţie MaxwellBoltzmann a distribuţiei moleculelor după energie sub forma: ( )

Din condiţia ca

𝜋 (𝜋

) √

√𝐸 √𝐸

)

(𝐸 ) 𝐸

rezultă:

𝐸

Adică:

𝐸

2.6. CIOCNIRI MOLECULARE. FENOMENE DE TRANSPORT 6 - 53

Ionuţ Vlădoiu


2.6.1. CIOCNIRI MOLECULARE Ciocnirile dintre moleculele unui gaz reprezintă procesele fundamentale prin care se produce transferul de energie între molecule. După cum am văzut anterior, moleculele gazului se mişcă continuu şi dezordonat. Dacă între molecule nu există forţe de interacţiune, aceste vor interacţina pe un interval de timp foarte scurt, corespunzător ciocnirii elastice dintre molecule sau cu pereţii vasului ce conţine gazul. Între două ciocniri succesive, moleculele se vor mişca rectiliniu şi uniform, în acord cu legile mecanicii clasice. Rata ciocnirilor dintre molecule şi pereţii vasului este determinată de frecvenţa de ciocnire, , definită ca fiind numărul de ciocniri suferite de o moleculă în unitatea de timp. Utilizând teoria cinetico-moleculară vom determina acest parametru în două situaţii: 1. cazul ciocnirii moleculelor cu pereţii vasului, şi 2. cazul ciocnirilor intermoleculare. 2.6.1.1. CIOCNIRILE CU PEREŢII VASULUI Pentru a determina frecvenţa de ciocnire a moleculelor cu pereţii vasului, 𝑃 , în care se găseşte gazul ideal, vom considera un perete al acestuia de arie S, de care se vor ciocnii moleculele aflate într-un volum: Δ

(181)

Utilizând formula valorii medii din teoria probabilităţilor, putem exprima volumul mediu prin relaţia: ∞

̅

Δ ∫

̅

Δ (

( )

(182)

Astfel: ∞

) ∫

𝜋

𝑚𝑣

𝛥 (

𝜋

)

(183)

Multiplicând acest rezultat cu concentraţia de molecule

, putem scrie

pentru frecvenţa de coliziune a moleculeleor cu pereţii vasului, pentru un interval de timp Δ şi pentru o arie , relaţia:

𝑃

(

𝜋

)

( 𝜋

)

(184)

2.6.1.2. CIOCNIRILE INTERMOLECULARE. DRUMUL MEDIU MIJLOCIU Drumul mediu mijlociu, 𝜆, reprezintă două ciocniri (figura 16). Astfel, drumurile ciocniri sunt diferite, de aceea se utilizează suma tuturor drumurilor medii parcurse

spaţiul parcurs de o moleculă între libere 𝜆 , 𝜆 , ..., 𝜆 , între mai multe drumul liber mediu, 𝜆̅, definit ca fiind de moleculele gazului, împărţită la 6 - 54

Ionuţ Vlădoiu


numărul lor. Astfel, pentru o moleculă care are viteza medie ̅ şi drumul liber mediu 𝜆̅, avem relaţia: 𝜆̅

̅ 𝜏̅

̅

𝝀𝟏 𝝀𝟐

(185)

𝑚

𝝀𝟓

𝝀𝟒

𝝀𝟑

unde 𝜏̅ reprezintă drumul mediu dintre două Figura 16. Drumurile medii libere ciocniri succesive, iar reprezintă frecvenţa parcurse de o moleculă între mai multe ciocniri. de ciocnire dintre molecule. Pentru a determina această frecvenţă de ciocnire dintre molecule, , introducem noţiunea de secţiune eficace de ciocnire, , (figura 17). Aceasta este egală cu aria unei secţiuni transversale prin care pot trece două molecule care se ciocnesc. Deoarece în teoria cinetico-moleculară moleculele sunt asimilate unor sfere rigide, ciocnirea se va produce atunci când distanţele dintre centrele lor sunt separate de o distanţă egală cu diametrul moleculei. Din figura 17 se observă că în timpul Δ moleculele străbat distanţa ̅ 𝛥 . Astfel, numărul de ciocniri din volumul 𝜋 ̅ 𝛥 va fi egal cu concentraţia moleculelor de gaz, , înmulţită cu acest volum: 𝜋

̅ 𝛥 (186)

𝒍

Deoarece particulele nu sunt staţionare, trebuie să înlocuim viteza medie ̅ cu viteza medie relativă ̅̅̅̅̅, adică: 𝜋

̅̅̅̅̅ 𝛥

̅ 𝜟𝒕 𝒗

𝝈 𝟐

(187)

Această viteza medie relativă este egală cu diferenţa dintre vitezele medii ale celor două molecule: ̅̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅.

𝝈 Figura 17. Secţiunea eficace de ciocnire este egală cu aria secţiunii transversale prin care trec două molecule care se ciocnesc.

Astfel, drumul liber mediu al moleculelor, într-un interval de timp egal cu unitatea, va fi: ̅

𝜆̅

𝜋𝜎 ̅̅̅̅̅̅

Utilizând relaţia: ̅̅̅̅̅ 𝜆̅

√

𝜋𝜎

(188) √

̅ , vom obţine:

(189)

care reprezintă relaţia lui Maxwell pentru drumul liber mediu al moleculelor. Înlocuind concentraţia de molecule, relaţia precedentă devine:

6 - 55

Ionuţ Vlădoiu

𝜆̅

𝜋𝜎

√


(190)

Se observă că drumul mediu al moleculelor va fi proporţional cu temperatura gazului şi invers proporţional cu presiunea şi pătretul diametrului molecular . Pentru , obţinem 𝜆̅ , adică cu cât presiunea gazului este mai mică, cu atât drumul liber mediu va fi mai mare. Astfel, la presiuni suficient de scăzute, drumul liber mediu poate avea valori comparabile cu dimensiunile vasului, iar o moleculă poate parcurge tot vasul fără a se ciocni cu cu a altă moleculă. 2.6.1.3. FASCICULE MOLECULARE Experienţele realiazate cu fascicule moleculare au confirmat ipotezele şi relaţiile obţinute în teoria cinetico-moleculară. Fasciculele moleculare sunt alcătuite din molecule care se deplasează pe traiectorii paralele. Primele experienţe cu fascicule moleculare au fost realizate de L. Dunoyer în 1911, utilizând vapori de sodiu. Dispozitivul utilizat este prezentat în figura 18 şi constă dintr-un tub de sticlă împărţit în trei compartimente separate prin pereţi prevăzuţi cu fante. În primul compartiment se află vapori de sodiu, obţinuţi prin evaporarea unei cantităţi de sodiu încălzite cu ajutorul unui încălzitor 𝐼. În prealabil, presiunea din tub este micşorată cu ajutorul unei pompe de vid, până la valoarea la care drumul liber mediu al moleculelor de sodiu depăşeşte dimensiunile vasului. Moleculele din primul compartiment trec prin fanta despărţitoare în cel de-al doilea compartiment şi se vor răspândii în acesta după toate direcţiile. În ultimul compartiment vor pătrunde moleculele a căror direcţie de deplasare este paralelă cu pereţii vasului, acestea condensând pe peretele , care este răcit şi vor forma un strat vizibil de metal. Dacă fantele pereţilor de separare sunt mici,atunci stratul de sodiu depus va fi mic. Experienţele cu fascicule moleculare au pus în evidenţă că moleculele se mişcă dezordonat, în toate direcţiile, avnd traiectorii rectilinii atunci când ele nu se ciocnesc de alte molecule. Astfel, s-a putut determina pentru prima dată vitezele moleculelor. O mărime caracteristică fasciculului molecular fasciculului, I. Astfel, dacă notăm cu aria suprafeţei fantei şi considerăm I geosimea acesteia neglijabilă, intensitatea va fi dată de numărul de I molecule care cad pe fantă, în unitatea Na de timp: 𝐅𝟏 I

̅

(191)

este

intensitatea

II

III

P 𝐅𝟐

Spre pompa de vid Figura 18. Dispozitiv de obţinere a fasciculelor moleculare de Na, vaporizat de încălzitoul I şi colimat de fantele 𝐹 şi 𝐹 .

6 - 56

Ionuţ Vlădoiu

unde [I]

,


este numărul de molecule din unitatea de volum a gazului,

iar ̅ reprezintă viteza medie a moleculelor. Deoarece, la , este proporţional cu presiunea gazului, produsul va conduce la o creştere a intensităţii pe de o parte, iar pe de altă parte, la încălcarea condiţiilor de formare a fasciculului molecular. De aceea, în proiectarea instalaţiilor experimentale se alege valori ale celor doi factori astfel încât să se obţină o valoare optimă pentru intensitatea fasciculului.

2.6.2. FENOMENE DE TRANSPORT Teoria cinetico-moleculară a gazelor permite o înţelegere calitativă a stărilor de neechilibru termic. După cum am mai discutat, orice sistem aflat într-o stare de neechilibru termic va tinde către starea de echilibru termic, atunci când sistemul este izolat. Atingerea stării de echilibru se realizează de la sine, datorită mişcării termice şi ciocnirilor dintre molecule. Pentru a înţelege aceste afirmaţii, să considerăm un recipient în care se află un gaz la temperatură constantă, (figura 19). Dacă separăm vasul în două compartimente printr-un perete prevăzut cu o fantă de dimensiuni mici, dar mult mai mare decât drumul liber mediu al moleculelor şi considerăm că într-un compartiment densitatea gazului este , iar în celălalt compartiment , având , se observă că, după un anumit interval de timp, densităţile gazului în cele două compartimente se egalează. Astfel, dacă iniţial gazul din recipient se afla într-o stare de neechilibru, după egalarea densităţilor se stabileşte o stare de echilibru, care se realizează datorită mişcării termice a moleculelor de gaz. Adică, în vas apare un transport ordonat de molecule, din compartimentul cu densitate mai mare, spre 𝝆𝟐 𝝆𝟏 compartimentul cu densitate mai mică. Acest transport încetează atunci când densităţile în Figura 19. Stabilirea echilibrului cele două compartimente se egalează. Deci, între două compartimente ale putem observa că, trecerea sistemului din aceluiaşi gaz în care densităţile starea de neechilibru, la o stare de echilibru, sunt diferite. se realizează prin transport ordonat de substanţă. Fenomenul de transport este, în general, fenomenul în care apare un transport ordonat de substanţă, energie sau impuls, datorită unei neomogenităţi a densităţii, temperaturii sau a vitezelor moleculare. Fenomenele de transport au loc atât în gaze, cât şi în lichide şi solide. În continuare vom vorbi despre următoarele fenomene de transport: difuzia, efuziunea, conductibilitatea termică şi vâscozitatea.

6 - 57

Ionuţ Vlădoiu


2.6.2.1. DIFUZIA Difuzia este fenomenul de întrepătrundere a două sau mai multe substanţe una în cealaltă. Fenomenul de difuzie apare într-un sistem constituit din doi sau mai mulţi compuşi a căror concentraţie diferă în două regiuni diferite sau variază de la un punct la altul. Astfel, va apare o deplasare a constiuenţilor sistemului de la regiunea în care concentraţia este mai mare spre regiunile în care concentraţia este mai mică. Adică, are loc un transport ordonat de substanţă în direcţia scăderii concentraţiei, astfel încât concentraţia se va egaliza în tot sistemul. Fenomenul de deplasare a unuia dintre componenţii sistemului datorat neomogenităţii concentraţiei se numeşte flux de difuzie, . Din punct de vedere cantitativ, apariţia unui flux de substanţă va fi însoţită de un gradient de densitate sau concentraţie. Legătura dintre fluxul de substanţă şi gradientul de densitate sau concentraţie este dată de legea lui Fick: ̅̅̅

𝐷∇

(192)

unde este fluxul de substanţă, adică masa de gaz care străbate în unitatea de timp o suprafaţă egală cu unitatea, după o direcţie perpendiculară pe aceasta, iar 𝐷 este coeficientul de difuzie, fiind densitatea gazului. Conform relaţiei (192), coeficientul de difuzie este egal cu masa de gaz care străbate în unitatea de timp, perpendicular, o suparfaţă unitate, sub acţiunea unei diferenţe de densitate egală cu unitatea. semnul minus din această expresie indică că fluxul de substanţă are sensul descreşterii concentraţiei din sistem. Unitatea de măsură a coeficientului de difuzie este: [𝐷]

(193)

Dacă densitatea

variază doar pe direcţia axei

𝐷

𝜌

adică variaţia mărimii

(194) pe unitatea de lungime.

Dacă ne interesează concentraţia, legea lui Fick sub forma: 𝐷

, putem scrie:

, a substanţei difuzante, putem scrie

(195)

Se poate arăta, pe considerente cinetice, că coeficientul de difuzie este direct proporţional cu drumul liber mediu şi cu viteza medie a moleculelor, adică: 𝐷

𝜆̅ ̅

(196) 6 - 58

Ionuţ Vlădoiu


Analizând relaţia (190), se observă că coeficientul de difuzie este invers proporţional cu presiunea gazului şi direct proporţional cu rădăcina pătrată a temperaturii. 2.6.2.2. EFUZIUNEA Fenomenul de trecere a unui gaz printr-o multitudine de deschideri foarte mici se numeşte efuziune. De exemplu, acest fenomen apare la trecerea moleculelor unui gaz prin pereţi poroşi. Viteza de efuziune reprezintă masa de gaz care străbate în unitatea de timp unitatea de suprafaţă a unei deschideri prin care trece gazul, fiind dată de relaţia: 𝐸

𝜌̅

(197)

Ţinând cont de relaţia (166) a vitezei medii, ̅

√

𝜋

√ 𝜋 , putem rescrie relaţia

de mai sus sub forma: √

𝐸

𝜋

(198)

rezultat care reprezintă legea lui Graham. Această relaţie se poate utiliza pentru a determina masa maoleculară a diferitelor gaze. Astfel, dacă notăm cu volumul unui gaz efuzat în unitatea de timp şi cu volumul altui gaz ce efuzează în unitatea de timp şi că 𝐸 , iar 𝐸 , avem: √

şi

Dacă ′ şi , atunci, pentru

(199) ′ ′

′

sunt volumele gazelor care efuzeză în intervalele obţinem:

(200)

√

adică, volume de gaze aflate în acelaşi condiţii de temperatură, vor efuza în intervale de timp proporţionale cu rădăcina pătrată a masei lor moleculare. Deoarece şi , unde şi sunt desnităţile celor două gaze, putem scrie: 𝜌

√𝜌

(201)

Deci, un gaz efuzează mai repede, cu cât este mai uşor, adică are masa moleculară mai mică.

6 - 59

Ionuţ Vlădoiu


2.6.2.3. CONDUCŢIA TERMICĂ Experimental se constată că atunci când temperatura în două regiuni dintr-un sistem este diferită sau dacă variază din loc în loc, atunci apare un flux de căldură de la regiunea cu temperatură ridicată către regiunea cu temperatură mai scăzută. Acest fenomen se numeşte conducţie termică sau conducţie calorică. Pentru a determina expresia fluxului de căldură ̅𝑞 vom considera un sistem în care temperatura variază în lungul axei , în timp într-un plan perpendicular pe această axă ea va avea aceeaşi valoare. Astfel, variaţia temperaturii în lungul acestei axe va fi

, adică condiţia necesară apariţiei

fluxului de căldură este legată de existenţa acesti variaţii a temperaturii. Direcţia fluxului de căldură va coincide cu direcţia scăderii temperaturii. Relaţia dintre fluxul de căldură este dată de legea lui Fourier:

şi variaţia temperaturii care-l determină

(202)

𝑞

unde

𝑞

reprezintă coeficientul de conductibilitate termică, care unitatea de măsură: [ ]

(203)

Pentru o direcţie oarecare legea lui Fourier se scrie: ̅𝑞

∇

(204)

Teoria cinetico-moleculară ne dă următoare interpretare a fenomenului de conducţie termică: moleculele care au o energie cinetică medie de translaţie mai mare, adică moleculele care au o temperatură mai ridicată, vor pătrunde în regiunea moleculeleor cu enerfie cinetică medie de treanslaţie mai mică, adică în regiunea cu temperatură mai scăzută, şi vor transmite o parte din energia lor prin ciocniri. Şi moleculele care au o energie mai mică vor pătrunde în regiunea moleculeleor cu energie mai mare şi vor prelua, prin ciocniri, o parte din energia acestora. Astfel, regiunea mai caldă se va răci, în timp ce, regiunea mai rece se va încălzi. 2.6.2.3. VÂSCOZITATEA Vâscozitatea este fenomenul care conduce la nivelarea vitezelor de mişcare a diferitelor straturi dintr-un fluid. Această egalizare a vitezelor straturilor vecine de fluid se realizează prin transmiterea de impuls de la stratul cu viteză mai mare spre stratul care se deplasează cu viteză mai mică. Astfel, apare un flux de impuls ̅𝑃 îndreptat de la straturile cu viteză mai mare spre cele cu viteză mai mică. Relaţia dintre fluxul de impuls şi variaţia vitezei care îl determină este dată de o lege analoagă celei a lui Fick, adică: 6 - 60

Ionuţ Vlădoiu

𝜂

𝑃

d


(205)

în care 𝜂 se numeşte coeficient de vâscozitate sau coeficient de frecare internă, iar unitatea sa de măsură este: [𝜂 ]

(206)

O altă unitate tolerată pentru coeficientul de vâscozitate este poise având simbolul . Prin transferul de impuls de la un strat la altul se produce o variaţie a impulsului acestor straturi care va fi egală cu forţa de frecare internă dintre straturi, adică relaţia

𝑃

d

𝜂

. Deoarece fluxul de impuls este legat de impuls prin , obţinem: (207)

relaţie cunoscută sub denumirea de legea lui Newton, conform căreia, forţa de frecare internă care apare între două straturi care au suprafeţele egale cu unitatea este proporţională cu variaţia de viteză pe unitatea de lungime. Aplicaţia 15. Considerăm că avem molecule de hidrogen în condiţii normale de presiune şi temperatură. Determinaţi: (A) Diametrul unei molecule ştiind că experimental s-a obţinut în cazul hidrogenului un drum mediu mijlociu 𝜆 8 . Rezolvare Utilizând relaţia lui Maxwell pentru drumul liber mediu al moleculelor:

vom obţine:

=

√

de unde:

.

(B) Frecvenţa ciocnirilor suferite de o moleculă de hidrogen. Rezolvare Frecvenţa de ciocnire dintre molecule, dată de relaţia: ̅

𝜆

√

𝜋𝜆

𝜆

𝜋

, este

.

Aplicaţia 16. Determinaţi drumul liber mediu al unui proton provenit din radiaţiile cosmice, aflat în atmosfera terestră la suprafaţa mării ( , ). Secţiunea eficace de ciocnire are valoarea .

Drumul liber mediu al particulelor este egal cu: 𝜆

√

𝜋𝜎

Rezolvare Concentraţia moleculelor din atmosfera terestră de care se ciocneşte protonul este:

6 - 61

Ionuţ Vlădoiu


Aplicaţia 17. Determinaţi procentul de moleculele de azot care au viteza cuprinsă în intervalul ( ), unde 8 este viteza cea mai probabilă, iar .

sau

𝜋(

unde

√

Rezolvare

𝑣 𝑅

. Astfel, putem scrie:

𝑣

Scriem legea de distribuţie Maxwell-Boltzmann sub forma: 𝑚𝑣

𝜋(

𝜋

)

)

𝜋

𝑣

√𝜋

%.

√𝜋

Se observă că rezultatul nu depinde de tipul gazului considerat.

Aplicaţia 18. Un sistem de particule încărcate electric cu sarcina se află într-un recipient de volum . Particulele se află în echilibru termic la temperatura , în prezenţa unui câmp de intensitate , orientat de-a lungul axei 𝑧.

(C) Particulele se carcterizează prin mobilitatea definită ca raportul între viteza medie şi intensitatea câmpului electric. Determinaţi fluxul asociat cu mobilitatea. Rezolvare

(A) Stabiliţi legea dependenţei concentraţiei de particule de înălţime.

Legea lui Fick pentru fluxul de particule în lungul intensităţii câmpului electric va fi:

Rezolvare (𝑧) ̅

Scriem legea de distribuţie a lui Boltzmann:

𝐸

(𝑧)

(D) Stabiliţi relaţia dintre mobilitate şi coeficientul de difuzie, la echilibrul fluxului de particule.

𝐸

( ) Energia potentială a particulei electric aflată în camp electric este:

încărcate Rezolvare La echilibru, fluxul total este nul, adică:

Astfel, vom obţine:

𝐷

𝐸ℎ

( )

de unde:

(B) Calculaţi fluxul de difuzie, considerând că coeficientul de difuzie este 𝐷.

𝐷

𝐸

𝐸

adică:

Rezolvare

𝐷

Scriind legea lui Fick in funcţie de concentraţia de particule vom obţine:

𝐷

𝐷

𝐸

𝐷

𝐸

(𝑧)

𝐷

𝐸

.

𝐸

6 - 62

BIBLIOGRAFIE [1]. I.M. Popescu - Fizica, Vol. I, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, (1982) [2]. I.M. Popescu, G. Cone, C. Neguţu, M. Stafe - Fizică moleculară şi căldură, Vol. I, Editura Politehnica Press, (2010) [3]. E. Luca, Gh. Zet, C. Ciubotariu, A. Păduraru - Fizică generală, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, (1981) [4]. R.P. Feynman, R.B. Leighton and M. Sands - The Feynman Lectures on Physics, Vol. I, II, III, Addison–Wesley, (1964-1966) [5]. J.W. Norbury - Elementary mechanics and thermodynamics, Physics Department University of Wisconsin-Milwaukee, (2000) [6]. D. Halliday, R. Resnick, J.Walker - Fundamentals of Physics, John Wiley, New York, (1997) [7]. R.A. Serway, J.W. Jewett - Physics for Scientists and Engineers, 6th Edition, Brooks/Cole, (2004) [8]. H.J. Pain - The physics of vibrations and waves, 6th Edition, John Wiley & Sons, (2005) [9]. C. Kittel - Thermal Physics, W. H. Freeman & Co, (1980) [10]. http://www.wikipedia.org [11]. http://www.walter-fendt.de/ph14ro/ [12]. http://www.myphysicslab.com

Curs Fizica - FAIMA, Sem. I

Recommend Documents