SILVESTRU GROZEANU
FIZICA GENERALA
EDITURA ACADEMIEI NAVALE „MIRCEA CEL BATRAN“ CONSTANTA, 2008
6
Cuprins
1.
Obiectul fizicii. Fenomene fizice, mărime fizică, legi fizice, metodele fizicii, operaţia de măsurare, unitate de măsură, formule matematice şi formule fizice, coeficient parazit, sistemul internaţional de unităţi de măsură, analiză fizică, dimensională a formulelor fizice 1.1
Obiectul fizicii. Definirea fizică ca ştiinţă
15
15
1.2 Fenomenul fizic
15
1.3 Mărime fizică. Lege fizică
15
1.4 Metodele fizicii
16
1.5
Operaţia de măsurare
17
1.6
Formula matematică, formula fizică, coeficient parazit
17
1.7 Sistemul Internaţional
18
1.8 Omogenitatea formulelor
19
1.9 Analiza dimensională a formulelor fizice
19
2.
Oscilaţii mecanice
21
2.1 Cinematica şi dinamica mişcării oscilatorii
21
2.2
21
Dinamica mişcării oscilatorii unidimensionale
2.3 Energia oscilatorului în mişcarea oscilatorie armonică
29
2.4
Bilanţul energetic în mişcarea oscilatorie amortizată
30
2.5
Mişcarea oscilatorie întreţinută
31
2.6 Rezonanţa
35
7
2.6.1 Amplitudinea la rezonanţa
35
2.6.2 Energia şi puterea în mişcarea oscilatorie întreţinută
37
2.6.3 Oscilaţii autoîntreţinute
38
2.7 Reprezentarea mişcărilor oscilante
39
2.8 Compunerea oscilaţiilor
41
2.8.1 Compunerea oscilaţiilor paralele de aceeaşi pulsaţie (sintone)
41
2.8.2 Compunerea oscilaţiilor paralele cu pulsaţii diferite
42
2.8.3 Compunerea oscilaţiilor perpendiculare, de aceeaşi frecvenţă
43
2.9 Descompunerea mişcării periodice
46
3. Unde elastice
49
3.1
Propagarea oscilaţiilor fundamentale. Definiţii
în
medii
3.2
Ecuaţia de propagare a undelor elastice
elastice.
Fenomene
49 50
3.2.1 Ecuaţia de propagare a unei unde elastice transversale pe o coardă infinit de lungă (Ecuaţia corzii vibrante)
50
3.2.2 Ecuaţia de propagare a unei unde elastice longitudinale printro bară
53
3.2.3 Ecuaţia de propagare a unei unde superficiale transversale pe o membrană elastică infinită
55
3.2.4 Ecuaţia de propagare a unei unde elastice tridimensionale
58
3.3 Soluţia ecuaţiei undelo
60
3.3.1 Soluţia ecuaţiei undelor unidimensionale
60
3.3.2 Soluţia ecuaţiei undelor tridimensionale în cazul mediului omogen şi izotrop şi a sursei punctiforme. Unda sferică
62
8
3.3.3 Aproximaţia de unda plană, neatenuată
64
3.3.4
65
Unda armonică plană
3.4
Energia transportată de Intensitatea undei elastice
undele
3.5
Reflexia şi refracţia undelor elastice
elastice
longitudinale.
67 71
3.6 Reflexia totală
77
3.7
79
Principiul lui Huygens
3.8 Difracţia undelor elastice
80
3.9
Interferenţa undelor elastice
81
3.10 Unde staţionare prin reflexie
84
3.11 Absorbţia undelor elastice
87
3.12 Dispersia undelor elastice. Formula lui Rayleigh
90
3.13 Efectul Doppler
92
3.13.1 Receptorul se depărtează de sursă cu viteza vR.
92
3.13.2 Receptorul se apropie de sursă cu vR
93
3.13.3 Receptorul este imobil, iar sursa se depărtează de el cu vS
93
3.13.4
94
Receptorul este imobil, iar sursa se apropie cu vS.
3.13.5 Sursa şi receptorul se mişcă cu vS respectiv vR
94
3.16 Noţiuni de teoria valurilor
97
3.17 Noţiuni de acustică şi ultraacustică
98
3.17.1 Caracteristicile sunetelor 3.18 Ultrasunetele
98 102
9
3.18.1 Producerea ultrasunetelor
103
3.18.2 Propagarea ultrasunetelor în mediul marin şi utilizări în marină
105
4. Noţiuni fundamentale de termodinamică 4.1
Sistem termodinamic
106 106
4.1.1 Obiectul termodinamicii
106
4.1.2 Sistem termodinamic, stare, parametrii de stare
106
4.1.3 Postulatele termodinamicii
107
4.2 Măsurarea temperaturii
111
4.2.1 Termometrul
111
4.2.2 Scări termometrice
112
4.3
Primul principiu al termodinamicii
112
4.3.1 Energia internă
112
4.3.2
113
Lucrul mecanic
4.3.3 Căldura
115
4.3.4
Principiul I al termodinamicii. Formulări ale principiului I al termodinamicii
117
Principiul al II-lea al termodinamicii
118
4.4
4.4.1 Formulările principiului al II –lea al termodinamicii
120
4.4.2 Căldura redusă. Entropia în reversibile
123
4.4.3 Principiul II al termodinamicii pentru procese ireversibile
125
4.4.4 Interpretarea statistică a entropiei
126
4.5
Formula fundamentală a termodinamicii
130
10
4.6
Principiul al treilea al termodinamicii
132
4.6.1
Formulări ale principiului al treilea al termodinamicii
132
4.6.2
Temperatura absolută negativă
134
4.7
Elemente de fizică moleculară
140
4.7.1
Ecuaţia fundamentală a teoriei cinetice a gazelor ideale
141
4.7.2
Interpretarea cinetică a temperaturii
145
4.7.3 Ecuaţia termică de stare a gazului ideal
146
4.7.4 Ecuaţia calorică de stare a gazului ideal
147
4.7.5 Transformări termodinamice ale gazului ideal
148
4.7.6 Densitatea gazului ideal
153
4.7.7 Gaze reale. Ecuaţia de stare van der Waals
157
4.8 Transformări de fază
164
4.8.1 Lichefierea gazelor
164
4.8.2
169
Dependenţa temperaturii de schimbare de fază de presiune Ecuaţia Clausius-Clapeyron
5. Fenomene electrostatice
174
5.1 Electrostatica
174
5.2 Legea lui Coulomb
174
5.3 Câmpul electric
175
5.4
181
Fluxul câmpului electric printr-o suprafaţă
5.5. Legea lui Gauss pentru câmpuri electrice (Legea fluxului electric)
184
5.6 Lucrul mecanic al forţelor electrice. Potenţialul
187
11
5.7 Relaţia între intensitatea câmpului şi potenţial 5.8.
Dipolul electric
5.9. Interacţiunea dintre câmpul electric şi substanţă
189 191 194
5.9.1 Conductori în câmp electric
194
5.9.2 Imaginea electrostatică
195
5.9.3 Dielectrici în câmp electric
195
5.9.4 Electreţii
200
5.9.5 Seignettoectreţii
200
5.9.6 Energia câmpului electric
200
6. Electrocinetica
204
6.1 Curentul electric
204
6.2 Conservarea sarcinii electrice. Ecuaţia continuităţii curentului. Legea lui Ohm pentru o porţiune de circuit
207
6.3 Câmpul electric imprimat. Tensiunea electromotoare
209
6.4 Câmpul magnetic
211
6.4.1 Forţe magnetice (Lorentz)
211
6.4.2 Inducţia şi intensitatea câmpului magnetic. Legea lui Laplace
212
6.4.3 Legea lui Ampere
214
6.4.4 Câmpul magnetic terestru
218
6.4.5
Fluxul câmpului magnetic
220
7.
Fenomene electrodinamice
221
7.1 Fenomenul de inducţie electromagnetică. Legea lui Faraday
221
12
7.2
Energia câmpului magnetic
223
7.3 Curentul de deplasare. Densitatea curentului de deplasare
225
7.4
227
7.5
Generalizarea ecuaţiilor fundamentale ale electricităţii. Ecuaţiile lui Maxwell. Câmpul electromagnetic Proprietăţile operatorului ∇
7.6 Energia câmpului electromagnetic. Teorema lui Poynting 8. Unde electromagnetice
232 233 237
8.1 Propagarea câmpului electromagnetic în vid
237
8.2 Unda electromagnetică sferică
238
8.3 Unda electromagnetică plană
239
8.4 Transversalitatea undelor electromagnetice plane
241
8.5 Producerea undelor electromagnetice
242
8.6 Clasificarea undelor electromagnetice după lungimea de undă
247
9. Propagarea undelor electromagnetice în diferite medii. Optica electromagnetică
250
9.1 Propagarea undelor electromagnetice în medii dielectrice izotrope liniare şi nedisipative
250
9.2 Propagarea undelor electromagnetice în medii conductoare
251
9.3 Dispersia undelor electromagnetice
255
9.4 Reflexia şi refracţia undelor electromagnetice
258
9.4.1 Refracţia astronomică 9.5
Reflexia totală
9.6 Traversarea de către unda electromagnetică a suprafeţei de separaţie dintre două medii dielectrice. Formulele lui Fresnel
260 263 267
13
9.7 Starea de polarizare a undelor electromagnetice
273
9.7.1 Polarizarea luminii prin reflexie şi refracţie. Legea lui Brewster
274
9.7.2 Undele electromagnetice omogene şi anizotrope
276
în
medii
dielectrice,
liniare,
9.7.3 Polarizarea undelor prin birefrigerenţă
281
9.7.4
Birefrigerenţa provocată
283
Interferenţa undelor electromagnetice
286
9.8
9.8.1 Condiţii de interferenţă. Termeni de interferenţă. Coerenţa
286
9.8.2 Obţinerea experimentală a fenomenului de interferenţă
292
9.8.3 Interferenţele produse de pelicule şi lame subţiri
297
9.8.4 Interferenţa în domeniul radio. Fadingul
299
9.8.5 Interferenţa luminii polarizate. Polarizare eliptică
300
9.9 Difracţia undelor electromagnetice
303
9.9.1 Difracţia produsă de o fantă rectangulară în lumină paralelă (Difracţia Fraunhofer)
305
9.9.2 Reţeaua plană de difracţie
310
10.
Fenomene atomice si cuantice
313
10.1 Modele atomice şi evoluţia lor
313
10.2
318
Unde asociate particulelor în mişcare
10.2.1 Ipoteza lui Broglie
318
10.2.2 Interpretarea statistică a undelor de Broglie
320
10.2.3 Relaţiile de nedeterminare ale lui Heinsenberg
323
14
10.2.4 Principii ale mecanicii cuantice
325
10.2.5 Construcţia ecuaţiei lui Schrödinger
326
10.3 Aplicaţii ale ecuaţiei lui Schrödinger
329
10.3.1 Particula în groapa de potenţial rectangulară, tridimensională
finită,
329
10.3.2 Oscilatorul armonic în mecanica cuantică
332
10.3.3 Trecerea particulelor prin bariera de potenţial. Efectul tunel
338
Bibliografie
344
15
1. Obiectul fizicii. Fenomene fizice, mărime fizică, legi fizice, metodele fizicii, operaţia de măsurare, unitate de măsură, formule matematice şi formule fizice, coeficient parazit, sistemul internaţional de unităţi de măsură, analiză fizică, dimensională a formulelor fizice. 1.1 Obiectul fizicii. Definirea fizicii ca ştiinţă Denumirea obiectului provine de la cuvântul elen physis (natură) folosit, se pare, de Aristotel cu 400 de ani înaintea erei noastre. Fizica studiază fenomenele legate de structura şi transformările din lumea materială, precum şi legăturile lor reciproce. Fizica este prin conţinutul ei o ştiinţă experimentală şi, din acest motiv, rezultatele obţinute în procesul de observare a naturii prezintă un rol fundamental în stabilirea ideilor sale de bază. Cunoştinţele despre fenomenele naturii şi legile care le guvernează sunt de o importanţă vitală pentru tehnică, atât din punct de vedere istoric, metodologic, cât şi practic. Putem afirma că toate ramurile ştiinţelor tehnologice actuale s-au dezvoltat în cadrul fizicii până au luat aspectul unor ştiinţe independente. De asemenea, tehnica, prin problemele pe care le pune în fiecare moment şi prin mijloacele pe care le pune la dispoziţie, duce la dezvoltarea în continuare a fizicii. 1.2 Fenomenul fizic Lumea materială este formată din particule de substanţă care au masa de repaus diferită de zero ( m0 ≠ 0 ), care alcătuiesc corpurile şi sistemele de corpuri şi din câmpuri care au asociate particule cu masă de repaus nulă (cu m0 = 0). Totalitatea transformărilor şi interacţiunilor suferite de substanţă sau de câmpuri se numesc fenomene fizice. Observând sistemele fizice din natură (particule, câmpuri, corpuri, sisteme de corpuri) vom deduce că acestea prezintă unele proprietăţi care se regăsesc la diferite sisteme fizice, ca, de exemplu, inerţia, forma, volumul etc. Prin observare sau prin experienţă se pot obţine despre un sistem fizic un mare număr de informaţii care se pot grupa în clase de echivalenţă disjuncte (evident, mulţimea informaţiilor despre inerţie nu are elemente comune cu mulţimea informaţiilor despre temperatură). Fiecare astfel de clasă de echivalenţă corespunde unei proprietăţi fizice.
16
1.3 Mărime fizică. Lege fizică Mărimea fizică este acea caracteristică a unui obiect al experienţei fizice care poate fi măsurată. Pentru a putea fi măsurată, mulţimea mărimilor fizice necesită existenţa unei operaţii de ordonare a elementelor sale. Proprietăţile fizice care pe lângă operaţia de echivalenţă admit şi o operaţie de ordonare a elementelor corespunzătoare se numesc mărimi fizice. Operaţia de ordonare a mărimilor fizice prezintă două proprietăţi: a) asimetria: dacă x < y, atunci este exclus ca y < x; b) tranzitivitatea: dacă în raport cu procesul de ordonare adoptat x < y şi y < z => x < z. Mărimile fizice reprezintă proprietăţi măsurabile, măsurare care stă la baza operaţiei de ordonare. Există unele proprietăţi între care, deşi se pot găsi echivalenţe, nu se poate stabili o operaţie de ordonare. Acestea nu pot fi considerate ca fiind mărimi fizice (de exemplu, forma). Legăturile dintre diferitele mărimi ce intervin în producerea unui fenomen se numesc legi fizice. Legile fizice se exprimă, de cele mai multe ori, prin formule matematice în care simbolurile reprezintă mărimi fizice. În sens general, conform ideilor filozofice actuale, legile desemnează raporturi determinate care există între fenomene diferite, între laturile aceluiaşi. 1.4 Metodele fizicii Pentru a descoperi fenomenele sau între etapele succesive ale aceluiaşi proces logice fizicii, fizica cercetează fenomenele naturii şi le dă o interpretare. Se utilizează două metode; a) metoda experimentală; b) metoda matematică. Metoda experimentală a unui fenomen cuprinde: - observarea şi analizarea fenomenului; - formularea unor ipoteze în legătură cu cauzele care au determinat fenomenul; - stabilirea dependenţei fenomenului de alte fenomene; - elaborarea unei metode de cercetare; - efectuarea experienţei după metoda elaborată; - generalizarea datelor obţinute în vederea deducerii unei legi sau pentru a verifica ipoteza. Legile deduse experimental au un caracter de probabilitate având un grad mai mare sau mai mic de aproximaţie. Metoda matematică uzitată cu precădere în fizica teoretică modernă prelucrează matematic cunoştinţele obţinute anterior pe cale experimentală. Fizica
17
este profund matematizată, această matematizare permiţând studierea cu maximum de profunzime a fenomenului. 1.5 Operaţia de măsurare Ordonarea elementelor unei mărimi fizice se face prin operaţia de măsurare. A măsura o mărime fizică înseamnă a o compara cu o altă mărime fizică din aceeaşi clasă de echivalenţă aleasă ca unitate de măsură. Unitatea de măsură se alege arbitrar. Prin operaţia de măsurare, oricărei mărimi A îi corespunde o valoare numerică definită prin raportul simbolic: a=
A [A]
(1.1)
unde [A] reprezintă unitatea de măsură a mărimii considerate. Dacă mărimea A este măsurată utilizând o altă unitate de măsură [A]’, valoarea obţinută va fi: a' =
A [ A] '
(1.2)
Dacă se face raportul dintre valorile a şi a’ se va obţine: a [ A] ' = a ' [ A]
(1.3)
Deci raportul valorilor numerice ale aceleiaşi mărimi măsurate cu două unităţi de măsură diferite este egal cu raportul invers al acestor unităţi. Această afirmaţie exprimă teorema fundamentală a unităţilor de măsură. 1.6 Formula matematică, formula fizică, coeficient parazit După cum s-a mai arătat, o lege fizică poate fi exprimată printr-o formulă matematică în care simbolurile ce intervin sunt mărimi fizice. Spre deosebire de formula matematică, în care intră numai mărimi, în formula fizică corespunzătoare intră numai valorile măsurate. Spre exemplu, formula matematică a ariei unui dreptunghi cuprinde mărimile laturilor L şi l şi mărimea ariei S, deci formula matematică corespunzătoare va fi: S = L·l
(1.4)
Pentru a utiliza această formulă fizică este necesară măsurarea mărimlor S, L şi l.
18
Notând cu [S], [L] şi [l] unităţile de măsură pentru suprafaţă, lungime şi lăţime, iar cu {S}, {L} şi {l} valorile numerice ale suprafeţei, lungimii şi lăţimii, se obţin relaţiile: S = {S}[S]
(1.5)
L = {L}[L]
(1.6)
l = {l}[L]
(1.7)
(l este tot o lungime, deci are aceeaşi unitate de măsură) Înlocuind în formula matematică se va obţine următoarea expresie: {S}[S] = {L}[L]{l}[L]
(1.8)
Această expresie se poate exprima în modul următor: {S}[S] = {L}{l}[L]2
(1.9)
2 [ L] {S } = {L}{l} [S ]
(1.10)
valoarea ariei este direct proporţională cu produsul valorilor laturilor lui. Coeficientul de proporţionalitate: 2 [ L] K= [S ]
(1.11)
se numeşte coeficient parazit. Valoarea coeficientului parazit depinde de unităţile de măsură alese: de exemplu, dacă [L] = 1 m şi [S] = 1 ha, K = 10-4. Dacă într-o formulă fizică apare un coeficient parazit, se spune că unităţile de măsură folosite nu sunt coerente (sistem necoerent). Pentru a simplifica formulele fizice este necesar să se aleagă în aşa fel unităţile de măsură încât coeficientul parazit al formulei fizice să fie K = 1. Un sistem de unităţi în care K = 1 este un sistem coerent. Un sistem de unităţi fizice este alcătuit din unităţile unor mărimi considerate fundamentale şi toate celelalte unităţi derivate din acestea prin formulele fizice. 1.7 Sistemul Internaţional Sistemul internaţional (S.I.) a fost adoptat prin lege la noi în ţară în 1962, el fiind definit de Convenţia Internaţională de Măsuri şi Greutăţi ţinută la Paris în 1960. Acest sistem foloseşte ca unităţi fundamentale, pe care le defineşte cu mare precizie, pentru lungime – metrul, pentru timp – secunda, pentru masă – kilogramul, pentru intensitatea curentului electric – amperul, pentru temperatură –
19
kelvinul şi pentru intensitatea luminoasă – candela. Acest sistem este în aşa fel conceput ca să evite apariţia coeficienţilor paraziţi sau, cum se întâmplă în 1 electricitate, coeficientul parazit este „deplasat“ din formulele mai utilizate în 4π altele mai puţin folosite. Se utilizează următoarea simbolizare: [L]SI = 1m; [T]SI = 1s; [M]SI = 1kg; [I]SI = 1A; [IL]SI = 1Cd; [α]SI = 1rad; [Ω]SI = 1sr. Din aceste unităţi fundamentale, prin formule fizice care definesc alte mărimi fizice, vor rezulta unităţile de măsură ale acestor mărimi. 1.8 Omogenitatea formulelor Legile fizicii sunt legi obiective, ele existând independent de modul în care sunt studiate. Deci, formulele matematice care exprimă legi fizice trebuie să rămână invariante la schimbarea unităţii de măsură pentru mărimile fundamentale. De exemplu, temperatura de îngheţ a apei este aceeaşi, dar poate fi exprimată atât în grade Celsius, fiind egală cu 0 oC, căt şi în kelvin ca fiind egală cu 273,16 K. Pentru ca legile fizicii exprimate prin formule matematice să fie invariate, la schimbarea unităţilor de măsură, este necesar ca acestea să fie omogene. Condiţia de omogenitate constă în aceea că dimensiunile membrului I al egalităţii să fie egal cu dimensiunile membrului II, iar termenii unei sume să aibă aceleaşi dimensiuni. În caz contrar, se ajunge la absurdităţi. 1.9 Analiza dimensională a formulelor fizice Ţinând cont de faptul că formulele care exprimă legi fizice trebuie să fie omogene din punctul de vedere al dimensiunilor, s-a elaborat o metodă foarte simplă şi eficace de determinare a unor noi formule. Se consideră că există două mărimi fizice A şi B între care există relaţia A = B. Se mai consideră că mărimea fizică A are dimensiunile: [A] = Lα1Mβ1Tγ1Iδ1… iar pentru mărimea B, [B] = Lα2Mβ2Tγ2Iδ2… Condiţia de omogenitate impune următoarea egalitate:
(1.12)
20
Lα1Mβ1Tγ1Iδ1… = Lα2Mβ2Tγ2Iδ2…
(1.13)
Egalitatea poate avea loc doar dacă are loc egalitatea exponenţilor: α1 = α2, β1 = β2, γ1 = γ2, δ1 = δ2 …
(1.14)
Exponenţii α, β, γ, δ, …, care pot fi întregi sau fracţionari, reprezintă dimensiunile mărimilor A sau B în raport cu unităţile fundamentale. Formula dimensională respectă formula fizică. Exemplu: 1. Cunoscând că perioada de oscilaţie a unui pendul gravitaţional depinde de lungimea acestuia şi de acceleraţia gravitaţională a locului τ = f(l,g), se deduce prin metoda analizei dimensionale formula matematică a perioadei în felul următor: Se exprimă perioada sub formă de monom algebric: τ = k · lα ·gβ
(1.15)
şi se pune problema determinării exponenţilor α, β şi k. Se scrie relaţia dimensional: [τ] = [k] · [l]α · [g]β
(1.16)
(k este adimensional) β
L T = kL 2 = kLα LβT −2β T
(1.17)
T = kLα +β T −2β
(1.18)
α
Conform principiului de omogenitate, între exponenţi se stabileşte relaţia: 1 = -2β deci α + β = 0 => β = -0,5 şi α = -0,5 deci formula de calcul a perioadei de oscilaţie a pendulului gravitaţional este: T = kl 0, 5 g 0 ,5 = k
l g
(1.19)
2. Oscilaţii mecanice 2.1 Cinematica şi dinamica mişcării oscilatorii În natură şi în tehnică observăm apariţia unei serii de mişcări în care un punct material sau un corp îşi schimbă poziţia alternativ, faţă de o poziţie mediană de echilibru. De exemplu, mişcarea unui pendul, mişcarea unei frunze în bătaia vântului, mişcarea particulelor de lichid sub acţiunea valurilor, mişcarea unei nave pe mare, mişcarea unui piston în cilindrul unei maşini termice, etc. Astfel de mişcări se numesc mişcări oscilatorii. Mişcarea oscilatorie se poate defini ca fiind o mişcare alternativă periodică în timp a unui corp în jurul unei poziţii de echilibru. În fizică se întâlnesc şi alte fenomene în care un parametru (mărime fizica) suferă o variaţie periodică în jurul unei valori de echilibru (de exemplu o tensiune alternativă); astfel de fenomene se numesc oscilaţii şi deşi nu sunt mişcări, legile pe care se vor deduce pentru mişcarea oscilatorie pot fi extinse şi în aceste situaţii. Dacă parametrul oscilant este de natură mecanică (de exemplu distanţă, presiune, unghi) se vorbeşte de oscilaţii mecanice, iar dacă parametrul oscilant este de natură electrică (de exemplu, sarcină electrică, tensiune, intensitate) atunci oscilaţiile sunt electrice. Parametrul care oscilează îşi schimbă valoarea în funcţie continuă de timp, şi este o funcţie în care variabila este timpul, iar valoarea acestei funcţii la un moment dat se numeşte valoare instantanee sau elongaţie. Valoarea maximă a parametrului oscilant se numeşte amplitudine. Timpul în care se efectuează o oscilaţie completă se numeşte perioadă, iar numărul de oscilaţii efectuate într-o perioadă de timp se numeşte frecvenţă. Sistemul fizic în care se generează oscilaţii se numeşte oscilator. În orice proces oscilant are loc transformarea energiei dintr-o formă cinetică într-o formă potenţială. 2.2 Dinamica mişcării oscilatorii unidimensionale Se va considera un corp de masa m, care este conectat printr-o legătură elastică (de exemplu un resort elicoidal) de masă neglijabilă de un suport rigid şi se găseşte pe o masă orizontală fără frecare statică (µ = 0). În situaţia în care legătura elastică nu este deformată (când resortul nu este întins sau comprimat), corpul se găseşte în echilibru, (fig.2.1 a). Dacă acest corp este scos din poziţia de echilibru, până la o distanţă maximă A (fig.2.1 b), forţa elastică va readuce corpul spre poziţia de echilibru, având loc simultan o transformare a energiei potenţiale în energie cinetică şi o pierdere de energie prin interacţiunea sistemului cu mediul exterior (fig.2.1c). La revenirea în poziţia de echilibru, energia potenţială pe care a avut-o resortul când era întins s-a transformat parţial în energie cinetică şi deci, în această poziţie, forţa elastică este nulă. Datorită inerţiei, corpul îşi continuă drumul până la o
22
poziţie extremă, comprimând resortul până la − A′ (fig.2.1d), după care fenomenul continuă în sens invers. Deci, are loc o mişcare alternativă a sistemului în jurul poziţiei de echilibru, adică o oscilaţie în cursul căreia sistemul îşi pierde energia pe care a acumulat-o iniţial, prin interacţiune cu mediul exterior. Se va considera că reacţiunea dată de arc se opune deformării acestuia şi este proporţională şi de sens contrar elongaţiei (depărtării de poziţia de echilibru). Sistemele elastice care au reacţiunea proporţională cu depărtarea de la poziţia de echilibru sunt numite sisteme elastice liniare, iar oscilaţiile produse de astfel de forţe sunt numite oscilaţii liniare. Dacă aceste forţe sunt dependente de deformaţia ridicată la o oarecare putere, sisteme elastice sunt neliniare, iar oscilaţiile produse de ele sunt oscilaţii neliniare. Forţe cu comportament de forţă elastică apar şi în alte situaţii (nu apar numai în cadrul elasticităţii) şi se numesc forţe de revenire sau forţe cvasielastice, constanta k numindu-se constantă cvasielastică şi depinzând de caracteristicile sistemului. Se vor considera sisteme oscilante care au dimensiuni suficient de reduse şi vitezele mici, iar din acest motiv, forţele de rezistenţă din partea mediului vor fi de tipul frecării vâscoase, unde forţa de frecare depinde de puterea întâi a vitezei. Forţele de rezistenţă de acest tip se mai numesc şi forţe Stokes, şi pentru un corp sferic se exprimă prin relaţia următoare: r r Fr = −6 πη r v
(2.1)
η reprezintă vâscozitatea dinamică a mediului, r raza sferei şi v viteza; r r dx r& cunoscând definiţia vitezei v = = x , pentru un corp de forma oarecare expresia dt acestei forţe are forma:
23
Fig. 2.1
r r r dx r& Fr = −ρ x sau Fr = −ρ dt
(2.2)
unde ρ se numeşte coeficient de rezistenţă şi depinde de vâscozitatea dinamică a mediului şi de geometria corpului. Rezultanta forţelor care acţionează asupra corpului va fi: F = − kx − ρv
(2.3)
Dar conform principiului al II-lea al lui Newton: F = ma = m
dv d 2x = m 2 = m&x& dt dt
(2.4)
24
deci: m
d 2x d 2x dx sau, kx v = − − ρ m + ρ + kx = 0 2 2 dt dt dt
(2.5)
Aceasta este o ecuaţie diferenţială de ordinul II cu coeficienţi constanţi care se mai poate pune şi sub următoarea formă: d 2 x ρ dx k + + x=0 dt 2 m dt m
(2.6)
Se fac notaţiile: ρ = 2δ m
şi
k = ω 20 m
(2.7)
δ se numeşte factor de amortizare, iar ω 0 pulsaţie proprie ecuaţia devenind astfel: d 2x dx + 2δ + ω02 = 0 2 dt dt
(2.8)
În teoria ecuaţiilor diferenţiale se arată că soluţia unei astfel de ecuaţii este de forma: n
x(t ) = ∑ ci ⋅ e λ i t
(2.9)
i =1
ci sunt constante care trebuie determinate prin condiţiile iniţiale, iar λi sunt soluţiile ecuaţiei algebrice ataşate ecuaţiei, de forma: (ecuaţia caracteristică) λ2 + 2 δλ + ω 20 = 0
(2.10)
Soluţiile ecuaţiei caracteristice vor fi: λ 1, 2 = − δ ± δ 2 − ω 02
(2.11)
Aceste soluţii pot fi complexe sau reale după cum acţiunea forţelor rezistente este mai mare sau mai mică decât acţiunea forţei elastice. Când forţele rezistente sunt mici δ < ω0 , rezistenţa opusă procesului oscilator este atât de mică încât el se poate desfăşura în voie, instaurându-se un regim, numit regim periodic. Rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt. λ1,2 = −δ ± i ω 0 2 − δ 2
şi soluţia ecuaţiei diferenţiale se va prezenta în felul următor:
(2.12)
25
x ( t ) = c1 e
( −δ +i
)
ω02 −δ 2 t
(
x ( t ) = e −δ t c1e i
+ c2 e
ω02 −δ 2 t
( −δ −i
+ c2 e − i
)
ω02 −δ 2 t
ω02 −δ 2 t
)
(2.13)
Se face notaţia: ω=
ω 20 − δ 2
(2.14)
Această mărime se numeşte pseudopulsaţie şi ecuaţia devine:
(
x (t ) = e − δt c1e iωt + c 2 e − iωt
)
(2.15)
Înlocuind în relaţia (2.15) formule lui Euler e ± iα = cos α ± i ⋅ sin α va rezulta expresia următoare: x (t ) = e − δt [c1 (cos ωt + i ⋅ sin ωt ) + c 2 (cos ωt − i ⋅ sin ω t )]
sau: x (t ) = e − δt [(c1 + c 2 )cos ωt + i (c1 − c 2 )sin ωt ]
(2.16)
Se dă factor comun forţat (c1 + c2 ) : i (c − c 2 ) x (t ) = e − δt (c1 + c 2 )cos ωt + 1 sin ωt (c1 + c 2 )
şi se notează: tg ϕ =
i (c1 − c 2 ) , constanta ϕ va fi denumită fază iniţială (c1 + c 2 )
x (t ) = e − δt (c1 + c 2 )[cos ωt + tg ϕ sin ωt ] x (t ) = e − δt (c1 + c 2 )
cos ωt cos ϕ + sin ϕ ⋅ sin ωt cos ϕ
cosφ se poate exprima în funcţie de tgφ prin relaţia cunoscută din trigonometrie: cos ϕ =
cos ϕ =
1 1 + tg ϕ 2
1
sau, cos ϕ = 1−
(c1 − c 2 )2 (c1 + c 2 )2
c1 + c 2 c12 + 2c1c 2 + c 22 − c12 + 2c1c 2 − c 22
=
c1 + c 2
(2.17)
2 c1 c 2
deci, x(t) va avea următoarea formă: x(t ) = 2 c1c 2 e − δt cos(ωt − α )
(2.18)
26
Se observă că valoarea maximă a lui x(t) scade exponenţial cu timpul. Se mai fac următoarele notaţii: 2 c1c2 = Α şi Α ( t ) = 2 c1c 2 e − δ t = Ae − δ t
cu aceste notaţii, ecuaţia mişcării este. x ( t ) = Αe − δ t cos ( ωt + ϕ )
(2.19)
A ( t ) = Αe −δ t este amplitudinea momentană şi se constată că ea este descrescătoare în timp.Graficul dependenţei elongaţiei de timp a unei oscilaţii amortizate de ecuaţie x ( t ) = 10e −0,6t cos10t este reprezentată în figura 2.2a
Fig. 2.2a
şi graficul elongaţiei oscilaţiei amortizate de ecuaţie x ( t ) = 5e −0,3t cos (10t − 5 este reprezentată în figura 2.2b.
Fig. 2.2b
)
27
Curbele reprezentate prin linie întreruptă reprezintă curbele de amortizare, adică graficul amplitudinii momentane A ( t ) = 10e −0,6 t în primul caz şi A ( t ) = 5e −0,3t Se remarcă faptul că o valoare mărită a factorului de amortizare duce la o diminuare mai rapidă a amplitudinii. O astfel de mişcare se numeşte mişcare oscilatorie armonizată. Datorită pierderii de energie din sistem, amplitudinea scade. Se observă că amplitudinea A(t) este exponenţial scăzătoare în timp, amortizarea oscilaţiei depinzând de factorul de amortizare δ. Pentru a caracteriza modul în care se amortizează o oscilaţie se utilizează decrementul logaritmic definit ca fiind logaritmul natural al raportului valorilor elongaţiilor maxime succesive de aceeaşi parte a poziţiei de echilibru. ∆ = ln
Α (t ) Α(t + T )
(2.20)
Înlocuind amplitudinea în (2.20) instantanee A ( t ) = Ae− δ t ∆ = ln
1 Αe − δt = ln −δΤ = δ ⋅ Τ − δ ( t +T ) Αe e
(2.21)
T este pseudoperioada definită prin relaţia Τ=
2π = ω
2π
(2.22)
ω 20 − δ 2
dacă timpul scurs de la momentul iniţial este t = τ = Α (τ ) = Αe −1 =
1 , δ
Α e
(2.23)
1 este timpul în care amplitudinea scade de „e” ori şi se numeşte timp δ de relaxare. În cazul în care, δ > ω0 , rezistenţa opusă de mediu procesului este atât de mare, încât energia acumulată iniţial în sistem se disipă în mare parte în prima pseudoperioadă. În acest caz, regimul periodic nu se mai poate instala, dar se instalează în schimb un regim aperiodic. Soluţia ecuaţiei caracteristice în acest caz va fi:
deci, τ =
λ 1, 2 = − δ ± δ 2 − ω 02
dacă se notează: q = δ 2 − ω 02
rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt următoarele:
28
λ 1, 2 = − δ ± q
(2.24)
Rezultă că valoarea instantanee a distanţei este :
(
x (t ) = e − δt c1e qt + c 2 e − qt
)
(2.25)
e x − e−x ex + e−x şi chx = între care 2 2 = chx ± shx , se observă că relaţia (2.25) se poate transcrie astfel:
Dacă se introduc funcţiile: shx = există relaţia: e ± x
x ( t ) = e −δ t ( c1 + c2 ) chqt + ( c1 − c2 ) shqt
(2.26)
Dacă în momentul iniţial t=0 distanţa de la sistemul de referinţă ales este X0, iar viteza are valoarea V0, după determinarea constantelor c1sic2 din aceste condiţii ecuaţia (2.26) va lua următoarea formă: V +δ X0 x ( t ) = e −δ t X 0 chqt + 0 shqt q
(2.27)
Se observă că ecuaţia de mişcare nu mai prezintă periodicitate, deci nu mai au loc oscilaţii, mişcarea amortizându-se. Modul cum are loc amortizarea depinde de viteza iniţială imprimată sistemului. În figura 2.3 este reprezentat modul de variaţie a funcţiei x(t) pentru o mişcare aperiodică, având următorii parametrii: X 0 = 5cm ; δ = 0,9s −1 ; rad ; T0 ≈ 7 s ; q = 0,55 s −1 . Linia întreagă reprezintă mişcarea pentru ω0 = 0,7 s V0 = 0 ; linia întreruptă pentru V0 = 10cm / s şi linia punctată pentru valoarea vitezei iniţiale, V0 = −20cm / s
Fig. 2.3
29
Cunoaşterea modului de amortizare este important în tehnica pentru construirea amortizoarelor de oscilaţii ale diferitelor instalaţii. Un caz particular foarte important al mişcării oscilatorii este cazul când nu există forţă de rezistenţă (caz ideal). O asemenea mişcare se numeşte mişcare oscilatorie armonică. Dacă δ = 0 ecuaţia mişcării devine: x (t ) = Α cos (ω 0 t + ϕ 0 )
(2.28)
Mobilul oscilează între două distanţe extreme A şi –A în jurul poziţiei de echilibru, amplitudinea rămânând constantă. Are loc o transformare a energiei cinetice în energie potenţială şi invers, dar energia totală se conservă . 2.3 Energia oscilatorului în mişcarea oscilatorie armonică În această mişcare oscilatorul are în fiecare moment o energie cinetică şi o energie potenţială datorată forţei elastice (la extreme Ε C = 0 , iar în poziţia de echilibru ΕΡ = 0 ). Energia cinetică va fi Ε C =
m ⋅ v2 , iar energia potenţială 2
k ⋅ x2 . 2 Energia totală a oscilatorului armonic va fi:
elastică Ε Ρ =
Ε = ΕC + ΕΡ =
mv 2 kx 2 + 2 2
(2.29)
valoarea instantanee a vitezei este: v = x (t ) =
d Α cos (ω 0 t + ϕ 0 ) = − ω 0 Α sin (ω 0 t + ϕ 0 ) dt
(2.30)
deci energia totală devine: mω 20 Α 2 sin 2 (ω0 t + ϕ 0 ) kΑ 2 cos 2 (ω 0 t + ϕ 0 ) Ε= + 2 2
(2.31)
dar, pulsaţia proprie este: ω20 =
k ⇒ k = mω 20 m
înlocuind în formula energiei totale, se va obţine: Ε=
mω 20 Α 2 sin 2 (ω 0 t + ϕ 0 ) + mω 02 Α 2 cos 2 (ω 0 t + ϕ 0 ) 2
deci, energia totală devine:
(2.32)
30
Ε=
mω02 Α 2 2
(2.33)
Este evident că în lipsa interacţiunilor oscilatorului cu mediul, conform principiului conservării energiei, energia acestuia are valoare constantă. Dacă se reprezintă grafic energia potenţială, în funcţie de elongaţie mω02 x 2 conform relaţiei: Ε Ρ = se va obţine o parabolă, la care fiecare ordonată 2 reprezintă energia potenţială, iar prelungirea sa (punctată) reprezintă energia sa cinetică Ε Ρ + Ε C = Ε fiind constantă (fig. 2.4).
Fig. 2.4
2.4 Bilanţul energetic în mişcarea oscilatorie amortizată În mişcarea oscilatorie amortizată, sistemul oscilant (oscilatorul), fiind în interacţiune cu mediul, va ceda acestuia energie: acest proces este numit disiparea energiei. Pentru a găsi modul în care se disipă energia se va pleca de la ecuaţia diferenţială a mişcării în forma originală, dată de (2.5) înmulţită cu viteza v = dx dt :
(
d 2x dx m 2 +ρ + kx = 0 dt dt
m
dx d 2 x dx dx + ρ + kx =0 2 dt dt dt dt
)
dx dt
(2.34) (2.35)
Se observă prin verificare directă că sunt satisfăcute relaţiile: 2 dx d 2 x 1 d dx ⋅ = ⋅ dt dt 2 2 dt dt
şi
kx ⋅
dx k d 2 = ⋅ (x ) dt 2 dt
deci, relaţia (2.35) se transformă în felul următor:
31
2 2 m d dx k d dx ⋅ + ρ + ⋅ (x 2 ) = 0 2 dt dt 2 dt dt
(2.35)
Dar m/2 şi k/2 sunt constante, deci pot fi introduse în derivate. 2 2 d m dx d kx 2 dx + ρ + dt 2 dt dt 2 dt
= 0
(2.36)
Sau d mv 2 kx 2 + = −ρv 2 dt 2 2
dar
(2.37)
dx = v , deci mărimea din paranteză dt
mv 2 kx 2 + =Ε 2 2
(2.38)
reprezintă energia totală a sistemului oscilant şi prin urmare: dΕ = −ρv 2 dt
(2.39)
dΕ <0 dt Dacă derivata unei funcţii este negativă, atunci funcţia este descrescătoare, deci energia sistemului scade. Maximul de scădere adică maximul puterii disipate este în momentul când v este maxim.
Se observă că v 2 > 0 prin urmare,
1 dΕ ⋅ =Φ 2 dt
(2.40)
se numeşte funcţie de disipaţie a sistemului, şi caracterizează modul în care sistemul cedează energie mediului. 2.5 Mişcarea oscilatorie întreţinută Studiind mişcarea oscilatorie amortizată, am constatat că sistemul oscilant pierde în mod continuu energie. În multe situaţii din tehnică, este necesar să se menţină amplitudinea unei oscilaţii constantă. În acest caz, sistemul oscilant (oscilatorul) să primească de la o sursă de exterioară o energie care să compenseze pierderile sistemului. O astfel de situaţie se întâmplă la ceasurile mecanice unde oscilaţia pendulului sau a balansierului este menţinută cu amplitudine constantă, cu ajutorul mecanismului
32
ancoră-clinchet, pierderile de energie fiind compensate de energia potenţială acumulată în sistemul de greutăţi sau într-un resort spiral. Sursa de energie transmite sistemului oscilant o energie numită energie aparentă. Din aceasta, o parte numită energie reactivă este redată sursei şi o altă parte numită energie activă este folosită pentru învingerea rezistenţelor şi este disipată în mediu sub formă de căldură. Se va analiza în continuare un model matematic simplu construit pentru un oscilator mecanic amortizat, pus în contact cu o sursă de energie care-i furnizează energie aparentă, prin intermediul unei forţe care are caracter de oscilaţie dx armonică Deci, pe lângă forţa elastică (-kx) şi forţa de frecare vâscoasă − ρ dt mai acţionează o perturbaţie externă care variază armonic în funcţie de timp, având pulsaţia Ω, de forma: f ( t ) = F cos Ωt
dacă se aplică principiul al doilea a lui Newton, ecuaţia diferenţială a mişcării este următoarea: d2x dx m 2 +ρ + kx = F cos Ωt dt dt
(2.41)
Această, ecuaţie este o ecuaţie neomogenă a cărei soluţie este formată dintr-o sumă, dintre soluţia ecuaţiei omogene şi o soluţie particulară, pe care o vom alege de forma termenului liber, adică de forma unei oscilaţii armonice de amplitudine B şi de fază iniţială Φ. Soluţia ecuaţiei omogene (fără membrul drept), este soluţia ecuaţiei oscilatorului amortizat, soluţie care a fost deja studiată. Din punct de vedere fizic soluţia ecuaţiei (2.41) reprezintă suprapunerea unei oscilaţii amortizate descrisă de primul termen al membrului drept al ecuaţiei şi a unei oscilaţii armonice de amplitudine B constantă, descrisă de cel de-al doilea termen. Deci:
x(t ) = x1 (t ) + x2 (t )
(2.42)
Pentru x1 (t ) : x1 (t ) = Αe − δt cos (ωt + ϕ ) în care se ştie că: ω = ω 20 − δ 2 reprezintă pseudopulsaţia. Pentru x2 (t ) : ştiind că F ( t ) = F cos Ωt , soluţia particulară x2 (t ) se va căuta sub aceeaşi formă armonica. x2 ( t ) = Β cos (ω1t + Φ )
(2.43)
33
(O forţa externă oscilatorie provoacă tot o oscilaţie de amplitudine B şi fază iniţială ϕ1 ) Soluţia ecuaţiei diferenţiale (2.41) va fi: x1 ( t ) = Αe − δ t cos (ωt + ϕ ) + Β cos ( Ωt + Φ )
(2.44)
Regimul în care coexistă ambele oscilaţii se numeşte regim tranzitoriu. După un timp suficient de lung t >> τ, numit timp de relaxare, primul termen devine neglijabil căci e − δt → 0 şi în soluţia ecuaţiei de mişcare nu rămâne decât x2 (t ) care va trebui să satisfacă ecuaţia originală. Pentru aceasta se vor calcul d 2 x2 dx2 şi dt dt 2 şi vor fi introduse în ecuaţia originală. Astfel: dx2 = −ΩΒ sin ( Ωt + Φ ) dt d 2 x2 = −Ω 2 Β cos ( Ωt + Φ ) 2 dt
(2.45)
Introducând relaţiile (2.45) în ecuaţia (2.41) se va obţine expresia: −mΩ 2 Β cos ( Ωt + Φ ) − ρΩΒ sin ( Ωt + Φ ) + k Β cos ( Ωt + Φ ) = F cos Ωt
(2.46)
Pentru a simplifica calculele se va face următorul artificiu, scriind: F cos Ωt = F cos ( Ωt + Φ ) − Φ
şi se va dezvolta cosinusul diferenţei. Deci: −mΩ 2 Β cos ( Ωt + Φ ) − ρΩΒ sin ( Ωt + Φ ) + k Β cos ( Ωt + Φ ) = = F cos ( Ωt + Φ ) cos Φ + F sin ( Ωt + Φ ) sin Φ
Grupând termenii în sin ( Ωt + Φ ) şi în cos ( Ωt + Φ ) , rezultă:
( −mΩ Β + k Β − F cos Φ ) cos ( Ωt + Φ ) − ( ρΩΒ + F sin Φ ) sin ( Ωt + Φ ) = 0 2
Această relaţie trebuie să fie satisfăcută în oricare moment t deci, coeficienţii lui cos ( Ωt + Φ ) şi a lui sin ( Ωt + Φ ) sunt permanent nuli.
(
)
F cos Φ = Β k − mΩ 2 şi F sin Φ = − ρΩΒ
(2.47)
34
Se calculează sin Φ şi cos Φ şi se ţine cont de: sin 2 Φ + cos 2 Φ = 1
obţinând:
(
2 2 ρ 2 Ω 2 Β2 Β k − mΩ + F2 F2
(
Β2 k − mΩ 2
)
)
2
= 1 ; de unde rezultă:
+ ρ 2Ω2 = F 2
2
(2.48)
Amplitudinea mişcării oscilatorii întreţinute (forţate) în regim permanent este: F
Β=
(k − mω )
2 2 1
+ ρ 2 ω12
dar k = m ω 02 şi ρ = 2 m δ
F
Β=
( mω
2 0
− mΩ 2
)
2
+ 4δ 2 m 2 Ω2
deci: F
Β= m
(ω
2 0
−Ω
2
)
2
(2.49) + 4δ Ω 2
2
şi faza iniţială va fi exprimată prin relaţia: tg Φ =
sin Φ 2δΩ =− 2 cos Φ ω0 − Ω 2
(2.50)
Viteza în mişcarea oscilatorie întreţinută în regim permanent se deduce din expresia elongaţiei, prin derivarea acesteia cu timpul: v=
dx = − BΩ sin ( Ωt − Φ ) dt
(2.51)
Ţinând seama de expresia amplitudinii, valoarea maximă a vitezei este dată de relaţia: ΩF vmax = ΩB = (2.52) 2 2 2 2 2 m ω0 − Ω + 4δ Ω
(
)
35
Raportul Z dintre valoarea maximă a forţei de întreţinere şi valoarea maximă a vitezei se numeşte impedanţa mecanică a oscilatorului. Z=
F m = vmax Ω
(ω
2 0
− Ω 2 ) + 4δ 2 Ω 2 2
(2.53)
Dacă se înlocuiesc pulsaţia proprie şi factorul de amortizare prin relaţiile lor de definiţie (2.7), expresia impedanţei mecanice ia forma următoare: 2
k Z = − mΩ + ρ 2 Ω
(2.54)
Impedanţa mecanică se interpretează simplu: la o valoare dată a forţei maxime, cu cât ea este mai mare, cu atât viteza este mai mică, şi invers. Deci, ea caracterizează un fel de rezistenţă pe care o întâmpină forţa variabilă de întreţinere f(t) pentru a pune sistemul în mişcare. Mărimea ρ (coeficientul de rezistenţă) joacă rolul unei rezistenţe active, iar mărimea X =
k − mΩ Ω
(2.55)
se numeşte reactanţa oscilatorului. Această reactanţă are două componente şi anume reactanţa elastică: Xe =
k Ω
(2.56)
şi reactanţa inerţială: X i = mΩ
(2.57)
2.6 Rezonanţa 2.6.1 Amplitudinea la rezonanţa Se observă că pe măsură ce pulsaţia oscilaţiei exterioare, care menţine regimul permanent, Ω tinde către o pulsaţie ΩR numită pulsaţie de rezonanţă, amplitudinea oscilaţiei forţate creşte foarte mult, amplitudinea B prezentând un maxim. În acest caz, oscilatorul preia întreaga energie aparentă de la sursă, o foloseşte pentru învingerea rezistenţelor şi o disipă sub formă de energie activă în mediu. Acest fenomen se numeşte rezonanţa amplitudinilor. În continuare se va calcula amplitudinea oscilaţiei forţate la rezonanţă adică maximul funcţiei Β ( Ω ) . Pentru ca funcţia Β ( Ω ) să prezinte un extrem este necesar ca:
36
dΒ(Ω) dΩ
Ω=ΩR
=0
(2.58)
după calcularea derivatei rezultă: dΒ (Ω) dΩ
Ω=Ω R
( (
) )
2 2 2 F 2 ω0 − Ω R Ω R − 4δ Ω R =± =0 3 m 2 2 2 2 2 ω − Ω R + 4δ Ω R 0
(2.59)
deci, pulsaţia oscilaţiei exterioare la care are loc rezonanţa amplitudinilor este: Ω R = ω 02 − 2δ 2
(2.60)
Pentru a calcula valoarea amplitudinii la rezonanţă Β ( ΩR ) se introduce (2.60) în (2.49) şi rezultă: Β max =
F
(2.61)
2mδ ω 02 − δ 2
Β max în general atinge valori mult mai mari decât A, amplitudinea oscilaţiei libere.
Dacă ω02 ≤ 2δ 2 , Β ( Ω ) nu are nici un maxim în domeniul valorilor reale ale lui Ω şi nu se produce rezonanţa. Dacă δ = 0 , nu există nici o amortizare şi deci, pentru Ω → ω 0 , Β max → ∞ . În figura 2.5 este reprezentată dependenţa amplitudinii oscilaţiei forţate în funcţie de pulsaţia oscilaţiei exterioare care menţine regimul periodic permanent.
Fig. 2.5
37
Se remarcă valoarea mare a amplitudinii la atingerea pulsaţiei de rezonanţă. În sisteme mecanice rezonanţa poate duce la apariţia unor vibraţii cu amplitudine foarte mare care poate produce deteriorarea unor componente ale acestora. 2.6.2 Energia şi puterea în mişcarea oscilatorie întreţinută. Lucrul mecanic elementar efectuat de forţa de întreţinere pentru a provoca deplasarea dx este: dL = fdx = f
dx dt = fvdt dt
(2.62)
Înlocuind în această relaţie expresiile forţei şi a vitezei din (2.51), rezultă: dL =
F 2 max cos Ωt cos ( Ωt − Φ ) dt Z
(2.63)
Dezvoltând pe cos ( Ωt − Φ ) şi introducând sinusul şi cosinusul unghiului dublu şi integrând pe o perioadă, se obţine lucrul mecanic efectuat de forţa de întreţinere pe o perioadă, sub forma următoarei expresii: T F2 F2 L = ∫ max cos Φ + max cos ( 2Ωt − Φ ) dt 2Z 2Z 0
(2.64)
În urma integrării, al doilea termen se anulează căci este rezultatul integrării funcţiei periodice pare cos ( 2Ωt − Φ ) pe o perioadă. Prin urmare, lucrul mecanic mediu efectuat de forţa de întreţinere pe o perioadă este: L =
F2 T cos Φ 2Z
(2.65)
iar puterea medie pe o perioadă este: L F2 = cos Φ P = T 2Z
(2.66)
Astfel, puterea dezvoltată de forţa f(t) depinde nu numai de amplitudinea F a forţei şi de viteză, dar şi de diferenţa de fază dintre acestea. În cazul unui sistem oscilant aflat la rezonanţă sau în cazul unei forţe rezistente foarte mari, Φ = 0 şi Z= r şi atunci: P =
L F 2 Fvmax = = 2ρ 2 T
(2.67)
38
Aici puterea cheltuită de forţa f este întrebuinţată pentru învingerea frecărilor care apar din timpul oscilaţiilor şi se transformă în întregime în căldură. În toate cazurile în care rezistenţa activă ρ este cu mult mai mică decât cea reactivă: (2.68) k Ω adică pentru un sistem oscilant având masa, constanta elastică mari şi coeficientul de rezistenţă I foarte mic cos Φ este aproape nul. În aceste cazuri: ρ〈〈 mΩ −
L =0
(2.69)
Într-o jumătate de perioadă, forţa efectuează un lucru mecanic pozitiv, mărind energia sistemului, în cealaltă jumătate de perioadă însă, sistemul redă energia acumulată sursei de energie. În consecinţă, puterea totală consumată este aproape nulă. 2.6.3 Oscilaţii autoîntreţinute După cum s-a văzut, oscilaţiile libere ale oricărui sistem oscilant real se amortizează treptat, în urma faptului că rezerva de energie acumulată iniţial în sistem se consumă pentru învingerea frecării şi se transmite mediului înconjurător. Pentru multe aplicaţii practice din mecanică dar şi din electronică se pot construi sisteme în care pierderile de energie să fie compensate în mod continuu şi automat pe contul energiei furnizate de o sursă. Aceste sisteme se numesc sisteme autooscilante, şi cu ele se pot obţine oscilaţii neamortizate, care durează până la epuizarea rezervei de energie din sursă. Matematic, oscilaţiile neamortizate sunt reprezentate de funcţii aproximativ armonice, sau de funcţii de timp mai complicate. Ca un exemplu de sistem mecanic autooscilator care dă oscilaţii neamortizate este ceasul mecanic. Într-un ceas mecanic se găseşte o sursă de energie potenţială sub forma unui resort spiral tensionat sau a unei greutăţi ridicate la o oarecare înălţime. Sistemul oscilator mecanic este format dintr-un pendul sau un oscilator de torsiune denumit balansier, ale cărui oscilaţii libere au o frecvenţă de 2 Hz în cazul ceasului. În cea mai mare parte a perioadei, mişcarea pendulului este liberă şi numai într-un interval de timp scurt, în care el trece prin poziţia de echilibru şi are o viteză maximă, el vine în contact cu o roată dinţată şi un clichet, prin intermediul cărora primeşte un impuls scurt de la sursa de energie. Aceste impulsuri sunt foarte mici, dar ele se produc în momentele de viteză maximă a sistemului aflat o frecvenţă de rezonanţă, adică fără defazaj ( cos Φ = 0 ) şi din acest motiv sunt capabile să transmită energie suficientă pentru compensarea
39
pierderilor. Ele menţin amplitudinea constantă până la consumarea energiei acumulate în sursa de energie. Frecvenţa oscilaţiilor sistemului este determinată de frecvenţa oscilaţiilor libere ale pendulului sau balansierului. În alte sisteme autooscilante, sursa de energie este o sursă de energie electrică, sistemul oscilant este un circuit oscilant iar reglarea transmisiei de energie de la sursă la cest circuit este efectuată de un grup de circuite electronice. După cum se vede din aceste exemple, energia se transmite de la sursă la sistemul oscilant, prin intermediul unei forţe constante, a cărei acţiune asupra sistemului oscilator este reglată de însăşi reacţiunea sistemului şi a unui dispozitiv care reglează accesul de energie, astfel că sistemul primeşte impulsuri periodice care menţin amplitudinea lui de oscilaţie la un nivel constant şi compensează amortizarea produsă de disiparea energiei în mediu. 2.7 Reprezentarea mişcărilor oscilante Pentru a rezolva problemele teoretice şi practice legate de fenomenele oscilatorii, s-au imaginat mai multe metode de reprezentare ale acestora. 1. Reprezentarea grafică. Oscilaţiile se reprezintă grafic prin diagrame care reprezintă desfăşurarea lor în timp. Dacă asupra aceluiaşi sistem oscilant acţionează simultan mai multe oscilaţii, atunci se reprezintă grafic toate oscilaţiile care acţionează simultan şi se obţine o rezultantă prin compunere grafică. Compunerea grafică presupune alegerea unor eşantioane de timp şi adunarea algebrică a segmentelor care reprezintă elongaţiile în fiecare moment. Punctele astfel obţinute se unesc găsindu-se rezultanta. 2. Reprezentarea analitică. Mărimile oscilatorii se reprezintă cu ajutorul unor expresii matematice. Aceste expresii sunt prelucrate folosind regulile din analiza matematică şi algebră, trăgându-se concluziile care se impun. 3. Reprezentarea fazorială (Fresnel) sau vectorială se reprezintă mărimile oscilante prin fazori. Un fazor este un vector simbolic, având originea în originea sistemului de axe XOY, având modulul egal cu amplitudinea mărimii oscilatorii reprezentate, făcând, în momentul t, cu axa OX un unghi egal cu faza ωt + ϕ 0 şi rotindu-se cu o viteză unghiulară egală cu pulsaţia mărimii reprezentată în fig. 2.6:
Fig. 2.6
40
Se observă că dacă fazorul se roteşte uniform proiecţia acestui fazor pe axele OX respectiv OY reprezintă oscilaţii armonice: x (t ) = Α cos (ω t + ϕ 0 )
(2.70)
y (t ) = Α sin (ω t + ϕ 0 )
Astfel, operaţiile cu mărimi oscilante se reduc la operaţii de compunere şi descompunere de vectori fiind valabile toate regulile, de adunare, scădere şi înmulţire a vectorilor. Este o metodă foarte mult utilizată în rezolvarea unor probleme practice în teoria oscilaţiilor şi în electrotehnică. 4. Reprezentarea complexă Se ataşează planului XOY în care este reprezentat fazorul A , un plan complex, ca în fig. 2.7:
Fig. 2.7
În electrotehnică unitatea imaginară se notează cu j = − 1 , pentru a evita confuziile cu intensitatea curentului. Mărimea oscilantă x(t) în complex se va nota cu x ( t ) . Punctului din planul complex atins de vârful fazorului, la un moment dat, îi va corespunde un număr complex având ca parte reală Re x = Α cos (ωt + ϕ ) şi ca parte imaginară Im x = Α sin (ωt + ϕ ) . Deci, numărul complex care reprezintă fazorul în planul (+1;0;+i) va fi:
x = Rex + i Imx sau: x = Α cos (ωt + ϕ ) + i Α sin (ω t + ϕ ) = Α cos (ω t + ϕ ) + i sin (ωt + ϕ )
(2.71)
Folosind formula lui Euler se va obţine: x = Αe i ( ω t + ϕ )
(2.72)
unde: Α = Re 2 x + Im 2 x =
∗
x x
(2.73)
41
2.8 Compunerea oscilaţiilor 2.8.1 Compunerea oscilaţiilor paralele de aceeaşi pulsaţie (sintone) Dacă două sau mai multe forţe care au caracter oscilant acţionează simultan asupra aceluiaşi punct material, ele se vor compune şi punctul va efectua o mişcare oscilantă rezultantă cu o nouă amplitudine şi o nouă fază iniţială. În continuare, se va aborda această compunere prin metoda complexă. Se consideră un corp supus simultan acţiunii a două oscilaţii armonice paralele de aceeaşi frecvenţă, care însă au amplitudini şi faze iniţiale diferite. Ele se vor reprezenta prin urmăeoarele două numere complexe: x1 = Α 1 e i (ω t + ϕ1 ) şi x 2 = Α 2 e i (ω t + ϕ 2 )
Va rezulta o oscilaţie compusă (rezultantă) care va avea amplitudinea A şi faza iniţială φ, care vor fi determinate în continuare: x -reprezintă în complex rezultanta oscilantă, deci: x = x1 + x 2 = Α 1 e i (ω t + ϕ ) + Α 2 e i (ω t + ϕ )
Amplitudinea următoarea:
oscilaţiei
rezultante
[
(2.74) este,
conform
][
Α 2 = xx = Α 1 e i (ω t + ϕ ) + Α 2 e i ( ω t + ϕ ) Α 1 e − i (ω t + ϕ ) + Α 2 e − i ( ω t + ϕ ) ∗
relaţiei
]
(2.58), (2.75)
Efectuând calculele, rezultă: Α 2 = Α 12 + Α 1 Α 2 e i (ωt + ϕ 2 − ωt − ϕ1 ) + Α 1 Α 2 e i (ωt + ϕ1 − ωt − ϕ2 ) + Α 22
şi
[
Α 2 = Α12 + Α 22 + Α 1 Α 2 e i (ϕ2 − ϕ1 ) + e − i (ϕ 2 − ϕ1 )
]
(2.76)
Utilizând relaţiile lui Euler: e iα + e − iα = 2 cos α , se obţine: Α 2 = Α 12 + Α 22 + 2 Α 1 Α 2 cos (ϕ 2 − ϕ 1 )
şi Α = Α 12 + Α 22 + 2 Α 1 Α 2 cos(ϕ 2 − ϕ1 )
(2.77)
Faza iniţială rezultantă φ se deduce din următoarea ecuaţie a mişcării rezultante:
(
x (t ) = x1 + x 2 = Α 1 e i ω t e iϕ1 + Α 2 e i ω t e iϕ 2 = e iω t Α 1 e iϕ1 + Α 2 e iϕ 2
)
(2.78)
Utilizând din nou relaţiile lui Euler şi grupând în parte reală şi parte imaginară, rezultă relaţia:
42
x (t ) = e iωt [(Α 1 cos ϕ1 + Α 2 cos ϕ 2 ) + i (Α 1 sin ϕ1 + Α 2 sin ϕ 2 )]
(2.79)
Se vor face următoarele notaţii: Α cos ϕ = Α1 cos ϕ1 + Α 2 cos ϕ 2 şi Α sin ϕ = Α1 sin ϕ1 + Α 2 sin ϕ 2 (2.80) aceste notaţii înlocuite în relaţia (2.64), duc la următorul rezultat. x (t ) = Αe iωt (cos ϕ + i sin ϕ ) = Αe iωt e iϕ = Αe i (ωt + ϕ )
Faza mişcării rezultante este φ introdus prin notaţiile (2.65). Prin urmare: tgϕ =
sin ϕ Α 1 sin ϕ1 + Α 2 sin ϕ 2 = cos ϕ Α 1 cos ϕ1 + Α 2 cos ϕ 2
(2.81)
2.8.2 Compunerea oscilaţiilor paralele cu pulsaţii diferite Se va analiza în continuare situaţia când ω1 ≠ ω2 . Repetând calculele de la situaţia precedenta se va obţine amplitudinea oscilaţiei rezultante: Α = Α 12 + Α 22 + 2 Α1 Α 2 cos[(ω1 − ω 2 )t + ϕ 2 − ϕ1 ]
(2.82)
Observând relaţia (2.67) se constată că amplitudinea mişcării rezultante depinde de timp, ea are o variaţie periodică între o valoare maximă Amax şi una minimă Amin. Α = Α max atunci când cos[(ω1 − ω2 )t + ϕ 2 − ϕ1 ] = 1
deci: Α max = Α 12 + Α 22 + 2 Α 1 Α 2 = Α 1 + Α 2
(2.83)
şi Α = Αmin , atunci când cos[(ω1 − ω2 )t + ϕ 2 − ϕ1 ] = −1 deci: Α min = Α12 + Α 22 − 2 Α 1 Α 2 = Α 1 − Α 2
(2.84)
Amplitudinea oscilaţiei rezultante se va modifica între Α1 + Α 2 şi Α1 − Α 2 dacă ϕ2 = ϕ1 . Pentru (ω 2 − ω1 )t = 2π amplitudinea este maximă. Se va nota cu τ timpul, după care apare al doilea maxim. Deci:
(ω2 − ω1 )(t + τ) = 4π Făcând diferenţa (ω 2 − ω1 )(t + τ ) − (ω 2 − ω 1 )t = 2π
(2.85)
43
Se va obţine pentru perioada oscilaţiei rezultantă următoarea expresie: τ=
2π ω 2 − ω1
(2.86)
Deci, amplitudinea mişcării se va modifica între Α max şi Αmin cu perioada τ, ca în fig. 2.8:
Fig. 2.8
Oscilaţiile în care amplitudinea variază în timp se numesc bătăi. În aparatura de recepţie radiotelegrafică există oscilatorul „beat” a cărui frecvenţă se poate modifica manual în aşa fel încât radiotelegrafistul, prin sesizarea bătăilor, să poată separa auditiv un emiţător de altul. 2.8.3 Compunerea oscilaţiilor perpendiculare, de aceeaşi frecvenţă Se întâlneşte des situaţia în care un corp este supus simultan la două mişcări oscilatorii armonice, una efectuându-se pe axa OX şi cealaltă pe OY. Între ele există un defazaj ∆ϕ . Admiţând (prin alegerea sistemului de referinţă) că faza iniţială a mişcării pe axa OX este nulă, ecuaţiile de mişcare vor fi: Pe Ox: x = Α cos ω t
(2.87)
şi pe Oy:
y = Β cos(ωt + ∆ϕ)
(2.88)
din (2.87) rezultă: x x2 = cos ωt , şi sin ω t = 1 − 2 Α Α
(2.89)
Se dezvoltă cos (ωt + ∆ϕ ) din (2.88) y = cos ωt cos ∆ϕ − sin ωt sin ∆ϕ Β
se înlocuiesc în (2.90) cos ω t şi sin ωt , din (2.89) şi rezultă:
(2.90)
44
y x x2 = cos ∆ϕ − 1 − 2 sin ∆ϕ Β Α Α
(2.91)
x2 x y sin ∆ϕ = cos ∆ϕ − 2 Α Α Β
(2.92)
sau: 1−
se ridică la pătrat relaţia (2.77) şi se obţine: 2 xy x2 x2 y2 1 − 2 sin 2 ∆ ϕ = 2 cos 2 ∆ ϕ − cos ∆ϕ + 2 ΑΒ Α Β Α
(2.93)
sau:
(
)
x2 y2 2 xy 2 2 sin ∆ϕ = 2 sin ∆ϕ + cos ∆ϕ − cos ∆ϕ + 2 ΑΒ Α Β 2
(2.94)
grupând termenii: x2 y 2 2xy + − cos ∆ϕ = sin 2 ∆ϕ Α 2 Β 2 ΑΒ
(2.95)
Aceasta formulă reprezintă ecuaţia unei elipse înscrise într-un dreptunghi cu laturile 2A si 2B, ale cărei laturi nu coincid cu axele OX şi OY, ele fiind rotite cu un unghiψ care satisface relaţia: tg 2ψ =
2 ΑΒ cos ∆ϕ Α2 − Β2
(2.96)
Această elipsă este reprezentată în figura 2.9:
Fig. 2.9
Pentru 2
x y − =0 Α Β sau:
∆ϕ = 2 kπ
ecuaţia elipsei devine
x 2 2 xy y 2 − + =0 Α 2 ΑΒ Β 2
sau
45
y=
Β x Α
(2.97)
deci, elipsa degenerează în dreapta AC Pentru ∆ϕ = (2k + 1)π , ecuaţia devine: x 2 2 xy y 2 + + =0 Α 2 ΑΒ Β 2
(2.98)
sau: y=−
Β x Α
(2.99)
adică elipsa degenerează în dreapta BD Pentru alte valori ale lui ∆ϕ se obţin elipse cu diferite excentricităti şi înclinări faţă de axe:
Elipse stângi
Elipse drepte Fig. 2.10
În cazul în care pulsaţiile celor două mişcări armonice nu mai sunt egale, în funcţie de diferenţa de fază şi de raportul amplitudinilor, se obţin figuri mai complicate numite figurile lui Lissajaus. În figura 2.11 sunt reprezentate figurile lui Lissajaus rezultate prin compunerea oscilaţiilor perpendiculare, care au defazajele reprezentate pe orizontală şi raportul frecvenţelor pe verticală.
46
Fig. 2.11
ω1 k1 unde k1 si k2 sunt = ω2 k 2 k numere întregi. Cunoscând ω1 şi determinând raportul 1 se poate determina o k2
Curbele obţinute sunt curbe închise doar dacă
pulsaţie necunoscută ω2 . De regulă, vizualizarea oscilaţiilor de natură electrică (semnalelor) se face pe ecranul unui osciloscop. Dacă mărimile observate sunt de natură neelectrică ele se convertesc în semnale electrice corespunzătoare, cu ajutorul unor dispozitive traductoare alese în mod convenabil. 2.9 Descompunerea mişcării periodice S-a constatat că, dacă se suprapun mai multe mişcări oscilatorii armonice, mişcarea rezultantă nu mai este o oscilaţie armonică. Oscilaţiile care apar în tehnică sunt, în general, oscilaţii nearmonice. De mare importanţă în studiul oscilaţiilor este descompunerea unei oscilaţii nearmonice în oscilaţii armonice, care pot fi studiate mult mai uşor. Matematicianul francez Fourier a rezolvat această problemă prin demonstrarea unei teoreme care se enunţă în felul următor: O funcţie y = f(t) continuă pe intervalul de la t1 la t 2 = t1 + Τ , se dezvoltă într-o serie de forma: ∞
y = f (t ) = Α 0 + ∑ (Β n cos nωt + C n sin nω t )
(2.100)
n =1
Coeficienţii Α 0 , Β n , C n sunt: Τ
1 Α 0 = ∫ f (t )dt Τo
(2.101)
47
Βn =
Τ
2 f (t ) cos nωtdt Τ ∫0
(2.102)
şi Cn =
Τ
2 f (t ) sin nωtdt Τ ∫0
(2.103)
Condiţii: - y sa fie finit: - să aibă un număr finit de maxime şi minime - să aibă un număr finit de discontinuităţi Deci, orice oscilaţie nearmonică se poate scrie în felul următor: f (t ) = Α 0 + (Β 1 cos ω t + C 1 sin ωt ) + (Β 2 cos 2ωt + C 2 sin 2ω t ) + (Β 3 cos 3ω t + C 3 sin 3ω t ) + ... (2.104)
primul termen se numeşte termen de ordin 0, al doilea, termen de ordinul I sau fundamental (armonica fundamentală), iar termenii de ordinul superior sunt armonice superioare. Deci, orice oscilaţie, indiferent de forma lui f(t), dacă îndeplineşte condiţiile teoremei Fourier, poate fi considerată ca o suprapunere de oscilaţii armonice. Seria fiind convergentă, amplitudinile armonicelor scad cu ordinul lor. Seria constă, deci, dintr-un termen constant şi un număr infinit de oscilaţii cu pulsaţii ω (fundamentala), 2ω prima armonica, 3ω a doua, etc.
Fig. 2.12
Spre exemplificare, procesul periodic reprezentat grafic in figura 2.12a se poate reprezenta analitic prin seria 2.105, iar cel reprezentat grafic in figura 2.12b, prin seria 2.106. x=
4A 1 1 sin ω t + sin 3ω t + sin 5ω t + ... π 3 5
(2.105)
48
x=
2A 1 1 1 sin ω t + sin 2ω t + sin 3ω t + sin 4ω t + .... π 2 3 4
(2.106)
În foarte multe aplicaţii este convenabil sa se reprezinte seria Fourier corespunzătoare unui proces periodic printr-o diagramă în care să fie reprezentate, printr-o serie de segmente, valorile amplitudinii armonicelor în funcţie de frecventa lor. De exemplu, pentru seria 2.106, aceasta diagramă este reprezentata în figura 2.13. 1 1/2 1/3 1/4
………
………. ω
T Fig. 2.13
Fiecare linie este numită linie spectrală, iar totalitatea liniilor formează spectrul de linii a oscilaţiei date. Fiecare linie corespunde unei oscilaţii armonice având o singură frecvenţă (pulsaţie) numită oscilaţie monocromatică. Întrucât succesiunea frecvenţelor nu este continuă, un astfel de spectru este denumit spectru discontinuu. Un asemenea spectru apare la instrumentele muzicale cu corzi, cu arcuş (vioară, violă, violoncel, contrabas). În situaţia în care procesul nu este periodic (de exemplu, saltul de presiune produs de un sunet scurt), succesiunea de frecvenţe este redată de o funcţie continuă, iar amplitudinea este redată tot de o funcţie continuă calculabilă printr-o integrală denumită integrala Fourier. Procese precum oscilaţia amortizată sau un fenomen reprezentat printr-un salt de durata finită a unei mărimi poate fi reprezentat ca suma unei infinităţi de armonice care au amplitudini infinit de mici şi frecvenţe infinit de apropiate, care se extind până la infinit. Limita acestei sume este integrala Fourier. Descompunerea proceselor periodice sau neperiodice în spectre nu este o simplă operaţie matematică, ea este o realitate fizică sesizabilă experimental sau auditiv, în cazul sunetelor, care nu sunt altceva decât oscilaţii ale aerului. În acest din urmă caz, suprapunerea fundamentalei cu armonicele conferă sunetului o calitate specială numită timbru. Fiecare sursă sonoră are un timbru specific, după care el poate fi recunoscut.
3.Unde elastice 3.1 Propagarea oscilaţiilor în medii elastice. Fenomene fundamentale. Definiţii Un mediu elastic este un mediu continuu format din puncte materiale între care se exercită forţe elastice sau cvasielastice. Dacă deformările care intervin nu sunt prea mari şi forţele elastice sunt liniare, mediul este numit mediu elastic liniar. Dacă un punct al unui astfel de mediu este perturbat (scos din poziţia de echilibrare), el va oscila sub acţiunea combinată a forţelor elastice, de inerţie şi de rezistenţă. Acest punct fiind legat de punctele învecinate prin forţe de tip elastic, va transmite energie şi impuls acestor puncte care vor oscila şi ele. Astfel, din aproape în aproape, toate punctele mediului vor începe să oscileze. Acest fenomen de transmitere a unei perturbaţii din aproape în aproape într-un mediu elastic se numeşte undă elastică. Punctul care prin oscilaţie a dat naştere undei, se numeşte sursă. Fiecare punct oscilează cu frecvenţa sursei dar cu o oarecare întârziere faţă de aceasta, deci cu o altă fază. Se pot da foarte multe exemple: perturbaţia transversală care se propagă de-a lungul unei corzi elastice lovite, valurile concentrice care se propagă pe suprafaţa apei după căderea unei pietre, (figura 3.1) oscilaţiile maselor de aer care prin propagare generează sunetele, etc. Spaţiul din jurul sursei care a devenit sediul undei se numeşte câmp de unde. Dacă unda se propagă pe o singură direcţie, cum se întâmplă în cazul perturbaţiei care se deplasează de-a lungul unei corzi sau a unei bare se spune că unda este unidimensională. Dacă propagarea are loc radial în acelaşi plan, cum se întâmplă cu valurile produse la suprafaţa liberă a unui lichid, unda este numită superficială sau bidimensională. Atunci când propagarea are loc radial în întreg spaţiul, unda se numeşte spaţială sau tridimensională. Distanţa pe care oscilaţia s-a propagat, într-o perioadă în lungul direcţiei de propagare se numeşte lungime de undă. Dacă se notează cu c viteza de propagare a undei (celeritatea): λ = c ⋅T =
c ν
(3.1)
Locul geometric al punctelor celor mai depărtate de sursă, atinse la un moment dat de mişcarea oscilatorie, se numeşte front de undă, iar locul geometric al punctelor atinse în acelaşi moment de mişcarea oscilantă se numeşte suprafaţă de undă, ca în figurile 3.1 şi 3.2.
50
Fig. 3.1
Dacă oscilaţiile se efectuează pe direcţia de propagare a undei, aceasta se numeşte undă longitudinală, iar dacă oscilaţia se produce perpendicular pe direcţia de propagare, unda se numeşte transversală.
Fig. 3.2
Într-un mediu elastic, particulele care alcătuiesc mediul nu se propagă odată cu unda, ele nu execută decât mişcări oscilatorii în jurul poziţiei de echilibru. Ceea ce se propagă este doar mişcarea oscilatorie, a cărei fază se modifică şi prin care se transmit energia şi impulsul. 3.2 Ecuaţia de propagare a undelor elastice 3.2.1 Ecuaţia de propagare a unei unde elastice transversale pe o coardă infinit de lungă (Ecuaţia corzii vibrante) Se va considera o coardă elastică omogenă infinit de lungă, solicitată la întindere cu tensiunea T. La un moment dat, într-un punct al corzii, acţionează o forţă perturbatoare perpendiculară pe lungimea acesteia provocându-i o deformare transversală. După încetarea forţei perturbatoare, rezultanta forţelor elastice F tinde să readucă elementul de coardă la poziţia iniţială şi să anuleze deformarea. Datorită inerţiei mişcării transversale continuă, deformarea producându-se de astă dată de cealaltă parte a corzii şi transmiţându-se regiunilor învecinate ca în fig.3.3.
51
Datorită acţiunii combinate a forţelor elastice şi a forţelor de inerţie, perturbaţia se va se va propaga de-a lungul corzii dând naştere la o undă transversală. Fiecare punct al corzii oscilează având o elongaţie ψ(x,t) Pentru a deduce ecuaţia elongaţiei, se consideră un element infinitezimal din coardă, de lungime dx şi masă dm, având coordonata x. La creşterea coordonatei cu o distanţă infinitezimală dx, elongaţia oscilaţiei devine Ψ+dΨ, ca în figura 3. 4 şi în detaliul din fig. 3.5.
Fig. 3.3
x
x+dx
Fig. 3.4
52
Fig. 3.5
Rezultanta forţelor elastice care readuc elementul de coardă în poziţia de echilibru este Τ1 y − Τ2 y deci, conform principiului II al lui Newton: Τ1 y − Τ2 y = dm ⋅ a
(3.2)
dar, conform definiţiei, acceleraţia elementului de coardă se exprimă prin relaţia următoare. && ( x, t ) = a=ψ
∂ 2ψ ∂t 2
(3.3)
iar din figura 3.5 se deduce: Τ1 y = Τ1 sin α , şi Τ2 y = Τ2 sin (α − d α )
(3.4)
prin urmare rezultanta este: Τ1 y − Τ 2 y = Τ sin α − Τ sin α cos d α + Τ sin d α cos α
(3.5)
dar: cosd α ≈ 1 şi sind α ≈ d α
Τ1 y − Τ 2 y = Τ cos α ⋅ dα = Td ( sinα )
(3.6)
∂ 2ψ Τd (sin α ) = dm ⋅ 2 dt
(3.7)
Deci:
53
lungimea elementului de coardă fiind extrem de mică şi unghiul α fiind de asemenea mic, se poate utiliza aproximaţia: sin α ≈ tg α . Înlocuind această aproximaţie în (3.6) se obţine: Τd (tgα ) = dm ⋅
∂ 2ψ dt 2
(3.8)
Se observă în figura 3.5 că se poate scrie cu o aproximaţie foarte bună relaţia următoare: tgα =
∂ψ ∂x
(3.9)
Înlocuind (3.9) în (3.8), rezultă următoarea ecuaţie diferenţială: ∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ µ ∂ 2ψ Τ ⋅ 2 dx = µ ⋅ 2 sau = ∂x ∂t ∂x 2 Τ ∂t 2
(3.10)
Această ecuaţie diferenţială cu derivate parţiale este numită ecuaţia corzii vibrante. Rezolvarea acestei ecuaţii în condiţiile impuse de problemă, permite aflarea elongaţiei oscilaţiei punctului de pe coardă de coordonată x şi la momentul t. Notând: c=
Τ µ
(3.11)
ecuaţia va lua următoarea formă. ∂ 2 ψ 1 ∂ 2ψ = ∂x 2 c 2 ∂t 2
(3.12)
Se observă că mărimea constantă c are dimensiunea unei viteze. Ea este chiar viteza de propagare a fazei undei pe coardă (această afirmaţie va fi demonstrată ulterior). 3.2.2 Ecuaţia de propagare a unei unde elastice longitudinale printr-o bară. Un alt caz de propagare unidimensională este propagarea unidimensională a unei perturbaţii longitudinale de-a lungul unui mediu care are lungimea foarte mare în raport cu dimensiunile sale transversale, cum se întâmplă în cazul unei bare, ţevi, şine, etc. Se va considera în continuare o bară elastică cu densitatea ρ, modulul de elasticitate E şi secţiunea constantă S. Această bară este perturbată într-un punct, la momentul iniţial, de exemplu, printr-o comprimare. După încetarea acţiunii care a produs deformarea, forţele elastice vor tinde să anuleze
54
această deformare, readucând elementul comprimat la dimensiunea iniţială. Însă, datorită inerţiei, mişcarea va continua elementul de bară alungindu-se şi comprimând regiunile învecinate. Şi astfel, din aproape în aproape, sub acţiunea combinată a forţelor elastice şi de inerţie, apare o undă longitudinală care constă în oscilaţii ale elementelor barei care se propagă de-a lungul ei ca în figura 3.6. Pentru a afla elongaţia oscilaţiei într-un punct aflat la distanţa x de sursa perturbaţiei, se va considera în jurul punctului de coordonată x, un element de bară infinit de mic de lungime dx. Datorită propagării undei, acest element de bară la momentul t este deformat (comprimat sau alungit) cu dψ şi va răspunde acţiunii r r r forţei perturbatoare F cu o reacţiune F + dF , forţa rezultantă fiind r r r F + dF − F ca în fig. 3.7: t=0
λ
t=τ =
2π ω
Fig. 3.6
Ψ
Ψ + dΨ
d
Fig. 3.7
Conform principiului II al lui Newton rezultă: r r r F + d F − F = dm a
(3.13)
sau: dF = dm
∂ 2ψ ∂t 2
(3.14)
Forţa F fiind o forţă elastică liniară, se aplică legea lui Hooke: F ∆l =E S l0
(3.15)
55
alungirea relativă este: ∆l ∂ψ = l0 ∂x
(3.16)
deci, forţa elastică din bară este dată de următoarea relaţie: F = SE
∂ψ ∂x
(3.17)
Pentru a-l afla pe dF vom diferenţia relaţia şi obţinem: ∂ 2ψ ∂ψ dF = SE ⋅ d = SE 2 dx ∂x ∂x
(3.18)
deci: SE
∂ 2ψ ∂ 2ψ dx = dm ∂x 2 ∂t 2
(3.19)
masa elementului de bară este: dm = ρdv = ρSdx şi prin urmare ecuaţia de propagare a perturbaţiei longitudinale pe bară va lua următoarea formă: E
∂ 2ψ ∂ 2ψ = ρ ∂x 2 ∂t 2
(3.20)
Această ecuaţie se numeşte ecuaţia barei vibrante. Dacă se face notaţia: c=
E ρ
(3.21)
obţinem că ecuaţia diferenţială de propagare a unei unde longitudinale pe bară are, din punct se vedere matematic, aceeaşi formă ca şi ecuaţia corzii vibrante (3.12): ∂ 2 ψ 1 ∂ 2ψ = ∂x 2 c 2 ∂t 2
Ecuaţii cu această formă apar ori de câte ori o perturbaţie se propagă unidimensional şi, din acest motiv, ea este denumită ecuaţia undelor unidimensionale. 3.2.3 Ecuaţia de propagare a unei unde superficiale transversale pe o membrană elastică infinită. Dacă o membrană (placă) elastică este perturbată, într-un punct al ei, pe suprafaţa membranei (plăcii) se vor produce unde superficiale care se vor propaga radial din punctul în care s-a produs perturbaţia iniţială. Se va considera o
56
membrană elastică infinită, deformată într-un punct. Deformarea va genera forţe elastice liniare care tind să readucă elementul de membrană la poziţia iniţială. Prin acţiunea combinată a forţelor elastice şi de inerţie, elementul respectiv de membrană va executa oscilaţii verticale transmise şi regiunilor învecinate. Astfel, întreaga membrană va fi supusă unei mişcări ondulatorii care se propagă bidimensional. Făcând abstracţie de propagarea bidimensională, situaţia este similară cu cea de la coarda vibrantă. Pentru a deduce ecuaţia de propagare a undei superficiale, bidimensionale pe membrană, se va considera decupată din membrana respectivă o porţiune infinit de mică, de dimensiuni dx şi dy. Elementul de membrană este readusă în poziţia de echilibru de componentele r verticale ale forţelor elastice. Marginile membranei sunt solicitate de o forţa F datorată deformării ei. Se va nota cu T forţa care revine pe unitatea de lungime r F Τ = . Forţa deformatoare F rămâne tangentă la membrana deformată, dar va da l componente în planul orizontal şi în cel vertical, după cum se vede în fig. 3.8:
Fig. 3.8
Cu excepţia situaţiei bidimensionale se observă şi analogia figurii cu cea de la coardă. Rezultanta forţelor care readuc placa în planul xOy va fi: dR z = Fxz1 − Fxz 2 + F yz 1 − F yz 2 = Fx cos α ⋅ d α + F y cos β ⋅ d β
(3.22)
sau: dRz = Fx d ( sin α ) + Fy d ( sin β )
(3.23)
Deformaţia fiind mică, unghiurile sunt şi ele foarte mici şi se pot face aproximările: sin α ≈ tgα ≈
∂ψ ∂x
(3.24)
57
şi: sin β ≈ tg β ≈
∂ψ ∂y
(3.25)
Înlocuind aceste aproximaţii în relaţia (3.23), rezultanta forţelor verticale devine: dR z = F x
∂ 2ψ ∂ 2ψ dx + F y ∂x 2 ∂y 2
(3.26)
Forţele care solicită tangenţial elementul de membrană sunt: Fx = Τdy şi F y = Τ dx
(3.27)
Se va nota masa unităţii de suprafaţă sau densitatea superficială a membranei, cu: σ=
dm dS
(3.28)
deci: dm = σ dS sau, dm = σ dxdy .
(3.29)
Înlocuind în expresia rezultantei (3.26), se obţine următoarea expresie: Τ ⋅ dy
∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ dx + Τ ⋅ dx dy = σ ⋅ dxdy ∂x 2 ∂y 2 ∂t 2
(3.30)
de aici rezultă că ecuaţia diferenţială satisfăcută de elongaţia oscilaţiei care se propagă superficial pe această membrană, are următoarea formă: ∂ 2 ψ ∂ 2ψ σ ∂ 2 ψ + 2 = ∂x 2 ∂y Τ ∂t 2
(3.31)
Această ecuaţie este denumită, ecuaţia membranei (plăcii) vibrante. Dacă se introduce notaţia: c=
Τ σ
(3.32)
ecuaţia membranei vibrante va lua următoarea formă. ∂ 2ψ ∂ 2 ψ 1 ∂ 2ψ + = ∂x 2 ∂y 2 c 2 ∂t 2
(3.33)
58
Pentru a satisface omogenitatea dimensională a formulei este necesar ca mărimea constantă c să reprezinte o viteză. Se remarcă faptul că bidimensionalitatea undei a introdus în ecuaţia de ∂ 2ψ propagare termenul , iar constanta c (viteza de propagare a fazei) depinde de ∂y 2 T, adică forţa care acţionează pe unitatea de lungime (forţa care acţionează pe unitatea de lungime a conturului este denumită tensiunea superficială) şi de σ densitatea superficială. Ţinând cont de modul de definire a mărimilor T şi σ, constanta cu dimensiune de viteză c se mai poate exprima şi în următorul mod: c=
∂Fe ∂l ∂m ∂S
(3.34)
3.2.4 Ecuaţia de propagare a unei unde elastice tridimensionale În cazul cel mai general, într-un mediu elastic, liniar, omogen şi izotrop unda se propagă în toate direcţiile prin oscilaţii longitudinale (de exemplu, sunetul sau undele seismice). Pentru a deduce ecuaţia undelor volumice tridimensionale, în continuare vor fi generalizate, fără o demonstraţie riguroasă, rezultatele obţinute anterior la paragrafele dedicate undelor unidimensionale şi bidimensionale, în felul următor: trecerea de la propagarea unidimensională la cea bidimensională a introdus, după cum s-a arătat în ecuaţia de propagare, termenul ∂ 2ψ corespunzând noii coordonate. Deci, se poate admite că trecerea la ∂y 2 tridimensionalitatea undei va introduce în primul membru al ecuaţiei diferenţiale a ∂ 2ψ deci, ecuaţia undelor undei încă o derivată parţială de ordinul II, respectiv ∂z 2 spaţiale tridimensionale trebuie să aibă următoarea formă. ∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ 1 ∂ 2ψ + + = ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 c 2 ∂t 2
(3.35)
În caz al propagării unidimensionale, s-a dedus că constanta c se calculează cu ajutorul unei formule de forma (3.11), care mai poate fi scrisă şi în felul următor. c=
Τ = µ
Fe ∂m ∂l
(3.36)
59
iar formula de calcul a acestei constante în cazul bidimensional este de forma relaţiei (3.34). Se poate deci afirma că trecerea la propagarea spaţială va introduce în formula lui c câte o nouă dimensiune, în modul următor: ∂Fe ∂S = ∂p ∂m ∂ρ ∂V
c=
(3.37)
Această constantă este, după cum s-a afirmat anterior tocmai viteza de propagare a fazei oscilaţiei în mediu. Relaţia (3.37) permite deducerea relaţiei care permite calcularea vitezei de propagare a undei acustice într-un gaz ideal. Unda acustică este o undă spaţială care constă în oscilaţii longitudinale ale maselor de gaz. Considerând că mişcările suferite de masa de gaz sunt suficient de rapide pentru a nu face schimb de căldura cu mediul, transformările acesteia sunt adiabatice şi deci, satisfac ecuaţia lui Poissson: pv γ = A = constant .
(3.38)
Masa gazului fiind constantă, relaţia aceasta se poate pune şi sub următoarea formă. A mγ A p = γ γ = γ ργ m V m
(3.39)
deci: c2 =
A pV γ mγ −1 pV ∂p = γ γ ρ γ −1 = γ γ =γ γ −1 m m V m ∂ρ
(3.40)
luând în considerare şi ecuaţia de stare a gazului ideal: pV =
m RT µ
(3.41)
în final se obţine relaţia: c= γ
RT µ
(3.42)
µ reprezintă masa molară a gazului. La temperatura camerei, viteza sunetului în aer este de aproximativ 340 m/s. Revenind la ecuaţia (3.35) a undei tridimensionale obţinute prin generalizare, aceasta se poate scrie simbolic în modul următor:
60
∂2 ∂2 ∂2 2 + 2 + 2 ∂z ∂y ∂x
1 ∂ 2ψ ψ = 2 c ∂t 2
(3.43)
Entitatea matematică: ∂2 ∂2 ∂2 ∆ = 2 + 2 + 2 ∂z ∂y ∂x
(3.44)
se numeşte operatorul lui Laplace sau mai pe scurt „laplacian”. Astfel, ecuaţia undei se scrie: ∆ψ =
1 ∂ 2ψ c 2 ∂t 2
(3.45)
această relaţie se mai poate pune şi sub forma 1 ∂2 ∆ − 2 2 Ψ = 0 c ∂t
(3.46)
Entitatea matematică (operatorul): 1 ∂2 = ∆ − 2 2 (3.47) c ∂t se numeşte operatorul lui d’Alambert sau d’alambertian deci, ecuaţia undelor tridimensionale se poate scrie şi sub următoarea formă: Ψ = 0
(3.48)
3.3 Soluţia ecuaţiei undelor În continuare, se pune problema găsirii soluţiei undelor ecuaţiei: 1 ∂ 2ψ ∆ψ = 2 2 . c ∂t Soluţia acestei ecuaţii diferenţiale a fost studiată de matematicieni şi s-a stabilit că depinde de condiţiile iniţiale şi de frontieră. Forma suprafeţei de undă depinde de forma sursei care a produs perturbaţia şi de proprietăţile mediului. 3.3.1 Soluţia ecuaţiei undelor unidimensionale Se consideră o undă care se propagă unidimensional (de exemplu, unda propagată pe o coardă infinită, omogenă), după cum s-a văzut ecuaţia de propagare a undei pe ea, este dată de ecuaţia (3.12): ∂ 2 ψ ( x, t ) ∂x 2
2 1 ∂ ψ ( x, t ) = 2 c ∂t 2
61
Se consideră că unda este propagarea unei mişcări oscilatorii armonice, provenind dintr-o sursă O care oscilează armonic. În continuare, se va deduce funcţiaψ ( x, t ) care este elongaţia oscilaţiei, unui punct M de pe un mediu unidimensional (coardă, bară, ghid de undă, tub sonor, etc.), situat la distanţa x de O, la momentul t. Pentru aceasta, se rescrie ecuaţia undelor unidimensionale în modul următor: ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂ − + ψ = 0 ∂x c ∂t ∂x c ∂t
(3.49)
se introduc două variabile auxiliare η = x − ct şi ξ = x + ct . Derivata parţială în raport cu x se poate exprima în modul următor: ∂ ∂ ∂η ∂ ∂ξ ∂ ∂ = + = + ∂x ∂η ∂x ∂ξ ∂x ∂η ∂ξ
(3.50)
şi cea în funcţie de timp se exprimă în modul următor: ∂ ∂ ∂ ∂η ∂ ∂ξ ∂ = + = c − ∂t ∂η ∂t ∂ξ ∂t ∂η ∂ ξ
(3.51)
înlocuind în ecuaţia (3.49) se obţine relaţia următoare: 4
∂ 2ψ ∂ ∂ψ = 0 sau, =0 ∂η∂ξ ∂η ∂ ξ
(3.52)
∂ψ nu depinde deη fiind o funcţie arbitrară F(ξ) dependentă ∂ξ numai de variabila auxiliară ξ, prin urmare:
deci:
ψ = ∫ F ( ξ )d ξ + f1 (η )
(3.53)
f1 (η ) este o funcţie arbitrară de η, iar: f 2 (ξ ) = ∫ F (ξ )d ξ
(3.54)
este o funcţie arbitrară de ξ, deci, soluţia generală a ecuaţiei undelor unidimensionale este: ψ ( x, t ) = f1 (η ) + f 2 ( ξ ) = f1 ( x − ct ) + f 2 ( x + ct )
(3.55)
Funcţiile f1 şi f 2 fiind arbitrare există o infinitate de soluţii. Forma concretă a funcţiilor arbitrare f1 şi f 2 depinde de condiţiile iniţiale adică de geometria şi modul de oscilaţie a sursei şi de condiţiile la frontieră, adică de
62
limitările impuse de mediul înconjurător propagării undei f1 se numeşte unda directă sau progresivă care se propagă dinspre sursă, iar f2, unda regresivă sau indirectă care se propagă spre sursă. 3.3.2 Soluţia ecuaţiei undelor tridimensionale în cazul mediului omogen şi izotrop şi a sursei punctiforme. Unda sferică În cazul în care propagarea undei nu este limitată la o singură direcţie, ca în cazul propagării pe o coardă, elongaţia punctelor materiale ale mediului, la un moment t nu depinde doar de coordonata x, ci şi de coordonatele y şi z deci, unda se va propaga tridimensional şi ecuaţia undei va avea următoarea formă generală: ∆Ψ =
1 ∂2Ψ ∂2Ψ ∂2Ψ ∂2Ψ 1 ∂2Ψ sau + + = c 2 ∂t 2 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 c 2 ∂t 2
Dacă sursa este punctiformă şi mediul este omogen şi izotrop, suprafeţele de undă vor avea forma sferică. Acest lucru se justifică foarte simplu prin faptul că, în acest caz, propagarea se face în toate direcţiile în mod identic. Ţinând cont de simetria sferică a problemei este comod să trecem de la coordonatele carteziene la coordonatele sferice: r , ϕ, θ ca în fig. 3.9 x = r sinθcosϕ; y = r sinθsinϕ; z = r cosθ
Fig. 3.9
În coordonate sferice expresia operatorului Laplace va fi: ∆Ψ ( r , ϕ ,θ ) =
1 ∂ ( rΨ r ∂r 2 2
)+
1 ∂ ∂ψ sin θ 2 r sin θ ∂θ ∂θ
1 ∂ 2ψ + r 2 sin 2 θ ∂ϕ 2
(3.56)
În cazul mediului omogen şi izotrop, elongaţia nu poate să depindă de ϕ, θ ∂Ψ ∂Ψ (comportamentul undei este acelaşi în toate direcţiile) deci, =0 =0 ∂θ ∂ϕ Prin urmare, din laplaceian nu rămâne decât componenta radială:
63
1 ∂ ( rψ r ∂r 2 2
∆ rψ =
)
(3.57)
Deci, ecuaţia undelor sferice se reduce la următoarea formă: 1 ∂2 1 ∂ 2ψ ψ = r ( ) r ∂r 2 c 2 ∂t 2
(3.58)
dar la un moment t, are o valoare constantă deci, poate fi introdusă în derivată din al doilea membru: 1 ∂2 ∂2 r Ψ = ( ) ( rΨ ) ∂r 2 c 2 ∂t 2
(3.59)
Notând F = rΨ , ecuaţia devine: 1 ∂2F ∂2F = ∂r 2 c 2 ∂t 2
(3.60)
Se observă că această ecuaţie diferenţială are aceeaşi formă ca şi ecuaţia unidimensională a undelor, a cărei soluţie a fost deja dedusă ca având următoarea formă.: F = f1 ( r − ct ) + f 2 ( r + ct )
(3.61)
deci, ecuaţia elongaţiei este următoarea: ψ (r,t ) =
1 f1 ( r − ct ) + f 2 ( r + ct ) r
(3.62)
În concluzie, se constată că amplitudinea undei sferice scade cu distanţa. Această afirmaţie poate fi demonstrată şi pe cale energetică, în felul următor: energia emisă de sursă într-o perioadă, se răspândeşte într-un volum crescător. Dacă distanţa de la sursă este mare energia emisă într-o perioadă este cuprinsă într-un volum cuprins între două sfere cu razele r şi r + λ. Deci: V=
4π (r + λ )3 − 4π r 3 = 4π (r 3 + 3r 2 λ + 3rλ2 + λ3 − r 3 ) 3 3 3
(3.63)
dar, λ << r deci, λ2 şi λ 3 ≈ 0 , de unde V = 4 πr 2 λ . Notând cu W energia emisă într-o perioadă, densitatea de energie va fi: w=
W 4π r 2 λ
(3.64)
deci, ea scade cu r2. Energia unui oscilator armonic este proporţională cu A2, conform relaţiei:
64
W =
kA 2 2
(k = m ω ) 2 0
(3.65)
deci, amplitudinea scade proporţional cu distanţa de la sursă. Argumentele funcţiilor f1 şi f2 sunt Φ = r ± ct , se numesc faza undei (progresive respective regresive), iar suprafaţa pentru care toate punctele au aceeaşi fază, constantă, se numeşte suprafaţă de fază. Dacă se notează cu Φ 0 valoarea constantă a fazei, ecuaţia suprafeţei de fază corespunzătoare va fi următoarea: r = Φ 0 m ct
(3.66)
explicitând modulul vectorului de poziţie şi ridicând relaţia obţinută la pătrat, se găseşte relaţia: x 2 + y 2 + z 2 = ( Φ 0 m ct )
2
(3.67)
Aceasta este ecuaţia unei sfere cu raza R ( t ) = Φ 0 m ct .crescătoare în timp cu viteza c. Prin urmare, constanta c cu dimensiuni de viteză care apare în ecuaţia undelor, este viteza cu care se deplasează suprafaţa de fază. Din acest motiv ea se numeşte viteză de fază. Se observă că semnul inferior (+) din expresia razei (3.67) corespunde funcţiei f1 din expresia elongaţiei, (3.61) prin urmare, aceasta are raza crescătoare şi deci, se depărtează de sursă, reprezentând o undă progresivă. Pe baza unui raţionament analog se trage concluzia că f 2 , din expresia elongaţiei (3.61) are raza descrescătoare în timp şi deci, se apropie de sursă, reprezentând o undă regresivă. 3.3.3 Aproximaţia de unda plană, neatenuată În aplicaţiile practice, dacă distanţa de la sursă la observator este mult mai mare decât lungimea de undă, iar domeniul D în care se face observaţia este mult mai mic decât această distanţă, curbura suprafeţei de faza sferice se poate neglija. În acest caz, suprafaţa de undă sferică devine aproximativ o suprafaţă plană (fig. 3.10). În această aproximaţie unda se va numi undă plană. În acest caz, în domeniul D, distanţa r de la sursă nu prezintă variaţii importante, deci din relaţia (3.61) rezultă că amplitudinea nu scade cu distanţa, ea rămâne constantă.
65
Fig. 3.10
În figura (3.10), arcele de cerc reprezintă intersecţii ale suprafeţelor de fază cu planul desenului, iar segmentul vertical, intersecţia unui plan tangent la acest suprafeţe cu acelaşi plan al figurii. Se remarcă faptul că în domeniul restrâns D diferenţa dintre arcul de cerc şi segmentul de dreaptă este foarte mică. Eroarea scade odată cu creşterea distanţei de la sursă. 3.3.4 Unda armonică plană S-a constatat că orice oscilaţie poate fi considerată ca o suprapunere de oscilaţii armonice, deci de o mare importanţă este studierea undelor provocate de oscilatori armonici în medii omogene şi izotrope. Dacă sursa execută oscilaţii armonice, funcţiile f1 şi f2 vor fi tot funcţii armonice şi unda se va numi undă armonică plană. Se va numi undă armonică plană o undă armonică studiată într-un domeniu restrâns, la o mare distanţă de sursă. 3.3.4.1 Ecuaţia undei armonice plane Se consideră o undă armonică plană, pornită dintr-o sursă aflată în origine. r Direcţia de propagare a undei este definită de versorul u . Se va deduce ecuaţia r elongaţiei produsă de undă, într-un punct P definit de vectorul de poziţie r , ca în figura 3.11 (pentru a nu complica desenul, în această figură s–a făcut doar o reprezentare în planul xoy, şi din acest motiv suprafeţele de fază vor fi reprezentate prin segmente perpendiculare pe direcţia de propagare).
66
Fig. 3.11
Considerând că sursa oscilează armonic, elongaţia oscilaţiei sale este dată de relaţia: ψ ( 0, t ) = A cos ωt
(3.68)
Punctul P începe să oscileze în momentul în care este atins prima oara de frontul de undă, adică, întârziat faţă de oscilaţia sursei cu timpul τ necesar frontului de undă să străbată distanţa OM: τ=
OM OP cos (α 2 − α1 ) r cos (α 2 − α1 ) = = c c c
(3.69)
Ecuaţia elongaţiei oscilaţiei în P va fi: r cos (α 2 − α1 ) rω cos (α 2 − α1 ) r ψ ( r , t ) = A cos ω (t − ) = A cos(ωt − ) (3.70) c c
înlocuind în (3.70) forma explicită a pulsaţiei, rezultă: 2π r cos (α 2 − α1 ) r ψ ( r , t ) = A cos(ωt − ) Tc
(3.71)
se introduce mărimea fizică denumită număr de undă, prin relaţia: k=
2π 2π = Tc λ
(3.72)
Se introduce vectorul, numit vector de undă, care are modulul egal cu numărul de undă k şi are direcţia şi sensul de propagare al undei: r 2π r (3.73) k= u λ Se observă că produsul scalar dintre vectorul de poziţie a punctului P şi vectorul de undă se poate exprima în modul următor:
67
2π r cos (α 2 − α1 ) λ
rr = kr cos (α 2 − α1 ) = kr
(3.74)
Prin urmare, ecuaţia elongaţiei oscilaţiei în P va fi următoarea. rr r ψ ( r , t ) = A cos(ω t − kr )
(3.75)
Această ecuaţie este denumită ecuaţia undei armonice plane sau ecuaţia undei monocromatice plane. Utilizând scrierea cu mărimi complexa, ecuaţia va lua următoarea formă: rr r i (ω t − kr ) Ψ (r , t ) = Ae
(3.76)
Suprafeţele de fază vor fi plane paralele între ele, orientate perpendicular pe direcţia de propagare 3.4 Energia transportată de undele elastice longitudinale. Intensitatea undei elastice Particulele constituente ale unui mediu elastic prin care se propagă o undă, execută oscilaţii deci, devin oscilatori elementari care au fiecare energie. Suma acestor energii, pe întreg mediul este energia transportată de undă în acel mediu. Se va considera un mediu elastic liniar, nemărginit de densitate ρ , prin care se propagă o undă armonică longitudinală Această undă se propagă radial, pornind dintr-o sursă punctiformă. Se consideră decupat din acest mediu, un element de volum cilindric, de volum ∆V. Acest element de volum are masa ∆ m , axa orientată paralel cu direcţia de propagare şi este suficient de departe de sursă pentru ca unda să poată fi considerată ca fiind plană. De asemenea, elementul de volum este suficient de mic, pentru ca variaţiile elongaţiei cu coordonata şi viteza de oscilaţie să poată fi considerate ca fiind constante de-a lungul lui. (fig. 3.12). Particulele mediului vor oscila sub acţiunea undei şi vor avea în fiecare moment energie cinetică şi potenţială elastică ∆Ec, respectiv ∆Ep.
Fig. 3.12
68
Energia cinetică a elementului este dată de expresia: ∆mv 2 ρ∆V ∂ψ ∆Ec = = 2 2 ∂t
2
(3.77)
Datorită deformării elastice, a elementului de mediu, aceasta va avea energia potenţială elastică dată de relaţia următoare: k ( ∆ψ ) ∆E p = 2
2
(3.78)
∆Ψ este deformarea produsă de undă în elementul de volum ∆V şi lungime ∆x şi k constanta elastică a elementului cilindric de mediu. Pentru a afla constanta k, se pleacă de la ecuaţia legii lui Hooke: F ∆ψ =E S ∆x
sau F =
SE ⋅ ∆ψ ∆x
(3.79)
deci, constanta elastică echivalentă a elementului cilindric este: k=
SE ∆x
(3.80)
de unde se deduce pentru energia potenţială elastică a elementului de mediu: ∆E p =
SE 2 ⋅ ( ∆ψ ) 2 ∆x
(3.81)
Pentru a calcula deformarea ∆Ψ a elementului, se dezvoltă funcţia elongaţie în serie Mc.Laurin şi se face următoarea diferenţă: ∆ψ = ψ ( x2 ) −ψ ( x1 ) = ψ ( 0 ) +
∂ψ ∂ψ 1 ∂ 2ψ 2 1 ∂ 2ψ 2 x2 + x + ... − ψ 0 + x + x1 + ... ( ) 2 1 ∂x 2 ∂x 2 ∂x 2 ∂x 2 (3.82)
S-a admis că variaţia elongaţiei cu coordonata este o constantă ∂Ψ ( =constant), deci: ∂x ∆ψ =
∂ψ ∆x ∂x
(3.83)
Înlocuind (3.83) în (3.81) rezultă pentru energia potenţială expresia următoare: SE ∂Ψ 2 ∆E p = (∆x ) 2∆x ∂x 2
(3.84)
69
Introducând volumul elementului, expresia (3.84) ia forma: E ∂ψ ∆E p = ∆V 2 ∂x 2
(3.85)
Dacă se ia în considerare şi expresia vitezei de fază a undei longitudinale (3.21), expresia energiei de oscilaţie a elementului de mediu este următoarea: ρ ∂ψ 2 ρ c 2 ∂ψ 2 ∆E = ∆E c + ∆ E p = + ∆V 2 ∂x 2 ∂t
(3.86)
Foarte utilă în rezolvarea diferitelor probleme este mărimea numită densitate de energie. Densitatea de energie este energia adusă de undă în unitatea de volum şi se exprimă matematic prin următoarea relaţie de definiţie: w=
∆E ∆V
(3.87)
din relaţiile (3.86) şi (3.87) rezultă expresia densităţii de energie a undei elastice: 2 2 ρ ∂ψ 2 ∂ψ w = +c 2 ∂t ∂x
(3.88)
Considerând unda ca fiind armonică plană, descrisă de relaţia x ψ ( x, t ) = A cos (ω t − kx ) = A cos ω t − şi înlocuind-o în relaţia (3.88) se c obţine pentru densitatea de energie expresia: ωx w = ρω2 A2sin2 ωt − c
(3.89)
Se observă că această densitate de energie depinde de distanţa de la sursă a elementului ∆V şi diferă, de la moment la moment, prin intermediul funcţiei x sin2 ω t − , în fiecare moment densitatea de energie având o altă valoare. c Receptorii obişnuiţi nu pot sesiza decât media pe un interval oarecare de timp a acestei densităţi de energie şi din acest motiv, se va calcula în continuare media într-o perioadă a densităţii de energie. Medierea va fi simbolizată prin introducerea mărimii mediate într-o paranteză ascuţită. ωx w = ρω 2 A 2 sin 2 ω t − c
(3.90)
70
deci media în timp a densităţii de energie va fi determinată de media în timp a funcţiei sin 2 (ωt − kx ) . Se va calcula deci, media într-o perioadă a acestei funcţii: T
T
1 1 = ∫ sin 2 ( ω t − kx ) dt = sin 2 ( ωt − kx ) d (ω t − kx ) (3.91) ∫ T 0 ωT 0 2
=
2π
1 sin 2 (ωt-kx)d(ωt-kx) ∫ 2π 0
(3.92)
Notând: ωt-kx = α
(3.93) 2π
sin 2 α =
1 sin 2 α dα 2π ∫0
sin 2 α =
1 1 1 1 1 1 (3.95) dα − cos 2αdα = α − sin 2α = ∫ ∫ 2π 0 2 4π 0 4π 0 8π 2 0
2π
(3.94) 4π
2π
4π
deci, valoarea medie a densităţii de energie va fi: w =
1 1 2 ρω 2 A2 = ρ vmax 2 2
(3.96)
Deci, mediul în care se propagă unda elastică posedă în plus o energie datorată propagării undei. Amplitudinea interacţiunilor dintre diferite sisteme fizice nu depinde atât de mărimea energiei care intervine în interacţiune, cât de rapiditatea cu care are loc transferul de energie, deci de puterea care intervine în proces. Puterea dezvoltată într-un proces de propagare ondulatorie este caracterizată de o mărime specifică fenomenelor de transport (transport de energie, de masă, de căldură ,sarcină electrică, etc.) denumită flux şi care se defineşte ca fiind cantitatea transportată în unitatea de timp printr-o suprafaţă. Fluxul de energie a undei este definit ca fiind energia transportată de undă în unitatea de timp printr-o suprafaţă. Φ=
dE dt
(3.97)
În majoritatea situaţiilor întâlnite în practică, capacitatea undei de a interacţiona cu diferite sisteme fizice este caracterizată cantitativ de mărimea numită intensitatea undei. Intensitatea undei se defineşte ca fiind energia transportată de undă în unitatea de timp, prin unitatea de arie a suprafeţei orientate perpendicular pe direcţia de propagare a undei.
71
I=
∆E ∆S n ∆t
(3.98)
Energia medie transportată de undă prin elementul de mediu este: ∆E = 〈 w〉∆ V = 〈 w〉 S n ∆x I=
w ∆x∆S n ∆S n ∆t
(3.98) (3.99)
∆x reprezintă viteza de fază a undei deci, relaţia ∆t (3.99) va lua următoarea formă:
Valoarea raportului
I=
w c ∆t = w c ∆t
(3.100)
Deci I reprezintă densitatea superficială de putere. Înlocuind densitatea medie de energie cu expresia (3.96) calculată anterior, expresia intensităţii undei este: I=
1 ρc ω 2 A 2 2
(3.101)
Intensitatea undei depinde de proprietăţile oscilaţiei care se propagă prin mediu în cadrul procesului ondulatoriu prin mărimile ω şi A, dar şi de ale mediului prin constantele ρ şi c. Produsul constantelor de material ρ şi c, se numeşte impedanţa elastică a mediului. Z = ρc
(3.102)
Sensul său fizic după cum o arată şi numele este o rezistenţă complexă a mediului la propagarea undei. Notând cu Vmax = ω A valoarea maximă a vitezei de oscilaţie a elementelor de mediu, intensitatea unde mai poate fi exprimată şi prin relaţia următoare. I=
1 1 2 Z ω 2 A2 = ZVmax 2 2
(3.103)
3.5 Reflexia şi refracţia undelor elastice Dacă o undă elastică interacţionează cu suprafaţa de separaţie dintre două medii cu impedanţe elastice diferite, o parte din undă se va reflecta întorcându-se în mediul din care provine, iar o parte se transmite în al doilea mediu, schimbându-şi direcţia de propagare adică, se refractă. Se va considera un front îngust de undă armonică plană (o rază de undă) pe care o vom denumi rază incidentă care cade într-un punct de incidenţă I, pe suprafaţa de separaţie dintre
72
două medii cu impedanţe elastice Z1, respectiv Z2 şi cu vitezele de fază c1, respectiv c2. Se va nota cu Ai amplitudinea undei incidente, cu Ar amplitudinea undei reflectate şi cu At amplitudinea undei transmise (refractate). De asemenea, se va nota cu i (unghi de incidenţă) unghiul făcut de direcţia de propagare a razei de undă cu normala la suprafaţa de separaţie în punctul de incidenţă I, cu i ' unghiul direcţiei de propagare a razei reflectate cu aceeaşi normală şi cu r unghiul format de raza refractată cu normala. Se consideră că raza incidentă plecată dintr-un punct A, ajunge în I după v v v v direcţia vectorului ri , raza având vectorul de undă k i (la fel ri ; ki pentru raza v v reflectată şi r2 ; k 2 pentru raza reflectată).Versorii celor trei direcţii de propagare r r r sunt ξ i , ξ r , ξt , ca în fig. 3.13. '
'
Fig. 3.13
Se scriu în punctul I ecuaţia undelor, armonice plane (monocromatice). vv ψ i ( ri ) = Ai cos(ω i t − k i ri )
(3.104)
vv ψ r ( ri ) = Ar cos(ωi' t − ki' ri' )
(3.105)
vv ψ t ( ri ) = At cos(ω r t − k r ri )
(3.106)
Vectorul v de poziţie a punctului de incidenţă I este: v ri = xi
(3.107)
73
Se înlocuieşte relaţia (3.107) în relaţiile (3.104), (3.105) şi (3.106) se explicitează versorii direcţiilor de propagare şi se obţin pentru elongaţiile oscilaţiilor celor trei raze următoarele relaţii: v v v 2π v v 2π ς i ri ) = Ai cos ωit − (− cos ij + sin ii ) xi = λi λi vv v v 2π = Ai cos(ωi t − sin i),...(ii = 1, ij = 0) λi
ψ i (ri ) = Ai cos(ωit −
ψ r ( ri ) = Ar cos(ωr t −
v v v 2π v v 2π ς r ri ) = Ar cos ωr t − cos i ' j + cos i 'i ) x0 i = λr λr
2π x = Ar cos(ωr t − sin i ' ) λr
ψ t (ri ) = At cos(ωt t −
v v v 2π v v 2π ς i ri ) = At cos ωt t − (sin ri − cos rj ) xi = λt λt
2π = At cos(ωt t − sin r ) λt
(3.108)
(3.109)
(3.110)
Pe suprafaţa de separaţie particulele mediului oscilează de o parte şi de alta a acesteia cu aceeaşi elongaţie. Această condiţie numită condiţia de continuitate presupune că la limita suprafeţei de separaţie, elongaţia oscilaţiei rezultante în mediul din care provine unda (deasupra suprafeţei de separaţie) să fie egală cu elongaţia oscilaţiei produse de undă în mediul în care aceasta trece (sub suprafaţa de separaţie). Din această condiţie de continuitate rezultă: ψ i +ψ r = ψ t
(3.111)
Înlocuind în această condiţie expresiile celor trei elongaţii, (3.108), (3.109) şi (3.110) rezultă: 2π 2π 2π Ai cos ωi − x sin i + Ar cos(ωi ' t − x sin i ' ) = At (ω r t − x sin r ) λi λ i' λr
(3.112)
Această egalitate trebuie să fie adevărată pentru orice t şi orice x, ceea ce implică următoarele egalităţi: ωi t −
2π 2π 2π x sin i = ω i' t − x sin i ' = ω r t − x sin r λi λ i' λr
(3.113)
74
Această egalitate este satisfăcută doar dacă sunt satisfăcute următoarele egalităţi: ω i = ωi′ = ω r
(3.114)
ceea ce arată că pulsaţia, perioada şi frecvenţa undei nu se schimbă prin reflexie şi refracţie şi: 2 πx 2 πx 2 πx sin i = sin i ′ = sin r λi λ i′ λr
(3.115)
Această relaţie se reduce la alte trei relaţii după cum urmează: sin i sin i ′ = λi λ i′
(3.116)
sin i λ i ; = sin i ′ λ i′
(3.117)
sin i ciT = sin i , ci, T
(3.118)
dar, cum prin reflexie unda se întoarce în mediul din care provine, c i = c i′ deci şi sin i = sin i’ sau i = i‘, ceea ce duce la cunoscuta lege a reflexiei. „Unghiul de incidenţă este egal cu unghiul de reflexie”. Din egalitatea (3.115), se mai obţine: sin i sin r = λi λr
(3.119)
sin i λ i ci T = = sin r λ r ct T
(3.120)
de unde rezultă expresia matematică a legii refracţiei: sin i ci = sin r ct
(3.121)
având următorul enunţ: „raportul dintre sinusul unghiului de incidenţă şi sinusul unghiului de refracţie este egal cu raportul vitezelor de propagare a undei în cele două medii (Legea Snell-Descartes)“. De mare importanţă practică (în acustică şi hidroacustică) este cunoaşterea intensităţilor undei reflectate şi a celei transmise. Se definesc: „coeficientul de reflexie” R ca fiind raportul dintre intensitatea undei reflectate şi intensitatea undei incidente,
75
R=
I i′ Ii
(3.122)
şi „coeficientul de transmisie T ca fiind raportul dintre intensitatea undei transmise şi intensitatea undei incidente: T =
Ir Ii
(3.123)
În continuare, se vor calcula aceşti coeficienţi în cazul incidenţei normale (i = 0). În condiţiile existenţei egalităţii (3.113), condiţia de continuitate se reduce la următoarea formă: Ai+Ar = At
(3.124)
Legea conservării energiei impune ca intensitatea undei incidente să fie egală cu suma intensităţilor undelor reflectate şi refractate: I i = I i′ + I r
(3.125)
Înlocuind în relaţia (3.125), expresia intensităţii din (3.103), rezultă: 1 1 1 z i ω2 Ai2 = z i ω2 Ar2 + z r ω 2 At2 2 2 2
(3.126)
sau: Z i Ai2 = Z i A r2 + Z r At2
(3.127)
Din relaţiile (3.125) şi (3.127) se formează un sistem din care rezultă Ar şi At după cum urmează. Ai + Ar = At 2 2 2 z i ( Ai − Ar ) = z t At
(3.128)
Ai + Ar = At z i ( Ai − Ar ) = z r At
(3.129)
Zi Ai + Zi Ar = Zi At
(3.130)
Zi Ai – Zi Ar = Zr At
(3.131)
2Zi Ai = (Zi+Zr)At
(3.132)
deci, amplitudinea undei refractate (transmise) este dată de relaţia:
76
At =
2 z i Ai zi + zr
(3.133)
iar amplitudinea undei reflectate este dată de relaţia care urmează: Ar =
zi − z r ⋅ Ai zi + z r
(3.134)
Se vede că, dacă Ai > 0 şi zi > zr, după reflexie, amplitudinea undei îşi schimbă semnul deci, se defazează cu π, ceea ce echivalează cu pierderea unei jumătăţi de lungime de undă din drumul parcurs, cum se vede în figura 3.14.
a)
b) Fig. 3.14
Intensitatea undei depinde direct proporţional de pătratul amplitudinii deci, înlocuind în expresia intensităţii undei reflectate amplitudinea acesteia din relaţia (3.134), rezultă amplitudinea undei reflectate: z −z I r = Ii i r zi + zr
2
(3.135)
şi, înlocuind în expresia intensităţii undei refractate amplitudinea acesteia din relaţia (3.133), rezultă că intensitatea undei refractate este: It = Ii
4 z1 z2
( zi + zr )
2
(3.136)
77
De unde se pot deduce coeficienţii de reflexie şi de transmisie după cum urmează: (z − z 2 )2 (3.137) R= i (z i + z 2 )2 şi: T=
4 zi zr
( zi + zr )
(3.138)
2
În funcţie de impedanţele acustice ale mediilor R şi T iau diferite valori. De exemplu, pentru apă-cauciuc R = 0,001 şi T = 0,999; din acest motiv, submarinele moderne sunt „îmbrăcate” cu cauciuc. Pentru interfaţa apă - gheaţă de asemenea, coeficientul de reflexie este destul de mic şi din acest motiv aisbergurile pot fi detectate cu greutate prin recepţia undelor ultrasonore reflectate pe ele (absorbţia selectivă care va fi analizată mai târziu, va modifica destul de mult lucrurile). 3.6 Reflexia totală Un caz aparte de reflexie a undelor este fenomenul de reflexie totală. Acest fenomen apare atunci când o undă, provenind dintr-un mediu în care viteza de propagare a undei este mai mică, interacţionează cu suprafaţa care o separă de un mediu în care viteza sa de propagare este mai mare ca în fig. 3.15.
Fig. 3.15
În acest caz, raza refractată se depărtează de normală pentru că v2 >v1 prin sin i v 1 legea refracţiei impune r > i = sin r v 2
78
Dacă se măreşte unghiul de incidenţă i, evident r creşte până când la un unghi de incidenţă i = l, numit unghi limită, la care unghiul de refracţie are π valoarea r = . 2 Dacă unghiul de incidenţă i creşte şi peste această limită, unda nu mai pătrunde în mediul 2, revine în mediul 1 cu respectarea legii reflexiei, ca în figura 3.16. Acest fenomen poartă numele de reflexie totală. π Unghiul limită se calculează uşor pentru că la limită, i = 1 deci r = , prin 2 urmare: v v (3.139) sin l = 1 ⇒ l = arcsin 1 v2 v2 Acest fenomen explică mai multe anomalii întâlnite în propagarea sunetelor şi ultrasunetelor. Sunetul emis de o perturbaţie puternică se propagă în toate direcţiile. Undele care se ridică în atmosferă suferă o refracţie care măreşte continuu unghiul de incidenţă. La o înălţime de 50-70 km, la limita superioară a stratosferei, unghiul de incidenţă devine atât de mare, încât are loc o reflexie totală şi unda revine pe pământ la o distanţă de 150-200 km de sursă.
Fig. 3.16
79
200 km Fig. 3.17
Unda directă la sol se propagă cel mult 30-50 km din cauza obstacolelor, neomogenităţilor, aberaţiei prin vânt, etc. Deci, între 50 şi 150 km este o zona de tăcere. Astfel se explică faptul că zgomotul unui bombardament nu se aude la 60 km, dar se aude la 200 km ca în figura 3.17. 3.7 Principiul lui Huygens Pentru a explica unele fenomene legate de propagarea undelor, astronomul şi fizicianul olandez Christian Huygens (1690) a postulat următorul principiu: „undele care se propagă în afara unei suprafeţe închise Σ , care cuprinde în interiorul ei sursa, sunt identice ca efect cu undele care s-ar obţine suprimând sursa şi înlocuind-o cu surse elementare repartizate în mod convenabil pe suprafaţa Σ ”.(Fig. 3.18) Deci, toate punctele din mediu atinse de undă pot fi considerate ca fiind surse elementare de undă.
Fig. 3.18
Într-un mediu omogen şi izotrop frontul de undă este o sferă. Fiecare punct de pe aceasta sferă devine, la rândul său, sursă elementară. Înfăşurătoarea undelor provocate de aceste unde secundare vor crea un nou front de undă ca în fig. 3.19.
80
Fig. 3.19
În cazul undelor plane, principiul lui Huygens duce la apariţia unui front de undă plan. In secolul al XIX-lea Fresnel a completat principiu lui Huygens cu afirmatia urmatoare: Toate sursele secundare de pe o suprafata de faza oscileaza in faza, deci ele constituie surse coerente şi razele produse de ele produc interferente. 3.8 Difracţia undelor elastice Prin definiţie, difracţia este fenomenul fizic de ocolire aparentă de către undă a obstacolelor. Fenomenul este cu atât mai evident, cu cât obstacolele sau, fantele întâlnite de undă au dimensiuni mai apropiate de undă. Se întâlnesc doua tipuri de difracţie: - difracţia undelor sferice – provenite dintr-o sursa punctiformă, difracţia se mai numeşte difracţia undelor apropiate (difracţia Fresnel); - difracţia razelor paralele – care formează unde plane. Se numeşte difracţia undelor îndepărtate (difracţia Fraunhoffer). Fenomenul este destul de uşor explicabil cu ajutorul principiului lui Huygens. Dacă fanta are lăţimea AB mult mai mare ca lungimea de undă, se observă că pe frontul de undă AB din fantă “încap” foarte multe centre secundare de oscilaţii care vor reface un front de undă, având divergenţa redusă. Cea mai mare partea energiei transportate de undă se regăseşte într-un fascicul care se propagă perpendicular pe fantă. Reprezentarea grafică a intensităţii în acest fascicul are o formă de lob alungit şi este denumită lobul principal al diagramei de directivitate al fantei. Pătrunderea undei în zona de umbră este neglijabilă. Intensitatea undei în această regiune este reprezentată printr-o infinitate de lobi de directivitate secundari. (Fig. 3.20) Dacă însă fanta are dimensiuni foarte mici AB ≈ λ , în zona AB se va găsi un singur centru oscilator care va produce unde sferice care pătrund în zona de umbră. Apare o abatere de la propagarea în linie dreaptă, deci o ocolire aparentă a marginilor fantei. Micşorarea lărgimii fantei face ca această ocolire să devină mai pronunţată (Fig. 3.21 a.,b.).
81
Fenomenul se observă şi în bazinele portuare când, datorită difracţiei, valurile pătrund în bazine, ocolind digurile care limitează pasele. Lob secundar
Lob principal
Lob secundar Fig. 3.20
a.
b. Fig. 3.21
3.9 Interferenţa undelor elastice Dacă două unde provenite de la două surse punctiforme diferite se întâlnesc, ele se vor suprapune, iar oscilaţiile produse individual de fiecare se vor compune. Fenomenul de suprapunere şi compunere a două unde într-un punct al câmpului de unde se numeşte interferenţă. Regiunea în care are loc fenomenul de interferenţă staţionară este numit câmp de interferenţă. Se va presupune că într-un mediu elastic exista două surse S1 şi S2 care oscilează armonic, dând naştere la unde. Fiecare punct al mediului va fi supus acţiunii oscilaţiei armonice provocate de fiecare undă în parte în fig. 3.22.
82
Fig.3.22
În continuare, se va deduce ecuaţia de oscilaţie a unui punct M oarecare din câmpul de unde. Punctul M este situat la distanţa r1 de S1 şi la r2 de S2. Ecuaţiile celor două elongaţii sunt: x1 = A1cos( ω t + ϕ 01) x2 = A2cos( ω t + ϕ 02), cele două oscilaţii având aceeaşi pulsaţie, dar amplitudini şi faze iniţiale diferite. Cele două oscilaţii vor produce unde ale căror ecuaţii în punctul M vor fi: x1M = A1cos( ω t + ϕ 01 −
2 πr1 ) λ
(3.140)
şi respectiv: x2M = A2cos( ω t + ϕ 02 − 2 πr2 ) λ
(3.141)
Se aplică pentru punctul M principiul suprapunerii micilor mişcări care se enunţă în felul următor: efectul suprapunerii a două mici mişcări într-un punct este dat de suma efectelor mişcărilor individuale, adică: xM = x1M + x2M sau: xM = A1cos( ω t + ϕ 01 −
2 πr1 2 πr2 ) + A 2cos ( ω t + ϕ 02 − ) λ λ
(3.142)
Ecuaţia de oscilaţie a punctului M va fi dată de: xM = Acos( ω t + ϕ ) unde A este rezultanta compunerii amplitudinilor componente după formula cunoscută:
83
A=
A12 + A12 + 2 A1 A2 cos(ϕ 01 −
2πr1 2 πr2 − ϕ 02 + ) λ λ
2πr1 2π ) + A2 sin( ϕ 02 − 2 ) λ λ ϕ = arctg 2π 1 2π A1 cos( ϕ 01 − ) + A2 cos( ϕ 02 − 2 ) λ λ
(3.143)
A1 (ϕ 01 −
(3.144)
Dacă ϕ 01 + ϕ 02 = constant, se spune despre cele două unde că sunt coerente şi amplitudinea de oscilaţie a punctului M este constantă în timp. În acest caz, interferenţa este staţionară. Fără a afecta generalitatea problemei, pentru a reduce numărul de calcule, se va alege cazul particular ϕ 01= ϕ 02; atunci: A = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos
2π ( r2 − r1 ) λ
(3.145)
unde diferenţa distanţelor de la surse la punctul considerat, r2 − r1 se numeşte diferenţă de drum. 2π Se remarcă faptul că dacă cos (r2 − r1 ) = 1 , amplitudinea oscilaţiei λ punctului M va avea un maxim numit maxim de interferenţă, iar pentru 2π cos ( r2 − r1 ) = −1 un minim de interferenţă. Condiţia de maxim este satisfăcută λ dacă: 2π ( r2 − r1 ) = 2 kπ λ
(3.146)
deci, se produc maxime de interferenţă dacă diferenţa de drum este un multiplu întreg de lungimi de undă, un multiplu par de semilungimi de undă: r2 − r1 = kλ = 2k
λ 2
(3.147)
şi condiţia de minim: r2 − r1 = ( 2 k + 1)
λ 2
(3.148)
deci, se produc minime de interferenţă, dacă diferenţa de drum este un multiplu, un multiplu impar de semilungimi de undă. Locul geometric al punctelor care oscilează cu aceeaşi amplitudine se numeşte franjă de interferenţă (A = constant). O valoare constantă a amplitudinii
84
implică, conform relaţiei (3.////), o valoare constantă a diferenţei de drum, deci ecuaţia franjei va fi (pentru λ = constant): r2 − r1 = constant
(3.149)
Această ecuaţie reprezintă în spaţiu un hiperboloid de rotaţie cu două pânze având axa S1S2 drept axă de simetrie. (Fig. 3.23).
Fig. 3.23
Dând diferite valori lui k, se obţine o familie de hiperboloizi. În plan, hiperboloizii se vor reduce la o familie de hiperbole ca în fig.3.24:
Fig. 3.24
Fenomenul se întâlneşte în toate domeniile unde se produc fenomene ondulatorii (inclusiv pentru unde electromagnetice). Fenomenele de interferenţă ale valurilor în zonele închise (bazine, lacuri, mări închise) produc valuri specifice de interferenţă care dau multe efecte neplăcute în navigaţie. 3.10 Unde staţionare prin reflexie Se va considera un mediu de propagare unidimensional de lungime l şi impedanţă elastică, având un capăt în contact un suport fix şi rigid de impedanţă elastică Z2 (o coardă, tub sonor, ghid de undă, etc). Dacă se perturbă acest mediu (se va considera o perturbaţie armonică), pe ea se va propaga o undă care va ajunge la capătul fixat unde se va reflecta. (Fig. 3.25) Pe acest mediu de propagare unidimensional se vor întâlni două unde, una progresivă dinspre sursă şi una
85
regresivă spre sursă. Între cele două unde apare un fenomen de interferenţă staţionară pentru că ele sunt coerente (diferenţa de fază este constantă).
Fig. 3.25
Se pot distinge două cazuri: a) când Z 2 al suportului este mai mare decât Z 1 a corzii, unda se va reflecta inversându-şi faza cu π ; b) când Z 2 < Z 1 reflexia se face fără inversare de fază. Se va studia în continuare amplitudinea de oscilaţie a punctului M situat la distanta x de capătul terminal A: a) Z 2 > Z 1 . Se admite că nu are loc disipare de energie, deci unda reflectată are aceeaşi amplitudine ca şi unda incidentă: A(x) =
a 2 + a 2 + 2 aa cos
2π λ (l + x − l + x − ) λ 2
(3.150)
Unda reflectată parcurge drumul SA + SM = l + x şi cea reflectată SM = l − x ; în plus, datorită reflexiei pe un mediu cu impedanţa mai mare, are loc un salt de fază unda reflectată parcurgând un drum echivalent mai scurt cu λ 2 , deci: 1 + cos
A(x) = 2a
2π λ (2 x − ) λ 2 = 2a cos π ( 2 x − λ ) 2 λ 2
(3.151)
Se observă că A(x) nu depinde de timp, deci va fi staţionar, dar depinde de x prin funcţia cos ceea ce va face ca A(x) să aibă maxime numite ventre şi minime numite noduri. Poziţia punctelor în care se formează ventre ( AM = 2a) este aceea în care este satisfăcută condiţia: π λ cos ( 2 x − ) = ±1 λ 2
(3.152)
această condiţie se îndeplineşte dacă argumentul este multiplu întreg de π.
86
π λ ( 2 x − ) = nπ 2 λ
(3.153)
de unde rezultă: xv =
λ 1 ( n + ) n = 0,1,… 2 2
(3.154)
deci, se vor forma două ventre la: n = 0, x =
λ 3λ 5λ ; n = 1, x1 = ; etc. ; n = 2, x 2 = 4 4 4
λ . 2 Poziţia nodurilor ( AM = 0) este aceea care satisface condiţia de anulare a amplitudinii.
distanţa dintre două ventre fiind
π λ cos ( 2 x − ) = 0 λ 2
(3.155)
de unde rezultă: xn =
λ ( n + 1) 2
(3.156)
Se observă că între două noduri se formează un ventru, figurile formate având aspectul de fus (Fig. 3.26).
Fig. 3.26
b) Dacă Z 2 < Z1 ,nu mai are loc reflexie cu schimbare de fază deci, λ termenul − din diferenţa de drum dispare. 2 Refăcând calculele de la punctul a) se constată că ventrele se vor forma în locul nodurilor de la punctul a) însă aspectul general nu se va schimba cu nimic.
87
Acelaşi fenomen se produce şi la propagarea undelor bidimensionale pe membrane sau plăci limitate sau în cazul undelor tridimensionale, în spaţii limitate. În primul caz, nodurile se vor aranja după mai multe curbe numite curbe nodale, iar în cazul undelor tridimensionale se vor aranja pe nişte suprafeţe unde elongaţia punctelor este nulă şi care se numesc suprafeţe nodale. 3.11 Absorbţia undelor elastice Experienţa arată că, ori de câte ori o undă elastică se propagă într-un mediu, amplitudinea undei scade. Explicaţia acestui fenomen este preluarea energiei transportată de undă de către mediu, şi transformarea acesteia în alte forme de energie (în principal în căldură) datorită frecărilor interne şi a disipării acesteia prin intermediul conductibilităţii şi a radiaţiei termice. În timpul propagării undei printr-un mediu, particulele care constituie mediul execută oscilaţii forţate. Aceste oscilaţii se fac cu consum de energie deci, energia transportată de undă în unitatea de timp prin unitatea de suprafaţa scade. Se va considera un strat absorbant de lungime L, în care pătrunde o undă cu intensitatea Io, la adâncimea x în material, intensitatea a scăzut la valoarea I(x) (Fig. 3.27). Va fi studiată în continuare legea de scădere a intensităţii undei într-un mediu, lege numită şi legea fenomenologică a absorbţiei. dx
I0
I-dI
I(x)
x x l Fig. 3.27
Se consideră o porţiune dintr-un mediu de grosime l în care intră o undă cu intensitatea I0 . Variaţia intensităţii pe porţiunea infinitezimală dx va fi: I − dI − I = dI
(3.157)
88
Această variaţie depinde direct proporţional de lărgimea stratului dx căci cu cât stratul este mai larg, cu atât unda va întâlni mai multe particule care absorb energie. De asemenea, d I depinde direct proporţional şi de intensitatea I a undei căci cu cât aceasta este mai mare, energia cedată particulelor mediului este mai mare. Deci, se poate scrie proporţionalitatea: − dI ~ Idx
(3.158)
pentru a transforma proporţionalitatea în egalitate se introduce un factor de proporţionalitate numit coeficient de absorbţie: dI = −µ I dx sau
dI = −µ dx I
(3.159)
Această ecuaţie se integrează între limitele impuse de problemă: l dI = − µ ∫I0 I ∫0 dx I
(3.160)
Deci: ln I
I I0
= −µ x
l 0
(3.161)
sau: ln
I I = − µ l sau = e− µ l I0 I0
(3.162)
de unde rezultă expresia matematică a legii absorbţiei. I = I0e− µ l
(3.163)
Această relaţie exprimă legea fenomenologică a absorbţiei undelor, care se numeşte legea lui Lambert. Coeficientul de absorbţie are formă destul de complicată (pentru fluide). Efectele principale care contribuie la absorbţie sunt frecările interne (vâscozitate) şi conductivitate termică. Primele contribuie la μ cu un termen μv şi a doua cu un termen μc deci: µ = µv + µc
unde: µv =
2 ω2 η 3 ρc 3
η este coeficientul de vâscozitate şi ρ densitatea mediului,
(3.164)
89
iar: µc =
unde, γ =
ω2 γ − 1 k 2 δc 3 γ C v
(3.165)
Cp
şi k reprezintă coeficientul de conductivitate termică. Cv Se vede că μ depinde atât de undă (de pulsaţie), dar şi de mediu. Înlocuind constantele de mediu, coeficienţii de absorbţie pentru aer şi apă sunt următorii. µ cm = 2,38 ⋅ 10 − 4
1 λ2
(3.166)
1 λ2
(3.167)
şi: µ apa = 5,26 ⋅ 10 6
pentru solide: µ≈
1 . λ
(3.168)
Se numeşte distanţă de înjumătăţire, distanţa după care intensitatea scade la jumătate. ln
1 = − µl1 2 2
(3.169)
deci: l1 2 =
ln 2 0,692 = µ µ
(3.170)
Un fenomen interesant este purificarea sunetului prin absorbţie. Armonicele au frecvenţa mai mare deci, sunt mai repede absorbite, la distanţă mare de la sursă dominantă fiind armonica fundamentală. În tabelul următor sunt înscrise valorile distanţei de înjumătăţire la diferite frecvenţe pentru aer şi apă: l1 2
Frecvenţa 435 Hz 10.000 Hz 50.000 Hz 100.000 Hz 1.000.000 Hz
Aer 100 km 179 km 7 km 1,7 km 0,17 km
Apă 190.000 km 340 km 136 km 3,4 km 34 km
90
La frecvenţe foarte mari, relaţiile date pentru μv şi μc nu mai sunt valabile, astfel că pentru unde ultrasonore între 130.000 Hz şi 400.000 Hz, μ măsurat este dublu. Fenomenul se explică prin oscilaţii de rezonanţă ale particulelor mediului. În cazul rezonanţei moleculelor mediului în care se propagă unda datorită faptului că amplitudinea de oscilaţie a moleculelor devine foarte mare, absorbţia de energie de la undă creşte foarte mult. De exemplu, la 3 MHz ultrasunetul este absorbit complet în aer, iar în CO2, deja la 1 MHz. 3.12 Dispersia undelor elastice. Formula lui Rayleigh. Viteza de fază a unei unde într-un mediu depinde de caracteristicile acelui mediu. Caracteristicile mediului depind de cele mai multe ori de frecvenţa oscilaţiilor provocate de undă. Prin urmare, viteza de fază a undei va depinde atât de natura mediului, cât şi de frecvenţa oscilaţiei. Dacă viteza de propagare a undei (de faza) depinde de frecvenţa mediului, acesta se numeşte mediu dispersiv. O sursa de unda oscilează, în general, într-un mod foarte complex. Peste oscilaţia fundamentală cu frecvenţa cea mai joasă se suprapun armonice cu frecvente ridicate. Din suprapunerea şi compunerea armonicilor şi a fundamentalei rezultă o distribuţie complexă a undei în spaţiu şi timp, distribuţie numită tren de undă. Ansamblul de unde cuprinse între două minime se numeşte grup de unde. Într-un mediu dispersiv, armonicile se propagă cu alte viteze decât fundamentala deci, grupul de undă format la un moment dat într-o regiune a spaţiului se va dispersa, refăcându-se eventual sub alta formă, în altă regiune. Viteza cu care s-a deplasat maximul grupului de undă se numeşte viteză de grup. Pentru a deduce într-un mod simplu relaţia dintre viteza de fază şi cea de grup, vom presupune că de-a lungul axei OX se propagă două unde cu lungimi de undă apropiate λ şi λ’ cu vitezele c < c’ şi cu amplitudinile a egale.
Fig. 3.28
91
Din suprapunerea celor doua unde va rezulta o undă rezultantă care formează maxime şi minime cu amplitudini între 2A şi 0. (Fig. 3.28). Locul unde se formează maximele, deci întregul grup, se deplasează cu viteza de grup. În continuare, se va calcula această viteză. Fie x1 si x2 elongaţiile punctelor produse de cele doua unde şi x elongaţia rezultantă. În conformitate cu principiul suprapunerii: x = x1 + x2
(3.171)
Cele două unde au pulsaţii şi lungimi de undă diferite: x1 = a1 cos(ω t − kx ) şi x2 = a 2 cos(ω 't − k ' x )
(3.172)
Are loc compunerea a două mişcări oscilante într-un punct şi ecuaţia elongaţiei rezultante este: x = A cos(
ω1 + ω2 t −ϕ) 2
(3.173)
unde ecuaţia amplitudinii rezultante este: A = a12 + a22 + 2 a1a2 cos (ω − ω ' )t − ( k − k ' ) x
(3.174)
Maximul amplitudinii grupului se produce atunci când este satisfăcută condiţia: cos (ω − ω ' )t − ( k − k ' ) x = 1
(3.175)
(ω − ω ' )t − (k − k ' ) x = 0
(3.176)
Considerând undele ca având pulsaţii şi numere de undă apropiate x cu care se deplasează maximul va fi ω = ω ' + d ω şi k = k ' + dk , viteza c g = t viteza de grup: x ω − ω ' dω cg = = = t dk k −k'
(3.177)
Viteza de grup se poate exprima în funcţie de viteza de fază şi de lungimea de undă, făcând următoarele calcule: cg =
d ω d (ck ) dc 2π de = =c+k =c+ dk dk dk λ d ( 2π ) λ
(3.178)
92
Deci, relaţia dintre viteza de fază şi viteza de grup va fi dată de următoarea relaţie: cg = c − λ
dc dλ
(3.179)
Relaţia dintre viteza de fază şi cea de grup poartă numele de formula lui Rayleigh. Viteza de grup reprezintă de fapt viteza cu care se propagă energia în medii nedisipative. 3.13 Efectul Doppler Fizicianul austriac Cristian Doppler, studiind comportamentul undelor, a constatat că frecvenţa undei recepţionate de un observator aflat în mişcare faţă de sursă este diferită de frecvenţa undei emise de aceasta. Acest fenomen se numeşte efect Doppler. Exemplele pot fi nenumărate: dacă un tren se apropie de observator fluierând, se remarcă scăderea frecvenţei în momentul depărtării acestuia; o navă care este în marş contra valurilor va întâlni valurile mai des, deci frecvenţa tangajului va fi mai mare decât la nava în repaus etc. Se va calcula în continuare frecvenţa undei v R înregistrată de un receptor R în mişcare relativă faţă de sursă. Pentru aceasta se va nota cu v S frecvenţa undei emise de sursă, ωS pulsaţia ei, c viteza de propagare a undei faţă de mediu şi cu vR viteza de deplasare a receptorului faţă de mediu. 3.13.1 Receptorul se depărtează de sursă cu viteza vR. Se consideră că la momentul t = 0 receptorul se află într-un punct de coordonată x faţă de un punct fix ales ca punct de referinţă: Conform ecuaţiei de transformare a lui Galilei, această coordonată este. x = x0 + v R t
(3.180)
Ecuaţia de oscilaţie a punctului receptor va fi: Ψ ( x, t ) = A cos(ω S t −
2 πx ) λ
(3.181)
sau: Ψ ( x, t ) = A cos(ωS t −
ωS x ) c
(3.182)
unde înlocuind pe x din (3.180) şi grupând termenii rezultă: ω x v Ψ ( x , t ) = A cos ω S (1 − R )t − 0 0 c c
(3.183)
93
Deci, pulsaţia recepţionată va fi exprimată de relaţia următoare: ω R = ω S (1 −
vR ) c
(3.184)
frecvenţa undei recepţionate este: v R = v S (1 −
vR ) c
(3.185)
deci, în acest caz, frecvenţa undei recepţionate de receptor este mai mică decât frecvenţa undei emise de sursă: vR < vS
3.13.2 Receptorul se apropie de sursă cu vR. În această situaţie, semnul vitezei se schimbă faţă de cazul anterior, având expresia: x = x0 − v R t
(3.186)
deci: v R = v S (1 +
vR ) c
(3.187)
frecvenţa undei recepţionate de receptor este mai mică decât frecvenţa undei emise de sursă v R > v S . 3.13.3 Receptorul este imobil, iar sursa se depărtează de el cu vS Unda se deplasează faţă de mediul elastic de propagare cu c, dar şi sursa se deplasează cu vS, deci viteza de deplasare a undei faţă de sursă va fi viteza relativă c + v S , iar distanţa momentană sursă – receptor va fi: (3.188) x = x0 + v St Deci: ω ( x + vSt ) Ψ ( x , t ) = A cos ω S t − S 0 c + vS
(3.189)
se grupează termenii şi se obţine expresia elongaţiei undei recepţionate: vS ω x Ψ ( x , t ) = A cos ω S (1 − )t + S 0 c + vS c + vS
(3.190)
94
De unde rezultă pulsaţia undei recepţionate: vS c sau ω R = ω S ω R = ω S (1 − ) sau ω R = ω S c + vS c + vS
1 v 1+ S c
(3.191)
şi frecvenţa acesteia: vR = vS
1 vR < vS vS 1+ c
(3.192)
3.13.4 Receptorul este imobil, iar sursa se apropie cu vS În acest caz: x = x0 − v S t
(3.194)
iar viteza relativă a undei este c − v S : refăcând în această premisă calculele anterioare, se vor deduce pentru pulsaţia şi frecvenţa undei recepţionate relaţiile următoare. ωR = ωS
1 v 1− S c
(3.195)
sau: vR = vS
1 v 1− S c
(3.196)
deci: vR < vS
3.13.5 Sursa şi receptorul se mişcă cu vS respectiv vR Expresia frecvenţei undei recepţionate se obţine generalizând cele patru relaţii pentru v R , vom obţine: vR = vS
c ± vR c ± vS
(3.197)
unde semnul + se ia pentru vR dacă observatorul se apropie de sursă, iar pentru vS când sursa se depărtează de receptor. Dacă sursa S şi receptorul R se deplasează pe direcţii diferite, în relaţie vor apare v 'R şi vS' adică proiecţiile lui vR şi vS pe direcţia SR ca în fig. 3.29.
95
VR
VS
α1
S
α2
Vs cos α1
VR cos α 2 R Fig. 3.29
π π şi α 2 = nu se observă efect Doppler la undele mecanice. 2 2 Undele electromagnetice prezintă particularitatea că se propagă cu viteza c invariantă faţă de toate sistemele de referinţă inerţiale şi nu au suport „substanţial“ prin care se propagă. Deci, efectul Doppler în acest caz poate să depindă doar de viteza relativă sursă – receptor. Se consideră un receptor R aflat în originea O a unui sistem de referinţă fix şi o sursă S care se deplasează pe axa OX cu viteza v constantă faţă de receptor. Sursa emite pe o direcţie care formează unghiul θ cu OX o undă electromagnetică având pulsaţia ω ' . Unda este observată de observatorul imobil ca având pulsaţia ω. determinată. (Fig. 3.30). Pentru a determina pulsaţia undei recepţionate, procedeele de calcul sunt similare celor utilizate anterior pentru undele elastice, dar în condiţiile undei care se propagă cu viteza luminii transformările lui Galilei îşi pierd valabilitatea, fiind înlocuite cu transformările relativiste a lui Lorenz. Astfel, se obţine pentru pulsaţia undei recepţionate următoarea expresie matematică:
Pentru α1 =
96
. Fig. 3.30
v 1 + cos θ c ω = ω' v2 1− 2 c
(3.198)
v2 v → 0 se obţin relaţiile clasice ω = ω' (1 ± ) , 2 c c Pulsaţia undei recepţionate este maximă atunci când cos θ = 1 sau, θ = 0
Pentru v << c ⇒
ωmax
v c = ω' v 1− c 1+
(3.199)
Pulsaţia undei recepţionate este minimă atunci când cos θ = −1 sau, θ = π ωmin
v c = ω' v 1+ c 1−
(3.200)
π Dacă unda este emisă perpendicular pe direcţia Ox , θ = , în cazul clasic 2 nu se remarcă existenţa efectului Doppler, pe când în cazul relativist din relaţia (3.198) se deduce existenţa unei diferenţe dintre pulsaţia undei emise şi aceleia recepţionate pe această direcţie: ω=
ω' v2 1− 2 c
(3.201)
Acest efect poartă numele de efect Doppler transversal, având aplicaţii importante în radiolocaţie în astrofizica.
97
3.16 Noţiuni de teoria valurilor Valurile constituie mişcări ondulatorii care apar la suprafaţa şi în profunzimea unui lichid sub acţiunea diferitelor perturbaţii produse de vânt, mişcarea corpurilor cereşti (care produc mareele), cutremurele (valuri tsunami), mişcarea diferitelor corpuri prin lichid, etc. O tratare exhaustivă a teoriei valurilor nu este posibilă în acest curs pentru că necesită cunoştinţe profunde de hidrodinamică şi matematici speciale. Când o undă se deplasează în lichid, fiecare element al lichidului este scos din poziţia de echilibru atât pe verticală, cât şi pe orizontală. În consecinţă, vor apare în masa de lichid forţe care vor tinde să readucă elementele de lichid în poziţia de echilibru. Aceste forţe se datorează greutăţii (presiunii hidrostatice) şi forţelor de tensiune superficială. Mişcarea particulelor de lichid se compune dintr-o mişcare verticală şi una orizontală (ambele oscilatorii cu amplitudini diferite) care se compun imprimând particulelor traiectorii eliptice. La fundul apei amplitudinea mişcării verticale devine nulă, mişcarea făcându-se pe orizontală, iar la suprafaţă cele două amplitudini sunt egale, traiectoriile fiind circulare.
Fig. 3.31
Această construcţie arată că forma suprafeţei de undă nu este sinusoidă, crestele fiind mai ascuţite decât văile. Se poate deduce că viteza de fază este dată de relaţia: c2 = (
gλ 2πσ 2πh + )th 2π gλ λ
(3.202)
unde: g = acceleraţia gravitaţională σ = coeficient de tensiune superficială ρ = densitatea lichidului λ = lungimea de undă h = adâncimea apei Pentru λ < h undele sunt de suprafaţă; dacă predomină doar primul termen, undele se numesc unde marine. cm =
gλ 2π
(3.203)
98
dacă se exprimă lungimea de undă cu ajutorul perioadei de oscilaţie, λ = cT , atunci viteza undelor marine este dată de relaţia următoare: cm =
gT 2π
(3.204)
pentru o perioadă de T = 10 s, cm = 56 km / h, si λ = 156 m Pentru λ << h predomină termenul al doilea, valurile numindu-se unde capilare (încreţituri). c=
2πσ ρλ
(3.205)
Undele de suprafaţă având viteza dependentă de λ prezintă evident c fenomenul de dispersie. Pentru undele marine c g = (dispersie normală), iar 2 3 pentru vasele capilare c g = c (dispersie anomală). 2 3.17 Noţiuni de acustică şi ultraacustică Undele acustice sunt unde elastice produse de un corp care oscilează într-un mediu elastic. Corpul oscilant se numeşte sursă sonoră. Undele acustice fiind recepţionate de un organ auditiv, produc senzaţii auditive numite sunete. Clasificarea undelor se face în funcţie de frecvenţă. Undele sonore care au frecvenţa cuprinsă între 16-20.000 Hz produc senzaţia de sunet şi se numesc sunete. Dacă frecvenţa lor depăşeşte 20.000Hz urechea umană nu recepţionează senzaţia de sunet (eventual, la intensităţi mari pot provoca dureri); în acest caz, se numesc ultrasunete. Dacă frecvenţa lor este mai mică de 16 Hz nu se mai produc senzaţii auditive şi se numesc infrasunete. Spaţiul în care se face simţită prezenţa sunetelor se numeşte câmp sonor (acustic). 3.17.1 Caracteristicile sunetelor Înălţimea. Se remarcă obiectiv faptul că sunetele pot fi mai ascuţite sau mai grave. Această calitate este determinată în mod obiectiv de frecvenţa sunetului. Cu cât aceasta este mai mare, cu atât sunetul este mai înalt. S-a observat că două sunete simultane produc o senzaţie plăcută doar dacă ele formează un acord sau, cu alte cuvinte, frecvenţele lor se află într-un raport bine determinat. Sunetele folosite în muzică au fost grupate după înălţimea lor, în game muzicale. Studiul gamelor muzicale este de domeniul acusticii muzicale şi depăşeşte domeniul acestui curs. Timbrul sunetului. Sursa sonoră este un corp care oscilează în general într-un mod foarte complex, apărând, în afară de sunetul fundamental, şi armonice
99
care-l însoţesc. Suprapunerea dintre sunetul fundamental şi armonice conferă sunetului (senzaţiei) o proprietate specială numită timbru. Fiecare sursă sonoră (sau voce umană) au un alt timbru care îl face să fie recunoscut. Intensitatea sunetului. Sunetul fiind o undă elastică va transporta în unitatea de timp, prin unitatea de suprafaţă, o energie pe care am numit-o intensitatea undei; deci, sunetul va avea o intensitate (densitate de putere) dată de formula dedusă anterior: I=
1 Zω2 A 2 2
Dacă se consideră unda (monocromatică), ecuaţia ei este:
(3.206) acustică,
ca
fiind
armonică
x ψ ( x , t ) = A cos ω t − c
plană
(3.207)
viteza de oscilaţie a particulelor mediului străbătut de unda acustică este: v ( x, t ) =
dψ x = −ω A sin ω (t − ) dt c
(3.208)
ωA = v max reprezintă valoarea maximă a vitezei de oscilaţie a particulelor. Intensitatea sunetului va fi:
I=
1 2 Zv max 2
(3.209)
Unda acustică, prin propagarea sa prin mediu, provoacă deformări ale elementelor acestuia, generând forţe elastice care, acţionând pe unitatea de suprafaţă, produc o presiune numită presiune sonoră. Se va deduce în continuare expresia acestei presiuni sonore: p=
dF dS
(3.210)
Considerând că s-a decupat din mediu un element cilindric de lungime infinit mică, dx, care este deformat de unda acustică cu o elongaţie infinitezimală dψ , conform legii lui Hooke, se poate scrie expresia: dF dψ =E dS dx
(3.211)
în consecinţă, expresia presiunii va fi: p=E
d x Eω A x A cos ω(t − ) = sin ω(t − ) dx c c c
(3.212)
100
unde valoarea maximă a presiunii este: p max =
Eω A c
(3.213)
unda acustică fiind longitudinală unidimensională, dacă se neglijează deformările transversale, viteza sa satisface relaţia: E = ρ c2
(3.214)
deci valoarea maximă a presiunii sonore va fi: pmax =
ρ c 2ω A = ρ cv max c
(3.215)
de unde se deduce: pmax = ρ cv max = Zv max
(3.216)
deci valoarea vitezei maxime de oscilaţie a particulelor mediului este dată de relaţia: v max =
p max . Z
(3.217)
Înlocuind în ecuaţia intensităţii se obţine expresia matematică a acesteia: I=
2 1 p max 2 Z
(3.218)
Nivelul sonor. Urechea umană este un aparat care transformă energia transportată de undă în alte forme de energie, care în creier produc senzaţia de sunet (traductor spectroscopic). Ea are o sensibilitate şi în domeniul de percepere a intensităţilor excepţionale. Intensitatea minimă percepută se numeşte nivel sonor inferior având valoarea I 0 = 10 − 12 W / m 2 , iar intensitatea maximă la care apare senzaţia de durere I = 10 2 W / m 2 se numeşte nivel maxim sau prag dureros. Legea Weber-Fechner. S-a observat experimental că la toţi traductorii fiziologici mărimea variaţiei senzaţiei creşte proporţional cu creşterea variaţiei intensităţii şi scade direct proporţional cu mărirea intensităţii şi depinde şi de frecvenţă. Dacă se notează cu ∆ S variaţia senzaţiei, cu ∆I variaţia intensităţii, cu I 0 intensitatea corespunzătoare nivelului minim şi cu I intensitatea, din considerentele experimentale de mai sus, se poate scrie următoarea relaţie de proporţionalitate: ∆S ~
∆I I
(3.219)
101
Această relaţie de proporţionalitate se transformă într-o egalitate introducând un factor de proporţionalitate k(v) care este funcţie de capacitatea traductorului de a selecta frecvenţele. Mărimea k(v) este denumită constanta de sensibilitate spectrală şi, în cazul urechii umane, are valoare nulă pentru toate frecvenţele mai mici decât 16 Hz şi mai mari decât 20 kHz. Introducând constanta de sensibilitate spectrală în relaţia (3.219), rezultă: ∆S = k ( v )
∆I I
(3.220)
această relaţie trecută la limită ia următoarea formă: dS = k (v)
dI I
(3.221)
Această se integrează de la intensitatea nivelului minim I I 0 = 10 − 12 W / m 2 la care nivelul senzaţiei auditive este S0, la o intensitate oarecare I, la care nivelul senzaţiei auditive este S. S
I
dI I I0
∫ dS = k (v) ∫
S0
(3.222)
În urma integrării rezultă relaţia: I (3.223) S − S 0 = k (v ) ln I0 Această expresie matematică exprimă legea Weber-Fecher, care se mai poate scrie şi în felul următor: S − S 0 = k ' (v ) lg
I I0
(3.224)
Se defineşte nivelul de intensitate sonoră L a unei unde acustice ca fiind logaritmul raportului dintre intensitatea (densitatea de putere) a acelei unde acustice şi intensitatea corespunzătoare nivelului minim I 0 = 10 − 12 W / m 2 : Dacă se utilizează logaritmul zecimal, nivelul de intensitate sonoră se exprimă în Bell (de regulă în decibelli dB). L = lg
I I0
(dB)
(3.225)
Dacă pentru definirea nivelului de intensitate sonoră se utilizează logaritmul natural, nivelul de intensitate sonoră se exprimă în Neper (Np).
102
L = ln
I I0
(Np)
(3.226)
Se utilizează scările logaritmice datorită faptului că lărgimea domeniului de intensităţi percepute este foarte mare. Dacă se normează k ' (v ) = 10 pentru v = 1 kHz , relaţia: S ( I , v ) = 10 lg
I (v) I 0 (v )
(3.227)
va defini nivelul intensităţii auditive sau tăria sunetului exprimată în phoni. Deci, tăria sunetului exprimată în phoni este egală cu nivelul sonor exprimat în decibeli al sunetului de referinţă de 1 kHz, care produce aceeaşi intensitate a senzaţiei auditive (pragul auditiv inferior este 0 phoni, iar pragul dureros la 140 phoni). 3.18 Ultrasunetele Ultrasunetele, după cum s-a mai arătat, sunt unde mecanice cu frecvenţe mai mari decât 20 kHz, atingându-se frecvenţe de ordinul 10 GHz ( 10 10 Hz ). 1 Intensitatea undei fiind dată de relaţia I = Zω2 A 2 , este de remarcat că, 2 deşi amplitudinea de regulă este destul de mică, intensitatea totuşi va fi mare datorită valorilor foarte mari ale pulsaţiei (se ating în mod curent ~105 W/m cu p max ~ 10 atm ). Studiul ultrasunetelor prezintă o importanţă deosebită datorită efectelor pe care le produc în mediile pe care le traversează şi datorită multitudinii de aplicaţii tehnice. Un fenomen foarte interesant produs de ultrasunete le care traversează un lichid este cavitaţia care apare atunci când intensitatea undelor este foarte mare. În semiperioadele de destindere se produce o rupere microscopică a lichidului, formând cavităţi locale, care se umplu cu vapori ai lichidului şi cu gaze dizolvate. În momentele de comprimare bulele formate se comprimă producând efecte termice şi electrice deosebite, presiunea ridicându-se la câteva mii de atmosfere. Cavitaţia are efecte distructive asupra materialului solid supus zonei de cavitaţie, dar tocmai această proprietate este folosită pentru prelucrarea materialelor foarte dure, cu ajutorul ultrasunetelor. Datorită lungimii de undă foarte mici, ultrasunetele pot fi uşor dirijate. Directivitatea unei surse de undă este proprietatea sa de a emite unde într-o anumită direcţie. De exemplu, o placă circulară oscilantă emite cea mai mare parte a energiei într-un domeniu, ca în fig. 3.32:
103
Fig. 3.32
Se observă că, cu cât λ este mai mic, cu atât sin α este mai mic, deci energia se concentrează într-un fascicul mai îngust. Directivitatea se poate îmbunătăţi punând surse în focarul unei oglinzi acustice cu diametrul mare. Ultrasunetele, ca şi orice undă, se refractă şi se reflectă, coeficientul de reflexie şi de transmisie depinzând de impedanţele acustice ale mediilor. Absorbţia ultrasunetelor este destul de puternică datorită faptului că coeficientul de absorbţie depinde de ω3 , deci se utilizează cu precădere în mediul lichid şi solid. Ultrasunetele au efecte foarte interesante asupra suspensiilor coloidale, putând contribui la formarea lor. Datorită acestor proprietăţi, ultrasunetele au un câmp foarte larg de aplicaţii. 3.18.1 Producerea ultrasunetelor Ultrasunetele sunt produse provocând în mediul de propagare oscilaţii cu frecvenţă corespunzătoare. Pentru început, ultrasunetele au fost produse folosind diapazoane foarte mici, diferite sirene sau aşa numitul fluier Galton. Se pot produce ultrasunete în aer sau lichide dielectrice provocând oscilaţia unui arc electric. Aceste metode nu prezintă decât interes istoric. În momentul de faţă se utilizează traductoare (elemente vibratoare) electrodinamice, magnetostrictive şi piezoelectrice. Traductoarele electrodinamice sunt de fapt mici difuzoare de o construcţie specială (protejate de contactul cu mediul lichid). Alimentate cu un curent sinusoidal, având o frecvenţă corespunzătoare, vor produce oscilaţii care se transmit mediului. Se pot utiliza doar la frecvenţe mici. Traductoarele magnetostrictive se bazează pe fenomenul de magnetostricţiune, care constă în variaţia dimensiunilor geometrice ale unei baze din material feromagnetic atunci când el este supus unor câmpuri magnetice variabile. Deformarea relativă este dată de: ∆l γ =− B l E
(3.228)
104
unde: B este inducţia câmpului magnetic; γ este constanta de magnetostricţiune; E este modulul lui Young. Pentru a lucra pe o porţiune mai abruptă a curbei ∆l (B) , bara este premagnetizată. Lungimea este astfel aleasă încât traductorul să fie la rezonanţă. Traductoare piezoelectrice. Fenomenul de piezoelectricitate constă în modificarea dimensiunilor unei plăci de cristal supuse unui câmp electric. Cristalul de grosime are două feţe argintate. Aceste feţe constituie electrozi de contact cu un generator electronic de înaltă frecvenţă, care produce un câmp electric variabil intens în cristal. Cristalul se va comprima sau dilata în funcţie de sensul câmpului. Vibraţiile cristalului vor fi transmise mediului prin care se vor propaga unde având frecvenţa acestor vibraţii .(fig.3.33a)
e
Fig. 3.33 a
Se calculează în aşa fel grosimea încât să formeze două ventre la margini, λ c deci e = . Dacă c este viteza de propagare a undei prin placă, atunci e = , deci 2 2v c , ca în figura 3.33 b. frecvenţa pe care vibrează plăcuţa este v = 2e
e
Fig. 3.33 b
105
3.18.2 Propagarea ultrasunetelor în mediul marin şi utilizări în marină În navigaţie, ultrasunetele se utilizează pentru determinarea adâncimii cu ajutorul undei ultrasonice, detectarea obstacolelor aflate în apă etc. Pentru aceasta se vor discuta câteva lucruri despre propagarea ultrasunetelor în mediul marin. Evident, legile generale cărora li se supune propagarea ultrasunetelor în mediul marin sunt cele de reflexie, refracţie, difracţie, absorbţie ale undelor, dar va trebui să se ţină seama de faptul că mediul marin este un mediu complex care nu poate fi considerat perfect izotrop şi omogen. În primul rând, viteza de propagare a sunetului în apa de mare depinde de mai mulţi factori locali. Unii autori folosesc următoarea expresie empirică: c = 1480 + 4,21t – 0,037t 2 + 0,0175 h + 1,14 s
(3.229)
unde: t este temperatura locală; h este adâncimea locului de propagare; s este salinitatea apei (în g/l). Fenomenele de reflexie şi refracţie sunt influenţate foarte mult de existenţa curenţilor care au altă temperatură decât mediul. În acest caz, sursa de apă va avea altă densitate, iar c se va modifica, deci impedanţa acustică Z = ρ c va fi modificată. Ultrasunetele, întâlnind astfel de mase de apă, se vor reflecta. În unele situaţii, datorită condiţiilor locale, se formează la adâncime un strat de impedanţă acustică mult modificată, care la anumite unghiuri de incidenţă produce o reflexie totală a undei. Acest strat se numeşte strat de inversiune. Un submarin care se găseşte sub acest strat, devine foarte greu detectabil prin mijloace hidroacustice. Procese complexe de reflexie şi refracţie apar pe zonele în care există aglomerări de bule de gaz datorate descompunerilor de substanţe organice de pe fundul apei. Bancurile de peşti dau, de asemenea, reflexii puternice permiţând detectarea lor de către pescadoare.
4. Termodinamică şi fizică moleculară 4.1 Sistem termodinamic 4.1.1 Obiectul termodinamicii Termodinamica a apărut în secolul al XIX-lea ca urmare a studiilor efectuate, pentru a stabili condiţiile optime de funcţionare a maşinilor termice. În momentul actual termodinamica nu se limitează doar la studiul fenomenelor termice, căci metodele ei foarte generale pot fi utilizate ori de câte ori avem de studiat sisteme în care intervine mişcarea continuă şi dezordonată a unui număr foarte mare de particule, mişcare numită mişcare termică. Termodinamica clasică studiază sistemele aflate în stare de echilibru şi trecerile de la o stare de echilibru termic la altă stare de echilibru termic. Acest studiu se face pe baza unor postulate şi pe baza a trei principii şi a cunoaşterii experimentale a unor constante de material. În termodinamică nu se face apel la structura microscopică, moleculară, atomică a sistemului studiat, deci termodinamica are un caracter fenomenologic. În cadrul termodinamicii se stabilesc relaţii între mărimi direct observabile, adică între mărimi măsurabile în experienţe macroscopice, cum ar fi volumul, presiunea, temperatura, concentraţia soluţiilor, intensitatea câmpului electric şi magnetic, etc. Astfel, studiul diverselor procese din termodinamică nu impune cunoaşterea mecanismului fenomenelor ce conduc la procesele respective. 4.1.2 Sistem termodinamic, stare, parametrii de stare Termodinamica operează cu o serie de noţiuni şi mărimi, cu ajutorul cărora se defineşte orice proces sau fenomen termic. Una dintre acestea este noţiunea de sistem termodinamic. Prin sistem fizic, în general, se înţelege o porţiune de univers. Sistemele fizice pot fi alcătuite numai din substanţă, din câmp sau din combinaţii ale acestora. Un sistem termodinamic se defineşte ca fiind un ansamblu de corpuri delimitate printr-o barieră oarecare de mediul înconjurător. Dimensiunile spaţiale şi temporale ale acestui sistem trebuie să permită efectuarea unor măsurători pentru a se putea obţine informaţii despre el. Sistemele termodinamice pot fi izolate, adică fără o interacţiune cu mediul, închise, adică există interacţiune cu mediul fără a exista schimb de substanţă şi deschise, când există şi schimb de substanţă. Un sistem termodinamic la un moment dat are anumite proprietăţi, totalitatea acestor proprietăţi, la un moment dat, definind starea sistemului. Starea sistemului poate fi caracterizată, la un moment, de un număr finit de parametrii măsurabili numiţi parametrii de stare. Ei reprezintă valorile instantanee ale mărimilor fizice ce caracterizează atât sistemul considerat, cât şi interacţiunile dintre sistem şi alte sisteme din mediul înconjurător. Aceştia se împart în parametri externi, care caracterizează poziţia corpurilor exterioare şi parametri
107
interni, care caracterizează mişcarea şi distribuţia internă a componentelor sistemului. Alegerea unor mărimi sau altora ca parametri de stare este o mai mult o problemă de convenţie. De exemplu pentru caracterizarea stării unui fluid sunt utilizaţi ca şi parametri de stare, presiunea şi volumul, mărimi definite şi utilizate în cadrul mecanicii fluidelor şi din acest motiv ei sunt numiţi parametri mecanici. Dintre parametri mecanici, unii, cum este de exemplu presiunea, depind de forţele exercitate din exterior asupra fluidului şi se numesc parametri de forţă. Alţi parametri mecanici, unii cum este volumul depind de poziţia sistemelor înconjurătoare şi se numesc parametri de poziţie. Singurul parametru care nu poate fi definit decât în cadrul termodinamicii este temperatura. Starea de echilibru este termodinamic este starea în care parametrii care caracterizează sistemul în starea de echilibru termodinamic se numesc parametri termodinamici. Parametri termodinamici pot fi extensivi care depind de numărul de componente ale sistemului şi intensivi care nu depind de numărul de componente. În cazul în care unii din parametri de stare se modifică spunem că are loc un proces termodinamic. Aceasta se caracterizează prin trecerea sistemului din starea iniţială de echilibru în cea finală printr-o succesiune continuă de stări intermediare. Într-un proces termodinamic, unii din parametri de stare ai sistemului, suferă variaţii în timp. Stările intermediare ale unui sistem pot să fie sau să nu fie stări de echilibru. Procesele termodinamice se pot desfăşura în aşa fel încât stările intermediare pot fi aproximate ca fiind stări de echilibru, în tot cursul procesului şi în acest caz sunt numite cvasistatice (de echilibru) şi, procese nestatice, pentru care stările intermediare ale sistemului nu pot fi complet caracterizate din punct de vedere al termodinamicii. Procesele termodinamice pot fi reversibile, adică atunci când revenirea din starea iniţială în starea finală se face fără ca sistemul sau corpurile cu care vine în contact să sufere o variaţie a stărilor lor. Procesele care nu satisfac această cerinţă se numesc ireversibile. În natură, toate procesele sunt ireversibile, ele putând doar să se apropie mai mult sau mai puţin de procesele reversibile. Procesele ireversibile sunt guvernate de ecuaţii care îşi modifică forma atunci când în ele se schimbă semnul timpului. De exemplu, transportul de căldură este un proces ireversibil. Procesele pot fi ciclice când starea iniţială coincide cu starea finală şi neciclice când starea iniţială diferă de starea finală. 4.1.3 Postulatele termodinamicii 4.1.3.1 Postulatul lui Boltzman Dacă un sistem termodinamic este scos din starea de echilibru şi se izolează de mediul înconjurător, atunci el revine de la sine în starea de echilibru în care se menţine dacă nu suferă o acţiune externă.
108
Procesul de revenire în starea de echilibru se numeşte relaxare. Abateri spontane de la echilibru există în orice sistem şi se numesc fluctuaţii, dar pe măsură ce numărul componentelor sistemului creşte, experienţa arată că nivelul fluctuaţiilor scade. Deci, postulatul lui Boltzman constituie o restricţie în sensul că termodinamica poate opera numai cu sisteme cu număr mare de componente. 4.1.3.2 Postulatul al II-lea Acest postulat se mai numeşte şi postulatul tranzitivităţii echilibrului termodinamic. Să considerăm 2 sisteme termodinamice A şi B aflate în stare de echilibru termodinamic şi să le punem în contact termic. Se constată experimental că în acest caz cele două sisteme ori rămân în continuare în stare de echilibru, ori echilibrul iniţial se strică, iar după un timp de relaxare oarecare sistemele ajung la o nouă stare de echilibru după ce între sisteme a avut loc un schimb de energie. De asemenea, se constată experimental că dacă un sistem A se află în echilibru cu sistemele B şi C se află în echilibru între ele. Această proprietate se numeşte tranzitivitatea echilibrului termodinamic. Principiul 0 al termodinamicii Se remarcă din cele arătate mai sus că starea de echilibru este determinată, în afară de parametri externi, şi de un parametru intern care are aceeaşi valoare pentru toate sistemele aflate în echilibru termodinamic. Iniţial, sistemele A şi B erau izolate de mediul înconjurător, dar stările lor difereau prin ceva. Acest ceva a ajuns la aceeaşi valoare după un timp prin transfer energetic. Acest parametru intern, care împreună cu parametrii externi caracterizează starea de echilibru, se numeşte temperatură empirică şi, întrucât caracterizează o stare de echilibru, este o mărime de stare. Deci, putem enunţa următorul postulat: „Există parametrul intern numit temperatură empirică cu următoarea proprietate: într-un sistem izolat format din mai multe corpuri, condiţia necesară şi suficientă de echilibru este ca temperatura empirică să aibă aceeaşi valoare pentru toate corpurile.“ Temperatura mai mare o are corpul de la care căldura se scurge spre un corp cu temperatură mai mică. Temperatura caracterizează starea de mişcare a componentelor sistemului. 4.1.3.3 Ecuaţii de stare Parametrii de stare nu sunt independenţi, legătura dintre ei se exprimă prin una sau mai multe relaţii matematice numite ecuaţii de stare. În general, ecuaţiile de stare nu poate fi deduse în cadrul termodinamicii. Pentru deducerea lor sunt necesare consideraţii experimentale sau, în unele cazuri, ele se pot deduce pe cale statistică (de exemplu, teoria cinetico-moleculară). În cazul unui fluid, parametrul intensiv cel mai des utilizat este presiunea p, iar parametrul extensiv cel mai utilizat este volumul V. Pentru a caracteriza
109
starea sistemului este necesară precizarea temperaturii T şi a cantităţii de substanţă exprimată prin numărul de moli (kilomoli în S.I.) ν. Pentru un fluid ecuaţia de stare este: f ( p, V , T ) = 0
(4.1)
Explicitând produsul pV, după dezvoltarea în serie se obţine relaţia: A (T ) B (T ) C (T ) pV = υ RT 1 + + + + ... 2 3 V V V
(4.2)
A se numeşte primul coeficient de virial, B este al doilea coeficient de virial, C al treilea coeficient de virial etc.. Dacă coeficienţii de virial sunt nuli ecuaţia de stare ia forma cunoscută a ecuaţiei de stare a gazului ideal. pV = υ RT
(4.3)
R =8314,34 J/kmol K este constanta universală a gazului ideal. Din această ecuaţie se deduce temperatura şi din acest motiv este denumită ecuaţie termică de stare. Dacă parametrii de stare sunt notaţi cu x,y,z,. Ecuaţia de stare ia forma: f ( x, y , z ) = 0
(4.4)
Din diferenţiala acestei ecuaţii se pot deduce un set de relaţii utile în practică: ∂f ∂f ∂f df = dx + dy + dz = 0 ∂x y , z ∂z x , y ∂y x , z
(4.5)
Dacă un proces termodinamic are loc în aşa fel încât un parametru nu se modifică, transformarea care are loc este numită transformare simplă. Dacă z=constant., dz=0 şi rezultă: ∂f ∂f ∂x dx + ∂y dy = 0 y x
(4.6)
sau: ∂f ∂x y ∂y ∂x = − ∂f z ∂y x
(4.7)
110
În mod identic se pot deduce şi următoarele două relaţii: ∂f ∂x ∂z x = − ∂f ∂z y ∂x z
(4.8)
şi: ∂f ∂z y ∂y = − ∂f ∂z x ∂y z
(4.9)
Se observă că între cele trei derivate ale parametrilor de stare există următoarea relaţie. ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂x = −1 z x y
(4.10)
În cazul particular a unui kmol de gaz ideal: f ( p ,V , T ) = pV − RT = 0
(4.11)
df = Vdp + pdV + RdT = 0
(4.12)
Dacă temperatura este constantă, transformarea este izotermă şi dT=0: prin urmare rezultă: p ∂p =− V ∂V T
(4.13)
Dacă volumul este constant, transformarea este izocoră şi dV=0, prin urmare rezultă: R ∂p =− V ∂T V
(4.14)
Dacă presiunea este constantă, transformarea este izobară şi dp=0: prin urmare rezultă: R ∂V ∂T = − p p
(4.15)
111
Se observă că este satisfăcută relaţia dedusă anterior pentru cazul general: ∂p ∂T ∂V p V R ∂V ∂p ∂T = − V − R − p = −1 T p V
(4.16)
4.1.3.4 Coeficienţi termodinamici Derivatele parţiale din relaţiile anterioare se pot interpreta foarte simplu şi reprezintă coeficienţii termodinamici ai corpurilor. Relaţiile dintre aceşti coeficienţi permit obţinerea unor legături între mărimi fizice care pot fi deduse experimental, fără a cunoaşte forma explicita a ecuaţiei de stare. În multe probleme aplicative, prezintă interes următorii coeficienţi termodinamici. 1.Coeficientul termic de dilatare în volum: γ =
1 ∂V V0 ∂T p
(4.17)
2. Coeficientul termic al presiunii: β=
1 ∂p p0 ∂T V
(4.19)
3. Coeficientul de comprimare izotermă: k=−
1 ∂V V0 ∂p T
(4.19)
Dacă se ţine cont de relaţia (4.10) rezultă: 1 1 ∂ V ∂T ∂ p − = −1 = γ V0 β p0 kV0 ∂T p ∂p V ∂V T
(4.20)
deci, între aceşti coeficienţi se stabileşte relaţia următoare: γ = β p0 k
(4.21)
4.2 Măsurarea temperaturii 4.2.1 Termometrul S-a arătat că pentru a măsura o mărime se fizică face o comparaţie între valoarea mărimii respective şi o valoare de acelaşi fel luată ca unitate de măsură. O asemenea definiţie nu poate fi utilizată în cazul temperaturii, deci se foloseşte altă metodă. Pentru a măsura temperatura, se foloseşte un alt sistem termodinamic care se pune în contact cu cel a cărui temperatură se măsoară, realizându-se echilibrul termodinamic. Acest al doilea sistem termodinamic folosit pentru măsurarea temperaturii se numeşte termometru. Termometrul fiind în contact cu
112
corpul va avea aceeaşi temperatură la echilibru. Se ştie că proprietăţile corpurilor variază cu temperatura. Se alege o mărime caracteristică termometrului folosit care are o valoare bine determinată de temperatura de echilibru, numită mărime termometrică şi se stabileşte o dependenţă între valoarea mărimii termometrice şi temperatură. Stabilirea acestei dependenţe se numeşte stabilirea scării termometrice. Pentru stabilirea acesteia se alege un interval de temperatură între două stări perfect reproductibile de temperatură a unui corp oarecare şi se măsoară valoarea mărimii termometrice în aceste stări, atribuindu-i valori de temperatură arbitrare. Se împarte intervalul într-un număr arbitrar de diviziuni numite grade şi se obţine astfel o scară termometrică. 4.2.2 Scări termometrice Scările de temperatură utilizate în momentul de faţă sunt scara Celsius şi scara absolută (Kelvin). 4.2.2.1 Scara CELSIUS (sau scara centigradă) Foloseşte ca repere termometrice temperatura starii de echilibru între gheaţă şi apă la presiune normală a cărei temperatură o notează cu 00C şi temperatura stării de fierbere a apei distilate (pure) la aceeaşi presiune a cărei temperatură o notează cu 1000C. Intervalul dintre aceste două temperaturi se împarte într-o sută de părţi egale, găsindu-se 100 diviziuni numite grade Celsius (0C). 4.2.2.2 Scara KELVIN (scara standard de temperatură) Foloseşte ca reper termodinamic pentru 0K temperatura de 0 absolut la care presiunea şi volumul unui gaz ideal devin 0 şi la care mişcarea moleculară încetează (această temperatură nu poate fi atinsă). Al doilea reper termometric este temperatura de topire a gheţii sub presiunea propriilor vapori (punctul triplu) pe care o notează cu 273,16 K. Intervalul se împarte în 273,16 părţi, obţinându-se 273,16 diviziuni. O astfel de diviziune se numeşte Kelvin. Temperatura exprimată pe scara Kelvin se notează cu T, iar temperatura exprimată în grade Celsius cu t. Mărimea gradului Celsius este egală cu 1 K deci: T = t + 273,15
(4.22)
0
0,1 C este temperatura punctului triplu al apei. 4.3 Primul principiu al termodinamicii 4.3.1 Energia internă Un sistem termodinamic este alcătuit dintr-un număr foarte mare de componente (particule). Aceste particule se află într-o continuă mişcare dezordonată deci, în fiecare moment au o energie cinetică. De asemenea, între
113
particule se manifestă forţe de interacţiune care provin din energii potenţiale de interacţiune. Energia internă U a unui sistem este suma energiilor cinetice (de rotaţie, translaţie, vibraţie) şi potenţiale ale tuturor particulelor. Energia internă nu poate fi calculată în cadrul termodinamicii care după cum s-a arătat, face abstracţie de existenţa şi de mişcarea particulelor constituente ale sistemului. Energia internă este o funcţie de stare. Determinarea funcţiilor de stare, deci şi a energiei interne se face în raport cu un sistem de referinţă dat. În acest sistem de referinţă, energiei interne se atribuie o valoare de referinţă şi se vor putea determina doar variaţii ale sale în raport cu această valoare. Prin urmare, energia internă poate fi definită doar până la o constantă arbitrară. Energia internă fiind o mărime de stare, conform postulatului 2, va depinde doar de parametrii externi pe care vor fi notaţi cu ai şi de temperatura T. U = U(ai; T)
(4.24)
În cazul unui fluid ai = V, deci: U = U(V;T)
(4.25)
Ecuaţia termică de stare permite exprimarea valorii unui parametru de stare în funcţie de ceilalţi doi. Deci, energia internă poate fi exprimată şi prin relaţiile U=U(p,T) sau U=U(p,V). Această ecuaţie, indiferent de forma sa este numită ecuaţia calorică de stare (din ea se pot deduce mărimi calorice precum căldurile specifice, călduri latente etc.). La toate sistemele (fac excepţie sistemele de spini nucleari la unele cristale) energia internă creşte odată cu creşterea temperaturii. 4.3.2 Lucrul mecanic Dacă sistemul termodinamic primeşte sau cedează energie mediului înconjurător în aşa fel încât să aibă loc o deplasare a corpurilor înconjurătoare, se spune că sistemul a efectuat un lucru mecanic. Dacă se consideră un proces cvasistatic, adică un proces în care toate stările intermediare sunt stări de echilibru şi care, prin urmare, se poate reprezenta grafic, şi dacă se notează cu bj parametrii intensivi (interni) de forţă şi cu ai parametrii extensivi (externi), lucrul mecanic într-un proces infinitezimal, δL va fi: δL = ∑ bi ⋅ da i i
Sumarea se face după i – numărul contactelor cu mediul.
(4.26)
114
Pentru un proces cvasistatic: L = ∑ ∫ bi ⋅ da i i
(4.27)
c
integrala luându-se în lungul curbei de transformare. Integrala efectuându-se pe această curbă, rezultatul (L) va depinde de forma curbei (în cazul general), deci mărimea lucrului mecanic depinde de tipul transformării şi, din acest motiv, se afirmă că lucrul mecanic este o mărime de proces. Dacă sistemul este un fluid şi transformarea este descrisă de funcţia p=p(V), reprezentată în diagrama pV din fig. 4.1 pentru o variaţie infinitezimală a volumului dV se poate considera p = constant şi lucrul mecanic efectuat în transformarea infinitezimală de la V la V+dV este: δ L = pdV
(4.28)
p p(V) V1 V+dV V2 V Fig. 4.1
Deci, lucrul efectuat în transformarea de la V1 la V2 este: V2
L = ∫ pdV
(4.29)
V1
unde: p = p(V,T). Se observă că L reprezintă aria figurii de sub grafic. Dacă se schimbă tipul transformării, forma curbei p(V) se modifică, schimbându-se şi forma şi aria figurii de sub grafic, ceea ce ne arată că într-adevăr lucrul mecanic este o mărime de proces depinzând de tipul transformării. Folosim semnul δL şi nu dL tocmai pentru a simboliza acest lucru. Pentru procese izoterme ale gazului ideal (T = ct): Din ecuaţia termică de stare se explicitează presiunea: νRT ; iar lucrul mecanic este: p= V
115
2 V dV νRT dV = νRT ∫ LT = ∫ = νRT ln 2 V1 V V V1 V1
V2
V
(4.30)
Pentru procese adiabatice ale gazului ideal între presiune şi volum se stabileşte relaţia lui Poisson, care permite exprimarea presiunii: pV γ = p1V1γ ; p =
p1V1γ Vγ
(4.31)
Lucrul mecanic efectuat la destinderea de la V1 la V2 este: γ −1 γ −1 V p1V1 1−γ p1V1 V1 ν RT1 V1 γ dV 1− γ (V2 − V1 ) = γ − 1 1 − V = γ − 1 1 − V (4.32) LS = p1V1 ∫ γ = 1− γ 2 2 V V Pentru procese izocore ale gazului ideal, volumul se menţine constant, deci: 2
1
dV = 0; şi Lv = 0
(4.33)
Semnul algebric al lucrului mecanic se atribuie în conformitate cu următoarea convenţie: Lucrul mecanic absorbită de sistem este negativ iar lucrul mecanic cedat de sistem este pozitiv. Labsorbit 〈 0 Lcedat 〉 0
(4.34)
4.3.3 Căldura Numim căldură şi o vom nota cu Q, energia schimbată de un sistem cu mediul atunci când parametrii externi nu se modifică. Transferul de căldură are loc prin mişcarea dezordonată a moleculelor. Fiind o formă de energie, unitatea de măsură a căldurii este1 J, dar în tehnică se mai foloseşte şi o unitate tolerată denumită calorie care este definită ca fiind căldura necesară unui gram de apă pentru a-şi ridica temperatura de la 19,50C la 20,50C. Căldura absorbită sau cedată de un corp depinde de variaţia de temperatură, de masa şi de natura substanţelor care alcătuiesc corpul. Pentru a caracteriza dependenţa căldurii de material se introduc constantele de material numite mărimi calorice. Printre mărimile calorice cele mai utilizate sunt capacităţile calorice. Acestea sunt mărimi caracteristice unui anumit sistem într-un proces dat. Dacă se notează cu ΔQ căldura schimbată de sistem, pentru a avea loc o schimbare de temperatură ΔT, capacitatea calorică a sistemului S în procesul Π se defineşte prin relaţia:
116
CΠS = lim ∆T →o
∆ QΠ ∆T
(4.35)
Capacitatea calorică depinde de dimensiunile şi natura sistemului şi într-o măsură mai mică de temperatură. În cazul fluidelor în practică sunt des utilizate căldurile molare care sunt capacităţi calorice corespunzătoare unui kmol din respectivul fluid. Căldura molară în procesul Π este definită prin relaţia următoare: CΠ =
1 ∂Q υ ∂T Π
(4.36)
Căldura schimbată în procesul Π este: QΠ = υ ∫ CΠ (T )dT
(4.37)
Π
Dacă procesul este izocor, sistemul nu efectuează lucru mecanic şi întreaga căldură schimbată este folosită de sistem pentru schimbarea energiei interne. În acest caz, se defineşte căldura molară izocoră, prin următoarea relaţie: CV =
1 ∂Q υ ∂T V
(4.38)
Dacă procesul este izobar, sistemul efectuează lucru mecanic şi căldura schimbată de sistem este folosită pentru schimbarea energiei interne şi pentru efectuarea lucrului mecanic. În acest caz, se defineşte căldura molară izocoră, prin următoarea relaţie: Cp =
1 ∂Q υ ∂T p
(4.39)
În cazul sistemelor termodinamice alcătuite din solide sau lichide, este convenabil ca raportarea căldurilor molare să se facă la masa sistemului. În acest caz, se defineşte căldura specifică izocoră respectiv izobară, prin următoarele relaţii: cV =
1 ∂Q m ∂T V
(4.40)
1 ∂Q m ∂T p
(4.41)
şi: cp =
117
În cazul solidelor şi a lichidelor, variaţiile de volum sunt foarte mici, lucrul efectuat este neglijabil şi din acest motiv cu o bună aproximaţie nu se face distincţie între cele două călduri specifice. Semnul algebric al căldurii se atribuie în conformitate cu următoarea convenţie: Căldura absorbită de sistem este pozitivă, iar căldura cedată de sistem este negativă: Qabsorbit 〉 0 Qcedat 〈0
(4.42)
4.3.4 Principiul I al termodinamicii. Formulări ale principiului I al termodinamicii Dacă sistemul primeşte de la sisteme exterioare cu care se află în contact energie sub formă de caldură şi lucru mecanic, conform legii conservării energiei, se va produce variaţia energiei interne. Lucrul mecanic depinde în general de tipul transformării, dar s-a observat că în toate cazurile, fără excepţie, pentru un proces adiabatic el nu depinde de modul cum are loc procesul, ci doar de starea finală şi cea iniţială. În acest caz, însă: dU = dL,
(4.43)
La trecerea din starea iniţială i în starea finală f lucrul mecanic este: f
Li→ f = ∫ dL = U f − U i
(4.44)
i
Din punct de vedere matematic, aceasta implică faptul că în cazul unui sistem izolat lucrul mecanic elementar este o diferenţială totală exactă. Prin urmare şi variaţia energiei interne ΔU nu depinde decât de starea finală şi de cea iniţială. Această constatare se poate enunţa în felul următor: „Variaţia energiei interne a unui sistem termodinamic nu depinde decât de starea finală şi de cea iniţială fiind independentă de stările intermediare prin care trece sistemul“. Într-o transformare ciclică, starea iniţială coincide cu starea finală, deci:
∫ dU = 0 .
(4.45)
În matematică se demonstrează că dacă integrala curbilinie pe un contur închis al unei funcţii este nulă, diferenţiala acestei funcţii este o diferenţială totală exactă, rezultatul integrării nu depinde de drumul de integrare (de procesul care are loc) deci, energia internă este o funcţie de stare.
118
Principiul I mai poate fi enunţat punând condiţia ca oricând dU să fie o diferenţială totală exactă: ∂U ∂U dU = (4.46) dx + dy ; ∂x ∂y dU = M(x,y)dx + N(x,y)dy
(4.47)
formă sub care se exprimă uneori principiul I al termodinamicii. Dacă se ridică restricţia de izolare: Li → f ≠ U f − U i
(4.48)
Deci, lucrul mecanic elementar nu mai este o diferenţială totală exactă, diferenţa dintre U f − U i şi Li → f fiind căldura schimbată în procesul care are loc la trecerea de la i la f: Qif = U f − U i − Lif
(4.49)
Dacă trecerea are loc dintr-o stare în una infinit apropiată, relaţia (4.49) ia următoarea formă. Aceasta este forma matematică sub care se exprimă cel mai des principiul I al termodinamicii: dU = δ Q + δ L
(4.50)
O altă formulare evidentă a principiului I al termodinamicii este următoarea: „nu se poate construi o maşină termică care să efectueze lucru mecanic fără a absorbi căldură sau o altă formă de energie (nu se poate construi un perpetum mobile de speţa I).“ Într-adevăr, conform principiului I al termodinamicii: ∆U = Q − L . Dacă transformarea este ciclică ∆U = 0 , deci Q = L, deci pentru Q = 0 ⇒ L = 0. Dacă sistemul este deschis, mai apare în plus o energie de transport τ cedată sau absorbită de sistem prin transportul de masă, deci: ∆U = Q − L + τ .
(4.51)
4.4 Principiul al II-lea al termodinamicii În conformitate cu primul principiu, lucrul mecanic şi căldura sunt amândouă forme de energie, dar între ele există o diferenţă calitativă importantă. Lucrul mecanic se transformă în căldură foarte uşor şi integral, pe când căldura se poate transforma în lucru mecanic doar în nişte instalaţii speciale numite motoare termice şi doar în mod parţial. În schimburile de căldură, un rol deosebit îl are temperatura, schimbul de căldură făcându-se doar de la sistemul cu temperatura mai mare la cel cu temperatura mai mică. În sec. al XIX–lea, când s-a extins utilizarea maşinilor cu aburi, randamentul lor definit ca:
119
η=
L Q1
(4.52)
era foarte mic. (L reprezintă lucrul mecanic util produs de maşină, iar Q1, căldura absorbită de la o sursă de căldură). Dacă se notează cu Q2 căldura cedată de maşină unei surse reci, lucrul mecanic dezvoltat este egal cu suma algebrică a acestor două călduri deci, randamentul se mai poate exprima şi sub forma următoare: η=
Q1 + Q2 Q1 − Q2 = Q1 Q1
(4.53)
Inginerul francez Sadi Carnot şi-a propus să studieze posibilitatea îmbunătăţirii acestui randament. El a enunţat următoarea teoremă. Raportul dintre căldurile Q1 şi Q2 schimbate de un sistem termodinamic, într-o transformare ciclică reversibilă, este o funcţie universală de temperaturile celor două surse. Q1 = ϕ (T1 , T2 ) Q2
(4.54)
Carnot a conceput un ciclu reversibil care-i poartă numele, format din 2 izoterme şi două adiabate. Pe izoterma 1-2 fluidul de lucru este în contact cu sursa caldă de temperatură T1 şi absoarbe de la aceasta căldura Q1 şi se destinde izoterm. Urmează destinderea adiabatică 2-3 după care sistemul este pus în contact cu sursa rece de temperatură T2, căreia îi cedează căldura Q2 în comprimarea izotermă 3-4. Sistemul revine în starea iniţială prin comprimarea adiabatică 4-1, ca în fig 4.2:
120
Fig. 4.2
Randamentul ciclului Carnot este independent de substanţa de lucru utilizată şi este dependent doar de temperatura T1 a sursei calde şi T2 a sursei reci, conform teoremei lui Carnot, enunţată anterior. Prin calcule simple se ajunge la expresia randamentului ciclului Carnot: η=
Q1 − Q2 Q1
=
T1 − T2 T1
(4.55)
Ciclul Carnot are un caracter ideal; o maşină termică reală funcţionând cu foarte multe pierderi; ciclurile reale sunt cicluri ireversibile care au un randament mai mic decât un randament Carnot. Analizându-se ciclul Carnot şi expresia randamentului său s-a ajuns la concluzia că el exprimă o realitate impusă de natură care nu poate fi demonstrată în cazul termodinamicii deci, trebuie acceptată cu titlu de principiu. 4.4.1 Formulările principiului al II –lea al termodinamicii Acest principiu a fost formulat în mai multe feluri, chiar teorema lui Carnot fiind o astfel de formulare. Aceasta formulare se poate exprima cantitativ prin relatia: Q1 − Q2 Q1
=
T1 − T2 T1
(4.56)
4.4.1.1 Formularea lui Thomson (Lord Kelvin) Într-o transformare ciclică monotermă sistemul nu poate ceda lucru mecanic mediului exterior. Dacă transformarea ciclică este şi ireversibilă, sistemul absoarbe lucru mecanic de la mediul exterior.
121
4.4.1.2 Scara termodinamică a temperaturilor Utilizarea gazului perfect pentru a fi folosit în termometre este imposibilă, pentru că nu există asemenea gaze, iar gazele reale, mai ales la temperaturi scăzute, se abat de la modelul de gaz ideal. Se observă că randamentul ciclului Carnot nu depinde de substanţa de lucru, ceea ce sugerează posibilitatea de a introduce o scară termometrică independentă de substanţa de lucru. Căldurile transmise sau primite scad în raport cu temperaturile, deci la T = 0 căldura nu mai are unde trece, deci nu mai este posibilă nici o transformare a căldurii în lucru mecanic. Prin urmare, temperatura termodinamică reprezintă o temperatură absolută şi se poate demonstra că coincide cu temperatura definită cu termometrul de gaz, după cum urmează. Notăm cu τ temperatura termodinamică. Pentru a măsura temperatura în această scară se foloseşte căldura. În acest caz, între τ şi Q trebuie ca la orice scară termometrică să existe o dependenţă liniară: τ = aQ + b
(4.58)
unde a şi b sunt două constante arbitrare. Se pune condiţia ca diferenţa de temperatură termodinamică între temperatura apei care fierbe la presiune normală şi temperatura punctului triplu al apei τ0 să fie 100: 100 = τ − τ 0 => 100 = aQf + b – aQ0
(4.59)
se deduce constanta a ca fiind: a=
100 . Q f − Q0
b fiind o constantă arbitrară, valoarea sa se poate lua egală cu zero şi ştiind că Qf > 0 şi Qf > Q 0 , rezultă că a > 0. Deci: τ>0
(4.60)
Dar: Q1 − Q2 Q1 sau:
=
T1 − T2 T1
122
τ 2 T2 ( = τ1 T1
4.61)
De aici se deduce că: T = k·τ.
(4.62)
Definirea temperaturii termodinamice, ca mai sus, prezintă o deficienţă majoră: pentru definire se foloseşte un ciclu Carnot care practic este imposibil de obţinut. Din acest motiv se recurge mai târziu la o definire riguroasă a temperaturii absolute împreună cu entropia absolută. 4.4.1.3 Formularea lui Clausius Nu este posibilă o transformare care să aibă ca rezultat trecerea de la sine a căldurii de la un corp rece la un corp mai cald. 4.4.1.4 Formularea lui Caratheodory În imediata apropiere a unei stări arbitrare a unui sistem termodinamic aflat în stare de echilibru, există stări care nu pot fi atinse prin procese adiabatice reversibile. p
1 izoterma a Q1
adiabată
2 Q2 V Fig. 4.3
Se consideră prin absurd că o masă de gaz trece din starea 1 în starea 2 printr-o transformare izotermă 1-a-2 şi revine în 1 prin adiabata 2-b-1. Pe izotermă se absoarbe căldura Q de la sursa de temperatură T. Pe adiabată nu se cedează căldură. Aria în planul pV a ciclului este diferită de 0. Prin urmare s-a efectuat lucru mecanic sistemul fiind în final în contact doar cu o singură sursă de căldură. Această constatare este în contradicţie evidentă cu formularea lui Clausius şi este datorată faptului că s-a admis atingerea punctului 2 printr-o adiabată pornită din 1. 4.4.2 Căldura redusă. Entropia în procese reversibile S-a văzut că principiului II poate fi exprimat cantitativ prin relaţia: Q1 − Q2 Q1
=
T1 − T2 T1
(4.62)
123
Dar în termodinamică, ca urmare a convenţiei de semne adoptate, Q 2 < 0. Deci: Q1 + Q2 T1 − T2 = Q1 T1
(4.64)
de unde rezultă: Q2 T =− 2 Q1 T1
(4.65)
sau: Q2 Q =− 1 T2 T1
(4.66)
de unde se obţine: Q1 Q2 + =0 T1 T2
(4.67)
Q se numeşte căldură redusă. T Se impune concluzia: într-un ciclu Carnot suma căldurilor reduse este
Raportul
nulă. Se va studia în continuare suma căldurilor reduse într-o transformare ciclică reversibilă oarecare. Se consideră o transformare ciclică reversibilă ABCDA, descompusă într-o infinitate de cicluri Carnot infinit de mici de tipul a.b.c.d.a. Se observă că laturile ciclurilor infinitezimale din interiorul lui ABCDA se parcurg de două ori, rămânând doar izotermele şi adiabatele externe parcurse o singură dată, care formează o linie frântă. La limită, aceasta linie coincide cu conturul ciclului ABCDA (Fig. 4.4a,b.). La fiecare ciclu Carnot elementar, suma căldurilor reduse va fi nulă: Notând cu δQ1i căldura absorbită pe ciclul elementar i şi cu δQ 2i cea cedată, prin însumare pe toate ciclurile elementare se obţine relaţia:
124
a)
b) Fig. 4.4
δQi1
∑( T i
i1
+
δQi 2 )=0 Ti 2
(4.68)
Ciclurile elementare fiind infinit de apropiate, T variază continuu şi pe întreg ciclul ABCDA suma se transformă într-o integrală de contur. Deci, pentru un proces ciclic reversibil oarecare putem scrie:
∫
δQ =0 T
(4.69)
δQ fiind nulă, ea poate fi considerată ca T diferenţiala totală exactă a unei mărimi de stare S numită entropie:
Integrala de contur a mărimii
δS =
δQ T
(4.70)
Deci, pentru un ciclu reversibil:
∫ dS = 0
(4.71)
Relaţia poartă numele de relaţia lui Clausius. Dacă transformarea este reversibilă, dar nu ciclică, ci are loc dintr-o stare A într-o stare B se poate scrie următoarea relaţie: B
dQ T A
SB − SA = ∫
(4.72)
S fiind o diferenţială totală exactă, diferenţa S B − S A nu depinde de tipul transformării, deci entropia este o mărime de stare.
125
Definiţia entropiei s-a făcut prin δS =
∫ dS = ∫
δQ . Dacă integrează această relaţie: T
δQ +C T
(4.73)
de unde se vede că entropia poate fi definită doar până la o constantă arbitrară care nu poate fi determinată în cadrul termodinamicii. Nu putem calcula în cadrul termodinamicii entropia sistemului într-o stare dată, ci numai variaţia sa. 4.4.3 Principiul II al termodinamicii pentru procese ireversibile Să considerăm un proces prin care sistemul izolat trece din starea 1 în starea 2 printr-un proces necvasistatic, reversibil şi revine în 1 printr-un proces cvasistatic reversibil. S-a parcurs deci, un ciclu ireversibil (conţine procesul 1-2). Procesul este reprezentat prin zona haşurată pentru că procesele necvasistatice nu conţin stări intermediare de echilibru şi nu pot fi reprezentate prin puncte.
Fig. 4.5
S-a arătat că pentru transformări ciclice ireversibile randamentul ciclului este mai mic decât randamentul Carnot: η ≤ ηc
deci: Q1 − Q2 Q1
≤
T2 − T1 T1
(4.74)
sau: Q1 Q2 + ≤0 T1 T2
(4.75)
Relaţia poate fi generalizată prin metoda arătată la paragraful anterior, în felul următor:
126
∫
dQ ≤0 T
(4.76)
Această relaţie se numeşte inegalitatea lui Clausius. Ca o consecinţă a acestei inegalităţi, pentru transformarea reprezentată în fig. 4.5, se poate scrie următoarea relaţie:
∫
dQ dQ dQ = ∫ + ∫ ≤0 T T T 1− 2 2 −1
(4.77)
Procesul 2-1 fiind cvasistatic:
∫
dQ = S1 − S 2 2 −1 T
(4.78)
dQ + S1 − S 2 ≤ 0 1− 2 T
(4.79)
∫
sau: S 2 − S1 ≥
dQ 1− 2 T
∫
(4.80)
Dacă sistemul este izolat, procesul nestatic este adiabatic, atunci căldura schimbată în acest proces este nul δ Q1− 2 = 0 . Deci: dQ =0 1− 2 T
∫
(4.81)
de unde rezultă: S 2 −S1 ≥ 0
(4.82)
Se obţine următorul rezultat important: pentru un sistem izolat, într-o transformare irevesibilă entropia stării finale este mai mare decât entropia stării iniţiale. Deci, transformarea ireversibilă poate avea loc doar într-un singur sens şi anume în sensul creşterii entropiei. Principiul II se mai poate enunţa astfel: „entropia sistemelor izolate rămâne constantă în cazul proceselor reversibile şi creşte în cazul proceselor ireversibile”. 4.4.4 Interpretarea statistică a entropiei 4.4.4.1 Ansamblul virtual Mulţimea tuturor stărilor microscopice compatibile cu o macrostare dată poartă numele de ansamblu virtual. Prin termenul virtual se precizează tocmai
127
faptul că aceste microstări, cu excepţia uneia, nu corespund stării de fapt la un moment dat. Pentru măsurările efectuate la scară macroscopică este însă indiferent care din aceste stări microscopice s-a realizat. Deci, pentru precizarea stării macroscopice nu este necesară cunoaşterea stării microscopice, ci numai a ansamblului virtual din care face parte. 4.4.4.2 Spaţiul fazelor Comportarea fiecărei microstări este determinată de evoluţia fiecărei particule în parte. Evoluţia particulelor se face după legile mecanicii clasice, într-o primă aproximaţie sau după legile mecanicii cuantice, în cazul general. În mecanica analitică a lui Hamilton se arată că starea unui sistem de particule este descrisă cu ajutorul a i parametrii independenti q 1 ……qi denumiţi coordonate generalizate şi a i parametrii p1.........pi denumiţi impulsuri generalizate. Aceştia satisfac ecuaţiile canonice ale lui Hamilton. qi =
∂H ∂H şi pi = ∂p i ∂qi
(4.83)
H reprezintă energia totală a sistemului şi este numită funcţia lui Hamilton. După Gibbs, cele două mărimi reprezintă coordonatele unui punct dintr-un spaţiu euclidian numit spaţiul fazelor. Acest spaţiu al fazelor reprezintă, de fapt, spaţiul microstărilor deci, un punct din acest spaţiu reprezintă o microstare. Prin urmare, evoluţia unui colectiv statistic în timp poate fi interpretată ca o curbă în acest spaţiu. 4.4.4.4 Semnificaţia statistică a entropiei. Formula lui Boltzman Se consideră un sistem macroscopic care se află într-o stare de echilibru termodinamic. Parametrii macroscopici ai sistemului, în acest caz, rămân constanţi. Starea macroscopică a sistemului este determinată de valorile parametrilor independenţi care caracterizează sistemul. Starea microscopică este determinată de valorile tuturor poziţiilor şi impulsurilor particulelor care constituie sistemul. Însă o stare macroscopică este compatibilă cu un număr enorm de microstări.
Fig. 4.6
128
Datorită haosului molecular este posibilă, la un moment dat, situaţia 1, iar la un alt moment situaţia 2 fără ca prin aceasta starea macroscopică să se modifice. Altfel ajungem la concluzia că un număr enorm de microstări compatibile cu o macrostare, toate aceste macrostări fiind la fel de probabile. Prin definiţie, numim pondere termodinamică sau probabilitate termodinamică numărul de microstări compatibile cu o stare microscopică dată. (Spre deosebire de probabilitatea matematică, care este subunitară, această probabilitate termodinamică este un număr cu valoare extrem de mare) În momentul în care microstarea se schimbă evident are loc o modificare a ponderii termodinamice. În acelaşi timp, se ştie că modificarea stării sistemului duce la modificarea entropiei. Deci, între ponderea termodinamică şi entropie trebuie să se admită existenţa unei legături funcţionale S = f(W). În continuare, se va găsi forma concretă a funcţiei f. Se consideră două sisteme A şi B independente care au entropiile S1 şi S2, iar ponderile termodinamice W 1 şi W 2 corespund stării 1 a lui A şi stării 2 a lui B. Să reunim cele 2 sisteme. În acest caz, ansamblul va avea o entropie S şi o pondere termodinamică W. Ponderea termodinamică a sistemului reunit, fiind un produs de probabilităţi este: W = W1 · W2
(4.84)
iar entropia sistemului reunit se obţine prin însumarea entropiilor parţiale, pentru că entropia este o mărime de stare: S = S1 + S2;
(4.85)
Dependenţa entropiei de ponderea termodinamică impune următoarele relaţii: S = f(W); S1 = f1(W1); S2 = f2(W2)
(4.86)
Deci: f1(W1) + f2(W2) = f(W1W2) = f(W)
(4.87)
Se diferenţiază această ecuaţie în raport cu W1 şi rezultă relaţia următoare: df1 df ∂W df = W2 = dW1 dW ∂W1 W dW 2
(4.88)
deci: df1 df = W2 dW1 dW
(4.89)
129
Se diferenţiază această relaţie în raport cu W2 şi cum f1 nu depinde de W2 se obţine: df d 2 f ∂W + W2 dW dW 2 ∂W2
df d2 f = + W1W2 =0 dW 2 W 1 dW
(4.90)
rezultă următoarea ecuaţie diferenţială: df d2 f +W =0 dW dW 2
(4.91)
Se introduce următoarea notaţie: y=
df dW
şi se obţine ecuaţia: y +W
dy =0 dW
(4.92)
de unde rezultă: dy dW =− y W
(4.93)
şi prin integrare se obţine relaţia următoare: ln y = – lnW + ln k
(4.94)
unde k este o constantă de integrare: Deci: y=
k W
(4.95)
sau: df k = dW W
sau: df = k
dW W
(4.96)
Se mai integrează o dată ecuaţia diferenţială obţinută şi rezultă relaţia: f = k lnW + C
(4.97)
130
Alegând constanta de integrare 0, rezultă f = k lnW şi ajungem la ceea ce ne-am propus: S = k lnW
(4.98)
formulă este numită formula lui Boltzman, unde k = 1.38 ⋅10 −23 J/K . Se ştie însă că într-un proces termodinamic S creşte, deci va creşte şi ponderea termodinamică W, ceea ce impune concluzia că sistemele evoluează în aşa fel încât unei macrostări să-i corespundă un număr mai mare de microstări sau, cu alte cuvinte, are loc o trecere dintr-o stare mai ordonată într-o stare mai dezordonată. Se poate deci, afirma că entropia este măsura gradului de dezordine din sistem. Noţiunea de entropie are o foarte mare importanţă şi în domenii ca informatica, biologia, sociologia, unde se defineşte o entropie informaţională Si = k log P, cu k = 3,65. Procesele în care sistemul, spre deosebire de sistemele termodinamice, se autoorganizează se numesc procese negentropice (de exemplu, procese biologice). 4.5 Formula fundamentală a termodinamicii În conformitate cu principiul I al termodinamicii s-a constatat că energia internă a sistemului termodinamic se poate modifica prin schimb de caldură sau de lucru mecanic cu mediul. dU = δQ − δ L
(4.99)
Pe baza formulării Clausius a principiului II pentru procese cvasistatice se poate scrie: dS = deci:
δQ T
(4.100)
δQ = TdS
dU = TdS – δL
(4.101)
Relaţia (4.99) este valabilă pentru procese de orice fel, pe când (4.101) este valabilă doar pentru procese cvasistatice reversibile. După cum s-a arătat, expresia lucrului mecanic depinde de procesul care are loc cum rezultă din exemplele următoare: a) Într-o deformare elastică a unui corp de volum iniţial V: δ L = V ( σ x dx + σ y dy + σ z dz + τ x d γ x + τ y d γ y + τ z d γ z )
unde σ şi τ sunt dilatările unghiulare.
(4.102)
131
b) Într-o modificare a suprafeţei peliculei superficiale δL = σdΩ unde σ este aici tensiunea superficială normală la elementul de arc al curbei care mărgineşte suprafaţa fluidului. c) Lucrul forţelor elastice δ L = V ( E x dD x + E y dD y + E z dD Z ) = VEdD
(4.103)
unde E reprezintă intensitatea câmpului electric, iar D vectorul inducţie electrică. d) Lucrul forţelor magnetice δ L = V ( H x dB X + H y dB Y + H z dB z 0 = VHdB
unde H este vectorul intensitate a câmpului magnetic, iar B reprezintă vectorul inducţie a câmpului magnetic. e) Într-un sistem cu S componente în care numerele de kmoli νk suferă variaţiile dνk: S
δ L = ∑ µk dvk
(4.104)
K =1
unde νk sunt numerele de kmoli, iar µk se numesc potenţiale chimice. Se remarcă faptul că lucrul mecanic se calculează după cum rezultă din relaţia (4.26), prin produsul unor mărimi intensive bk numite forţe generalizate cu diferenţialele unor mărimi extensive dak care sunt numite coordonate generalizate deci: n
δ L = ∑ bk dak
(4.105)
k =1
Prin urmare, relaţia devine: m
dU = TdS + ∑ bk dak
(4.106)
k =1
Această relaţie fiind o unificare a expresiilor matematice ale principiului I şi II se numeşte formula fundamentală a termodinamicii pentru procese cvasistatice. Pentru un gaz ideal coordonata generalizată este volumul V şi forţa generalizată este -p. Deci: dU = TdS – pdV
(4.107)
Pentru procese nestatice ireversibile în virtutea inegalităţii lui Clausius care guvernează aceste procese: dU < TdS – δL
(4.108)
132
m
dU ≤ TdS + ∑ bk dak
(4.109)
k =1
pentru ambele tipuri de procese unde semnul „=” este valabil în cazul proceselor cvasistatice reversibile. 4.6 Principiul al treilea al termodinamicii 4.6.1 Formulări ale principiului al treilea al termodinamicii În cursul lucrărilor experimentale cu privire la capacitatea substanţelor de a reacţiona între ele (afinitate chimica), chimistul german Nernst a observat că odată cu scăderea temperaturii se produce şi o scădere a căldurii specifice. Această comportare a căldurii specifice a fost considerată de Nernst o manifestare a unei legi naturale care nu poate fi demonstrată, dar care se manifestă de fiecare dată. Acestei concluzii i s-a dat rang de principiu şi a fost denumită principiul al treilea al termodinamici. Unii autori nu consideră principiul 3 ca fiind un principiu al termodinamicii pentru că el nu introduce o mărime de stare ca celelalte trei principii (principiul 0 introduce temperatura empirică θ , principiul 1 introduce energia internă U, iar principiul 2 introduce entropia S). Ca şi celelalte principii şi principiul 3 are mai multe formulări. Formularea lui Nernst La 0K căldura specifică este egală cu 0. De aici concluzia ca la 0K nu poate avea loc nici un transfer de căldură. Deci, este imposibil ca o maşină termică să funcţioneze la T2=0k, şi prin urmare este imposibilă realizarea unei maşini termice cu randamentul 1. Formularea lui Planck Dacă temperatura termodinamică a unui sistem tinde la 0K, entropia sa tinde către o valoare constantă care nu depinde de valorile celorlalte mărimi de stare.
Planck a arătat ca dacă T → 0 nu numai ∆ S → 0 , ci chiar S → 0 deci, S0=0 Prin acesta se stabileşte o origine în măsurarea entropiilor. Este evident cele doua formulări sunt echivalente. Notând cu C capacitatea calorica a sistemului, entropia sa se exprimă prin relaţia următoare: T
S= ∫ C 0
dT T
(4.110)
Dacă T → 0 este necesar ca C → 0 , deci cele doua formulări sunt echivalente. Formularea prin inaccesibilitatea temperaturii de 0 K Prin niciun proces nu se poate atinge 0 K.
133
Aceasta formulare este echivalentă cu celelalte formulări. Pentru a demonstra aceasta echivalenţă se va considera un ciclu Carnot în coordonate T-S. T 2
1 Q=0
Q=0 4
3
T2=constant
S Fig. 4.7
În acest caz izotermele T=constant vor fi paralele cu axa S, iar adiabatele paralele cu axa T ( δ Q = TdS ; în adiabată, δ Q = 0 ⇒ TdS = 0 deci, pentru T constant dS=0 şi S=constant) Pentru a demonstra inaccesibilitatea temperaturii de 0 K se va considera prin absurd că procesul are loc în aşa fel încât T2=0K. În acest caz ciclul Carnot va fi reprezentat ca în fig. 4.8. T
T1=constant 2
1
S Fig. 4.8
Pe transformarea izotermă 1-2 se absoarbe căldura Q12, pe transformările 2-3 şi 4-1 nu există schimb de căldură, ele fiind adiabatice. Pe izoterma 3-4 nu există schimb de căldură căci ea se desfăşoară la T=0K şi conform formulării lui Nernst aici căldura molară este nulă. În consecinţă, s-a realizat un ciclu Carnot în care se efectuează lucru mecanic fără a se ceda căldură (transformare ciclică reversibilă monotermă). Această situaţie vine în contradicţie cu principiul al doilea al termodinamicii. Deci, s-a ajuns la o contradicţie care a apărut datorită faptului că s-a presupus accesibilitatea temperaturii 0 K.
134
4.6.2 Temperatura absolută negativă Principiul 2 al termodinamicii a permis definirea unei scări termodinamice de temperaturi care au punctul de origine la 0 K şi creşte în sens pozitiv la + infinit. Pentru unele sisteme, energia internă tinde către o valoare constantă. Să presupunem că avem un sistem pentru care U=constant. Dacă i se comunică o energie suplimentară din exterior, energia sa internă creşte în continuare, temperatura sa fiind mai mare. Aceasta poate fi interpretată ca un salt la – infinit, fără a atinge temperatura de 0K (fig.4.9).
T
Energia
Fig. 4.9
In cazul temperaturilor absolut negative s-a demonstrat ca orice căldură se poate transforma integral în lucru mecanic pe când lucrul mecanic nu se poate transforma integral în căldură. Deci în raport cu OK lucrul mecanic şi căldura devin complementare. 4.6.3 Metodele termodinamicii Pentru a aplica principiile termodinamicii la rezolvarea diferitelor probleme teotetice şi practice s-a elaborat două metode de lucru. 4.6.3.1 Metoda ciclurilor Această metodă, prima în ordinea apariţiei, constă în rezolvarea problemei alegând în mod convenabil un ciclu reversibil, căruia îi se aplică primul principiu sub forma: L=
∫ dQ
(4.111)
ciclu
şi principiul al doilea sub forma: dQ =0 T ciclu
∫
(4.112)
135
Această metodă este aplicabilă pentru rezolvarea oricărei probleme de termodinamică, dar succesul rezolvării depinde de modul de alegere a ciclului. 4.6.3.2 Metoda potenţialelor termodinamice Aceasta este o metodă de lucru analitică elaborată de Gibbs. Formula fundamentală a termodinamicii: dU = TdS − δ L
(4.113)
permite introducerea unor funcţii de stare, numite potenţiale termodinamice, ale căror variaţii elementare sunt diferenţiale totale exacte. Cunoaşterea acestor potenţiale permite deducerea ecuaţiilor termice şi calorice de stare, precum şi a unor coeficienţi termodinamici. Prin funcţii termodinamice caracteristice se înţeleg acele funcţii de stare ale unui sistem termodinamic a căror dependenţă explicită de parametrii de stare fiind cunoscută, permit obţinerea tuturor informaţiilor termodinamice privitoare la sistemul considerat. Un tip aparte de funcţii caracteristice sunt potenţialele termodinamice. Pentru a defini potenţialele termodinamice se pleacă de la expresia lucrului mecanic efectuat asupra sistemului exprimat prin relaţia: m
δ L = ∑ bi dai
(4.114)
i =1
Din multitudinea de forţe generalizate una este presiunea, iar coordonata generalizată care-i corespunde este volumul: a1=V şi A1=-p atunci relaţia (4.114) devine: m
δ L = ∑ bi dai − pdV
(4.115)
i =2
Dacă se va nota cu:
m
δ L = ∑ bi dai
(4.116)
i =2
lucrul mecanic efectuat de forţe generalizate altele decât presiunea, se obţine următoarea expresie a lucrului mecanic:
δ L = δ L − pdV
(4.117)
Utilizând (4.117), ecuaţia fundamentală a termodinamicii pentru procese cvasistatice se va scrie în felul următor:
dU = TdS − pdV + δ L
(4.118)
136
de unde, lucrul mecanic al altor forţe generalizate decât presiunea este:
δ L = dU + pdV − TdS
(4.119)
Definim potenţialul termodinamic ca fiind orice funcţie caracteristică a
cărei variaţie îl da pe δ L . Potenţialele termodinamice mai au proprietăţile următoare: derivatele lor parţiale de, în raport cu unele variabile de stare, exprimă alte variabile ale sistemului. starea de echilibru a sistemului este definită de o condiţie de extrem a potenţialului termodinamic. Se pot construi o mulţime de funcţii de stare care să joace rol de potenţiale termodinamice, dar în continuare se vor studia doar cele mai des utilizate în rezolvarea unor probleme de termodinamică. 4.6.3.2.1 Energia internă În conformitate cu formula fundamentală a termodinamicii, expresia energiei interne este: dU = TdS + ∑ bi dai
(4.120)
Această relaţie arată că energia internă depinde de entropie şi de mulţimea parametrilor de poziţie, ca în relaţia următoare: U = U ( S , {ai })
(4.121)
Prin diferenţierea relaţiei se obţine: ∂U ∂U dU = dS + ∑ dai ∂S {ai} ∂ai S ,{a j }
(4.122)
din identificarea coeficienţilor rezultă: ∂U T = ∂S {ai }
(4.123)
şi: ∂U bi = ∂ai
{a j },S
(4.124)
Deci, energia internă este un potenţial termodinamic, când entropia şi volumul sunt variabile independente. În cazul în care sistemul analizat este un
137
fluid: ai = V şi bi = − p
(4.125)
Înlocuind (4.125) în ∂U ∂U dU = dS + dV ∂S V ∂V S
(4.122)
expresia
energiei
interne
este:
(4.126)
şi: ∂U ∂U T = şi p = − ∂S V ∂V S
(4.127)
Se pot obţine şi alte mărimi importante utilizând derivatele de ordinul II: ∂ 2U ∂T ∂T T 2 = =T = T ∂S CV ∂S V ∂S V
(4.128)
din această expresie se deduce capacitatea calorică izocoră: CV =
T ∂ U 2 ∂S V
(4.129)
2
4.6.3.2.2 Entalpia Entalpia este o funcţie de stare caracteristică definită prin relaţia: H = U − ∑ bi dai
(4.130)
i
diferenţiind această relaţie se obţine expresia: dH = dU − ∑ bi dai − ∑ ai dbi = TdS − ∑ ai dbi i
i
(4.131)
i
Se observă că entalpia este funcţie de entropie şi de parametrii de forţă generalizată: H = H ( S , {bi }) (4.132) diferenţiind această relaţie, rezultă expresia: ∂H ∂H dH = dS + ∑ ∂S {bi } i ∂bi
dbi {b j },S
identificând termenii în expresiile (4.133) şi (4.131) rezultă:
(4.133)
138
∂H ∂H şi ai = − T = ∂S {bi} ∂bi {b },S
(4.134)
j
din relaţiile (4.130) şi (4.134) rezultă următoarea ecuaţie calorică de stare: ∂H U = H + ∑ bi ∂bi
{b j },S
(4.135)
Pentru a demonstra că entalpia joaca rolul unui potenţial termodinamic, în cazul particular al unui fluid, (a =V; b =-p) ecuaţia fundamentală a termodinamicii se va scrie în felul următor: ~ dU = TdS + δL − pdV (4.136) sau: ~ δL = dU − TdS + pdV + Vdp − Vdp
(4.137)
prin regruparea termenilor rezultă: ~ δL = d (U + pV ) − TdS − Vdp
(4.138)
sau: ~ δL = d (H ) − TdS − Vdp
(4.139)
Dacă S şi p sunt constante se observă că într-adevăr: ~ δL = d ( H )
(4.140)
Pentru a clarifica sensul fizic al entalpiei se ia în considerare un gaz ideal care-şi modifică volumul izobar de la V1 la V2 .Atunci în starea 1 entalpia va fi: H1 = U1 + pV1 , iar în starea 2 H 2 = U 2 + pV2
(4.141)
variaţia entalpiei este: ∆H = U 2 − U 1 + p (V2 − V1 ) = ∆U + p∆V
(4.142)
dar conform principiului I: Q = ∆U + p∆V
(4.143)
prin urmare, entalpia este o mărime de stare a cărei variaţie este egală cu căldura schimbată de sistem într-o trasformare izobară. Căldura schimbată într-un proces elementar, este exprimată cu ajutorul entalpiei prin următoarea relaţie:
139
dQ = dU − pdV = d (U + pV ) − Vdp = dH − Vdp
(4.144)
Înlocuind în relaţia (4.144), diferenţiala entalpiei rezultă: ∂H ∂H dQ = dT + dp − Vdp ∂T p ∂p T această relaţie permite deducerea entropiei: dS =
dQ ∂H dT ∂H dp V = + − dp T ∂T p T ∂p T T T
(4.145)
La presiune constantă, dp=0 deci se poate deduce căldura molară izocoră: ∂S ∂H ∂Q T = = = CV ∂T p0 ∂T p0 ∂T p0
(4.146)
În cazul fluidelor H = U + pV . Dacă entropia S este constantă şi energia internă va avea aceeaşi prorietate, prin urmare: ∂H ∂p = V S
(4.147)
deci, rezultă următoarea ecuaţie calorică de stare: ∂H U = H − p ∂p S
(4.148)
4.6.3.2.3 Entalpia libera sau potenţialul termodinamic al lui Gibbs Aceasta funcţie caracteristică este definită prin relaţia: G = H − TS
(4.149)
Prin diferenţiere se obţine: dG = dH − TdS − SdT
(4.150)
introducând în (4.150) expresia: dH = TdS − ∑ ai dbi
(4.151)
i
se obţine: dG = − SdT − ∑ ai dbi i
(4.152)
140
Aceasta relaţie arată că G este o funcţie de T şi {bi } : G = G (T ,{bi })
(4.153)
se diferenţiază această relaţie şi se obţine: ∂G ∂G dG = dT + ∑ dbi i ∂bi T ∂T bi
(4.154)
identificând (4.154) cu (4.152) rezultă două relaţii care permit calcularea entropiei şi a coordonaelor generalizate: ∂G ∂G S = − şi ai = ∂T bi ∂bi {b j },T
(4.155)
Din (4.152) şi (4.155) se obţine: H=G +TS
(4.156)
de unde: ∂G H = G −T ∂T bi
(4.157)
Se poate demonstra că faptul că entalpia liberă (potentialul Gibbs) devine potenţial termodinamic atunci când presiunea şi temperatura sunt constante şi constituie variabile independente. Întradevăr în acest caz dp=0 si dT=0 deci dG= δL ceea ce satisface condiţia de potential termodinamic. Entalpia liberă se interpretează ca fiind entalpia pe care o poate pune în exterior sistemul, după ce şi a consumat energia legata TS. 4.7 Elemente de fizică moleculară S-a arătat că starea unui sistem la scară macroscopică depinde de un număr redus de parametrii cum sunt presiunea volumul, temperatura etc., pe când la scară moleculară starea aceluiaşi sistem poate fi de scrisă printr-un număr imens de parametrii. D.Bernoulli, în 1738, a explicat primul presiunea gazelor, considerând că moleculele gazului se mişcă cu viteze mari şi ciocnesc pereţii vasului în care se află. Această teorie numită teoria cinetică a gazelor s-a dezvo1tat în a doua jumătate a socolului al 19-lea prin lucrările lui Clausius, Boltzmann şi Maxwell. Numărul de molecule care alcătuiesc o cantitate macroscopică de gaz este foarte mare, iar mişcarea lor este total dezordonată, din această cauză teoria cinetică a gazelor foloseşte pentru deducerea ecuaţiilor de stare metode statistice.
141
O simplificare considerabilă apare atunci când se consideră că moleculele gazului sunt punctiforme (nu au volum propriu) şi între ele nu se exercită forţe de interacţiune. Singurele interacţiuni posibile sunt doar ciocniri perfect elastice cu pereţii incintei în care este cuprins gazul. Între două ciocniri, mişcarea moleculei se consideră rectilinie şi uniformă. Un gaz care satisface aceste condiţii restrictive este numit gaz ideal sau gaz perfect. În condiţii normale (presiuni mici şi temperaturi apropiate de temperaturile ambiante majoritatea gazelor se comport ca fiind gaze ideale. 4.7.1 Ecuaţia fundamentală a teoriei cinetice a gazelor ideale Se consideră că se delimitează dintr-un gaz un volum oarecare V, având forma unui paralelipiped dreptunghic cu laturile a, b, c, dirijate paralel, cu axele de coordonate, ca în figura 4.10. z a
VZ
r v
c Vx vx
x b
x
Fig. 4.10
Acest volum are valoarea: V=abc
(4.158)
Ariile feţelor paralelipipedului perpendiculare pe axele de coordonate vor fi: Sx= bc
Sy=ac
Sz =ab.
(4.159)
Se va admite că în volumul V al gazului se află N molecule, adică în unitatea de volum vor fi n0= N/Vmolecule. Fie într-un punct oarecare al gazului o r moleculă de masă m0, a cărei viteză v are o direcţie arbitrară. Notând, cu vx; vy; şi vz, proiecţiile vectorului viteză după cele trei axe de coordonate, rezultă evident că:
142
v2 = vx2 + v2y + vz2
(4.160)
Se consideră că molecula ciocneşte pereţii vasului şi că ciocnirile ei sunt elastice. Se va cerceta mişcarea moleculei în direcţia axei Ox. Molecula se va r ciocni de faţa ABED, având componenta v x perpendiculară pe ABED. După r ciocnire, componenta v x a vitezei moleculei va fi aceeaşi ca mărime, dar orientată r r în sens opus, adică- v x . În timpul ciocnirii, impulsul moleculei variază de la m v x r la -m v x . Prin urmare, în cursul ciocnirii, molecula capătă impulsul: fdt = mvx − ( −mvx )
(4.161)
unde dt este durata ciocnirii sau: fdt = 2mvx
(4.162)
Dacă numărul ciocnirilor exercitate pe latura ABED pe secunda va fi q, rezultă relaţia: qfdt = 2 qmv x
(4.163)
În timpul ciocnirii, forţa f, variază în mod continuu şi deoarece nu se cunoaşte relaţia dintre forţă şi timp se înlocuieşte produsul f.dt.q cu o forţă echivalentă fx astfel că se poate scrie: fdt = f x = 2 qmv x
(4.164)
Notând cu τ timpul dintre două ciocniri consecutive ale moleculei. de peretele ABED, el poate fi aflat, împărţind spaţiul 2a parcurs de moleculă în acest timp cu viteza moleculei vx. (Între două ciocniri, mişcarea moleculei se consideră rectilinie şi uniformă). τ=
2a vx
(4.165)
Dar: q=
1 vx = τ 2a
(4.166)
Înlocuind în relaţia (4.164), se obţine: fx =
mvx2 a
(4.167)
143
În mod analog se pot scrie şi următoarele relaţii: fy =
mv 2y
(4.168)
b
şi: mvz2 (4.169) c În volumul V se află N molecule care pentru început, vor fi considerate ca fiind cu masele m1, m2, m3 … şi care au vitezele v1, v2, v3, ….., vn,. Admiţând că moleculele nu intreacţionează între ele, se pot exprima forţele Fx, Fy, Fz, care acţionează pe cele trei feţe ale cubului care au fost luate în discuţie, în urma ciocnirilor provocate de cele N molecule din vas. fz =
Fx = f1 x + f 2 x + f 3 x + .... + f Nx
(4.170)
F y = f1 y + f 2 y + f 3 y + .... + f N y
(4.171)
Fxz = f1 z + f 2 z + f 3 z + .... + f Nz
(4.172)
înlocuind expresiile forţelor f, se obţine: Fx = Fy =
Fz =
m1v12x m2 v22x m3v32x m v2 + + + ... + N Nx a a a a m1v12y b
+
m2 v22 y b
+
m3v32y b
+ ... +
(4.173)
2 mN v Ny
(4.174)
b
m v2 m1v12z m2 v22x m3v32z + + + ... + N Nz c c c c
(4.175)
Presiunile exercitate pe cele trei feţe luate în calcul vor fi: px =
Fx m v2 1 m1v12x m2 v22x m3v32x 1 2 = ( + + + ... + N Nx ) = m1v12x + m2 v22x + m3v32x + ... + mN v Nx bc bc a a a a V
(
)
(4.176) 2 2 2 1 m1v1 y m2 v2 y m3 v3 y m v2 1 2 py = = ( + + + ... + N Nx ) = m1v12y + m2 v22 y + m3 v32y + ... + m N v Ny ac ac b b b b V
Fy
(
)
(4.177) F m v2 1 m1v12z m2 v22z m3v32z 1 2 pz = z = ( + + + ... + N Nz ) = ( m1v12z + m2 v22z + m3v32z + ... + mN vNz ) ab ab c c c c V
(4.178) Observând că mişcarea moleculară este haotică şi că nici o direcţie de mişcare nu este preferată alteia (greutatea are o inf1uenţă neglijabilă asupra moleculelor, care se mişcă foarte repede), iar toate cele trei feţe în privinţa
144
ciocnirilor se găsesc în condiţii cu perfect identice, putem scrie că: px=py=pz =p.
(4.179)
Însumând, membru cu membru, relaţiile (4.176), (4.177), (4.178) rezultă: 1 2 2 2 3 p = ( m1 (v12x + v12y + v12z ) + m2 ( v22 x + v22 y + v22 z ) + m3 (v32x + v32y + v32z ) + ... + mN (v Nx + v Ny + v Nz )) V
(4.180) Ţinând cont de expresiile vitezelor: vi2 = vix2 + viy2 + viz2
(4.181)
se obţine relaţia următoare: 1 (4.182) 3 p = ( m1v12 + m2 v22 + m3v32 + .... + mN vN2 ) V Dacă n1 este numărul moleculelor care au viteza v1, v2 a celor care au viteza v2 şi …nN numărul celor care au viteza vn şi dacă gazul este omogen moleculele sunt identice de masă m0, atunci masele care interacţionează cu peretele vor fi: m1 = m0 n1 ; m2 = m0 n2 ; m3 = m0 n3 ;...mN = m0 nN
(4.183)
şi în acest caz expresia presiunii este: p=
m0 m n1v12 + n2 v22 + n3v32 + .... + nN v N2 ) = 0 ( 3V 3V
N
∑nv i =1
2 i i
(4.184)
N
Suma
∑nv i =1
2 i i
este practic imposibil de calculat deoarece nu se cunosc
valorile vitezelor fiecărei molecule. Dar dacă se determină print-un mijloc oarecare media aritmetică a pătratelor vitezelor, mărime denumită viteza pătratică medie, exprimată prin relaţia:
(v
2 1
+ v22 + v32 + .... + v N2 N
)=v
− 2
−
sau , v 2 =
n1v12 + n2v22 + .... + nn vn2 n1 + n2 + ... + nn
(4.185)
valoarea acestei sume este: N
N
i =1
i =1
−
−
∑ ni vi2 = ∑ ni v 2 = N v 2
(4.186)
Dacă se va nota cu m masa de gaz din incintă şi cu N numărul de molecule, atunci masa unei
145
Înlocuind expresia vitezei pătratice medii în expresia presiunii rezultă: p=
m0 N 2 2 N m0v 2 v = 3V 3V 2
(4.187)
această formulă poartă numele de formulă fundamentală a teoriei cinetice a gazului ideal. Mărimea: 2
− 2 0 x
− 2 0 y
−
mv m v m v m0 vz2 εt = 0 = + + 2 2 2 2
(4.188)
reprezintă energia cinetică medie a mişcării de translaţie a unei molecule de gaz. 4.7.2 Interpretarea cinetică a temperaturii Dacă se aduc în contact două gaze ale căror molecule au energii cinetice medii, de translaţie diferite, se constată că moleculele mai rapide îşi reduc vitezele, iar cele mai lente şi-o măresc, ajungându-se după un timp la o viteză şi la o energie cinetică medie de translaţie comună. La fel, dacă se pun în contact două gaze cu temperaturi diferite, cel cu temperatura mai mare se răceşte, iar cel cu temperatură mai mică se încălzeşte, ajungându-se după un timp la o temperatură comună de echilibru termodinamic. Pe baza acestui comportament identic Boltzman a arătat că temperatura unui gaz ideal este o măsură a intensităţii mişcării termice a moleculelor respectivului gaz. El a stabilit, demonstrat o teoremă care-i poartă numele care afirmă că fiecărei forme pătratice (grad de libertate) din expresia energiei cinetice medii îi corespunde o energie egală kT .(teorema echipartiţiei energiei pe grade de libertate) k =1,38.10-23 J/K este o 2 constantă universală numită constata lui Boltzman. În cazul gazului ideal monoatomic, molecula punctiformă are doar trei grade de libertate (are trei posibilităţi de mişcare de-a lungul axei ox, de-a lungul axei oy, şi de-a lungul axei oz); deci, conform teoremei echipartiţiei energiei, energia cinetică medie de translaţie se va exprima în felul următor: m0v 2 3 = kT ] 2 2
(4.189)
În cazul moleculelor poliatomice, în expresia energiei medii, pe lângă termenii de translaţie, apar forme pătratice suplimentare datorate rotaţiilor şi vibraţiilor. Dacă molecula este biatomică, având forma unei haltere microscopice în expresia energiei medii de translaţie apare câte un termen corespunzător unei rotaţii în jurul axei ox cu viteza unghiulară ωθ şi uneia corespunzător unei rotaţii în jurul axei oz. cu viteza unghiulară ωϕ (Fig. 4.11). Dacă cele două momente de
146
inerţie se vor nota cu Iθ respectiv I ϕ , expresia energiei cinetice de translaţie şi de rotaţie este: ε=
m0 v x2 + m0 v 2y + m0 v z2 + I ϕωϕ2 + Iθ ωθ2 2
(4.190)
Fig. 4.11
În această situaţie: 5 ε = kT 2
(4.191)
În general dacă numărul de grade de libertate este i expresia energiei cinetice medii este: i ε = kT 2
(4.192)
4.7.3 Ecuaţia termică de stare a gazului ideal S-a arătat în paragrafele anterioare că ecuaţiile termice de stare nu pot fi deduse în cadrul termodinamicii pentru că aceasta face abstracţie de structura microscopică a sistemelor termodinamice. Teoria cinetică a gazelor analizează tocmai această structură şi permite deducerea ecuaţiei termice de stare în cazul particular al gazului ideal. Pentru aceasta, se înlocuieşte energia cinetică medie din relaţia lui Boltzman în formula fundamentală a teoriei cinetice, a gazului ideal, obţinându-se: p=
2 N 3kT 3V 2
(4.193)
sau: pV = NkT
(4.194)
Dacă se va nota cuυ numărul de kilomoli de gaz din incinta de volum V, şi cu NA numărul de molecule dintr-un kilomol, (acesta este tot o constantă universală numită numărul lui Avogadro, NA=6,023.1026molecule /kmol) atunci numărul de molecule este dat de expresia:
147
pV = υ N A kT
(4.195)
Produsul celor două constante universale este o nouă constantă universală R, numită constanta universală a gazului ideal. R = υ N A = 8310
J kmolK
Introducând această constantă în ecuaţia (4.195) se regăseşte ecuaţia termică de stare utilizată fără demonstraţie teoretică în cadrul termodinamicii. pV = υ RT
(4.196)
sau, notând cu m masa de gaz din volumul V, şi cu µ masa sa molară, ecuaţia va lua următoarea formă: pV =
m RT µ
(4.197)
Această ecuaţie poartă numele ecuaţia Clapeyron-Mendeleev, ea a fost iniţial dedusă din considerente experimentale. Se poate demonstra că formula este valabilă şi în cazul moleculelor poliatomice care au mai multe grade de libertate. 4.7.4 Ecuaţia calorică de stare a gazului ideal Teoria cinetică a gazelor permite calcularea energiei interne datorită faptului că fiecare moleculă are aceeaşi energie cinetică medie a mişcării de, ε : U = Nε =
i i NkT = υ RT 2 2
(4.198)
Căldura molară izocoră a gazului este conform relaţiei (4.38): CV =
1 ∂Q 1 ∂U iR = = υ ∂T V υ ∂T V 2
(4.199)
Întrucât în procesul izoterm a gazului ideal nu se efectuează lucru mecanic şi întrucât variaţia energiei interne nu depinde de proces se impune concluzia evidentă că în cazul gazului ideal variaţia energiei interne în orice proces este egală cu căldura schimbată izocor de masa de gaz. Pe baza acestei constatări se poate deduce relaţia dintre căldura molară izocoră şi căldura molară izobară. Conform principiului I al termodinamicii, într-un proces izobar se poate scrie relaţia: δ Q p = υ C p dT = dU + pdV
(4.200)
Ştiind că în general U=U(T,V) şi înlocuind în (4.200) diferenţiala sa totală se deduce expresia:
148
Cp =
∂V 1 ∂U ∂U + + p υ ∂T V ∂V T ∂T p
(4.201)
Ţinând cont de (4.199) diferenţa dintre căldura molară izobară şi ceea izocoră este: C p − CV =
∂V 1 ∂U + p υ ∂V T ∂T p
(4.202)
Înlocuind (4.202) relaţiile (4.198) şi (4.196), după simplificările necesare se obţine relaţia dintre cele două călduri molare, în cazul gazului ideal. Aceasta este numită relaţia lui Mayer. (4.203) C p − Cv = R 4.7.5 Transformări termodinamice ale gazului ideal Transformarea politropă este o tansformare de stare în care căldura molară se manţine constantă. Astfel de transformări au loc foarte des şi în multe probleme practice transformările care au loc se pot aproxima ca fiind politrope. Pentru a deduce relaţia dintre presiune şi volum în transformarea politropă se notează cu C căldura molară a acestei transformări se aplică principiul I al termodinamicii. dU = δ Q politropa − pdV
(4.204)
Conform definiţiei căldurii molare: δ Q politropa = υ CdT
(4.205)
Ţinând cont de cele arătate anterior despre dU, expresia princpiului I ia următoarea formă: υ Cv dT = υC dT − pdV
(4.206)
Diferenţiind ecuaţia termică de stare a gazului ideal, rezultă: pdV + Vdp = υ RdT
(4.207)
Se înlocuieşte dT din această formulă în relaţia (4.206) se grupează termenii şi rezultă: R dV dp =− 1 − p C − CV V
(4.208)
Mărimea din paranteză se notează cu κ şi se va numi indice politropic. Relaţia (4.208) se transformă în felul următor:
149
κ
dV dp =− V p
(4.209)
pentru a deduce relaţia dintre presiune şi volum se consideră că transformarea începe din starea p 0 ,V0 şi se ajunge în starea arbitrară, p ,V . Se integrează relaţia (4.209) între aceşti paremetrii: p
V
dV dp = −∫ V p V0 p0
κ∫
(4.210)
în final se obţine expresia: κ
V p =− p0 V0
(4.211)
sau în final se obţine legea transformării politrope sub următoarea formă: p 0V0κ = pV κ = const .
(4.212)
Din formula de definire a indicelui politropic (4.208) se deduce expresia căldurii molare din această transformare: C = CV +
R 1− κ
(4.213)
4.7.5.2 Transformarea adiabatică Transformarea adiabatică este o transformare în care gazul nu schimbă căldură cu mediul. O asemenea transformare nu poate exista în natură, căci este imposibilă anularea totală a schimbului de căldură. Totuşi, în foarte multe probleme practice procesele care au loc în incinte foarte bine izolate termic sau care se produc atât de rapid, încât gazul “nu are timp“ să schimbe căldură, pot fi considerate ca fiind adiabatice. Dacă nu există schimb de căldură, căldura molară în această transformare este nulă, C=0, deci conform relaţiei (4.213): CV +
R =0 1− κ
(4.214)
de unde rezultă: κ=
Cp =γ CV
(4.215)
ecuaţia acestei transformări este, conform relaţiei (4.212), următoarea:
150
γ
p0V0γ = pV = const.
(4.216)
sau dacă se ţine cont de ecuaţia termică de stare: T0V0γ −1 = TV
γ −1
= const .
(4.217)
Eccuaţiile (4.216) şi (4.217) exprimă legea transformării adiabatice numită după numele celui care a dedus-o prima dată, legea lui Poisson. 4.7.5.3 Transformarea izotermă Transformarea izotermă este o transformare în care gazul îşi schimbă presiunea şi volumul, temperatura sa rămănând constantă. În cazul în care T=constant, dT=0 deci, variaţia eneregiei interne este, de asemenea, nulă: dU = υCV dT = 0
(4.218)
şi energia internă a gazului nu se schimbă; U=constant. În transformarea izotermă, conform principiului I al termodinamicii: δQ = δ L
(4.219)
Căldura schimbată este folosită pentru a absorbi sau a ceda lucru mecanic. Căldura molară a acestei transformări tinde la infinit pentru că dT=0: C=
1 dQ =∞ υ dT T
(4.220)
În această situaţie, din relaţia (4.212) se deduce că transformarea izotermă poate fi considerată ca fiind o transformarea politropă având indicele politropic κ = 0 . Prin urmare, conform relaţiei (4.216), legea transformării izoterme este exprimată de următoarea relaţie: p 0V0 = pV = const .
(4.221)
sau ca urmare a ecuaţiei termice de stare, pentru o masă constantă din acelaşi gaz: pV = υ RT = const .
(4.222)
Relaţia (4.222) exprimă în formă matematică legea transformării izoterme numită legea Boyle-Mariotte. Relaţiile (4.221) şi (4.222) pot fi utilizate corect doar dacă m υ = = cons tan t , adică trasformarea are loc în aşa fel încât masa şi natura µ gazului să nu se schimbe.
151
Dacă se reprezintă grafic presiunea în funcţie de volum, curba obţinută este o ramură de hiperbolă echilateră cu atât mai depărtată de axe, cu cât temperatura este mai mare (Fig. 4.12):
Fig. 4.12
4.7.5.4 Transformarea izocoră Transformarea izocoră este o transformare simplă în care se schimbă temperatura şi presiunea, volumul rămănând neschimbat, V=constant. În acest caz, după cum s-a arătat: δL =0 dU = δ QV = υ CV dT
(4.223)
Această transformare poate fi considerată ca fiind o transformare politropă cu κ → ∞ . Întra-devăr, din relaţia, (4.216) rezultă: 1
p κ V = V0 0 p
(4.224)
şi se observă că pentru κ → ∞ V → V0 Din ecuaţia termică de stare, rezultă: p=
υR mR T= T V µV
(4.225)
deci, într-o transformare izocoră a unei mase constante de acelaşi gaz ideal, presiunea creşte liniar cu temperarura. Panta dreptei care reprezintă
152
dependenţa presiunii de temperatură are valoarea invers proporţională de volum, dar depinde şi direct proporţional de numărul de kilomoli. (Fig. 4.13): p
V2
V1
T V1 〉V2 Fig. 4.13
4.7.5.5 Transformarea izobară Transformarea izobară este o transformare simplă în care se schimbă temperatura şi volumul, presiunea rămănând neschimbată, p=constant. În acest caz, după cum s-a arătat anterior, se efectuează lucru mecanic şi se face schimb de căldură. Căldura molară Cp corespunde unei transformări politrope cu κ =0. Ecuaţia transformării izobare deduse din ecuaţia termică de stare este: V=
υR mR T= T p µp
(4.226)
deci într-o transformare izobară a unei mase constante de acelaşi gaz ideal, volumul ocupat de gaz creşte liniar cu temperatura. Panta dreptei care reprezintă dependenţa volmului de temperatură are valoarea invers proporţională cu presiunea, dar depinde şi direct proporţional de numărul de kilomoli. (Fig. 4.14): V V2 V1
p1 〉 p2 Fig. 4.14
T
153
4.7.6 Densitatea gazului ideal Gazele au masă dar nu au volum propriu, ele având volumul vasului în care se află. De aici se trage concluzia că gazele nu au nici densitate constantă. Aceasta va depinde de presiune şi de temperatură. Densitatea unui gaz este definită ca fiind reportul dintre masa gazului şi volumul ocupat de acesta. ρ=
m V
(4.227)
Înlocuind în aceată relaţie masa din ecuaţia termică de stare (4.197) se exprimă densitatea gazului ideale prin următoarea relaţie: ρ=
pµ RT
(4.228)
Se remarcă dependenţa densităţii de presiune şi de temperatură. Atunci când gazul se află în condiţii normale de presiune şi temperatură, adică la T0=273,150C şi la p0=1.013.105 N/m2, densitatea sa este: ρ0 =
p0 µ RT0
(4.229)
Densitatea din alte condiţii se exprimă în funcţie de densitatea normală, prin relaţia: ρ = ρ0
p T0 p0 T
(4.230)
Presiunea exercitată de coloana infinitezimală, este: −dp = ρ ( z ) gdz
(4.231)
Înlocuind densitatea din relaţia (4.228), rezultă următoarea ecuaţie diferenţială: dp µ g dz =− p R T ( z)
4.7.6.1
Dependenţa presiunii barometrică)
(4.232) aerului
de
înălţime
(formula
O coloană de aer exercită o presiune asupra unei suprafeţe datorită greutăţii sale. Dacă se consideră o coloană având înălţimea z, aceasta va exercita la bază o presiune p(z). Pentru a calcula această presiune, se consideră la înălţimea z, un strat de aer de înălţime infinitezimală dz pe care presiunea scade cu dp ca în fig. 4.15:
154
Fig. 4.15
Presiunea exercitată de coloana infinitezimală, este: −dp = ρ ( z ) gdz
(4.231)
Înlocuind densitatea din relaţia (4.228), rezultă următoarea ecuaţie diferenţială: dp µ g dz =− p R T ( z)
(4.232)
La sol, presiunea este p0, iar la o înălţime oarecare z, este p. După integrare rezultă relaţia: p µg dz ln =− ∫ p0 R 0 T (z) z
(4.233)
sau: z
p ( z ) = p0e
−
µ g dz R T( z)
∫ 0
(4.234)
Această relaţie este denumită formula barometrică şi permite calcularea presiunii la înălţimea z, atunci când se cunoaşte dependenţa temperaturii de înălţime. În mod normal, temperatura aerului scade cu înălţimea, dar pentru creşteri nu prea mari ale înălţimii, atmosfera poate fi aproximată ca fiind izotermă. T=constant: în acest caz formula barometrică ia următoarea formă: p ( z ) = p0e
−
µ gz RT
(4.235)
În multe alte situaţii se poate considera că scăderea temperaturii cu înălţimea se produce liniar, cu o rată de scădere α după o lege de forma: T ( z ) = T0 − α z
(4.236)
155
în această situaţie, relaţia 4.232 se transformă în modul următor: dp µ g dz =− p R T0 − α z
(4.237)
după integrarea acestei relaţii se obţine următoarea expresie pentru presiune: α p ( z ) = p0 1 − T0
µg
Rα z
(4.238)
Formula barometrică stă la baza proiectării altimetrelor şi a detonatoarelor de înălţime a proiectilelor antiaeriene. 4.7.6.2 Dependenţa densităţii aerului de înălţime şi de gradientul de temperatură Pentru a deduce modul în care densitatea variază cu înălţimea, derivează expresia densităţii cu înălţimea z ,de la nivelul solului: dρ µ 1 dp p dT = − 2 dz R T dz T dz
(4.239)
Din formula (4.231) rezultă: dp = − ρg dz
(4.240)
Înlocuind în expresia anterioară, se va obţine următoarea relaţie: dρ µρ g µp 1 dT =− − dz RT RT T dz
(4.241)
reorganizând relaţia se obţine: dρ ρ =− dz T
(
µg dT + ) R dz
(4.242)
Pentru a obţine expresia densităţii la o înălţime z oarecare, se rescrie expresia în modul următor: dρ µg dz dT =− − ρ R T (z ) T
(4.243)
şi se integrează de la nivelul solului z=0; ρ=ρ0 ; T=T0 la înălţimea z unde temperatura este T(z) şi densitatea aerului este ρ.
156
ρ
dρ µg =− ρ R
∫
ρ0
ln
ρ µg =− ρ R
z
∫ 0
z
dz − T (z)
∫ 0
T (z)
∫
T0
dT T
(4.244)
dz T − ln T (z) T0
(4.245)
în final se obţine relaţia: µg
z
dz
− ∫ T R T(z) ρ = ρ0 0 e 0 T ( z)
(4.246)
Dacă temperatura se menţine constantă, T(z)=T0, (atmosferă izotermă), densitatea scade exponenţial după următoare lege: ρ ( z ) = ρ0e
−
µ gz RT0
(4.247)
Dacă temperatura scade liniar cu înălţimea, cum se întâmplă foarte des cu o aproximaţie foarte bună, după o lege de forma: T = T0 − α z
(4.248)
α, fiind valoarea gradientului de temperatură, atunci densitatea variază cu înălţimea după următoarea lege: α ρ ( z ) = ρ0 1 − T0
µg
Rα z
−1
α = ρ0 1 − T0
αa
α z
−1
(4.249)
µg =3,42.10-2 K/m se numeşte gradient de autoconvecţie şi R dacă α = α a , densitatea aerului este constantă pe înălţime (atmosferă izodensă). α Dacă α 〈α a atunci, exponentul, 0 − 1〉 0 şi funcţia ρ ( z ) este descrescătoare, α densitatea straturilor superioare fiind mai mică decât a celor inferioare. Această situaţie este până la un punct normală, conferind o bună stabilitate pe verticală a maselor de aer. Totuşi, chiar şi în această situaţie un gradient termic α mult mai mare decât cel normal întâlnit de obicei la contactul unei mase de aer mai calde cu solul sau marea rece face ca densitatea să scadă foarte rapid provocând refracţia anormală a sunetelor sau a undelor electromagnetice. α Dacă α 〉α a atunci, exponentul, 0 − 1〈 0 şi funcţia ρ ( z ) este crescătoare, α densitatea straturilor superioare fiind mai mare decât a celor inferioare. Această
Mărimea α a =
157
situaţie este numită inversiune termică. În acest caz, straturile superioare de aer cu densitate mai mare tind să coboare şi să dezlocuiască masele inferioare cu densitate mai mică, provocând o instabilitate verticală a coloanei de aer. 4.7.7 Gaze reale. Ecuaţia de stare van der Waals Experimentele efectuate asupra gazelor la presiuni mari şi la temperaturi scăzute au relevat abateri de la comportamentul de gaz ideal. Pentru cantitate dată de gaz ideal aflat la T= constant, dacă se reprezintă produsul pV în funcţie de p izoterma trebuie să fie o dreaptă paralelă cu axa p. În realitate, nici un gaz nu are exact acest comportament mai ales la presiuni mari. În fig. 4.16 este reprezentată izoterma pV=f(p) pentru trei gaze la temperatura T0=273 K.
Fig. 4.16
Se observă că abaterile de la izoterma gazului ideal cresc cu presiunea şi depind şi de natura gazului. Cauzele acestei abateri sunt simplificările introduse în construirea modelului de gaz ideal la care nu s-a ţinut cont de volumul propriu a moleculelor şi de existenţa unor forţe de atracţie între ele. Pentru a descrie comportamentul gazelor reale, van der Waals a introdus două corecţii în ecuaţia termică de stare a gazului ideal. Acestea sunt: - corecţia de volum: volumul disponibil mişcării moleculelor este mai mic decât volumul geometric al incintei, pentru că o parte din aceasta este ocupată de moleculele de gaz care de astă dată, au un volum propriu Vp. Dacă se notează cu v volumul unei molecule şi cu N numărul lor, atunci volumul ocupat de molecule este: V p = Nv = υ N A v
(4.250)
Produsul de constante N Av se notează cu b şi se numeşte covolum. Covolumul depinde de natura gazului.
158
- corecţia de presiune: moleculele se atrag între ele cu forţe de coeziune care se exercită pe distanţe relativ mici. Acţiunea acestor forţe este echivalentă cu existenţa unei presiuni interne pi care se adaugă la presiunea exercitată asupra gazului. Cu aceste două corecţii ecuaţia termică de stare a gazului real va avea următoarea formă:
( p + pi )(V − υb ) = υ RT
(4.251)
Expresia explicită a presiunii interne se poate deduce plecând de la faptul că forţele de atracţie dintre molecule sunt forţe care se exercită pe o distanţă mică, având ordinul de mărime σ=10-8 cm. În interiorul masei de gaz, fiecare moleculă este atrasă în toate direcţiile de un număr foarte mare de alte molecule aflate în sfera de rază σ (sfera de acţiune moleculară) deci, rezultanta acestor forţe este nulă. Asupra moleculelor aflate în apropierea peretelui vasului, acţionează doar moleculele care se găsesc la o distanţă egală cu raza de acţiune moleculară, deci rezultanta acestor forţe este îndreptată spre interiorul masei de gaz şi este normală la perete ca în fig. 4.17.
σ
Fig. 4.17
Numărul de molecule care exercită aceste forţe de atracţie este proporţional cu numărul de molecule Nσ care se găsesc într-un volum Vσ=σΔS. Notând cu n0 concentraţia moleculară: Nσ = n0σ∆S
(4.252)
forţa de atracţie f1 care se exercită asupra unei molecule este proporţională cu acest număr. Pe de altă, parte numărul de astfel de molecule care sunt atrase spre interiorul masei de gaz este, de asemenea, proporţional cu concentraţia moleculară. Deci, rezultanta forţelor de atracţie spre interior va fi: f ~ η 0 f1 ~ η 02τ∆S
(4.253)
Introducând un factor de proporţionalitate A dependent de natura gazului, presiunea internă se va putea exprima astfel:
159
pi =
f = n02σ A ∆S
(4.254)
Concentraţia moleculară se exprimă prin relaţia: n0 =
N N =υ A V V
(4.255)
înlocuind în expresia presiunii interne rezultă: pi = υ 2
N A2 Aσ V2
(4.256)
Se introduce constanta dependentă de natura gazului, a = N A2 Aσ şi ecuaţia de stare a gazului real va avea forma următoare: υ 2a p + (V − υ b ) = υ RT V2
(4.257)
Această ecuaţie se numeşte ecuaţia lui van der Waals. 4.7.7.1 Energia internă a gazului real Energia internă a unei cantităţi date de gaz real este mai mică decât pentru aceeaşi cantitate gaz ideal pentru că, la formarea gazului, forţele interne efectuează un lucru mecanic care se cedează mediului sun formă de căldură. Deci, pentru a obţine energia internă a gazului real, din energia internă a gazului ideal se va aduna lucrul efectuat de forţele interne. V
U = υCV T + ∫ pi dV
(4.258)
∞
înlocuind presiunea internă: V
1 dV 2 V ∞
U = υCV T + υ 2 a ∫
(4.259)
Admiţând că la V → ∞ energia internă tinde către o valoare arbitrară U0 şi efectuând integrarea se obţine expresia energiei interne a gazului real (van der Waals). U = U 0 + υCV T −
υ 2a V
(4.260)
160
Este de remarcat că spre deosebire de gazul ideal la care energia internă depinde doar de temperatură, energia internă a gazului real depinde şi de volumul ocupat de acesta, U = U (T ,V ) . 4.7.7.2 Coeficienţii calorici ai gazului real Dependenţa energiei interne a gazului real de volum face ca valorile coeficienţilor calorici să difere de valorile acestora la gazul ideal. Din ecuaţia de stare van der Waals rezultă: υR ∂p = ∂T V V − υ B
(4.261)
şi: 2aV 2 υ RT ∂p = − ∂V 2 V3 T (V − υb )
(4.262)
Dacă se iau în considerare relaţiile (4.10) şi (4.16) se poate scrie expresia: ∂p υR V ∂ ∂T V = V − υb = − ∂p 2aV 2 υ RT ∂T p − 2 V3 ∂V T (V − υ b )
(4.263)
înlocuind relaţia (4.263) în (4.202) şi luând din nou în considerare ecuaţia de stare van der Waals, rezultă relaţia dintre căldurile molare pentru gazul real: C p − CV = R
1 2υ a (V − υ b ) 1− RTV 3
2
(4.264)
de cele mai multe ori, este satisfăcută relaţia: 2υ a 〉〉1 , caz în care se obţine, după o dezvoltare în serie a expresiei VRT (4.264), următoarea relaţie aproximativă între cei doi coeficienţi calorici. 2υ a C p − CV = R 1 + VRT
(4.265)
161
4.7.7.3 Procese adiabatice ale gazului real. Efectul Joule-Thomson. Deducerea coeficientului de destindere laminară. Efectul Joule –Thomson este fenomenul de variaţie a temperaturii unui gaz ca urmare a variaţiei volumului, printr-o destindere adiabatică. Dacă o masă de gaz având energia internă U1, temperatura T1 şi presiunea p1, aflat într-o incintă de volum V1, se destinde adiabatic la un volum mai mare V2, energia sa internă devine U2, presiunea p2 şi temperatura T2. Transformarea fiind adiabatică variaţia energiei interne este egală cu lucrul efectuat, nu depinde de proces. Prin urmare: 2
2
2
1
1
1
∫ dU = − ∫ δ L = − ∫ pdV
(4.266)
rezultatul integrării este în mod evident: U 2 − U1 = p1V1 − p2V2
(4.267)
această relaţie se poate pune sub forma: U1 + p1V1 = U 2 + p2V2
(4.268)
Deci procesul are loc cu conservarea entalpiei. H=H(p,T)=constant sau: ∂H ∂H dH = dp + dT = 0 p ∂ ∂T p T
Mărimea care exprimă amploarea efectului coeficientul de destindere laminară, definită prin relaţia: µ=
dT dp
(4.269) Joule–Thomson
este
(4.270)
dacă se ia în considerare relaţia (4.269) se obţine: ∂H ∂p dT µ= = − dp ∂H ∂T
T p
(4.271)
∂H Dacă se ţie cont de relaţia C p = , coeficientul de destindere ∂T p laminară se poate pune sub forma următoare:
162
∂H ∂p T µ =− Cp
(4.272)
pentru calcularea numărătorului din această relaţie în cazul unul kilomol de gaz van der Waals, se exprimă entalpia în modul următor: dH = d (U + pV ) = dU + pdV + Vdp
(4.273)
Înlocuind energia internă a gazului van der Waals şi ţinând cont şi de ecuaţia sa de stare, relaţia (4.273) se va transforma în felul următor: dH = CV dT +
a RT dV + pdV + Vdp = CV dT + dV + Vdp 2 V V −b
(4.274)
de aici mărimea necesară calculării coeficientului de destindere laminară este: ∂H RT ∂V =V + V − b ∂p T ∂p T
(4.275)
Exprimând presiunea din ecuaţia de stare van der Waals şi derivând-o în funcţie de volum la temperatură constantă, se obţine relaţia următoare: ∂V 1 = 2a RT ∂p T − 2 2 V (V − b )
(4.277)
Înlocuind relaţia (4.277) în (4.275) se obţine, după mai multe calcule algebrice, următoarea expresie pentru coeficientul de destindere laminară. 2
2a b b− 1 − 1 RT V µ =− 2 Cp 2a b 1− 1 − RTV V
(4.278)
Din relaţia 4.264 se deduce relaţia: C p − CV = R
1 2υ a (V − υ b ) 1− RTV 3
2
prin urmare, pentru un gaz real este valabilă relaţia:
(4.279)
163
C p − CV R
〉0
(4.280)
Deci, numitorul expresiei (4.279) satisface următoarea relaţie: 1 2υ a (V − υ b ) 1− RTV 3
2
〉0
(4.281)
şi, prin urmare, semnul coeficientului de destindere laminară este dat de numărătorul expresiei (4.279): 2a b b− 1 − RT V
2
(4.282)
La temperatura Ti numită temperatura de inversie, numărătorul fracţiei din relaţia (4.265) se anulează: 2a b Ti = 1 − Rb V
2
(4.283)
Dacă T 〈Ti , atunci coeficientul de destindere laminară este pozitiv. µ=
dT 〉0 dp
(4.284)
şi în acest caz, dacă prin destinare gazul îşi reduce presiunea, p2 〈 p1 , dp〈 0 rezultă că temperatura sa scade. În acest caz, se spune că efectul Joule-Thomson este pozitiv. Dacă T 〉Ti , prin dilatare gazul se încălzeşte şi atunci efectul JouleThomson este negativ. Semnul coeficientului de destindere laminară este dependent de raportul corecţiilor din ecuaţia van der Waals, deci este dependent de natura gazului. Dacă T = Ti are loc inversia adică, trecerea de la efectul Joule-Thomson pozitiv la cel negativ şi din acest motiv temperatura Ti este numită temperatura de inversie. În cazul gazului ideal, efectul Joule-Thomson este absent. Efectul JouleThomson are un număr însemnat de aplicaţii practice în termotehnică şi în teoria turbinelor.
164
4.8 Transformări de fază Transformarile de fază sunt procese termodinamice care au ca urmare schimbări ale fazei într-un sistem termodinamic. O fază este o parte a unui sistem termodinamic care prezintă aceeaşi compoziţie şi aceleaşi proprietăţi fizice în toate punctele sale separată de alte părţi ale sistemului de o suprafaţă de separaţie. La traversarea acestei suprafeţe de separaţie proprietăţile sistemului suferă salturi. Dacă sistemul este compus dintr-un lichid şi vaporii săi, atunci lichidul reprezintă o faza, iar vaporii alta. Majoritatea substanţelor au doar o singură fază solidă, una lichidă şi una gazoasă. Există însă substanţe care în stare solidă pot prezenta structuri cristaline diferite, adică mai multe faze corespunzătoare aceleiaşi stări de agregare solide, deci nu trebuie confundată faza cu starea de agregare, deşi schimbările stării de agregare constituie cazuri particulare de transformări de fază. Transformările de fază, se clasifică în două tipuri: Transformări de fază de speţa I, care sunt transformările la care transformarea se produce la o temperatură constantă, schimbând cu mediul o căldură numită căldură latentă. Dacă se notează căldura latentă schimbată cu Ql şi cu m masa corpului care suferă transformarea, căldura latentă a unităţii de masă se va numi căldură latentă specifică. λ=
Ql m
(4.285)
Pentru corpurile omogene din punctul de vedere al compoziţiei, căldura latentă specifică este o constantă de material. Transformările de fază de speţa I cele mai importante sunt vaporizareacondensarea, topirea-solidificarea, sublimarea-desublimarea, etc. Transfomările de speţa a II-a, sunt acele transformări în care schimbul de căldură nu are loc şi se produc variaţii bruşte ale coeficienţilre termodinamici. Aceste transformări de fază sunt, de cele mai multe ori, legate de ordonarea în structuri cristaline. Din multitudinea de transformări de fază, în continuare vor fi prezentate doar transformările de fază care însoţesc schimbarea stării de agregare gaz-lichid. 4.8.1 Lichefierea gazelor Odată cu descoperirea structurii moleculare a substanţei, a apărut ideea că lichidele nu sunt altceva decât gaze puternic comprimate. Primele experimente făcute în acest sens de Faraday au arătat că unele gaze cum sunt dioxidul de carbon, amoniacul, butanul, etc, se lichefiează dacă sunt comprimate suficient dar altele cum sunt oxigenul, hidrogenul sau azotul rămân în stare gazoasă chiar dacă sunt comprimate la presiuni foarte mari, la temperatura camerei. În 1869, Andrews a studiat variaţia presiunii dioxidului de carbon în
165
funcţie de volum, în condiţii izoterme. Studiind lichefierea dioxidului de carbon la diferite temperaturi, el a obţinut familia de curbe prezentate în figura (4.18), fiecare curbă reprezentând o transformare izotermă a gazului efectuată la o anumită temperatură.
Figura 4.18
Fig. 4.18
Ana1izând izoterma corespunzătoare temperaturii de 130 C, se constată că ea este formată din trei porţiuni. Porţiunea D A se apropie de aspectul unei hiperbole echilatere, ea ne arată că, micşorând volumul, presiunea creşte (fig. 4.18) până în punctul A. În acest punct începe lichefierea şi, pe măsură ce se micşorează volumul, o cantitate tot mai mare de gaz se lichefiază şi din acest motiv presiunea se menţine constantă. Când volumul ajunge la valoarea corespunzătoare abscisei punctului B, tot gazul s-a 1ichefiat. În acest timp, forţele interne efecuează lucru mecanic, realizând legături între particule, formând o structură specifică stării lichide. Lucrul efectuat de forţele interne se eliberează sub forma căldurii latente. Presiunea corespunzătoare părţii orizontale AB rămâne constantă (46 atm), şi gazul capătă proprietăţile vaporilor saturanţi. Aceşti vapori sunt cei care sunt în contact cu lichidul din care provin şi care nu îşi modifică presiunea la variaţia volumului, pentru că, la reducerea volumului, un număr tot mai mare de particule trec prin suprafaţa de separaţie în faza lichidă, şi nu mai contribuie la ciocnirile cu pereţii incintei. Stabilirea echilibrului dintre lichid şi vapori este rezultatul a două procese care se desfăşoară în sens contrar, trecerea moleculelor din lichid în gaz, şi trecerea moleculelor din gaz în lichid. Aceste două procese au loc independent. Numărul de molecule care pleacă din masa de lichid în masa de vapori depinde de densitatea lichidului, iar numărul de molecule care pleacă din masa de vapori în masa de lichid depinde de densitatea vaporilor. Ţinând seama de compresibilitatea redusă a lichidului, densitatea acestuia variază foarte puţin cu variaţia presiunii gazului. Se poate considera aproximativ că variază numai volumul şi masa fazei lichide, nu şi densitatea acesteia. Presiunea se menţine constantă până la
166
transformarea totală a gazului în lichid. În timpul lichefierii, presiunea fiind constantă, modificarea volumului are loc prin modificarea raportului dintre masa lichidului şi a vaporilor. Continuând să se micşoreze volumul, graficul BC arată că presiunea creşte rapid, fiindcă lichidul este foarte puţin compresibil. Pentru temperaturi mari, aspectul curbelor izoterme se modifică, pa1ierul, A 1B1 micşorându-se până la izoterma coreopunzătoare tcmperaturii de 31,1 0C la care palierul se reduce la un punct C. În acest punct izoterma prezintă un punct de inflexiune. Temperatura Tc= 31,1 0C se numeşte temperatura critică a gazului, iar volumul şi presiunea corespunzătoare se numesc volum critic şi presiune critică. Pentru temperaturi mai ridicate, aspectul curbelor se apropie de cel al izotermelor gazelor ideale. Dacă se unesc punctele B B1 B2 C A2 A1 A, rezultă curba numită curba de saturaţie. Această curbă împreună cu izoterma critică, împarte planul pV în patru regiuni ca în fig. 4.19.
Fig. 4.19
Regiunea 1 corespunde stării gazoase. Gazul nu se mai poate lichefia oricare ar fi presiunea. Regiunea 2, cuprinsă între izoterma critică, curba de saturaţie şi axa volumelor, corespunde vaporilor nesaturaţi, care au un comportament descris de ecuaţia van der Waals şi care se pot lichefia prin comprimare. Regiunea 3 corespunde vaporilor saturanţi, adică unor vapori aflaţi în contact cu lichidul din care provin şi cu care sunt în echilibru. Regiunea 4, între ordonată, izoterma critică şi curba de saturaţie, corespunde stării lichide a substanţei respective. Temperatura critică este temperatura deasupra căreia un gaz nu mai poate fi lichefiat, oricât de mare ar fi presiunea. Presiunea critică este presiunea minimă la care un gaz se lichefiază la temperatura critică. Studiul graficului permite să se tragă încă o concluzie importantă şi anume că un gaz răcit sub temperatura critică necesită pentru lichiefiere presiuni cu atât mai mici, cu cât se află la o temperatură mai scăzută. La temperatura critică nu se mai poate face distincţie între starea lichidă şi
167
ceea gazoasă. Suprafaţa de separaţie dintre lichid şi gaz dispare, fluidul capătă un aspect opalescent şi densitatea vaporilor saturanţi coincide cu densitatea lichidului. Acest fenomen este ilustrat de curba reprezentată în fig. 4.20 numită Mathias-Cailletet, care reprezintă densitatea fluidului în funcţie de temperatură. ρ lichid ρ vapori = ρ lichid
Punct critic C
Vapori saturanţi T Tc
Fig. 4.20
La temperatura critică dispare orice deosebire dintre lichid şi gaz. În jurul acestei temperaturi trecerea de la starea gazoasă la starea lichidă la ceea gazoasă şi invers se face în mod continuu. Izotermele lui Andrews au fost deduse experimental, prima dată, pentru dioxidul de carbon, dar toate gazele reale au acelaşi comportament. Toate pot fi lichefiate dacă sunt comprimate la o presiune mai mare decât presiunea critică, cu condiţia ca această comprimare să aibă loc la o temperatură mai mică decât temperatura critică. Între izotermele determinate experimental şi cele teoretice ale lui van der Waals există o diferenţă netă datorită diferenţelor calitative existente între stările de gaz şi lichid. Dacă se explicitează presiunea din ecuaţia de stare van der Waals şi se reprezintă grafic, la valoari constante ale temperaturii se obţine graficul din fig. 4.21
168
Fig. 4.21
Dacă se ordonează termenii din ecuaţia van der Waals, după puterile volumului se obţine pentru un kilomol de gaz, următoarea ecuaţie de gradul trei. RT 2 a ab V 3 − b + V + V− =0 p p p
(4.286)
Pentru o anumită presiune şi temperatură, această ecuaţie are trei rădăcini care pot fi toate trei reale, una reală şi două complex conjugate sau toate trei complexe. Dacă temperatura este mai mică decât temperatura critică, o paralelă la axa volumelor p1 = constant taie izoterma corespunzătoare din graficul presiunii în trei puncte care corespund celor trei rădăcini reale. Acest comportament nu se regăseşte în realitate, căci la gazele reale curba BMNA este înlocuită cu palierul AB corespunzător lichefierii gazului. În plus, apare anomalia că pe porţiunea MN a curbei, presiunea creste odată cu creşterea volumului. Pe măsură ce temperatura creşte, cele trei rădăcini se apropie una de alta pentru ca la temperatura critică să se confunde. Acesată obsrevaţie permite determinarea coordonatelor punctului critic, căci în acest punct izoterma critică are un punct de inflexiune cu tangenta orizontală. Din ecuaţia van der Waals se explicitează presiunea: p=
RT a − 2 V −b V
(4.287)
şi se calculează derivatele care în punctul de inflexiune se anulează: RTc 2a ∂p =0 =− 2 + ∂V c (Vc − b ) Vc3
şi:
(4.288)
169
∂2 p 2 RTc 6a = − 4 =0 3 2 ∂V c (Vc − b ) Vc
(4.290)
Rezolvând sistemul rezultă următoarele coordonatele ale punctului critic pentru un kilomol. pc =
a 8a ; Vc = 3b şi Tc = 2 27b 27bR
(4.291)
Se remarcă faptul că coordonatele punctului critic depind de natura gazului prin intermediul constantelor a şi b. O serie de puncte din domeniul BMNA pot totuşi să fie realizate pe cale experimentală. Se disting mai multe posibilităţi, din care mai importante sunt următoarele. Într-un spaţiu lipsit de praf şi de sarcini electrice se pot obţine vapori la o presiune mai mare decât presiunea vaporilor saturanţi p0, corespunzătoare temperaturii T0. Vaporii în această situaţie sunt numiţi vapori suprasaturanţi. Deşi V 〈V gaz substanţa continuă să rămână în faza gazoasă. Partea NA din regiunea aflată în dreapta maximului, în care presiunea scade, deşi volumul creşte. Dacă în masa de gaz suprasaturant apar particule străine sau ioni, aceştia devin centrii de condensare în jurul cărora se vor aduna picături microscopice de lichid, care vor provoca condensare în avalanşă în întreaga masă de substanţă. Astfel, se formează dârele de condensare care însoţesc avioanele aflat în zbor la mare înălţime şi dârele de ceaţă care urmează traiectoriile particulelor elementare în camerele de ceaţă utilzate în fizica nucleară. Regiunea BM a izotermei, corespunde unei situaţii, în care substanţa rămâne în stare lichidă sub presiune mai mică decât presiunea de vapori p0 şi la V 〉Vlichid fără ca ea să treacă în stare de vapori. Starea aceasta este denumită stare de lichid supraîncălzit. Dacă în lichidul supraîncălzit apar, dintr-un motiv oarecare, particule străine sau ioni, în jurul acestora se vor aduna bule microscopice de gaz. Aceste bule vor iniţia fierberea în întreaga masă de fluid. Bazată pe acest fenomen este camera cu bule, care în fizica nucleară, vizualizează traiectora particulelor printr-o dâră de bule produse de acestea într-un lichid supraîncălzit. Regiunea MN corespunde unei stări metastabile a substanţei, care nu poate fi realizată. Se va trece brusc în una din cele două stări anterioare. 4.8.2 Dependenţa temperaturii de schimbare de fază de presiune. Ecuaţia Clausius-Clapeyron Se remarcă pe figura 4.21 că pentru fiecare izotermă Andrews palierul care corespunde lichefierii are o altă presiune. De aici rezultă concluzia că între temperatura la care se produce schimbarea de fază şi presiunea la care produce
170
aceasta există o legătură. Această legătură este exprimată matematic de ecuaţia Clausius-Clapeyron. Pentru a deduce această ecuaţie se va recurge în continuare la metoda ciclurilor. În fig. 4.22 se consideră două izoterme infinit de apropiate T şi T+dT, care se desfăşoară în vecinătatea presiunii ps la care se produce schimbarea de stare şi ciclul elementar reversibil ABCD.
Fig. 4.22
Lucrul mecanic efectuat pe acest ciclu este: LAB = (Vg − Vl ) ( ps + dps − p s ) = (Vg − Vl ) dps
(4.292)
căldura schimbată pe izoterma AB este chiar căldura latentă de schimbare a stării: Ql = mλ
(4.293)
Randamentul procesului va fi: LAB (Vg − Vl ) dps = Ql mλ
η=
Notând cu v =
(4.294)
1 V volumul specific ( v = ), expresia randamentului va fi m ρ
următoarea: η=
(v
g
− vl ) dps λ
(4.295)
Pe de altă parte, ciclul fiind infinitezimal se pot neglija căldurile schimbate pe BC şi DA, deci ciclul ABCD poate fi asimilat unui ciclu Carnot cu randamentul:
171
η=
T + dT − T dT = T + dT T
(4.296)
Egalând randamentele, se obţine ecuaţia Clausius-Clapeyron: dps λ = dT T ( vg − vl )
(4.297)
În cazul transformării din lichid in vapori (vaporizare) v g 〉〉 vl şi dacă se consideră că starea de vapori aflată pe porţiunea de hiperbolă din izoterma Andrews satisface ecuaţia termică de stare a gazului ideal pentru o masă unitară: pv =
1 RT µ
(4.298)
Prin înlocuire în (4.297), rezultă expresia: ln ps = −
λµ +C RT
(4.299)
Dacă la T0 presiunea este p0: C = ln p0 +
λµ RT0
(4.300)
prin înlocuirea constantei şi prelucrarea relaţiei rezultă: ps = p0 e
−
λµ 1 1 − R T T0
(4.301)
Dacă se reprezintă grafic această presiune în funcţie de temperatură, se obţine curba de echilibru dintre cele două faze, numită curba echilibrului bifazic, ca în fig. 4.23. p L G T Fig. 4.23
Din relaţia (4.301) se poate deduce pentru căldura latentă specifică relaţia următoare:
172
λ ≈ RT 2
d ln ps dT
(4.302)
Dacă se exprimă variaţia de temperatură din ecuaţia Clausius-Clapeyron: dT =
Tt ( v − v ) dp λt final initial
(4.303)
aceasta, permite deducerea modului în care se produce modificarea temperaturii de schimbare a stării în cazurile cele mai cunoscute. Fierberea este o trecere a lichidului în stare de vapori care are loc în întreaga masă a lichidului. Volumul vaporilor este mult mai mare decât cel al lichidului din care provine. v final = v g 〉〉 vinitial = vl .
În acest caz, dacă dp〉 0 , se constată o creştere a temperaturii de fierbere dT f 〉 0 .
La fel se întâmplă şi în cazul evaporării care este o vaporizare produsă la suprafaţa liberă de separaţie dintre un lichid şi o atmosferă nemărginită. Topirea, este o trecere din starea solidă în starea lichidă. În general, vlichid 〉 vsolid deci dp 〉 0 ⇒ dT 〉 0 prin urmare, creşterea presiunii duce la creşterea temperaturii de topire. Gheaţa formată prin solidificarea apei formează structura cristalină prin intermediul unor legături speciale cu punţi de hidrogen, din care motiv volumul gheţii formate este mai mare decât volumul apei din care a rezultat. În această situaţie vlichid 〈vsolid şi creşterea presiunii va duce la reducerea temperaturii de topire. Dacă sunt prezente cele trei faze ale unei substanţe, echilibrul lor este posibil doar într-o stare care în planul p=p(T) se reprezintă printr-un punct numit punctul triplu al substanţei, ca în fig. 4.24. p
lichid solid
Punct critic gaz vapori
T Ttriplu
Tcritic
Fig. 4.24
173
Parametrii punctului critic depind de natura substanţei În cazul apei, θ triplu = 0,010 C , această valoare este utilizată la definirea unităţii internaţionale de temperatură termodinamică, kelvinul.
5. Fenomene electrostatice În natură există particule elementare şi sisteme de particule elementare. Între acestea există interacţiuni care, în momentul de faţă, se clasifică în, interacţiunea gravitaţională, interacţiunea electromagnetică, interacţiunea tare şi interacţiunea slabă. Interacţiunea electromagnetică este transmisă prin intermediul câmpului electromagnetic, care reprezintă o formă specială de existenţă a materiei, care acţionează asupra corpurilor sau particulelor care au o sarcină electrică, aceasta are o repartizare continuă în spaţiu şi timp, şi care poartă energie electromagnetică capabilă să se transfere în alte forme de energie. Câmpul electromagnetic are două componente: electrică şi magnetică. Cele două componente coexistă, generându-se reciproc. Dacă se iau în considerare doar sarcini electrice aflate în repaus, experienţa va pune în evidenţă numai componenta electrică. În cazul sarcinilor aflate în mişcare se va pune în evidenţă atât componenta magnetică, cât şi cea electrică. 5.1 Electrostatica Electrostatica se ocupă cu fenomenele care apar în prezenţa sarcinilor aflate în repaus. Aceste feomene se produc fără schimb de căldură cu mediul. În cele discutate mai înainte a apărut conceptul de sarcină electrică. Acest concept are o evoluţie istorică destul de îndelungată. Primele fenomene electrice observate din antichitate, au fost fenomenele de electrizare prin frecare şi influenţă. S-a observat că interacţiunea dintre un corp electrizat şi corpurile înconjurătoare poate fi mai mare sau mai mică, deci este necesară introducerea unei mărimi fizice pentru a caracteriza din punct de vedere cantitativ electrizarea unui corp. În acest scop, s-a introdus mărimea fizică numită sarcină electrică. S-a constatat, prin foarte observaţii, că sarcina electrică se conservă, adică sarcina totală care intră într-un proces fizic este egală cu sarcina totală rezultată din proces. Corpurile care posedă sarcină electrică interacţionează între ele cu forţe de atracţie sau de respingere, numite forţe electrostatice. Existenţa acestor forţe a dus la ideea că există două feluri de sarcini numite astăzi sarcini pozitive şi negative. În general, sarcina electrică se notează cu Q şi în S.I. are unitatea de măsură 1A·s sau 1C. 5.2 Legea lui Coulomb În 1785 Charles August Coulomb, cu ajutorul unei balanţe de torsiune, a studiat forţa de interacţiune dintre două sarcini electrice punctiforme, găsind că mărimea acesteia este direct proporţională cu produsul sarcinilor şi invers proporţională cu pătratul distanţei dintre ele. Forţa este orientată de-a lungul dreptei care uneşte cele două sarcini şi ea este de atracţie, în cazul în care sarcinile au semne contrare şi de respingere, în cazul în care ele au acelaşi semn (Fig.4.1).
175
Fig. 5.1
F= k
q1 q 2 r2
(5.1)
S-a observat că mărimea forţei depinde şi de natura mediului prin care se transmite interacţiunea eletrostatică, deci constanta k depinde de natura mediului. Pentru a caracteriza capacitatea mediului de a transmite interacţiunea electrostatică, s-a introdus mărimea fizică numită permitivitate electrică a mediului ε cu ajutorul căreia constanta k se poate scrie: k=
1 4πε
(5.2)
Prin urmare, relaţia (4.1) devine: 1 q1 q 2 (5.3) F= 4πε r2 S-a observat că prin vid interacţiunea electrostatică se transmite cu cea mai mare intensitate deci, vidul are cea mai mică permitivitate: această permitivitate se 1 notează cu ε0 şi are valoarea ε 0 = 8 ,856 ⋅ 10 − 12 F/m, iar = 9 109. 4πε 0 Expresia matematică a legii lui Coulomb se poate exprima vectorial în r felul următor: se introduce un vector unitar ξ care are direcţia dreptei care uneşte r cele două sarcini. Forţa electrostatică F având aceeaşi direcţie, vom putea scrie: r r F = F ⋅ξ
(5.4)
Dar distanţa dintre q1 şi q2 se poate exprima vectorial prin relaţia: r r r = r ⋅ξ
(5.5)
Din (5.5), (5.4) şi (5.3) obţinem forma vectorială a legii lui Coulomb: r 1 q1 q 2 r F= r 4 πε r 3
(5.6)
5.3 Câmpul electric Se observă că prezenţa unei sarcini electrice schimbă proprietăţile spaţiului înconjurător în aşa fel încât, dacă în acest spaţiu se introduce un corp având o sarcină electrică, asupra acestuia acţionează o forţă electrostatică. Această interacţiune se transmite fără a fi nevoie de un intermediar „substanţial”, ca şi în
176
cazul interacţiunii gravitaţionale. Se numeşte câmp electric o stare a materiei care se manifestă prin forţe care acţionează asupra corpurilor având sarcină electrică. Pentru a caracteriza din punct de vedere cantitativ câmpul într-un punct se introduce mărimea numită intensitatea câmpului. Intensitatea câmpului într-un punct este o mărime fizică vectorială, egală cu limita raportului dintre forţa cu care câmpul acţionează în acel punct asupra unui corp punctiform pozitiv şi sarcina acelui corp, atunci când mărimea sarcinii tinde la zero. r r F (5.7) E = lim q →0 q r F Se ia lim pentru că în acest caz sarcina q nu poate influenţa distribuţia q→0 q de sarcină care creează câmpul. Dacă acest câmp este generat de o sarcină punctiformă fixă, atunci: E=
F şi F = q E q
(5.8)
forţa aceasta este numită şi forţă ponderomotoare. Această trecere la limită are un caracter oarecum artificial pentru că în natură nu s-a întâlnit până în prezent sarcină liberă mai mică decât e = 1,602 •10−19 As, sarcina numită elementară. Dacă o sarcină punctiformă Q generează câmpul, într-un punct situat la distanţa r forţa cu care câmpul acţionează asupra sarcinii punctiforme q .se poate scrie conform relaţiei (5.6), în modul următor: r 1 Q⋅q r (5.9) F= r 4πε r 3 Deci, conform definiţiei date intensitatea câmpului în acest punct se va exprima prin următoarea relaţie: r 1 Q r (5.10) E= r 4 πε r 3 Pentru scrierea acestei relaţii s-a ales ca origine a sistemului de coordonate chiar punctul în care este situată sarcina Q. Dacă suntem nevoiţi să alegem un alt punct ca origine, atunci sarcina Q se va afla în punctul A de coordonate, x1, y1,z1, iar intensitatea câmpului în punctul B de coordonate x2, y2,z2 se va exprima în felul următor: r r Q r12 (5.11) EB = 4πε r12 3
177
r Proiecţiile vectorului EB pe cele trei axe vor fi: r Q E Bx = 4πε 0 r Q E By = 4πε 0 r Q E Bz = 4πε 0
x1 − x2
( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) 2
2
2 + ( z1 − z 2 )
3
r ⋅i
3
r ⋅j
3
r ⋅k
y1 − y2
( x1 − x2 )
2
2 2 + ( y1 − y2 ) + ( z1 − z2 )
z1 − z 2
( x1 − x2 )
2
2 2 + ( y1 − y 2 ) + ( z1 − z 2 )
Cele arătate anterior sunt valabile pentru situaţia descrisă, câmpul din B fiind generat de o singură sarcină situată în A. Această situaţie nu se întâlneşte în realitate, decât în cazuri foarte rare. În general, câmpul electric într-un punct apare ca urmare a efectelor produse de mai multe sarcini, răspândite în spaţiu. Pentru abordarea unei astfel de situaţii se utilizează principiul suprapunerii câmpurilor. Aceasta o putem enunţa în felul următor. Fie E1 intensitatea câmpului electric într-un punct P generat de sarcina 1. Fie E 2 intensitatea câmpului electric generat de punctul P de sarcina 2. r r r Câmpul generat în punctul P de sarcinile 1 şi 2 este E = E1 + E 2 .
a
b Fig. 5.2
Dacă în spaţiu există o distribuţie discretă de sarcină q1, q2, ....,qi,...qn, într-un punct P(x,y,z), conform principiului supoziţiei se poate scrie: E p = E p1 + E p 2 + ...... + E pi + ...... + E pn
dar conform (5.11):
(5.12)
178
Ep =
q1 r 1 p q2 r2 p qi rip qn rnp + + ..... + + .... + 3 3 3 4πε0 r1 p 4πε0 r2 p 4πε0 rip 4πε0 rnp3
(5.13)
sau: Ep =
1 4 πε 0
n
∑ i =1
qi rip rip3
(5.14)
Proiecţiile vectorului intensitate a câmpului pe cele trei axe vor fi: ur r qi ( xp − xi ) 1 n E px = i ∑ 3 4πε 0 i =1 2 2 2 ( xp − xi ) + ( y p − yi ) + ( z p − zi ) ur qi ( y p − yi ) r 1 n (5.15) E py = j ∑ 3 4πε 0 i =1 2 2 2 ( x p − xi ) + ( y p − yi ) + ( z p − zi ) ur r qi ( z p − zi ) 1 n E pz = k ∑ 3 4πε 0 i =1 2 2 2 ( x p − xi ) + ( y p − yi ) + ( z p − zi ) De foarte multe ori (cel mai des), la nivel macroscopic este foarte greu de decelat o distribuţie discretă de sarcină, cu toate că sarcina electrică este discretă. De exemplu, pe o suprafaţă conductoare de dimensiuni macroscopice încărcată cu sarcina Q, aceasta poate fi considerată ca fiind distribuită continuu. În „norul de electroni” (sarcina spaţială) din jurul unui catod de tub electronic, sarcina este, de asemenea, distribuită continuu în volum, deci nu putem găsi puncte în care să avem q1, q2, ..., qn. Distribuţia continuă a sarcinilor este un model valabil doar la scară mare. Dacă avem un domeniu D în care sarcina Q este distribuită continuu, ca în figură, putem alege un subdomeniu de volum ΔV în care se găseşte sarcina Δq.
179
Fig. 5.3
Definim densitatea volumică de sarcină ρv în punctul M ca fiind limita raportului dintre sarcină şi volumul în care se găseşte sarcina atunci când volumul tinde la 0. ∆q ∆q dq = lim = P → M ∆V ∆V → 0 ∆V dV Q →M
ρv = lim
(5.16)
N →M
dq = ρ v dV
şi: q=
∫∫∫ ρdV
(5.17)
D
În aşa fel putem defini o densitate superficială de sarcină şi o densitate liniară de sarcină. λ = lim
∆l → 0
q=
∆q ∆l
∫ λdl
(5.18)
( L)
şi o densitate superficială de sarcină: σ = lim
∆s → 0
q=
∆q ∆s
∫ σ ds
(5.19)
(s)
Existând, datorită trecerii la limită în suma din (5.14) (4.14), o infinitate de termeni infinitezimali, suma se va transforma într-o integrală. Intensitatea
180
câmpului generat în punctul 1 de distribuţia de sarcină din punctul 2 se va exprima prin relaţia: ρ( 2) r12 1 (5.20) dV2 ∫∫∫ 4 πε 0 ( D ) r123 uur unde r12 este vectorul care uneşte punctului 1 în care calculăm E faţă de punctul 2, în care densitatea volumică de sarcină este ρ(x2,y2,z2). În general, rezolvarea acestei integrale vectoriale este dificilă şi, din acest motiv, se utilizează alte metode pentru a afla E atunci când se cunoaşte ρ(x,y,z). Dacă. câmpul electric este uniform, E are aceeaşi valoare în fiecare punct, dar de cele mai multe ori E se schimbă de la un punct ( E (x,y,z) este o funcţie continuă). Deci, fiecărui punct din spaţiu i se ataşează un vector E . Din acest motiv, spunem că câmpul electric este un câmp de vectori. Se poate obţine o reprezentare intuitivă a câmpului electric introducând noţiunea de linie de câmp. Numim linie de câmp o curbă tangentă în fiecare punct la direcţia locală a vectorului intensitate a câmpului electric. Sensul liniei de câmp se defineşte ca fiind sensul forţei care acţionează în acel punct asupra unei sarcini pozitive. Pentru a deduce ecuaţia unei linii de câmp se ţine cont de faptul că r elementul de arc dS este paralel cu E deci: E1 =
dS × E = 0
(5.21)
d S = dxi + dy j + dz k
(5.22)
Produsul vectorial (5.21) se poate explicita în felul următor: i d S × E = dx Ex
j dy Ey
k dz = i (E z dy − E y dz ) − j (E z dx − E x dz ) + k (E y dx − E x dy ) = 0 Ez
şi se poate pune sub următoarea formă: dz dy dz dx dx dy = ; = ; = Ez E y Ez Ex Ex E y
(5.23)
De unde vom obţine ecuaţia liniei de câmp: dx dy dz = = =η Ex E y Ez
(5.24)
181
Fig. 5.4
Liniile câmpului electric produs de corpurile electrizate sunt curbe deschise care pornesc din corpurile pozitive şi se închid la corpurile negative. Numărul de linii de câmp pe unitatea de suprafaţă ne dă o indicaţie cu privire la intensitatea câmpului electric în regiune. În A, ΔS fiind mai aproape de sarcină, E este mai mare şi se vede că pe el vin mai multe linii de câmp în punctul B.
Fig. 5.5
5.4 Fluxul câmpului electric printr-o suprafaţă Noţiunea de flux este o noţiune fundamentală în teoria câmpurilor vectoriale. Numim fluxul unui vector printr-o suprafaţă, o mărime scalară egală cu produsul dintre modulul acelui vector şi mărimea suprafeţei aşezată normal pe direcţia vectorului. În cazul vectorului intensitate a câmpului electric pe care îl notam cu ψ. Ψ=E·S
(5.25)
182
Fig. 5.6
Dacă suprafaţa S nu este perpendiculară pe direcţia lui E, ea îşi va „arăta” câmpului doar proiecţia sa Sn, ca în figura (5.7):
Fig. 5.7
Se observă că proiecţia normală Sn se poate calcula ca fiind: Sn = Scosα deci: Ψ = E ⋅ S n = E ⋅ S ⋅ cos α
(5.26)
Se remarcă faptul că o suprafaţă este o mărime vectorială pentru că întruneşte toate caracteristicile unui vector. Vectorul ataşat unei suprafeţe are modulul egal cu aria suprafeţei S şi o orientare în spaţiu definită de direcţia şi sensul normalei exterioare la suprafaţă. n . S = S ⋅n
(5.27)
În acest caz, unghiul α dintre S şi Sn este egal cu unghiul dintre E şi n sau E şi S . Deci, relaţia (5.26) se poate scrie ca fiind produsul scalar dintre vectorii E si S :
183
Ψ = E ⋅S
(5.28)
Tot ce s-a arătat până acum este valabil pentru suprafeţe plane şi pentru un E constant pe toată suprafaţa. Dar în cazul cel mai general, acest lucru nu este valabil, cum se întâmplă în fig. 5.8:
Fig. 5. 8
În acest caz, se va împărţi suprafaţa σ în suprafeţe ΔS1, ΔS2,....,ΔSi suficient de mici pentru ca să poată fi considerate plane şi pe ele să fie definit un singur E . Fluxul total prin suprafaţa σ va fi: n
n
i =1
i =1
Ψσ = ∑ E i ⋅ ∆S i ⋅ cos α i = ∑ E i ⋅ ∆ S i
(5.29)
Dacă însă intensitatea câmpului are o variaţie continuă, în fiecare punct ea va avea altă valoare E (x,y,z) (situaţie întâlnită des în practică), deci suprafeţele ΔSi vor trebui să tindă la 0, iar numărul termenilor din suma (5.29) tinde la infinit, deci suma se transformă într-o integrală dublă de suprafaţă. Extinsă pe întreaga suprafaţă σ. Ψ=
∫∫ E ⋅ S
(5.30)
(σ )
Fig. 5.9
184
5.5 Legea lui Gauss pentru câmpuri electrice (Legea fluxului electric) Se va calcula fluxul câmpului printr-o suprafaţă sferică ce înconjoară o sarcină punctiformă. Conform relaţiilor anterioare pentru intensitatea câmpului electric prin suprafaţa sferei este valabilă relaţia: E=
Q 4πε r 2
(5.31)
Fig. 5.10
Iar fluxul prin suprafaţa sferei va fi: Ψ = E 4π r 2 = ES sfera
dar pentru suprafaţa sferică, r este constant pe toată suprafaţa, deci: Ψ sfera =
∫∫ dS
Q dS sfera 4πε r 2 σ∫∫ sfera
sfera
= 4π r
(5.32)
2
σ sfera
dar liniile de câmp sunt radiale şi E este constant deci: ur ur Q ∫∫ E ⋅ S = ε σ sfera
(5.33)
Deci, fluxul câmpului electric printr-o suprafaţă sferică având o sarcină punctiformă în centru, este egal cu raportul dintre sarcină şi permitivitate. Fluxul nu depinde de raza sferei alese. Pentru a generaliza această constatare pentru o suprafaţă închisă de o formă oarecare, care conţine în interior o distribuţie de sarcini generatoare de câmp electric, se consideră o suprafaţă oarecare S care înconjoară sarcina q. Din această suprafaţă se ia o porţiune ΔS (ABDC) şi se va
185
calcula fluxul câmpului electric pe această suprafaţă (ΔS se ia suficient de mic pentru a putea fi considerat plan).
Fig. 5.11
Se construieşte o sferă de rază r tangentă la S în AB, ca în figura 5.11a) şi în secţiunea plană a aceleaşi figuri 5.11 b). Seva nota cu ΔSsf aria porţiunii de sferă rezultată din proiecţia lui ΔS pe suprafaţa sferei. Fluxul câmpului E prin ΔS va fi: ∆Ψ = E ∆ S cos θ
(5.34)
Suprafaţa ΔSsf, fiind proiecţia lui ΔS, se va putea exprima în felul următor: ∆ S sf = ∆ S cos θ
(5.35)
sau: ∆S =
∆S sf cos θ
(5.36)
Se obţine: Ψ = E ⋅ ∆ S sf
(5.37)
Deci, fluxul prin suprafaţa oarecare ΔS este acelaşi ca şi prin sferă. Dar cum suprafeţele ΔS şi ΔSsf au fost alese arbitrar, se poate generaliza în felul următor (deci, se poate enunţa următoarea lege): Fluxul câmpului electric printr-o suprafaţă închisă care conţine sarcina electrică care generează câmpul este egal cu raportul dintre valoarea sarcinii aflată în interior şi permitivitatea mediului.
186
Legea în această formulare este valabilă pentru medii omogene şi izotrope. Această lege se numeşte legea lui Gauss pentru câmpuri electrice sau legea fluxului electric. În expunerea noastră, această „lege” este de fapt o teoremă dedusă din legea empirică a lui Coulomb. În electrodinamica modernă legea fluxului electric se postulează ca fiind o lege a naturii, din ea deducându-se legile găsite anterior pe cale experimentală. În interiorul suprafeţei S se pot găsi mai multe sarcini; în acest caz Q devine suma sarcinilor din interiorul suprafeţei S: Q = ∑ qi
(5.38)
i
În acest caz, pentru flux se obţine relaţia următoare: r ur 1 Ed ∫∫S S = ε ∑i qi
(5.39)
Dacă sarcina Q este distribuită continuu în interiorul suprafeţei S atunci: (5.40) Q = ∫∫∫ ρdV V
unde V este volumul mărginit de suprafaţa S. Prin înlocuirea relaţiei (5.40) în (5.38) şi apoi în (5.39)se obţine: ur ur 1 (5.41) ρ dV ∫∫S Ed S = ε ∫∫∫ V Relaţia (5.41) exprimă legea fluxului electric pentru medii omogene liniare şi izotrope, în formă integrală. În matematică se demonstrează o teoremă foarte importantă numită teorema Gauss-Ostrogradski. Pentru un vector C de componente Cx, Cy, Cz:
∫∫ Cd S = S
∂C x ∂C y ∂C z dV + + ∫∫∫ ∂x ∂y ∂z V
(5.42)
Deci, fluxul câmpului electric prin suprafaţa S se va putea scrie: r ur
∂E x ∂E y ∂E z + + ∂x ∂y ∂z
∫∫ Ed S = ∫∫∫ S
V
dV
(5.43)
Pentru un ε constant (medii omogene şi izotrope şi liniare): ∂E xx ∂E y ∂E z dV = + + ∂x ∂y ∂z
∫∫∫ V
Deci:
ρ
∫∫∫ ε dV V
(5.44)
187
∂E x ∂E y ∂E z ρ + + = ε ∂x ∂y ∂z
(5.45)
Notăm: div E =
∂E x ∂E y ∂E z + + ∂x ∂y ∂z
(5.46)
deci, expresia matematică a legii fluxului electric (legea lui Gauss pentru câmpuri electrice) se poate scrie în următoarea formă diferenţială: div E =
ρ ε
(5.47)
Noţiunea de divergenţă a unui vector reprezintă fluxul pe unitatea de volum ce iese din domeniul D de volum V, pentru V infinit de mic. ur uuur ∆ ( ∫∫ Cd S ) ur (5.48) divC = lim ∆V → 0 ∆V Divergenţa este un concept matematic apărut în mecanica fluidelor şi ea caracterizează din punct de vedere cantitativ productivitatea unei surse de câmp. Divergenţa oricărui vector este o funcţie scalară. 5.6 Lucrul mecanic al forţelor electrice. Potenţialul În rezolvarea unei multitudini de proleme teoretice şi practice este necesară cunoaşterea lucrului efectuat de câmpul electric asupra unui corp încărcat electric. Pentru aceasta, vom calcula lucrul mecanic efectuat de forţele cu care câmpul electric acţionează asupra unei sarcini + q, atunci când aceasta se deplasează dintr-un punct A, în altul B. Considerăm că într-un punct O luat ca origine a sistemului de referinţă se găseşte o sarcină Q care generează un câmp radial. În acest câmp se deplasează o particula de sarcina + q pe o curbă C din A în B ca în fig. 5.12.
Fig. 5.12
188
La deplasarea din P în punctul infinit de apropiat P’ se efectuează lucrul mecanic elementar dL: dL = F d l sau dL = F·dl·cosα
(5.49)
dar din triunghiul PP’P” se vede că dlcosα=dr, deci: dL = F·dr
(5.50)
dar: F = qE = q
Q 4πεr 2
(5.51)
Înlocuind (5.50) şi (5.51) în (5.49) se obţine: dL =
Qq dr 4πε r 2
(5.52)
de unde prin integrare: rb
L AB
r
Qq dr Qq b dr =∫ = 4πε r 2 4πε r∫a r 2 ra
(5.53)
sau: rB
LAB
Qq 1 1 Qq 1 1 = − =− − 4πε rA rB r 4πε rB ra a
L AB =
Qq 1 1 − 4 πε rA rB
(5.54)
(5.55)
În calculul care s-a efectuat, s-a luat forma curbei C arbitrară şi se observă că această alegere nu influenţează rezultatul de (5.55). Deci, lucrul mecanic al forţelor electrice nu depinde de drumul parcurs, ci numai de poziţiile punctului iniţial şi celui final. Se observă că lucrul mecanic efectuat pentru transportarea de către câmp a unităţii pozitive de sarcină LAB/q este egală cu diferenţa dintre două valori (luate în A şi B) ale unei mărimi dependente de sarcina care crează câmpul şi poziţia punctului. LAB Q Q = − q 4πε rA 4πε rB
(5.56)
Q , este o mărime de stare, căci nu depimde decât 4πε r de starea iniţială şi de cea finală. Relaţia (5.56), se scrie în modul următor:
Această mărime, V =
189
LAB = − ( VB − VA q
) =U
(5.57)
Diferenţa dintre mărimile V din punctele B, respectiv A, VB − V A , se numeşte diferenţă de potenţial. Diferenţa de potenţial cu semn schimbat este numită tensiune electrică. Deci, tensiunea electrică se poate defini ca lucrul mecanic efectuat de câmp pentru a transporta unitatea pozitivă de sarcină între cele două puncte. Dacă punctul B se consideră ca punct de referinţă până la care se poate face deplasarea corpului cu sarcina q, atunci LAB/q = VA-VB va avea în punctul oarecare A din câmp o valoare unică, având posibilitatea de a caracteriza câmpul Q în acel punct. În acest caz, mărimea V A = se va numi potenţialul câmpului 4 πε rA electric în A. (Pentru aceasta VB trebuie să fie considerat egal cu zero). Se defineşte potenţialul câmpului electric într-un punct ca fiind o mărime fizică scalară, egală cu valoarea raportului dintre lucrul mecanic efectuat de câmp pentru a transporta o sarcină de probă din acel punct până într-un punct de referinţă arbitrar şi valoarea sarcinii corpului de probă. 5.7 Relaţia între intensitatea câmpului şi potenţial S-a arătat anterior că lucrul mecanic efectuat de câmpul electric, pentru a deplasa o sarcină q din A în B în câmp, se exprimă prin relaţia: L AB = qU = q (V A − V B ) = − q ∆ V
(5.58)
Dacă punctele A şi B sunt infinit de apropiate, lucrul mecanic infinitezimal dL va fi: dL = –qdV
(5.59)
dar: ur r ur r dL = F d l = q Ed l
sau: Ed l = dU , Ed l = − dV
(5.60)
(U reprezintă tensiunea electrică): de unde, rezultă: U AB =
∫ Ed l
(5.61)
AB
(integrala este o integrală curbilinie pe curba C pe care se face deplasarea AB). Dacă drumul este închis (B coincide cu A) UAA= –VA – (–VA) = 0. Deci:
190
∫ Ed l = 0
(5.62)
La relaţia (5.62) se poate ajunge printr-un raţionament mai general plecând de la primul principiu al termodinamicii. Acest principiu afirmă că dacă un proces este adiabatic, lucrul mecanic efectuat nu depinde de modul în care se desfăşoară fenomenul. Pentru procesele electrostatice care se desfăşoară de fiecare dată fără schimb de căldură, este valabilă afirmaţia de mai sus. Prin urmare, lucrul efectuat de forţele electrice pe o curbă închisă Г este nul şi se obţine într-un mod mai general relaţia amintită. r r r r F d l = q E (5.63) ∫ ∫ dl = 0 Γ
Γ
În analiza vectorială se arată că dacă integrala pe un contur închis (circulaţia) unui vector este nulă, atunci rotorul acelui vector este nul şi în câmpul respectiv nu se produc vârtejuri, iar vectorul respectiv este gradientul unei funcţii scalare de punct numit potenţial. Se spune că câmpul electric este un câmp irotaţional sau că el provine dintr-un potenţial. Deci, potenţialul, ca orice mărime de stare, este o diferenţială totală exactă. Pentru a găsi relaţia între E şi V plecăm de la (5.60) în care îi vom explicita pe E şi dl în funcţie de componentele lor.
(E i + E x
y
)(
)
j + E z k dxi + dy j + dz k = −dV
(5.64)
Dar dV este o diferenţială totală exactă, deci: dV =
∂V ∂V ∂V dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z
(5.65)
Egalând (5.64) cu (5.65) şi ţinând cont că: ii = j j = k k = 1 i j = ik = j k = 0
Se obţine relaţia următoare: E x dx + E y dy + E z dz = − Ex = −
∂V ∂V ∂V dx − dy − dz ∂x ∂y ∂z
∂V ∂V ∂V ; Ey = − ; Ez = − ∂x ∂y ∂z
∂V ∂V ∂V E = − i+ j+ k ∂y ∂z ∂x
(5.66) (5.67) (5.68)
191
ceea ce se mai poate scrie prescurtat: E = – grad V
(5.69)
ρ care exprimă legea ε lui Gauss (legea fluxului electric) se poate scrie în felul următor:
Ţinând cont de (5.67), expresia matematică div E =
div E =
∂E x ∂E y ∂E z ∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V + = − 2 − 2 − 2 = − ∆V + ∂x ∂z ∂x ∂y ∂z ∂y
(5.70)
introducând operatorul lui Laplace (laplaceianul): ∂2 ∂2 ∂2 + + =∆ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
expresia legii fluxului electric ia următoarea formă: ∆V =
ρ ε
(5.71)
Această ecuaţie exprimă legea fluxului electric sub o altă formă diferenţială şi se numeşte ecuaţia lui Poisson. Dacă ρ = 0 (în volum nu există sarcini electrice), ΔV = 0. Această relaţie se numeşte ecuaţia lui Laplace. Rezolvarea acestei ecuaţii în condiţiile impuse de situaţia concretă analizată permite aflarea potenţialului şi a intensităţii câmpului, necesare pentru dezvoltarea unor aplicaţii practice. Problema generală a electrostaticii constă în determinarea potenţialului în fiecare punct dintr-un domeniu cunoscând: a) Fie, potenţialele conductoarelor cărora le este datorat câmpul; b) Fie, sarcinile electrice de pe aceste conductoare. In cazul a) rezolvarea problemei constă în găsirea soluţiei ecuaţiei lui Laplace cu condiţiile limită care impun anumite valori ale potenţialului pe conductoare şi valoare nulă la infinit. In cazul b) este necesară cunoaşterea sarcinilor pe conductoare Se demonstrează că soluţia este unică. 5.8. Dipolul electric Se numeşte dipol electric un ansamblu de două sarcini de valoare egală + q şi –q aflate la o distanţă l.
192
Fig. 5.13
Considerăm vectorul distanţă l orientat de la sarcina negativă spre cea pozitivă. Pentru a studia proprietăţile dipolului se introduce mărimea vectorială, numită moment dipolar p . p = ql
(5.72)
În continuare se va calcula intensitatea câmpului şi potenţialul generate de un dipol într-un punct P, de un vector de poziţie r faţă de centrul dipolului. (fig. 5.14).
Fig. 5.14 Pentru început se va calcula potenţialul câmpului în P. (în vid):
V =
q q q − = 4πε 0 r2 4πε 0 r1 4πε 0
1 1 q r1 − r2 − = r2 r1 4πε 0 r1 r2
(5.73)
Se construieşte arcul de cerc AB, cu raza r2, în acest caz AC = r1 − r2 . Se observă că AD|| r . Dacă însă r >> l diferenţa dintre lungimile segmentelor AC şi AD devine neglijabilă deci, AD~r1-r2. Din triunghiul dreptunghic ADB, se deduce AD=lcosα, deci: r1-r2=lcosα
(5.74)
193
pentru r foarte mare se face aproximaţia r1r2~r2 deci, (5.73) devine: ql cos α (5.75) V = 4πε 0 r 2 sau: p cos α (5.76) V= 4πε 0 r 2 înmulţind şi împărţind relaţia (5.76) cu r, se va obţine următoarea expresie: pr cos α (5.77) V = 4πε 0 r 3 Produsul scalar dintre momentul dipolar şi vectorul de poziţie este dat de următoarea expresie: ur r pr cos α = pr
(5.78)
uur pr (5.79) V= 4πε 0 r 2 Pentru a calcula intensitatea câmpului în P se foloseşte de relaţia (5.69). ur ∂ r ∂ r ∂ r E = − gradV = − i + j + k V = −∇ V ∂y ∂z ∂x
(5.80)
Înlocuind în (5.80) expresia potenţialului din (5.79), rezultă relaţia: urr ur pr 1 (5.81) E=− ∇ 4πε 0 r 3 operatorul nabla fiind un operator diferenţial, el va opera conform regulii de derivare a produsului rezultând expresia următoare: ur urr urr 1 1 1 E=− ∇ pr + pr ∇ 3 4πε 0 r 3 r
( ) ( )
(5.82)
Modulul vectorului de poziţie este: r = x 2 + y 2 + z 2 şi dacă i se aplică operatorul nabla, rezultă următoarea expresie: r 3 ∂r r ∂r r ∂r r 3r 1 −3 4 (5.83) ∇ 3 = ∇ ( r ) = − 3r ∇ r = − 4 i + j+ k=− 4 r ∂x ∂z ∂z r r Dacă se ia cazul particular p =constant, foarte des întâlnit în practică această relaţie va avea următoarea formă: ur r ur urr 1 p ∂r p (5.84) ∇ pr = 3 r = 3 3 r r ∂r r
( )
194
Deci, intensitatea câmpului generat de dipol în punctul P va avea următoarea expresie matematică: urr r ur ur 1 3 pr r p (5.85) E= − 4πε 0 r 5 r3
( )
Relaţia (5.85) are foarte multe implicaţii în interacţiunea dintre moleculele dipolare, la studiul antenelor dipolare şi în înţelegere unor fenomene cuantice. 5.9 Interacţiunea dintre câmpul electric şi substanţă 5.9.1 Conductori în câmp electric S-a observat, experimental faptul că un corp se poate electriza prin influenţă, adică un câmp electric poate provoca electrizarea unui corp. Să consideram un conductor într-un câmp electric de intensitate E 0. Conductorul se electrizează prin prezenţa în masa lui a purtătorilor de sarcina liberi.
Fig. 5.15
Sub acţiunea câmpului electric inductor E 0, electronii liberi din conductor se vor deplasa ca în figura (5.15) spre regiunea A în sensul forţei (sarcina electronului fiind negativă în sens contrar liniei de câmp). Deci, regiunea A se va încărca negativ, iar regiunea B de unde au plecat sarcinile negative, (rămân sarcini pozitive necompensate) pozitiv. Deci, în interiorul conductorului apare un câmp un câmp electric de intensitate E de sens contrar câmpului inductor. Migraţia electronilor liberi (purtătorilor de sarcină liberi) se produce până când câmpul indus E ’ echilibrează câmpul inductor şi în acest caz, câmpul interior se anulează rămânând în echilibru. Deci, în condiţii statistice (sarcini în echilibru) intensitatea câmpului electric în interiorul conductoarelor este nul. De asemenea, în condiţii statice, vectorul intensitate a câmpului electric, pe suprafaţa conductorilor, este perpendicular pe suprafaţă. Orice componentă tangenţială ar crea forţe tangenţiale care ar provoca o mişcare tangenţială a purtătorilor de sarcină. Deci, E=En; Et=0 (fig. 5.16).
195
Fig. 5.16
5.9.2 Imaginea electrostatică Pentru doua sarcini punctiforme egale şi de semne contrare, planul de simetrie este un cuplu echipotenţial. Deci, câmpul stabilit între un plan conductor (care este o suprafaţă echipotenţială) şi o sarcină punctiformă este identic cu cel stabilit între două sarcini punctiforme egale şi de semn contrar. Deci, un plan metalic (conductor), din punt de vedere electrostatic, se comportă ca o oglindă, distribuţia de sarcină pe planul metalic făcându-se în aşa fel încât este echivalentă cu apariţia simetric fată de plan a unei sarcini de semn contrar numită imagine electrostatică. (Fig. 5.17).
Fig. 5.17
5.9.3 Dielectrici în câmp electric Introducând un dielectric în câmp electric, constatăm că şi acesta se încarcă la capete cu sarcini electrice de semn contrar. Faptul se explică prin polarizarea dielectricului. Unii dielectrici au molecule simetrice, centrul sarcinilor pozitive nu coincide cu centrul sarcinilor negative. Astfel de molecule se comportă ca mici dipoli şi poartă numele de molecule polare sau cu moment dipolar permanent. La alte molecule, în condiţii normale, fără un moment dipolar permanent este posibil ca în prezenţa unui câmp electric, datorită forţelor care se exercită din partea câmpului asupra sarcinilor constituente, să se producă o „descentrare” electrică a moleculei care astfel să capete un moment dipolar indus. În mod normal, chiar dacă în molecula substanţei are un moment dipolar la nivelul macroscopic, aceasta nu se observă, pentru că agitaţia termică aranjează haotic momentele dipolare. În cazul când acest dielectric plasat în câmp electric dipolii
196
elementari se orientează pe direcţia câmpului ca în figură. Fenomenul se numeşte polarizare.
a
b
c Fig. 5.18
Sarcinile din interior se compensează, rămănând necompensate doar sarcinile de la capete. Deci, dielectricul se comportă ca un dipol. Sarcinile de la suprafaţă nu sunt libere, ele fiind legate de moleculele de la suprafaţa extremă a dielectricului. Câmpul indus E i este opus lui E deci câmpul în interior este redus faţă de câmpul inductor (nu se anulează pentru că orientarea nu este perfectă datorită permanentei agitaţii moleculare). Polarizarea scade cu creşterea temperaturii, deoarece agitaţia termică tinde să scoată dipolii elementari de pe direcţia câmpului. De altfel, o polarizare completă este posibilă doar în vecinătatea lui zero absolut. La o anumită temperatură, polarizarea unui dielectric polar este cu atât mai intensă, cu cat câmpul este mai intens. Un dielectric este cu atât mai polarizat, cu cat mai multe molecule din unitatea de volum sunt orientate de câtre câmpul electric exterior. Pentru a caracteriza din punct de vedere cantitativ polarizarea unui dielectric, se va introduce o mărime vectorială având modulul egal cu momentul dipolar al unităţii de volum şi având direcţia opusă câmpului exterior. Această mărime se numeşte vectorul de polarizare P . Se consideră o placă dielectrică introdusă între două armaturi de condensator. Datorită câmpului electric E dintre armăturile condensatorului dielectricul se va polariza, la suprafaţa de separaţie dintre dielectric şi armături
197
apărând sarcini induse Qi. De asemenea, pe armături există sarcina Q datorită încărcării condensatorului (Fig. 5.19).
Fig. 5.19
S-a arătat că starea de polarizare este caracterizată de vectorul de polarizare P . Dielectricul polarizat se comportă ca un dipol macroscopic de moment dipolar: π = Qi ⋅ li
(5.86)
Conform definiţiei vectorului de polarizare, modulul său va fi: P=
π Qi ⋅ li Qi = = = σi V S ⋅l S
(5.86)
Dacă distribuţia sarcinii nu este uniformă se trece la o definire locală după cum urmează: P=
dQ i dS
(5.87)
Se construieşte suprafaţa gaussiană, cilindrică Γ în aşa fel încât baza sa S 1 să se găsească în armătură ca în fig. 5.19 şi se calculează integrala de suprafaţă a vectorului P pe Γ: r r r r r r r r (5.88) ∫∫ PdS = ∫∫ PdS + ∫∫ PdS + ∫∫ PdS Γ
S1
SL
S2
În interiorul armăturii nu există polarizare deci, prima integrală se anulează. De asemenea, şi a doua integrală pe suprafaţa laterală se anulează pentru că:
198
ur ur π ∫∫S Pd S L = ∫∫S PdS L cos 2 L L
(5.89)
(vectorul S este perpendicular pe aria laterală, iar generatoarea). r r r r ∫∫ PdS = ∫∫ PdS = −Q1 Γ
E este paralel cu (5.90)
S = S 2 = S1
S-a obţinut semnul negativ pentru că sarcina din interior este negativă. Dacă s-ar fi luat armătura cu sarcina pozitivă, vectorul E ar fi fost negativ deci, se obţinea acelaşi rezultat. În continuare, se aplică teorema lui Gauss pentru câmpul electric pe Γ: r r r r r r r r (5.91) ∫∫ EdS = ∫∫ EdS + ∫∫ EdS + ∫∫ EdS Γ
S1
S1
S2
În interiorul plăcii metalice câmpul este nul deci, prima integrală se π anulează, la fel a doua din cauză că cos E; S 1 = cos . 2 Deci, conform teoremei lui Gauss: r r 1 E (5.92) ∫∫Γ dS = ε 0 (Q + Q1 ) r r 1 r r E d S = Q − P ∫∫Γ ∫∫Γ dS ε 0 r r r r ∫∫ PdS + EdS = Q
(
)
(5.93) (5.94)
Γ
Mărimea de sub integrală, al cărui flux printr-o suprafaţă este egală cu sarcina liberă dintre volumul mărginit de suprafaţă se numeşte inducţie electrostatică sau vectorul deplasare. ur ur ur (5.95) D = ε0 E + P Vectorul D caracterizează câmpul electric în dielectrici şi se compune din ε 0 E care caracterizează câmpul în vid şi din P care caracterizează capacitatea de polarizare a dielectricului. S-a văzut că în medii izotrope şi liniare P depinde de câmpul electric polarizant ε 0 E în mod direct, proporţional, prin urmare:
199
ur ur P = χ eε 0 E
(5.96)
χ e este o constantă de proporţionalitate dependentă de natura dielectricului numită susceptibilitate electrică, deci (5.95) devine: ur ur ur (5.97) D = ε 0 E + χ eε 0 E ur ur (5.98) D = ε 0 (1 + χ e ) E
mărimea de mediu adimensională: ε r = 1 + χe
(5.99)
este denumită permitivitate relativă a mediului şi arată de câte ori permitivitatea acelui mediu este mai mare decât permitivitatea vidului. Cu ajutorul permitivităţii relative, expresia inducţiei electrice într-un mediu izotrop şi linar se poate scrie în modul următor: ur ur (5.100) D = ε 0ε r E sau: ur ur D =εE
(5.101)
Dacă mediul este anizotrop, inducţia depinde de direcţia aleasă şi fiecare componentă a lui D depinde de toate cele trei componente ale lui E , conform următoarei relaţii: D x = ε xx E x + ε xy E yz + ε xz E z D y = ε yx E x + ε yy E yz + ε yz E z
(5.102)
D z = ε zx E x + ε zy E yz +ε zz E z
În acest caz, permitivitatea mediului este caracterizată de tensorul: ε 11 ε 12 ε 13 ε ij = ε 21 ε 22 ε 23 (5.103) ε 31 ε 32 ε 33 În relaţia (5.103) s-a utilizat scrierea tensorială unde se atşează lui x indicele 1, lui y indicele 2, iar lui z indicele 3. În acest caz, relaţia (5.103) se scrie prescurtat în modul următor: 3
Di = ∑ ε ij E j j =1
(5.104)
200
5.9.4 Electreţii În 1922, fizicienii japonezi Sato şi Eguchi au introdus un amestec topit de răşină şi ceară într-un câmp electric având intensitatea mare (E>106kV/m). Amestecul topit s-a polarizat, dipolii elementari orientându-se pe direcţia câmpului. Menţinâdu-se câmpul, dielectricul a fost lăsat să se răcească şi să se solidifice. După îndepărtarea câmpului exterior, un număr mare de molecule au rămas polarizate. Deci, întreg dielectricul rămâne cu o oarecare polarizare. Un asemenea dielectric polarizat se numeşte electret. Tehnologia de realizare nu este prea simplă pentru că, în general, tensiunea necesară este mai mare decât tensiunea de străpungere a dielectricului. Momentul dipolar poate persista câţiva ani. 5.9.5 Seignettoectreţii Acestea sunt substanţe cristaline la care εr depinde de intensitatea câmpului εr = εr (E) şi de modul cum se obţine starea respectivă. În interiorul seignettoelectreţilor există domenii polarizate având un moment dipolar diferit de zero. Dacă din exterior se aplică un cap exterior se produce o orientare a dipolilor, care face ca εr să depindă de E şi în acelaşi timp apare o variaţie a dimensiunilor cristalului (piezoelectricitate). Ele reprezintă fenomenul de histereză.
Fig. 5.20
5.9.6 Energia câmpului electric 5.9.6.1 Energia unei distribuţii de sarcini electrice Se consideră un ansamblu de sarcini q1, q 2 ,q 3, ....q n , aflate la infinit.Se aduce sarcina q1 într-un punct oarecare. Potenţialul câmpului în acest punct fiind nul, nu se efectuează lucru mecanic. Se aduce sarcina q2 într-un punct situat la distanţa r12 de prima sarcină, punct în care potenţialul generat de q1 este V1 . (Fig. 5.21 a).
201
q1
r12 r Fig. 5.21 a
q2
Lucrul mecanic efectuat este: L2 = q2V1 = q2
q1 4πε r12
(5.105)
Dacă se aduce sarcina q3 într-un punct ca în figura 5.21b. q3 r13
q1
r23
r12 r Fig. 5.21b
q2
lucrul mecanic efectuat este: L3 = q3 (V1 + V2 ) = q3
q1 q2 + q3 4πε r13 4πε r23
(5.106)
Energia cheltuită pentru a realiza distribuţia de sarcini din figura 5.21b este: W=
q1q2 qq qq + 1 3 + 2 3 4πε r12 4πε r13 4πε r23
(5.107)
Procedeul poate fi generalizat şi se obţine în final relaţia următoare: W=
1 ∑ 2 i
Factorul
qi q j
∑ 4πε r j ≠i
(5.108)
ij
1 a apărut datorită faptului că în suma dublă fiecare termen apare 2
de două ori. Această relaţie se poate pune şi sub următoarea formă: W =
1 ∑ q jV j 2 j
(5.109)
202
unde: Vj = ∑ j
qi 4πεrij
(5.110)
reprezintă potenţialul câmpului generat de sarcinile qi în punctual în care se află sarcina q j . Dacă sarcina este distribuită continuu într-un volum v densitatea volumică de sarcină a distribuţiei fiind ρv , relaţia (5.110) se poate generaliza în felul următor: W =
1 Vρ v dv 2 ∫∫∫ v
(5.111)
Dacă sarcina este distibuită pe o suprafaţă Σ , densitatea superficială de sarcină fiind σ (x, y ) atunci, expresia energiei va fi: W =
1 VσdS 2 ∫∫ Σ
(5112)
5.9.6.2 Energia unui conductor încărcat Pe o suprafaţă conductoare potenţialul are aceeaşi valoare în toate punctele, deci relaţia (5.112) se transformă în modul următor: W =
V 2
∫∫ σdS = Σ
Vq 2
(5.113)
Raportul dintre sarcina distribuită pe suprafaţa respectivă şi sarcina cu care este încărcat corpul este definit ca fiind capacitatea corpului. C=
q V
(5.114)
În funcţie de capacitate, energia distribuţiei de sarcină va fi dată de expresia următoare: W=
CV 2 2
(5.115)
dacă sarcinile sunt egale şi de semn contrar şi sunt distribuite pe două armături metalice apropiate, sistemul format este un condensator. Notând cu V1, respectiv cuV2 potenţialele celor două armături, energia condensatorului încărcat este:
203
W=
q (V1 − V2 ) qU = 2 2
(5.116)
U este diferenţa de potenţial (tensiunea) dintre armături. Energia câmpului din unitatea de volum se numeşte densitatea de energie a câmpului w: dW dV
(5.117)
W = ∫∫∫ wdV
(5.118)
w=
V
Pentru a calcula această densitate în cazul câmpului dintre armăturile unui condensator plan, se ţine cont de expresia aproximativă a capacităţii condensatorului în cazul unor armături de arie S mult mai mari decât distanţa d, dintre ele: C=
εS d
CU 2 W ε SU 2 ε SU 2 ε U 2 w= = 2 = = = V V 2Vd 2 Sdd 2 d 2
(5.119)
(5.120)
câmpul dintre armături este uniform, deci: E=
U d
(5.121)
deci, densitatea de energie va avea următoarea expresie: w=
ED 2
(5.122)
ştiind că pentru medii omogene şi izotrope este valabilă expresia (5.101), relaţia (5.122), se mai poate scrie în următoarea formă: w=
εE 2 2
(5.123)
Relaţiile de mai sus au fost deduse pe cazul particular al condensatorului plan dar, ele rămân aceleaşi şi în cazul general.
6. Electrocinetica 6.1 Curentul electric S-a constatat că există o categorie foarte mare de corpuri care au următoarea proprietate. Starea de electrizare apărută într-o regiune a lor se răspândeşte pe întreaga lor suprafaţă şi potenţialul ia aceeaşi valoare în toate punctele. Aceste corpuri se numesc conductoare. Un conductor are în componenţa sa particule purtătoare de sarcină, care se pot deplasa liber prin respectivul corp. În lipsa unor forte externe, aceşti purtători de sarcină execută mişcări dezordonate în jurul poziţiilor de echilibru. In cazul conductorilor solizi, purtătorii microscopici de sarcină sunt electronii liberi. Se consideră două corpuri conductoare încărcate cu sarcini opuse, având potenţiale diferite VA şi VB (VB>VA) (Fig. 6.1.a). A
E
B
VA
VB Fig 6.1 a
A
I
VA
B VB
Fig 6.1 b
Fig. 6.1 c
Între ele există un câmp electric E. Se unesc corpurile cu un conductor C. (Fig. 6.1 b). În acest caz, mişcarea electronilor liberi va avea o componentă ordonata, sub acţiunea forţelor cu care câmpul acţionează asupra lor. Câmpul electric are intensitate bine determinata în fiecare punct a conductorilor.
205
Fenomenul este identic şi atunci când conductorul solid este înlocuit cu un electrolit sau cu un gaz ionizat (purtătorii de sarcină, în acest caz, vor fi ioni). Mişcarea purtătorilor de sarcina poate fi provocată de orice fenomen de transport cum ar fi difuzia provocată de un gradient de concentraţie sau un gradient termic. Mişcarea ordonată, dirijată de câmpul electric a purtătorilor de sarcină, în raport cu conductorul este numită curent electric de conducţie. În cazul în care mişcarea ordonată a purtătorilor de sarcină este dirijată de fenomene de difuziune, curentul este numit curent electric de difuziune. În situaţia descrisă mai sus, curentul care circulă între corpurile A şi B durează foarte puţin (timpul de relaxare) şi încetează după egalarea potenţialelor. Pentru ca acest curent să se menţină un timp lung este necesară revenirea purtătorilor de sarcină din B în A. Curentul trece de la A la B în mod natural, sub acţiunea forţelor electrostatice Pentru a menţine curentul un timp îndelungat, este necesară efectuarea unui lucru mecanic contra acestor forţe electrostatice. Acest lucru mecanic este efectuat de un dispozitiv G, intercalat între B şi A, care consumă o formă oarecare de energie (mecanică, chimică, fotonică) şi o transferă purtătorilor de sarcină pentru ca aceştia să poată învinge forţele electrostatice. Acest dispozitiv se numeşte sursă de curent sau generator. În timpul în care curentul electric circulă prin conductori, energia asociată mişcării purtătorilor de sarcina numită energie electrică, se transformă din nou în alte forme de energie producând diferite efecte (termic, chimic, magnetic, etc.). Corpurile conductoare în care au loc aceste efecte sunt denumite consumatoare sau receptoare de energie electrică. Ansamblul format din sursele de curent şi consumatorii de energie este numit circuit electric. Efectele produse de circulaţia curentului printr-un circuit pot fi mai intense sau mai puţin intense. Pentru a caracteriza un curent electric din punct de vedere al capacităţii sale de a produce efecte de o anumită amploare se foloseşte mărimea fizică numită intensitatea curentului. Un curent care circulând acelaşi interval de timp, eliberează prin acelaşi consumator mai multă energie are intensitatea mai mare. Definim intensitatea curentului electric ca fiind limita raportului dintre sarcina electrică ∆q , transportată de purtătorii de sarcină care trec printr-o secţiune transversală a conductorului şi intervalul de timp ∆t , în care are loc această trecere, atunci când acest interval tinde la zero. ∆q dq = ∆t → 0 ∆ t dt
I = lim
(6.1)
Intensitatea curentului electric este o mărime fundamentală a Sistemului Internaţional. Unitatea de intensitate este una dintre unităţile fundamentale ale acestui sistem şi se numeşte amper [I]s.i = 1A Dacă I este constant în timp: I=
q t
(6.2)
206
În cazul curentului electronic de conducţie q = Ne, unde N este numărul electronilor care au trecut prin conductor în timpul t, şi e este sarcina elementară. S-a convenit să se accepte ca sens de circulaţie a curentului sensul de mişcare a purtătorilor de sarcină pozitivi în exteriorul sursei de curent. Acest sens este denumit sensul convenţional al curentului şi este contrar sensului electronic. Dacă intensitatea curentului se menţine constantă, curentul este numit staţionar. Intensitatea curentului este o mărime macroscopică, caracteristică circuitului, dar în fiecare element de suprafaţă ale circuitului este posibil ca curentul local să aibă valoare diferită. Fiecărui punct de pe suprafaţa transversală a conductorului i se ataşează o mărime vectorială macroscopică, numită densitate de curent. Se va numi densitate de curent o mărime fizică vectorială, egală cu limita raportului dintre intensitatea curentului care traversează suprafaţa normală pe direcţia curentului şi aria suprafeţei atunci când această arie tinde la zero. r N
r j
α
dS
Fig. 6.2 j=
dI dS n
(6.3)
Direcţia şi sensul acestui vector este identic cu direcţia şi sensul purtătorilor de de sarcină pozitivi. Din relaţia (6.3) rezultă: dI = jdS n = jdS cos α
sau: I=
∫∫ jd S
(6.4)
S
Dacă valoarea densităţii de curent este constantă pe toată suprafaţa: I = j·S
(6.5)
207
6.2 Conservarea sarcinii electrice. Ecuaţia continuităţii curentului. Legea lui Ohm pentru o porţiune de circuit Observând atent fenomenele electrice, la toate nivelele (inclusiv cuantic), s-a evidenţiat faptul că sarcina electrică este o mărime conservativă. Sarcina electrică totală care intră într-un proces fizic al unui sistem izolat este egală cu sarcina rezultată după proces. Se consideră un volum V, mărginit de o suprafaţă S. În acest volum, la un moment dat, t se găseşte o sarcină q. Să considerăm că din acest volum prin suprafaţa S ies sarcini. La un moment dat t + dt, în V vor fi mai puţine sarcini q – dq. Deci, variaţia de sarcină din volumul V este - dq. Întrucât sarcina se conservă, ea nu poate să dispară, – dq a ieşit prin suprafaţa S dând naştere unui curent de densitate j . Intensitatea curentului traversat S va fi: I =−
dq dt
(6.6)
şi conform (6.4): r r I = ∫∫ JdS
(6.7)
S
r r dq = ∫∫ JdS (6.8) dt S Dacă în volumul V sarcina este distribuită continuu cu densitatea de sarcină ρ, sarcina totală din volumul V va fi: q = ∫∫∫ ρdV V
deci, conform relaţiei (6.8):
(6.9) Conform teoremei Gauss-Ostrogradski: r r
r ∂J x r ∂J y r ∂J z r i+ j+ k dV = ∫∫∫ ∇JdV ∂x ∂y ∂z V
∫∫ JdS = ∫∫∫ S
V
(6.10)
208
în relaţia (6.9) se poate permuta operatorul de derivare cu cel de integrare, căci densitatea de sarcină este funcţie doar de coordonate şi nu depinde de timp:
r ∂ρ = −divJ ∂t
(6.11) (6.12)
Ecuaţiile echivalente (6.8), (6.9), (6.10) poartă numele de ecuaţia de continuitate, în formă integrală, iar (6.11) şi (6.12), în formă diferenţială. Pentru a deduce relaţia care se stabileşte între intensitatea curentului care circulă printr-un conductor şi diferenţa de potenţial dintre capetele conductorului vom considera un conductor rectiliniu la capetele căruia s-a aplicat o diferenţă de potenţial. Intensitatea curentului care parcurge conductorul este: I=
∆q ∆t
(6.13)
dacă se va nota cu N numărul de electroni care au traversat secţiunea conductorului in timpul ∆t şi cu e sarcina electronului, sarcina ∆q se va exprima prin relaţia: ∆q = Ne
(6.14)
dacă se notează cu n numărul de electroni liberi din unitatea de volum şi cu V volumul ocupat de electronii aflaţi în mişcare în ∆t , atunci: ∆q = Ne = nVe
(6.15)
iar intensitatea curentului se va exprima prin relaţia: I=
nVe ∆t
(6.16)
Dacă se va nota cu S aria secţiunii conductorului, cu l distanţa parcursă de aceştia în timul ∆t şi cu v viteza lor medie, volumul ocupat de ei este: V = Sl = Sv ∆ t
(6.17)
Viteza medie a electronilor este direct proporţională cu intensitatea câmpului electric aplicat paralel cu conductorul: v = µE
(6.18)
Factorul de proporţionalitate µ este denumit mobilitate şi el depinde de natura materialului din care este confecţionat conductorul şi de temperatura
209
acestuia. Înlocuind viteza în expresia volumului, se obţine pentru intensitate relaţia următoare: I = nS µ eE
(6.19)
Considerând câmpul electric ca fiind uniform şi notând cu U tensiunea de la capetele conductorului, intensitatea câmpului va fi: E=
U l
(6.20)
Înlocuind în expresia intensităţii curentului, se obţine relaţia: I = nSµe
U U = 1 l l n µe S
(6.21)
Mărimea: ρ=
1 nµe
(6.22)
depinde de materialul conductorului, este numită rezistivitatea sa. Mărimea: R=ρ
l S
(6.23)
se numeşte rezistenţa conductorului. Intensitatea curentului prin porţiunea de circuit considerată va fi dată de următoarea expresie, numită legea lui Ohm pentru o porţiune de circuit: I=
U R
(6.24)
Din relaţia (6.21) se exprimă densitatea de curent: J=
I = nµeE S
(6.25)
Grupul de constante σ = nµe poartă numele de conductivitate. Expresia densităţii de curent va fi: J = σE
(6.26)
Printr-un raţionament asemănător cu cel de sus se poate deduce şi următoarea formă vectorială a legii lui Ohm. r r (6.27) J = σE În medii anizotrope, conductivitatea va avea caracter tensorial.
210
6.3 Câmpul electric imprimat. Tensiunea electromotoare Am arătat mai înainte că, pentru a menţine curentul într-un circuit, este necesar ca în acest circuit să existe un dispozitiv care să convertească o anumită formă de energie neelectrică în energie electrică, dispozitiv care a fost denumit sursă de curent. Datorită acestei conversii de energie asupra purtătorilor de sarcină din interiorul sursei, acţionează o forţă de natură neelectrică Fi, care îi pune în mişcare. Acţiunea acestei forţe poate fi interpretată ca datorându-se unui câmp electric de natură neelectrostatică având intensitatea Ei care acţionează asupra purtătorilor de sarcină cu forţa,. F i = q E i . Acest câmp se numeşte câmp imprimat. Sunt foarte multe categorii de câmpuri imprimate (voltaice, galvanice, fotovoltaice, mecanice, etc.). Deci, mai putem defini sursa de curent ca fiind regiunea din circuit în care există un câmp imprimat. Datorită acestui câmp imprimat, între două puncte ale circuitului există o diferenţă de potenţial, asociat unui câmp electric coulombian (electrostatic) E c . Diferenţa de potenţial dintre două puncte A şi B datorată acestui câmp coulombian va fi: B uur r U AB = ∫ Ec dl
(6.28)
A
Unind corpurile A şi B cu un conductor, C, prin acesta va circula un curent. Circulaţia acestui curent este menţinută de sursa de curent (generatorul) S (fig. 6.3): C A
B
Ec
r Ec +
Ei
S
Fig. 6.3
_
211
Tensiunea U AB este denumită tensiune la borne sau cădere de tensiune pe circuitul exterior. În interiorul sursei există simultan şi E c şi E i , deci va exista aici un câmp rezultant (suma este vectorială): E = Ei + Ec
(6.29)
Se integrează relaţia (6.29) întreg conturul drumului BSA:
∫
ur r Ed l =
∫
BSA
uur r Ei dl +
BSA
uur r Ec d l
∫
(6.30)
BSA
Integrala curbilinie a intensităţii câmpului coulombian nu depinde de alegerea drumului de integrare, deci:
∫ E dl = ∫ E dl = − ∫ E dl c
c
BSA
∫
c
BCA
uur r Ei d l =
BSA
∫
(6.31)
BSA
ur r Ed l +
BSA
∫
uur r Ec d l
(6.32)
ACB
Primul membru se numeşte tensiune electromotoare şi se va nota cu Eem . Eem =
∫
uur r Ei d l
(6.33)
BSA
În exteriorul sursei nu există decât câmpul coulombian, deci Ei = Ec; deci, relaţia (6.32) se poate rescrie în modul următor: Eem =
∫
ur r Ed l +
BSA
∫
ACB
ur r Ed l =
ur r ∫ Ed l
(6.34)
Deci, putem defini tensiunea electromotoare ca fiind egală cu lucrul efectuat de câmp pentru a deplasa unitatea pozitivă de sarcină pe întreg circuitul. Primul termen din al doilea membru al relaţiei (6.34) se numeşte cădere de tensiune internă u, iar al doilea termen este conform (6.28) tensiunea UAB numită cădere de tensiune pe circuitul exterior sau, tensiune la borne U. E=u+U
(6.35)
Exprimând căderea de tensiune pe circuitul exterior cu ajutorul legii lui Ohm pentru o porţiune de circuit U = RI obţinem: I=
E R+r
această relaţie exprimă legea lui Ohm pentru circuitul întreg.
(6.36)
212
6.4 Câmpul magnetic 6.4.1 Forţe magnetice (Lorentz) În experienţele efectuate de Oersted s-a observat că un conductor parcurs de curent acţionează asupra acului magnetic rotindu-l, fenomen care nu se produce în cazul sarcinilor statice. S-a dovedit că sarcinile electrice aflate în mişcare generează un câmp care se manifestă prin aceea că acţionează cu forţă asupra altor sarcini aflate în mişcare sau asupra unor magneţi permanenţi. Acest câmp poartă numele de câmp magnetic. Pentru a caracteriza câmpul magnetic din punct de vedere cantitativ s-a introdus mărimea fizică vectorială B numită inducţia a câmpului magnetic într-un punct. Unitatea de măsură a inducţiei câmpului magnetic în sistemul internaţional este 1 Tesla. Dacă într-o regiune din spaţiu în care există un câmp magnetic de inducţie B şi un câmp electric de intensitate E se deplasează, cu viteza v , o particulă având sarcina electrică q, asupra acesteia va acţiona o forţă dată de următoarea relaţie experimentală:
(
F = q E + v× B
)
(6.37)
numită forţă Lorentz. Dacă un conductor parcurs de curent se află într-un câmp magnetic, asupra fiecărui purtător de sarcină va acţiona o forţă Lorentz. Aceste forţe Lorentz se însumează şi vor da o forţă rezultantă numită electromagnetică.
(
d F = I dl × B
( )
)
F = I l×B
(6.38) (6.39) r
Direcţia acestei forţe este perpendiculară pe planul format de vectorii B şi
r l , iar sensul ei este dat de regula burghiului.
Este de subliniat faptul că efectele magnetice sunt consecinţe relativiste ale mişcării sarcinilor electrice. 6.4.2 Inducţia şi intensitatea câmpului magnetic. Legea lui Laplace Am văzut că pentru a caracteriza câmpul magnetic din punct de vedere cantitativ s-a introdus o mărime fizică vectorială numită inducţia câmpului magnetic B . Biot-Savart au dedus experimental că inducţia câmpului magnetic produs de un conductor rectiliniu infinit de lung, parcurs de un curent de intensitate I, la distanţa r de conductor este dat de relaţia următoare: B=
µI 2π r
(6.40)
213
Pentru a calcula această inducţie într-un punct, fizicianul francez Laplace, plecând de la această formulă experimentală, a dedus pentru inducţia magnetică produsă de un curent de intensitate I o formulă care-i poartă numele (în unele tratate este denumită formula Biot-Savart-Laplace). dB =
µI d l × r 4π r 3
(6.41)
dacă se integrează relaţia (6.40) pe conturul C a întregului circuit, se obţine relaţia următoare: µI d l × r 4π r 3 C
B=∫
(6.42)
r dB
r r
d
I
Fig. 6.4
Din relaţia (6.41) rezultă că inducţia magnetică B depinde de intensitatea curentului, forma circuitului, (integrala sa ia pe curba care reprezintă circuitul) şi prin intermediul constantei μ numită permeabilitatea magnetică a mediului, de natura (proprietăţile magnetica ale mediului). Dacă circuitul este în vid, valoarea inducţiei este mai mică decât în orice mediu, vidul având (constantă magnetică) permeabilitatea magnetică H µ 0 = 4 π ⋅ 10 − 7 . m
214
µ0 I dl × r 4π r 3 C
B0 = ∫
(6.43)
Valoarea raportului dintre B şi B0 se numeşte permeabilitate magnetică relativă a mediului: µr =
B µ = B0 µ 0
(6.44)
Inducţia câmpului magnetic într-un mediu depinde deci, şi de natura acelui mediu. În multe situaţii, este necesară introducerea unei mărimi capabilă să caracterizeze din punct de vedere intensiv câmpul magnetic într-un punct şi care să depindă doar de intensitatea curentului. Această mărime vectorială notată cu H este numită intensitatea câmpului magnetic în acel punct. Într-un mediu omogen şi izotrop şi liniar (într-un astfel de mediu permeabilitatea nu depinde de intensitatea câmpului) se poate defini această intensitate prin relaţia: H=
B sau B = H μ µ
(6.45)
Unitatea de măsură a intensităţii câmpului magnetic în sistemul internaţional este [H] = 1 A/m. În cazul mediilor anizotrope μ are caracter tensorial, H şi B sunt vectori coliniari în medii omogene si izotrope. 6.4.3 Legea lui Ampere Calculând intensitatea câmpului magnetic într-un punct din vecinătatea unui conductor rectiliniu infinit de lung prin integrarea relaţiei (6.42), se regăseşte formula Biot-Savart (6.40): H =
I 2π r
sau: B=
µI 2π r
(6.46)
Plecând de la această relaţie, putem deduce o relaţie care exprimă o legitate importantă a câmpului magnetic. Pentru început vom introduce noţiunea de tensiune magnetică. Dacă avem un câmp magnetic uniform de inducţie B şi intensitate H şi un drum rectiliniu AB, numim tensiune magnetică asociată acestui drum lAB mărimea:
215
U m = H∆l AB cos α
(6.47)
Fig. 6.5
Pentru drumuri nerectilinii şi câmpuri neuniforme se generalizează relaţia (6.47), împărţind drumul în segmente rectilinii suficient de mici pentru ca în cuprinsul lor câmpul să poată fi considerat uniform. Pentru fiecare segment de lungime Δlk pe care se găseşte câmpul uniform de intensitate Hk se poate aplica relaţia de definiţie (6.47) şi se însumează pentru toate segmentele (fig. 6.6)
Fig. 6.6
U m = ∑ H k ∆ l k cos α k = ∑ H k ∆l k k
(6.48)
k
Dacă câmpul este total neuniform nu se pot găsi segmente de lungime finită pe care acesta să fie constant, segmentele Δlk se vor lua infinitezimale şi suma din (6.48) se va transforma într-o integrală curbilinie pe curba AB aleasă. Um =
∫ Hdl
(6.49)
AB
Dacă conturul este închis, Um se numeşte tensiune magnetomotoare sau circulaţia câmpului magnetic pe contur. Revenind la conductorul rectiliniu infinit de lung, circulaţia câmpului magnetic pe un cerc de rază r care înconjoară conductorul se exprimă în următorul mod:
216
I r dl
r B
r H
r
a
b Fig. 6.7
∫ Hdl = ∫
cerc
Hdl cos 0 =
cerc
∫ Hdl
(6.50)
cerc
înlocuind pe H din (6.49):
∫
cerc
Hdl =
I dl 2π r cerc
∫
(6.51)
r fiind constant, iese din integrală şi se obţine relaţia următoare: I
∫ Hdl = 2π r ∫
cerc
cerc
dl =
I 2π r = I 2π r
(6.52)
Deci, circulaţia vectorului intensitate a câmpului magnetic pe un contur circular care are conductorul în centru este exprimată prin următoarea expresie matematică:
∫ Hd l = I
(6.53)
cerc
Această relaţie se poate extinde pentru un contur necircular, de formă oarecare, care cuprinde conductorul prin care circulă curentul. Se alege un contur oarecare Γ care înconjoară conductorul ca în fig. (6.8). Se notează elementul infinitezimal de arc Γ cu dlΓ şi calculează circulaţia vectorului intensitate a câmpului magnetic pe conturul Γ.
217
Fig. 6.8
∫ Hdl Γ
Γ
= ∫ Hdl Γ cos θ
(6.54)
Γ
Din triunghiul infinitezimal ABC: AB = AC cosφ = dlcosθ
(6.55)
Dar: rd ϕ = dl Γ cos θ sau, dl Γ =
rdϕ cos θ
(6.56)
Înlocuind (6.56) şi (6.40) în (6.54) se obţine expresia: I
rdϕ
I
I
∫ 2π r cos θ cos θ = 2π r ∫ rdϕ = 2π r 2π r = I Γ
(6.57)
Γ
prin urmare relaţia:
rr H ∫ dl = I
(6.58)
Γ
este valabilă pentru orice contur: În vid: r rr r B ; deci ∫ Bd l = µ 0 I H = µ0 Γ
(6.59)
Relaţiile (8.58) şi (6.59) exprimă matematic legea lui Ampere, numită cel mai des legea circuitului magnetic. Dacă în interiorul conturului se află mai multe conductoare, circulaţia vectorului intensitate a câmpului magnetic pe un contur închis care cuprinde conductoarele este egală cu suma curenţilor din interiorul conturului.
218
rr H ∫ dl = ∑ I k
(6.60)
k
în medii liniare inducţia va satisface relaţia: rr B ∫ dl = µ 0 ∑ I k
(6.61)
k
6.4.4 Câmpul magnetic terestru Prezenţa unui câmp magnetic în jurul Pământului a fost sesizată deja în antichitatea Extremului Orient şi utilizată, după cum se pare, pentru orientare. În Europa orientarea pe mare cu ajutorul acului magnetic s-a dezvoltat începând din secolul XII-XIV. În anul 1600, medicul englez Gilbert şi-a dat seama că distribuţia liniilor de câmp magnetic terestru este identică cu distribuţia liniilor de câmp de la un magnet sferic confecţionat din magnetită. Liniile câmpului magnetic terestru sunt distribuite ca şi cum Pământul ar fi un uriaş magnet cu Polul Sud aproape de Polul Geografic Nord (Peninsula Boothia φN=70o40’ λV=96o5’) şi cu Polul Nord în vecinătatea Polului Sud Geografic (φS=72o40’ λE=155o). Un ac magnetic plasat într-un punct în vecinătatea suprafeţei terestre se aşează tangent la linia de câmp în acel punct, aflându-se într-un plan vertical care se numeşte planul meridian magnetic al locului. Unghiul dintre meridianul magnetic şi cel geografic se numeşte declinaţia magnetică a locului. Un ac magnetic care are posibilitatea de a se roti şi în plan vertical nu poate fi paralel cu planul orizontal, ci va face cu acesta un unghi numit înclinaţie. În studiile de geomagnetism, vectorul intensitate a câmpului magnetic terestru poate fi definit în orice punct al Pământului prin valoarea componentei orizontale, declinaţie şi înclinaţie. Componenta orizontală, notată cu H, este proiecţia câmpului pe un plan orizontal, tangent la sfera terestră în punctul considerat. Declinaţia magnetică se notează cu D, iar înclinaţia cu I. În sistemul de referinţă ales ca în figură:
219
Fig. 6.9
Dacă Pământul ar fi omogen şi uniform magnetizat după direcţia axei sale de rotaţie, polii magnetici ar coincide cu cei geografici, iar meridianul magnetic cu cel geografic. În acest caz, tgI = 2 tg ϕ , iar la poli câmpul ar fi vertical. O astfel de distribuţie se numeşte câmp magnetic ideal. Distribuţia reală a câmpului este aceea descrisă mai sus. Dezvoltând în serie de funcţii sferice, expresia câmpului magnetic real, termenul al doilea (primul este totdeauna 0 datorită lipsei sarcinilor magnetice) este un câmp de dipol numit câmp regulat. Deci, câmpul real poate fi considerat un câmp de dipol peste care se suprapun mai mulţi termeni ce alcătuiesc un câmp neregulat. Polii magnetici ai acestui dipol (ai câmpului regulat) nu coincid cu polii reali (magnetici reali), numiţi poli de înclinaţie. Câmpul magnetic regulat este folosit mult în geofizică pentru repararea anomaliilor locale, pe când câmpul real este cel care interesează mai mult în navigaţie. Câmpul magnetic terestru suferă variaţii atât în mărime, cât şi în direcţie. Se studiază atât variaţia declinaţiei (foarte importantă), cât şi a înclinaţiei şi a componentei orizontale. Variaţiile declinaţiei pot fi zilnice sau diurne, anuale şi seculare. Variaţiile diurne pot atinge maxim 15-20’, dar rar trec de 10’ şi au medie de 3’. Ele au legătură cu activitatea solară şi au un maxim în iunie (8’) şi un minim în ianuarie (3’). Particulele electrizate emise de Soare iau parte la rotaţia Pământului producând curenţi. Câmpurile acestor curenţi se suprapun peste câmpul magnetic terestru. Variaţii mai mari se produc în zilele cu furtuni magnetice. Variaţiile anuale. Media zilnică a declinaţiei variază în cursul unui an. În prezent variază de la vest spre est de la echinocţiul de primăvară spre echinocţiul de toamnă şi apoi invers. Variaţiile seculare sunt variaţii ale valorii medii ale declinaţiei care se produc pe intervale mari de timp (de exemplu la Paris în 1814 DV=22o34’, iar în 1938 era DV=9o321’). În prezent scade cu ≅ 9’ pe an. Pe hărţile de navigaţie se trece rata de variaţie a declinaţiei pentru a actualiza harta.
220
Anomaliile locale ale câmpului terestru sunt abateri de la valoarea medie a câmpului regulat, create de zăcăminte feromagnetice îngrămădite în scoarţa Pământului. Ele pot să producă şi variaţii puternice ale declinaţiei. De exemplu, în Alaska există o anomalie care produce o deviere a acului busolei cu 30o. Anomalii magnetice cu axe complet diferite se găsesc în regiunile vulcanice sau sunt produse de roci pe care au căzut trăsnete sau care sunt magnetizate invers. 6.4.5 Fluxul câmpului magnetic Fluxul câmpului magnetic printr-o suprafaţă se defineşte la fel ca şi la câmpul electrostatic, ca fiind o mărime fizică scalară egală cu produsul inducţiei cu aria suprafeţei orientate normal pe liniile de câmp.
r r Φ = B ⋅ S n = B ⋅ S cos α = B ⋅ S
(6.62)
Pentru câmpuri neuniforme se împarte suprafaţa S în elemente infinitezimale de suprafaţă şi se ajunge astfel prin integrare pe întreaga suprafaţă la următoarea expresie a fluxului:
r r Φ = ∫∫ B ⋅ dS
(6.63)
S
Până în momentul de faţă în natură nu s-a pus în evidenţă existenţa unor sarcini magnetice analoge sarcinilor electrice, din care să iasă liniile de câmp sau în care să se închidă. Deci, liniile câmpului magnetic sunt linii închise. Prin urmare, numărul de linii de câmp care intră într-o suprafaţă închisă trebuie să fie egal cu numărul de linii de câmp care o părăsesc, fluxul total prin respectiva suprafaţă în acest caz este nul. r r (6.64) ∫∫ BdS = 0 S inchisa
Aplicând teorema Gauss-Ostrogradski se transformă integrala de suprafaţă în integrala triplă pe volumul V mărginit de suprafaţa închisă pe care s-a calculat fluxul:
r r r B ⋅ d S = div B ⋅ dV ∫∫ ∫∫∫
(6.65)
V
Din (6.64) şi (6.65) se deduc următoarele relaţii echivalente:
r r divB = 0 ; ∇B = 0
(6.66)
Expresia (6.66) reprezintă legea fluxului magnetic sau legea lui Gauss pentru câmpuri magnetice.
7. Fenomene electrodinamice Până în prezent ne-am ocupat de fenomene electrice produse de sarcini aflate în repaus (electrostatică) şi fenomene produse de curenţi electrici care au o intensitate constantă şi care generează câmpuri magnetice de intensitate constantă. În continuare vom studia situaţii în care curenţii şi câmpurile suferă variaţii, producându-se intercondiţionarea lor. Astfel de fenomene se numesc electrodinamice. 7.1 Fenomenul de inducţie electromagnetică. Legea lui Faraday În 1831, în urma unor experimente laborioase, M. Faraday a descoperit că variaţia unui flux magnetic prin suprafaţa mărginită de un circuit produce în acel circuit o tensiune electromotoare. Valoarea acestei tensiuni fiind direct proporţională cu viteza de variaţie a fluxului. Această tensiune se numeşte tensiune electromotoare indusă, iar fenomenul, inducţie electromagnetică. În continuare, vom da o explicaţie fenomenologică a apariţiei tensiunii induse într-un conductor care se deplasează rectiliniu uniform într-un câmp magnetic uniform şi vom calcula mărimea sa.
Fig. 7.1
Purtătorii de sarcină (electronii liberi, dacă conductorul este un metal) se r vor deplasa odată cu bara, pe direcţia vectorului v , dar, aflându-se într-un câmp magnetic, asupra lor va acţiona ca o forţă Lorentz orientată de-a lungul conductorului (de la A la B). r r r F = q(v × B )
(7.1)
Această forţă va deplasa purtătorii de sarcină spre capete (electronii spre A), acţiunea forţei fiind echivalentă cu acţiunea unui câmp imprimat, numit câmp indus: r r F r r E = =v×B (7.2) q
r
Acumularea sarcinilor către capete produce un câmp coulombian E 0 care se va opune câmpului indus, iar când cele două câmpuri se egalează, transferul de
222
sarcini încetează, la capetele barei existând o diferenţă de potenţial numită tensiune indusă. Dar, conform definiţiei tensiunii electromotoare. r r B r r r ε i = ∫ Edl = ∫ (v × B)dl B
A
(7.3)
A
dar:
r r dx v= dt (deplasarea făcându-se de-a lungul axei Ox) deci:
r dx r r ε i = ∫ × B dl A dt B
(7.4)
Pe baza proprietăţilor produsului mixt:
(
) (
r r r r r r a b ×c = c a ×b
)
(7.5)
r r în relaţia (7.5) se permutează dl cu B :
r r r r dx r r dx × B d l = × d l B dt dt
(7.6)
Deci:
r r r dx × d l r dS r d r r B = ∫ ε i = ∫ B = ∫ BdS dt dt dt C C C r r Ştiind că: Φ = ∫∫ B dS εi =
dΦ dt
(7.7)
(7.8)
Legea conservării energiei ne impune o consecinţă importantă şi anume, aceea că lucrul mecanic efectuat pentru a produce variaţia fluxului se transformă în energie electrică. Această transformare se produce întotdeauna cu o opoziţie a cauzei contra efectului deci, tensiunea electromotoare indusă are un astfel de sens încât, prin efectele sale magnetice, se opune cauzei care-i dă naştere. Această afirmaţie este cunoscută sub denumirea de regula lui Lentz. În acest caz, (7.8) se scrie corect.
223
εi = −
dΦ dt
(7.9)
Această relaţie matematică se numeşte legea inducţiei electromagnetice a lui Faraday. Deşi demonstaţia s-a făcut în cazul particular al deplasării uniforme a conductorului rctiliniu într-un câmp magnetic de inducţie constantă, relaţia (7.9) îşi păstrează valabilitatea în toate cazurile în care un circuit se află sub influenţa unui câmp magnetic cu fluxul variabil. În cazul general, derivata din (7.9) este o derivată de flux. În electrodinamica modernă, expresiei (7.9) i se atribuie caracterul de lege a naturii. Dacă într-un circuit are loc variaţia de curent, evident se produce şi o variaţie de flux prin suprafaţa mărginită de circuit. Această variaţie de flux produce o tensiune electromotoare indusă în principiul circuit, fenomen numit autoinducţie. Fluxul produs de un circuit depinde de intensitatea curentului şi în situaţii în care permeabilitatea este constantă, de forma şi dimensiunile circuitului. Raportul dintre flux şi intensitate este o caracteristică a circuitului care se numeşte inductanţă. L=
Φ I
(7.10)
sau:
Φ = LI
(7.11)
Tensiunea electromotoare autoindusă cu ajutorul relaţiei (7.11) o putem scrie în felul următor:
εi = −
d ( LI ) dt
(7.12)
sau pentru cazul particular al inductanţei L, constante:
ε i = −L
dI dt
(7.13)
această relaţie exprimă legea autoinducţiei. 7.2 Energia câmpului magnetic Pentru a forma şi menţine câmpul magnetic este necesar să se consume energie. Această energie consumată este acumulată în câmpul magnetic, deci câmpul magnetic o energie care este numită energie magnetică. Se va calcula această energie şi densitatea sa în cazul particular, a unei bobine, lungi, de inductanţă L, străbătută de un curent de intensitate I. La formarea câmpului în
224
interiorul bobinei a luat naştere o tensiune electromotoare autoindusă dată de (7.13), iar în timpul infinitezimal da s-a transportat prin circuit sarcina dq, deci lucrul mecanic elementar va fi: d£ = ε a dq
(7.14)
înlocuind relaţia (7.13): d£ = − L
di dq dt
(7.15)
conform definiţiei intensităţii curentului:
i=
dq dt
(7.16)
prin urmare: d£ = − L
di idt = − Lidi dt
(7.17)
dar d£ se transformă în energie potenţială a câmpului magnetic: dW = Lidi
(7.18)
sau: W
i
0
0
∫ dW = L ∫ idi
(7.19)
Li 2 2
(7.20)
W=
În cazul unui solenoid, inductanţa sa este dată de relaţia: L=
µ0 N 2S l
(7.21)
şi conform legii circuitului magnetic: H=
Ni l
Introducând relaţiile (7.21) şi (7.22) în (7.20) se obţin relaţiile: W =
µ 0 S H 2l 2 i 2 ⋅ 2 ⋅ . 2 l i
(7.22).
225
şi: W =
µ0S l H 2 2
(7.23)
Sl = V este volumul interior al solenoidului în care este cuprins câmpul. Se poate calcula valoarea energiei cuprinse în unitatea de volum împărţind această energie la volum, astfel: w=
W µ0 H 2 = V 2
(7.24)
Această relaţie exprimă densitatea de energie a câmpului magnetic. Deşi această relaţie a fost obţinută în cazul particular al solenoidului, un calcul mai avansat arată valabilitatea sa generală. Dacă H nu este uniform, se poate defini W doar local, pe volume infinit de mici dV, dar relaţia (7.24) rămâne valabilă şi energia se poate calcula integrând w pe întreg volumul: W = ∫∫∫ wdV = ∫∫∫ V
V
µ0 H 2 dV 2
Ţinând seama că µ 0 H = B , relaţia se scrie la modul general: rr BH w= 2
(7.25)
(7.26)
Relaţia este valabilă şi pentru cazul când μ nu este constant. 7.3 Curentul de deplasare. Densitatea curentului de deplasare Se ştie că un condensator în regim continuu întrerupe curentul. Se acumulează sarcini pe armături, dielectricul se polarizează: în acest caz că condensatorul este încărcat. În regim alternativ, atunci când intensitatea se modifică datorită încărcării şi descărcării repetate a condensatorului, deşi prin dielectricul lui nu trec sarcini, curentul nu se întrerupe.
226
Fig. 7.2
Prin terminalul a intră în armătura A curentul de conducţie (datorat mişcării purtătorilor de sarcină) iC, iar din B prin b iese, conform teoremei I a lui Kirchoff pentru curent alternativ acelaşi curent. Pentru a pune de acord acest fapt experimental cu legea continuităţii curentului, fizicianul englez Maxwell a presupus că în spaţiul AB există un curent care menţine continuitatea circuitului, curentul care evident nu se datorează mişcării purtătorilor de sarcină şi care a fost denumit curent de deplasare. Curentul de deplasare respectă teorema lui Kirchoff: id = ic
(7.27)
Ne propunem să calculăm în continuare valoarea lui id. Ştim că id este intensitatea curentului care încarcă condensatorul: ic =
dq dt
(7.28)
q fiind sarcina momentană pe armături. q = Cu
(7.29)
u fiind tensiunea momentană dintre armături. Deci: ic =
d (Cu ) dt
(7.30)
ε0 S pentru un d condensator plan cu dielectric vid, având aria armăturilor S foarte mare şi distanţa l, dintre acestea foarte mică .Câmpul electric dintre armături poate fi considerat în acest caz uniform. Pentru un astfel de câmp este valabilă relaţia u = El . Prin urmare rezultă:
Capacitatea C este considerată constantă şi egală cu
227
ic =
ε0S d (E ⋅ l) l dt
(7.31)
sau: ic = ε 0 S
dE dt
(7.32)
şi, conform (7.27), intensitatea curentului de deplasare id = ε 0 S
dE . dt
Deci, densitatea curentului de deplasare va fi: jd =
id dE = ε0 S dt
(7.33)
sau aceeaşi relaţie scrisă vectorial (valabil în medii izotrope, omogene şi liniare): r r dE (7.34) jd = ε 0 dt Experimentele efectuate au arătat că aceşti curenţi de deplasare se comportă ca orice curent, producând câmpuri magnetice, deşi ei au fost introduşi printr-o ipoteză de lucru a lui Maxwell şi nu se datorează deplasării purtătorilor de sarcină. Dacă se comportă ca un curent şi produc un câmp magnetic care se adaugă la câmpul produs de curenţii de conducţie, legea Biot-Savart-Laplace şi legea circuitului magnetic a lui Ampere se pot generaliza completându-le cu curentul de deplasare id. r r r µ 0 (ic + id )dl × r (7.35) dB0 = 4π r 3 forma generală a legii Biot-Savart-Laplace: şi: r r B ∫ dl = µ 0 (ic + id )
(7.36)
forma generală a legii circuitului magnetica lui Ampere. 7.4 Generalizarea ecuaţiilor fundamentale ale electricităţii. Ecuaţiile lui Maxwell. Câmpul electromagnetic Din cele studiate până acum, am văzut că desfăşurarea fenomenelor electrice are la bază un număr de câteva legi fundamentale deduse experimental. Din acestea se deduc toate consecinţele importante pentru fizică şi electrotehnică.
228
Acestea sunt: 1. Legea fluxului electric(Legea lui Gauss pentru câmpuri electrice) r r Q (7.37) ∫∫S EdS = ε 0 forma integrală şi: r ρ div E = ε0 r ρ ∇E = ε0
(7.38) (7.39)
forma diferenţială (locală). 2. Legea circuitului magnetic (Legea lui Ampere) r r ∫ Bdl = µ 0 (ic + id )
(7.40)
Expresia matematică a acestei legi se mai poate scrie cu ajutorul densităţii de curent în felul următor: r r
∫ Bdl C
r r r = µ 0 ∫∫ ( j c + j d ) d S
(7.41)
S
sau în vid: r r r r ∂E r ∫C Bdl = µ 0 ∫∫S j c + ε 0 ∂t dS
(7.42)
sau: r r ∫ B dl =
C
r r ∂E r ∫∫S µ 0 jc + µ 0 ε 0 ∂t dS
(7.43)
În această formă ecuaţia mai este cunoscută şi sub numele de ecuaţia Ampere-Maxwell. Integrala curbilinie pe un contur C al unui vector se mai numeşte şi r circulaţia vectorului V pe curba închisă C. Din punct de vedere fizic, existenţa r unei circulaţii nenule într-un domeniu arată că liniile de câmp ale vectorului V r sunt linii închise, cu alte cuvinte, mărimea descrisă de V formează un vârtej (turbion, vortex ,curl). În matematică, se demonstrează o teoremă importantă datorată lui Stokes, cu ajutorul căreia se transformă o integrală curbilinie pe un contur (circulaţia r vectorului V pe curba închisă C) într-una de suprafaţă pe o suprafaţă mărginită de
229
r
conturul C pe care se face integrala de contur. Pentru un vector V de componente Vx, Vy, Vz se scrie: r r r r Γ = ∫ Vdl = ∫∫ rotVdS (7.44) C
S
r
unde operatorul diferenţial vectorial, rotV se explicitează în următorul mod: r ∂V z ∂V x r ∂V y ∂Vx − j (7.45) − − + k ∂y ∂z ∂x ∂x r r r Dacă în relaţia (7.44) se derivează circulaţia ∫ Vdl cu suprafaţa S se obţine r r ∂V ∂Vy rot V = i z − ∂z ∂y
C
următoarea expresie: r r r ∂Γ ∂ ∫∫ VdS r= r = rotV ∂S ∂S Deci, rotorul unui vector se poate interpreta ca fiind circulaţia care revine pe unitatea de suprafaţă şi caracterizează, din punct de vedere cantitativ, intensitatea vârtejului. Luând în considerare teorema lui Stokes, relaţia (7.43) se mai poate scrie:
r r r r B d l = rot B ∫ ∫∫ dS
(7.46)
S
sau: r r r r ∂E r ∫∫S BdS = ∫∫S µ 0 jc + µ 0 ε 0 ∂t dS
Astfel, obţinem (Ampere-Maxwell):
forma
r r r ∂E rotB = µ 0 j c + µ 0 ε 0 ∂t
diferenţială
(7.47) a
legii
circuitului
magnetic
(7.48)
sau: r r r ∂E rotH = j c + ε 0 ∂t
(7.49)
Legea circuitului magnetic arată că dacă într-o regiune a spaţiului există curenţi de conducţie sau câmpuri electrice variabile apare un vârtej de câmpuri
230
magnetice, liniile închise ale câmpului magnetic înconjurând conductorii şi liniile câmpului electric variabil. 3. Legea inducţiei electromagnetice (Legea lui Faraday) Tensiunea electromotoare indusă, este: εi = −
dφ dt
(7.50)
Ştiind că: r r ε i = ∫ Edl
(7.51)
C
r r
şi φ = ∫∫ Bd S , atunci: S
r r
∫ Ed l
=−
C
r r ∂ B dS ∫∫ ∂t S
Această relaţie reprezintă forma electromagnetice a lui Faraday. Dar conform teoremei lui Stokes:
(7.52) integrală
a
legii
r r r r E d l = rot E ∫ ∫∫ dS
inducţiei
(7.53)
S
Deci, (7.52) devine: r r r ∂B r ∫∫S rotEdS = − ∫∫S ∂t dS Integrala din membrul II nu depinde de timp, deci operatorii
(7.54)
∫∫ S
şi
∂ pot ∂t
fi permutaţi. r r ∂B r ∫∫S rotE = −∫∫S ∂t dS
(7.55)
de unde: r r ∂B rotE = − ∂t
(7.56)
sau în cazul mediilor liniare în care permeabilitatea nu depinde de intensitatea câmpului magnetic.
231
r r ∂H rotE = − µ ∂t
(7.57)
Relaţiile (7.56), (7.57) reprezintă forma diferenţială a legii inducţiei a lui Faraday şi sunt valabile în această formă în cazul mediilor aflate în repaus. În cazul în care mediul în care are loc inducţia este mobil, derivatele sunt derivate de flux şi relaţiile (7.56), (7.57) vor avea termeni suplimentari. Din forma integrală a legii inducţiei electromagnetice şi teorema lui Stokes rezultă faptul ca un câmp magnetic variabil produce un vârtej de câmp electric. Liniile de câmp electric sunt închise şi înconjoară liniile de câmp magnetic. 4. Legea fluxului magnetic.(Legea lui Gauss pentru câmpuri magnetice) r r (7.58) ∫∫ BdS = 0 S
conform teoremei lui Gauss-Ostrogradski, r r r r ∫∫ BdS = ∫∫∫ divBdV = 0 S
V
deci: r div B = 0
(7.59)
În concluzie, legile fundamentale ale electricităţii obţinute prin generalizarea unui mare număr de experimente şi observaţii se pot exprima într-o formă matematică elegantă şi riguroasă, prin următoarele relaţii. Forma integrală
Forma diferenţială r ρ divE = r r Q ε0 1) ∫∫ EdS = r ρ ε0 S ∇E = ε0 Legea fluxului electric sau, legea lui Gauss pentru câmpul electric: r r B r r ∫∫S dS = 0 div B = 0 ∇B = 0 2) r r r r div H = 0 ∇H = 0 ∫∫ HdS = 0 S
Legea fluxului magnetic sau, legea lui Gauss pentru câmpul magnetic:
232
r r ∂B rotE = − r r r r ∂ ∂t 3) ∫∫ Edl = − ∫∫ BdS r r ∂t S ∂H S rotE = −µ 0 ∂t Legea inducţiei electromagnetice a lui Faraday: r r r r r E ∂ rotB = µ 0 jC + µ 0 ε 0 ∫C Bdl = µ 0 (I C + I d ) ∂t 4) r r r r r ∂H ∫C Hdl = I C + I d rotH = jC + ε 0 ∂t Legea circuitului magnetic sau, legea Ampere-Maxwell. Aceste ecuaţii se mai completează cu ecuaţia de continuitate: r r r ∂V ∂ρ 5) ∫∫ j dS = − ∫∫∫ divj = − ∂t ∂t S V şi ecuaţiile de material: r s 6) D = ε 0 ε r E r r 7) B = µ 0 µ r H r
r
8) J = σ E Relaţiile 6), 7) şi 8) au această formă simplă doar în medii omogene, liniare şi izotrope. Acest grup de ecuaţii se numeşte grupul de ecuaţii al lui Maxwell sau, mai pe scurt, relaţiile lui Maxwell. În electrodinamica modernă grupului lui Maxwell i se dă caracter de postulat, din care se deduc, sub forma de teoreme, constatările obţinute iniţial pe cale experimentală. Concluzia fundamentală care se desprinde din analiza acestor ecuaţii este aceea că în regim electrodinamic, cu alte cuvinte, regimul în care câmpurile electric şi magnetic sunt variabile în timp şi spaţiu, aceste două câmpuri nu pot fi independente. Un câmp electric variabil produce un vârtej de câmp magnetic, acest câmp magnetic variabil produce un alt câmp electric, care se suprapune peste câmpul electric iniţial, rezultând un nou câmp electric. Acesta la rândul lui produce un nou câmp magnetic variabil si aşa mai departe. Acest ansamblu de câmpuri magnetice şi electrice variabile, inseparabile, care se condiţionează şi se generează reciproc se numeşte câmp electromagnetic. 7.5 Proprietăţile operatorului ∇ Ecuaţiile lui Maxwell pot fi scrise într-o singură formă mai accesibilă folosind operatorul diferenţial ∇ (nabla) care a mai fost întâlnit:
233
∇=
∂ r ∂ r ∂ r i + j+ k ∂x ∂y ∂z
(7.60)
Acest operator are proprietăţi foarte importante, astfel: r a) dacă ∇ operează asupra unui vector V de componente Vx,Vy,Vz, atunci r operaţia se scrie formal, ca un „produs scalar” cu vectorul ∇ , ţinând cont de faptul că înmulţirile, formele cu componentele lui ∇ reprezintă derivări parţiale. r ∂V x ∂V y ∂V z r ∂ r ∂ r ∂ r r r r ∇ V = i + z + k V x i + V y j + V z k = + = div V (7.61) + ∂y ∂z ∂x ∂z ∂y ∂x
(
)
(este un scalar). b) dacă ∇ operează asupra unui scalar, ecuaţia este asemănătoare formal cu produsul dintre un vector şi un scalar, rezultând un vector numit gradient: ∂S r ∂S r ∂S r ∂ r ∂ r ∂ r i+ j+ k = gradS ∇S = i + j + k S = ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂x
(7.62)
(este un vector). c) produsul vectorial al lui ∇ cu un vector: r i r r ∂ r ∂ r ∂ r r r ∂ ∇ × V = i + j + k × V x i + V y j + V z k = ∂y ∂z ∂x ∂x Vx
(
r ∂V ∂V = i z − y − ∂z ∂y
)
r j ∂ ∂y Vy
r k ∂ = ∂z Vz
r r ∂V z ∂V x r ∂V y ∂Vx = rot V − − j + k ∂z ∂y ∂x ∂x
(7.63)
(este un vector). Este de remarcat că produsul scalar al lui ∇ nu este comutativ. 7.6 Energia câmpului electromagnetic. Teorema lui Poynting Am văzut în paragrafele precedente că atât câmpul electric, cât şi câmpul magnetic au energie, densităţile de energie fiind date de relaţiile: rr ED εE sau pentru un mediu omogen şi izotrop we = (7.64) we = 2 2 rr HB µH 2 sau în aceleaşi condiţii şi izotrop wm = (7.65) we = 2 2 Deci, densitatea de energie a câmpului electromagnetic va fi:
234
w=
1 ( εE 2 + µH 2 ) 2
(7.66)
Consideram un mediu cu conductivitatea σ, cu permeabilitatea magnetică μ si permitivitatea ε, acest mediu este cuprins într-un domeniu D, de volum V, mărginit de suprafaţa S. În interiorul domeniului se află o sursă de energie electromagnetică. Energia emisă de această sursa este conţinută în câmpurile electrice şi magnetice din domeniul D. Această energie se transformă parţial în căldură datorită curenţilor de conducţie care iau naştere în domeniu şi parţial este transportată în exteriorul domeniului D de undele electromagnetice care traversează suprafaţa S. Energia câmpului în volumul V, se va obţine integrând densitatea de energie pe acest volum. W =
(
)
1 εE 2 + µH 2 dV ∫∫∫ 2 V
(7.77)
Această energie va suferi o scădere datorită transformării parţiale a energiei electromagnetice în căldură prin efect Joule şi parţial, datorită ieşirii câmpului electromagnetic din V prin suprafaţa S. Se va nota cu Pj puterea disipată sub formă de căldură şi Ps puterea ieşită prin S: ∂W (semnul apare datorită scăderii energiei din V în timp) Pj + Ps = − ∂t Puterea disipată sub formă de căldură într-un conductor de lungime l şi secţiune S va fi: Pj = RI 2 = ρ
l 2 2 j S = ρj 2V S
(7.78)
pe un domeniu conductor infinitezimal de o formă oarecare: dPj = ρj 2 dV
(7.79)
şi: Pj =
∫∫∫ ρj
2
dV
(7.80)
V
Pe de altă parte, puterea disipată sub cele două forme: ∂W ∂ − =− ∂t ∂t
εE 2 µH 2 dV + ∫∫∫ 2 2 V
(7.81)
235
Integrala de volum fiind independentă de timp, se pot permuta operatorii de derivare în raport cu timpul cu cel de integrare în care variabilele de integrare sunt coordonatele: ∂ εE 2 ∂W − = − ∫∫∫ ∂t ∂t 2 V −
∂ µH 2 + ∂t 2
dV
(7.82)
∂W ∂H ∂E = − ∫∫∫ εE + µH dV ∂t ∂t ∂t V
(7.83)
Ţinând cont de relaţiile lui Maxwell obţinem relaţia: r v r r r ∂H ∂E , şi ∇ × H = j + ε ∇ × E = −µ ∂t ∂t obţinem relaţia: r r r r ∇× E ∇× H − j ∂W − µH − = − ∫∫∫ εE dV ∂t ε µ V −
∂W = ∂t
[ (
) (
)]
r r r r r j EdV + H ∇ × E − E ∇ × H dV ∫∫∫ ∫∫∫ V
(7.84)
(7.84)
V
r r E r ţinând cont de forma locală a legii lui Ohm, j = σ E = : ρ −
(
)
r r ∂W = ∫∫∫ ρj 2 dV + ∫∫∫ ∇ H × E dV ∂t V V
(7.85)
Am folosit identitatea verificabilă:
(
)
(
)
(
r r r r r r ∇ E×H = H ∇×E − E ∇×H
)
(7.86)
Se observă că primul termen este tocmai puterea disipată sub formă de căldură. Atunci, al doilea termen trebuie să fie puterea disipată sub formă de radiaţie electromagnetică prin suprafaţa S. Notăm: r r r S = E×H
(7.87)
un vector numit Poynting. În acest caz: Ps =
r
∫∫∫ ∇ S dV V
(7.88)
236
Dacă în relaţia (7.88) se aplică teorema Gauss-Ostrogradski se obţine următoarea expresie: Ps =
r ∇ SdV = ∫∫∫ V
r divSdV = ∫∫∫ V
∫∫
r r Sds
(7.89)
S
r ds reprezintă elementul infinitezimal de arie a suprafeţei domeniului D.
Pentru a deduce semnificaţia fizică a vectorului Poynting, se derivează expresia acestei puteri cu suprafaţa, obţinând relaţia: r dP r (7.90) S= sn ds Vectorul Poynting are semnificaţia unui vector cu modulul egal, cu densitatea superficială de putere de radiaţie şi are sensul şi direcţie propagării energiei electromagnetice. Se respectă regula burghiului drept ca în fig.7.3.
Fig. 7.3
[S ]SI
=
[PS ]SI [S ]SI
=
W m2
Modulul vectorului Poynting, se mai poate defini ca fiind energia transferată prin unitatea de arie s în unitatea de timp (fluxul de putere echivalent cu intensitatea undei elastice).
8. Unde electromagnetice 8.1 Propagarea câmpului electromagnetic în vid Ecuaţiile lui Maxwell duc direct la concluzia că atât oscilaţiile câmpului electric, cât şi cele ale câmpului magnetic se pot propaga sub formă de unde. Pentru un câmp electromagnetic în vid, ( ρ = 0 şi j = 0 ) ecuaţiile lui Maxwell se vor scrie în felul următor: r r r r ∂E ∂E sau ∇ × H = ε 0 (8.1) rotH = ε 0 ∂t ∂t şi: r r r r ∂H ∂H sau ∇ × E = −µ 0 rotE = −µ 0 ∂t ∂t
(8.2)
Se aplică relaţiei (8.2) operatorul rot sau ∇ ×, în stânga şi se va obţine: r r ∂H (8.3) ∇ × ∇ × E = −µ 0 ∇ × ∂t
(
)
∂ (componentele lui ∇ ∂t nu depind de timp) şi în primul membru utilizează identitatea cunoscută din matematică:
În membrul drept se inversează operatorul ∇ cu
(
)
( )
( )
r r r r r ∇ × ∇ × E = ∇ ∇E − ∇ 2 E = ∇ ∇E − ∇E
r ρ ∇E = = 0; ε0 înlocuind în (8.3), se obţine: r r ∂ − ∆E = − µ 0 ∇× H ∂t
(8.4)
dar în vid,
(
)
(8.5)
Înlocuind în (8.5) relaţia (8.1), se obţine expresia următoare: r ∂ ∂ ∆E = ε 0 ∂t ∂t
(8.6)
sau: r r ∂2E ∆E = ε 0 µ 0 2 ∂t
(8.7)
238
Făcând calculele similare pentru relaţia (8.1) se obţine: r r ∂2H ∆H = ε 0 µ 0 2 ∂t Introducând constanta c 2 =
(8.8)
1 , ecuaţiile (8.7) şi (8.8) devin: ε 0µ 0
r r 1 ∂2E ∆E = 2 2 c ∂t r r 1 ∂2H ∆H = 2 c ∂t 2
(8.9) (8.10) r
r
Se observă că fiecare componentă a vectorilor E şi H satisfac cunoscuta ecuaţie a unor unde care se propagă în spaţiu cu viteza de fază c. Deci, câmpul electromagnetic se propagă în spaţiu sub formă de unde, câmpurile electric şi magnetic generându-se reciproc. O astfel de undă se numeşte undă electromagnetică. 1 ∂2 Introducând operatorul lui D’Alambert = ∆ − 2 2 , ecuaţiile undelor c ∂t electromagnetice se vor scrie sub următoarea formă:
r E = 0 şi
r H =0
(8.11)
8.2 Unda electromagnetică sferică Am arătat atunci când am studiat undele mecanice (elastice) că dacă sursa este punctiformă şi mediul omogen şi izotrop, suprafaţa undei este o suprafaţă sferică, şi spunem că avem de-a face cu o undă sferică. Este comod să r trecem r la coordonate sferice unde, datorită simetriei sferice a undei, vectorii E şi H nu vor depinde de coordonatele unghiulare φ şi θ, ci numai de coordonata radială r şi t. S-a arătat că în acest caz din laplacian nu rămâne decât componenta radială, iar soluţia ecuaţiei undelor este de forma: r r 1 r (8.12) Ψ = f1 (r − ct ) + f 2 (r + ct ) r
[
]
r
r
r
unde Ψ poate reprezenta atât pe E , cât şi H (pe B ): r f 1 (r − ct )
reprezintă unda directă, v iar f 2 (r + ct ) reprezintă unda inversă (reversivă).
239
Forma concretă a funcţiilor f1 şi f 2 , depinde de condiţiile iniţiale şi de cele de frontieră, mai exact de geometria ;i de modul de oscilaţie a sursei care a emis unda şi de limitările impuse de mediul înconjurător propagării acesteia: c=
1 ε0µ0
(8.13)
este viteza de fază (de propagare a fazei) a undei 8.3 Unda electromagnetică plană Dacă studiem unda într-un domeniu ale cărui dimensiuni sunt reduse în raport cu distanţa până la sursă, în acest domeniu, r va avea o variaţie neglijabilă şi atunci, pentru unda progresivă vom putea scrie: r ψ = const . f 1 (r − ct )
(8.14)
r
Funcţia f este o funcţie vectorială arbitrară, forma ei depinzând de factorii expuşi anterior, dar de o importanţă practică deosebită este unda armonică plană, pentru care funcţia f1 are o variaţie armonică şi suprafeţele de fază constantă sunt plane paralele. Dacă o asemenea undă se propagă de-a lungul unei direcţii oξ, elongaţia oscilaţiei electromagnetice într-un punct P, situat la distanţa ξ de sursă şi la momentul t, este exprimată prin relaţia: −ϕ r i ϖt − 2πξ r Ψ = Ae λ
Aceasta are o importanţă deosebită pentru că partea sa reală: r r 2πξ ψ = A cos ωt − + ϕ0 λ
(8.15)
(8.16)
are o variaţie armonică des întâlnită în practică. Introducând un sistem de coordonate carteziene x, y, z faţă de care cosinuşii directori ai direcţiei ξ sunt cosα, cosβ, cosγ, ca în figura 8.1, se poate scrie relaţia:
240
Fig. 8.1
ξ = x cosα + ycosβ + zcosγ
(8.17)
Introducând (8.17) în (8.15):
r r i ω t + ψ = ae
2 π ( x cos α + y cos β + z cos γ ) +ϕ 0 λ
(8.18)
r
Introducem vectorul de undă k de modul
2π având direcţia de propagare λ
a undei: r 2π r r 2π r 2π k= cos αi + cos β j + cos γk λ λ λ
(8.19)
şi vectorul de poziţie a punctului P: r r v r r = x i + yj + z k
Se observă că: r r 2π r r r kr = cos α i + cos βj + cos γk λ
(
(8.20)
)
deci, relaţia(8.18) devine: rr r ψ = ae i (ωt − k r + ϕ ) 0
r r Introducândr amplitudinea complexă A = aeiϕ0 , vom avea: r r Ψ = Aei (ωt −kr ) cu două forme particulare: rr r r E = E ei (ωt −k r ) 0
(8.21)
(8.22)
(8.23) (8.24)
241
şi: rr r r H = H 0 ei (ωt − k r )
(8.25)
8.4 Transversalitatea undelor electromagnetice plane ∂ În coordonate carteziene se poate face identificarea ∇ = r şi ştim că în ∂r
vid:
r r r ∇E = 0 şi ∇B = 0 (evident şi ∇H = 0 ). rr rr rr r ∂ r ∇E = r E0 e i (ωt − k r ) = −ik E0 e i (ωt − k r ) ∂r
(8.26)
Conform relaţiei (8.23) pentru unda armonică plană:
rr r ∇ E = − ik E
deci, putem identifica pentru acest tip de undă operatorul ∇ cu înmulţirea
rr cu − ik E :
r (8.27) ∇ = −i k rr rr r r r Dar ∇E = 0 , deci, ikE = 0 sau kE = 0 de unde rezultă că vectorii k şi E r
sunt perpendiculari. Un calcul identic putem face şi pentru H (din 8.24) şi vom r r rr r obţine kH = 0 , deci, H ⊥ k . De unde tragem concluzia că vectorii E r
şi H oscilează perpendicular pe direcţia de propagare a undei. r r Pentru a demonstra că cele două componente ale undei ( E şi H ) sunt perpendiculare între ele, plecăm de legea inducţiei electromagnetice: r r ∂H (8.28) ∇ × E = −µ 0 ∂t r r ∂ r i (ωt − krrr ) (8.29) − i k × E = −µ 0 He ∂t rr r r r (8.30) − ik × E = −µ 0 (iω) H 0 e i (ωt − k r ) r r r (8.31) k × E = µ 0 ωH r r Vectorul µ 0 ωH are direcţia lui H ( µ0 ω este un scalar) şi are direcţia
( (
)
)
r
r
perpendiculară pe planul format de factorii produsului vectorial deci H ⊥ k şi r r H ⊥ E.
242
Din (8.30) se mai poate rdeducer o relaţie importantă cu privire la legătura dintre valorile maxime ale lui E şi H . Din expresia (8.30) se deduce că relaţia dintre modulele vectorilor k şi E se poate scrie în felul următor: r π (8.32) kE sin = µ 0 ωH 2 sau: E µ 0ω = = H k
µ0
2π 1 T = µ 0 λ = µ 0 cT = µ c = µ 0 0 k T T µ 0 ω0
(8.33)
Deci: Z=
E = H
µ ε
(8.34)
Aceasta se poate exprima dimensional prin următoarea relaţie:
[Z ]SI
E = H SI
V V = m = =Ω A A m
(8.35)
Prin urmare raportul E/H are caracterul unei impedanţe şi se numeşte impedanţa de undă a mediului. În cazul vidului,această impedanţă are valoarea: Z0 =
E = H
µ0 = 377 Ω . ε0
(8.36)
8.5 Producerea undelor electromagnetice Existenţa câmpurilor şi undelor electromagnetice a fost dedusă teoretic de J.C. Maxwell în 1865, iar confirmarea experimentală a venit în 1887, în urma experimentelor lui H.Hertz. Hertz a reuşit să genereze unde electromagnetice provocând descărcări electrice de înaltă tensiune între două tije prevăzute la capete cu câte o sferă. Acest dispozitiv experimental a stat la baza primelor sisteme de radiocomunicaţii, denumite telegrafe cu scântei. Pentru generarea undelor electromagnetice trebuie utilizate oscilatoare electromagnetice ca şi în cazul generării undelor acustice unde se utilizează ocilatoare mecanice. Cel mai simplu oscilator electromagnetic este circuitul oscilant. Circuitul oscilant nu poate radia unde electromagnetice în spaţiu, căci câmpul electric din el este limitat în spaţiul restrâns al condensatorului, iar
243
câmpurile magnetice de pe laturile sale se anulează datorită faptului că oscilează în opoziţie de fază. (fig. 8.2 a). Pentru ca un astfel de circuit să poată emite unde electromagnetice în spaţiu, el este deschis prin depărtarea armăturilor condensatorului, ca în fig. 8.2 b. Dispozitivul lui Hertz descris anterior era tocmai un astfel de circuit oscilant deschis. Pe cele două armături există în fiecare moment sarcini electrice opuse, deci circuitul oscilant deschis formează un dipol electric, având momentul dipolar variabil. Cel mai simplu dipol radiant de unde electromagnetice este un conductor liniar alimentat cu curent de înaltă frecvenţă (radiofrecvenţă). Inductanţa şi capacitatea sunt distribuite de-a lungul întregului conductor. Curentul de radiofrecvenţă este indus în dipol prin intermediul unei bobine intercalate în fir.
r B
a.
r E
a
r E
b Fig. 8.2
În cazul dipolului, câmpul electric nu mai este limitat la spaţiul redus dintre armături, iar câmpul magnetic generat de diferite porţiuni ale dipolului nu se mai anulează, curenţii având de data aceasta acelaşi sens. Spaţiul din jurul dipolului devine sediul unui câmp electromagnetic, care oscilează cu frecvenţa curentului indus în dipol. Acest câmp electromagnetic se desprinde de dipol şi se va propaga în spaţiu sub formă de unde electromagnetice. În radiotehnică, un dipol utilizat pentru emiterea sau recepţia undelor electromagnetice este denumit antenă.
244
r E
z
r k θ
r r
r H
Fig. 8.3
Prin rezolvarea ecuaţiilor lui Maxwell se demonstrează că un dipol de lungime l, alimentat cu un curent oscilant de ecuaţie: i = I 0 cos ωt
(8.37)
generează la o distanţă r mult mai mare decât lungimea de undă, în vid, un câmp magnetic a cărui intensitate este dată de expresia: H=
I 0 l sin θ sin (ω t − kr ) 2 λ r
(8.38)
intensitatea câmpului electric în acelaşi punct este orientată perpendicular pe H şi pe k, are următoarea expresie: E=
Z 0 I 0 l sin θ sin ( ωt − kr ) 2 λ r
(8.40)
densitatea de putere electromagnetică este dată de modulul vectorului Poynting şi are următoarea formă: Z 0 I 0 2 l sin 2 θ sin 2 ( ωt − kr ) 2 4 λ r 2
S = EH =
(8.41)
Media în timp de o perioadă a acestei densităţi de putere este: 1 Z I 2 l sin 2 θ S = ∫ S ( t )dt = 0 0 sin 2 (ωt − kr ) dt T 0 4 λ r 2T ∫0 2
T
T
(8.42)
efectuând integrarea, se obţine pentru densitatea medie de putere expresia: Z I 2 l sin 2 θ S= 0 0 8 λ r2 2
(8.43)
245
Puterea electromagnetică radiată de acest dipol se calculează integrând densitatea medie de putere pe suprafaţa Σ a sferei de rază r, în următorul mod: Z I 2l Pem = ∫∫ Sd Σ = 0 0 8 λ Σ
2 2π
π
sin 2 θ 2 r sin θ dθ r2 0
∫ dϕ ∫ 0
(8.45)
după efectuarea integrărilor se obţine expresia: Pem =
π Z 0 I 02 l 3 λ
2
(8.46)
Din această relaţie se vede că pentru ca puterea undelor emise de antenă să fie mare este mecesar ca amplitudinea oscilaţiilor electrice din antenă să fie maximă. Un astfel de maxim se realizează atunci când antena (circuitul oscilant deschis) este adusă la rezonanţă cu oscilaţia de înaltă frecvenţă indusă în ea. ν osc =
1 2π LC
(8.47)
inductanţa L şi capacitatea C sunt distribuite de-a lungul antenei. O antenă extrem de simplă constă dintr-un conductor vertical având capătul inferior conectat la pământ. De-a lungul antenei ia naştere o undă electrică staţionară având un nod de potenţial la capătul legat la pământ (potenţialul pământului este nul) şi un maxim (ventru) la capătul superior liber. De asemenea, ia naştere şi o undă staţionară de curent având un nod de curent nul în capătul superior izolat şi un maxim de curent la capătul neizolat pus la pământ, ca în fig. 8.3. S-a arătat că distanţa dintre un nod şi un ventru este un sfert de lungime de undă şi din acest motiv o astfel de antenă este numită antenă sfert de undă. Frecvenţa curentului de radiofrecvenţă care alimentează antena trebuie să aibă o asemenea valoare, încât să fie satisfăcută condiţia: l=
λ c = 4 4ν
(8.48)
246
u
i
l
Fig. 8.4
deci frecvenţa modului fundamental va fi: ν=
c 4l
(8.49)
Se folosesc foarte des şi antenele semiundă care constau dintr-un conductor care are lungimea egală cu jumătatea lungimii de undă fundamentale. Alimentarea cu curent de radiofrecvenţă se face în aşa fel încât la capetele atenei să apară noduri de curent, iar la mijloc un maxim. Tensiunea va prezenta maxime ca şi capetele antenei, iar la mijloc, acolo unde se face alimentarea tensiunea, va fi nulă (fig. 8.4). Frecvenţa modului fundamental în acest caz este: ν=
c 2l
(8.50)
l
u l i l Fig. 8.5
247
Pentru a putea utiliza antena la diferite lungimi de undă, fără a modifica lungimea ei, se introduc în serie cu ea inductanţe sau capacităţi variabile care au ca efect echivalent cu lungirea, respectiv scurtarea ei. Această operaţie este numită acordarea antenei. Utilizarea antenelor este posibilă doar în domeniul undelor care au lungimi de undă macroscopice dar, orice dipol care îşi modifică momentul dipolar este o antenă, adică un emiţător de unde electromagnetice. Din acest motiv, atomii careşi modifică momentul dipolar, ca urmare a unei tranziţii cuantice, vor emite unde electromagnetice cu lungimi de undă foarte mici. Se poate demonstra că particulele purtătoare de sarcini electrice aflate în mişcare accelerată au comportamentul unor dipoli cu moment dipolar variabil şi deci, emit unde electromagnetice perpendiculare pe direcţia vectorului acceleraţie. 8.6 Clasificarea undelor electromagnetice după lungimea de undă Cea mai des întâlnită clasificare a undelor electromagnetice este în funcţie de lungimea lor de undă în vid astfel: 750m< λ< ∞ unde lungi (U.L.) acestea urmează cu aproximaţie curbura pământului şi sunt slab absorbite de atmosferă: 50m< λ< 750m unde medii (U.M.) şi acestea urmează cu aproximaţie destul de bună curbura pământului şi sunt mai mult absorbite de atmosferă. Undele lungi şi medii sunt utilizate cu precădere pentru transmiterea emisiunilor radiofonice modulate în amplitudine (A.M), cu acoperire zonală (de ordinul 100 km). 10m< λ< 50m unde scurte (U.S.) Propagarea lor este aproape rectilinie, nu urmăresc curbura pământului, dar au o uşoară curbură datorită refracţiei. Sunt puternic reflectate de ionosferă. Deşi undele scurte emise direct de surse (antene), nu depăşesc cu mult limita vizibilităţii directe, undele reflectate de ionosferă pot face chiar şi ocolul sferei terestre făcându-le apte pentru comunicaţii radio la distanţe mari. Intensitatea reflexiilor pe ionosferă depinde de foarte mulţi factori, dintre care cei mai importanţi sunt: perioada zilei şi activitatea solară. Din acest motiv, propagarea undelor scurte reflectate pe ionosferă prezintă un oarecare grad de nesiguranţă de care trebuie să se ţină seama la stabilirea legăturilor radio pe această cale. 30cm< λ< 10m unde ultrascurte (U.U.S.) Undele ultrascurte se propagă aproape rectiliniu şi sunt foarte slab reflectate de ionosferă. Undele ultrascurte emise de surse (antene) nu pot fi
248
recepţionate cu mult peste limita vizibilităţii directe. Ele sunt utilizate pentru transmiterea programelor TV sau pentru comunicaţii radio cu bătaie scurtă cu modulaţie în frecvenţă (F.M). microunde: 10cm< λ< 1m unde decimetrice (U.D.M.) 1cm< λ< 10cm unde centimetrice (U.C.M.) 1mm< λ< 1cm unde milimetrice (U.M.M.) Se utilizează în comunicaţii radio cu bătaie scurtă, radiolocaţie, încălzirea corpurilor (cuptoare cu microunde). Domeniul de lungimi de undă între un milimetru si lungimi de undă foarte mari se numeşte domeniul hertzian. Aceste unde pot fi generate cu ajutorul mijloacelor radio-tehnice şi radiate în spaţiu cu ajutorul antenelor. Undele cu lungimi de undă mai mici de un milimetru formează domeniul optic. În acest domeniu, generarea undelor se face de surse naturale în care au loc tranziţii cuantice ale atomilor sau frânarea rapidă a unor purtători de sarcină. Deşi au proprietăţi comune undelor electromagnetice, datorită lungimilor de undă foarte mici ele se propagă în medii omogene şi izotrope, rectiliniu şi din acest motiv se numite raze (radiaţii). 780 nm< λ< 1 mm raze infrarosii (I.R.) Sunt radiate de corpurile calde, dar există şi mijloace electronice capabile să le genereze. Au multiple utilizări în domeniul observării obiectelor în condiţii de întuneric. 400 nm< λ< 760 nm lumina vizibilă Reprezintă domeniul de unde electromagnetice accesibile direct omului prin simţul văzului. Analizorul optic (ochiul uman) este un analizor cu răspuns diferenţiat, în funcţie de domeniul de lungimi de undă (analizor spectral) Diverse domenii ale spectrului vizibil sunt percepute prin senzaţii vizuale diferite, numite culori. Domeniile de lungimi de undă corespunzătoare diferitelor culori, sunt cu aproximaţie următoarele. 400 nm< λ< 450 nm violet 450 nm< λ< 500 nm albastru 500 nm< λ< 600nm verde 600 nm< λ< 660 nm galben 660 nm< λ< 700 nm portocaliu 700 nm< λ< 760 nm roşu 0,6 nm< λ< 380 nm raze ultraviolete (U.V.) Sunt emise de corpurile foarte fierbinţi (de exemplu, arcul electric folosit în sudura electrică). Soarele este o sursă importantă de raze ultraviolete. Razele ultraviolete emise de Soare sunt captate şi absorbite de stratul de ozon aflat în atmosfera înaltă.
249
6.10-6 nm< λ< 1nm raze X (raze Roentgen) Sunt generate prin frânarea rapidă a unor electroni rapizi pe anodul unui tub electronic special. Sunt utilizaţi în imagistica medicală în defectoscopie şi în analiza compoziţiei substanţelor. λ < 10-2 nm raze γ Sunt emise din nucleele atomilor, ca urmare a unor tranziţii cuantice de foarte mare energie. Se utilizează în defectoscopie şi în unele metode de tratament medical. Este de remarcat că în domeniul optic (al razelor) nu există o delimitare netă a diferitelor tipuri de radiaţii.
9. Propagarea undelor electromagnetice în diferite medii. Optica electromagnetică 9.1 Propagarea undelor electromagnetice în medii dielectrice izotrope liniare şi nedisipative În medii dielectrice omogene şi izotrope, imobile, nu există curenţi de r conducţie j = 0 şi nu există sarcini libere. Lipsa curenţilor de conducţie face ca disiparea de energie sub formă de căldură să fie absentă şi din acest motiv mediul se numeşte nedisipativ. Din acest punct de vedere nu există nici o diferenţă faţă de situaţia din vid. Diferenţa apare la constantele ε şi μ unde: ε = ε 0ε r
(9.1)
şi: µ = µ 0µ r
deci, ecuaţiile componentelor undei electromagnetice vor fi: r r ∂2E ∆E = εµ 2 ∂t r r ∂2H ∆H = εµ 2 ∂t
(9.2)
(9.3) (9.4)
Dacă se introduce notaţia: εµ =
1 v2
(9.5)
se va obţine pentru viteza de fază a undei în mediul respectiv, expresia: v=
1 1 1 c = = ⋅c = εµ µ r ε r µ 0ε0 µrεr µr εr
(9.6)
Mărimea: n = µr εr
(9.7)
este o mărime adimensională care caracterizează un mediu şi ne arată de câte ori viteza undei electromagnetice în acel mediu este mai mică decât în vid, numindu-se indice de refracţie absolut al mediului. În substanţe, chiar dacă acestea sunt dielectrice, se vor produce interacţiuni între unda electromagnetică şi electronii atomilor materialului, ceea ce va face ca permitivitatea relativă a mediului ε r să nu mai fie o constantă, iar relaţiile (9.6), (9.4) şi (9.3) să fie
251
modificate. Impedanţa intrinsecă a mediului va fi, de asemenea, puternic influenţată. 9.2 Propagarea undelor electromagnetice în medii conductoare Vom considera cazul când unda electromagnetică se propagă într-un mediu în care nu există o densitate volumică de sarcină diferită de zero, dar mediul are o conductivitate σ ≠ 0 . Se pleacă de la relaţiile lui Maxwell (existând purtători de sarcină liberi în r mediu se vor produce curenţi cu j ≠ 0 : r r r ∂E (9.8) ∇ × H = jc + ε ∂t şi: r r ∂H ∇ × E = −µ ∂t
(9.9)
Ca şi la deducerea ecuaţiei undei electromagnetice în vid, se aplică o înmulţire vectorială la stânga cu operatorul ∇ a relaţiilor (9.8) şi (9.9) (sau cu alte cuvinte am aplicat operatorul rot) şi ţinem seama de identitatea. r r r (9.10) ∇ × ∇ × E = ∇ ∇E − ∇E
( )
Dacă distribuţia de sarcină spaţială este nulă ρ v = 0 deci: r ρ (9.11) ∇E = v = 0 ε Prin înlocuirea relaţiei (9.11) în (9.10) şi apoi în (9.9) şi (9.8) se obţin relaţiile: r r r ∂2E ∂E 2 (9.12) ∇ E − εµ 2 − σµ =0 ∂t ∂t şi: r r r ∂2 H ∂H ∇ H − εµ 2 − σµ =0 ∂t ∂t 2
(9.13)
Am ţinut cont de faptul că:
r j = σE
(9.14)
Să considerăm o undă electromagnetică plană care se propagă prin acest mediu, deci: rr r r (9.15) E = E 0 e i (ωt − k r )
252
Relaţia (9.15) se mai poate scrie în felul următor: r r rr E = E 0 e ik r e iω t
(9.16)
Partea radială a soluţiei se va nota cu: rr r r E r = E 0 e − ik r
deci, expresia (9.16) se va transforma în felul următor:
r r E = Er e iωt
(9.17)
Se introduce (9.17) în (9.12) şi rezultă expresia: r ∂2 r ∂ r iωt Er e = 0 ∇ 2 Er eiωt − εµ 2 Er eiωt − σµ ∂t ∂t
(
)
(
)
(
)
(9.18)
r
Dar pentru că E r nu depinde de timp: r ∂ ( eiωt ) ∂ r iωt Er e = Er ∂t ∂t
(
)
(9.19)
Prin urmare: r ∂ r iωt Er e = iωtEr eiωt ∂t
(
)
şi: r iωt ∂ 2 r iωt 2 E e = − i ω tE r re ∂t 2
(
)
(9.20)
r r ∇ 2 Er eiωt = eiωt ∇ 2 Er
(9.21)
iar:
(
)
( ∇ operează în raport cu coordonate) deci, introducând (9.21), (9.20), (9.19), în (9.18) şi simplificând, obţinem: r r r (9.22) ∇ 2 Er + ω 2εµ Er − iωσµ Er = 0 Ecuaţia (9.22) se rnumeşte ecuaţia atemporală a undelor (o ecuaţie identică se poate scrie şi pentru H ) electromagnetice într-un mediu disipativ. Dacă mediul are conductivitatea σ nulă, mediul este nedisipativ, în care ecuaţia atemporală a undelor ia următoarea formă: r r (9.23) ∇ 2 Er + ω 2εµ Er = 0
253
Putem aduce ecuaţia (9.22) la forma (9.23) introducând o constantă dielectrică imaginară în felul următor: ε∗ = ε −i
σ ω
(9.24)
în relaţia (9.22) înmulţind şi împărţind ultimul termen cu ω se obţine expresia: r r σ r (9.25) ∇ 2 Er + ω 2εµ Er − iω 2 µ Er = 0 ω de unde: r σ r ∇ 2 Er + ω 2 ε − i µ E r = 0 ω
(9.26)
deci:
r r ∇ 2 E r + ω 2ε ∗ µE r = 0
(9. 27)
În acest caz ,pentru σ ≠ 0 va trebui să modificat şi vectorul de undă: k=
2π 2π ω = = = ω εµ 1 λ vT εµ
(9.28)
sau: k 2 = ω 2εµ
(9.29)
k ∗2 = ω 2ε ∗ µ
(9.30)
σ de unde: k ∗2 = ω 2 ε − i µ ω Separând în parte reală şi imaginară şi notând:
k ∗2 = ω 2εµ ( ε ) − iωσµ
(9.31)
k ∗2 = k '− iδ
(9.32)
Pentru a calcula modul cum se produce atenuarea undei electromagnetice într-un mediu disipativ vom considera o undă electromagnetică, armonică, plană care se propagă de-a lungul unei axe z, perpendicular pe o suprafaţă disipativă. În acest caz, ecuaţia intensităţii câmpului electric a undei va fi:
254
r r i ( ωt − k ∗ z ) E = E0 e
(9.33)
de unde: r r E = E 0 e i [ω t − k ' z + isz ] r r E = E 0 e − sz e i [ω t − k ' z ]
(9.34) (9.35)
1 amplitudinea undei scade de e s ori. Acest drum δ se numeşte adâncime de pătrundere. Pentru a putea calcula adâncimea de pătrundere în medii conductoare suntem nevoiţi să calculăm mărimea notată cu s. Pentru aceasta se introduce k ∗ din (9.32) în relaţia (9.31), obţinând:
Se observă că pentru un drum
( k '− is )
2
z =δ =
= ω 2εµ − iεσµ
(9.36)
k '2 − 2 k ' s − s 2 = ω 2εµ − iεσµ
(9.37)
se obţine sistemul: k '2 − s 2 = ω 2εµ 2 k ' s = εσµ
(9.38)
Se elimină k’, şi rezultă: ω 2σ 2 µ 2 − s 2 = ω 2εµ 2 4s
(9.39)
sau: 4 s 4 + 4 s 2ω 2εµ − ω 2σ 2 µ 2 = 0
s=
−2ω 2εµ ± 4ω 4ε 2 µ 2 + 4ω 2σ 2 µ 2 2
(9.40) (9.41)
în final, se obţine pentru adâncimea de pătrundere expresia: σ2 ω 2εµ 1 + 2 2 − 1 ω µ s= 2
În general, pentru metale
σ >> 1 ≅ 2 ⋅ 10 2 . ωµ
(9.42)
255
σ fiind mult mai mare decât unitatea pentru calcularea adâncimii de ωµ pătrundere se poate folosi următoarea formulă: 1 1 =s= ωσµ 2 δ
(9.43)
În particular, pentru metale se poate scrie adâncimea de pătrundere: 1
λ ε 4 δ = πσ µ
(9.44)
care, de regulă mai mică decât λ , datorită transformării rapide a energiei în căldură prin efect Joule. Apa de mare fiind un mediu conductor (σ ≈ 5Ω −1m −1 ) , undele electromagnetice care se propagă prin acesta sunt foarte puternic atenuate. Din acest motiv, comunicaţiile radio cu submarinele aflate în imersiune sunt dificile. În prezent, se încearcă realizarea unor sisteme de comunicaţii cu submarinele în imersiune folosind un sistem de comunicaţii cu lungimi de undă foarte mari care au posibilitatea să pătrundă în apă până la adâncimi mult mai mari decât cota periscopică a submarinului. 9.3 Dispersia undelor electromagnetice S-a observat experimental faptul că indicele de refracţie şi conductivitatea mediilor depind de frecvenţa, respectiv lungimea de undă a undelor electromagnetice care traversează mediul. Ştiind că indicele de refracţie al unui c mediu n = , dependenţa lui n de pulsaţia ω este echivalentă cu dependenţa v vitezei de fază de lungimea de undă λ. După cum se ştie din teoria undelor mecanice acest fenomen poartă numele de dispersie, iar relaţia lui Rayleigh dintre viteza de fază şi viteza de grup este valabilă şi în cazul undelor electromagnetice. Se va face în continuare un calcul simplificat din care să rezulte dependenţa indicelui de refracţie al unui mediu dielectric de lungimea de undă. S-a văzut la paragraful anterior că indicele de refacţie poate fi exprimat prin relaţia (9.7). Dar pentru medii dielectrice µ r ≅ 1 , deci: n = εr
(9.45)
Simplificând fenomenul, se poate face presupunerea că fiecare atom al mediului posedă un electron periferic mai slab, legat de restul atomului, numit
256
electron optic şi care poate oscila sub acţiunea unei forţe exterioare în raport cu restul atomului. Unda electromagnetică, avansând prin materialul dielectric transparent, acţionează asupra electronilor optici cu o forţă: r r F = eE
(9.46)
Se admite pentru E o variaţie armonică: r r E = E 0 cos ωt
(9.47)
deci, forţa care acţionează asupra unui electron optic este: r r F = eE0 cos ωt
(9.48)
Electronul optic este legat de restul atomului prin forţe de tip elastic, deci forţa F va imprima electronului o mişcare oscilatorie întreţinută, de elongaţie x, descrisă de ecuaţia diferenţială cunoscută: r eE 0 d2x dx 2 (9.49) + 2δ + ω0 x = cos ωt dt 2 dt m Această elongaţie în regim permanent , va fi exprimată prin relaţia: x (t ) = B (ω ) cos (ω t + ϕ )
(9.50)
unde, după cum s-a arătat în paragraful dedicat mişcării oscilatorii întreţinute, B este amplitudinea oscilaţiei în regim permanent şi este exprimată prin relaţia: r eE 0 (9.51) B (ω) = 2 m ω0 − ω 2 + 4δω 2
(
)
În lipsa câmpului electric exterior, atomul nu are moment dipolar. În prezenţa câmpului electric exterior, atomul se descentrează din punct de vedere electric (fig.9.1). Electronul “descentrat”, împreună cu restul atomului, formează un mic dipol având un moment dipolar indus (9.2). r E
-e
Fig. 9.1
-e
Fig. 9.2
257
momentul dipolar indus este: p = ex
(9.52)
Notând cu N numărul atomi din unitatea de volum, conform definiţiei polarizării, polarizarea întregului dielectric va fi: P = Np = Nex
(9.53)
deci, polarizarea momentană: P=
(
Ne 2 E0
)
m ω 0 − ω 2 + 4δ 2 ω 2 2
cos(ωt + ϕ)
(9.54)
Pe de altă parte, din studiul polarizărilor dielectricilor ştie că: P = ε0χe E
(9.55)
unde χ e este susceptibilitatea electrică, calculată conform relaţiei: εr = χe + 1
(9.56)
Din relaţiile (9.54) şi (9.55), se obţine:
(
Ne 2 E0
)
m ω 0 − ω 2 + 4δ 2 ω 2 2
cos(ωt + ϕ) = ε 0 χ e E cos ωt
(9.57)
Într-o primă aproximaţie ser va considera defazajul φ = 0 (electronul optic oscilează aproximativ în fază cu E ) şi în acest caz rezultă pentru susceptibilitate expresia: xe =
mε 0
(ω
Ne 2 E 0 2 0
)
− ω 2 + 4δ 2 ω 2
(9.58)
deci, în conformitate cu (9.45), pentru indicele de refracţie a mediului se obţine expresia: n2 = 1+
mε 0
(ω
Ne 2 E0 2 0
)
− ω 2 + 4δ 2 ω 2
(9.59)
N, m, ε0 , ω0 2 , γ , depind de natura mediului şi, într-o primă aproximaţie le putem considera constante de material. Dacă se exprimă pulaţia în funcţie de lungimea de undă: ω=
2π 2πc 2 πc = = T Tc λ
258
şi se dezvoltă (9.59) într-o serie Mc Laurin după variabila λ , rezultă relaţia: n2 = A +
B C + + ... λ2 λ4
(9.60)
Această relaţie poartă numele de formula lui Cauchy, fiind dedusă de acesta pe baza unor idei ale lui Fresnel legată de oscilaţiile transversale ale unui mediu ipotetic numit eter. A, B, C, … sunt constante în care intervin constantele de material amintite mai sus şi se determină, în general, pentru fiecare mediu, prin metode experimentale. Fenomenul de dispersie este prezent pentru întreaga gamă a undelor electromagnetice, dar s-a observat prima dată în domeniul vizibil (optic). Relaţia (9.60) explică foarte bine, de exemplu, dispersia printr-o prismă, ţinând cont şi de refracţie. Într-un fascicul de lumină albă, pentru lungimile de undă mici (albastru, indigo, violet), conform relaţiei (9.60) n va fi mai mare deci, razele care corespund acestor culori vor fi mai mult deviate. În relaţia (9.59) se poate vedea că dacă ω → ωrez = ω0 − 2δ 2 n2 va 2
c va prezenta un minim pe care îl putem v interpreta ca datorându-se unei absorbţii a undei de către material. Relaţia (9.59) a fost dedusă aplicând mai multe condiţii simplificatoare. În cazul general, relaţia care dă dependenţa indicelui de refracţie de pulsaţia undei este mult mai complicată decât (9.59) şi se formează mai multe maxime în curbă, deci anumite dn lungimi de undă vor fi puternic absorbite. Dacă > 0 dispersia se numeşte dω dn normală, iar dacă < 0 se numeşte anormală. dω
prezenta un maxim (rezonanţă), deci n =
9.4 Reflexia şi refracţia undelor electromagnetice Fenomenele de reflexie şi refracţie se produc pentru orice fel de undă, atunci când unda interacţionează cu suprafaţa de separaţie dintre două medii. Dacă considerăm suprafaţa de separaţie dintre două medii transparente, se poate demonstra, folosind legile lui şi a lui Ampere, că aici componentele r Gauss r tangenţiale ale vectorilor E şi H se conservă, (de asemenea, se conservă r r componentele normale ale vectorilor B şi D ). În această situaţie putem considera satisfăcute condiţiile de continuitate şi de conservare pe care le-am pus, atunci când am demonstrat legile reflexiei şi refracţiei pentru undele electrice (evident se poate verifica foarte uşor că în acest caz rolul impedanţei acustice îl va lua
259
r r µ , iar amplitudinea va fi E0 , respectiv H0 ). ε Deci, legile refracţiei şi reflexiei se vor enunţa în acelaşi mod. 1. Unghiul de incidenţă este egal cu unghiul de reflexie, raza incidentă, normala la suprafaţă şi raza reflectată fiind în acelaşi plan. (Legea reflexiei). 2. Raportul dintre unghiul de incidenţă şi sinusul unghiului de refracţie este egal cu raportul vitezelor de propagare a undei în cele două medii. Sau raportul invers al indicilor de refracţie absoluţi.
impedanţa intrinsecă a mediului
c n sin i v 1 v 2 = = = 1 = n12 c sin r v 2 n2 v1
(9.61)
Această relaţie exprimă legea refracţiei şi este numită legea SnellDescartes. În afară de demonstraţia făcută care se bazează pe ecuaţia undelor, legea refracţiei mai poate fi demonstrată şi pe baza următoarei afirmaţii, numită principiul timpului minim sau principiul lui Fermat. Între puncte lumina parcurge acel drum pe care timpul este minim.
Fig. 9.3
Se va nota segmentul CI = x şi-l considerăm variabilă (dintre toate “x”-urile posibile, unda îl va „prefera” pe acel x pentru care timpul în care ajunge de la A la Beste minim).
260
Timpul total în care lumina ajunge din A în B se obţine însumând timpul t1 în care parcurge distanţa de la A la I, în primul mediu cu timpul t2 în care parcurge distanţa de la I la B, în al doilea mediu. t (x ) = t1 + t 2
(9.62)
Ţinând cont de geometria figurii, acest timp se poate exprima în felul următor. h1 + x 2 2
t (x ) =
v1
h2 + (CO − x ) 2
+
2
(9.63)
v2
Funcţia t(x) prezintă minim dacă: dt ( x ) dx
=
2x 2v1 h12 + x 2
−
2 ( CO − x ) 2v 2 h2 2 + ( CO − x )
2
=0
(9.64)
dar: x h + x2 2 1
= sin i
(9.65)
şi:
( CO − x ) 2 h2 2 + ( CO − x )
= sin r
(9.66)
Înlocuind (9.65) şi (9.66) în(9.64) se regăseşte expresia matematică a legii refracţiei. O altă demonstraţie se bazează pe principiul lui Huygens ţinând cont de faptul că, la traversarea suprafeţei de separaţie dintre cele două medii unda electromagnetică îşi schimbă direcţia de propagare. Această demonstraţie a fost studiată în clasele de liceu. Deşi în majoritatea tratatelor legea Snell-Descartes este enunţată pentru lumină (un domeniu restrâns al gamei undelor electromagnetice), ea este general valabilă în condiţiile când unda electromagnetică traversează suprafaţa de separaţie dintre două medii dielectrice. 9.4.1 Refracţia astronomică O consecinţă a fenomenului de refracţie cu implicaţii importante mai ales în observaţiile astronomice şi în navigaţie, este fenomenul de refracţie a unei raze de lumină provenită de la o stea, prin atmosfera Pământului. Acest fenomen se numeşte refracţie astronomică. Din legea refracţiei putem deduce că atunci când unda trece dintr-un mediu cu indice de refracţie mai mic, într-unul cu indice de
261
refracţie mai mare, raza refractată se apropie de normală. Densitatea atmosferei creşte odată cu scăderea altitudinii, deci indicele de refracţie va creşte. Considerând atmosfera formată dintr-o succesiune de straturi omogene infinit de subţiri, cu indici de refracţie tot mai mari, în jos, o rază de lumină provenită de la o stea va descrie o curbă cu concavitatea îndreptată spre centrul Pământului, ca în figură:
Fig. 9.4
Fig. 9.5
Un observator aflat pe suprafaţa Pământului va vedea steaua sub unghiul tangentei la curbă, distanţa zenitală Z, în loc de distanţa zenitală Z0. Diferenţa dintre distanţa zenitală adevărată Z0 şi cea aparentă observată se numeşte refracţie R şi constituie o corecţie pozitivă la observaţie. Pentru a calcula proprietăţile refracţiei astronomice vom considera două straturi aproximativ omogene (deci de grosime foarte mică) având bazele la
262
înălţimile h respectiv h’ de la suprafaţa Pământului. În ∆ IOI’ scriem teorema sinusului (Fig. 9.5). sin r sin (180 − i ') = R p + h' Rp + h
(9.66)
sin r sin i' = R p + h' R p + h
(9.67)
aplicând legea refracţiei în punctul I se va obţine: n sin i sin i' = n' (R p + h ') R p + h
(9.67)
de unde: n ( R p + h ) sin i = n ' ( R p + h ') sin i '
(9.68)
Acelaşi calcul se poate face pentru oricare h deci şi pentru h = 0 unde n = n0 = 1,0029255 şi i’= Z (distanţa zenitală aparentă). Deci, putem scrie o relaţie între Za şi i: n (R p + h )sin i = n 0 R p sin Z a
(9.69)
Această relaţie permite calcularea corecţiilor necesare observaţiilor, care sunt tabelate. La orizont, ∆Z = Z 0 − Z ≅ 38'. Soarele are diametrul de ≅ 32 ' , deci el se va vedea deasupra orizontului aproape tangent cu acesta, când electronii sunt de fapt sub orizont. Acest fenomen lungeşte ziua. Lungimea zilei depinde de dată şi latitudine. Chiar când Soarele se găseşte sub orizont, straturile superioare ale atmosferei sunt încă luminate şi prin difuziune luminează suprafaţa Pământului. Această perioadă se numeşte crepuscul. Dacă înălţimea Soarelui sub orizont este de maxim 120, perioada este numită crepusculul nautic, în care se văd stelele mai strălucitoare, iar linia orizontului se distinge bine. Dacă înălţimea Soarelui sub orizont este de maxim 180, perioada este numită crepusculul astronomic. Noaptea este completă când Soarele a coborât peste 180 sub linia orizontului. Durata crepusculului depinde de latitudinea locului şi de declinaţia Soarelui. Fenomenele de refracţie sunt importante şi în domeniul propagării undelor radio (Hertziene) utilizate în radiocomunicaţie sau în radiolocaţie. Un fenomen cunoscut în acest domeniu, cu aplicaţie în navigaţie este refracţia ţărmului care se referă la schimbarea direcţiei de propagare a undelor directe, când întâlnesc ţărmul. Dacă emiţătorul se află pe o navă în punctul A şi receptorul în interiorul r ţărmului în B, receptorul goniometric va înregistra sosirea undei pe direcţia ξ , în r locul direcţiei n .
263
r
r
Unghiul α dintre n şi ξ se numeşte eroare goniometrică. Devierea direcţiei de propagare a undei se datorează refracţiei ţărmului. Viteza de propagare a undei electromagnetice depinde de conductivitatea solului. Întrucât există o diferenţă de conductivitate între mare şi ţărm se va produce o variaţie a vitezei de propagare care va duce la refracţia undei. În cazul propagării undelor radio fenomenele complexe de propagare apar şi datorită refracţiei atmosferice şi mai ales ionosferice. 9.5 Reflexia totală Dacă lumina provine din mediul cu indice de refracţie mai mare şi trece într- un mediu cu indice de refracţie mai mic, la un anumit unghi de incidenţă, numit unghi limită, raza refractată devine paralelă cu suprafaţa de separaţie şi energia transportată de undă se întoarce integral în mediul din care aceasta provine. Acest fenomen se numeşte reflexie totală şi a fost întâlnit şi la undele elastice, fiind un fenomen specific fenomenelor ondulatorii.
Fig. 9.6
Aplicând legea refracţiei pentru cazul descris, se obţine expresia: n sin l = 1 π n2 sin 2
(9.70)
deci, unghiul limită satisface relaţia: sin l =
n1 n2
(9.71)
pentru sticlă, valoarea acestui unghi este: l ≅ 42 0 . Considerând o rază de lumină transmisă în al doilea mediu ca fiind un fascicul foarte îngust de undă electromagnetică armonică rplană, ca în fig. 9.7 600, elongaţia ei într-un punct oarecare P de vector de poziţie d este: rr
Ψ t = Ae j (ω t − k d )
(9.72)
264
Fig. 9.7
Unitatea imaginară − 1 s-a notat cu j pentru a evita confundarea sa cu unghiul de incidenţă notat cu i. Aceasta se mai poate exprima şi în următorul mod: Ψ t = Ae
r r j ω t − kt d
(
)
r r
= ae − jkt d e jω t
(9.73)
Numărul de undă a undei transmise este: kt =
2π λt
(9.74)
Lungimea de undă a undei transmise în al doilea mediu λ t diferă de lungimea de undă λ a undei incidente din primul mediu, datorită faptului că vitezele de fază din cele două medii sunt diferite. λt =
v2 n λ= 1λ v1 n2
(9.75)
Deci, numărul de undă a unei refractate este: kt =
2π n 2 λ n1
(9.76)
Produsul scalar dintre vectorul de poziţie a punctului P şi vectorul de undă a undei transmise este: rr 2π n1 k d = xk tx − zk = ( x sin r − z cos r ) λ n2
(9.77)
265
Se exprimă sin r şi cos r folosind legea refracţiei, sin r =
n1 sin i şi se n2
obţine expresia: r r 2π n1 n2 n 21 kd = ( x sin i − z 1 − 1 sin 2 i ) λ n2 n n2
(9.78)
Ecuaţia elongaţiei în punctul P va fi: Ψt = Ae jωt e
j
2π x sin i λ
2
j
e
n 2π z 1 − sin 2 i λ n2
Se observă că dacă este satisfăcută condiţia
(9.79) n1 〉1 , poate exista un unghi de n2
incidenţă limită i = l pentru care: 1−
n12 n sin 2 l = 0 ⇒ sin l = ± 2 . 2 n2 n1
(9.80)
În acest caz, mărimea de sub radical se anulează ecuaţia elongaţiei luând forma: Ψt = Ae jωt e
j
2π x sin i λ
(9.81)
Se observă că în această situaţie unde nu se mai propagă decât paralel cu axa ox, de-a lungul suprafeţei de separaţie şi nu mai pătrunde în adâncimea mediului 2, iar conform legii refracţiei: sin r = 1 ⇒ r =
π . 2
(9.82)
Dacă unghiul de incidenţă i depăşeşte valoarea unghiului limită. 2 n1 n1 l = arcsin , i > l , sin 2 l > 1 mărimea de sub radical devine imaginară, 2 n2 n2 ecuaţia elongaţiei luând forma: Ψt = Ae
−
n 2π z sin 2 i − 1 λ n2
2
e
( jωt − j
2π x sin i ) λ
(9.83)
În acest caz, unda care pătrunde în mediul 2 este puternic absorbită. Amplitudinea sa scăzând exponenţial, iar propagarea se va face de-a lungul axei ox. Adâncimea de pătrundere pe care amplitudinea scade de e ori depinde de lungimea de undă şi de unghiul de incidenţă.
266
z =δ =
λ n 2π sin 2 i − 1 n2
2
(9.84)
În calculele efectuate nu s-a luat în considerare natura electromagnetică a undei deci, cele deduse mai sus sunt valabile pentru orice fel de undă. Aproape toată energia transportată de undă se va reîntoarce în mediul 1 din care provine raza incidentă, reflexia numindu-se în acest caz reflexie totală. Reflexia totală are multe aplicaţii. Pe lângă faptul că pe baza ei pot fi explicate fenomene optic naturale precum mirajul sau anomaliile de propagare ale undelor folosite în radiocmunicaţii şi radiolocaţie, ea are aplicaţii tehnice de mare viitor. O astfel de aplicaţie este fibra optică. Fibra optică este un fir de sticlă de diametru mic, cu o structură formată dintr-un miez de sticlă, cu indice de refracţie mare şi un strat exterior de sticlă cu indice de refracţie mai mic şi un înveliş din plastic. Învelişul de plastic furnizează o protecţie mecanică, dar uşurează şi identificarea fibrelor pentru sudare prin culorile lui. Dacă lumina pătrunde oblic în miezul fibrei, lumina va fi reflectata total pe suprafaţa de separaţie dintre miez şi stratul extern şi, după un număr de reflexii totale succesive, părăseşte fibra la celalalt capăt, indiferent de curbura acesteia. Fibrele de sticlă pot fi trase la un diametru foarte mic, învelite într-un material cu indice de refracţie mai mic, şi apoi asamblate în legături flexibile sau fuzionate în plăci de fibre folosite pentru a transmite imagini. Legaturile flexibile sunt folosite pentru a produce iluminare dar şi pentru a transmite imagini. În a doua jumătate a secolului XX, s-a găsit o noua aplicatie practică a fibrei optice, şi anume comunicaţiile digitale, care utilizează impulsuri lunimoase codate corespunzător, produse de diode laser şi care se transmit prin fibre optice. Comunicaţiile prin fibră optică utilizează lungimi de undă în infraroşu apropiate benzii de la 800 până la 1600 nm, cu preferinţă pentru lungimile de undă de 850, 1300, 1550 nm. Frecvenţa semnalului luminos purtător fiind superioară frecvenţei maxime care se poate transmite printr-un cablu de cupru, cantitatea de informaţie transmisă depăşeşte de mii de ori cantitatea transmisă prin mijloace clasice. O altă aplicaţie des întâlnită în construcţia diferitelor aparate optice este prisma cu reflexie totală. Aceasta este o prismă din sticlă optică având secţiunea unui triunghi dreptunghic isoscel. Dacă o rază de lumină cade perpendicular pe o catetă ea va întâlni ipotenuza sub un unghi de incidenţă de 450. Acest unghi de incidenţă este mai mare decât unghiul limită de 420 deci, raza va suferi o reflexie totală părăsind prisma prin a doua catetă, raza fiind deviată cu 900 (fig.9.8). Periscoapele şi binoclurile conţin prisme dispuse ca în (fig.9.9), pentru a schimba direcţia razelor de lumină, în primul caz şi pentru a le lungi drumul, în al doilea. Pierderile de intensitate luminoasă sunt mai mici în cazul prismelor decât în cazul oglinzilor, cu care se poate obţine acelaşi efect.
267
Fig. 9.8
Fig. 9.9
9.6 Traversarea de către unda electromagnetică a suprafeţei de separaţie dintre două medii dielectrice. Formulele lui Fresnel În cele ce urmează se vor deduce relaţiile care determină intensitatea undei electromagnetice incidente, refractate şi reflectate, în funcţie de unghiurile de incidenţă şi de refracţie. Se va considera o suprafaţă de separaţie dintre două medii, dielectrice, ca fiind aşezatăr pe planul xOy. Un front de undă electromagnetică foarte îngust de intensitate E soseşte pe această suprafaţă sub unghiul de incidenţă i, această undă r parţial se reflectă, dând naştere unei unde de intensitate Er şi parţial se refractă r r având intensitatea Et (transmis). Planul în care are loc oscilaţia vectorilor E ,
r r Er , Et nu este perpendicular pe planul xOz, deci fiecare din ei va avea câte o r r r proiecţie paralelă cu planul xOz şi una perpendiculară pe ea. E ρ , E rp , E p , r r r respectiv E n , E rn , E tm ca în fig.9.10 z
r E pz
r E
r Ep
r En
r E px
x Fig. 9.10
y
268
Planul de incidenţă care conţine raza incidentă, raza reflectată, raza refractată şi normala a fost ales ca fiind planul xoz. În fig. 9.11 sunt reprezentaţi vectorii de undă şi vectorii intensitate al câmpului electric paralele la acest plan precum şi proiecţiile lor pe axele ox şi oz.
Fig. 9.11
Datorită reflexiei, se produce o schimbare de fază şi din acest motiv vectorul Erp şi-a inversat sensul. r r La suprafaţa de separaţie, E şi H îşi conservă componentele tangenţiale deci:
E x + Erx = Etx E y + Ery = Ety H x + H rx = H tx
(9.85)
H y + H ry = H ty Calculând proiecţiile intensităţilor de câmp, vor rezulta relaţiile următoare:
269
E x = E p cos i; E y = En ;
(9.86)
E z = − E p sin i; Erx = − Erp cos i; Ery = Ern ;
(9.87)
Erz = − Erp sin i; Etx = Etp cos r; Ety = Etn ;
(9.88)
Etz = − Etp sin r; Se cunosc componentele câmpului electric necesare pentru (9.87) şi (9.84) iar, în continuare, este necesar să fie calculate componentele câmpului magnetic. Pentru aceasta se vor folosi de ecuaţiile lui Maxwell (Maxwell-Faraday). r r ∂H (9.89) ∇ × E = −µ ∂t Se vor face identificările cunoscute: r ∂ ∇ ≡ −i k ; ≡ i ω ∂t si r r r − ik × E = −iµε H de unde rezultă: r 1 r r H = k ×E µε
(
)
(9.90)
(9.91)
această relaţie explicitată este următoarea:
r i
r 1 H= kx µε Ex
r j
r k
0 Ey
kz Ez
(9.92)
270
r k este vectorul unitar al axei oz. Făcând înlocuirile necesare, rezultă,
pentru intensitatea câmpului magnetic, următoarea relaţie: r r r r r i j k i j r 1 2π 2π 2π sin i 0 cos i = sin i 0 H= µε λ λ λµε E p cos i En E p cos i En − E p sin i =
r k cos i = − E p sin i
r r 2π r 2 2 i − E cos i − j − E sin i − E cos i + k ( ) ( En sin i ) n p p λµω
factorul
(
)
(9.93)
2π se poate rescrie în următorul mod: λµω
2π 2π 1 = = = λµω vT µ 2π vµ T
1 1 = = 1 µ µ εµ ε
ε µ
(9.94)
Se obţin cele trei componente ale vectorului intensitate ale câmpului magnetic în felul următor: Hx = −
ε1 = En cos i µ1
(9.95)
Hy = −
ε1 E p cos i µ1
(9.96)
Hz = −
ε1 En cos i µ1
(9.97)
Printr-un calcul analog se obţin şi cele trei componente ale vectorului intensitate a câmpului magnetic reflectat. r r r i j k r ε1 (9.98) Hr = sin i 0 − cos i µ1 Erp cos i Ern − Erp sin i Dezvoltând determinantul, rezultă relaţiile următoare: H rx =
ε1 Ern cos i µ1
(9.99)
271
H ry =
ε1 Erp µ1
(9.100)
H rz =
ε1 Ern sin i µ1
(9.101)
Intensitatea câmpului magnetic transmis în al doilea mediu se va calcula în acelaşi mod, dar se ţine seama de faptul că permitivităţile şi permeabilităţile au alte valori. r r r i j k r ε2 (9.102) Ht = sin r 0 − cos r µ2 Etp cos r Etn − Etp sin r H tx =
ε2 Etn cos r µ2
(9.103)
H ty =
ε2 Etp µ2
(9.104)
H tz =
ε2 Etn sin r µ2
(9.105)
Introducând câmpurile obţinute la (9.103), (9.104), şi (9.105) în condiţiile de frontieră (9.85) şi făcând calculele, se obţine următorul sistem de patru ecuaţii: (9.106):
(E
p
− Erp ) cos i = Etp cos r
E n + Ern = Etn
( En − Ern ) cos i =
ε2 Etn cos r µ2
ε1 E p + Erp = µ1
ε2 sin rEtn µ2
(
)
(9.106)
Mediul fiind dielectric µ1 ≅ µ 2 ≅ µ r µ 0 , sistemul (9.84) ia următoarea formă:
(E
p
− Erp ) cos i = Etp cos r
272
E n + Ern = Etn
(9.107)
ε 1 ( E n − E rn ) cos i = ε 2 E tn cos r
ε 1 ( E p + Erp ) = ε 2 Etn sin r
Aplicând legea refracţiei, rezultă relaţia: sin i n2 = = sin r n1
ε 2 µ2 ε 0 µ0 ε1 µ1 ε 0 µ0
≅
ε2 ε1
(9.108)
Ţinând cont de (9.108), se vor obţine după un număr de calcule algebrice următoarele relaţii: E rp E rn E tp E tn
tg (i − r ) tg (i + r ) sin (i − r ) = −En sin (i + r ) 2 sin r cos i = Ep sin (i + r ) cos(i − r ) 2 sin r cos i = En sin (i + r ) = Ep
(9.109)
Aceste formule sunt numite formulele lui Fresnel, după numele celui care le-a dedus pe baza ipotezei ondulatorii a luminii. Ele permit calcularea intensităţii câmpurilor electrice din undele electromagnetice reflectate şi refractate în urma interacţiunii undei cu suprafaţa de separaţie dintre două medii dielectrice. Cunoaşterea intensităţilor de câmp electric permite, în continuare, deducerea puterilor electromagnetice reflectate şi transmise. În cazul incidenţei normale, punând în (11.94) sini=0 şi sinr=0, obţinem:
273
n2 − n1 Erp = n + n E p 2 1 n2 − n1 Ern = − n + n En 2 1 E = 2 n1 E tp n1 + n2 p E = 2n1 E tn n1 + n2 n
(9.110)
9.7 Starea de polarizare a undelor electromagnetice S-a arătat că undele electromagnetice sunt unde transversale şi că un câmp magnetic variabil produce un câmp electric variabil care, la rândul lui, generează iar câmp magnetic etc. Sistemele care generează câmpuri electrice şi magnetice variabile în timp vor genera întotdeauna unde electromagnetice Astfel de sisteme sunt, după cum s-a arătat, sarcinile electrice care se deplasează accelerat sau dipolii electrici care îşi modifică în timp momentul dipolar. Antenele de emisie radio sunt de fapt sisteme de dipoli, alimentaţi cu curent de înaltă frecvenţă. Tot dipoli pot fi consideraţi atomii care efectuează tranziţii cuantice dintr-o stare de energie în alta. Un dipol care oscilează, produce r o undă electromagnetică la care, într-o regiune suficient depărtată, vectorul Er oscilează în planul dipolului. Planul în care se produce oscilaţia vectorului E se numeşte plan de vibraţie iar planul în care r oscilează vectorul B (acest plan în zona depărtată fiind perpendicular pe planul de vibraţie) se numeşte plan de polarizare. În cazul undelor electromagnetice utilizate în radiocomunicaţii, planurile de vibraţie şi de polarizare depind de construcţia şi orientarea antenei. În cazul razelor infraroşii, luminoase, ultraviolete, X, etc emiţătorii sunt dipolii constituiţi din atomii care efectuează tranziţii cuantice, cum însă aceşti atomi sunt orientaţi haotic, şi plane de vibraţii ale undelor emise vor fi orientate haotic. De exemplu, într-un fascicul de lumină naturală vom găsi toate planele de vibraţie. Există medii optice în care vibraţiile efectuate pe anumite direcţii sunt preferate (sunt mai puţin atenuate) faţă de cele efectuate pe alte direcţii.
274
a.
b.
c.
Fig. 9.12
Dacă un fascicul de lumină naturală, văzută frontal ca în figura 9.12.a, traversează un asemenea mediu, vibraţia pe direcţia „nepreferată” se atenuează şi lumina devine parţial polarizată, ca în fig. 9.12.b. Notând cu I1, intensitatea luminii care vibrează paralel cu azimutul preferat şi cu I2, intensitatea luminii care vibrează perpendicular pe acesta, putem defini gadul de polarizare prin relaţia: P=
I1 − I 2 I1 + I 2
(9.111)
P se poate modifica de la valoarea 0 pentru I1=I2, în cazul luminii naturale la valoarea 1, în cazul I2=0. r În acest ultim caz, vectorul E (cel care produce senzaţia de lumină) vibrează într-un singur plan lumina fiind liniar polarizată. 9.7.1 Polarizarea luminii prin reflexie şi refracţie. Legea lui Brewster Dacă natura luminii naturale cade la suprafaţa de separaţie dintre două medii dielectrice, fascicolele reflectate şi refractate vor fi parţial polarizate. Acest fenomen poate fi explicat pe baza formulelor lui Fresnel. În lumina naturală Ep=En=E, deci formulele lui Fresnel se pot scrie în felul următor: (9.112) (9.113) (9.114)
(9.115)
Intensitatea luminii fiind proporţională cu densitatea de energie:
275
w =
ε E2 2
(9.116)
se vor putea scrie relaţiile intensităţii luminii reflectate şi transmise în felul următor: (9.117)
(9.118)
(9.119)
(9.120) Se observă că dacă în relaţiile (9.112) sau (9.118) facem:
i = ib =
π −r 2
π π tg (ib + r ) = tg ib + − ib = tg → ∞ 2 2 deci, Erp =0 deci şi Irp=0 Toată lumina reflectată, va oscila într-un plan perpendicular pe planul de incidenţă, şi lumina este total polarizată (Polarizare liniară). Vom calcula acest unghi ib în funcţie de indicii de refracţie ai celor două medii.
(9.121) Deci, tangenta unghiului de incidenţă la care lumina reflectată este total polarizată este egală cu indicele de refracţie relativ al celor două medii. Acesta este enunţul teoremei lui Brewster şi se exprimă prin următoarea relaţie: (9.122) Acest unghi este numit unghi Brewster şi pentru suprafaţa de separaţie aersticlă: iB=57o(la n21=1,54).
276
În cazul luminii transmise prin refracţie lumina este doar parţial polarizată. Împărţind Itn la Itp, vom obţine: I tn = c os 2 (i − r ) I tp
(9.123)
(9.124)
r Dacă I tp ≥ I tn predomină oscilaţia în care vectorul E oscilează paralel cu planul de incidenţă. La traversarea unei plăci de sticlă, fenomenul de mai sus se produce de două ori la traversarea fiecărei feţe. I −I Itn 1 − 0, 7 = 0,7 şi deci, gradul de polarizare este P = tp tn = = 0,7 = 17% Itp I tp + I tn 1 + 0,7 9.7.2 Undele electromagnetice în medii dielectrice, liniare, omogene şi anizotrope 9.7.2.1 Birefregerenţa Fenomenul de anizotropie optică a fost descoperit studiind trecerea luminii prin cristale. Acestea, din punct de vedere optic, sunt medii omogene, dar s-a remarcat că raza de lumină prin traversarea unui cristal se dedublează. Acest lucru dovedeşte că proprietăţile optice ale cristalelor depind de direcţia de propagare a
a
b Fig. 9.13.
luminii prin ele. Deci, ele constituie medii anizotrope din punct de vedere optic. Fenomenul de dedublare a razei de lumină se numeşte dubla refracţie sau birefrigerenţă. Un cristal birefrigerent este carbonatul de calciu cristalizat în sistemul romboedric, cu unghiul dintre muchii de 101o53’, numit spat de islanda (fig.9.13.a)
277
Dacă o rază de lumină naturală cade pe o faţă a cristalului ca în fig. 9.12.b, ea se dedublează în două raze liniar polarizate, una care respectă legea refracţiei, numită rază ordinară şi una care nu o respectă (îşi modifică direcţia doar pentru i=0), care se numeşte raza extraordinară. Se mai poate observa că în cristal există o direcţie AA1 cu proprietatea că, dacă lumina se propagă paralel cu această direcţie dedublarea nu se produce. Axa AA1 se numeşte axa optică. Unele cristale prezintă o singură axă optică şi se numesc cristale uniaxe, iar altele prezintă două astfel de axe (direcţii de fapt) şi se numesc cristale biaxe (mica, gipsul). Planul care conţine axa optică (sau direcţia principală) şi normala la faţa de intrare se numeşte secţiune principală (sau planul format de axa principală şi raza incidentă). Raza extraordinară are planul de vibraţie identic cu planul secţiunii principale. Dacă se roteşte cristalul în jurul razei incidente, raza extraordinară se va roti în jurul razei ordinare. Într-un cristal vom avea două unde, cea ordinară şi cea extraordinară, care se propagă cu viteze diferite, cu excepţia cazului când direcţia de propagare coincide cu axa optică. În acest caz, vitezele sunt egale. Notând cu ve viteza razei extraordinare vo, viteza razei ordinare, dacă ve>vo, cristalul se numeşte negativ, iar dacă ve
a
b Fig. 9.14
Evident, vitezele ve fiind diferite de vo, vor diferi şi indicii de refracţie, întrucât n=c/v. Deci, indicele de refracţie pentru raza extraordinară va depinde de direcţie. (Fig. 9.15a,b). Astfel, vom putea construi elipsoidul indicilor (Fig. 9.16a,b).
278
a
b Fig. 9.15
no
ne
e
no ne a
b Fig. 9.16
Vo
no ne Ve Fig. 9.17
Diferenţa ne- no se numeşte birefrigerenţa cristalului. Din figurile de mai sus rezultă că frontul de undă al razei extraordinare este perpendicular pe direcţia de propagare doar dacă aceasta coincide cu axul optic şi direcţia perpendiculară pe aceasta (x-x’ şi y-y’ în fig. 9.14 a). Dacă lumina cade pe un cristal, în aşa fel încât să facă unghi cu axa principală, ca în fig. 9.18, se va produce dedublarea de care am discutat.
279
Fig. 9.18
Unele cristale, cum sunt iodosulfatul de chinină sau turmalina prezintă proprietatea de a atenua foarte mult intensitatea razei ordinare. În vizibil, o lamă de turmalină de 1 mm opreşte total raza ordinară. Acest fenomen se numeşte dicroism. Deci, numai raza extraordinară poate traversa o placă de cristal dicroic, ceea ce este echivalent cu a spune că un cristal dicroic este transparent numai pentru lumina care oscilează paralel cu axa optică. Un cristal dicroic utilizat pentru polarizarea luminii este numit polarizor, iar un al doilea dispus după acesta, utilizat pentru analizarea luminii polarizate este numit analizor. (Fig. 9.19). Rotind analizatorul în jurul lui OO’ cu unghiul α, ca în fig. 9.20, intensitatea luminii care părăseşte analizatorul se modifică după legea. I = I 0 cos 2 α
(9.125).
Această relaţie exprimă legea lui Malus. Relaţia se justifică, observând în fig. (9.19) este valabilă relaţia: E = E0 cos α
Fig. 9.19
280
Dar I ≈ E 2 deci, I = I 0 cos 2 α
polarizor
analizor Fig. 9.20
Fig. 9.21
9.7.3 Polarizarea undelor prin birefrigerenţă Lumina liniar polarizată este foarte mult utilizată în cercetarea ştiinţifică şi în diferite ramuri ale tehnicii, în optică, în optoelectronică şi în sistemele de afişaj cu cristale lichide deci, este necesară obţinerea ei din lumina naturală. În prezent, în majoritatea cazurilor, se folosesc discuri polarizatoare bazate pe proprietăţile
281
unor substanţe dicroice, discutate la paragraful anterior. Discurile (sau alte forme) polarizate se numesc polaroizi şi se realizează prin înglobarea unui număr imens de cristale microscopice, într-o masă transparentă depusă pe un suport de sticlă. Cristalele sunt orientate pe aceeaşi direcţie prin metode electrice, termice şi mecanice (laminare). Lumina care traversează polaroidul este foarte slab colorată.
Polarizor
analizor
polaroizi cu axe încrucişate Fig. 9.22
Alte dispozitive polarizante se bazează pe sisteme optice având la origine prisme şlefuite din calcit: Prisma Nicol (1828) (fig.9.23)numită mai pe scurt „nicol”. Este vorba de două prisme din calcit, tăiate în secţiune principală, lipite cu balsam de Canada (o răşină naturală transparentă). Raza incidentă de lumină, naturală cade de regulă perpendicular pe faţa AB şi se refractă desfăcându-se în rază ordinară şi extraordinară. După cum ştim, pentru cele două raze indicii de refracţie diferă, pentru raza ordinară este mai mare decât a balsamului de Canada
Fig. 9.23
Tăietura prismei este în aşa fel realizată încât unghiul de incidenţă al razei O să fie mai mare decât unghiul limită (pe suprafaţa AC) deci, în I’ raza suferă o
282
reflexie totală, fiind ulterior absorbită de stratul absorbant lipit pe faţa BC a prismei. Pentru raza extraordinară, indicele de refracţie ne=1,49, deci acesta nu se reflectă pe balsamul de Canada şi poate părăsi prisma, vibrând în planul secţiunii principale, pe principii analoage este construită prisma Foucault la care balsamul de Canada este înlocuit cu o lamă de aer. (Evident, în acest caz, se schimbă unghiurile de şlefuire ale prismei 50o, în loc de 90o). Aceste dispozitive prezintă marele dezavantaj că necesită, pentru realizarea lor, cristale mari de calcit, care sunt destul de rare. Din acest motiv, s-au realizat dispozitive de polarizare în care se utilizează doar o simplă lamă de calcit scufundat în monobromnaftalină, care reflectă raza extraordinară şi transmite pe cea ordinară (polarizatorul Brace). În prisma Wollaston, construită din cuarţ, are loc o separare foarte puternică a celor două raze. Cele două direcţii principale sunt perpendiculare.(fig.9.24)
Fig. 9.24
În prezent se utilizează de preferinţă polaroizi dicroici, care au dimensiuni mai mari şi preţ de cost mai redus. 9.7.4 Birefrigerenţa provocată S-a observat experimental că dacă un mediu dielectric izotrop este supus unui câmp electric intens, E el devine anizotrop din punct de vedere optic prezentând fenomenul de birefrigerenţă. Acest fenomen a fost numit după numele descoperitorului (1875): efect Kerr. Substanţa supusă câmpului electric se comportă ca un cristal uniax, cu direcţia principală pe direcţia câmpului. Un efect Kerr foarte puternic se obţine folosind ca substanţă de lucru nitrobenzenul, dar în prezent există şi cristale care prezintă acest efect şi ele sunt utilizate în construirea dispozitivelor optoelectronice. Dispozitivul experimental demonstrativ este prezentat în fig. 9.25: r E
Lumină naturală polarizor
celula Kerr Fig. 9.25
compensator
283
Birefrigerenţa provocată, adică ne-no este direct proporţională cu: ne-no=kE2
(9.126)
Între cele două raze apare o diferenţă de drum optic: δ = ( n e − no )l
(9.127)
căreia îi va corespunde o diferenţă de fază. ∆ϕ =
2πδ 2πl = (ne − n0 ) = 2πlk E 2 λ λ λ
(9.128)
deci: ∆ϕ = B π l =
2π BE 2 λ
(9.129)
unde B=kl se numeşte constanta lui Kerr (l reprezintă lungimea celulei Kerr ). Datorită existenţei unei diferenţe de fază, se va produce o interferenţă între E şi O. Studii le efectuate de Abraham şi Lemoine (1899) au arătat că durata efectului Kerr este de 10-8 ,10-10 sec. Deci, moleculele din celulă pot reveni în starea de haos molecular, în acest timp. În tehnica modernă, efectul Kerr este utilizat ca obturbator perfect, fără inerţie şi pentru modularea în intensitate a unei raze de lumină emise de un laser. Birefigerenţa mediului izotrop se poate provoca şi cu ajutorul unui câmp magnetic foarte intens. Sub acţiunea unui astfel de câmp moleculele care au un moment magnetic permanent suplimentar se orientează în câmp ca şi la efectul Kerr provocând birefrigerenţa mediului. Acest efect se numeşte efect Cotton-Mouton. Birefrigerenţa este dată de: ne-no=DH2
(9.130)
D fiind considerată o constantă de proporţionalitate; diferenţa de drum optic: δ=(ne-no)l
(9.131)
iar diferenţa de fază este: ∆ϕ =
2πδ = 2π ClH 2 λ
C este constanta Cotton-Mouton C =
(9.132)
D λ
Un alt caz de birefrigerenţă provocată este birefrigerenţa mecanică. Un bloc material plastic este pus între doi polaroizi încrucişaţi, la extincţie. Dacă se aplică o comprimare a blocului pe direcţie perpendiculară pe direcţia luminii apare
284
lumina, care nu dispare odată cu rotirea analizorului. Experimental se arată că diferenţa de fază dintre raza extraordinară şi cea ordinară este: ∆ ϕ = Ap l
(9.133)
A este o constantă de material, p presiunea la care este supus materialul. Birefrigerenţa mecanică dispare când dispar tensiunile provocate de deformare. Curbele izotense (pe care este aceeaşi tensiune mecanică) produc acelaşi ∆ ϕ şi se vor evidenţia printr-o figură de interferenţă. Deci, se pot analiza tensiunile pe modele confecţionate din materiale plastice transparente. Metoda se numeşte tensiometrie optică sau fotoelasticitate. Când s-a discutat în acest paragraf birefrigerenţa, discuţia s-a referit, în principal, la domeniul undelor electromagnetice vizibile, deci la lumină. Dar fenomenul de birefrigerenţă se poate aplica pentru întreg spectrul de lungimi de undă a undelor electromagnetice. Câmpul magnetic terestru influenţează propagarea undelor radio prin faptul că produce un efect de birefrigerenţă, dând o undă ordinară şi una extraordinară. La unda scurtă, ascendentă către ionosferă componentele ordinară şi extraordinară se propagă pe acelaşi drum, cu excepţia segmentului dintre punctele de reflexie a ambelor componente. La unda descendentă după reflexie, componenta ordinară şi extraordinară se propagă pe drumuri diferite (datorită diferenţei dintre indicii de refracţie) (Fig. 9.26).
Fig. 9.26
9.8 Interferenţa undelor electromagnetice 9.8.1 Condiţii de interferenţă. Termeni de interferenţă. Coerenţa Când am studiat compunerea şi suprapunerea oscilaţiilor mecanice, am constatat că aceasta duce la apariţia fenomenului de interferenţă. În cazul r în rcare într-un punct din spaţiu sosesc două unde electromagnetice, vectorii E şi H ai
285
undei se vor suprapune şi compune, producând, de asemenea, fenomene de interferenţă. În ceea ce urmează ne vom referi la vectorul electric al undei pentru că acesta este cel care produce senzaţia de lumină, dar concluziile sunt valabile şi pentru vectorul magnetic. S-a demonstrat anterior că intensitatea I a undei este εE 2 direct proporţională cu densitatea de energie a undei w ( w = ). Dar într-o 2 undă electromagnetică E are o variaţie sinusoidală (dacă luăm în considerare unde armonice plane). Deci: E = Emax cos ωt
(9.134)
De unde: εE max cos 2 ω t 2 2
w=
(9.135) Dar oricare traductor care sesizează unde (lumina) are o inerţie foarte mare în raport cu perioada T de oscilaţie a lui E. Această inerţie se manifestă prin faptul că există un timp τ în care două evenimente luminoase succesive nu pot fi −
1
observate ca fiind distincte (pentru ochi τ ≅ 10 3 s şi T=10-14 s), deci traductorul nu va sesiza variaţiile de intensitate momentane, ci doar o medie în timpul τ al intensităţii. Întrucât media lui cos2 ωt este o constantă. 2 I~ E max
Dacă Emax ≠ const:
Fig. 9.27
Să presupunem că două surse punctiforme S1 şi S2 emit fascicule înguste (raze) de unde electromagnetice, armonice şi plane, de aceeaşi lungime de undă ( λ 1 = λ 2 ⇒ ω1 = ω 2 ) (în acest caz undele se numesc monocromatice).
286
Câmpurile electrice momentane (elongaţiile), emise de cele două surse vor fi exprimate prin relaţiile: - pentru sursa1 r r (9.136) e10 = E max 1 cos(ωt + ϕ01 ) - pentru sursa 2 r r e20 = E max 2 cos(ωt + ϕ 02 )
(9.137)
Cele două raze se vor propaga din surse până într-un punct oarecare P rr r r situat la r1 de S1 şi la r2 de S2, defazându-se prin această propagare cu k1 r1 r r
respectiv k 2 r2 Câmpurile electrice momentane (elongaţiile), în punctul P, vor fi date de ecuaţiile: rr r r (9.138) e1 = E max 1 cos ωt + ϕ 01 − k1 r1
(
)
şi: r r r r e2 = E max 2 cos ωt + ϕ 02 − k 2 r2
(
)
(9.139)
r k1
S1
r r1
P r k2
r r2
S2
Fig. 9.28 r r Vectorii de distanţă r şi de undă k fiind coliniari, se pot scrie următoarele
relaţii:
rr k1r1 = k1r1
(9.140)
287
şi:
rr k 2 r2 = k 2 r2
(9.141)
Lungimile de undă fiind egale, se impune şi egalitatea numerelor de undă: k1 = k 2 =
2π λ
(9.142)
şi prin urmare, intensităţile instantanee ale câmpului electric în punctul de întâlnire P, sunt: r r 2π e1 = Emax 1 cosωt + ϕ 01 − r1 λ r r 2π e 2 = E max 2 cos ωt + ϕ 02 − r2 λ
(9.143)
(9.144)
Conform principiului superpoziţiei, în punctul P apare o nouă oscilaţie electrică având aceeaşi pulsaţie, o nouă amplitudine şi o nouă fază exprimată prin ecuaţia: r r (9.145) e = E max cos(ωt + Φ ) unde, conform rezultatelor obţinute la capitolul „Unde elastice”, amplitudinea oscilaţiei electromagnetice reziltante în punctul P este: E 2 max = E 2 max 1 + E 2 max 2 + 2 E max 1 E max 2 cos ∆ ϕ
(9.146)
şi: tgϕ =
E max 1 sin ϕ1 + E max 2 sin ϕ 2 E max 2 cos ϕ1 + E max 2 cos ϕ 2
(9.147)
unde ∆ϕ reprezintă defazajul total: ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ 1
iar fazele celor două oscilaţii electromagnetice care se întîlnesc în punctul P vor fi date de următoarele ecuaţii: 2π (9.148) ϕ1 = ϕ01 − r1 λ şi: ϕ2 = ϕ02 −
2π r2 λ
(9.149)
288
r
Dar conform celor arătate anterior cos (ωt + φ) = const şi I ≈ E 2 max . Deci: (9.150) Termenul se numeşte termen de interferenţă. Dacă cos ∆ϕ = 0 atunci I = I1 + I2, are loc o suprapunere a intensităţilor şi nu există interferenţă. Dacă cos ∆ϕ ≠ 0 atunci I ≠ I1 + I 2 şi spunem că are loc interferenţa. Un receptor oarecare va sesiza doar media lui cos ∆ϕ pe un interval de timp τ cu mult mai mare decât perioada T a oscilaţiei electrice. Această medie va fi calculată prin formula de medie: cos ∆ϕ =
τ
1 cos ∆ϕ dt τ ∫0
(9.151)
Dacă cos ∆ϕ = const ⇒ cos ∆ ϕ = cos ∆ ϕ ≠ 0 ⇒ ∆ ϕ = const se produce interferenţa. Se spune în acest caz că undele sunt coerente, iar condiţia ca diferenţa de fază să fie constantă este condiţia de coerenţă. Coerenţa se menţine uşor pentru unde electromagnetice din domeniul radio, emise de antenele radioemiţătoarelor, dar în domeniul frecvenţelor mari (infraroşu, vizibil, ultraviolet) unde emiţătorii sunt atomii, coerenţa se obţine mai greu. Acest lucru se explică în felul următor. ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 = ϕ02 − ϕ01 −
2π ( r2 − r1 ) λ
(9.152)
Atomii emit în timpul unei tranziţii ∆ t ≅ 10 −8 s . Să presupunem că la un moment t sosesc în P unde de la doi atomi i şi k diferenţa de fază va fi: ∆ϕ ik = ϕ k − ϕ i = ϕ 0 k − ϕ 0 i −
2π ( rPk − rPi ) λ
(9.153)
După ∆ t ≅ 10 −8 s în punctul P vor sosi raze de la atomii i, şi k, ele vor prezenta defazajul: ∆ϕ ik , = ϕ k , − ϕ i , = ϕ 0 k , − ϕ 0 i , −
2π ( r 1 − rpi1 ) λ pk
(9.154)
289
deci, defazajul ∆ϕ se modifică foarte rapid în timp, ceea ce face ca media sa într-un timp τ >> T să fie nulă. Dacă condiţia de coerenţă este realizată, respectiv ϕ 02 − ϕ 01 = const şi r2 − r1 = const , atunci, intensitatea: I = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 cos ∆ϕ
(9.155)
va prezenta maxime şi minime, în funcţie de valoarea lui cos ∆ϕ . Dacă diferenţa de fază iniţială este ϕ 02 − ϕ 01 = 0 , vom avea maxime pentru o valoare a diferenţei de drum dintre distanţele parcurse de cele două raze: r2 − r1 = δ = kλ = 2 k
λ 2
(9.156)
λ 2
(9.157)
şi minime pentru: r2 − r1 = δ = (2 k + 1)
unde k = 0,1,2….. Locul geometric al punctelor în care intensitatea undei este constantă se numeşte franja de interferenţă. I = const ⇒ cos ∆ ϕ = const ⇒ ∆ ϕ = const ⇒ r2 − r1 = const
(9.158)
Aceste suprafeţe sunt hiperboloizi de revoluţie având ca axă dreapta care uneşte sursele şi ca focare chiar sursele ca în fig. 9.29:
Fig. 9.29
Pe un ecran plan se vor observa intersecţiile hiperboloizilor cu planul adică hiperbole luminoase între care există intervale întunecate. Spaţiul dintre două franje luminoase fiind interfranje (fig. 9.30):
290
Fig. 9.30
O aplicaţie importantă pentru navigaţie a interferenţei în domeniul radio sunt metodele de navigaţie hiperbolică (Loran, Decca, Omega) (fig. 9.31). Cu un receptor special instalat pe navă se determină intervalele de timp sosirii undelor de la o pereche de emiţătoare şi se reperează pe hartă hiperbola corespunzătoare lui ∆t . Acelaşi lucru se, face cu alte două emiţătoare şi se reperează hiperbola corespunzătoare lui ∆t . Intersecţia celor două hiperbole va da punctul navei. Hiperbolele corespunzătoare unei perechi de emiţătoare sunt reprezentate pe hartă cu o anumită culoare.
Fig. 9.31
9.8.2 Obţinerea experimentală a fenomenului de interferenţă Pentru a obţine experimental franje de interferenţă, este necesară obţinerea, plecând de la o sursă punctiformă, a două sau mai multe fascicole coerente. Se cunosc mai multe dispozitive de acest fel. 9.8.2.1 Interferometrul (dispozitivul ) Young Principiul de funcţionare şi modul de construire fiind cunoscute, vom reda doar principalele calcule.
291
Fig. 9.32a
Aspectul imaginii formate pe ecran este redat în fig. 9.32b:
k=3 k=2 k=1 k=0 k=-1 k=-2 k=-3
Fig. 9.32b
Pentru a calcula distanţa la care se formează maximul de ordinul k, vom calcula diferenţa de drum δ. δ k ≅ 2l sin ϕ X k = Dtgϕ dar D >> 2l, deci φ < 5o, deci: sin ϕ ≅ tg ϕ
de unde se obţine pentru diferenţa de drum:
(9.159) (9.160) (9.161)
292
δ k = 2l
xk D
(9.162)
Pentru a obţine la distanţa xk de centrul ecranului de observare un maxim de interferenţă, diferenţa de drum trebuie să satisfacă condiţia de maxim: δ k = kλ kλ = 2 l
(9.163) xk D
(9.164)
de unde: xk =
kλD 2l
(9.165)
Interfranja, adică distanţa dintre două maxime consecutive: i = x k +1 − xk = i=
(k + 1)λD − kλD 2l
2l
λD 2l
(9.166) (9.167)
Pe ecran se observă o serie de franje luminoase între care se găsesc franje întunecoase. Pentru a deduce modul în care se distribuie intensitatea luminii în franja luminoasă, se va nota cu E valoarea maximă a intensităţii câmpului electric generat pe ecran de unul din fascicole. În franjă cele două intensităţi se compun, dând un câmp cu intensitatea maximă Emax.: E 2 max = E 2 + E 2 + 2 EE cos
2 πδ λ
(9.167)
dar I ≈ E 2 max , deci într-o franjă luminoasă: 2πδ 1 + cos λ I = 2I 0 2
(9.168)
unde I0 este intensitatea luminii produse pe ecran de o singură fantă. I = 2 I 0 2 cos
πδ 2 πδ = 4 I 0 cos 2 λ λ
293
dar:
δ =
2lx k D
deci: I = 4 I 0 cos 2
2πlx k λD
(9.169)
Deci intensitatea luminii a unei franje se poate modifica între 0 şi 4I0. În caz că sistemul de fante este iluminat cu lumină albă, spectrul fiind continuu, există de fapt o infinitate de lungini de undă, fiecare producând un sistem de franje. Pentru franja centrală, diferenţa de drum este nulă, indiferent de valoarea lungimii de undă deci, aici se formează un maxim alb. Interfranja fiind λD , este mai mare pentru radiaţia roşie decât pentru violet. Primele franje i= 2l după franja centrală au marginea dinspre franja centrală colorată violet şi marginea exterioară în roşu. La o oarecare distanţă xk, franja roşie de ordin k se suprapune peste franja violetă de ordin k+1. Din acest loc nu mai apar franje întunecate. Pe măsură ce distanţa de la franja centrală creşte, culorile se estompează. Suprapunerea mai multor culori (pentru δ > 3 − 4µ ) dă impresia de alb, însă un alb diferit de cel din maximul central. Acest alb se numeşte alb de ordin superior care spectroscopic nu este continuu ca albul de ordin 0. Din el lipsesc unele culori, din acest motiv se spune că albul de ordin superior dă un spectru canelat. 9.8.2.2 Oglinzile lui Fresnel Sunt două oglinzi plane care formează un unghi de aproape 1800. O sursă punctiformă dă în cele două oglinzi imagini virtuale care produc raze coerente (provin din aceeaşi sursă, iniţială). În zona de suprapunere celor două fascicole există un câmp de interferenţă. Câmpul este cu atât mai mare, cu cât distanţa S1S2 este mai mică. Dacă se notează cu r distanţa SO, atunci distanţa dintre cele două imagini virtuale este: l ≅ 2α r
(9.170)
şi interfranja va fi dată conform figurii 11.34, de relaţia următoare: i=
λ ( D0 + l ) 2α l
(9.171)
294
Fig. 9.33
9.8.2.3 Biprisma lui Fresnel şi bilentilele lui Bilet Sunt două prisme subţiri, respectiv două lentile subţiri distanţate între ele şi uşor înclinate. În ambele cazuri se formează două imagini virtuale S1 şi S2 care sunt surse de lumină coerente, rezultate prin dedublarea sursei iniţiale. Biprisma lui Fresnel este reprezentată în figura 9.34, iar bilentila Bilet în fig. 9.35.
Fig. 9.34
295
Fig. 9.35
dacă unghiul A a prismelor respectiv a lentilelor şi unghiul lor de înclinare α sunt foarte mici. α+A n≅ 2 A 2
(9.172)
de unde: α ≅ ( n − 1) A
(9.173)
l = 2α J = 2 J ( n − 1) A
(9.174)
Distanţa dintre sursele virtuale formate este: S1S 2 = a = ( D − J ) 2α = 2 ( D − J )( n − 1) A
(9.175)
Valoarea interfranjei se calculează ca şi la dispozitivul lui Young: i=
λD a
(9.176)
i=
λD 2 ( D − J )( n − 1) A
(9.177)
9.8.3 Interferenţele produse de pelicule şi lame subţiri Un fenomen de interferenţă des întâlnit este cel produs prin întâlnirea fascicolelor reflectate pe cele două feţe ale unei pelicule (lame) transparente. Pe faţa A a peliculei cade un fascicul de lumină l care reflectă pe faţa A, generând fascicolul 2 şi un fascicul de lumină 3 format după refracţia prin peliculă şi reflexia pe faţa B. Fascicolele 2 şi 3 sunt coerente pentru că provin din aceeaşi sursă. La distanţă suficient de mare, ele sunt aproximativ paralele şi dacă ele întâlnesc un sistem convergent (de exemplu, ochiul), ele vor interfera în planul
296
focal al acestuia (în cazul ochiului, pe retină). În acest fel se explică culoarea petelor de ulei sau petrol. Se consideră o peliculă transparentă cu feţe plane paralele având grosime l ca în fig. 9.36.
Fig. 9.36
Fig. 9.37
Pentru a calcula diferenţa de drum, vom observa în fig. 9.37 că faţă de AI3, raza I parcurge în plus ddrumul I1 A, iar II porţiunea de drum I1I2I3. Diferenţa de drum optic Δ va fi: λ δ = ∆ 1 − ∆ 2 = n ( I1 I 2 + I 2 I 3 ) − I1 A − 2
(9.178)
pierderea de drum -λ/2 în mersul razei 1 a apărut datorită reflexiei sale pe mediul cu indice de refracţie mai mare. Dar, din ∆(I1 I 2 B ) rezultă: I1I 2 = I 2 I 3 =
e cos r
(9.179)
În consecinţă, diferenţa de drum dintre cele două raze va fi: δ =
2ne λ − I1 I 3 s in i − cos r 2
I 1 B = etgr
(9.180) (9.181)
297
deci: I1 I 3 = 2etgr δ =
(9.182)
2 ne sin r λ − 2e sin i − cos r cos r 2
(9.183)
dar conform legii refracţiei: sin i = n;sin i = n sin r sin r
(9.184)
Înlocuind această relaţie în expresia diferenţei de drum, rezultă: 2 ne sin 2 r λ δ = − 2 ne + cos r c os r 2
(9.185)
Expresia finală a diferenţei de drum va fi: δ =
2ne λ λ 1 − sin 2 r + = 2ne cos r + cos r 2 2
(
)
(9.186)
Se poate face următoarea înlocuire: cos r =
1 2 n − sin 2 i n
(9.187)
Prin interferenţa celor două raze se obţin maxime de intensitate dacă δ=2kλ/2 (şi minime când δ=(2k+1)λ/2). Deci, se vor obţin maxime când: 2e n 2 − sin 2 i = ( 2 k − 1)
λ 2
(9.188)
şi minime atunci când: 2e n 2 − sin 2 i = kλ
(9.189)
Întrucât maximele şi minimele corespund unui singur unghi de incidenţă spunem că avem franje de egală înclinare. Dacă feţele nu sunt perfect paralele se obţin franje paralele cu muchia lamei şi echidistante. Astfel de franje se numesc franje de egală grosime. 9.8.4 Interferenţa în domeniul radio. Fadingul O undă electromagnetică din domeniul undelor medii sau mai ales scurte, plecată din antena unui radio-emiţător, poate ajunge la receptor pe mai multe căi
298
şi anume: prin unda de sol care urmăreşte curbura Pământului şi prin unde reflectate în ionosferă. Cele două unde au parcurs drumuri diferite deci, vor ajunge la receptor cu o diferenţă de fază care depinde de diferenţa de drum, dar şi de proprietăţile straturilor de aer parcurse. În funcţie de valoarea acestei diferenţe de fază, la recepţie se vor produce maxime sau minime de interferenţă. Însă înălţimea la care se produce reflexia se poate modifica chiar într-un timp relativ scurt, un maxim de intensitate scăzând, devenind chiar minim. Se produce deci, o scădere sau întărire a undei recepţionate chiar în timpul recepţiei. Fenomenul se numeşte fading. Receptoarele moderne sunt prevăzute cu sistemul RAA care reglează automat amplificarea receptorului (sistem deconectabil la receptoarele telegrafice). a) Interferenţa între unda de sol şi unda reflectată pe ionosferă
Fig. 9.38.a
b) Interferenţa dintre undele reflectate de pe două straturi diferite ale ionosferei
Fig. 9.38 b
Se vede în ambele cazuri din figurile 9.38 a) şi b) că cele două raze parcurg drumuri diferite, deci apare o diferenţă de drum. Este posibilă şi
299
interferenţa undei directe de sol, cu unde reflectate de pe mai multe straturi ale inosferei. 9.8.5 Interferenţa luminii polarizate. Polarizare eliptică Dacă în calea celor două fascicole de lumină care provin de la fantele unui dispozitiv Young se interpun două dispozitive polarizatoare (pachet de lame, polaroizi, nicoli), vectorul electric va oscila într-un singur plan. Dacă axele de polarizare ale polaroizilor sunt paralele pe ecran se va produce un fenomen normal de interferenţă (interferenţa oscilaţiilor paralele (fig.9.39.a). Pe ecranul de observaţie se vor forma franje dispuse ca şi la dispozitivul Young. Dacă însă un polaroid are axa de polarizare perpendiculară (fig.9.39.b), vectorii electrici vor oscila perpendicular.
Fig. 9.39 a
Interferenţa când vectorii electrici oscilează paralel. Pe ecran se formează franje de interferenţă (fig. 9.39.a).
300
Fig. 9.39b Interferenţa când vectorii electrici oscilează în plane perpendiculare. Pe ecran nu se formează franje de interferenţă (fig. 9.39.b).
În acest al doilea caz nu se mai formează franje de interferenţă, ecranul rămânând iluminat uniform. Ştim din teoria pe care am făcut-o la studiul oscilaţiilor, că suprapunerea a două oscilaţii perpendiculare duce la apariţia unei vibraţii eliptice. Lumina este polarizată eliptic. Să presupunem că în planul r ecranului ajung două oscilaţii ale vectorului E date de: E x = Eox cos ω t
(9.190)
E y = Eoy cos (ω t + ϕ )
(9.191)
Cele două oscilaţii se vor compune dând cunoscuta ecuaţie a elipsei: Ex
2
E ox
2
+
Ey
2
E oy
2
−
2E x E y E ox E oy
cos ϕ = sin 2 ϕ
(9.192)
După cum se ştie forma şi unghiul pe care axa mare îl face cu axele depinde de Ex, Ey, şi ϕ. Pentru ϕ = 2 kπ şi ϕ = (2 k + 1)π elipsa se reduce la drepte, apărând o lumină polarizată liniar.
301
Lumina polarizată eliptic se poate produce cu ajutorul unui cristal uniax şlefuit, paralel cu axa optică. Un fascicol de lumină naturală căzând perpendicular pe o astfel de lamă se descompune în două fascicole cu planele de vibraţie, perpendiculare. Dacă fascicolul incident este suficient de larg, cele două fascicole se vor suprapune parţial, iar în regiunea de suprapunere va apărea lumina polarizată eliptic. (fig9.40)
Zona de suprapunere
Fig. 9.40
Frontul de undă incident este i, i’, frontul undei ordinare este i1, i1 ’, iar al undei extraordinare i2, i2’. Datorită faptului că vitezele celor două diferă, între cele două fronturi de undă apare o diferenţă de drum δ (drum optic). δ = e (n e − n γ ) căreia îi corespunde o diferenţă de fază. ∆ϕ =
2π (ne − nγ λ
)
(9.193)
Grosimea cristalului e are o astfel de valoare, încât ∆ϕ = π polarizarea eliptică se reduce la o polarizare liniară, perpendiculară pe direcţia iniţială de oscilaţie. Rotind polaroidul analizelor, putem găsi o poziţie pentru care această lumină este total “tăiată” (pentru λ dat). Deci, dintr-un fascicul de lumină nemonocromatică va fi tăiată componenta care satisface relaţia: ∆ϕ = π . În altă poziţie, perpendiculară pe această primă componentă va fi polarizată liniar şi va fi mai puţin atenuată, iar celelalte componente polarizate eliptic vor fi atenuate, apărând în evidenţă (dominând) componenta λ. O astfel de lamă se numeşte lama jumătate de undă. Se folosesc şi lame sfert de undă când diferenţa de drum: δ =
λ , cu (α = 45∗ ) 4
în acest caz polarizarea este circulară. Cu ajutorul acestor lame se pot λ genera culori din lumina albă. Pentru lamele se poate afirma şi faptul că, dacă 4
302
ele sunt traversate de lumina polarizată circular sau eliptic, la ieşire se obţine lumina polarizată liniar. Undele electromagnetice care se propagă printr-un mediu omogen izotrop sunt totdeauna unde transversale. În domeniul radio, mai ales, la propagarea în medii puternic neomogene şi anizotrope apare uneori şi o componentă longitudinală a câmpului electric sau magnetic. Această componentă poate fi în fază cu componenta transversală sau defazată cu un unghi. Dacă este în fază, vectorul câmpului rezultat este înclinat cu un unghi α faţă de direcţia de propagare care nu se schimbă în timp. Amplitudinea vectorului rezultant se schimbă cu ω. Când componenta longitudinală nu este în fază cu cea transversală, vectorul rezultant îşi schimbă orientarea, descriind cu vârful o elipsă. În acest caz, apare o polarizare eliptică în medii omogene. 9.9 Difracţia undelor electromagnetice Fenomenul de difracţie observat deja în secolul al XVII-lea a fost definit, iniţial, ca fiind fenomenul de ocolire aparentă de către undă a obstacolelor cu dimensiuni comparabile cu lungimea de undă. Difracţia este un fenomen caracteristic oricărui proces ondulatoriu. Studiind cu atenţie trecerea de la zona de lumină la zona de umbră, din spatele unui obstacol se observă o succesiune de maxime şi minime, care ne arată o redistribuire a energiei în acest domeniu de separare. Legi ca legile reflexiei şi refracţiei se aplică foarte bine cu modelul ondulatoriu şi s-a pus problema explicării cu ajutorul acestui model al propagării rectilinii. Pentru a explica această propagare rectilinie, Fresnel a completat principiul lui Huygens cu postulatul că undele secundare produse de orice punct de pe o suprafaţă de undă sunt coerente, deci ele interfelază. Într-un punct oarecare P, din zona umbrită de obstacolul C, sosesc o infinitate de raze de la toate sursele secundare de pe porţiunea vizibilă a frontul de undă sferic F (Fig. 9.41). Această porţiune vizibilă este cuprinsă între extremitatea obstacolului şi punctul de tangenţă a razei duse din P la frontul de undă. În P, toate oscilaţiile produse de fiecare rază (undă secundară) în parte se vor compune şi se va genera o nouă oscilaţie rezultantă care are o nouă amplitudine şi o nouă fază. Deci, practic în P va avea loc interferenţa undelor secundare. Fenomenul se repetă identic în toate punctele din spatele obstacolului, apărând o serie de franje denumite franje de difracţie. Noua suprafaţă de undă, este rezultatul interferenţei undelor secundare.
303
F Lumina geometrica C
P Umbra geometrica
Fig. 9.41
Dacă se notează cu I0 intensitatea undei în faţa obstacolului C şi cu I intensitatea sa în spatele acestuia, raportul acestor intensităţi, în funcţie de distanţă este reprezentat în fig. 9.42. În planul de separaţie dintre zona liberă şi obstacol, intensitatea undei este doar 0,25 din valoarea intensităţii undei incidente. Nu se poate face o distincţie netă între interferenţă şi difracţie. În accepţiunea modernă a termenilor, fenomenele rezultate din compunerea undelor emise de surse punctiforme sunt denumite interferenţă, iar cele rezultate din compunerea undelor emise de surse distribuite continuu în spaţiu sunt denumite difracţie.
Fig. 9.42
Se disting două tipuri de difracţie: difracţia Fresnel, care are loc în regiunea apropiată de sursă, regiune în care undele sunt sferice, iar fascicolele de raze divergente şi difracţia Fraunhofer care are loc în zona depărtată de sursă unde fascicolele de raze sunt paralele. 9.9.1 Difracţia produsă de o fantă rectangulară în lumină paralelă (Difracţia Fraunhofer) Se consideră o fantă de lăţime a şi lungime infinită, iluminată cu lumină paralelă (sursa se găseşte la infinit sau unda a trecut printr-un sistem convergent care a paralelizat razele). Fiecare punct al fantei devine, conform principiului
304
Huygrns-Fresnel, sursă de undă secundară coerentă, şi emite o undă sferică ale cărei raze se vor propaga în toate direcţiile.
Fig. 9.43
Se consideră ca în fig. 9.43 fanta descompusă în zone de lăţime infinit de mică, de lungime dx. Raza emisă sub unghiul θ, de o astfel de zonă, aflată la distanţa x de marginea O a fantei, ajunge după traversarea sistemului convergent într-un punct Bθ. Ecuaţia undei plane reprezentate de această rază este: 2π deθ = dE cos ω t − δ λ
(9.194)
Defazajul acestei raze faţă de raza emisă din O este determinată de diferenţa de drum δ: δ = x sin θ
(9.195)
explicitând această diferenţă de drum din triunghiul OAC, defazajul este: ϕ=
2π ⋅ x ⋅ sin θ λ
(9.196)
Amplitudinea undei secundare dE este proporţională cu lăţimea zonei dx şi cu intensitatea undei plane incidente E0 (fig. 9.43): dE = CE0 dx
(9.197)
305
Pentru a determina constanta de proporţionalitate C, se va considera că pentru φ = 0, dacă zona dx se extinde la întreaga fantă dx → a , se transmite unda cu aceeaşi amplitudine E0 ca şi unda electromagnetică incidentă. În acest caz:
Cb = E 0 , deci C = E0/a
(9.198)
Elongaţia oscilaţiei electromagnetice produsă de elementul fantă dx în punctul Bθ se poate scrie astfel: deθ =
E0 2π x sin θ ⋅ cos ω t − a λ
⋅ dx
(9.199)
Valoarea instantanee (elongaţia) a oscilaţiei electrice din Bθ va rezulta prin integrarea tuturor vibraţiilor elementare: E eθ = 0 a
2π x sin θ cos ω t − ⋅ dx λ
a
∫ 0
(9.200)
După efectuarea integrării se obţine pentru valoarea instantanee a oscilaţiei electrice din Bθ următoarea expresie: eθ = E0
π a sin θ π a sin θ λ cos ωt − π a sin θ λ λ
sin
(9.201)
Deci, amplitudinea undei care se propagă pe direcţia θ este: Eθ = E0
π a sin θ λ π a sin θ λ
sin
(9.202)
iar pentru θ de valoare mică: π aθ sin λ (9.203) Eθ = E0 π aθ λ Ştiind că intensitatea undei este proporţională cu pătratul amplitudinii, valoarea acesteia este dată de relaţia: π a sin θ λ I = I0 2 π a sin θ λ sin 2
(9.204)
306
Dacă se reprezintă grafic funcţia (9.204), în funcţie de sinθ se va obţine graficul din fig. 9. 44. Se remarcă existenţa unui maxim central generat prin interferenţa razelor plecate perpendicular din fantă (θ=0). Ele vor forma un maxim având aceeaşi intensitate ca şi intensitatea undei incidente, căci dacă θ = 0, conform limitei sin x cunoscute, lim = 1. x→ 0 x πa sin 2 sin θ λ =I I = I 0 ⋅ lim 0 2 θ →0 π a sin θ λ
(9.205).
Fig. 9.44
În rest, pentru toate unghiurile care îl fac pe sinθ = 0, intensitatea va fi nulă.
307
π a sin θ sin λ
=0
(9.206)
În acest caz: π a sin θ = k ⋅π λ sin θ = ± k ⋅
(9.207)
λ a
(9.208)
deci, pentru valorile unghiului θ care satisfac relaţia: λ θ = arcsin( ± k ⋅ ) a
(9.209)
intensitatea undei plecate din fantă este nulă. Pe aceste direcţii fanta nu radiază. Între două anulări apar maxime secundare având intensităţi din ce în ce mai mici:
ordinul maximului
0
unghiul
θ 0 = arcsin 0
I/I0
1
1
λ θ1 = arcsin(± ) a 0,045
2
λ θ 2 = arcsin( ±2 ) a 0.016
Cu cât raportul dintre lungimea de undă şi lărgimea fantei este mai mic, cu atât maximele sunt mai ascuţite. Dacă se reprezintă relaţia 9. 204 în coordonate polare se obţine diagrama din figura 9. 45 formată din mai mulţi lobi, denumită, diagrama de directivitate a fantei. Se observă existenţa unui lob principal corespunzător maximului principal din figura 9.44 şi a mai multor lobi secundari care corespund maximelor λ . secundare. Deschiderea unghiulară a lobilor depinde de valoarea raportului a Cu cât acest raport este mai mic, lobul principal se îngustează luând aspectul de rază care se propagă rectiliniu. Din acest motiv undele electromagnetice din domeniul optic, unde lungimile de undă sunt foarte mici în raport cu dimensiunile corpurilor macroscopice cu care interacţionează, poartă denumirea de raze (infraroşii, luminoase, ultraviolete, x şi γ). Este de remarcat faptul că propagarea λ rectilinie sub formă de raze este o aproximaţie care corespunde cazului → 0 . a În cazul unei instalaţii de radiolocaţie precizia localizării, obiectelor în spaţiu este cu atât mai mare cu cât lobul principal este mai îngust. Pentru aceasta,
308
lungimea de undă a undei electromagnetice utilizată trebuie să fie mult mai mică decât dimensiunea antenei care o emite. Din cest motiv sunt utilizate microundele din domeniul undelor centimetrice, cu toate că acestea, datorită propagării rectilinii, se propagă doar cu puţin mai mult decât distanţa de vizibilitate directă. Pentru detectarea obiectelor depărtate sunt utilizate radiolocatoare cu unde metrice care au antene de mari dimensiuni, dar nu au o precizie mare a localizării.
Fig. 9.45
În cazul unei deschideri circulare, de diametru D, se obţin figuri de difracţie formate din inele luminoase şi întunecoase. Intensitatea luminii la distanţa ρ de centrul figurii este dată de legea:
(
I ( ρ ) = π ⋅ ρ0
2
)
2ℑ1 ( k ρ ) I0 kρ 2
2
(9.210)
unde ℑ1 (kρ ) reprezintă funcţia Bessel de ordinul 0 şi speţa 1,k numărul D de undă şi ρ 0 = 2 Primul inel întunecos se formează atunci când are loc prima anulare a funcţiei Bessel, adică atunci când unghiul de difracţie satisface relaţia: sin θ = 1 .22 λ / D
(9.211)
Primul inel luminos conţine 84℅ din energia electromagnetică. Puterea de separare a aparatelor optice (microscoape, lunete, etc.) este limitată de fenomenul de difracţie. Două puncte diferite vor produce câte o figură de difracţie, care se va suprapune dacă cele două puncte sunt prea apropiate. Pentru un obiectiv de diametru D unghiul maxim va fi θ max ≅ λ / D . Deşi discuţia de al acest capitol s-a referit la undele electromagnetice, concluziile şi demonstraţiile sunt valabile şi în domeniul undelor acustice.
309
9.9.2 Reţeaua plană de difracţie Se obţine prin zgârierea unei suprafeţe de sticlă cu un diamant, cu ajutorul unei maşini de divizat. În zona zgâriată sticla devine opacă şi astfel se formează un ansamblu de fante foarte fine. Notând cu d lăţimea unei fante şi cu e lăţimea intervalului opac, distanţa dintre două fante vecine va fi a=d+e, inversul acestei distanţe l/d reprezintă constanta reţelei adică numărul de linii pe unitatea de lungime. Realizând aranjamentul experimental din figura 9.45, în planul focal al lentilei L, pe ecranul E, se formează franje de difracţie, având forma de linii paralele. Explicarea formării acestor franje se poate face, ţinând cont de cele două procese, difracţia pe reţea şi interferenţa fasciculelor pornite din fiecare fantă. Se pot construi şi reţele de reflexie, la care lumina se reflectă pe o suprafaţă reflectatoare (uneori concavă, pentru a elimina lentilele), zgâriată. Diferenţa de drum δ dintre două raze care părăsesc fanta se poate calcula, în conformitate cu fig. 9.46:
Fig. 9.46
Diferenţa totală de drum este: δ = δ 1 ± δ 2 = (sin I ± sin θ )
(9.212)
În cazul incidenţei normale pe reţea i = 0, deci: δ = ± d sin ϕ
(9.213)
Pe ecranul E se obţin maxime dacă razele difractate sub unghiul θ satisfac relaţia necesară maximului de interferenţă: δ = d sin θ = nλ 0
deci, unghiul sub care se obţine un maxim principal va fi:
(9.214)
310
sin θ =
nλ d
(9.215)
Dependenţa unghiului de deviaţie de lungimea de undă se numeşte dispersia unghiulară a reţelei: ∆=
dθ dλ
(9.216)
Pentru a găsi expresia dispersiei unghiulare, se diferenţiază relaţia (9.215): d cos θ d θ = nd λ
(9.217)
∆=
dθ n = dλ d cos θ
(9.218)
∆=
dθ n = dλ d 1 − sin 2 θ
(9.219)
∆=
dθ = dλ
(9.220)
∆=
n n 2 λ2 d 1− 2 d
1
(9.221)
2
d − λ2 2 n
Dependenţa de λ a unghiului θ va duce, în cazul luminii nemonocromatice, la apariţia atâtor maxime principale câţi λ avem (în lumina albă o infinitate de λ), se vor obţine spectre continue. Ele sunt cu atât mai largi, cu cât ordinul de difracţie n este mai mare, ajungând pentru un k suficient de mare să se suprapună şi să formeze un alb de ordin superior (cu spectru canelat fig. 9.47).
-5 -4 -3
-2
-1
0
1 Fig. 9.47
2
3
4
5
311
Reţelele de difracţie sunt utilizate în aparatele optice numite spectroscoape. Acestea permit analizarea luminii provenite de la un corp luminos, descompunând-o cu ajutorul unor prisme sau reţele de difracţie. Spectrul obţinut astfel este proiectat pe un ecran sau pe un film fotografic, unde poate fi analizat. Acest spectru conţine o multitudine de informaţii valoroase despre compoziţia chimică şi proprietăţile fizice ale corpului. Majoritatea marilor descoperiri din astrofizică au fost făcute pe această cale.
10. Fenomene atomice si cuantice 10.1 Modele atomice şi evoluţia lor Dezvoltarea fizicii şi chimiei din secolul al XIX-lea a dus la descoperirea unor fenomene care dovedesc clar că substanţa este alcătuită din atomi, iar la rândul lor, aceşti atomi au o structură. Fenomene ca deplasarea purtătorilor de sarcini în electroliţi (legea lui Faraday), descărcările în gaze, emisia termoelectrică, efectul fotoelectric au arătat clar faptul că electronul este un constituent universal al substanţei. Cu alte cuvinte, orice atom conţine în structura sa electroni. Atomul fiind neutru din punct de vedere electric, se impune concluzia că ei conţin şi sarcini pozitive. Existenţa electronilor a fost dovedită în 1897, de J. Thomson care a măsurat devierea razelor catodice care sunt emise de catodul unui tub de descărcare în gaze rarefiate, în câmp electric şi a demonstrat că, fiind deviate, spre electrodul pozitiv, ele sunt compuse din particule încărcate negativ, denumite electroni. Mai mult, măsurând mărimea devierii, el a determinat masa electronilor, care este de aproximativ 2000 de ori mai mică decât cea a atomilor de hidrogen. Cum electronii proveneau din componenta substanţelor, s-a presupus ca ei aparţin tuturor atomilor. Modul de distribuire a acestor sarcini în atom a fost lămurit prin experienţele de împrăştiere a unor particule α pe atomii unei folii metalice, ale lui Rutherford. Modul de realizare a acestui experiment fiind în aproximaţie cunoscut, vom relua doar concluziile. 1. Sarcinile pozitive sunt concentrate într-o zonă foarte mică a atomului cu dimensiunile 10 −15 -10 −14 m, într-o formaţiune numită nucleu, care are sarcina +Ze (Z fiind numărul de ordine al atomului în sistemul periodic al lui Mendeleev). În nucleu se concentrează aproape întreaga masă a atomului. 2. Atomul posedă Z electroni cu masă foarte mică şi sarcină negativă (concluzii deduse din experienţele Thomson şi Millikan) care se găsesc în jurul nucleului la o distanţă de aproximativ 10 −10 m. (Valoarea raportului dintre raza orbitelor electronice şi raza nucleului este de 105 deci, se poate afirma că atomul are o structură lacunară). Pentru a putea explica stabilitatea unei asemenea structuri, Rutherford a fost nevoit să admită că electronii evoluează în jurul nucleului într-o mişcare de rotaţie, întocmai ca planetele în jurul Soarelui. Această imagine de microsistem planetar, în care forţele gravitaţionale sunt înlocuite cu forţe coulombiene a fost denumit sistemul planetar al lui Rutherford. Acest model prezintă câteva deficienţe majore care îl fac neviabil. În primul rând, un electron mişcându-se pe o traiectorie circulară (eliptică, dacă ţinem seama de faptul că masa nucleului este finită), va poseda o acceleraţie centripetă. S-a văzut însă că, dacă o sarcină electrică suferă o mişcare accelerată, ea va emite unde electromagnetice, deci energia electronului se va pierde prin
314
radiaţie. El va descrie o traiectorie în spirală căzând pe nucleu, acest lucru este însă în contradicţie chiar cu experimentele lui Rutherford. Experimentele de descărcare în gaze rarefiate arată că atomii, atunci când sunt excitaţi printr-o descărcare electrică emit lumină (de fapt un spectru discret de unde electromagnetice). Spectrogramele indică apariţia unor spectre discontinue, ale căror lungimi de undă pot fi calculate cu formule de tip Rydberg (pentru atomi care prin ionizare şi-au pierdut electronii cu excepţia unuia. Astfel de atomi au fost denumiţi hidrogenoizi). ν% =
1 1 1 = Z 2 RH − λ k2 n2
(10.1)
RH = 10967176 m −1 reprezintă o constantă dedusă iniţial din studiul spectrelor, numită constanta lui Rydberg. k şi n sunt numere întregi. Dând lui k valorile 1,2,3,…(întregi) şi lui n, k+1,k+2,… se obţin seriile spectrale cunoscute experimental. Modelul planetar al lui Rutherford nu poate explica această structură a spectrului. În plus în conformitate cu acest model, emisia ar trebui să se producă în mod continuu, dar în realitate atomul emite lumină doar când este excitat. Rezolvarea acestor dificultăţi a fost realizată într-o primă aproximaţie de Niels Bohr în 1913. El a renunţat la ideea că electronii s-ar comporta ca nişte oscilatori elementari legaţi cvasielastic, cum s-a acceptat în teoria clasică a dispersiei, ci s-a bazat pe ipoteza cuantică a lui Planck. Bohr a enunţat două postulate: 1. Atomul posedă un şir discret de stări de energie în care nu emite radiaţie electromagnetică. Aceste stări au fost denumite stări staţionare. Stările staţionare sunt cele în care momentul cinetic al electronului este multiplu h întreg de ħ = . 2π m·v·r=ν·ħ
(10.2)
2. Atomul poate executa tranziţii dintr-o stare de energie staţionară în altă stare de energie staţionară absorbând sau emiţând o cuantă de energie (ε =h·ν). E i − E f = hν
(10.3)
Pe baza acestor postulate el a reuşit să determine raza orbitei a n-a a electronului, energia sa totală, şi să deducă teoretic relaţia (10.1) pentru atomul de hidrogen (sau pentru atomi hidrogenoizi). Calculele sunt bazate pe faptul că pe orbitele electronice care corespund stărilor staţionare are loc egalitatea dintre forţa centrifugă Fc si cea coulombiană Fe prevăzută de Rutherford (Fig. 10.1), dar şi pe postulatele lui Bohr.
315
Fig. 10.1
Impunând egalitatea dintre forţa centrifugă şi cea coulombiană: mv 2 e2 = rn 4πε 0 rn2
(10.4)
şi ţinând cont de relaţia 10.2, de faptul că pentru atomul de hidrogen Z=1, se obţin razele orbitei circulare pe care se roteşte electronul în a-n-a stare staţionară. rn= n 2
ε 0 .h 2
(10.5)
π.m.e 2
şi energia sistemului în această stare. En = –
m.e 4 8ε 02 .h 2
.
1 n2
(10.6)
Dacă se admite conform postulatului al doilea că la tranziţia din starea staţionară n în starea staţionară k se emite o cuantă de lungime de undă λ , atunci relaţia (10.3) duce direct la formula lui Rydberg: υ% =
1 m.e 2 1 1 = 2− 2 3 λ 8ε 0 .h .c k n
(10.7)
constanta lui Rydberg, fiind: RH=
m.e 2 8ε 0 .h3 .c
Rezultatele de la (10.4)…(10.7) se obţin doar dacă raportul dintre masa electronului şi masa nucleului se considera 0. În realitate, masa nucleului este finită, deci şi nucleul participă la mişcarea în jurul centrului comun de masă. În acest caz traiectoria nu mai este perfect circulară, iar în relaţiile (10.4)…(10.7) masa electronului m se înlocuieşte cu masa redusă a sistemului electron-nucleu.
316
m.M m+M
mr =
(10.8)
Cu ajutorul relaţiilor (10.4)…(10.7), cu corectarea de la (10.8) s-au regăsit frecvenţele liniilor spectrale ale atomilor hidrogenoizi găsiţi anterior experimental. Dacă extindem însă modelul cuantificat al atomului (modelul Bohr) descris mai sus la atomi mai complecşi (cu mai mulţi electroni), rezultatele nu vor fi în concordanţă cu datele experimentale, ceea ce constituie o deficienţă gravă a modelului Bohr; de asemenea, acest model nu permite calcularea intensităţii liniilor spectrale. Pentru a explica spectrul de emisie al metalelor alcaline (acestea au Z-1 electroni în apropierea nucleului şi un electron de valenţă mai depărtat, deci în principiu asemănător hidrogenului), A. Sommerfeld a perfecţionat modelul lui Bohr, considerând mişcarea electronului pe o traiectorie eliptică. Analizând mişcarea ansamblului electron-nucleu pe baza mecanicii analitice, Sommerfeld a dedus pentru axa mare an a elipsei şi pentru axa mică bn a acesteia relaţiile: an =
ε 0 ( I r + Iϕ )
2
(10.9)
π .m.e 4 .Z Iϕ Iϕ + I r
bn =
(10.10)
Mărimile Ir şi Iφ sunt invarianţii adiabatici a lui Ehrenfest şi se exprimă prin următoarele relaţii: dr
∫ m dt dr = I r
(10.11)
şi:
∫ m.r
2 dϕ
dt
dϕ = I ϕ
(10.12)
În această situaţie energia electronului este: E =−
m.e 2 .Z 2 .
(
)
8ε 02 I r + I ϕ 2
(10.13)
În 1915, Sommerfeld a arătat că cei doi invarianţi Ir şi Iφ sunt cuantificaţi în modul următor: Ir = nr h,
Iφ = nφ h
(10.14)
317
nr şi nϕ sunt două noi numere cuantice. Înlocuind în relaţia (10.13),
valorile cuantificate ale celor doi invarianţi, rezultă: En = −
a=
b=
m.Z 2 .e 4 8ε 0 .h 2
ε 0 .h 2 π.m.Z.e
2
ε 0 .h 2 π.m.Z.e 2
.
1
(n r + n ϕ )2
(10.15)
(n r + n ϕ )2
(10.16)
(n r + n ϕ )n φ
(10.17)
Se vede că b≠0 (electronul nu poate trece prin nucleu), deci: nφ = 1,2,3,…,n şi nr = 0,1,2,…,n-1
(10.18)
nφ + nr = n se numeşte număr cuantic principal. Deci, pentru un n dat (deci, pentru o valoare dată a energiei En) electronul se poate mişca pe n orbite diferite cu aceeaşi semiaxă mare a, dar în b diferit. Această situaţie se numeşte degenerare (o mărime fizică are aceeaşi valoare pentru diferite valori ale unui parametru). Degenerarea, adică independenţa energiei faţă de forma elipsei, apare dacă sunt satisfăcute două condiţii: 1. Câmpul este pur coulombian. 2. Masa electronului este invariantă cu viteza. Această din urmă condiţie nu este satisfăcută, deşi efectele relativiste sunt slabe, va exista o dependenţă a energiei faţă de forma orbitei. Pentru un n dat, fiind posibile mai multe energii (diferenţa dintre ele fiind foarte mică), o linie spectrală este formată din mai multe linii spectrale, foarte fine şi apropiate. Această, structură fină a spectrului metalelor alcaline a fost observată experimental anterior este explicată cu succes de modelul Bohr-Sommerfeld. Dacă sursa de lumină care este analizată spectroscopic este introdusă într-un câmp magnetic, s-a constatat o multiplicare a liniilor spectrale, ceea ce duce la concluzia existenţei unei degenerări în prezenţa câmpului magnetic. Pentru a explica aceasta multiplicare (degenerare), s-a introdus un număr cuantic m numit număr cuantic magnetic care poate lua toate valorile de la –nφ…0…+nφ şi, în plus pentru a explica dedublarea unor linii spectrale (de la linia galbenă a sodiului), a fost necesară introducerea “ad hoc” a ipotezei unei existenţe a unui moment cinetic propriu al electronului numit spin. Acest spin, ca orice moment cinetic în atom, trebuie să fie cuantificat. Cuantificarea sa este “produsă” de un 1 1 număr cuantic de spin cu valorile + ;− (pentru electroni). Deci, pentru a 2 2
318
descrie un atom, am introdus patru numere cuantice. O deficienţă gravă a teoriei de mai sus, numită şi teorie cuantică naivă, este că aceste numere cuantice le-am introdus pentru a obţine concordanţa cu datele experimentale, deci “ca să iasă”, fără a pătrunde în intimitatea proceselor din atom. 10.2 Unde asociate particulelor în mişcare 10.2.1 Ipoteza lui Broglie Pentru a explica legile efectului fotoelectric, A. Einstein a introdus în 1905 ideea existenţei unei particule numite foton asociate undei electromagnetice. Acest foton, transportă o cuantă de energie, care după Plack are valoarea: E = hυ
(10.19)
şi are o masă de mişcare m astfel încât să satisfacă cunoscuta relaţie dintre masă şi energie, din teoria relativităţii: mc2 = hυ
(10.20)
Deci, fotonului îi putem asocia un impuls: p = mc =
h.ν h = c λ
(10.21)
Existenţa acestui impuls este confirmată de existenţa unei presiuni a luminii. Deci, în cazul fotonului se manifestă un dualism corpuscul-undă. În 1924, plecând de la acest dualism şi bazându-se pe o idee mai veche a lui Hamilton, Louis de Broglie încearcă să facă o legătură între optică şi mecanică. Pentru aceasta, el postulează existenţa acestui dualism pentru electron şi ulterior pentru orice microparticulă. Deci, postulatul lui de Broglie se poate enunţa în felul următor: oricărei microparticule cu masă de repaus diferită de zero, care se mişcă cu viteza v, i se asociază o undă (undă de Broglie) care are lungimea de undă dată de relaţia: λ=
h h = p mv
(10.22)
La prima vedere, această postulare pare destul de hazardată, dar din ea se poate deduce postulatul cuantificării momentului cinetic a lui Bohr pe baza următorului raţionament. O undă de Broglie se deplasează de-a lungul orbitei circulare a electronului într-un atom. Dacă pe orbita electronului raportul dintre lungimea cercului şi lungimea de unda este un număr întreg, atunci, după o rotaţie completă în jurul nucleului, unda se întoarce în punctul iniţial cu aceleaşi fază şi amplitudine. În fiecare punct al orbitei se stabileşte un regim de undă staţionară şi
319
nu se emite şi nu se absoarbe energie. În acest caz, orbita electronului este cea care corespunde unei stări staţionare. 2π r = nλ
(10.23)
Înlocuind lungimea de undă din (10.22), rezultă condiţia regula de cuantificare a lui Bohr. mvr = n
h = nh 2π
(10.24)
Dacă lungimea de undă a undei de Broglie a electronului nu se cuprinde de un număr întreg de ori în lungimea circumferinţei orbitei, atunci la revenirea în punctul iniţial faza şi amplitudinea undei sunt schimbate şi nu se mai instalează regimul de undă staţionară. Ulterior, relaţia (10.22) a fost generalizata şi pentru cazul orbitelor eliptice, când lungimea de undă se modifică în lungul traiectoriei electronului. Faptul că din postulatul lui de Broglie se deduce regula cuantificării momentului cinetic, a făcut ca el să fie atent verificat experimental. În 1925, Elasser propune verificarea existenţei unor fenomene tipic ondulatorii cum sunt interferenţa şi difracţia în cazul unui fascicul de electroni acceleraţi de un câmp electric. Dacă un electron de masă m şi sarcină e este accelerat de un câmp electric, între două puncte între care diferenţa de potenţial sete U, energia sa cinetică va fi: mv 2 p2 = = eU 2 2m
(10.25)
Lungimea de undă a undei de Broglie asociate va fi: λ=
h 2meU
(10.26)
Pentru tensiuni de accelerare de ordinul sutei de volţi undele asociate electronilor în mişcare au lungimea de undă de ordinul lungimii de undă a radiaţiilor X, prin urmare trebuie să producă ca şi acestea fenomene de difracţie şi interferenţă în cristale. Primele experienţe de difracţie a undelor de Broglie au fost realizate de Davisson şi Germer în anul 1927, prin refexia electronilor pe o suprafaţă a unui monocristal de nichel. Un fascicol de electroni de un catod incandescent este accelerat de un câmp electric la o diferenţă de potenţial U. Se obţine un fascicol îngust de electroni având toţi, aproximativ, aceeaşi energie, care este trimis spre un monocristal de nichel ce va juca rolul unei reţele de difracţie. Un colector C,
320
conectat la un amplificator de curent continuu, măsoară, cu ajutorul unui miliampermetru, intensitatea fluxului de electroni reflectat sub diferite unghiuri, θ (Fig. 10.2). Reprezentând grafic intensitatea curentului, s-a obţinut o figură de difracţie ca la o reţea de difracţie care are constanta reţelei de ordinul distanţei dintre planele atomice ale cristalului de nichel. Lungimea de undă dedusă din această figură a verificat foarte bine relaţia (10.26). Relaţia (10.21) se aplică nu numai electronilor, ci şi tuturor particulelor şi corpurilor, însă datorită masei foarte mari a acestora, in raport cu masa electronilor, lungimile de undă corespunzătoare sunt foarte mici şi, din acest motiv, dualismul corpuscul-undă nu se manifestă la scară macroscopică. catod electrod de accelerare
U +
colector
θ
monocristal de nichel
miliampermetru
incinta vidata
Fig. 10.2
O aplicaţie directă a undelor de Broglie este microscopul electronic. Acesta foloseşte în loc de lumină unde de Broglie şi în loc de lentile de sticlă sisteme de electrozi şi electromagneţi ale căror câmpuri electrice şi magnetice produc devierea corespunzătoare a electronilor (lentile electronice). Lungimea de undă a undei asociate electronilor fiind mult mai mică decât lungimea de undă a luminii utilizate la microscoapele optice, puterea de mărire şi rezoluţia microscopului electronic sunt superioare. Utilizării microscopului electronic îi sunt datorate marile descoperiri din microbiologia secolului alXX-lea. 10.2.2 Interpretarea statistică a undelor de Broglie Se pune în continuare problema interpretării fizice a undei de Broglie. Numărul de undă se poate exprima prin relaţia cunoscută: k=
2π λ
(10.27)
321
Folosind relaţia lui de Broglie, aceasta ia următoarea formă: k=
2π p p = = h h h 2π p
(10.28)
viteza de fază a undei este dată de relaţia cunoscută: vf =
ω 2πυ = = υλ 2π k λ
(10.29)
Dacă în relaţia (10.29) se înlocuiesc expresiile lui de Broglie pentru lungimea de undă şi a lui Planck dintre energie şi frecvenţă E = hυ , se ajunge la relaţia: vf =
E p
(10.30)
Exprimând energia cu ajutorul relaţiei relativiste dintre masă şi energie, rezultă: vf =
mc 2 c 2 = mv v
(10.31)
Viteza de mişcare a particulei v , fiind mai mică decât viteza luminii în vid c, rezultă că viteza de fază a undei de Broglie este mai mare decât c. Acest rezultat nu duce la nici o contradicţie, căci viteza de fază nu reprezintă viteza de propagare a unui semnal sau a unei energii. Dacă prin procedeul anterior se calculează viteza de grup, se ajunge la: vg =
d ω dE = dk dp
(10.32)
De aici rezultă că viteza de grup a unei unde asociate unei particule libere (care nu este într-un câmp şi deci mu are decât energie cinetică) este egală cu viteza sa de deplasare a acesteia, pentru că: 2 dE d ( mv ) vg = = =v dp d ( mv )
(10.33)
La prima vedere acest rezultat duce la posibilitatea identificării particulei cu un grup de unde format, în sens clasic, prin suprapunerea unui mare număr de unde cu lungimi de undă apropiate. Intensitatea undei este proporţională cu amplitudinea procesului oscilant de elongaţie Ψ .
322
şi în această interpretare ea reprezintă densitatea de distribuţie în spaţiu a pachetului de unde şi deci, a particulei însăşi. Această interpretare nu rezistă unei analiza mai atente, căci se cunoaşte că un grup de unde are tendinţa de a se destrăma. Dacă se construieşte un grup de undă din unde de Broglie, calcule destul de complicate care nu vor fi prezentate, arată că grupul se lărgeşte cu o viteză invers proporţională cu masa particulei. În cazul particulelor elementare, masa fiind foarte mică, viteza de destrămare ar trebui să fie foarte mare şi particula să dispară sau măcar să-şi schimbe proprietăţile. Nicio observaţie nu confirmă un asemenea fenomen. Pentru a găsi o interpretare a dualismului corpuscul-undă trebuie să se ţină seama că foarte multe observaţii arată că particulele sunt indivizibile şi localizate în spaţiu şi timp, pe când undele nu se bucură de această proprietate, dar experimentele efectuate au relevat existenţa fenomenelor de difracţie chiar şi în cazul experimentelor efectuate de foarte multe ori cu electroni izolaţi. Se impune concluzia că o microparticulă la care se manifestă dualismul corpuscul-undă, este un obiect aparte pentru care nu se poate imagina un model bazat pe observaţii cotidiene şi care posedă toate proprietăţile undelor şi toate proprietăţile particulelor. În toate experimentele cu microparticule, raportul dintre numărul de asemenea obiecte detectate în unitatea de volum şi numărul lor total se distribuie după o figură identică cu imaginea rezultată din difracţia unei unde. În cazul unui experiment ipotetic de traversare a unei fante de un flux de particule, rezultă imaginea din fig. 10.3
Fig. 10.3
În fig. 10.3 se observă că intensitatea într-un punct de pe ecranul de observaţie, a undei de Broglie este egală cu raportul dintre numărul de particule ∆ N detectate în acel punct şi numărul total N de particule care au traversat fanta.
323
Bazat pe această observaţie, în 1926, Max Born a interpretat intensitatea undei de Broglie ca fiind egală cu densitatea de probabilitate a evenimentului de a localiza microparticula într-o regiune a spaţiului. Intensitatea undei este proporţională amplitudinea procesului oscilant de elongaţie Ψ . •
I ~ A = ΨΨ ∗ = Ψ 2
2
(10.34)
Dacă se va nota cu dP probabilitatea infinitezimală de a găsi particula în elementul de volum dV, atunci, densitatea de probabilitate a acestui eveniment este: ρ ( x, y , z , t ) =
dP dV
(10.35)
Interpretarea lui Born impune relaţia: dP 2 =Ψ dV
(10.36)
deci, probabilitatea ca particula să se găsească în volumul V este: P = ∫∫∫ Ψ ( x, y , z , t ) dV 2
(10.37)
V
Însă ştim că particula se găseşte, cu siguranţă, undeva în spaţiu deci, dacă extindem integrala din (10.36) pe întreg spaţiul, vom găsi probabilitatea evenimentului sigur: P(∞) = ∫∫∫ Ψ ( x, y, z, t ) = 1 2
(10.38)
∞
Această condiţie se numeşte condiţie de normare. Interpretarea statistică (probabilistică) a funcţiei de undă este singura care s-a impus din multitudinea de interpretări, este unanim acceptată şi nu duce la rezultate contradictorii. În lumina acestei interpretări, unda de Broglie este o undă de probabilitate a cărei elongaţie nu are un sens fizic bine precizat. Elongaţia Ψ(x,y,z,t) caracterizează starea sistemului cuantic, este denumită funcţie de undă şi cunoaşterea ei permite calcularea probabilitatea evenimentului de realizare a respectivei stări. 10.2.3 Relaţiile de nedeterminare ale lui Heinsenberg În cele ce urmează va fi discutat un grup de relaţii de o importanţă capitală pentru sistemele cuantice, care impun unele limite în măsurarea parametrilor sistemului. Pentru a obţine informaţii despre starea unui sistem fizic este necesară efectuarea unor operaţii de măsurare asupra acestuia. Pentru aceasta el se pune în contact cu un alt sistem denumit generic instrument de măsură cu care
324
interacţionează. Prin această interacţiune se modifică unii dintre parametrii perceptibili ai instrumentului din care se deduc informaţii despre sistem. Interacţiunea instrumentului cu sistemul fizic măsurat duce şi la schimbarea parametrilor acestuia, schimbându-i starea. În cazul sistemelor macroscopice, această schimbare de stare poate fi făcută neglijabilă prin perfecţionarea instrumentelor de măsură. În cazul măsurătorilor efectuate asupra unui microsistem cuantic, interacţiunea cu instrumentul de măsură care este macroscopic va produce modificarea stării sistemului, în aşa măsură încât starea finală va fi total diferită de starea iniţială. Werner Heisenberg a demonstrat, în 1927, un set de relaţii din care rezultă că nu este posibilă măsurarea simultană şi exactă prin nici o metodă, sau instrument, a poziţiei şi impulsului unui microsistem cuantic, deoarece măsurarea poziţiei, datorită instrumentului de măsură, perturbă cunoaşterea impulsului iar măsurarea impulsului face imposibilă determinarea precisă a poziţiei. În concluzie, în fizica microsistemelor cuantice, există întotdeauna o eroare în determinarea vectorului de poziţie (a coordonatelor) r r ∆r şi o eroare în determinarea impulsului ∆p . Aceste relaţii numite relaţiile de nedeterminare ale lui Heisenberg sunt următoarele: r r ∆p ⋅ ∆r ≥ h
(10.39)
Această relaţie se descompune în următoarele trei relaţii: ∆p ⋅ ∆ x ≥ h ∆p y ⋅ ∆y ≥ h
(10.40)
∆pz ⋅ ∆z ≥ h
De asemenea, se demonstrează că dacă într-un proces există o nedeterminare în cunoaşterea energiei ∆E şi o nedeterminare ∆t în cunoaşterea timpului (duratei), între cele două nedeterminări se stabileşte relaţia: ΔE · Δt ≥ h
(10.41)
Există şi alte mărimi care satisfac relaţii de nedeterminare. Limitările impuse cunoaşterii simultane ale mărimilor conjugate canonic nu depind de precizia instrumentelor de măsură utilizate, ci ele rezultă din dualismul corpuscul undă a microsistemelor cuantice, din imposibilitatea de a opera în acest domeniu cu concepte ale mecanicii clasice provenite din observarea lumii macroscopice. Legile mecanicii clasice nu sunt aplicabile în cazul microsistemelor cuantice. În mecanica clasică, dacă sunt precizate la un moment dat impulsul şi coordonata particulei, suntem capabili să descriem evoluţia particulei în momentele ulterioare. Însă în domeniul microparticulei, relaţia (10.38) arată că nu se pot determina simultan impulsul şi coordonata. Dacă se cunoaşte impulsul cu precizie maximă (Δpx → 0), atunci nu se poate preciza coordonata, particula putând fi oriunde în spaţiu (Δx → ∞). Iar dacă
325
se determină cu precizie maximă coordonata, nedeterminarea impusului devine infinită, adică particula poate avea orice impuls. Dacă se calculează viteza electronului în atomul lui Bohr, va rezulta în determinarea razei traiectoriei o imprecizie de şase ori mai mare decât raza acestei traiectorii. Aceasta explică deficienţele modelului Bohr-Sommerfeld. Dacă nu există din principiu nici o posibilitate de a determina traiectoria pe care evoluează o microparticulă trebuie să se admită că noţiunea de traiectorie nu are sens fizic în domeniul mecanicii cuantice. Limitarea posibilităţii de a opera cu mărimi definite clasic în domeniul cuantic impune introducerea unor concepte care nu au corespondent clasic. 10.2.4 Principii ale mecanicii cuantice Mecanica cuantică a fost construită pe baza unor principii rezultate din experienţă. Ele vor fi formulate în continuare: Fiecărei stări cuantice i se asociază o funcţie de undă, care trebuie să satisfacă următoarele condiţii standard: 1.
∫∫∫ Ψ
2
dV trebuie să fie mărginită. Astfel probabilitatea de a găsi
particula undeva în spaţiu nu ar fi egală cu unitatea; 2. Funcţia Ψ trebuie să fie univocă, pentru ca probabilitatea de a găsi particula undeva în spaţiu să fie determinată univoc; 3. Funcţia Ψ trebuie să fie continuă, ca şi derivatele ei. Condiţiile 1;2;3 pot fi satisfăcute doar dacă unii parametri ai sistemului au numai anumite valori numite valori proprii. Funcţiile Ψ corespunzătoare acestor valori proprii se numesc funcţii proprii. Aceste condiţii sunt necesare pentru ca intensitatea Ψ Ψ * să aibă sensul de densitate de probabilitate. Principiul suprapunerii Dacă un sistem cuantic se poate găsi în stările Ψ 1 , Ψ 2, Ψ 3, ...... atunci ea se poate găsi şi în starea Ψ rezultată din suprapunerea stărilor Ψ 1 , Ψ 2, Ψ 3, ...... Ψ = C1Ψ 1 + C 2 Ψ 2 + C3 Ψ 3 + ....
(10.42)
Principiul de corespondenţă Înainte de a enunţa acest principiu sunt necesare câteva precizări. Mecanica clasică operează cu mărimi fizice precum coordonatele, energia, impulsul, momentul cinetic, etc. Aceste mărimi, ca şi funcţiile care depind de ele sunt denumite variabile dinamice. Întrucât instrumentele folosite pentru a efectua măsurători asupra sistemelor cuantice sunt macroscopice, rezultatele măsurătorilor vor fi exprimate prin intermediul variabilelor dinamice. În mecanica cuantică variabilele dinamice îşi schimbă natura matematică ele nu mai sunt descrise de funcţii, ele sunt descrise de operatori liniari. Se poate da următorul enunţ:
326
Fiecărei variabile dinamice din mecanica clasică îi corespunde în mecanica cuantică un operator liniar care acţionează asupra funcţiei de undă. Între operatorii ataşaţi unor variabile dinamice din mecanica cuantică, se stabilesc aceleaşi identităţi ca şi între variabilele dinamice corespunzătoare din mecanica clasică. Funcţia de undă Ψ, satisface ecuaţia lui Schrödinger Aceasta este o ecuaţie diferenţială de ordinul II cu derivate parţiale care se poate construi pe baza principiului de corespondenţă. Pentru descrierea exhaustivă a fenomenelor cuantice au fost enunţate şi alte principii pe care se bazează aparatul matematic al mecanicii cuantice, dar ele nu vor fi enunţate, căci conţinutul lor depăşeşte nivelul acestei lucrări. 10.2.5 Construcţia ecuaţiei lui Schrödinger 10.2.5.1 Ecuaţia lui Schrödinger temporală Dacă o particulă clasică de masă m şi impuls p se află într-un câmp cu care interacţionează, având energia potenţială U, energia sa totală E satisface relaţia: p2 E = Ec + U sau E = +U 2m
(10.43)
Se va considera unda asociată particulei ca fiind armonică plană (monocromatică), de forma: i
rr
) sau, Ψ = Ψ e h ( Et − pr ) Ψ = Ψ0 e ( 0 În cazul unui sistem cuantic, principiului de corespondenţă i se asociază o relaţie similară între operatorii notaţi cu accent circumflex: rr i ωt − k r
pˆ 2 Eˆ = + Uˆ 2m
(10.44)
Acest operator, operând asupra funcţiei de undă, duce la următoarea expresie: pˆ 2 Ψ ˆ Eˆ Ψ = +U Ψ 2m
(10.54)
Este necesară construirea în continuare a operatorilor Eˆ şi pˆ 2 pe baza principiului de corespondenţă. ∂ Se ştie că în cazul undei armonice plane este satisfăcută expresia = iω , ∂t cunoscând expresia clasică a energiei. E = hω
(10.46)
327
se poate scrie următoarea expresie a operatorului asociat energiei totale a particulei. ∂ Eˆ = ih ∂t
Pentru a construi operatorul asociat impulsului, se pleacă de la relaţia lui de Broglie dintre mărimile clasice impuls şi lungime de undă: r r h r h 2π r (10.47) p= u= u = hk λ 2π λ Dar, se ştie că pentru unda armonică plană este satisfăcută identitatea:
r
∇ = i k sau,
r k = − i∇
prin urmare, operatorul asociat impulsului ia următoarea formă: pˆ = −ih∇
Operatorul pˆ 2 se obţine aplicând operatorul pˆ asupra lui însuşi: pˆ 2 = ( −ih∇ )( −ih∇ ) = h 2∇ 2 = h 2 ∆
(10.48)
Pentru a construi operatorul Uˆ asociat energiei potenţiale, se ţine cont de modul de definire a operatorilor asociaţi variabilelor independente „coordonată”, ca fiind produsul dintre variabila coordonată şi funcţia de undă, în felul următor: ^
x Ψ = xΨ
(10.49)
Energia potenţială este funcţie de coordonate şi, prin urmare, va satisface o relaţie operaţională similară: ^
U Ψ =UΨ
(10.50)
Prin urmare, relaţia dintre operatorii asociaţi energiei va fi următoarea: ∂Ψ h2 ih =− ∆Ψ + Uˆ Ψ ∂t 2m ^
Operatorul H = −
(10.51)
h2 ∆ + Uˆ este numit operatorul lui Hamilton sau 2m
hamiltonianul sistemului. Aceasta se poate scrie sub următoarea formă: h2 ∂ψ ∆ψ + i h − Uψ = 0 2m ∂t
(10.52)
328
Această ecuaţie diferenţială liniară cu coeficienţi constanţi cu derivate parţiale se numeşte ecuaţia lui Schrödinger temporală. 10.2.5.2 Ecuaţia lui Schrödinger atemporală Se poate obţine o formă particulară a ecuaţiei lui Schrödinger dacă se introduce postulatul că în orice câmp conservativ (energia potenţială nu depinde explicit de timp), funcţia de undă Ψ(x,y,z,t) are forma unui produs dintre un factor exponenţial dependent de timp şi un factor spaţial dependent doar de coordonate, în felul următor: Ψ ( x, y , z , t ) = e
i − Et h
ψ ( x, y , z )
(10.53)
Prin derivare rezultă: i − Et ∂Ψ ( x, y , z , t ) i = − Eψ ( x, y, z ) e h ∂t h
(10.54)
Întrucât operatorul lui Laplace operează doar asupra coordonatelor: ∆Ψ = e
i − Et h
∆ψ ( x , y , z )
(10.55)
Înlocuind în ecuaţia lui Schrödinger temporală rezultă: − Et − Et − Et h2 i ∆ψ ( x, y, z ) e h + ih − Eψ ( x, y, z ) e h −ψ ( x, y, z ) e h U = 0 2m h i
i
i
(10.56)
Factorul exponenţial se simplifică şi se obţine ecuaţia lui Schrödinger atemporală sau ecuaţia lui Schrödinger pentru stări staţionare (independente de timp): h2 ∆ψ + ( E − U )ψ = 0 2m
(10.57)
Ecuaţia (10.54) dă soluţii care satisfac condiţiile standard pentru funcţia de undă doar pentru anumite valori proprii ale energiei E a sistemului. Existenţa valorilor proprii duce la cuantificarea energiei. Aici cuantificarea energiei apare în mod natural, fără a fi nevoie de introducerea sa în mod artificial printr-un postulat, cum s-a întâmplat în cazul teoriilor atomice naive. Este doar de remarcat faptul că ecuaţia lui Schrödinger se aplică doar în cazul nerelativist. În teoria relativistă a lui Dirac apare în mod natural şi spinul, fără să fie introdus printr-un postulat.
329
10.3 Aplicaţii ale ecuaţiei lui Schrödinger În continuare, vor fi prezentate câteva exemple de aplicare a ecuaţiei lui Schrödinger la unele sisteme cuantice simple cu multe implicaţii în studiul fizicii corpului solid, a conductivităţii electrice şi termice şi a fizicii nucleului. 10.3.1 Particula în groapa de potenţial rectangulară, finită, tridimensională O groapă de potenţial este o regiune a spaţiului în care potenţialul prezintă o scădere faţă de regiunile învecinate. Se consideră în continuare o groapă de potenţial de formă cubică de latură a (s-a luat forma aceasta pentru a simplifica calculele, dar metode utilizate în continuare sunt valabile pentru orice formă a gropii), în care se află o particulă (Fig. 10.4). Energia potenţială a particulei se va considera U = 0 în interiorul gropii şi U = ∞ în exteriorul acesteia. Pereţii gropii se vor considera perfect reflectători. Pentru a afla valorile posibile ale energiei particulei se va scrie ecuaţia lui Schrödinger pentru aceasta.
Fig. 10.4
h2 ∆ψ + Eψ = 0 (U = 0) 2m
(10.58)
sau: ∆ψ +
2m Eψ = 0 h2
scriind laplacianul în coordonate carteziene, rezultă:
(10.59)
330
∂ 2 ψ ∂ 2 ψ ∂ 2 ψ 2m + 2 + 2 Eψ = 0 + ∂z ∂x 2 ∂y 2 h
(10.60)
Pentru a găsi soluţia acestei ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale se caută soluţia sub forma unui produs de trei funcţii de cele trei coordonate independente, de forma: ψ ( x , y , z ) = ψ x ( x )ψ y ( y )ψ z ( z )
(10.61)
înlocuind (10.61) în (10.60) şi împărţind relaţia obţinută cu produsul ψ x ψ y ψ z se obţine relaţia următoare: 1 d 2ψ x 1 d2ψ y 1 d 2ψ z 2m + =− 2 E + 2 2 2 ψ z dz h ψ x dx ψ y dy
(10.62)
În membrul stâng a ecuaţiei (10.62) este o sumă de trei funcţii, fiecare depinzând de altă variabilă independentă. Această sumă este egală cu constanta din membrul drept. O asemenea ecuaţie poate fi satisfăcută doar dacă fiecare termen al sumei este egal cu o constantă. 1 d 2ψ = − k x2 2 ψ x dx
(10.63)
1 d 2ψ = − k y2 2 ψ y dy
(10.64)
1 d 2ψ = − k z2 ψ z dz 2
(10.65)
unde cele trei constante sunt cuplate prin relaţia: k x2 + k y2 + k z2 =
2 mE h2
(10.66)
Se obţin astfel următoarele trei ecuaţii diferenţiale: d 2ψ x + k x2ψ x = 0; 2 dx
(10.67)
d 2ψ y + k y2ψ y = 0 dy 2
(10.68)
d 2ψ z + k z2ψ z = 0 dz 2
(10.69)
331
Aceste ecuaţii se integrează prin metoda cunoscută, obţinând: ψ i (i ) = C1i sin k i i + C 2 i cos k i i ;
i = x,y,z
(10.70)
Particula nu se poate afla în exteriorul gropii de potenţial, pentru că energia sa potenţială ar fi infinită, deci funcţia de undă a sa trebuie să se anuleze pe pereţi, prin urmare trebuie să satisfacă următoarele relaţii: Ψ i (0) = 0;
(10.71)
Ψ i (a) = 0
(10.72)
Impunând aceste condiţii în relaţia (10.70) se deduce că C2i = 0 şi că sin ki a = 0 , de aici rezultă: k i a = niπ unde ni sunt numerele întregi 1,2,3,4……. constantele ki satisfac deci relaţia: ki =
niπ a
(10.73)
Înlocuind constantele în (10.70), rezultă: nπ n π nπ ψ ( x , y , z ) = C1 x C1 y C1 z sin x x sin y y sin z a a a
z
(10.74)
sau: nπ nπ nπ ψ ( x , y , z ) = C sin x x sin y y sin z a a a
z
(10.75)
Constanta C se determină din condiţia de normare:
∫∫ ΨΨ
∗
=1
(10.76)
V = L3
şi va avea valoarea: 3
2 2 C = a
(10.77)
Energiile pe care le poate avea microparticula în groapa de potenţial, se pot calcula înlocuind constantele ki în expresia (10.66) a energiei. h 2π 2 2 En = nx + n 2y + nz2 2 2ma
(
)
(10.78)
332
Din relaţia (10.78) reiese clar caracterul discontinuu al spectrului energiei particulei, dar mai rezultă şi faptul că pot exista mai multe stări, definite de diferite valori ale numerelor cuantice n, pentru care energia are aceeaşi valoare. În acest caz, se spune că nivelul energetic En este degenerat. Degenerarea nivelelor de energie este foarte des întâlnită în mecanica cuantică. 10.3.2 Oscilatorul armonic în mecanica cuantică În domeniul fenomenelor cuantice care au loc în lumea microparticolelor, fenomenele oscilatorii ocupă, ca şi în domeniul fizicii clasice din lumea macroscopică, un loc de o importanţă aparte. Înţelegerea comportamentului cuantic al oscilatorilor este cheia înţelegerii unei multitudini de fenomene cuantice, cu multe implicaţii teoretice şi practice. În continuare, se va considera o particulă de masă m, care execută o mişcare oscilatorie de amplitudine A şi pulsaţie ω , de-a lungul axei Ox. Ecuaţia elongaţiei este: x = A cos ω t
(10.79)
Funcţia de undă a particulei va satisface ecuaţia lui Schrödinger pentru stări staţionare, în care laplaceianul conţine doar termenul în x corespunzător situaţiei unidimensionale alese. h d 2ψ + ( E − U )ψ = 0 2m dx 2
(10.80)
Energia potenţială elastică este dată de relaţia cunoscută: kx 2 mω 2 x 2 U= = 2 2
(10.81)
Înlocuind această energie potenţială în ecuaţia lui Schrödinger, rezultă: h 2 d 2ψ mω 2 x 2 + E − 2 m dx 2 2
ψ = 0
(10.82)
Aceasta se poate pune sub următoarea formă: d 2ψ 2mE m 2ω 2 x 2 + − dx 2 h 2 h2
ψ = 0
(10.83)
Se introduc următoarele notaţii în ecuaţia (10.83): a=
2mE mω şi b = 2 h h
cu care ecuaţia se transformă în felul următor:
(10.84)
333
d 2ψ + a − b2 x2 ψ = 0 dx 2
(
)
(10.85)
Pentru a aduce ecuaţia aceasta la o formă mai convenabilă, se mai introduce următoarea notaţie: y=x b
(10.86)
Se dă forţat în factor b în faţa parantezei: d 2ψ a + b − bx 2 ψ = 0 2 dx b
(10.87)
Şi se vor calcula derivatele lui funcţieiψ în raport cu y şi x: dψ dψ dy dψ = = b dx dy dx dy
(10.88)
d 2ψ d 2ψ b = dy 2 dx 2
(10.89)
înlocuind (10.89) în (10.87), ecuaţia lui Schrödinger ia următoarea formă: d 2ψ a + − y 2 ψ = 0 2 dy b
(10.90)
Soluţia ψ a acestei ecuaţii fiind o funcţie de undă, trebuie să satisfacă condiţiile standard, adică să fie continuă atât ea, cât şi derivatele sale, să fie mărginită şi integrabilă în modul pătrat pentru a satisface condiţiile de normare:
∫∫∫ ψ
2
dV = 1
(10.91)
∞
Ecuaţii cu asemenea proprietăţi au fost studiate în matematică cu mult înainte de apariţia mecanicii cuantice şi s-a stabilit că funcţia ψ ( y ) satisface condiţiile de mai sus doar dacă ecuaţia se transformă într-o ecuaţie de tip special, denumită ecuaţie Hérmite. Această transformare are loc doar dacă este satisfăcută următoarea condiţie: a = 2n + 1 b
(10.92)
cu n = 0,1,2,… Înlocuind condiţia (10.92) în (10.93), se obţine următoarea ecuaţie Hérmite:
334
(
)
d 2ψ + 2n + 1 − y 2 ψ = 0 2 dy
(10.93)
aceasta are soluţia de forma: ψ=e
−
y2 2
H n (y)
(10.94)
unde H n ( y ) reprezintă polinoamele lui Hérmite care au funcţia generatoare următoare: H n (y) = e
y2
( )
d n e−y dy n
2
(10.95)
Relaţiile de mai sus ne relevă diferenţele fundamentale faţă de situaţia clasică. În primul rând, dacă se vor înlocui a şi b în (10.92): 2mE h = 2n + 1 h 2 mω
(10.96)
se obţin pentru energia oscilatorului armonic cuantic expresiile: 1 En = hω ( 2 n + 1) sau, En = hv n + 2
(10.97)
Se observă că energia oscilatorului armonic este cuantificată şi nu depinde de amplitudine, ca în cazul oscilatorului clasic. În plus, apare chiar o diferenţă dată de postulatul lui Planck, care prevede că E = nhν. Se observă că pentru n = 0 există o energie de zero E0 =
hv , după care ne putem aştepta la astfel de relaţii 2
analizând fenomenul prin prisma relaţiilor de nedeterminare ale lui Heinsenberg h ∆E∆t ≥ . 2 În continuare, va fi făcută o comparaţie între probabilitatea de a găsi oscilatorul într-un domeniu Δx situat între –A şi +A., în cazul cuantic cu aceeaşi probabilitate din cazul clasic, cu scopul de a releva proprietăţile sale aparte în acest al doilea caz. Oscilaţia este efectuată de-a lungul axei Ox, ca în fig. 10.5:
Fig. 10.5
335
Particula se va găsi în intervalul de lungime Δx, un interval de timp Δt. Probabilitatea evenimentului de a găsi oscilatorul în domeniul Δx va fi: ∆P =
∆t 2 ∆t = T T 2
(10.98)
T este perioada oscilaţiei, iar T/2 este timpul în care oscilatorul se află la dreapta originii ca şi intervalul spaţial Δx. Notând cu Π(x) densitatea de probabilitate a acestui eveniment, probabilitatea este: ∆P = Π ( x ) ∆x Π ( x) =
∆P 2 ∆ t 2 = = ∆x T ∆x Tv ( x )
(10.99) (10.100)
Dacă ecuaţia coordonatei este x(t) = A cosωt atunci ecuaţia vitezei va fi: v = -ωA sinωt; eliminând timpul din aceste două relaţii se deduce relaţia dintre viteză şi coordonată: v = ω A2 − x 2
(10.101)
Deci, expresia densităţii de probabilitate este: Π ( x) =
1 π A2 − x 2
(10.102)
Sunt de remarcat următoarele cazuri extreme: 1 πA
(10.103)
lim Π ( x) → ∞
(10.104)
lim Π ( x ) = x →o
şi: x→± A
Funcţia Π ( x ) se poate reprezenta grafic în felul următor:
336
Fig. 10.6
Se remarcă respectarea celor două condiţii limită (10.103) şi (10.104). Spre deosebire de situaţia oscilatorului clasic, în cazul oscilatorului armonic cuantic densitatea de probabilitate este dată de modulul pătrat a funcţiei de undă: Π ( x) = ψ = ψψ ∗ 2
(10.105)
Pentru a calcula această densitate de probabilitate este necesară calcularea funcţiei de undă exprimată prin funcţii Hérmite pentru diferite valori ale numărului cuantic n. Astfel pentru n = 0, polinomul lui Hérmite de ordinul 0 este: H 0 (y) = e y e− y = 1 2
2
(10.106)
În acest caz, funcţia de undă va avea următoarea formă: ψ0 = e
−
y2 2
H0 ( y) = e
−
y2 2
(10.107)
Utilizând formula de calcul a densităţii de probabilitate: Π 0 ( y ) = ψ 0 ( y )ψ 0 ( y )∗ = ψ 02
(10.108)
aceasta, va fi exprimată prin următoarea relaţie: Π 0 ( x ) = ψ 02 = e − y
2
Reprezentarea grafică a acestei relaţii este diagrama din fig. 10.7:
(10.109)
337
Fig. 10.7
Pentru n = 0 densitatea de probabilitate cuantică are un caracter diametral opus faţă de caracterul său din mecanica clasică. lim Π 0 = 1 şi
lim Π 0 = 0
x→ 0
(10.110)
x→∞
În plus, probabilitatea de a găsi particula oscilantă în afara domeniului (-A, +A) nu mai este nulă, cum se întâmplă în cazul oscilatorului clasic. Pentru n = 1, polinomul Hérmite de ordinul 1 este: H1 ( y ) = e y
( )=e
d e− y
2
dy
2
y2
( −2 y ) e− y
2
= −2 y
(10.111)
Înlocuind (10.111) în (10.94), rezultă funcţia de undă pentru numărul cuantic n=1. ψ 1 = 2 ye
−
y2 2
(10.112)
Densitatea de probabilitate pentru acest caz va fi dată de următoarea relaţie: Π1 = 4 y 2e − y
2
(10.113)
Această densitate de probabilitate este reprezentată grafic în fig. 10.8:
338
Fig. 10.8
Este de remarcat că de această dată în origine se formează un minim ca şi în cazul clasic. Pentru n = 4, reprezentarea densităţii de probabilitate este reprezentată în fig. 10.9.
Fig. 10.9
Este de remarcat că figura este mai apropiată de figura care reprezintă situaţia clasică, dar densitatea de probabilitate a evenimentului de a găsi particula în afara domeniului (-A, +A ) este mică, dar nu este nulă. Este clar că situaţia clasică corespunde numerelor cuantice mari. 10.3.3 Trecerea particulelor prin bariera de potenţial. Efectul tunel O barieră de potenţial este o regiune în care potenţialul are o valoare mai mare decât valoarea sa din regiunile învecinate. O astfel de barieră de potenţial mărgineşte, de exemplu, nucleul unui atom, electronii dintr-un metal, pentru a fi emişi în exterior prin efect fotoelectric sau termoelectronic, trebuie să traverseze o barieră de potenţial formată la suprafaţa de separaţie cu mediul exterior, şi se pot da foarte multe exemple similare. Studiul trecerii particulelor printr-o barieră de potenţial are mai multe implicaţii în studiul corpului solid, în chimie, electronică, fizică nucleară.
339
În continuare, se vor analiza procesele de penetrare de către microparticule a unei bariere de potenţial dreptunghiulare care separă două regiuni în care potenţialul este nul. Acest tip de barieră este util în studiul comportării electronilor în cristale. Pe lungimea l a barierei energia potenţială se menţine la valoarea constantă U0 . Se va admite că un flux de particule de masă m şi energie cinetică E se mişcă de-a lungul axei OX dinspre stânga şi cade asupra barierei din fig. 10.10 care împarte spaţiul în trei regiuni I, II, III. Ec = E , peste tot energia totală a particulei este egală cu energia ei cinetică. U U0 E ψ1
ψ2 aa2 2 b2b2
a1 b1
U=0
0
I
ψ3 a3 b3
l II
U=0
x III
Fig. 10.10
Pentru a calcula funcţiile de undă în cele trei regiuni se va scrie ecuaţia lui Schroedinger atemporală pentru cele trei regiuni: În regiunea I în care potenţialul are valoarea nulă: d 2 ψ1 2 mE + 2 ψ1 = 0 dx 2 h
(10.114)
În regiunea II a barierei unde potenţialul are valoarea U0: d 2 ψ 2 2m ( E − U 0 ) + ψ2 = 0 dx 2 h2
şi în regiunea III, unde potenţialul are valoarea din nou nulă:
(10.115)
340
d 2 ψ 3 2 mE + 2 ψ3 = 0 dx 2 h
(10.116)
Soluţiile acestor ecuaţii diferenţiale de ordinul II cu coeficienţi constanţi sunt cele cunoscute: ψ 1 = a1e iα 1 + b1e − iα 1 x
(10.117)
ψ 2 = a 2 e iα 2 + b2 e − iα 2 x
(10.118)
ψ 3 = a3e iα1 + b3e − iα1 x
(10.119)
S-au făcut următoarele notaţii: 2 mE 1 = 2mE h2 h
α1 =
(10.120)
şi: α2 =
1 2m( E − U 0 ) h
(10.121)
Ecuaţiile (10.117), (10118), (10.119) ne arată că funcţiile de undă ψ 1 , ψ 2 , ψ 3 se pot considera ca fiind suprapunerea a două plane care se propagă de-a lungul axei OX, una în sensul pozitiv, având amplitudinea ai şi una în sensul negativ cu amplitudinea bi (i=1,2,3). Intensitatea primei fiind ai ai* şi a celei de-a doua, bi bi*, se va calcula raportul dintre intensitatea undei asociate particulei transmise a3 a3* şi intensitatea undei incidente a1 a1*. Valoarea acestui raport este transparenţa barierei D: D=
a3a3* a1a1*
(10.122)
Pentru a simplifica calculele, fără a restrânge generalitatea tratării, se poate considera amplitudinea undei incidente ca fiind egală cu unitatea a1=1; deci: a1 a1* = 1
(10.123)
In regiunea III nu poate exista o undă retrogradă pentru că aici posibilitatea de reflexie a undei este nulă, deci: b3 = 0
(10.144)
Funcţia de undă trebuie să satisfacă condiţiile standard deci, ea trebuie să fie continuă (ca şi derivata sa) în toate punctele. Se vor scrie deci, următoarele condiţiile de frontieră: ψ 1 ( 0 ) = ψ 2 ( 0 ) şi ψ 2 (l ) = ψ 3 (l )
(10.125)
341
(
dψ 1 ) dx
x =0
=(
dψ 2 ) dx
(10.126)
x =0
şi: (
dψ 2 ) dx
x =1
=(
dψ 3 ) dx
(10.127)
x =1
Efectuând derivările şi introducând derivatele în aceste condiţii de frontieră, se obţine sistemul: 1 + b1 = a 2 + b2 1 − b1 =
α2 ( a − b2 ) α1 2
a 2 e iα 2 l + b2 e − iα 2 l = a 3e iα1l
(10.128)
α1 a3eiα1l α2 Făcând calculele algebrice, a3 va lua forma următoare: a2e iα2l − b2eiα 2l =
a3 =
(α1 + α 2 )
4α1α 2eiα 2l
2
e −iα 2l − (α1 − α 2 ) eiα 2l 2
(10.129)
În continuare, se va analiza cazul când energia particulei E este mai mică decât energia barierei: E < U0. În această situaţie, mecanica clasică indică o transparenţă nulă a barierei, ceea ce în situaţia cuantică nu este adevărat, după cum se va vedea. 1 În acest caz , α 2 = 2m ( E − U 0 ) este o mărime imaginară şi va introduce h notaţia: α = iα 2 =
i 2m (U o − E ) h
(10.130)
Ţinând seama de relaţiile care există între exponenţiale şi funcţiile hiperbolice: chkl =
e ikl + e −ikl e ikl − e − ikl ; shkl = 2 2
(10.131)
şi: ch 2 k − sh 2 kl = 1
se obţine transparenţa barierei exprimată prin relaţia:
(10.132)
342
D=
1
(10.133)
α +α sh 2 kl + 1 4αα 1 2
2 1
În multe cazuri (pentru cele mai multe situaţii întâlnite) se poate face următoarea aproximaţie: sh 2α l ≅
1 2α l e 4
(10.134)
Făcând această aproximaţie, se obţine pentru transparenţa barierei următoarea expresie: D=
16 E ( E − U 0 ) − h2 e U 02
2 m ( E −U 0 ) l
(10.135)
Se remarcă scăderea rapidă a transparenţei cu creşterea masei şi a diferenţei U0 - E şi cu creşterea lui l (situaţie clasică). În situaţia clasică, un exemplu elocvent este cazul unui plan înclinat ca în fig. 10.11
Fig. 10.11
Dacă energia cinetică a particulei est mai mică decât energia potenţială a E planului (a barierei), Ec 〈U 0 = mgh0 atunci ea va ajunge până la înălţimea h = c , mg după care va reveni în regiunea I. În conformitate cu relaţia (10.135), probabilitatea ca particula să ajungă în regiunea III nu este nulă, dar este neglijabilă. În situaţia cuantică, masa şi lărgimea barierei fiind foarte mici, se remarcă o transparenţă notabilă D ≠ 0 şi în cazul U0 > E particula având o probabilitate mare de a ajunge în regiunea III. În cazul exemplului anterior cu planul înclinat,
343
lucrurile se petrec în aşa fel ca şi cum particula ar fi întâlnit la înălţimea maximă h la care poate ajunge un tunel prin care traversează regiunea II a barierei. Datorită acestei asemănări, fenomenul de traversare a barierei de potenţial de către particule care au energie mai mică decât energia barierei a fost denumit efect tunel. Efectul tunel explică multe fenomene din natură şi tehnică. Dacă bariera nu este dreptunghiulară, ci are o formă oarecare, această formă se poate aproxima printr-o succesiune de dreptunghiuri rectangulare ca în fig. 10.12 U(x)
Ec
x1
x2
x
. Fig. 10.12
Transparenţa barierei se poate scrie cu o foarte bună aproximaţie ca fiind: −
D ≅ const .e
2 h
x2
∫
2 m [U ( x ) − E ]dx
(10.136)
x1
unde constanta este de ordinul de mărime al unităţii. În cazul când E > U0, mecanica clasică prezice trecerea sigură a particulei peste bariera de potenţial. Dacă vor reface calcule cuantice, în acest caz s-ar obţine însă un coeficient de reflexie R = 1 – D diferit de 0. x2
Se remarcă faptul că ∫
2 m [U ( x ) − E ]dx
reprezintă, de fapt, aria barierei de
x1
potenţial. Deci, pentru o arie constantă, transparenţa barierei va fi constantă.
344
BIBLIOGRAFIE 1. 2. 3. 4.
ROSEL, J.; Phisique generale, Edition du Grifon, Neuchatel, 1960 FEYMAN, R.; Fizică modernă vol. I, II, III, Editura Tehnică, 1970 ŢIŢEICA, R., POPESCU, I.; Fizică generală, Editura Tehnică, 1973 KITTEL, CH., KNIGHT, W., RUDEMAN, M.; Mecanica, Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti 1981 5. PURCELL, E.; Electricitate şi magnetism, Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1982 6. CREŢU, T.; Fizică generală vol. I şi II, Editura Tehnică, Bucureşti, 1983 7. POPESCU, I.M.; Fizică vol. I şi II, Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1983 8. CRAWFORD, F.S.; Unde, Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1984 9. WICHMAN, E.; Fizică cuantică, Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1984 10. JACKSON, J.D.; Electrodinamică clasică, Editura Tehnică, Bucureşti, 1992 11. MOŢOC, C.; Fizică generală vol. I şi II, Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1993 12. LUCA, E., JEFLEA, A., ZET, GH., PASNICU, C.; Fizică generală, vol. I şi II, Editura Junimea, Iaşi, 1996 13. COLŢESCU, I., DOGARU, GH.; Matematici speciale, Editura Academiei Navale „Mircea cel Bătrân“, Constanţa, 2002 14. GROZEANU, S.; Fizică – Note de curs, Biblioteca Academiei Navale „Mircea cel Bătrân“, Constanţa, 2000 15. NICA, D.; Unităţi de măsură de la A la Z, Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti, 2003 16. MOISIL, G., Termodinamica, Editura Academiei R.S.R.,Bucuresti, 1988. 17. GHEORGHIU, V., SĂVEANU, L., Fizica, Mecanica, Acustica, Căldura PARPALĂ, V., MUNTEANU, G. Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti,1965. 18. BĂRBULESCU, N., ŢIŢEICA, R., EFTIMIU.E., Fizica, vol.I, II, TIMOTIN, A.,BÂRCĂ-GĂLĂŢEANU,N. Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti
